VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS

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  • 5/11/2018 VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS

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    228 Desplazamiento en vigas

    En z ; ; : : : :L, y =0. Sustituyendo,

    o 1 (VArJL3 + If L2) C L= EI -6-' - . A '2 + ac, = - J . . (VADL2 + 'IrA 1 : , )El 6 "2Sustituyendo para C"

    donde

    1 [VA o . M A ]y = - _. (z' - L 2 Z) + - (z ' - L z)EI 6 2J .lfB - M AVA" = L

    Si el claro central esta cargado realmente, los valores anteriores de y, debensumarse (algebraicamentc) a los que reprcsenten el desplazamiento de unaviga simplemente apoyada que tcnga 1a misma carga (rnetodo de superpo-sici6n).9.3 Vigas estdticamenie indeterminadasAt integrar las ecuaciones generales (9.2), e1 numero de restricciones ex-trema.'> puede ser tal que las constantes de integration C, Y C1 no se puedandeterminar antes de calcular la pendiente y el desplazamiento. La viga deextremes ernpotrados es un ejemplo.Dicha viga es estaticamente indeterminada. Como B e ilustra en la Fig. 9.6,las condiciones de frontera son:

    t P A = 0, Y A = 0, C P B =0, YB =0Ni el eontante, ni c 1 momento son cero, en cualquiera de los dos extremes,

    Por la simpIe condicion mostrada de carga (earga concentrada haciaabajo a media claro), las condiciones de simetria proporcionan una f.lcilsolucion, La pendiente a medio claro debe ser cera. Para pendiente extre-ma, igual a cera, esto significa que no puede haber ningun cambia en clarea del diagrama M J EI para cualquiera de las mitades del claro (0 parael claro complete). En consecuencia, si EI es constanie t el diagrama M 'para la viga simple (ilustrada por lit linea punteada ) se debe "desplazarhacia abajo" en una cantidad igual a - PLJ8 . Entonces, el memento amedio claro, se convierte en +PLJ8 .

    El diagram a de cortante pcrrnanecera sin cambia can respecto al de unaviga simple.

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    Vigas estaticamente indeterminadas 229

    Fig. 9.6. Viga de extremes empotrados con fuerza cone entrada a media claro,Para caIcular el desplazamiento maximo (a medio claro), podemos

    aplicar el siguiente teorema de las areas de momentos (Pag. 217) al calcu-lar el momenta de mitad del diagrama M IEI con respecto al punta ex-trema de la viga (donde la pendiente y d desplazamiento son cera).El area del pequefio triangulo de la Fig. 9.6, es:

    1PLL PL'Area = : 2 " " " 8 " 4 = 64Los brazos para momenta hasta los centroides estan ilustrados en e l dia-grama. El momento neto es P O ( 5 1 ) PLsArea de momento = + 64 12L - 12L = 192El desplazamiento se encuentra dividiendo este resultado entre EI:

    1 PVy = 192 EI ( a )

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    (b)

    230 Desplazamiento en vigas

    Para la viga simplemente apoyada, correspondiente el desplazamientorelativo al centro (donde la pendiente cs cero) se encuentra calculando e lmomento del area de una mitad del diagrama punteado, con respectoal extreme. [Yea tambien el Ejemplo 9.3, Ec. (e) . ]

    de momento =(! PL X ! : ) X ! : . =]_PV242 3481 PL3Ymn. = 48 EI

    Area

    Asi, el desplazamiento maximo para este tipo de carga se reduce a uncuarto del de una viga simplemente apoyada, al empotrar ambos extremos.La Fig. 9.7 muestra una viga de extremos empotrados con carga uni-for :me. EI diagrama de mementos para la viga simplementc apoyada (ilus-trada por la curva punteada M'), es parabolico. Tiene un area igual ados terceras partes del rectangulo subscrito a ella.Puesto que M.=M (por simctria ) , el area representada por los mo-mentes de extremos empotrados (solos) es MAL. Por eso, esta area lahacemos igual y opuesta a la de una viga simple, para dar cero eambio dela pendiente:

    Cuando e 1 diagrama de momentos se translada hacia ahajo, esta cantidad,el momento a media claro, se convierte enML/2 = qL 2 _ q2 =qL 28 12 24

    Ahara, los mementos en los extremes fijos (empotrados) son los momentosmaximos, AI empotrar los extremes, se ha reducido e l valor de MmR . en Iaproporcion 1;b a ~, 0 sean los dos tercios del valor para una viga simple.

    EJEMPLO 9.6. Desplazamiento de una viga con extremes empotrados y concarga uniforme, Aunque par simetrla, son posibles varias simplificaciones, seseguira el procedimiento matematico de rutina, La carga q se sup one quees positiva hacia arriba (opuesta a Ia de la Fig. 9.7) ~v = f q dz + C I = qz + C 1 (a)

    J Z21 1 1 = V dz + C. =q2 + ~lZ + C. (b )

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    Vigas esuuicamente indeterminadas

    q - constante (negativa)

    r---~- L--------Iq

    +M' _M:n.x=qL2/8/r- --.........

    // "~ Viga simplemente/ -, apovada! \I \/ \

    OL-----------------~

    +M"O~-----~----~

    Unicarnente losmomentosde empotramiento_ _ _ _ _ _ J .. _

    -M

    -M

    Fig. 9.7. Viga con extremes enipotrados bajo carga uniiorme.Ni V ni M son cero, en cualquiera de los extrcrnos. Por consiguicnte, no se

    puede calcular, en esta etapa, ni C, ni C2

    ! 1 (Q Z3 z ). p = - r 1 z + Cs = - - + C, - + C.z + CaEI EI 6 2

    231

    (c )

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    (e )

    232 Desplazamiento en vigas

    En z = 0, < p = O. En la Ec. (c), 0 = 0 + Co; por tanto CJ =O. En z= L,'"= O . Sustituyendo:1 ( q 3 2 )o = EI If+ C1 2' + C2Ly =< P dz + C4 (

    q2 L )C2 = - If+ C1" 2 C d )En z = 0, y =0; por tanto C.= O. En z =L, y = 0 (tambien sustituya paraC,) :

    1 [qL4 L3 L' ( q U L ) ]=- - + C[- - - - + C,~EI 24 6 2 5 2 C[ = _ qL2De la Ec. (d ) :

    c. = _ (q2 _ qL2) = + qL'6 4 12Las ecuaciones finales se encuentran sustituyendo los valores de C, y C,:

    (f)(0)

    ( h )

    Ahora, estas ecuaciones se usaran para determinar las siguientes cantidades:

    En z = 0,

    (i)

    LEn z = ~,2LEn z = ~,2

    Observe que el desplazamiento maximo se reduce a un quinto de aquel para unaviga baja similar con extrernos simple mente apoyados (vea el ejemplo 9.2).

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    Desplazamientos de vigas inicialmente

    1.0

    0.8

    0.6J !. . ,

    0.4

    0.2

    q V " ' . 'i \ ~ ' r }!ll!!ttlltf- i--L_ / \ YO~384 EI -/II'--',Amoos extremos \rticulados/ _ I 1 I I-Extremo izquierdo articulado/ \ ~ d~hO ernpotrado \/f

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    (b )

    234 Desplazamiento en vigas

    El cambia total de pendiente en el extremo libre, se determina por laintegral de linea siguiente

    en donde L. es Ia longitud total desarrollada, Para encontrar el desplaza-miento B en el extremo libre, es conveniente trabajar con las componentesB z y lJ y (en la Fig. 9 . 8a , se muestran las direcciones positivas). Primero,imagine que la viga esta "cortada" en el punto (z, y) , permaneciendorigida cada porci6n de la viga. Entonces, se permite a la porei6n exteriorgirar como un cuerpo rigido, con un angulo d.p, como se ilustra en lafigura 9.8b. La viga exterior se representa por una linea recta de longitud r,

    y

    ~ - - - - - - - - - - ~ L . - - - - - - - - - - - - ~(a)

    (b ) (c)

    Fig. 9.8. Desplaeamiento de una viga curva.como se observa. EI diagram a c muestra una vista aumentada de la situa-cion en la punta. La linea que represent a un areo dB se puede considerarcomo una linea recta normal a T, para el angulo muy pequefio (dcf.), in-volucrado. Entonces, el pequefio triangulo cuyos lados son dB " dBy, Y dB(diagrama c) es similar al triangulo grande, cuyos lados son (L z - Z) ,(Ly - y) , y r en el diagrama b, dando las siguientes relaciones (observeel signo negative en la primera ecuaci6n) ;

    do. (L y - y)do =- r

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    Problemas

    Pero d B = r d < / > . Sustituyendo esto en las ecuaciones anteriores, obtenemosdo. = -(LI/ - y) dq,d6 y = (L z - Z ) d f j l

    Los valores de 8...y /'jlj, se obtienen ahora sustituyendo en Ia Ec. ( a ) , e m-tegrando; se obtiene de este modo las siguientes intcgrales de linea:i': M0. = - 1 0 (Ly - Y) EI de

    t': MO y = 1 0 (L. - z ) EI dsLas constantes de integraci6n son cera, ya que Ia viga esta empotrada

    en e I origen, En la Fig. 6.9, se seIeccion6 e l extrema libre como e l origenpara determinar los mementos flexionantes, Si ese sistema se usa, tam-bien, para deterrninar los desplazamientos se deben agregar las constantes deintegraci6n a las Ecs, (b ) y (9.3). Yea la Ref. 19, para vigas curvas esta-ticamente indeterminadas,

    PROBLEMAS9.1. Para una 0mas vigas consignadas de la Fig. P6.1, obtenga los dia-gramas de M IEI, pend iente y dcsplazamien tos, suponiendo que todaslas vigas tienen un valor EI constante. Los diagramas no necesitan estara escala, pero S I deben tener la forma correcta.9.2. Para una 0mas vigas indicadas en la Fig. P6.1, obtenga las ecua-ciones para la pendiente y para el desplazamiento en la sec.ion z, enterminos de la funcion de carga y de El (constante). Obtenga, tambien,las ecuaciones para el valor maximo del desplazamiento, y e I valor de zen donde ocurre este.9.3. Continuacion del Prob. 8.!. Para una 0 mas vigas indicadas de laFig. P6.2, y para una seccion transversal particular asignada (eonstantea traves de la longitud de la viga) deterrninada en el Prob. 8.1, obtengalas ecuaciones para los dcsplazarnicntos de las vigas, usando los val oresnumericos dados por las funciones de earga. Determine, tarnbien, eldesplazarniento maximo de las vigas entre los apoyos, si estrin simple-men te apoyadas, 0 en el extrema libre (si este es el caso).9.4. Obtcnga la ecuaci6n para la forma flexionada de la viga ilustradaen la Fig. P9.4, Y dibuje la curva de desplazamiento (a una escala exa-gerada) . Compare csta can la curva de desplazamiento de una viga su-jeta a una carga similar, y con una altura constante h " , . " , , , = (h I + Iz J /2.

    235

    (c )( d )

    (9.S)