Vibrações mecâ · PDF fileDisciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016 Vibrações amortecidas Vibrações não-amortecidas Vibrações livres O movimento mantém-se apenas

Disciplina DCR, Z. Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016

Vibrações mecânicas

Justificação da ocorrência

► Sistema mecânico em equilíbrio estável

► Introduz-se uma perturbação por exemplo na forma do deslocamento

► Liberta-se

► Depois disso o sistema tende voltar à sua posição do equilíbrio estável

► Neste passo actuam as forças de restituição (forças elásticas das molas,

forças de gravidade)

► O sistema em geral atinge a sua posição de equilíbrio estável com uma

certa velocidade, assim o sistema “ultrapassa” a sua posição de equilíbrio,

cria-se um movimento repetitivo, chamado oscilatório, a oscilação efectua-

se em torno da posição do equilíbrio estável

Corpos ou sistema de corpos com 1 grau de liberdade cinemática

Este movimento chama-se vibração mecânica, em princípio

representa sempre efeitos indesejáveis


Vibrações amortecidas

Vibrações não-amortecidas

Vibrações livres

O movimento mantém-se apenas devido às forças de restituição, a

perturbação que inicia o movimento corresponde a um deslocamento

ou a uma velocidade aplicada ao sistema, não há forças exteriores

aplicadas ao sistema.

Vibrações forçadas

Há forças exteriores aplicadas ao sistema (e além disso pode haver um

deslocamento ou uma velocidade aplicada ao sistema).

Vamos considerar somente as forças periódicas.

Devido ao atrito (interno ou externo) o movimento baixa a sua

amplitude (definição a seguir), passado algum tempo cessa se for livre,

mantém-se indefinidamente se for forçado.

Efeito do atrito é desprezável, o movimento continua indefinidamente.


Movimento periódico (repetitivo)

Período

Frequência

t

u

T T T T T

Tempo necessário para completar um ciclo

de movimento

T T T T

1sT

1f

A unidade s-1 chama-se Hertz

O número de ciclos num segundo

Heinrich Rudolf Hertz

1857-1894

cíclica


Movimento harmónico

Movimento não-periódico

Amplitude

Gráfico descrito pelas funções de seno e coseno

t

u

t

u

Deslocamento

máximo no valor

absoluto

maxu

maxuOs termos período,

frequência e amplitude usam-

se também para a força de

excitação harmónica, etc.


Molas As forças de restituição são as forças elásticas

estu

Vibrações livres não-amortecidas

mola

indeformada

de rigidez k

+ massa m

na posição

de equilíbrio

estável

mg

este kuF

k

mguest

0u

+ perturbação u0,

depois de “retirar” a

causa da perturbação

inicia-se o movimento

oscilatório


Equação do movimento

0uukmgma est

0kuum Equação diferencial ordinária de 2ª ordem homogénea

0m

keu 2t

Equação característica

mg

ma

uukF este na posição

geral u>0

continuação do

movimento a

m

ki1

m

ki2 n

k

m 1 2cos sinn nu C t C t

0um

ku vu avu

ma

kuFe

Começando do

equilíbrio estático


C1 e C2 das condições iniciais (“perturbação”), condições iniciais não podem

ser homogéneas, se forem, não há movimento

0 0 10u t u u C

0v0tv

1 2 1 2cos sin sin cosn n n n nu C t C t v C t C t

0 0 20 nv t v v C

00

0

cos sin cos sin sin cos sinn n u n n u n

vu u t t A t t A t

2

20 0 0 00

0 0

cos & sin tan &nu

u n u

v u u vA u

A A v

0

00

v

uarctan

m

k0

2

0

02

0u

vuA

0 0v


0sinuu A t

uumax Au

maxu

t0

u

u

sinA

Au: amplitude do deslocamento

Φ: ângulo de fase 2

n

T

2

nf

2n f

ωn: frequência natural (circular)

uA

0

0

0

0

arctan( ) 02

arctan( ) 02

v

parau

parau


0 0cosuv A t

2

0 0sinua A t

Período e fase

mantêm-se

v u nA A

2

a u nA A

1. Estabelecer a equação do movimento

2. Alterar do modo que o coeficiente do termo de aceleração equivale a 1

3. Frequência natural equivale à raiz quadrada do coeficiente do parâmetro

de deformação (deslocamento)

