Ver Demonstração Da Lei Dos Senos

Curso Tcnico em de Geoprocessamento Colgio Politcnico da UFSM 1

Matemtica

Curso Tcnico em Geoprocessamento

Colgio Politcnico da UFSM


Sumrio

FIGURAS SEMELHANTES: SEMELHANA ....................................................3 RELAES MTRICAS NO TRINGULO RETNGULO .................................8 RAZES TRIGONOMTRICAS DE UM NGULO AGUDO:............................12 RELAO ENTRE SENO, COSSENO E TANG. DE UM NGULO AGUDO.....16 RELAO ENTRE SENO, COSSENO E TANG. DE UM NGULO OBTUSO:..19 RESOLUO DE TRINGULOS ...................................................................25 TRANSFORMAES TRIGONOMTRICAS:................................................35 EQUAES TRIGONOMTRICAS EM SENO, COSSENO, OU TANGENTE...37 GEOMETRIA ANALTICA .............................................................................43 GEOMETRIA ANALTICA ESTUDO DA RETA ............................................56 CIRCUNFERNCIAS NO PLANO..................................................................69 GEOMETRIA PLANA....................................................................................72

COMPETNCIA 044.BAS.MAT.02

COMPETNCIA HABILIDADES BASES TECNOLGICAS

Dominar os princpios da trigonometria e da geometria analtica aplicveis na aquisio de dados georeferenciados.

Resoluo de tringulos quaisquer.

Utilizar equaes trigonomtricas na compreenso dos efeitos da propagao da luz, no estudo da sua refrao, reflexo ou absoro.

Calcular distncias entre pontos, pontos e retas. Pontos de intercesso, condio de paralelismo e perpendicularismo entre retas.

Trigonometria

- Relaes mtricas e trigonomtricas no tringulo retngulo

- Equaes e inequaes trigonomtricas em seno e co-seno

- Tangente de um arco trigonomtrico

- Transformaes trigonomtricas

- Lei dos senos e co-senos

Geometria Analtica

- Distncia entre dois pontos e ponto mdio de um segmento de reta

- Equaes da reta

- Paralelismo e perpendicularismo entre retas

- Distncia entre ponto e reta

- rea de um tringulo (Sarrus, Gauss)


Duas figuras so semelhantes quando existe uma correspondncia entre seus pontos, tal que a

razo entre o comprimento de um segmento da 1 figura e o comprimento do segmento

correspondente da 2 seja constante.

FIGURAS SEMELHANTES: SEMELHANA

Exemplos:

1) Ampliaes e redues de uma mesma foto so figuras semelhantes;

2) Crculos so sempre semelhantes;

3) A maquete e o prdio so semelhantes.

4) Escalas de cartas topogrficas e fotografias areas correspondentes

1. Polgonos semelhantes:

Dois polgonos so semelhantes quando existe uma correspondncia entre seus vrtices, de modo que

lados correspondentes so proporcionais e ngulos correspondentes so congruentes.

Os hexgonos ABCDEF e GHIJLM so semelhantes, pois:

1) lados correspondentes so proporcionais:

MGFA

LMEF

JLDE

IJCD

HIBC

GHAB =====

2) ngulos correspondentes so congruentes:

, GA , HB , IC , JD , LE , MF

A B

E D

F C

G H

L J

M I


1.1 Caso particular: Tringulos semelhantes;

Dois tringulos so semelhantes quando tem lados correspondentes proporcionais ou ngulos correspondentes congruentes.

So 3 casos; 1 caso Se DA EB e FC ento os tringulos ABC e DEF so semelhantes. Nesse caso:

FDCA

EFBC

DEAB ==

2 Caso

Se FDCA

EFBC

DEAB == ,

ento os tringulos ABC e DEF so semelhantes. Nesse caso.

DA EB e FC

3 caso Os tringulos possuem dois pares de lados proporcionais e os ngulos compreendidos entre esses lados so congruentes.

Se EFBC

DEAB = e DA ento os

tringulos ABC e DEF so semelhantes.

Logo, FDCA

EFBC

DEAB ==

e DA EB e FC Exerccios:

1) Na figura abaixo comprovar a semelhana entre os tringulos ABC e ADE e calcular o valor de X. 2) Comprovar a semelhana entre os tringulos ABC e DEF e descobrir as medidas dos ngulos do tringulo DEF.

3) Comprovar a semelhana entre os tringulos ABC e ADE e estabelecer as relaes a seguir: Entre x e y

Entre z e w C

Entre BC e DE

A

B C E F

D

A B

C

ED

F

A B D E

F

C

10 cm

3 cm

2 cm

A

B C

D Ex

6 cm

C

A B

53

37

7,5 cm4,5 cm

4 cm D E

F

5 cm 3 cm

40A B D

E

w

yxz

4 cm

4 cm

5cm 5cm


2. Razo entre alturas de tringulos semelhantes

As alturas relativas a lados correspondentes de tringulos semelhantes esto na mesma razo que os lados.

Os tringulos ABC e DEF so semelhantes. Ento FGCH

FDCA

EFBC

DEAB ===

Traando as alturas CH e FG obtemos os tringulos CHB e FGE que so semelhantes pois , EB yxenm .

Logo, FGCH

EFBC = , logo as alturas esto na mesma razo dos lados.

Exerccios:

Os tringulos ABC e ADE so semelhantes pois .// BCDE

Calcular a medida da altura do tringulo ABC. 3. Razo entre as reas de dois tringulos semelhantes Se os tringulos ABC e DEF so semelhantes, ento

FGCH

FDCA

EFBC

DEAB === = K (razo de semelhana).

Logo:

rea do tringulo ABC = 2CHAB

rea do tringulo DEF = 2

FGDE

Razo entre as reas ===

KKFGCH

DEAB

FGDE

CHAB

2

2 K2

A razo entre as reas de tringulos semelhantes igual ao quadrado da razo entre lados correspondentes dos tringulos.

E D

F

GB AH

C

4 cm

2,5 cm

5 cm

A

B

D

CG

xE

A BH

C

x

mD EG

F

y

n


Exerccio. Os tringulos ABC e DEF so semelhantes, sendo AC = 4 cm e DF = 8 cm. Se a rea do tringulo ABC igual a 3 cm2, qual a rea do tringulo DEF?

Exerccios:

1) Verifique que os tringulos so semelhantes e calcule o valor de x nas figuras abaixo. 2) Verifique a semelhana entre ABC e ADE e calcule x na figura.

3) Na figura ANPQ um quadrado. Sabendo que AB = 6 cm e AC = 8 cm, calcule x.

4) Na figura DEFG um quadrado. Calcule o valor de x.

3

15

5

D E

C

x

A

B

x

A

B

x+3

104

D E

C

A

B

P N

CQ

x

x

D 8 cm F

E

A B4 cm

c

4cm 5cmx

3cm

a)

x

A

C

D E

B

3cm4cm

2cm

c)

5 cm

x 4cm

A B

C

D

Eb)

5cm

G

E F

C

D x10cm

15cm

x

BA


5) Na figura

AB = 30 cm BE = 50 cm DC = 6 m B Determinar EF. 6) Uma imagem do Sol obtida em uma cmara escura, conforme o esquema abaixo, Dados: y = 1,5 x 1011 m d = 9 mm x = 1,0 m Calcule y ........ 7) Um livro de 25 cm de altura colocado entre uma fonte de luz pontual e uma tela conforme esquema .

Calcular a altura da imagem projetada. 8) Uma estaca de 1 m fixada perpendicularmente ao cho. Num determinado momento do dia sua sombra alcana 60 cm. Nesse instante, a sombra de um prdio

prximo mede 24 m. Qual a altura do prdio?

A

B

C

D

EF

x y

Dd

fonte

320 cm80 cm

tela

imagem

livro


r

RELAES MTRICAS NO TRINGULO RETNGULO

Projeo ortogonal: A projeo (ortogonal) de um ponto P sobre uma reta r o p da perpendicular traada por P sobre r Na figura, P` a projeo de P sobre r

A projeo de um segmento AB sobre uma reta r o segmento determinado pelas projees das extremidades AB.

1) 2) 3) Nos dois primeiros grficos da figura AB a projeo de AB sobre a reta r: AB um segmento.

No grfico 3, Acoincide com B e, portanto, a projeo de AB sobre r um ponto. Relaes mtricas no tringulo retngulo Consideramos um tringulo retngulo ABC, onde a hipotenusa BC e os catetos AC e AB tm medidas a, b e c respectivamente. Traando por A, vrtice do ngulo reto, a altura AH relativa hipotenusa, tem medida h e determina os segmentos BH e HC , de medidas n e m, que so as projees ortogonais dos catetos AB e AC sobre a hipotenusa. (n + m = a).

A B

A B

B

AA B

r B

AB

r

A

mn

a

c bh

A

B CH

P

P r


a2 = b2 + c2

Cada cateto mdia geomtrica entre a hipotenusa e sua projeo sobre ela.

A altura relativa hipotenusa mdia geomtrica entre os segmentos que ela determina sobre a hipotenusa.

O produto dos catetos igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a ela.

O quadrado da hipotenusa igual soma dos quadrados dos catetos.

Os tringulos ABC, HBA e HAC so semelhantes conforme mostramos abaixo. Queremos determinar as relaes entre a, b, c, h, m e n. Observemos que os tringulos ABC e ABH so semelhantes, pois, HA (ang. Retos) e BB .

