Variáveis aleatórias discretas aleatorias...Variáveis aleatórias discretas Binomial Hipergeométrica Poisson Distribuições de probabilidade Profª Lisiane Selau. 2 Experimento

1

� Conceito

� Função de probabilidade e função de distribuição

� Valor esperado e variância

Variáveis aleatórias discretas

� Binomial

� Hipergeométrica

� Poisson

Distribuições de probabilidade

Profª Lisiane Selau

2

Experimento aleatório: Lançamento de uma moeda honestatrês vezes e observação das faces que ocorrem.

#S = 2 x 2 x 2 = 23 = 8

c

k

ckck

c

k

c

kckck

→ ccc→ cck→ ckc→ ckk→ kcc→ kck→ kkc→ kkk

Variáveis aleatórias

S = {ccc , cck , ckc , kcc , kkc , kck , ckk , kkk}

� Ferramental matemático se amplia consideravelmente seo espaço amostral for numérico

Diagrama em árvore


3

Experimento aleatório: Lançamento de uma moeda honestatrês vezes e observação das faces que ocorrem.

X = número de caras ocorrido nos três lançamentos

X = {0, 1, 2, 3}

ccccckckckcckkckckckkkkk

0

1

2

3

X(ccc) = 0X(cck) = 1

Conjunto não numéricoConjunto numérico

X é a variável que

transforma um conjunto

não numérico num conjunto

numérico

X(kkc) = 2

X(ckk) = 2

X(ckc) = 1X(kcc) = 1

X(kck) = 2

X(kkk) = 3

Quais são os possíveis valores de X?

S = {ccc , cck , ckc , kcc , kkc , kck , ckk , kkk}


4

SEspaço

amostral básico

SX

Espaço amostral da variável X

• s • X(s)

X é a função que transforma

Domínio Contradomínio

(espaço onde X assume valores)

Definição: É uma função (ou regra) que transforma um espaço amostral qualquer em um espaço amostral numérico, que será sempre um subconjunto do conjunto dos números reais.

Variável aleatória


5

Variáveis aleatórias

Discretas

Contínuas

Variáveis aleatórias discretas

Definição: São discretas todas as variáveis cujo espaçoamostral SX é enumerável finito ou infinito.Se X é uma variável aleatória discreta, então SX é umsubconjunto dos inteiros.


6

X(ck) = 1

Exemplo: Lançamento de uma moeda honesta até queocorra a face cara e observação das faces que ocorrem.

S = {k , ck , cck , ccck , cccck , ccccck, ...}

Y = número de lançamentos até que ocorra cara

SY = {1, 2 , 3 , 5, 4 , 6, ...}

XSXS →

Y(ck) = 2

Y(k) = 1

YSYS →

X = número de coroas até que ocorra cara

SX = {0 , 1 , 2, 3 , 4 , 5, ...} X(k) = 0


7

1. Função de probabilidade

1. p(x) ≥≥≥≥ 0, ∀∀∀∀ x∈∈∈∈SX

Definição: Seja X uma variável aleatória discreta e SX oseu espaço amostral. A função de probabilidade P(X=x),ou simplesmente p(x), será a função que associa a cadavalor de X a sua probabilidade de ocorrência, desde queatenda duas condições:

1p(x)XSx

=∑∈

2.


8

Exemplo: Lançamento de uma moeda honesta três vezese observação das faces que ocorrem.

c

k

ckck

c

k

c

kckck

→ ccc→ cck→ ckc→ ckk→ kcc→ kck→ kkc→ kkk

Diagrama em árvore

p(0) =1/8p(1) =3/8p(2) =3/8p(3) =1/8

181

=+83

+81

83

+

1SX = {0, , 2, 3}

Primeira condição

Segunda condição

X = número de caras nos três lançamentosS = {ccc , cck , ckc , kcc , kkc , kck , ckk , kkk}


9

Existem três formas de representar uma função:

�� Representação tabular: consiste em relacionar emuma tabela os valores da função de probabilidade.

