Revista da Estrutura de Aço | Revista da Estrutura de Aço | Volume 1 | Número 1

Centro Brasileiro da Construção em AçoCBCA

Volume 2 | Número 1Abril de 2013

Revista da Estrutura de Aço | Volume 2 | Número 1

ARTIGOS

Análises numéricas de pisos mistos de baixa altura Fabio Martin Rocha, Jorge Munaiar Neto, Silvana de Nardin

Forças Normais e Momentos Fletores Críticos de Perfis Formados a Frio

Igor Pierin, Valdir Pignatta Silva, Henriette Lebre La Rovere

Uma nova forma de cálculo aproximado de tensões de cisalhamento causadas por força cortante em barras

de aço de seção circular maciçaPedro Wellington G. N. Teixeira¹*, Renan Vieira Dias²

Sobre o comportamento de pilares tubulares preenchidos com concreto em temperatura elevada

Roberval J. Pimenta, Gustavo M. Chodraui, Emerson A. Bolandim, Alexander G. Martins

1

21

41

54

   

*autor correspondente   

  

Análises numéricas de pisos mistos de baixa altura 

Fabio Martin Rocha1; Jorge Munaiar Neto² e Silvana de Nardin³   

1 Departamento de Engenharia de Estruturas, EESC/USP, fabio.rocha@usp.br  2 Departamento de Engenharia de Estruturas, EESC/USP, jmunaiar@sc.usp.br  

³ Departamento de Engenharia Civil, UfSCar, snardin@ufscar.br  About the consideration of the fire in numerical analysis of composite 

slim floor beams 

 

Resumo De modo a avaliar o desempenho térmico e estrutural dos pavimentos mistos de baixa altura, foram  desenvolvidos modelos  numéricos  das  vigas parcialmente  revestidas  presentes  neste sistema  estrutural  em  duas  etapas  distintas:  Na  primeira  é  realizada  a  análise  térmica bidimensional no pacote computacional DIANA com a finalidade de obter os campos térmicos nas seções transversais das vigas em questão e, a partir daí, considerá‐los em um processador de cálculo de momentos plásticos resistentes em todo o intervalo de tempo analisado, sendo então  possível  avaliar  a  perda  da  capacidade  portante  da  seção  em  função  do  tempo  de exposição  ao  fogo.  A  segunda  etapa  consiste  na  criação  de  um  modelo  numérico tridimensional em elementos  finitos no pacote computacional DIANA, com o qual é possível obter o comportamento estrutural da viga mista de aço e concreto quando exposta ao fogo. 

Palavras‐chave: Pisos mistos de aço e concreto. Vigas parcialmente revestidas. Incêndio.  

Abstract   In  order  to  evaluate  the  thermal  and  structural  behavior  of  the  slim  floor  system,  numeric models considering partially encased beams were developed  in two steps: On the first one, a two‐dimensional finite element thermal analysis was made using the software DIANA, in order to obtain  the  temperature distribution  through  time on  the beam’s  cross  section, and after that, consider them on a processor which calculates the bending resistance of that section  in fire, being possible  to  analyze  the  loss of  the  loading  capacity during  a  fire  exposition.  The second  step  consists  on  the  development  of  a  three‐dimensional  finite  element model  on DIANA, and obtain  the structural behavior of  the slim  floor beams when exposed  to  the  ISO 834 standard fire.  Keywords: Slim Floor. Partially encased beams. Fire  

 

Volume 2. Número 1 (abril/2013). p. 1‐20        ISSN 2238‐9377 

2

1 Introdução 

No  que  diz  respeito  às  estruturas metálicas,  sabe‐se  que  o  aço  sem  revestimento, 

quando  exposto  a  altas  temperaturas,  tem  suas  propriedades mecânicas  reduzidas 

rapidamente. Dessa forma, é difícil conseguir um bom desempenho para esse tipo de 

construção  em  situação  de  incêndio  quando  não  é  aplicado  nenhum  tipo  de 

revestimento contra fogo. 

Em meados do século XIX, os elementos estruturais formados a partir da associação do 

aço e do concreto começaram a ser utilizados com a finalidade de proteção ao fogo e à 

corrosão  que  o  concreto  conferia  ao  aço  (Ramos,  2010).  Hoje,  sabe‐se  que  a  as 

vantagens na associação do  concreto ao aço vão muito além da proteção ao  fogo e 

corrosão,  e  hoje  têm  grande  importância  e  reconhecimento,  pois  é  o  sistema 

estrutural misto  de  aço  e  concreto  consegue  aproveitar  as  vantagens  de  ambos  os 

materiais de maneira eficiente. 

 

Figura 1 ‐ Sistema de pisos mistos de baixa altura, RAMOS (2010) 

Nesse  contexto,  destacam‐se  os  pisos  mistos  de  aço  e  concreto  de  baixa  altura, 

também  conhecidos  como  slim  floor,  conforme  ilustra  a  figura  1.  Essa  solução 

construtiva consiste na  incorporação de parte do perfil metálico na  laje de concreto, 

diminuindo a altura da viga e aumentando a altura útil do pavimento. A incorporação 

parcial do perfil na laje garante revestimento à viga metálica, tornando o sistema Slim 

Floor  uma  boa  solução  também  no  que  diz  respeito  ao  projeto  de  estruturas  em 

situação de  incêndio, dispensando em alguns casos revestimentos adicionais contra o 

fogo. 

Para a análise mais apurada desses casos, além de ensaios em  fornos, são utilizados 

modelos  avançados de  cálculo que  consistem em  análises numéricas que  levam em 

conta o elemento estrutural completo, com todos os seus parâmetros de  interesse e  

3

que  possibilitam  uma  análise mais detalhada  dos  elementos  estruturais,  no  que  diz 

respeito a tensões, deformações e temperaturas simulando, de maneira mais real, as 

condições de uma estrutura em situação de incêndio. 

Como grande parte da seção é constituída de concreto optou‐se por utilizar o pacote 

computacional DIANA, que é mais utilizado na modelagem de estruturas de concreto 

armado,  em  razão  de  seus  complexos modelos  constitutivos  para  o  concreto  e  de 

propagação  de  fissuras. O  trabalho  também  visou  avaliar  o  comportamento  desses 

modelos constitutivos em situações de temperatura elevada. 

2 Metodologia 

Tendo  em  vista  o  entendimento  do  comportamento  estrutural  das  vigas  mistas 

pertencentes  ao  sistema  Slim  Floor,  o  presente  trabalho  contempla  um  estudo 

essencialmente numérico sobre o tema, sendo as análises realizadas pelo método dos 

elementos  finitos no pacote  computacional DIANA e em um processador de  cálculo 

adicional feito em linguagem de programação FORTRAN. 

Em  uma  análise  termoestrutural  no  DIANA,  o  modelo  numérico  é  composto 

basicamente de dois domínios: um deles para a análise do  fluxo  térmico  (no pacote 

computacional chamado de fluxo de potencial) e outro para a análise estrutural (que 

pode ser não  linear  levando em conta os efeitos da variação de  temperatura). Esses 

dois domínios  são  sobrepostos,  sendo os  resultados provenientes da análise  térmica  

transferidos  como  dados  para  a  estrutural.  O  inverso  também  pode  ser  feito  se 

necessário. 

O  estudo  numérico  foi  dividido  em  duas  etapas,  sendo  a  primeira  a  análise 

bidimensional  da  seção  transversal  em  temperatura  elevada  via  método  dos 

momentos plásticos, numa abordagem que utilizava os campos  térmicos, obtidos na 

análise  térmica  no  DIANA,  como  dados  para  um  processador  capaz  de  calcular  os 

momentos plásticos resistentes da seção em função dos fatores de redução do aço e 

do  concreto.  Dessa  forma,  era  possível  obter  a  perda  da  capacidade  resistente  da 

seção  em  função  do  tempo  de  exposição  ao  incêndio  padrão.  O  processador  de 

momentos  plásticos,  a  partir  dos  campos  térmicos  do  DIANA,  foi  desenvolvido  em 

linguagem  de  programação  FORTRAN  e  tem  o  seu método  de  cálculo,  assim  como 

4

exemplos de aplicação explicados detalhadamente em Rocha et al. (2011). Na segunda 

etapa,  a  análise  termoestrutural  é  realizada  de  forma  completa  com  o  modelo 

tridimensional  em  elementos  finitos  sólidos,  desenvolvido  no  pacote  computacional 

DIANA, podendo então ser analisadas tensões e deformações. 

A  seguir  é  apresentada  toda  a  estratégia  de modelagem  numérica  e  considerações 

necessárias  para  o  desenvolvimento  do  modelo  tridimensional  completo  em 

elementos  finitos  para  análises  térmicas  e  termoestruturais.  É  importante  lembrar 

que, para a análise via momentos plásticos, a obtenção dos campos térmicos utilizados 

no processador são obtidos via análise térmica no DIANA, e também segue as mesmas 

considerações que serão apresentadas a seguir, excetuando‐se daquelas relacionadas 

aos parâmetros termoestruturais. 