Logo, os lados correspondentes so proporcionais, ou seja;

hb

nc

ca == donde

Os tringulos ABC e ACH so semelhantes, pois HA (ngulos Retos) e CC Logo, os lados correspondentes so proporcionais, ou seja,

hc

mb

ba == donde

Os tringulos ABH e ACH so semelhantes, pois

CAHHBA (so complementares de um mesmo ngulo) CHABHA (so retos)

Logo, os lados correspondentes so proporcionais, ou seja

hm

nh

bc == donde

Teorema de Pitgoras: um tringulo retngulo, o quadrado da hipotenusa igual soma dos quadrados dos catetos. Prova: Vimos que c2 = a . m b2 = a . m Somando membro a membro c2 + b2 = a . m + a . n = a(m + n) c2 + b2 = a . a = a2

Portanto:

Enunciados:

nac =2habc =

mab =2

nmh =2

A

B

b

a C

c

m n

h

m n

c bh

A A

B CH Ha

c b

A

B C


Exerccios: 1) Num tringulo retngulo, um dos catetos mede 5 e a altura relativa hipotenusa mede 3. Determine as

medidas do outro cateto, da hipotenusa e dos segmentos que a altura determina sobre a hipotenusa. 2) No tringulo da figura so dados m = 3 e n = 1. Calcule a, b, c e h. 3) Na figura anterior, se m = 5 e h 5 determine as medidas dos demais segmentos indicados. 4) Na figura anterior, sendo b = 2 e n = 3, calcule as demais medidas. 5) Em um tringulo issceles, a base mede 24 cm e a altura relativa base mede 16 cm. Calcule a medida de

cada lado congruente desse tringulo. 6) Consideremos uma circunferncia de centro O e raio r = 4 cm. Um ponto P, fora da circunferncia, dista 6

cm do centro dessa circunferncia. Pelo ponto P, traa-se o segmento PT , tangente circunferncia em T. Determine o comprimento do segmento PT .

7) Na figura, temos .// BCMN

Nessas condies calcule: a) a medida x; b) a medida y.

8) Determine as medidas x e h indicados na figura.

A

c b

a

h

n mB C

A B

N

P Q

C

M y

x2

3 7,5

h

A

C

Dx

B

30

11

25


9) Calcule o comprimento de raio r, considerando a figura abaixo: 10) A medida de um meridiano terrestre de 40.000 km, aproximadamente, calcule a medida do reio da

terra. 11) Em qualquer tringulo retngulo, a medida da mediana relativa hipotenusa igual metade da medida

da hipotenusa. Se um tringulo retngulo tem catetos AB = 5 cm e AC = 2 cm, calcule a medida da mediana relativa hipotenusa.

12) Na figura ABCD um paralelogramo. Sabendo que BC = 15 cm, DM = 10 cm, KC = 12 cm e AK =

11 cm, calcule KB e CM

KB

C

M

D

A

A

OrB 5 cm

55 cmr


RAZES TRIGONOMTRICAS DE UM NGULO AGUDO: Consideramos o ngulo , de vrtice B. Sobre um dos lados do ngulo , tomamos aleatoriamente

os pontos A, D, F, e por esses pontos traamos perpendiculares ao lado BA que encontram o outro lado do ngulo nos pontos C, E, G respectivamente. Obtemos, assim os tringulos retngulos ABC, DBE, FBG, todos semelhantes entre si.

Podemos, a partir deles, estabelecer as seguintes propores:

=BC hipotenusa. =BE hipotenusa. =BG hipotenusa. =AC cateto oposto. =DE cateto oposto. =FG cateto oposto. =AB cateto adjascente. =DB cateto adjascente. =FB cateto adjascente.

O n k1 chamado seno do ngulo agudo

O n k2 chamado cosseno do ngulo agudo

O n k3 chamado tangente do ngulo agudo Razo trigonomtricas no tringulo retngulo: Seja o tringulo ABC =BC hipotenusa = a =AC cateto = b =AB cateto = c =+ 90 CB =AC cateto oposto a B =AB cateto adjascente B =AC cateto adjascente a C =AB cateto oposto a C

Sen abB = Cos acB = Tg cbB =

Sen acC = Cos abC = Tg bcC =

A D FB

CE

G

hipotenusaopostocateto

BCACsen ==

3kBFFG

BDDE

BAAC ===

hipotenusaadjascentecateto

BCBA ==cos

adjascentecatetoopostocateto

BAACtg ==

1kBGFG

BEDE

BCAC ===

2kBGBG

BEBD

BCBA ===

B

C

A

a b

c

AB

C

FB

G

DB

E


Aplicao:

Com auxlio de rgua e transferidor, calcular: a) sen 28 =

cos 28 =

tg 28 =

b) sen 42 =

cos 42 =

tg 42 =

c) sen 70 =

cos 70 =

tg 70 =

0 cm 6 cm

0 cm 6 cm

0 cm 3 cm


Exerccios:

1) Sabendo que sen 28 = 0,46 cos 28 = 0,88 tg 28 = 0,53, calcule o valor de x em cada figura.

2) Deve-se medir a largura de um rio. Para isso, fixamos um ponto A numa das margens e um ponto B na

margem oposta, conforme figura. A seguir marcamos um ponto C distante de A 80 m e AC perpendicular a reta AB , em seguida medimos o ngulo BCA obtendo 43. Qual a largura () do rio?

Dados: sen 43 = 0,68 cos 43 = 0,73 tg 43 = 0,93 3) Uma torre tem 35 m de altura. Se puxarmos um cabo do topo ao cho, conforme figura. Qual ser o

comprimento do cabo? 4) Qual a medida aproximada do edifcio?

b)

28

5 cm

xa)

28

4 c m

x

c)

2810 c

m x

B

43

A

Rio

x

x =

42

35 m

x

A B C

D

h =?

40

40

80

80 m


5) Qual a medida aproximada da montanha? 6) Para obter a altura de uma torre um topgrafo instala o teodolito a 50 m do centro da base e mede o

ngulo de 58 conforme a figura. A luneta est 1,8 m do solo.

7) Calcule a altura do edifcio conforme o esquema abaixo.

A B C

h = ?

45 72

250 m

60

82

40 m

teodolito

h = ?

50 m

teodolito1,8m

58

h = ?


abxsen = c

acx =cos d

tg x = xxsen

cos

6

abxsen = c

acx =cos d

RELAO ENTRE SENO, COSSENO E TANGENTE DE UM NGULO AGUDO.

Vamos considerar em um tringulo de lados a, b e c de mesmas unidades de comprimento. Nessas condies temos: 1 relao: Sabemos que e elevando ao quadrado as expresses temos: Somando 3 com f obtemos:

Sen2x + cos2x = 122

2

22

2

2

2

2

==+=+aa

acb

ac

ab

logo 5 2 relao: Sabe-se que e Dividindo c por d obtemos:

xtgcb

xxsen

ac

ab ===

cos @

3a relao ngulos complementares: e so complementares se e s se + = 90 Se e so medidos de ngulos complementares dizemos que e so medidas complementares.

Exemplos: a) 20 complemento de 70. b) 32 complemento de 58 c) 90 - o complemento de .

2

22

abxsen =

3 2

22cos

acx =

f

B

ab

cx

y

A

C

sen2 x + cos2 x = 1


Teorema:

Demonst. sen = ab

cos (90 - ) = ab

cos = ac

sen (90 - ) = ac

Se dois ngulos agudos complementares, ento o seno de um deles igual ao cosseno do outro. Exemplo: 20 o complemento de 70, logo, sen 20 = cos 70; cos 20 = sen 70. 32 o complemento de 58, logo, sen 32 = cos 58; cos 32 = sen 58. Exerccio:

Sabendo que cos 23 = 0,92, calcular o valor da expresso +=

23467cos23

tgsenE .

cos 67 = sen 23 23 complementar de 67

+=23cos234

2323sen

sensenE =

23423cos232

sensenE 46,0

292,0

223cos === EE

Na figura + . Determinar x.

Como e so complementares: Temos que:

sen = cos = 54

e cos = = 53

tg = 34

5354 = no triang. ADB

=x3

34

Se a medida de um ngulo agudo ento sen = cos (90 - ) e cos = sen (90 - )

A

C

B

b

c

a

90 - sen = cos (90 - )

cos = sen (90 - )

A

B

C

3

4

5

D

x

xtg 3=

49=x


Anexo 1: Nmeros trigonomtricos Seno, Cosseno, Tangente, Cotangente, Secante e cossecante de um arco no ciclo trigonomtrico. 1o Quadrante sen = 1OP cos = 2OP tg = AT cotg = BS sec = OV cossec = OW 2o Quadrante

sen = 1OP cos = 2OP tg = AT cotg = BS sec = OV cossec = OW 3o Quadrante

sen =

cos =

tg =

cotg =

sec =

cossec =

4o Quadrante

sen =

cos =

tg =

cotg =

sec =

cossec =

W T

B

0

P1

P2 xV

P S

x

y

W

T

B

0

P1

P2 xV

P

S

A

y

0 x

P

y

0 x

P

y


Definimos: sen ordenada do ponto P. cos a abscissa do ponto P. tg =

cossen

, (cos 0)

4a Relao

5a Relao OPV ~ OP2P

cos1

12== OV

OPOP

OPOV

6a Relao OPW ~ OP2P

senOW

PPOP

OPOW 1

12==

RELAO ENTRE SENO, COSSENO E TANGENTE DE UM NGULO OBTUSO:

Considerando um ciclo trigonomtrico (circunferncia com centro na origem do sistema cartesiano e raio igual unidade).

0 x

P

y

seng coscot =

0 x

P

y

P2

W

V

0 0

P

P

V

P2

0 x

P

y

P2

W

V

0 xsen

y

-1

-1

1

1 cos


Se x + y = 180; ento sen y = sen x, cos y = - cos x e tg y = -tg x

Para encontrar o seno, o cosseno ou a tangente de um ngulo obtuso, basta observar a simetria da

figura, como no exemplo seguinte. Exemplo: Conhecidos sen 60 0,87, cos 60 0,5 e tg 60 1,73, achar sen 120, cos 120 e tg 120. Soluo: Na simetria da figura, temos:

sen 120 = sen 60. Logo, sen 120 0,87. cos 120 = - cos 60. Logo, cs 120 = - 0,5. Tg 120 =

=

60cos60

120cos120 sensen

. Logo,

Tg 120 = - tg 60 -1,73

O exemplo leva concluso de que: Exerccios:

Consulte a tabela e calcule valores aproximados para as coordenadas de P.