�� Representação gráfica: consiste em representargraficamente a relação entre os valores da variávele suas probabilidades

�� Representação analítica: estabelece uma expressãogeral para representar o valor da função de probabilidadenum ponto genérico da variável


10

S = {B1B2, P1B1, P1B2, P2B1, P2B2, P3B1, P3B2, P1P2, P1P3, P2P3}

SX = {0, 1, 2}

P(X = 0)

P(X = 1)

P(X = 2)

101

CCC25

22

03 ==

106

CCC25

12

13 ==

Exemplo: De uma urna com três bolas pretas e duas brancas, retiram-se duas bolas juntas. Se X é o número de bolas pretasretiradas, determine a função de probabilidade P(X=x).

103

CCC25

02

23 ==

# S = C52 = 10

duas bolas


11

X=x 0 1 2 Σ

P(X=x) 101

106

103

1

�� Representação tabular

�� Representação gráfica

0 1 2

0,2

0,4

0,6

p(x)

xProfª Lisiane Selau

12

25

x22

x3

CCC

x) P(X−

== , para SX = {0, 1, 2}

P(X = 0) =

P(X = 1) =

P(X = 2) =

25

22

03

CCC

25

12

13

CCC

25

02

23

CCC

�� Representação analítica


13

2. Função de distribuição ou probabilidade

acumulada

Definição: Seja X uma variável aleatória discreta e SX o seuespaço amostral. A função de distribuição, denotada por F(x)ou P(X ≤≤≤≤ x), é a função que associa a cada valor de X aprobabilidade P(X ≤≤≤≤ x). Desta forma, temos

F(x) = P(X ≤≤≤≤ x) = ∑ =≤xX

x)P(X


14

F(0) = P(X ≤≤≤≤ 0) =

F(1) = P(X ≤≤≤≤ 1) =

F(2) = P(X ≤≤≤≤ 2) =

∑ =≤0x

x)P(X

∑ =≤1x

x)P(X

∑ =≤2x

x)P(X

= P(X = 0) =

= P(X = 0) + P(X = 1)

= P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

No exemplo:

F(x) = P(X ≤≤≤≤ x) = P(X x)X x≤

=∑

101

107

106

101

=+=

1103

106

101

=++=

X=x 0 1 2 Σ

P(X=x) 101

106

103

1

F(x) 101

107

1 -


15

3. Medidas descritivas

S = {B1B2, P1B1, P1B2, P2B1, P2B2, P3B1, P3B2, P1P2, P1P3, P2P3}

Conjunto numérico

XSXS →

Conjuntonão

numérico

X

SX = {0, 1, 2}

No exemplo:

X = número de bolas pretasem duas retiradas

Possibilita o cálculo de medidas

descritivas: média, variância, etc.


16

Definição: Seja X uma variável aleatória discreta e SX o seuespaço amostral. O valor médio de X, denotado por E(X), ouµX, ou simplesmente µ, é a média dos valores de Xponderada pelas suas respectivas probabilidades deocorrência. Deste modo, tem-se

SX = {0, 1, 2}

∑

∑

∈

∈

X

X

Sx

Sx

p(x)

p(x)x

∑∈

=XSx

p(x)x1=

E(X) = µ =

�� Média ou valor esperado

X=x 0 1 2 Σ

P(X=x) 101

106

103

1


17

1,21012

103

2106

1101

0 ==×+×+×=

No exemplo:

E(X) = µ ∑∈

=XSx

p(x)x

bolas pretas

Significado do valor esperado: se o experimento fosserepetido um grande número de vezes, esperaríamos que onúmero médio de bolas pretas escolhidas fosse 1,2.

X=x 0 1 2 Σ

P(X=x) 101

106

103

1


18

� Não confundir µx com .x

Importante!!!

é a média de alguns valores de X (usualmente uma amostra de valores)

x

µx é a média de todos os valores de X (para os quais a probabilidade é conhecida)


19

Exercício:

O tempo (em minutos) para que um operário processe certa peça

é uma variável com distribuição dada na tabela abaixo.

