Vigas mistas aço-betão sujeitas a encurvadura lateral · em Excel que permita de uma forma expedita calcular o valor de M ... 3.7 Fator de comprimento efetivo ( para vigas com momentos

Vigas mistas aço-betão sujeitas a encurvadura lateral

Renato José Vacas Guedes

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Civil

Orientador: Professor Doutor Luis Manuel Calado de Oliveira Martins

Júri

Presidente: Professor Doutor Fernando Manuel Fernandes Simões Orientador: Professor Doutor Luis Manuel Calado de Oliveira Martins Vogal: Professor Doutor Pedro Manuel de Castro Borges Dinis

Outubro de 2014

ii

iii

Resumo

Esta dissertação apresenta resultados relativos a um estudo realizado sobre vigas mistas aço-

betão cuja secção metálica é constituída por um perfil de aço I. O objecto de estudo do trabalho

são os fenómenos de instabilidade sofridos pela secção metálica, mais concretamente os

fenómenos de encurvadura lateral, já que este é um problema que afeta as estruturas

metálicas e que pode condicionar o seu dimensionamento.

A Encurvadura Lateral é um fenómeno bastante complexo que se desenvolve apenas nas

zonas de momentos fletores negativos das vigas mistas contínuas. Realizar uma análise de

forma exata deste problema consumiria bastantes recursos, no entanto a EN 1994-1-1 permite-

nos determinar o momento resistente crítico da secção, utilizando aproximações que

tornam o método mais simples, sendo o Momento Resistente à Encurvadura Lateral (Mb,RD)

calculado “a posteriori”. Este tipo de abordagem na definição do momento crítico torna o

processo de cálculo menos complexo. Um dos objetivos deste trabalho é criar uma ferra menta

em Excel que permita de uma forma expedita calcular o valor de Mb,RD segundo a metodologia

adoptada na EN 1994-1-1.

Após o desenvolvimento do “toolkit” e para efeitos de validação do modelo, os resultados

obtidos são comparados com os fornecidos por outros autores. Seguidamente foi elaborado um

estudo com vista a desenvolver algumas expressões aproximadas para um determinado tipo

de vigas mistas aço-betão, para que seja possível calcular de forma expedita o valor da

Esbelteza Relativa ( ) e posteriormente calcular o valor de Mb,RD.

Palavras-Chave

Vigas mistas aço-betão; Encurvadura lateral; Fenómenos de instabilidade; Momento crítico;

Esbelteza Relativa; Vigas contínuas

iv

v

Abstract

This dissertation presents results that concerns to a study about composite steel-concrete

beams. The stability problems of the metallic section are the main subject of this work,

specifically the lateral torsional buckling, since this is one of the major problem when concerning

to metallic sections, it can influence that dimension of the steel I section.

The Lateral Buckling problem is quite complex phenomena which evolutes in the hogging

moment area of the continue composite beams, to do an exact analysis of this problem would

be too hard and would be such a complex process, so to setting the value of Critical Moment of

the section it was used the formula present in the EN 1994-1-1, which is less complex than the

exact solution, and a posteriori used the Critical Moment to set the value of the Lateral Buckling

Moment. The real purpose of this work is to develop a toolkit which enables us to set the value

of the Lateral Buckling Moment in a prompt way following the methodology used in the EN

1994-1-1.

After the development of the toolkit it was necessary to validate it, so the results provided by the

toolkit were compared with other author’s publications. Afterward a study was done concerning

the resistance of the composite beams to the lateral buckling, so it were determined some

expressions which let us set the value of Lateral Slenderness in a prompt way, and a posteriori

set the value of Lateral Buckling Moment.

Keywords

Steel-concrete composite beams; Lateral torsional buckling; Critical moment; Uniform Lateral

Slenderness; Continue composite beams; Lateral buckling moment

vi

vii

Índice

Resumo ................................................................................................................................... iii

Abstract .................................................................................................................................... v

Índice ...................................................................................................................................... vii

Índice de figuras....................................................................................................................... ix

Índice de Tabelas .................................................................................................................... xiii

Índice de Símbolos.................................................................................................................. xv

1- Introdução ......................................................................................................................... 1

1.1- Generalidades ........................................................................................................... 1

1.2- Objectivo ................................................................................................................... 2

1.3- Organização da Tese ................................................................................................. 3

2- Revisão Bibliográfica ......................................................................................................... 5

3- Modelos de cálculo dos momentos críticos ...................................................................... 17

3.1- Introdução ............................................................................................................... 17

3.2- Modelo de Hanswille ................................................................................................ 18

3.2.1- Vigas sujeitas a momento uniforme ....................................................................... 21

3.2.2- Vigas sujeitas a momentos variáveis ..................................................................... 22

3.3- Modelo de Dekker, Kemp e Trinchero ...................................................................... 24

3.4- Modelo do EC4 ........................................................................................................ 29

4- Modelo de cálculo do momento crítico à encurvadura lateral ........................................... 35

4.1- Apresentação do modelo ......................................................................................... 35

4.1.1- Macro do SAP2000 ............................................................................................... 37

4.2- Comparação com outros modelos ............................................................................ 42

4.2.1- Vigas de 2 tramos.................................................................................................. 42

4.2.2- Vigas de 3 tramos.................................................................................................. 44

5- Estudo Paramétrico ......................................................................................................... 47

5.1- Influência dos parâmetros na definição da esbelteza normalizada ............................ 48

5.1.1-Influência da espessura da alma............................................................................. 48

5.1.2- Influência da largura dos banzos metálicos ............................................................ 52

5.1.3- Influência da espessura dos banzos metálicos....................................................... 56

5.1.4- Influência da largura do banzo de betão ................................................................ 59

5.1.5- Influência da sobrecarga........................................................................................ 62

5.1.6- Influência do comprimento do vão ......................................................................... 66

5.1.7- Influência da tensão de rotura à compressão do betão .......................................... 70

5.1.8- Influência da tensão de cedência do aço ............................................................... 72

viii

5.2- Proposta de fórmula de cálculo da esbelteza normalizada ....................................... 75

5.2.1- Vigas de 2 vãos ..................................................................................................... 75

5.2.2- Vigas de 3 vãos ..................................................................................................... 90

6- Conclusão e desenvolvimentos futuros .......................................................................... 107

7- Bibliografia .................................................................................................................... 109

8- Anexos .......................................................................................................................... 111

A-Tabelas ......................................................................................................................... 111

A1-Dois vãos ................................................................................................................. 111

A2-Três vãos ................................................................................................................. 129

ix

Índice de figuras

2.1 Condição de equilíbrio da viga mista para momentos negativos [5]. .................................... 6

2.2 Modo de encurvadura: (a) distorcional;(b) local [11]. ............................................................ 8

2.3 Modo de encurvadura de uma viga mista aço-betão [4]. ...................................................... 9

2.4 Modelos de viga mista aço-betão: (a) longitudinal (b) corte transversal [7]. ........................ 10

2.5 Distribuição de esforços no perfil metálico [8]. ................................................................... 13

3.1 Analogia entre membro comprimido sob fundação elástica e o problema de encurvadura

lateral [4] ................................................................................................................................. 19

3.2 Modelo de U invertido [2] ................................................................................................... 20

3.3 Modelo utilizado para a definição do momento crítico da viga mista [4] .............................. 20

3.4 Fator de comprimento efetivo ( para vigas com momentos de extremidade diferentes e

carga uniforme [4] ...................................................................................................... 22


carga uniforme [4] ................................................................................................... 23


carga pontual a meio-vão [4] ...................................................................................... 23


carga pontual a meio-vão [4] ................................................................................... 24

3.8 Deformada da viga mista e do perfil isolado [5] .................................................................. 25

3.9 Sistema equivalente de molas que representa o empenamento da secção [5] ................... 26

3.10 Influência da rigidez da alma no coeficiente de empenamento [5] .................................... 27

3.11. Sistema equivalente de molas que representa a inércia efetiva da secção [5]. ................ 27

3.12 Influência da rigidez de torção do banzo na rigidez lateral da alma [5] ............................. 28

3.13 Sistema equivalente de molas que representa a constante de torção de St Venant da

secção [5]. .............................................................................................................................. 28

3.14 Influência da rigidez lateral do banzo comprimido na rigidez flexão da alma [5] ............... 29

3.15 Rigidez de flexão da viga contínua, definição do fator α ....................................... 31

3.16 Valor para vigas com carregamento de vão [15] .......................................................... 32

3.17 para vigas sem carregamento de vão [15] ................................................................... 33

3.18 Valor para vigas de extremidade [15] .......................................................................... 33

4.1 Secção transversal da viga Mista de aço-betão ................................................................. 36

4.2 Vãos equivalentes utilizados para a determinação das larguras efetivas (3 vãos). ............. 37

4.3 Secção transversal I genérica utilizada no modelo de viga................................................. 39

4.4 Modelo de elementos finitos, elementos de barra .............................................................. 39

4.5 Propriedades da secção transversal .................................................................................. 40

4.6 Exemplo de deformada e diagrama de momentos fornecidos pelo SAP2000 ..................... 41

4.7 Esboço da secção mista tipo utilizada no estudo paramétrico, sem escala ........................ 41

x

4.8 Viga de 2 tramos, vão e carregamentos tipo ...................................................................... 42

4.9 Influência da espessura da alma no valor do momento crítico da secção de vigas mistas

contínuas de dois vãos, para almas com as seguintes alturas ................................................. 43

4.10 Viga de 3 tramos, vão e carregamentos tipo .................................................................... 44

4.11 Influência da espessura da alma no valor do momento crítico da secção de vigas mistas

contínuas de três vãos, para almas com as seguintes alturas .................................................. 46

5.1 Influência da espessura da alma no valor da esbelteza normalizada da secção de vigas

mistas contínuas, para diferentes: (a) alturas da alma; (b) larguras do banzo; (c) espessuras do

banzo; (d) larguras dos banzo de betão; (e) comprimentos dos vãos; (f) tensão de cedência do

aço .................................................................................................................................... 50,51

5.2 Influência da largura dos banzos metálicos no valor da esbelteza normalizada da secção de

vigas mistas contínuas, para diferentes: (a) alturas da alma; (b) espessuras da alma; (c)

espessura do banzo; (d) larguras dos banzo de betão; (e) comprimentos dos vãos; (f) tensão

de cedência do aço ............................................................................................................ 54,55

5.3 Influência da espessura dos banzos metálicos no valor da esbelteza normalizada da secção

de vigas mistas contínuas, para diferentes: (a) alturas da alma; (b) espessuras da alma; (c)

larguras dos banzos metálicos; (d) comprimentos dos vãos; (e) tensão de cedência do aço ........

.......................................................................................................................................... 56,57

5.4 Influência da largura do banzo de betão no valor da esbelteza normalizada da secção de

vigas mistas contínuas, para diferentes: (a) alturas da alma; (b) espessuras da alma; (c) largura

dos banzos metálicos; (d) espessura dos banzo metálicos; (e) comprimento dos vãos; (f)

tensão de cedência do aço................................................................................................. 60,61

5.5 Representação da variação da sobrecarga no estudo paramétrico efetuado na viga mista

de aço-betão ........................................................................................................................... 63

5.6 Influência da sobrecarga no valor da esbelteza normalizada da secção de vigas mistas

contínuas, para diferentes: (a) alturas da alma; (b) espessuras da alma; (c) largura dos banzos

metálicos; (d) espessura dos banzo metálicos; (e) comprimento dos vãos; (f) tensão de

cedência do aço ................................................................................................................. 64,65

5.7 Representação da variação do vão no estudo paramétrico efetuado na viga mista de aço-

betão ...................................................................................................................................... 67

5.8 Influência do comprimento do vão no valor da esbelteza normalizada da secção de vigas

mistas contínuas, para diferentes: (a) alturas da alma; (b) espessuras da alma; (c) largura dos

banzos metálicos; (d) espessura dos banzo metálicos; (e) sobrecarga; (f) tensão de cedência

do aço ................................................................................................................................ 68,69

5.9 Influência da tensão de rotura do betão valor da esbelteza normalizada da secção de vigas

mistas contínuas, para diferentes: (a) alturas da alma; (b) espessuras da alma; (c) largura do

banzo de betão ....................................................................................................................... 71

5.10 Influência da tensão de cedência do aço no valor da esbelteza normalizada da secção de

vigas mistas contínuas, para diferentes: (a) alturas da alma; (b) espessuras da alma; (c) largura

dos banzos metálicos; (d) espessura dos banzos metálicos ............................................... 72,73

5.11 Influência do parâmetro hw/tw na definição da esbelteza normalizada para diferentes: (a)

alturas de alma; (b) larguras dos banzos do perfil metálico; (c) espessuras dos banzos do perfil

metálico; (d) larguras do banzo de betão; (e) comprimentos de vão; (f) tensões de cedência ......

.......................................................................................................................................... 76,77

xi

5.12 Influência do parâmetro tf/Bf na definição da esbelteza normalizada para diferentes: (a)

alturas de alma; (b) espessuras da alma; (c) espessuras dos banzos do perfil metálico; (d)

larguras do banzo de betão; (e) comprimentos de vão; (f) tensões de cedência ................. 80,81


alturas de alma; (b) espessuras da alma; (c) larguras dos banzos do perfil metálico; (d) larguras

do banzo de betão; (e) comprimentos de vão; (f) tensões de cedência ............................... 82,83

5.14 Influência do parâmetro L3 na definição da esbelteza normalizada para diferentes: (a)

alturas de alma; (b) espessuras da alma; (c) larguras dos banzos do perfil metálico; (d)

espessuras dos banzos do perfil metálico; (e) larguras do banzo de betão; (f) tensões de

cedência do aço ................................................................................................................. 86,87

5.15 Influência do parâmetro C4 na definição da esbelteza normalizada para diferentes: (a)

alturas de alma; (b) espessuras da alma; (c) larguras dos banzos do perfil metálico; (d)


cedência do aço ................................................................................................................. 88,89

5.16 Influência do parâmetro hw/tw na definição da esbelteza normalizada para diferentes: (a)

alturas de alma; (b) larguras dos banzos do perfil metálico; (c) espessuras dos banzos do perfil

metálico; (d) larguras do banzo de betão; (e) comprimentos dos vãos; (f) tensões de cedência

do aço ................................................................................................................................ 92,93


alturas de alma; (b) espessuras das almas; (c) espessuras dos banzos do perfil metálico; (d)

larguras do banzo de betão; (e) comprimentos dos vãos; (f) tensões de cedência do aço............

.......................................................................................................................................... 94,95


alturas de alma; (b) espessuras das almas; (c) larguras dos banzos do perfil metálico; (d)

larguras do banzo de betão; (e) comprimentos dos vãos; (f) tensões de cedência do aço... 98,99

5.19 Influência do parâmetro L na definição da esbelteza normalizada para diferentes: (a)


espessuras dos banzos do perfil metálico; (e) tensões de cedência do aço .................... 100,101

5.20 Influência do parâmetro C4 na definição da esbelteza normalizada para diferentes: (a)


espessuras dos banzos do perfil metálico; (e) tensões de cedência do aço .................... 102,103

5.21 Influência do parâmetro fyd na definição da esbelteza normalizada para diferentes: (a)


espessuras dos banzos do perfil metálico ...................................................................... 104,105

xii

xiii

Índice de Tabelas

5.1 Valores dos parâmetros que definem a viga mista tipo ...................................................... 48

5.2 Valores dos parâmetros que definem a viga mista utilizada ............................................... 48

5.3 Valores do parâmetro espessura da alma.......................................................................... 48

5.4 Valores do parâmetro largura dos banzos metálicos .......................................................... 52

5.5 Valores do parâmetro espessura dos banzos metálicos..................................................... 58

5.6 Valores do parâmetro largura do banzo de betão .............................................................. 59

5.7 Valores do parâmetro sobrecarga...................................................................................... 62

5.8 Valores do parâmetro comprimento do vão ....................................................................... 66

5.9 Valores do parâmetro tensão de rotura do betão ............................................................... 70

5.10 Valores do parâmetro tensão de cedência do aço ........................................................... 74

5.11 Valores dos parâmetros hw e tw ....................................................................................................................................75

5.12 Valores dos parâmetros tf e bf .......................................................................................................................................78

5.13 Valores dos parâmetros tf e bf .......................................................................................................................................84

xiv

xv

Índice de Símbolos

Latim, maiúsculas

A – fator função das condições de apoio

Aa – área do perfil de aço

Ac – área do banzo de betão

Ae – área homogeneizada do betão

As – área de armaduras por unidade de largura de laje de betão

As,l – área das armaduras longitudinais por unidade de comprimento

As,t – área das armaduras transversais por unidade de comprimento

Bc – largura do banzo de betão

Bc,eff – largura efetiva do banzo de betão

C1 – coeficiente

C2 – coeficiente

C3 – coeficiente

C4 - coeficiente

E – módulo elasticidade do aço

Ea – módulo de elasticidade do aço estrutural

EC4 – Eurocódigo 4

Ecm – módulo de elasticidade médio do betão

EaI2 – rigidez de flexão da laje fendilhada por unidade de largura

EaIafz – rigidez de empenamento do banzo inferior

EIwD – rigidez de empenamento do perfil

Es – módulo secante

Et – módulo tangente

G;Ga;Gc – módulo de torção do aço

GIt,eff – constante de torção de St. Venant efetiva

GIt – rigidez de torção do perfil

GIat – rigidez de torção de St. Venant do perfil metálico

Iafz – momento de inércia do banzo inferior em torno do eixo perpendicular à direção de maior

inércia

Iat – constante de torção St. Venant do aço

Iay – momento de inércia perpendicular ao eixo de maior inércia da secção de aço

Iaz – momento de inércia paralelo ao eixo de maior inércia da secção de aço

If – momento de inércia do banzo comprimido segundo a direção de maior inércia da secção

Ist,y – momento de inércia da secção mista em relação ao eixo central de maior inércia da

secção mista

Iz – momento de inércia perpendicular ao eixo de maior inércia da secção de aço

Iω – constante de empenamento

IωD – constante de empenamento em relação ao seu centro de corte

Iw – momento de inércia da alma segundo a direção de maior inércia

Iy – momento de inércia da secção mista fendilhada segundo a direção de maior inércia

It;J – módulo de torção de St. Venant

Jf – módulo de torção de St. Venant do banzo comprimido

Kf – rigidez dos banzos do perfil de aço

Kfcl – rigidez lateral do banzo comprimido do perfil de aço

Kfc∅ - rigidez de torção do banzo comprimido do perfil de aço

Kf∅ - rigidez de torção dos banzos do perfil de aço

xvi

Kw – rigidez da alma do perfil de aço

Kw∅ - rigidez de flexão da alma do perfil de aço

L – vão da viga

M0 – momento lateral de flexão -torção

Mb,Rd – momento fletor resistente da viga mista à encurvadura lateral

Mcr – momento crítico resistente da viga mista à flexão lateral

Md – momento crítico distorcional

MEd – momento fletor atuante

MRd – momento fletor resistente da viga mista

MRDLT – momento resistente à encurvadura lateral distorcional

MRk – momento fletor resistente característico da viga mista

My – momento aplicado ao nó

R1 – relação entre rigidez lateral da alma sobre a rigidez lateral do banzo comprimido

R2 – relação entre a rigidez de flexão da alma sobre a rigidez de torção do banzo comprimido

Latim, minúsculas

a – constante

b – largura/comprimento de elemento do perfil metálico; constante

bf – largura do banzo do perfil metálico

c∅ - restrição elástica de torção

e – afastamento entre conetores

fck – tensão de rotura característica do betão

fcd – tensão de rotura de cálculo do betão

fsk – tensão de cedência característica das armaduras

fsd – tensão de cedência de cálculo das armaduras

fyd – tensão de cedência de cálculo do aço estrutural

h – altura da secção metálica

hc – altura do banzo de betão

hp – distância entre a base da secção mista e o centro de gravidade da área de betão entre as

nervuras

hs – distância entre as linhas médias dos banzo do perfil metálico

hs,l – altura das armaduras longitudinais

hs,t – altura das armaduras transversais

hw – altura da alma do perfil de aço

ip – raio de giração polar

kc - coeficiente

k1 – rigidez de flexão da laje fendilhada

k2 – rigidez de flexão da alma do perfil metálico

kfl – rigidez lateral dos banzos do perfil de aço

ks – rigidez de flexão transversal da secção mista

kwl – rigidez lateral da alma do perfil de aço

kz – constante de restrição elástica.

mt – momento de torção uniformemente distribuido

n – número de ondas

t – espessura de um elemento do perfil metálico

tf – espessura do banzo do perfil metálico

tw – espessura da alma do perfil metálico

w – carga de colapso do modo de encurvadura lateral

wcr – carga crítica do modo de encurvadura lateral

xvii

wu – carga de formação da primeira rótula plástica

zc – distância entre o baricentro da secção estrutural de aço e a meia espessura da laje de

betão

zD – distância entre o centro de corte e o banzo do perfil metálico restringido pelo banzo de

betão

zM – coordenada do centro de corte

zst,a – distância entre os baricentros do perfil e da secção mista

Grego, maiúsculas

– esbelteza normalizada

– esbelteza lateral normalizada

– fator de redução do momento fletor sujeito a instabilidade lateral

Grego, minúsculas

α – fator função das condições de apoio da laje

βb – fator de comprimento

ea – deformação

∅k – amplitude de onda do modo de deformação da viga

∅’ – rotação da viga

ηb – fator de comprimento

ν;νa – coeficiente de Poisson

ψ – razão entre os momentos de extremidade

xviii

1- Introdução

1.1- Generalidades

Neste trabalho será abordado o problema da encurvadura lateral em vigas mistas aço-betão,

sendo que se considera estrutura mista qualquer elemento estrutural constituído por dois ou

mais materiais diferentes. Na estrutura os materiais encontram-se ligados entre si, funcionando

em conjunto.

O objetivo principal deste tipo de associação de materiais é retirar de cada um dos

componentes o melhor das suas propriedades, obtendo-se dessa forma uma nova estrutura

com comportamento diferente do dos materiais individuais, sendo expectável que a estrutura

mista tenha uma comportamento superior à dos materiais que a compõem quando utilizados

em obra de forma isolada.

Como referido anteriormente o objeto de estudo serão vigas mistas, neste caso de aço-betão.

O aço e o betão funcionam bem em conjunto porque os dois materiais apresentam

deformações de ordem de grandeza semelhantes quando sujeitos aos mesmos esforços, o que

se torna bastante conveniente uma vez que os esforços a que os materiais estão sujeitos

causam deformações tanto no betão como no aço e se cada material estivesse sujeito a

deformações de diferentes dimensões formar-se-iam tensões na ligação entre o betão e o aço

que poderiam inviabilizar a utilização deste género de estrutura mista. Este elemento estrutural

misto combina o melhor das características dos dois materiais (aço e betão) que o compõem.

A viga é constituída por uma laje de betão armado assente sobre um perfil I de aço, os dois

materiais são ligados, usualmente, por conectores metálicos, permitindo, desta forma, que

ambos funcionem em conjunto.

Nos últimos anos, as vigas mistas de aço-betão têm sido utilizadas com maior frequência na

indústria da construção, por um lado por serem mais competitivas tanto a nível da velocidade

de execução como também a nível económico, mas também porque a utilização destes dois

materiais (aço e betão) em conjunto permite explorar as melhores características destes

materiais.

Sendo que uma viga mista de aço-betão apresenta maior resistência à flexão quando o betão

funciona à compressão (evitando os problemas de encurvadura do aço) e o aço funciona à

tração evitando que o betão fendilhe, porém este tipo de situação só acontece quando a viga é

2

simplesmente apoiada, permitindo que se desenvolva apenas momento positivo (compressão

no betão e tração no aço).

Em algumas estruturas, todavia, o modelo de viga simplesmente apoiada não é o mais

adequado utilizando-se então o modelo de viga contínua; o que irá ocasionar o

desenvolvimento de momentos negativos nos apoios (tração no betão e compressão no aço).

Nas zonas de momentos negativos o betão tem tendência a fendilhar (mesmo quando as

forças de tração não são elevadas) e a fendilhação do betão provoca uma diminuição da

rigidez da estrutura, reduz os efeitos de continuidade da viga e provoca uma diminuição da

capacidade de redistribuição de esforços de flexão por parte da secção.

Por outro lado as tensões de compressão presentes no aço (dependo da esbelteza do banzo e

da alma do perfil) podem provocar problemas de encurvadura tanto local como lateral, sendo

que os fenómenos de encurvadura lateral são o objetivo do estudo desenvolvido nesta

dissertação.

No caso de uma viga mista de aço-betão sujeita a flexão negativa a presença do banzo de

betão vai influenciar o comportamento do perfil de aço aos fenómenos de encurvadura lateral.

A laje de betão vai restringir a deformação do banzo do perfil metálico, o que resulta numa

restrição da deformação da alma do perfil metálico, diminuindo o efeito dos fenómenos

encurvadura lateral, em comparação com o caso de um perfil de aço isolado.

A encurvadura lateral, segundo o EC4, é controlada garantindo que o valor de cálculo do

momento atuante máximo negativo ( ) seja inferior ao valor de cálculo do momento

resistente à encurvadura lateral o qual é obtido reduzindo o valor do momento fletor

resistente no apoio interno ( ) de um factor, . Este fator depende da

esbelteza normalizada , que por sua vez depende do valor de momento crítico elástico ,

que é admitido pelo EC4 (CEN, 2004). Uma expressão para a determinação de é

disponibilizada no Anexo B da versão ENV do EC4 (CEN, 2000).

1.2- Objectivo

Conforme foi referido, um dos fenómenos de instabilidade mais importantes em vigas mistas é

o fenómeno da encurvadura lateral, o qual condiciona significativamente o dimensionamento

destes elementos.

O objetivo da presente dissertação é precisamente o desenvolvimento de uma ferramenta em

Excel que permita de forma expedita calcular o momento resistente à encurvadura lateral

(Mb,Rd), segundo a metodologia descrita na EN 1994-1-1.

3

Apresentam-se alguns exemplos ilustrativos do método proposto. Para efeitos de validação, os

resultados obtidos com a formulação proposta são comparados com os fornecidos por outros

autores.

Posteriormente ao desenvolvimento do “toolkit” realizou-se um estudo paramétrico com o

objetivo de fornecer expressões que possibilitem de uma forma aproximada e conservativa

calcular de forma expedita o valor da esbelteza normalizada (λLT).

1.3- Organização da Tese

No primeiro capítulo é feita uma introdução ao tema (problemas de encurvadura lateral em

vigas mistas de aço betão), enquadrando o estudo em questão e transmitindo os problemas e

benefícios do uso das vigas mistas de aço-betão na construção civil, para à posteriori se

definirem os objetivos a que se propõe esta dissertação.

