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1 eral de Uberlândia eral de Uberlândia e Matemática e Matemática em Estatística Empresarial em Estatística Empresarial PRINCIPAIS MODELOS PROBABILISTICOS PARA V A CONTÍNUAS Universidade Fede Universidade Fede Faculdade de Faculdade de Curso de Especialização e Curso de Especialização e PARA V . A. CONTÍNUAS eral de Uberlândia eral de Uberlândia e Matemática e Matemática em Estatística Empresarial em Estatística Empresarial Variável Aleatória Contínua (Revisão) Variável Aleatória Contínua (Revisão) Função Densidade de Probabilidade (fdp) ( ) 0 PX x = = 0 ( ) 1 Pa X b < < Para v.a. contínuas: Universidade Fede Universidade Fede Faculdade de Faculdade de Curso de Especialização e Curso de Especialização e Função Densidade de Probabilidade (fdp) () 0 fx ( ) () b a P a X b f xdx < < = () 1 f x dx +∞ −∞ = X f(x) a b ( ) P a X b < < eral de Uberlândia eral de Uberlândia e Matemática e Matemática em Estatística Empresarial em Estatística Empresarial Distribuição Distribuição Uniforme (Contínua) Uniforme (Contínua) 1 () , a x b b-a = fx Uma Variável aleatória contínua tem distribuição uniforme se a sua f.d.p é dada por: Universidade Fede Universidade Fede Faculdade de Faculdade de Curso de Especialização e Curso de Especialização e f(x) X a b h 1/(b-a) Gráfico:

Variável Aleatória Contínua (Revisão)files.estatistica-empresarial.webnode.com.br/200000024-697946a734... · probabilidade que em um determinado dia a empresa transporte entre

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PRINCIPAIS MODELOS PROBABILISTICOS PARA V A CONTÍNUAS

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ão e PARA V. A. CONTÍNUAS

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Variável Aleatória Contínua (Revisão)Variável Aleatória Contínua (Revisão)

Função Densidade de Probabilidade (fdp)

( ) 0P X x= =

0 ( ) 1P a X b≤ < < ≤

Para v.a. contínuas:

Unive

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ão e Função Densidade de Probabilidade (fdp)

( ) 0f x ≥

( ) ( )b

a

P a X b f x dx< < = ∫

( ) 1f x dx+∞

−∞

=∫ X

f(x)

a b

( )P a X b< <

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DistribuiçãoDistribuição Uniforme (Contínua)Uniforme (Contínua)

1( ) , a x b b-a

= ≤ ≤f x

Uma Variável aleatória contínua tem distribuição uniforme se a sua f.d.p é dada por:

Unive

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deFa

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f(x)

Xa b

h

1/(b-a)

Gráfico:

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( ) ( )b

a

E X xf x dx= ∫1 1

= =− −∫ ∫

b b

a a

x dx xdxb a b a

2 2 21 1( )2 2

b

a

x b aE Xb a b a

⎛ ⎞−= = ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠

2 2 ( )( )2( ) 2( )

− − += =

− −b a b a b a

b a b a 2a b+

=

Esperança (E(X)):

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Variância (Var(X)):

2 2( ) ( )b

a

E X x f x dx= ∫ 2 21 1= =

− −∫ ∫b b

a a

x dx x dxb a b a

3 3 32 1 1( )

3 3

b

a

x b aE Xb a b a

⎛ ⎞−= = ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠

3 3

3( )−

=−

b ab a

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3 3 2( )( )3( ) 4b a a bVar X

b a− +

= −−

2 2( ) ( ) [ ( )]Var X E X E X= −

3 3 24( ) 3( )( )12( )

− − − +=

−b a b a a b

b a

3 3 3 2 2 34 4 3 3 3 3( )12( )

b a b ab a b aVar Xb a

− − − + +=

3 2 2 33 312( )

− + −=

−b ab a b a

b a

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( )3( )

12( )b a

b a−

=−

2( )12

b a−=

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Exemplo

Com o objetivo de verificar a resistência à pressão de água, ostécnicos de qualidade de uma empresa inspecionaram os tubosde PVC produzidos. Os tubos tem 6 metros e são submetidos agrandes pressões até o aparecimento do primeiro vazamento.Escolhe-se um tubo ao acaso para ser inspecionado. calcule a

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ão e probabilidade de que o vazamento esteja, no máximo a 1 metro

das extremidades.

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1( ) , 0 x 6 6

= ≤ ≤f x

Vamos denotar por X a variável aleatória que indica adistancia correspondente ao vazamento. Admitindoprobabilidade igual de ocorrência em todos os pontos,temos:

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( ) ( )

311

611

61

61

61

61

616510

65

10

6

5

1

0

=×+×=+=

+=≤≤+≤≤ ∫∫

|| xx

dxdxXPXP

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Distribuição Exponencial Distribuição Exponencial

00 0

xe xf xx

,( ),

λλ −⎧ >= ⎨

≤⎩

Uma v. a. X segue a distribuição exponencial com parâmetro β(β > 0) se sua f.d.p é do tipo:

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ão e

Com gráfico:

0

0,0005

0,001

0,0015

0,002

0,0025

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

X

f(X)

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• Esperança ((EX)) :1E X( )λ

=

Observações:- Quando os serviços prestados por uma empresa para clientesexternos ou internos são de duração variável, a distribuição

1Var X( )²λ

=

•Variância ((var(X))) :

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ão e

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ão e exponencial é indicada para analisar esses experimentos; por

exemplo, a duração do atendimento do caixa de um banco ou depostos de saúde, o tempo de operação sem interrupção de umequipamento etc.- Outras situações típicas: tempo de chegadas a um lava-jato,tempo de vida de aparelhos, tempo de espera em restaurantes,caixas de banco, etc.

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arial Exemplo:

Através de estudos, verificou-se que o tempo de duração de umdeterminado equipamento segue a distribuição exponencialcom parâmetro igual a 1/500 horas.

a)Determinar a f.d.p.

b) D i b bilid d i

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ão e b) Determinar a probabilidade que um equipamento

aleatoriamente selecionado apresentar:

i)duração menor que 500 horas;

ii)duração entre 300 e 800 horas

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Distribuição NormalDistribuição NormalUma v. a. X tem distribuição normal se sua f.d.p puder serdescrita por:

2121( )

2

x

f x e xμ

σ

π σ

−⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠= − ∞ < < +∞

Gráfico: Esperança E(X):

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0)(lim0)(lim ==∞→−∞→

xfxfxx

Notação : X~N(µ,σ²)

( )E X μ=

2( )Var X σ=

Esperança E(X):

Variância Var(X):

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É o modelo de distribuição de probabilidade mais utilizadona estatística

• Métodos e técnicas estatísticas paramétricas geralmenteconsideram o modelo de distribuição de probabilidadenormal.

• Seu gráfico tem a forma campanular (sino)

• É uma distribuição simétrica em relação à média

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ão e ç ç

• É duplamente assintótica em relação ao eixo das abscissas

Tem dois pontos de inflexão que correspondem à media ±desvio padrão

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2121( ) ( ) ??

2

μσ

π σ

−⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠≤ ≤ = = =∫ ∫

xb b

a a

P a X b f x dx e dx

Calculo de probabilidades envolvendo a distribuição normal

Integrais envolvendo a distribuição normal não tem

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ão e Integrais envolvendo a distribuição normal não tem

solução analítica, por isso recorremos ao uso da tabela.

Porem, antes de consultar a tabela, precisamos transformar avariável aleatória em uma variável padronizada (ou seja,adimensional) mas que carrega as mesmas propriedadesprobabilísticas de x (normalidade).

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Distribuição Normal PadrãoDistribuição Normal Padrão

XZ μσ−

=

( )E Z =XE μσ−⎛ ⎞ =⎜ ⎟

⎝ ⎠( )1 E X μ

σ− = ( )1 ( )E X μ

σ− = ( )1 0μ μ

σ− =

2~ ( , )X N μ σ

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( )Var Z =XVar μσ−⎛ ⎞ =⎜ ⎟

⎝ ⎠( )2

1 Var X μσ

− = ( )2

2 21 1Var X σσ σ

= =

⇒ integrais podem ser tabeladas!~ (0,1)Z N

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A tabela da distribuição normal padrãoA tabela da distribuição normal padrão

z

-∞ +∞0 z

(0 )P Z z< <

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(0 2,17) ?P Z< < =

(0 2,17) 0,4850P Z< < =

( )

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1) Exemplos de utilização da tabela de Z1) Exemplos de utilização da tabela de Z

( 2,17 0) ?P Z− < < =

=0,48500,4850

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( 2,17 0) 0,4850P Z− < < =

-∞ +∞0-2,17 2,17-∞ +∞0

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arial ( 1 2) ?P Z− < < =

= +0,4772 0,3413

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( 1 2) 0,4772 0,3413 0,8185P Z− < < = + =

-∞ +∞0 2-1 -∞ +∞0 1-∞ +∞0 2

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arial ( 1,5) ?P Z > =

=0,5 _ 0,4332

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-∞ +∞0-∞ +∞0 1,5 -∞ +∞0 1,5

( 1,5) 0,5 0,4332 0,0668P Z > = − =

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=_ 0,4332

P(1,5 < Z <2,33)

0,4900

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ão e -∞ +∞0 -∞ +∞0 1,52.33-∞ +∞01,5 2,33

P(1,5 < Z <2,33) = 0,4900 – 0,4332 = 0,057

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P(Z> z) = 0,0228

-∞ +∞0 z

0,028

0,5 – 0,0228 = 0,4772

z = 2,00

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P (Z > z) = 0,9505

-∞ +∞0-∞ +∞0-z

0,4505+

0,5

Z= -1,65

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~ (10,4)X N

(8 11) ?P X< < =

XZ μσ−

= ~ (0,1)N

-∞ +∞10 118

X0,5328

Exemplo : Suponha que, em média, a empresa X transporte 10toneladas por dia de um determinado produto, com desvio padrão de 4toneladas. Suponha que X tem distribuição normal. Qual aprobabilidade que em um determinado dia a empresa transporte entre8 e 11 ton.?