(a) Calcule o tempo médio de processamento.

(b) Para cada peça processada o operário ganha um fixo de R$

1,00, mas se processa a peça em menos de 6 minutos, ganha R$

0,50 por cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a

peça em 5 minutos, recebe a quantia de R$ 0,50. Encontre a

média de G = quantia ganha por peça (fixo + comissão).

x 2 3 4 5 6 7

p(x) 0,10 0,10 0,30 0,20 0,20 0,10

(R: µµµµ = 4,60)

(R: µµµµ = 1,75)


20

2μ)E(X−=V(X) = σ2

22 μ)E(X −=

Definição: Seja X uma variável aleatória discreta e SX oseu espaço amostral. A variância de X, denotada por V(X),ou , ou simplesmente σ2, é o grau médio de dispersãodos valores de X em relação à sua média. Esta medida édefinida como a média ou valor esperado dos quadradosdos desvios em relação à média. Deste modo, temos

σσσσX

2

�� Variância

∑∈

−=XSx

2p(x)μ)(x

OU

∑∈

=XSx

22 p(x)x)E(X

onde:

[ ] [ ]222 p(x)x E(X)μ ∑==Profª Lisiane Selau

21

No exemplo:

V(X) = σ2

= − × + − × + − × =

2 2 212 1 12 6 12 3 36

0 1 210 10 10 10 10 10 100

E(X) = µ

V(X) = σ2 22 μ)E(X −=

= − = =

218 12 36

0,3610 10 100

∑= p(x)x)E(X 22

1018

103

2106

1101

0 222 =×+×+×=

1,21012

==2μ)E(X −=

∑∈

−=XSx

2p(x)μ)(x

bolas pretas 2

X=x 0 1 2 Σ

P(X=x) 101

106

103

1


22

V(X)σ =

Definição: Raiz quadrada positiva da variância.

�� Desvio padrão

No exemplo:

0,60,36V(X)σ ===

Significado do desvio padrão: se o experimento fosserepetido um grande número de vezes, a variação média donúmero de bolas pretas escolhidas em torno do valoresperado seria 0,6.

bolas pretas


23

� Não confundir σ2 com s2.

Importante!!!

s2 é a variância de alguns valores de X (usualmente uma amostra de valores)

σ2 é a variância de todos os valores de X (para os quais a probabilidade é conhecida)

� Da mesma forma, não confundir σ com s.


24

Exercício:

Um vendedor recebe uma comissão de R$ 100,00 por umavenda. Baseado em suas experiências anteriores elecalculou a distribuição de probabilidades das vendassemanais:

(a) Qual é o valor esperado de comissão por semana?

(b) Qual é a probabilidade de ganhar pelo menos R$ 300,00por semana?

(c) Qual o desvio padrão das vendas semanais?

x 0 1 2 3 4

p(x) 0,10 0,20 0,40 0,20 0,10

R$ 200,00

0,30

1,10


Distribuições de probabilidade

O que é uma distribuição de probabilidade?

Uma distribuição de probabilidade é essencialmente um modelo de descrição probabilística de uma população.

X=x 0 1 2 Σ P(X=x) 0,1 0,6 0,3 1

população

Distribuição de probabilidade

25

�� Parâmetros: caracterizações numéricas que permitem a individualização de um modelo (distribuição) em determinado contexto


1. Distribuição de Bernoulli

2. Distribuição Binomial

3. Distribuição Hipergeométrica

4. Distribuição de Poisson

5. Distribuição Multinomial

6. Distribuição Geométrica

7. Distribuição Binomial Negativa

8. Distribuição Hipergeométrica Negativa

9. Distribuição Uniforme Discreta

Distribuições discretas

26Profª Lisiane Selau

27

1. Distribuição de Bernoulli

Definição: Modelo que descreve probabilisticamente os resultados de um experimento de Bernoulli.

