AULA 3

Vetores no Espaço (IR3): tratamento algébrico e representação

gráfica

Vetores no espaço (IR3):

Todo o estudo realizado com vetores no plano (IR2) vale de forma

análoga no espaço (IR3), considerando-se algumas adequações necessárias.

Base canônica:

Trata-se do conjunto kji ,, , cujos vetores tem coordenadas de

origem em ( 0, 0, 0 ) e extremidades em 0,0,1i , 0,1,0j ,

1,0,0k e estes vetores dão orientação ao conhecido sistema cartesiano

ortogonal Oxyz.

Os eixos do sistema cartesiano do espaço são denominados: OX: eixo

das abscissas, OY: eixo das ordenadas e OZ: eixo das cotas, conforme abaixo:

Desta maneira, um vetor no espaço é uma tripla ordenada (x , y , z) de

números reais.

x

y

z

i

j

k

Exemplo:

1) implica em escrever

P’: projeção de P no plano xOy

P’(2 , 4 , 0)

C: projeção de P no plano yOz

C(0 , 4 , 3)

E: projeção de P no plano xOz

E(2 , 0 , 3)

A: projeção de P em x

A(2 , 0 , 0)

B: projeção de P em y

B(0 , 4 , 0)

D: projeção de P em z

D(0 , 0 , 3)

O

x

y

z

i

j

k

A

D

B

2

3

4

P'

C

E

P

2

1

Para desenhar um vetor no IR3, não é necessário traçar todos os

segmentos que traçamos no exemplo acima. Veja outros exemplos:

2) ou

3) ou

O

x

y

z

i

j

k

2

3

4

2

1

v

O

x

y

z

i

j

k

2

3

4

2

1

v

Pontos particulares no espaço

Conforme o gráfico acima, podemos concluir que pontos posicionados nos

eixos cartesianos têm duas de suas coordenadas iguais a zero. A coordenada

não nula é aquela do eixo onde o ponto está fixado.

Já os pontos que estão posicionados nos planos coordenados, tem uma de

suas coordenadas nula. A coordenada nula é aquela cujo eixo não faz parte do

plano coordenado.

No Plano cartesiano XOY , o plano é dividido em 4 sub-planos, chamados

quadrantes, por meio dos eixos OX e OY. No Espaço Cartesiano OXYZ, o

espaço está dividido em 08 sub-espaços, chamados octantes, por meio dos

planos cartesianos XOY, XOZ e YOZ, conforme figura abaixo:

Além disso, abaixo segue as coordenadas dos pontos A, B, C, D, que estão

situados acima do plano XOY, e com cota igual a 2, isto é, a coordenada z é 2

e é positiva. Já os pontos A’ , B’ , C’, e D’ estão abaixo do plano XOY e tem

cota -2 (negativa). Analise a figura abaixo:

Analise a figura abaixo:

Operações com Vetores no espaço: igualdade, adição,

multiplicação por escalar, vetor definido por dois pontos

Dados os vetores 111 z,y,xu e 222 z,y,xv e IR,

definimos:

Igualdade de vetores:

u = v se e somente se x1 = x2; y1 = y2 e z1 = z2.

Operações com vetores:

i) 212121 zz,yy,xxvu

ii) 111111 z,y,xz,y,xu

iii) QuP , que são as coordenadas de um ponto

Vetor definido por dois pontos:

Sendo A(x1 , y1 , z1) a origem de um vetor e B(x2 , y2 , z2) a sua

extremidade, e se ABv , temos:

121212 zz,yy,xxABABv

Ponto médio:

Seja o segmento de extremos A(x1 , y1 , z1) e B(x2 , y2 , z2). Sendo M(x ,

y , z) o ponto médio de AB, temos:

2

zz,

2

yy,

2

xxM 212121

Exemplo: Seja o triângulo de vértices A(4 , -1 , -2); B(2 , 5 , -6) e C(1 , -1 , -2).

Calcule as coordenadas do vetor que representa a mediana relativa ao lado

AB.

Resolução:

A mediana relativa ao lado AB do triângulo pode ser representada pelo vetor

CM (ou pelo vetor MC ), onde M é o ponto médio de AB:

4,2,32

62,

2

51,

2

24

2

zz,

2

yy,

2

xxM 212121

Logo, 2,3,22,1,14,2,3CMCM

Exercícios resolvidos:

1) Dados os pontos A(3 , -4 , -2) e B(-2 , 1 , 0), determinar o ponto N

pertencente ao segmento AB tal que AB5

2AN .

Resolução:

AB5

2AN

AB5

2AN

2,5,55

22,4,3N

5

4,2,22,4,3N

5

4,2,22,4,3N

5

6,2,1N

x

y

x x

y

y

1

1

2

2 B

A

M

A B

C

M

2) Sendo A(2 , -5 , 3); B(7 , 3 , -1) e C(6 , -1 , 3) vértices consecutivos de um

paralelogramo ABCD, determine o vértice D.

Resolução:

DCAB (ou ADBC ): mesma direção, mesmo sentido e mesmo

comprimento

B – A = C – D

(7 , 3 , -1) – (2 , -5 , 3) = (6 , -1 , 3) – D

D = (6 , -1 , 3) – (7 , 3 , -1) + (2 , -5 , 3)

Logo, D(1 , -9 , 7)

3) Sendo A(-2 , 1 , 3) e B(6 , -7 , 1) extremidades de um segmento,

determinar os pontos C, D e E, nesta ordem, que dividem o segmento AB

em quatro partes de mesmo comprimento.

Resolução:

2

1,2,22,8,8

4

1AB

4

1AB

4

1EBDECDAC

2

1,2,2AC

C – A =

2

1,2,2

C =

2

1,2,2 + (-2 , 1 , 3)

C

2

5,1,0

D C

B A

A E D B C

2

1,2,2CD

D – C =

2

1,2,2

D =

2

1,2,2 +

2

5,1,0

D 2,3,2

2

1,2,2DE

E – D =

2

1,2,2

E =

2

1,2,2 + 2,3,2

E

2

3,5,4

4) Dados os pontos A(0 , 1 , -1) e B(1 , 2 , -1) e os vetores ,

e , verifique se existem números a, b e c,

tais que

Resolução:

OU AINDA,

OU AINDA,

Os dois vetores são iguais somente, quando:

Resolvendo o sistema linear acima, temos: a = 3; b = 1 ; e c = -1

Assim, o vetor é

Exercícios propostos: