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FNC 0376 - Física Moderna 2 Aula 27 1 Vimos que a energia de ligação de um núcleo com Z prótons e N nêutrons é dado por: 2 2 2 2 c M c Nm c Zm Mc E A n H lig + = = 2 2 2 2 c M c Nm c Zm Mc E núcl n p lig + = = E como a massa de um átomo é praticamente igual a soma das massas do núcleo e dos e - , a energia de ligação é dado por: A ~ 60 E lig /A = (E lig /A) max ~ 8,7 MeV A ~ 240 E lig /A ~ 7,6 MeV O fato da densidade da material nuclear e a energia de ligação por nucleon serem ~ as mesmas par todos os núcleos estáveis levou os físicos a comparar o núcleo com uma gota líquida

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Vimos que a energia de ligação de um núcleo com Z prótons e N nêutrons é dado por:

2222 cMcNmcZmMcE AnHlig −+=∆=

2222 cMcNmcZmMcE núclnplig −+=∆=

E como a massa de um átomo é praticamente igual a soma das massas do núcleo e dos e-, a energia de ligação é dado por:

A ~ 60 ⇒ Elig/A = (Elig/A)max ~ 8,7 MeV

A ~ 240 ⇒ Elig/A ~ 7,6 MeV

O fato da densidade da material nuclear e a energia de ligação por nucleon serem ~ as mesmas par todos os núcleos estáveis levou os físicos a comparar o núcleo com uma gota líquida

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O modelo da gota líquidaElig/A ~ constante; ρN ~ constante ⇒ gota

Weizsäcker (~1930) propôs um modelo que permite calcular a massa de um núcleo a partir de A e Z. Fórmula semi-empírica de massa → analogia com gota líquida.

Gota líquida sem gravidade e sem rotação ⇒ forma esférica para minimizar a energia (tensão superficial). Líquido incompressível ⇒ ρ = cte, (indep. de R) ⇒ R ∝ n1/3 (número de moléculas na gota).

1) Esta relacionado ao no de interaçõesMolécula longe da superfície ⇒ Elig = a (devido às forças entre as moléculas). Elig = 0 quando muito afastadas.Interação entre os nucleons análoga à das moléculas na gota (forças de curto alcance –atrativas – e de alcance mais curto – repulsivas);

2) Esta relacionado a localização dos núcleonscorreção ao primeiro termomoléculas próximas à superfície são menos ligadas ⇒ E = an – 4πR2T,os núcleons próximas à superfície são menos ligados, pois tem menos vizinhos que os nucleons centrais.

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3

O modelo da gota líquida

Efeito análogo a tensão superficial ⇒⇒ E = an – 4πR2T, com T sendo a tensão superficial. ⇒ Elig = an – βn2/3.

3) Esta relacionado a energia eletrostática associada a repulsão entre os pSe a gota está carregada ⇒ energia potencial eletrostática.

Q na superfície ⇒R

QEC0

2

π8 ε= ; Q uniforme no volume ⇒

RQEC

0

2

π203

ε=

Portanto Elig = an – βn2/3 – γQ2/n1/3

Este termos é negativo pois a repulsão entre os prótons diminui a energia de ligação

A área da superfície éproporcional a R2

Este termo é o responsável pelas quedas bruscas na Elig para valores de A pequenosNo caso do núcleo:

• Esférico;Substituindo n → A e Q → Ze ⇒ Elig(Z,A) = aVA – aSA2/3 – aCZ2/A1/3

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4) Este termo esta relacionado a efeitos puramente quânticosFaltam coisas, pois temos maior energia de ligação para Z = 0.Decaimento β: n → p e p → n. Portanto, se isso valesse, núcleos com Z ≠ 0 sofreriam decaimento β → Z = 0.

Processo ligado a efeitos quânticos: vejamos o que acontece quando trocamos prótons por nêutrons:

Troca de p → n ⇒ ∆E. 2p → 2n ⇒ 2∆E. Mas o 3o p ⇒ 3∆E.

este termo está relacionado ao fato de que se N ≠ Z energia do núcleo aumenta e a Elig diminui por causa do princípio de exclusão

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Dessa forma, temos:N – Z = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ... ⇒ ∆E x 1, 2, 5, 8, 13, 18, 25, ...A mudança de N – Z = 0 para N > Z, com N + Z = cte, necessita de uma energia ~(N – Z)2∆E/8. Como, para um poço, ∆E ∝ V-1 (volume do poço) ⇒∆E ∝ A-1.

Termo de assimetria: – aA(Z – N)2/A.

5) Este termo esta relacionado ao emparelhamento:p e n ficam mais ligados quando aos pares (spins antiparalelos). Assim:

• se A é ímpar (Z ímpar e N par, ou Z par e N ímpar) esse termo é nulo. • se A é par, temos 2 casos:

o ímpar-ímpar (caso 1)o par-par (caso 2)

A energia de ligação é maior no caso 2 do que no 1. O termo de emparelhamento é então adicionado à energia de ligação para casos par-par e subtraído nos ímpar-ímpar: δ(Z,A) = aP/A1/2

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Elig(Z,A)/A energia de ligação por nucleon

termo devolume

termo de superfície

termo coulombiano

Número de massa, A

Ene

rgia

de

ligaç

ão p

or n

ucle

on(M

eV)

Ficamos então, com a expressão para a energia de ligação:Elig = aVA – aSA2/3 – aCZ2/A1/3 – aA(A – 2Z)2/A ± δ(Z,A)

aV = 15,56 MeV; aS = 17,23 MeV; aC = 0,697 MeV; aA = 23,285 MeV;aP = 12 MeV.

Neste gráfico temos as varias contribuições,

falta apenas a de ligação de

emparelhamento

A equação se ajusta de A>20

ate o fim da tabela periódica

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O modelo da gota liquida fornece uma

boa estimativa do

comportamento médio dos

núcleos com relação à

massa ou à Elig

Neste gráfico temos a diferença de energia de ligação do último nêutron e a previsão da fórmula de massa. Números

mágicos 28, 50, 82 e 126 para os nêutrons e também para os prótons

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RadioatividadeDe ~ 3000 nuclídeos conhecidos, apenas cerca de 290 são estáveis. Os outros sofrem algum tipo de decaimento radioativo, transformando-se espontaneamente em outros nuclídeos emitindo radiação.O termo radiação tanto se refere a partículas como onda eletromagnéticasEm 1900 Rutherford descobriu que a taxa de emissão de radiação não e constante mais decai exponencialmente com o tempo

O meia-vida t1/2 é definida como o tempo necessário para que o no

de núcleos radioativos se reduza a metade do valor inicial

teNtNNdtdN

λ

λ

0)( =

=−

Se N(t) é o no de núcleos radioativos no instante t e –dN é o no de núcleos que decaem no intervalo dt (negativo pois N diminui)

λ é a constante de decaimento

O tempo médio de vida dos núcleos:que é o inverso da

constante de decaimento λτ 1

=

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A meia-vida t1/2

τλλ

λ

λ

693.0693.02ln2

21

2/1

00

2/1

2/1

===

=

= −

t

e

eNN

t

t

Depois de um intervalo de meia-vida, tanto o no de núcleos que restam na amostra como a taxa de decaimento estão reduzidos a metade do valor inicial.