O experimento de Bernoulli é definido como o experimento aleatório que possui apenas dois resultados possíveis.

Exemplos: sexo no nascimento de um bebê, face no lançamento de uma moeda, produto perfeito ou defeituoso, satisfação ou insatisfação de um funcionário da empresa, etc.

Distribuições de probabilidade de

variáveis discretas


Experimento: Um produto é avaliado quanto à qualidade

S = {perfeito, defeituoso}

Consideramos um dos resultados como sucesso:

sucesso = perfeito

fracasso = defeituoso

28

Se for conhecido a taxa de produtos sem defeito que éfabricada, por exemplo, 87%, concluímos que aprobabilidade de o produto ser perfeito é 0,87.

O evento {defeituoso} é complemento do evento{perfeito}, então sua probabilidade será 1– 0,87.

ππππ = 0,87 = probabilidade de sucesso

1-ππππ = 0,13 = probabilidade de fracasso


29

�� É importante no contexto de amostragem com reposição

2. Distribuição binomial

Definição: Modelo que descreve probabilisticamente os resultados de uma sequência de experimentos de Bernoulliindependentes entre si, ou seja, onde a probabilidade de sucesso é constante em todas as repetições do experimento.

n21 Y...YYX +++=onde:

Yi ~ Ber (π) e independentes;

então, a variável X tem distribuição binomial.

Se

Distribuição binomial �� processo finito de Bernoulli

�� n experimentos de Bernoulli independentes, com probabilidade de sucesso ππππ constante para todos eles


30

Experimento: As peças fabricadas por uma pequenaindústria podem ser consideradas perfeitas ou defeituosas.Imagine que a chance de uma peça não ter defeito algumé de 60%. Se uma peça desta fábrica é escolhida ao acasoe sua situação é registrada, temos um experimento deBernoulli.

S = {perfeita, defeituosa}

onde:

p(defeituosa) = 1 - 0,6 = 0,4 = 1 - π

p(perfeita) = 0,6 = π

Se três peças são escolhidas, uma a uma, e o resultado éregistrado, temos uma sequência de três experimentos deBernoulli independentes, pois, a cada escolha, aprobabilidade de sucesso permanecerá inalterada.


31

S = {PPP, PPD, PDP, DPP, PDD, DPD, DDP, DDD}

#S = 23 = 8P = perfeitaD = defeituosa

A variável X é definida como o número de sucessos em nexperimentos de Bernoulli independentes, com probabilidade de sucesso igual a ππππ.

SX = {0, 1, 2, 3}

Sucesso = perfeita

n=3 e π=0,6

Qual é a função de probabilidade P(X=x) associada a variável X?


32

P(X=0) = 0,43

SX = {0,1,2,3}

P(X=1) = 3 ×××× 0,61 ×××× 0,42

P(X=2) = 3 ×××× 0,62 ×××× 0,41

P(X=3) = 0,63

P(X=x) = ? X: nº peças perfeitas

= 1 ×××× π0 ×××× (1 – π)3 = 0,064

= 3 ×××× π1 ×××× (1 – π)2 = 0,288

= 3 ×××× π2 ×××× (1 – π)1 = 0,432

= 1 ×××× π3 ×××× (1 – π)0 = 0,216

Como podemos determinar de quantas maneiras diferentesteremos x sucessos e 3-x fracassos?

x)!(3x!3!

