Vetores e Geometria Analıtica

Notas de aula – Professora Miriam Telichevesky

Porto Alegre, marco de 2019

Parte I

Vetores

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Capıtulo 1

Vetores e as operacoes de adicao emultiplicacao por escalar

Neste Capıtulo iniciamos o estudo de uma ferramenta bastante util para tratar si-tuacoes geometricas: os vetores. Na verdade, o grande merito deles e carregar umaquantidade mınima, porem suficiente, das informacoes necessarias para a descricao deobjetos em estudo. Nossa abordagem inicial e bastante geometrica, uma vez que tra-taremos de vetores no espaco (euclidiano) tridimensional durante esse curso. Isto tema vantagem de utilizar apenas ideias basicas da Geometria Euclidiana (e praticamentenenhuma conta): pontos, retas e segmentos, planos...

No Capıtulo seguinte, teremos condicoes de associar os vetores a listas ordenadasde numeros, dando a eles outra abordagem, mais analıtica. A partir de entao, esbocosnao serao mais sempre necessarios e poderemos apenas trabalhar com contas. Umterceiro momento, nao tratado neste curso, seria tratar os vetores (e transformacoesos envolvendo) como matrizes, no contexto da chamada Algebra Linear: passa a serpossıvel pensar em vetores em qualquer dimensao ou mesmo em situacoes nao atreladasa situacoes geometricas.

Nao exporemos, nestas notas, aplicacoes de vetores fora da Geometria Analıtica. Noentanto, convem ressaltar que eles sao de extrema importancia e utilidade em outrasareas de conhecimento, especialmente na Fısica (onde sao utilizados praticamente otempo todo) e em areas envolvendo computacao, em particular, computacao grafica.Para estas aplicacoes, direcionamos o leitor as bibliografias especıficas.

Notacoes iniciais Nestas notas, os pontos do espaco euclidiano serao denotadospor letras maiusculas do nosso alfabeto (A,B,C, . . . , A1, A2, . . . ) e o segmento de retaque une A e B sera denotado por AB. As demais notacoes estarao explicitadas aolongo do texto.

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1.1 Vetores (no plano ou no espaco)

Um vetor (no plano ou no espaco) e um objeto geometrico que e caracterizado por tresinformacoes: direcao, sentido e comprimento1. Pode ser representado por segmentos dereta orientados, da seguinte forma: se A e B sao dois pontos,

−→AB e a seta que comeca

em A e termina em B, e que e constituıda pelo segmento de reta AB. O comeco daseta e frequentemente chamado de origem da seta, enquanto que o fim e a extremidade(ou ponta) da seta. Assim,

−→AB e (uma seta que representa) o vetor com origem em A

e extremidade em B.O que sao direcao, sentido e comprimento?

Direcao A direcao do vetor representado pela seta−→AB e a direcao da reta que contem

os pontos A e B. Assim, vetores representados por flechas paralelas tem a mesmadirecao; caso contrario tem direcoes diferentes.

Sentido O sentido do vetor−→AB e “de A para B”, ou “comecando em A e terminando

em B”. Veja a definicao 2 para maior rigor.

Comprimento O comprimento do vetor representado pela seta−→AB e a distancia entre

A e B.

Uma observacao importante e que setas que tenham exatamente o mesmo compri-mento, direcao e sentido, mesmo estando localizadas em posicoes diferentes, represen-tam o mesmo vetor. 2

Na Figura abaixo vemos setas distintas representando o mesmo vetor.

1Ha uma unica excecao para a regra: o vetor nulo, que nao tem direcao nem sentido definido, mas e plenamentecaracterizado pelo seu comprimento.

2Isso e uma situacao analoga ao que acontece com fracoes: sabemos que 34 e 6

8 (e infinitas outras), embora sejamescritas diferentes, representam o mesmo numero.

3

Nesta figura, em termos de vetores, temos as igualdades−→AB =

−−→CD = ~u e

−→CA =−−→

DB = ~v.Ressaltamos que:

• Os segmentos AB e CD na figura acima, embora congruentes, sao distintos. Noentanto, se verifica a igualdade entre vetores

−→AB e

−−→CD.

• Embora se verifique a igualdade de segmentos AB = BA, temos−→AB 6=

−→BA: eles

tem mesma direcao e comprimento, mas sentidos contrarios.

Definicao 1. Dois vetores tem a mesma direcao, ou sao ditos paralelos, se puderemser representados por flechas paralelas.

Se ~u e ~v sao paralelos, denotamos por ~u ‖ ~v.

Exemplo 1.−→AB ‖

−→BA.

Na Figura que segue, os vetores−→AB e

−−→CD tem a mesma direcao, enquanto que

−→EF

tem uma direcao diferente de−→AB.

Figura 1.1: Vetores paralelos e nao paralelos

Exercıcio 1. V ou F? Se ~u e paralelo a ~v, e este e paralelo a ~w, entao ~u e paralelo a~w. Se possıvel, justifique.

Definicao 2. Dois vetores paralelos sao ditos de mesmo sentido se os segmentos dereta que unem as origens e as extremidades de flechas que os representam nao seinterseccionam. Caso contrario, sao ditos ter sentidos contrarios, ou opostos.

As figuras a seguir ilustram a definicao:

4

Exercıcio 2. Note que nao definimos precisamente o que e sentido, mas sim o quesignifica mesmo sentido. Explique por que isso pode ter acontecido.

Observacoes sobre o comprimento. O comprimento de um vetor e tambem cha-mado de norma; a norma de ~v e representada por ‖~v‖ (nestas notas), ou por |~v|, emalgumas referencias.

Importante: vetores que tem a mesma direcao, sentido e comprimentosao na verdade o mesmo vetor.

Seguem algumas outras definicoes e notacoes:

Vetor nulo e o vetor representado por um ponto, ou seja, por um segmento de com-primento nulo. Notacao: ~0 ou

−→AA,

−→PP , etc. Por convencao, dizemos que o vetor

nulo e paralelo a qualquer vetor.

5

Oposto de um vetor e o vetor que tem mesma direcao e comprimento que ele, massentido contrario. Isto e, o oposto de

−→AB e

−→BA. Denotamos o oposto de ~v por

−~v.

Ortogonalidade Dois vetores u e v sao ditos ortogonais (ou perpendiculares) se asflechas que os representam formam angulo de 90o. Por convencao, o vetor nulo ~0tambem e perpendicular a qualquer vetor.

Estamos agora aptos a realizar as primeiras operacoes envolvendo os vetores. Apossibilidade de realiza-las e que os torna uma ferramenta tao interessante, quer sejana Geometria Analıtica, quer seja na Algebra Linear.

1.2 Adicao de vetores

Dados ~u e ~v dois vetores, a soma de ~u com ~v e o vetor denotado por ~u+~v e determinadopela seguinte forma (acompanhe na Figura seguinte):

se ~u =−→AB, entao, escolhendo como representante para ~v uma flecha que comece

em B, digamos, ~v =−−→BC, entao

~u+ ~v =−→AB +

−−→BC =︸︷︷︸

por definicao

−→AC.

Exercıcio 3. Quando ~u ‖ ~v, nao ha geometricamente um paralelogramo como nafigura acima. Todos os representantes devem situar-se sobre a mesma reta. Faca umesboco representando essa situacao.

Exercıcio 4. V ou F? ~u+ ~v = ~v + ~u

Exercıcio 5. Convenca-se que ~u+ (−~u) = ~0.

6

A subtracao de vetores e definida por

~u− ~v = ~u+ (−~v).

Exercıcio 6. V ou F? Justifique

~u− ~v = ~v − ~u.

Exercıcio 7. Represente graficamente os vetores ~u− ~v e ~v − ~u, na figura abaixo.

Observacao 1. Sera util: dados qualquer vetor−→AB e qualquer ponto P do espaco, vale

−→AB =

−→AP +

−−→PB.

1.3 Multiplicacao por escalar (numero)

Definicao 3. Dados um numero real α 6= 0 e um vetor ~v 6= ~0, denotamos por α~v ovetor caracterizado por:

Direcao Paralela a ~v.

Sentido Igual a ~v se α for positivo e contrario a ~v se α for negativo.

Comprimento |α| vezes o comprimento de ~v.

Alem disso, para α = 0 temos: 0~v = ~0. E tambem α~0 = ~0 para qualquer que seja oescalar α.

Exercıcio 8. As figuras a seguir ilustram a multiplicacao de um vetor nao nulo porum escalar nao nulo: na primeira figura α = 3, e na segunda α = −1

2 . Verifique que astres caracterısticas (direcao, sentido e comprimento) estao realmente de acordo com adefinicao dada acima.

7

Proposicao 1. Se ~u 6= ~0 e ~v sao paralelos, entao existe α ∈ R tal que ~v = α~u.

8

Exercıcio 9. A recıproca da proposicao acima e verdadeira? Ou seja, se um vetor emultiplo escalar do outro, entao eles sao necessariamente paralelos?

1.4 Combinacao linear de vetores

Uma combinacao linear dos vetores ~u1, ~u2, . . . ~un e uma expressao da forma

α1 ~u1 + α2 ~u2 + · · ·+ αn ~un,

onde α1, α2, . . . , αn sao numeros reais.

Exemplo 2. Na figura abaixo vemos a combinacao linear 2~u+ 3~v de ~u e ~v.

Exemplo 3. Nas figuras abaixo vemos a construcao da combinacao linear 3~u− 12~v de

~u e ~v.

9

Exemplo 4. Ainda, vejamos agora um exemplo da combinacao linear de tres vetores:considere os vetores ~u =

−→OU , ~v =

−−→OV e ~w =

−−→OW na figura abaixo. Para considerar a

combinacao linear~u+ ~v + ~w,

realizamos da seguinte forma:

(i) ~u+ ~v =−−→OX

(ii) ~w pode ser representado pela flecha com origem em X e extremidade em Y :

~w =−−→XY

(iii) ~u+ ~v + ~w e desta forma a soma−−→OX +

−−→XY , e portanto

~u+ ~v + ~w =−−→OY

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Observacao 2. E bem relevante observar que uma combinacao linear pode ter escalaresnulos envolvidos. Por exemplo, podemos dizer que o vetor 2~u−3.5~v e combinacao lineardos vetores ~u,~v e ~w. De fato,

2~u− 3.5~v = 2~u− 3.5~v + 0~w.

Embora pareca uma observacao estranha, sera util pensar em combincoes linearescom escalares nulos multiplicando.

Aquecendo os motores para o proximo capıtulo...Dado um conjunto V de vetores, que vetores conseguimos obter a partir de com-

binacoes lineares de elementos de V?Vejamos alguns exemplos:

1. Se V e formado por apenas um vetor ~v que nao seja ~0, temos que:

As combinacoes lineares de elementos de V sao todos os vetores paralelos a ~v, esomente eles.

2. Se V e constituıdo de dois ou mais vetores... aı comeca a ter graca a discussao.

Exercıcio 10. Esboce um vetor ~u 6= ~0 e um vetor ~v paralelo a ele. Quais sao aspossıveis combinacoes lineares de ~u e ~v?

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Exercıcio 11. Repita o exercıcio anterior, agora supondo que ~v nao e paralelo a ~u.Muda alguma coisa?

No capıtulo seguinte voltaremos a tratar deste assunto!

Os vetores formam um espaco vetorial

Propriedades de vetores:

1. Existe ~0 vetor tal que ~v + ~0 = ~0 + ~v = ~v para todo vetor ~v. (elemento neutro daadicao)

2. Para todo ~v vetor, existe ~w vetor tal que ~v+ ~w = ~w+~v = ~0 (existencia de oposto)

3. ~u+ ~v = ~v + ~u (comutatividade da adicao)

4. (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w) (associatividade da adicao)

5. 1~v = ~v (elemento neutro da multiplicacao por escalar).

6. (αβ)~v = α(β~v) (associatividade da multiplicacao por escalar)

7. α(~u+~v) = α~u+α~v (distributividade da multiplicacao por escalar perante a soma)

8. (α+β)~v = α~v+β~v (distributividade da soma perante a multiplicacao por escalar)

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Capıtulo 2

Dependencia/Independencia linear e bases

Vimos no capıtulo anterior que e possıvel obter diversos vetores considerando com-binacoes lineares de vetores previamente estabelecidos. Comecamos a investigar aseguinte pergunta: dado um conjunto V de vetores, que vetores conseguimos obter apartir de combinacoes lineares de elementos de V?

Relembrando:

1. Se V e formado por apenas um vetor ~v que nao seja ~0, temos que:

As combinacoes lineares de elementos de V sao todos os vetores paralelos a ~v, esomente eles.

2. Se V = {~u,~v} e constituıdo de dois vetores, entao (era o exercıcio no final docapıtulo!):

(a) Se eles sao paralelos, novamente so se obtem vetores paralelos a eles.

(b) Se eles nao sao paralelos, obtemos todas as direcoes possıveis de um plano.

O caso 2.(b) acima e elucidado a seguir:

Observe que se escolhemos um ponto O para ser a origem dos vetores ~u e ~v, estesdefinem tres pontos no plano (o proprio O e as duas extremidades dos vetores, quena figura foram chamados de U e V ). Como ~u e ~v nao sao paralelos, os pontosO,U e V nao sao colineares, e portanto definem um plano, que chamamos de Π.A conclusao, nesta situacao, e que:

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Com as notacoes acima, os vetores gerados por combinacoes lineares dos vetores~u =−→OU e ~v =

−−→OV sao todos os vetores paralelos ao plano Π, e somente eles.

Para completar nossa lista, fazemos a seguinte pergunta: o que podemos dizerquando V e constituıdo por tres vetores?

3. Suponha que V = {~u,~v, ~w} e que, para facilitar a visualizacao, escolhemos umponto O do espaco para ser origem dos tres. Assim, obtemos os pontos U, V e Wpara serem as extremidades das setas de ~u,~v e ~w, respectivamente.

Existem tres situacoes possıveis:

(a) O,U, V,W sao todos colineares, ou seja, ~u,~v e ~w sao todos paralelos. Nestecaso, apenas vetores paralelos a eles sao obtidos a partir de combinacoeslineares dos tres.

(b) O,U, V e W sao todos coplanares, mas nao colineares. Neste caso, um dostres vetores ja era combinacao linear dos outros dois (reflita!) e so e possıvelobter, via combinacao linear dos tres, vetores representados por flechas comorigem em O e extremidades no mesmo plano.

(c) O caso mais interessante: O,U, V e W sao nao coplanares. Neste caso, qual-quer vetor do espaco pode ser gerado por combinacao linear de ~u,~v e ~w.

A figura abaixo ilustra o caso 3.(c).

Exercıcio 12. E possıvel escrever o vetor ~w acima como combinacao linear de ~ue ~v?

4. Se V tem 4 ou mais vetores do espaco tridimensional, certamente um deles ja eracombinacao linear dos demais, como veremos na discussao a seguir.

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2.1 Dependendencia e independencia linear

Em resumo, observe que nas situacoes acima descritas temos dois tipos de fenomeno:redundancia ou nao. Os casos onde nao ha redundancia sao 2.(b) e 3.(c), ou seja:

Dois vetores nao paralelos geram as direcoes de um plano e tres vetores naocoplanares geram todas as direcoes do espaco.

Nestes dois casos, dizemos que o conjunto de vetores e linearmente independente.Vejamos a seguir a definicao precisa.

Definicao 4. Dada uma lista de vetores ~v1, . . . , ~vn, dizemos que eles sao:

Dependencia linear linearmente dependentes (l.d.) se algum deles puder ser escritocomo combinacao linear dos demais.

Independencia linear linearmente independentes (l.i.) se nenhum deles puder serescrito como combinacao linear dos demais.

Exemplo 5. Na figura abaixo, os vetores ~u,~v e ~u+ ~v sao linearmente dependentes.Tambem nessa figura, os vetores ~u,~v e ~w sao linearmente independentes.

Exercıcio 13. Justifique o exemplo anterior.

Exercıcio 14. Existe uma quantidade maxima de vetores linearmente independentesno plano, ou seja, qualquer conjunto com mais vetores do que esta quantidade deveser linearmente dependente? Se sim, qual esta quantidade? E no espaco?

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Obtemos com o Exercıcio acima o conceito de dimensao. A dimensao de um espacoeuclidiano e o numero maximo de vetores que um conjunto l.i. pode ter.

Observacao 3. O vetor nulo ~0 e combinacao linear de qualquer conjunto de vetores.

Observacao 4. Observe os seguintes fatos sobre (in)dependencia linear de dois, tres ouquatro vetores no espaco tridimensional:

1. Dois vetores ~u e ~v sao l.d. se, e somente se, ~u ‖ ~v.

2. Tres vetores ~u,~v e ~w sao l.d. se, e somente se, sao coplanares.

3. Quatro ou mais vetores sao sempre l.d..

As proposicoes que seguem sao essenciais para compreender a importancia das bases,conforme veremos na Secao seguinte. Elas podem ser ignorada em um estudo quedeseja omitir demonstracoes, visto que seus enunciados podem mais confundir do queajudar. Para futuros matematicos, sua leitura e obrigatoria.

Proposicao 2. Se ~v1, . . . , ~vn sao vetores linearmente independentes e α1, . . . , αn saonumeros reais tais que

α1~v1 + · · ·+ αn ~vn = ~0,

entao necessariamenteα1 = · · · = αn = 0.

Em outras palavras, o vetor nulo so pode ser produzido como combinacao linear devetores linearmente independentes se todos os escalares forem nulos.

Demonstracao. Suponhamos por absurdo que, mesmo valendo α1~v1 + · · · + αn ~vn = ~0,exista αi na lista de escalares que nao seja igual a zero; para facilitar suponhamos quei = 1. Entao temos

α1~v1 = −α2~v2 − · · · − αn ~vn,e como α1 6= 0, podemos dividir ambos os lados da igualdade por α1. Daı

~v1 = −α2

α1~v2 − · · · −

αnα1~vn,

e portanto ~v1 e combinacao linear dos demais vetores da lista, o que e um absurdo,pois por hipotese essa lista e de vetores l.i.

Proposicao 3. Sejam ~v1, . . . , ~vn vetores l.i.. Entao combinacoes lineares distintasdestes vetores (isto e, com escalares distintos) geram vetores distintos. Em outraspalavras, se

α1~v1 + · · ·+ αn ~vn = β1~v1 + · · ·+ βn ~vn,

entao necessariamente α1 = β1, . . . , αn = βn.

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Como estamos interessados apenas no que ocorre no plano ou no espaco, vamosfazer a demonstracao para o caso em que n = 3, ou seja, temos tres vetores ~v1, ~v2 e ~v3

linearmente independentes.

Demonstracao. Suponha que ~v1, ~v2 e ~v3 sao l.i. e que e possıvel escrever um vetor ~vcomo combinacao linear

~v = α1~v1 + α2~v2 + α3~v3

e tambem~v = β1~v1 + β2~v2 + β3~v3.

Entaoα1~v1 + α2~v2 + α3~v3 = β1~v1 + β2~v2 + β3~v3,

e portantoα1~v1 + α2~v2 + α3~v3 − β1~v1 − β2~v2 − β3~v3 = ~0,

donde segue que

(α1 − β1)~v1 + (α2 − β2)~v2 + (α3 − β3)~v3 = ~0.

Pela Proposicao 2, segue que αi − βi = 0 para i = 1, 2, 3 e portanto αi = βi.

2.2 Bases ordenadas

2.2.1 Bases

A definicao geral de base num espaco vetorial e a que segue:

Definicao 5. Uma base para um espaco de vetores e um conjunto l.i. que seja capazde gerar qualquer vetor deste espaco por combinacoes lineares.

No entanto, para o que interessa neste curso basta ter em mente que (de acordocom a definicao): uma base do espaco de vetores no plano e um conjunto de 2 vetoresl.i. e uma base de vetores no espaco tridimensional e um conjunto de 3 vetores l.i.

Vantagem computacional das bases: Se fixamos uma ordem para os vetores deuma base, cada vetor podera ser associado a lista ordenada de seus coeficientes, que eunica pela Proposicao 3: sao as coordenadas do vetor nesta tal base. Assim, e possıvelfazer contas com vetores, nao e mais necessario descreve-los por setas. Veremos naSecao seguinte.

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2.2.2 Bases ordenadas no espaco tridimensional

A partir de agora, vamos nos concentrar apenas em vetores no espacotridimensional, salvo mencao contraria.

Observacao sobre a notacao: passaremos a utilizar letras latinas minusculas,geralmente indexadas, para denotar as coordenadas de vetores. Para distinguir dosvetores, deve-se sempre considerar se ha ou nao a flecha acima da letra em questao.Letras sem flechas representam numeros, letras com flechas representam vetores.

Definicao 6. Uma base ordenada e uma lista ordenada de tres vetores l.i.. Escrevemos

B = (~b1, ~b2, ~b3)

para denotar a base formada pelos vetores ~b1, ~b2 e ~b3, nesta ordem.

Como ~b1, ~b2 e ~b3 geram todo o espaco, dado um vetor qualquer ~v do espaco, existemv1, v2 e v3 numeros reais tais que

~v = v1~b1 + v2

~b2 + v3~b3;

alem disso, como ~b1, ~b2 e ~b3 sao l.i., a Proposicao 3 nos garante que tais v1, v2 e v3 estaounicamente determinados. Escrevemos, entao, de forma sintetizada:

~v = (v1, v2, v3)B,

lendo:

“as coordenadas do vetor ~v na base (ordenada) B sao v1, v2, v3”.

Uma analogia conveniente neste momento e pensar no sistema de numeracao decimalposicional. Por exemplo: o que significa, no nosso sistema numerico, o numero 12678?Desde criancas sabemos que significa 10000 + 2000 + 600 + 70 + 8, ou seja,

1× 104 + 2× 103 + 6× 102 + 7× 10 + 8.

Sabemos que ao mudar a ordem dos algarismos, por exemplo, 26718, estamos nosreferindo a outro numero, pois a ordem importa. Uma base ordenada funciona comoas potencias de 10 no sistema posicional.

Voltando aos vetores:Por exemplo, ~z = (2,−1, 3)B significa

~z = 2~b1 − ~b2 + 3~b3.

Note que este vetor e diferente do vetor ~w = (−1, 2, 3)B = −~b1 + 2~b2 + 3~b3.

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2.2.3 Vetores como matrizes

Aqui neste curso tambem encontraremos algumas situacoes onde os vetores (do espacobi ou tridimensional) ficam melhor representados por matrizes (com uma coluna –o que e mais comum – ou com uma linha). Para que nao seja uma surpresa la noCapıtulo 12, vamos introduzir rapidamente esta notacao agora:Vetores como matrizes coluna: Fixada uma base ordenada B = (~b1, ~b2, ~b3), cadavetor do espaco tridimensional pode ser representado por uma matriz 3 × 1, ou seja,que tenha 3 linhas e 1 coluna (qualquer matriz com apenas uma coluna e dita “matrizcoluna”). A primeira linha representa a primeira coordenada, a segunda linha e asegunda coordenada e a terceira linha e a terceira coordenada (simples assim). Sefor necessario trabalhar com mais de uma base ao mesmo tempo, costuma-se aindacolocar um subındice indicando a base, como fazemos com a notacao de parenteses.

Exemplo 6.

(4, 5,−1)B =

45−1

B

,

(0, 1/2, 9)C =

01/29

C

,

e assim sucessivamente.

Vetores como matrizes linha: Sao construıdos de maneira analoga ao feito acima.Uma “matriz linha” e uma matriz que tem apenas uma linha. Para representar vetoresdo espaco tridimensional usando matrizes linhas, precisamos de tres colunas. A pri-meira coluna e a primeira coordenada, a segunda e a segunda coordenada e a terceira ea terceira coordenada (sim, e simples assim! Lembramos apenas que para que o termo“coordenada” faca sentido, precisamos ter uma base estabelecida anteriormente).

Revemos os exemplos acima transformando-os em matrizes linhas:

Exemplo 7.(4, 5,−1)B =

[4 5 −1

]B ,

(0, 1/2, 9)C =[

0 1/2 9]C .

2.3 Combinacoes lineares em termos de bases

Teorema 1. Seja B = (~b1, ~b2, ~b3) uma base ordenada. Considere os vetores

~u = (u1, u2, u3)B, ~v = (v1, v2, v3)B.

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Entao:

Adicao:~u+ ~v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3)B

Multiplicacao por escalar:

α~u = (αu1, αu2, αu3)B,

para qualquer que seja α ∈ R.

Em particular,

α~u+ β~v = (αu1 + βv1, αu2 + βv2, αu3 + βv3)B,

para quaisquer que sejam os escalares α e β.

Demonstracao. Pela definicao de coordenadas numa base, temos que

~u = (u1, u2, u3)B ⇐⇒ ~u = u1~b1 + u2

~b2 + u3~b3

e analogamente~v = (v1, v2, v3)B ⇐⇒ ~v = v1

~b1 + v2~b2 + v3

~b3.

Assim:

Quanto a adicao: ~u + ~v = (u1~b1 + u2

~b2 + u3~b3) + (v1

~b1 + v2~b2 + v3

~b3), e usandoas propriedades associativa, comutativa e distributiva vistas no fim do capıtuloanterior, reorganizamos os termos:

~u+ ~v = (u1 + v1)~b1 + (u2 + v2)~b2 + (u3 + v3)~b3.

Ora, a definicao de coordenadas na base ordenada B nos diz entao que

~u+ ~v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3)B,

como querıamos.

Quanto a multiplicacao por escalar: Fica como exercıcio para o leitor.

Exemplo 8. Se ~u = (−1, 2, 4)B e ~v = (3, 50,−3)B, entao

1. ~u+ ~v = (−2, 52, 1)B.

2. ~u− ~v = (−4,−48, 7)B.

3. 2~u+ 5~v = (13, 254,−7)B.

20

Exemplo 9. Considere o paralelepıpedo da figura abaixo.

Considere B a base ordenada formada pelos vetores ~b1 =−−→OE1,~b2 =

−−→OE2, ~b3 =

−−→OE3.

Sabendo que−→OA =

1

2

−−→OE1,

−−→OB =

7

3

−−→OE2 e

−→OC =

5

4

−−→OE3, temos:

1.−→OA = (1

2 , 0, 0)B

2.−−→OB = (0, 7

3 , 0)B

3.−→OC = (0, 0, 5

4)B

4.−−→OD = (1

2 ,73 ,

54)B

5.−−→BF = (−1

2 ,−73 ,

54)B

Para concluir esta Secao, fazemos uma observacao que pode parecer um poucotautologica, mas precisa ser enfatizada:

Teorema 2. Seja B uma base ordenada, e sejam ~u = (u1, u2, u3)B e ~v = (v1, v2, v3)B.Vale a igualdade de vetores ~u = ~v se e somente u1 = v1, u2 = v2 e u3 = v3. Emoutras palavras, dois vetores sao iguais se, e somente se, suas coordenadas numa baseordenada coincidem.

Deixamos a demonstracao a cargo do leitor.

No que segue, supomos que uma base ordenada B esta fixada, e omiti-mos o subındice nas coordenadas (para limpar notacao). Se for necessariatrabalhar simultaneamente com mais de uma base, voltaremos a utilizar ossubındices.

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2.4 (In)dependencia linear via coordenadas em uma base

Agora que ja sabemos como se comportam as combinacoes lineares atraves de coorde-nadas numa base, podemos revisitar a primeira secao deste capıtulo e decidir, apenasolhando para coordenadas, se um certo conjunto de vetores e l.i. ou l.d..

