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FAP - UNIESP
Mecnica Geral
Vetores Cartesianos
Prof. Natlia Cardoso Dal Molin Ferreira
VETORES CARTESIANOS
As operaes de lgebra vetorial, quando
aplicadas para resolver problemas em trs
dimenses, so enormemente simplificadas se
os vetores forem primeiro representados na
forma de um vetor cartesiano.
SISTEMA DE COORDENADAS DESTRO
Dizemos que um sistema de coordenadas
retangular destro desde que o polegar da
mo direita aponte na direo positiva do
eixo z, quando os dedos da mo direita
esto curvados em relao a esse eixo e
direcionados do eixo x positivo para o eixo y
positivo.
SISTEMA DE COORDENADAS DESTRO
COMPONENTES RETANGULARES DE UM VETOR
Um vetor B pode ter uma, duas ou trs
componentes retangulares ao longo dos
eixos coordenados x,y e z, dependendo de
como o vetor est orientado em relao aos
eixos.
COMPONENTES RETANGULARES DE UM VETOR
zyx BBBB
VETORES CARTESIANOS UNITRIOS
Em trs dimenses, os vetores cartesianos
unitrios, i, j e k so usados para designar as
direes dos eixos x,y, z, respectivamente.
REPRESENTAO DE UM VETOR CARTESIANO
kBjBiBB zyx
INTENSIDADE DE UM VETOR CARTESIANO
222
zyx BBBB
DIREO DE UM VETOR CARTESIANO
A
A
A
A
A
A
z
y
x
cos
cos
cos
DIREO DE VETORES CARTESIANOS
Se B for expresso sob a forma de um vetor
cartesiano, uB ter uma intensidade de um e ser
adimensional, desde que B seja dividido pela sua
intensidade, ou seja,
kjiu
kB
Bj
B
Bi
B
B
B
Bu
B
zyxB
coscoscos
DIREO DE VETORES CARTESIANOS
Existe ainda uma relao importante entre os
cossenos diretores, que dada por:
1coscoscos 222
ADIO DE VETORES CARTESIANOS
A adio ou subtrao de dois ou mais vetores
bastante simplificada de os vetores forem
expressos em funo de suas componentes
cartesianas.
Se considerarmos vrias foras, ento a
resultante ser o vetor soma de todas as foras
do sistemas e poder ser escrita como:
kFjFiFFF zyxR
EXEMPLO 1:
Expresse a fora F, mostrada na figura, como um
vetor cartesiano:
SOLUO
Como apenas dois ngulos de direo
coordenados so dados, o terceiro ngulo deve ser calculado pela equao:
5,0)707,0()5,0(1cos
145cos60coscos
1coscoscos
22
222
222
SOLUO
Da figura, necessrio que cos seja positivo, pois est na direo +x.Logo, com F=200N, vem que:
NkjiF
kjiF
kFjFiFF
)4,1410,1000,100(
)60cos200()60cos200()60cos200(
coscoscos
EXEMPLO 2:
Determine a intensidade e os ngulos de direo
coordenadas da fora resultante que atua sobre o
anel da figura:
EXEMPLO 2:
Uma vez que cada fora est representada na
forma vetorial cartesiana, a fora resultante :
)10010050{}8060{
21
kjikjF
FFFF
R
R
EXEMPLO 2:
Ento, para a fora resultante em vetores
cartesianos e sua intensidade temos:
kNF
F
kNkjiF
R
R
R
191
180)40(50
}1804050{
222
EXEMPLO 2:
Os ngulos de direo coordenados , e so determinados pelas componentes do vetor
unitrio que atuam na direo da fora resultante:
EXEMPLO 2:
kjiu
kjiF
Fu
R
R
F
R
RF
9422,02094,02617,0
191
180
191
40
191
50
EXEMPLO 2:
6,199422,0cos
1022094,0cos
8,742617,0cos