Vetores Cartesianos

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  • FAP - UNIESP

    Mecnica Geral

    Vetores Cartesianos

    Prof. Natlia Cardoso Dal Molin Ferreira

  • VETORES CARTESIANOS

    As operaes de lgebra vetorial, quando

    aplicadas para resolver problemas em trs

    dimenses, so enormemente simplificadas se

    os vetores forem primeiro representados na

    forma de um vetor cartesiano.

  • SISTEMA DE COORDENADAS DESTRO

    Dizemos que um sistema de coordenadas

    retangular destro desde que o polegar da

    mo direita aponte na direo positiva do

    eixo z, quando os dedos da mo direita

    esto curvados em relao a esse eixo e

    direcionados do eixo x positivo para o eixo y

    positivo.

  • SISTEMA DE COORDENADAS DESTRO

  • COMPONENTES RETANGULARES DE UM VETOR

    Um vetor B pode ter uma, duas ou trs

    componentes retangulares ao longo dos

    eixos coordenados x,y e z, dependendo de

    como o vetor est orientado em relao aos

    eixos.

  • COMPONENTES RETANGULARES DE UM VETOR

    zyx BBBB

  • VETORES CARTESIANOS UNITRIOS

    Em trs dimenses, os vetores cartesianos

    unitrios, i, j e k so usados para designar as

    direes dos eixos x,y, z, respectivamente.

    REPRESENTAO DE UM VETOR CARTESIANO

    kBjBiBB zyx

  • INTENSIDADE DE UM VETOR CARTESIANO

    222

    zyx BBBB

  • DIREO DE UM VETOR CARTESIANO

    A

    A

    A

    A

    A

    A

    z

    y

    x

    cos

    cos

    cos

  • DIREO DE VETORES CARTESIANOS

    Se B for expresso sob a forma de um vetor

    cartesiano, uB ter uma intensidade de um e ser

    adimensional, desde que B seja dividido pela sua

    intensidade, ou seja,

    kjiu

    kB

    Bj

    B

    Bi

    B

    B

    B

    Bu

    B

    zyxB

    coscoscos

  • DIREO DE VETORES CARTESIANOS

    Existe ainda uma relao importante entre os

    cossenos diretores, que dada por:

    1coscoscos 222

  • ADIO DE VETORES CARTESIANOS

    A adio ou subtrao de dois ou mais vetores

    bastante simplificada de os vetores forem

    expressos em funo de suas componentes

    cartesianas.

    Se considerarmos vrias foras, ento a

    resultante ser o vetor soma de todas as foras

    do sistemas e poder ser escrita como:

    kFjFiFFF zyxR

  • EXEMPLO 1:

    Expresse a fora F, mostrada na figura, como um

    vetor cartesiano:

  • SOLUO

    Como apenas dois ngulos de direo

    coordenados so dados, o terceiro ngulo deve ser calculado pela equao:

    5,0)707,0()5,0(1cos

    145cos60coscos

    1coscoscos

    22

    222

    222

  • SOLUO

    Da figura, necessrio que cos seja positivo, pois est na direo +x.Logo, com F=200N, vem que:

    NkjiF

    kjiF

    kFjFiFF

    )4,1410,1000,100(

    )60cos200()60cos200()60cos200(

    coscoscos

  • EXEMPLO 2:

    Determine a intensidade e os ngulos de direo

    coordenadas da fora resultante que atua sobre o

    anel da figura:

  • EXEMPLO 2:

    Uma vez que cada fora est representada na

    forma vetorial cartesiana, a fora resultante :

    )10010050{}8060{

    21

    kjikjF

    FFFF

    R

    R

  • EXEMPLO 2:

    Ento, para a fora resultante em vetores

    cartesianos e sua intensidade temos:

    kNF

    F

    kNkjiF

    R

    R

    R

    191

    180)40(50

    }1804050{

    222

  • EXEMPLO 2:

    Os ngulos de direo coordenados , e so determinados pelas componentes do vetor

    unitrio que atuam na direo da fora resultante:

  • EXEMPLO 2:

    kjiu

    kjiF

    Fu

    R

    R

    F

    R

    RF

    9422,02094,02617,0

    191

    180

    191

    40

    191

    50

  • EXEMPLO 2:

    6,199422,0cos

    1022094,0cos

    8,742617,0cos