2.4.1 Dois vetores

Vimos mais acima que dois vetores ~u e ~v 6= ~0 sao l.d. se e somente se existe α ∈ R talque ~u = α~v. Em termos de coordenadas numa, isso se escreve: (u1, u2, u3) e (v1, v2, v3)sao l.d. se e somente se para certo α ∈ R valer u1 = αv1, u2 = αv2 e u3 = αv3).

Exemplo 10. a) (5, 0,−1) e (10, 0,−2) sao l.d..

b) (5, 0,−1) e (10, 0, 2) sao l.i..

c) (0, 0, 1) e (1, 0, 1) sao l.i..

d) (0,−1, 4) e (0,−5, 20) sao l.d..

e) (0, 0, 0) e (4, 5, 67) sao l.d..

2.4.2 Tres vetores

Um criterio para determinar se tres vetores nao nulos ~u,~v e ~w sao l.i. ou l.d. nao podeser tao imediato quanto o criterio visto acima, para dois vetores. Isso porque os tresvetores sao l.d. se algum deles e combinacao linear dos outros dois; pode dar bastantetrabalho testar “a mao” todas as possibilidades.

Utilizamos, entao, pela primeira vez nestas notas, uma ferramente da Algebra Li-near, a saber, o determinante de uma matriz 3× 3.

Teorema 3. Tres vetores ~u = (u1, u2, u3), ~v = (v1, v2, v3) e ~w = (w1, w2, w3) sao l.d.se, e somente se, o determinante da matriz cujas linhas sao suas coordenadas e zero,ou seja,

det

u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

= u1[v2w3 − w2v3]− u2[v1w3 − v3w1] + u3[v1w2 − v2w1] = 0.

Demonstracao. Uma das implicacoes desta demonstracao e relativamente simples deser demonstrada (embora requira muitas contas), a saber: se ~u,~v e ~w sao l.d., entaoo determinante acima e zero. A outra implicacao requer alguns conhecimentos maisavancados de Algebra Linear e sera omitida neste curso.

Provemos a seguir a implicacao “facil”.

22

Sejam ~u,~v e ~w como acima, e suponhamos que sao l.d.. Entao um deles e combinacaolinear dos outros dois. Renomeando os vetores se necessario, podemos supor que~w = α~u+ β~v. Assim, temos que wi = αui + βvi, para i = 1, 2, 3. Desta forma,

det

u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

= det

u1 u2 u3

v1 v2 v3

αu1 + βv1 αu2 + βv2 αu3 + βv3

=

= u1[v2(αu3 + βv3)− v3(αu2 + βv2)]− u2[v1(αu3 + βv3)− v3(αu1 + βv1)]

+u3[v1(αu2 + βv2)− v2(αu1 + βv1)] = · · · = 0.

onde em . . . sao feitas apenas operacoes de multiplicacao e subtracao de termos iguais.

Exemplo 11. Verifique se os vetores ~u = (1, 1,−3), ~v = (0, 6,−3) e ~w = (−4, 2,−5)sao l.i. ou l.d.

Calculando o determinante:

det

1 1 −30 6 −3−4 2 −5

= · · · = −84,

logo os vetores sao l.i.

2.5 Mudanca de base: consideracoes iniciais

Muitas vezes e importante considerar bases diferentes num mesmo contexto. Entendercomo se relacionam as coordenadas de um dado vetor em um sistema com respeito ascoordenadas no outro e relevante e pode ser feito com auxılio de matrizes (chamadas“matrizes mudancas de base”.

Veja o seguinte exemplo.

Exemplo 12. Sao dadas duas bases ordenadas B = (~b1, ~b2, ~b3) e C = (~c1, ~c2, ~c3), e quee sabido que

~b1 = 9~c1 + 8~c3, ~b2 = −5~c1, ~b3 = 2~c2 − ~c3,

ou seja, sabemos como se comportam os vetores da base B em termos da base C.Entao e possıvel traduzir as coordenadas de qualquer vetor dado em termos da

base B para suas coordenadas na base C (e aı o subındice indicando a base torna-sefundamental). Por exemplo:

23

(a) Se ~u = (2, 3,−4)B, entao (por definicao de base!) ~u = 2~b1 + 3~b2 − 4~b3. Agora,utilizando a relacao entre as bases dada acima, temos

~u = 2(9~c1 + 8~c3) + 3(−5~c1)− 4(2~c2 − ~c3) = 18~c1 + 16~c3 − 15~c1 − 8~c2 + 4~c3

e reorganizando os termos temos

~u = 3~c1 − 8~c2 + 20~c3 = (3,−8, 20)C.

(b) Se ~v = (0, 1,−1)B, entao ~v = ~b2− ~b3 = −5~c1− (2~c2− ~c3), ou seja, ~v = (−5,−2, 1)C.

Escrevendo todos os vetores como matrizes (conforme visto na Secao 2.2.3) e utli-zando produto matricial, podemos sintetizar o exemplo acima da seguinte forma:

Quanto ao vetor ~u: 3−820

C

=

9 −5 00 0 28 0 −1

23−4

B

,

e quanto ao vetor ~v: −5−21

C

=

9 −5 00 0 28 0 −1

01−1

B

.

(Verifique!)A matriz 3×3 que aparece em ambos os casos e a chamada matriz mudanca de base

de B para C, frequentemente denotada por MB→C. E ela que carrega toda a informacaonecessaria para encontrar as coordenadas na base C de um vetor escrito em termos dabase B.

Note que as colunas de

MB→C =

9 −5 00 0 28 0 −1

sao as coordenadas na base C dos vetores ~b1, ~b2 e ~b3. Uma justificativa para issoencontra-se no desenvolvimento mais minuncioso dado abaixo:

Note que inicialmente que

~b1 =

100

B

=

908

C

24

e de modo totalmente analogo

~b2 =

010

B

=

−508

C

e

~b3 =

001

B

=

80−1

C

.

Daı se temos um vetor ~w qualquer escrito em termos da base B, digamos

~w =

αβγ

B

,

vale

~w = α

100

B

+ β

010

B

+ γ

001

B

= α

908

C

+ β

−508

C

+ γ

80−1

C

,

e acontece que isto e precisamente o produto matricial 9 −5 00 0 28 0 −1

αβ

γ

.Ou seja: as coordenadas de ~w na base C sao dadas pelo produto da matriz mudanca

de base MB→C pelo vetor coluna que representa ~w na base B.Com um pouco mais de contas (ou auxılio de Algebra Linear) tambem e possıvel

obter como acontece a troca de coordenadas de C para B. Precisamente, MC→B e dadapela matriz inversa de MB→C.

Nao nos estenderemos mais neste assunto aqui neste capıtulo, pois so voltaremosa falar de mudancas de base no estudo das curvas conicas (mais especificamente, nosCapıtulos ?? e 12), onde as contas sao feitas no caso bidimensional, o que facilita otrabalho e a visualizacao. Para o leitor que tiver interesse em se aprofundar a respeitode mudancas de base no caso tridimensional, recomendamos visitar bibliografias decursos de Algebra Linear.

25

Capıtulo 3

Angulo entre vetores, produto escalar eprojecoes ortogonais

3.1 Base (ordenada) ortonormal

Definicao 7. Uma base ordenada B e dita ortonormal se os seus vetores sao:

(i) Ortogonais dois a dois.

(ii) de comprimento igual a 1.

E comum encontrarmos as notacoes ~e1, ~e2, ~e3 ou ~i,~j,~k para os vetores de uma baseortonormal. Neste capıtulo sera irrelevante, pois utilizaremos apenas as coordenadas(com a notacao de tripla ordenada). A proposito, ao longo deste capıtulo todosos vetores estao expressos em termos de uma base ortonormal (ordenada).

Proposicao 4. Se ~v = (v1, v2, v3), entao

‖~v‖ =√v2

1 + v22 + v2

3.

Demonstracao. Utilize o Teorema de Pitagoras na diagonal do paralelepıpedo geradopelos vetores (v1, 0, 0), (0, v2, 0) e (0, 0, v3). (obs: se um dos vi for nulo, tem-se umretangulo; se dois forem nulos, tem-se apenas um segmento de reta.)

26

Exemplo 13. Se ~v = (5, 2,−1), entao

‖~v‖ =√

52 + 22 + (−1)2 =√

30.

3.2 Angulo entre vetores e produto escalar

Definicao 8. O angulo entre os vetores ~u e ~v e o angulo θ, com 0o ≤ θ ≤ 180o, formadonum plano que contem seus representantes de mesma origem.

Notacao: θ = ∠(~u,~v).

Abaixo vemos ilustracoes para o angulo entre dois vetores. A primeira e de umangulo agudo (menor que 90o) e a segunda e de um angulo obtuso (maior que 90o, masmenor que 180o).

27

A seguir vejamos como calcular ∠(~u,~v) conhecendo suas coordenadas. Na verdade,o que calculamos e o cosseno de tal angulo. Para tal, relembramos a Lei dos Cossenos:

Teorema 4 (Lei dos Cossenos). Num triangulo qualquer de lados medindo a, b, c, sejaθ o angulo oposto ao lado que mede c. Entao

c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ.

Agora aplicamos a Lei dos Cossenos para o triangulo gerado por ~u e ~v, quandoescolhemos representantes com mesma origem:

Fazendo, como na figura, a = ‖vecu‖, b = ‖~v‖ e c = ‖~v − ~u‖, temos que a Lei dosCossenos nos da

‖~v − ~u‖2 = ‖~u‖2 + ‖~v‖2 − 2‖~u‖‖~v‖ cos θ.

Vejamos o que isso nos da em termos de coordenadas:Se ~u = (u1, u2, u3) e ~v = (v1, v2, v3) (numa base ortonormal!!), entao:

(i) ‖~v− ~u‖2 = [v1− u1]2 + [v2− u2]

2 + [v3− u3]2, e desenvolvendo os quadrados temos

‖~v − ~u‖2 = v21 + v2

2 + v23 + u2

1 + u22 + u2

3 − 2(u1v1 + u2v2 + u3v3).

(ii) ‖~u‖2 = u21 + u2

2 + u23 e ‖~v‖2 = v2

1 + v22 + v2

3

Juntando isso com a Lei dos Cossenos, obtemos:

v21 +v2

2 +v23 +u2

1+u22+u2

3−2(u1v1+u2v2+u3v3) = u21+u2

2+u23+v2

1 +v22 +v2

3−2‖~u‖~v‖ cos θ.

28

Agora cancelamos os termos semelhantes acima, obtendo a simpatica expressao

u1v1 + u2v2 + u3v3 = ‖~u‖‖~v‖ cos θ.

A quantidade do lado esquerdo da expressao acima nos da, assim, algumas informacoesinteressantes, especialmente, para comeco de conversa, o seu sinal. Suponhamos, paradeixar a coisa mais interessante, que nem ~u nem ~v sao o vetor nulo, e portanto ‖~u‖ e‖vecv‖ sao maiores que zero.

u1v1 + u2v2 + u3v3 > 0 nos diz que cos θ > 0, e portanto 0o < θ < 90o (angulo agudo).

u1v1 + u2v2 + u3v3 = 0 nos diz que cos θ = 0, e portanto θ = 90o (angulo reto).

u1v1 + u2v2 + u3v3 < 0 nos diz que cos θ < 0, e portanto 90o < θ < 180o (anguloobtuso).

Alem desta aplicacao, a quantidade u1v1 + u2v2 + u3v3 tem outras aplicacoes inte-ressantes. Por isso ela ganha um nome.

3.3 Produto escalar

Definicao 9. Dados os vetores ~u = (u1, u2, u3) e ~v = (v1, v2, v3) (escritos em uma baseortonormal), o produto escalar de ~u por ~v e o numero real dado por

~u · ~v = u1v1 + u2v2 + u3v3.

Observacao 5. E bastante frequente encontrar outro nome para o produto escalar, asaber, produto interno. Alem disso, sua notacao nao e universal; tambem encontram-seas notacoes 〈~u,~v〉, 〈~u|~v〉, entre outras.

Exemplo 14. a) (8,−3, 0) · (7,−1, 4) = 56 + 3 + 0 = 59.

b) (−12 ,√

32 ,−1) · (1

2 ,72 , 20) = 1

4 + 7√

32 − 20 = −79+14

√3

4 .

c) (3, 2,−1) · (−2, 0,−6) = −6 + 0 + 6 = 0.

Agora podemos voltar a discussao da Secao anterior, sobre o cosseno do anguloentre vetores: de acordo com a nossa definicao, vale

~u · ~v = ‖~u‖‖~v‖ cos∠(~u,~v).

Em particular, se ~u e ~v nao sao o vetor nulo, entao cos∠(~u,~v) =~u · ~v‖~u‖‖~v‖

.

Observecoes/filosofias sobre o vetor nulo nessa historia:

29

1. note que se ~v = ~0, entao a expressao ~u · ~v = ‖~u‖‖~v‖ cos∠(~u,~v) se resume a0 = 0 cos θ. Assim, cos θ poderia ser qualquer valor: isso esta coerente com oque convencionamos no comeco do curso, que o ~0 e paralelo a qualquer vetor, eportanto “forma qualquer angulo” com qualquer vetor.

2. Mais interessante talvez seja pensar que ~0 e ortogonal a qualquer vetor (o quetambem e verdade pela convencao que fizemos). Desta forma, ~u · ~v = 0 implicaque ~u ⊥ ~v para quaisquer que sejam ~u e ~v.

Vejamos a seguir as propriedades do produto escalar.

Proposicao 5. Sao validas as seguintes propriedades acerca do produto escalar:

(i) ~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w para quaisquer que sejam ~u,~v e ~w.

(ii) ~u · ~v = ~v · ~u para quaisquer que sejam ~u e ~v.

(iii) ~u · (α~v) = (α~u) · ~v = α(~u · ~v) para quaisquer vetores ~u e ~v e para qualquer α ∈ R.

(iv) ~u · ~v = 0 ⇐⇒ ~u ⊥ ~v.

(v) ~v · ~v = ‖~v‖2. Em particular, ~v · ~v ≥ 0, valendo 0 apenas no caso em que ~v = ~0.

Demonstracao. A prova de (i), (ii) e (iii) e (v) e feita de manipulacoes algebricas(usar associatividade, distributividade e comutatividade das operacoes de adicao emultiplicacao de numeros reais...).

A prova de (iv) segue da expressao ~u · ~v = ‖~u‖‖~v‖ cos∠(~u,~v). De fato: ⇒ Se~u ·~v = 0, entao ‖~u‖‖~v‖ cos∠(~u,~v), o que significa que um dos fatores se anula. Se ‖~u‖ou ‖~v‖ se anula, entao um deles e o vetor nulo e portanto ~u ⊥ ~v. Se nenhuma das duasnormas se anula, entao e porque cos θ = 0, donde segue que θ = 90o (θ = ∠(~u,~v)).⇐ Se ~u ⊥ ~v, entao ou um deles e o vetor nulo, anulando ~u ·~v de maneira imediata,

ou eles sao ortogonais, e portanto cos θ = 0, nos dando ~u · ~v = 0.

3.4 Projecao ortogonal

Em diversas aplicacoes pode ser bastante interessante conhecer a chamada projecaoortogonal de um vetor sobre o outro. Vejamos a seguir como defini-la e algumasilustracoes.

Definicao 10. Sejam ~u 6= ~0 e ~v dois vetores e considere pontos A,B e C tais que~u = ~AC e ~v = ~AB. Tracamos uma reta que passa por B e e perpendicular a reta AC(tal reta e unica se os vetores nao sao paralelos). Seja D o ponto de interseccao entreessas duas retas. Entao a projecao ortogonal de ~v sobre ~u e o vetor definido por

proj~u~v = ~AD.

30

A seguir vemos tres ilustracoes de projecoes ortogonais.

A definicao pode parecer complicada, mas a ideia que esta por tras dela e bemsimples: queremos saber “quanto de ~u tem o vetor ~v, no sentido que se formos decompor~v como uma soma de vetores ortogonais, um sendo paralelo a ~u, este devera ser dado

31

pela proj~u~v. A outra parcela e o que sobra, ou seja, ~v − proj~u~v e a componente de ~vperpendicular a ~u.

Conhecendo a definicao, somos agora capazes de obter uma expressao para proj~u~v:

Condicao de paralelismo a ~u Note que proj~u~v e um multiplo de ~u. Assim, existeum certo α tal que proj~u~v = αu.

Condicao de ortogonalidade de ~v − proj~u~v com ~u. Daqui segue que ~v − α~u ⊥ ~u,o que nos da

(~v − α~u) · ~u = 0⇒ ~v · ~u− α~u · ~u = 0⇒ α =~v · ~u‖~u‖2

Assim, temos que

proj~u~v =

(~v · ~u‖~u‖2

)~u.

Note que a fracao que encontra entre parenteses acima e um numero real, mas oresultado final e um vetor!

Exemplo 15. Decompor o vetor ~v = (4,−5,−2) como uma soma de dois vetores: umparalelo a ~u = (0, 4,−1) e outro ortogonal a ele.

Solucao: Pela expressao que acabamos de deduzir, temos que

proj~u~v =

((4,−5,−2) · (0, 4,−1)

‖(0, 4,−1)‖2

)(0, 4,−1) =

−18

17(0, 4,−1) =

(0,−72

17,18

17

).

Este vetor e paralelo a (0, 4,−1). A parte ortogonal e dada pela diferenca

~v − proj~u~v = (4,−5,−2)−(

0,−72

17,18

17

)=

(4,−13

17,−52

17

).

Exercıcio 15. Confira que os vetores obtidos acima sao ortogonais.

32

Capıtulo 4

Produto vetorial

4.1 Motivacao e definicao

Sejam ~u e ~v dois vetores nao nulos. Quantas direcoes existem que sejam simultanea-mente ortogonais a ~u e ~v? Temos dois casos:

~u ‖ ~v Neste caso, ~u e ~v determinam uma unica direcao, e entao existem infinitasdirecoes ortogonais a esta (paralelas a um plano).

~u e ~v l.i. Existe apenas uma direcao simultaneamente ortogonal a ambos. Ela eortogonal ao plano determinado por eles, quando escolhemos representantes demesma origem.

33

Encontrar uma direcao que seja simultaneamente ortogonal a duas direcoes dadaspode ser bastante util. Veremos isso especialmente ao tratar de retas e planos noespaco. O produto vetorial, que definiremos na secao seguinte, da esta direcao, eoutras informacoes interessantes.

4.2 Produto vetorial

Definicao 11. Dados dois vetores ~u e ~v no espaco tridimensional, o produto vetorialde ~u por ~v e o vetor denotado por ~u ∧ ~v que tem as tres seguintes caracterısticas:

Norma e a area do paralelogramo gerado pelos vetores ~u e ~v. (que vale ‖~u‖~v‖sen θ,onde θ e o angulo entre ~u e ~v.)

Direcao e simultaneamente ortogonal a ~u e ~v.

Sentido e dado pela “regra da mao direita”: na mao direita, ao abrir os dedos polegar,indicador e medio de modo que o indicador aponte na direcao de ~u (o primeirovetor no produto), o medio aponte na direcao de ~v (o segundo vetor noproduto) e o polegar seja simultaneamente ortogonal aos dois, entao o sentidode ~u ∧ ~v e dado pelo polegar.

O calculo da area do paralelogramo pode ser realizado quando se conhece o anguloθ entre ~u e ~v. De fato, note se escolhemos ~u para ser a base, entao a altura do parale-logramo e dada por ‖~v‖sen θ. Logo

‖~u ∧ ~v‖ = ‖~u‖‖~v‖sen θ.

34

Observacao 6 (IMPORTANTE!!!). Segue da definicao acima que o produto vetorialnao e comutativo, ou seja, ~u∧~v nao e igual a ~v∧~u. Mais precisamente, ~v∧~u = −~u∧~v.De fato, ao trocar a ordem dos dois, e necessario que o indicador e o dedo mediotroquem os papeis, e assim a mao deve “virar ao contrario”.

A Regra da Mao Direita acima serve tambem para dar uma orientacao para oespaco dos vetores – nos problemas que teremos neste curso, talvez nao seja tao re-levante pensar neste aspecto, mas existem problemas muito bonitos, especialmentedentro da Matematica, onde a orientacao desempenha um papel importante.

Precisamente, vamos pensar no seguinte exemplo:

Exemplo 16. Digamos que os vetores ~e1, ~e2 e ~e3 formem uma base ortonormal orde-nada, nesta ordem. Quanto vale ~e1 ∧ ~e2?

Observe que ~e1 e ~e2 dao origem a um quadrado de lado medindo 1, e assim ‖~e1∧~e2‖ =1. Alem disso, a direcao simultaneamente ortogonal a ambos e paralela a ~e3. Logo asunicas possıveis respostas sao ~e3 ou −~e3. O que diz qual e o sinal da resposta e emque posicao ~e1, ~e2 e ~e3 encontram-se um relativamente ao outro.

Definicao 12. A base ortonormal ordenada formada por ~e1, ~e2 e ~e3 e dita positivaou dextrogira se

~e1 ∧ ~e2 = ~e3.

Caso contrario, e dita negativa.

A notacao mais comum para uma base ortonormal positiva, e que utilizaremos apartir de agora e ~i,~j,~k. Chamaremos esta base de base canonica.

No exemplo seguinte, veremos como se comportam todos os produtos vetoriais dedois vetores desta base.

Exemplo 17. Dados os vetores ~i, ~j e ~k, que sabemos ser dois a dois ortogonais, oparalelogramo formado por quaisquer dois deles e um quadrado unitario, que tem area1, e portanto o produto vetorial de um deles pelo outro tera norma 1. Alem disso, adirecao e dada pelo terceiro. Mas qual e o sentido? Utilizando a regra da mao direita,temos o seguinte:

~i ∧~j = ~k,

35

~i ∧ ~k = −~je

~j ∧ ~k =~i.

O exemplo acima e mais que um mero exemplo. Ele vai ilustrar que o produtovetorial nao e associativo, ou seja, so podemos efetuar o produto vetorial deum vetor com outro, nunca utilizando tres vetores. Nao tem sentido a expressao~u ∧ ~v ∧ ~w, apenas as expressoes (~u ∧ ~v) ∧ ~w e ~u ∧ (~v ∧ ~w), que em geral sao distintas.

Veja o exemplo abaixo:~i ∧ (~i ∧~j) =~i ∧ ~k = −~j

mas(~i ∧~i) ∧~j) = ~0 ∧~j = ~0.

No entanto, e possıvel mostrar que ∧ satisfaz algumas propriedades boas, de ondepodemos obter o algoritmo para seu calculo. Tais propriedades sao:

Distributividade (~u+ ~v) ∧ ~w = ~u ∧ ~w + ~v ∧ ~w.

Preserva multiplicacao por escalar (α~u) ∧ ~v = α(~u ∧ ~v) = ~u ∧ (α~v).

Algoritmo para o calculo do produto vetorial

Existe um algoritmo para calcular o produto vetorial a partir das coordenadas na baseortonormal ~i,~j e ~k, que e semelhante ao calculo de um determinante de uma matriz3× 3, e por isso utilizamos a mesma notacao que a de determinante. Precisamente, se~u = (u1, u2, u3) e ~v = (v1, v2, v3), entao ~u ∧ ~v e dado por

~u ∧ ~v =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~ku1 u2 u3

v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ = · · · = (u2v3 − u3v2)~i+ (u3v1 − u1v3)~j + (u1v2 − u2v1)~k.

Uma demonstracao deste algoritmo pode ser feita utilizando as propriedades acimae os resultados dos produtos vetoriais, dois a dois, de ~i,~j e ~k, no entanto, como setrata apenas de uma conta (bem comprida), omitiremos. O leitor interessado podedemonstrar ele proprio.

Exercıcio 16. Mostre que o vetor definido pelo algoritmo acima e de fato ortogonala ~u e a ~v.

Exercıcio 17. Calcule cada um dos produtos vetoriais:

1. (8,−4, 0) ∧ (0, 2, 1)

36

2. (2, 3,−1) ∧ (1, 0, 0)

3. (9, 14,−5) ∧ (0, 1, 0)

4. (−2,−3,−1) ∧ (5, 2, 3)

5. (2, 3,−1) ∧ (0, 1, 0)

6. (2, 3,−1) ∧ (0, 0, 1)

37

Capıtulo 5

Produto Misto

5.1 Motivacao

Consideramos o seguinte problema: calcular o volume V do paralelepıpedo gerado portres vetores L.I. ~u,~v e ~w.

Tal volume e dado pela area da base multiplicada pela altura. Imaginamos que,como na figura, a base e o paralelogramo gerado por ~u e ~v.

Neste caso, a altura h do paralelepıpedo e o comprimento da projecao ortogonal de~w em ~u ∧ ~v. Logo

h =

∥∥∥∥~u ∧ ~v · ~w‖~u ∧ ~v‖2~u ∧ ~v

∥∥∥∥ =

∣∣∣∣~u ∧ ~v · ~w‖~u ∧ ~v‖2

∣∣∣∣ ‖~u ∧ ~v‖,o que simplificando nos da

h =|~u ∧ ~v · ~w|‖~u ∧ ~v‖

.

38

Por outro lado, a area do paralelogramo da base e dada por ‖~u ∧ ~v‖. Multiplicandoarea da base por altura, obtemos que

V = |~u ∧ ~v · ~w|.

A expressao que aparece acima, dentro do modulo, e o que chamaremos de produtomisto. Literalmente o produto misto mistura os produtos vetorial e escalar.

Definicao 13. Dados tres vetores ~u,~v e ~w, o produto misto deles e o numero real dadopor

[~u,~v, ~w] = (~u ∧ ~v) · ~w.

Observe que o parenteses na definicao pode ser omitido, pois nao faz sentido operarcom o parenteses na outra ordem (reflita sobre isso!).

Exemplo 18. Sao dados ~u = (3, 8,−4), ~v = (1, 2, 0) e ~w = (0, 9,−1). Calcular [~u,~v, ~w]e, se forem L.I., o volume do paralelepıpedo gerado por eles.

Solucao: O algoritmo do calculo para o produto vetorial nos da

~u ∧ ~v =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k

3 8 −41 2 0

∣∣∣∣∣∣ = · · · = 8~i+ 4~j − 2~k = (8,−4,−2).

Assim, [~u,~v, ~w] = (8,−4,−2)·(0, 9,−1) = −36+2 = −34, e o volume do paralelepıpedoem questao e | − 34| = 34.

5.2 Produto misto de vetores L.D.

Acima vimos o que significa o produto misto de vetores L.I.. E se os vetores foremL.D.?

Se ~w e combinacao linear de ~u e ~v, entao ele esta no plano gerado por ~u e ~v,e portanto e ortogonal a ~u ∧ ~v, fazendo com que [~u,~v, ~w] seja zero. Ou se ~u e ~v saoparalelos, de graca tem-se que ~u,~v e ~w sao L.D. e daı o produto misto dos tres tambeme zero. Assim,

~u,~v, ~w L.D. ⇒ [~u,~v, ~w = 0.Por outro lado: vamos supor que ~u e ~v nao sao paralelos. Neste caso, se [~u,~v, ~w] = 0,

e porque ~w e ortogonal a ~u ∧ ~v. Entao obrigatoriamente ~w esta no plano gerado por~u e ~v, e portanto os tres vetores sao L.D.. Alem disso, se ~u e ~v sao paralelos, entaoautomaticamente os tres vetores sao L.D.. A conclusao e que vale a recıproca daafirmacao anterior, ou seja

[~u,~v, ~w] = 0⇒ ~u,~v, ~w L.D..