2.1 Considerações iniciais da modelagem 

Para o desenvolvimento da estratégia de modelagem, foi utilizado o modelo numérico 

estrutural  de  uma  viga  pertencente  ao  sistema  Slim  Floor  desenvolvido  em  Ramos 

(2010)  e  esquematizado  na  figura  2,  que  também  foi  desenvolvido  no  pacote 

computacional DIANA. No modelo  foi utilizado o  elemento  finito  sólido CHX60, que 

possui  20  nós  e  interpolação  quadrática  para  deslocamento,  com  três  graus  de 

liberdade  por  nó.  Já  para  a  compatibilização  dos  esforços  e  deslocamentos  entre  o 

perfil metálico e o concreto foi utilizado o elemento de  interface CQ48I, com 16 nós, 

próprio para a utilização em dois planos em um modelo tridimensional. Esse elemento 

também possui interpolação quadrática para deslocamentos. 

 

Figura 2 ‐ Modelo Numérico proposto em Ramos (2010) 

5

Na análise térmica são utilizados os elementos finitos térmicos mostrados na figura 3, 

sendo compatíveis com os elementos finitos estruturais utilizados em Ramos (2010. O 

elemento sólido HX8HT foi utilizado para representar o aço e o concreto e simular os 

efeitos  de  condução  de  calor  através  dos  elementos.  Já  os  elementos  térmicos  de 

interface são utilizados para a consideração da resistência térmica de interface, citada 

em trabalhos como Newman (1995) e com valores apresentados nas seções seguintes. 

Por  fim,  foram  utilizados  elementos  finitos  de  superfície,  para  a  modelagem  dos 

efeitos  de  transferência  de  calor  do  meio  para  a  estrutura  utilizando 

convenientemente os parâmetros de radiação e convecção. O elemento utilizado foi o 

BQ4HT que possui quatro nós e interpolação linear. 

 

Figura 3 ‐ Elementos finitos utilizados na análise térmica; a) HX8HT, b) BQ4HT, c) IQ8HT 

Para o desenvolvimento do modelo tridimensional completo no DIANA, a validação da 

estratégia de modelagem foi dividida em três etapas: Primeiro foi abordada a análise 

exclusivamente  térmica,  com modelos  em  duas  e  três  dimensões.  Na  segunda  foi 

reproduzido e aperfeiçoado o modelo estrutural apresentado em Ramos (2010) e, por 

fim, realizado o acoplamento do modelo térmico ao estrutural. 

Na  fase de validação do modelo  térmico,  foi avaliado o desempenho dos elementos 

finitos  com  interpolação  quadrática  e  linear  bem  como  diferentes  graus  de 

refinamento da malha de elementos finitos, para os casos apresentados em Regobello 

(2007), Dong & Prasad (2009) e Lawson et al. (1997).  

No modelo estrutural foi avaliada a influência dos modelos constitutivos dos materiais 

e  a  utilização  de  apoios  rígidos  para  a  solução  do  problema  de  concentração  de 

tensões. O conhecimento dos modelos constitutivos presentes no DIANA é importante 

devido à  incompatibilidade de alguns deles com a análise termoestrutural, sendo que 

alguns  só  podem  ser  usados  em  análises  à  temperatura  ambiente.  O  modelo 

termoestrutural  foi  validado  a partir dos  resultados experimentais  apresentados em 

Lawson et al. (1997). 

6

2.2 Modelagem dos materiais 

Uma  das  dificuldades  na  execução  do  trabalho  foi  a  de  representar  os  modelos 

constitutivos  de  materiais  utilizados  em  Ramos  (2010)  em  temperatura  elevada, 

devido às funções disponíveis no DIANA para a análise termoestrutural. Sendo assim, 

são discutidos alguns pontos importantes na consideração das propriedades térmicas e 

mecânicas dos materiais de  interesse, no que diz  respeito à análise  termoestrutural 

acoplada, tendo por base os modelos escolhidos em Ramos (2010). 

2.2.1 Considerações para a modelagem do aço 

Seguindo  como  referência  o modelo  numérico  proposto  e  apresentado  em  Ramos 

(2010),  o  aço  foi  considerado  com o  critério  de  plastificação  de  von Mises  sendo  o 

modelo constitutivo elastoplástico  linear, com patamar de escoamento em 410 MPa. 

Porém, o EUROCODE 4 Part 1.2 apresenta um modelo próprio para a relação tensão x 

deformação do aço em altas temperaturas, conforme apresentado na figura 4, sendo 

esse, à princípio, o caso escolhido para a representação do aço no DIANA. 

Nos  pacotes  computacionais  como  ANSYS  e  ABAQUS,  a  solução  encontrada  para 

representar o modelo constitutivo do EUROCODE é a adoção de uma relação tensão x 

deformação multilinear,  definida  pela  discretização  de  diversos  pontos  da  curva  do 

EUROCODE  4  Part  1.2.  No  iDIANA,  devido  a  impossibilidade  de  criar  um  modelo 

constitutivo multilinear dependente da temperatura, tanto para o aço quanto para o 

concreto,  partiu‐se  para  técnicas  e modelos  alternativos  para  a  representação  dos 

materiais em temperatura elevada. 

 

Figura 4 ‐ Modelo constitutivo do aço, EN 1994‐1‐2:2005 

7

Em relação ao aço, foram testadas duas soluções para o problema. A primeira consistiu 

em  usar  o modelo  elastoplástico  perfeito  em  função  da  temperatura,  adotando  os 

fatores de  redução do módulo de elasticidade  (kE,θ) e da  resistência ao escoamento 

(ky,θ) apresentados no EUROCODE 4 Part 1.2. Já a segunda solução consistiu da adoção 

de  um  modelo  constitutivo  com  encruamento,  no  qual  era  possível  especificar  a 

tensão no material relativa a cada nível de deformação plástica, também em função da 

temperatura. Nos dois casos  foi escolhido o critério de plastificação de von Mises, e 

ambos foram testados para verificar qual se adequava melhor ao caso das vigas mistas.  

A entrada de dados do modelo elastoplástico é bastante simples, de forma que só são 

especificados  os  valores  para  os  módulos  de  elasticidade  e  da  resistência  ao 

escoamento  nos  níveis  de  temperatura  desejados.  Já  em  relação  ao  modelo  com 

encruamento,  a  entrada  de  dados  se  dá  a  partir  das  deformações  plásticas 

equivalentes  representadas pelo parâmetro  κ, obtido como mostram as Figuras 5a e 

5b, bem como pela Equação (1). 

 (1)

Onde, κ,θ é a deformação plástica, ε,θ a deformação total, σ,θ a tensão do material e Ea,θ 

o módulo de elasticidade do aço na temperatura θ. 

 

Figura 5 ‐ Obtenção das deformações plásticas equivalentes a partir de um diagrama 

tensão x deformação, DIANA (2005) 

2.2.2 Considerações para a modelagem do concreto 

Para  a  representação  do  material  concreto  no  DIANA,  o  modelo  apresentado  em 

RAMOS  (2010)  utilizou  o  modelo  total  strain  com  fissuras  fixas,  adotando  o 

comportamento  parabólico  para  esforços  de  compressão  e  o  exponencial  para 

8

esforços de tração. A partir daí, foram buscadas as melhores condições que pudessem 

representar esse mesmo comportamento, só que em temperatura elevada. 

O EUROCODE 4 part 1.2 também possui considerações próprias no que diz respeito aos 

modelos constitutivos, para o concreto comprimido e tracionado e, da mesma forma 

como  identificado  no  caso  do  aço,  há  a  impossibilidade  de  criar  um  modelo 

constitutivo multilinear em função da temperatura para a sua representação. 

Sendo assim, optou‐se por utilizar os mesmos modelos constitutivos apresentados em 

Ramos  (2010),  mas  também  em  função  da  temperatura,  adotando  os  fatores  de 

redução  das  resistências  à  tração  e  à  compressão  conforme  EUROCODE  4  Part  1.2. 

Partindo dessa escolha, ainda foram necessárias algumas considerações adicionais em 

função das  limitações desses modelos quando associados à elevação de temperatura. 

Para o caso do concreto tracionado não houve problemas na representação, de forma 

que  o modelo  exponencial, mostrado  na  figura  6a,  se mostrou  compatível  com  as 

propriedades  dependentes  da  temperatura.  Também  foi  testado  o  modelo 

elastoplástico perfeito, apresentado na figura 6b. 