SI ⇒ a unidade becquerel (Bq), definido como uma taxa de um decaimentopor segundo:

1 Bq = 1 decaimento/sO Curie (Ci) e uma unidade mais recente 1Ci=3,7x1010decaimentos/s=3,7x1010 Bq

para que uma substância seja encontrada na natureza e preciso que sua t1/2 seja muito menor que a idade da Terra (~ 4.5x109 anos) ou que ela seja produzida a partir do decaimento de outras substâncias

Os nuclideos radioativos (transição dos núcleos de um estado quântico para outro estado de menor energia) podem decair através dos seguintes modos: alfa, beta e gama. Há ainda decaimentos que ocorrem através da emissão de p ou n e a fissão espontânea.Os decaimentos nucleares ocorrem sempre que um núcleo, contendo um certo no de núcleons se encontra em um estado excitado (não o de menor energia)

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Decaimento alfa (emissão espontânea de uma partícula α)Núcleos com Z>83 são instáveis e neste processo o núcleo pai decai nos núcleos filhos através da emissão de um partícula α He (Z=2 A=4).Há energia suficiente, uma vez que a massa do núcleo pai MZ,A é maior que as somas das massas do núcleo filho MZ-2,A-4 mais a da partícula α, Μ2,4

24,24,2, )]([ cMMME AZAZ +−= −−

Energia do decaimento dos núcleos pais, onde a emissão α

é espontânea Curva representa o comportamento geral predito pela

fórmula de massa

Potencial (coulombiano + nuclear) que atua sobre α

emitida pelo núcleo pai

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Decaimento beta (emissão ou absorção espontânea de um elétron ou pósitrondecaimento radioativo nos qual o no de massa A permanece constanteEnquanto Z e N variam de uma unidade)emissão β - = um elétron é emitido e um dos nêutrons do núcleo se transforma em próton (Z’=Z+1) (N’=N-1), A energia do decaimento, Q, é igual à diferença entre a massa do núcleo pai e a soma das massas dos produtos do decaimento, multiplicado por c2

FPcQ

2

Os experimentos revelam que a energia do elétron emitido pode ter qualquer valor entre 0 e a energia máxima disponível.

MM −=

eHgAu νβ ++→ −198198

→lei de conserv emissão de uma terceira partícula (antineutrino)

aparente violação da lei de conservação para energias menores que Emáx

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Decaimento beta

Duas massas eletrônicas mpositron = me

emissão β + = um pósitron é emitido e um dos prótons do núcleo se transforma em nêutron

Qual a energia máxima dos pósitrons?

lei de conserv emissão de neutrino β+ não pode ocorrer a menos que a energia seja de pelo menos 2mec2=1.022 MeVcaptura eletrônica = um próton no interior do núcleo captura um elétron atômico se transforma em nêutron, ao mesmo tempo que emite um neutrino

Para que seja possível a massa de um átomo (Z) seja maior que a massa de um átomo com Z-1

eArK νβ ++→ +4018

4019

eVCr ν+→5123

5124

ucMeVuxmMMcQ

eFP ./5,931000519,0)2( 22 =+−=

uxmuArM

uKM

e4

40

40

104858,5962384,39)(

964000,39)(

−=

=

=

MeVQ 483,0=

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Série de decaimento do Tório (Th)Inicialmente o 232Th decai por a para o 228Ra

228Th depois da emissão de quatro α sucessivas da origem ao 212Pb

212Bi pode sofrer um decaimento α e se transformar em 208Tl ou um decaimento β -transformar em 212Po

os dois ramos se encontram no isótopo estável de 208Pb

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Decaimento β para núcleos com A ímpar e A par

Gráfico de massa atômicas MZ,A em função de Z para A fixo.

−β

−β

−β

−β

−β

−β+β

−β−β

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Decaimento gama (emissão espontânea de fótons de alta energia)

No decaimento γ um núcleo em um estado excitado decai para um estado de menor energia do mesmo isótopo por emissão de um fóton.Processo análogo a emissão de luz pelos átomos ⇒ os espaçamentos dos níveis nucleares é da ordem de MeV (e não de eV como nos átomos). Os decaimentos α e β são seguidos por decaimento γ. Ο tempo médio de vida para um decaimento γ é em geral muito pequeno ~10-11s,

5

4

3

2

1

0

(3-)

(2+)

(0+)

3817Cl (t1/2=37min)

(2-)36%

11%

53%

β

β

β

γ

γ

3818Ar

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Reações Nucleares (nos fornecem informações adicionais sobre os estados excitados dos núcleos)

em um choque entre uma partícula com um núcleo vários fenômenos podem ocorrer:

1) Partículas podem ser espalhadas elasticamente ou inelasticamente(no caso inelástico a núcleo é promovido para um estado excitado que decai para o estado fundamental com emissão de fótons ou partículas)

2) A partícula original pode ser absorvida e outra(s) partícula(s) pode(m) ser emitida(s).

Partícula incidente

Partícula espalhada

Núcleo composto

Absorção

Conservação de Energia:x+X Y+y+Q

Q é a energia liberada na reação:

Q>0 reação nuclear libera energia reação exotérmica

Q<0 reação endotérmica

x

XY

yy

2)( cmmmmQ YyXx −−+=

Formação de um núcleo composto e depois o seu decaimento

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FissãoA fissão do urânio foi descoberta em 1938 por Hahn e Strassmann, com técnicas químicas encontraram que no bombardeiro de urânio por nêutrons produz elementos no meio da tabela periódica 235U + n → 236U* → 2 fragmentos + vn

EC ~ 6,2 MeVE*= 6,5 MeVNúcleo excitado n

O aumento da área da superfície produz um aumento de energia potencial A medida que s aumenta o

efeito da tensão superficial obriga o núcleo se dividir em duas regiões

sn

236U235Un

ns

s

A tensão diminui a medida que s aumenta diminuição da repulsão coulombiana

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Fissão

Os dois fragmentos, não são em geral simétricos mas possuem ~ a mesma razão Z/N. e a força eletrostático faz com que os fragmentos sejam ejetados em direções com Ecin alta. Os fragmentos tendem a ter N demais

MeVnBaKrnU 4,179214292235 +++→+

Na fissão o 235U é excitado pela captura de um n e se dividi em dois núcleos, cada um com ~ metade da massa. Uma reação típica:

Aqui temos a distribuição dos fragmentos de fissão do 235U. Fissão simétrica, o núcleo se divide em dois núcleos de massa ~ iguais

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Fissão (permite produzir energia numa reação em cadeiajá que dois ou mais nêutrons são emitidos) Reatores

O no médio N emitidos na reação de fissão induzida é de 2,4. A razão porque são emitidos vários N é que os fragmentos de fissão possuem N em excesso. A emissão de vários N levou a idéia de utilizá-los para produzir novas fissões reação em cadeia

Em 1914 um grupo de cientistas (liderados por Enrico Fermi) produziu a primeira reação em cadeia auto-sustentável em um reator nuclear naUniversidade de Chicago. k é o parâmetro utilizado para determinar o o fator de reprodução no médio de N que produzem novas fissões.k=1 o reator está crítico (reação auto-sustentada).

k <1 está subcrítico (reação não prossegue)k > 1 está supercrítico (o no de fissões aumenta rapidamente e a reação se torna explosiva

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Reatores NuclearesA energia dos N na fissão ⇒ ~1 MeV ou maisMas σ para captura de nêutrons > para baixa energias

A reação em cadeia só se mantém se os N perderem energia antes de escaparem do reator.

os N de alta energia perdem energia por colisões elásticas. Depois da perda e a E < 1MeV, o principal processo de perda de energia é a colisão elástica (transfere parte de sua E para o núcleo, se as massas dos 2 forem ~ iguais) ⇒ utiliza-se moderador = material de baixa massa (água ou grafite) para reduzir a energia dos N, e deste modo aumentar a probabilidade de fissão.\Para um reator funcionar com segurança, é preciso manter k mais próximo possível de 1 ⇒ através de mecanismos naturais de realimentação e controles ativos. Quando k>1 o no de fissões aumenta ⇒ a temperatura do reator aumenta ⇒ reduz a densidade de água, torna-se um moderador menos eficaz (reduz o no de fissões. O controle ativo ⇒ cádmio (σ alta para captura de N). Quando o reator é ligado as barras de controle estão totalmente inserida no núcleo (k<1) As barras são gradualmente retiradaso no de N capturados diminui e k aumenta se ultrapassa 1, as barras são inseridas novamente