0 x

sen

y

-1

-1

1

1 cos cos

sen

120o

60o

a)

45

P

y

y

xx

6

0

0

y P

x

x

c)

210

y

0

y

P

x x

b)

120

y

y

0

P

x

d)

-30

5

y


Anexo 2 1 y = 3 sen x 2 y = 2 + 3 sen x

3 y = 3 sen 2 x 4 y = 2 + 3 sen 2x

x y 1 Y 2 0 90 180 270 360

y

x 2 23

2 0

y

x 2

x 2x y 3 y 4 0 90 180 270 360

0


5 y = 3 sen (2x-4

)

6 y = 2 + 3 sen (2x-4

)

7 y = 2 + | 3 sen (2x - 4

|

8 y = | 2 + 3 sen (2x - 4

|

x 2x 2x-4 y 5 y 6

8

83

85

87

89

811

y

x 8

x y7 y 8 8

83

85

87

89

811

y

x 8


Transformaes das funes trigonomtricas: ou Com base nos exerccios feitos (grficos) e feita a comparao com a funo primitiva, abaixo ou podemos afirmar: que os valores de a, b, c e d so responsveis pelas modificaes seguintes. , desloca o eixo central da funo a unidades para cima. , descola o eixo central da funo a unidades para baixo. , amplia a imagem.

, reduz a imagem.

, inverte a imagem. , diminui o perodo.

altera o perodo

, aumenta o perodo.

, deslocamento horizontal para a esquerda de d unidades. , deslocamento horizontal para a direita de d unidades. Exerccios:

1) Determine os valores de a, b, c, e d e monte a sua lei. (funo).

a = ......... b = ......... c = ......... d = ......... y = .....................................................

Y = a b . sen (cx d) Y = a b . cos (cx d)

y = sen x y = cos x

a

b

d

0>a0b

10


2) Idem a = ......... b = ......... c = ......... d = .........

y = ...............................................

3) Idem a = ......... b = ......... c = ......... d = .........

y = ..................................................

Eixo Central

x

y

78 3

8

8 9

8

x

x

x

x

x

58

Eixo Central

x

y

4 x

x

xx

x

x

x

x

x

xx x


RESOLUO DE TRINGULOS

Introduo: A base de todo nosso estudo o pleno conhecimento e a utilizao do tringulo, dizemos que um tringulo est resolvido quando conhecemos as medidas de seus lados, de seus ngulos internos e tambm a sua rea.

J estudamos as relaes mtricas para o tringulo retngulo e para um tringulo qualquer vamos estudar duas novas relaes que relacionam os seus lados e os seus ngulos, isto possvel com a ampliao dos conceitos de seno e cosseno para ngulos obtusos:

Estas relaes so:

1) Teorema dos Senos (Lei) 2) Teorema dos Cossenos (Lei)

1) Teorema dos Senos: Para um tringulo ABC qualquer, valem as relaes. Demonstrao: 1 Caso: O centro 0 da circunferncia circunscrita um ponto interior ao tringulo.

Na figura, BO um dimetro da circunferncia, logo D A B um ngulo reto, pois est inscrito numa semicircunferncia.

Logo temos: RcDsen

2 = e sendo D e C congruentes pois esto

inscritos na mesma circunferncia e determinam o mesmo arco. Logo temos.

RcCsenDsen

2 ==

Analogamente traando por A um dimetro AD (ngulo A B D reto) temos:

Analogamente traando por C um dimetro "CD (ngulo C B D reto) temos:

RsenC

csenB

bsenA

a 2===

B

C

A

ab

c

CsencR 2 =

BsenbR 2 =

AsenaR 2 =

B C

D

0

A

a

bc

D

D


AsenaR 2 =

BsenbR 2 =

CsencR 2 =

BsenbR 2 =

CsencR 2 =

AsenaR 2 =

a2 = b2 + c2 2bc cos A

2 Caso:

O centro 0 da circunferncia exterior ao tringulo A e D so congruentes

senARasenD ==

2

Traando por A o dimetro AD temos analogamente:

Traando por A o dimetro AD temos analogamente: 3 Caso: O centro 0 da circunferncia circunscrita pertence a um dos lados do tringulo. O ngulo B A C reto e a = 2 R logo:

RbBsen

2 =

RcCsen

2 =

e sendo a = 2R, temos AsensenRa 901

2===

Portanto visto estes trs casos conclui-se que qualquer que seja a situao do tringulo vlido afirmar que:

RsenB

csenB

bsenA

a 2=== 2) Teorema dos Cossenos (Lei) Situao em que so conhecidos dois lados de um tringulo ABC e o ngulo formado entre eles. Temos trs situaes em que no conhecidos os lados b, c e o ngulo A . Vamos considerar 3 casos.

Vale a seguinte relao

c B

C

A

ab

B

C

A

ab

cB

C

A

ab

c

1 Caso 2 Caso 3 Caso

agudo reto obtuso

B

R R

C

D 0

A

a

b

c

B

R

C

0

A

a

b

c


a2 = b2 + c2 2 b c cos

1 Caso Demonstrao: Sendo ngulo agudo ( < 90) Sejam:

CH a altura relativa ao lado AB . AH projeo ortogonal de AC sobre AB . BH projeo ortogonal de BC sobre AB .

Aplicando o teorema de Pitgoras nos tringulos HBC e HAC temos:

h2 + (c m)2 = a2 c h2 + m2 = b2 d

Subtraindo membro a membro c e d (c m)2 m2 = a2 b2

a2 = b2 + c2 2 c m e

No tringulo HAC temos que, cos A = bm

f

Substituindo f em e temos;

2 Caso: Demonstrao:

O tringulo ABC tambm e vlida a relao a2 = b2 + c2 2 bc.cos , pois cos 90 = 0 donde temos 3 Caso: > 90 Sejam

CH a altura relativa ao lado AB . AH projeo ortogonal de AC sobre AB . BH projeo ortogonal de BC sobre AB .

Aplicando o Teorema de Pitgoras nos tringulos BHC e AHC, temos:

h2 + (c + m)2 = a2 c

h2 + m2 = b2 d Subtraindo membro a membro c e d (c + m)2 m2 = a2 b2 a2 = b2 + c2 2 c m e

No tringulo AHC a medida de = 180 - Assim:

cos (180 - ) = bm

m = b cos (180 - ) Mas cos (180 - ) = - cos , ento m = - b cos f

Substituindo f em e temos:

c2 2cm + m2 m2 = a2 b2

m = b . cos A

a2 = b2 + c2 2 bc cos A

a2 = b2 + c2 teorema de Pitgoras

c2 + 2 c m + m2 m2 = a2 b2

B

C

A

ab

c - mm

h

H

B

C

A

ab

c c + m

m

h


h = b sen

Nota: 1) As expresses da lei dos cossenos podem ser escritos na forma. Que so as mais comuns aplicaes da lei dos cossenos que : determinar as medidas dos ngulos internos do tringulo, conhecendo-se as medidas dos lados.

2) Atravs da lei dos cossenos, deduz-se um critrio para saber se um ngulo interno do tringulo agudo, reto ou obtuso.

Condio

agudo a2 < b2 + c2

reto a2 = b2 + c2

obtuso a2 > b2 + c2 rea do tringulo: Analisaremos dois casos. 1 Caso: Conhecendo as medidas dos trs lados a, b e c (Frmula de Hero)

2 Caso: Conhecendo as medidas de dois lados e o ngulo formado por eles (aplicao na topografia).

1 Caso: Consideramos o tringulo ABC, no qual B e C sejam agudos ( poder ser agudo, reto ou obtuso).

A rea do tringulo pode ser expressa na forma

2chS = 1

Mas, como Asenbh = , temos 2

Substituindo 2 em 1 obtemos. S=2senbc

agudo Esta relao vlida ainda para as duas situaes.

bcacb

2cos

222 +=ac

bcaB2

cos222 +=

abcbaC

2cos

222 +=

B

C

A

a

hb

c

A B

C

a

c

h=b

B

C

A

ab

c

h


))()(( cpbpappS =

2 Caso:

Consideramos o tringulo ABC, no qual e B sejam agudos ( C pode ser agudo, reto ou obtuso). A rea do tringulo como sabemos dada por

1

A frmula de Hero possibilita o clculo da rea do tringulo ABC atravs da relao:

))()(( cpbpappS = onde

2cbap ++=

Demonstrao:

Vamos exprimir em 1 sem em funo das medidas a, b e c dos lados. Sabemos que

cos = bc

acb2

222 + ento

sen2 = 1 cos2 A = 1 -2222

2

+

bcacb

sen2 =

++

bcacb

21

222

+

bcacb

21

222

sen2 = ( )

bcacbbc

bcacbbc

22

22 222222 +++

sen2 = ( )

bcbccba

bcabccb

22

2)2( 222222 +++

sen2 = ( )bc

cbabc

acb22

)( 2222 +

sen2 = 2241cb

(b + c + a)(b + c - a)(a + b - c)(a b + c)

Sendo o permetro do tringulo ABC 2p = a + b + c temos b + c a = 2p 2a a + b c = 2 p 2 c 2p 2 b donde sen2 = 224

1cb

. (2p) . (2p-2a) . (2p-2c) . (2p-2b)

sen2 = 224cb

p (p a) (p b) (p c) e ento

sen = ))()((2 cpbpappbc

podemos voltar a expresso da rea

S = ))()((222

cpbpappbc

bcsenbc = logo

senbcS2

=

B

C

A

a

h b

c


+ C = 1

Nota: Teorema: A soma dos ngulos internos de um tringulo 180 Teorema: Em todo tringulo, um ngulo externo igual soma dos ngulos internos no-adjacentes. Pelo teorema anterior, + B + C = 180, mas =+ 1801B logo + B + C = B + 1

donde F Exerccios:

1) Determine o valor de x na figura. X = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2) Determine o valor de na figura. = _ _ _ _ _ _ _ _ _

3) Calcule a medida do raio da circunferncia circunscrita ao tringulo ABC da figura.

A B

C

ngulo externo1

A B

Cs

r1

1

2

23

25x

45 30

34

B4

120

C

A

8

A

B

C 60


4) Observadores nos pontos A e B localizam um foco de incndio em F. Conhecendo os ngulos

FB = 45, F B A = e a distncia AB = km, determine as distncias AF e BF.

5) Sabendo que sem = 53 , calcule o valor de x

x = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 6) Determine sabendo que < 90 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

7) Obtenha o valor de x, sabendo que cos 23

2=

x = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

8) Um topgrafo caminha em direo a um poste e observa em A o topo do poste sob o ngulo de 42. Caminha 20 m e observa em B o topo do poste sob um ngulo de 52. Conforme o esquema abaixo determinar as distncias x e y.