 

Figura 6 ‐ Modelos constitutivos adotados para o concreto tracionado, DIANA (2005) 

Para descrever o comportamento do concreto à compressão, dentro dos modelos total 

strain, o DIANA também disponibiliza diversas relações constitutivas como é mostrado 

figura 7.  Como no modelo à temperatura ambiente foi utilizada a relação constitutiva 

parabólica  (figura  7g),  é  desejavél  que  o modelo  em  temperatura  elevada  também 

fosse desenvolvido com o mesmo modelo. Porém, a entrada de dados do DIANA não 

possibilita  que  a  energia  de  fraturamento  à  compressão,  parâmetro  importante  na 

definição da curva tensão x deformação, seja dada em função da temperatura, sendo 

adotado um valor constante, o mesmo utilizado à temperatura ambiente. A princípio, 

essa consideração não resultaria numa representação totalmente correta do concreto 

9

comprimido em situação de incêndio, de forma que a energia de fratura também varia 

em função da temperatura. 

Além da relação constitutiva parabólica com energia de  fraturamento constante  (Gc), 

foram testadas mais duas representações: o modelo de Thorenfeldt e o elastoplástico 

perfeito, mostrados nas figuras 7c e 7b, respectivamente.   

O modelo de Thorenfeldt foi escolhido pois, na sua entrada de dados, não é necessário 

especificar a energia de fraturamento à compressão, sendo todo o comportamento da 

curva dependente apenas da  resistência à compressão e do módulo de elasticidade. 

Analisando a formulação do método, foi observado que, devido às baixas resistências à 

compressão do concreto quando em temperaturas acima de 900°C, obtidas em função 

dos fatores de redução inferiores a 0,08, a região do softening do material se tornava 

bastante disforme atingindo uma configuração não representativa. Sendo assim, para 

as temperaturas acima de 900°C o fator de redução foi adotado igual a 0,15, ou seja, o 

valor para a temperatura de 800°C.  

 

Figura 7 ‐ Modelos constitutivos para o concreto comprimido, DIANA (2005) 

O  último  modelo  considerado  na  análise  termoestrutural  do  concreto  foi  o 

elastoplástico perfeito, escolhido por apresentar uma formulação mais simples e, por 

sua  vez,  com menor  custo  computacional  e  avaliar  se  essa  escolha  causaria  perdas 

significativas de precisão em termos de resultados. 

10

2.2.3 Sobre a interface entre o aço e o concreto 

Apesar de não ser exatamente uma propriedade do material, a resistência térmica da 

interface  também é  tratada pelo DIANA  como uma. Em  relação ao modelo  térmico, 

segundo apresentado em Newman (1995) e em Makeläinen & Ma (2000), é adotada a 

resistência térmica igual a 50 W/m²K para a região de contato entre o aço e concreto. 

Já para as propriedades mecânicas, foram escolhidos os módulos de rigidez normal e 

transversal  da  interface  (D11  e D22)  iguais  a  0,1  e  0,01 N/mm²,  respectivamente,  os 

mesmos  utilizados  na  análise  estrutural  apresentada  em  Ramos  (2010)  eescolhidos 

após uma série de testes abrangendo valores de 10‐10 a 1010. 

2.3 Condições de contorno e carregamentos 

Para o modelo térmico, as condições de contorno são definidas como regiões nas quais 

pode  haver  troca  de  calor  com  o meio  externo,  de  forma  que,  nas  superfícies  sem 

nenhuma condição do contorno térmica, a mesma é definida como adiabática.  

No caso de  interesse, a  face  inferior da viga parcialmente  revestida está em contato 

com os gases aquecidos por uma fonte de calor, enquanto que sua face superior está 

em contato com o meio “sem” chamas que possui temperatura constante e igual a 20°. 

Dessa forma, é adotado que a face exposta ao fogo troca calor com o meio por efeitos 

de radiação e convecção, enquanto que na face não exposta só serão considerados os 

efeitos de convecção, com valores modificados. 

Do mesmo modo que as propriedades da interface foram consideradas como um tipo 

de material pelo DIANA, as superfícies em contato com o fogo e com o meio também 

serão  tratadas  da mesma  forma.  Para  a  região  exposta  ao  fogo  foi  considerado  o 

coeficiente  de  transferência  de  calor  por  convecção  (αc)  igual  a  25  W/m°C  e 

emissividade  igual a 0,5.  Já na outra  superfície é adotado  somente o  coeficiente  αc, 

igual  a  9 W/m°C.  Apesar  do  EUROCODE  4  part  1.2  sugerir  o  valor  de  0,7  para  a 

emissividade,  foi  visto que esse  valor  leva  a  resultados muito  a  favor da  segurança, 

como pode  ser observado em Rocha et  al.  (2012),  sendo que  alguns  autores   usam 

valores inferiores, tais como 0,6 para o perfil metálico e 0,4 para a laje, relativa a chapa 

metálica zincada da laje mista, que está efetivamente em contato com o fogo. 

11

Em relação à elevação de temperatura do meio em chamas, foi considerado o incêndio 

padrão  da  ISO  834:1999,  enquanto  que  no  meio  sem  contato  com  o  fogo  foi 

considerada temperatura constante de 20°C. 

Já para o modelo estrutural, as condições de contorno adotadas são as que resultam 

em uma  viga  isostática  simplesmente apoiada,  com um apoio  fixo e outro móvel. A 

representação  dos  apoios  é  feita  a  partir  da  restrição  dos  deslocamentos,  na  face 

inferior da extremidade do perfil metálico, nas direções X, Y e Z para o apoio fixo e nas 

direções X, Y para o apoio móvel, sendo Z o eixo longitudinal da viga. 

3 RESULTADOS 

3.1 Modelo térmico 

Com  a  estratégia  de modelagem  concluída,  a  sua  validação  foi  feita  por meio  de 

diversos  trabalhos  de  caráter  numérico  e  experimental. Na  fase  da  análise  térmica 

para  a  obtenção  dos  campos  térmicos,  foram  utilizados  basicamente  os  trabalhos 

apresentados em Regobello (2007), Lawson et al. (1997) e Dong & Prasad (2009), que 

possuíam desde casos simples de vigas metálicas com a ação do fogo em todas as faces 

até  os  casos  de  interesse  no  trabalho,  de  vigas  mistas  com  a  consideração  da 

resistência  de  interface  resultando  em  campos  térmicos  não  uniformes.  Esses 

resultados  também  foram  utilizados  como  dados  para  o  processador  de  cálculo  de 

momentos plásticos resistentes. Maiores detalhes no processo de validação do modelo 

térmico são apresentados em Rocha (2012). 

3.2 Modelo estrutural 

Estando  o modelo  térmico  devidamente  validado,  partiu‐se  para  a  reprodução  dos 

modelos  em  temperatura  ambiente  proposto  em  Ramos  (2010), mas  dessa  vez  já 

considerando  os  outros  modelos  constitutivos  para  o  aço  e  para  o  concreto, 

comentados na seção anterior, resultando nas três combinações descritas na tabela 1. 

Tabela 1 ‐ Combinação dos modelos constitutivos nos casos analisados 

  Concreto Comprimido  Concreto Tracionado  Aço 

Caso 1  Elastoplástico perfeito  Elastoplástico perfeito  Elastoplástico perfeito 

Caso 2  Parabólico  Exponencial  Elastoplástico perfeito 

Caso 3  Thorenfeldt  Exponencial  Elastoplástico perfeito 

12

  Na figura 8 são mostradas as curvas de momento por deslocamento no meio do 

vão para os três casos analisados.  

 

Figura 8 ‐ Comportamento estrutural para diferentes combinações de modelos 

constitutivos 

Pode‐se observar que o comportamento na fase elástica é bem semelhante para todos 

os  casos,  sendo  o  caso  1  com  rigidez  um  pouco mais  acentuada. Após  o  trecho  de 

comportamento  linear, os  casos 2 e 3  seguem  a mesma  tendência, de  forma que  a 

análise com o modelo parabólico conseguiu atingir um nível maior de carregamento, 

chegando mais próximo dos  resultados  apresentados em Ramos  (2010),  como pode 

ser visto na tabela 2. A análise com o modelo elastoplástico perfeito não apresentou 

problemas  de  convergência,  sendo  os  resultados  para  a  flecha  aqui  apresentados 

limitados a 150 mm, limite esse obtido nos trabalhos experimentais. 

Na tabela 2 é mostrado o resumo dos resultados obtidos nessa etapa em comparação 

com os resultados obtidos em Ramos  (2010), Paes  (2003) e Lawson et al.  (1997) nos 

pacotes  computacionais  DIANA,  ANSYS  e  por meio  de  ensaios.  Pode‐se  notar  que, 

mesmo  com  o  uso  do modelo  parabólico  para  o  concreto  (caso  2)  que  é  o mesmo 

utilizado em Ramos  (2010), não  foi obtido o mesmo  resultado  relativo aos 150 mm 

esperados.  