39

5.3 Calculo do produto misto

Vejamos como calcular o produto misto sem necessariamente calcular o produto ve-torial e depois o produto escalar envolvidos. Sejam ~u = (u1, u2, u3), ~v = (v1, v2, v3) e~w = (w1, w2, w3), expressos na base ortonormal positivo ~i, ~j e ~k. Lembramos que

~u ∧ ~v = (u2v3 − u3v2)~i+ (u3v1 − u1v3)~j + (u1v2 − u2v1)~k.

Assim, o produto escalar com ~w nos da

~u ∧ ~v · ~w = (u2v3 − u3v2)w1 + (u3v1 − u1v3)w2 + (u1v2 − u2v1)w3.

Formalmente a diferenca entre ~u ∧ ~v e o produto misto acima e que ~i fica substituıdopor w1, ~j por w2 e ~k por w3. Entao o que acontece e que o produto misto e dado pelodeterminante

[~u,~v, ~w] =

∣∣∣∣∣∣w1 w2 w3

u1 u2 u3

v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ .Por propriedades dos determinantes, e possıvel ainda escrever

[~u,~v, ~w] =

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ .Observacao: Voltando a dependencia linear: vimos na Secao anterior que

[~u,~v, ~w] = 0 ⇐⇒ ~u,~v, ~w sao L.D..

Agora que sabemos que o produto misto e dado pelo determinante das coordenadasdos vetores, percebemos que a afirmacao acima e so uma lembranca do que sabıamosao ver o criterio de dependencia/independencia linear via coordenadas!! E de caraacabamos de ganhar uma demonstracao que independe de ferramentas avancadas deAlgebra Linear!

5.4 Propriedades

Das propriedades do determinante e possıvel obter propriedades algebricas do produtomisto.

Propriedades do produto misto

(i) [~u,~v, ~w] = 0 ⇐⇒ ~u,~v, ~w sao L.D..

40

(ii) |[~u,~v, ~w]| e o volume do paralelepıpedo gerado por ~u, ~v e ~w.

(iii) [~v, ~u, ~w] = −[~u,~v, ~w]

(iv) [~u,~v, ~w] = [~v, ~w, ~u] = [~w, ~u,~v]

(v) [~x+ ~y,~v, ~w] = [~x,~v, ~w] + [~y,~v, ~w]

(vi) Para qualquer que seja α ∈ R vale [α~u,~v, ~w] = α[~u,~v, ~w].

Exercıcio 18. Reflita sobre uma possıvel demonstracao geometrica para cada umadas propriedades de (iii) a (vi) acima.

41

Parte II

Geometria analıtica no espacotridimensional: Sistema de coordenadas,

retas e planos

42

Capıtulo 6

Sistema cartesiano de coordenadas noespaco

6.1 Sistema de coordenadas no espaco

A partir de agora estudaremos alguns objetos geometricos do espaco tridimensional,tais como pontos, retas e planos, e algumas superfıcies interessantes. Para isso, preci-samos ser capazes de localizar todos os pontos do espaco, de maneira bem definida esem ambiguidade. Uma das formas de fazer isto e aproveitar que ja podemos caracte-rizar direcao, sentido e comprimento em termos de vetores, e apenas acrescentar umainformacao que “prenda os pontos iniciais das flechas”. Isso ficara preciso na definicaoa seguir.

Definicao 14. Um sistema de coordenadas para o espaco tridimensional e um sis-tema constituıdo por um ponto O, chamado origem do sistema, e uma base ordenadaortonormal positiva {~i,~j,~k}.

Em outras palavras, estamos fixando uma origem O de onde emanam os tres eixoscoordenados: o eixo x corresponde a direcao e sentido de ~i, o eixo y corresponde a ~je o eixo z corresponde a ~k. Os comprimentos medidos nos eixos sao de tal forma queos vetores da base sejam unitarios. Assim, e possıvel graduar os eixos de modo quequalquer ponto do espaco corresponda a tres numeros: a componente x, a componentey e a componente z.

Precisamente, para acompanhar a definicao dada acima, temos que as coordenadasde um ponto A sao assim dadas: se

−→OA se escreve como xA~i+yA~j+zA~k, entao dizemos

que as coordenadas de A sao xA, yA, zA, ou seja, A = (xA, yA, zA).

Exemplo 19. Esbocar o ponto A = (1, 2, 1) no sistema de coordenadas.

43

6.2 Propriedades operatorias

Existem muitas vantagens de tratar um sistema de coordenadas de forma vetorial.Uma delas e que podemos confundir (matematicamente falando) pontos e vetores demodo a fazer sentido pensar em soma de ponto com vetor, ou diferenca de pontos (ondeo resultado e um vetor). Como veremos, isso tem a ver com posicionar as flechas emlugares precisos.

Proposicao 6. Se A = (xA, yA, zA) e B = (xB, yB, zB) sao as coordenadas dos pontos

A e B, entao o vetor−→AB tem coordenadas

−→AB = (xB − xA, yB − yA, zB − zA).

Demonstracao. Note que−→AB =

−→AO+

−−→OB, mas por outro lado

−→AO = −

−→OA e portanto

temos que −→AB =

−−→OB −

−→OA.

44

So que ocorre justamente que as coordenadas de A e B sao dadas pelas coordenadasdos vetores

−→OA e

−−→OB, e portanto

−→AB = (xB, yB, zB)− (xA, yA, zA) = (xB − xA, yB − yA, zB − zA),

como desejado.

Simbolicamente, podemos escrever−→AB = B − A

ouB = A+

−→AB,

significando que B e obtido a partir de A fazendo um deslocamento sobre o vetor−→AB.

Exemplo 20. Dados os pontos A = (1, 2, 1) e B = (3, 4, 3) do espaco tridimensional,

obtenha as coordenadas do vetor−→AB na base ~i,~j e ~k.

45

−→AB = (3, 4, 3)− (1, 2, 1) = (2, 2, 2) = 2~i+ 2~j + 2~k.

Soma de ponto com vetor

Podemos nos inspirar na expressao acima (B = A +−→AB) para definir precisamente a

soma de ponto com vetor.Ora, dados um ponto A e um vetor ~v, podemos pensar no representante de ~v com

origem em A. Desta forma, ~v =−→AP para um determinado ponto P . E entao natural

escreverP = A+ ~v, significando ~v = P − A =

−→AP.

Esta e a chamada soma de ponto com vetor. O resultado e um ponto, e suascoordenadas sao a soma das coordenadas do ponto e do vetor que foram somados.

Exemplo 21 (Ponto medio). Determinar o ponto medio M dos pontos A = (3,−2, 5)e B = (4, 1,−9).

Solucao: Pode ser que seja conhecimento do leitor que as coordenadas do pontomedio sao a media aritmetica das coordenadas dos pontos A e B; neste caso, a respostafica sendo

M =

(7

2,−1

2,−2

).

Vejamos uma demonstracao deste fato.O ponto medio M situa-se:

– Na reta que contem A e B.

– A uma distancia1

2

∥∥∥−→AB∥∥∥ de A e de B.

– Entre A e B.

46

Em termos de soma de ponto com vetor, podemos dizer que

M = A+1

2

−→AB.

Se as coordenadas de A e B sao A = (xA, yA, zA) e B = (xB, yB, zB), entao−→AB =

(xB − xA, yB − yA, zB − zA) e daı

M = (xA, yA, zA) +

(xB − xA

2,yB − yA

2,zB − zA

2

)=

(xB + xA

2,yB + yA

2,zB + zA

2

),

como afirmado.

6.3 Descrevendo objetos no espaco atraves de equacoes (ou:

a alma da Geometria Analıtica)

O grande merito da Geometria Analıtica e, possivelmente, transcrever problemasgeometricos para algebricos, ou reciprocamente. Nesta Secao veremos alguns exem-plos de equacoes (ou sistemas de equacoes) envolvendo as incognitas x, y e z querepresentam objetos geometricos dados.

6.3.1 Descrevendo superfıcies

Exemplo 22 (Esfera). Determinar uma equacao para a esfera centrada no pontoC = (0, 0, 1) e de raio 4.

Solucao: Se P = (x, y, z) e um ponto da esfera procurada, entao d(C,P ) = 4 (aqui

d denota distancia entre pontos). Em termos de vetores, isto quer dizer que ‖−→CP‖ = 4,

o que e equivalente a1 ‖−→CP‖2 = 16. Como

−→CP = (x − 0, y − 0, z − 1) = (x, y, z − 1),

temos que‖−→CP‖2 = 16 ⇐⇒ x2 + y2 + (z − 1)2 = 16,

1Deve-se tomar um pouco de cuidado com equivalencias envolvendo elevar ao quadrado/“extrair raiz quadrada”. Porexemplo, de a2 = 16 nao podemos concluir que a = 4, e sim que a = ±4. No entanto, de a2 = 16, a ≥ 0, podemoscconcluir que a = 4. E esta situacao onde nos encaixamos ao tratar da norma do vetor, como acima. Se ‖~v‖2 = 16, comonecessariamente ‖vecv‖ ≥ 0, nao e verdade que ‖~v‖ = ±4, mas sim ‖~v‖ = 4. Esta sutileza talvez reapareca em outrassituacoes – tome cuidado com ela!

47

sendo esta uma possıvel equacao procurada.O interessante das equacoes e que com elas na mao podemos determinar se um ponto

pertence ou nao ao nosso objeto geometrico. Por exemplo, verifique se os pontos aseguir pertencem ou nao a esfera acima: A = (−4, 0, 1), B = (0, 0,−1), D = (5,♥, ?).

Como (−4)2 + 02 + (1− 1)2 = 16, o ponto A pertence a esfera.Como 02 + 02 + (1− (−1))2 6= 16, o ponto B nao pertence a esfera.Independentemente dos valores de ♥ e ?, o ponto D nao pertence a esfera, pois

52 > 16 e ao somarmos mais dois quadrados so aumentamos a quantidade, ou seja, olado esquerdo ficara certamente > 16, e nunca igual a 16.

Exemplo 23 (Plano mediatriz). Considere os pontos A = (3, 0,−1) e B = (3, 2,−1).Determine o lugar geometrico dos pontos que equidistam de A e B, ou seja, de todosos pontos P tais que d(A,P ) = d(B,P ).

Solucao: Seja P = (x, y, z) pertencente a tal lugar geometrico. Isso e equivalente adizer

‖−→AP‖ = ‖

−−→BP‖ ⇐⇒ ‖

−→AP‖2 = ‖

−−→BP‖2.

Usando as coordenadas dos pontos, temos que isso e equivalente a

(x− 3)2 + y2 + (z + 1)2 = (x− 3)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2.

Esta ja e uma possıvel equacao para o lugar geometrico procurado, porem ela pode sersimplificada, obtendo y2 = (y − 2)2. Aqui e interessante fazer um comentario sobre aexistencia de variaveis livres.

A equacao y2 = (y − 2)2 pode significar coisas diferentes dependendo do contexto.No nosso contexto, ela e uma equacao nas variaveis x, y, z, mas x e z nao aparecem.Isso significa que x e z estao livres, ou seja, a equacao nao os vincula a nada: elespodem assumir todos os valores reais. Esse fenomeno acontecera outras vezes, e eimportante ter em mente que as variaveis que nao aparecem na equacao estao livres.

Continuamos agora simplificando a equacao acima. 2

y2 = (y − 2)2 ⇐⇒ y2 − 4y + 4 ⇐⇒ 4y = 4 ⇐⇒ y = 1.

Ou seja: o conjunto de todos os pontos que equidistam de A e B tem como equacaoy = 1. Isso significa que qualquer ponto da forma (♥, 1, ?) vai equidistar de A e B.

O objeto geometrico em questao e um plano que e perpendicular a−→AB e passa pelo

ponto medio M = (3, 1,−1) de A e B.

2Novamente, nao se atreva a extrair a raiz quadrada dos dois lados. Dizer que a2 = b2 nao significa que a = b, poisnao sabemos, a princıpio, se a e b sao positivos ou negativos. De a2 = b2 o que se pode concluir e que |a| = |b|. Mas nonosso caso e mais interessante desenvolver o quadrado a direita. De qualquer forma, fica o aviso para se ter cautela.

48

Exemplo 24 (Plano, dados tres de seus pontos). Sao dados os pontos A = (1, 0, 0),B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 3). Determinar uma equacao para o plano que contem estestres pontos.

Solucao: Se P = (x, y, z) pertence a tal plano, entao os vetores−→AB,

−→AC e

−→AP

devem ser L.D. e portanto [−→AB,−→AC,−→AP ] = 0, o que nos da∣∣∣∣∣∣

−1 1 0−1 0 3x− 1 y z

∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇐⇒ 3(x− 1) + 3y + z = 0.

Assim, uma possıvel equacao para tal plano e 3(x− 1) + 3y + z = 0.

Comentario sobre dimensao: Na grande maioria dos casos (exceto em situacoescaoticas – das quais passaremos muito longe neste curso), uma unica equacao envol-vendo as variaveis x, y, z descreve um objeto bidimensional. A grosso modo, isso eporque em certo sentido teremos alguma liberdade para “escolher” duas das coordena-das do ponto, e a terceira estara presa as duas primeiras, podendo ser uma quantidadefinita de valores. Essa liberdade nao e tao livre assim, mas alguma liberdade temos.

Desta forma, se quisermos tratar de objetos unidimensionais, como retas ou curvas,outra abordagem deve ser feita. A mais comum e a abordagem parametrica, da qualtratamos na secao seguinte.

6.3.2 Interseccao de objetos

Nesta Secao veremos brevemente como tratar a interseccao de dois objetos via equacoesUm ponto P pertence a interseccao de dois objetos geometricos se, e somente se,pertence aos dois simultaneamente. Assim, a interseccao de dois objetos e dado pelasequacoes dos dois simultaneamente. O mesmo vale para tres, quatro ou mais objetos.Veremos no que segue alguns exemplos, que reaparecerao nos proximos capıtulos

Exemplo 25 (Interseccao de esfera com plano). Considere a esfera dada no Exemplo22 e o plano dado no Exemplo 23. Qual a sua interseccao?

Ora, um ponto P = (x, y, z) pertence a esta interseccao se e somente se satisfizeras duas equacoes ao mesmo tempo, ou seja, satisfizer o sistema de equacoes{

y = 1x2 + y2 + (z − 1)2 = 16

,

que e equivalente ao sistema {y = 1x2 + (z − 1)2 = 15

.

49

Observamos que a equacao y = 1 nao pode ser omitida, pois isso nos daria apenasuma equacao nas variaveis x, y, z, representando, entao, uma superfıcie. A proposito,que superfıcie e esta? A superfıcie de equacao x2 + (z − 1)2 = 15 e tal que y e livre epara qualquer y = a que se da, tem-se um cırculo de centro em (0, a, 1) de raio

√15.

Assim, trata-se de um cilindro paralelo ao eixo y. Ao ser cortado pelo plano y = 1, oresultado e um cırculo. Precisamente, o cırculo de raio

√15, centro (0, 1, 1) e contido

no plano y = 1.

Exemplo 26 (Interseccao de 2 planos). Considere os planos dos exemplos 23 e 24. Oprimeiro tinha equacao y = 1 e o segundo 3(x − 1) + 3y + z = 0. Entao um pontoP de coordenadas (x, y, z) pertence a interseccao destes dois planos se, e somente se,satisfizer o sistema de equacoes{

y = 13(x− 1) + 3y + z = 0

.

Note que podemos simplificar a segunda equacao utilizando a informacao da primeira!Assim, um ponto P = (x, y, z) pertence a interseccao dos planos dados se, e somentese, {

y = 13(x− 1) + 3 + z = 0

,

ou seja, {y = 13x+ z = 0

.

Esta errado simplesmente ignorar a primeira equacao e dizer que 3x + z = 0 sim-plesmente, pois isso nos daria um objeto bidimensional, com y livre, e nao e o quequeremos. As duas equacoes sao importantes e devem ser mantidas.

O que significa essa interseccao geometricamente? No plano y = 1, existe uma retacuja equacao e 3x + z = 0 (fazendo de conta que y nao existe, ja que ele esta fixo!).Esta e a reta de interseccao dos planos dados no enunciado.

Observacao Note que qualquer um dos sistemas acima e possıvel e indeterminado,ou seja, admite infinitas solucoes. Isso ja era esperado geometricamente, ja que a retatem infinitos pontos.

A interseccao de objetos pode ser vazia. Veja o seguinte exemplo:

Exemplo 27. Determine, a interseccao do plano x = 5 com a esfera de equacaox2 + y2 + (z − 1)2 = 16.

Na verdade, ja vimos que esta interseccao e vazia: os pontos do plano x = 5 sao daforma (5,♥, ?), e nenhum deles pertence a esfera. Assim, a interseccao procurada e oconjunto vazio.

50

Exemplo 28 (Interseccao de 3 planos). Para concluir, vamos mencionar um primeirocaso de interseccao entre tres planos (existem outras possibilidades, que apareceraomais adiante no curso).

Determine a interseccao dos planos de equacoes 3(x − 1) + 3y + z = 0, y = 1 ex+ y + z = 0.

Se um ponto P = (x, y, z) pertence a tal interseccao, deve satisfazer o sistema deequacoes

3(x− 1) + 3y + z = 0y = 1x+ y + z = 0

,

Substituindo a informacao y = 1 nas outras duas equacoes, obtemos o sistemaequivalente

z = −3xy = 1z = −1− x

,

o que nos da −3x = −1 − x e z = −1 − x, ou seja, x = 1/2 e z = −3/2. Assim, ainterseccao destes tres planos e dada por

x = 1/2y = 1z = −3/2

,

ou seja, e apenas um ponto, o ponto de coordenadas (12 , 1,−

32).

O sistema inicial e um tıpico exemplo de sistema linear possıvel e determinado, ouseja, tem uma unica solucao. Geometricamente, trata-se da interseccao de tres planostais que nenhum par deles e paralelo ou coincidente.

6.3.3 Descricoes parametricas

Curvas

Conforme comentado acima, uma equacao sozinha nao da conta de descrever objetosunidimensionais (curvas, por exemplo). Isso nos motiva a introduzir uma nova ideia:a de equacoes parametricas.

A ideia e simples: e dado um parametro t (t e para lembrar tempo), que vai variarnum intervalo de numeros reais (que pode inclusive ser a reta toda). Para cada valorde t, e dado um ponto P (t), que depende de t. Em geral isso e feito de maneira“contınua”, ou seja, o ponto P (t) nao da “pulos”, ou nao deixa buracos.

51

Para cada ponto P (t) precisamos determinar suas coordenadas x(t), y(t) e z(t).Em resumo, uma curva parametrizada e uma funcao que associa a cada t uma triplaordenada (x(t), y(t), z(t)).

Exemplo 29 (Helice). Imagine que deseja-se descrever uma helice, de raio 1 e de“passo” 1 (ou seja, a cada volta completada, sobe-se 1 na altura). Para facilitar nossavida, imaginamos que esta helice esta enrolada em torno do eixo z. Entao uma maneirade parametriza-la e

x(t) = cos ty(t) = sen tz = t

2π

, t ∈ R.

De fato: a medida que t varia, x(t) e y(t) descrevem infinitas voltas de um cırculo deraio 1 (a “sombra” da helice no plano xy, ou seja, sua projecao ortogonal neste plano).Enquanto isso, z(t) = t/2π nos diz que a cada andada de 2π no parametro t, a alturaz da helice aumenta 1, como queremos.

Observamos que esta nao e a unica parametrizacao possıvel. Alias, dada qualquercurva, sempre e possıvel reparametriza-la de infinitas e das mais criativas formas, massempre buscamos a forma mais simples.

Superfıcies

Tambem e possıvel descrever superfıcies atraves de parametros. Como se tratam deobjetos de dimensao 2, sao necessarios dois parametros. Faremos isto ao estudar osplanos. Aqui daremos alguns exemplos simples.

Exemplo 30 (Cilindro). O cilindro em torno do eixo z e de raio 1 pode ser parame-trizado da seguinte forma:

x = cos ty = sen tz = s

, s, t ∈ R

O parametro t faz os cırculos acontecerem em cada um dos planos z =constante, eestes variam por causa do parametro s.

Exemplo 31 ((5,♥, ?)). Dissemos alguns exemplos acima que o plano x = 5 tem apropriedade que todo ponto tem a cara (5,♥, ?). Isso significa que ele pode ser descritoparametricamente pelas equacoes

x = 5y = tz = s

s, t ∈ R.

52

Exemplo 32 (Planos coordenados). Os planos coordenados sao aqueles que contem aorigem O do sistema de coordenadas e sao paralelos a 2 dos vetores da base ortonormalpositiva que origina o sistema. Damos a eles os “apelidos” de xOy, xOz e yOz, ousimplesmente xy, xz e yz, onde as letras minusculas representam os eixos que o planocontem.

Os planos coordenados podem ser parametrizados da seguinte forma:

Plano xy: x = sy = tz = 0

, s, t ∈ R

Plano xz: x = sy = 0z = t

, s, t ∈ R

Plano yz: x = 0y = s

z = t

, s, t ∈ R

53

Interludio: fatos sobre GeometriaEuclidiana em dimensao tres

Este breve interludio pretende agrupar alguns fatos da Geometria Euclidiana que per-mearao nossa discussoes sobre retas e planos no espaco tridimensional. Embora fosseser bastante divertido, nao entraremos aqui em discussoes acerca do que em geral econsiderado axioma e o que pode ser demonstrado dentro da Geometria Euclidiana.Trata-se apenas de um breve resumo, que tambem serve par “dar nome aos bois”.

Importante: Em termos de rigor matematico, este capıtulo e um problema, poismuitas vezes utilizamos definicoes nao definidas ainda. No entanto, vamos apelar aobom senso do leitor, que caso tenha duvidas, consultara a autora.

Lista de sımbolos

∈: pertence. Exemplo: A ∈ r significa que A pertence a r. E usado quando queremoscomparar um elemento com um conjunto.

/∈: nao pertence.

⊂ ou ⊆: esta contido. E usado quando queremos comparar dois conjuntos. Exemplo:r ⊂ Π deve ser lido como “r esta contido em Π”, ou seja, todos os elementos der sao tambem elementos de Π.

6⊂: nao esta contido. A 6⊂ B siginifica que existem elementos de A que nao pertencema B.

⊃ ou ⊇: contem. (e so o sımbolo anterior lido ao contrario)

∩: Interseccao de conjuntos. Exemplo: Π1 ∩ Π2 = r siginifica que r e a interseccaode Π1 e Π2.

∅: conjunto vazio. Exemplo: r ∩ s = ∅ significa que a interseccao de r com s e oconjunto vazio, ou seja, elas nao se interseccionam.

54

Retas

Determinacao de uma reta

Dados dois pontos A e B distintos, existe uma e somente uma reta r tal queA e B pertencem a r.

A partir deste fato, podemos inferir que uma reta fica bem determinada pelas duasformas equivalentes a seguir:

1. Dois pontos distintos.

2. Um ponto e uma direcao (que pode ser dada, por exemplo, por um vetor nao nuloou por uma outra reta).

De fato, se temos dois pontos distintos A e B, eles determinam um vetor nao nulo:−→AB, que da precisamente a direcao da reta que os contem. Reciprocamente, dados umponto A e um vetor nao nulo ~v, tomando B = A + ~v temos dois pontos distintos dareta que passa por A e tem a direcao de ~v.

Posicao relativa entre retas

Dadas duas retas r e s, existem tres possibilidades para a posicao relativa entre elas:

1. r ‖ s, isto e, r e s tem a mesma direcao. Neste caso, sao duas possibilidadesainda:

(a) r = s

(b) r ‖ s com r 6= s (e portanto r ∩ s = ∅)

2. r e s se interseccionam em um unico ponto A. Neste caso, dizemos que elas saoconcorrentes (em A). Simbolicamente, escrevemos r ∩ s = {A}.

3. r e s nao se interseccionam mas nao sao paralelas. Elas sao ditas reversas. Obs:isso nao e possıvel em dimensao 2, mas em dimensao 3 sim.

Planos

Determinacao de um plano

Dados tres pontos nao colineares A,B,C, existe um e apenas um plano queos contem.

Novamente podemos determinar um plano considerando, entao, informacoes como:

Tres pontos nao colineares a ele pertencentes.

55

Conhecendo um ponto e duas direcoes nao paralelas entre si, mas paralelas ao plano(por exemplo, dadas por dois vetores nao paralelos).

Conhecendo uma reta e um ponto fora dela, ambos no plano.

De fato, os tres pontos nao colineares determinam duas direcoes nao paralelas, quesao paralelas ao plano. Reciprocamente, dados um ponto A e dois vetores nao paralelos~u e ~v, temos que os tres pontos A,B = A+ ~u e C = A+ ~v sao nao colineares.

Quanto ao terceiro item acima, note que uma reta e um ponto fora dela determinamduas direcoes nao paralelas, entao recaımos no item anterior.

Existe ainda uma outra maneira de determinar um plano, utilizando o fato que“para completar o espaco a partir de um plano falta ainda uma direcao”:

Dado um ponto A e uma direcao (por exemplo, um vetor nao nulo ~n), existe um unicoplano Π que contem A e e perpendicular a ~n.

Posicao relativa entre planos

Dados dois planos Π1 e Π2, sao apenas duas as possibilidades de posicao relativa entreeles:

1. Ou eles sao paralelos (simbolicamente, Π1 ‖ Π2), e aqui temos dois subcasos:

(a) Π1 = Π2

(b) Π1 ‖ Π2 com Π1 6= Π2. Neste caso, tem-se que Π1 ∩ Π2 = ∅

2. Ou eles se interseccionam ao longo de uma reta, caso nao sejam paralelos. Π1 ∩Π2 = r.

Retas e planos: posicao relativa

Dados uma reta r e um plano Π, existem tres possibilidades:

1. r ⊂ Π

2. r ∩ Π = ∅, o que geometricamente significa que r e paralela a Π mas nao o toca.

3. r e Π se cruzam, se interseccionando em apenas um ponto.

Observacao: se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, entaotoda a reta esta contida no plano.

56

De volta as retas

Observamos os seguintes fatos sobre a posicao relativa entre duas retas distintas r e s:

1. Se r ‖ s, existe um plano Π que as contem. Este plano e unico.

2. Se r e s sao concorrentes, tambem existe um unico plano Π que contenha ambas.

3. Se r e s sao reversas, entao nao existe plano que contenha ambas simultaneamente.

57

Capıtulo 7

Retas

Lembre que: por dois pontos distintos passa uma e somente uma reta. Note quedois pontos distintos determinam um vetor, que determina uma direcao, e portantopodemos sempre que pensar que uma reta vem a ser definida a partir de um de seuspontos e de um vetor que represente a sua direcao (que sabemos existir infinitos, poistodos os multiplos de um mesmo vetor determinam direcoes paralelas). Chamaremosum tal vetor de vetor diretor da reta.

Com esta observacao, estamos prontos para obter equacoes de retas no espaco.

7.1 Equacoes de retas

7.1.1 Representacao vetorial

Suponha que r e uma reta que passa pelo ponto A e tem como vetor diretor ~v. Entaoo que podemos dizer sobre um dado ponto P sobre essa reta?

Ora, sabemos que ~AP deve ter a mesma direcao de ~v. Assim, ~AP e ~v sao paralelos,e portanto existe um numero real t tal que

~AP = t~v.

Utilizando a notacao de soma de ponto com vetor que vimos acima, isto e equivalentea

P = A+ t~v.

