Vibrações em Sistemas Mecânicos - xa.yimg.comxa.yimg.com/kq/groups/24707830/1100584381/name/Apostila_VM_Parte_1.pdf · de usinagem, tornos CNC, retificadoras de precisão, etc.,

. . . . . . . . . .

Notas de aulas

Vibrações em SistemasMecânicos

Prof. Dr. Airton NabarreteCentro Universitário da FEI

4ª Edição – 2005

0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000

Freq (Hz)

10-3

10-2

10-1

100

101

De

slo

cam

en

to(m

m)

Node(1) EC / EF = 0.0015Node(1) EC / EF = 0.015Node(1) EC / EF = 0.15

0 0.25 0.5 0.75 1

Tempo [s]

-100

-50

0

50

100

De

slo

cam

en

to[m

m]

Vibrações

Prof. Airton Nabarrete Pag. 1

1. INTRODUÇÃO

Atualmente, muitos estudos são feitos com objetivo de motivar as aplicações das vibrações

em engenharia, como o projeto de máquinas, fundações, estruturas, motores, turbinas, sistemas

de controle etc. Problemas com vibração podem ocorrer devido ao desbalanceamento em

motores alternativos ou mesmo em qualquer sistema rotativo, porém o desbalanceamento

excessivo indica erros de projeto ou um processo de fabricação pobre. Em motores diesel, o

desbalanceamento pode provocar muito ruído em áreas urbanas. Nos motores a gasolina a

grande preocupação atual é a redução das vibrações para o aumento do conforto do condutor.

Na instalação de novas máquinas operatrizes na indústria metalúrgica, como exemplo, centros

de usinagem, tornos CNC, retificadoras de precisão, etc., há grande preocupação com a isolação

das vibrações de modo a não piorar a precisão das mesmas durante a sua utilização posterior.

Em muitas indústrias estas máquinas são instaladas na proximidade de máquinas geradoras de

vibração, como: prensas excêntricas, tesouras guilhotinas, etc.

Quando temos a freqüência natural do sistema mecânico coincidindo com a freqüência de

vibração devida a operação, temos o aparecimento da ressonância, que leva o sistema a

deslocamentos excessivos e até à ruptura de algumas partes. Por causa do efeito desastroso que

as vibrações podem causar às estruturas e às máquinas, testes de vibrações foram incluídos nas

normas e procedimentos de projeto e de verificação experimental nos diversos ramos da

engenharia.

1.1 Definição de vibração

Qualquer movimento que se repete depois de um intervalo de tempo é chamado de vibração

ou oscilação. A teoria das vibrações trata do estudo dos movimentos oscilatórios dos corpos e

das forças associadas aos mesmos.

Um sistema vibratório inclui um meio de armazenar energia potencial (mola ou

elasticidade dos materiais), um meio de armazenar energia cinética ( massa ou inércia ) e um

meio pelo qual a energia é dissipada (amortecedor ou atrito).

Vibrações


Sistema Massa-Mola

m

k

x x0

x

t

A vibração de um sistema ocorre pela transformação da energia potencial em energia

cinética e de energia cinética em potencial alternadamente. Se o sistema for amortecido, alguma

energia é dissipada em cada ciclo de vibração e precisa ser reposta por uma fonte externa se o

estado da vibração é para ser mantido.

1.2 Modelo Massa-Mola em Vibração Livre

Neste caso de vibração, o sistema é considerado como conservativo e, após ser fornecido

uma quantidade de energia inicial, o mesmo se movimenta eternamente, pois não há dissipação

de energia. No modelo simplificado da figura abaixo, m representa a massa e k a rigidez da

mola. Neste modelo percebemos a possibilidade do sistema oscilar na direção x em função da

elasticidade da mola ligada à massa. A direita temos o esquema de corpo livre com as forças

que atuam sobre o mesmo.

m k

x

+-

Nmg

- k x

Na vertical, as forças que agem sobre o corpo estão em equilíbrio. Na horizontal, se o corpo

de massa for deslocado para a direita, a força resultante promove a aceleração do corpo para a

esquerda.

22

2

1

2

1xkxmE

EEE

total

potcintotal

+=

+=

!

Vibrações


A equação dinâmica do sistema é :

( ) ( )txktxmxmf −=→=∑ !!!!

A equação obtida é uma equação diferencial de 2ª ordem. Reposicionando os termos, temos:

( ) ( ) 0=+ txktxm !!

Podemos utilizar o mesmo procedimento para a análise de um sistema torcional. Na figura

abaixo, kt representa a rigidez torcional do eixo vertical e J o momento de inércia da roda

inferior.

θ

kt

J

Efetuando a análise para o corpo livre da roda, teremos:

0=+→=∑ θθθ tt kJJM !!!!

A análise de vibrações tem por objetivo prever a resposta de movimento para o sistema

vibratório, portanto é desejável conhecer a resposta para estas equações diferenciais.

Felizmente, a solução da equação diferencial acima é bem conhecida dos cursos introdutórios

de cálculo e física.

Assim, a solução para a variável x(t) é :

( ) )cos( φω −= tAtx

A é a amplitude e representa o máximo valor da função x(t) ,

ω é a freqüência circular (expressa em rad/s), e

φ representa o ângulo de fase ou simplesmente fase .

A escolha da função coseno pode ter como alternativa a função seno, pois ambas são funções

que descrevem movimentos periódicos de oscilação.

A solução da equação diferencial indicada por x(t) é chamada de resposta livre, pois não

existem forças dinâmicas que provoquem a vibração do modelo massa-mola.

Vibrações


Consequentemente, a vibração livre acontece sempre com a mesma freqüência de vibração, a

qual é denominada de freqüência natural e recebe o índice n, ou seja, ωn .

Para verificar que x(t) é a solução procurada, deve-se derivar a mesma e substituir na

equação diferencial.

( ) ( ) nntAtx ωφω −−= sen!

( ) ( ) ( )txtAtx nnn22cos ωωφω −=−−=!!

Substituindo na equação diferencial, temos:

( ){ } ( ) ( ) 0)(0 22 =+−⇒=+− kmtxtxktxm nn ωω

Como x(t) não pode ser zero, ou seja, é o deslocamento medido na vibração, então:

m

kkm nn =⇒=+− ωω 02

Pela expressão acima, entendemos que a freqüência natural do modelo massa-mola é função

apenas da massa e da rigidez da mola. Analogamente, a freqüência natural do sistema torcional

é dada por :

J

ktn =ω

Na função x(t) ainda restam duas incógnitas, ou seja, A e φ . Para determiná-las é necessário

informar as condições de contorno que regem o problema diferencial. No caso da resposta livre

de vibração, condições de contorno estão representadas pelas condições iniciais do problema.

Como são duas incógnitas, necessitamos de conhecer duas condições iniciais. Portanto, fica

estabelecido que devemos conhecer o deslocamento inicial x0 e a velocidade inicial v0 da

vibração livre.

( ) ( ) ( )φφω −=−== cos0cos00 AAxx n

( ) ( ) ( )φωφωω −−=−−== sen0sen00 AAxv nnn!

Para resolver estas equações, tem-se:

( ) ( )( ) ( )

−=−=−

φφφφ

sensen

coscos

Vibrações


( ) ( )A

xAx 0

0 coscos =⇒= φφ

( ) ( )A

vAv

nn ω

φφω 00 sensen =⇒=

Utilizando relações trigonométricas, tem-se:

( )[ ] ( )[ ] 1sencos 22 =+ φφ

202

0

20

20 1

+=⇒=

+

nn

vxA

A

v

A

x

ωω

( )( )

=⇒=

0

0

0

0

cos

sen

x

varctg

x

v

nn ωφ

ωφφ

O quadro abaixo resume o movimento vibratório do modelo massa-mola.

Movimento Harmônico Simples – Sumário

x0

Amplitude, A

+

Período, T

tempo, t

Deslocamento, x(t)

-

v0 = tg(θ)

θ

2πω

( )

−

+=

0

02

020 cos

x

varctgt

vxtx

nn

n ωω

ω

inicialtodeslocamenx =0 inicialvelocidadev =0

Vibrações


1.3 Movimento Harmônico

Se depois de um intervalo de tempo o movimento é repetido, o mesmo é chamado de

movimento periódico. O tipo mais simples de movimento periódico é o movimento harmônico.

O movimento do mecanismo mostrado na figura acima é um exemplo de um movimento

harmônico simples. Quando a roda gira com uma velocidade angular ω, a extremidade S do

elemento Q é deslocada de sua posição central de uma quantidade x dada por :

( ) ( )tAAx ωθ sensen ==

A velocidade no ponto S é dada por : ( ) ( )tAdt

dxtx ωω cos==!

E a aceleração por : ( ) ( ) ( )txtAdt

xdtx 22

2

2

sen ωωω −=−==!!

Pode ser visto que a aceleração é proporcional ao deslocamento.

Vibrações


O movimento harmônico pode ser representado convenientemente por meio de um vetor

posição OP de magnitude A girando a uma velocidade angular ω.

Na figura acima, as projeções do vetor posição OPX ="

no eixo vertical e no eixo horizontal

são dadas por : ( )tAy ωsen= e ( )tAx ωcos= .

O vetor X"

pode ser representado no espaço cartesiano e também no espaço complexo:

ibaX +="

onde, 1−=i

a e b são as componentes real e imaginária do vetor X"

.

A representa o módulo do vetor e φ o argumento ou ângulo entre o vetor e o eixo real (eixo

horizontal). Utilizando as relações trigonométricas, escreve-se:

( )φcosAa = , ( )φsenAb = , 22 baA += e

=

a

barctgφ

Portanto, ( ) ( )φφ sencos AiAX +="

Das relações dos números complexos, obtém-se:

φ

A

Imag

ReO

b

a

y =

A s

en(ω

t)

O

A

P

π 2π 3π

T

θ

y

θ=ωtω

A

P

O x

y

Vibrações


( ) ( )[ ] tii eAeAiA ωφφφ ==+ sencos

Utilizando λ como uma constante diferente de zero, escreve-se:

tti AeAeXi λωλω ==→="

A diferenciação do vetor posição X"

no tempo gera :

( ) XeAeAdt

dX tt

"!" λλ λλ === ( ) XeAeAdt

dX tt

"!!" 22 λλλ λλ ===

Estas quantidades são mostradas na figura abaixo como vetores rotativos. Observa-se que o

vetor aceleração está defasado de 90o em relação ao vetor velocidade e este último está defasado

de 90o em relação ao vetor deslocamento.

Na figura, observa-se que o deslocamento é obtido pela função:

( ) ( )tAtx ωsen=

Assim, pode-se dizer que somente a parte imaginária do vetor X"

foi utilizado. Pode-se

utilizar a notação complexa na forma abaixo para representar o deslocamento, velocidade e

aceleração.