Tabela 2 ‐ Comparação dos resultados obtidos nessa etapa 

  Caso 1  Caso 2  Caso 3 Ramos (2010) 

Paes (2003) 

Lawson et al. (1997) 

Flecha (mm)  150  146,3  123,2  150  150  150 

Momento Máximo (kN.m)  831,3  753,1  742,4  720  784  790 

0

200

400

600

800

1000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100110120130140150

Momento no m

eio 

do vão

 (kN

.m)

Flecha no meio do vão (mm)

Elastoplástico ‐ Caso 1Parabólico ‐ Caso 2Thorenfeldt ‐ Caso 3

13

3.3 Modelo termoestrutural 

Com  a  estratégia  de  modelagem  para  análise  térmica  validada  e  os  parâmetros 

estruturais  definidos,  prossegue‐se  com  a  análise  termoestrutural  das  vigas mistas 

parcialmente revestidas. Nessa etapa serão utilizados, para a validação do modelo, os 

resultados de dois ensaios em  temperatura elevada  apresentados em  Lawson  et al. 

(1997),  ensaios  esses  que  possuem  geometria  da  seção  bem  parecida  daquela 

analisada em Ramos (2010), mas com vão menor de 4,5m. 

São  realizados ensaios de  flexão em duas vigas biapoiadas  formadas com protótipos 

dos perfis laminados assimétricos 280 ASB 100 e 300 ASB 153. No primeiro ensaio, foi 

utilizada  fôrma metálica  incorporada  para  a  laje  com  altura  igual  a  210 mm  e,  no 

segundo caso, foi utilizada fôrma metálica com 225 mm de altura. Em ambos os casos 

foi usado o aço S355 com resistência ao escoamento  igual a 355 MPa e concreto C30 

com  resistência à compressão  igual a 30 MPa. Nas  figuras 9a e 9b são mostradas as 

configurações do carregamento estrutural e do vão analisado.  

 

Figura 9 ‐ Ensaios em temperatura elevada realizados para os perfis: (a) 280 ASB 100 e 

(b) 300 ASB 153, Lawson et al. (1997) 

O  ensaio  foi  executado  considerando  a  ação  térmica  como  transiente,  efetuando 

primeiro o carregamento mecânico da viga e, em seguida, o aumento de temperatura. 

O  aquecimento  se  desenvolveu  até  que  fossem  alcançados  os  critérios  de  parada 

especificados da BS476: Part 20. No primeiro ensaio, o aquecimento parou após 107 

minutos quando  foi atingido o deslocamento  limite da viga  igual a 225 mm, no caso, 

vão/20. O segundo ensaio prosseguiu até os 75 minutos, quando foi atingida a taxa de 

14

deslocamento  limite, que não é especificada em Lawson et al.  (1997), mas estima‐se 

ser da ordem de 15 mm/min. 

Os modelos numéricos foram construídos para os três casos apresentados na tabela 1, 

de  forma a procurar qual deles se adequava melhor aos  resultados experimentais. A 

única alteração em relação ao que foi apresentado na tabela 1, é que nos casos 2 e 3 o 

modelo constitutivo utilizado para o aço em temperatura elevada segue a proposta do 

EUROCODE  4  Part  1.2.  Por  fim,  é  ressaltado  que  todos  os  modelos  utilizaram 

elementos de interface para simular a interação parcial entre o aço e o concreto. 

Na etapa de análise térmica, os campos térmicos foram calculados a cada 10s para os 

primeiros  10 minutos  de  exposição  e,  em  seguida,  a  cada minuto  até  completar  2 

horas  de  exposição.  Aqui  foi  utilizada  a  tolerância  de  10‐4  para  a  convergência  dos 

resultados. Na etapa de análise estrutural, foi realizado o carregamento mecânico até 

o nível de carga especificado na figura 9 e, por fim, o carregamento térmico é aplicado 

em todos os  intervalos de tempo considerados na análise térmica até a obtenção de 

deformações  excessivas,  acusado  pelo  DIANA,  ou  até  a  aplicação  do  último  campo 

térmico calculado. Nessas duas etapas foi utilizada a norma em energia com tolerância 

de 2%. 

Feitas  todas  as  considerações  necessárias,  os  dois  ensaios  foram  reproduzidos 

numericamente  e  comparados  com  os  valores  de  referência.  Na  figura  10  são 

apresentadas  as  curvas  referentes  aos  resultados  numéricos  e  experimentais  de 

deslocamento no meio do vão pelo tempo de exposição ao fogo, para os ensaios com 

as seções 280 ASB 100 e 300 ASB 153, sendo esse deslocamento referente apenas a 

etapa da análise termoestrutural. 

Analisando os três casos de combinações dos modelos constitutivos analisados, pode‐

se observar que o modelo parabólico e o de Thorenfeldt conseguiram representar bem 

o  comportamento  estrutural  da  viga  frente  ao  fogo,  apresentando  deslocamentos 

levemente maiores que os resultados experimentais, estando a favor da segurança. Já 

o modelo elastoplástico perfeito representou bem o comportamento no trecho inicial 

até  próximo  dos  30 minutos  de  exposição  e,  a  partir  daí,  se  distanciou  dos  outros 

resultados. 

15

       

Figura 10 ‐ Comparação dos deslocamentos no meio do vão para os 3 casos analisados 

do ensaio com a viga 280 ASB 100 e 300 ASB 153 

Nos  casos  2  e  3  a  análise  prosseguiu  até  os  103  minutos,  quando  foi  acusada 

deformação  no  aço  superior  aos  limites  estabelecidos  nos  modelos  constitutivos, 

apresentando  deslocamento  no meio  do  vão  igual  a  200 mm  nos  dois  casos,  12% 

menor que o resultado experimental.  Já no caso 1, não houve problemas na análise, 

que  prosseguiu  até  os  107  minutos  (tempo  de  parada  do  ensaio),  apresentando 

deslocamento de 121 mm, bem inferior ao valor experimental esperado. 

Na figura 11 é apresentada a configuração deformada da viga para o caso 2 após 103 

minutos  de  exposição,  em  que  se  pode  notar  que,  apesar  do  deslocamento 

considerado para o fim do experimento tenha sido o da viga metálica, as extremidades 

da laje de concreto são as regiões que apresentam maiores deslocamentos no modelo.  

 

Figura 11 ‐ Configuração deformada da viga 280 ASB 100 após os 103 minutos de 

exposição ao fogo 

Já  na  figura  10b  pode‐se  constatar  também  uma  boa  aproximação  dos  resultados 

experimentais  para  os modelos  numéricos  das  vigas  com  o  perfil  300  ASB  153.  Da 

mesma  forma  que  no  ensaio  anterior,  os  casos  2  e  3  foram  os  que  representaram 

melhor os resultados experimentais, obtendo flecha no meio do vão, após 75 minutos 

0

40

80

120

160

200

240

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90100110

Flecha no m

eio do vão

 (m

m)

Tempo de exposição (min)

EXPERIMENTAL280 ASB ‐ Caso 1280 ASB ‐ Caso 2280 ASB ‐ Caso 3

0

50

100

150

200

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Flecha no m

eio do vão

 (m

m)

Tempo de Exposição (min)

300 ASB ‐ Caso 1300 ASB ‐ Caso 2300 ASB ‐ Caso 3EXPERIMENTAL

16

de exposição, iguais a 163 mm e 177 mm, respectivamente, resultando 9% maior que o 

resultado experimental. 

Esse ensaio  foi  interrompido devido à  taxa de deslocamento excessivo alcançada, no 

caso, da ordem de 15 mm/min. Nos modelos numéricos para os casos 2 e 3 também 

foram obtidas  taxas de deslocamento  superiores ao valor especificado no ensaio.  Já 

para  o  caso  1,  com  o modelo  elastoplástico,  foi  obtido  comportamento  similar  aos 

demais, sendo que após os 30 minutos de exposição suas trajetórias se distanciaram, 

resultando em um deslocamento aos 75 minutos de exposição igual a 102 mm, menor 

que o valor experimental esperado. 

De forma geral, pode‐se concluir que os modelos numéricos se aproximaram de forma 

satisfatória  dos  resultados  experimentais  para  os  dois  ensaios  apresentados  em 

Lawson  et  al.  (1997),  principalmente  para  o  caso  2,  em  que  se  utiliza  o  modelo 

parabólico para o  concreto  comprimido e  com o parâmetro de energia de  fratura à 

compressão constante em função da temperatura.  