A B42

poste

20m52

xy

B

F

105

45A

15km

2

x 4

38

8

30

A

4

2 2

25B CD x


9) Na figura, determine o valor de h em funo de d, e

10) Na figura, determine o valor de h em funo de d, e .

11) Na figura, determine o valor de h em funo de d, , e

12) Determinar a distncia x entre os postes CD e EF, foram medidos os ngulos = 40, = 50 e = 30, a distncia entre A e B de 10m.

A

B

CD

h

A

D

C

B

h

d

A

D

C

B

E

hd

A B xE C

D

F

h1(poste)h2(poste)

d=10m


13) Determine o valor de x nas figuras. x = _ _ _ _ _ _ _ _ x = _ _ _ _ _ _ _ _

14) Obtenha o cos x nas figuras. cos x = _ _ _ _ _ _ _ cos x = _ _ _ _ _ 15) Um terreno tem o formato conforme o esquema abaixo.

Qual a sua rea? rea = _ _ _ _ _ 16) Uma propriedade possui o formato conforme o esquema abaixo, considerando as medidas,

A0 = 290 m 1 = 57 B0 = 300 m 2 = 85

C0 = 310 m 3 = 98 D0 = 350 m 4 = 46

E0 = 320 m 5 = 74 determine:

a) seu permetro = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ b) as reas: A1 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

A2 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ A3 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ A4 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ A5 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

c) rea total = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

520m 250m

400m

60m

100m

a)

120

x

8

4x

b)

60

12

5 11

a)

x

6

4

3

b)

x

A

A1

A2

A 3

A4

A 5B

CD

E

0

1

2

3

4

5


17) Um terreno possui o formato conforme o esquema abaixo, considerando as medidas, determine.

a) A1 = _ _ _ _ _ b) A2 = _ _ _ _ _ c) Atotal = _ _ _ _ _

18) Para medir o comprimento de um lago utilizou-se o esquema abaixo. Em A e B instalou-se um teodolito e tirou-se as medidas dos ngulos 1 , 2 , 3 , 4 , A e B esto distantes de 20 m. 1 = 95 2 = 34 3 = 31 4 = 98

A

A1

A2

B

120m140m

130m

80m

100m

CD

A B20m

QP L a g o

1

2 3

4


TRANSFORMAES TRIGONOMTRICAS:

1) Transformao de sen p sen q e cos p cos q:

Sabendo as frmulas da adio e da diferena de arcos

sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a;

sen (a b ) = sen a . cos b sen b . cos a;

cos (a + b) = cos a . cos b sen a . sen b;

cos (a b ) = cos a . cos b + sen a . sen b;

Fazendo as operaes obtemos as frmulas de Werner

sen (a + b) + sen (a b) = 2 sen a . cos b ;

sen (a + b) - sen (a b) = 2 sen b . cos a;

cos (a + b) + cos (a b) = 2 cos a . cos b;

cos (a + b) - cos (a b) = -2 sen a . sen b;

Para deixar mais prticas estas frmulas mudamos as variveis: e

Somando e depois subtraindo membro a membro estas duas igualdades encontramos:

2a = p + q e 2b = p q donde

e Substituindo nas frmulas de Werner temos:

2) Transformao de sen p cos q: Para a transformao de expresses como sen p + cos q ou sen p cos q em produto, basta lembrarmos a propriedade dos arcos complementares, onde temos que:

Assim, ao se escrever

sen p + cos q = sen p + sen q2

e

sen p - cos q = sen p - sen q2

recai-se nas transformaes acima.

1 2 3 4 1 2 3 4+ , - , + e -

1 2 3 4

pba =+ qba =

2qpa +=

2qpb =

Obs: Estas relaes j transformam somas e diferenas em produtos.

2cos

22 qpqpsenqsenpsen +=+

2cos

22 qpqpsenqsenpsen +=

2cos

2cos2coscos qpqpqp +=+

222coscos qpsenqpsenqp +=

Frmulas de transformao em Produto

= qsenq2

cos

2

12

coscos

2cos

22

2cos

22

qptgqptg

qpsenqp

qpqpsen

qpqpsen

qpqpsen

+=

++=+/

/

/+/


3) Transformao de tg p tg q

Para a transformao de tg p + tg q e tg p - tg q, basta escrever as tangentes em funo de senos e cossenos. Assim:

logo logo

4) Frmulas de reverso: Transformao de produtos em somas ou diferenas: partir das frmulas de Werner Nos 2 membros temos os produtos que desejamos transformar em somas e diferenas. Basta reescrever as relaes;

qpqpsenqtgptg

coscos)(

+=+

qpqpsenqtgptg

coscos)(

=

qppqsenqpsen

qqsen

ppsen

qtgptgcoscos

coscoscoscos

==

qppqsenqpsen

qqsen

ppsen

qtgptgcoscos

coscoscoscos

+=+=+

sen (a + b) + sen (a b) = 2 sen a . cos b;

cos (a + b) + cos (a b) = 2 cos a . cos b;

cos (a + b) - cos (a b) = -2 sen a . sen b;

sen a . cos b = [sen (a + b) + sen (a - b)]

cos a . cos b = [cos (a + b) + cos (a - b)]

sen a . sen b = - [cos (a + b) - cos (a - b)]

Exerccios: 1) Fatore a expresso.

a) sen 5x + sen 3x = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

b) cos 3x + cos 7x = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

c) cos 10 - cos 40 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

d) 1 sen 80 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

e) sen 4x + sen 2x = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

f) sen 42 + sen 38 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

g) cos 10 - 1 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

2) Calcule o valor de

a) =125cos

12cos _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

b) =127cos

12cos _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

c) =24

cos24

sen _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ d) =

249

2432 sensen _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

3) Transforme o produto em somas ou diferenas

a) sen 40 . cos 12 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

b) 2 cos 5x . cos x = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

c) 2 sem 3x . sem 2x =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

4) A expresso

ysenxsenysenxsen

+

equivalente a:

a) ( ) 22

yxtgyxtg + b) ( ) tg (2x + 2y) tg (2x 2y)

c) ( ) 1

d) ( )

2

2yxtg

yxtg

+

e) ( ) 0


EQUAES TRIGONOMTRICAS EM SENO, COSSENO, OU

TANGENTE 1) Introduo: So consideradas equaes trigonomtricas aquelas que apresenta a incgnita submetida a

seno, cosseno, tangente etc. Exemplos; a) cos2 x 3 cos x + 2 = 0. c) tg x sen 3x = .

b) sen x = . d) 4 tg ( +

23 x + cos x = 1

A variedade dessas equaes imensa. Vamos estudar os tipos fundamentais que so as equaes imediatas em seno, cosseno e tangente que so do tipo. 1) kxsen = 2) kx =cos 3) kxtg = em todos os casos k uma constante real. 2) Conjunto soluo: (conjunto Universo)

Resolver uma equao em um conjunto universo significa determinar os valores de x que, colocados no lugar da incgnita satisfazem a equao (verdadeira). Por exemplo, se tivermos a equao x2 = 4 e vamos verificar sua soluo no conjunto = [0,10] temos uma s resposta x = 2 se resolvermos com base no conjunto = a resposta passa a ser x 2. 3) Resoluo de uma equao imediata: Existem vrios mtodos para a resoluo de uma equao imediata. Optamos pelo mtodo grfico e os requisitos para o entendimento desse mtodo so: I) Tabela dos arcos notveis 0o 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360

Sem 0 22

23

1 2

3 22 0 -1/2

22

23

-1 2

3

22

-1/2 0

Cos 1 23

22

0 -1/2 2

2

23

-1 2

3

22

-1/2 0 2

2 23 1

Tg

II) Simetrias:

y

x

+180 2

x

y

180

+180 360


-1 sen x 1 -1 cos x 1

-1 k 1

III Coordenadas dos pontos A, B Ae B. 4) Simetria dos arcos notveis no ciclo trigonomtrico. 5) Equao do tipo sen x = k ou cos x = k Resolvemos equaes do tipo. Exemplos: a) sen x = 23 b) cos x = 4 c) sen x = - 21 d) cos x = - 23 Pela tabela dos notveis verifica-se que os valores mximos e mnimos do seno e do cosseno so respectivamente 1 e -1, com isso e Assim, as equaes sen x = k ou cos x = k, k , tero raiz se e somente se: Assim, nos exemplos acima, a, c e d possuem razes, j o exemplo b no possui raiz.

y

xxA(1,0)

B(0,1)

B(0,-1)

(-1,0)A

Sen x = k ou cos x = k, em que k uma constante k

y

x

1

1-1

-1

30

00

4560

90

23

23

22

22

21

21

21

21


Graficamente

xa

x

x

y

Q

`Q P

1

-1

P x

x

a

Q

y

P

A

x a

2

x

Q

y

P

A

x

2

x

22 x

Em resumo:

A condio

arc sen a = x

com -1 a 1

Equivale a:

sen x = a

e - 22 x

P

A

y

x

x2Q

x

Notao arc cos a

Q

y

P x

a x

a

P

Q

y

x

x

0 x Em resumo A condio

arc cos a = x

com -1 a 1

Equivale a

cos x = a

e 0 x


Nos dois exemplos acima a soluo foi determinada dentro da 1 volta positiva no ciclo trigonomtrico. Caso o conjunto universo = a soluo seria:

Exemplos: 1) Resolver a equao sen x = , para 0 x < 2

Soluo: Devemos determinar os pontos P e Q do ciclo trigonomtrico que tm ordenada igual a .