No segundo capítulo são apresentados e desenvolvidos estudos de autores acerca do tema da

encurvadura lateral em vigas mistas.

No terceiro capítulo são escolhidos dois estudos (Hanswille 2000 e Dekker, Kemp e Trinchero

1995), de entre aqueles apresentados no capítulo anterior, que se enquadram de forma mais

pormenorizada no estudo desenvolvido. As publicações serão então apresentadas em maior

pormenor, sendo em cada um dos trabalhos descrito o método de cálculo do momento crítico à

encurvadura lateral. O primeiro método a ser apresentado é de Hanswille seguido

posteriormente pelo método desenvolvido por Dekker, Kemp e Trinchero. Após a apresentação

destes trabalhos será então explanado o método utilizado para abordar o problema da

encurvadura lateral neste estudo, que se baseia no método utilizado no EC4.

No quarto capítulo é apresentado o modelo de cálculo desenvolvido através de um “toolkit” em

Excel. Seguidamente é feita uma comparação entre os modelos apresentados no capítulo

anterior, com o objetivo de validar o modelo de cálculo.

No quinto capítulo é executado um estudo paramétrico, para definir a influência que alguns

parâmetros têm no cálculo da esbelteza normalizada da viga mista de aço-betão, sendo os

resultados do estudo utilizados para definir uma expressão que torne o cálculo da esbelteza

normalizada mais simples.

No capítulo sexto serão apresentadas as conclusões acerca do estudo efetuado e os

desenvolvimentos futuros relativos ao estudo aqui desenvolvido.

4

5

2- Revisão Bibliográfica

Neste capítulo será feito um enquadramento relativamente ao desenvolvimento do tema

abordado nesta dissertação, fazendo-se referência a algumas publicações importantes

relativas ao tema, encurvadura em vigas mistas aço-betão. Bradford e Gao (2000) apresentam

uma solução para um modelo de viga mistas bi-encastrada sujeita a uma carga uniforme e

consequentemente a um diagrama de momentos fletores não uniformes. Como o diagrama de

momentos é não uniforme a análise não é simples, uma vez que, sendo a secção mista o

comportamento viga é diferente quando sujeita a momento fletor positivo ou negativo, porque

depende do esforço a que o betão está sujeito (tração ou compressão) pode existir fendilhação

do betão e alteração da inércia da secção mista, tornando a análise de viga bastante complexa.

O momento crítico foi definido através de um modelo de elementos finitos desenvolvido

anteriormente por Bradford (1981), em que a deformação da alma por flexão transversal é

definida por uma função cúbica.

Mais tarde Bradford desenvolveu um estudo onde é analisada a influência de vários

parâmetros geométricos no cálculo do momento crítico.

Os autores Dekker, Kemp e Trinchero (1995) publicaram um estudo onde partiram do princípio

de que a teoria de vigas assume que secções planas permanecem planas na flexão e que a

teoria básica de encurvadura assume que não corre deformação da secção transversal durante

a encurvadura. Estas hipóteses não se aplicam às regiões com momento de encurvadura de

vigas contínuas.

A resistência ao momento de encurvadura de vigas mistas é determinada pela magnitude do

esforço axial nos reforços de aço na laje de betão, pelo esforço de compressão na porção da

viga de aço (nomeadamente no banzo inferior e numa parte da alma) e a distância entre as

resultantes destes esforços.

É importante reconhecer que a zona à compressão não está diretamente restringida pela laje

de betão, como no caso da região sujeita a momento de cedência numa viga mista contínua. A

instabilidade local e lateral da viga de aço ocorrem na região dos momentos negativos e estas

formas de encurvadura têm vindo a ser reconhecidas como sendo altamente interativas. A

abertura de fendas na laje de betão ocorre em níveis de carga bem abaixo dos estados limites

de utilização (entre 30 a 40%) e uma secção fendilhada é tida como a secção dos estados

limites de utilização em dimensionamentos.

Os fatores que influenciam a resistência de vigas mistas sujeitas a momentos fletores

negativos, podem ser resumidos como:

6

a) Quantidade de reforços na laje – A profundidade da alma à compressão é controlada

pelo aumento de reforços na laje. Encurvadura local da alma e do banzo à compressão

limitam a quantidade de reforços ativos na laje.

b) Encurvadura lateral distorcional da secção de aço – a laje de betão restringe, torsional

e lateralmente, o banzo à tração da viga de aço. A resistência à encurvadura lateral

torsional da viga de aço depende da extensão na qual a alma consegue restringir o

movimento do banzo à compressão.

c) Encurvadura local da alma e do banzo à compressão – onde a geometria da secção é

suficientemente esbelta, que permite o desenvolvimento de encurvadura lateral a níveis

de carga abaixo do momento de encurvadura lateral distorcional, o momento efetivo de

resistência é reduzido.

Figura 2.1: Condição de equilíbrio da viga mista para momentos negativos [5]

Quando secções enformadas ou soldadas são utilizadas em vigas mistas contínuas, pode

ocorrer encurvadura local e lateral apenas nas regiões de momentos negativos, pois como se

pode verificar na figura 2.1 a metade superior da secção encontra-se tracionada, o que

provoca fendilhação do betão, enquanto a metade inferior se encontra comprimida, o que

propicia o desenvolvimento de fenómenos de instabilidade.

Os autores consideraram um método simples no qual a teoria clássica de alma rígida é

ajustada para incluir as restrições do banzo de betão à tracção e a rigidez à flexão fora do

plano da alma.

Os autores basearam o seu estudo na equação do momento crítico elástico (2.1) para vigas de

aço,

(2.1)

mas como no caso das vigas mistas a presença da laje de betão altera o comportamento do

perfil de aço conferindo ao perfil um efeito de distorção da secção que não é tido em conta na

equação anterior, os autores definiram “propriedades efetivas” da secção para simular o

7

comportamento da secção mista, essas propriedades efetivas não são mais que algumas

propriedades da secção metálica (constante de empenamento, inercia de flexão segundo a

menor inercia, rigidez de torção) multiplicadas por constantes ( ; ; ) que são função de

dois coeficientes de rigidez . Os coeficientes de rigidez dependem rigidez de torção e

da rigidez lateral do banzo a compressão.

Os autores fazem também um estudo da resistência à encurvadura para casos elásticos e

elastoplásticos. Estes resultados foram validados através de comparação com resultados

obtidos por outros autores, usando o método dos elementos finitos, e resultados obtidos com a

norma BS5400.

Bradford (1998) analisou a encurvadura distorcional de vigas soldadas com secção em I

sujeitas a momento uniforme, desenvolvendo um método que tem em consideração a restrição

total à translação e a restrição parcial do banzo tracionado, ou seja, do banzo que se encontra

no, caso de uma viga mista, acoplado ao betão. Neste método, o autor considerou que o aço

teria um comportamento elastoplástico, para além de que se admitiu os perfis metálicos I são

soldados e que do processo de soldadura entre os banzos e a alma resultaram tensões

residuais, admite-se também que ao instabilizar a alma desenvolve uma encurvadura que pode

ser definida por uma função de terceiro grau com andamento sinusoidal, sendo que a função é

definida em função das rotações e deslocamento dos banzos.

Bradford e Kemp (2000) definiram os fenómenos de encurvadura de vigas mistas como um

fenómeno exclusivo das zonas de momentos negativos, em que o banzo inferior do perfil

estrutural se encontra comprimido e o banzo superior, restringido pela laje de betão, se

encontra tracionado. Os modos de encurvadura podem ser locais ou globais (figura 2.2),

sendo o primeiro caracterizado pela deformação da alma e o segundo pela distorção do perfil

metálico (encurvadura distorcional). Os autores concluem que a encurvadura em vigas mistas é

ainda um tema em desenvolvimento na engenharia atual, mostrando a necessidade de se obter

um método global para modelar este comportamento, de forma mais precisa e com regras de

dimensionamento uniformes.

8

Figura 2.2: Modo de encurvadura: (a) distorcional;(b) local [11]

O modelo de cálculo de momentos críticos desenvolvido por Hanswille (2000) baseia-se no

modelo de estrutura em “U” invertido, no qual o perfil de aço está lateral e elasticamente

impedido de rodar pela laje de betão, as restrições a que a laje de betão sujeitam o perfil

metálico são simuladas por um modelo baseado na teoria do membro comprimido sob

fundação elástica, permitindo dessa forma determinar o momento crítico elástico da secção. O

autor apresenta métodos de cálculo do momento crítico elástico de vigas simplesmente

apoiadas e de vigas contínuas, em que no segundo caso é necessário a utilização de ábacos e

o cálculo de uma constante de torção de St. Venant efetiva , para ter em conta a

distribuição de tensões ao longo da viga mista. Hanswille apresenta um exemplo de aplicação

do método para o caso de uma viga contínua e compara-o com o Anexo B da ENV (CEN,

2000), concluindo que a ENV apresenta valores inconsistentes. Na figura 2.3 é possível

verificar a forma como a viga mista se deforma quando sujeita a instabilidade latera, sendo que

a maior deformada da estrutura pertence à alma do perfil metálico.

Vrcelj e Bradford (2007) estudaram o modo de encurvadura distorcional restringido ou RDB

(“Restrained Distortional Buckling”), de vigas mistas sujeitas à flexão composta, que envolve a

distorção da alma no plano da secção transversal. O projeto de vigas mistas contínuas é

significativamente influenciado pela encurvadura lateral distorcional.

Para membros sem restrições adicionais entre apoios, a encurvadura lateral torsional é

influenciada pela flexibilidade da laje de betão e especialmente pela flexibilidade da alma da

secção de aço. Para o cálculo do momento fletor crítico elástico, pode ser utilizado um modelo

em que a secção de aço é lateralmente apoiada no banzo superior, sendo restringido a rotação

elasticamente. O coeficiente efetivo elástico torsional de restrição cv pode ser calculado

considerando as deformações da laje de betão e da alma da secção de aço. O simples cálculo

do momento fletor crítico elástico é possível com a ajuda da analogia entre o membro à

compressão em fundação elástica e o problema da encurvadura lateral torsional com restrição

à encurvadura lateral e torsional.

9

Figura 2.3: Modo de encurvadura de uma viga mista aço-betão [4]

Os autores basearam-se num modelo de coluna-viga simplesmente apoiada, cuja secção

transversal é constituída por uma laje de betão e um perfil metálico I duplamente simétrico.

A viga é sujeita a uma combinação de esforços flexão e esforço axial, e objetivo do método

proposto é calcular o valor das cargas críticas da estrutura. Os autores chegaram a conclusão

que o modelo proposto conduz a uma boa precisão, sendo posteriormente desenvolvidos

alguns estudos paramétricos.

Em zonas de encurvadura com momentos negativos, a laje restringe a região da viga

tracionada, sendo que o eixo neutro não fica a meia altura da alma, mas sim entre a metade

superior da viga metálica e a laje de betão. Em zonas de momentos negativos, a viga de aço

está predominantemente sujeita a esforços de compressão. Para além disso, a alma suporta

proporcionalmente cargas maiores do que em vigas de aço comuns. A resistência à

encurvadura lateral distorcional da viga contínua está, assim, dependente da extensão sobre a

qual a alma consegue conter o banzo instável comprimida. Apesar da encurvadura de vigas de

aço, tanto em deformações elásticas como não-elásticas, ter vindo a ser extensivamente

estudada e investigada, com resultados muito precisos e apurados, tal não se verifica ao nível

do comportamento de vigas mistas, onde a investigação ainda não atingiu um nível tão

elevado. O método de análise “bubble augmented spline finite strip” foi desenvolvido por

Bradford e Vrcelj com o objetivo de estudar aprofundadamente o RDB em vigas mistas nas

zonas de momentos críticos distorcionais.

10

Figura 2.4: Modelos de viga mista aço-betão: (a) longitudinal (b) corte transversal [7]

O método de análise “bubble augmented spline finite strip” é semelhante ao método semi-

analítico tendo em conta que a tipologia da estrutura ainda é definida em faixas longitudinais e

o nível do problema é reduzido. No entanto, a série harmónica longitudinal é substituída por

uma combinação linear de B3 – “splines” mantendo, ainda assim, o uso dos polinomiais de

interpolações transversais.

Este método de elementos finitos permite lidar com algumas dificuldades encontradas até

então por métodos de elementos finitos como cargas concentradas e outros tipos de

configurações de carga (especialmente de corte) e condições de fronteira, que foram

identificadas por Bradford e Vrcelj (2000), sendo ultrapassadas com sucesso com os B3 –

“splines”.

É sabido que o método dos elementos finitos é tido como a mais poderosa e versátil ferramenta

numérica para cálculo estrutural complexo. Teoricamente, o método dos elementos finitos pode

ser aplicado à análise da maior parte das estruturas. No entanto, na prática a sua aplicação é

11

ainda muito limitada devido à grande exigência de recursos computacionais, particularmente

em problemas não lineares.

O método “bubble augmented spline finite strip” desenvolvido por Cheung et al. (1982) tem

particularidades extraordinárias. A utilização de polinomiais de baixa ordem na interpolação

simplifica o cálculo computacional, reduz o risco de cálculos instáveis dos algoritmos e reduz a

perda de rigor que, por vezes, ocorre em interpolações polinomiais de grau de ordem elevada.

Os “splines” têm vindo a ser aplicados a um vasto leque de problemas lineares e não-lineares

de engenharia. No contexto do método “bubble augmented spline finite strip”, a estrutura utiliza

“n” faixas ao longo do eixo x e “m” secções ao longo do eixo y, de forma a existirem “n” por “m”

subdomínios e (m+3) x (n+1) nós a incluir na computação. Assim, este método requer muitos

mais graus de liberdade que o método convencional e este fator retirou-lhe alguma

aplicabilidade. Azhari et al. (2000) incluíram as chamadas funções “bubble” (bolha) deste

método nas equações da encurvadura lateral e alcançaram uma significativa poupança de

recursos computacionais.

Outra dificuldade no uso deste método é a introdução de um complexo esquema de “splines”

locais na vizinhança dos apoios da fronteira e nos apoios internos. A incorporação de

condições arbitrárias de fronteira carece de formulação geral. Um novo modelo teórico,

desenvolvido por Vrcelj e Bradford (2004), permite que as restrições dos nós sejam definidas

quase da mesma forma que num método de elementos finitos tradicional. Este

desenvolvimento foi essencial no estudo de vigas mistas. Este estudo realiza análises de

bifurcação elástica – não inclui os efeitos do material e pequenos defeitos geométricos.

Mais recentement, Vrcelj e Bradford (2009) desenvolveram um método para determinar as

cargas de bifurcação elastoplásticas de vigas mistas com secção transversal com parede fina

baseado no método “bubble augmented spline finite strip”, desenvolvido também pelos

mesmos autores em 2007. O estudo é elaborado sobre o comportamento tanto de vigas

simplesmente apoiadas como de vigas contínuas, sendo o método validado através de uma

comparação com o método desenvolvido pelos próprios autores em 2008. Posteriormente

chegam à conclusão que para vigas mistas contínuas a resistência da secção diminui

consideravelmente, o que resulta do desenvolvimento de problemas de instabilidade nos

momentos negativos (encurvadura lateral e local), o que não acontece para vigas

simplesmente apoiadas. Por fim chegou-se à conclusão que para vãos pequenos a

encurvadura local é dominante ao contrário do que acontece para vãos maiores onde é a

encurvadura lateral que predomina.

A análise de vigas contínuas é feita em duas partes: a primeira é a análise no plano da parede,

utilizando o método das forças para determinar a distribuição do momento e a esforço de corte

ao longo do comprimento de cada membro. Quando uma viga tem um carregamento mais

12

generalizado do que outra com momentos iguais de sentido oposto nos seus apoios, o

momento no plano varia ao longo da viga, donde, quando ocorre flexão a sua variação também

varia. A análise elastoplástica de vigas sujeitas a esforços transversais é mais complexa do

que de vigas sujeitas a flexão uniforme. Desta forma, a viga tem um comportamento não-

uniforme e as equações de equilíbrio tornam-se mais complexas. De qualquer das formas, as

variações das tensões residuais dos banzos são praticamente uniformes em banzos soldados

e, como tal, quando a encurvadura começa, espalha-se rapidamente através do banzo com um

pequeno aumento do momento. Esta situação provoca grandes reduções do momento crítico

da encurvadura elastoplástica das vigas com maior espessura.

A segunda parte é a análise da flexão fora do plano com o método “bubble augmented spline

finite strip”. A encurvadura é considerada como uma bifurcação a partir de uma configuração

plana pré-encurvada, para que as deformações produzidas no plano e as análises à

encurvadura são separadas.

Na análise à encurvadura elástica, a matriz da rigidez é uma matriz de constantes. A adição

das rigidezes elásticas e geométricas leva à formulação da equação do equilíbrio que pode ser

resolvida através dos procedimentos com valores próprios “standards”. Na encurvadura

elastoplástica, contudo, a matriz de rigidez deve ser modificada para incluir os efeitos da

alteração das propriedades de rigidez do material associado à deformação plástica que

antecede a encurvadura. Esta modificação é afetada alterando as matrizes de rigidez fora do

plano para que contenham coeficientes que dependam do estado de plasticidade das paredes

e, consequentemente, do estado de tensão. A modificação adotada depende da teoria acerca

do comportamento de encurvadura elastoplástica escolhida. As teorias de plasticidade têm

como ponto de partida a lei da tensão-deformação para tensão simples ou compressão. Na

fase elástica, a relação entre tensão e deformação é essencialmente linear. Para lá da fase

elástica, dois métodos de representação são geralmente utilizados. Num deles, considera-se

uma relação finita entre tensão e deformação. Contudo, o módulo de elasticidade E é

substituído pelo módulo secante ES, que depende do estado de tensão. O outro método é o

incremental, que utiliza o módulo tangente Et, que também varia com a tensão.

A teoria por trás do método dos elementos finitos admite que ao comportamento dos materiais

é plástico quando se aplica a carga enquanto que, ao descarregar, o comportamento será

elástico. Com o objetivo de definir as teorias da plasticidade de forma matemática, assume-se

que os principais eixos de tensão coincidem com os principais eixos da deformação plástica.

13

Figura 2.5: Distribuição de esforços no perfil metálico [8]

Salah e Gizewjowski (2008) elaboraram um modelo de elementos finitos com o objetivo de

analisar o comportamento das vigas mistas sujeitas a problemas de instabilidade em zona de

momentos negativos, os autores basearam o seu estudo num modelo de viga contínua de dois

tramos. Sendo o método validado através de comparação dos resultados com o modelo

desenvolvido por Bradford e Gao [10], demonstrando este modelo ser mais conservativo à

medida que a área de betão aumenta em relação à área de aço. Após esta verificação

elaborou-se um estudo paramétrico do qual resultou a seguinte expressão

(2.2)

Sendo,

- carga de colapso do modo de encurvadura lateral,

carga de formação da rótula plástica

– esbelteza normalizada

- carga crítica do modo de encurvadura lateral

a, b, n - constantes

14

Os autores concluíram ainda que, à medida que o vão da viga vai aumentando a mesma tem

maior tendência a sofrer de problemas de encurvadura lateral ao invés de colapsar por

formação de rótula plástica.

O comportamento de vigas mistas de betão e aço tem vindo a ser investigado de três formas,

nomeadamente em testes experimentais, modelos analíticos e pelo uso de análise numérica.

Uma investigação da encurvadura lateral de vigas mistas foi apresentada por Salah e

Gizejowski (2008).

Foram realizados estudos numéricos paramétricos com o auxílio do método não-linear de Riks

(ferramenta de cálculo de fenómenos de instabilidade) e a linguagem de programação

“ABAQUS” (programa de elementos finitos), sendo que o objectivo seria prever a qual a

quantidade de carga que se poderia aplicar à viga até ela começar a instabilizar lateralmente.

Este exercício permitiu a calibração dos valores das constantes para a avaliação da carga da

encurvadura.

Gizejowski e Salah (2007) recorreram a programas de elementos finitos para investigar o

comportamento de vigas mistas alveolares de um tramo e de vários tramos estaticamente

indeterminadas. Muitos parâmetros que podem afetar a rotura de vigas estaticamente

indeterminadas foram estudados, tais como a extensão da ação dos momentos negativos, a

forma das aberturas, a sua disposição e o seu espaçamento.

Vigas com aberturas de área igual mas formas diferentes, nomeadamente retangulares,

hexagonais ou circulares, e espaçadas igualmente foram estudadas experimentalmente por

Salah e Gizejowski. O estudo numérico e experimental indicou que as vigas mistas alveolares

são mais sensíveis a diferentes modos de encurvadura distorcional do que as vigas mistas sem

alvéolos.

O método prático, baseado na análise de esforços da primeira secção para a avaliação da

encurvadura distorcional de vigas mistas planas é dado pelo Eurocódigo 4 (EN 1994-1-1). O

método baseia-se na avaliação da resistência da viga à encurvadura tendo em conta a

esbelteza relativa para a qual o momento crítico (Mcr) é conhecido.

A utilização da análise de esforços da primeira secção para a previsão da resistência à

encurvadura de vigas contínuas é muito conservativa por causa da resistência ao momento no

apoio interno deste tipo de vigas é, geralmente, menor que a resistência em flexão positiva na

zona entre apoios. Este fator implica que secções de Classe 1 na região de momentos

negativos de apoios internos permitam que ocorra redistribuição dos momentos elastoplásticos.

Outro método analítico para a previsão de resistência à encurvadura de vigas mistas planas foi

proposto por Dekker et al. (1995), já anteriormente referido.

15

O método da força direta foi adotado pelos autores (Salah e Gizejowski 2008a) para estimar a

resistência à encurvadura de vigas mistas planas. Os mesmos autores adaptaram os seus

estudos ao estudo de vigas mistas alveolares (2008b e 2008c), com aberturas de formas e

espaçamentos diferentes.

16

17

3- Modelos de cálculo dos momentos críticos

3.1- Introdução

A encurvadura lateral pode ser ilustrada através do exemplo de uma viga de aço simplesmente

apoiada, submetida à flexão em torno do eixo de maior inércia e que apresenta uma secção

transversal em I. A encurvadura lateral é um fenómeno que depende sobretudo das restrições

ao deslocamentos dos banzos e se a meio-vão da viga o banzo superior do perfil de aço não

estiver devidamente travado, ou seja, impedido de se deslocar lateralmente, existe a

possibilidade de ocorrerem fenómenos de instabilidade.

Na zona comprimida existe um comportamento semelhante ao de uma coluna restringida

elasticamente e de um modo contínuo, já na zona tracionada não existe qualquer propensão

para existirem deslocamentos laterais.

O banzo superior, quando se encontra comprimido, é impedido pela alma de encurvar

verticalmente, mas se a relação entre a largura do banzo do perfil de aço e o vão da viga for

pequena, o perfil poderá encurvar lateralmente. A secção roda em torno do eixo longitudinal

mantendo a sua forma.

O banzo de betão, como já foi referido, impede o deslocamento do banzo superior do perfil

metálico e consequentemente impede que este encurve lateralmente, porém durante a fase de

endurecimento do betão não existe este tipo de restrição, o que torna a fase de betonagem

crítica no que à resistência aos fenómenos de instabilidade lateral diz respeito.

No caso das vigas mistas contínuas, e nas zonas de momentos fletores negativos é a alma do

perfil de aço que contraventa o banzo inferior à compressão. Para essas zonas, a laje impede

que a secção transversal rode como um todo, sendo que o banzo inferior à compressão só

pode encurvar se a alma fletir.

Nas vigas mistas contínuas, a encurvadura lateral vem sempre associada à distorção da

secção transversal. A deformação da viga consiste em duas meias ondas, uma de cada lado

do eixo da viga a partir do apoio interno. O comprimento da meia onda é análogo ao

comprimento da zona sujeita a momento fletor negativo. Esta meia onda não é sinusoidal, já

que o ponto da viga com maior deslocamento lateral se localiza aproximadamente entre duas a

três vezes a altura da viga a partir do apoio interno.

A encurvadura lateral é diferente da encurvadura local, já que, no segundo caso, o

deslocamento do banzo inferior da viga é essencialmente vertical, enquanto no primeiro, como

o próprio nome indica, é lateral. Também a secção onde se localizam os maiores

deslocamentos é diferente. Na encurvadura local, a secção situa-se aproximadamente a uma

18

distância do apoio interno igual à largura do banzo do perfil de aço enquanto na encurvadura

lateral, como foi anteriormente referido, essa distância é maior e aproximadamente igual entre

duas a três vezes a altura da viga.

Ensaios experimentais realizados por Johnson em vigas mistas de Classe 2 evidenciaram que

a encurvadura local pode principiar a encurvadura lateral. Porém, a nível da regulamentação,

estes dois fenómenos de encurvadura são considerados separadamente e com metodologias

diferentes.

A encurvadura local ocorre quando a relação entre largura do banzo inferior e a sua espessura

é grande, enquanto a encurvadura lateral ocorre quando este valor é pequeno.

No caso das estruturas dos edifícios, as vigas que suportam as lajes são geralmente paralelas

e estão ligadas a estas através de conectores constituindo um sistema paralelo de vigas

mistas. Este sistema paralelo está na base do método designado por estrutura em U invertido

que permite determinar o valor do momento crítico elástico de encurvadura lateral.

O deslocamento lateral do banzo inferior da viga produz flexão da alma do perfil de aço e

torção ao nível do banzo superior que é resistida pela flexão da laje de betão.

3.2- Modelo de Hanswille

O modelo apresentado por Hanswille, em 2004, na definição do momento crítico baseia-se no

modelo de “U” invertido (Figura 3.2), no qual a secção do perfil metálico está impedida de

realizar movimentos de translação e de rotação devido à presença da laje de betão. Como

referido anteriormente, as restrições que a ligação à laje provoca levam a uma alteração do

comportamento do perfil metálico de aço que pode ser simulado através de uma analogia ao

modelo da teoria do membro comprimido sob fundação elástica, como se pode ver na figura

3.1.

A equação diferencial para o problema apresentado na figura 3.3 baseia-se na teoria de

Vlasov, em que as restrições de empenamento são incluídas, acrescidas da restrição da

rotação do perfil devido à laje de betão e à restrição da alma do perfil, sendo a rotação ∅ da

secção da viga mista, para o problema apresentado, regida pela seguinte equação diferencial

∅ ∅

∅∅ (3.1)

19

No primeiro termo da equação diferencial representa a rigidez de empenamento do perfil

para uma rotação em torno do banzo superior, dada por

(3.2)

Figura 3.1: Analogia entre membro comprimido sob fundação elástica e o problema de

encurvadura lateral [4]

20

Figura 3.2: Modelo de U invertido [2]

onde o primeiro termo é a constante de empenamento do perfil em relação ao seu centro

de corte e o segundo termo representa a alteração do centro de rotação, sendo o momento

de inércia em relação ao eixo z.