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ão e σ

(8 10 10 11 10) ?P X− < − < − =

8 10 10 11 10( ) ?2 2 2

XP − − −< < =

( 1 0,5) ?P Z− < < =

Z

-∞ +∞0 0,5-1

Z0,5328

8

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Exercício:

Suponha que o investimento em uma carteira de investimentostenha distribuição normal com média de 100 mil reais e desviopadrão de 20 mil reais por dia.

a) Ao selecionar um dia aleatoriamente qual a probabilidadeque o investimento: i) fique entre 70 e 110 mil reais? ii) sejasuperior a 105 mil? iii) seja inferior a 80 mil? iv) fique entre

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p ) j ) q110 e 120 mil?

b) Se o investimento for classificado em Baixo, Médio e Alto,de acordo com a seguinte regra: Baixo 10% dos menoresinvestimentos; Alto 15% dos maiores investimentos eMédio os demais 75%, quais serão os limites estimadospara a classificação?

c) Se selecionarmos 5 dias, qual a probabilidade de que em 3dias tenhamos investimentos superior a 130 mil?

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Combinação linear de variáveis aleatórias com Combinação linear de variáveis aleatórias com distribuição normaldistribuição normal

21 1 1

22 2 2

23 3 3

1 2 3

~ ( , )

~ ( , )

~ ( , )

μ σ

μ σ

μ σ

= + +

X N

X N

X N

Y aX bX cX

3 v.a. independentes com distribuições normal

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1 2 3 1 2 32 2 21 2 3

( ) ( ) ² ( ) ² ( ) ² ( )

( ) ² ² ²σ σ σ

= + + = + +

= + +

Var Y Var aX bX cX a Var X b Var X c Var X

Var Y a b c

Qual a distribuição de Y ?

1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + = + + =E Y E aX bX cX aE X bE X cE X 1 2 3μ μ μ+ +a b c

2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3~ ( , )μ μ μ σ σ σ+ + + +Y N a b c a b c

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pres

arial

Distribuição da Soma de Variáveis AleatóriasDistribuição da Soma de Variáveis Aleatórias

21 1 1

22 2 2

2

~ ?( , )~ ?( , )

~ ?( , )

μ σμ σ

μ σ

+ + + ∑

n n n

n

XX

X

Y X X X X

n v.a. independentes com distribuição normal

Combinação linear de variáveis aleatórias com Combinação linear de variáveis aleatórias com distribuição normaldistribuição normal

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pecia

lizaç

ão e

Curso

de Es

pecia

lizaç

ão e 1 1 2 2

1== + + + =∑… n n i i

iY a X a X a X a X

Qual a distribuição de Y ?

2 2

1 1

~ ,μ σ= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑

n n

i i i ii i

Y N a a

9

eral d

e Ube

rlând

iaera

l de U

berlâ

ndia

e Mate

mátic

a e M

atemá

tica

em Es

tatíst

ica Em

pres

arial

em Es

tatíst

ica Em

pres

arial

Exemplo:

Uma corretora de seguros negocia títulos na bolsa de valores eutiliza um modelo probabilístico para avaliar seus lucros. Suasaplicações financeiras de compra e venda atingem três áreas:Agricultura e comércio e indústria. Admite que o seguintemodelo representa o comportamento do lucro diário dacorretora (em milhares de reais)

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Curso

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lizaç

ão e

Curso

de Es

pecia

lizaç

ão e L=2La+5Li+3Lc

Com La, Li e Lc representado respectivamente os lucros diáriosnos setores de agricultura, indústria e comércio. Asdistribuições de probabilidades dessas variáveis aleatórias são

La~N(3,4) Li~N(6,9) Lc~N(4,16)

eral d

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rlând

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l de U

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mátic

a e M

atemá

tica

em Es

tatíst

ica Em

pres

arial

em Es

tatíst

ica Em

pres

arial Supondo independência entre os três setores, qual é a

probabilidade de um lucro diário acima de 50 mil?

µ=2x3+5x6+3x4=48σ²=2²x4+5²x9+3²x16=385

P(L>50)=P(Z>0,10)=0,4602

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em Es

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arial Exercícios

A resistência de vigas de madeira utilizadas em construçãosegue um modelo normal com média de 3 toneladas edesvio de 2 toneladas. Vinte dessas vigas são compradaspara serem usadas em uma obra.

a) Calcule a probabilidade de uma dessa vigas suportar

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ão e menos que 1 tonelada.

b) Qual é a probabilidade de as vinte vigas suportarem, emmédia, pelo menos 2,5 toneladas

10

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arial

em Es

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ica Em

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arial

Aproximação da Binomial à Normal Aproximação da Binomial à Normal

1

n

ii

Y X=

= ∑ onde cada Xi tem distribuição Bernoulli (0 ou 1) e P(Xi = 1) = p

Se Y tem uma distribuição binomial com parâmetros n e p:

Então, se n grande:

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lizaç

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Curso

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pecia

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ão e

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 1 2 3

30,2

np==

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

~ (?,?)Y N

( ) ?( ) ?

E YVar Y

==

( )( )

E Y npVar Y npq

==

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0 20 40 60 80 100

150,4

np==

1000,4

np==

~ ( , )Y N np npq

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ica Em

pres

arial

em Es

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ica Em

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arial

Considere o experimento: retiram-se 100 bolas da urna (com reposição). Define-se uma v.a. Xcujos valores representam o número total de bolas vermelhas dentre as 100 escolhidas.Calcule: P(30 ≤ X ≤ 51)

2100 0,4n p= = = 0,08

0,09

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Curso

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ão e 100 0,4

5n p

( ) x n xnf x p q

x−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

100100( ) 0,4 0,6x xf x

x−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

51100

30

100(30 51) 0,4 0,6x x

x

P Xx

=

⎛ ⎞≤ ≤ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ 0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0 20 40 60 80 100

Aproximando-se à Normal...

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arial

em Es

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arial

Considere o experimento: retiram-se 100 bolas da urna (com reposição). Define-se uma v.a. Xcujos valores representam o número total de bolas vermelhas dentre as 100 escolhidas.Calcule: P(30 ≤ X ≤ 51)

2100 0,4n p= = = 0,08

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ão e 100 0,4

5( ) 100*0,4 40

( ) 100*0,4 *0,6 24

n p

E X npVar X npq

= = == = =

~ (40,24)X N0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0 20 40 60 80 100

(30 51) ?P X≤ ≤ =30

(29,5 51,5) ?P X< < = (correção de continuidade)

29,5 40 51,5 4024 24

P Z− −⎛ ⎞< < =⎜ ⎟⎝ ⎠

0,9745 (valor exato para Binomial ⇒ 0,9752)

11

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arial

Exercícios

1) A cada 5 automóveis vendidos em uma concessionária, 1 éda cor preta. Em uma análise de 50 automóveis vendidos,qual a probabilidade de se vender:

a) Exatamente 10 pretos?

b) Pelo menos 10 pretos?

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ão e

2) Sabe-se que o percentual de inadimplentes para um cartãode crédito é de 5%. Se neste mês houveram 500 adesões aocartão, calcule a probabilidade de haver mais que 30inadimplentes.

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arial

Aproximação da Poisson à Normal Aproximação da Poisson à Normal

• O cálculo de probabilidade da Poisson também pode ser feitode forma aproximado pela normal

• Na prática considera-se que quando a média de ocorrências daPoisson é maior ou igual a 15 a aproximação é boa.

N i ã d P i l l t bé f

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ão e • Na aproximação da Poisson pela normal também faz-se

necessário a correção de continuidade.

Exemplo: Um laboratório recebe, em média, 100 amostras pormês para análise, qual a probabilidade que em um determinadomês o laboratório receba menos de 70 amostras para análise?

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arial

Distribuição logDistribuição log--normal normal

⎪⎩

⎪⎨

>=

−−

0,

,2

1)(

2)log(21

xo

oxexxf

μ

πσ

A fdp da log-normal é dada por:

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O gráfico :

12

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arial

em Es

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ica Em

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arial

• A distribuição de uma variável X segue uma log-normalquando log (X) segue a distribuição normal.

• Para o cálculo de probabilidade podemos fazer atransformação dos dados para log(X) e proceder como nadistribuição normal.

• Um exemplo típico de dados que seguem a distribuição log-normal é a distribuição da renda de uma certa população.

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Curso

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ão e

ç p p ç

•é muito usada para caracterizar tempo de vida de produtos emateriais. Isto inclui fadiga de metal, semicondutores, diodos eisolação elétrica.

Exemplo: Uma população de componentes, quando testada comaltos níveis de solicitação em laboratório, falharam de acordocom uma distribuição lognormal com µ=8,52 e σ=0,7. Qual é opercentual de falhas para 2000h de teste?

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arial

em Es

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ica Em

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arial Distribuição Gama Distribuição Gama

•A f.d.p de uma variável com distribuição gama é dada por:

( )⎪⎩

⎪⎨⎧ >Γ=

−−

Xpov

Xexsxf

xs

,0

0,)()(

1 ααα

G áfi

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Curso

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ão e

)!1()( −=Γ nn

⎩ p,

Sendo

Gráfico

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arial

em Es

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ica Em

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arial

• Esta distribuição depende dos parâmetros α e s, dos quaisse exige s > 1 e α > 0

•Usada para representar o tempo entre ocorrências de umevento, tais como a distribuição de intervalos entre calibraçõesde instrumentos, intervalos de tempo entre compras de umdeterminado item estocado, etc..

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Curso

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ão e

• A representação gráfica depende do valor de s

• Se s = 1 a fdp gama passa a ser uma exponencial, ou seja, aexponencial é um caso particular da gama.

• A média e a variância da distribuição gama são:

E(X) = s/α e Var (X) = s/α2

13

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ica Em

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arial

em Es

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ica Em

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arial

Distribuição Weibull Distribuição Weibull

• É uma distribuição com grande aplicação em teoria daconfiabilidade

• A v. a. X pode representar, por exemplo, a vida de umdeterminado componente.