Cada ponto P da reta tera um valor de t diferente na equacao acima; reciproca-mente, cada t ∈ R dara origem a um ponto diferente. Assim, concluımos que

r = {A+ t~v | t ∈ R}.A equacao acima e chamada representacao vetorial da reta r. Existem infinitas

equacoes vetoriais para a mesma reta. Por exemplo, note que

r = {A+ t~v | t ∈ R} = {A+ 5t~v | t ∈ R} = {A+ t~v +2

3~v | t ∈ R} = . . .

58

O conjunto nao muda, o que muda e a representacao de cada ponto nele de acordocom o parametro t.

Se sabemos a informacao que a reta r passa por dois pontos A e B, entao ~AB e umpossıvel vetor diretor para r, e portanto podemos escrever

r = {A+ t ~AB | t ∈ R}.

Equacoes parametricas de uma reta

Colocamos tudo que foi visto acima em coordenadas, e assim temos as chamadasequacoes de reta. O que isso quer dizer? Que associamos a reta r um conjunto deinformacoes, dadas por igualdades matematicas, que dirao se um ponto pertence ounao a ela: se o ponto pertence, entao suas coordenadas satisfazem as equacoes; se naopertence, entao as coordenadas nao satisfazem.

Precisamente, digamos que r e a reta que passa pelo ponto A = (a, b, c) e tem vetordiretor ~v = (v1, v2, v3), entao um ponto P = (x, y, z) pertence a r se, e somente se,suas coordenadas x, y e z satisfazem, para algum valor t ∈ R,

x = a+ tv1

y = b+ tv2

z = c+ tv3

(7.1)

Dizemos, entao, que estas sao equacoes da reta r. Quando escritas nesta forma, saochamadas as equacoes parametricas da reta r.

Exemplo 33. 1. As equacoes parametricas da reta r que passa por A = (1, 3,−1)e tem como vetor diretor ~v = (1, 1, 5) podem ser

x = 1 + ty = 3 + t

z = −1 + 5t

2. Pertence ou nao?

(2, 4, 4) ∈ r, basta tomar t = 1.

(−1, 1,−11) ∈ r, basta tomar t = −2.

A ∈ r, basta tomar t = 0.

Mas note que (5, 0, 1) /∈ r. De fato, e impossıvel existir (verifique!) t ∈ R tal que5 = 1 + t0 = 3 + t

1 = −1 + 5t

59

3. Equacoes para a reta s que passa por (5, 0, 1) e e paralela a r:x = 5 + ty = 0 + tz = 1 + 5t

Exercıcio 19. Determine outra equacao para a reta r.

Facamos agora um raciocınio contrario: considere r dada pelas equacoes parametricas

r :=

x = −2 + 3ty = 5 + 4tz = 7

.

Como determinamos um vetor diretor para a reta? Ora, note que fazendo t = 0 et = 1, respectivamente, temos que os pontos A = (−2, 5, 7) e B = (1, 9, 7) pertencem

a r. Logo um possıvel vetor diretor e−→AB = (3, 4, 0). Note que sao exatamente os

coeficientes de t nas equacoes parametricas. Observamos mais uma vez que qualquervetor paralelo a este e tambem vetor diretor de r.

Exemplo 34. Determine se P = (8, 5, 4) pertence ou nao a reta determinada pelospontos A = (−1,−5, 2) e B = (−10,−15, 0)

Existem pelo menos duas formas de resolver este exemplo. A primeira delas consisteem determinar equacoes para a reta que passa por A e por B e apos verificar se Pas cumpre, como segue. Seja r a reta por A e B. Entao um possıvel vetor diretorpara a reta r e ~v =

−→AB = (−9,−10,−2). Alem disso, r passa por A. Assim, possıveis

equacoes parametricas para r sao dadas por

r :

x(t) = −1− 9ty(t) = −5− 10tz(t) = 2− 2t

, t ∈ R.

Para que P pertenca a r, deve existir um valor real t tal que

r :

8 = −1− 9t5 = −5− 10t4 = 2− 2t

, t ∈ R.

Afirmamos que t = −1 satisfaz estas tres equacoes simultaneamente (e convidamos oleitor a verificar). Assim, P ∈ r.

A segunda forma de resolver este exemplo envolve apenas vetores: para que Ppertenca a reta, e necessario e suficiente que

−→AP e

−→AB sejam multiplos. E isso ocorre,

pois−→AP = −

−→AB (verifique!).

60

Exercıcio 20. Mostramos acima que t = −1 nos retorna o ponto P a partir dasequacoes apresentadas, e que

−→AP = −1

−→AB. Isso e coincidencia?

Exemplo 35. Considere a reta

r :

x(t) = 1 + ty(t) = 3 + tz(t) = −1 + 5t

, t ∈ R

Verifique que B = (5, 0, 1) /∈ r e apresente equacoes para a reta paralela a r que passapor B.

Suponhamos por absurdo que B ∈ r. Entao existe t ∈ R que satisfaca5 = 1 + t0 = 3 + t

1 = −1 + 5t, t ∈ R,

mas a primeira linha nos da t = 4, a segunda t = −3 e a terceira t = 2/5, e portanto4 = −3 = 2/5, o que e um absurdo. Assim, B /∈ r.

Para explicitar equacoes da reta s paralela a r passando por B, observe que elapassa por B e tem como vetor diretor qualquer vetor multiplo ao vetor diretor de r(por exemplo, (1, 1, 5). Desta forma, tal reta tem por equacoes

s :

x(t) = 5 + t

y(t) = t

z(t) = 1 + 5t, t ∈ R

7.2 Posicao relativa entre duas retas

Existe um caminho natural para determinar a posicao relativa entre duas retas r e s:primeiro determina-se se elas sao ou nao paralelas, verificando para isso se os vetoresdiretores sao ou nao multiplos. Entao temos duas situacoes:

Se r e s sao paralelas temos duas subpossibilidades:

r = s Para isso basta que um ponto de uma pertenca a outra.

r 6= s Para isso basta que um ponto de uma nao pertenca a outra. Importante:estamos supondo que sao paralelas, caso contrario esse caminho naofaz sentido.

Se r e s nao sao paralelas temos tambem duas subpossibilidades: concorrentes oureversas. Ha pelo menos duas formas de determinar em qual destes subcasosestamos, como veremos nos exemplos a seguir.

61

Exemplo 36. r ou s abaixo sao paralelas? Se sim, sao iguais ou distintas?

r :

x(t) = 5− 6ty(t) = 3− 4tz(t) = −1 + 2t

, t ∈ R,

s : X = (2, 1, 0) + t(3, 2,−1), t ∈ R.

Os vetores diretores de r e s podem ser respectivamente ~vr = (−6,−4, 2) e ~vs =(3, 2,−1), que claramente sao paralelos. Assim, r e s sao paralelas.

Para determinar se sao ou nao a mesma reta, considere o ponto A = (5, 3,−1)que pertence a r. Vejamos se pertence ou nao a s: A ∈ s ⇐⇒ ∃t ∈ R tal que(5, 3,−1) = (2, 1, 0) + t(3, 2,−1) ⇐⇒ 5 = 2 + 3t, 3 = 1 + 2t e −1 = 0− t. Como t = 1satisfaz as tres equacoes que determinam as coordenadas dos pontos de s, temos queA ∈ s. Ora, como A e um ponto em comum de duas retas paralelas, obrigatoriamenteelas sao a mesma reta.

Vejamos a seguir exemplos de como agir caso as retas nao sejam paralelas.

Exemplo 37. Mostre que r e s abaixo sao concorrentes:

r :

x(t) = 2− 2ty(t) = 4 + t

z(t) = −3t, t ∈ R,

s :

x(t) = 1 + t

y(t) = −2tz(t) = 2t

, t ∈ R.

Uma primeira olhada no enunciado poderia induzir o leitor ao seguinte erro: “mos-trarei que ao igualar as coordenadas de uma das retas com a coordenada correspon-dente na outra reta, chegarei a um valor de t, que representara a interseccao delas”. Oerro e comum, e e um erro pelo seguinte motivo: as duas retas estao parametrizadas,a princıpio, pelo mesmo parametro t. Pode acontecer, no entanto, que cada uma delaspasse pelo ponto de interseccao em um valor de t diferente. E como se fossem duaspartıculas que, embora tenham como trajetorias retas concorrentes, nao colidem nainterseccao. Convidamos o leitor a fazer o teste nas retas deste exemplo.

No entanto, se modificarmos o parametro de uma das retas, por exemplo, escrevendo

r :

x(u) = 2− 2uy(u) = 4 + u

z(u) = −3u, u ∈ R,

62

s :

x(t) = 1 + ty(t) = −2tz(t) = 2t

, t ∈ R,

podemos argumentar igualando as cooordenadas. Para que r e s sejam concorrentes,e necessario e suficiente que existam u, t ∈ R (que podem ser distintos!) tais que astres equacoes a seguir sejam simultaneamente satisfeitas:

2− 2u = 1 + t4 + u = −2t−3u = 2t

.

Fica como exercıcio para o leitor verificar que u = 2 e t = −3 satisfazem as tresequacoes acima simultaneamente. Assim, em u = 2 a reta r passa pelo ponto deinterseccao, e em t = −3 a reta s passa pelo mesmo ponto. Tal ponto e (−2, 6,−6).

Antes de ver uma segunda forma de resolucao, vejamos um exemplo de retas rever-sas.

Exemplo 38. Mostre que sao reversas as retas r : X = (2, 4, 0) + t(2, 1,−3), t ∈ R es : X = (4, 0, 0) + t(1,−2, 2), t ∈ R.

Comecando observando que claramente r e s nao sao paralelas. Assim, so podemser concorrentes ou reversas. Para mostrar que sao reversas, mostraremos que nao temponto em comum.

Pelos mesmos motivos apresentados no exemplo anterior, para verificar se as retasse interseccionam ou nao, e necessario realizar mudanca de parametro em uma delas.Por exemplo, reescrevemos r : X = (2, 4, 0) + u(2, 1,−3), u ∈ R e s : X = (4, 0, 0) +t(1,−2, 2), t ∈ R. Para que estas retas se interseccionem, e necessario e suficiente queexistam u, t numeros reais (que novamente podem ser distintos) tais que

2 + 2u = 4 + t

4 + u = −2t−3u = 2t

simultaneamente. Deixamos como exercıcio para o leitor verificar que u = 2 e t = −3sao os unicos valores que satisfazem as duas ultimas equacoes, mas nao satisfazem aprimeira. Assim, nao existem tais valores reais para u e t e portanto as retas nao seinterseccionam. Como nao sao paralelas, esta demonstrado que sao reversas.

A segunda forma de determinar se retas nao paralelas sao ou nao concorrentes (casonao estejamos interessados no ponto de interseccao) requer a seguinte observacao:

63

Proposicao 7. Sejam A,B,C,D pontos no espaco, r reta determinada por A e B es reta determinada por C e D. Entao:

r e s sao reversas ⇐⇒ A,B,C,D sao nao coplanares.

Uma demonstracao fica como exercıcio para o leitor. No entanto, observamos queesta proposicao implica o seguinte:

Se r e s tem vetores diretores ~vr e ~vs, respectivamente, e se A ∈ r e C ∈ s, entaovale:

r e s sao reversas se e somente se ~vr, ~vs e−→AC sao L.I..

Assim, um teste pratico para determinar se r e s sao reversas ou concorrentes (ja

sabendo que nao sao paralelas) e calcular o produto misto [~vr, ~vs,−→AC], onde A ∈ r e

64

C ∈ s.Revisitamos os exemplos acima:Exemplo 37. Temos que ~vr = (−2, 1,−3), ~vs = (1,−2, 2) e, tomando A =

(2, 4, 0) ∈ r e C = (1, 0, 0) ∈ s, temos−→AC = (−1,−4, 0). Daı

[~vr, ~vs,−→AC] =

∣∣∣∣∣∣−2 1 −31 −2 2−1 −4 0

∣∣∣∣∣∣ = · · · = 0.

Segue entao que r e s sao coplanares.

Exemplo 38. Temos que ~vr = (2, 1,−3), ~vs = (1,−2, 2) e, tomando A = (2, 4, 0) e

C = (4, 0, 0), vale−→AC = (2,−4, 0). Calculamos entao o produto misto:

[~vr, ~vs,−→AC] =

∣∣∣∣∣∣2 1 −31 −2 22 −4 0

∣∣∣∣∣∣ = · · · = 20 6= 0.

Assim, os vetores ~vr, ~vs e−→AC sao L.I., o que nos da que r e s sao reversas.

65

Capıtulo 8

Planos e posicoes relativas

8.1 Equacoes para planos

Um plano Π no espaco fica bem determinado por:

(i) 3 pontos nao-colineares.

(ii) Um ponto e duas direcoes distintas (isto e, dois vetores nao paralelos, chamadosvetores diretores do plano).

Observe que estas duas situacoes sao equivalentes, pois tres pontos nao colinearesA,B e C determinam duas direcoes distintas, a saber, as direcoes dadas pelos vetores−→AB e

−−→BC. Reciprocamente, se sao dados um ponto A e dois vetores linearmente

independentes ~u e ~v, entao, escolhendo representantes deles comecando em A, obtemosos pontos B = A+ ~u e C = A+ ~v. Como ~u e ~v sao linearmente independentes, segueque A,B e C sao nao colineares.

Seja Π o plano que passa pelo ponto A e tem como vetores diretores os vetores l.i.~u e ~v. Para obter equacoes para Π, observamos o seguinte: Se X pertence a Π, entaoo segmento de reta AX deve pertencer a Π. Desta forma, o vetor

−−→AX e combinacao

linear de ~u e ~v, e portanto existem α, β ∈ R tais que−−→AX = α~u+ β~v, e portanto

X = A+ α~u+ β~v, α, β ∈ R.A equacao acima e dita equacao vetorial de Π.Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 39. Determine uma equacao vetorial para o plano Π que contem as retasconcorrentes r : X = (0, 0, 0) + t(1, 2, 4), t ∈ R e s : X = (1, 0,−2) + t(1, 1, 1), t ∈ R.

66

Solucao: Como as retas devem estar contidas em Π, os vetores ~u = (1, 2, 4) e~v = (1, 1, 1) servem sao vetores diretores para Π. Alem disso, sabemos que o pontoA = (1, 0,−2) pertence a Π (pois e ponto de s), ou entao o ponto B = (0, 0, 0). –utilizaremos A por questoes didaticas. Assim, uma possıvel equacao para Π e

Π : X = (1, 0,−2) + α(1, 2, 4) + β(1, 1, 1), α, β ∈ R.

A equacao vetorial pode ser desmembrada coordenada a coordenada, assim obte-mos as chamadas equacoes parametricas de Π. No exemplo acima, possıveis equacoesparametricas sao

x = 1 + α + βy = 2α + βz = −2 + 4α + β

, α, β ∈ R.

Observacao 7. E muito importante observar que esta nao e a unica resposta possıvel:qualquer ponto do plano pode ser colocado no lugar de (1, 0,−2) e qualquer par devetores L.I. que sejam combinacao linear de ~u = (1, 2, 4) e ~v = (1, 1, 1) podem sercolocados nos lugares dos mesmos.

Exemplo 40. Determine equacoes parametricas para o plano Π que contem o pontoA = (−1, 5, 8) e a reta r : X = (4, 0, 9) + t(2, 0, 3), t ∈ R.

Solucao: Lembre que para montar as equacoes parametricas precisamos de umponto do plano e um par de vetores L.I. que sejam paralelos a Π. Neste caso, ja temosexplicitado que A ∈ Π e que ~v = (2, 0, 3), o vetor diretor da reta, deve ser paralelo aΠ. Precisamos encontrar outro vetor.

Chamando B = (4, 0, 9) (ponto de s), temos que ~u =−→AB = (5,−5, 1) e outro

vetor paralelo ao plano (reflita!). Assim, possıveis equacoes parametricas para Π saoapresentadas abaixo:

Π :

x = −1 + 5α + 2βy = 5− 5αz = 8 + α + 3β

, α, β ∈ R.

Equacao geral de um plano

Existe ainda uma terceira maneira de caracterizar um plano:

(iii) Contendo um ponto A e sendo ortogonal a uma dada direcao (chamada direcaonormal).

67

Para determinarmos equacoes a partir destas duas informacoes, note que se Π e oplano que contem A = (x0, y0, z0) e e ortogonal a direcao dada pelo vetor (nao-nulo)

~n = (a, b, c), entao dado X = (x, y, z) no plano, os vetores−−→AX = (x−x0, y−y0, z−z0)

e ~n devem ser ortogonais, pois o segmento de reta AX deve estar contido em Π. Destaforma, temos que 〈

−−→AX,~n〉 = 0, o que da

a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0.

Esta e a equacao geral de Π.

Observacao 8. Se um plano Π e ortogonal a um vetor ~n, entao todas as retas de Π saoortogonais a ~n.

Exemplo 41. Determine uma equacao (geral) para o plano Π que contem o pontoA = (5,−4, 1) e e ortogonal ao vetor ~n = (2,−1,−3).

Solucao: Se X = (x, y, z) ∈ Π, entao−−→AX ⊥ ~n, o que nos da

2(x− 5)− (y + 4)− 3(z − 1) = 0,

equacao geral de Π.

Exemplo 42. E dado o plano

Π :

x = 5− 3α + 9βy = 1 + 2α− βz = −β

, α, β ∈ R

em equacoes parametricas. Determine uma equacao geral para Π.

68

Solucao: o que precisamos e encontrar um vetor ~n ortogonal a Π. Um candidatonatural e o produto vetorial ~u ∧ ~v, onde ~u = (−3, 2, 0) e ~v = (9,−1,−1), que temoscerteza ser ortogonal a ambos os vetores diretores do plano (e portanto a qualquercombinacao linear deles). Qualquer multiplo de ~u ∧ ~v serve tambem.

E exercıcio para o leitor verificar que ~u ∧ ~v = (−2,−3,−15). Assim, tomando~n = (2, 3, 15), temos que uma possıvel equacao geral para Π e

2(x− 5) + 3(y − 1) + 15z = 0.

Uma ultima observacao deve ser feita: e possıvel tambem determinar equacao geralpara um plano utilizando o produto misto (e totalmente equivalente); cada um escolheo que se sentir mais confortavel. Vejamos um exemplo.

Exemplo 43. Determine uma equacao geral para o plano Π que contem os pontosA = (1, 2, 4), B = (0, 1, 2) e C = (5,−7, 9).

Solucao: Se X = (x, y, z) pertence a Π, entao−−→AX,

−→AB e

−→AC devem ser L.D.. Daı

[−−→AX,

−→AB,−→AC] = 0, o que nos da∣∣∣∣∣∣

x− 1 y − 2 z − 4−1 −1 −24 −9 5

∣∣∣∣∣∣ = 0,

e resolvendo o determinante isso nos da

23(x− 1) + 3(y − 2)− 13(z − 4) = 0.

8.2 Posicao relativa entre planos

Lembramos que dados dois planos Π1 e Π2 do espaco, temos tres possibilidades:

(a) Os planos sao paralelos e nao se intersectam,e portanto a Π1 ∩ Π2 = ∅.

(b) Os planos sao paralelos e contem um ponto em comum. Neste caso, eles saoobrigatoriamente iguais.

(c) Os planos nao sao paralelos. Neste caso, eles obrigatoriamente contem uma esomente uma reta r em comum, ou seja, Π1 ∩ Π2 = r.

Concretamente, dados dois planos, como podemos determinar sua posicao relativa?Observe que os planos sao paralelos se e somente se suas direcoes normais forem

iguais. Assim, para verificar se (a) ou (b) acima e cumprida, basta comparar os vetores

69

normais: se forem paralelos, os planos sao paralelos; caso contrario, nao sao paralelos,e portanto (c) deve ocorrer. Para distinguir entre (a) ou (b), basta prosseguir comofizemos para retas: se ja sabemos que eles sao paralelos, basta tomar um ponto deum e testar se pertence a outro. Se pertencer, eles coincidem; caso contrario, eles saoparalelos com interseccao vazia.

Quanto a situacao (c): como podemos determinar a reta de interseccao entre doisplanos? Os exemplos a seguir ilustram algumas formas de encontra-la.

Exemplo 44. Obtenha a interseccao dos planos Π1 e Π2 dados a seguir.

Π1 : x+ y + z = 0,

Π2 :

x = 5− 3α + 9βy = 1 + 2α− βz = −β

, α, β ∈ R.

Solucao 1: Se X = (x, y, z) pertence a Π1 ∩ Π2, entao deve satisfazer a equacao deΠ1 e tambem devem existir α, β reais tais que as equacoes de Π2 sao satisfeitas. Assim,substituımos as informacoes dadas pelas equacoes de Π2 dentro da equacao de Π1:

(5− 3α + 9β) + (1 + 2α− β) + (−β) = 0 ⇐⇒ 6− α + 7β = 0,

o que nos da a relacaoα = 6 + 7β.

Isso siginifica que para que (x, y, z) pertenca a interseccao dos planos, os parametrosα e β em Π2 devem satisfazer a relacao acima. Substituımos, entao, o obtido nasequacoes de Π2, obtendo:

Π1 ∩ Π2 :

x = −13− 12βy = 13 + 13βz = −β

, β ∈ R.

Note que temos apenas um parametro (β) nas equacoes parametricas acima, cor-respondendo, assim, a reta de interseccao dos planos.

Solucao 2: Note que Π2 e o plano do Exemplo 42, e portanto sua equacao geralpode ser

Π2 : 2(x− 5) + 3(y − 1) + 15z = 0.

Assim, estamos procurando pela interseccao dos planos

Π1 : x+ y + z = 0, Π2 : 2x+ 3y + 15z − 13 = 0.

70

Note que os vetores ~n1 = (1, 1, 1) e ~n2 = (2, 3, 15) sao ortogonais a Π1 e Π2, respectiva-mente. Assim, a reta r de interseccao dos planos deve ser simultanemente ortogonal a~n1 e ~n2; desta forma um vetor diretor ~vr para r e dado por ~vr = ~n1∧ ~n2 = (−12, 13, 1).Para determinar a reta inteiramente, precisamos de um ponto A que a ela pertenca. Epreciso que as coordenadas x, y, z de A satisfacam o sistema (que tem infinitas solucoes,o que geometricamente faz sentido, pois trata-se de uma reta!){

x+ y + z = 02x+ 3y + 15z − 13 = 0

Como sabemos que este sistema tem infinitas solucoes, e necessario fazer alguma es-colha para determinar o ponto A. Por exemplo, escolhemos a coordenada x valendo0. Salientamos que este metodo de escolha pode dar errado em situacoes muito es-pecıficas; mesmo assim e impossıvel que nem x, nem y, nem z possa ser escolhido. Issotem uma razao geometrica: a escolha, por exemplo, de x = 0 siginifica que estamosprocurando a interseccao de r com o plano de equacao x = 0. Poderia dar o azar dejustamente essa reta ser paralela a x = 0. Mas neste caso ela certamente nao e paralelaa um dos planos y = 0 ou z = 0 – nao tem como uma reta ser paralela a estes tresplanos simultaneamente; assim, basta trocar a escolha.

Prosseguindo: escolhendo x = 0, temos o sistema{y + z = 03y + 15z − 13 = 0

,

cuja solucao e y = −13/12 e z = 13/12. Desta forma, o ponto A = (0,−13/12, 13/12)e ponto da reta, e portanto esta tem equacoes parametricas

r :

x = −12ty = −13/12 + 13tz = 13/12 + t

, t ∈ R.

Exercıcio 21. As equacoes parametricas obtidas para r em cada um dos metodosde solucao sao diferentes. Explique por que, lembrando que certamente trata-se damesma reta.

Vejamos alguns outros exemplos interessantes; novamente utilizamos os dois metodosde solucao.

Exemplo 45. Determine a interseccao dos planos abaixo:

Π1 : 3x+ 8y − 7z + 14 = 0

Π2 :

x = 7− 8α + 7βy = 1 + 3αz = 9 + 3β

, α, β ∈ R.

71

Solucao 1:Substituindo as informacoes de Π2 na equacao de Π1, obtemos

3(7−8α+7β)+8(1+3α)−7(9+3β)+14 = 0 ⇐⇒ 21−24α+21β+8+24α−63−21β+14 = 0

e apos os devidos cancelamentos isso nos da

−20 = 0,

o que e um absurdo... opa, o que aconteceu? Ao fazermos a substituicao, matemati-camente estamos declarando: se (x, y, z) satisfazem tanto as restricoes de Π1 quantode Π2, entao α e β devem satisfazer a relacao −20 = 0”. Assim, nao existem α e βsatisfazendo essas relacoes, ou seja, Π1 ∩ Π2 = ∅.

Solucao 2: Vamos obter uma equacao geral para Π2. Dois de seus vetores diretoressao ~u = (−8, 3, 0) e ~v = (7, 0, 3). Assim, um possıvel vetor ~n2 ortogonal a Π2 e ~n2 =~u∧~v = (9, 24,−21). Alem disso, sabemos que o ponto A = (7, 1, 9) e ponto de Π2, nosdando a equacao geral

Π2 : 9(x− 7) + 24(y − 1)− 21(z − 9) = 0.

Note que o vetor ~n1 = (3, 8,−7) e ortogonal a Π1. Mas ~n1 e ~n2 sao, portanto, paralelos.Desta forma, os planos sao paralelos. Para saber se eles sao coincidentes ou nao seinterseccionam, basta testar um ponto de um deles no outro. POr exemplo, sabemosque A = (7, 1, 9) e ponto de Π2. Mas como 3× 9 + 8× 1− 7× 9 + 14 = −14 6= 0,temosque A /∈ Π1. Como eles sao paralelos, segue que Π1 ∩ Π2 = ∅.

Exemplo 46. Determine a interseccao dos planos

Π1 :

x = 6 + 7βy = 4 + 7αz = 12 + 8α + 3β

, α, β ∈ R

Π2 :

x = 7− 8α + 7βy = 1 + 3αz = 9 + 3β

, α, β ∈ R

Observacao: Nao e uma boa ideia tentar calcular a interseccao destes dois pla-nos (ou mesmo determinar sua posicao relativa) usando diretamente as equacoes pa-rametricas para ambos. A melhor solucao e comecar apresentando a equacao geralpara um deles.

Note que Π2 e o mesmo do exemplo anterior. Assim, Π2 : 9(x − 7) + 24(y − 1) −21(z− 9) = 0 e uma equacao geral para ele. Podemos ainda simplifica-la, por exemplodividindo ambos os lados da equacao por 3. Assim,

Π2 : 3(x− 7) + 8(y − 1)− 7(z − 9) = 0.

72

A partir daqui, temos duas opcoes: ou seguimos com um em equacao geral e outroem parametrica, ou usamos equacoes parametricas para os dois, como faremos a seguir.

Solucao 1: Substituımos as informacoes dadas em Π1 na equacao de Π2 apresentadaacima, obtendo:

3(6+7β−7)+8(4+7α−1)−7(12+8α+3β−9) = 0 ⇐⇒ −3+21β+24+56α−21−56α−21β = 0,

e apos simplificacoes obtemos que α e β devem satisfazer a incrıvel equacao

0 = 0.

O que isto siginifica??? Que nao ha restricao para α e β, parametros de Π1, para queseus pontos correspondentes estejam tambem em Π2. Assim, todos os pontos de Π1

estao tambem em Π2, ou seja, a conclusao e que Π1 = Π2.