Figura 3.3: Modelo utilizado para a definição do momento crítico da viga mista [4]

O segundo termo da equação diferencial contém a rigidez de torção do perfil , em que se

considera que este roda como um corpo rígido, e é um parâmetro geométrico do perfil, dado

por

(3.3)

com,

(3.4)

e é a distância da linha média do banzo superior ao centro de corte do perfil, é a

coordenada do centro de corte, é a distância entre os baricentros do perfil e da secção

21

mista, desprezando o betão fendilhado, é o raio de giração polar, dado por

,

e são as inércias centrais do perfil segundo y e z, respetivamente, é a área do perfil,

é a inércia da secção mista em relação ao eixo central da secção (mista) paralelo a y,

desprezando o betão fendilhado.

O terceiro termo da equação diferencial tem em conta a restrição da laje e da alma do perfil

que é igual a ∅ , expressão definida mais abaixo e retirada do EC4 que representa a

rigidez de flexão transversal da estrutura

3.2.1- Vigas sujeitas a momento uniforme

Hanswille apresenta a expressão que permite calcular momentos críticos de vigas sujeitas a

momento uniforme negativo. Para isso utilizou funções sinusoidais ∅ ∅

,

onde ∅ é a amplitude e n é o número de ondas do modo de deformação, na equação 3.1, as

quais constituem a solução exata da equação e fornecem

(3.5)

em que os fatores de comprimento e são os seguintes

(3.6)

e

∅

(3.7)

O valor do momento crítico mínimo é obtido minimizando a expressão (3.5) em relação a L, o

que resulta na seguinte expressão

∅ (3.8)

22

3.2.2- Vigas sujeitas a momentos variáveis

Para os casos em que se tem uma viga com diferentes momentos de extremidade combinados

com uma carga distribuída uniforme, Hanswille desenvolveu uma expressão idêntica à

expressão (3.5) para vigas sujeitas a momentos fletores uniformes, baseada também na

analogia apresentada na figura 3.1 e descrita pela equação (3.1). Neste caso, o fator de

comprimento , em vez de ser calculado através da expressão (3.6), é obtido com o auxílio

dos ábacos apresentados nas figuras 3.4 a 3.7. Hanswille descreve que neste caso a

constante de St. Venant depende da distribuição de tensões ao longo da viga e, se essa

distribuição não for constante, tal facto afeta significativamente o valor do momento crítico.

Para tal Hanswille introduz uma constante de St. Venant “efetiva” , que depende da

razão entre os momentos de extremidade ψ e o fator A, dado nas figuras 3.4 a 3.7. O valor de

A depende do valor do

. Assim, a equação de pode ser reescrita da seguinte

forma

(3.9)

em que e η está definido em (3.7).

Figura 3.4: Fator de comprimento efetivo ( para vigas com momentos de extremidade

diferentes e carga uniforme [4]

23


diferentes e carga uniforme [4]


diferentes e carga pontual a meio-vão [4]

24


diferentes e carga pontual a meio-vão [4]

3.3- Modelo de Dekker, Kemp e Trinchero

Nas zonas de momentos negativos de vigas mistas contínuas, a secção transversal pode sofrer

problemas de instabilidade devido à presença de esforços de compressão no perfil metálico,

derivado à esbelteza da maior parte dos membros pertencentes às secções de aço utilizadas

em estruturas deste género. É expectável que a presença da laje de betão restrinja a

deformação do banzo superior do perfil metálico, sendo a resistência a fenómenos de

instabilidade, como encurvadura lateral, dependentes da capacidade que a alma tem de

restringir o comportamento do banzo comprimido. A restrição que a alma provoca no banzo vai

influenciar o tipo de deformação do perfil metálico introduzindo dessa forma uma componente

distorcional à deformada da secção que não existia quando o perfil se encontrava isolado

(figura 3.8).

25

Figura 3.8: Deformada da viga mista e do perfil isolado [5]

Para simular as restrições impostas pela alma, ao comportamento do banzo comprimido, o

autor desenvolveu um método aproximado baseado na teoria da alma rígida com algumas

alterações de forma a poder simular a restrição do banzo tracionado e a rigidez da alma para à

flexão para fora do plano. Sendo o momento crítico de um perfil I isolado dado pela equação

3.10, o autor desenvolveu um método baseado nesta equação utilizando coeficientes que

multiplicados pelas propriedades da secção metálica pretendem aproximar o comportamento

que a secção teria.

(3.10)

onde, é o módulo de rigidez, a constante de empenamento, o momento de inércia

segundo a direção de menor inércia, o módulo de torção, o módulo de torção de St Venant

e L o vão da viga.

Como referido, o objetivo prende-se por transformar algumas das propriedades da secção para

simular o comportamento do banzo restringido, sendo que serão utilizadas as seguintes

propriedades efetivas, ,

e .

O grau de restrição provocada pela alma depende não só da geometria da alma mas também

da rigidez lateral e torsional do banzo comprimido, que pode ser quantificada pelos seguintes

coeficientes, e dados pelas equações 3.11 e 3.12 respetivamente, sendo que

representa a razão entre a rigidez lateral da alma sobre rigidez lateral do banzo comprimido e

representa a razão entre rigidez de flexão da alma sobre a rigidez de torção do banzo

comprimido.

(3.11)

(3.12)

26

Onde, é o momento de inércia da alma segundo a maior inércia da secção, o momento de

inércia do banzo comprimido segundo a maior inércia da secção, o módulo de torção de St.

Venant do banzo comprimido e a altura da secção metálica.

O empenamento da secção é normalmente quantificado pela resistência tanto da alma como

dos banzos do perfil e como é possível verificar através da deformada presente na figura 3.10

a rigidez de torção dos banzos interage com a rigidez de flexão da alma.

Esta interação entre banzo e alma é normalmente representada como um modelo de duas

molas onde as rigidezes da alma e dos banzos são representados em série, como

esquematizado na figura 3.9, sendo que os coeficientes e representam a rigidez dos

banzos e alma, respetivamente.

Figura 3.9: Sistema equivalente de molas que representa o empenamento da secção [5]

(3.13)

∅

∅ (3.14)

Onde, é a rigidez lateral da alma, a rigidez lateral dos banzos, ∅ a rigidez de flexão

da alma e ∅ a rigidez de torção dos banzos.

Com a combinação das equações (3.13) e (3.14) a resultar na seguinte expressão

(3.15)

sendo a constante de empenamento efetiva dada por

(3.16)

27

Figura 3.10: Influência da rigidez de flexao da alma no coeficiente de empenamento [5]

Relativamente ao caso do momento de inércia efetivo é possível verificar através da figura

3.12 a interação entre a rigidez lateral do banzo e a rigidez de flexão da alma, que

conceptualmente pode ser representada sob a forma de um sistema de molas, que se encontra

representado na figura 3.11, onde ∅ é a rigidez de torção do banzo comprimido e é a

rigidez lateral do banzo comprimido. O valor do coeficiente foi derivado através do sistema

de molas referido acima, tendo em mente que a inércia efetiva é proporcional ao valor da

rigidez lateral do banzo comprimido , sendo que a expressão resultante será a seguinte

(3.17)

Figura 3.11: Sistema equivalente de molas que representa a inércia efetiva da secção [5]

28

Figura 3.12: Influência da rigidez de torção do banzo na rigidez lateral da alma [5]

Quanto à constante de torção efetiva de St Venant ( , esta é simulada por um sistema de

molas em paralelo que modelam a interação entre a rigidez lateral do banzo comprimido e a

rigidez de flexão da alma, como se pode ver na figura 3.14. A expressão do coeficiente é

derivada do sistema de molas, que se encontra representado na figura 3.13, sabendo-se que a

constante do torção efetiva de St Venant é proporcional à constante de torção efetiva do banzo

comprimido , sendo que a equação se encontra representada em baixo.

(3.18)

Figura 3.13: Sistema equivalente de molas que representa a constante de torção de St Venant

da secção [5]

29

Figura 3.14: Influência da rigidez lateral do banzo comprimido na rigidez flexão da alma [5]

Por fim, o momento crítico, representado na equação (3.10), após serem substituídos os

valores de coeficientes pelos coeficientes efetivos, passa a ser definido pela equação

(3.19), onde se admite que o coeficiente de Poisson do aço toma o valor igual a o que

corresponde à seguinte relação ;

;

, onde e representam o

momento de inércia da secção segundo o eixo de menor inércia e a constante de torção de St

Venant para uma alma com rigidez nula, respetivamente.

(3.19)

3.4- Modelo do EC4

Segundo o Anexo B da ENV 1994-1-1 (CEN, 2000), o momento crítico elástico é calculado

com base na resposta do modelo de estrutura em “U” invertido (figura 3.2), que resulta na

seguinte expressão analítica

(3.20)

onde a parcela representa a rigidez de torção de St. Venant do perfil metálico, G é o

módulo de distorção do aço estrutural e é a constante de torção de St. Venant da secção de

aço estrutural, dada por,

(3.21)

30

sendo o somatório estendido a todas as paredes i da secção, nos quais e são dimensão

maior e menor da parede da secção, respetivamente.

Por sua vez, representa a rigidez de flexão transversal da estrutura de “U” invertido, por

unidade de comprimento de viga mista, ou seja, a rigidez que abrange a deformação da laje,

e a flexão transversal da alma do perfil de aço, . A rigidez de flexão da laje é obtida aplicando

uma rotação unitária à laje e admitindo que esta se encontra fendilhada, sendo dada por

(3.22)

e permite considerar diversas condições de apoio da laje de betão através do fator (ver

figura 3.20), sendo:

, para lajes simplesmente apoiada ou em consola sobre os perfis de aço,

, para lajes contínuas sobre perfis de aço com apenas 3 vigas,

, para lajes contínuas sobre perfis de aço com 4 ou mais vigas semelhantes.

Finalmnte, o parâmetro representa a rigidez de flexão da laje fendilhada por unidade de

largura e dada por

(3.23)

onde é a área de armadura por largura de laje, a área homogeneizada de betão, a

distância entre as armaduras e o centro de gravidade da área de betão localizada entre as

nervuras e a distância entre a base da secção e o centro de gravidade da área de betão

entre as nervuras.

31

Figura 3.15: Rigidez de flexão da viga contínua, definição do fator α.

A rigidez de flexão da alma é dada pela seguinte expressão,

(3.24)

em que é o módulo de elasticidade do aço estrutural, é a espessura da alma do perfil de

aço estrutural, é o coeficiente de Poisson do aço estrutural e é a distância entre as linhas

médias dos banzos do perfil de aço estrutural.

A rigidez total extrapolada através da interação entre a rigidez da laje fendilhada e a rigidez da

alma do perfil de aço, sendo que para simular essa interação é utilizado um modelo de molas

em série que resulta na seguinte expressão

(3.25)

onde é a rigidez de empenamento do banzo inferior quando este desloca uma unidade

na horizontal, em que é a inércia do banzo inferior em torno do eixo de menor inércia,

(3.26)

com o comprimento do banzo inferior e a espessura do banzo inferior.

é um parâmetro que tem em conta as propriedades da secção de aço estrutural, que para o

caso das secções em I (bi-simétrica) é dado por,

32

(3.27)

com

(3.28)

(3.29)

é a área da secção mista equivalente, desprezando o betão tracionado, ou seja, , em

que é a área da armadura longitudinal e é a área de aço do perfil, é o momento de

inércia da secção mista fendilhada segundo a maior inércia, e são os momentos de

inércia do perfil metálico segundo os eixos de maior e menor inércia, respetivamente e as

dimensões e representam a altura do perfil metálico e a distância entre o baricentro da

secção estrutural de aço e a meia espessura da laje de betão, respetivamente, como se pode

verificar pela figura 4.1.

L é o vão da viga mista e é um coeficiente cujo valor depende da forma do diagrama de

momentos fletores a atuar na viga mista e que influência o valor do momento crítico, sendo que

foi definido de forma empírica e pode ser calculado através do auxílio das figuras 3.21, 3.22

e 3.24.

Figura 3.16: Valor para vigas com carregamento de vão [15]

33

Figura 3.17: Valor para vigas sem carregamento de vão [15]

Figura 3.18: Valor para vigas de extremidade [15]

(3.30)

O método de Dekker é à partida bastante conservativo, uma vez que toma a secção transversal

como rígida e tenta simular o comportamento da secção mista através de parâmetros fictícios,

sendo expectável que a rigidez da secção se repercuta no valor do momento crítico. O modelo

definido por Hanswille considera a constante de torção de St. Venant e a rigidez de flexão

transversal, contrariamente ao método de Dekker.

No EC4 é feita uma abordagem semelhante à de Hanswille. Contudo no EC4 é feita uma

abordagem menos complexa, o que torna o método menos consistente do que método de

Hanswille. Sendo por isso de prever que destes métodos aquele menos conservativo seja o de

Hanswille e no outro extremo se encontre o método de Dekker.

34

35

4- Modelo de cálculo do momento crítico à encurvadura lateral

4.1- Apresentação do modelo

Como referido anteriormente, o objeto de estudo deste trabalho são as vigas mistas,

nomeadamente o seu comportamento em zona de momentos negativos e a sua resistência a

fenómenos de instabilidade, mais concretamente à encurvadura lateral. Nesse contexto criou-

se uma folha de Excel baseada no método da norma EN 1994-1-1, que reproduz o

comportamento da viga mista, através de uma abordagem simplificada ao problema da

encurvadura lateral, sendo possível realizar uma análise a vigas com 2, 3 ou 4 vãos. A

tendência que a secção mista transversal tem para sofrer fenómenos de encurvadura depende

de diversos parâmetros, sejam eles geométricos ou derivados das propriedades dos materiais

existentes. Representados na figura 4.1 podemos ver os parâmetros que definem uma secção

de viga mista genérica constituída por um perfil I bi-simétrico, sendo a largura do banzo de

betão, a largura efetiva do banzo de betão, a altura do banzo de betão, a área das

armaduras longitudinais por unidade de comprimento, a área das armaduras transversais

por unidade de comprimento, a altura das armaduras longitudinais relativamente a base da

laje de betão, a altura das armaduras transversais relativamente a base da laje de betão,

a afastamento entre conetores, a largura dos banzos inferior e superior do perfil metálico,

a espessura dos banzos superior e inferior do perfil metálico, a altura da alma do perfil

metálico e a espessura da alma do perfil metálico. Relativamente às propriedades dos

materiais é a tensão de rotura do betão à compressão, o módulo de rigidez médio do

betão, o módulo de torção do betão, a tensão de cedência do aço estrutural, o módulo

de rigidez do aço estrutural, o módulo de torção do aço estrutural, a tensão de cedência

das armaduras e o coeficiente de Poisson (admite-se que seja igual para todos materiais).

36

Figura 4.1: Secção transversal da viga mista de aço-betão

O “toolkit” consiste, como já referido, numa folha de Excel, à qual são fornecidos os parâmetros

que definem a viga mista de aço-betão e que devolve os valores do momento crítico ,

esbelteza normalizada da secção , coeficiente de redução do momento e momento

fletor reduzido . Explicando de uma forma sucinta, o programa recebe os dados das

secções e calcula as áreas, inércias e módulos de flexão das secções de betão, de aço e

mista, a classe da secção e os momentos resistentes (plástico). Foi criada uma macro que

interage com o programa SAP2000, resultando daí a definição do valor dos momentos fletores

atuantes na viga contínua. A partir do valor destes momentos é possível verificar se as tensões

na laje provocam a fendilhação do betão e calcular o momento resistente elástico (no caso da

secção ser de classe 3) e o coeficiente (que depende da forma do diagrama de momentos

fletores). Após o cálculo do coeficiente é então possível calcular o momento crítico da

secção e, consequentemente, os valores de e .

Bc,eff

Bc

hc

bf

tw

hw

tf

hs,t

hs,l

As,lAs,t

e

37

4.1.1- Macro do SAP2000

Como se sabe, a largura efetiva da laje de betão não se mantém constante ao longo do vão no

caso de uma viga mista contínua e, por consequência, a secção transversal mista torna-se

também variável ao longo do vão da viga alterando as suas propriedades. A inércia e por

consequência a resistência a flexão são afetadas pela variação da largura efetiva ao longo do

vão

Uma vez que a rigidez de flexão da secção se torna variável ao longo do vão a abordagem ao

problema torna-se mais complexa, sendo assim para se definir o diagrama de momentos

fletores recorreu-se a um programa de elementos finitos (SAP2000) que tornou o cálculo dos

momentos suficientemente simples e preciso. O programa por sua vez devolve o valor dos

momentos atuantes tanto nos apoios centrais como no meio-vão e o valor dos esforços

transversos na zona dos apoios.

Na definição da secção transversal da viga foi tomada uma simplificação preconizada em [2],

que divide o vão de uma viga em duas zonas, como se vê na figura 4.2, admitindo-se que em

zonas perto dos apoios centrais a largura efetiva da laje de betão dado por,

(4.1)

Já no centro do vão a largura efetiva no caso de uma viga central será,

(4.2)

No caso de um viga de canto a largura efetiva é dada por.

(4.3)

Figura 4.2: Vãos equivalentes utilizados para a determinação das larguras efetivas (3 vãos)

LAB LBC LCD

A B C D

0,75 LAB 0,25 LAB 0,25 LBC 0,50 LBC 0,25 LBC 0,25 LCD 0,75 LCD

eff

38

Na prática, o programa de elementos finitos utiliza como secção um perfil I genérico, com as

dimensões presentes na figura 4.3, alterando-se apenas o valor do momento de inércia

segundo a direção de maior inércia , que toma o valor da do momento de inércia da secção

mista, para simular o aumento da inércia provocado pela presença da laje de betão.

Excetuando a alteração da inércia da secção da viga, as restantes propriedades da secção

mantiveram-se inalteradas, devido ao facto de o momento fletor depender, de uma maneira

geral, apenas da rigidez de flexão da peça . Como descrito acima, cada vão é dividido em

2 ou 3 troços (dependendo se a viga é canto ou de central) e cada troço é formado por um

grupo de 20 ou 15 elementos finitos, que representam a secção da viga mista. Nos vãos de

extremidade, o troço onde se desenvolvem os momentos positivos será formado por um

conjunto de 15 elementos finitos, enquanto todos os troços restantes são formados por um

conjunto de 20 elementos finitos.

O modelo de elementos finitos, como já foi referido, é constituído por uma viga contínua com

inércia variável ao longo do vão porque a largura efetiva varia. Na figura 4.2 está representada

uma aproximação do comportamento da viga, onde na zona junto aos apoios a laje se encontra

fendilhada e a funcionar sob o efeito das forças de tração e no centro dos vãos não. Na figura

4.3 está representado um elemento de barra e é esse elemento de barra que vai simular o

comportamento da laje mista de aço-betão, as propriedades da secção mostrada na figura

abaixo são alteradas através dos dados fornecidos pela folha de cálculo, dessa forma o

elemento de barra toma para si o valor do momento de inércia da secção mista de aço-betão.

Na figura 4.5 está representado o menu “set modifiers”, menu esse que nos permite manipular

as propriedades da secção da barra. Neste caso alterou-se o momento de inércia do elemento

de barra por forma a simular o comportamento da secção em estudo. Ainda na figura 4.4 é

possível verificar que a viga é constituída por dois tipos de elementos de barra, um para a

extremidade a viga e outro para as zonas perto dos apoios, os dois tipos de elementos de barra

simulam, como já foi referido, o comportamento da viga mista, já que esta tem inércia variável

ao longo do vão.

39

Figura 4.3: Secção transversal I genérica utilizada no modelo de viga

Figura 4.4: Modelo de elementos finitos de barra

40

Figura 4.5: Propriedades da secção transversal

Após a definição da secção transversal da viga em cada um dos troços, o programa define as

condições de apoio da estrutura, sendo que a estrutura em qualquer um dos apoios se

encontra simplesmente-apoiada, ou seja, não existem restrições a rotação. Um dos apoios

restringe os deslocamentos em todas as direções, enquanto os restantes restringem apenas os

deslocamentos verticais, como se pode ver no esboço da figura 4.2.

De seguida são aplicadas à estrutura o peso próprio e a sobrecarga, sendo que o peso próprio

é constante ao longo de toda a viga, podendo a sobrecarga variar de vão para vão. Tanto o

peso próprio como a sobrecarga são adicionados como cargas distribuídas ao longo da viga.

Ambas as cargas são definidas previamente em Excel e adicionadas em separado.

Posteriormente, o SAP2000 realiza a análise da estrutura e como resultado calcula e extrai

para a folha de Excel os valores dos momentos fletores nos apoios e no centro de cada vão e

os esforços transversos adjacentes aos apoios.

Sendo o valor do esforço transverso extraído com o intuito de verificar a existência ou não de

interação entre momento fletor e esforço transverso (M-V) nas secções dos apoios internos.

Na figura 4.6, encontra-se um exemplo de uma análise à viga. Estando ai representados a

deformada e o diagrama de momentos da viga.

41

Figura 4.6: Exemplo de deformada e diagrama de momentos fornecidos pelo SAP2000

Figura 4.7: Esboço da secção mista tipo utilizada no estudo paramétrico (sem escala)

1000

15

0

210

10

47

01

6

98

11

0

11,31 cm/m11,31 cm/m

100

(mm)

2 2

42

4.2- Comparação com outros modelos

4.2.1- Vigas de 2 tramos

Na figura 4.8 apresenta-se a secção longitudinal tipo da viga de 2 vãos utilizada no estudo.

Figura 4.8: Viga de 2 tramos, vão e carregamentos tipo

Para validar o modelo utilizado para o cálculo do momento crítico , o método baseado na

EN-1994-1-1 foi comparado com os métodos descritos anteriormente e desenvolvidos por

Dekker et al [5] e Hanswille [4]. Foi utilizada neste processo a secção representada na figura

4.7, sendo alterados alguns parâmetros geométricos da secção de modo a verificar o modo

como o momento crítico de cada método evolui, ou seja, a influência que cada parâmetro tem

na definição do momento crítico da secção.

Na generalidade das figuras pode notar-se que o comportamento das curvas é semelhante, ou

seja, a curva de Hanswille sobrepõe-se ao gráfico gerado pelo método do EC4, que por sua

vez se sobrepõe à curva gerada pelo método de Dekker.

Sendo a única exceção o gráfico da figura 4.9 (a) onde o método do EC4 apresenta maiores

valores no que ao momento crítico diz respeito. Tal fenómeno deve-se ao facto de o método de

Hanswille se tornar mais conservativo para valores de comprimento da alma mais pequenos.

Nesta figura pode ainda verificar-se que a curva relativa ao método de Hanswille sofre algumas

flutuações, ao contrário do que acontece com as outras curvas que seguem uma trajetória

retilínea.

Nas figuras 4.9 (b), (c) e (d), como foi referido anteriormente, o andamento das curvas é

semelhante, ou seja, todas as três se desenvolvem de forma retilínea embora com inclinações

diferentes, sendo que o método de Hanswille gera curvas com maior inclinação, seguido do

2

LAB = 6 m LBC = 6 m

A B C

Sc = 5 KN/m

43

método do EC4 e por fim o método de Dekker gera curvas de menor inclinação do que os dois

outros métodos citados. Por sua vez a inclinação de cada gráfico indica a influência que o

parâmetro em análise (comprimento da alma do perfil metálico) tem na definição do momento

crítico, neste caso quanto maior a inclinação da curva maior será influência do parâmetro.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 4.9: Influência da espessura da alma no valor do momento crítico da secção de vigas

mistas contínuas de dois vãos, para almas com as seguintes alturas: (a) ; (b)

; (c) ; (d) .

3500

4500

5500

6500

7500

8500

10 11 12 13 14

Mo

me

nto

Crí

tico

, Mcr

(KN

.m)

Espessura da alma, tw (mm)

EC4 hw=420

Hanswille hw=420

Dekker hw=420

3500

5500

7500

9500

11500

13500

10 11 12 13 14

Mo

me

nto

Crí

tico

, Mcr

(KN

.m)


EC4 hw=515

Hanswille hw=515

Dekker hw=515

3500

4500

5500

6500

7500

8500

9500

10500

10 11 12 13 14

Mo

me

nto

Crí

tico

, Mcr

(KN

.M)


EC4 hw=470

Hanswille hw=470

Dekker hw=470

3500

5500

7500

9500

11500

13500

15500

17500

10 11 12 13 14

Mo

me

nto

Crí

tico

, Mcr

(KN

.m)


EC4 hw=560

Hanswille hw=560

Dekker hw=560

44

Relativamente a vigas de dois vãos, como se pode ver na figura 4.9, o método desenvolvido

por Hanswille é, regra geral, menos conservativo que o método preconizado na EN-1994.

Sendo que quanto maior for a altura da alma do perfil de aço maior será a diferença entre os

momentos críticos da secção crítica, ou seja, mais conservativa se torna a EN-1994. Por outro

lado, quando a altura da alma diminui, a EN-1994 vai-se tornando menos conservativa, como

se pode ver na figura 4.9 (a). Por sua vez, o método definido por Hanswille dá valores

menores de Mcr, o que acaba por não ser significativo pois os fenómenos de instabilidade

lateral são de menor importância em perfis com alma de menor comprimento.

É possível verificar que o método desenvolvido por Dekker é mais conservativo que o método

utilizado na EN-1994, embora os valores dos momentos sejam da mesma ordem de grandeza

e a evolução do momento crítico seja semelhante, à medida que a espessura da alma se

altera.

Sendo assim, para o caso de vigas contínuas de dois vãos, o modelo desenvolvido encontra-se

balizado entre os dois métodos com os quais foi comparado e apresenta valores semelhantes a

um desses mesmos métodos. O método desenvolvido é bem mais conservativo do que o

método utilizado por Hanswille. Dessa forma chegou-se à conclusão de que o modelo é válido

e pode ser utilizado no cálculo do momento crítico de uma viga de 2 tramos para secção mista

de aço-betão.

4.2.2- Vigas de 3 tramos

Na figura 4.10 apresenta-se a secção longitudinal tipo da viga de 3 vãos utilizada no estudo.

Figura 4.10: Viga de 3 tramos, vão e carregamentos tipo

LAB = 6 m LBC = 6 m

A B C

Sc = 5 KN/m

D

LCD = 6 m

2

45

Como se pode verificar pela figura 4.11 no caso das vigas de 3 tramos só foi utilizado como

comparação o método desenvolvido por Hanswille, porque nas publicações acedidas os

método de Dekker apenas apresenta resultados para vigas de 2 tramos.

