Embed Size (px)
Citation preview
Дисциплина МАТЕМАТИКА
Преподаватель: Стефанюк Е.Г.
Дата 01 .06.20., понедельник
Группа: Ст-19
Срок выполнения: 01.06. 20.
Время выполнения: 4 часа
Электр. почта [email protected]
Обратная связь: 89526649045
1. Инструкция по выполнению работы:
1.Запишите в тетрадь тему занятия.
2. Выполните конспект.
3.Выполните задания для самостоятельного решения
I.ТЕОРИЯ
Призма Призма — это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, находящимися в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами.
Грани, которые находятся в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы, а остальные грани — боковыми гранями призмы. В зависимости от основания призмы бывают:
Призма с боковыми рѐбрами, перпендикулярными еѐ основаниям — как на предыдущих рисунках — называется прямой призмой. Прямая призма называется правильной, если еѐ основания — правильные многоугольники. Призма, боковые рѐбра которой не перпендикулярны основаниям, называется наклонной призмой. Расстояние между основаниями призмы называется высотой призмы.
Обрати внимание! Высота прямой призмы совпадает с боковым ребром. Высота наклонной призмы — это перпендикуляр, проведѐнный между основаниями призмы. Часто перпендикуляр проводят от одной из вершин верхнего основания. Без дополнительных условий невозможно определить, в какую точку проецируется высота наклонной призмы.
2. Параллелепипед
Теория:
Параллелепипед — это четырѐхугольная призма, все грани которой
являются параллелограммами.
Параллелепипеды — особая группа призм.
Как видно на данных рисунках, объѐмные рисунки прямых
параллелепипедов практически не отличаются друг от друга.
У параллелепипеда 12 рѐбер и 6 граней.
Виды параллелепипедов
Прямой параллелепипед (когда ребро перпендикулярно основаниям), основание —
параллелограмм
Прямоугольный параллелепипед, основание — прямоугольник
Правильная четырѐхугольная призма, основание — квадрат, высота призмы не
обязательно равна стороне основания (рис 1)
РИС. 1 РИС.2
Куб, все рѐбра куба равны, все грани — квадраты (рис. 2)
3. Диагонали и диагональное сечение призмы
Теория: Диагональ призмы — это отрезок, который соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани.
Диагональ не существует только у треугольной призмы. Если диагонали основания прямой призмы равны, то диагонали самой призмы тоже равны.
Например, у куба, правильной четырѐхугольной призмы, прямоугольного
параллелепипеда, диагонали равны: DF=EC, т. к. DB=CA —
а у параллелепипеда, в основании которого находится
параллелограмм, диагонали только попарно равны: DF≠EC, т. к. DB≠CA.
Обрати внимание! Объѐмные рисунки прямоугольного и прямого параллелепипедов не отличаются друг от друга.
Диагональное сечение призмы — это сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащие одной грани.
Каждое диагональное сечение содержит две диагонали призмы. Диагональное сечение прямой призмы является прямоугольником.
Диагональное сечение наклонной призмы — параллелограмм.
Обрати внимание! У правильного шестиугольника диагонали бывают двух видов — короткие и длинные.
В связи с этим существуют два вида диагональных сечений шестиугольной призмы.
Пример: как найти диагонали правильного шестиугольника, если известна длина его стороны?
CE — одна из коротких диагоналей шестиугольника, BE — одна из длинных
диагоналей.
Учитывая то, что углы правильного шестиугольника равны 120 градусов,
легко найти прямоугольный треугольник, в котором есть угол 30 градусов, и
использовать соотношения в этом треугольнике.
4. Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда
Теория: Прямая призма, основанием которой является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом.
Длины трѐх рѐбер, имеющих общую вершину, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.
Например, три измерения — это длины трѐх рѐбер DA,DC,DD1.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трѐх его измерений: d2 =a2 + b2 + c2 ,
где a,b,c — измерения прямоугольного параллелепипеда, т. е. его длина, ширина
и высота.
На рисунке: DB12=DA2+DC2+DD12.
Обрати внимание! У прямоугольного параллелепипеда все диагонали равны:
DB1=CA1=AC1=BD1.
Пример: формула диагоналей куба.
Так как у куба все измерения равны, обозначаем их за a, тогда
d2
=a2 +a
2 +a
2= 3 a
2.
Упрощаем и получаем формулу диагонали куба:
d=a√3. 5. Углы, образованные диагоналями призмы и еѐ гранями
Теория: При решении задач очень важно уметь обозначать углы, образованные диагоналями призмы и еѐ боковыми гранями.
Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и еѐ проекцией на эту плоскость.
Чтобы найти угол между наклонной и плоскостью, необходимо: 1. провести наклонную; 2. из конца наклонной провести перпендикуляр к плоскости; 3. провести проекцию наклонной; 4. обозначить угол между наклонной и еѐ проекцией.
