FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE

CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO CÁLCULO II

APONTAMENTOS SOBRE FUNÇÕES DE VÁRIAS VÁRIAVEIS REAIS E DERIVADAS PARCIAIS

PROFESSOR: MARCOS AGUIAR

I. FUNÇÕES DE VÁRIAS VÁRIAVEIS REAIS

1. FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS REAIS

DEFINIÇÃO.

Seja D um conjunto de pares ordenados de números reais. Uma função que a cada par , de D associa um único número real, denotado por , é uma função de duas

variáveis. O conjunto D é o domínio de . O contradomínio de consiste em todos números reais , com em D.

Podemos representar o domínio D por pontos em um plano – xy e o contradomínio por pontos de uma reta real, digamos um eixo – w conforme figura abaixo.

figura. 1

1

Exemplo. Seja .

a) Esboce o domínio D de .b) Represente os números em um conforme figura 1.

Solução: Domínio isto é,

O gráfico de D é o conjunto de todos os pontos que estão acima da parábola conforme figura abaixo.

b) Por substituição em obtemos:

2. FUNÇÕES DE TRÊS VARIÁVEIS REAIS

2

DEFINIÇÃO.

Uma função de três variáveis reais tem definição semelhante a definição da função de duas variáveis, com a diferença que o domínio D é agora um subconjunto de . Neste caso a cada terno ordenado em D está associado exatamente um número real no eixo - , conforme figura 2.

figura 2

Geralmente as funções de três variáveis são definidas por expressões. Por exemplo,

, define uma função de . Como podemos usar

fórmulas como .O gráfico de é por definição, o gráfico da equação em um sistema coordenado e é, em geral, uma superfície de algum tipo. Representando o domínio D por uma região do plano - , então o par em D é representado pelo ponto . Os valores funcionais são as distâncias ( com sinal ) do plano - a , conforme ilustra a figura 3.

figura 3.

Exemplo. Seja a função com o domínio dado por.

3

, esboce o gráfico de e exiba os traços nos planos Solução. O domínio D pode ser representado por todos os pontos do círculo , inclusive sua circunferência, no plano - . O gráfico de é a porção do gráfico de

( um parabolóide ) que está no plano - ou acima dele.

Para achar o traço no plano , consideremos

ou , fazendo , obtemos os círculos de raios , respectivamente exibidos na figura acima.

Seja uma função de duas variáveis e consideremos o traço do gráfico de no plano ,ilustrado na figura 4. Projetando este traço no plano - , obtemos uma curva C de equação

Note que um ponto se move ao longo de C, os valores funcionais correspondentes são sempre iguais a . C é chamado de curva de nível de .

figura 4Exercícios.

Descreva o domínio de f e ache os valores funcionais indicados

4

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

II. LIMITE E CONTINUIDADE.

Suponha que uma chapa metálica plana tenha a forma da região D da figura 5. A cada ponto da chapa corresponde uma temperatura que é registrada em um termômetro

representado pelo . Quando o ponto se move na chapa, a temperatura pode aumentar, diminuir ou permanecer constante; portanto, o ponto do que corresponde a

se moverá numa direção positiva, ou numa direção negativa, ou permanecerá fixo,

respectivamente. Se a temperatura se aproxima de um valor fixo L quando se

aproxima de um ponto fixo , utilizaremos a seguinte notação.

( I )

Lê-se: O limite de , quando tende para , é L

figura 5.Para dar precisão matemática a ( I ) procedemos assim. Para arbitrário, consideremos o intervalo aberto no conforme ilustrado na figura 6. Se ( I ) é verdadeira,

existe um tal que para todo ponto interior ao círculo de raio com o centro em

5

, exceto possivelmente o próprio , o valor funcional está no intervalo

.

figura 6.Isto equivale a afirmação:

, então

DEFINIÇÃO.

Seja uma função de duas variáveis definida em todo o interior de um círculo de centro , exceto possivelmente no próprio . A afirmação

significa que, para todo , existe um tal que

,

Consideremos o gráfico S da figura 7. Intuitivamente, quando o ponto no plano - , o

ponto correspondente em S se aproxima de ( que pode estar ou não em S). Pode-se mostrar que o limite existe , ele é único.

figura 7.Exercícios.

6

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10.

III. DERIVADAS PARCIAIS

DEFINIÇÃO.

Seja uma função de duas variáveis. As derivadas parciais primeiras de em relação a e a são as funções tais que.

1. NOTAÇÕES PARA DERIVADAS PARCIAIS

Se , então

,

Exemplo.

7

Ache as derivadas parciais primeiras de .

a)

b)

c)

Solução.

a)

b)

c)

2. DERIVADAS PARCIAIS SEGUNDAS

Exercícios.

I. Ache as derivadas parciais primeiras de

1. 2. 3.

4. 5. 6.

8

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17.

18.

II. Verifique que

19. 20. 21.

22. 23. 24.

25. 26.

27. Se 28. Se

29. Se 30. Se

31. Se

32. Se

III. Uma função é harmônica se , em todo domínio de . Prove que a

função dada nas questões 33, 34, 35 e 36 é harmônica.

33. 34. 35.

36.

37. Se

38. Se

39. Se para todo número real c40. A lei dos gases ideais pode ser enunciada como , em que n é o número de

moléculas do gás, V é o volume, T é a temperatura, P é a pressão e K é uma constante.

Mostre que

IV. Mostre que satisfaz a equação da onda, .

41. 41.

9

V. Mostre que as funções verificam as equações de Cauchy – Riemann .

43. 44.

45.

46.