Como se pode ver na figura 4.11 (a), o momento crítico aumenta aquando do aumento da

espessura da alma do perfil metálico, o que quer dizer que a secção se encontra menos

suscetível a problemas de instabilidade quando a alma se torna mais espessa. Pode notar-se

que a distância entre os gráficos aumenta também com o aumento da espessura da alma,

embora neste caso onde a alma apresenta um menor comprimento, quando comparada com

os outros gráficos, faz-se notar que a diferença entre os dois gráficos é menor.

Nas figuras 4.11 (b), (c) e (d) o andamento dos gráficos é semelhante, ou seja, o valor do

momento crítico aumenta á medida que se aumenta a espessura da alma e o andamento das

curvas é semelhante, pode-se notar que todas as curvas se desenvolvem de forma

aproximadamente retilínea, embora na figura 4.11 (b) se possa notar que um desvio na curva

do gráfico resultante do método de Hanswille. Pode ainda notar-se que a os gráficos

resultantes do método de Hanswille apresenta uma maior inclinação quando comparados com

os gráficos resultantes do método proposto neste estudo.

Relativamente a vigas de três tramos a comparação foi apenas feita com o método

desenvolvido por Hanswille. Neste caso a abordagem feita por Hanswille é também menos

conservativa que aquela abordada na EN-1994 e, ao contrário do que aconteceu para vigas de

dois vãos, quando se comparam secções com almas de menor altura o momento crítico de

Hanswille permaneça maior que o momento crítico da EN-1994. No entanto, o momento crítico

dos dois métodos mantém o mesmo comportamento evidenciado no caso de vigas de dois

tramos, ou seja, à medida que se aumenta a altura da alma maior será a diferença entre os

valores do momento crítico de Hanswille e o momento crítico da EN-1994, como se pode ver

na Figura 4.11.

Os valores dos momentos são também menores do que no caso de vigas contínuas de dois

tramos, tal facto deve-se ao andamento dos diagramas de momentos fletores que se alteram

com o aumento do número de vãos tornando a secção mais suscetível aos fenómenos de

instabilidade lateral. Sendo assim, o modelo desenvolvido com base na EN-1994 é mais

conservativo que aquele desenvolvido por Hanswille, sendo-o mais ainda à medida que a altura

da alma aumenta, estando dessa forma do lado da segurança.

46

(a) (b)

(c) (d)

Figura 4.11: Influência da espessura da alma no valor do momento crítico da secção de vigas

mistas contínuas de três vãos, para almas com as seguintes alturas: (a) ; (b)

; (c) ; (d)

Novamente o modelo de Hanswille volta a ser menos conservativo que o método em estudo e

desta vez com uma margem maior de segurança, o que significa que o modelo apresentado

neste estudo pode ser utilizado como ferramenta para o cálculo dos momentos críticos e

consequentemente do momento resistente a encurvadura lateral, para vigas de 3 vãos.

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

10 11 12 13 14

Mo

me

nto

Crí

tico

, Mcr

(KN

.m)


EC4 hw=420

Hanswille hw=420

2500

3500

4500

5500

6500

7500

8500

10 11 12 13 14

Mo

me

nto

Crí

tico

, Mcr

(KN

.m)


EC4 hw=515

Hanswille hw=515

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500

6000

6500

10 11 12 13 14

Mo

me

nto

Crí

tico

, Mcr

(KN

.m)


EC4 hw=470

Hanswille hw=470

2000

3500

5000

6500

8000

9500

11000

10 11 12 13 14

Mo

me

nto

Crí

tico

, Mcr

(KN

.m)


EC4 hw=560

Hanswille hw=560

47

5- Estudo Paramétrico

Neste capítulo encontram-se descritos os resultados de um estudo paramétrico realizado

acerca da secção transversal mista, que teve como principal objetivo identificar quais os

parâmetros que têm maior influência na definição do valor da esbelteza normalizada da viga

mista de aço-betão. Neste caso, ao contrário do capítulo anterior foi calculado o valor da

esbelteza normalizada, o que não aconteceu anteriormente porque os autores apresentados

incidiaram os seus estudos no cálculo do momento crítico. Por essa razão foi utilizado o

momento crítico como termo de comparação entre o modelo em estudo e aqueles

anteriormente publicados.

Sendo que os parâmetros analisados foram os seguintes:

tw - espessura da alma da secção metálica;

hw – altura da alma da secção metálica;

tf – espessura dos banzos da secção metálica;

bf – largura dos banzos da secção metálica;

Bc – largura do banzo de betão;

fyk – tensão de cedência do aço;

fck – tensão de rotura do betão à compressão;

L – comprimento do vão da secção.

Foi utilizada uma secção com dimensões tipo que se encontra nas figuras 4.4, 4.5 e 4.7.

A partir dessa secção é alterado um parâmetro de cada vez, por forma a podermos destrinçar o

quão influente cada parâmetro é na definição da esbelteza normalizada, sendo que a esbelteza

é calculada a partir da ferramenta de Excel descrita anteriormente.

Os valores de cada parâmetro que define a viga foram escolhidas de acordo com a dimensão

das vigas que se pretendem estudar, ou seja, vigas utilizadas em edifícios correntes com vãos

que atingem comprimentos de 6 metros. No perfil metálico, embora seja tomado como soldado,

foram utilizadas dimensões padrão para os banzos e alma de perfis IPE. Foram utilizados

perfis com dimensões tais que seja possível que se originem problemas de encurvadura. Na

tabela 5.1 podem verificar-se as dimensões que cada um dos parâmetros em estudo toma,

sendo que durante o estudo são feitas combinações entre alguns parâmetros, como se verá

adiante.

Explicando de forma sucinta o estudo paramétrico desenvolver-se-á da seguinte forma.

48

Em cada subcapítulo um parâmetro é analisado relativamente à sua influência no processo de

cálculo da esbelteza normalizada.

Durante esse subcapítulo o parâmetro em análise é repetidamente alterado, tomando os

valores presentes nas tabelas 5.3 a 5.10, enquanto o restante da secção mantém os valores da

secção tipo, cujos valores dos parâmetros estão representados na tabela 5.1.

Dentro de cada subcapítulo é também estudada a interação do parâmetro em análise com os

outros parâmetros que definem a secção. Nesse sentido cada parâmetro é alterado

individualmente, tomando os valores definidos na tabela 5.2, enquanto o restante da secção

mantém as dimensões da viga mista tipo.

Tabela 5.1: Valores dos parâmetros que definem a viga mista tipo

hw (mm) tw (mm) bf (mm) tf (mm) Bc (mm) L (mm) fck (MPa) fyk (MPa)

470 10 210 16 1000 6000 25 355

Tabela 5.2: Valores dos parâmetros que definem a viga mista utilizada

hw (mm) tw (mm) bf (mm) tf (mm) Bc (mm) L (mm) fck (MPa) fyk (MPa)

420 9,5 200 14,5 500 3000 20 235

470 10 210 16 750 4000 25 275

515 11 220 17 1000 5000 30 355

560 12 265 19 1500 6000 35 ----------

5.1- Influência dos parâmetros na definição da esbelteza

normalizada

5.1.1-Influência da espessura da alma

Na tabela 5.3 apresentam-se os valores que o parâmetro em estudo, espessura da alma, toma.

Tabela 5.3: Valores do parâmetro espessura da alma.

tw (mm)

10

10,5

11

11,5

12

12,5

13

13,5

49

Verificou-se que, à medida que a espessura da alma aumenta, a esbelteza normalizada da viga

vai diminuindo de forma linear, tornando a secção menos suscetível aos fenómenos de

encurvadura lateral. Sendo que nos perfis em que a altura da alma é maior (hw = 560 mm),

como se pode ver na figura 5.1 (a), os gráficos não permanecem sempre lineares, o que se

deve ao facto do perfil metálico ser de classe 3, logo o momento utilizado na expressão (3.29)

passa a ser o momento elástico em detrimento do plástico, como se sabe o momento

resistente elástico da secção mista aço-betão é inferior ao momento plástico, portanto a

esbelteza normalizada da secção diminui, de notar que independentemente da altura da alma

ou do número de vãos a inclinação dos vários gráficos é semelhante. Por outro lado nos perfis

com maior altura de alma, cujas secções são de classe 3, nota-se que a inclinação do gráfico é

ligeiramente mais acentuada e por outro lado pode verificar-se que em vez de aumentar, a

esbelteza normalizada diminui. Relativamente ao número de vãos pode verificar-se que nas

vigas de três tramos que os valores da esbelteza normalizada são superiores ao que acontece

nas vigas que apresentam apenas 2 tramos. A introdução de mais um vão na viga de 2 tramos

vai apenas alterar a forma do diagrama de momentos, que influência o valor do parâmetro C4 e

consequentemente o valor da esbelteza normalizada. Sendo que a situação em que são

utilizadas vigas de 3 tramos, como foi referido anteriormente, apresentam maior valor de

esbelteza normalizada, logo é mais condicionante a situação que apresenta um maior número

de vãos.

Na figura 5.1 (b) é possível verificar que o comportamento do gráfico é semelhante ao anterior,

ou seja, a esbelteza normalizada diminui à medida que aumenta a espessura da alma, embora

neste caso o gráfico não evolua de forma linear, como na figura 5.1 (a). Comparando com as

figuras 5.1 (a) e (b) pode verificar-se que a variação da largura dos banzos provoca uma

menor variação da esbelteza normalizada do que a variação da altura da alma, pois na figura

5.1 (b) o espaçamento entre os gráficos em bem menor que na figura anterior; por outro lado

em ambas as figuras a esbelteza normalizada apresenta valores menores para vigas de 2

tramos em detrimento das vigas de 3 tramos, sendo que o espaçamento entre os gráficos é

mais notório entre as vigas de 3 tramos.

Nas figuras 5.1 (c) e (d), como acontece nos casos descritos acima, à medida que aumenta a

espessura da alma o valor da esbelteza normalizada diminui, sendo que os gráficos evoluem

de forma semelhante mantendo uma trajetória não-linear. A maior diferença para os casos

anteriores prende-se com o facto de os parâmetros analisados (espessura do banzo metálico e

largura do banzo de betão) serem menos influentes no que à definição da esbelteza

normalizada diz respeito, pois como se pode ver nas figuras a variação entre gráficos é

residual, embora se possa mais uma vez verificar que no caso de vigas de 3 tramos essa

variação, embora se mantenha residual, é mais acentuada.

50

(a)

(b)

(c)

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

10 11 12 13 14

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a, λ

LT


hw=420-2tramos hw=470-2tramos hw=515-2tramos hw=560-2tramos hw=420-3tramos hw=470-3tramos hw=515-3tramos hw=560-3tramos

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

10 11 12 13 14

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT


bf=200-2tramos bf=210-2tramos bf=220-2tramos bf=265-2tramos bf=200-3tramos bf=210-3tramos bf=220-3tramos bf=265-3tramos

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

10 11 12 13 14

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT


tf=14,5-2tramos tf=16-2tramos

tf=17-2tramos tf=19-2tramos



51

(d)

(e)

(f)

Figura 5.1: Influência da espessura da alma no valor da esbelteza normalizada da secção de vigas mistas contínuas, para diferentes: (a) alturas da alma; (b) larguras do banzo; (c)

espessuras do banzo; (d) larguras dos banzo de betão; (e) comprimentos dos vãos; (f) tensão de cedência do aço

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

10 11 12 13 14

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT


Bc=500-2tramos Bc=750-2tramos




0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

10 11 12 13 14

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT


L=6-2tramos L=5-2tramos




0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

10 11 12 13 14

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT


fyd=235-2tramos fyd=275-2tramos


fyd=275-3tramos fyd=355-tramos

52

Na figura 5.1 (e) é possível verificar, mais uma vez, que com o aumento da espessura da alma

o valor da esbelteza normalizada diminui, mas ao contrário do que acontece com os outros

parâmetros, onde à medida que se altera o valor de cada um dos parâmetros os gráficos

permanecem com inclinações semelhantes, neste caso quando se aumenta o vão a inclinação

do gráfico aumenta ligeiramente, o que é mais notório nas vigas de 3 tramos. Este fenómeno

faz com que à medida que o comprimento do vão aumenta a influência da espessura da alma

na definição da esbelteza normalizada aumente também. Podemos verificar que o

comprimento dos vãos é menos influente que a altura da alma e largura do banzo metálico na

definição da esbelteza normalizada, embora mais influente que a espessura do banzo metálico

e largura do banzo de betão.

Em relação à tensão de cedência do aço do perfil metálico, como se pode ver na figura 5.1 (f),

o comportamento do gráfico é semelhante aos anteriores, onde a esbelteza normalizada

diminui com o aumento da espessura da alma do perfil metálico, sendo a inclinação dos

gráficos semelhante para as diferentes tensões de cedência do material. Tal como acontece

nos outros gráficos a esbelteza normalizada é maior para o caso de vigas de 3 tramos, para

além de que o espaçamento entre gráficos é também maior em vigas com 3 vãos, o que

denota uma maior influência do parâmetro quando se aumenta o número de tramos.

5.1.2- Influência da largura dos banzos metálicos

Na tabela 5.4 apresentam-se os valores que os parâmetros em estudo, largura dos banzos

metálicos, tomam. Relativamente à largura dos banzos verifica-se na figura 5.2 (a) que o valor

da esbelteza normalizada diminui com o aumento da largura dos banzos da secção do perfil

metálico.

Tabela 5.4:Valores do parâmetro largura dos banzos metálicos

bf (mm)

200

210

220

230

240

250

260

270

A inclinação de cada gráfico à medida que se altera a altura do perfil mantém-se semelhante,

embora no perfil de maior altura (hw = 560 cm) a inclinação se altere, devido ao facto de o perfil

53

ser de classe 3 e como foi referido anteriormente nesse caso será necessário realizar uma

análise elástica em detrimento de uma análise plástica.

Faz-se notar que para a altura de alma referida a secção metálica é de classe 3 tanto para a

viga de 2 e 3 tramos, em ambos os casos é possível verificar que o valor da esbelteza

normalizada é diminui relativamente as secções de classe 2. Por outro lado a esbelteza

normalizada nos outros casos vinha a aumentar à medida que se aumenta a altura da secção.

Quanto ao número de tramos da viga, mais uma vez se faz notar que nas vigas de 3 tramos o

valor da esbelteza normalizada é superior ao caso das vigas de 2 tramos, logo é mais

condicionante o caso da viga de 3 tramos.

Como se pode ver na figura 5.2 (b), a esbelteza normalizada diminui enquanto a largura do

banzo metálico aumenta, tornando a secção menos condicionante a fenómenos de

instabilidade, sendo que os gráficos evoluem de forma linear, mantendo a mesma inclinação. É

possível verificar que existe uma descontinuidade no gráfico, tal descontinuidade deve-se à

mudança de classe da secção, que como já explicado anteriormente altera o tipo de análise da

secção.

Na figura 5.2 (c), verifica-se que a espessura do banzo metálico não tem muita influência na

definição da esbelteza normalizada, já que os gráficos são quase coincidentes evoluindo de

forma linear e diminuindo enquanto a largura dos banzo metálicos aumenta, pode notar-se que

nos gráficos, onde existe menor espessura dos banzos metálicos, uma descontinuidade que se

deve mais uma vez ao facto da secção passar a ser de classe 3, quando anteriormente era de

classe 2.

Na figura 5.2 (d), tal como nos outros gráficos a esbelteza normalizada diminui com o aumento

da largura dos banzos metálicos, mas tal como no caso anterior os gráficos mantém-se

praticamente coincidentes enquanto se altera a largura do banzo de betão, o que mostra que

este parâmetro não tem influência na definição da esbelteza normalizada.

Na figura 5.2 (e), como era esperado a esbelteza normalizada segue o mesmo comportamento

que nos gráficos anteriores, diminuindo enquanto a largura do banzo metálico aumenta, neste

caso os gráficos mantém inclinações semelhantes, embora se note que à medida que o

comprimento do vão a distância entre os gráficos vai diminuindo.

Na figura 5.2 (f), a esbelteza normalizada diminui enquanto aumenta a largura dos banzos

metálicos, sendo que os gráficos mantêm a mesma inclinação. Por outro lado é possível

verificar que a influência deste parâmetro é maior que os anteriores na definição da esbelteza

normalizada devido à maior distância entre gráficos que se faz notar neste caso.

54

(a)

(b)

(c)

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

200 220 240 260

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

Largura dos banzos metalicos, bf (mm)


0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

200 220 240 260

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT


tw=9,5-2tramos tw=10-2tramos tw=11-2tramos tw=12-2tramos tw=9,5-3tramos tw=10-3tramos tw=11-3tramos tw=12-3tramos

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

200 220 240 260

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT



tf=17-2tramos tw=19-2tramos



55

(d)

(e)

(f)

Figura 5.2: Influência da largura dos banzos metálicos no valor da esbelteza normalizada da secção de vigas mistas contínuas, para diferentes: (a) alturas da alma; (b) espessuras da alma;

(c) espessura do banzo; (d) larguras dos banzo de betão; (e) comprimentos dos vãos; (f) tensão de cedência do aço

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

200 220 240 260

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT


Bc=500-2tramos Bc=750-2tramos Bc=1000-2tramos Bc=1500-2tramos Bc=500-3tramos Bc=750-tramos Bc=1000-tramos Bc=1500-3tramos

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

200 220 240 260

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT


L=6-2tramos L=5-2tramos L=4-2tramos L=3-2tramos L=6-3tramos L=5-3tramos L=4-3tramos L=3-3tramos

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

200 220 240 260

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT





56

Relativamente ao número de tramos de cada viga é possível notar de uma forma geral que as

vigas mantêm o mesmo comportamento nos dois casos, ou seja, os gráficos evoluem de forma

semelhante, sendo que as duas diferenças são essencialmente o aumento da esbelteza

normalizada, quando a viga passa a ter 3 tramos em vez de 2 tramos, e uma maior distancia

entre os gráficos com o mesmo número de tramos, que se repercute numa maior influência do

parâmetro na definição da variável em causa, neste caso a esbelteza normalizada.

5.1.3- Influência da espessura dos banzos metálicos

(a)

(b)

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

14,5 15 15,5 16 16,5 17 17,5 18

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

Espessura dos banzos metalicos, tf (mm)


0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

14,5 15 15,5 16 16,5 17 17,5 18

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT


tw=9,5-2tramos tw=10-2tramos tw=11-2tramos tw=12-2tramos tw=9,5-3tramos tw=10-3tramos tw=11-3tramos tw=12-3tramos

57

(c)

(d)

(e)

Figura 5.3: Influência da espessura dos banzos metálicos no valor da esbelteza normalizada da secção de vigas mistas contínuas, para diferentes: (a) alturas da alma; (b) espessuras da

alma; (c) larguras dos banzos metálicos; (d) comprimentos dos vãos; (e) tensão de cedência do aço

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

14,5 15 15,5 16 16,5 17 17,5 18

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT



0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

14,5 15 15,5 16 16,5 17 17,5 18

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT






0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

14,5 15 15,5 16 16,5 17 17,5 18

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT





58

Na tabela 5.5 apresentam-se os valores que os parâmetros em estudo, espessura dos banzos

metálicos, tomam.

Por sua vez a espessura dos banzos não tem muita influência no cálculo do valor da esbelteza

normalizada, pois como se pode ver na figura 5.3 a inclinação dos gráficos é praticamente

nula.

Contudo pode verificar-se que, embora a inclinação dos gráficos seja infinitesimal a esbelteza

normalizada aumenta à medida que a espessura dos banzos aumenta.

Tabela 5.5: Valores do parâmetro espessura dos banzos metálicos.

tf (mm)

14,5

15

15,5

16

16,5

17

17,5

18

Nas figuras 5.3 (a) e (b), o comportamento dos gráficos é semelhante, mantendo uma

inclinação quase nula, tal como acontece na figura 5.3 (c), mas neste caso existem duas

descontinuidades, que se devem ao facto da secção mudar de classe 2 para classe 3,

fenómeno já explicado anteriormente. De referir ainda que na figura 5.3 (a) a inclinação dos

gráficos de classe 3, passa a se negativa ao contrário do que acontece com os gráficos nessa

mesma figura que teriam inclinação positiva, mais uma vez se refere que embora exista uma

ligeira variação das inclinações dos gráficos estas mantêm valores baixos, atestando a

diminuta influência da espessura dos banzo metálicos nos fenómenos de encurvadura lateral.

Na figura 5.3 (d), pode verificar-se uma ligeira variação da inclinação de cada gráfico à medida

que o comprimento do vão vai aumentando, passando de uma inclinação positiva (L = 6m) par

uma inclinação negativa (L = 3m). Por outro lado, como acontece nos outros casos, quando o

comprimento do vão aumenta as esbeltezas normalizadas têm tendência a tomar valores cada

vez mais próximos.

Já na figura 5.3 (e), nota-se que enquanto a tensão de cedência aumenta a inclinação dos

gráficos também aumenta, tornando o parâmetro mais influente na definição do valor da

esbelteza normalizada, mas mantendo sempre uma influência bastante reduzida.

Relativamente ao número de vãos, este parâmetro continua a obter os mesmos efeitos que em

parâmetros anteriores, ou seja, quando a vigas é de 3 tramos o valor da esbelteza normalizada

sobe, em relação a uma secção com iguais dimensões mas cuja viga tenha apenas 2 tramos,

59

para além de que o espaçamento entre gráficos é maior no caso de vigas com 3 tramos

quando comparadas com vigas de 2 tramos.

5.1.4- Influência da largura do banzo de betão

Na tabela 5.6 apresentam-se os valores que o parâmetro em estudo, largura do banzo de

betão, toma.

Tabela 5.6: Valores do parâmetro largura do banzo de betão.

Bc (mm)

500

750

1000

1100

1200

1300

1400

1500

Na generalidade dos gráficos verifica-se que este parâmetro não muito significativo no que a

definição esbelteza normalizada diz respeito, pois embora se note uma variação em todos

gráficos representados abaixo, essa mesma variação é residual não se verificando grande

impacto no que aos fenómenos de instabilidade lateral diz respeito. Pode todavia notar-se na

maioria dos gráficos uma subida da esbelteza normalizada que se deve ao facto da largura do

banzo de betão ter um valor inferior ao valor da largura efetiva do banzo de betão na zona de

momentos negativos (para L = 6m;¸Beff = 850 mm), a partir do momento em que a largura do

banzo de betão passa a ser maior que a largura efetiva a esbelteza normalizada começa a

diminuir até ao momento em que a largura do banzo de betão passa a ser superior ao valor da

largura efetiva (para L=6m; Beff = 1375 mm) na zona de momentos positivos, estabilizando.

Nas figuras 5.4 (a), (b), (c), (d) e (f) pode-se notar um comportamento semelhante aquele

acima descrito, notando-se que de uma figura para outra (na ordem porque estão

representadas) que os espaçamento entre os gráficos vai diminuindo o que indica uma menor

influência de cada parâmetro na definição da esbelteza normalizada. Existindo apenas uma

diferença na figrua 5.4 (a), pois no gráfico, para maiores valores de altura da alma, esta

presente uma descontinuidade que se deve ao facto da secção metálica passar de classe 2

para classe 3.

60

(a)

(b)

(c)

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

500 750 1000 1250 1500

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

Largura do banzo de Betão, Bc (mm)

hw=420-2tramos hw=470-2tramos




0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

500 750 1000 1250 1500

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT


tw=9,5-2tramos tw=10-2tramos

tw=11-2tramos tw=12-2tramos



0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

500 750 1000 1250 1500

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT



61

(d)

(e)

(f)

Figura 5.4: Influência da largura do banzo de betão no valor da esbelteza normalizada da secção de vigas mistas contínuas, para diferentes: (a) alturas da alma; (b) espessuras da alma;

(c) largura dos banzos metálicos; (d) espessura dos banzo metálicos; (e) comprimento dos vãos; (f) tensão de cedência do aço

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

500 750 1000 1250 1500

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT






0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

500 750 1000 1250 1500

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT






0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

500 750 1000 1250 1500

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT


fyd=235-2tramos fyd=275-2tramos fyd=355-2tramos fyd=235-3tramos fyd=275-3tramos fyd=355-3tramos

62

Na figura 5.4 (e) verifica-se que o sítio onde se localiza o ponto de inflexão das curvas não

permanece no mesmo local, estando cada vez mais perto do eixo à medida que o comprimento

do vão vai diminuindo, o que faz sentido a luz da explicação anterior visto que com à

diminuição do vão a largura efetiva também diminui, sendo que para os menores vãos a curva

tem inclinação negativa no seu início.

Por fim, pode notar-se mais uma vez, que quando a vigas é de 3 tramos o valor da esbelteza

normalizada aumenta, relativamente vigas de 2 tramos, para além de que o espaçamento entre

gráficos continua a ser maior no caso de vigas com 3 tramos quando comparadas com vigas

de 2 tramos.

5.1.5- Influência da sobrecarga

Na tabela 5.7 apresentam-se os valores que o parâmetro em estudo, sobrecarga, toma.

Tabela 5.7: Valores do parâmetro sobrecarga.

Sc (KN/m2)

5

10

20

30

40

A sobrecarga é um parâmetro que só influencia a resistência a fenómenos de instabilidade se

for aplicada a vigas com tramos desiguais ou quando a sobrecarga é distribuída de forma não

simétrica pelos tramos da viga, uma vez que se optou pela utilização de vigas com vãos iguais

achou-se por bem não analisar a influência da sobrecarga anteriormente. Por outro lado foi

feita uma análise para vigas de apenas 2 tramos, uma vez que é impossível compara as

condições de carregamento de vigas de 2 e 3 tramos. Sendo assim, nas vigas de 2 tramos a

sobrecarga foi mantida num dos tramos (5 KN/m2), enquanto no outro tramo foi-se aumentando

o valor da sobrecarga. O único fator que é afetado com esta variação da sobrecarga, no que à

definição do Mcr diz respeito, é o C4 uma vez que só o diagrama de momentos é afetado, neste

caso à medida que a desigualdade entre as sobrecargas nos diferentes tramos é maior será a

diferença entre os momentos no apoio e a meio-vão da viga, diminuindo o valor do fator C4 e

consequentemente de Mcr, encontrando-se a viga mais a propensa a sofrer fenómenos de

instabilidade lateral.

63

Figura 5.5: Representação da variação da sobrecarga no estudo paramétrico efetuado na viga

mista de aço-betão

Como é possível verificar através das figuras 5.6 (a), (b), (c), (d), (e) e (f) aquando da variação

da sobrecarga os diferentes gráficos evoluem de forma semelhante, ou seja, enquanto a

diferença entre sobrecarga nos diferentes vãos vai aumentando o valor da esbelteza

normalizada também aumenta, mas não de forma linear como acontece em casos anteriores.