• A f.d.p. de Weibull é definida por:

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Curso

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p p

⎩⎨⎧

<≥

=−−

0,00,

)(1

xxex

xfxβββ

• β é uma constante positiva

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arial

Outras Distribuições Outras Distribuições • Na estatística temos outras importantes distribuições deprobabilidades

• Essas distribuições são aplicadas na teoria das distribuiçõesamostrais e na inferência estatística

• neste tópico iremos ver de forma geral essas distribuições e

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Curso

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ão e suas aplicações serão abordadas

• as distribuições são t- Student; Qui-Quadrado (χ2) e F

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A Distribuição t de StudentDistribuição t de Student

É uma variável com distribuição t de students. Sua f.d.p. é dada por:

Se x é uma variável com distribuição normal de média µ evariância σ², então a função obtida a partir de uma amostra detamanho n de x:

nxt

/σμ−

=

( ) ( )[ ] ( )

⎟⎞

⎜⎛+Γ

+−2/1

2/12 gtg

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Curso

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( ) 0E X =( )

2gVar X

g=

~ gX t

(lê-se: X tem distribuição t de student com g graus de liberdade)

Propriedades:

tg

-∞ +∞0

( ) ( )[ ][ ]

∞<<∞⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Γ+Γ

= t- 12/

2/1gt

gggtf

π

G = n-1

14

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Distribuição t de StudentDistribuição t de Student

Características da distribuição de tCaracterísticas da distribuição de t::a) É simétrica em relação a média (semelhante adistribuição de z)b) Tem forma campanular. Valores de t dependem daflutuação da da média amostral e desvio padrão amostral.c) Quando n tende para infinito a distribuição t tende para a

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ão e

Curso

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ão e c) Quando n tende para infinito, a distribuição t tende para a

distribuição normal. Na prática, a aproximação éconsiderada boa quando n >30.A função t é muito utilizada para construção de intervalosde confiança de uma característica desconhecida e paraverificação de hipóteses a cerca de uma populaçãodistribuída normalmente.A f.d.p de t não é integrável analiticamente. Os cálculos deprobabilidade de t são obtidos por meio de tabela

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-∞ +∞0 t

(0 )gP T t< <

g 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,656 2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250

10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 12 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 13 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 14 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 15 1 341 1 753 2 131 2 602 2 947

Uso da tabela

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Curso

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ão e ( )g 15 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947

16 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 17 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 26 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 29 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 30 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 40 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 50 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 60 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660

120 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 ∞ 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576

10( 2,764) ?P T > =

10( 2,764) 0,01P T > =

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a e M

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ica Em

pres

arial

em Es

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ica Em

pres

arial

ExercícioPara cada uma das amostras abaixo obtidas de uma variávelcom distribuição normal, calcule a probabilidade associada afunção t:

a)n=10, probabilidade de t ser maior que 2,821b)n=5, probabilidade de t ser menor que -2,132c)n=41, probabilidade de t estar entre -2,021 e 2,021

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Curso

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ão e c)n 41, probabilidade de t estar entre 2,021 e 2,021

d) (-2,160 < t < a) = 0,95 com n=14e) P (a < t < 1,708) = 0,90 com n=26f) P (t > a) = 0,05 com n=21g) P (t < a) = 0,10 com n=10

15

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arial

em Es

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ica Em

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arial

Tabela 2. Limites unilaterais da distribuição t de Student ao nível α de probabilidade.

α GL 0.250 0.200 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001

1 1.000 1.376 1.963 3.078 6.314 12.706 31.821 63.656 318.289 2 0.816 1.061 1.386 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 22.328 3 0.765 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 10.214 4 0.741 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 7.173 5 0.727 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 5.894 6 0.718 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 5.208 7 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.785 8 0.706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 4.501 9 0.703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 4.297 10 0.700 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 4.144 11 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 4.025 12 0.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.930 13 0.694 0.870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.852 14 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.787 15 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.733 16 0.690 0.865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.686 17 0.689 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.646 18 0 688 0 862 1 067 1 330 1 734 2 101 2 552 2 878 3 610

Unive

rsida

de Fe

deUn

iversi

dade

Fede

Facu

ldade

deFa

culda

de de

Curso

de Es

pecia

lizaç

ão e

Curso

de Es

pecia

lizaç

ão e 18 0.688 0.862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.610

19 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.579 20 0.687 0.860 1.064 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.552 21 0.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.527 22 0.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.505 23 0.685 0.858 1.060 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.485 24 0.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.467 25 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.450 26 0.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.435 27 0.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.421 28 0.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.408 29 0.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.396 30 0.683 0.854 1.055 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.385 40 0.681 0.851 1.050 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 3.307 50 0.679 0.849 1.047 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678 3.261 60 0.679 0.848 1.045 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 3.232 80 0.678 0.846 1.043 1.292 1.664 1.990 2.374 2.639 3.195

100 0.677 0.845 1.042 1.290 1.660 1.984 2.364 2.626 3.174 120 0.677 0.845 1.041 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 3.160 240 0.676 0.843 1.039 1.285 1.651 1.970 2.342 2.596 3.125 480 0.675 0.842 1.038 1.283 1.648 1.965 2.334 2.586 3.107 700 0.675 0.842 1.037 1.283 1.647 1.963 2.332 2.583 3.102 1000 0.675 0.842 1.037 1.282 1.646 1.962 2.330 2.581 3.098

eral d

e Ube

rlând

iaera

l de U

berlâ

ndia

e Mate

mátic

a e M

atemá

tica

em Es

tatíst

ica Em

pres

arial

em Es

tatíst

ica Em

pres

arial

A distribuição de A distribuição de χχ2 2 (Qui(Qui--Quadrado)Quadrado)

Sejam Z1,Z2,...Zg uma amostra de g variáveis aleatórias com distribuição normal padrão. Dizemos que a função

222

21 ...² gZZZX +++=

Tem distribuição qui-quadrado e sua f.d.p é dada por:

Unive

rsida

de Fe

deUn

iversi

dade

Fede

Facu

ldade

deFa

culda

de de

Curso

de Es

pecia

lizaç

ão e

Curso

de Es

pecia

lizaç

ão e

2 1 22

1( ) 02 ( 2)

g xgf x x e x

g− −= ≥

Γ

( )E X g=

( ) 2Var X g=2~ gX χ

(lê-se: X tem distribuição qui-quadrado com g graus de liberdade)

0 +∞

g ≤ 2

0 +∞

g > 2

Propriedades:

eral d

e Ube

rlând

iaera

l de U

berlâ

ndia

e Mate

mátic

a e M

atemá

tica

em Es

tatíst

ica Em

pres

arial

em Es

tatíst

ica Em

pres

arial

Distribuição de Distribuição de χχ22

• Muito utilizada em inferência para avaliar se um conjunto dedados segue uma determinada distribuição teórica.

•Também é utilizada em estudos para verificar associação devariáveis qualitativas.

•Não é uma distribuição simétrica

Unive

rsida

de Fe

deUn

iversi

dade

Fede

Facu

ldade

deFa

culda

de de

Curso

de Es

pecia

lizaç

ão e

Curso

de Es

pecia

lizaç

ão e Não é uma distribuição simétrica

•é utilizada para verificar a probabilidade de ocorrência davariância de um única população

•Também possui seus valores tabelados. A Tabela de qui-quadrado também fornece probabilidade à direita do valortabelado

16

eral d

e Ube

rlând

iaera

l de U

berlâ

ndia

e Mate

mátic

a e M

atemá

tica

em Es

tatíst

ica Em

pres

arial

em Es

tatíst

ica Em

pres

arial

g 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,900 0,950 0,975 0,990 0,9951 7,88 6,63 5,02 3,84 2,71 0,016 0,0039 0,0010 0,00016 0,000042 10,60 9,21 7,38 5,99 4,61 0,21 0,10 0,051 0,020 0,0103 12,84 11,34 9,35 7,81 6,25 0,58 0,35 0,22 0,11 0,0724 14,86 13,28 11,14 9,49 7,78 1,06 0,71 0,48 0,30 0,215 16,75 15,09 12,83 11,07 9,24 1,61 1,15 0,83 0,55 0,416 18,55 16,81 14,45 12,59 10,64 2,20 1,64 1,24 0,87 0,687 20,28 18,48 16,01 14,07 12,02 2,83 2,17 1,69 1,24 0,998 21,95 20,09 17,53 15,51 13,36 3,49 2,73 2,18 1,65 1,349 23,59 21,67 19,02 16,92 14,68 4,17 3,33 2,70 2,09 1,73

10 25,19 23,21 20,48 18,31 15,99 4,87 3,94 3,25 2,56 2,1611 26,76 24,72 21,92 19,68 17,28 5,58 4,57 3,82 3,05 2,6012 28,30 26,22 23,34 21,03 18,55 6,30 5,23 4,40 3,57 3,0713 29,82 27,69 24,74 22,36 19,81 7,04 5,89 5,01 4,11 3,57

0 +∞2tχ

Uso da tabela

Unive

rsida

de Fe

deUn

iversi

dade

Fede

Facu

ldade

deFa

culda

de de

Curso

de Es

pecia

lizaç

ão e

Curso

de Es

pecia

lizaç

ão e 14 31,32 29,14 26,12 23,68 21,06 7,79 6,57 5,63 4,66 4,07

15 32,80 30,58 27,49 25,00 22,31 8,55 7,26 6,26 5,23 4,6016 34,27 32,00 28,85 26,30 23,54 9,31 7,96 6,91 5,81 5,1417 35,72 33,41 30,19 27,59 24,77 10,09 8,67 7,56 6,41 5,7018 37,16 34,81 31,53 28,87 25,99 10,86 9,39 8,23 7,01 6,2619 38,58 36,19 32,85 30,14 27,20 11,65 10,12 8,91 7,63 6,8420 40,00 37,57 34,17 31,41 28,41 12,44 10,85 9,59 8,26 7,4321 41,40 38,93 35,48 32,67 29,62 13,24 11,59 10,28 8,90 8,0322 42,80 40,29 36,78 33,92 30,81 14,04 12,34 10,98 9,54 8,6423 44,18 41,64 38,08 35,17 32,01 14,85 13,09 11,69 10,20 9,2624 45,56 42,98 39,36 36,42 33,20 15,66 13,85 12,40 10,86 9,8925 46,93 44,31 40,65 37,65 34,38 16,47 14,61 13,12 11,52 10,5226 48,29 45,64 41,92 38,89 35,56 17,29 15,38 13,84 12,20 11,1627 49,64 46,96 43,19 40,11 36,74 18,11 16,15 14,57 12,88 11,8128 50,99 48,28 44,46 41,34 37,92 18,94 16,93 15,31 13,56 12,4629 52,34 49,59 45,72 42,56 39,09 19,77 17,71 16,05 14,26 13,1230 53,67 50,89 46,98 43,77 40,26 20,60 18,49 16,79 14,95 13,7940 66,77 63,69 59,34 55,76 51,81 29,05 26,51 24,43 22,16 20,7150 79,49 76,15 71,42 67,50 63,17 37,69 34,76 32,36 29,71 27,9960 91,95 88,38 83,30 79,08 74,40 46,46 43,19 40,48 37,48 35,5370 104,21 100,43 95,02 90,53 85,53 55,33 51,74 48,76 45,44 43,2880 116,32 112,33 106,63 101,88 96,58 64,28 60,39 57,15 53,54 51,1790 128,30 124,12 118,14 113,15 107,57 73,29 69,13 65,65 61,75 59,20

100 140,17 135,81 129,56 124,34 118,50 82,36 77,93 74,22 70,06 67,33

2 2( )g tP χ χ>

210( 3,25) ?P χ > =

210( 3,25) 0,975P χ > =

eral d

e Ube

rlând

iaera

l de U

berlâ

ndia

e Mate

mátic

a e M

atemá

tica

em Es

tatíst

ica Em

pres

arial

em Es

tatíst

ica Em

pres

arial

g 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,900 0,950 0,975 0,990 0,9951 7,88 6,63 5,02 3,84 2,71 0,016 0,0039 0,0010 0,00016 0,000042 10,60 9,21 7,38 5,99 4,61 0,21 0,10 0,051 0,020 0,0103 12,84 11,34 9,35 7,81 6,25 0,58 0,35 0,22 0,11 0,0724 14,86 13,28 11,14 9,49 7,78 1,06 0,71 0,48 0,30 0,215 16,75 15,09 12,83 11,07 9,24 1,61 1,15 0,83 0,55 0,416 18,55 16,81 14,45 12,59 10,64 2,20 1,64 1,24 0,87 0,687 20,28 18,48 16,01 14,07 12,02 2,83 2,17 1,69 1,24 0,998 21,95 20,09 17,53 15,51 13,36 3,49 2,73 2,18 1,65 1,349 23,59 21,67 19,02 16,92 14,68 4,17 3,33 2,70 2,09 1,73

10 25,19 23,21 20,48 18,31 15,99 4,87 3,94 3,25 2,56 2,1611 26,76 24,72 21,92 19,68 17,28 5,58 4,57 3,82 3,05 2,6012 28,30 26,22 23,34 21,03 18,55 6,30 5,23 4,40 3,57 3,0713 29,82 27,69 24,74 22,36 19,81 7,04 5,89 5,01 4,11 3,57

0 +∞2tχ

Exemplos

Unive

rsida

de Fe

deUn

iversi

dade

Fede

Facu

ldade

deFa

culda

de de

Curso

de Es

pecia

lizaç

ão e

Curso

de Es

pecia

lizaç

ão e 14 31,32 29,14 26,12 23,68 21,06 7,79 6,57 5,63 4,66 4,07

15 32,80 30,58 27,49 25,00 22,31 8,55 7,26 6,26 5,23 4,6016 34,27 32,00 28,85 26,30 23,54 9,31 7,96 6,91 5,81 5,1417 35,72 33,41 30,19 27,59 24,77 10,09 8,67 7,56 6,41 5,7018 37,16 34,81 31,53 28,87 25,99 10,86 9,39 8,23 7,01 6,2619 38,58 36,19 32,85 30,14 27,20 11,65 10,12 8,91 7,63 6,8420 40,00 37,57 34,17 31,41 28,41 12,44 10,85 9,59 8,26 7,4321 41,40 38,93 35,48 32,67 29,62 13,24 11,59 10,28 8,90 8,0322 42,80 40,29 36,78 33,92 30,81 14,04 12,34 10,98 9,54 8,6423 44,18 41,64 38,08 35,17 32,01 14,85 13,09 11,69 10,20 9,2624 45,56 42,98 39,36 36,42 33,20 15,66 13,85 12,40 10,86 9,8925 46,93 44,31 40,65 37,65 34,38 16,47 14,61 13,12 11,52 10,5226 48,29 45,64 41,92 38,89 35,56 17,29 15,38 13,84 12,20 11,1627 49,64 46,96 43,19 40,11 36,74 18,11 16,15 14,57 12,88 11,8128 50,99 48,28 44,46 41,34 37,92 18,94 16,93 15,31 13,56 12,4629 52,34 49,59 45,72 42,56 39,09 19,77 17,71 16,05 14,26 13,1230 53,67 50,89 46,98 43,77 40,26 20,60 18,49 16,79 14,95 13,7940 66,77 63,69 59,34 55,76 51,81 29,05 26,51 24,43 22,16 20,7150 79,49 76,15 71,42 67,50 63,17 37,69 34,76 32,36 29,71 27,9960 91,95 88,38 83,30 79,08 74,40 46,46 43,19 40,48 37,48 35,5370 104,21 100,43 95,02 90,53 85,53 55,33 51,74 48,76 45,44 43,2880 116,32 112,33 106,63 101,88 96,58 64,28 60,39 57,15 53,54 51,1790 128,30 124,12 118,14 113,15 107,57 73,29 69,13 65,65 61,75 59,20

100 140,17 135,81 129,56 124,34 118,50 82,36 77,93 74,22 70,06 67,33

2 2( )g tP χ χ>

210( 3,25) ?P χ > =

210( 3,25) 0,975P χ > =

215( ?) 0,9P χ > =

215( 8,55) 0,9P χ > =

eral d

e Ube

rlând

iaera

l de U

berlâ

ndia

e Mate

mátic

a e M

atemá

tica

em Es

tatíst

ica Em

pres

arial

em Es

tatíst

ica Em

pres

arial

Exemplo: Obter os seguintes valores da distribuição de χ2:a) P (χ2 > a) = 0,025 com 21 g.l.b) P (χ2 < a) = 0,025 com 21 g.l.c) P(χ2 > a) = 0,95 com 15 g. l.d) P(χ2 > a) = 0,10 com 11 g. l.e) P (7,26 < χ2 < a) = 0,90 com 15 g.l.f) P (a < χ2 < 34,17) = 0,95 com 20 g.l.g) P (19,768 < χ2 < 45,722) = k com 29 g.l.

Unive

rsida

de Fe

deUn

iversi

dade

Fede

Facu

ldade

deFa

culda

de de

Curso

de Es

pecia

lizaç

ão e

Curso

de Es

pecia

lizaç

ão e

g) ( χ ) gh) P(χ2 >9,488) = K com 4 g.l.i) P(χ2 < 30,191) = K com 17 g.l.j) P(χ2 > 8,343) = K com 9 gk) P(χ2 < 5,009) = K com 13 g.l.

17

eral d

e Ube

rlând

iaera

l de U

berlâ

ndia

e Mate

mátic

a e M

atemá

tica

em Es

tatíst

ica Em

pres

arial

em Es

tatíst

ica Em

pres

arial

Tabela3. Limites unilaterais da distribuição de χ2 ao nível α de probabilidade. α

GL 0.995 0.99 0.975 0.95 0.9 0.75 0.5 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 1 0.0000 0.0002 0.0010 0.0039 0.0158 0.1015 0.4549 1.3233 2.7055 3.8415 5.0239 6.6349 7.8794 2 0.0100 0.0201 0.0506 0.1026 0.2107 0.5754 1.3863 2.7726 4.6052 5.9915 7.3778 9.2104 10.5965 3 0.0717 0.1148 0.2158 0.3518 0.5844 1.2125 2.3660 4.1083 6.2514 7.8147 9.3484 11.3449 12.8381 4 0.2070 0.2971 0.4844 0.7107 1.0636 1.9226 3.3567 5.3853 7.7794 9.4877 11.1433 13.2767 14.8602 5 0.4118 0.5543 0.8312 1.1455 1.6103 2.6746 4.3515 6.6257 9.2363 11.0705 12.8325 15.0863 16.7496 6 0.6757 0.8721 1.2373 1.6354 2.2041 3.4546 5.3481 7.8408 10.6446 12.5916 14.4494 16.8119 18.5475 7 0.9893 1.2390 1.6899 2.1673 2.8331 4.2549 6.3458 9.0371 12.0170 14.0671 16.0128 18.4753 20.2777 8 1.3444 1.6465 2.1797 2.7326 3.4895 5.0706 7.3441 10.2189 13.3616 15.5073 17.5345 20.0902 21.9549 9 1.7349 2.0879 2.7004 3.3251 4.1682 5.8988 8.3428 11.3887 14.6837 16.9190 19.0228 21.6660 23.5893

10 2.1558 2.5582 3.2470 3.9403 4.8652 6.7372 9.3418 12.5489 15.9872 18.3070 20.4832 23.2093 25.1881 11 2.6032 3.0535 3.8157 4.5748 5.5778 7.5841 10.3410 13.7007 17.2750 19.6752 21.9200 24.7250 26.7569 12 3.0738 3.5706 4.4038 5.2260 6.3038 8.4384 11.3403 14.8454 18.5493 21.0261 23.3367 26.2170 28.2997 13 3.5650 4.1069 5.0087 5.8919 7.0415 9.2991 12.3398 15.9839 19.8119 22.3620 24.7356 27.6882 29.8193 14 4.0747 4.6604 5.6287 6.5706 7.7895 10.1653 13.3393 17.1169 21.0641 23.6848 26.1189 29.1412 31.3194 15 4.6009 5.2294 6.2621 7.2609 8.5468 11.0365 14.3389 18.2451 22.3071 24.9958 27.4884 30.5780 32.8015 16 5.1422 5.8122 6.9077 7.9616 9.3122 11.9122 15.3385 19.3689 23.5418 26.2962 28.8453 31.9999 34.2671