Referente  ao  comportamento  estrutural  em  situação  de  incêndio  dessa  solução 

construtiva  pode‐se  ressaltar  que  durante  o  aquecimento,  o  aço  e  o  concreto  vão 

perdendo  as  suas  resistências  iniciais,  resultando na  redistribuição dos  esforços. No 

caso do perfil metálico à temperatura ambiente, a maior parte do esforço aplicado é 

resistida pela  sua mesa  inferior, mas,  conforme  se desenvolve o  aquecimento,  essa 

região perde resistência mais rapidamente, sendo os esforços lá aplicados distribuídos 

gradativamente  para  a  alma  do  perfil,  a  qual  não  possui  temperatura  tão  elevada 

devido ao revestimento de concreto. 

3.4 Comparação do Método dos momentos plásticos resistentes com o Método 

dos elementos finitos 

O  cálculo  segundo  o método  dos momentos  plásticos  resistentes  possui  um  baixo 

custo computacional, sendo possível  fazer o estudo de diversas seções em tempo de 

processamento  bastante  reduzido,  porém  só  são  levados  em  conta  os  fatores  de 

redução da resistência do aço e do concreto, desconsiderando a redução do módulo 

de  elasticidade  devido  ao  aumento  de  temperatura  e  os  efeitos  do  alongamento 

térmico. 

17

Para avaliar se o método dos momentos plásticos resistentes consegue representar de 

forma eficiente a perda da capacidade  resistente das vigas de pavimentos mistos de 

pequena  altura,  foram  criados  diversos  modelos  tridimensionais  no  DIANA  com 

diferentes níveis do carregamento estrutural. 

Os  modelos  foram  desenvolvidos  tomando  como  base  a  geometria  estudada  em 

Ramos (2010) e Paes (2003), com vigas de 7,5 metros e perfil metálico assimétrico 280 

ASB 100. Nos modelos  foi utilizada a estratégia de modelagem descrita acima com o 

modelo  constitutivo  parabólico  para  o  concreto  comprimido.  Dessa  forma,  foram 

criados  9 modelos,  nos  quais  foram  aplicadas  parcelas  de  10  a  90%  da  carga  total 

resistida pela viga e, em seguida, aquecidos até que se atingisse o colapso. 

Tabela 3 – Resultados obtidos via modelo tridimensional em elementos finitos 

Fator de Carga 

Momento no meio do vão [kN.m] 

Tempo de Colapso 

0,1  72,5 150+

0,2  145,7 150+

0,3  221,1 106

0,4  300,6 65

0,5  370,4 51

0,7  523,3 34

0,8  568,7 28

0,9  637,8 13

Sobre  a  tabela 3, é  importante  comentar que no  caso dos modelos  com  fatores de 

carga de 0,1 e 0,2 não foram atingidos valores limites do critério até os 150 minutos de 

exposição, sendo esse o tempo máximo da análise. A partir desses dados é construída 

a  curva  do  fator  de  carga  (momento  aplicado/momento  resistente  à  temperatura 

ambiente)  pelo  tempo  de  colapso,  a  qual  é  comparada  com  a  curva  da  perda  da 

capacidade  resistente  da  seção  pelo  tempo  de  exposição,  obtido  pelo método  dos 

momentos plásticos resistentes (MMP). Essas curvas são apresentadas na figura 12. 

18

        

Figura 12 ‐ Comparação dos modelos baseados no método dos elementos finitos e dos 

momentos plásticos resistentes em termos de fator de carga 

A  partir  desse  gráfico  passa  a  ser  possível  fazer  algumas  considerações  sobre  a 

diferença nos métodos analisados. No trecho inicial, até o tempo de 40 minutos, nota‐

se uma discrepância significativa nos resultados obtidos, de forma que para o MMP a 

seção mantinha sua capacidade resistente inicial até aproximadamente 25 minutos de 

exposição ao incêndio‐padrão, enquanto que no MEF, para fatores de carga elevados, 

a falha da estrutura já ocorria antes dos 25 minutos. 

Essa diferença  se dá basicamente pelo  fato de o MMP considerar apenas o  fator de 

redução da  resistência do aço e do concreto, diferentemente do MEF que considera 

também a  redução do módulo de elasticidade e os efeitos do alongamento  térmico. 

Sendo assim, o aço só começa a perder resistência após os 400°C, mantendo assim a 

curva  constante nesse  trecho  inicial, enquanto que no modelo  tridimensional  já  são 

computados,  além  do  deslocamento  inicial  pela  aplicação  do  carregamento,  os 

deslocamentos  relativos  à  expansão  térmica  e  também  o  recálculo  desses 

deslocamentos de  acordo  com  as  reduções do módulo de elasticidade que, por  sua 

vez,  começa  a  reduzir  a partir dos  100°C. Após  40 minutos de  exposição  ao  fogo o 

comportamento passa a ser igual para os dois métodos analisados. 

Comparando os resultados em termos do valor absoluto do momento resistente, nota‐

se que os resultados obtidos pelo MMP se apresentam um pouco acima dos obtidos 

pelo  MEF,  resultando  assim  contra  a  segurança.  Essa  diferença  se  dá  pelas 

considerações  diferentes  feitas  nos  dois  casos.  No  caso  do  MMP  é  considerada 

interação total entre o aço e o concreto em todas as superfícies de contato, enquanto 

que  no  caso  dos  modelos  tridimensionais  há  superfícies  com  graus  de  interação 

0,200,300,400,500,600,700,800,901,001,10

0 15 30 45 60 75 90105120135150

Fator de Carga

Tempo (min)

Modelos MEF 3D

0

200

400

600

800

1000

0 15 30 45 60 75 90105120135150

Momento Resistente 

(kN.m

)

Tempo (min)

Modelos MEF 3D

19

diferentes, de  forma que é  impossível  realizar o cálculo a partir do MMP com esses 

diferentes graus de interação nas interfaces. 

Também se observa que o momento resistente obtido pela teoria plástica é bastante 

semelhante  se  comparado  ao  momento  obtido  no  modelo  tridimensional  com 

interação  total  e modelo  constitutivo  elastoplástico  linear,  como  pode  ser  visto  na 

tabela 2. 

4 Conclusões 

A  partir  dos  modelos  desenvolvidos  pode‐se  concluir  que  o  DIANA,  apesar  das 

considerações feitas no âmbito dos modelos constitutivos, conseguiu representar bem 

o  comportamento das vigas mistas de aço e  concreto pertencentes aos  sistemas de 

pisos de baixa  altura em  situação de  incêndio. De  forma que, mesmo  considerando 

parâmetros  constantes  em  função  da  temperatura,  como  a  energia  de  fratura  do 

concreto  na  compressão,  o modelo  se mostrou  compatível  com  o  esperado.  Além 

disso, foi possível considerar situações de  interação parcial entre o aço e o concreto, 

captando deslocamentos relativos na interface dos materiais.  

Desse modo,  foi  constatada  que  essa  solução  construtiva  possui  uma  inerente  boa 

resistência às ações do  fogo, suportando até 107 minutos as ações do  fogo para um 

fator de carga igual a 0,36 aplicado no perfil 280 ASB; e suportou 75 minutos com fator 

de carga de 0,43, para o perfil 300 ASB. 

Já em relação à comparação entre os resultados com o método dos elementos finitos e 

dos momentos  plásticos  pode‐se  concluir  que  possuem  resultados  semelhantes  na 

maior parte do tempo de exposição, mas deve‐se atentar para o grau de interação nas 

superfícies  de  contato  entre  aço  e  concreto,  pois  em  termos  de  fator  de  carga  os 

resultados são parecidos, porém, há diferenças quando se analisa o valor absoluto do 

momento resistente. Mas são necessários outros casos para verificar com mais certeza 

tais considerações. 

5 Agradecimentos 

Ao  Conselho  Nacional  de  Desenvolvimento  Científico  e  Tecnológico  –  CNPq, 

Departamento de Engenharia de Estruturas – SET/EESC/USP. 

20

6 Referências bibliográficas 

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 14323: Dimensionamento de estruturas de aço de edifícios em situação de incêndio – Procedimento. Rio de Janeiro, 2002. 46 p. 

DIANA. Finite Element Analysis: Users Manual. Delft, Netherlands, 2005. 662p. 

DONG,  Y.;  PRASAD,  K.  Behavior  of  full‐scale  frames with  slim  floor  slab  construction  under exposure in a fire resistance furnace. Journal of fire protection engineering, v.19, n.3, p. 197‐220, 2009. 

EUROPEAN  COMMITTEE  FOR  STANDARDIZATION.  EN  1994‐1:  Eurocode  4  ‐  Design  of composite  steel  and  concrete  structures.  Part  1‐2:  General  rules  –  Structural  Fire  Design. Brussels, 2005. 

LAWSON, R. M.; MULLET, D. L.; RACKHAM, J. W. Design of asymmetric “Slimflor” beams using deep composite decking, Berkshire: Steel Construction Institute, 1997. 106p. 

MÄKELÄINEN,  P.;  MA,  Z.  Fire  resistance  of  composite  slim  floor  beams.  Journal  of constructional steel research, n.54, p.345‐363, 2000. 