( ) ( ) ( )tAeAtx t ωλ senIm ==

( ) ( )

+==

2senIm

πωωλ λ tAeAtx t! ( ) ( ) ( )πωωλ λ +== tAeAtx t senIm 22!!

Vibrações


1.4 Amortecimento Viscoso

Em observações reais, percebemos que as oscilações livres em sistemas mecânicos se

reduzem ao longo do tempo até que sejam totalmente extintas, porém a resposta em

deslocamento obtida anteriormente pelo modelo massa-mola mostra que a oscilação ocorre

eternamente com a mesma amplitude. Portanto, o modelo massa-mola resolve apenas o

problema do cálculo de freqüências naturais. Para incluir o efeito do decaimento da amplitude

deve-se incluir, no modelo anterior, a energia dissipada pelo sistema durante as oscilações.

O amortecimento viscoso é a forma mais comum de incluir a dissipação de energia nos

sistemas mecânicos. A figura abaixo demonstra os componentes de um amortecedor de

automóvel. Neste caso, quando o êmbolo se desloca em relação à carcaça, o amortecimento

viscoso é resultante da passagem do óleo de uma câmara para a outra através de orifícios

estreitos.

O escoamento de óleo pelos orifícios do êmbolo na figura acima causa uma força de

amortecimento que é proporcional à velocidade do pistão, porém em direção oposta ao mesmo.

O novo modelo matemático tem a forma:

m

k

Nmg

- k x

x

+-

c- c x

.

Vibrações


A força de amortecimento é dada por:

( ) ( )txctFamort !−= onde: c = constante de amortecimento

A equação dinâmica do modelo da figura anterior é, portanto :

( ) ( ) xmtxctxk !!! =−−

Reposicionando os termos da equação acima, temos:

( ) ( ) ( ) 0=++ txktxctxm !!!

Esta equação diferencial tem solução homogênea que corresponde fisicamente a uma

resposta transiente de movimento, ou seja, não duradoura. A solução para a equação é:

teAx λ=

Substituindo na equação diferencial, temos:

( ) 02 =++ teAkcm λλλ

Como a constante A não pode ser nula, então:

02 =++ kcm λλ

As soluções possíveis para a expressão acima são descritas como:

m

k

m

c

m

c −

±−=

2

2,1 22λ

λ1 e λ2 podem ser reais ou complexos dependendo do resultado interno do radical na

equação. Para a solução geral da equação diferencial admite-se a expressão:

( ) tt ebeatx 21 λλ +=

Pela solução apresentada, pode-se concluir que se λ for real então o resultado para x(t) se

apresenta como uma função exponencial e não demonstra o comportamento de oscilações,

porém se λ for um número complexo, então o resultado de x(t) representa um movimento

harmônico como demonstrado anteriormente no item 1.3.

Vibrações


1.4.1 Fator de amortecimento

Para demonstrar a idéia utilizada para definir o fator de amortecimento, busca-se

inicialmente o resultado para o λ que descreva um movimento harmônico. O movimento

harmônico ocorre se o resultado interno da raiz for:

02

2

<−

m

k

m

c

Para obter uma solução, escreve-se o termo do radical da expressão de λ na forma:

( )222

21

22

−=−

−=−

m

c

m

ki

m

c

m

k

m

k

m

c

Por este procedimento, percebe-se que uma forma de verificar se a solução é harmônica, isto

é complexa, pode ser a comparação dos valores de k/m e (c/2m)2. Se (c/2m)2 for maior ou igual

a k/m não existe movimento harmônico. Um amortecimento crítico é definido como a constante

de amortecimento que resulta no radical nulo. Assim,

m

kmc

m

k

m

cc

c 202

2

=→=−

O fator de amortecimento é então definido como a relação entre o valor real da constante de

amortecimento e o valor do amortecimento crítico.

cc

c=ζ

Quando, ζ < 1, tem-se um movimento harmônico ou oscilatório como resultado. Na prática,

costuma-se orientar as faixas de valores para o fator de amortecimento que melhor atendem esta

ou aquela aplicação, independente do porte do sistema.

1.4.2 Sub-amortecimento ( ζζζζ < 1 )

Utilizando do fator de amortecimento, pode-se calcular :

nm

k

m

c ωζζ ==2

Vibrações


Aplicando este resultado, tem-se que :

( )222,1 nnn i ωζωωζλ −±−=

O radical se denomina freqüência natural amortecida, ou seja, ωa.

22,1 1 ζωωωζωλ −=→±−= naan i

A solução para o caso de sub-amortecimento é, então:

( )titit aan ebeaex ωωωζ −− +=

Aplicando as relações trigonométricas descritas no item 1.3 em conjunto com constantes

complexas A e B, na forma apresentada abaixo, tem-se a solução do problema:

( ) ( )( ) ( ) dicatite

dicatiteti

ti

−=−=

+=+=− ωω

ωωω

ω

sencos

sencos

( ) ( ) ( )[ ]tdtcebea aatiti aa ωωωω sen2cos2 −−=+ −

Os termos (-2c) e (-2d) são constantes reais. Como já demonstrado no item 1.3 a solução

final pode ser escrita na forma :

( ) ( )[ ]φωζω −= − tAetx atn cos

As constantes A e f são calculadas em função das condições iniciais que promovem a

oscilação amortecida, assim como no caso da vibração sem amortecimento anteriormente

descrita no item 1.2. Assim, conhecendo-se o deslocamento inicial x0 e a velocidade inicial v0 da

vibração livre tem-se:

2002

0

++=a

nxvxA

ωζω

e

+=0

00

x

xvarctg

a

n

ωζωφ

As equações acima podem ser melhor compreendidas se observarmos o gráfico de x(t). Este

tipo de gráfico é chamado de resposta temporal ou resposta no tempo. Na figura seguinte,

observa-se o gráfico de x(t) com um decaimento nas amplitudes da curva que representa a

vibração do sistema sub-amortecido, pois considera os valores: k=1 N/m, m=0.1 kg e

c=0.08 Ns/m .

Vibrações


Na figura, pode-se interpretar a redução de amplitude como sendo decorrente da energia

dissipada pelo amortecedor a cada ciclo.

1.4.3 Super-amortecimento ( ζζζζ > 1 )

Neste caso, admite-se que o resultado da raiz seja um número real, ou seja:

02

2

>−

m

k

m

c

Em função do fator de amortecimento, tem-se:

( ) 01 22 >− nωζ

A solução para este caso é:

tt nn

eBeAxωζζωζζ

−−−

−+−

+=11 22

1.4.4 Amortecimento Crítico ( ζζζζ = 1 )

O resultado da raiz é nulo, então a solução para este caso é:

( ) tneBAx ωζ−+=

A figura abaixo apresenta um gráfico comparativo do deslocamento de um sistema mecânico

com amortecimento crítico e com super-amortecimento. Considerou-se os valores: k=1 N/m,

Vibrações


m=0.1 kg e c=1.5 Ns/m . A constante de amortecimento crítico vale cc=0.632 Ns/m . Em

ambos os casos foi aplicado um golpe inicial de mesma intensidade. Pode-se notar que estas

soluções não representam oscilações harmônicas.

1.4.5 Variação na Equação Diferencial

A equação diferencial que representa o comportamento do sistema massa-mola-amortecedor,

pode ser escrita usando os valores de freqüência natural e fator de amortecimento. Para obter

esta nova expressão, basta dividir toda a equação pela massa m do sistema.

0=++ xm

kx

m

cx !!!

Assim, concluímos que:

( ) ( ) ( ) 02 2 =++ txtxtx nn ωζω !!!

1.5 Terminologia da Oscilação Harmônica

A terminologia utilizada na discussão de problemas de vibrações envolve algumas outras

quantidades que não foram discutidas.

Freqüência de oscilação : É o número de ciclos por unidade de tempo.

===== − Hzs

s

ciclos

ciclorad

srad

Tf 1

/

/

2

1

πω

Vibrações


Na expressão acima, o período de oscilação T é o tempo tomado para completar um ciclo

completo de movimento harmônico.

==

ciclo

s

srad

cicloradT

/

/2

ωπ

O Valor de pico em uma oscilação harmônica é o valor de máximo deslocamento da

vibração e está representado pela própria amplitude A. O deslocamento total da massa

(Deslocamento pico-a-pico) durante a vibração equivale a duas vezes a amplitude.

Outra quantidade útil para descrever as vibrações é o Valor Médio da oscilação. Este é

definido por :

( )∫∞→=

T

Tdttx

Tx

0

1lim

Como a energia potencial é calculada com base no quadrado do deslocamento, o Quadrado

do Valor Médio do deslocamento é útil em alguns problemas de vibração.

( )∫∞→=

T

Tdttx

Tx

0

22 1lim

A raiz quadrada deste valor é utilizada em muitos casos e é mais conhecida com o respectivo

nome no idioma inglês, ou seja, Root Mean Square (rms) .

Na análise de vibrações é comum, também, encontrar valores de deslocamento elevado em

determinadas freqüências e valores muito baixos em outras. Desta forma para representar os

deslocamentos como função da freqüência é necessário se utilizar de escalas logarítmicas.

Uma unidade muito utilizada tanto para valores de amplitudes como para valores rms é o

decibel (db) que é definido por :

2

2

1log10

=

x

xdB

Na expressão acima, x1 é o valor calculado ou medido e x2 é o valor de referência.

Vibrações


Grau de Liberdade é o número mínimo de coordenadas independentes (angulares ou

lineares) requeridas para determinar completamente as posições de todos os componentes de um

sistema dinâmico em qualquer instante de tempo. Na tabela abaixo, estão demonstrados alguns

modelos de sistemas mecânicos com as respectivas indicações dos graus de liberdade.

1.6 Exercícios

1) Encontre ζ e ωn para o sistema amortecido. Responda se o sistema é sub-amortecido,

super-amortecido ou amortecido criticamente. ( m = 1 kg; c = 2 kg/s; k = 10 N/m ).

2) Encontre a solução para a equação diferencial ( ) ( ) ( ) 04 =++ txtxtx !!! para x0 = 1 mm e

v0 = 0 mm/s. Desenvolva a solução utilizando o programa MathCAD ou MATLAB e

imprima o gráfico da solução em função do tempo.

3) Trace o gráfico do deslocamento de um sistema amortecido cuja freqüência natural é

igual a 2 Hz e as condições de contorno são x0 = 1 mm e v0 = 0 mm/s. Considere um

gráfico contendo várias curvas, sendo: ζ = 0.01, ζ = 0.2 e ζ = 0.6 . Utilize programas

como o MathCAD ou MATLAB.

Sistemas de1 grau deliberdade

k x

m

θ

kt

J

Sistemas de2 graus deliberdade

m2

k1 k2

x2

m1

x1 kt

θ1

J1 J2

θ2

Vibrações


2. MODELAGEM DE SISTEMAS MECÂNICOS

A descrição do movimento de determinado sistema físico por meio de um sistema de

equações é chamado de modelagem matemática do sistema. Ao descrever o sistema massa-mola

mencionado no item 1.1, procurou-se utilizar a equação dinâmica e relacionar o movimento da

massa com a força exercida pela mola. Neste caso, foi possível se utilizar da 2ª lei de Newton

para descrever o movimento do sistema. Entretanto, em casos que envolvam a combinação de

massas, inércias de rotação, molas torcionais, por exemplo, é comum se utilizar de métodos de

energia para obter as equações dinâmicas do sistema.

Neste capítulo, procurou-se relacionar e revisar as equações dos componentes básicos

existentes em sistemas vibratórios. No próximo capítulo, serão apresentados os métodos de

energia que são aplicados para obter as equações dinâmicas destes sistemas.

2.1 Molas

Uma mola é uma ligação flexível entre dois pontos de um sistema mecânico. Como a massa

das molas é usualmente pequena, a força medida dinamicamente nas suas extremidades é

normalmente igual. Desta maneira, a força da mola é proporcional a deformação da mesma,

21: xxxondexkF −==

F

∆x

F é a força que age na mola e x é a sua deformação.

Algumas molas não se comportam com a equação acima e admite-se então uma função

polinomial para representação geral da força em relação a deformação das molas,

#33

22 xkxkxkkF 10 +++=

Neste curso, será considerado que somente molas de comportamento linear ou quase-linear

sejam equacionadas nos diversos problemas. Considera-se, também, que as molas tem

Vibrações


deformação nula quando a força é nula, então, k0 = 0. As constantes que multiplicam os termos

polinomiais de ordem 2 ou superior serão consideradas de pequeno valor, então:

xkF =

O coeficiente k representa a constante elástica ou constante de mola linear e indica a rigidez

que a mola possui. A energia potencial para molas lineares é dada por:

212 ,

2

1xxxondexkV −==

2.1.1 Elementos Estruturais como Molas

A vibração em algumas estruturas pode envolver a tração ou compressão axial de barras ou

vigas, como é mostrado na figura abaixo.

L

m

xA,E

F(t)

m

kx

F(t)

(a) Estrutura com barra e bloco (b) Sistema equivalente com mola

Sabe-se que a deformação de uma barra sujeita a uma força axial, se comporta como a lei de

Hooke. Utiliza-se a expressão de Hooke para obter a relação entre força e deslocamento:

xL

AEF

L

xE

A

FE =→=→= εσ

Na expressão acima, E é o módulo de elasticidade do material, A é a área da seção

transversal da barra e L é o comprimento anterior à deformação. Comparando a equação obtida

com a equação da mola helicoidal, tem-se que :

k

AE

L=

Se a massa da barra for pequena em relação a massa do bloco, o sistema axial acima é

modelado como um sistema massa-mola equivalente.

Vibrações


Material Módulo de Elasticidade Densidade Módulo de Cisalhamento

E [N/m2] ρρρρ [kg/m3] G [N/m2]

Aço 2.05E+11 7.80E+03 8.00E+10

Alumínio 7.10E+10 2.70E+03 2.67E+10

Cobre 6.00E+10 2.40E+03 2.22E+10

Concreto 3.80E+09 1.30E+03 -

Borracha 2.30E+09 1.10E+03 8.21E+08

Madeira Laminada 5.40E+09 6.00E+02 -

A tabela acima indica as constantes físicas de alguns materiais comuns.

Outro exemplo de elemento estrutural funcionando como mola é o caso das vigas sujeitas a

carregamentos transversais.

m

y

L/2L/2

m

k

y

Na viga bi-apoiada da figura acima, o deslocamento devido ao carregamento proporcionado

pela massa apoiada sobre um ponto qualquer da mesma, é :

yL

EIP

EI

PLy

3

3 48

48=→=

Se a massa da viga é muito pequena em relação a m, o sistema pode ser modelado como um

sistema massa-mola, onde a mola equivalente terá constante elástica igual a

3

48

L

EIk =

O sistema composto de eixo e disco da figura ao lado,

está sujeito a um momento oscilatório rotativo. Portanto, o

disco oscila em torno da posição angular de equilíbrio

estático e o eixo (barra cilíndrica) tem o comportamento

similar a uma mola torcional.

J

θ

M

L

JP ,G

Vibrações


Este efeito ocorre, por exemplo, nos eixos das caixas de câmbio, pois funcionam como molas

de torção, enquanto que as engrenagens funcionam como discos de inércia. Quando o disco de

inércia gira de um ângulo θ a partir da posição de equilíbrio, o momento de torção que o disco

impõe ao eixo, é escrito por :

θL

GJM P=

Na expressão, G é o módulo de elasticidade transversal, JP é o momento polar de inércia de

área da seção do eixo e L é o comprimento do eixo.

Uma mola torcional é considerada linear quando há uma relação proporcional entre o

momento aplicado e o deslocamento angular. Chama-se de kt , a constante elástica torcional.

θtkM =

Comparando as expressões anteriores, a constante elástica torcional do eixo é obtida como:

L

GJk P

t =

A tabela abaixo resume algumas constantes de mola obtidas a partir de elementos estruturais:

Mola helicoidal sob carga axial(d = diâmetro do arame, D =diâmetro da espira e n =número de espiras)

3

4

8nD

dGkeq =

Viga bi-engastada com cargatransversal no centro da viga 3

192

L

EIkeq =

Viga simplesmente engastadacom carga transversal naextremidade

3

3

L

EIkeq =

Eixo tubular sob torção(D = diâmetro externo, d =diâmetro interno)

( )44

32dD

L

Gkt −= π

Vibrações


2.1.2 Molas Equivalentes

Quando as molas estão posicionadas em paralelo, e a deformação de cada uma é a mesma, a

força total é a soma direta das forças desenvolvidas em cada mola que depende das respectivas

constantes elásticas.

m

k1

k2

kn

x

A substituição das molas em paralelo por uma única de constante elástica keq é feita pelo

procedimento abaixo:

xkxkxkxkxkFn

iin

=++++= ∑

=1321 # xkF eq=→ ∑

==→

n

iieq kk

1

Quando as molas estão posicionadas em série, a mesma força é desenvolvida em todas as

molas quando deformadas. Entretanto, a deformação sofrida por cada mola é diferente e

depende das constantes elásticas individuais.

mk1 k2 kn

x

O deslocamento na extremidade do conjunto, a partir da posição de equilíbrio, é obtido pela

soma das deformações de cada mola,

x x x x x xn ii

n

= + + + + ==∑1 2 3

1

# i

i k

Fx =→ ∑

==→

n

i ik

Fx

1

Portanto, a constante elástica equivalente é obtida como :

∑=

=n

i i

eq

k

k

1

1

1

Vibrações


No exemplo abaixo, deve-se determinar a constante elástica equivalente do sistema.

mk

2k x

k

3k 2k

Efetuando associações em paralelo e em série, tem-se :

m3k/5

x2k

m13k/5

x

2.1.3 Posição de Equilíbrio Estático

A posição de equilíbrio estático de um sistema mecânico é a posição na qual o sistema

permanecerá em equilíbrio na ausência de oscilações. Como já observado nas disciplinas de

física, oscilações ocorrem em torno da posição de equilíbrio estático e são causadas pela

presença de energia cinética ou potencial ou por uma força externa.

Os sistemas da figura abaixo têm molas deformadas na posição de equilíbrio estático e é

importante saber quantificar esta deformação estática. À esquerda a mola está deformada com

δest = mg/k . Na direita, a massa da barra está dividida igualmente entre os dois apoios, portanto

a deformação estática da mola é δest = mg/(2k) .

l0

m

k

δest

k

mg

k

m

mg/2

Abaixo, ambos os sistemas não estão deformados, pois não sofrem da força gravitacional.

m

k

m 3

k2

m2

k1

m1

Vibrações


2.2 Massas ou Inércias

As propriedades de massa ou de momento de inércia nos corpos rígidos são utilizadas na

determinação da força de inércia ou do momento inercial respectivamente. Pode-se determinar

este tipo de força ou momento utilizando a 2ª Lei de Newton.

xmF !!= θ!!JM =

As energias cinéticas de translação e de rotação destes corpos são calculadas por :

2

2

1xmEc !=

2

2

1 θ!JEc =

2.2.1 Efeitos de Inércia em Molas

Quando uma força é aplicada para deslocar um bloco de massa da sua posição de equilíbrio,

o trabalho efetuado pela força é convertido em energia de deformação armazenada na mola.

Se a massa é deixada nesta posição e depois solta, a energia potencial da mola se converte

em energia cinética para os dois componentes, o bloco e a mola. Se a massa da mola não é

muito menor que a massa do bloco, sua energia cinética é não pode ser considerada desprezível.

Para a mola, as velocidades nas diversas posições do seu comprimento variam. Se o suporte

da mola não se movimenta, a velocidade da mola junto ao suporte é zero e na extremidade presa

ao bloco de massa a velocidade é a própria velocidade do bloco como se pode observar no

diagrama de velocidades da figura abaixo.

m

kz

dzL

x!

u!

xl

zzu !! =)(

A relação entre a velocidade do comprimento infinitesimal e a velocidade do bloco de massa

está descrita pela expressão ao lado da figura.

Vibrações


Como a energia cinética é o produto da massa pela velocidade ao quadrado, devemos

integrar ao longo da mola as energias cinéticas de cada comprimento infinitesimal da mola para

obter a energia cinética total da mola.

A energia cinética infinitesimal é :

( ) [ ] [ ]22 )(2

1)(

2

1zudz

l

mzudmdE mola

molac !!

==

A energia total cinética da mola é obtida então, por :

( ) ( ) 23

03

2

0

2

32

1

32

1

2

1x

mz

l

xmdz

l

xz

l

mdEE mola

lmolal mola

molacmolac !!!

=

=

== ∫∫

Para o sistema massa-mola temos que a massa equivalente da mola que deve ser adicionada a

massa do sistema, é :

[ ]3

molamolaeq

mm =

2.3 Amortecimento Viscoso

O amortecimento viscoso representa a dissipação da energia de movimento nos sistemas

mecânicos e ocorre quando as superfícies de contato dos dois componentes estão separadas por

um filme de fluído viscoso. Conforme já comentado anteriormente, o fluído provoca uma força

de restrição ao movimento que é proporcional a velocidade relativa dos corpos. Se for um

amortecedor hidráulico convencional, temos que o êmbolo e o cilindro têm velocidades v1 e v2,

respectivamente.

21: vvvondevcF −=∆∆=

Em cada ciclo de oscilação uma parcela da energia existente no sistema é perdida. A

potência dissipada pelo amortecedor é então calculada por:

( )2vcvFPdissip ∆=∆=

Vibrações


2.4 Resumo dos componentes

Sistemas Lineares ou de Translação:

Sistemas Angulares ou de Rotação:

c x

mk

ForçaConstante e

UnidadeEnergia ouPotência

MolaxkF eq= ]/[ mNkeq 2

2

1xkVE eqP ==

Massa xmF eq !!= ][kgmeq 2

2

1xmTE eqC !==

Amortecedor xcF eq != ]/[ mNsceq2xcP eqdissip !=

θ

M

J

ct

kt

MomentoConstante e

UnidadeEnergia ouPotência

Mola Torcionalθ

eqtkM = ][ mNkeqt 2

2

1 θeqtP kVE ==

Inércia θ!!eqJM = ][ 2mkgJeq 2

2

1 θ!eq

JTEC ==

Amortecedor Angular θ!eqtcM = ][ msNc eqt2θ!

eqtdissip cP =

Vibrações


2.5 Leitura Recomendada

Rao, S.S., 1995, Mechanical Vibrations, Addison Wesley, 3a ed., Cap.I, pág.1-55, Nova

York.

2.6 Exercícios Propostos

Admitindo que k1 = 5 N/m, k2 = 10 N/m, kt1 = 5 Nm e kt2 = 10 Nm, determine a constante

equivalente de mola dos sistemas abaixo:

a)

θ

kt1

kt2

J

b) θ

kt1

kt2

J

c)

m

k1x

α

d)

m

k1

k2

x

0,3

0,5

0,2

a) Rotores acoplados por engrenagens:

e)

kt1

kt2

Jkt1

n1

n2

z1=60

z2=20

Vibrações


3. MÉTODOS DE ENERGIA

3.1 Soma de Energias Cinéticas

Muitas vezes é necessário analisar o movimento completo de sistemas vibratórios que são

compostos de alavancas, engrenagens e outras ligações e complicam aparentemente a análise,

pois cada componente tem movimento diferente. Estando estes componentes rígidos ligados de

forma tal que a movimentação de um seja

vinculada a movimentação dos outros, é vantajoso,

em geral, a redução do sistema para um equivalente

mais simples. Assim, a associação de massas é

obtida por meio da soma das energias cinéticas.

Para melhor compreensão, utilizou-se o exemplo

do sistema de acionamento da válvula do motor,

indicado na figura ao lado. As velocidades dos

pontos A e B podem ser escritas em função da

velocidade angular da alavanca, ou seja:

θ!! ax = θ!! by =

A energia cinética total dos componentes oscilantes do sistema é calculada como:

( ) ( ) 2222

32

1

2

1

2

1

2

1y

mxmymJE mola

hastevalvc !!!!

+++= θ

Substituindo as velocidades e rearranjando alguns termos, obtém-se o Jeq de uma alavanca

maior que substitui todos os componentes no cálculo.

( ) ( ) 22222

2

1

32

1 θθ !!eq

molahastevalvc Jb

mambmJE =

+++=

Substituindo a velocidade do ponto A na expressão, obtém-se a massa equivalente em A:

( ) 222

222

2

132

1xmx

a

bm

ambmJE A

molahastevalv

c !! =

+++=

Vibrações


3.2 Método da Energia Conservativa

Além de aplicar a 2ª lei de Newton para obter a equação dinâmica (equação diferencial do

modelo), podemos utilizar também o método da conservação da energia. Neste método

ressaltamos o seguinte postulado: “A soma das energias cinética e potencial para um sistema

conservativo é igual a uma constante desde que a energia total do sistema seja representada

somente em função destes dois tipos de energia”. Sendo a energia total constante, temos que a

variação da energia é zero.

0)( =+∂∂⇒=+= PCPCTOTAL EEt

cteEEE

A vantagem deste método é que a diferenciação da energia total no tempo nos dá a equação

dinâmica do sistema, porém somente podemos aplicá-lo quando desconsiderarmos qualquer

forma de amortecimento e forças externas ao sistema vibratório.

Para efeito de comparação, no exemplo da massa, polia e mola, a equação dinâmica será

obtida pelo método de forças dinâmicas (2ª lei de Newton) e também pelo método de energia.

Método das forças dinâmicas: a figura abaixo descreve a análise de corpo livre para o bloco

de massa e para a polia. A massa do cabo foi desprezada neste exemplo.

m

k

Mr

x

O

m

mg

mg

k δest

θest

Análise Estática

mg

O

mg

T

Tk (δest+x)

θest+ θ

Análise Dinâmica

m

O

Do equilíbrio estático na polia, podemos dizer que :

( ) ( ) rkrgmM estO δ=→=∑ 0

O cabo que sustenta a massa é o mesmo que está ligado à mola, portanto qualquer

deslocamento da massa se reflete em deformação para a mola.

Vibrações


A equação de compatibilidade entre os deslocamentos da massa e da polia é escrita como :

θθ !!!! rxrx =∴=

Como a deformação da mola é equivalente ao deslocamento da massa, então :

estest r θδ =

Aplica-se a 2ª lei de Newton para escrever a equação dinâmica para o bloco de massa m,

xmgmTentãoxmTgmxmF !!!!!! −==−→=∑ ,

A equação dinâmica para a polia, é :

( )[ ] θδθ !!!! JrxkrTJM estO =+−→=∑ Relacionando as equações acima, pode-se escrever :

θ!!rmgmT −=

rrkrrmgmJ est )]([)( θθθθ +−−= !!!!

