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Velocidade de Fase e de Grupo Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez-Esquerre ENGC34 – ELETROMAGNETISMO APLICADO

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Velocidade de Fase e de Grupo

Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez-Esquerre

ENGC34 – ELETROMAGNETISMO APLICADO

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Uma onda eletromagnética só tem informação se alguma das suas propriedades é alterada através do processo denominado modulação, que consiste em alterar a amplitude, frequencia ou fase da onda. Veja por exemplo a modulação por amplitude devido a um sinal digital

0

0 0

portadora

informação

sinal modulado

2

t

t

tempo frequência

0cos t

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0 0

Analisando o espectro de frequências do sinal modulado, vemos que a maior parte da energia se encontra distribuída entre os primeiros cruzamentos por zero.Dessa forma podemos simplificar nossa análise considerando um sinal mais simples, com a mesma largura de banda

tempo

0cos t

cos t informação

sinal modulado

portadora

0

0 0

2

t

frequência

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Observando o espectro do sinal modulado, que corresponde a onda enviada desde o tranmissor para o receptor pode-se escrever de forma geral,

na saída do transmissor (z=0) pode ser escrita como,

0 0 0 0( , ) Re j t jk z j t jk zf z t e e e e

0 0( 0, ) Re j t j tf z t e e

0( 0, ) 2cos cosf z t t t

0 0( 0, ) cos cosf z t t t

0 0

0 0

0, cos cos sin sin

cos cos sin sin

f z t t t t t

t t t t

Utilizando a identidade

Obtem-se

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Considerando que <<Dw w0, o vetor de onda k na vizinhança de w0, será aproximado usando expansão de series de Taylor de primeira ordem,

resultando em um sinal que pode ser descrito pela seguinte expressão para qualquer instante de tempo e emqualquer posição z,

0( 0, ) 2cos cosf z t t t

0

0 0

dkk k

d

0 0

0 00 0( , ) Re

dk dkj k z j k z

d dj t j tf z t e e e e

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0 0

0 00 0( , ) Re

dk dkj k z j k z

d dj t j tf z t e e e e

0

0

0 0

0 0

( , ) cos

cos

dkf z t t k z

d

dkt k z

d

0

0

0 0

0 0

( , ) cos

cos

dkf z t t k z t t z

d

dkt k z t t z

d

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0

0

0

0

0 0

0 0

0 0

0 0

( , ) cos cos

sin sin

cos cos

sin sin

dkf z t t k z t z

d

dkt k z t z

d

dkt k z t z

d

dkt k z t z

d

Utilizando a identidade

Obtem-se então

0

0 0( , ) 2cos cosdk

f z t t k z t zd

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Analisando a expressão final, percebe-se que cada coseno, que corresponde à portadora e à informação, sofre um atraso denominado de atraso de fase e de grupo, respectivamente,

Onde,

Desta forma, definimos as velocidades de fase e de grupo da seguinte maneira,

00

p

kz

0( , ) 2cos cosp gf z t t t

0

0 0( , ) 2cos cosdk

f z t t k z t zd

0

g

dkz

d

0

0pv k

0

g

dv

dk

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k()

vg = d

0 / dk(

0)

vp =

0 / k(

0)

0

k(0)

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http://newton.ex.ac.uk/teaching/au/phy1106/animationpages/wavepacket_no_dispersion.html

O ponto preto se desloca comvelocidade de fase (acompanha a fase)O ponto vermelho se desloca com velocidade de grupo (acompanha a envoltoria)

Velocidade de fase = velocidade de grupo

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http://newton.ex.ac.uk/teaching/resources/au/phy1106/animationpages/animations/normal_dispersion.gif

O ponto preto se desloca comvelocidade de fase (acompanha a fase)O ponto vermelho se desloca com velocidade de grupo (acompanha a envoltoria)

Velocidade de fase > velocidade de grupo

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http://newton.ex.ac.uk/teaching/au/phy1106/animationpages/wavepacket_anomalous_dispersion.html

O ponto vermelho se desloca com velocidade de fase (acompanha a fase)O ponto preto se desloca com velocidade de grupo (acompanha a envoltoria)

Velocidade de fase < velocidade de grupo