Simplificações: mola equivalente

Problemas sobre frequência natural de movimento

Amplitude

1. Resolução usando equações de movimento

0mu ku 0k

u um

2 0nu u


Molas equivalentes

Ligação em série

Ligação em paralelo

1k2k

3k

1k2k

3ku

uk1 uk2

uk3

321eq kkkk

1k

2k

u

11uk

22uk

ukukukF eq2211e

11uk

1k

k

k

k

2

eq

1

eq

21

eq

k

1

k

1

1k

eqk

eqk


Pêndulo

Forças de restituição são as forças de gravidade

Molas equivalentes dos elementos elásticos deformáveis

elu

P

el

eqeleqeu

PkukFP

Outros mecanismos

Forças de restituição de ambos tipos

eqk


2. Resolução usando conservação de energia mecânica

1. Escolher a posição de velocidade máxima (posição do equilíbrio estático

estável) como nível zero para a energia potencial

2. Máxima energia potencial ocorre quando a cinética é nula (velocidade é

zero), neste caso o deslocamento é máximo

3. Escrever o princípio de igualdade de energia entre estas duas posições

Nota: na posição do deslocamento máximo a velocidade muda o seu sentido,

ou seja passa por zero

umax Au

Amplitude do deslocamento corresponde ao deslocamento máximo

0max0uvmax uAAv

Amplitude da velocidade corresponde à velocidade máxima


Problemas em que é possível dispensar o efeito do peso

Estes casos correspondem aos sistemas em que existem partes flexíveis

(molas) cuja deformação é necessária para assegurar o equilíbrio estático

estável.

Em outras palavras nestes casos a força elástica (estática) equilibra o peso.

No entanto é possível desprezar apenas as componentes directamente

equilibradas.

Para ter a certeza quais as partes desprezar, é possível escrever:

a) A equação do equilíbrio estático (na posição deformada);

b) A equação do movimento com as forças elásticas “completas” e com o

efeito de peso e ver a parcela que se anule devido ao equilíbrio estático.

No caso de se fazer esta verificação usando o princípio de conservação de

energia, é preciso ter cuidado, porque esta equação envolve quantidades

pequenas ao quadrado. Por esta razão o coseno do argumento pequeno é

preciso de substituir pelo (1-argumento2/2). A substituição do seno do

argumento pequeno mantêm-se como na equação do movimento, ou seja

seno do argumento pequeno equivale ao argumento.


Vibrações livres amortecidas

2 0nu u Equação diferencial ordinária de 2ª ordem homogénea

Recorda-se a equação do movimento de vibração livre não-amortecida

O termo livre significa que não existe força harmónica que excitava este

movimento, assim o lado direito da equação equivale a 0 (equação

homogénea)

O termo não-amortecida significa que o amortecimento é desprezável, assim

falta o termo da primeira derivada da função variável

Quando se considera amortecimento, este habitualmente é viscoso, ou seja

proporcional à velocidade, e assim a equação em acima ganha mais um termo

2 0n

cu u u

m

onde c [N.s/m] é o coeficiente do amortecimento viscoso


Amortecimento

Externo: forças de atrito entre ou corpos

Interno: entre as moléculas que constituem o corpo

►mola

indeformada de

rigidez k

► amortecedor

de coeficiente c

estu

maxu


Equação do movimento

já com eliminação do equilíbrio estático

0kucvma

0kuucum Equação diferencial ordinária de 2ª ordem homogénea

2 2 0t

n

cu e

m

Equação característica

ma

e estF k u u

posição intermédia

entre uest e umax , ,u v a

2 2

2 2

1,2 i2 2 2 2

n n

c c c c

m m m m

2 0n

cu u u

m vu avu

dF cv

mg


2

2 02

n

c

m

Caso mais comum: amortecimento sub-crítico

Outras designações

2cr nc mCoeficiente de amortecimento crítico

crc

cFactor de amortecimento Damping ratio, muitas vezes em %

2

2 2 21 02

n n

c

m

2

1,2 i 1 in n a

Outras formas da equação de movimento

2 0crn

cu u u

m 22 0n nu u u

Raízes da equação característica conjugado

do número complexo


21a n Frequência natural (circular) amortecida

0a

Solução

1 2 1 2sin cosn a n a ni t i t t

a au t D e D e e C t C t

Parte periódica (harmónica)

Diminuição de amplitude, envelopes

C1 e C2 das condições iniciais

200 Cuu0tu

0v0tv

1 2 1 2cos sin sin cosn nt t

a a a n a av e C t C t e C t C t


0 0 1 2 1 00 a n a nv t v v C C C u

0 sint

u au A e t

2

20 0 00

0 0

tan &a nu

n a

u v uA u

v u

0 01

n

a

v uC

0 0 00sin cos

t na a

a

v uu e t u t


t

u0eA

t

u0eA

Amortecimento crítico Amortecimento sub-crítico

1c

c

cr

0a

t

210etCCtu

Raiz dupla


Amortecimento super-crítico

Raízes reais,

distintas, ambas negativas

não há vibração, porque

não há parte harmónica

12

02,1

t1

2

t1

1

20

20

eCeCtu


Construção da equação de movimento

► Não há método alternativo para determinação da frequência natural,

como nas vibrações livres não-amortecidas, onde foi possível usar o

princípio da conservação de energia. Agora, com o amortecimento há

sempre uma perda de energia que varia em cada ciclo, e assim é

necessário construir a equação do movimento. Também não há relação

entre amplitudes de deslocamento, velocidade e aceleração tão directa

como no caso não-amortecido.