Neste caso, em todas as figuras, é possível verificar que enquanto a sobrecarga aumenta num

dos tramos da viga o valor da esbelteza normalizada sobe, diminuindo a sua inclinação

gradualmente até que este se aproxime de zero. Dependendo do fator que se analisa, as

figuras abaixo representadas diferem apenas num ponto essencial, ou seja, a distância que

separa cada gráfico do próximo. Quanto maior for essa distância maior será a influência de

determinado fator no calculo da esbelteza normalizada, como se pode verificar neste caso os

fatores que mais condicionam os fenómenos de encurvadura lateral são a altura e espessura

da alma do perfil metálico e a tensão de cedência do aço, sendo que a espessura da alma tem

uma influência menor que os outros dois parâmetros. Por outro lado, ao analisar as figuras 5.6

(c) e (d) chega-se à conclusão que os parâmetros aí representados têm influência diminuta

para o estudo em questão uma vez que os gráficos quase que se sobrepõem uns aos outros,

sendo mais visível na figura 5.6 (d), onde só é possível ver um gráfico já que os outros estão

sobrepostos atestando da baixa preponderância da espessura dos banzos metálicos para o

estudo, já na figura 5.6 (c) embora se possa verificar que a influência do parâmetro largura dos

banzo metálicos fator seja pequena, mas maior do que no parâmetro anterior.

2Sc = (5,10,20,30) KN/m

2

LAB = 6 m LBC = 6 m

A B C

Sc = 5 KN/m

64

(a)

(b)

(c)

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

5 10 15 20 25 30 35 40

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

Sobrecarga, sc (KN/m2)

hw=420 hw=470

hw=515 hw=560

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

5 10 15 20 25 30 35 40

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT


tw=9,5 tw=10

tw=11 tw=12

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

5 10 15 20 25 30 35 40

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT


bf=200 bf=210

bf=220 bf=265

65

(d)

(e)

(f)

Figura 5.6: Influência da sobrecarga no valor da esbelteza normalizada da secção de vigas mistas contínuas, para diferentes: (a) alturas da alma; (b) espessuras da alma; (c) largura dos banzos metálicos; (d) espessura dos banzo metálicos; (e) comprimento dos vãos; (f) tensão de

cedência do aço

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

5 10 15 20 25 30 35 40

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT


tf=14,5 tf=16

tf=17 tf=19

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

5 10 15 20 25 30 35 40

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT


L=6 L=5

L=4 L=3

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

5 10 15 20 25 30 35 40

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT


fyd=235

fyd=275

fyd=355

66

Há ainda a salientar o facto de na figura 5.6 (a) um dos gráficos se afastar dos outros, tal facto

deve-se, como já foi explicado anteriormente, à mudança da classe da secção. Pois enquanto

para valores de altura da alma do perfil metálico menores a secção é de classe 2, mas a partir

de determinado limite passa a ser tratada como secção de classe 3 e neste caso para o maior

valor de altura da alma (hw = 560 mm) esse valor já terá sido ultrapassado. As secções de

classe 3 têm menor tendência a instabilizar e a esse facto se deve a diminuição do valor da

esbelteza normalizada. Como se pode verificar para maiores alturas de alma maior é a

esbelteza normalizada, logo seria expectável que o aumento da altura alma, de hw = 515 mm

para hw = 560 mm, gerá-se um gráfico onde o valor da esbelteza normalizada fosse superior

aos anteriores. Tal não acontece devido à mudança de classe da secção, o que origina uma

análise elástica em detrimento duma análise elástica.

Por outro lado, é possível verificar que o gráfico da secção de classe 3 tem um andamento

diferente dos gráficos das secções de classe 2, uma vez que o andamento do gráfico da

secção de classe 3 é mais próximo da reta ao contrário do que acontece nos outros casos,

onde a curva de cada gráfico é mais pronunciada.

5.1.6- Influência do comprimento do vão

Na tabela 5.8 apresentam-se os valores que o parâmetro em estudo, comprimento do vão,

toma.

Tabela 5.8: Valores do parâmetro comprimento do vão.

L (mm)

3000

4000

5000

6000

Durante as análises anteriores os dois vãos foram alterados igualmente, mantendo a viga

sempre simétrica. Neste caso decidiu-se manter um dos vãos fixos e alterar o comprimento dos

outros vãos, por outro lado nos outros casos foram inseridas vigas de 3 tramos, no caso em

questão não faz sentido a sua inserção pois como as vigas não são simétricas não existiria

termo de comparação.

67

Figura 5.7: Representação da variação do vão no estudo paramétrico efetuado na viga mista de aço-betão.

Na figura 5.8 (a), existe um aumento linear do valor da esbelteza normalizada enquanto o vão

da viga aumenta e verifica-se que para maiores valores de altura da alma do perfil metálico

maior será o valor da esbelteza.

Existe uma descontinuidade no gráfico quando a altura da alma é maior, tal descontinuidade

deve-se a uma mudança da classe da secção, esta muda de classe 2 para classe 3, o que

origina uma diminuição do valor da esbelteza normalizada quando o vão aumenta.

Nas figuras 5.8 (b) e (c), é possível verificar que a influência destes parâmetros é menor que

aquele analisado anteriormente, uma vez que os gráficos se vão aproximando mais uns dos

outros. À medida a espessura da alma aumenta a tendência que o perfil tem a sofrer

fenómenos de instabilidade é menor, acontecendo o mesmo com a largura dos banzos dos

perfis metálicos. Em ambos, os casos os gráficos têm um andamento aproximado de uma

curva de 1º grau, tal como acontece com a figura analisada anteriormente a estas duas.

Na figura 5.8 (d), o andamento dos gráficos é semelhante ao descrito nas figuras anteriores,

com uma pequena diferença. A espessura dos banzos dos perfis metálicos tem pouco

influência na definição da instabilidade lateral e por isso as curvas dos gráficos se sobrepõem

na imagem em questão.

Na figura 5.8 (e), verifica-se que à medida que a sobrecarga aumenta a secção torna-se mais

suscetível aos fenómenos de instabilidade. Relativamente ao andamento das curvas, estas

apresentam um comportamento linear, aumentando o valor da esbelteza normalizada à medida

que o comprimento do vão aumenta.

2

LAB = 6 m LBC = (3;4;5;6) m

A B C

Sc = 5 KN/m

68

(a)

(b)

(c)

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

3 4 5 6

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

Comprimento do vão, L (m)



0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

3 4 5 6

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT


tw=9,5 tw=10

tw=11 tw=12

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

3 4 5 6

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT


bf=200 bf=210

bf=220 bf=265

69

(d)

(e)

(f)

Figura 5.8: Influência do comprimento do vão no valor da esbelteza normalizada da secção de vigas mistas contínuas, para diferentes: (a) alturas da alma; (b) espessuras da alma; (c) largura

dos banzos metálicos; (d) espessura dos banzo metálicos; (e) sobrecarga; (f) tensão de cedência do aço

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

3 4 5 6

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT


tf=14,5 tf=16

tf=17 tf=19

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

3 4 5 6

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT


sc=5 sc=10

sc=20 sc=30

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

3 4 5 6

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT


fyd=235

fyd=275

fyd=355

70

Na figura 5.8 (f), a esbelteza normalizada aumenta quando o comprimento do vão se alonga,

desenvolvendo-se a curva em linha aproximadamente reta. Neste caso enquanto o valor da

tensão de cedência aumenta a viga torna-se mais suscetível aos fenómenos de instabilidade,

tal como seria de esperar.

Comparando os gráficos é possível notar que a altura a alma do perfil metálico, a tensão de

cedência do aço e a sobrecarga são os parâmetros que têm maior influência no fenómeno em

estudo, sendo que a sobrecarga tem influência no processo devido ao facto de os vãos da viga

não evoluírem de forma simétrica o que altera o andamento do diagrama de momentos

fletores, como já foi explicado anteriormente.

5.1.7- Influência da tensão de rotura à compressão do betão

Na tabela 5.9 apresentam-se os valores que o parâmetro em estudo, tensão de rotura do

betão, toma.

Tabela 5.9: Valores do parâmetro tensão de rotura do betão.

fck (Mpa)

20

25

30

35

A tensão de rotura do betão apenas influencia diretamente a resistência do banzo de betão

viga e indiretamente a posição da linha neutra plástica.

Nos casos estudados a linha neutra plástica esteve sempre presente na alma do perfil de aço.

Como o perfil metálico é simétrico, a linha neutra plástica depende apenas do banzo de betão e

da alma, os parâmetros analisados estão apenas relacionados com alma da secção e o banzo

de betão, porém como se pode verificar na análise feita abaixo o betão não é um parâmetro

decisivo na resistência aos fenómenos de instabilidade lateral.

A tensão de rotura do betão tem uma influência residual na definição da esbelteza normalizada,

como se pode ver nas figuras abaixo, na figura 5.9 (a).

Todos os gráficos apresentam um andamento linear com inclinação nula, excetuando nas

secções de classe 3 onde o valor da esbelteza normalizada sobe enquanto se aumenta o valor

da tensão de rotura, indiciando que para uma análise elástica o aumento da tensão de rotura

do betão torna a viga mais suscetível aos fenómenos de instabilidade lateral.

71

(a)

(b)

(c)

Figura 5.9: Influência tensão de rotura do betão à compressão no valor da esbelteza normalizada da secção de vigas mistas contínuas, para diferentes: (a) alturas da alma; (b)

espessuras da alma; (c) largura do banzo de betão.

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

20 25 30 35

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

Tensão de Rotur a do Betão, fck (MPa)





0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

20 25 30 35

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

Tensão de Rotura do Betão, fck (MPa)





0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

20 25 30 35

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

Tensão de Rotura do Betão, fck (MPa)





72

Verificou-se também que à medida que aumenta altura da alma do perfil metálico o valor da

esbelteza normalizada aumenta, excetuando a situação em que a secção se altera de classe 2

para classe 3, nesse caso a esbelteza normalizada toma um valor menor que os obtidos para

alturas de alma maiores.

Nas figuras 5.9 (b) e (c) mais uma vez se verifica que a tensão de rotura do betão tem uma

influência diminuta na resistência aos fenómenos de instabilidade lateral, já que como é

possível verificar pelo andamento das curvas o valor da esbelteza normalizada não varia com a

mudança do valor da tensão de rotura. Note-se que o aumento da espessura da alma diminui a

influência dos fenómenos de instabilidade na viga.

Mais uma vez se verifica que o aumento do número de vãos da viga faz com que esta fique

mais suscetível a fenómenos de instabilidade lateral, uma vez que o aumento do número de

tramos faz aumentar o valor da esbelteza normalizada.

Para além de que se pode verificar que com o aumento do número de tramos as curvas

aumentam a distância entre si.

5.1.8- Influência da tensão de cedência do aço

(a)

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

235 275 315 355

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

Tensão de Cedência do aço, fyd (MPa)

hw=420

hw=470

hw=515

hw=560

73

(b)

(c)

(d)

Figura 5.10: Influência da tensão de cedência no valor da esbelteza normalizada da secção de vigas mistas contínuas, para diferentes: (a) alturas da alma; (b) espessuras da alma; (c) largura

dos banzos metálicos; (d) espessura dos banzos metálicos.

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

235 275 315 355

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT


tw=9,5

tw=10

tw=11

tw=12

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

235 275 315 355

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT


bf=200

bf=210

bf=220

bf=265

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

235 275 315 355

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT


tf=14,5

tf=16

tf=17

tf=19

74

Na tabela 5.10 apresentam-se os valores que o parâmetro em estudo, tensão de cedência do

aço, toma.

Tabela 5.10: Valores do parâmetro tensão de cedência do aço

fyd (Mpa)

235

275

355

Aumentando a tensão de cedência do aço numa viga mista-aço betão é expectável que o

momento resistente aumente e que o momento crítico se mantenha, ou seja, a esbelteza

normalizada tem tendência a aumentar, tornando a viga mais suscetível a fenómenos de

encurvadura lateral. Na figura 5.10 (a) pode verificar-se que o andamento das curvas está

dentro do esperado, uma vez que estas aumentam enquanto sobe o valor da tensão de

cedência. A única exceção será a secção onde o perfil metálico apresente uma alma de

maiores dimensões, pois com o aumento do valor da tensão de cedência a alma passa a ser

de classe 3 e consequentemente a secção o que, como já foi explicado anteriormente, altera o

tipo de análise da secção de plástica para elástica provocando a descontinuidade verificada no

gráfico.

Na figura 5.10 (b), pode verificar-se a espessura da alma do perfil tem menor influência na

resistência da viga aos fenómenos de instabilidade do que a altura da alma do perfil, uma vez

que as curvas originadas pela variação da espessura da alma estão menos espaçadas do que

acontece na figura anterior. Por outro lado, ao contrário do que acontece com a altura da alma,

enquanto aumenta a espessura da alma diminui a esbelteza normalizada, ou seja, a viga torna-

se menos suscetível a sofrer fenómenos de instabilidade.

Na figura 5.10 (c) é possível verificar que ao aumentar a largura dos banzos metálicos a

esbelteza normalizada desce, por outro lado ao aumentar a tensão de cedência acontece

precisamente o contrário, ou seja, sobe o valor da esbelteza normalizada. Pode notar-se que o

parâmetro em estudo não tem uma influência elevada no fenómeno em análise devido ao

espaçamento reduzido entre as curvas presentes na imagem.

Na figura 5.10 (d) verifica-se que os vários gráficos são quase coincidentes, o que permite

verificar o baixo peso que este parâmetro (largura dos banzo dos perfis metálicos) tem no que

à definição do valor da esbelteza normalizada diz respeito. Por outro lado, o desenvolvimento

das curvas continua a ser semelhante ao que acontece nas outras figuras, ou seja, a esbelteza

normalizada aumenta com o aumento da tensão de cedência do aço.

75

5.2- Proposta de fórmula de cálculo da esbelteza normalizada

Os dados recolhidos aquando do estudo paramétrico foram utilizados posteriormente para

desenvolver fórmulas que possam tornar o cálculo da esbelteza normalizada mais expedito,

dentro do intervalo estudo.

Pretendeu-se neste capítulo, através dos gráficos expostos abaixo, extrapolar uma expressão

para calcular a esbelteza normalizada, parâmetro alvo do estudo em questão. Nesse sentido,

os gráficos representados abaixo são uma manipulação/interação dos parâmetros disponíveis

para que a curva do gráfico se desenvolva de uma maneira retilínea e dessa forma se possa

extrapolar com maior facilidade uma fórmula, que não mais seria do que a equação de uma

reta. Cada parâmetro ou interação entre parâmetros geram uma equação que posteriormente

foram utilizadas para definir uma fórmula que permite calcular mais simplesmente a esbelteza

normalizada.

Nas expressões 5.1 e 5.2 estão representadas as propostas, desenvolvidas neste estudo, para

o cálculo da esbelteza normalizada. Sendo que corresponde à expressão para uma viga de

dois tramos e corresponde à expressão para uma viga de três tramos.

(5.1)

(5.2)

5.2.1- Vigas de 2 vãos

Tabela 5.11: Valores dos parâmetros hw e tw.

tw (mm) hw (mm)

10

420 470 515 560

10,5

11

11,5

12

12,5

13

13,5

76

(a)

(b)

(c)

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

30,0 35,0 40,0 45,0 50,0 55,0

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

hw/tw

hw=420

hw=470

hw=515

hw=560

Proposta

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

35,0 40,0 45,0 50,0

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

hw/tw

bf=200

bf=210

bf=220

bf=265

Proposta

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

35,0 40,0 45,0 50,0

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

hw/tw

tf=14,5

tf=16

tf=17

tf=19

Proposta

77

(d)

(e)

(f)

Figura 5.11: Influência do parâmetro hw/tw na definição da esbelteza normalizada para

diferentes: (a) alturas de alma; (b) larguras dos banzos do perfil metálico; (c) espessuras dos

banzos do perfil metálico; (d) larguras do banzo de betão; (e) comprimentos de vão; (f) tensões

de cedência.

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

35,0 40,0 45,0 50,0

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

hw/tw

Bc=500

Bc=750

Bc=1000

Bc=1500

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

35,0 40,0 45,0 50,0

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

hw/tw

L=3

L=4

L=5

L=6

Proposta

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

35,0 40,0 45,0 50,0

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

hw/tw

fyd=235

fyd=275

fyd=355

Proposta

78

Como se pode ver na figura 5.11 em qualquer um dos gráficos as curvas desenvolvem um

andamento retilíneo, sendo esse o objetivo prévio, como se pode verificar foi feita uma análise

da interação entre dois parâmetros, o comprimento e a espessura da alma.

E como já se tinha verificado anteriormente o aumento do comprimento da alma é prejudicial

ao comportamento da viga aos fenómenos de encurvadura e o contrário acontece quando se

aumenta a espessura da alma e nesse sentido utilizou-se estudou-se a seguinte relação entre

os dois parâmetros, hw/tw, tentando tirar desta relação um andamento retilíneo das curvas,

objetivo esse atingido como foi dito acima. Na seguinte tabela estão indicados os valores

tomados por cada um dos parâmetros.

Nas figuras 5.11 (a), (b), (c), (d) e (f) todas as curvas têm um andamento retilíneo, tal como

apresentam inclinações bastante semelhantes, o que mostra que independentemente das

diferentes combinações o comportamento da secção continua a ser semelhante. Enquanto a

relação hw/tw aumenta o valor da esbelteza normalizada também aumenta.

Já na figura 5.11 (e) pode notar-se que o andamento das curvas continuam a ser lineares,

embora as inclinações se alteram ligeiramente, aumentando quando o comprimento do vão

aumenta, indicando que os vãos maiores são mais suscetíveis aos fenómenos de

instabilidades.

Neste caso em todos os gráficos, excetuando no gráfico da figura 5.11 (f), as curvas estão

bastante próximas umas das outras, o que permite que qualquer tentativa de extrapolar o

comportamento do gráfico esteja mais próximo da realidade.

(5.2)

Tabela 5.12: Valores dos parâmetros tf e bf.

bf (mm) tf (mm)

200

14,5 16 17 19

210

220

230

240

250

260

270

79

Nos gráficos abaixo foi analisada a influência que têm os banzos para o processo em estudo,

através da relação tf/bf, teoricamente a influência dos banzos é menor que da alma, logo a

inclinação das curvas deve ser mais próxima da unidade do que no caso anterior.

Nas figuras 5.12 (a), (b) e (c) as curvas têm andamento linear, com inclinações semelhantes e

espaçamento relativamente elevado entre cada curva, mais acentuado na figura (a) e diminui

ligeiramente nas figuras seguintes. Na figura 5.12 (d) os gráficos são quase coincidentes o que

atesta da fraca influência que o parâmetro em questão (largura do banzo de betão) tem no

processo.

Por fim nas figuras 5.12 (e) e (f) o mesmo comportamento já referido anteriormente é

destrinçado, ou seja, curvas de andamento linear que mantêm inclinações semelhantes ao

longo do gráfico.

80

(a)

(b)

(c)

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,055 0,065 0,075 0,085

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

tf/bf

hw=420

hw=470

hw=515

Proposta

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,055 0,065 0,075 0,085

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

tf/bf

tw=9,5

tw=10

tw=11

tw=12

Proposta

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,055 0,065 0,075 0,085 0,095

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

tf/bf

tf=14,5

tf=16

tf=17

tf=19

Proposta

81

(d)

(e)

(f)

Figura 5.12: Influência do parâmetro tf/Bf na definição da esbelteza normalizada para

diferentes: (a) alturas de alma; (b) espessuras da alma; (c) espessuras dos banzos do perfil

metálico; (d) larguras do banzo de betão; (e) comprimentos de vão; (f) tensões de cedência.

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,055 0,060 0,065 0,070 0,075 0,080 0,085

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

tf/bf

Bc=500

Bc=750

Bc=1000

Bc=1500

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,055 0,060 0,065 0,070 0,075 0,080 0,085

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

tf/bf

L=3 L=4 L=5 L=6 Proposta

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,055 0,060 0,065 0,070 0,075 0,080 0,085

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

tf/bf

fyd=235

fyd=275

fyd=355

Proposta

82

(5.4)

(a)

(b)

(c)

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,055 0,06 0,065 0,07 0,075 0,08 0,085 0,09

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

tf/bf

hw=420

hw=470

hw=515

Proposta

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,055 0,060 0,065 0,070 0,075 0,080 0,085 0,090

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

tf/bf

tw=9,5 tw=10 tw=11 tw=12 Proposta

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,055 0,065 0,075 0,085 0,095

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

tf/bf

bf=200

bf=210

bf=220

Proposta

83

(d)

(e)

(f)


diferentes: (a) alturas de alma; (b) espessuras da alma; (c) larguras dos banzos do perfil

metálico; (d) larguras do banzo de betão; (e) comprimentos de vão; (f) tensões de cedência.

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,055 0,065 0,075 0,085 0,095

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

tf/bf

Bc=500

Bc=750

Bc=1000

Bc=1500

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,055 0,065 0,075 0,085 0,095

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

tf/bf

L=3

L=4

L=5

L=6

Proposta

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,055 0,065 0,075 0,085 0,095

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

tf/bf

fyd=235

fyd=275

fyd=355

Proposta

84

Tabela 5.13: Valores dos parâmetros tf e bf.

tf (mm) bf (mm)

14,5

200 210 220 265

15

15,5

16

16,5

17

17,5

18

Na figura 5.13 (a), (b), (c), (d) e (f) o comportamento dos gráficos é semelhante aos anteriores,

ou seja, a inclinação de cada curva continua a ser semelhante e o andamento também é linear.

Por outro lado na figura 5.13 (e) nota-se que as inclinações diminuem do vão maior para o

mais pequeno.

Neste caso e devido à menor influência dos parâmetros em questão no cálculo do valor da

esbelteza normalizada a proposta apresentada “encaixa” melhor no tipo de andamento

desenvolvido pelas curvas geradas pelo EC4.

Como se pode verificar com o aumento da espessura ou diminuição da largura dos banzos

metálicos a esbelteza normalizada aumenta, o que significa que a secção da viga mista aço-

betão tem maior tendência a sofrer fenómenos de instabilidade lateral.

Como foi referido anteriormente, à medida que as curvas desenvolvem o seu andamento vão

mantendo uma ligeira inclinação que é semelhante a todas as curvas.

Porém na figura 5.13 (e), onde o parâmetro em estudo é o comprimento do vão, pode verificar-

se que à medida que o comprimento de cada viga diminui a inclinação de cada curva vai

diminuindo gradualmente, até que para comprimentos de tramos de 3 e 4 metros a inclinação

das curvas passa a ser negativa, diminuindo dessa forma tendência da viga para sofrer

fenómenos de instabilidade por encurvadura lateral.

(5.5)

85

Na figura 5.14 o parâmetro em análise é o comprimento do vão. As figuras 5.14 (a), (b), (c),

(d) e (f) demonstram um andamento não linear, mas próximo da linearidade o que permite uma

abordagem semelhante aquela feita nos casos anteriores.

A não-linearidade do comportamento da secção provoca o andamento não-linear das curvas

quando se altera o comprimento do vão.

Para além de que a mudança do comprimento do vão altera por completo o comportamento da

secção, já que interage com vários parâmetros.

Na figura 5.14 (e) a curva pertencente à secção com banzo de menor largura não segue um

andamento linear, tal como as outras curvas, embora neste caso o desvio do comportamento

linear seja mais acentuado.

86

(a)

(b)

(c)

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

3 4 5 6

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

L

hw=420

hw=470

hw=515

Proposta

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

3 4 5 6

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

L

tw=9,5

tw=10

tw=11

tw=12

Proposta

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

3 4 5 6

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

L

bf=200

bf=210

bf=220

Proposta

87

(d)

(e)

(f)

Figura 5.14: Influência do parâmetro L na definição da esbelteza normalizada para diferentes:

(a) alturas de alma; (b) espessuras da alma; (c) larguras dos banzos do perfil metálico; (d)


cedência do aço.

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

3 4 5 6

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

L

tf=14,5

tf=16

tf=17

tf=19

Proposta

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

3 4 5 6

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

L

Bc=500

Bc=750

Bc=1000

Bc=1500

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

3 4 5 6

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

L

fyd=235

fyd=275

fyd=355

Proposta

88

(5.6)

(a)

(b)

(c)

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,04 0,045 0,05 0,055 0,06 0,065 0,07

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

1/C4

hw=420

hw=470

hw=515

Proposta

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,040 0,045 0,050 0,055 0,060 0,065 0,070

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

1/C4

tw=9,5

tw=10

tw=11

tw=12

Proposta

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,04 0,05 0,05 0,06 0,06 0,07 0,07

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

1/C4

bf=200

bf=210

bf=220

Proposta

89

(d)

(e)

(f)

Figura 5.15: Influência do parâmetro C4 na definição da esbelteza normalizada para diferentes:

(a) alturas de alma; (b) espessuras da alma; (c) larguras dos banzos do perfil metálico; (d)


cedência do aço.

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,04 0,05 0,05 0,06 0,06 0,07 0,07

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

1/C4

tf=14,5

tf=16

tf=17

tf=19

Proposta

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,04 0,045 0,05 0,055 0,06 0,065 0,07

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

1/C4

Bc=500

Bc=750

Bc=1000

Bc=1500

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,040 0,045 0,050 0,055 0,060 0,065 0,070

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

1/C4

fyd=235

fyd=275

fyd=355

Proposta

90

Nos gráficos da figura 5.15 foi analisado o efeito que tem a forma do diagrama de momentos

no processo, sendo utilizada a variação da sobrecarga apenas num vão para poder variar os

diagramas de momentos livremente, estando a variação da sobrecarga representada na figura

5.7. O parâmetro C4 é então utilizado para representar a forma do diagrama de momentos.

Nas figuras 5.15 (a) a (f) o comportamento continua a ser o mesmo verificado nos gráficos

anteriores, ou seja andamento linear e inclinações das curvas da mesma ordem de grandeza.

No caso da figura 5.15 a proposta não se adequa ao andamento das curvas geradas pelo

método preconizado no EC4.

A proposta apresenta um andamento com inclinação demasiado pequena, ao contrário do que

acontece com as outras curvas, onde a inclinação é elevada.

Por outro lado é possível verificar que os valores da proposta são sempre menores que os das

outras curvas, situação que não é desejável. Uma vez que se pretende que, na melhor das

hipóteses, o valor da esbelteza normalizada fosse maior do que aqueles calculados através do

EC4. Já que dessa forma a proposta seria mais conservativa, o que permite estar, sempre que

se utiliza a fórmula, do lado da segurança.

(5.7)

(5.8)

5.2.2- Vigas de 3 vãos

No caso das vigas de 3 vãos o comportamento das vigas continua a ser o mesmo, embora o

valor da esbelteza normalizada seja superior, como se verificou anteriormente, uma vez que no

caso de existirem mais que 2 tramos na viga esta tem maior tendência a encurvar lateralmente,

sobretudo devido a forma do diagrama de momentos.