6

y seno

P Q

x

6

Os valores de x da 1 volta positiva para os quais sem x = so:

6=x ou

65

6 ==x Logo

=

65,

6S

2) Resolver a equao cos x = 23 no conjunto

universo [ ]2,0=U Soluo: Determinamos os pontos P e Q do ciclo

trigonomtrico que possuem abscissa igual a -23

y

cosseno

P

0

Q

x 6

76

523

Os valores de x da 1 volta positiva para os quais

cos x = 23 so:

65

e 6

7. Logo S =

67,

65

NOTA:

S =

+=+= zkkxoukxx ,2

652

6/

Exerccios: 1) Resolva as equaes para 0 x 2 (1 volta positiva). a) sen x =

23 S =

b) cos x = 1 S = c) cos x =

22 S =

d) sen x = -22 S =

e) sen x = - 1 S = f) cos x = 0 S =

S =

+= zkkxx ,2

65/

2) Resolver as equaes a) (2 sen2 x-1)(4cos x - 2) = 0 para 0 x < 2 b) 2cos x sen x sen x = 0 para 0 x < 2 c) cosx sen x - cos x + sen x - 1 = 0 para 0 x < 2 d) 2 sen2 + sen x 1 = 0 para 0 x < 2 e) 2 cos3 x 7 cos2 x + 3 cos x = 0 para 0 x < 2 f) 2 cos2 x + sen x 1 = 0 para 0 x < 2


tg x = AT

Equao do tipo tg x = k Consideramos o ciclo trigonomtrico e um arco x descrito no sentido anti-horrio. Temos o eixo das tangentes perpendicular ao eixo das abscissas, com origem A e a mesma orientao do eixo das ordenadas.

Definio: Dado um arco

AP , P B de medida x, chama-se tangente de x (tg x) a ordenada do ponto T obtido pela interseco do prolongamento do raio OP com o eixo das tangentes.

y

cos x

sen x

B

A

P

A

T

tg x

x x

t

B

0

y

P

A

T

t

x

1 quadrante

0

y

P

A

T

t

x

2 quadrante

0

y

P

A

T

t

x

4 quadrante

0

y

P

A

T

t

x

3 quadrante

0

Se o arco

AP tem extremidade no 1 ou 3 quadrante a tangente positiva, com extremidade no 2 ou 4 quadrante a tangente negativa.

Nota:


S = { x x = x0 + k (k Z)}

Ao resolvermos a equao tg x = a no conjunto universo verificamos que a mesma tem soluo

qualquer que seja a , pois tg x pode assumir qualquer valor real. Se o ponto T (1, 0) assinalado no eixo das tg. Ento a reta OT determina os pontos P e Q sobre o ciclo trigonomtrico. Indiquemos por x0 a medida do arco correspondente ao ponto P. Tal que

.22 0


GEOMETRIA ANALTICA

1. Estudo do ponto: 1.1 Sistema Cartesiano Ortogonal de Coordenadas: Em um plano , consideremos dois eixos perpendiculares 0x e 0y, cuja origem a

interseco 0, e que tenham a mesma unidade de medida.

Esse sistema conhecido como sistema cartesiano ortogonal de coordenadas.

O plano determinado por esses eixos chamado de plano cartesiano. Os eixos 0x e 0y, denominados eixos coordenados, so respectivamente

o eixo das abscissas e o eixo dos ordenados. Os eixos coordenados separam o plano cartesiano em quatro regies

denominadas quadrantes. 1.2 Coordenadas de um ponto no plano cartesiano.

Dado um ponto P do plano cartesiano, chamamos de projeo ortogonal de P sobre um dos eixos 0x ou 0y a interseco desse eixo com a reta perpendicular a ele, traada por P.

P1 a projeo ortogonal de P sobre 0x. P2 a projeo ortogonal de P sobre 0y. Os nmeros xp e yp chamam-se coordenadas cartesianas de P. Xp a abscissa de P Yp a ordenada de P.

As coordenadas de P so representadas na forma de par ordenado P ( xp, yp)

Existe uma correspondncia bijetora entre os pontos do plano e os pares ordenados de nmeros reais.

1.3 Localizao espacial Um ponto (x, y) que esteja localizado: a) no 1 Q x > 0 e y > 0 b) no 2 Q x < 0 e y > 0 c) no 3 Q x < 0 e y < 0 d) no 4 Q x > 0 e y < 0 e) sobre o eixo 0x+ x *+ e y = 0 f) sobre o eixo 0x- x *- e y = 0 g) sobre o eixo 0y+ x = 0 e y *+ h) sobre o eixo 0y- x = 0 e y *-

A cada ponto do plano corresponde um nico par ordenado de nmeros reais

A cada par ordenado de nmeros reais corresponde um nico ponto do plano.

0 -3

-3

-2

-2

-1-1

1

1

2

2

3

3y

x

y

x0

I Q.(1 quad.)

II Q. (2quad.)

III Q. (3 quad.) IV Q.(4 quad.)

y

xP1

P2

xp

yp

0

y

x 0

1Q 2Q

3Q 4Q

(0,y -)

(0,y -) (x,0) + (x,0) -

z z -

-

P


Caso especial

Um ponto do plano cartesiano est sobre a bissetriz do 1 e 3 quadrantes

do tipo (x, y) em que x = y.

Um ponto do plano cartesiano est sobre a bissetriz do 2 e 4 quadrantes

do tipo (x, y) em que x = - y.

Exemplo sobre: 1.1, 1.2 e 1.3

1) Determine K para que o ponto B ( K2; 2K + 1 ) pertena ao 2 Quadrante

Soluo: Para B 2 Q. deve-se ter XB < 0 e yB > 0 d - < K < 1

1.4 Simetria Dado um ponto P (x, y) num plano cartesiano dizemos que:

O ponto A (x, -y) simtrico de P em relao ao eixo X;

O ponto B (-x, y) simtrico de P em relao ao eixo Y;

O ponto C (-x, y) simtrico de P em relao origem 0.

y

x45 45

bissetrizq. mpares

bissetrizq. pares

x

A

B

C

Py

K2 - 1 < 0 -1 < K < 1 c e

2K + 1 > 0 K > - d

0

-1 1

1

0

0

c d c


Exemplo 1.4

1) dado o ponto P (4, 3), achar os pontos abaixo:

a) A (simtrico de P em relao ao eixo x); b) B (simtrico de P em relao ao eixo y); c) C (simtrico de P em relao origem).

Soluo: Logo: A (4, -3) B (-4, 3) C (-4, -3)

x

A

B

C

P3y

-3

4-4


221 xxx +=

221 yyy +=

1.5 Coordenadas cartesianas no-ortogonais: Ao estabelecer um sistema de coordenadas cartesianas no- ortogonais, os eixos podem formar um ngulo (0 < < 180, 90).

Para determinarmos as coordenadas cartesianas de um ponto P

qualquer do plano, traamos, por P, paralelas aos eixos, obtendo a abcissa Xp e a ordenada Yp.

1.6 Coordenadas polares:

Fica estabelecido um sistema de coordenadas polares em um plano quando so escolhidos nesse plano:

1) Um ponto 0 chamado Plo; 2) Um semi-eixo 0x, que o eixo polar.

Tomamos um ponto P, distinto de 0, traamos a reta P0 . Indicamos por (rh) a distncia de P ao plo 0.

Os nmeros e so as coordenadas polares de P. Costuma-se dizer que o plo 0 tem = 0 e indeterminado. Assim, com exceo do ponto 0, a cada ponto do plano corresponde um nico par ordenado (; ) a) A (3, 4 ) b) B (2, )35 c) C (4, 0) d) D ( 25 ),

x

A

3

0 1.7 Ponto mdio de um segmento Considere P1 (x1, y1) e P2 (x2, y2) os pontos extremos de um segmento de reta e M (x, y) o seu ponto mdio.

Observando os tringulos retngulos destacados na figura, os mesmos so congruentes e, portanto: MBAP =1 e 2BPAM =

Sendo 11 xxAP = 1yyAM =

xxMB = 2 yyBP = 22

Logo x x1 = x2 x e y y1 = y2 y

2x = x1 + x2 2y = y1 + y2

y

x

Xp

Yp P

0x

P

0C

x= 4= 0

25

0 D x

B

x

2

0 3

5

y

x x 1

y 1 P 1

P 2

MB

A

x

y

x 2

y2

0


d = )2y y ( )2 x(x ABAB +

Exemplo 1.7

Sendo A (-4, 7) e B (6, -8) determine as coordenadas do ponto mdio do segmento AB .

Soluo: Sendo M o ponto mdio AB temos.

12

)6()4(2

=+=+= BAm xxx

21

2)8()7(

2=+=+= BAm yyy

1.8 Distncia entre dois pontos: Consideramos dois pontos distintos A (xA, yA) e B (xB, yB), tais que o segmento AB no seja

paralelo a nenhum dos eixos.

Aplicando no tringulo retngulo ADB o teorema de Pitgoras. d2 = (xB xA)2 + ( yB yA)2

Exemplo 1.8 Determine a distncia entre os pontos A (-4, 5) e B (2, -3)

Soluo: 106436)35()24()()( 2222 =+=++=+= BABAAB yyxxd

y

xxA

yA

d

B

DA

xB

(xB - xA)

(yB - y A)

yB

0

0 21,1M


y

xxA

yA

S

B

A E

F

xB

yS

xS

yB

0

AE = xS - xA SF = xB - xS

ES = yS - yA FB = yB - yS

1.9 Razo de Seo (Diviso de um segmento por um ponto)

Vamos admitir que um ponto S divide o segmento orientado no-nulo AB . Lembramos que o ponto S deve pertencer reta que passa por AB (com S + B) podendo ser interno ou externo ao segmento AB .

Passamos para o plano cartesiano em que AB est presente. AB no paralelo a nenhum dos eixos coordenados.

Os tringulos ASE e SBF so semelhantes.

Portanto c

Mas d e e

Substituindo d e e em c temos: SB

AS

SB

AS

yyyy

xxxx

SBASr

===

Ento: e ento

A

BS

A

BS

SBASr =

FBES

SFAE

SBASr ===

SB

AS

xxxxr

=SB

AS

yyyyr

=r

xrxx BAS ++=

1 ryryy BAS ++=

1


Nota:

1) Se A, B e S so pontos tais que A S e S B, ento r = 0=SBAS .

2) Se A, B e S so pontos tais que B S, ento no existe a razo r = SBAS .

3) Se o ponto S est entre A e B, ento a razo r = SBAS positiva. Nesse caso, dizemos que o

ponto S divide interiormente AB . 4) Se A, B e S so pontos distintos e colineares tal que S exterior ao segmento AB , ento a

razo r = SBAS negativa. Nesse caso, dizemos que S divide externamente AB .