47. Escreva todas as derivadas parciais possíveis de

48. Se defina como um limite.

49. Uma chapa de metal plana jaz em um plano – xy, de modo que a temperatura T em seja

dada por , em que T é expresso em graus e x e y em centímetros. Ache a

taxa instantânea de variação de T em relação à distância em na direção doa) eixo – x b) eixo – y

3. DIFERENCIAIS

DEFINIÇÃO.

Seja e sejam incrementos de , respectivamente.

(i) As diferenciais das variáveis dependentes são.

(ii) A diferencial da variável dependente é.

Exemplo.

Suponha que as dimensões ( em centímetros ) de uma caixa retangular variem de 9, 6 e 4 para 9,02, 5,97 e 4,01, respectivamente.

a) Obtenha, por meio de diferenciais, uma aproximação da variação do volume.b) Ache a variação exata do volume.

Solução: a) para o volume de uma caixa retangular de dimensões x, y e z

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Como, , obtemos:

Assim o volume diminui de aproximadamente

c) A variação exata do volume é.

Exercícios.

I. Calcule

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

II. Dadas as equações determine

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

m) n)

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o) p)

q) r)

s) t)

u)

v)

w)

x)

III Por meio de diferenciais, aproxime a variação de para as variações indicadas nas variáveis independentes

1.

2.

3.

4.

IV. Resolvas os problemas:

1. As dimensões de uma caixa retangular fechada são , com erro possível de em cada medida. Por meio de diferenciais aproxime o erro máximo no valor calculado

da área da superfície e do volume

2. Medem-se os dois lados menores de um triângulo retângulo, obtendo-se 3 cm e 4 cm, respectivamente, com erro possível de em cada medida. Por meio de diferenciais, obtenha uma aproximação do erro máximo no valor calculado (a) da hipotenusa, (b) da área do triângulo

3. A resistência à retirada de um prego indica sua força de adesão a madeira. Uma formula empírica para os pregos comuns é , em que P é a resistência à retirada máxima em kg, S é a gravidade especifica da madeira a 12 % de umidade, R é o raio do prego ( em cm ) e D é a profundidade ( em cm ) da penetração do prego na madeira. Um prego CD comum de 5 cm de comprimento e 0,28 cm de diâmetro é completamente introduzido em um pedaço de abeto Douglas, cuja gravidade específica é 0,54.a) Aproxime a resistência máxima à retirada. ( nas aplicações, apenas um sexto dessa resistência é considerado seguro, para longos períodos de tempo.)b) Quando os pregos são fabricados, R e D podem variar por , e a gravidade específica de diferentes amostras de abeto Douglas pode variar . Obtenha uma aproximação do erro percentual máximo no valor calculado de P.

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4. A resistência total de três resistores , ligados em paralelo, é dado por

. Se as medidas de são 120, 220 e 320 ohms, respectivamente, com

erro máximo de em cada medida, aproxime o erro máximo no valor calculado de

5. a gravidade específica de um objeto mais denso que a água é dada por , em que A e W são os pesos ( em libras ) do objeto no ar e na água, respectivamente. Se as medidas são

e , com erros máximos de no ar e na água, qual é o erro

máximo no valor calculado de s?

4. REGRAS DA CADEIA

Sejaa funções de duas variáveis tais que, , com .

Se para cada par em um sub conjunto D de o par correspondente estiver no

domínio de , então. , define como uma função composta de com domínio D.

Por exemplo, se. , com então

Teorema, cada uma das enunciadas neste teorema é chamada regra da cadeia.

Se são diferenciáveis, então.

4. DIAGRAMA DA ÁRVORE

É um dispositivo para rememorar as regras da cadeia

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Podemos aplicar o diagrama da árvore a funções compostas de um número arbitrário de variáveis e construir diagramas em árvores, não mais escreveremos símbolos de derivadas parciais nos ramos. Fica entendido se um ramo leva de uma variável a outra variável como na figura 8 a

derivada parcial é . Todavia se é função de uma única variável , então escrevemos no

lugar de .

Se quisermos achar tomaremos os pares de produtos de derivadas

parciais que levam de , como segue:

Exemplo:

Use a regra da cadeia para achar se:

Solução:

Construímos o diagrama da árvore.

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5. DERVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES IMPLICITAS

Uma equação define uma função diferenciável tal que , isto é,

para todo no domínio D de . As derivadas parciais podem ser usadas para achar derivadas de funções definidas implicitamente.

Dada a seguinte função composta F,

. Isto nos leva a diagrama da árvore abaixo. Com uma regra da cadeia, e em vista do fato de que são funções de uma variável temos:

. (1)

Como para todo ,segue-se que . Além disso, como

, .

Substituindo em ( 1 ) temos :

Se , como , podemos escrever;

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TEOREMA

( i ) Se uma equação define, implicitamente, uma

função diferenciável de uma variável tal que , então.

( ii) Se uma equação define, implicitamente, uma

função diferenciável de duas variáveis tal que

, para todo no domínio de , então.

,

EXERCÍCIOS:

I. Use a regra da cadeia para calcular

II. Calcule

III. Calcule

16

IV. Calcule

V. Calcule

VI. Calcule utilizando derivadas parciais

VII. Calcule é definida implicitamente pela equação dada

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23. Se têm derivadas parciais segundas, mostre que satisfaz a

equação da onda

24. Se , em que , mostre que,

25. Se , em que , mostre que,

26. Se , em que , mostre que,

REFERENCIA BIBLIOGRAFICA:

SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. v. II.São Paulo: Makron Books do Brasil, 1994. ANTON HOWARD. Cálculo um novo horizonte volume II 6ª ed.- Porto Alegre Bookman 2000

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