Como foi referido anteriormente, ao se adicionar um tramo à de dois vãos a forma do diagrama

de momentos fletores altera-se, aumentando o comprimento de viga sujeito a momento

negativo. Por essa razão a viga tem maior pré-disposição para sofrer fenómenos de

instabilidade, o que explica o aumento dos valores das esbelteza lateral.

Na figura 5.16 todos o gráficos apresentam andamentos lineares, tal como inclinações

semelhantes.

91

A figura 5.16 (e), torna-se a única excepção ao comportamento das curvas presentes na

figura 5.16, pois a inclinação das curvas quando existe uma diminuição do comprimento de

vão, embora a variação da inclinação dos gráficos seja apenas ligeira.

De um modo geral pode verificar-se que a inclinação dos gráficos é superior ao da proposta

desenvolvida.

92

(a)

(b)

(c)

0,40

0,50

0,60

0,70

30,0 35,0 40,0 45,0 50,0 55,0

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

hw/tw

hw=420

hw=470

hw=515

hw=560

Proposta

0,40

0,50

0,60

0,70

30,0 35,0 40,0 45,0 50,0

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

hw/tw

bf=200

bf=210

bf=220

bf=265

Proposta

0,40

0,50

0,60

0,70

30,0 35,0 40,0 45,0 50,0

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

hw/tw

tf=14,5

tf=16

tf=17

tf=19

Proposta

93

(d)

(e)

(f)

Figura 5.16: Influência do parâmetro hw/tw na definição da esbelteza normalizada para

diferentes: (a) alturas de alma; (b) larguras dos banzos do perfil metálico; (c) espessuras dos

banzos do perfil metálico; (d) larguras do banzo de betão; (e) comprimentos dos vãos; (f)

tensões de cedência do aço.

0,40

0,50

0,60

0,70

30,0 35,0 40,0 45,0 50,0

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

hw/tw

Bc=500

Bc=750

Bc=1000

Bc=1500

0,40

0,50

0,60

0,70

30,0 35,0 40,0 45,0 50,0

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

hw/tw

L=3

L=4

L=5

L=6

Proposta

0,40

0,50

0,60

0,70

30,0 35,0 40,0 45,0 50,0

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

hw/tw

fyd=235

fyd=275

fyd=355

Proposta

94

(5.9)

(a)

(b)

(c)

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,055 0,06 0,065 0,07 0,075 0,08 0,085

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

tf/bf

hw=420

hw=470

hw=515

Proposta

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,055 0,060 0,065 0,070 0,075 0,080 0,085

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

tf/bf

tw=9,5

tw=10

tw=11

tw=12

Proposta

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,055 0,065 0,075 0,085 0,095

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

tf/bf

tf=14,5

tf=16

tf=17

tf=19

Proposta

95

(d)

(e)

(f)


diferentes: (a) alturas de alma; (b) espessuras das almas; (c) espessuras dos banzos do perfil


do aço.

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,055 0,060 0,065 0,070 0,075 0,080 0,085

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

tf/bf

Bc=500

Bc=750

Bc=1000

Bc=1500

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,055 0,060 0,065 0,070 0,075 0,080 0,085

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

tf/bf

L=3

L=4

L=5

L=6

Proposta

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,055 0,060 0,065 0,070 0,075 0,080 0,085

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

tf/bf

fyd=235

fyd=275

fyd=355

Proposta

96

Na figura 5.17, tal como na figura anterior, todos os gráficos seguem o mesmo

comportamento, com andamento linear e inclinação semelhante das curvas, embora neste

caso não haja lugar a nenhuma exceção.

Neste caso a proposta encaixa melhor no andanmento das curvas do que no caso anterior,

uma vez que o parâmetro não é tão influente como o anterior e dessa forma permite que a

inclinação das curvas não seja muito acentuada.

Por outro lado, no caso da figura 5.17 (c), a proposta não se adequa ao resultado das curvas

geradas pelo EC4, uma vez que os valores são sempre menores, da parte da proposta

sugerida.

Como se referiu anteriormente, o objectivo é que pelo menos os valores da proposta sejam

idênticos aos gráficos gerados pelo EC4 e no limite obtenham um valor superior, para que a

fórmula proposta funcione do lado da segurança.

(5.10)

Neste caso a figura 5.18 mostra que as curvas continuam a ter um comportamento semelhante

aquele descrito anteriormente.

As curvas desenvolvem-se nos diferentes gráficos com inclinações semelhantes e andamentos

lineares.

Embora, nos casos anteriores os parâmetros proporcionassem um andamento tal das curvas

que sua a inclinação fosse regra geral positiva. Neste caso, devido ao baixo fator de influência

do parâmetro em análise, as inclinações das retas encontram-se próximas de zero.

Se bem que o facto dos andamentos das curvas ser quase nulo não invalide que se perceba

uma pequena inclinação de algumas curvas, que como se pode notar nos gráficos apresenta

uma ligeira pendente positiva.

É possível verificar na figura 5.18 (e) que, mais uma vez, as inclinações das curvas variam

quando o comprimento do vão varia, ou seja, a inclinação das curvas diminui quando o

comprimento do vão diminui, tornando-se mesmo negativa no caso doas vigas com vãos mais

pequenos.

Relativamente à proposta é possível verifica que mantém um andamento semelhante ao das

curvas geradas pelo método preconizado pelo EC4, mantendo uma inclinação semelhante e

uma andamento próximo do linear, como acontece com as outras curvas.

97

No entanto, apresenta valores da esbelteza normalizada próximos das curvas de menor

esbelteza, sendo que na figura 5.18 (c) chega mesmo a ser sempre menor que qualquer curva

presente no gráfico em questão.

98

(a)

(b)

(c)

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,065 0,07 0,075 0,08 0,085

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

tf/bf

hw=420

hw=470

hw=515

Proposta

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,065 0,070 0,075 0,080 0,085

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

tf/bf

tw=9,5

tw=10

tw=11

tw=12

Proposta

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,055 0,06 0,065 0,07 0,075 0,08 0,085 0,09

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

tf/bf

bf=200

bf=210

bf=220

bf=265

Proposta

99

(d)

(e)

(f)


diferentes: (a) alturas de alma; (b) espessuras das almas; (c) larguras dos banzos do perfil


do aço.

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,065 0,070 0,075 0,080 0,085

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

tf/bf

Bc=500

Bc=750

Bc=1000

Bc=1500

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,065 0,070 0,075 0,080 0,085

Esbelteza n

orm

alizada, λ

LT

tf/bf

L=3

L=4

L=5

L=6

Proposta

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,065 0,070 0,075 0,080 0,085

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

tf/bf

fyd=235

fyd=275

fyd=355

Proposta

100

(5.11)

Ao se analisar a influência do comprimento do vão no processo pudemos verificar que o

andamento das curvas não é exatamente linear, embora não ande muito longe desse tipo de

comportamento.

Nas figuras 5.19 (a), (b) e (c) nota-se uma ligeira encurvadura das curvas, deixando a

concavidade gerada virada para cima, por outro lado as inclinações das curvas continuam a ser

semelhantes. Já na figura 5.19 (d) as curvas sobrepõe-se não sendo possível verificar se o

andamento é linear, no entanto é possível verificar que as inclinações se vão alterando de

curva para curva, embora ligeiramente. A figura 5.19 (e) segue o mesmo padrão definido

anteriormente, ou seja, uma ligeira concavidade virada para cima e inclinações semelhantes

das curvas.

(a)

(b)

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

3 4 5 6

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

L

hw=420

hw=470

hw=515

Proposta

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

3 4 5 6

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

L

tw=9,5

tw=10

tw=11

tw=12

Proposta

101

(c)

(d)

(e)

Figura 5.19: Influência do parâmetro L na definição da esbelteza normalizada para diferentes:

(a) alturas de alma; (b) espessuras das almas; (c) larguras dos banzos do perfil metálico; (d)

espessuras dos banzos do perfil metálico; (e) tensões de cedência do aço.

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

3 4 5 6

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

L

bf=200

bf=210

bf=220

bf=265

Proposta

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

3 4 5 6

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

L

tf=14,5

tf=16

tf=17

tf=19

Proposta

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

3 4 5 6

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

L

fyd=235

fyd=275

fyd=355

Proposta

102

(5.12)

Na figura 5.20 (a), (b), (c), (d) e (e) as inclinações são semelhantes entre curvas e os

andamentos das curvas são lineares.

(a)

(b)

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,045 0,05 0,055 0,06 0,065 0,07 0,075

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

1/C4

hw=420

hw=470

hw=515

Proposta

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,05 0,05 0,06 0,06 0,07 0,07 0,08

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

1/C4

tw=9,5

tw=10

tw=11

tw=12

Proposta

103

(c)

(d)

(e)

Figura 5.20: Influência do parâmetro C4 na definição da esbelteza normalizada para diferentes:


espessuras dos banzos do perfil metálico; (e) tensões de cedência do aço.

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,045 0,050 0,055 0,060 0,065 0,070 0,075

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

1/C4

bf=200 bf=210 bf=220 bf=265 Proposta

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,045 0,050 0,055 0,060 0,065 0,070 0,075

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

1/C4

tf=14,5

tf=16

tf=17

tf=19

Proposta

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,045 0,05 0,055 0,06 0,065 0,07 0,075

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

1/C4

fyd=235

fyd=275

fyd=355

Proposta

104

(5.13)

(a)

(b)

(c)

0,40

0,50

0,60

0,70

235 275 315 355

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

fyd

hw=420

hw=470

hw=515

Proposta

0,40

0,50

0,60

0,70

235 275 315 355

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

fyd

tw=9,5

tw=10

tw=11

tw=12

Proposta

0,40

0,50

0,60

0,70

235 275 315 355

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

fyd

bf=200

bf=210

bf=220

bf=265

Proposta

105

(d)

Figura 5.21: Influência do parâmetro fyd na definição da esbelteza normalizada para diferentes:


espessuras dos banzos do perfil metálico.

(5.14)

Após a análise dos resultados do estudo paramétrico foi possível verificar que os parâmetros

que maior influência têm no fenómeno da instabilidade lateral são a espessura e comprimento

da alma do perfil metálico, a tensão de cedência do aço do perfil, o comprimento do vão e a

sobrecarga, se bem que no caso da sobrecarga os fenómenos de instabilidade só estejam

dependentes da sua distribuição ao longo da viga e não do seu valor.

Embora a presença do betão confira maior resistência ao fenómeno em causa o

incremento/decremento da sua tensão de rotura ou da largura do seu banzo não têm influência

de maior no valor da esbelteza normalizada. Embora, no caso de a viga ser de classe 3 a

tensão de rotura do betão faz variar de forma mais acentuada a esbelteza normalizada,

aumentando a influência do banzo de betão no processo.

Relativamente aos dois parâmetros restantes, a espessura e largura dos banzos metálicos, têm

menor influência quando comparados com os parâmetros pertencentes a alma do perfil, no

entanto é possível verificar que no intervalo definido a largura do banzo seja mais influente que

a espessura.

0,40

0,50

0,60

0,70

235 275 315 355

Esbelteza n

orm

aliz

ad

a,

λLT

fyd

tf=14,5

tf=16

tf=17

tf=19

Proposta

106

107

6- Conclusão e desenvolvimentos futuros

A principal contribuição do trabalho apresentado nesta dissertação incide no estudo do

fenómeno da encurvadura distorcional em vigas mistas, sendo avaliados os momentos críticos

elásticos (Mcr) de encurvadura lateral através das metodologias apresentadas no EC4 (ENV),

por Hanswille (2000) e Dekker, Kemp e Trinchero (1995). Apontando-se as suas diferenças e

semelhanças. Desta forma, os estudos efetuados neste trabalho permitem retirar as

conclusões que se apresentam sumarizadas neste capítulo.

Inicialmente foi apresentada uma revisão bibliográfica com diversos estudos sobre este tema.

Esta revisão fornece uma perspetiva sobre os trabalhos desenvolvidos até à data, extraindo-se

daí a conclusão de que existe uma forte necessidade de se desenvolverem métodos gerais,

que permitam modelar este fenómeno de uma forma mais precisa. Nesta dissertação foram

então estudados vários modelos analíticos para o cálculo de Mcr, baseados no modelo de

estrutura em “U” invertido.

O método do EC4 (ENV) admite que o perfil de aço estrutural roda, ao contrário do que

acontece no modelo de Dekker, Kemp e Trinchero (1995), como um corpo rígido, considerando

portanto a constante de torção de St. Venant. A rigidez de flexão transversal é fornecida pela

laje de betão e pela alma do perfil metálico, considerando uma rotação unitária ao nível do

banzo superior do perfil metálico. No modelo de Dekker a alma não é considerada rígida,

portanto o corpo como se pode ver ao rodar sofre algumas deformações que, por outro lado

restringem alguns movimentos da secção. A rigidez de empenamento do banzo inferior é

contabilizada admitindo um deslocamento lateral unitário do banzo inferior, entrando em

contradição com a consideração feita para a rigidez de flexão transversal.

À semelhança do método do EC4, o método apresentado por Hanswille (2000) considera a

constante de torção de St. Venant e a rigidez de flexão transversal. Contudo, o este método é

menos conservativo que o do EC4 (ENV), pois a constante de empenamento é calculada

considerando uma rotação unitária ao nível do banzo superior. Além disto, o andamento do Mcr

fornecido pelo método de Hanswille (2000) apresenta um comportamento tipo “placa”.

Fez-se uma validação do método desenvolvido e uma comparação qualitativa com os restantes

métodos com o objetivo de confirmar as semelhanças e diferenças entre eles. A validação foi

feita da seguinte forma, validaram-se os valores de Mcr pela ENV 1994, por comparação entre

os valores obtidos pelos métodos de Hanswille (2000) e Dekker, Kemp e Trinchero (1995),

concluindo-se que se obtêm bons resultados.

Por fim chegou-se a conclusão que os parâmetros mais importantes na definição do momento

crítico são:

108

O vão da viga (L), a forma do diagrama de momentos (C4), a espessura da alma (tw), a altura

da alma (hw) e a tensão de cedência (fyd). Destes fatores aqueles mais influentes são mesmo as

dimensões da alma, pois é esta que restringe a deformação do perfil, tornando assim a secção

da viga mista resistente a problemas de encurvadura, sendo por isso a relação hw/tw o fator

mais importante na definição da esbelteza normalizada. De notar a fraca influência da laje de

betão no processo, embora seja reconhecido o mérito da sua presença é de surpreender que

as alterações da largura efetiva produzam alterações irrisórias no valor do momento crítico.

Vigas com três vãos têm maior esbelteza normalizada do que vigas com dois vãos, porque o

diagrama de momentos têm uma relação Mo/M menor (C4), logo o momento crítico é mais

baixo, tornando a secção mais suscetível a fenómenos de instabilidade.

Por outro lado, é possível verificar que para os casos estudados a variação da largura do betão

não influencia de forma significativa o comportamento da viga, embora a sua presença restrinja

os movimentos do banzo superior e a viga se torne menos suscetível a fenómenos de

instabilidade.

Devido ao seu baixo módulo de elasticidade o betão contribui de forma pouco significativa na

contabilização dos momentos resistente plástico e crítico. Sendo que o caso muda de figura

para secções de classe 3.

Como desenvolvimento futuro sugere-se a realização de ensaios de laboratório que permitam

abordar o comportamento das vigas de forma mais exata, uma vez que existe um certo de grau

de aproximação nas expressões utilizadas, e dessa forma emular melhor o comportamento da

viga mista quando sujeita a fenómenos de encurvadura lateral. O recurso ao laboratório

poderia permitir desenvolver expressões mais exatas que as preconizadas no Eurocódigo, que

como se referiu na dissertação são bastante conservativas.

Por outro lado, futuramente pode ser desenvolvido um método que calcule a esbelteza

normalizada para secções de classe 3 ou 4, além de uma análise para vigas 4 ou mais vãos.

109

7- Bibliografia

[1] EN 1993-1-1, Eurocode 3 Part 1-1: Design of steel structures – Part 1-1: General rules and

rules for buildings, CEN, Brussels 2005

[2] EN 1994-1-1, Eurocode 4: Design of composite steel and concrete structures, Part 1-1:

General rules for buildings, CEN, Brussels 2005

[3] Salah, W; Gizewjowski, M; M. A. 2008. Restrained distortional buckling of composite beams-

FE modeling of the behavior of steel-concrete beams in the hogging moment region, in Proc.

Eurosteel Conference, 2008, Graz, Austria, 1629-1634.

[4] Hanswille, G. 2000. Torsional buckling of composite beams, comparison of more accurate

methods with Eurocode 4, in Proc. Composite Construction in Steel and Concrete IV, 2000,

Banff, Alberta, Canada, 105-116. doi:10,1061/40616(281)10

[5] Dekker, N.; Kemp, A. R.; Trinchero P. 1995. Factors influencing the strength of continuous

composite beams in negative bending, Journal of Constructional Steel Research 34:262-185

[6] Gizewjowski, M.; Salah, W. 2010. Restrained distortional buckling strength of steel-concrete

composite beams – a review of current practice and new developments, in Proc, International

Conference, 2010, Vilnius, Lithuania, 604-612.

[7] Vrcelj, Z.; Bradford, M. A., 2006. Elastic Distortional Buckling of Continuous Restrained I-

section Beam-columns. Journal of Constructional Steel Research. 62:223-230.

[8] Vrcelj, Z.; Bradford, M. A., 2007. Elastic Bubble Augmented Spline Finite Stripe Method in

Analysis of Continuous Composite Beams. Australian Journal of Structural Engineering.

7(2):75-84.

[9] Vrcelj, Z.; Bradford, M. A., 2009. Inelastic Restrained Distortional Buckling of Continuous

Composite T-beams. Journal of Constructional Steel Research. 65:850-859.

[10] Bradford, M. A.; Gao, Z., 1992. Distortional Buckling Solutions for Continuous Composite

Beams. Journal of Structural Engineering, vol.118:1144.

[11] Bradford, M. A.; Kemp, A. R., 2000. Buckling in Continuous Composite Beams. Progress

in Structural Engineering and Materials, 2:169:178.

[12] Calado, L.; Santos, J., 2010. Estruturas Mistas de Aço e Betão. IST Press, Lisboa.

110

[13] Bradford, M. A., 1998. Inelastic buckling of I-beam with continuous elastic tension flange

restraint. Journal of Constructional Steel Research, 48:63-77.

[14] Vasdrevellis, G.; Uy B.; Tan E. L.; Kirkland B., 2012. Behavior and design of composite

beams subjected to negative bending and compression. Journal of Constructional Steel

Research, 79:34-47

111

8- Anexos

A-Tabelas

A1-Dois vãos

Tabela A1.1: Valores do momento crítico e esbelteza normalizada, variação da espessura da

alma

bf (mm) tf (mm) Bc (mm) sc (KN/m2) L1 (m) L2 (m) fck (Mpa) fyd (Mpa)

210 16 1000 5 6 6 25 355

hw (mm) 420 470 515 560

tw (mm) Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT

10 5396 0,386 5104 0,423 4886 0,456 4701 0,230

10,5 5760 0,376 5446 0,412 5212 0,444 5013 0,476

11 6133 0,366 5797 0,402 5546 0,433 5333 0,465

11,5 6512 0,357 6154 0,392 5887 0,423 5660 0,454

12 6898 0,349 6519 0,383 6235 0,413 5994 0,444

12,5 7290 0,341 6889 0,374 6589 0,404 6334 0,434

13 7688 0,333 7265 0,367 6949 0,396 6679 0,425

13,5 8089 0,327 7645 0,359 7313 0,388 7029 0,417


alma

hw (mm) tf (mm) Bc (mm) sc (KN/m2) L1 (m) L2 (m) fck (Mpa) fyd (Mpa)

470 16 1000 5 6 6 25 355

bf (mm) 200 210 220 265

tw (mm) Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT

10 4750 0,432 5103,72 0,423 5466 0,415 7203 0,385

10,5 5071 0,421 5446,14 0,412 5831 0,404 7675 0,375

11 5398 0,410 5796,64 0,402 6205 0,394 8160 0,365

11,5 5732 0,400 6154,47 0,392 6587 0,384 8655 0,356

12 6073 0,391 6518,90 0,383 6976 0,375 9159 0,348

12,5 6418 0,382 6888,76 0,374 7371 0,367 9673 0,340

13 6769 0,374 7264,93 0,367 7772 0,359 10194 0,333

13,5 7124 0,367 7645,23 0,359 8178 0,352 10722 0,326

112


alma

hw (mm) bf (mm) Bc (mm) sc (KN/m2) L1 (m) L2 (m) fck (Mpa) fyd (Mpa)

470 16 1000 5 6 6 25 355

tf (mm) 14,5 16 17 19


λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT

10 4837,46 0,421 5103,72 0,423 5285 0,424 5663 0,426

10,5 5169,81 0,410 5446,14 0,412 5634 0,413 6021 0,415

11 5509,47 0,399 5796,64 0,402 5990 0,403 6388 0,405

11,5 5855,77 0,390 6154,47 0,392 6355 0,393 6764 0,396

12 6208,07 0,381 6518,90 0,383 6727 0,384 7148 0,387

12,5 6565,75 0,372 6888,76 0,374 7105 0,376 7539 0,378

13 6928,21 0,364 7264,93 0,367 7488 0,368 7937 0,371

13,5 7294,86 0,357 7645,23 0,359 7877 0,361 8340 0,363


alma

hw (mm) bf (mm) tf (mm) sc (KN/m2) L1 (m) L2 (m) fck (Mpa) fyd (Mpa)

470 16 16 5 6 6 25 355

Bc (mm) 500 750 1000 1500


λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT

10 4892 0,419 5001 0,424 5103,72 0,423 5205 0,419

10,5 5224 0,408 5338 0,413 5446,14 0,412 5551 0,408

11 5565 0,398 5684 0,402 5796,64 0,402 5903 0,398

11,5 5914 0,388 6037 0,392 6154,47 0,392 6262 0,389

12 6271 0,379 6398 0,383 6518,90 0,383 6627 0,380

12,5 6635 0,370 6765 0,375 6888,76 0,374 6996 0,372

13 7006 0,362 7138 0,367 7264,93 0,367 7369 0,364

13,5 7384 0,355 7517 0,359 7645,23 0,359 7745 0,357

113


alma

hw (mm) bf (mm) tf (mm) sc (KN/m2) Bc (mm) fck (Mpa) fyd (Mpa)

470 16 1000 5 1000 25 355

L (mm) 3000 4000 5000 6000


λLT Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m)

λLT

10 5959 0,379 5519 0,398 5261 0,413 5103,72 0,423

10,5 6280 0,371 5854 0,389 5602 0,402 5446,14 0,412

11 6613 0,364 6199 0,380 5951 0,392 5796,64 0,402

11,5 6956 0,357 6554 0,372 6308 0,383 6154,47 0,392

12 7311 0,350 6916 0,364 6673 0,375 6518,90 0,383

12,5 7673 0,344 7286 0,357 7044 0,367 6888,76 0,374

13 8044 0,337 7663 0,350 7420 0,359 7264,93 0,367

13,5 8421 0,332 8045 0,343 7802 0,352 7645,23 0,359


alma

hw (mm) bf (mm) tf (mm) sc (KN/m2) Bc (mm) fck (Mpa) L (mm)

470 16 1000 5 1000 25 6000

fyd (mm)

235 275 355

tw (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m) λLT

10 5103,723 0,356 5103,723 0,380 5103,723 0,423

10,5 5446,144 0,346 5446,144 0,370 5446,144 0,412

11 5796,642 0,338 5796,642 0,360 5796,642 0,402

11,5 6154,466 0,329 6154,466 0,352 6154,466 0,392

12 6518,904 0,322 6518,904 0,343 6518,904 0,383

12,5 6888,761 0,315 6888,761 0,336 6888,761 0,374

13 7264,929 0,308 7264,929 0,329 7264,929 0,367

13,5 7645,232 0,302 7645,232 0,322 7645,232 0,359

114

Tabela A1.7: Valores do momento crítico e esbelteza normalizada, variação da largura do

banzo metálico.

tw (mm) tf (mm) Bc (mm) sc (KN/m2) L1(mm) L2(mm) fck (Mpa) fyd (Mpa)

10 16 1000 5 6000 25 355

hw (mm) 420 470 515 560

bf (mm) Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT

200 5026 0,394 4750 0,432 4545 0,466 4371 0,237

210 5396 0,386 5104 0,423 4886 0,456 4701 0,230

220 5775 0,379 5466 0,415 5235 0,447 5039 0,224

230 6163 0,372 5837 0,408 5593 0,439 5386 0,218

240 6561 0,366 6217 0,401 5960 0,431 5742 0,213

250 6966 0,360 6605 0,394 6335 0,424 6105 0,208

260 7381 0,355 7002 0,388 6718 0,417 6477 0,203

270 7804 0,350 7407 0,382 7110 0,410 6858 0,199


banzo metálico.

hw (mm) tf (mm) Bc (mm) sc (KN/m2) L1(mm) L2(mm) fck (Mpa) fyd (Mpa)

470 16 1000 5 6000 25 355

tw (mm) 9,5 10 11 12

bf (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT

200 4439 0,444 4750,47 0,432 5398 0,410 6073 0,391

210 4770 0,435 5103,72 0,423 5797 0,402 6519 0,383

220 5110 0,427 5465,91 0,415 6205 0,394 6976 0,375

230 5459 0,419 5836,91 0,408 6623 0,387 7443 0,369

240 5816 0,412 6216,60 0,401 7050 0,380 7921 0,362

250 6181 0,405 6604,90 0,394 7487 0,374 8409 0,356

260 6554 0,399 7001,70 0,388 7933 0,368 8907 0,350

270 6936 0,179 7406,59 0,382 8388 0,362 9414 0,345

115


banzo metálico.

hw (mm) tw (mm) Bc (mm) sc (KN/m2)

L1(mm) L2(mm) fck (Mpa) fyd (Mpa)

470 10 1000 5 6000 25 355

tf (mm) 14,5 16 17 19

bf (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT

200 4506 0,430 4750,47 0,43 4917 0,433 5262 0,435

210 4837 0,421 5103,72 0,42 5285 0,424 5663 0,426

220 5177 0,413 5465,91 0,42 5663 0,416 6075 0,418

230 5524 0,405 5836,91 0,41 6051 0,409 6498 0,410

240 5880 0,398 6216,60 0,40 6448 0,402 6931 0,403

250 6243 0,183 6604,90 0,39 6854 0,395 7376 0,397

260 6613 0,179 7001,70 0,39 7269 0,389 7831 0,390

270 6991 0,175 7406,59 0,38 7694 0,383 8297 0,384


banzo metálico.

hw (mm) tw (mm) tf (mm) sc (KN/m2)


470 10 16 5 6000 25 355

Bc (mm) 500 750 1000 1500

bf (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT

200 4548 0,428 4654 0,433 4750,47 0,432 4845 0,428

210 4892 0,419 5001 0,424 5103,72 0,423 5205 0,419

220 5245 0,411 5357 0,416 5465,91 0,415 5575 0,411

230 5606 0,404 5722 0,408 5836,91 0,408 5954 0,404

240 5977 0,397 6096 0,401 6216,60 0,401 6342 0,397

250 6356 0,391 6478 0,395 6604,90 0,394 6738 0,390

260 6744 0,385 6869 0,389 7001,70 0,388 7144 0,384

270 7140 0,379 7268 0,383 7406,59 0,382 7558 0,378

116


banzo metálico.