Aplicando a condição de equilíbrio estático, obtém-se a equação dinâmica:

0)( 22 =++ θθ rkrmJ !!

Método da Energia Conservativa:

Como primeiro passo, efetua-se a soma das energias cinéticas e potenciais envolvidas no

exemplo :

ctexkJxm

EEEEE TmolaPpoliaCmassaCT =++=→++=222

222

)()()(θ!!

No segundo passo, escreve-se as equações de compatibilidade entre as diversas variáveis de

deslocamento e substitui-se na equação da energia total conservativa :

θθ !! rxrx =→=

( ) ( )222

2

1

2

1

2

1 θθθ rkJrmET ++= !!

Vibrações


O terceiro passo é a diferenciação da energia total sabendo que seu valor é constante :

θθθθθθ∂

∂ !!!!!!! 220 rkJrmt

ET ++==

( ) 022 =++ θθθθ !!!!! rkJrm

Como θ! não pode ser nulo sempre, então :

( ) 022 =++ θθ rkJrm !!

Por fim, pode-se calcular a freqüência natural não-amortecida do sistema massa-polia-mola :

)( 2

2

rmJ

rkn

+=ω

Num segundo exemplo, representado na figura abaixo, uma barra rígida de massa m,

comprimento l e seção transversal uniforme, é articulada no ponto O e suportada por uma mola.

Neste exemplo, o amortecedor será desconsiderado para poder aplicar o método da energia

conservativa.

a) Expressão da energia total:

ctexkJ

EEEE OTmolaPbarraCT =+=→+=

22

22

)()(θ!

b) Equação de compatibilidade entre os deslocamentos:

( )22

2

1

2

1 θθθ akJEax OT +=→= !

Vibrações


c) Diferenciação da equação de energia:

θθθθ∂

∂ !!!! 20 akJt

EO

T +==

( ) 02 =+ θθθ !!! akJO

Portanto,

02 =+ θθ akJO!!

Para a barra de seção uniforme, tem-se que:

12

2mlJCG =

Aplica-se o teorema dos eixos paralelos para obter o momento de inércia no ponto O, então,

3212

2222 mll

mml

JmdJJ OCGO =

+=→+=

Finalmente, tem-se:

2

22

2 30

3 ml

akak

mln =→=+ ωθθ!!

Um terceiro exemplo será utilizado para determinar a equação dinâmica do pêndulo simples

com massa m na extremidade da haste de comprimento l. Como procedimento de modelagem,

admite-se que a massa tem dimensões reduzidas em relação ao comprimento da haste. Além

disto, a massa da haste é desprezível

quando comparado à massa m.

a) Expressão da energia total:

)( nalgravitacioPCT EEE +=

( ) ctemglJ

E OT =−+= θθ

cos12

2!

y

l - l cos(θ )

l

θ1

2

3

mg

O

m

Vibrações


b) A equação de compatibilidade não é necessária, pois o sistema está todo escrito em

função de θ .

c) Diferenciação da equação de energia:

( )θθθθ∂

∂ !!!! sen0 mglJt

EO

T +==

( ) 0sen =+ θθ mglJO!!

O momento de inércia do pêndulo é escrito na forma:

2mlJO =

Portanto,

( ) 0sen2 =+ θθ mglml !!

Ou ainda,

( ) 0sen =+ θθl

g!!

A equação obtida é uma equação diferencial não-linear. Entretanto, aplicamos uma

simplificação, admitindo que o pêndulo oscile com pequenos ângulos.

Para condições iniciais que façam o pêndulo oscilar com pequenos ângulos, tem-se :

0sen =+→≅ θθθθl

g!!

l

gn =ω

3.3 Amortecimento equivalente

Nos sistemas em que é necessário determinar o amortecedor equivalente, devemos fazer uso

da técnica usada no item 3.1 . Se houver vários amortecedores, a potência dissipada é obtida

pela expressão:

( )∑ ∆=i

iidissip vcP 2

Vibrações


No exemplo da figura abaixo, vários amortecedores são montados em uma alavanca de

comprimento l que oscila em torno do ponto O.

k

m

c1 c2 c3O

y z xa

b

Para o cálculo da equação dinâmica na rotação da alavanca é necessário determinar o

amortecimento angular equivalente. Então, utiliza-se a expressão de potência dissipada :

[ ] 23

22

21

2 xczcyccP eqtTotaldissip !!!! ++== θ

As equações de compatibilidade para este caso são :

θθθ lxbzay === ,,

Portanto, a constante equivalente de amortecimento é escrita como :

( ) ( ) ( ) 23

22

21

23

22

21

2 lcbcacclcbcacc eqteqt ++=→++= θθθθ !!!!

A constante de mola também pode ser obtida por procedimento semelhante ao apontado no

item 3.1 . Assim, tem-se :

22

2

1

2

1xkkE eqtP == θ

Aplicando-se a compatibilidade dos deslocamentos,

( ) 222

2

1

2

1lkklkk eqteqt =→= θθ

Portanto, utilizando do momento de inércia encontrado no exemplo 2 do item 3.2, faz-se :

( ) ( ) 03

223

22

21

2

=++++

θθθ lklcbcac

lm !!!

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