Exemplo 1.9

Calcule a razo de seo em que o ponto

524,5 divide o segmento orientado AB sendo A (2,3) e

B (7,6)

Soluo: 23

5725 =

===

SB

AS

xxxx

SBASr

23

63

524

524 ==

==SB

AS

yyyy

SBASr

Exerccios 1) Determinar a razo em que o ponto C(3,6), divide o segmento AB, sendo A(1,2) e B(9,18) R: 1/3 2) Sendo A(1,3) e B(11,23), determinar o ponto C(xc, yc)que divide orientado AB na razo . R: C(3,7) 3) Dados A(-3,-5) e B(1,-1) determinar C(xc, yc) que divide o segmento orientado AB na razo -7/3 R: C(4,2) 4 ) Dados A(5,6) e B(8,9) determinar os pontos P e Q, entre A e B que dividem AB em trs partes congruentes. R: P(6,7) e Q(7,8)

5) Determine as coordenadas dos vrtices de um tringulo, sabendo que as coordenadas dos pontos mdios de seus lados so: M(-2,1) , N(5,2) e P(2,-3) R: C(-5,-4) , B(9,-2) , A(1,6) 1.10 Baricentro de um tringulo Conforme sabemos os trs medianos AD , BE e CF se cruzam num ponto G, chamado baricentro do tringulo. Teorema: Se ABC um tringulo com medianas AD , BE e CF , ento essas medianas concorrem em G

tal que: 12===

GFCG

GEBG

GDAG ou d AG = 2d GD

d BG = 2d GE d CG = 2d GF

Supondo conhecidas as coordenadas de A, B e C vamos determinar as coordenadas do baricentro G.


A partir da mediana AD . O ponto E ponto mdio de BC , logo

Como d AG = 2d GD podemos afirmar que G divide AD na razo r = 2=GDAG . Assim temos

( )

32112

2CBA

xxADA

Gxxxx

rxrxx

CB ++=++=+

+=+

( )

32112

2CBA

yyADA

Gyyyy

ryryy

CB ++=++=+

+=+

Conclui-se que, num tringulo de vrtices A (xA, yA) B (xB, yB) e C (xC, yC) tal que:

Exemplo 1.10

Os pontos A (4, 1) B (-1, 2) e C (3, 7) so vrtices de um tringulo. Determine as coordenadas de seu baricentro. Soluo: Sendo G (xG, yG) o baricentro temos

23

3143

=+=++= CBAG xxxx

310

3721

3=++=++= CBAG yyyy

1.11 Condio de alinhamento de trs pontos: Teorema: Trs pontos A (xA, yA) B (xB, yB) e C (xC, yC) so colineares (alinhados) se e s se.

0111==

CC

BB

AA

yxyxyx

D

2) Se dois dos trs pontos coincidirem (A B) teremos xA = xB e yA =

yB. Assim o determinante acima ter 2 linhas iguais, logo seu valor ser ZERO.

3) Se os trs pontos pertencerem a uma reta perpendicular ao eixo 0x,

ento teremos xA = xB = xC. Assim o determinante ter a 1 e a 3 coluna proporcionais, logo seu valor ser ZERO.

4) Se os trs pontos pertencerem a uma mesma reta perpendicular ao eixo 0y, ento teremos yA = yB=yC. Assim o

2CB

Dxxx +=

2CB

Dyyy +=e

3CBA

Gyyyy ++

3CBA

Gxxxx ++=

y

xx A

x BB

C

A

xC

yA

y B

y C

0

0

A

x = x = xA B C

B

C

y

x

0

y = y = yA B C

y

x

A B C

0 310,2G


y

xxA

yA

C

B

A

xB

yB

xC

yC

0

determinante ter a 2 e a 3 coluna proporcionais, logo seu valor ser ZERO. 5) Se os trs pontos forem distintos e pertencerem a uma reta no paralela a um dos eixos, ento,

pelo Teorema de Tales, temos:

=

=BC

AB

BC

AB

xxxx

yyyy

ACAB (xB -xA)(yC -yB)=(xC -xB)(yB-yA)

efetuando o produto em ambos os membros xB yC xB yB xA yC + xA yB = xC yB xC yA xB yB + xB

yA

xA yB + xB yC + xC yA xC yB xA yC xB yA = 0

O primeiro membro da igualdade igual ao desenvolvimento do determinante D. Portanto o seu valor ZERO.

Exemplo 1.11 Determinar os valores de a de modo que os pontos A (5a -6, 2) B (a2, 8) e C (4,12) sejam colineares.

Soluo: 1124181265

2aa

1.12 Exerccios (mdulo Estudo do ponto)

1) Sabe-se que o ponto A (3K - 1, 2 K) pertence bissetriz dos quadrantes pares de um plano cartesiano. Determine o valor de K.

2) Complete

a) Todo ponto pertencente ao eixo das abscissas tem _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ nula. b) Todo ponto pertencente ao eixo das ordenadas tem _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ nula. c) M (-4, 5) pertence ao _ _ _ _ _ _ _ _ quadrante. d) K ( 2 , 3) pertence ao _ _ _ _ _ _ _ _ quadrante. e) L (5, - 3 pertence ao _ _ _ _ _ _ _ _ quadrante.

f) N

49,

27 pertence ao _ _ _ _ _ _ _ _ quadrante.

3) Determine o valor de K para que o ponto R (3t 2, 8t + 4) pertence:

a) bissetriz dos quadrantes mpares. b) Ao 3 quadrante. c) Ao 2 quadrante.

4) Represente no plano cartesiano os pontos P (x, y) tais que

a) x = 3 b) y = -2 c) 1 x 3

x 1 0

y

x 1 0

y

x 1 0

y

8 (5a 6) + 12a2 + 8 32 12 (5a 6 ) 2a2 = 0

40a 48 + 12a2 + 8 32 60a + 72 2a2 = 0

10a2 20a = 0

a (10a 20) = 0 a = 0 ou a = 2


d) 1 < x < 3 e) 2 y 4 f) 2 < y < 4

g) 2 x 5 e y = 3 h) 2 < x < 5 e y = 3

5) Represente no plano cartesiano os pontos (x, y) tais que:

a) 1 x 3 e 2 y 4 b) 1 x 3 e 2 < y < 4 c) 1 < x < 3 e 2 < y < 4 d) 1 x 3 e 2 < y 4

x 1 0

y

x 1 0

y

x 1 0

y

x 1 0

y

x 1 0

y

x 1 0

y

x 1 0

y

x 1 0

y

x 1 0

y


6) Represente no plano cartesiano os pontos (x, y ) tais que:

a) b) x 1 e y > 2 c) d) e) 3 1

x 1 0

y

x < -1 e | y | > 1

x 1 0

y

x 1 0

y

x 1 0

y

x 1 0

y

x 1 0

y


Para um tringulo ABC temos A (4, -3) B (7, -1) e C (-5, 4)

Sendo E o ponto mdio da mediana AD , determine as coordenadas de E.

7) Sendo D (-1, -3) e E (4, 3) determine as coordenadas do ponto F, simtrico de E em relao a D.

8) Num paralelogramo ABCD temos A (-2, -1) e B (1, 4). Sabendo que suas diagonais encontram-se no ponto G (3, 2) determine as coordenadas dos vrtices C e D.

9) Calcular o permetro do tringulo ABC sendo: A (2, 2), B (5, 4) e C (3, 6).

10) Calcular o permetro do quadriltero ABCD, sendo A (-1, 1), B (2, 4), C (7, -8) e D (-1, -2).

11) Determine o valor de K sabendo que a distncia entre os pontos (7, 1) e (3, K) igual a 5.

12) Dados A (a, 4) B (-3, -2) e C (5, 2) determine o valor de a de modo que o ponto A seja eqidistante de B e C.

13) Determine os pontos do eixo das abcissas, cujas distncias ao ponto A (2, 3) so iguais a 5.

14) Determine o ponto da bissetriz dos quadrantes pares que eqidistante dos pontos A (-1, -4) e B (4, 3).

15) Sabendo que A, B e C so vrtices de um tringulo, para cada caso a seguir classifique ABC em retngulo, acutngulo ou obtusngulo. a) A (6, 5) B (3, 7) C (2, -1). _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

b) A (-2, 2) B (7, 5) C (3, -5). _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

c) A (3, 5) B (-4, 3) C (-7, -2). _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

16) Calcule o comprimento da mediana AM de um tringulo cujos vrtices so A ( )23,3 B (1, 5) e C (6, -1).

17) O centro de uma circunferncia est sobre a reta bissetriz dos quadrantes mpares. Sabendo que a

circunferncia passa pelos pontos A (-5, 2) e B (-3, -2) determine seu raio.

A

B CD

E


18) Sendo A (-2, 1) B (3, 2) C (1, -4) determine o circuncentro do tringulo ABC.

19) Idem para A (-3, 4) B (5, 5) C (2, -2).

20) Calcule K de modo que A (-5, K-2) B (-2, -3) C (6, K) o tringulo ABC seja retngulo em B.

21) Idem para A (K, 4) B (-7, 2a -1) C (0, 0) seja retngulo em C.

22) Num quadrado ABCD, os vrtices A (1, 2) e C (8, 3) so extremos de uma das diagonais. Determine os outros dois vrtices.

23) Idem para o quadrado ABCD sendo A (1, 2) e B (5, -1).

24) Em um paralelogramo ABCD, tem-se que A (4, 7) e C (5, 6) so vrtices opostos e D (2, 3). Determinar o vrtice B.

25) Ache as coordenadas do baricentro do tringulo ABC em cada caso. a) A (-1, 1) B (-2, 3) C (6, 7) b) A (1, 5) B (2, 8) C (9, 7)

26) Sendo E (-4, -1) e F (5, 6) determine as coordenadas dos pontos que dividem o segmento EF em trs partes do mesmo comprimento.

27) O tringulo OPQ da figura tem por baricentro o ponto G (2, 3). Determine as coordenadas de P e Q.

28) Num tringulo ABC so dados o baricentro G (1, 1), o ponto mdio M (-2, 5) do lado AB e o ponto

mdio N (0, 3) do lado BC . Determine as coordenadas dos vrtices A, B e C.

29) Dois vrtices consecutivos de um quadrado so os pontos A (1, 4) e B (3, 6). Determine os outros dois vrtices.