Bc(mm) fck (Mpa) fyd (Mpa)

470 10 16 5 1000 25 355

L (mm) 3000 4000 5000 6000

bf (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


λLT

200 5514 0,388 5122 0,407 4891 0,421 4750,47 0,432

210 5959 0,379 5519 0,398 5261 0,413 5103,72 0,423

220 6418 0,371 5928 0,390 5642 0,405 5465,91 0,415

230 6891 0,364 6349 0,383 6032 0,397 5836,91 0,408

240 7378 0,357 6781 0,376 6431 0,390 6216,60 0,401

250 7880 0,350 7224 0,370 6841 0,383 6604,90 0,394

260 8396 0,344 7678 0,363 7260 0,377 7001,70 0,388

270 8927 0,338 8144 0,358 7688 0,372 7406,59 0,382


banzo metálico.

hw (mm) bf (mm) Bc (mm) sc (KN/m2)

Bc (mm) fck (Mpa)

L (mm)

470 16 1000 5 1000 25 6000

fyd (mm)

235 275 355

bf (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


200 4750 0,363 4750 0,388 4750,47 0,43

210 5104 0,356 5104 0,380 5103,72 0,42

220 5466 0,349 5466 0,372 5465,91 0,42

230 5837 0,342 5837 0,365 5836,91 0,41

240 6217 0,336 6217 0,359 6216,60 0,40

250 6605 0,330 6605 0,353 6604,90 0,39

260 7002 0,324 7002 0,347 7001,70 0,39

270 7407 0,319 7407 0,342 7406,59 0,38

117

Tabela A1.13: Valores do momento crítico e esbelteza normalizada, variação da espessura do

banzo metálico.


Bc (mm) fck (Mpa)

L (mm)

470 16 1000 5 1000 25 6000

fyd (mm)

235 275 355

tf (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


11,5 4314 0,352 4314 0,374 4313,96 0,207

12,5 4489 0,353 4489 0,376 4488,57 0,418

13,5 4663 0,354 4663 0,377 4662,62 0,419

14,5 4837 0,355 4837 0,378 4837,46 0,421

15,5 5014 0,355 5014 0,379 5014,25 0,423

16,5 5194 0,356 5194 0,380 5194,08 0,424

17,5 5378 0,357 5378 0,381 5377,91 0,425

18,5 5567 0,357 5567 0,381 5566,67 0,426


banzo metálico.

tw (mm) bf (mm) Bc (mm) sc (KN/m2) L1(mm) L2(mm) fck (Mpa) fyd (Mpa)

10 210 1000 5 6000 25 355

hw (mm) 420 470 515 560

tf (mm) Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT

11,5 4589 0,189 4314 0,207 4110 0,223 3937 0,239

12,5 4768 0,379 4489 0,418 4281 0,452 4104 0,237

13,5 4946 0,382 4663 0,419 4451 0,453 4272 0,235

14,5 5125 0,383 4837 0,421 4623 0,455 4442 0,233

15,5 5305 0,385 5014 0,423 4798 0,456 4614 0,231

16,5 5488 0,387 5194 0,424 4975 0,457 4789 0,229

17,5 5674 0,388 5378 0,425 5157 0,457 4970 0,227

18,5 5865 0,390 5567 0,426 5345 0,458 5156 0,225

118


banzo metálico.

hw (mm) bf (mm) Bc (mm) sc (KN/m2) L1(mm) L2(mm) fck (Mpa) fyd (Mpa)

470 210 1000 5 6000 25 355

tw (mm) 9,5 10 11 12

tf (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT

11,5 4014 0,214 4313,96 0,207 4933 0,194 5575 0,183

12,5 4179 0,430 4488,57 0,418 5127 0,396 5789 0,377

13,5 4345 0,432 4662,62 0,419 5319 0,398 6000 0,379

14,5 4513 0,433 4837,46 0,421 5509 0,399 6208 0,381

15,5 4684 0,435 5014,25 0,423 5701 0,401 6415 0,382

16,5 4858 0,436 5194,08 0,424 5893 0,402 6623 0,384

17,5 5037 0,437 5377,91 0,425 6088 0,404 6831 0,385

18,5 5222 0,437 5566,67 0,426 6287 0,405 7042 0,386


banzo metálico.



470 10 1000 5 6000 25 355

bf (mm) 200 210 220 265

tf (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT

11,5 4023 0,213 4313,96 0,207 4611 0,201 6025 0,181

12,5 4184 0,427 4488,57 0,418 4799 0,200 6282 0,180

13,5 4345 0,428 4662,62 0,419 4988 0,411 6540 0,178

14,5 4506 0,430 4837,46 0,421 5177 0,413 6801 0,177

15,5 4668 0,431 5014,25 0,423 5369 0,414 7068 0,176

16,5 4833 0,433 5194,08 0,424 5564 0,416 7341 0,385

17,5 5002 0,434 5377,91 0,425 5764 0,417 7622 0,386

18,5 5174 0,435 5566,67 0,426 5970 0,418 7913 0,387

119


banzo metálico.

hw (mm) tw (mm) bf (mm) sc (KN/m2)


470 10 210 5 6000 25 355

Bc (mm) 500 750 1000 1500

tf (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT

11,5 4107 0,178 4221 0,200 4313,96 0,207 4395 0,209

12,5 4281 0,413 4393 0,418 4488,57 0,418 4574 0,414

13,5 4454 0,415 4565 0,420 4662,62 0,419 4753 0,415

14,5 4628 0,417 4738 0,422 4837,46 0,421 4932 0,417

15,5 4803 0,419 4913 0,423 5014,25 0,423 5114 0,418

16,5 4981 0,420 5090 0,425 5194,08 0,424 5298 0,420

17,5 5163 0,421 5271 0,426 5377,91 0,425 5487 0,421

18,5 5349 0,422 5458 0,427 5566,67 0,426 5681 0,422


banzo de betão.


Bc(mm) fck (Mpa) fyd (Mpa)

470 10 210 5 1000 25 355

L (mm) 3000 4000 5000 6000

tf (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


λLT

11,5 4671 0,160 4495 0,177 4383 0,193 4313,96 0,207

12,5 4932 0,384 4710 0,398 4573 0,409 4488,57 0,418

13,5 5205 0,383 4931 0,398 4765 0,410 4662,62 0,419

14,5 5494 0,382 5159 0,399 4960 0,411 4837,46 0,421

15,5 5799 0,380 5397 0,399 5160 0,412 5014,25 0,423

16,5 6123 0,378 5644 0,398 5365 0,413 5194,08 0,424

17,5 6468 0,376 5904 0,398 5577 0,413 5377,91 0,425

18,5 6833 0,373 6177 0,396 5798 0,413 5566,67 0,426

120


banzo de betão.

tw (mm) bf (mm) tf (mm) sc (KN/m2) L1(mm) L2(mm) fck (Mpa) fyd (Mpa)

10 210 16 5 6000 25 355

hw (mm) 420 470 515 560

Bc (mm) Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT

500 5157 0,383 4892 0,419 4693 0,452 4522 0,484

750 5284 0,387 5001 0,424 4790 0,457 4611 0,223

1000 5396 0,386 5104 0,423 4886 0,456 4701 0,230

1100 5433 0,385 5138 0,422 4920 0,455 4734 0,230

1200 5464 0,384 5169 0,421 4949 0,453 4762 0,230

1300 5492 0,383 5195 0,420 4974 0,452 4787 0,230

1400 5508 0,382 5211 0,419 4990 0,451 4803 0,230

1500 5501 0,382 5205 0,419 4985 0,452 4798 0,231


banzo de betão.

hw (mm) bf (mm) tf (mm) sc (KN/m2) L1(mm) L2(mm) fck (Mpa) fyd (Mpa)

470 210 16 5 6000 25 355

tw (mm) 9,5 10 11 12

Bc (mm)

Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT

500 4569 0,431 4891,69 0,419 5565 0,398 6271 0,379

750 4673 0,436 5000,95 0,424 5684 0,402 6398 0,383

1000 4770 0,435 5103,72 0,423 5797 0,402 6519 0,383

1100 4803 0,434 5138,49 0,422 5835 0,400 6560 0,382

1200 4832 0,433 5168,66 0,421 5867 0,399 6594 0,381

1300 4857 0,431 5195,00 0,420 5896 0,398 6624 0,380

1400 4873 0,431 5211,15 0,419 5912 0,398 6640 0,379

1500 4868 0,431 5205,36 0,419 5903 0,398 6627 0,380

121


banzo de betão.



470 10 16 5 6000 25 355

bf (mm) 200 210 220 265

Bc (mm)

Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT

500 4548 0,428 4891,69 0,419 5245 0,411 6941 0,382

750 4654 0,433 5000,95 0,424 5357 0,416 7068 0,386

1000 4750 0,432 5103,72 0,423 5466 0,415 7203 0,385

1100 4783 0,431 5138,49 0,422 5503 0,414 7253 0,383

1200 4811 0,429 5168,66 0,421 5536 0,413 7296 0,382

1300 4835 0,428 5195,00 0,420 5564 0,411 7334 0,381

1400 4850 0,428 5211,15 0,419 5581 0,411 7358 0,381

1500 4845 0,428 5205,36 0,419 5575 0,411 7350 0,381


banzo de betão.



470 10 210 5 6000 25 355

tf (mm) 14,5 16 17 19

Bc (mm)

Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT

500 4628 0,417 4892 0,419 5072 0,421 5445 0,423

750 4738 0,422 5001 0,424 5180 0,425 5553 0,427

1000 4837 0,421 5104 0,423 5285 0,424 5663 0,426

1100 4870 0,420 5138 0,422 5322 0,423 5702 0,425

1200 4898 0,418 5169 0,421 5353 0,422 5737 0,423

1300 4923 0,417 5195 0,420 5381 0,421 5767 0,422

1400 4938 0,417 5211 0,419 5398 0,420 5786 0,422

1500 4932 0,417 5205 0,419 5392 0,420 5780 0,422

122


banzo de betão.


tf(mm) fck (Mpa) fyd (Mpa)

470 10 210 5 16 25 355

L (mm) 3000 4000 5000 6000

Bc (mm)

Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


λLT

500 5783 0,385 5272 0,404 5028 0,414 4891,69 0,419

750 5971 0,379 5423 0,402 5146 0,417 5000,95 0,424

1000 5959 0,379 5519 0,398 5261 0,413 5103,72 0,423

1100 5954 0,379 5514 0,399 5297 0,411 5138,49 0,422

1200 5949 0,379 5508 0,399 5314 0,411 5168,66 0,421

1300 5944 0,380 5503 0,399 5308 0,411 5195,00 0,420

1400 5939 0,380 5498 0,399 5303 0,411 5211,15 0,419

1500 5935 0,380 5492 0,399 5297 0,411 5205,36 0,419


banzo de betão.

hw (mm) tw (mm) bf (mm) Bc (mm) tf (mm) fck (Mpa)

L (mm)

470 10 210 1000 16 25 6000

fyd (mm)

235 275 355

Bc (mm)

Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


500 4892 0,349 4892 0,374 4891,69 0,419

750 5001 0,356 5001 0,380 5000,95 0,424

1000 5104 0,356 5104 0,380 5103,72 0,423

1100 5138 0,355 5138 0,378 5138,49 0,422

1200 5169 0,353 5169 0,377 5168,66 0,421

1300 5195 0,353 5195 0,376 5195,00 0,420

1400 5211 0,352 5211 0,376 5211,15 0,419

1500 5205 0,352 5205 0,376 5205,36 0,419

123

Tabela A1.25: Valores do momento crítico e esbelteza normalizada, variação da sobrecarga.

tw (mm) bf (mm) tf (mm) Bc (mm) L1(mm) L2(mm) fck (Mpa) fyd (Mpa)

10 210 16 1000 6000 25 355

hw (mm) 420 470 515 560

sc (mm) Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT

5 5396 0,386 5104 0,423 4886 0,456 4701 0,230

10 4607 0,418 4360 0,458 4174 0,494 4020 0,249

20 3791 0,461 3589 0,505 3438 0,544 3311 0,274

30 3394 0,487 3211 0,534 3076 0,575 2961 0,290

40 3289 0,495 3109 0,542 2974 0,585 2860 0,295


hw (mm) bf (mm) tf (mm) Bc (mm) L1(mm) L2(mm) fck (Mpa) fyd (Mpa)

470 210 16 1000 6000 25 355

tw (mm) 9,5 10 11 12

sc (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT

5 4770 0,435 5103,72 0,423 5797 0,402 6519 0,383

10 4074 0,471 4359,76 0,458 4955 0,434 5574 0,414

20 3353 0,519 3588,95 0,505 4080 0,479 4592 0,456

30 3001 0,549 3211,11 0,534 3650 0,506 4108 0,482

40 2906 0,558 3108,93 0,542 3530 0,515 3969 0,491


hw (mm) tw (mm) tf (mm) Bc (mm) L1(mm) L2(mm) fck (Mpa) fyd (Mpa)

470 10 16 1000 6000 25 355

bf (mm) 200 210 220 265

sc (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT

5 4750 0,432 5103,72 0,423 5466 0,415 7203 0,385

10 4056 0,468 4359,76 0,458 4671 0,449 6167 0,416

20 3338 0,515 3588,95 0,505 3846 0,495 5083 0,458

30 2988 0,545 3211,11 0,534 3441 0,523 4547 0,484

40 2894 0,554 3108,93 0,542 3329 0,532 4386 0,493

124


hw (mm) tw (mm) bf (mm) Bc (mm) L1(mm) L2(mm) fck (Mpa) fyd (Mpa)

470 10 210 1000 6000 25 355

tf (mm) 14,5 16 17 19

sc (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT

5 4837 0,421 5104 0,423 5285 0,424 5663 0,426

10 4129 0,456 4360 0,458 4517 0,459 4845 0,461

20 3397 0,502 3589 0,505 3720 0,506 3992 0,508

30 3042 0,531 3211 0,534 3328 0,535 3572 0,537

40 2948 0,539 3109 0,542 3219 0,544 3448 0,546


hw (mm) tw (mm) bf (mm) Bc (mm) tf(mm) fck (Mpa) fyd (Mpa)

470 10 210 1000 16 25 355

L (mm) 3000 4000 5000 6000

sc (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


λLT

5 5959 0,379 5519 0,398 5261 0,413 5103,72 0,423

10 5069 0,411 4698 0,432 4486 0,447 4359,76 0,458

20 4143 0,455 3842 0,478 3681 0,493 3588,95 0,505

30 3687 0,482 3422 0,506 3286 0,522 3211,11 0,534

40 3508 0,494 3262 0,518 3156 0,533 3108,93 0,542



L (mm)

470 10 210 1000 16 25 6000

fyd (mm)

235 275 355

sc (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


5 5104 0,356 5104 0,380 5103,72 0,423

10 4360 0,385 4360 0,411 4359,76 0,458

20 3589 0,424 3589 0,453 3588,95 0,505

30 3211 0,448 3211 0,479 3211,11 0,534

40 3109 0,456 3109 0,487 3108,93 0,542

125

Tabela A1.31: Valores do momento crítico e esbelteza normalizada, variação do comprimento

do vão.

tw (mm) bf (mm) tf (mm) Bc (mm) sc(KN/m2) fck (Mpa) fyd (Mpa)

10 210 16 1000 5 25 355

hw (mm) 420 470 515 560

L (mm) Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m)


λLT

3000 6181 0,349 5962 0,379 5806 0,405 5679 0,431

4000 5778 0,365 5519 0,398 5330 0,428 5172 0,457

5000 5541 0,377 5262 0,413 5055 0,444 4880 0,234

6000 5396 0,386 5104 0,423 4886 0,456 4701 0,230


do vão.

hw (mm) bf (mm) tf (mm) Bc (mm) sc(KN/m2) fck (Mpa) fyd (Mpa)

470 210 16 1000 5 25 355

tw (mm) 9,5 10 11 12

L (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


λLT

3000 5653 0,387 5961,86 0,379 6618 0,364 7317 0,350

4000 5195 0,408 5519,47 0,398 6201 0,380 6919 0,364

5000 4931 0,424 5261,67 0,413 5952 0,392 6675 0,375

6000 4770 0,435 5103,72 0,423 5798 0,402 6522 0,383


do vão.

hw (mm) tw (mm) tf (mm) Bc (mm) sc(KN/m2) fck (Mpa) fyd (Mpa)

470 10 16 1000 5 25 355

bf (mm) 200 210 220 265

L (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


λLT

3000 5517 0,388 5961,86 0,379 6421 0,371 8666 0,341

4000 5122 0,407 5519,47 0,398 5929 0,390 7912 0,360

5000 4891 0,421 5261,67 0,413 5642 0,404 7474 0,374

6000 4750 0,432 5103,72 0,423 5466 0,415 7203 0,385

126


do vão.

hw (mm) tw (mm) bf (mm) Bc (mm) sc(KN/m2) fck (Mpa) fyd (Mpa)

470 10 210 1000 5 25 355

tf (mm) 14,5 16 17 19

L (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


λLT

3000 5496 0,382 5962 0,379 6296 0,377 7029 0,371

4000 5159 0,399 5519 0,398 5773 0,398 6320 0,396

5000 4960 0,411 5262 0,413 5471 0,413 5912 0,413

6000 4837 0,421 5104 0,423 5285 0,424 5663 0,426


do vão.

hw (mm) tw (mm) bf (mm) tf (mm) Bc(mm) fck (Mpa) fyd (Mpa)

470 10 210 16 1000 25 355

sc(KN/m2) 5 10 20 30

L (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


λLT

3000 5961,86 0,379 5069 0,411 4143 0,455 3687 0,482

4000 5519,47 0,398 4698 0,432 3842 0,478 3422 0,506

5000 5261,67 0,413 4486 0,447 3681 0,493 3286 0,522

6000 5103,72 0,423 4360 0,458 3589 0,505 3211 0,534


do vão.

hw (mm) tw (mm) bf (mm) Bc (mm) sc(KN/m2) fck (Mpa)

L (mm)

470 10 210 1000 5 25 6000

fyd (mm)

235 275 355

L (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


3000 5962 0,315 5962 0,338 5961,86 0,379

4000 5519 0,333 5519 0,356 5519,47 0,398

5000 5262 0,346 5262 0,369 5261,67 0,413

6000 5104 0,356 5104 0,380 5103,72 0,423

127

Tabela A1.37: Valores do momento crítico e esbelteza normalizada, variação da tensão de

rotura do betão.

tw (mm) bf (mm) tf (mm) Bc (mm) sc(KN/m2) L (mm) fyd (Mpa)

10 210 16 1000 5 6000 355

hw (mm) 420 470 515 560

fck (Mpa)

Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m)


λLT

20 5395 0,386 5103 0,423 4885 0,456 4700 0,182

25 5397 0,386 5103 0,423 4886 0,456 4701 0,193

35 5396 0,386 5104 0,423 4886 0,456 4701 0,230

30 5397 0,386 5104 0,423 4887 0,456 4702 0,243

35 5397 0,386 5105 0,423 4887 0,456 4702 0,253


rotura do betão.

hw (mm) bf (mm) tf (mm) Bc (mm) sc(KN/m2) L (mm) fyd (Mpa)

470 210 16 1000 5 6000 355

tw (mm) 9,5 10 11 12

fck (Mpa)

Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


λLT

20 4770 0,435 5102,84 0,423 5795 0,402 6516 0,383

25 4770 0,435 5103,31 0,423 5796 0,402 6518 0,383

35 4770 0,435 5103,72 0,423 5797 0,402 6519 0,383

30 4771 0,435 5104,41 0,423 5798 0,402 6521 0,383

35 4771 0,435 5104,68 0,423 5798 0,402 6522 0,383

Tabela B1.39: Valores do momento crítico e esbelteza normalizada, variação da tensão de

rotura do betão.

hw (mm) tw (mm) tf (mm) bf (mm) sc(KN/m2) L (mm) fyd (Mpa)

470 10 16 210 5 6000 355

Bc (mm) 500 750 1000 1500

fck (Mpa)

Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


λLT

20 4890,70 0,419 5000 0,424 5103 0,423 5206 0,419

25 4891,21 0,419 5000 0,424 5103 0,423 5206 0,419

35 4891,69 0,419 5001 0,424 5104 0,423 5205 0,419

30 4892,59 0,419 5002 0,424 5104 0,423 5204 0,419

35 4893,02 0,419 5003 0,424 5105 0,423 5204 0,419

128


cedência do aço.

tw (mm) bf (mm) tf (mm) Bc (mm) sc(KN/m2) fck (Mpa) L (mm)

10 210 16 1000 5 25 6000

hw (mm) 420 470 515 560

fyd (Mpa)

Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m)


λLT

235 5396 0,325 5104 0,356 4886 0,383 4701 0,410

275 5396 0,347 5104 0,380 4886 0,409 4701 0,438

355 5396 0,386 5104 0,423 4886 0,456 4701 0,230


cedência do aço.

hw (mm) bf (mm) tf (mm) Bc (mm) sc(KN/m2) fck (Mpa) L (mm)

470 210 16 1000 5 25 6000

tw (mm) 9,5 10 11 12

fyd (Mpa)

Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


λLT

235 4770 0,366 5103,72 0,36 5797 0,338 6519 0,322

275 4770 0,391 5103,72 0,38 5797 0,360 6519 0,343

355 4770 0,435 5103,72 0,42 5797 0,402 6519 0,383


cedência do aço.

hw (mm) tw (mm) tf (mm) Bc (mm) sc(KN/m2) L (mm) fyd (Mpa)

470 10 16 1000 5 6000 355

bf (mm) 200 210 220 265

fyd (Mpa)

Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


λLT

235 4750 0,363 5104 0,356 5466 0,349 7203 0,322

275 4750 0,388 5104 0,380 5466 0,372 7203 0,344

355 4750 0,432 5104 0,423 5466 0,415 7203 0,385

129


cedência do aço.

hw (mm) tw (mm) bf (mm) Bc (mm) sc(KN/m2) L (mm) fyd (Mpa)

470 10 210 1000 5 6000 355

tf (mm) 14,5 16 17 19

fyd (Mpa)

Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


λLT

235 0,355 1,12E+07 5104 0,356 5285 0,356 5663 0,357

275 0,378 1,12E+07 5104 0,380 5285 0,381 5663 0,382

355 0,421 1,12E+07 5104 0,423 5285 0,424 5663 0,426

A2-Três vãos


alma

bf (mm) tf (mm) Bc (mm) sc (KN/m2) L1 (m) L2 (m) fck (Mpa) fyd (Mpa)

210 16 1000 5 6 6 25 355

hw (mm) 420 470 515 560


10 2909 0,526 2750 0,577 2632 0,622 2531 0,311

10,5 3105 0,512 2935 0,561 2807 0,605 2698 0,649

11 3306 0,499 3123 0,547 2987 0,590 2870 0,633

11,5 3510 0,486 3316 0,534 3170 0,576 3046 0,619

12 3718 0,475 3512 0,522 3357 0,563 3226 0,605

12,5 3929 0,464 3711 0,510 3548 0,551 3408 0,592

13 4143 0,454 3913 0,499 3741 0,540 3594 0,580

13,5 4359 0,445 4118 0,489 3937 0,529 3782 0,569

130


alma

hw (mm) tf (mm) Bc (mm) sc (KN/m2) L1 (m) L2 (m) fck (Mpa) fyd (Mpa)

470 16 1000 5 6 6 25 355

bf (mm) 200 210 220 265


10 2560 0,589 2750,37 0,577 2945 0,566 3880 0,524

10,5 2732 0,573 2934,67 0,561 3142 0,551 4134 0,510

11 2909 0,559 3123,30 0,547 3343 0,537 4395 0,497

11,5 3089 0,545 3315,86 0,534 3549 0,524 4661 0,485

12 3272 0,533 3511,95 0,522 3758 0,512 4933 0,474

12,5 3458 0,521 3711,22 0,510 3970 0,500 5209 0,463

13 3646 0,510 3913,32 0,499 4186 0,490 5489 0,453

13,5 3837 0,500 4117,75 0,489 4405 0,480 5774 0,444


alma

hw (mm) bf (mm) Bc (mm) sc (KN/m2) L1 (m) L2 (m) fck (Mpa) fyd (Mpa)

470 16 1000 5 6 6 25 355

tf (mm) 14,5 16 17 19


10 2607 0,574 2750,37 0,577 2848 0,578 3051 0,581

10,5 2786 0,558 2934,67 0,561 3035 0,563 3243 0,566

11 2969 0,544 3123,30 0,547 3227 0,549 3441 0,552

11,5 3155 0,531 3315,86 0,534 3424 0,536 3643 0,539

12 3345 0,518 3511,95 0,522 3624 0,524 3850 0,527

12,5 3537 0,507 3711,22 0,510 3827 0,512 4060 0,516

13 3732 0,496 3913,32 0,499 4033 0,501 4274 0,505

13,5 3930 0,486 4117,75 0,489 4242 0,491 4491 0,495

131


alma

hw (mm) bf (mm) tf (mm) sc (KN/m2) L1 (m) L2 (m) fck (Mpa) fyd (Mpa)

470 16 16 5 6 6 25 355

Bc (mm) 500 750 1000 1500


10 2653 0,569 2711 0,576 2750,37 0,577 2772 0,574

10,5 2833 0,554 2894 0,561 2934,67 0,561 2955 0,559

11 3018 0,540 3081 0,546 3123,30 0,547 3142 0,546

11,5 3207 0,527 3273 0,533 3315,86 0,534 3332 0,533

12 3401 0,514 3468 0,521 3511,95 0,522 3526 0,521

12,5 3598 0,503 3667 0,509 3711,22 0,510 3722 0,509

13 3799 0,492 3869 0,498 3913,32 0,499 3919 0,499

13,5 4004 0,482 4074 0,488 4117,75 0,489 4119 0,489


alma

hw (mm) bf (mm) Bc (mm) sc (KN/m2) Bc (mm) fck (Mpa) fyd (Mpa)

470 16 1000 5 1000 25 355

L (mm) 3000 4000 5000 6000


10 3153 0,521 2929 0,547 2816 0,564 2750,37 0,58

10,5 3322 0,511 3106 0,534 2997 0,550 2934,67 0,56

11 3498 0,500 3289 0,522 3184 0,536 3123,30 0,55

11,5 3679 0,491 3476 0,511 3374 0,524 3315,86 0,53

12 3865 0,481 3668 0,500 3569 0,512 3511,95 0,52

12,5 4056 0,473 3864 0,490 3767 0,501 3711,22 0,51

13 4252 0,464 4063 0,480 3968 0,491 3913,32 0,50

13,5 4450 0,456 4265 0,471 4172 0,481 4117,75 0,49

132


alma

hw (mm) bf (mm) Bc (mm) sc (KN/m2) Bc (mm) fck (Mpa) L (mm)

470 16 1000 5 1000 25 6000

fyd (mm)

235 275 355

tw (mm) Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT

200 2750 0,517 2750 0,485 2750,37 0,577

210 2935 0,504 2935 0,472 2934,67 0,561

220 3123 0,491 3123 0,460 3123,30 0,547

230 3316 0,479 3316 0,449 3315,86 0,534

240 3512 0,468 3512 0,438 3511,95 0,522

250 3711 0,458 3711 0,429 3711,22 0,510

260 3913 0,448 3913 0,420 3913,32 0,499

270 4118 0,439 4118 0,411 4117,75 0,489


banzo metálico.

tw (mm) tf (mm) Bc (mm) sc (KN/m2) L1(mm) L2(mm) fck (Mpa) fyd (Mpa)

10 16 1000 5 6000 25 355

hw (mm) 420 470 515 560

bf (mm) Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT

200 2710 0,537 2560 0,589 2449 0,635 2354 0,320

210 2909 0,526 2750 0,577 2632 0,622 2531 0,311

220 3113 0,516 2945 0,566 2820 0,609 2713 0,303

230 3323 0,507 3145 0,555 3012 0,598 2899 0,295

240 3536 0,499 3349 0,546 3210 0,587 3090 0,288

250 3755 0,491 3558 0,537 3411 0,577 3286 0,281

260 3978 0,483 3772 0,528 3617 0,568 3486 0,275

270 4206 0,476 3990 0,520 3828 0,559 3690 0,269

133


banzo metálico.

hw (mm) tf (mm) Bc (mm) sc (KN/m2) L1(mm) L2(mm) fck (Mpa) fyd (Mpa)

470 16 1000 5 6000 25 355

tw (mm) 9,5 10 11 12

bf (mm) Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT

200 2392 0,605 2560,19 0,59 2909 0,559 3272 0,533

210 2571 0,593 2750,37 0,58 3123 0,547 3512 0,522

220 2754 0,582 2945,34 0,57 3343 0,537 3758 0,512

230 2942 0,571 3145,03 0,56 3568 0,527 4009 0,502

240 3134 0,561 3349,34 0,55 3798 0,518 4266 0,493

250 3330 0,552 3558,37 0,54 4033 0,509 4529 0,485

260 3531 0,543 3771,90 0,53 4273 0,501 4797 0,477

270 3736 0,242 3989,94 0,52 4518 0,494 5070 0,470


banzo metálico.