Углы между диагональю и плоскостью основания в прямом параллелепипеде
Угол BDF — угол, образованный диагональю DF и плоскостью основания ABCD .
Треугольник DBF — прямоугольный.
Угол ECA — угол, образованный диагональю EC и плоскостью
основания ABCD.
Треугольник ECA — прямоугольный.
Угол между диагональю и боковой гранью прямоугольного параллелепипеда
Угол FDG — угол, образованный диагональю FD и боковой гранью DKGC.
Обрати внимание! Ребро прямоугольного параллелепипеда перпендикулярно боковой грани,
поэтому треугольник DFG — прямоугольный.
Угол FDE — угол, образованный
диагональю FD и боковой гранью AEKD.
Обрати внимание! Ребро прямоугольного параллелепипеда перпендикулярно боковой грани,
поэтому треугольник FDE — прямоугольный.
Угол, образованный диагональю и плоскостью основания правильной шестиугольной призмы
Угол CFC1 — угол, образованный
большей диагональю призмы и плоскостью основания ABCDEF.
Треугольник CFC1 — прямоугольный.
ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ:
1.Вопросы по четырѐхугольной призме
Условие задания: Дано: четырѐхугольная наклонная призма. Что является основанием данного тела? Совпадает ли высота с боковым ребром? Ответ: основанием является...
квадрат
параллелограмм
прямоугольник
любой четырѐхугольник
Высота с боковым ребром...
не совпадает
совпадает
2. Вопросы по четырѐхугольной призме
Условие задания: Дано: четырѐхугольная прямая призма.
Что является основанием данного тела? Совпадает ли высота с боковым ребром? Ответ: основанием является...
квадрат
параллелограмм
прямоугольник
любой четырѐхугольник
Высота с боковым ребром...
не совпадает
совпадает
3. Вопросы по определению параллелепипеда
Условие задания: Закончи предложения, выбери правильный вариант ответа. Основанием параллелепипеда является
произвольный четырѐхугольник
параллелограмм
квадрат
прямоугольник
Основанием прямого параллелепипеда является (в общем случае)
произвольный четырѐхугольник
параллелограмм
квадрат
прямоугольник
Основанием прямоугольного параллелепипеда является
параллелограмм
прямоугольник
квадрат
Прямоугольный параллелепипед, основанием которого является квадрат, называется
квадратным параллелепипедом
кубом
правильной четырѐхугольной призмой
4. Вопросы по определению куба
Условие задания: Закончи предложения, выбери правильный вариант ответа.
У куба имеются граней и рѐбер. РЕШИ ЗАДАЧИ
5. Угол между диагональю и основанием в кубе
Условие задания: Ребро куба равно 12 м. Вычисли угол, который образует диагональ куба с
плоскостью основания.
6. Диагональ прямоугольного параллелепипеда
Условие задания: Вычисли диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его длина
равна 9 см, ширина — 12 см и высота — 8 см.
7. Площадь диагонального сечения призмы
Условие задания: Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 8 м и 15 м. Боковое
ребро равно 4 м. Вычисли площадь диагонального сечения.
8. Высота треугольной призмы
Условие задания: Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с
катетами 9 см и 12 см.
Площадь большей боковой грани равна 105 см2.
Вычисли высоту призмы.
9. Площадь поверхности куба
Условие задания: Объѐм куба равен 125 куб. ед. Вычисли площадь полной поверхности куба.
10. Диагональ прямоугольного параллелепипеда
Условие задания: Меньшая сторона основания прямоугольного параллелепипеда равна 15 м, а
высота параллелепипеда равна 20 м. Вычисли длину диагонали
параллелепипеда, если она с меньшей боковой гранью образует угол 60°.
11. Диагональ прямого параллелепипеда
Условие задания: Основанием прямой призмы является параллелограмм, стороны которого
равны 10 см и 4 см, а тупой угол равен 120°. Высота призмы равна 3 см.
Вычисли большую диагональ призмы и тангенс угла, который образован этой диагональю и плоскостью основания.
12. Площадь основания и высота треугольной
призмы
Условие задания: Основанием прямой призмы ABCKLN является равнобедренный треугольник.
Площадь грани AKLB равна 192 кв.см, угол ACB=120°, AC=CB= 16 см.
Вычисли площадь основания и высоту призмы.
13. Площадь основания призмы
Условие задания: Диагональ правильной четырѐхугольной призмы равна 16 см и образует с
боковой гранью угол 30°. Вычисли площадь основания призмы.
14. Площадь сечения правильной треугольной
призмы
Условие задания: В правильной треугольной призме проведена плоскость через сторону основания и середину противоположного бокового ребра. Вычисли площадь сечения, если
сторона основания призмы равна 8 см, а высота призмы равна 14 см.