Solucao 2: Apresentamos uma equacao geral para Π1 tambem. Como ~u = (0, 7, 8)e ~v = (7, 0, 3) sao vetores diretores de Π1, temos que ~n1 = ~u ∧ ~v = (−21,−56, 49) eum possıvel vetor ortogonal a Π1. Note que ele e multiplo de ~n2 = (3, 8,−7), que eo vetor normal a Π2. Logo, Π1 e Π2 sao paralelos e resta determinar se sao iguais ounao se interseccionam.

Para isso, note que A = (6, 4, 12) e um ponto de Π1. vejamos se e ponto de Π2,substituindo na equacao geral:

3(6− 7) + 8(4− 1)− 7(12− 9) = −3 + 24− 21 = 0,

logo A pertence tambem a Π2. Desta forma, como Π1 ‖ Π2 e eles tem ponto emcomum, devem ser o mesmo plano.

8.3 Posicao relativa entre reta e plano

Dados um plano Π e uma reta r, as seguintes situacoes sao possıveis:

(i) r ∩ Π = ∅, o que ocorre quando r e paralela a Π e nao o intersecciona.

(ii) r ∩ Π = r, caso que ocorre quando r e paralela a Π e o intersecciona (em um, eportanto em todos os pontos). Este e o caso que ocorre quando r esta contida emΠ.

(iii) r ∩ Π = {P} e apenas um ponto. E o caso em que r “fura” o plano.

A melhor estrategia para determinar a posicao relativa entre uma reta e um planoe deixar o plano em equacao geral e a reta em equacoes parametricas, e substituir asinformacoes da reta na equacao do plano. Existem outras formas, mas nao trataremosnestas notas. Vejamos alguns exemplos.

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Exemplo 47. Calcule a interseccao de r e Π em cada um dos casos abaixo.

(a) r : {x = 1− t, y = 1 + t, z = t, t ∈ R}; Π : x+ y + z = 1.

(b) r : {x = 2− 4t, y = t, z = 2t, t ∈ R}; Π : x+ 2y + z = 0.

(c) r : {x = −1 + t, y = 2− 2t, z = 1, t ∈ R}; Π : 2x− y + z = 0.

(d) r : {x = −1 + t, y = 2− 2t, z = 1, t ∈ R}; Π : z = 1.

Solucoes:Substituindo as informacoes sobre as coordenadas de pontos de r na equacao de Π,

obtemos:

Item (a):

(1− t) + (1 + t) + t = 1 ⇐⇒ 2 + t = 1 ⇐⇒ t = −1,

logo o ponto de coordenadas x = 1− (−1), y = 1 + (−1), z = −1 pertence simultane-amente ao plano e a reta, ou seja, P = (2, 0,−1) e a interseccao procurada.

Item (b):(2− 4t) + 2t+ 2t = 0 ⇐⇒ 2 = 0,

absurdo. Logo nao existe t ∈ R tal que o ponto correspondente na reta esta tambemno plano. Assim, a reta e paralela ao plano, sem intersecciona-lo.

Item (c):

2(−1 + t)− (2− 2t) + t = 0 ⇐⇒ −4 + 5t = 0 ⇐⇒ t = 4/5

. Logo o ponto de coordenadas x = −1 + 4/5 = −1/5, y = 2 − 8/5 = 2/5, z = 4/5pertence a interseccao, ou seja, P = (−1/5, 2/5, 4/5) e a interseccao r ∩ Π.

Item (d)1 = 1

e o que obtemos substituindo as informacoes de r na equacao de Π. Isso siginifica quepara todo t real o ponto correspondente a t na reta esta tambem em Π. Assim, r ⊂ Π.

74

Capıtulo 9

Distancias e angulos

O objetivo deste capıtulo e aplicar os nossos conhecimentos iniciais sobre vetores,especialmente no que diz respeito aos produtos escalar, vetorial e misto, para efetuarmedicoes. Utilizando estas operacoes entre vetores como ferramenta, e possıvel desen-volver estrategias para calcular distancias e angulos entre alguns objetos. Como nossosprincipais objetos de estudo ate o momento sao as retas e os planos, este capıtulo ededicado especialmente a eles.

9.1 Distancias

Primeiramente, vamos estabelecer que a nocao comum de distancia e essencialmentea que utilizamos na Matematica. Dados dois objetos geometricos, a distancia entreeles e, a grosso modo, a menor distancia possıvel entre um ponto de um e um pontode outro. Observamos que isso so faz sentido se soubermos calcular a distancia entrepontos, mas lembre que sabemos fazer isso! De fato, dados dois pontos A e B, adistancia entre eles e dada por

d(A,B) = ‖−→AB‖.

A definicao de distancia entre quaisquer objetos dada acima tem uma versao ma-tematica mais precisa, mas nao e o objetivo aqui. Mas para deixa-la um pouco maisconfortavel, apresentamos a seguinte situacao como exemplo:

Exemplo 48. Considere, no plano, um cırculo de raio 3 e um de raio 5, de modo quea distancia entre seus centros e 10. Qual a distancia entre os cırculos?

75

Se A e B sao os centros como na figura acima, entao tracando a interseccao dosegmento AB com os cırculos, obtemos os pontos C e D, cada um de um cırculo, quesao os pontos mais proximos um ao outro que conseguimos. A distancia entre estespontos, que neste caso e igual a 2, e a distancia entre os cırculos.

Observacao importante: Sempre que dois objetos se interseccionam a distanciaentre eles e zero. Reflita a respeito!

Observacao: E mais ou menos facil de nos convencermos que a distancia entreobjetos e realizada em segmentos de reta que sao perpendiculares a ambos os objetos.Embora nao tenhamos definido ainda angulo entre retas e entre reta e plano, temosa nocao do que e uma reta ser perpendicular a outra, ou entao perpendicular a umplano, e utilizaremos isto ao longo do capıtulo.

No que segue, vamos estudar algumas formas de calcular distancia entre os objetoscom os quais estamos trabalhando.

9.1.1 Distancia entre ponto e reta

Sejam P um ponto e r a reta determinada pelos pontos A e B. Afirmamos (semdemonstracao) que existe uma unica reta perpendicular a r que passa por P . Adistancia d(P, r) entre o ponto P e a reta r e entao calculada nesta perpendicular,como na figura abaixo: o segmento tracejado mede tal distancia.

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Note que para calcularmos esta distancia utilizando este ponto de vista, preci-sarıamos primeiro determinar com precisao qual e esta reta perpendicular a r passandopor P , o que pode ser trabalhoso. Em vez disto, podemos trabalhar como sugere afigura a seguir:

Note que P forma um paralelogramo com os pontos A e B, e a distancia entre P er e a altura h deste paralelogramo. Digamos que b seja a medida da base e que A seja

77

sua area. Entao temos que

d(P, r) = h =Ab.

Por outro lado, do Capıtulo ?? sabemos que a area deste paralelogramo e dada por‖−→AB ∧

−→AP‖; ja a base mede ‖

−→AB‖. Assim, podemos afirmar que a distancia entre a

reta r determinada por A e B e o ponto P e dada pela expressao

d(P, r) =‖−→AB ∧

−→AP‖

‖−→AB‖

.

Fica como exercıcio para o leitor se convencer que esta expressao e equivalente a

d(P, r) =∥∥∥−→AP − proj−−→

AB

−→AP∥∥∥ .

Observacao: Se a reta r e dada atraves de um ponto A e um vetor diretor ~v,temos que

−→AB pode ser substituıdo por ~v nas expressoes acima (sem a necessidade de

apresentar B = A+ ~v explicitamente).

Exemplo 49. Calcule a distancia do ponto P = (0, 1, 3) a reta r dada pelas equacoesparametricas

r :

x = 2− 2ty = 3tz = 3 + t

Solucao: Neste caso, escolhendo A = (2, 0, 3) ∈ r e ~v = (−2, 3, 1) como sendo o

vetor diretor de r, temos que−→AP = (−2, 1, 0). Alem disso (verifique!),

~v =√

(−2)2 + 32 + 12 =√

14,

~v ∧−→AP = (−1,−2, 4)⇒ ‖~v ∧

−→AP‖ =

√21

e entao, pela expressao para a distancia dada acima,

d(P, r) =

√21√14

=

√21

14=

√3

2.

9.1.2 Distancia entre ponto e plano

A distancia de um ponto A a um plano Π acontece, por sua vez, no segmento de retaperpendicular a Π que o liga a A (veja figura abaixo).

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Calcular este segmento de reta pode ser uma tarefa bastante trabalhosa. Por issoapelaremos ao que foi visto no Capıtulo ?? para abreviar as contas.

Precisamente, se Π e plano determinado pelos pontos P,Q e R, entao a distancia en-tre o ponto A e o plano Π e dada pela altura h do tetraedro gerado por estes quatro pon-

tos (veja nas figuras abaixo).

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Ou, equivalentemente, d(A,Π) e a altura do paralelepıpedo que contem A,P,Q e Rcomo vertices, como na figura que segue.

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Nomeamos, entao, de ~u e ~v os vetores ~u =−→PQ, ~v =

−→PR. Entao ~u e ~v sao vetores

diretores para Π. Alem disso, chamando de ~w o vetor−→PA, temos uma figura como

segue:

O volume V deste paralelepıpedo e dado por V = A× h, onde h e a altura e A e aarea do paralelogramo da base. Assim,

d(A,Π) = h =VA.

81

Acontece que nos Capıtulos ?? e ?? vimos como calcular essas quantidades: V =|[~u,~v, ~w]| e A = ‖~u ∧ ~v‖. Desta forma,

d(A,Π) =|[~u,~v, ~w]|‖~u ∧ ~v‖

,

onde ~u e ~v sao vetores diretores de Π e ~w e um vetor ligando um ponto P de Π a A.

Exemplo 50. Calcule a distancia do ponto A = (1, 2,−1) ao plano Π dado pelaequacao vetorial

Π : X = (3, 2, 0) + α(1, 0, 1) + β(0,−1, 0), α, β ∈ R.

Solucao: Sejam P = (3, 2, 0) ponto de Π e ~u = (1, 0, 1) e ~v = (0,−1, 0) seus vetoresdiretores. Entao

~w =−→PA = (−2, 0,−1)

e (verifique!):~u ∧ ~v = (1, 0,−1)⇒ ‖~u ∧ ~v‖ =

√2

e[~u,~v, ~w] = (1, 0,−1) · (−2, 0,−1) = −2 + 1 = −1⇒ |[~u,~v, ~w]| = 1.

Assim, a distancia procurada e

d(A,Π) =1√2.

Outra forma de calcular d(A,Π) e considerando um ponto P ∈ Π e calculando ocomprimento da projecao de ~PA na direcao normal do plano, dada pelo vetor ~n (facaum desenho!). Precisamente,

d(A,Π) =

∥∥∥∥∥−→PA · ~n‖~n‖2

~n

∥∥∥∥∥ =|−→PA · ~n|‖~n‖

.

Esta maneira de agir e particularmente util quando Π esta dado em equacao geral.

Exemplo 51. Sejam Π : 4x− 3y − 7 = 0 e A = (8, 5, 1). Calcule d(A,Π).

Solucao: Comecamos notando que ~n = (4,−3, 0) e vetor normal a Π. Alem disso,o ponto P = (1,−1, 0) pertence a Π (poderıamos escolher qualquer outro!). Temos

entao que−→PA = (7, 6, 1) e daı

d(A,Π) =|−→PA · ~n|‖~n‖

=|28− 18|√42 + (−3)2

=10

5= 2.

82

9.1.3 Distancia entre planos

Se dois Π1 e Π2 planos sao paralelos, entao a distancia entre eles e dada da seguinteforma:

d(Π1,Π2) = d(P,Π1),

onde P e ponto qualquer de Π2. Veja a figura:

Note que reduzimos, entao, ao calculo da distancia entre um ponto e um plano,visitado na Secao anterior.

Se, por outro lado, os planos sao concorrentes, entao sua distancia e zero e nao hacom o que nos preocuparmos!

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9.1.4 Distancia entre retas

Lembramos que dadas duas retas r e s, elas podem ser concorrentes, paralelas oureversas. Se elas forem concorrentes, sua distancia e zero e nao ha com o que nospreocuparmos.

Retas paralelas

Se r e s forem paralelas, entao o raciocınio da Secao anterior pode ser novamenteusado: d(r, s) = d(r, P ) onde P ∈ s e ponto qualquer. Assim, reduzimos o problemado calculo desta distancia ao calculo da distancia entre uma reta e um ponto.

Retas reversas

Se r e s sao reversas, afirmamos, sem demonstracao, que existem (e sao unicos!) planosΠ1 e Π2 paralelos que contem r e s, respectivamente, como na figura abaixo.

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Observe que a direcao normal a estes planos e a unica direcao simultaneamenteortogonal a r e s, logo o vetor ~n = ~vr ∧ ~vs e um vetor normal para Π1 e Π2, onde ~vr e~vs sao, respectivamente, vetores diretores de r e de s.

Daıd(r, s) = d(Π1,Π2),

ou seja, reduzimos o problema a calcular a distancia entre dois planos paralelos (queja sabemos atraves da Secao anterior).

O exemplo que segue ilustra como isso pode ser feito sem “decorebas”, no entantoele nos dara uma expressao mais simples para ser usada sempre.

Exemplo 52. As retas r e s abaixo sao reversas (precisamente, sao as retas do exemplo38. Calcule a distancia entre elas.

r : X = (2, 4, 0) + t(2, 1,−3), t ∈ R e s : X = (4, 0, 0) + t(1,−2, 2), t ∈ R.

Solucao: O vetor ~n = ~vr ∧ ~vs = (8,−7,−5) e perpendicular a ambas. Alem disso,A = (2, 4, 0) ∈ r e B = (4, 0, 0) ∈ s sao pontos de r e s. Assim, os planos Π1 e Π2 queas contem respectivamente e sao paralelos sao os planos dados por

Π1 : 8(x− 2)− 7(y − 4)− 5z = 0, Π2 : 8(x− 4)− 7y − 5z = 0

(embora isso nao seja realmente relevante). Pelas observacoes feitas nas Secoes acima,temos que

d(r, s) = d(Π1,Π2) = d(Π1, B) = ‖proj~n−→AB‖,

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e portanto

d(r, s) =|−→AB · ~n|‖~n‖

=|(2,−4, 0) · (8,−7, 5)|‖(8,−7,−5)‖

=|16 + 28 + 0|√64 + 49 + 25

,

logo

d(r, s) =44√138

.

Segue da solucao do exemplo acima que a distancia entre duas retas reversas r e se sempre dada por

d(r, s) =|−→AB · ~n|‖~n‖

,

onde A ∈ r, B ∈ s e ~n = ~vr ∧ ~vs.

9.2 Angulos

Antes de comecar a falar de angulos, lembramos que dados dois vetores ~u e ~v, o cossenodo angulo θ entre eles e calculado da seguinte forma:

cos θ =~u · ~v‖~u‖‖~v‖

.

Para determinar o angulo θ cujo cosseno e conhecido, e necessario ter alguma tabelacom valores ou utilizar uma calculadora cientıfica, com a funcao arccos ou cos−1.

No que segue, vamos estudar o angulo formado entre duas retas, dois planos ouuma reta e um plano.

9.2.1 Angulo entre retas

O angulo entre duas retas e definido como sendo o angulo compreendido entre 0o e 90o

formado entre suas direcoes. Desta forma, se r e s sao retas cujos vetores diretores saodados respectivamente por ~vr e ~vs, entao o angulo entre elas coincide ou com o anguloθ entre ~vr e ~vs ou com seu suplementar 180o − θ – o que for menor entre estas duasopcoes.

Em ambos os casos, o que acontece e que o cosseno do angulo entre r e s respeitaa relacao

cos∠(r, s) = | cos∠(~vr, ~vs)| =|~vr · ~vs|‖~vr‖‖~vs‖

.

Exercıcio 22. Faca um esboco do angulo entre duas retas concorrentes.

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9.2.2 Angulo entre planos

O angulo entre dois planos e o menor angulo possıvel formado entre uma reta de cadaum deles. E possıvel mostrar que tal angulo coincide com o angulo entre suas direcoesnormais. Assim, se Π1 e Π2 sao dois planos cujas direcoes normais sao dadas pelosvetores ~n1 e ~n2, respectivamente, entao o angulo entre eles e tal que

cos∠(Π1,Π2) =| ~n1 · ~n2|‖ ~n1‖‖ ~n2‖

.

Exercıcio 23. Faca um esboco de dois planos concorrentes e seus respectivos normais,e visualize o que foi escrito acima.

9.2.3 Angulo entre uma reta e um plano

Dados um plano Π e uma reta r, o angulo entre eles e definido como o menor angulopossıvel entre uma reta de Π e a reta r. De forma analoga ao que acontece com oangulo entre planos, podemos transformar este ponto de vista em algo envolvendo adirecao normal do plano. Precisamente, se ω e o angulo formado entre r e a direcaonormal a Π, entao o angulo θ entre r e Π satisfaz

θ = 90o − ω.

Exercıcio 24. Com o auxılio de um desenho, convenca-se que a expressao acima fazsentido.

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Parte III

Geometria analıtica no plano e no espaco:outros topicos

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Capıtulo 10

Coordenadas polares (no plano),cilındricas e esfericas

Ate o momento, estudamos alguns aspectos da Geometria Analıtica utilizando o sis-tema cartesiano de coordenadas no espaco. Existem, no entanto, outros sistemas de co-ordenadas que podem ser bastante uteis para certas situacoes com simetrias cilındricaou esferica – especialmente na Fısica. Antes de mais nada, e importante entender osistema de coordenadas polares no plano, que e por onde comecaremos este capıtulo.

Salientamos que o conhecimento do cırculo trigonometrico e bastante importantepara o acompanhamento do que segue, e por isso incluımos no fim do capıtulo umapendice tratando do tema.

10.1 Coordenadas polares (no plano)

Afirmamos que os seguintes elementos podem servir como sistema de referencia noplano:

Uma origem: um ponto O.

Um semieixo polar: uma semirreta partindo de O (que pensamos desde ja na hori-zontal, para facilitar o que faremos a seguir).

De fato, dado um ponto P 6= O do plano, temos que ele possui uma distancia r ateo ponto O (que e um numero > 0, ja que P 6= O) e alem disso o segmento OP formaum angulo θ com o semieixo polar, orientado no sentido antihorario. Ficam assimassociados dois numeros a P : r e θ, que sao as chamadas coordenadas polares de P .Utilizamos a notacao de par ordenado: P = (r, θ); se houver margem a confusao comas coordenadas cartesianas, explicitamos: P = (r, θ) em coordenadas polares.

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Alem disso, o ponto O e o unico que tem distancia 0 ate O, e assim o ponto O temcoordenadas (0, θ) para qualquer θ.

Observamos que θ pode ser medido em graus ou em radianos, mas o mais comumpara o uso posterior em Calculo ou outras aplicacoes e medi-lo em radianos, por issoo faremos sempre que possıvel.

Exemplo 53. Seja A o ponto do eixo polar que dista 2 de O e seja B tal que OAB eum triangulo equilatero. Entao:

(2, 0) sao coordenadas polares para A

(2, π/3) sao coordenadas polares para B.

Importante: Vale a pena, tratando-se de coordenadas polares, permitir que r sejaum numero negativo e θ seja qualquer numero real. Quanto a permitir que θ seja qual-quer, e bastante imediato o que deve ser feito: faz-se como no cırculo trigonometrico(veja Apendice ao fim do capıtulo se necessario). Quanto a r < 0, como nao faz sentidodizer que a distancia de P a O e negativa, temos que dar uma interpretacao geometricapara isto (que e bastante razoavel): se r < 0, o ponto de coordenadas polares (r, θ) e osimetrico em relacao a O do ponto (−r, θ). Veja desenho abaixo, para o caso r = −2.

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Exemplo 54. No plano abaixo sao marcados os pontos cujas coordenadas polares estaodadas a seguir: A = (2, π/3), B = (3/2,−7π/4), C = (−3, π/2) e D = (−5/2, π/3).Para aqueles onde r < 0, marcamos tambem os pontos simetricos com respeito a O,para facilitar!

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10.1.1 Coordenadas polares versus cartesianas

Temos agora dois sistemas de coordenadas no plano: o cartesiano e o polar. Qual arelacao entre eles?

Em primeiro lugar, e importante observar que devemos relacionar as referencias.Em geral convenciona-se que:

As origens dos dois sistemas coincidem.

O eixo polar coincide com o semieixo positivo das abscissas (eixo x positivo).

Dadas estas informacoes, temos como realizar a conversao de um sistema de coor-denadas para o outro:

Conhecendo as coordenadas cartesianas, obter possıveis coordenadas po-lares: Se P = (x, y) sao as coordenadas cartesianas de P , e para facilitar digamosque P 6= O, podemos atribuir-lhe coordenadas polares (de maneira nao unica, masrazoavelmente canonica) da seguinte forma:

obter r : Um possıvel valor para r e a distancia de P a O, conforme motivamosinicialmente, e portanto r =

√x2 + y2.

obter θ : Seja Q o ponto dado por Q = (x/r, y/r). Entao Q e um ponto sobre ocırculo de raio 1, e assim existe θ tal que Q = (cos(θ), sen (θ)). Note que O,P e Q

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estao alinhados, e desta forma o angulo θ serve para ser coordenada polar de P .Ou seja: angulo θ deve ser tal que cos(θ) = x/r e sen (θ) = y/r. (DICA: desenheo ponto procurado, fica mais facil de achar um angulo para ele!)

Resumindo:

r =√x2 + y2 e θ e tal que cos θ = x/r, sen θ = y/r.

Para obter as coordenadas polares “ a mao” de pontos quaisquer, precisamos deuma calculadora com as funcoes arco-cosseno e arco-seno (a mao precisamos de umacalculadora, e isso mesmo?) e um pouco de paciencia com os sinais, pois a funcaoarco-cosseno devolve valores entre 0 e π e a arco-seno devolve valores entre −π/2 eπ/2. Nao entraremos em maiores detalhes nestas notas, pois nao e o objetivo principalneste estudo que e apenas introdutorio; alem disso exigiria definir com mais precisao asduas funcoes acima citadas, o que foge dos objetivos do curso (onde sequer definimosfuncao!). Desta forma, daremos exemplos apenas envolvendo os “angulos notaveis”,ou seja, os multiplos inteiros de π/6 e de π/4. No Apendice tambem calculamos o senoe o cosseno de alguns destes angulos e deixamos os demais para serem calculados peloleitor.

Exemplo 55. De coordenadas polares para cada um dos pontos apresentados emcoordenadas cartesianas: A = (

√3,−1), B = (−5, 5), C = (0,−4).

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Solucao (uma possibilidade): Para o ponto A, temos que r =√

3 + 1 = 2 e daı θdeve ser tal que cos θ =

√3/2 e sen θ = −1/2, ou seja, θ = −π/6 + 2kπ onde k e

numero inteiro. Logo A = (2, π/6) e uma possibilidade para as coordenadas polaresde A.

Para o ponto B, observe que r =√

25 + 25 = 5√

2 e entao θ e tal que cos θ = −1/√

2e sen θ = 1/

√2, donde segue que θ = 3π/4 + 2kπ, k ∈ Z. Logo B = (5

√2, 3π/4) em

coordenadas polares.Para o ponto C, note que r = 4 e θ e tal que cos θ = 0 e sen θ = −1, logo θ = −pi/2

e uma possibilidade; todas as outras vem de somar-lhe um multiplo inteiro de 2π.Logo C = (4,−pi/2) e uma possibilidade para as coordenadas polares de C.

Observacao: Se P = O, suas coordenadas polares sao (0, θ) com θ qualquer (comor = 0, as divisoes x/r e y/r, que dao cos e sen , nao fazem sentido).

Conhecendo coordenadas polares, obter as coordenadas cartesianas:Desta vez ha uma unica possibilidade. Se P = (r, θ) sao as coordenadas polares

de P e queremos descobrir suas coordenadas cartesianas (x, y), basta observar que nopasso anterior tınhamos x/r = cos θ e y/r = sen θ (com excecao de P = O). Assim,x = r cos θ e y = rsen θ. Note que esta conversao estende-se para a origem.

10.1.2 Curvas em coordenadas polares

Vejamos agora varios exemplos de curvas dadas em coordenadas polares, que sao oconjunto de pontos no plano cujas coordenadas polares r e θ satisfazem certa equacao.

O procedimento para desenhar essas curvas “a mao” e semelhante ao que fazemospara desenhar curvas em coordenadas cartesianas: atribuımos alguns valores parauma das variaveis e vemos o que esperar da outra. As curvas em coordenas polaresapresentadas na literatura geralmente sao da forma r = funcao de θ., com rarıssimasexcecoes. O jeito entao e ter um pouco de criatividade para ir “plotando” os graficosdesejados.

A seguir damos alguns exemplos destas curvas e deixamos como exercıcio para oleitor curioso procurar mais sobre rosaceas, lemniscatas, limacons e cardioides.

Exemplo 56 (Cırculos centrados na origem). Os cırculos centrados na origem temcomo equacao r = a, onde a e uma constante, e e o raio do cırculo.

Exemplo 57 (Retas pela origem). A reta que fizer angulo α com a origem tem comoequacao em coordenadas polares: θ = α.

Exemplo 58 (Espirais). Sempre que f(θ) for uma funcao estritamente crescente ouestritamente decrescente de θ, o grafico em coordenadas polares da equacao r = f(θ)

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representa uma espiral. O exemplo mais simples possivelmente seja r = θ, resultandona espiral da figura abaixo.

Outras duas espirais sao apresentadas a seguir. As expressoes em coordenadaspolares para estas curvas estao explicitadas nas figuras.

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Exemplo 59 (Rosaceas). As rosaceas sao dadas pelas famılias de curvas da forma

r = a cos(nθ) r = asen (nθ),

onde a > 0 e n e um numero natural. O parametro a mede o “raio” da rosacea e ndiz o numero de petalas. Quando n e ımpar, a rosacea tem n petalas; ja quando n epar, ela tem 2n petalas. Mudar de cosseno para seno traduz-se em uma rotacao deπ/2, ja que cos(t) = sen (t+ π/2) para qualquer que seja t ∈ R. Abaixo vemos algunsexemplos.

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Exemplo 60 (Cardioides). Eles recebem este nome porque lembram o formato de umcoracao. A seguir vemos o exemplo r = 2(1− sen (θ)).

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Exemplo 61 (Outros exemplos). Use a criatividade! Abaixo vejamos alguns outrosexemplos de graficos em coordenadas polares...

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10.2 Coordenadas cilındricas

As coordenadas cilındricas nada mais sao do que adicionar o a terceira dimensao ascoordenadas polares, acrescentando a coordenada z. Um ponto P tem coordenadaspolares (r, θ, z) se:

As coordenadas polares da projecao P0 de P no plano xy sao (r, θ) (ignorando aultima coordenada).

A coordenada z de P e o proprio z.

Em outras palavras: r e a distancia de P ate o eixo z, θ e o angulo formado entreo plano xz e o plano contendo o eixo z e o ponto P , e z e a coordenada z cartesiana.

Observacao: Os pontos do eixo z sao “singularidades” neste sistema de coordena-das: nao tem θ bem definido. Por que?

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Assim, a conversao de coordenadas cilındricas para cartesianas e: Se P tem como co-ordenadas cilındricas (r, θ, z), entao suas coordenadas cartesianas sao (r cos θ, rsen θ, z).

Fica como exercıcio para o leitor dar a conversao de coordenadas cartesianas paracilındricas, lembrando que trata-se apenas de acrescentar uma terceira coordenada ascoordenadas polares.