L1(mm) L2(mm) fck (Mpa)

fyd (Mpa)

470 10 1000 5 6000 25 355

tf (mm) 14,5 16 17 19

bf (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr

(KN.m) λLT Mcr

(KN.m) λLT

200 2429 0,586 2560,19 0,59 2650 0,590 2835 0,593

210 2607 0,574 2750,37 0,58 2848 0,578 3051 0,581

220 2790 0,562 2945,34 0,57 3051 0,567 3272 0,570

230 2977 0,552 3145,03 0,56 3260 0,557 3500 0,559

240 3168 0,543 3349,34 0,55 3474 0,547 3733 0,550

250 3364 0,247 3558,37 0,54 3692 0,538 3972 0,541

260 3563 0,242 3771,90 0,53 3916 0,530 4217 0,532

270 3767 0,237 3989,94 0,52 4144 0,522 4468 0,524

134


banzo metálico.



fyd (Mpa)

470 10 16 5 6000 25 355

Bc (mm) 500 750 1000 1500

bf (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr

(KN.m) λLT Mcr

(KN.m) λLT

200 2467 0,581 2523 0,588 2560,19 0,59 2580 0,586

210 2653 0,569 2711 0,576 2750,37 0,58 2772 0,574

220 2844 0,559 2904 0,565 2945,34 0,57 2968 0,563

230 3040 0,549 3102 0,555 3145,03 0,56 3170 0,553

240 3241 0,539 3304 0,545 3349,34 0,55 3376 0,543

250 3446 0,531 3511 0,536 3558,37 0,54 3586 0,535

260 3656 0,523 3723 0,528 3771,90 0,53 3802 0,526

270 3871 0,515 3939 0,520 3989,94 0,52 4022 0,518


banzo metálico.


Bc(mm) fck (Mpa)

fyd (Mpa)

470 10 16 5 1000 25 355

L (mm) 3000 4000 5000 6000

bf (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m) λLT Mcr

(KN.m) λLT

200 2918 0,533 2718 0,559 2618 0,576 2560,19 0,59

210 3153 0,521 2929 0,547 2816 0,564 2750,37 0,58

220 3395 0,510 3146 0,536 3019 0,553 2945,34 0,57

230 3645 0,500 3369 0,526 3227 0,543 3145,03 0,56

240 3902 0,491 3598 0,516 3441 0,533 3349,34 0,55

250 4167 0,482 3832 0,507 3660 0,524 3558,37 0,54

260 4439 0,473 4073 0,499 3883 0,516 3771,90 0,53

270 4719 0,465 4320 0,491 4112 0,508 3989,94 0,52

135


banzo metálico.


Bc (mm) fck (Mpa)

L (mm)

470 16 1000 5 1000 25 6000

fyd (mm)

235 275 355

bf (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


200 2560 0,495 2560 0,528 2560,19 0,589

210 2750 0,485 2750 0,517 2750,37 0,577

220 2945 0,475 2945 0,507 2945,34 0,566

230 3145 0,466 3145 0,498 3145,03 0,555

240 3349 0,457 3349 0,489 3349,34 0,546

250 3558 0,449 3558 0,480 3558,37 0,537

260 3772 0,442 3772 0,473 3771,90 0,528

270 3990 0,435 3990 0,465 3989,94 0,520


banzo metálico.

tw (mm) bf (mm) Bc (mm) sc (KN/m2) L1(mm) L2(mm) fck (Mpa) fyd (Mpa)

10 210 1000 5 6000 25 355

hw (mm) 420 470 515 560

tf (mm) Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT

11,5 2764 0,522 2607 0,574 2491 0,619 2392 0,315

12,5 2812 0,524 2655 0,575 2537 0,620 2438 0,313

13,5 2860 0,525 2702 0,576 2584 0,621 2484 0,312

14,5 2909 0,526 2750 0,577 2632 0,622 2531 0,311

15,5 2959 0,527 2799 0,577 2680 0,622 2578 0,310

16,5 3008 0,528 2848 0,578 2728 0,623 2626 0,309

17,5 3059 0,529 2898 0,579 2777 0,623 2675 0,307

18,5 3110 0,530 2948 0,580 2827 0,624 2725 0,306

136


banzo metálico.

hw (mm) bf (mm) Bc (mm) sc (KN/m2) L1(mm) L2(mm) fck (Mpa) fyd (Mpa)

470 210 1000 5 6000 25 355

tw (mm) 9,5 10 11 12

tf (mm) Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT

11,5 2433 0,590 2607,33 0,574 2969 0,544 3345 0,518

12,5 2478 0,591 2654,61 0,575 3020 0,545 3401 0,520

13,5 2524 0,592 2702,31 0,576 3072 0,546 3456 0,521

14,5 2571 0,593 2750,37 0,577 3123 0,547 3512 0,522

15,5 2618 0,594 2798,90 0,577 3175 0,548 3568 0,523

16,5 2666 0,594 2847,97 0,578 3227 0,549 3624 0,524

17,5 2714 0,595 2897,64 0,579 3280 0,550 3680 0,525

18,5 2763 0,595 2947,97 0,580 3333 0,551 3736 0,525


banzo metálico.



fyd (Mpa)

470 10 1000 5 6000 25 355

bf (mm) 200 210 220 265

tf (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr

(KN.m) λLT Mcr

(KN.m) λLT

11,5 2429 0,586 2607,33 0,574 2790 0,562 3665 0,239

12,5 2472 0,587 2654,61 0,575 2841 0,564 3736 0,238

13,5 2516 0,588 2702,31 0,576 2893 0,565 3808 0,238

14,5 2560 0,589 2750,37 0,577 2945 0,566 3880 0,524

15,5 2605 0,589 2798,90 0,577 2998 0,566 3954 0,525

16,5 2650 0,590 2847,97 0,578 3051 0,567 4029 0,526

17,5 2695 0,591 2897,64 0,579 3105 0,568 4105 0,526

18,5 2741 0,592 2947,97 0,580 3160 0,569 4183 0,527

137


banzo metálico.



fyd (Mpa)

470 10 210 5 6000 25 355

Bc (mm) 500 750 1000 1500

tf (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr

(KN.m) λLT Mcr

(KN.m) λLT

11,5 2510 0,566 2569 0,573 2607,33 0,57 2627 0,571

12,5 2557 0,567 2616 0,574 2654,61 0,57 2675 0,572

13,5 2605 0,568 2663 0,575 2702,31 0,58 2723 0,573

14,5 2653 0,569 2711 0,576 2750,37 0,58 2772 0,574

15,5 2701 0,570 2759 0,577 2798,90 0,58 2821 0,575

16,5 2750 0,571 2808 0,578 2847,97 0,58 2870 0,576

17,5 2800 0,572 2857 0,578 2897,64 0,58 2921 0,577

18,5 2850 0,573 2907 0,579 2947,97 0,58 2972 0,577


banzo metálico.


Bc(mm) fck (Mpa)

fyd (Mpa)

470 10 210 5 1000 25 355

L (mm) 3000 4000 5000 6000

tf (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


(KN.m) λLT

11,5 2908 0,525 2739 0,547 2655 0,562 2607,33 0,574

12,5 2987 0,524 2801 0,547 2708 0,563 2654,61 0,575

13,5 3068 0,522 2864 0,547 2761 0,563 2702,31 0,576

14,5 3153 0,521 2929 0,547 2816 0,564 2750,37 0,577

15,5 3239 0,520 2995 0,547 2871 0,564 2798,90 0,577

16,5 3329 0,518 3063 0,546 2927 0,565 2847,97 0,578

17,5 3421 0,517 3133 0,546 2984 0,565 2897,64 0,579

18,5 3515 0,515 3204 0,545 3042 0,565 2947,97 0,580

138


banzo metálico.


Bc (mm) fck (Mpa)

L (mm)

470 16 1000 5 1000 25 6000

fyd (mm)

235 275 355

tf (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


11,5 2607 0,483 2607 0,515 2607,33 0,574

12,5 2655 0,484 2655 0,516 2654,61 0,575

13,5 2702 0,484 2702 0,517 2702,31 0,576

14,5 2750 0,485 2750 0,517 2750,37 0,577

15,5 2799 0,485 2799 0,518 2798,90 0,577

16,5 2848 0,485 2848 0,518 2847,97 0,578

17,5 2898 0,486 2898 0,519 2897,64 0,579

18,5 2948 0,486 2948 0,519 2947,97 0,580


banzo de betão.

tw (mm) bf (mm) tf (mm) sc (KN/m2) L1(mm) L2(mm) fck (Mpa) fyd (Mpa)

10 210 16 5 6000 25 355

hw (mm) 420 470 515 560

Bc (mm) Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT

500 2798 0,519 2653 0,569 2544 0,614 2450 0,658

750 2866 0,525 2711 0,576 2595 0,621 2497 0,300

1000 2909 0,526 2750 0,577 2632 0,622 2531 0,311

1100 2919 0,525 2760 0,576 2641 0,620 2534 0,312

1200 2927 0,524 2767 0,575 2648 0,620 2547 0,312

1300 2931 0,524 2772 0,574 2653 0,619 2552 0,312

1400 2934 0,524 2775 0,574 2656 0,619 2555 0,313

1500 2930 0,524 2772 0,574 2653 0,619 2552 0,314

139


banzo de betão.

hw (mm) bf (mm) tf (mm) sc (KN/m2) L1(mm) L2(mm) fck (Mpa) fyd (Mpa)

470 210 16 5 6000 25 355

tw (mm) 9,5 10 11 12

Bc (mm)

Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT

500,0 2478 0,586 2652,85 0,569 3018 0,540 3401 0,514

750,0 2533 0,592 2711,20 0,576 3081 0,546 3468 0,521

1000,0 2571 0,593 2750,37 0,577 3123 0,547 3512 0,522

1100,0 2580 0,592 2760,08 0,576 3133 0,546 3522 0,521

1200,0 2587 0,591 2767,25 0,575 3141 0,546 3529 0,520

1300,0 2592 0,590 2772,22 0,574 3145 0,545 3532 0,520

1400,0 2595 0,590 2774,59 0,574 3147 0,545 3533 0,520

1500,0 2592 0,590 2771,51 0,574 3142 0,546 3526 0,521


banzo de betão.



fyd (Mpa)

470 10 16 5 6000 25 355

bf (mm) 200 210 220 265

Bc (mm)

Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr

(KN.m) λLT Mcr

(KN.m) λLT

500 2467 0,581 2652,85 0,569 2844 0,559 3763 0,519

750 2523 0,588 2711,20 0,576 2904 0,565 3830 0,524

1000 2560 0,589 2750,37 0,577 2945 0,566 3880 0,524

1100 2569 0,587 2760,08 0,576 2956 0,565 3894 0,523

1200 2576 0,587 2767,25 0,575 2963 0,564 3905 0,523

1300 2580 0,586 2772,22 0,574 2969 0,563 3912 0,522

1400 2583 0,586 2774,59 0,574 2971 0,563 3916 0,522

1500 2580 0,586 2771,51 0,574 2968 0,563 3911 0,522

140


banzo de betão.



fyd (Mpa)

470 10 210 5 6000 25 355

tf (mm) 14,5 16 17 19

Bc (mm)

Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr

(KN.m) λLT Mcr

(KN.m) λLT

500 2510 0,566 2653 0,569 2750 0,571 2952 0,574

750 2569 0,573 2711 0,576 2808 0,578 3009 0,580

1000 2607 0,574 2750 0,577 2848 0,578 3051 0,581

1100 2616 0,573 2760 0,576 2858 0,577 3062 0,580

1200 2623 0,572 2767 0,575 2866 0,576 3070 0,579

1300 2628 0,571 2772 0,574 2871 0,576 3076 0,578

1400 2630 0,571 2775 0,574 2873 0,576 3079 0,578

1500 2627 0,571 2772 0,574 2870 0,576 3076 0,578


banzo de betão.


tf(mm) fck (Mpa)

fyd (Mpa)

470 10 210 5 16 25 355

L (mm) 3000 4000 5000 6000

Bc (mm)

Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


(KN.m) λLT

500 3108 0,525 2851 0,549 2724 0,562 2652,85 0,569

750 3159 0,521 2907 0,549 2783 0,567 2711,20 0,576

1000 3153 0,521 2929 0,547 2816 0,564 2750,37 0,577

1100 3150 0,521 2926 0,547 2823 0,563 2760,08 0,576

1200 3147 0,522 2923 0,547 2826 0,563 2767,25 0,575

1300 3145 0,522 2921 0,548 2823 0,563 2772,22 0,574

1400 3142 0,522 2918 0,548 2820 0,564 2774,59 0,574

1500 3140 0,522 2915 0,548 2817 0,564 2771,51 0,574

141


banzo de betão.


L (mm)

470 10 210 1000 16 25 6000

fyd (mm)

235 275 355

Bc (mm)

Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


500 2653 0,474 2653 0,508 2652,85 0,569

750 2711 0,483 2711 0,516 2711,20 0,576

1000 2750 0,485 2750 0,517 2750,37 0,577

1100 2760 0,484 2760 0,516 2760,08 0,576

1200 2767 0,483 2767 0,516 2767,25 0,575

1300 2772 0,483 2772 0,515 2772,22 0,574

1400 2775 0,482 2775 0,515 2774,59 0,574

1500 2772 0,483 2772 0,515 2771,51 0,574


tw (mm) bf (mm) tf (mm) Bc (mm) L1(mm) L2(mm) fck (Mpa) fyd (Mpa)

10 210 16 1000 6000 25 355

hw (mm) 420 470 515 560

sc (mm) Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT

5 2909 0,526 2750 0,577 2632 0,622 2531 0,311

10 3649 0,470 3447 0,515 3297 0,555 3168 0,278

20 4207 0,437 3975 0,480 3802 0,517 3655 0,259

30 4400 0,428 4158 0,469 3978 0,506 3825 0,253

40 4492 0,423 4246 0,464 4062 0,500 3905 0,250


hw (mm) bf (mm) tf (mm) Bc (mm) L1(mm) L2(mm) fck (Mpa) fyd (Mpa)

470 210 16 1000 6000 25 355

tw (mm) 9,5 10 11 12

sc (mm) Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT

5,0 2571 0,593 2750,37 0,577 3123 0,547 3512 0,522

10,0 3223 0,530 3447,19 0,515 3913 0,489 4397 0,466

20,0 3716 0,493 3975,16 0,480 4512 0,455 5072 0,434

30,0 3887 0,482 4158,35 0,469 4721 0,445 5308 0,424

40,0 3969 0,477 4245,52 0,464 4820 0,440 5419 0,420

142


hw (mm) tw (mm) tf (mm) Bc (mm) L1(mm) L2(mm) fck (Mpa)

fyd (Mpa)

470 10 16 1000 6000 25 355

bf (mm) 200 210 220 265

sc (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr

(KN.m) λLT Mcr

(KN.m) λLT

5 2560 0,589 2750,37 0,577 2945 0,566 3880 0,524

10 3210 0,526 3447,19 0,515 3690 0,505 4853 0,469

20 3701 0,489 3975,16 0,480 4256 0,470 5600 0,436

30 3871 0,479 4158,35 0,469 4452 0,460 5861 0,426

40 3952 0,474 4245,52 0,464 4546 0,455 5985 0,422


hw (mm) tw (mm) bf (mm) Bc (mm) L1(mm) L2(mm) fck (Mpa)

fyd (Mpa)

470 10 210 1000 6000 25 355

tf (mm) 14,5 16 17 19

sc (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)

λLT Mcr

(KN.m) λLT Mcr

(KN.m) λLT

5 2607 0,574 2750 0,577 2848 0,578 3051 0,581

10 3270 0,512 3447 0,515 3568 0,517 3818 0,519

20 3771 0,477 3975 0,480 4115 0,481 4404 0,483

30 3943 0,466 4158 0,469 4305 0,470 4610 0,472

40 4026 0,462 4246 0,464 4395 0,465 4707 0,467


hw (mm) tw (mm) bf (mm) Bc (mm) tf(mm) fck (Mpa)

fyd (Mpa)

470 10 210 1000 16 25 355

L (mm) 3000 4000 5000 6000

sc (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


λLT

5 3153 0,521 2929 0,547 2816 0,564 2750,37 0,577

10 3943 0,466 3666 0,489 3530 0,504 3447,19 0,515

20 4549 0,434 4229 0,455 4074 0,469 3975,16 0,480

30 4769 0,424 4430 0,445 4265 0,458 4158,35 0,469

40 4868 0,419 4522 0,440 4354 0,453 4245,52 0,464

143



L (mm)

470 10 210 1000 16 25 6000

fyd (mm)

235 275 355

sc (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


5 2750 0,485 2750 0,517 2750,37 0,577

10 3447 0,433 3447 0,462 3447,19 0,515

20 3975 0,403 3975 0,430 3975,16 0,480

30 4158 0,394 4158 0,421 4158,35 0,469

40 4246 0,390 4246 0,416 4245,52 0,464


do vão.

tw (mm) bf (mm) tf (mm) Bc (mm) sc(KN/m2) fck (Mpa) fyd (Mpa)

10 210 16 1000 5 25 355

hw (mm) 420 470 515 560

L (mm) Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT

3000 3273 0,479 3153 0,521 3065 0,558 2993 0,594

4000 3069 0,501 2929 0,547 2826 0,588 2739 0,628

5000 2967 0,515 2816 0,564 2703 0,607 2608 0,290

6000 2909 0,526 2750 0,577 2632 0,622 2531 0,311


do vão.

hw (mm) bf (mm) tf (mm) Bc (mm) sc(KN/m2) fck (Mpa) fyd (Mpa)

470 210 16 1000 5 25 355

tw (mm) 9,5 10 11 12

L (mm) Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT Mcr (KN.m) λLT

3000,0 2990 0,532 3152,61 0,521 3498 0,500 3865 0,481

4000,0 2758 0,560 2929,16 0,547 3289 0,522 3668 0,500

5000,0 2639 0,579 2815,61 0,564 3184 0,536 3569 0,512

6000,0 2571 0,593 2750,37 0,577 3123 0,547 3512 0,522

144


do vão.

hw (mm) tw (mm) tf (mm) Bc (mm) sc(KN/m2) fck (Mpa) fyd (Mpa)

470 10 16 1000 5 25 355

bf (mm) 200 210 220 265

L (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


λLT

3000 2918 0,533 3152,61 0,521 3395 0,510 4578 0,469

4000 2718 0,559 2929,16 0,547 3146 0,536 4196 0,495

5000 2618 0,576 2815,61 0,564 3019 0,553 3997 0,512

6000 2560 0,589 2750,37 0,577 2945 0,566 3880 0,524


do vão.


fyd (Mpa)

470 10 210 1000 5 25 355

tf (mm) 14,5 16 17 19

L (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


(KN.m) λLT

3000 2908 0,525 3153 0,521 3329 0,518 3714 0,511

4000 2739 0,547 2929 0,547 3063 0,546 3352 0,543

5000 2655 0,562 2816 0,564 2927 0,565 3162 0,565

6000 2607 0,574 2750 0,577 2848 0,578 3051 0,581


do vão.

hw

(mm)

tw (mm) bf (mm) tf (mm) Bc(mm) fck (Mpa)

fyd (Mpa)

470 10 210 16 1000 25 355

sc(KN/m2) 5 10 20 30

L (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


(KN.m) λLT

3000 3153 0,521 3943 0,466 4549 0,434 4769 0,424

4000 2929 0,547 3666 0,489 4229 0,455 4430 0,445

5000 2816 0,564 3530 0,504 4074 0,469 4265 0,458

6000 2750 0,577 3447 0,515 3975 0,480 4158 0,469

145


do vão.


L (mm)

470 10 210 1000 5 25 6000

fyd (mm)

235 275 355

L (mm) Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


3000 3153 0,433 3153 0,465 3152,61 0,521

4000 2929 0,457 2929 0,489 2929,16 0,547

5000 2816 0,473 2816 0,505 2815,61 0,564

6000 2750 0,485 2750 0,517 2750,37 0,577


cedência do betão.

tw (mm) bf (mm) tf (mm) Bc (mm) sc(KN/m2) L (mm) fyd (Mpa)

10 210 16 1000 5 6000 355

hw (mm) 420 470 515 560

fck (Mpa)


20 2909 0,526 2750 0,577 2632 0,622 2531 0,260

25 2909 0,526 2750 0,577 2632 0,622 2531 0,311

30 2910 0,526 2751 0,577 2632 0,622 2531 0,329

35 2910 0,526 2751 0,577 2632 0,621 2531 0,343



hw (mm) bf (mm) tf (mm) Bc (mm) sc(KN/m2) L (mm) fyd (Mpa)

470 210 16 1000 5 6000 355

tw (mm) 9,5 10 11 12

fck (Mpa)


20,0 2571 0,593 2750,13 0,577 3123 0,547 3511 0,522

25,0 2571 0,593 2750,37 0,577 3123 0,547 3512 0,522

30,0 2571 0,593 2750,78 0,577 3124 0,547 3513 0,522

35,0 2571 0,593 2750,96 0,577 3124 0,547 3514 0,522

146



hw (mm) tw (mm) tf (mm) bf (mm) sc(KN/m2) L (mm) fyd (Mpa)

470 10 16 210 5 6000 355

Bc (mm) 200 210 220 265

fck (Mpa)

Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


λLT

20 2653 0,569 2711 0,576 2750 0,577 2771 0,574

25 2653 0,569 2711 0,576 2750 0,577 2772 0,574

30 2653 0,569 2712 0,576 2751 0,577 2772 0,574

35 2653 0,569 2712 0,576 2751 0,577 2772 0,574


cedência do aço.

tw (mm) bf (mm) tf (mm) Bc (mm) sc(KN/m2) fck (Mpa) L (mm)

10 210 16 1000 5 25 6000

hw (mm) 420 470 515 560

fyd (Mpa)


235 2909 0,443 2750 0,485 2632 0,522 2531 0,559

275 2909 0,472 2750 0,517 2632 0,557 2531 0,597

355 2909 0,526 2750 0,577 2632 0,622 2531 0,311


cedência do aço.

hw (mm) bf (mm) tf (mm) Bc (mm) sc(KN/m2) fck (Mpa) L (mm)

470 210 16 1000 5 25 6000

tw (mm) 9,5 10 11 12

fyd (Mpa)


235,0 3512 0,438 2750,37 0,485 3123 0,460 2571 0,498

275,0 3512 0,468 2750,37 0,517 3123 0,491 2571 0,532

355,0 3512 0,522 2750,37 0,577 3123 0,547 2571 0,593

147


cedência do aço.

hw (mm) tw (mm) tf (mm) Bc (mm) sc(KN/m2) L (mm) fyd (Mpa)

470 10 16 1000 5 6000 355

bf (mm) 200 210 220 265

fyd (Mpa)

Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


λLT

235 2560 0,495 2750 0,485 2945 0,475 3880 0,439

275 2560 0,528 2750 0,517 2945 0,507 3880 0,469

355 2560 0,589 2750 0,577 2945 0,566 3880 0,524


cedência do aço.

hw (mm) tw (mm) bf (mm) Bc (mm) sc(KN/m2) L (mm) fyd (Mpa)

470 10 210 1000 5 6000 355

tf (mm) 14,5 16 17 19

fyd (Mpa)

Mcr (KN.m)

λLT Mcr (KN.m)


(KN.m) λLT

235 2607 0,483 2750 0,485 2848 0,485 3051 0,486

275 2607 0,515 2750 0,517 2848 0,518 3051 0,520

355 2607 0,574 2750 0,577 2848 0,578 3051 0,581

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