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VETORES
Definio
Ente matemtico representado por um segmento
de reta orientado:
A
Elementos
Direo:
Reta r suporte onde o vetor traado
Sentido:
Lado sobre a reta r para o qual o vetor aponta
Mdulo:
Valor numrico associado ao vetor
Ponto de aplicao:
Local inicial o vetor
Exemplo
Observe o vetor:
Direo: horizontal
Sentido: para direita
Mdulo: 12,92 cm
Aplicao: Objeto O
12,92 cm
Componentes dos Vetores
Se os vetores estiverem inclinados, faz-se a
projeo dos mesmos sobre eixos horizontais
e verticais:
A
A
xA
yAA
Valores das Componentes
Componente Horizontal
Componente Vertical
senVVy
cosVVx
Depois de calcular as componentes de um
vetor, pode-se escrev-lo em termos delas, por
meio da expresso:
Expresso de um Vetor
jViVV yx
ExemploDado o vetor abaixo, determinar:
(a) suas componentes ortogonais
(b) sua expresso vetorial.
(a) suas componentesN 100V
30
N5030sen100
sen
N6,8630cos100
cos
y
y
x
x
V
VV
V
VV
(b) sua expresso
N 506,86
jiV
jViVV yx
Adio de Vetores
Pode ser feita de trs modos:
regra do polgono
regra do paralelogramo
regra das componentes
Regra do polgono
Os vetores so unidos de modo que o vetor
seguinte esteja conectado extremidade do
vetor anterior;
O vetor soma inicia-se junto ao primeiro e
termina junto ao ltimo vetor.
A
B
C
ExemploDados os vetores a seguir, determine a soma:
A
B
C
S
CBAS
Regra do Paralelogramo
Os vetores so iniciados a partir de um
ponto comum;
Da extremidade de cada vetor se traa uma
linha paralela ao outro vetor;
O vetor soma inicia no ponto comum e
termina onde as paralelas se encontram
A
B
ExemploDados os vetores a seguir, determine a soma:
A
B
S
BAS
Regra das Componentes
Decompor o vetor nas componentes horizontal e
vertical;
Efetuar a soma das componentes, separadamente.
ExemploDados os vetores a seguir, determine a soma:
A B
C
CBAS
Soluo:
Somar as componentes:
Escrever cada vetor na
forma das componentes:
jiC
jiB
jiA
2
22
32
jiS
jiC
jiB
jiA
35
2
22
32
Representar o vetor soma:
S
Mdulo de um Vetor
Dado o vetor:
S
Seu mdulo ser dado aplicando-se o
Teorema de Pitgoras:
222 jSiSS yx
Seja o Vetor S, representado a seguir. Qual seu mdulo?
Exemplo
S
Soluo:
uS
S
jSiSS yx
83,534
92535
222
222
Produto Vetorial
Pode ocorrer de trs modos distintos:
produto de vetor por escalar
produto escalar entre vetores
produto vetorial entre vetores
Produto por escalar
Quando se multiplica um vetor por uma
grandeza escalar qualquer:
vkm
.
B
ExemploDetermine o produto:
B
BP
3
B
B
P
Produto escalar
Quando se multiplica um vetor por outro
vetor e se obtm uma grandeza escalar, tal
como o trabalho:
BAP
.Que tem como mdulo:
cos..BAP
ExemploDados os vetores a seguir, determine seu produto escalar:
A
B
45
14
4
67,5
4444 22
arctgarctgiA
jAarctg
uA
AjiA
x
y
uP
BAP
BAP
02,12
45cos.3.67,5cos..
.
Produto Vetorial
Quando se multiplica um vetor por outro
vetor e se obtm novo vetor, tal como o torque:
BAP
Que tem como mdulo:
sen..BAP
ExemploDados os vetores a seguir, determine seu produto vetorial:
A
B
45
14
4
67,5
4444 22
arctgarctgiA
jAarctg
uA
AjiA
x
y
uP
BAP
BAP
02,12
45sen.3.67,5sen..
.