NEWMAN, G. M. Fire resistance of slim floor beams. Journal of constructional steel research, n.33, p.87‐100, 1995. 

PAES, J. L. R. Aportaciones al análisis del comportamiento estructural de sistemas de forjados mixtos  tipo  “Slim  floor”.  356p.  Tese  (Doutorado)  ‐  Departamento  de  Engenharia  da Construção, Universidade Politécnica da Catalunha, Barcelona, 2003. 

RAMOS,  A.L.  Análise  numérica  de  pisos  mistos  aço‐concreto  de  pequena  altura.  120p. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2010. 

REGOBELLO, R. Análise numérica de seções transversais e de elementos estruturais de aço e mistos de aço e concreto em situação de incêndio. 254p. São Carlos. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, 2007. 

ROCHA, F.M, MUNAIAR NETO, J., DE NARDIN, S. Modelos numéricos de vigas mistas de aço e concreto  em  pisos  mistos  de  baixa  altura  em  situação  de  incêndio.  In:  XXXII  CILAMCE  ‐ Congresso  Ibero Latino Americano de mecânica computacional em engenharia, Anais. Ouro Preto, 2011. 

ROCHA, F.M. Modelos numéricos de vigas mistas de aço e concreto pertencentes a sistemas de pisos mistos de pequena altura em situação de  incêndio. 269 p. São Carlos. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, 2012. 

ROCHA,  F.M, MUNAIAR NETO,  J. Análise  de  vigas mistas  de  aço  e  concreto  pertencentes  a pisos  mistos  de  baixa  altura  em  situação  de  incêndio:  Ênfase  à  influencia  dos  modelos constitutivos  do  concreto.  In:  54°  CBC  –  Congresso  Brasileiro  do  Concreto,  Anais, Maceió, 2012. 

WANG, Y. C.  Steel  and Composite  Structures  ‐ Behaviour and Design  for  Fire  Safety.  Spon Press, London, UK, 2002. 

   

*autor correspondente   21  

 Forças Normais e Momentos Fletores Críticos de 

Perfis Formados a Frio Igor Pierin1, Valdir Pignatta Silva2*, Henriette Lebre La Rovere3 

 1 Doutor em Engenharia Civil pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, 

igorpierin@usp.br 2 Professor Doutor da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, Av. Prof. 

Almeida Prado, trav2, n271 ‐ 05508‐900 ‐ São Paulo , valpigss@usp.br 3 Professora Associada, Universidade Federal de Santa Catarina, Caixa Postal 476 – 

88040‐970 – Florianópolis, henriettelarovere@gmail.com  

Critical forces and bending moments of cold‐formed steel  

Resumo O  projeto  de  perfis  de  aço  formados  a  frio  geralmente  é  condicionado  aos  fenômenos  de instabilidade  local,  distorcional  e  global.  No  Brasil,  o  dimensionamento  desses  elementos estruturais é normatizado pela ABNT NBR 14762:2010. A norma brasileira requer o cálculo das forças  e momentos  fletores  críticos  nos  perfis  decorrentes  dos  fenômenos  de  flambagem, porém não fornece qualquer procedimento prático para a determinação dos esforços críticos devido  à  flambagem  distorcional. O  objetivo  deste  artigo  é  apresentar  os  esforços  críticos devido  à  flambagem  local  e  à  distorcional  de  perfis  formados  a  frio  de  série  comercial, indicados  pela  ABNT  NBR  6355:2003.  Os  resultados  são  obtidos  usando‐se  um  programa computacional denominado INSTAB, desenvolvido pelos autores.  

Palavras‐chave: perfis formados a frio, flambagem local, flambagem distorcional, estabilidade, INSTAB. 

 Abstract   The design of cold‐formed steel profiles is usually conditioned to local, distortional and global buckling.  In  Brazil,  the  design  of  cold‐formed  steel  is  standardized  by  the  ABNT  NBR 14762:2010.  The  Brazilian  standard  requires  the  calculation  of  critical  normal  forces  and bending moments in the profiles, however it doesn´t provide any practical procedure for their determination. The objective of this paper is to present the critical moments and forces due to local and distortional buckling of the cold formed steel profiles of commercial series, indicated by  the ABNT NBR 6355:2003 Code. The  results  are obtained by using  the  software  INSTAB, developed by the authors. 

 Keywords: cold‐formed, local buckling, distortional buckling, stability, INSTAB.  

 

 

Volume 2. Número 1 (abril/2013). p. 21‐40        ISSN 2238‐9377 

22  

1 Introdução

Os perfis estruturais de aço formados a frio são, geralmente, constituídos de chapas de 

aço  de  pequena  espessura  e  possuem  seção  transversal  aberta.  Essas  duas 

características  são  favoráveis  à  ocorrência  de  fenômenos  de  instabilidades  locais, 

distorcionais e globais que devem ser verificados no projeto dessas estruturas. 

A  instabilidade  local de um perfil é caracterizada pela  flexão da  chapa mais esbelta, 

sendo que as chapas restantes acompanham as deformações, de modo que as  linhas 

de  dobra  (linhas  que  unem  duas  chapas  adjacentes)  permaneçam  retas. Nos  perfis 

com  seções  enrijecidas,  tais  como  Ue,  Z90,  Z45  e  cartolas,  ocorre  também  a 

instabilidade  distorcional  onde  são  envolvidos  deslocamentos  de  flexão  e  de 

membrana e inclui deslocamentos nas linhas de dobra provocando distorção na seção 

transversal (ver Figura 1).  

Instabilidadelocal

Instabilidadedistorcional

 

Figura 1 – Instabilidade local e distorcional (Adaptada de Silva e Silva, 2008).

 

Na instabilidade global, as seções transversais sofrem deslocamento de corpo rígido e 

podem ser por flexão, por torção ou por flexotorção. 

A ABNT NBR 14762:2010 determina os procedimentos de dimensionamento de perfis 

formados a frio submetidos à compressão e à flexão. Por exemplo, o valor de cálculo 

da força normal resistente deve ser calculado por meio da equação (1) 

  c,Rd ef yN = χA f / .   (1) 

Na  equação  (1),  χ   é  o  fator  de  redução  da  força  axial  de  compressão  resistente, 

considerando‐se imperfeições geométricas iniciais, tensões residuais, propriedades do 

material, geometria do perfil etc., Aef é a área efetiva da seção  transversal da barra, 

23  

considerando‐se o fenômeno da  instabilidade  local, fy é a resistência característica do 

aço e  é o coeficiente de ponderação das resistências.  

Para  efeito  de  dimensionamento,  portanto,  há  um  desacoplamento  entre  os 

fenômenos  de  instabilidade  global  ( χ )  e  local  (Aef).  Procedimento  similar  é 

apresentado na flexão, em que para a determinação do momento fletor resistente se 

usam os redutores  FLTχ , para considerar a  instabilidade  lateral com torção (global) e, 

para a instabilidade local, o módulo resistente efetivo, Wef. 

A área efetiva e o módulo resistente efetivo são determinados por meio do método da 

largura  efetiva  (MLE),  do  método  da  seção  efetiva  (MSE)  ou  pelo  método  de 

determinação direta do esforço resistente (MRD1). 

O  método  da  largura  efetiva  é  um  procedimento  clássico  utilizado  para  o 

dimensionamento de perfis  formados  a  frio, em que  cada elemento  constituinte do 

perfil  é  analisado  separadamente  com  base  no  conceito  das  larguras  efetivas 

desenvolvido originalmente por von Karman et al  (1932) e posteriormente calibrado 

com base em resultados experimentais por Winter (1968).  

O método da seção efetiva, desenvolvido por Batista (2010) com base no MRD, utiliza 

diretamente as propriedades geométricas da  seção efetiva para o dimensionamento 

dos perfis formados a frio submetidos à compressão e à flexão. Novamente usando a 

compressão centrada como exemplo, nesse método, a área efetiva é determinada por 

meio da equação (2), 

 

ef 0,8 0,8p p

0,15 1A = A 1 ‐ A

λ λ    (2) 

onde A é a área da seção transversal e  pλ  é o índice de esbeltez reduzido expresso pela 

equação (3).   

 

0,5

yp

χAfλ =

Nℓ  (3) 

                                                       1  A  ABNT NBR  14762:2010  designa  o MRD  por método  da  resistência  direta.  Segundo  a  ABNT NBR 8681:2003,  “resistência” é a aptidão da matéria de suportar tensões.  As  demais  normas  brasileiras seguem essa definição. Portanto, o termo “resistência” deve ser associado ao material e não a seções ou barras. Dessa  forma, os autores optaram por designar o método MRD, de  forma coerente às demais normas brasileiras. 