Algumas superfıcies em coordenadas cilındricas:

Exemplo 62 (Cilindros). Os cilindros circulares retos com eixo z como sendo seu eixotem como equacao r = a (θ e z livres), onde a > 0 e uma constante.

Exemplo 63 (Planos contendo o eixo z). Os planos contendo o eixo z sao dados pelasequacoes da forma θ = α (r e z livres), onde α e uma constante, que representa oangulo entre o plano em questao e o eixo x.

Exemplo 64 (Cones circulares retos). Os cones circulares retos cujo eixo de rotacaoe o eixo z sao dados pelas expressoes z = mr, onde m 6= 0 e uma constante real. Saoprecisamente a rotacao da reta {x = t, y = 0, z = mt} em torno do eixo z.

10.3 Coordenadas esfericas

As coordenadas esfericas (ρ, θ, ϕ) de um ponto P do espaco sao dadas da seguinteforma:

ρ e a distancia de P ate a origem O. (e desta vez e sempre ≥ 0)

θ e o mesmo angulo dado nas coordenadas cilındricas, ou seja, e o angulo entre oplano xz e o plano contendo P e o eixo z (em particular, novamente temos que θnao esta bem definido sobre o eixo z)

ϕ e o angulo orientado, no intervalo [0, π], que o segmento OP faz com a parte positivado eixo z.

102

Em suma, se um ponto P tem coordenadas esfericas (ρ, θ, ϕ), entao suas coordena-das cartesianas sao

P = (ρ cos θsenϕ, ρsen θsenϕ, ρ cosϕ).

Apendice: cırculo trigonometrico

Considere o cırculo centrado na origem de raio 1. Costumamos chama-lo de cırculotrigonometrico. Imagine agora que a partir do ponto P = (1, 0) estamos enrolandouma reta real, sem estica-la, de modo que o 0 fique sobre P. O que acontece e que cadanumero t real vai parar em cima de um numero do cırculo, e portanto corresponde aum par ordenado ao qual atribuımos os nomes cosseno e seno para as coordenadas: tcorresponde a (cos t, sen t).

103

Em particular, como tal ponto esta no cırculo de raio 1 centrado na origem, temosa primeira identidade fundamental:

cos2 t+ sen 2t = 1.

Uma vez que o cırculo tem comprimento 2π e a reta e posta sobre ele sem esticar,segue que a cada distancia 2π os pontos se repetem. Ou seja:

cos(t+ 2π) = cos(t) e sen (t+ 2π) = sen (t) para qualquer que seja t ∈ R.

Observacao 9. Observamos que este processo de “enrolar a reta” e pode ser pensadocomo produzindo angulos em radianos. O angulo 1rad corresponde, por exemplo, aoangulo formado entre o eixo das abscissas e o segmento que une a origem ao ponto cor-

respondente ao numero 1 no processo, ou seja, 1rad e o angulo (1, 0)(0, 0)(cos 1, sen 1).

Fica como exercıcio para o leitor se convencer que se 0 < t < π/2, entao as definicoesde seno e cosseno dadas acima coincidem com as dadas num triangulo retangulo (“senoe cateto oposto sobre hipotenusa, cosseno e cateto adjacente sobre hipotenusa”).

104

Capıtulo 11

Curvas conicas – Introducao

Ha muito o que estudar a respeito das chamadas curvas conicas, que sao as elipses,parabolas e hiperboles. Neste capıtulo nos concentraremos apenas em alguns aspectosinteressantes, entre eles algumas propriedades opticas e equacoes para o caso em queestao “muito bem posicionadas” no sistema cartesiano de coordenadas.

Historicamente, as curvas conicas sao estudadas desde a Grecia antiga, onde ja seconhecia, inclusive, suas propriedades opticas. Reza a lenda que Arquimedes utilizavaespelhos parabolicos (ou seja, obtidos pela rotacao de uma parabola em torno de umeixo adequado) para queimar navios inimigos. Embora nao se tenha certeza se tallenda e so lenda ou de fato ocorreu, e verdade que as superfıcies parabolicas tempropriedades interessantes, capazes de concentrar informacoes no foco. Propriedadesanalogas sao validas para elipses e hiperboles, como veremos no que segue.

As curvas conicas sao assim chamadas pois podem ser obtidas atraves da interseccaode um cone de duas folhas com um plano. A demonstracao deste fato e feita utilizandomudancas de sistema de coordenadas, e nao faremos neste curso.

105

No que segue, estudaremos cada uma das curvas conicas (nao degeneradas) comolugares geometricos, visitando tambem suas propriedades opticas, seus elementos esuas equacoes no plano cartesiano para o caso de posicoes especiais.

Antes de comecar, observamos um fato conhecido como o cırculo de centro C e raioR > 0 : ele e o conjunto dos pontos P do plano que satisfazem d(P,C) = R. Noteque qualquer ponto do cırculo satisfaz esta igualdade e qualquer ponto que satisfazesta igualdade esta no cırculo, e por isso dizemos que o cırculo de centro C e raioR e o lugar geometrico dos pontos do plano cuja distancia a C e sempre R. A seguirvamos caracterizar cada uma das tres famılias de curvas conicas como lugar geometrico.Salientamos que esta nao e a unica definicao possıvel, mas e a “mais classica”.

11.1 Elipse

Dados dois pontos F1 e F2 do plano e uma constante k > d(F1, F2), a elipse de focosF1 e F2 e constante k e o lugar geometrico dos pontos P do plano tais que

d(P, F1) + d(P, F2) = k.

Podemos construir uma elipse com um barbante: desenhamos os focos F1 e F2 e,fixando os extremos de um barbante de comprimento k nestes focos, a elipse e a curvaobtida tracando os pontos obtidos ao “esticar” o barbante.

106

Construcao da elipse no Geogebra ∗: Esta construcao imita uma possıvelconstrucao com regua e compasso, mas com a vantagem de poder tomar muito maispontos para a construcao, conforme observado logo apos a contrucao:

1. Marque dois pontos A e B, que serao os focos.

2. Marque um cırculo c centrado em A e com raio maior que d(A,B) (ou seja,o interior do cırculo deve conter B.) Este raio faz o papel de k na definicao.Esconda o ponto C, se possıvel, para que o raio permaneca fixo (esconder evitaque mexamos no ponto sem querer).

3. Marque um ponto D sobre a circunferencia c (ponto semilivre)

4. Marque os segmentos a = BD e b = AD.

5. Trace a mediatriz d do segmento BD.

6. Marque o ponto E de interseccao entre d e AD.

7. Mova D e observe o que ocorre com E. Se possıvel, acione o rastro no ponto E.

107

Como no Geogebra para smartphone nao existe a funcao rastro, fazemos o “truque”de marcar com a ferramenta elipse a elipse de focos A e B e passando por E. Observeque movendo o ponto D, E a elipse construıda nao se altera.

De fato, vamos demonstrar que o lugar geometrico dos pontos E assim construıdose a elipse de focos A e B e constante k = d(A,B) : denotando por F o ponto medio deBD, observe que os triangulos EFB e EFD sao congruentes, pelo criterio lado-angulo-lado, ou simplesmente por serem dois triangulos retangulos cujos catetos coincidem.Desta forma, os segmentos BE e ED tem o mesmo comprimento, ou seja, d(B,E) =d(D,E). Ora, como E pertence a AD, que e raio da circunferencia, temos que d(A,E)+d(E,D) = k, e portanto segue que, nao importa qual seja a posicao de D, sempre vaivaler

d(A,E) + d(E,B) = k.

Desta forma, ao movermos D, obtemos pontos E sobre a elipse. Fica como exercıciopara o leitor refletir sobre a seguinte questao: e verdade que qualquer ponto da elipsepode ser construıdo desta forma? Por que?

108

Observacao 10. Na definicao dada acima, todo cırculo e uma elipse, cujos focos saocoincidentes (e coincidem com o centro do cırculo), e a constante k da elipse e o dobrodo raio (ou seja, e o diametro). Alguns autores, no entanto, preferem separar o cırculodas elipses, exigindo na definicao que F1 6= F2.

11.1.1 Propriedade optica da elipse

Facamos como exercıcio no Geogebra a seguinte construcao:

1. Escolha tres pontos A,B e C quaisquer.

2. Marque a elipse c de focos A e B e passando por C.

3. Marque a reta a tangente a elipse passando por C.

4. Marque sobre a dois pontos D e E, cada um de um lado diferente de C (conformefigura).

5. Marque os angulos α = DCA e β = BCE.

6. Mova o ponto C e conjecture uma relacao entre os angulos. Experimente tambemmover os focos A e B.

109

Sim, os angulos α e β sao iguais, nao importa a posicao de C sobre a elipse! De-monstraremos esse fato apos ter ferramentas suficientes de Calculo Diferencial.

Exercıcio 25. Pesquise sobre aplicacoes praticas desta propriedade.

11.1.2 Elementos das elipses (que nao sao cırculos)

Considere a elipse de focos F1 6= F2 (e portanto nao e um cırculo) e constante k >d(F1, F2). Nesta elipse temos os seguintes elementos:

(i) O centro C e o ponto medio dos focos.

(ii) Ha quatro vertices: dois deles sao os pontos A1 e A2 dados pela interseccao daelipse com a reta que contem os focos e os outros dois sao os pontos B1 e B2 dadospela interseccao da elipse com a mediatriz do segmento F1F2. Observamos que A1

e A2 sao os pontos da elipse mais distantes de C e B1 e B2 sao os pontos maisproximos de C.

(iii) O eixo maior e o segmento A1A2 e o eixo menor e o segmento B1B2.

(iv) A excentricidade da elipse1 e o numero dado por

e =d(F1, F2)

d(A1, A2).

1a excentricidade tambem faz sentido quando trata-se de um cıruclo

110

Costuma-se denotar por a, b e c as quantidades dadas por:

a =d(A1, A2)

2= d(C,A1) = d(C,A2),

b =d(B1, B2)

2= d(C,B1) = d(C,B2)

e

c =d(F1, F2)

2= d(C,F1) = d(C,F2).

As constantes a e b sao os comprimentos dos semieixos maior e menor, respectiva-mente, e 2c e a distancia focal.

Importante: Salientamos que essas notacoes sao bastante comuns na literatura eas utilizaremos com afinco ate o final deste texto, sem retoma-las. Em outras palavras,o leitor deve ficar atento a essas constantes que de certa forma “acompanharao” aselipses como se fossem intrınsecas a elas. O mesmo se repetira para as hiperboles, coma atencao que as constantes sao definidas de modo semelhante, recebendo os mesmosnomes, mas respeitando outra relacao fundamental.

Relacao fundamental entre a, b e c; a constante k da elipse

Em primeiro lugar, mostremos o seguinte: a constante k dada na definicao da elipsesatisfaz k = 2a. De fato, como A1 e um ponto da elipse, deve valer

k = d(A1, F1) + d(A1, F2).

Por outro lado, como A1, F1 e C estao alinhados (e nesta ordem), percebemos que

d(A1, F1) = d(A1, C)− d(F1, C) = a− c.

De forma analoga, A1, C e F2 estao alinhados, de modo que d(A1, F2) = a + c. Destaforma,

k = d(A1, F1) + d(A1, F2) = (a− c) + (a+ c) = 2a.

111

Agora vejamos uma relacao entre a, b, c. Note que como o vertice B1 pertence aelipse, deve satisfazer

d(B1, F1) + d(B1, F2) = 2a.

Por outro lado, pela simetria da elipse em relacao ao eixo menor, temos que d(B1, F1) =d(B1, F2). Logo d(B1, F1) = a = d(B1, F2).

Assim, os pontos F1, C e B1 sao vertices de um triangulo retangulo tendo comocomprimentos de catetos b e c, e cuja hipotenusa mede a. Desta forma, vale

a2 = b2 + c2.

Esta relacao e essencial em diversas discussoes acerca da elipse, e mesmo para produziresbocos.

11.1.3 Equacao de elipses “muito bem posicionadas”

Chamaremos de elipse “muito bem posicionada” num sistema cartesiano de coordena-das aquela que tem:

(i) Centro na origem.

(ii) Focos sobre um dos eixos x ou y.

Observacao 11. O termo “muito bem posicionada” e invencao da autora destas notase dificilmente sera encontrado em outros materiais.Essa mesma observacao aplica-separa hiperboles e parabolas.

112

Elipse com focos centro na origem e focos sobre o eixo x

Nesta situacao, temos as seguintes coordenadas para os pontos mais importantes re-lacionados a elipse (seguindo a notacao da secao anterior): C = (0, 0) e o centro,F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0) sao os focos, e os vertices sao A1 = (−a, 0), A2 = (a, 0),B1 = (0,−b) e B2 = (0, b).

Supondo que um ponto generico P = (x, y) pertenca a elipse de focos F1 = (−c, 0)e F2 = (c, 0) e de constante k = 2a, sabemos que P deve satisfazer

d(P, F1) + d(P, F2) = 2a,

o que e equivalente a √(x+ c)2 + y2 +

√(x− c)2 + y2 = 2a.

A equacao acima e uma possıvel equacao para a elipse, mas gostarıamos de torna-lamais “simpatica”. Facamos isso no que segue:

√(x+ c)2 + y2 +

√(x− c)2 + y2 = 2a

⇐⇒√

(x+ c)2 + y2 = 2a−√

(x− c)2 + y2

⇒ (x+ c)2 + y2 = 4a2 + (x− c)2 + y2 − 4a√

(x− c)2 + y2

⇐⇒ x2 + 2cx+ c2 = 4a2 + x2 − 2cx+ c2 − 4a√

(x− c)2 + y2

⇐⇒ 4(cx− a2) = −4a√

(x− c)2 + y2

⇒ (cx− a2)2 = a2((x− c)2 + y2)

⇐⇒ c2x2−2a2cx+ a4 = a2x2−2cxa2 + a2c2 + a2y2

⇐⇒ (a2 − c2)x2 + a2y2 = a2(a2 − c2)

⇐⇒ b2x2 + a2y2 = a2b2 ⇐⇒ x2

a2+y2

b2= 1.

Resumindo: A equacao de uma elipse com centro na origem e focos sobre o eixox e dada por

x2

a2+y2

b2= 1.

Observacao 12. Algumas setas acima sao apenas na direcao “ida”, ou seja, nao saoequivalencias, pelo menos nao sem hipoteses adicionais, que na verdade sao satisfeitaspelos pontos da elipse.

Elipse com focos centro na origem e focos sobre o eixo y

Neste caso, temos F1 = (0,−c), F2 = (0, c), A1 = (0,−a) e A2 = (0, a). E possıvel fazerum raciocınio analogo ao que foi feito acima para obter:

113

A equacao de uma elipse com centro na origem e focos sobre o eixo y e dada por

y2

a2+x2

b2= 1.

11.2 Hiperbole

Sao dados dois pontos distintos F1 e F2 do plano e uma constante k com 0 < k <d(F1, F2). A hiperbole de focos F1 e F2 e constante k e o lugar geometrico dos pontosP do plano que satisfazem

|d(P, F1)− d(P, F2)| = k.

A hiperbole tem duas compontentes, uma delas correspondendo aos pontos tais qued(P, F1) > d(P, F2) e a outra aos pontos que d(P, F2) > d(P, F1). No primeiro caso,tem-se d(P, F1) = d(P, F2) + k e no segundo, se tem d(P, F2) = d(P, F1) + k.

No Geogebra podemos construir (com regua e compasso) uma das componentes dahiperbole, da seguinte forma:

1. Marque dois pontos A e B, que serao os focos.

2. Trace um cırculo c de centro A e raio menor que d(A,B). Este cırculo gerara umponto C, que deve ser escondido.

3. Sobre c marque um ponto D qualquer.

4. Trace o segmento DB e em seguida sua mediatriz a.

5. Trace a reta b = AD.

6. Marque o ponto E de interseccao entre o as retas a e b.

7. Mova D e perceba a trajetoria de E.

Exercıcio 26. (a) Compare a construcao acima com a construcao da elipse. Quaissao as semelhancas e diferencas?

(b) Demonstre (de forma analoga ao que foi feito com a elipse) que todos os pontosE assim obtidos estao sobre a hiperbole de focos A e B e constante k =raio docırculo.

(c) Todos os pontos da hiperbole podem ser obtidos via construcao acima?

(d) (Faca apos ter respondido negativamente ao item (c)!) Construa a outra compo-nente da hiperbole no Geogebra.

Exercıcio 27. Pesquise sobre propriedades opticas da hiperbole e aplicacoes.

114

11.2.1 Elementos de hiperboles nao degeneradas

Considere a hiperbole de focos F1 e F2 e constante k com 0 < k < d(F1, F2). Oselementos desta hiperbole sao:

(i) O centro C e o ponto medio dos focos.

(ii) Ha dois vertices: os pontos A1 e A2 dados pela interseccao da elipse com a retaque contem os focos.

(iii) O eixo real (ou transverso) e o segmento A1A2.

(iv) A excentricidade da hiperbolee o numero dado por

e =d(F1, F2)

d(A1, A2).

Novamente escrevemos

a =d(A1, A2)

2= d(C,A1) = d(C,A2)

e

c =d(F1, F2)

2= d(C,F1) = d(C,F2).

Observe que desta vez c > a. Definimos uma nova constante b e junto com ela doispontos B1 e B2: os pontos situados sobre a mediatriz de F1F2 a uma distancia b de C(veja Figura).

Com isto definimos mais elementos relacionados a hiperbole:

(v) O segmento B1B2 e dito eixo imaginario (ou conjugado).

(vi) As assıntotas da hiperbole sao as retas que passam por C e formam angulo θ como eixo real, onde θ satisfaz tan θ = b/a.

115

Relacao fundamental entre a, b e c; a constante k da elipse

Fica como exercıcio para leitor imitar os argumentos utilizados na secao das elipsespara mostrar que valem as seguintes propriedades:

(I) A constante k da definicao da hiperbole tambem satisfaz k = 2a.

(II) As constantes a, b, c se relacionam por

c2 = a2 + b2.

11.2.2 Equacao de hiperboles “muito bem posicionadas”

Chamamos de “muito bem posicionada” uma hiperbole que tenha centro na origem efocos sobre um dos eixos coordenados.

Hiperbole com focos sobre o eixo x

Neste caso, tem-se C = (0, 0), os focos sao F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0) e os vertices saoA1 = (−a, 0) e A2 = (a, 0).

Deixamos como exercıcio para o leitor curioso deduzir que neste caso tem-se:

x2

a2− y2

b2= 1.

Hiperbole com focos sobre o eixo y

Neste caso, tem-se C = (0, 0), os focos sao F1 = (0,−c) e F2 = (0, c) e os vertices saoA1 = (0,−a) e A2 = (0, a).

116

Deixamos como exercıcio para o leitor curioso deduzir que neste caso tem-se:

y2

a2− x2

b2= 1.

11.3 Parabola

Sao dados uma reta r e um ponto F /∈ r. A parabola de foco F e reta diretriz r e olugar geometrico dos pontos P do plano satisfazendo a seguinte relacao:

d(P, r) = d(P, F ).

Exercıcio 28. Descreva um eixo de simetria da parabola. Este e o unico eixo desimetria?

11.3.1 Propriedade optica da parabola

Faca a seguinte construcao no Geogebra:

1. Marque dois pontos A e B e a reta a passando por eles.

2. Marque um ponto C nao pertencente a a.

3. Marque a parabola c de foco C e reta diretriz a.

4. Marque um ponto D qualquer sobre c.

5. Trace a reta b tangente a parabola passando por D e em seguida a reta d perpen-dicular a b, passando tambem por D.

6. Trace a reta e por D e perpendicular a diretriz a.

117

7. Reflita a reta e em torno da reta d, obtendo a reta e′.

8. Mova o ponto D e observe o que acontece com e′.

Sim! Todas as retas e′ assim construıdas passam pelo foco C! Provaremos este fatoassim que tivermos mais ferramentas de Calculo Diferencial. Por enquanto:

Exercıcio 29. Pesquise sobre aplicacoes praticas desta propriedade optica.

11.3.2 Elementos da parabola

O unico elemento referente a parabola ainda nao apresentado e o vertice V : o pontoda parabola que esta mais proximo ao foco F . Ele e a interseccao da parabola comseu eixo de simetria.

11.3.3 Equacao de parabolas “muito bem posicionadas”

Chamaremos de “muito bem posicionada” uma parabola que tem:

(i) Vertice na origem

(ii) Foco em um dos eixos coordenados x ou y.

118

Parabola com vertice na origem e foco no eixo y

Ja que o foco F da parabola esta sobre o eixo y, ele e da forma F = (0, ?). Temos quedar um nome para essa ?. A notacao nao e classica: alguns autores chamam de p eoutros de p

2 . O leitor que procurar outras bibliografias pode se deparar com qualqueruma das duas notacoes, e deve tomar o cuidado de adaptar as respectivas expressoes.Nestas notas diremos que o foco F tem coordenadas

F = (0, p)

onde p e um numero real nao nulo (que pode ser negativo!) e consequentemente areta diretriz e a reta de equacao

r : y = −p.Digamos que P = (x, y) pertence a parabola de foco F = (0, p) e reta diretriz

r : y = −p. Entao

d(P, F ) =√x2 + (y − p)2 e d(P, r) = y + p.

Assim,

d(P, F ) = d(P, r) ⇐⇒√x2 + (y − p)2 = y+ p⇒ x2 + y2− 2py+ p2 = y2 + 2py+ p2,

e cancelando as parcelas que aparecem em ambos os lados, o que obtemos e

x2 = 4py.

Esta e a equacao da parabola com foco em F = (0, p) e reta diretriz y = −p, e e validatanto para p > 0 quanto para p < 0.

119

Parabola com vertice na origem e foco no eixo x

Neste caso, tem-se que o foco tem coordenadas F = (p, 0). Fica como exercıcio parao leitor verificar que a equacao da parabola com vertice V = (0, 0) e foco F = (p, 0)tem como equacao

y2 = 4px.

Neste caso, a equacao da reta diretriz e x = −p.Se p > 0, a parabola e com a “boca” voltada para a direita; caso contrario, a “boca”

e para a esquerda.

11.4 Mais sobre excentricidade

As elipses, parabolas e hiperboles podem ser unificadas com uma definicao que servepara as tres: dados um ponto F (foco) e uma reta r (diretriz) com F /∈ r, uma curvaconica e o lugar geometrico dos pontos P cuja razao

d(P, F )

d(P, r)

e alguma constante.

120

As elipses de foco F e diretriz r sao obtidas fazendo esta razao variar entre 0 e 1; aparabola e aquela obtida quando a razao e exatamente 1 e a hiperbole quando a razaoe maior que 1.

Escolhendo a reta adequadamente, vemos que esta razao e na verdade a excentrici-dade da conica! E por isso faz todo sentido pensar que a excentricidade da parabolae 1.

Pasme! A excentricidade tambem pode ser obtida pela razao

cos β

cosα,

onde α e a abertura do cone e β e o angulo que o plano faz com o eixo de rotacao docone, na construcao das conicas como interseccao do cone com o plano...

121

Capıtulo 12

Mudancas de coordenadas no plano

As mudancas de coordenadas que estudaremos neste capıtulo tem analogos para di-mensoes maiores. No entanto, optamos por estuda-las apenas no caso bidimensionalporque com isso temos uma aplicacao imediata ao estudo das conicas em posicao qual-quer do plano cartesiano. Precisamente, veremos no capıtulo seguinte que qualquercurva conica no plano cartesiano tem uma equacao na forma

Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0,

onde A,B,C,D,E e F sao constantes reais. Esse tipo de equacao e chamada deequacao geral de segundo grau nas variaveis x e y. Recebe este nome pois carregatodos os possıveis termos de grau 0, 1 e 2 nestas variaveis.

Reciprocamente, provaremos que qualquer equacao como acima representa ou umacurva conica ou uma “conica degenerada” (casos limites de curvas conicas, como defi-niremos tambem quando for oportuno). Alem disso, e principalmente, seremos capazesde, via mudancas de coordenadas, identificar qual conica a equacao representa, quaisseus elementos, e poderemos esboca-la com detalhes.

Salientamos, no entanto, que esta e apenas uma possıvel motivacao para estudarmudancas de coordenadas, mesmo no plano. As mudancas que estudaremos podemser aplicadas nas mais diferentes situacoes em Geometria Analıtica.

No capıtulo 6 definimos sistema cartesiano de coordenadas. No espaco bidimensi-onal, ele consiste de uma origem O e um par de vetores ~e1 e ~e2 linearmente indepen-dentes, formando uma base ortonormal. Alem disso, e comum pensar na orientacaoseguinte: de ~e1 para ~e2 abre-se um angulo de 90o no sentido antihorario.

Sao dois tipos de possıveis mudancas “elementares” num sistema de coordena-das montado como acima: mudanca de origem para um novo ponto O′ (chamadatranslacao) e mudanca de base. Outras mudancas vem de compor estes dois tipos.Estudaremos inicialmente cada uma delas em separado, para depois entender o efeitodas duas simultaneamente.

122

12.1 Translacoes

12.1.1 Motivacao e primeira aplicacao as conicas

Vamos novamente comecar com um exemplo.

Exemplo 65. Seja E a elipse de focos F1 = (−3,−1) e F2 = (7,−1) e passando pelovertice A2 = (10,−1). Obtenha uma equacao para E .

Solucao: No Capıtulo 11 so aprendemos a equacionar conicas “muito bem posici-onadas”, ou seja, aquelas cujos focos estao sobre o eixo das abscissas e o centro naorigem. A elipse procurada esta com focos em uma reta paralela ao eixo das abscissas,mas o centro nao esta na origem. O que fazer?

Vamos chamar de Σ o sistema de coordenadas original, com origem O e eixos x ey, e chamamos de Σ um novo sistema de eixos, dado da seguinte forma:

(i) A origem e o ponto O

(ii) Os eixos x e y sao paralelos aos eixos x e y do sistema Σ, respectivamente.

Se construirmos Σ de modo que o centro C da elipse esteja sobre a origem O, entaosaberemos que a equacao de E e da forma

x2

a2+y2

b2= 1,

e basta entao entender como os sistemas Σ e Σ se comunicam. E isso que faremos.Primeiramente, observe que o centro C da elipse, sendo o ponto medio de F1 e F2,

e o ponto C = (2,−1). Alem disso, as constantes a e c da elipse sao dadas por

a = d(C,A2) = 8 c = d(C,F2) = 5

e portanto b =√

82 − 52 =√

39. Logo no sistema Σ a equacao e

x2

64+y2

39= 1.

Agora vejamos a relacao entre os sistemas Σ e Σ. Observamos que os vetores ~e1 e ~e2

dao origem tanto aos eixos x e y quanto aos eixos x e y (veja Capıtulo 6 para lembraros elementos necessarios para definir um sistema de coordenadas).

Lembramos ainda que P tem coordenadas (α, β) no sistema Σ se e somente se o

vetor−→OP se escreve da seguinte forma:

−→OP = α~e1 + β~e2.

123

De forma totalmente analoga, P tera coordenadas (α, β) no sistema Σ se

−→OP = α~e1 + β ~e2.

Para evitar confusoes, mais uma vez escrevemos P = (α, β)Σ para denotar as coor-denadas de P no sistema Σ e P = (α, β)Σ para denotar suas coordenadas com respeitoa Σ. O que acabamos de escrever se traduz simbolicamente em

P = (α, β)Σ ⇐⇒−→OP = α~e1 + β~e2 e P = (α, β)Σ ⇐⇒

−→OP = α~e1 + β ~e2.

Mas lembramos que vale a identidade

−→OP =

−→OO +

−→OP,

mas note que−→OO nos da precisamente as coordenadas de O no sistema Σ.