Unive

rsida

de Fe

deUn

iversi

dade

Fede

Facu

ldade

deFa

culda

de de

Curso

de Es

pecia

lizaç

ão e

Curso

de Es

pecia

lizaç

ão e 17 5.6973 6.4077 7.5642 8.6718 10.0852 12.7919 16.3382 20.4887 24.7690 27.5871 30.1910 33.4087 35.7184

18 6.2648 7.0149 8.2307 9.3904 10.8649 13.6753 17.3379 21.6049 25.9894 28.8693 31.5264 34.8052 37.1564 19 6.8439 7.6327 8.9065 10.1170 11.6509 14.5620 18.3376 22.7178 27.2036 30.1435 32.8523 36.1908 38.5821 20 7.4338 8.2604 9.5908 10.8508 12.4426 15.4518 19.3374 23.8277 28.4120 31.4104 34.1696 37.5663 39.9969 21 8.0336 8.8972 10.2829 11.5913 13.2396 16.3444 20.3372 24.9348 29.6151 32.6706 35.4789 38.9322 41.4009 22 8.6427 9.5425 10.9823 12.3380 14.0415 17.2396 21.3370 26.0393 30.8133 33.9245 36.7807 40.2894 42.7957 23 9.2604 10.1957 11.6885 13.0905 14.8480 18.1373 22.3369 27.1413 32.0069 35.1725 38.0756 41.6383 44.1814 24 9.8862 10.8563 12.4011 13.8484 15.6587 19.0373 23.3367 28.2412 33.1962 36.4150 39.3641 42.9798 45.5584 25 10.5196 11.5240 13.1197 14.6114 16.4734 19.9393 24.3366 29.3388 34.3816 37.6525 40.6465 44.3140 46.9280 26 11.1602 12.1982 13.8439 15.3792 17.2919 20.8434 25.3365 30.4346 35.5632 38.8851 41.9231 45.6416 48.2898 27 11.8077 12.8785 14.5734 16.1514 18.1139 21.7494 26.3363 31.5284 36.7412 40.1133 43.1945 46.9628 49.6450 28 12.4613 13.5647 15.3079 16.9279 18.9392 22.6572 27.3362 32.6205 37.9159 41.3372 44.4608 48.2782 50.9936 29 13.1211 14.2564 16.0471 17.7084 19.7677 23.5666 28.3361 33.7109 39.0875 42.5569 45.7223 49.5878 52.3355 30 13.7867 14.9535 16.7908 18.4927 20.5992 24.4776 29.3360 34.7997 40.2560 43.7730 46.9792 50.8922 53.6719 40 20.7066 22.1642 24.4331 26.5093 29.0505 33.6603 39.3353 45.6160 51.8050 55.7585 59.3417 63.6908 66.7660 50 27.9908 29.7067 32.3574 34.7642 37.6886 42.9421 49.3349 56.3336 63.1671 67.5048 71.4202 76.1538 79.4898 60 35.5344 37.4848 40.4817 43.1880 46.4589 52.2938 59.3347 66.9815 74.3970 79.0820 83.2977 88.3794 91.9518 100 67.3275 70.0650 74.2219 77.9294 82.3581 90.1332 99.3341 109.1412 118.4980 124.3421 129.5613 135.8069 140.1697120 83.8517 86.9233 91.5726 95.7046 100.6236 109.2197 119.3340 130.0546 140.2326 146.5673 152.2113 158.9500 163.6485240 187.3241 191.9897 198.9838 205.1354 212.3856 224.8820 239.3337 254.3918 268.4707 277.1377 284.8025 293.8881 300.1826480 403.9488 410.8739 421.1886 430.1981 440.7454 458.7543 479.3335 500.5192 520.1110 532.0753 542.5989 555.0066 563.5606

eral d

e Ube

rlând

iaera

l de U

berlâ

ndia

e Mate

mátic

a e M

atemá

tica

em Es

tatíst

ica Em

pres

arial

em Es

tatíst

ica Em

pres

arial

/ 2 ( ) 2+

0 +∞

A distribuição FSejam X e Y duas variáveis com distribuição qui-quadradocom gl iguais a g e h. A razão de X e Y:

hYgXF

//

=

Tem distribuição F e sua f.d.p é dada por:

Unive

rsida

de Fe

deUn

iversi

dade

Fede

Facu

ldade

deFa

culda

de de

Curso

de Es

pecia

lizaç

ão e

Curso

de Es

pecia

lizaç

ão e 1 1 2

1

/ 2 ( ) 2/ 2 11 2 1 1

1 2 2 2

[( ) 2]( ) 1 0( 2) ( 2)

g g ggg g g gf x x x x

g g g g

− +

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞Γ += + ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟Γ Γ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

2

( )2

gE Xg

=−

22 1 2

21 2 2

2 ( 2)( )( 2) ( 4)g g gVar X

g g g+ −

=− −

(lê-se: X tem distribuição F com g1 e g2 graus de liberdade)

eral d

e Ube

rlând

iaera

l de U

berlâ

ndia

e Mate

mátic

a e M

atemá

tica

em Es

tatíst

ica Em

pres

arial

em Es

tatíst

ica Em

pres

arial

Distribuição Distribuição FF

•Muito utilizada em planejamento de experimentos paraverificar influência de fatores qualitativos em uma variável deinteresse.

•Também é utilizada para verificar a relação entre asvariâncias de uma característica em duas populações

Unive

rsida

de Fe

deUn

iversi

dade

Fede

Facu

ldade

deFa

culda

de de

Curso

de Es

pecia

lizaç

ão e

Curso

de Es

pecia

lizaç

ão e

•Não é uma distribuição simétrica

• Tem origem no zero•A Tabela de F também fornece probabilidade à direita do valor tabelado.

18

eral d

e Ube

rlând

iaera

l de U

berlâ

ndia

e Mate

mátic

a e M

atemá

tica

em Es

tatíst

ica Em

pres

arial

em Es

tatíst

ica Em

pres

arial

0 +∞F

( ) 0,025g gP F F> =

g1

Uso da Tabela

Unive

rsida

de Fe

deUn

iversi

dade

Fede

Facu

ldade

deFa

culda

de de

Curso

de Es

pecia

lizaç

ão e

Curso

de Es

pecia

lizaç

ão e 1 2,( ) ,g g

g2

15,20( ?) 0,025P F > =

15,20( 2,57) 0,025P F > =

eral d

e Ube

rlând

iaera

l de U

berlâ

ndia

e Mate

mátic

a e M

atemá

tica

em Es

tatíst

ica Em

pres

arial

em Es

tatíst

ica Em

pres

arial

0 +∞F

( ) 0,025g gP F F> =

g1

Exemplo

Unive

rsida

de Fe

deUn

iversi

dade

Fede

Facu

ldade

deFa

culda

de de

Curso

de Es

pecia

lizaç

ão e

Curso

de Es

pecia

lizaç

ão e 1 2,( ) ,g g

g2

25,5( ?) 0,025P F < =

5,25( ?) 0,025P F > =

eral d

e Ube

rlând

iaera

l de U

berlâ

ndia

e Mate

mátic

a e M

atemá

tica

em Es

tatíst

ica Em

pres

arial

em Es

tatíst

ica Em

pres

arial

0 +∞F

1 2( ) 0,025g gP F F> =

g1

Exemplo

Unive

rsida

de Fe

deUn

iversi

dade

Fede

Facu

ldade

deFa

culda

de de

Curso

de Es

pecia

lizaç

ão e

Curso

de Es

pecia

lizaç

ão e 1 2,( ) ,g g

g2

25,5( ?) 0,025P F < =

5,25( 3,13) 0,025P F > =

5,25( ?) 0,025P F > =

25,51( ) 0,025

3,13P F < =

25,5( 0,319) 0,025P F < =

19

eral d

e Ube

rlând

iaera

l de U

berlâ

ndia

e Mate

mátic

a e M

atemá

tica

em Es

tatíst

ica Em

pres

arial

em Es

tatíst

ica Em

pres

arial

Exemplo: Obter os seguintes valores da distribuição F de Snedecor:a) P(F > a) = 0,10 com v1 = 5 e v2 = 25 g.l.b) P(F < a) = 0,90 com n1 = 6 e n2 = 26 g.l.c) P(F > a) = 0,05 com v1 = 13 e v2 = 29 g.l.d) P(F > 1,84) = k com v1 = 20 e v2 = 40 g.l.e) P(F > 1,96) = k com v1 = 40 e v2 = 21 g.l.g) P(F< 6,37) = k com v1 = 6 e v2 = 8 g. l.