0 P x

y

Q


Universidade Federal de Santa Maria Colgio politcnico - UFSM

Curso Tcnico em Geomtica 044.BAS.MAT.02. Prof. Antoninho

GEOMETRIA ANALTICA ESTUDO DA RETA

1.1 Equao geral da reta: Utilizaremos a condio de alinhamento de trs pontos. Vamos supor que A, B e C so pontos distintos pertencentes a uma reta r no paralela aos eixos cartesianos. Ento temos:

ou ainda

(yB yA )(xC xB ) = (yC yB )(xB xA )

desenvolvendo e passando os termos para o 1 membro, obtemos xA yB + xB yC + xC yA xA yC xB yA xC yB = 0

O primeiro membro da expresso acima igual ao desenvolvimento do determinante D formado pelas coordenadas dos pontos A, B e C quando alinhados. (Regra de Sarrus)

por Sarrus

Logo, para determinarmos a equao geral da reta vamos admitir dois pontos distintos A (xA ,yA) e B (xB ,yB) sobre uma reta r. Sendo P (x, y) um ponto genrico dessa reta temos pela condio de alinhamento entre A, B e P.

desenvolvendo obtemos x yA + xA yB + y xB xB yA xA y x yB = 0 ou ainda (yA yB)x + (xB xA)y + (xA yB xB yA ) = 0

Fazendo temos a equao Exemplo:

Consideramos os pontos A (2, 1) B (1, -1) e um ponto genrico (qualquer) G (x, y). Para que A, B e G sejam colineares, devemos ter: Desenvolvendo temos x 2 + y 1 + x 2 y = 0 Essa equao representa todos os pontos G (x, y) que esto alinhados com A (2, 1) e B (1, -1) e por isso chamada equao da reta AB .

0111=

BB

AA

yxyxyx

yA yB = a xB xA = b xA yB xB yA = c Eq. Geral da reta r

0=++ cbyax

01111121=

yx

032 = yx

x

y

P

A

B

yA

y yB

xB xA x

0

1

1

1

=CCCC

BBBB

AAAA

yxyx

yxyx

yxyx Troca o sinal

Conserva o sinal

0111==

CC

BB

AA

yxyxyx

D

BC

BC

AB

AB

xxyy

xxyy

=

XA XB XC X

y YC YB YA

A

B

C

0


Por exemplo:

K = 2 4x 6y + 4 = 0 e K = -3 -6x + 9y 6 = 0 so equaes gerais de r

1.2 Coeficiente angular de uma reta:

Seja uma reta r no-paralela ao eixo 0x e seja P o ponto onde r corta o eixo 0x.

= ngulo no sentido anti-horrio compreendido entre o eixo 0X e a reta r. chamado de inclinao da reta.

Se a reta r for paralela ao eixo 0X ento sua inclinao NULA. Donde conclui-se que:

Definio: Com isso temos:

y

0 x

= 0

0

= 90 m

> 90 m < 0

= 0 m = 0

0 x P

y

r

r

0 x P

y

2=

< 90 = 90

r 0 x P

y

> 90


Existem 3 casos de clculo do coeficiente angular de uma reta r:

1 caso: Quando conhecemos a direo da reta r, no caso . Neste caso basta determinar a tangente de .

Exemplo: O coeficiente angular de r, nos casos abaixo :

m = tg m = tg

m = tg 30 m = tg 135 2 Caso: Quando conhecemos dois pontos distintos da reta r, A (xA, yA) e B (xB, yB).

Exemplo: O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (2, 5) e B (1, 1). 3 Caso: Quando conhecemos a equao geral da reta Sabemos que: a = y = yA yB b = x = xA xB e que 1 Nota: as diferenas y e x devem ser efetuados num mesmo sentido, isto , ambas de A para B, ,

ou ambas de B para A, , ento na expresso acima faremos: y = - (yB yA) = - y

Substituindo em 1 obtemos que

A

y

1 x20

5

B1

414

1215 ==

=m

0=++ cbyax

xym

=

bam =

AB

AB

xxyy

BA

BA

xxyy

33=m 1=m

AB

AB

xxyy

adjcatopcattgm

===..

.

0

B

CA

y

Ay

By

Ax BxAB xx

AB yy

x

0 x

y

=30 0 x

y

=135


Exemplo: O coeficiente angular da reta s de equao geral 4x 6y 5 = 0 :

1.3 Equao reduzida da reta:

A partir da equao geral de uma reta r ax + by + c = 0 e tendo b 0, podemos determinar a equao reduzida de r isolando o valor de y em funo de x: ax + by + c = 0 by = -ax c Fazendo (coeficiente angular) m = tg

(coeficiente linear) ponto em que a reta r corta OY.

Equao reduzida da reta Exemplo: Conhecendo a equao geral da reta 3x + 5y 10 = 0. A forma reduzida da equao de r : 5y = -3x + 10 e k = 2 1.4 Equao segmentaria da reta:

A equao segmentaria de uma reta r tem por base na sua formao, os pontos em que r intercepta os eixos. Vamos supor que r intercepta o eixo OX em P (p, o) e OY em Q (o, q). desenvolvendo qx + py pq = 0 dividindo todos os termos por pq

equao segmentaria de r . Exemplo: a) A reta cuja equao segmentaria Seu grfico :

32=m=

==32

64

bam

bcx

bay =

kmxy +=

253 += xy

53=m

Qq

P

y

xp

010101=

qp

yx

y

x

3

2

0=+pqpq

pqpy

pqqx 1=+

qy

px

bam =

bck =

x

),0( k

k

y

510

53 += xy

132=+ yx

2

y

x


b) A equao segmentaria de r : Seu grfico :

1.5 Equao Fundamental da reta: A equao Fundamental de uma reta r tem por base a sua formao quando so conhecidos, seu coeficiente angular m e um ponto P (xo, yo) por onde ela passa. Se r a reta no vertical que passa pelo ponto P (xo, yo) e tem coeficiente angular m, ento uma equao de r denominada equao fundamental da reta.

Seja G (x, y) um ponto qualquer de r distinto de P. O ponto G pertence reta r se, e somente se, o coeficiente angular calculado atravs de P e G igual a m, logo

Exemplo: A equao da reta que passa por P (2, 3) e tem coeficiente angular m = -2 ter como equao: Y yo = m (x xo) y 3 = -2 (x 2) Y 3 = 2x + 4 072 =+ yx 1.6 Interseco de duas retas concorrentes

Duas retas r e s so concorrentes em um ponto P (xo, yo) se este ponto satisfaz as equaes de r e s. Se r: a1 x + b1 y + c1 = 0 s: a2 x + b2 y + c2 = 0 ento resolvendo o sistema

Pelo teorema de Cramer temos que este sistema ter uma nica soluo se, e somente se: Essa a condio necessria e suficiente para que r e s sejam concorrentes. Exemplo: Sejam as retas r: 2x y 5 = 0 e s: 3x + y 10 = 0, verificando se as mesmas so concorrentes, temos que verificar o valor do , como D 0 temos que r e s so concorrentes, ento ento resolvendo o sistema. x = 3 2 3 y = 5 y = 1 Logo, r s = { (3, 1) }

y

x5

2

0

oy

ox

r

P

x

y),( yxG

tgm =

y yo = m (x xo) = m

xxyy

o

o

)( oo xxmyy =

a1 x + b1 y + c1 = 0 a2 x + b2 y + c2 = 0

a1 x + b1 y = - c1 a2 x + b2 y = - c2

2x - y = 5 3x + y = 10 + 5x = 15

022

11 baba

522

11 ==baba

D

125=+

yx


1.7 Posies relativas de duas retas 1.7.1 Introduo Sejam r e s duas retas contidas em um mesmo plano. Diremos que: Dada uma reta r de um plano cartesiano diremos que:

1.7.2 Retas Paralelas

Consideramos r e s no verticais, cujas equaes reduzidas so: r : y = mr x + kr s : y = ms x + ks Para que r e s sejam paralelas a inclinao de ambas devem ser iguais, logo e

Caso Especial:

No caso em que as retas r e s so verticais, so tambm paralelas e ambas tem equao do tipo

a) r e s so concorrentes se e s se, elas tem apenas um ponto em comum, isto r s = {A} onde A o ponto de interseco.

b) r e s so paralelas se e s se, elas no tem nenhum ponto em comum, isto r s = 0 indicamos r//s.

rs

c) r e s so coincidentes se, e s se, so a mesma reta.

r = s sr =

A

r

s

b) r horizontal se e s se r paralela ao eixo OX

a) r vertical se e s se r paralela ao eixo OY

y

x

r

0

y

x

r

0

sr mm = sr kk

r sy

xrk sk

0

skx =rkx =

X = constante

r

s

y

x

rk

sk

r s


1.7. 3 Retas concorrentes

Consideremos r e s no verticais e com-

correntes de equaes

r : y = mr x + kr

s : y = ms x + ks

Neste caso as inclinaes devem ser distintas, logo:

1.7.4 Retas Coincidentes Sendo r e s retas no verticais, de equaes reduzidas.

r : y = mr x + kr

s : y = ms x + ks

Para que r e s sejam coincidentes devemos ter

e

1.7. 5 Retas Perpendiculares

Sejam duas retas perpendiculares r e s (que no sejam paralelas a nenhum dos eixos) tais que suas inclinaes sejam r e s (supomos s > r) e seus coeficientes angulares mr e ms. No tringulo o s externo portanto, ele igual soma dos internos no-adjacentes: s = r + Assim

Da trigonometria sabemos que:

Logo

podemos escrever tg s = - cotg r ou tg s = - e Com isso podemos escrever:

ou ou

Exemplo: Sendo dadas as retas r: y = 2x + 3 e s: y = 121 + x com

isso r s porque mr ms = 2 121 =

Podemos verificar graficamente;

sr mm

sr mm = sr kk =

tg s = ms tg r = mr

rs m

m 1=s

r mm 1= 1= sr mm

2

+=

2 rs tgtg

gtg cot2

=

+

rtg1

r

sy

x

r s

0

sr =y

x

sr =

0

sr kk =

r

sy

xr s0


1.7.6 ngulo entre duas retas Consideremos as retas r e s no-paralelas e no-perpendiculares. As mesmas formam os ngulos e (agudo e obtuso respectivamente). Sendo e suplementares, ao calcular teremos . No caso da fig.1 o ngulo s externo em relao ao tringulo sombreado. Neste caso deve ser igual soma dos internos no- adjacentes. Ento: s = r + = s - r tg = tg (s - r) = Mas: tg s = ms e tg r = mr mr e ms so os coeficientes angulares de r e s, Logo No caso da fig. 2 temos: s = r + = s - r tg = tg (s - r) =

rs

rs

mmmmtg +

=1

como tg = -

Estas duas frmulas so resumidas numa s.