A partir de agora, quando houver margem a confusao, utilizaremos um subındice aolado direito dos parenteses que dao as coordenadas do ponto para identificar qual e osistema que esta sendo utilizado. Lemos da seguinte forma: se A = (4,−5)Σ, entao “ascoordenadas do ponto A no sistema Σ sao 4 e −5, ou, analogamente, se B = (0, 5)Σ,entao “as coordenadas de B no sistema Σ sao 0 e 5. Note que em geral as coordenadassao diferentes em um sistema e no outro. Genericamente teremos (x, y)Σ = (x, y)Σ.

No caso do Exemplo, temos O = C = (2,−1)Σ e portanto a relacao entre os sistemase dada por

x = 2 + x e y = −1 + y.

Isolando x e y acima, temos {x = x− 2

y = y − (−1),

e subtituindo isto na equacao em x e y obtemos:

(x− 2)2

64+

(y + 1)2

39= 1.

Desenvolvendo os quadrados e reorganizando os termos, e possıvel transformar aequacao acima na forma geral (embora nao seja necessario, e interessante observar oprocedimento pois em breve faremos o inverso):

124

(x− 2)2

64+

(y + 1)2

39= 1 ⇐⇒ 39(x− 2)2 + 64(y + 1)2 = 2496

⇐⇒ 39(x2−4x+4)+64(y2+2y+1)−2496 = 0 ⇐⇒ 39x2+64y2−156x+128y−2276 = 0.

O caso geral (em que o centro e um ponto qualquer) e enunciado a seguir:

Proposicao 8. Seja Σ o sistema cartesiano de coordenadas composto pela origemO e pelos eixos coordenados x e y, determinados pelos vetores ortonormais ~e1 e ~e2,respectivamente. Se o sistema de coordenadas Σ e composto pela origem O = (h, k)Σ epelos eixos x e y que sao tambem determinados pelos vetores ~e1 e ~e2, entao a mudancade coordenadas de um sistema para o outro e dada por{

x = x− hy = y − k .

Vejamos agora outro exemplo:

Exemplo 66. Apresentar uma equacao em x e y para a hiperbole cujas assıntotas sao

as retas y =x

2e y = −x

2+ 3 e que tenha como um dos vertices o ponto A1 = (1, 3/2).

125

Solucao: Em primeiro lugar, devemos encontrar o centro C da hiperbole. Observa-mos que este deve ser o ponto de interseccao das retas assıntotas. Deixamos para oleitor verificar que tal ponto tem coordenadas C = (3, 3/2). Como um dos vertices eA1 = (1, 3/2), o outro vertice, e tambem os focos, estarao sobre a reta y = 3/2. Entaoesta hiperbole e apenas uma translacao de uma hiperbole “muito bem posicionada”.

Realizando a mudanca de coordenadas para um sistema Σ como na Proposicao 8,temos: {

x = x− 3y = y − 3/2

Observe que tambem vale a mudanca inversa:{x = x+ 3y = y + 3/2

,

e isso nos permite obter as retas assıntotas em termos do novo sistema:

y =x

2⇐⇒ y +

3

2=x+ 3

2⇐⇒ y =

x

2

e

y = −x2

+ 3 ⇐⇒ y +3

2= −x+ 3

2+ 3 ⇐⇒ y = −x

2.

Desta forma, sabemos que as constantes a e b da hiperbole satisfazem b/a = 1/2.Alem disso, note que a = d(C,A1) = 2. Desta forma, concluımos que b = 1, e a

equacao no sistema novo ex2

4− y2 = 1.

Utilizando a mudanca de coordenadas obtida acima, temos que a equacao desta hiperboleno sistema original e

(x− 3)2

4− (y − 3/2)2 = 1.

Por fim, podemos ainda realizar manipulacoes algebricas para obter uma equacaona forma geral:

(x− 3)2

4− (y − 3/2)2 = 1 ⇐⇒ (x− 3)2 − 4(y − 3/2)2 = 4

⇐⇒ x2 − 6x+ 9− 4(y2 − 3y + 9/4)− 4 = 0 ⇐⇒ x2 − 4y2 − 6x+ 12y − 4 = 0.

Observacao 13. Fica como exercıcio para o leitor mostrar que se uma curva conica emuito bem posicionada no sistema Σ obtido a partir de Σ atraves de uma translacaoda origem (ressaltamos: sem rotacao!), entao as equacoes em x e y obtidas para estaconica nao tem termo misto.

126

Na Secao seguinte o que faremos e o caminho inverso: dada uma equacao de segundograu em x e y sem termos mistos, descobrir se trata-se de uma translacao de uma curvaconica, e em caso afirmativo, identifica-la.

12.1.2 Dada a equacao, obter a conica – Parte I

Conforme observamos na Secao anterior, o objetivo agora e “desfazer” as manipulacoesalgebricas a fim de identificar qual foi a translacao realizada para obter uma equacaode grau 2 em x e y sem termos mistos. Existem essencialmente duas operacoes queserao desfeitas: o desenvolvimento de quadrados e a distributividade do produto emrelacao a soma. Devemos desfaze-las na ordem inversa: primeiro vamos “desdistribuir”(esta palavra nao existe, o correto e “colocar em evidencia”) e depois desfazer o de-senvolvimento de quadrados, num processo chamado de completamento de quadrados.

Como temos feito ate o momento, isto sera feito atraves de exemplos. Um casogeral poderia ser escrito, mas teria tantas constantes envolvidas que ficaria um textoum tanto enfadonho. O leitor teimoso podera escreve-lo como um bom exercıcio.

Antes de comecar, facamos a seguinte observacao algebrica:

(x+

γ

2

)2

= x2 + γx+γ2

4⇒ x2 + γx =

(x+

γ

2

)2

− γ2

4

Assim, ao nos depararmos com um termo com a cara x2 + γx, podemos fazer asubstituicao acima grifada. Esta e a que se chama completamento de quadrados.

Exemplo 67. Idenficar e fazer um esboco da conica de equacao

25x2 − 36y2 + 100x+ 72y + 836 = 0.

Solucao: Iniciamos trabalhando nos termos envolvendo a variavel x:

25x2+100x =︸︷︷︸colocar em

evidencia

25[x2+4x] =︸︷︷︸completar quadrados

com γ = 4

25[(x+2)2−4] =︸︷︷︸distribuir

25(x+2)2−100.

Analogamente, trabalhamos com os termos envolvendo y (cuidado com o sinal negativona frente do termo ao quadrado, ele nao pode ser perdido!):

−36y2+72y =︸︷︷︸colocar em

evidencia

−36[y2−2y] =︸︷︷︸completar quadrados

com γ = −2

−36[(y−1)2−1] =︸︷︷︸distribuir

−36(y+1)2+36.

Entao a equacao original e equivalente a

25(x+ 2)2 − 100− 36(y − 1)2 + 36− 836 = 0 ⇐⇒ 25(x+ 2)2 − 36(y − 1)2 = 900

127

e agora dividindo ambos os lados por 900 temos

(x+ 2)2

36− (y − 1)2

25= 1.

Definindo x = x+ 2 e y = y − 1, o que temos e a equacao

x2

62− y2

52= 1,

que representa a hiperbole de constantes a = 6 e b = 5 muito bem posicionada nosistema de eixos Σ, obtido do sistema original Σ atraves de translacao para O =(−2, 1)Σ.

Com isso e possıvel esbocar a hiperbole desejada.

Observe que as assıntotas desta hiperbole tem como equacao

y = −5

6x e y =

5

6x,

128

que correspondem as retas

y − 1 = −5

6(x+ 2) e y − 1 =

5

6(x+ 2)

no sistema original (as retas sao as mesmas, apenas suas equacoes mudam).

Exemplo 68. Repetir o Exemplo anterior com a equacao

4x2 + 16y2 − 40x+ 16y + 88 = 0.

Solucao: Manipulando algebricamente a parte envolvendo x:

4x2 − 40x = 4[x2 − 10x] = 4[(x− 5)2 − 25] = 4(x− 5)2 − 100.

E a parte com y:

16y2 + 16y = 16[y2 + y] = 16[(y + 12)2 − 1

4] = 16(y +

1

2)2 − 4.

Juntando tudo, temos:

4(x− 5)2 − 100 + 16(y +1

2)2 − 4 + 88 = 0 ⇐⇒ 4(x− 5)2 + 16(y +

1

2)2 − 16 = 0

⇐⇒ (x− 5)2

4+ (y +

1

2)2 = 1.

Definindo os novos eixos x e y atraves de translacao para O = (5,−12)Σ, ou seja,

x = x− 5 e y = y + 12 , temos a equacao

x2

4+ y2 = 1,

que e uma elipse muito bem posicionada no sistema Σ com constantes a = 2 e b = 1.O esboco desta elipse fica como exercıcio para o leitor.

Exemplo 69. Esbocar a curva de equacao

x2 − 4x− 12y − 8 = 0.

Solucao: Temos que x2 − 4x = (x − 2)2 − 4 e entao substituindo na equacao valeque

(x− 2)2 − 4− 12y − 8 = 0 ⇐⇒ (x− 2)2 = 12y + 12 ⇐⇒ (x− 2)2 = 12(y + 1).

Definindo x = x − 2 e y = y + 1, temos x2 = 12y, que e uma parabola muito bemposicionada no sistema Σ, com constante p = 3.

129

12.2 Mudanca de base

Ao aplicarmos esta secao para o estudo das conicas, estaremos dando o devido trata-mento ao “termo misto” na equacao de segundo grau a duas variaveis Ax2 + Bxy +Cy2 +Dx+Ey+F = 0, ou seja, para o termo xy. Veremos a seguir que o surgimentodeste termo e devido a uma rotacao no sistema de coordenadas original; reciproca-mente, se queremos nos livrar dele precisamos desfazer esta rotacao (o que ocorre comuma rotacao no sentido oposto).

Esta Secao comeca com uma visao geral para mudancas de base, que pode serignorada num estudo concentrado apenas nas curvas conicas, e esta presente nestetexto apenas por questoes de completude. Assim, o leitor mais apressado pode irdiretamente para a secao 12.2.2.

130

12.2.1 Mudanca de base em dimensao 2 - caso geral

Seja E a base (ordenada) formada pelos vetores ~e1 e ~e2, e considere uma outra base Fformada pelos vetores ~f1 e ~f2. Pretendemos responder a seguinte pergunta: conhecendoas coordenadas de um vetor ~v na base E, quais sao suas coordenadas na base F?

Note que se ~v = α~e1 + β~e2 = (α, β)E e se por acaso sabemos escrever ~e1 e ~e2 emtermos da base F , e facil obter ~v na base F . De fato, suponha que

~e1 = m~f1 + n~f2, ~e2 = p~f1 + q ~f2.

Entao~v = α(m~f1 + n~f2) + β(p~f1 + q ~f2)

e reescrevendo a expressao acima obtemos

~v = (αm+ βp)~f1 + (αn+ βq)~f2.

Logo ~v = (αm+ βp, αn+ βq)F ..

Exemplo 70. Suponha que

~e1 = 2~f1 − 4~f2, ~e2 = 3~f1 + 5~f2.

Determine as coordenadas de ~v = (−1, 7)E na base F .Solucao: Repetindo o observado acima, temos

~v = −1(2~f1 − 4~f2) + 7(3~f1 + 5~f2) = 19~f1 + 39~f2 = (19, 39)F .

Observacao 14. A mudanca de base acima nao respeita ortonormalidade, e portantonao faz sentido pensar em normas de vetores ou produtos escalares utilizando as coor-denadas na base F (e a princıpio nem na base E, que nao declaramos ser ortonormal).

Neste ponto, passa a ser util operar vetores utilizando matrizes. Primeiramente,vamos denotar os vetores por matrizes colunas: se ~v = (α, β)E, escreveremos

~v =

[αβ

]E

. Note que

~e1 =

[10

]E

~e2 =

[01

]E

e isso e coerente com a “combinacao linear de matrizes”

~v = α

[10

]E

+ β

[01

]E

.

131

Na verdade, funciona bem porque as matrizes coluna (com mesmo numero de linhas)formam tambem um espaco vetorial – assunto que o leitor encontrara com mais deta-lhes num curso de Algebra Linear.

Alem disso, observe que

~e1 =

[mn

]F

~e2 =

[pq

]F

e daı

~v = α

[mn

]F

+

[pq

]F

=

[m pn q

] [αβ

].

A ultima igualdade na linha acima pode ser checada pelo leitor como um exercıcio.A matriz quadrada 2× 2 que aparece na conta acima e aquela onde as colunas sao

precisamente as coordenadas de ~e1 e ~e2 na base F . Esta matriz e chamada a matrizmudanca de base de E para F e e denotada usualmente por ME→F :

ME→F =

[m pn q

].

Em geral:(~v)F = ME→F (~v)E,

onde (~v)F significa “coordenadas de ~v na base F” e analogamente para a base E, e osvetores devem ser escritos como matrizes colunas para que a maquinaria funcione.

Exemplo 71. Suponha que os vetores ~e1 e ~e2 da base E sejam dados em termos dabase F , formada por ~f1 e ~f2, da seguinte forma:

~e1 = −~f2, ~e2 = 3~f1 + 4~f2.

Faca o que se pede:

(a) Escreva a matriz mudanca de base de E para F ME→F .

(b) Obtenha as coordenadas de ~v na base F , sabendo que

(~v)E =

[52

]E

.

(c) Obtenha a matriz mudanca de base de F para E, MF→E.

Solucoes:

(a) Conforme comentado acima, ME→F e a matriz cujas colunas sao as coordenadasde ~e1 e ~e2 na base F , nesta ordem. Logo

ME→F =

[0 3−1 4

].

132

(b) Tambem conforme a discussao acima,

(~v)F = ME→F (~v)E =

[0 3−1 4

] [52

]E

=

[63

]F

.

(c) De acordo com a definicao de matriz de mudanca de base, precisamos expressaros vetores ~f1 e ~f2 em termos da base E. Note que como ~e1 = −~f2, vale que

~f2 = −~e1,

e manipulamos entao a segunda igualdade:

~e2 = 3~f1 + 4~f2 ⇒ 3~f1 = ~e2 − 4~f2 = ~e2 + 4~e1,

donde segue que

~f1 =4

3~e1 +

1

3~e2.

Assim,

MF→E =

[43 −113 0

].

O exemplo acima, item (c), ilustrou uma maneira de encontrar MF→E conhecendoME→F : deve-se isolar ~f1 e ~f2 no “sistema” que e dado por ME→F . Mas isso e equivalente(afirmamos, e deixamos para o leitor refletir a respeito!) a inverter a matriz ME→F .

Proposicao 9. Sejam E e F duas bases ordenadas. Entao ME→F e MF→E sao umaa matriz inversa da outra. Isto e, ambos os produtos ME→F e MF→E sao a matrizidentidade.

Observacao 15. (i) A proposicao acima, cuja prova iremos omitir, vale em qualquerdimensao.

(ii) A matriz identidade e aquela onde todos os elementos da diagonal principal sao1s e o restante sao 0s. Ela recebe este nome porque no “mundo das matrizes” elase comporta como o numero 1, no sentido que multiplicar pela identidade da nomesmo que nao fazer nada.

(iii) Ve-se em Algebra Linear que uma matriz tem inversa se, e somente se, seu de-terminante e nao nulo. As matrizes mudanca de base respeitam isto justamenteporque tratam de mudancas entre bases.

Exercıcio 30. Encontrar matrizes inversas pode ser difıcil em dimensao qualquer. Noentanto, em dimensao 2 e bastante simples. Mostre que se

M =

[a b

c d

]

133

e invertıvel (e portanto tem determinante 6= 0), entao sua inversa e dada por

M−1 =1

detM

[d −b−c a

],

ou seja, basta trocar de lugar os elementos da diagonal principal, mudar os sinais doselementos da diagonal secundaria, e dividir tudo por detM para obter a inversa de M .Para resolver o exercıcio, basta verificar que MM−1 = M−1M = I2, onde I2 denota aidentidade 2× 2.

Podemos verificar como a Proposicao e o Exercıcio acima atuam no exemplo ante-rior: Como

ME→F =

[0 3−1 4

],

tem-sedetME→F = 3

e daı pelo exercıcio acima

(ME→F )−1 =1

3

[4 −31 0

]=

[43 −113 0

],

que e a matriz MF→E apresentada no exemplo.

12.2.2 Rotacoes em dimensao 2

Existe um tipo especial de mudanca de base: aquela que leva bases ortonormais embases ortonormais. Este tipo de mudanca e particularmente importante se nao que-remos perder informacoes como normas e produtos escalares de vetores, ja que sosabemos calcular essas duas quantidades usando coordenadas em bases ortonormais.Tais mudancas de base sao chamadas de ortogonais em Algebra Linear.

E possıvel mostrar que as matrizes de mudancas de base ortogonais tem uma pro-priedade muito interessante e util: a inversa e a transposta coincidem. Isso tambemfacilita um bocado as contas, mas deixaremos esse fato para ser explorado num cursode Algebra Linear.

Dentro das matrizes ortogonais, existem dois subtipos: aquelas que preservam ori-entacao e as que invertem orientacao. Para os nossos propositos e suficiente nos con-centrarmos naquelas que preservam orientacao, ja que nosso interesse e obter novossistemas cartesianos de coordenadas, onde gostarıamos que a orientacao fosse a mesmado sistema “canonico”.

Como sao as mudancas de coordenadas que levam base ortonormal em base orto-normal, e ainda preservam orientacao, no caso bidimensional? Vejamos na figura quesegue, onde a base ortonormal {~e1, ~e2} e levada na base ortonormal {~f1, ~f2}.

134

Note que obrigatoriamente ~f1 e ~f2 devem ser obtidos a partir de ~e1 e ~e2, respecti-vamente, atraves de uma rotacao de um angulo θ, conforme indicado na figura.

Aqueles que leram a secao anterior podem fazer o exercıcio a seguir, e compreendera Proposicao que o segue:

Exercıcio 31. Na situacao acima, mostre que

~f1 = cos θ~e1 + sen θ~e2, ~f2 = −sen θ~e1 + cos θ~e2,

e portanto

MF→E =

[cos θ −sen θsen θ cos θ

]Utilizando o exercıcio acima e o Exercıcio 30, o que obtemos e o seguinte (quem

nao leu a secao anterior pode ignorar):

Proposicao 10. Se a base F = {~f1, ~f2} e obtida a partir da base E = {~e1, ~e2} atravesde uma rotacao de um angulo θ (no sentido antihorario), entao

ME→F =

[cos θ sen θ−sen θ cos θ

].

Agora podemos ver quais as consequencias disto para mudanca de sistema cartesianode coordenadas:

Sejam Σ e Σ′ os sistemas cartesianos de coordenadas dados por:

(i) A origem dos dois sistemas e o mesmo ponto O.

(ii) Os eixos x e y do sistema Σ sao dados pelos vetores ~e1 e ~e2, respectivamente.

(iii) Os eixos x′ e y′ do sistema Σ′ sao dados pelos vetores ~f1 e ~f2, respectivamente.

Com a notacao acima, temos (antes de se assustar com as multiplicacoes matriciaisleia a observacao que vem logo abaixo!):

135

Teorema 5. Se o sistema Σ′ e obtido a partir do sistema Σ atraves de uma rotacaode angulo θ, entao as mudancas de coordenadas de um sistema para o outro sao dadaspor: [

x′

y′

]=

[cos θ sen θ−sen θ cos θ

] [xy

]e [

xy

]=

[cos θ −sen θsen θ cos θ

] [x′

y′

]Observacao 16. A notacao matricial acima torna-se particularmente util quando pas-samos a trabalhar em dimensoes maiores, onde mais termos surgem. No entanto, jaque estamos nos concentrando no caso bidimensional, podemos reescrever as equacoesacima de forma amigavel para quem nao tem familiaridade com multiplicacoes matri-ciais: {

x′ = cos θ x+ sen θ yy′ = −sen θ x+ cos θ y

e {x = cos θ x′ − sen θ y′

y = sen θ x′ + cos θ y′.

12.2.3 Primeiras aplicacoes as curvas conicas

Exemplo 72. Considere a elipse E que tem focos sobre a reta y = x, eixo maiormedindo 10 e eixo menor medindo 8. Obtenha uma equacao em x e y para E .

Solucao: Iniciamos esbocando um novo sistema de eixos x′y′ de modo que os focosde E estejam sobre o eixo x′.

136

Neste sistema novo de eixos, a elipse esta “muito bem posicionada”, de modo queo que foi feito no Capıtulo 11 nos da, com constantes a = 5 e b = 4, a equacao

x′2

25+y′2

16= 1.

Essa ainda nao e a equacao que queremos, pois esta nas variaveis x′ e y′, e nao em x

e y. Para transformarmos em x e y fazemos o que segue.Observe que os eixos x′ e y′ sao obtidos a partir dos eixos x e y atraves de uma

rotacao de θ = π/4. Assim, aplicando o Teorema 5 para o caso particular θ = π/4,onde cos θ = 1/

√2 = sen θ, temos:{

x′ = 1√2x+ 1√

2y

y′ = − 1√2x+ 1√

2y,

Assim, vale que

x′2 =1

2(x+ y)2, y′2 =

1

2(y − x)2.

Substituindo na equacao obtida anteriormente para E nas variaveis x′ e y′, obtemos

(x+ y)2

50+

(y − x)2

32= 1 ⇐⇒ 16(x+y)2+25(y−x)2 = 800 ⇐⇒ 16(x2+2xy+y2)+25(y2−2xy+x2) = 800,

137

e apos agrupar os termos semelhantes temos finalmente uma equacao para E na formageral de equacao de 2o grau:

E : 41x2 − 18xy + 41y2 − 800 = 0.

12.2.4 Dada a equacao, obter a conica – Parte II

No que segue, faremos o caminho inverso: dada uma equacao geral de 2o grau em xe y, pretendemos responder se ela representa uma curva conica e, em caso positivo,qual e e como e um esboco seu. O objetivo inicial e eliminar o termo misto (ou seja, oproduto xy) da equacao. Conforme calculado no que segue, isso e possıvel atraves deuma rotacao conveniente, dando origem a uma nova equacao, em x′ e y′, onde nao hatermos mistos.

Comecamos observando o seguinte fato: Dada uma expressao da forma Ax2 +Bxy+Cy2, onde A,B,C sao constantes (uma forma quadratica), ela pode ser reescritamatricialmente por

Ax2 +Bxy + Cy2 =[x y

] [ A B/2B/2 C

] [x

y

].

Alem disso, sabemos que se uma mudanca de coordenadas de xy para x′y′ e dada poruma rotacao, entao do Teorema 5, vale[

xy

]=

[cos θ −sen θsen θ cos θ

] [x′

y′

].

Juntando estes dois fatos, temos que

Ax2 +Bxy+Cy2 =[x′ y′

] [ cos θ sen θ−sen θ cos θ

] [A B/2B/2 C

] [cos θ −sen θsen θ cos θ

] [x′

y′

].

A matriz obtida pelo produto das tres matrizes quadradas acima e dada por (naose assuste!!)

[A cos2 θ +Bsen θ cos θ + Csen 2θ (C − A) cos θsen θ + B

2 (cos2 θ − sen 2θ)(C − A) cos θsen θ + B

2 (cos2 θ − sen 2θ) Asen 2θ −Bsen θ cos θ + C cos2 θ

].

Lembramos as formulas da Trigonometria para cossenos e senos do arco duplo:

cos(2θ) = cos2 θ − sen 2θ, sen (2θ) = 2 cos θsen θ.

Usando essas formulas, o que obtemos e

138

Ax2 +Bxy + Cy2 = A′x′2 +B′x′y′ + C ′y′2,

onde

A′ = A cos2 θ +B

2sen (2θ) + Csen 2θ,

B′ =C − A

2sen (2θ) +

B

2cos(2θ)

C ′ = Asen 2θ − B

2sen (2θ) + C cos2 θ.

Como queremos uma expressao sem termos mistos, o angulo θ de rotacao devesatisfazer B′ = 0, ou seja,

(C − A)sen (2θ) +B cos(2θ) = 0.

E possıvel provar que sempre existe θ1 ∈ [0, π/2] satisfazendo a equacao acima, e nestecaso θ2 = θ1 +π/2 tambem satisfara. Os angulos θ1 e θ2 geram dois sistemas de coorde-nadas diferentes, o segundo sendo uma rotacao de π/2 do primeiro (geometricamenteisso significa quase uma troca de eixos).

Temos aqui dois casos: se A = C, entao cos(2θ) = 0 e daı θ1 = π4 e θ2 = 3π

4 . SeA 6= C, podemos reorganizar os termos e obter que θ deve satisfazer

tan(2θ) =B

A− C.

Exemplo 73. Considere a equacao

xy = 1.

Ela representa alguma curva conica? Se sim, descreva-a.

Solucao: Neste caso, temos as constantes A = C = 0 e B = 1. Desta forma,sabemos que θ1 = π/4 ou θ2 = 3π/4 sao as possıveis escolhas para θ. Veremos que defato θ1 nos da uma hiperbole muito bem posicionada.

Note que neste caso A′ = 12 e C ′ = −1

2 . Assim, se x′ e y′ sao obtidos a partir de umarotacao de π/4 a partir de x e y, a equacao xy = 1 se traduz em

x′2

2− y′2

2= 1.

Trata-se de uma hiperbole com focos no eixo x′ e constantes a =√

2 = b (e portantoc = 2). Suas assıntotas sao as retas y′ = −x′ e y′ = x′, e deixamos para o leitorverificar que tratam-se justamente dos eixos x e y. Assim, um esboco da hiperboleaparece abaixo.

139

Observacao 17. E possıvel mostrar que as matrizes[A B/2B/2 C

]e

[A′ B′/2B′/2 C ′

]tem mesmo determinante e tambem o mesmo traco (traco = soma dos elementos dadiagonal). Isso tambem pode ser feito explicitamente usando as expressoes de A′, B′ eC ′ em termos de A,B,C e θ (fica como exercıcio para o leitor mais teimoso.). Assim,valem as seguintes identidades:

A′ + C ′ = A+ C, A′C ′ −B′2/4 = AC −B2/4.

Agora vamos fazer um passo que requer conhecimentos de Algebra Linear, e infe-lizmente vamos omitir a demonstracao. Afirmamos o seguinte:

Proposicao 11. Com a notacao introduzida acima, se θ e tal que B′ = 0, entao asconstantes A′ e C ′ sao as solucoes da equacao de segundo grau em λ

det

[A− λ B/2B/2 C − λ

]= 0.

Alem disso, A′,C ′ e θ cumprem a equacao (A′ − C ′) cos(2θ) = A − C, se A 6= C, eA′ − C ′ = Bsen (2θ), se A = C.

Observacao 18. O que a segunda parte da Proposicao acima diz e que existe uma unicamaneira de tornar compatıveis as escolhas de θ1 ou θ2 = θ1+π/2 com a ordem das raızes

140

A′ e C ′ da equacao de segundo grau. Por exemplo: se −1, 2 sao as raızes da equacao desegundo grau acima, entao podemos escolher A′ = −1 e C ′ = 2 ou A′ = 2 e C ′ = −1.Uma delas estara associada a um dos angulos θ1 ou θ2 e a outra obrigatoriamente aooutro angulo, uma vez que havera uma troca no sinal do cos(2θ) (ao menos para o casoem que A 6= C), atraves da proposicao acima. Geometricamente isso significa que asescolhas de A′ e C ′ representam, a menos de mudanca de orientacao, trocar o eixo x′

pelo y′. Veremos ao longo dos exemplos o que significa isso.

Exemplo 74. Considere a equacao 4x2 − 24xy + 11y2 + 20 = 0. Encontre um novosistema de eixos x′ e y′, obtidos atraves de uma rotacao de x e y, de modo que aequacao equivalente nao tenha termo misto. Faca um esboco.

Solucao: Realizamos a solucao em etapas.Etapa 1:Localizar as constantes A,B,C e encontrar os candidatos para A′ e C ′.Neste caso, temos A = 4, B = −24 e C = 11. Assim, A′ e C ′ sao solucoes de

det

[4− λ −12−12 11− λ

]= 0 ⇐⇒

⇐⇒ (4−λ)(11−λ)−144 = 0 ⇐⇒ 44−15λ+λ2−144 = 0 ⇐⇒ λ2−15λ−100 = 0.

As solucoes desta equacao sao −5, 20, logo estes sao os valores de A′ e C ′.

Etapa 2:Escolher A′ e C ′ convenientemente, se possıvel.Note que A′ = 20 e C ′ = −5 produz a equacao 20x′2 − 5y′2 + 20 = 0, ou seja,

y′2

4− x′2 = 1. Esta e uma hiperbole com os focos sobre o eixo y′. Se escolhermos

A′ = −5 e C ′ = 20 temos a equacao equivalente em x′ e y′:

x′2

4− y′2 = 1.

Ficaremos com esta segunda para que fique com os focos sobre o eixo x′.

Etapa 3:Identificar caracterısticas do angulo de rotacao. Sabemos que os possıveisangulos θ1 e θ2 de rotacao que eliminam o termo misto satisfazem

tan(2θ) =B

A− C=−24

−7=

24

7> 0,

logo 2θ1 esta no primeiro quadrante e 2θ2 esta no terceiro quadrante. Para saber senossa rotacao e de θ1 ou θ2, vamos analisar o sinal de cos(2θ). Sabemos que

cos(2θ) =A− CA′ − C ′

=−7

−25=

7

25> 0,

141

de onde deduzimos que 2θ esta no primeiro ou quarto quadrante. Juntando as duasconclusoes, temos que 2θ esta no primeiro quadrante. Assim, estamos falando de θ1.

Etapa 4: Realizar um esboco.Neste caso, a equacao ja esta na forma mais simplificada possıvel e nao precisa-

mos efetivamente calcular a mudanca de coordenadas (como sera o caso do proximoexemplo). Assim, podemos diretamente marcar os novos eixos e prosseguir.

Tracamos o angulo 2θ1 da seguinte forma: ja que tan(2θ1) = 247 , a semirreta que

forma com o eixo x o angulo 2θ1 passa pela origem e pelo ponto de coordenadas (7, 24)(reflita!). Uma vez tracado 2θ1, tracamos a bissetriz correspondente para obter θ1.Neste angulo esta situado o novo eixo x′. A 90o dele, abrindo no sentido antihorario,tracamos o eixo y′.

Agora neste sistema de eixos tracamos a hiperbole desejada: lembrando que a

equacao ex′2

4− y′2 = 1, e portanto suas constantes sao a = 2 e b = 1. Isso nos da

vertices em A1 = (−2, 0)Σ′ e A2 = (2, 0)Σ′, onde o subındice Σ′ denota que estamosexplicitando as coordenadas do ponto no sistema de eixos x′ e y′. Alem disso, as

assıntotas tem equacao y′ = −1

2x′ e y′ =

1

2x′.

142

Para concluir, faremos agora um exemplo onde e necessario “ir ate o fim”, identi-ficando nao so algumas caracterısticas do angulo de rotacao, como tambem seu senoe cosseno, para realizar a mudanca de coordenadas em todas as partes da equacao(incluindo os termos de grau 1). Para isso, e necessario utilizar as identidades trigo-nometricas a seguir:

Teorema 6. Para qualquer que seja o angulo θ, valem as identidades

cos2 θ =1 + cos(2θ)

2e sen 2θ =

1− cos(2θ)

2.

Exemplo 75. Identifique a conica dada pela equacao

9x2 + 24xy + 16y2 + 140x− 105y = 0

e faca um esboco da mesma.

Solucao: Etapa 1.Identificar as constantes A,B e C e determinar os candidatospara A′ e C ′.

Neste caso, A = 9, B = 24 e C = 16. Logo A′ e C ′ sao as raızes da equacao

det

[9− λ 12

12 16− λ

]= 0 ⇐⇒ (9− λ)(16− λ)− 144 = 0 ⇐⇒

143

⇐⇒ 144− 25λ+ λ2 − 144 = 0 ⇐⇒ λ2 − 25λ = 0,

cujas raızes sao 0 e 25.

Etapa 2:Escolher A′ e C ′ convenientemente, se possıvel.Temos aqui duas possibilidades: A′ = 0 e C ′ = 25, produzindo a equacao 25y′2 +

D′x + E ′y = 0 (onde D′ e E ′ serao determinados) ou A′ = 25 e C ′ = 0, produzindo25x′2 +D′x+E ′y = 0. A segunda opcao e a que tem chance de produzir uma parabolacom foco no eixo y′, enquanto a primeira seria uma parabola “deitada” (conformeObservacao ??). Assim, faremos a escolha A′ = 25 e C ′ = 0.

Etapa 3:Obter as primeiras caracterısticas do angulo de rotacao.

O angulo de rotacao θ deve satisfazer tan(2θ) =B

A− C= 24−7 = −24

7 < 0, logo 2θ

encontra-se no segundo ou quarto quadrante.

Alem disso, cos(2θ) =A− CA′ − C ′

=−7

25< 0, e portanto 2θ esta no segundo ou terceiro

quadrante.Juntando as duas informacoes, temos que 2θ esta no segundo quadrante, e portanto

θ e um angulo entre π/4 e π/2 (ressaltamos que esta no primeiro quadrante).

Etapa 4:Calcular cos e sen do angulo de rotacao e obter a mudanca de coordenadasexplicitamente

Usando as formulas da trigonometria apresentadas no Teorema 6 e cos(2θ) = −7/25,obtemos

cos2 θ =1− 7

25

2=

9

25e

sen 2θ =16

25.

Usando o fato que θ esta no primeiro quadrante, sabemos que sen θ e cos θ sao positivos,o que nos da

cos θ =3

5, sen θ =

4

5.

A mudanca de coordenadas e dada entao por (veja Teorema 5):[xy

]=

[35 −

45

45

35

] [x′

y′

]=

[3x′−4y′

54x′+3y′

5

],

ou seja,

x =3x′ − 4y′

5, y =

4x′ + 3y′

5.

144

Etapa 5:Substituir na equacao originalNote que ja sabemos que 9x2 + 24xy + 16y2 = 25x′2, de modo que e suficiente

substituir o resultado obtido na Etapa 4 so nos termos de grau 1.Tal substituicao e feita a seguir:

140x−105y = 140

(3x′ − 4y′

5

)−105

(4x′ + 3y′

5

)= 28(3x′−4y′)−21(4x′+3y′) = 84x′−112y′−84x′−63y′ = −175y′.

Logo a equacao original se transforma em

25x′2 − 175y′ = 0 ⇐⇒ x′2 = 7y′,

e esta e equacao de parabola com constante p = 7/4 (vide Capıtulo 11) muito bemposicionada no sistema x′y′.

Etapa 6:EsbocarSabemos que θ e tal que cos θ = 3/5 e sen θ = 4/5, logo tan θ = 4/3 e portanto o

novo eixo x′ esta na direcao da reta pela origem e pelo ponto (4, 3). Neste novo sistematemos uma parabola voltada para cima, com foco F = (0, 7/4)Σ′ e reta diretriz dadapor y′ = −7/4. Fica como exercıcio para o leitor encontrar a equacao da diretriz emtermos do sistema antigo.

145

12.3 Mudanacas de coordenadas – caso geral

Agora que ja aprendemos a realizar rotacoes e translacoes para “simplificar” ao maximouma equacao de grau 2 nas variaveis x e y, podemos tratar do caso geral: aquela emque a “melhor posicao” e um sistema de eixos x, y obtido por translacao de um sistemade eixos x′, y′ obtido por rotacao do sistema original formado pelos eixos x, y.

Ainda nao comentamos, mas agora convem ressaltar que uma equacao desta formapode representar tambem uma “conica degenerada”. O seguinte resultado explicitaisto.

Teorema 7. Equacoes da forma

Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0,

onde A,B,C,D,E e F sao constantes, representam um dos seguintes tipos de conjuntono plano cartesiano xy:

(i) Uma curva conica (elipse, hiperbole ou parabola).

(ii) Um par de retas, que podem ser tanto concorrentes quanto paralelas.

(iii) Uma unica reta (com multiplicidade 2).

(iv) Um unico ponto.

(v) O conjunto vazio.

Ate o momento so exemplificamos equacoes representando objetos na situacao (i)acima. Abaixo vejamos alguns exemplos das outras situacoes:

Exemplo 76 (Situacao (ii)). Par de retas concorrentes: A equacao (x+ 2y)(x− 3y+1) = 0 representa o par de retas de equacoes x + 2y = 0 e x − 3y + 1 = 0, que saoconcorrentes. Ela pode ser reescrita na forma geral:

x2 − xy − 6y2 + x+ 2y = 0.

Par de retas paralelas: A equacao (2x − y)(2x − y + 7) = 0 representa o par deretas paralelas de equacoes y = 2x e y = 2x − 7 no plano xy. Ela pode ser reescritana forma geral:

4x2 − 4xy + y2 + 14x− 7y = 0.

Exemplo 77 (Situacao (iii)). A equacao na forma geral

x2 − 6xy + 9y2 = 0

pode ser reescrita na forma (x− 3y)2 = 0, e fica aqui claro que trata-se de uma unicareta, a saber, a reta de equacao x− 3y = 0.

146

Exemplo 78 (Situacao (iv)). Ao completarmos quadrados na equacao

x2 + 2x+ 4y2 + 1 = 0,

vemos que ela e equivalente a equacao (x+1)2 +4y2 = 0. Ora, a unica chance da somados quadrados de dois numeros ser igual a zero e se ambos forem zero, logo o conjuntosolucao desta equacao representa o ponto (−1, 0).

Exemplo 79 (Situacao (v)). Fica como exercıcio para o leitor se convencer que aequacao x2 + 2x+ 4y2 + 2 = 0 e equivalente a (x+ 1)2 + 4y2 = −1, e esta nao admitesolucao, tratando-se, portanto, de uma representacao do conjunto vazio. Analoga-mente, a equivalencia das equacoes x2 + 12xy + 36y2 + 8 = 0 e (x+ 6y)2 = −8 nos datambem que a primeira delas (e portanto a segunda) representa o conjunto vazio.

No que segue, trataremos apenas de equacoes originando a situacao (i). Deixamoscomo exercıcio para o leitor verificar que existem rotacoes e translacoes que tornamas equacoes dos Exemplos acima das situacoes (ii)-(v) “mais simples”, onde fica maisfacil identificar que objeto representam.

Exemplo 80. Simplificar a equacao abaixo eliminando termos mistos e completandoquadrados. Esbocar os novos sistemas de eixos e a conica correspondente.

4x2 − 24xy + 11y2 + 56x− 58y + 95 = 0.

Solucao: Subdividimos o processo em duas grandes etapas: (I) Rotacao para elimi-nar termo misto; (II) Translacao para completar quadrados, se for o caso.

(I) Eliminar termo mistoNo Exemplo 74, fizemos as primeiras etapas para a eliminacao do termo misto:

identificamos as constante A = 4, B = −24 e C = 11 e descobrimos que A′ = −5 eC ′ = 20 era uma das opcoes para A′ e C ′. Com esta opcao, temos que θ satisfaz

tan(2θ) =24

7, cos(2θ) =

7

25.

Daqui ja concluımos que 2θ situa-se no primeiro quadrante, e portanto θ e um anguloentre 0 e π/4. Prosseguiremos a partir daqui.

Descobrir cos θ e sen θ. Sabemos do que foi feito acima que cos(2θ) = 7/25. Asformulas da Proposicao ?? nos dao entao

cos2 θ =1 + 7/25

2=

16

25, sen 2θ =

9

25.

147

Como sabemos que θ situa-se no primeiro quadrante, sabemos que tanto cos quantosen devem ser positivos. Logo

cos θ =4

5, sen θ =

3

5.

Escrever a mudanca de coordenadas. Segue do Teorema 5 que a mudanca de coor-denadas satisfaz [

xy

]=

[4/5 −3/53/5 4/5

] [x′

y′

],

e portanto

x =4x′ − 3y′

5e y =

3x′ + 4y′

5.

Arrumar a equacao. Aplicando a mudanca de coordenadas acima na equacao ori-ginal, obtemos a equacao

−5x′2 + 20y′2 + 10x′ − 80y′ + 95 = 0,

que e agora uma equacao sem termo misto. Ela pode ainda ser simplificada dividindopor 5 ambos os lados da equacao:

−x′2 + 4y′2 + 2x′ − 16y′ + 95 = 0.

Estamos prontos para a segunda etapa.

(II) Completar quadrados:Os termos em x′ se reescrevem:

−x′2 + 2x′ = −[x′2 − 2x′] = −[(x′ − 1)2 − 1] = −(x′ − 1)2 + 1,

e os termos em y′ se reescrevem:

4y′2 − 16y′ = 4[y′2 − 4y′] = 4[(y′ − 2)2 − 4] = 4(y′ − 2)2 − 16.

Juntando tudo na equacao original e definindo um novo sistema Σ a partir de umatranslacao da origem para O = (1, 2)Σ′, temos

−x2 + 4y2 + 4 = 0 ⇐⇒ x2

4− y2 = 1,

tratando-se portanto de uma hiperbole muito bem posicionada no sistema Σ comconstantes a = 2 e b = 1.

148

(III) Realizar um esboco: Ressaltamos aqui que a ordem em que fizemos astransformacoes nos eixos e importante; alem disso, as coordenadas de O sao dadas emtermos do sistema ja rotacionado Σ′. Para obter as coordenadas deste ponto no sistemaoriginal Σ, e necessario realizar a mudanca de coordenadas: O tem coordenadas (α, β)Σ

no sistema Σ onde α e β sao dados por[αβ

]=

[4/5 −3/53/5 4/5

] [12

],

ou seja, O = (−2/5, 11/5)Σ.A seguir vemos um esboco da hiperbole que estamos tratando. Note que foram

tracados os eixos x′ e y′ a partir de uma rotacao dos eixos x e y e apos isto os eixos xe y a partir de uma translacao de x′ e y′.

Observacao 19 (Trocando A′ e C ′ de lugar). O efeito de escolher as constantes A′ eC ′ na outra ordem, ou seja, A′ = 20 e C ′ = −5 e o seguinte: os eixos x′ e y′ sofremuma rotacao de π/2 com relacao a resolucao apresentada no exemplo anterior. O novoangulo θ satisfaz cos θ = −3/5 e sen θ = 4/5, o que acarreta tambem numa mudancana matriz de mudanca de coordenadas. Alem disso, a translacao final passa a ser outrasob o ponto de vista do sistema Σ′. Por fim, a hiperbole nao esta mais com focos sobre

149

o eixo x, mas sim sobre o eixo y.A seguir vemos um esboco desta situacao:

Exemplo 81. Repetir o exemplo anterior para a equacao

8x2 − 2xy + 8y2 − 46x− 10y + 11 = 0.

Solucao:Etapa I:Eliminar o termo misto via rotacao.Note que neste caso temos A = C = 8 e B = −1, de modo que A′ e C ′ sao solucoes

de

det

[8− λ −1−1 8− λ

]= 0 ⇐⇒ (8− λ)2 − 1 = 0,

ou seja,8− λ = ±1 ⇐⇒ λ = 7 ou λ = 9.

Escolhemos A′ = 9 e C ′ = 7. Agora precisamos saber o angulo θ de rotacao.Conforme observado anteriormente, agora nao faz sentido calcular θ via

tan(2θ) =B

A− C

150

pois neste caso temos A = C, o que produziria um denominador nulo. Mas sabemosque neste caso vale que cos(2θ) = 0, e portanto 2θ = π/2 ou 2θ = 3π/2, donde segueque θ = π/4 ou θ = 3π/4.

Como saber qual das duas escolhas de θ e compatıvel com a escolha de A′ e C ′,agora que a expressao

cos(2θ) =A− CA′ − C ′

nos da apenas 0 = 0?Apelamos para mais uma observacao: segue tambem do que foi feito ate o momento

que

sen (2θ) =B

A′ − C ′(fica como exercıcio para o leitor demonstrar essa formula), e portanto

sen (2θ) =−2

9− 7= −1.

Assim, para essas escolha de A′ e C ′ temos 2θ = 3π/2 e assim θ = 3π/4. Observe queneste caso cos(θ) = −1/

√2 e sen θ = 1/

√2

Desta forma, temos a mudanca de coordenadas:[x

y

]=

[−1/√

2 −1/√

2

1/√

2 −1/√

2

] [x′

y′

]⇒

x = − 1√2

(x′ + y′) e y =1√2

(x′ − y′).

Assim, a equacao original passa a ser a que segue no sistema de coordenadas Σ′,obtido a partir de Σ via rotacao de 3π/4:

9x′2+7y′2+23√

2(x′+y′)−5√

2(x′−y′)+11 = 0 ⇐⇒ 9x′2+18√

2x′+7y′2+28y′+11 = 0.

Etapa II.Completar quadrados para obter uma equacao centrada na origemArrumamos os termos em x′:

9x′2 + 18√

2x′ = 9(x′ +√

2)2 − 18

e em y′:7y′2 + 28

√2y′ = 7(y′ + 2

√2)2 − 56

Definindo O = (−√

2,−2√

2)Σ′ e os eixos x e y como a translacao para O de x′ ey′, temos a equacao

151

9x2 + 7y2 − 18− 56 + 11 = 0 ⇐⇒ x2

7+y2

9= 1,

tratando-se portanto de uma elipse com focos sobre o eixo y.Os focos nao estao sobre o eixo x porque nossa escolha de A′ e C ′ para eliminar o

termo misto foi “errada”. Essa escolha errada foi proposital para fins didaticos, ja queagora basta utilizar a Observacao ?? para entender como e o esboco desta elipse.

Etapa III. Esboco:

152

Capıtulo 13

(Breve apresentacao das) SuperfıciesQuadricas

O objetivo deste capıtulo e apresentar as principais famılias de superfıcies quadricas.Longe de ser uma exposicao detalhada do assunto, o que segue pretende apenas daras caracterısticas que definem cada uma delas.

Queremos destacar, contudo, que as superfıcies quadricas sao em certo sentido o“analogo no espaco tridimensional” para o que as conicas sao no plano. Que sentidoe este? Elas sao tambem solucoes de equacoes gerais de segundo grau, mas desta veznas variaveis x, y e z. Precisamente, sao algumas das solucoes de equacoes com a cara

Ax2 +By2 + Cz2 +Dxy + Exz + Fyz +Gx+Hy + Iz + J = 0,

onde A,B, . . . , J sao constantes reais.Assim como acontece no caso das curvas conicas, e fato que existem outras solucoes

para esse tipo de equacao que nem sempre sao consideradas superfıcies quadricas, comopor exemplo um par de planos – o analogo do par de retas, visto no Capıtulo anterior.

A seguir, apresentaremos as principais famılias de quadricas, ja “muito bem po-sicionadas”. Esta consideracao merece alguns comentarios adicionais. Assim comofizemos no Capıtulo 12, existe um processo algebrico para redefinir eixos coordenadosa partir de translacao da origem e mudanca de base, de tal forma que no novo sistemaa superfıcie quadrica fica com a cara apresentada nessa famılia.

As rotacoes tem como analogo tridimensional (e mesmo n−dimensional) as chama-das transformacoes ortogonais, que sao matrizes que levam base ortonormal em base or-tonormal. O processo algebrico envolvido na parte da mudanca de base segue sendo en-contrar a “forma diagonal” das formas quadraticas Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz,ou seja, encontrar constantes A′, B′ e C ′ tais que no novo referencial a equacao se es-creva

A′x′2 +B′y′2 + C ′z′2.

Numa segunda etapa, a translacao, que e mutatis mutandis o que e feito em di-

153

mensao 2, consegue simplificar a parte dos termos de grau 1 (modificando tambem otermo de grau zero) sempre que isso for possıvel (ou seja, elimina-os quando A′, B′ eC ′ sao todos nao nulos mas nao consegue faze-lo se um deles e nulo).

Enfim, o que ocorre e que as situacoes possıveis sao essencialmente (a menos demudanca de coordenadas) as que seguem abaixo, excluindo os conjuntos que ja co-nhecemos: vazio, um unico ponto, um unico plano (com multiplicidade 2) ou par deplanos.

Observacao 20. A interpretacao das equacoes e sua correspondencia com os nomespode ficar bastante facilitada se nos concentramos na seguinte pergunta: como sao asinterseccoes da quadrica em questao com os planos paralelos aos planos coordenados?Tentaremos no que segue responder a esta questao em cada um dos casos.

Elipsoides

A famılia dos elipsoides e dada pelas equacoes da forma

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1,

onde a, b, c sao constantes nao nulas.Note que desta forma as interseccoes com os planos da forma x = K, y = K ou

z = K (onde K e constante) sao sempre o conjunto vazio, um ponto ou uma elipse.De fato, facamos a analise para o caso z = K, e deixamos para o leitor o caso em quex = K ou y = K.

Se um ponto P = (x, y, z) esta na interseccao de z = K com o elipsoide descrito

pela equacao acima, entao x e y satisfazemx2

a2+y2

b2= 1−K

2

c2. Ora, se |K| < c, entao a

constante do lado direito da equacao e positiva, e dividindo ambos os lados da equacaopor tal constante, obtemos uma equacao de elipse. Se K = ±c, entao a constante dolado direito e nula, e portanto x = y = 0, representando assim um ponto (os verticesdo elipsoide sobre o eixo z). Por fim, se |K| > c, entao tal constante fica negativa e ainterseccao passa a ser o conjunto vazio.

154

Acima vemos uma figura do elipsoide

x2

4+y2

9+ z2 = 1.

Hiperboloides e o cone elıptico

Aqueles que nao tem muito interesse nas “loucuras” matematicas da autora destasnotas podem ignorar esse paragrafo e pularem para as subsecoes que seguem. Exis-tem duas famılias de hiperboloides e elas sao separadas, em certo sentido, pelo coneelıptico. De fato, poderıamos pensar numa famılia de hiperboloides indexadas por umparametro T ∈ R da seguinte forma: todos se escrevem como

x2

a2+y2

b2− z2

c2= T.

Quando T = 1 (ou mais geralmente, renomeando constantes, quando T > 0, temos oshiperboloides de uma folha. Quando T = 0, temos o cone elıptico e quando T = −1(ou, renomeando constantes, quando T < 0) temos o hiperboloide de duas folhas. Para

155

fins didaticos, separamos em cada um dos casos, talvez nao da maneira mais naturalsob o ponto de vista matematico.

Hiperboloide de uma folha

A famılia dos hiperboloides de uma folha e constituıda pelas solucoes das equacoescom a forma

x2

a2+y2

b2− z2

c2= 1.

Fica como exercıcio para o leitor se convencer que:

Interseccoes com os planos z =constante sao sempre elipses, sendo que a menordelas acontece em z = 0 e seus tamanhos crescem indefinidamente quando aconstante cresce em modulo.

Interseccoes com os planos da forma x =constante sao hiperboles, ou um parde retas. Precisamente, se x = ±a, tem-se o par de retas assıntotas para todas ashiperboles que aparecem nos demais planos. Quando a constante K e menor, emmodulo, que a, entao temos hiperboles com focos sobre a reta {x = K, y = t, z =0, t ∈ R, que e paralela ao eixo y. Quando |K| > a, entao temos hiperboles comfocos sobre a reta {x = K, y = 0, z = t, t ∈ R}, que e paralela ao eixo z.

Interseccoes com os planos da forma y =constante sao analogas as vistas no itemanterior, apenas trocando x por y.

A seguir vemos uma figura do hiperboloide de uma folha dado pela equacao

x2

9+y2

4− z2 = 1.

156

Hiperboloides de duas folhas

Sao dados pelas equacoes com a forma

z2

c2− x2

a2− y2

b2= 1,

onde novamente a, b, c sao constantes nao nulas. Neste caso, as interseccoes com osplanos z =constante sao vazias se esta constante e menor que c, em modulo, sao apenasum ponto se a constante e ±c e sao elipses nos demais casos (reflita!). Alem disso, asinterseccoes com os planos x =constante e y =consntante sao sempre hiperboles comfocos sobre uma reta paralela ao eixo z.

A seguir vemos uma figura do hiperboloide de duas folhas dado pela equacao

z2 − x2

4− y2

9= 1

157

Cone elıptico

O cone elıptico e o analogo ao cone circular reto que conhecemos usualmente, com adiferenca que seus cortes paralelos ao plano z = 0 nao sao cırculos, e sim elipses. Suaequacao tem a cara

z2 =x2

a2+y2

b2.

Paraboloides

Como o proprio nome ja sugere, temos nesta famılia algumas superfıcies cujos cortescom planos paralelos aos planos coordenados sao parabolas. Para facilitar a visua-lizacao, imaginamos que tais parabolas tem vertice e foco sobre retas paralelas ao eixoz. Desta forma, dividimos os paraboloides em duas subfamılias, como vemos a seguir.

158

Paraboloide elıptico

Os paraboloides elıpticos tem como equacao

z =x2

a2+y2

b2.

Note que e evidente, assim, que se K e uma constante, a interseccao de z = K com oparaboloide elıptico e:

O conjunto vazio se K < 0.

Um ponto se K = 0.

Uma elipse se K > 0.

Alem disso, os cortes com os planos de equacao x =constante sao parabolas “sempreiguais” (apenas transladadas para cima e ao longo do eixo x); um analogo acontecepara y =constante.

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Paraboloide hiperbolico

As interseccoes do paraboloide hiperbolico com os planos z =constante sao hiperboles(ou um par de suas assıntotas). Deste modo, e facil imaginar que sua equacao deveser da forma

z =x2

a2− y2

b2.

O que acontece e que dependendo se estamos olhando para baixo ou para cima dez = 0 as hiperboles tem focos sobre uma reta paralela ao eixo y ou x, respectivamente.

Na figura a seguir vemos o paraboloide hiperbolico de equacao

z = x2 − y2.

Os cortes com os planos da forma x =constantes sao parabolas, todas iguais (emboratransladadas), voltadas para cima. Ja os cortes com os planos y =constante saoparabolas, novamente todas iguais e transladadas, mas voltadas para baixo.

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13.1 Cilindros sobre conicas

Note que as equacoes de grau 2 apenas nas variaveis x e y sao caso particular dasequacoes de grau 2 em x, y e z, no entanto neste caso a variavel z esta livre. Con-siderar equacoes deste tipo gera o que chamamos de cilindros. Intuitivamente, sao o“empilhamento” (vertical) de infinitas copias da mesma figura.

Por exemplo, a equacao x2 + y2 = 1 gera o famoso cilindro circular de raio 1. Jaalgo como x2 − y2 = 1 gera um cilindro sobre uma hiperbole; a equacao y = x2, porsua vez, e um cilindro sobre uma parabola.

Fica como exercıcio para o leitor imaginar como sao as interseccoes com os planoscoordenados neste caso, mas ja avisamos que nao sao tao “emocionantes” quanto oscasos anteriores.

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