Unive

rsida

de Fe

deUn

iversi

dade

Fede

Facu

ldade

deFa

culda

de de

Curso

de Es

pecia

lizaç

ão e

Curso

de Es

pecia

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arial

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arial

Tabela 4. Limites unilaterais da distribuição F de Fisher-Snedecor ao nível de 10% de probabilidade. GL V1 V2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 40 60 120 240 1 39.864 49.500 53.593 55.833 57.240 58.204 58.906 59.439 59.857 60.195 60.473 60.705 60.902 61.073 61.220 61.740 62.529 62.794 63.061 63.1942 8.526 9.000 9.162 9.243 9.293 9.326 9.349 9.367 9.381 9.392 9.401 9.408 9.415 9.420 9.425 9.441 9.466 9.475 9.483 9.487 3 5.538 5.462 5.391 5.343 5.309 5.285 5.266 5.252 5.240 5.230 5.222 5.216 5.210 5.205 5.200 5.184 5.160 5.151 5.143 5.138 4 4.545 4.325 4.191 4.107 4.051 4.010 3.979 3.955 3.936 3.920 3.907 3.896 3.886 3.878 3.870 3.844 3.804 3.790 3.775 3.768 5 4.060 3.780 3.619 3.520 3.453 3.405 3.368 3.339 3.316 3.297 3.282 3.268 3.257 3.247 3.238 3.207 3.157 3.140 3.123 3.114 6 3.776 3.463 3.289 3.181 3.108 3.055 3.014 2.983 2.958 2.937 2.920 2.905 2.892 2.881 2.871 2.836 2.781 2.762 2.742 2.732 7 3.589 3.257 3.074 2.961 2.883 2.827 2.785 2.752 2.725 2.703 2.684 2.668 2.654 2.643 2.632 2.595 2.535 2.514 2.493 2.482 8 3.458 3.113 2.924 2.806 2.726 2.668 2.624 2.589 2.561 2.538 2.519 2.502 2.488 2.475 2.464 2.425 2.361 2.339 2.316 2.304 9 3.360 3.006 2.813 2.693 2.611 2.551 2.505 2.469 2.440 2.416 2.396 2.379 2.364 2.351 2.340 2.298 2.232 2.208 2.184 2.172 10 3.285 2.924 2.728 2.605 2.522 2.461 2.414 2.377 2.347 2.323 2.302 2.284 2.269 2.255 2.244 2.201 2.132 2.107 2.082 2.069 11 3.225 2.860 2.660 2.536 2.451 2.389 2.342 2.304 2.274 2.248 2.227 2.209 2.193 2.179 2.167 2.123 2.052 2.026 2.000 1.986 12 3.177 2.807 2.606 2.480 2.394 2.331 2.283 2.245 2.214 2.188 2.166 2.147 2.131 2.117 2.105 2.060 1.986 1.960 1.932 1.918 13 3.136 2.763 2.560 2.434 2.347 2.283 2.234 2.195 2.164 2.138 2.116 2.097 2.080 2.066 2.053 2.007 1.931 1.904 1.876 1.861 14 3.102 2.726 2.522 2.395 2.307 2.243 2.193 2.154 2.122 2.095 2.073 2.054 2.037 2.022 2.010 1.962 1.885 1.857 1.828 1.813 15 3.073 2.695 2.490 2.361 2.273 2.208 2.158 2.119 2.086 2.059 2.037 2.017 2.000 1.985 1.972 1.924 1.845 1.817 1.787 1.771 16 3.048 2.668 2.462 2.333 2.244 2.178 2.128 2.088 2.055 2.028 2.005 1.985 1.968 1.953 1.940 1.891 1.811 1.782 1.751 1.735 17 3.026 2.645 2.437 2.308 2.218 2.152 2.102 2.061 2.028 2.001 1.978 1.958 1.940 1.925 1.912 1.862 1.781 1.751 1.719 1.703

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ão e 18 3.007 2.624 2.416 2.286 2.196 2.130 2.079 2.038 2.005 1.977 1.954 1.933 1.916 1.900 1.887 1.837 1.754 1.723 1.691 1.674

19 2.990 2.606 2.397 2.266 2.176 2.109 2.058 2.017 1.984 1.956 1.932 1.912 1.894 1.878 1.865 1.814 1.730 1.699 1.666 1.649 20 2.975 2.589 2.380 2.249 2.158 2.091 2.040 1.999 1.965 1.937 1.913 1.892 1.875 1.859 1.845 1.794 1.708 1.677 1.643 1.626 21 2.961 2.575 2.365 2.233 2.142 2.075 2.023 1.982 1.948 1.920 1.896 1.875 1.857 1.841 1.827 1.776 1.689 1.657 1.623 1.605 22 2.949 2.561 2.351 2.219 2.128 2.060 2.008 1.967 1.933 1.904 1.880 1.859 1.841 1.825 1.811 1.759 1.671 1.639 1.604 1.586 23 2.937 2.549 2.339 2.207 2.115 2.047 1.995 1.953 1.919 1.890 1.866 1.845 1.827 1.811 1.796 1.744 1.655 1.622 1.587 1.568 24 2.927 2.538 2.327 2.195 2.103 2.035 1.983 1.941 1.906 1.877 1.853 1.832 1.814 1.797 1.783 1.730 1.641 1.607 1.571 1.552 25 2.918 2.528 2.317 2.184 2.092 2.024 1.971 1.929 1.895 1.866 1.841 1.820 1.802 1.785 1.771 1.718 1.627 1.593 1.557 1.538 26 2.909 2.519 2.307 2.174 2.082 2.014 1.961 1.919 1.884 1.855 1.830 1.809 1.790 1.774 1.760 1.706 1.615 1.581 1.544 1.524 27 2.901 2.511 2.299 2.165 2.073 2.005 1.952 1.909 1.874 1.845 1.820 1.799 1.780 1.764 1.749 1.695 1.603 1.569 1.531 1.511 28 2.894 2.503 2.291 2.157 2.064 1.996 1.943 1.900 1.865 1.836 1.811 1.790 1.771 1.754 1.740 1.685 1.592 1.558 1.520 1.500 29 2.887 2.495 2.283 2.149 2.057 1.988 1.935 1.892 1.857 1.827 1.802 1.781 1.762 1.745 1.731 1.676 1.583 1.547 1.509 1.489 30 2.881 2.489 2.276 2.142 2.049 1.980 1.927 1.884 1.849 1.819 1.794 1.773 1.754 1.737 1.722 1.667 1.573 1.538 1.499 1.478 40 2.835 2.440 2.226 2.091 1.997 1.927 1.873 1.829 1.793 1.763 1.737 1.715 1.695 1.678 1.662 1.605 1.506 1.467 1.425 1.402 50 2.809 2.412 2.197 2.061 1.966 1.895 1.840 1.796 1.760 1.729 1.703 1.680 1.660 1.643 1.627 1.568 1.465 1.424 1.379 1.354 60 2.791 2.393 2.177 2.041 1.946 1.875 1.819 1.775 1.738 1.707 1.680 1.657 1.637 1.619 1.603 1.543 1.437 1.395 1.348 1.321 80 2.769 2.370 2.154 2.016 1.921 1.849 1.793 1.748 1.711 1.680 1.653 1.629 1.609 1.590 1.574 1.513 1.403 1.358 1.307 1.278

100 2.756 2.356 2.139 2.002 1.906 1.834 1.778 1.732 1.695 1.663 1.636 1.612 1.592 1.573 1.557 1.494 1.382 1.336 1.282 1.250 120 2.748 2.347 2.130 1.992 1.896 1.824 1.767 1.722 1.684 1.652 1.625 1.601 1.580 1.562 1.545 1.482 1.368 1.320 1.265 1.232 240 2.727 2.325 2.107 1.968 1.871 1.799 1.742 1.696 1.658 1.625 1.598 1.573 1.552 1.533 1.516 1.451 1.332 1.281 1.219 1.180

eral d

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em Es

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arial

Tabela 5. Limites unilaterais da distribuição F de Fisher-Snedecor ao nível de 5% de probabilidade. GL V1 V2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 40 60 120 240 1 161.4 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5 241.9 243.0 243.9 244.7 245.4 245.9 248.0 251.1 252.2 253.3 253.8 2 18.513 19.000 19.164 19.247 19.296 19.329 19.353 19.371 19.385 19.396 19.405 19.412 19.419 19.424 19.429 19.446 19.471 19.479 19.487 19.4923 10.128 9.552 9.277 9.117 9.013 8.941 8.887 8.845 8.812 8.785 8.763 8.745 8.729 8.715 8.703 8.660 8.594 8.572 8.549 8.538 4 7.709 6.944 6.591 6.388 6.256 6.163 6.094 6.041 5.999 5.964 5.936 5.912 5.891 5.873 5.858 5.803 5.717 5.688 5.658 5.643 5 6.608 5.786 5.409 5.192 5.050 4.950 4.876 4.818 4.772 4.735 4.704 4.678 4.655 4.636 4.619 4.558 4.464 4.431 4.398 4.382 6 5.987 5.143 4.757 4.534 4.387 4.284 4.207 4.147 4.099 4.060 4.027 4.000 3.976 3.956 3.938 3.874 3.774 3.740 3.705 3.687 7 5.591 4.737 4.347 4.120 3.972 3.866 3.787 3.726 3.677 3.637 3.603 3.575 3.550 3.529 3.511 3.445 3.340 3.304 3.267 3.249 8 5.318 4.459 4.066 3.838 3.688 3.581 3.500 3.438 3.388 3.347 3.313 3.284 3.259 3.237 3.218 3.150 3.043 3.005 2.967 2.947 9 5.117 4.256 3.863 3.633 3.482 3.374 3.293 3.230 3.179 3.137 3.102 3.073 3.048 3.025 3.006 2.936 2.826 2.787 2.748 2.727 10 4.965 4.103 3.708 3.478 3.326 3.217 3.135 3.072 3.020 2.978 2.943 2.913 2.887 2.865 2.845 2.774 2.661 2.621 2.580 2.559 11 4.844 3.982 3.587 3.357 3.204 3.095 3.012 2.948 2.896 2.854 2.818 2.788 2.761 2.739 2.719 2.646 2.531 2.490 2.448 2.426 12 4.747 3.885 3.490 3.259 3.106 2.996 2.913 2.849 2.796 2.753 2.717 2.687 2.660 2.637 2.617 2.544 2.426 2.384 2.341 2.319 13 4.667 3.806 3.411 3.179 3.025 2.915 2.832 2.767 2.714 2.671 2.635 2.604 2.577 2.554 2.533 2.459 2.339 2.297 2.252 2.230 14 4.600 3.739 3.344 3.112 2.958 2.848 2.764 2.699 2.646 2.602 2.565 2.534 2.507 2.484 2.463 2.388 2.266 2.223 2.178 2.155 15 4.543 3.682 3.287 3.056 2.901 2.790 2.707 2.641 2.588 2.544 2.507 2.475 2.448 2.424 2.403 2.328 2.204 2.160 2.114 2.090 16 4.494 3.634 3.239 3.007 2.852 2.741 2.657 2.591 2.538 2.494 2.456 2.425 2.397 2.373 2.352 2.276 2.151 2.106 2.059 2.035