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Energias críticas para fissão e seção de choque de alguns núcleos

Desenho esquemático de um reator de água pressurizada. A água que circula no núcleo do reator funciona como moderador e como fluido de transferência de calor e não se mistura com a água usada para gerar o vapor que movimenta as turbinas

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FusãoA produção de energia a partir da fusão de núcleos leves vem sendo investigada → da abundância de combustível e da ausência de alguns riscos associados ao reatores de fissão. Numa reação de fusão dois núcleos leves se fundem para formar um núcleo mais pesado

Esta reação libera 4,3 vezes mais energia por quilograma que a reação típica de fissão (Veja exercício lista). Mas utilizar esta tecnologia de fusão

Devido a repulsão eletrostática, os núcleos de 2H e de 3H só se aproximam o suficiente para que as forças nucleares predominem se tiverem Ecinextremamente elevada ~1 MeV, facilmente obtido por aceleradores. No entanto o espalhamento é mais provável que a fusão. Há um maior consumo de energia do que produção.

Como as partículas tem Ecin> 3/2 kT e algumas podem atravessar a barreira coulombiana por tunelamento. Na prática a T onde kT~10keV é suficiente para ter um no de reações de fusão adequadas. No entanto a temperatura neste caso é 108K . Temperaturas desta ordem acontecem no interior das estrelas

MeVnHeHH 6.17432 ++→+

uma fonte prática de energia ainda não está disponível!!!!

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Astrofísica NuclearT~ 108K são temperaturas que acontecem no interior das estrelas, onde as reações de fusão são comuns. T ⇒ a matéria existe na forma de gás de e-

livres e íons positivos ⇒ plasma. Problema dos reatores de fusão é manter o plasma confinado por um tempo suficiente que as reações ocorram.No interior do sol, o plasma é confinado pelo enorme campo gravitacional.

De acordo com as leis da termodinâmica:Ter

7

Vida na Terra há pelos menos 3x109 anos. ⇒ o sol deve ter uma fonte de energia ⇒ Fusão nuclear.Quando o sol se formou, a partir de uma nuvem de gás, a contração

aumentou a T até 1,5x107K, alguns H (prótons) se fundiram para formar He(ciclo próton-próton)

MeVeHHH 42,02211 +++→+ + ν

MeVHeHH 49,5312 ++→+ γ

MeVHHeHeHe 86,1221433 +++→+ γ

E contida no sol se dissiparia em 3x10 anos

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Astrofísica NuclearQuando a densidade do He se torna suficientemente alta. O carbono pode ser formado:

CHeBeBeHeHe

1248

844

→+

→+

MeVNHC 94,113112 ++→+ γ

Quando uma quantidade suficiente de carbono tiver sido formada no núcleo da estrela, a principal fonte de produção de energia passa a ser o ciclo do carbono

MeVHeCHNMeVeNO

MeVOHNMeVNHC

MeVeCN

96,473,1

29,755,7

20,1

412115

1515

15114

14113

1313

++→+

+++→

++→+

++→+

+++→

ν

γ

γ

ν

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Astrofísica Nuclear

Em uma estrela com uma massa aproximadamente maior do que duas massas solares, a contração gravitacional é muito rápida e a temperatura da região central atinge rapidamente 108K necessário para a formação do C e provocar o aparecimento do seu ciclo.A medida que a concentração do núcleo das estrelas aumenta, T aumentae elementos mais pesados que o C começam a se formar

MgNeOHeC 242016412 →→→+

Com o aumento de T ~109K , estes núcleos tem energia suficiente para transpor suas barreiras coulombianas, formando diretamente núcleos mais pesados de A par até o 56Fe

Os núcleos ímpares são formados nas partes externas mais frias, onde o ciclo próton-próton ainda acontece.

ν

γ

++→

+→+

eNeNaNaHNe

2121

21120