Cx3

−=

S = {PPP, PPD, PDP, DPP, PDD, DPD, DDP, DDD}


33

x3xx3 0,6)(10,6Cx)P(X −−==

X = x 0 1 2 3 Σ

P(X = x) 0,064 0,288 0,432 0,216 1

Representação tabular

Representação analítica

, para SX = {0, 1, 2, 3}

Número de casos

Probabilidade de um caso

Função de probabilidade

De modo geral, se X é uma variável que tem distribuiçãobinomial, sua função de probabilidade será:

xnxxn )(1Cx)P(X −−== ππ , para SX = {0, 1, ..., n}


34

Parâmetros

A distribuição binomial tem dois parâmetros:

n = número de repetições do experimento de Bernoulli

ππππ = probabilidade de sucesso

X ~ Bin (n,π)

X tem distribuição binomial com parâmetros n e ππππ

xnxxn )(1Cx)P(X −−== ππ

parâmetros


35

Medidas descritivas

E(X) = µ = ∑∈ XSx

p(x)x


Teorema: E(X) = µµµµ = nππππ

V(X) = σ2 22 μ)E(X −=

�� Variância

Teorema: V(X) = σσσσ2 = n ππππ (1-ππππ)


36

Descrição probabilística de uma sequência de experimentosde Bernoulli independentes, ou seja, a probabilidade desucesso é constante em todas as repetições do experimento.

RESUMO - Distribuição binomial


xnxxn )(1Cx)P(X −−== ππ , para SX = {0, 1, ..., n}

n = número de repetições no experimentoParâmetros

V(X) = σ2 = n π (1-π)E(X) = µ = n π

Medidas descritivas

π = probabilidade de sucesso


37

Exercício: Num determinado processo de fabricação a

chance de uma peça sair defeituosa é de 10%. As peças

são acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma.

(a) Qual a probabilidade de haver exatamente 1 peça

defeituosa numa caixa?

(b) Qual a probabilidade de haver duas ou mais peças

defeituosas numa caixa?

(c) Se a empresa paga uma multa de R$ 10,00 por caixa

em que houver alguma peça defeituosa, qual o valor

esperado da multa num total de 1000 caixas?

(32,81%)

(8,14%)

(R$ 4.100)


3. Distribuição hipergeométrica

�� A Distribuição hipergeométrica se difere da Distribuição binomial porque a probabilidade de sucesso muda de um experimento para o outro

�� Essa distribuição é extremamente importante no contexto de amostragem sem reposição

Definição: Modelo que descreve probabilisticamente os resultados de uma sequência de experimentos de Bernoulli dependentes. Refere-se a experimentos que se caracterizam por retiradas sem reposição, onde a probabilidade de sucesso se altera a cada retirada.


(sucesso)

n elementos(sem reposição)

(fracasso)X= número de sucessos em n retiradasN

N1 N2

=N1+N2

sub-populações

população

�� Do ponto de vista probabilístico não faz diferença considerarretiradas individuais sem reposição ou retirada conjunta degrupos

�� Como não há reposição, a probabilidade de sucesso (retirarelementos da sub-população de tamanho N1) se altera a cada retirada.


Experimento: Uma caixa contém 10 bolas coloridas:sete são verdes e três laranjas. Três bolas são retiradasda caixa, uma após a outra e sem reposição. Se avariável aleatória X é definida como o número de bolasverdes retiradas, construa a distribuição deprobabilidade de X.

Verde

3 bolas

Laranja

X = número de bolas verdes

N =10

N1=7 N2 =3Bolas

(n=3)


X = número de bolas verdes

SX = {0, 1, 2, 3}

0,008333120

1120

11C

CC310

33

07

==×

=

0,17512021

12037

C

CC310

23

17

==×

=

0,52512063

120321

C

CC310

13

27

==×

=

0,291712035

120135

C

CC310

03

37

==×

=

P(X =0) =

P(X =1) =

P(X =2) =

P(X =3) =

S = {L1L2L3, L1L2V1,L1L2V2, ..., V5V6V7}

# S = 310C = 120

V = verdeL = laranja


X = x 0 1 2 3 Σ

P(X = x) 0,00833 0,175 0,525 0,2917 1

310

x-33

x7

C

CCx)P(X ==

Representação tabular

Representação analítica

, para SX = {0, 1, 2, 3}


De modo geral, se X é uma variável que tem distribuiçãohipergeométrica, sua função de probabilidade será:

, para SX = {0, 1, ..., n}nN

x-nN

xN

C

CCx)P(X 2 1 ==


Parâmetros

A distribuição hipergeométrica tem três parâmetros:

n = número de repetições do experimento

N = tamanho da população

N1 = tamanho da sub-população de interesse (sucesso)

X ~ Hip (n,N,N1)

X tem distribuição hipergeométrica com parâmetros n, N e N1

nN

x-nN

xN

C

CCx)P(X 21== parâmetros


Medidas descritivas

E(X) = µ = ∑∈ XSx

p(x)x

Teorema: NN

nμE(X) 1 ==

V(X) = σ2 22 μ)E(X −=

Teorema:

probabilidade de sucesso


�� Variância

probabilidade de fracasso

Fator de correção

==

1-Nn-N

NN

NN

nσV(X) 2 1 2

44

Binomial

µ = n πσ2 = n π (1-π)


Descrição probabilística de uma sequência de experimentosde Bernoulli dependentes. Importante no contexto deamostragem sem reposição.

RESUMO - Distribuição hipergeométrica


, para SX = {0, 1, ..., n}

n = número de repetições do experimentoN = tamanho da populaçãoN1 = tamanho da sub-população de interesse

Parâmetros

Medidas descritivas

nN

x-nN

xN

C

CCx)P(X 2 1 ==

NN

nμE(X) 1 ==

==

1-Nn-N

NN

NN

nσV(X) 2 1 2


Exercício: Pequenos motores são guardados em caixas de

50 unidades. Um inspetor de qualidade examina cada caixa testando 5 motores. Se nenhum for defeituoso, a caixa é aceita. Se pelo menos 1 for defeituoso, todos 50 são testados. Há 6 motores defeituosos numa caixa. Qual a probabilidade de que seja necessário examinar todos os motores desta caixa?

Tem-se N1 = 6 , N = 50 , n = 5, P(X ≥ 1) = ?

P(X = 0) = = = 0,51257

P(examinar tudo) = 1 - P(X = 0) =0,48743

550

544

06

CCC

21187601086008

46

R: 0,4874


47

4. Distribuição de Poisson

Definição: descreve probabilisticamente a sequência de um grande número de fenômenos independentes entre si, cada um com probabilidade de sucesso muito pequena.

�� Ocorre quando se deseja contar o número de um tipo particular de eventos que ocorrem por unidade de tempo, de superfície ou de volume (num espaço contínuo).

Distribuição de Poisson �� processo infinito de Bernoulli

�� Pode ser considerada como uma binomial onde o númerode experimentos (n) é grande, ππππ é pequeno (sucesso raro)e nππππ (média de sucessos) é constante.


�� nº de peças defeituosas observadas em uma linha de produção em um dia;

�� nº de acidentes de trabalho ocorridos numa grande empresa em um ano;

�� nº de ciclones ocorridos em certa região em uma estação do ano;

�� nº de formigueiros por km2 em uma região;

�� nº de acidentes que acontecem em 300km de uma rodovia;

�� nº de carros que passam em um pedágio de uma rodovia em 30 minutos;

�� nº de ligações que chegam em uma central telefônica em uma manhã.

Exemplos:

�� A distribuição de Poisson tem inúmeras aplicações na simulação de sistemas modelando o número de eventos ocorridos num intervalo de tempo (exemplo: sistemas de filas).



De modo geral, se X é uma variável que tem distribuiçãode Poisson, sua função de probabilidade será:

, para SX = {0, 1, 2, ...}x!λ

ex)P(Xx

λ−==

onde:X: número de sucessose = 2,718 (base dos logaritmos neperianos)

λλλλ: número médio de sucessos (sempre maior que zero)

espaço amostral infinito


x!ex)P(X

xλλ−==

Parâmetros

A distribuição de Poisson tem apenas um parâmetro:

λλλλ = número médio de sucessos

X ~ Poi (λ)

X tem distribuição de Poisson com parâmetro λλλλ

parâmetro


Exercício: Em uma central telefônica de uma

pequena cidade do interior chegam ligações a uma

taxa de 1 a cada 30 minutos. Qual a probabilidade de

que no intervalo de 1 hora:

(a) Não chegue ligações?