Unive

rsida

de Fe

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Fede

Facu

ldade

deFa

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Curso

de Es

pecia

lizaç

ão e

Curso

de Es

pecia

lizaç

ão e 17 4.451 3.592 3.197 2.965 2.810 2.699 2.614 2.548 2.494 2.450 2.413 2.381 2.353 2.329 2.308 2.230 2.104 2.058 2.011 1.986

18 4.414 3.555 3.160 2.928 2.773 2.661 2.577 2.510 2.456 2.412 2.374 2.342 2.314 2.290 2.269 2.191 2.063 2.017 1.968 1.943 19 4.381 3.522 3.127 2.895 2.740 2.628 2.544 2.477 2.423 2.378 2.340 2.308 2.280 2.256 2.234 2.155 2.026 1.980 1.930 1.905 20 4.351 3.493 3.098 2.866 2.711 2.599 2.514 2.447 2.393 2.348 2.310 2.278 2.250 2.225 2.203 2.124 1.994 1.946 1.896 1.870 21 4.325 3.467 3.072 2.840 2.685 2.573 2.488 2.420 2.366 2.321 2.283 2.250 2.222 2.197 2.176 2.096 1.965 1.916 1.866 1.839 22 4.301 3.443 3.049 2.817 2.661 2.549 2.464 2.397 2.342 2.297 2.259 2.226 2.198 2.173 2.151 2.071 1.938 1.889 1.838 1.811 23 4.279 3.422 3.028 2.796 2.640 2.528 2.442 2.375 2.320 2.275 2.236 2.204 2.175 2.150 2.128 2.048 1.914 1.865 1.813 1.785 24 4.260 3.403 3.009 2.776 2.621 2.508 2.423 2.355 2.300 2.255 2.216 2.183 2.155 2.130 2.108 2.027 1.892 1.842 1.790 1.762 25 4.242 3.385 2.991 2.759 2.603 2.490 2.405 2.337 2.282 2.236 2.198 2.165 2.136 2.111 2.089 2.007 1.872 1.822 1.768 1.740 26 4.225 3.369 2.975 2.743 2.587 2.474 2.388 2.321 2.265 2.220 2.181 2.148 2.119 2.094 2.072 1.990 1.853 1.803 1.749 1.720 27 4.210 3.354 2.960 2.728 2.572 2.459 2.373 2.305 2.250 2.204 2.166 2.132 2.103 2.078 2.056 1.974 1.836 1.785 1.731 1.702 28 4.196 3.340 2.947 2.714 2.558 2.445 2.359 2.291 2.236 2.190 2.151 2.118 2.089 2.064 2.041 1.959 1.820 1.769 1.714 1.685 29 4.183 3.328 2.934 2.701 2.545 2.432 2.346 2.278 2.223 2.177 2.138 2.104 2.075 2.050 2.027 1.945 1.806 1.754 1.698 1.669 30 4.171 3.316 2.922 2.690 2.534 2.421 2.334 2.266 2.211 2.165 2.126 2.092 2.063 2.037 2.015 1.932 1.792 1.740 1.683 1.654 40 4.085 3.232 2.839 2.606 2.449 2.336 2.249 2.180 2.124 2.077 2.038 2.003 1.974 1.948 1.924 1.839 1.693 1.637 1.577 1.544 50 4.034 3.183 2.790 2.557 2.400 2.286 2.199 2.130 2.073 2.026 1.986 1.952 1.921 1.895 1.871 1.784 1.634 1.576 1.511 1.476 60 4.001 3.150 2.758 2.525 2.368 2.254 2.167 2.097 2.040 1.993 1.952 1.917 1.887 1.860 1.836 1.748 1.594 1.534 1.467 1.430 80 3.960 3.111 2.719 2.486 2.329 2.214 2.126 2.056 1.999 1.951 1.910 1.875 1.845 1.817 1.793 1.703 1.545 1.482 1.411 1.370

100 3.936 3.087 2.696 2.463 2.305 2.191 2.103 2.032 1.975 1.927 1.886 1.850 1.819 1.792 1.768 1.676 1.515 1.450 1.376 1.333 120 3.920 3.072 2.680 2.447 2.290 2.175 2.087 2.016 1.959 1.910 1.869 1.834 1.803 1.775 1.750 1.659 1.495 1.429 1.352 1.307 240 3.881 3.033 2.642 2.409 2.252 2.136 2.048 1.977 1.919 1.870 1.829 1.793 1.761 1.733 1.708 1.614 1.445 1.375 1.290 1.237

20

eral d

e Ube

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arial

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pres

arial

Tabela 6. Limites unilaterais da distribuição F de Fisher-Snedecor ao nível de 2,5% de probabilidade. GL V1 V2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 40 60 120 240 1 647.8 799.5 864.2 899.6 921.8 937.1 948.2 956.6 963.3 968.6 973.0 976.7 979.8 982.5 984.9 993.1 1005.6 1009.8 1014.0 1016.12 38.506 39.000 39.166 39.248 39.298 39.331 39.356 39.373 39.387 39.398 39.407 39.415 39.421 39.427 39.431 39.448 39.473 39.481 39.489 39.4943 17.443 16.044 15.439 15.101 14.885 14.735 14.624 14.540 14.473 14.419 14.374 14.337 14.305 14.277 14.253 14.167 14.036 13.992 13.947 13.9254 12.218 10.649 9.979 9.604 9.364 9.197 9.074 8.980 8.905 8.844 8.794 8.751 8.715 8.684 8.657 8.560 8.411 8.360 8.309 8.283 5 10.007 8.434 7.764 7.388 7.146 6.978 6.853 6.757 6.681 6.619 6.568 6.525 6.488 6.456 6.428 6.329 6.175 6.123 6.069 6.042 6 8.813 7.260 6.599 6.227 5.988 5.820 5.695 5.600 5.523 5.461 5.410 5.366 5.329 5.297 5.269 5.168 5.012 4.959 4.904 4.877 7 8.073 6.542 5.890 5.523 5.285 5.119 4.995 4.899 4.823 4.761 4.709 4.666 4.628 4.596 4.568 4.467 4.309 4.254 4.199 4.171 8 7.571 6.059 5.416 5.053 4.817 4.652 4.529 4.433 4.357 4.295 4.243 4.200 4.162 4.130 4.101 3.999 3.840 3.784 3.728 3.699 9 7.209 5.715 5.078 4.718 4.484 4.320 4.197 4.102 4.026 3.964 3.912 3.868 3.831 3.798 3.769 3.667 3.505 3.449 3.392 3.363 10 6.937 5.456 4.826 4.468 4.236 4.072 3.950 3.855 3.779 3.717 3.665 3.621 3.583 3.550 3.522 3.419 3.255 3.198 3.140 3.110 11 6.724 5.256 4.630 4.275 4.044 3.881 3.759 3.664 3.588 3.526 3.474 3.430 3.392 3.359 3.330 3.226 3.061 3.004 2.944 2.914 12 6.554 5.096 4.474 4.121 3.891 3.728 3.607 3.512 3.436 3.374 3.321 3.277 3.239 3.206 3.177 3.073 2.906 2.848 2.787 2.756 13 6.414 4.965 4.347 3.996 3.767 3.604 3.483 3.388 3.312 3.250 3.197 3.153 3.115 3.082 3.053 2.948 2.780 2.720 2.659 2.628 14 6.298 4.857 4.242 3.892 3.663 3.501 3.380 3.285 3.209 3.147 3.095 3.050 3.012 2.979 2.949 2.844 2.674 2.614 2.552 2.520 15 6.200 4.765 4.153 3.804 3.576 3.415 3.293 3.199 3.123 3.060 3.008 2.963 2.925 2.891 2.862 2.756 2.585 2.524 2.461 2.429 16 6.115 4.687 4.077 3.729 3.502 3.341 3.219 3.125 3.049 2.986 2.934 2.889 2.851 2.817 2.788 2.681 2.509 2.447 2.383 2.350

Unive

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Curso

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ão e 17 6.042 4.619 4.011 3.665 3.438 3.277 3.156 3.061 2.985 2.922 2.870 2.825 2.786 2.753 2.723 2.616 2.442 2.380 2.315 2.282

18 5.978 4.560 3.954 3.608 3.382 3.221 3.100 3.005 2.929 2.866 2.814 2.769 2.730 2.696 2.667 2.559 2.384 2.321 2.256 2.222 19 5.922 4.508 3.903 3.559 3.333 3.172 3.051 2.956 2.880 2.817 2.765 2.720 2.681 2.647 2.617 2.509 2.333 2.270 2.203 2.169 20 5.871 4.461 3.859 3.515 3.289 3.128 3.007 2.913 2.837 2.774 2.721 2.676 2.637 2.603 2.573 2.464 2.287 2.223 2.156 2.121 21 5.827 4.420 3.819 3.475 3.250 3.090 2.969 2.874 2.798 2.735 2.682 2.637 2.598 2.564 2.534 2.425 2.246 2.182 2.114 2.079 22 5.786 4.383 3.783 3.440 3.215 3.055 2.934 2.839 2.763 2.700 2.647 2.602 2.563 2.528 2.498 2.389 2.210 2.145 2.076 2.040 23 5.750 4.349 3.750 3.408 3.183 3.023 2.902 2.808 2.731 2.668 2.615 2.570 2.531 2.497 2.466 2.357 2.176 2.111 2.041 2.005 24 5.717 4.319 3.721 3.379 3.155 2.995 2.874 2.779 2.703 2.640 2.586 2.541 2.502 2.468 2.437 2.327 2.146 2.080 2.010 1.973 25 5.686 4.291 3.694 3.353 3.129 2.969 2.848 2.753 2.677 2.613 2.560 2.515 2.476 2.441 2.411 2.300 2.118 2.052 1.981 1.944 26 5.659 4.265 3.670 3.329 3.105 2.945 2.824 2.729 2.653 2.590 2.536 2.491 2.452 2.417 2.387 2.276 2.093 2.026 1.954 1.917 27 5.633 4.242 3.647 3.307 3.083 2.923 2.802 2.707 2.631 2.568 2.514 2.469 2.429 2.395 2.364 2.253 2.069 2.002 1.930 1.892 28 5.610 4.221 3.626 3.286 3.063 2.903 2.782 2.687 2.611 2.547 2.494 2.448 2.409 2.374 2.344 2.232 2.048 1.980 1.907 1.869 29 5.588 4.201 3.607 3.267 3.044 2.884 2.763 2.669 2.592 2.529 2.475 2.430 2.390 2.355 2.325 2.213 2.028 1.959 1.886 1.847 30 5.568 4.182 3.589 3.250 3.026 2.867 2.746 2.651 2.575 2.511 2.458 2.412 2.372 2.338 2.307 2.195 2.009 1.940 1.866 1.827 40 5.424 4.051 3.463 3.126 2.904 2.744 2.624 2.529 2.452 2.388 2.334 2.288 2.248 2.213 2.182 2.068 1.875 1.803 1.724 1.682 50 5.340 3.975 3.390 3.054 2.833 2.674 2.553 2.458 2.381 2.317 2.263 2.216 2.176 2.140 2.109 1.993 1.796 1.721 1.639 1.594 60 5.286 3.925 3.343 3.008 2.786 2.627 2.507 2.412 2.334 2.270 2.216 2.169 2.129 2.093 2.061 1.944 1.744 1.667 1.581 1.534 80 5.218 3.864 3.284 2.950 2.730 2.571 2.450 2.355 2.277 2.213 2.158 2.111 2.071 2.035 2.003 1.884 1.679 1.599 1.508 1.457