► Tal como nas vibrações não-amortecidas é valido:

Como a equação de movimento de uma vibração é de facto a equação de

equilíbrio na direcção do movimento, ou seja não se escrevem as 3

equações como no caso geral, é possível fazer uma simplificação

seguinte:

No caso da vibração angular do conjunto de corpos com

único movimento é possível usar o momento de inércia em

relação ao centro de rotação. Ou seja não é necessário

relacionar as forças e os momentos de inércia aos centros

de massa de corpos elementares, mas é possível usar único

momento de inércia relacionado ao centro de rotação.


Vibrações forçadas

Recorda-se a equação do movimento de vibração livre amortecida

Considera-se somente uma excitação harmónica (existem outras), que forma o

lado direito da equação. Assim a equação do movimento corresponde a uma

equação diferencial ordinária de 2ª ordem não-homogénea

Equação diferencial ordinária de 2ª ordem homogénea

0eq eq eqm u c u k u

Excitação pode ter duas formas:

força externa harmónica ou movimento de base harmónico


Vibrações forçadas não-amortecidas

sineq eq f fm u k u F t

ma

kuFe

tF

Excitação pela força externa harmónica

PH uuu Solução da equação não-homogénea

tem duas partes: homogénea e particular

frequentemente 0 sinf fF t

tsinFukum feqeq

tF


tcosCtsinCu 0201H Usando a solução da equação característica

1 2sin cosP f f f fu D t D t consoante a forma do lado

direito da equação do

movimento

21 D,DCálculo das constantes

2

1 2

1 2

sin cos

sin cos sin

f f f f f

f f f f f f

m D t D t

k D t D t F t

2 1 2 2 2 20,

1F

f n f

F F FD D A

k m m k

Solução homogénea chama-se também vibração natural

Solução particular chama-se também vibração forçada

sinP F f fu A t 0

f


Condições iniciais homogéneas

1 2sin cos sinn n F f fu C t C t A t

0 20 sinF fu C A

0 1 10 cos 0 cosn f F f F fv C A C A

1 2cos sin cosn n n n f F f fv C t C t A t

sin sinF f nu A t t H FA A

2 2

F H F HA +A +2A A cos - tf nenvelopes

21 C,C das condições iniciais Cálculo das constantes

0f


Forçada

Natural


Condições iniciais não-homogéneas

tsinAtcosCtsinCu fF0201

tcosAtsinCtcosCv fFf020010

020 uCu0tu

0

Ff010Ff100

AvCvACv0tv

sin sin sinu n F f nu A t A t t

0 0

0

arctanu

v

2

0

02

0u

vuA

Como anteriormente Au e Φ

Mantêm-se também

a análise quando v0=0

sin sin sinu n F f nu A t A t t ou


0kuum t

bt uuu bumkuum

2

fmUF tsinmUumtsinUu f

2

fbfb

Excitação pelo movimento de base harmónico

Movimento total

ffb tsinUtu

bu t

tma

t bk u u

tu

bu


sin sin sin

sin sin sin

t b u n U n U f

u n U n Ut f

u u u A t A t A U t

A t A t A t

2Ut1

UA

Assim nas equações anteriores basta substituir 2

fmUF

Quando se pretende resolver a componente relativa u

2

2

U1

UA

tsintsinAtsinAvsignu 0fU0u0

No entanto quando é preciso resolver o deslocamento total


Ressonância

21

EF

uA

2

21U

UA

2

1

1

Amplitude da solução particular tende para infinito quando a frequência da

excitação coincide com a frequência natural

21Ut

UA

2

21


O amortecimento elimina apenas a parte da vibração natural

(regime transiente quando as duas partes actuam, ou seja

quando ainda a vibração natural não é desprezável)

A parte forçada fica (regime estacionário)

Vibrações forçadas amortecidas

Neste caso o interesse está no regime estacionário, e muitas vezes

examina-se apenas a solução particular em vez de solução completa

Excitação pela força externa harmónica

sin fF t F t sinP F f Pu A t

Ângulo de fase da excitação não é importante, bastava alterar tempo inicial


Excitação pelo movimento de base harmónico

2

2 221 2U

UA

sinP U f Pu A t Parte relativa

sinPt Ut f Ptu A t Parte total

2

2 22

1 2

1 2UtA U

2 221 2

F E d

FA u R

k

2

2arctan

1P

Deslocamento estático que causava a amplitude da força de excitação

no regime estático Eu

dR Coeficiente de amplificação dinâmica

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