24  

 A Nℓ é a força axial de flambagem2 local elástica é fornecida pela equação (4), 

                                   (4) 

 

onde bw e t são a largura da alma e a espessura do perfil, respectivamente, E e  são o 

modulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do aço e kℓ é o valor do coeficiente 

de flambagem local para a seção completa. 

De forma similar determina‐se o módulo resistente efetivo a partir do momento fletor 

(Mℓ) de flambagem local equação (5) 

                                                       .   (5) 

 

Na  equação  (5),  W  é  o  módulo  de  resistência  elástico  em  relação  à  fibra  mais 

comprimida,  A,  bw  e  t  são  a  área,  a  largura  da  alma  e  a  espessura  do  perfil, 

respectivamente, Nℓ é a força axial de flambagem local elástica, E e  são o modulo de 

elasticidade  e  o  coeficiente  de  Poisson  do  aço  e  kℓ  é  o  valor  do  coeficiente  de 

flambagem local para a seção completa. 

O coeficiente de flambagem kℓ depende da geometria e do tipo de solicitação do perfil. 

A ABNT NBR  14762:2010  fornece  o  coeficiente  de  flambagem  local  (kℓ)  para  vários 

tipos  de  seções  submetidas  à  compressão  ou  à  flexão.  kℓ  também  pode  ser 

determinado  via  análise  elástica  de  estabilidade. A  partir  desse  coeficiente,  a  força 

normal (Nℓ) e o momento fletor (Mℓ) de flambagem local de um perfil de aço formado 

a frio podem ser determinados. 

O método de determinação direta do esforço resistente, MRD, proposto por Schafer e 

Peköz (1998), é uma alternativa ao MLE e MSE onde o dimensionamento é realizado a 

partir  da  força  de  flambagem  elástica  do  perfil  aplicadas  a  equações  ajustadas 

experimentalmente. 

                                                       2 No  Brasil,  o  termo  flambagem  denota  a  ocorrência  de  ponto  de  bifurcação  no  diagrama  esforço‐deslocamento transversal. Essa definição é aceita pela maioria das normas brasileiras. Trata‐se de um fenômeno que só pode ocorrer em barras ou chapas sem  imperfeição geométrica ou do material, ou seja,  estruturas  ideais.  Nas  estruturas  reais  esse  fenômeno  não  acontece.  Neste  artigo,  o  termo “flambagem”  será  empregado  quando  se  referir  ao  fenômeno  como  aqui  definido,  geralmente  são grandezas auxiliares, tais como coeficiente de flambagem ou força crítica de flambagem. O fenômeno da ocorrência, em estruturas reais, de deformações transversais aos esforços aplicados, será denominado genericamente de instabilidade.  

2

22w

π EN = k A

12(1 ‐ ) b tℓ ℓ

2

22w

π EM =k W

12(1 ‐ ) b tℓ ℓ

25  

Além das instabilidades locais e globais deve‐se levar em conta também a instabilidade 

distorcional. O valor de cálculo do esforço resistente, considerando‐se esse fenômeno, 

é  fornecido  pela  ABNT  NBR  14762:2010  e  depende  da  força  crítica  de  flambagem 

distorcional (ou momento crítico, no caso de flexão) que, entretanto, não é fornecida 

pela Norma. 

Para a utilização do MRD torna‐se necessário a obtenção da força e do momento fletor 

crítico  de  flambagem,  que  podem  ser  obtidos  por  meio  de  análises  elásticas  de 

estabilidade  de  elementos  estruturais  ideais,  isto  é,  elementos  sem  imperfeições 

geométricas ou de material. 

As  análises  elásticas  de  estabilidade  de  elementos  ideais,  também  conhecidas  por 

análises  lineares de estabilidade,  fornecem o esforço critico e o  respectivo modo de 

flambagem.  Para  as  barras  curtas,  os  modos  de  flambagem  podem  ser  locais  ou 

distorcionais. 

A ABNT NBR 14762:2010 não fornece qualquer procedimento prático para o cálculo da 

força  normal  (Ndist)  ou momento  fletor  elástico  (Mdist)  críticos  devido  à  flambagem 

distorcional. Segundo a Norma, para a obtenção desses valores é necessário recorrer à 

análise de estabilidade elástica, a qual deve  ser efetuada  com o auxilio de métodos 

numéricos, tais como o método dos elementos  finitos ou o método das  faixas  finitas 

cujos  procedimentos  não  fazem  parte  do  cotidiano  dos  escritórios  de  projeto  de 

estruturas. 

O objetivo deste artigo é fornecer os valores da força normal (Nℓ e Ndist) e do momento 

fletor  elástico  (Mℓ  e Mdist)  críticos  devido  à  flambagem  local  e  distorcional  para  os 

perfis  com  seções  enrijecidas  das  séries  comerciais  apresentadas  pela  ABNT  NBR 

6355:2003, determinados por meio de análise elástica de estabilidade.  

2 Análise Linear de Estabilidade 

A  análise  linear  de  estabilidade  permite  obter  a  força  normal  e  o momento  fletor 

críticos de flambagem e os respectivos modos de flambagem, ou seja, o menor valor 

do  esforço  que  provoca  a  flambagem  da  barra  ideal  e  a  forma  da  configuração 

deformada. 

26  

Essa  análise  requer  a  utilização  de  programas  computacionais,  tais  como  o  ANSYS, 

CUFSM  (Ádány  e  Schafer,  2006)  e  GBTUL  (Bebiano  et  al,  2008).  Neste  artigo  será 

utilizado o programa  INSTAB  (Pierin, 2011), o qual utiliza o método das  faixas  finitas 

para esse fim. 

Por  meio  do  programa  INSTAB  é  possível  verificar  a  variação  do  coeficiente  de 

flambagem kℓ e a natureza do modo de  flambagem em  função do  comprimento do 

perfil. A título de exemplo, a Figura 2 mostra a variação do coeficiente de flambagem 

em função do parâmetro geométrico L/bw (relação entre o comprimento do perfil e a 

largura da alma) de um perfil de seção Ue 100x50x17x3,35 submetido à compressão 

centrada e simplesmente apoiado. 

0

2

4

6

8

10

12

14

0.1 1 10 100

coeficiente de flambagem local

L/bw

Figura 2 ‐ Variação do coeficiente de flambagem kℓ em função da relação entre o comprimento do perfil e a largura da alma. 

 Observa‐se que a  curva que  representa a variação do  coeficiente de  flambagem em 

função do comprimento do perfil apresenta dois pontos de mínimos locais. O primeiro 

está associado ao valor da força crítica que provoca a flambagem local (modo local de 

chapa – MLC) e o segundo ponto de mínimo está associado ao valor da  força crítica 

que provoca a flambagem distorcional (MD) no perfil (Prola, 2001).  

O ramo descendente da curva, que ocorre para comprimentos maiores, está associado 

ao modo global de  flambagem que pode ser por  flexão  (MGF), por  torção  (MGT) ou 

27  

flexotorção (MGFT). A natureza do modo de flambagem global depende da geometria 

da seção transversal e do comprimento do perfil. 

A capacidade resistente dos perfis de aço formados a frio pode ser melhorada com a 

utilização de  seções  transversais enrijecidas, porém, o comportamento estrutural do 

perfil  é  alterado.  Em  perfis  com  seção  transversal  sem  enrijecedores  de  borda  os 

modos de flambagem se resumem ao  local e ao global. Perfis com seções enrijecidas 

podem  apresentar  o  modo  distorcional.  Dependendo  da  geometria  da  seção 

transversal o modo distorcional pode governar o dimensionamento do perfil de aço 

formado a frio, pois a força crítica associada ao modo distorcional pode ser  inferior à 

força critica que provoca a flambagem local. 

A avaliação se o enrijecedor de borda é suficiente  longo para  impedir a distorção da 

seção  transversal pode ser  realizada por meio da análise  linear de estabilidade. Essa 

observação  pode  ser  verificada  na  Figura  3,  onde  é  apresentada  a  variação  do 

coeficiente de flambagem em função do parâmetro geométrico L/bw para cinco perfis 

com seção Ue submetidos à compressão. Os perfis possuem bw=50 mm, bf=25 mm, t 

=1 mm e com comprimentos de enrijecedor iguais a D=2‐5‐10‐15‐20 mm. 