100 5.179 3.828 3.250 2.917 2.696 2.537 2.417 2.321 2.244 2.179 2.124 2.077 2.036 2.000 1.968 1.849 1.640 1.558 1.463 1.409 120 5.152 3.805 3.227 2.894 2.674 2.515 2.395 2.299 2.222 2.157 2.102 2.055 2.014 1.977 1.945 1.825 1.614 1.530 1.433 1.376 240 5.088 3.746 3.171 2.839 2.620 2.461 2.341 2.245 2.167 2.102 2.047 1.999 1.958 1.921 1.888 1.766 1.549 1.460 1.354 1.289

eral d

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pres

arial

Tabela 7. Limites unilaterais da distribuição F de Fisher-Snedecor ao nível de 1,0% de probabilidade. GL V1 V2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 40 60 120 240 1 4052.2 4999.3 5403.5 5624.3 5764.0 5859.0 5928.3 5981.0 6022.4 6055.9 6083.4 6106.7 6125.8 6143.0 6157.0 6208.7 6286.4 6313.0 6339.5 6352.62 98.502 99.000 99.164 99.251 99.302 99.331 99.357 99.375 99.390 99.397 99.408 99.419 99.422 99.426 99.433 99.448 99.477 99.484 99.491 99.4953 34.116 30.816 29.457 28.710 28.237 27.911 27.671 27.489 27.345 27.228 27.132 27.052 26.983 26.924 26.872 26.690 26.411 26.316 26.221 26.1734 21.198 18.000 16.694 15.977 15.522 15.207 14.976 14.799 14.659 14.546 14.452 14.374 14.306 14.249 14.198 14.019 13.745 13.652 13.558 13.5115 16.258 13.274 12.060 11.392 10.967 10.672 10.456 10.289 10.158 10.051 9.963 9.888 9.825 9.770 9.722 9.553 9.291 9.202 9.112 9.066 6 13.745 10.925 9.780 9.148 8.746 8.466 8.260 8.102 7.976 7.874 7.790 7.718 7.657 7.605 7.559 7.396 7.143 7.057 6.969 6.925 7 12.246 9.547 8.451 7.847 7.460 7.191 6.993 6.840 6.719 6.620 6.538 6.469 6.410 6.359 6.314 6.155 5.908 5.824 5.737 5.694 8 11.259 8.649 7.591 7.006 6.632 6.371 6.178 6.029 5.911 5.814 5.734 5.667 5.609 5.559 5.515 5.359 5.116 5.032 4.946 4.903 9 10.562 8.022 6.992 6.422 6.057 5.802 5.613 5.467 5.351 5.257 5.178 5.111 5.055 5.005 4.962 4.808 4.567 4.483 4.398 4.354 10 10.044 7.559 6.552 5.994 5.636 5.386 5.200 5.057 4.942 4.849 4.772 4.706 4.650 4.601 4.558 4.405 4.165 4.082 3.996 3.953 11 9.646 7.206 6.217 5.668 5.316 5.069 4.886 4.744 4.632 4.539 4.462 4.397 4.342 4.293 4.251 4.099 3.860 3.776 3.690 3.647 12 9.330 6.927 5.953 5.412 5.064 4.821 4.640 4.499 4.388 4.296 4.220 4.155 4.100 4.052 4.010 3.858 3.619 3.535 3.449 3.405 13 9.074 6.701 5.739 5.205 4.862 4.620 4.441 4.302 4.191 4.100 4.025 3.960 3.905 3.857 3.815 3.665 3.425 3.341 3.255 3.210 14 8.862 6.515 5.564 5.035 4.695 4.456 4.278 4.140 4.030 3.939 3.864 3.800 3.745 3.698 3.656 3.505 3.266 3.181 3.094 3.050 15 8.683 6.359 5.417 4.893 4.556 4.318 4.142 4.004 3.895 3.805 3.730 3.666 3.612 3.564 3.522 3.372 3.132 3.047 2.959 2.914 16 8.531 6.226 5.292 4.773 4.437 4.202 4.026 3.890 3.780 3.691 3.616 3.553 3.498 3.451 3.409 3.259 3.018 2.933 2.845 2.799

Unive

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Curso

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ão e

Curso

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ão e 17 8.400 6.112 5.185 4.669 4.336 4.101 3.927 3.791 3.682 3.593 3.518 3.455 3.401 3.353 3.312 3.162 2.920 2.835 2.746 2.700

18 8.285 6.013 5.092 4.579 4.248 4.015 3.841 3.705 3.597 3.508 3.434 3.371 3.316 3.269 3.227 3.077 2.835 2.749 2.660 2.613 19 8.185 5.926 5.010 4.500 4.171 3.939 3.765 3.631 3.523 3.434 3.360 3.297 3.242 3.195 3.153 3.003 2.761 2.674 2.584 2.537 20 8.096 5.849 4.938 4.431 4.103 3.871 3.699 3.564 3.457 3.368 3.294 3.231 3.177 3.130 3.088 2.938 2.695 2.608 2.517 2.470 21 8.017 5.780 4.874 4.369 4.042 3.812 3.640 3.506 3.398 3.310 3.236 3.173 3.119 3.072 3.030 2.880 2.636 2.548 2.457 2.409 22 7.945 5.719 4.817 4.313 3.988 3.758 3.587 3.453 3.346 3.258 3.184 3.121 3.067 3.019 2.978 2.827 2.583 2.495 2.403 2.355 23 7.881 5.664 4.765 4.264 3.939 3.710 3.539 3.406 3.299 3.211 3.137 3.074 3.020 2.973 2.931 2.780 2.536 2.447 2.354 2.306 24 7.823 5.614 4.718 4.218 3.895 3.667 3.496 3.363 3.256 3.168 3.094 3.032 2.977 2.930 2.889 2.738 2.492 2.403 2.310 2.261 25 7.770 5.568 4.675 4.177 3.855 3.627 3.457 3.324 3.217 3.129 3.056 2.993 2.939 2.892 2.850 2.699 2.453 2.364 2.270 2.220 26 7.721 5.526 4.637 4.140 3.818 3.591 3.421 3.288 3.182 3.094 3.021 2.958 2.904 2.857 2.815 2.664 2.417 2.327 2.233 2.183 27 7.677 5.488 4.601 4.106 3.785 3.558 3.388 3.256 3.149 3.062 2.988 2.926 2.872 2.824 2.783 2.632 2.384 2.294 2.198 2.148 28 7.636 5.453 4.568 4.074 3.754 3.528 3.358 3.226 3.120 3.032 2.959 2.896 2.842 2.795 2.753 2.602 2.354 2.263 2.167 2.117 29 7.598 5.420 4.538 4.045 3.725 3.499 3.330 3.198 3.092 3.005 2.931 2.868 2.814 2.767 2.726 2.574 2.325 2.234 2.138 2.087 30 7.562 5.390 4.510 4.018 3.699 3.473 3.305 3.173 3.067 2.979 2.906 2.843 2.789 2.742 2.700 2.549 2.299 2.208 2.111 2.060 40 7.314 5.178 4.313 3.828 3.514 3.291 3.124 2.993 2.888 2.801 2.727 2.665 2.611 2.563 2.522 2.369 2.114 2.019 1.917 1.862 50 7.171 5.057 4.199 3.720 3.408 3.186 3.020 2.890 2.785 2.698 2.625 2.563 2.508 2.461 2.419 2.265 2.007 1.909 1.803 1.745 60 7.077 4.977 4.126 3.649 3.339 3.119 2.953 2.823 2.718 2.632 2.559 2.496 2.442 2.394 2.352 2.198 1.936 1.836 1.726 1.666 80 6.963 4.881 4.036 3.563 3.255 3.036 2.871 2.742 2.637 2.551 2.478 2.415 2.361 2.313 2.271 2.115 1.849 1.746 1.630 1.566

100 6.895 4.824 3.984 3.513 3.206 2.988 2.823 2.694 2.590 2.503 2.430 2.368 2.313 2.265 2.223 2.067 1.797 1.692 1.572 1.504 120 6.851 4.787 3.949 3.480 3.174 2.956 2.792 2.663 2.559 2.472 2.399 2.336 2.282 2.234 2.191 2.035 1.763 1.656 1.533 1.462 240 6.742 4.695 3.864 3.398 3.094 2.878 2.714 2.586 2.482 2.395 2.322 2.260 2.205 2.157 2.114 1.956 1.677 1.565 1.432 1.351