Vetores no RVetores no R22

Produzido pelo Prof. Dr. Luiz Francisco da Cruz

Março - 2009

Vetores no R2

PLANO

x

y

(+)

(+)

(-)

(-)

O

P(x,y)

x

yP(x,y)

v

v

Expressão Cartesiana de um vetor

x

y

x

y

v

O

P

x i

y j

y

j

i

Sejam i e j vetores unitários do R2 , ou seja, | i | = | j |=1

v = xi + yj

Módulo

Cossenos Diretores:

Podemos identificar um vetor com um ponto, ou seja, v = (x,y).

Exemplo: Representar os vetores v = 4 i – 3 j e u = i + 5 j e determinar o seus módulos.

v = 4 i – 3 j = (4,-3)

u = i + 5 j = (1,5)

x

y

1

5

u

4

-3

v

Operações com vetores na forma cartesiana

1. Adição: Sejam v = x1i + y1j e u = x2i + y2j

v + u = x1i + y1j + x2i + y2j = (x1 + x2) i+(y1+ y2) j

v + u = (x1 + x2 ,y1+ y2)

2. Subtração: Sejam v = x1i + y1j e u = x2i + y2j

v - u = x1i + y1j - x2i + y2j = (x1 - x2) i+(y1- y2) j

v - u = (x1 - x2 ,y1 - y2)

3. Produto por escalar: Sejam v = xi + yj e mR

m·v = m·(xi + yj) m·v = mx i + my j m·v = (mx,my)

Exemplo: Sejam os vetores u = 5i + 2j , v = i + 3j e w = -2i

a) Determine o vetor a = u + v . Faça uma representação.b) Determine o módulo do vetor b = u – 2v + 3w

a) u = (5,2) , v = (1,3) e w = (-2,0)

a = u + v = (5,2) + (1,3) = (5+1,2+3) a = (6,5)

x

y5

6

3

1

v 2

5u

a

b) b = u – 2v + 3w = (5,2)-2(1,3)+3(-2,0) = (5-2-6,2-6+0)

b = (-3,-4)

Exemplo: Representar o vetor AB, onde A(4,2) e B(6,5).

AB = B-A = (6,5)-(4,2)

AB = (2,3)

x

y

2

4

A

5

6

B

2

3

AB

AB

Versor de um vetor: Dado um vetor v , o seu versor, denotado por vo

é um vetor unitário, ou seja, | vo | = 1, de mesma direção e sentido de v , definido por:

v

vo

Exemplos:

1) Determine um vetor paralelo ao vetor que tenha módulo

Igual a .

2) Dados os pontos A(-2,3), B(3,0) e C(2,2), determine o versor do

vetor