Observando que agudo, devemos ter tg > 0 Ento: rs

rs

mmmmtg +

=1

ou Caso especial: Se uma das retas vertical

Estas duas frmulas esto resumidas numa s

Neste caso s = +

2 = s -

2

tg = tg

2 s = - cotg s

tg = - ss mtg

11 = smtg 1=

Neste caso s = s +

2 =

2 - s

tg = tg

s2 = - cotg s

tg = ss mtg

11 = smtg 1=

smtg 1=

rsy

x

s0

1.fig

r

rs

rs

mmmmtg +

=1

sr

sr

mmmmtg +

1

rs

rs

tgtgtgtg

+=

1

rs

rs

mmmmtg +

=1

rs

rs

tgtgtgtg

+

1

r

s

y

x

s0

2.fig

r

r

s

y

x

s0

rs

y

x

s0


Exemplo: Determine o ngulo agudo formado pelas retas r e s de equaes 3x y + 2 = 0 e 2x + y 1 = 0 respectivamente. Soluo: Vamos representar as retas: r: y = 3x + 2 s: y = -2x + 1 e identificar geometricamente o ngulo agudo entre r e s Temos mr = 3 e ms = -2

tg = 1 conclui-se que == 454

1.7.7 Distncia de um ponto a uma reta Consideramos um ponto P (xo, yo) e uma reta r de equao geral ax + by + c = 0, tais que P r e r no vertical nem horizontal.

E o ponto da reta r de abcissa xo F o ponto da reta r de ordenada yo Consideramos o tringulo retngulo

PEF (em todo tringulo retngulo, o produto da medida da hipotenusa pela medida de sua altura relativa igual ao produto das medidas dos catetos).

EF d = PE PF

P r logo ax0 + by0 + c 0, ento

y

x0 1

1161

5)2(31

)2(31

===+=+

=sr

sr

mmmmtg

22

00

ba

cbyaxd +

++=

20

0

20

0

20

0

20

0

++

++=

+++

+a

cbyxb

caxydb

caxya

byx

acbyax

bcaxby

dbabacbyax

++++=+++ 0000

22

00

++=+ cbyaxdba 0022

( ) 22 0022

0022

222

00)()(

acbyax

bcaxbyd

babacbyax ++++=

+++

y

x0

d

+o

o ya

cbyF ,

+b

caxxE oo ,

0: =++ cbyaxr),( oo yxP


Exemplo: Calcular a distncia do ponto P (2, 1) reta r: 3x 4y + 8 = 0 Soluo: Representando o ponto e a reta no sistema cartesiano, teremos uma idia da distncia d. Logo:

Exerccios

1) Determine o valor de k de modo que os pontos (k, 4), (11, k) e (-1, 3) estejam alinhados. 2) Determine o ponto em que a reta AB intercepta a bissetriz dos quadrantes pares, sendo A(0, -8) e B(5, 7). 3) Determine o ponto da reta AB que pertence ao eixo das abscissas, sendo A(5,-1) e B(-1,2). 4) Determine os valores de k de modo que os pontos A(k, -1), B(-1, k) e C(4, -2) sejam vrtices de um tringulo. 5) Representar no plano cartesiano as retas cujas equaes so dadas abaixo. a) 3x 2y + 2 = 0 d) y + 1 = 0 b) 2x + y = 0 e) x + y = 0 c) x + 2 = 0 f) x y = 0 6) Determine os pontos onde a reta da equao 2x +3y 12 = 0 intercepta os eixos coordenados. 7) Considere a reta r: 4x3y +10 = 0. Verifique quais dos pontos abaixo pertencem a r: a) (-1,2) b) (3,5) c) (0,2) 8) Seja r: 4x y 3= 0 e s: 3x +y 11= 0 duas retas. Determine o ponto de interseco r s. 9) Verifique se as retas r, s e t de equaes r: 3x +2y -5= 0, s: 2x 3y 12= 0 e t: x 2y7= 0 se cortam em um s ponto. 10) Determine os vrtices do ABC conhecendo as equaes das retas que contm os lados AB : x -3y +7= 0, AC : x y +1= 0 e BC : x -2y +5= 0.

y

x0

a = 3 b = -4 c = 8 x0 = 2 y0 = 1

2501

)4(3

8142322

=///=+

+=d

22

00

ba

cbyaxd +

++=


11) Sendo A (-2,3) e B (4,-1) determine a equao da mediatriz do segmento AB . 12) Considerando os pontos A (3,4) e B(8,9) e a reta r de equao 3x y +1= 0, determine o ponto de r que eqidistante de A e B. 13) Considerando as equao de retas r: x- 3y +12= 0 e s: 5x +3y -6= 0 consideramos um ponto A da reta r e um ponto B da reta s tais que o ponto M (6,2) seja o ponto mdio do segmento AB . Determine as coordenadas dos pontos A e B. 14) Sabendo que a equao da reta r: x -4y +17= 0, determine um ponto de r cuja distncia do ponto A (8,2) igual a 34 . 15) A reta r de equao x +2y + k= 0 intercepta os eixos Ox e Oy nos pontos A e B respectivamente. Determine o valor de k de modo que o tringulo OAB tenha rea igual a 25. 16) Considere os pontos A (-2, 2), B (2,4), C (4, 1) e P (1, a). a) determine os valores de a de modo que P pertena a um lado do ABC. b) determine os valores de a de modo que P esteja no interior do ABC. 17) Represente no plano cartesiano os pontos (x, y) tais que: x +y -2= 0 e x -2y -5= 0. 18) Represente no plano cartesiano os pontos (x,y) tais que: x +y -2= 0 ou x -2y -5= 0. 19) Represente no plano cartesiano os pontos P(x,y) tais que: (x -3y +3)2 - (4x +3y -12)2 = 0. 20) Determine a figura representada no plano cartesiano pelas equaes: a) (x +y)2 = (3x y)2 b) (2x +y -1)3 = (x y +2)3 21) Qual a figura representada pela equao a) x2 -9y2 =0 b) 4x2 -12xy +9y2 =0 22) So dados os ponto A (4,-3) e B (0, 51 ). Determine os valores de a de modo que a reta de equao (a2 -1) x + (a2 +1) y-1 =0 tenha o mesmo coeficiente angular da reta AB . 23) A reta r tem coeficiente angular igual a 2 e corta o eixo das ordenadas no ponto (0,-5). A reta s tem coeficiente angular igual a 3 e corta o eixo das ordenadas no ponto (0,4). Determine a interseco de r e s. 24) Seja uma reta r de equao y= 4x -3 e um ponto A (6,-1). Determine a equao da reta s que passa por A e paralela r. 25) Num tringulo ABC, os pontos M(7,2), N(8,6) e P(4,5) so os pontos mdios dos lados AB , BC e AC . Determine a equao das retas AB , BC e AC e as coordenadas de A, B e C. 26) Consideremos as retas r, s e t cujas equaes y= 4x -1, y= -3x +2 e y= 5x +(3k -7). Determine o valor de k de modo que as retas se cruzem em trs pontos.


27) Determine os valores de k de modo que as retas y= (3k -1) x +1 e y= (k2 -4k +9) x +7 sejam paralelas. 28) As retas r, s e t tm equaes 2x -3y +1= 0, x +3y -6= 0 e 4x y +2= 0. Determine a equao da reta paralela reta r e passa por s t. 29) Determine a equao da reta que passa pelo ponto A ( 3 ,4) e paralela bissetriz dos quadrantes pares. 30) Mostre que o quadriltero ABCD onde A(-2,-5), B(2,6), C(4,7) e D(0,-4) um paralelogramo. 31) No paralelogramo ABCD so dados as equaes: AB 5x +y -2= 0 BC 3x -2y -1= 0 Sendo D(-2,0), determine A e C. 32) Determine os valores de a para os quais as retas ax +3y +1= 0 e 12x +ay +2 = 0 so paralelas. 33) Estude, segundo os valores de a, as posies relativas das retas r e s dadas pelas equaes: r: (a +2) x +4y +4= 0 e s: (2a +1) x + (a +3) y +5 = 0. 34) Mostre que as retas r e s de equao r: (2a +1) x + (a -1) y +1= 0 e s: (a +2) x + (a +1) y +3 = 0 so concorrentes para todo aR.

35) Determine o valor de k de modo que a representao grfica do sistema

=++=+

0730154

kyxyx

seja um ponto. 36) Determine o valor de k de modo que a representao grfica do sistema

=++=+

0214)3(01)2(4

yxkykx

seja uma reta.

37) Considere a reta r: 3x +5y -2= 0. Determine a equao da reta s que passa por A(-1,4) e perpendicular a r. 38) Sendo A(1,5) e B(3,9) determine a equao da mediatriz de AB . 39) Seja r: 2x +3y +1= 0 e o ponto A(4, 5). Determine projeo de A perpendicular r. 40) D as coordenadas do ponto A, simtrico de B(3,-2) em relao reta r de equao 2x -3y +14= 0. 41) Considere as retas r e s de equao 5x y +3= 0 e 2x -3y +11= 0. Determine a eq. da reta que simtrica de r em relao a s. 42) Sendo A(1,2), B(3,7) e C(6,3) determine as coordenadas do ortocentro do ABC. 43) Para o ABC anterior, determine o comprimento da altura AE . 44) No tringulo ABC a reta mediatriz do lado AB tem equao x +y -4= 0 e a reta mediatriz do lado AC tem equao x -2y +6= 0. Sendo A(1,1), d as coordenadas dos vrtices B e C.


45) Num losango ABCD conhecemos o vrtice A (2,5) e a eq. da reta r que contm a diagonal BD : 2x y +3= 0. Determine a equao

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