(b) Chegue no máximo duas ligações?

(c) Chegue pelo menos duas ligações?

51

13,53%

59,40%

67,67%


Solução: Neste caso, tem-se:

λ = 2 (taxa de ligações por hora)

X = nº de ligações por hora

Então:

P(X = x) = , para x = 0, 1, 2, 3, ...

(a) P(X = 0) = = e-2 = 13,53%

(b) P(X ≤ 2) = + + = 5e-2 = 67,67%

(c) P(X≥2) = 1-P(X≤1) = 1- [ + ]=1- 3e-2 = 59,40%

−λ λex

x

!

0!2e 02−

0!2e 02−

52

1!2e 12−

2!2e 22−

0!2e 02−

1!2e 12−


Medidas descritivas

E(X) = µ = ∑∈ XSx

p(x)x�� Média ou valor esperado:

Teorema: E(X) = µµµµ = λλλλ

22 μ)E(X −=�� Variância:

Teorema: V(X) = σσσσ2 = λλλλ

Na Poisson média e variância são iguais!!

V(X) = σ2


Descrição probabilística da sequência de um grande númerode fenômenos independentes, todos com probabilidade desucesso constante e muito pequena.

RESUMO - Distribuição de Poisson


, para SX = {0, 1, 2, ...}

Parâmetro

Medidas descritivas

V(X) = σ2 = λE(X) = µ = λ

λ = número médio de sucessos

x!λ

ex)P(Xx

λ−==


Exercício:

Um dado é formado por chapas de plástico de

10x10 cm. Em média aparecem 50 defeitos por metro

quadrado de plástico, segundo uma distribuição de

Poisson.

(a) Qual a probabilidade de uma determinada face

apresentar exatamente 2 defeitos?

(b) Qual a probabilidade de o dado apresentar no mínimo

dois defeitos?

(c) Qual a probabilidade de que pelo menos 5 faces sejam

perfeitas?

(7,58%)

(80,08%)

(24,36%)


(a) Qual a probabilidade de uma determinada face apresentar exatamente 2 defeitos?

Em média aparecem 50 defeitos/m2 = (50/10000) defeitos/cm2

Como cada face tem 10cm x 10 cm = 100 cm2, tem-se então:

λ = (50/10000) defeitos/cm2 x 100 cm2 = 0,5 defeitos por face.

A probabilidade de uma face apresentar dois defeitos será:

P(X = 2) = = 7,58%−0 5 20 5

2

, ( , )!

e


(b) Qual a probabilidade de o dado apresentar no mínimo dois defeitos?

No dado inteiro, a área total será a = 6x100 cm2 = 600 cm2 e onúmero médio de defeitos será então:

λ = (50/10000) defeitos /cm2 x 600 cm2 = 3 defeitos

A probabilidade de o dado apresentar no mínimo 2 defeitos será:

P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + ... = 1 - P(X ≤ 1)

= 1 - [P(X = 0) + P(X =1)] =

= 1 - [ + ] =

= 1 - [0,0498 + 0,1494] = 80,08%

−3 030

e!

−3 131

e!


(c) Qual a probabilidade de que pelo menos 5 faces sejam perfeitas?

A probabilidade de uma face ser perfeita é a probabilidade de

ela não apresentar defeitos, isto é:

P (X = 0) = = 60,65%

Tem-se então uma binomial Y com n = 6 (número de faces do

dado) e p = 60,65%(probabilidade de uma face ser perfeita)

Então a probabilidade de pelo menos 5 perfeitas, será:

P(Y ≥ 5) = P(Y = 5) + P(Y = 6)

= + = 24,36%

−0 5 00 50

, ( , )!

e

(0,3935).(0,6065).5

6 15

6

60 6065 0 39356 0

.( , ) .( , )


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