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0.5 5

coeficiente de flambagem local

L/bw

D=2 mm

D=5 mm

D=10 mm

D=15 mm

D=20 mm

 

Figura 3 ‐ Influência da largura do enrijecedor nos modos de flambagem.  Observa‐se que para enrijecedores pequenos (D≤5 mm) há a ocorrência de flambagem 

distorcional, ou  seja, o enrijecedor não  impede a distorção da  seção  transversal. No 

caso  do  enrijecedor  com  D=2 mm,  não  há  a  ocorrência  de  um  ponto  de mínimo 

28  

correspondente ao modo  local de chapa, ou seja, o modo  local de chapa ocorre para 

perfis  com  comprimento  muito  pequeno  e  sem  interesse  prático.  No  caso  do 

enrijecedor com D=5 mm, os coeficientes de flambagem correspondentes aos modos 

local de  chapa e distorcional  são  semelhantes e pode haver uma  interação entre os 

modos. Para enrijecedores maiores  (D>10 mm) o modo  local de chapa passa a ser o 

modo  de  instabilidade  critico.  Ressalta‐se  que,  para  esse  perfil,  a  ABNT  NBR 

14762:2010  isenta  a  verificação  da  flambagem  distorcional  para  enrijecedores  com 

D>5,5 mm. 

Verifica‐se ainda que a curva de variação do coeficiente de  flambagem para o perfil 

com  D=20  mm  não  apresenta  um  ponto  de  mínimo  correspondente  ao  modo 

distorcional,  pois  o  enrijecedor  é  suficiente  largo  para  evitar  a  distorção  da  seção 

transversal, ou seja, a seção apresenta somente flambagem local de chapa. 

Nos  itens  seguintes  são  apresentados  as  forças  normais  e  os  momentos  fletores 

críticos decorrentes das flambagens  locais e distorcionais dos perfis de seções U, Ue, 

Z90, Z45 e cartolas das séries comerciais apresentados pela ABNT NBR 6355:2003. Os 

perfis foram considerados simplesmente apoiados e com E=200 GPa. 

3 Seções U 

A  geometria  da  seção  U  está  apresentadaa  na  Figura  4.  Como  essas  seções  não 

possuem  enrijecedores  de  borda,  as mesmas  não  apresentam modo  de  flambagem 

distorcional. Na modelagem,  foi observado que a consideração dos cantos  retos nos 

perfis é ligeiramente a favor da segurança quando comparados aos resultados obtidos 

considerando  os  cantos  arredondados,  como mostra  a  Figura  5.  Em  todos  os  perfis 

analisados neste artigo os cantos foram considerados retos.  

Figura 4 ‐ Geometria das seções em U. 

29  

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.1 1 10 100

coeficiente de flambagem

 local

L/bw

Cantos Retos

Cantos Arredondados

 

Figura 5 – Variação do coeficiente de flambagem local em função da modelagem. 

  Os valores das  forças normais e dos momentos  fletores críticos devido à  flambagem 

local de chapa são os mesmos para as seções U e Z e estão apresentados na Tabela 1. 

Tabela 1 ‐ Forças normais e momentos fletores críticos para perfis U. 

U  Nℓ kN  Mℓ,x kNm  Mℓ,y kNm U  Nℓ kN  Mℓ,x kNm  Mℓ,y kNm 

50 x 25 x 1,20  36,36  0,76  0,70 100 x 50 x 3,00 283,07 11,82  10,95

50 x 25 x 1,50  70,77  1,48  1,37 100 x 50 x 3,35 394,16 16,42  15,22

50 x 25 x 2,00  167,75  3,48  3,22 100 x 50 x 3,75 552,88 23,03  21,32

50 x 25 x 2,25  238,02  4,95  4,57 100 x 50 x 4,25 802,05 33,43  30,88

50 x 25 x 2,65  387,52  8,06  7,43 100 x 50 x 4,75 1119,74 46,54  42,97

50 x 25 x 3,00  560,29  11,63  10,69 100 x 50 x 6,30 2594,42 107,37  98,64

75 x 40 x 1,20  22,81  0,70  0,76 100 x 75 x 2,65 126,15 5,19  12,44

75 x 40 x 1,50  44,55  1,38  1,49 100 x 75 x 3,35 254,84 10,48  25,03

75 x 40 x 2,00  105,60  3,25  3,52 100 x 75 x 3,75 357,46 14,69  35,05

75 x 40 x 2,25  149,78  4,63  5,00 100 x 75 x 4,25 520,36 21,26  50,85

75 x 40 x 2,65  244,71  7,54  8,14 100 x 75 x 4,75 721,63 29,68  70,87

75 x 40 x 3,00  355,05  10,94  11,77 100 x 75 x 6,30 1683,66 68,84  163,33

75 x 40 x 3,35  494,37  15,19  16,34 100 x 75 x 8,00 3447,49 139,26  328,48

75 x 40 x 3,75  690,82  21,24  22,81 125 x 50 x 1,20 16,87 0,99  0,54

75 x 40 x 4,25  1005,63  30,82  33,04 125 x 50 x 1,50 32,94 1,92  1,05

75 x 40 x 4,75  1398,62  42,89  45,74 125 x 50 x 2,00 78,09 4,56  2,49

100 x 40 x 1,20  21,08  0,99  0,54 125 x 50 x 2,25 110,89 6,49  3,54

100 x 40 x 1,50  41,18  1,92  1,05 125 x 50 x 2,65 181,17 10,59  5,78

100 x 40 x 2,00  97,35  4,55  2,49 125 x 50 x 3,00 262,85 15,36  8,38

100 x 40 x 2,25  138,61  6,48  3,53 125 x 50 x 3,35 365,02 21,35  11,65

100 x 40 x 2,65  225,85  10,57  5,77 125 x 50 x 3,75 512,00 29,90  16,29

100 x 40 x 3,00  327,68  15,31  8,34 125 x 50 x 4,25 743,33 43,44  23,64

100 x 40 x 3,35  455,05  21,32  11,57 125 x 50 x 4,75 1034,96 60,54  32,90

100 x 40 x 3,75  636,57  29,79  16,19 125 x 50 x 6,30 2388,68 140,23  75,69

100 x 40 x 4,25  921,66  43,29  23,46 125 x 75 x 2,65 130,25 6,63  9,46

100 x 40 x 4,75  1283,24  60,21  32,54 125 x 75 x 3,00 188,98 9,63  13,72

100 x 40 x 6,30  2937,03  138,69  74,25 125 x 75 x 3,35 263,13 13,40  19,08

100 x 50 x 1,20  18,18  0,76  0,71 125 x 75 x 3,75 369,09 18,73  26,72

100 x 50 x 1,50  35,51  1,48  1,38 125 x 75 x 4,25 537,29 27,26  38,83

100 x 50 x 2,00  84,16  3,51  3,26 125 x 75 x 4,75 750,11 38,06  54,12

100 x 50 x 2,25  119,83  5,00  4,64 125 x 75 x 6,30 1742,15 88,10  124,99

100 x 50 x 2,65  195,11  8,15  7,57 125 x 75 x 8,00 3567,25 179,68  252,94

30  

Tabela 1 ‐ Forças normais e momentos fletores críticos para perfis U (continuação). 

U  Nℓ kN  Mℓ,x kNm  Mℓ,y kNm U  Nℓ kN  Mℓ,x kNm  Mℓ,y kNm 

150 x 50 x 2,00  67,65  5,67  1,99 200 x 75 x 3,35 234,29 23,14  10,81

150 x 50 x 2,25  96,09  8,07  2,83 200 x 75 x 3,75 327,79 32,46  15,14

150 x 50 x 2,65  156,98  13,16  4,62 200 x 75 x 4,25 477,17 47,17  22,01

150 x 50 x 3,00  227,22  19,10  6,70 200 x 75 x 4,75 664,48 65,75  30,68

150 x 50 x 3,35  315,63  26,56  9,32 200 x 75 x 6,30 1542,42 152,91  71,16

150 x 50 x 3,75  441,67  37,21  13,03 200 x 75 x 8,00 3133,98 311,60  144,63

150 x 50 x 4,25  641,39  54,10  18,91 200 x 100 x2,65 97,89 8,17  7,61

150 x 50 x 4,75  893,29  75,43  26,32 200 x 100 x 3,00 142,02 11,85  11,02

150 x 50 x 6,30  2049,02  174,63  60,56 200 x 100 x 3,35 197,76 16,51  15,34

150 x 50 x 8,00  4103,06  354,33  121,49 200 x 100 x 3,75 277,39 23,15  21,52

150 x 75 x 2,65  130,52  8,17  7,59 200 x 100 x 4,25 403,80 33,70  31,27

150 x 75 x 3,00  189,37  11,85  11,00 200 x 100 x 4,75 563,74 46,92  43,59

150 x 75 x 3,35  263,68  16,51  15,32 200 x 100 x 6,30 1310,77 109,48  101,39

150 x 75 x 3,75  368,58  23,09  21,45 200 x 100 x 8,00 2683,95 222,94  206,25

150 x 75 x 4,25  536,55  33,61  31,17 250 x 100 x 2,65 90,83 10,63  5,80

150 x 75 x 4,75  749,07  46,92  43,46 250 x 100 x 3,00 131,78 15,39  8,41

150 x 75 x 6,30  1741,67  108,88  100,57 250 x 100 x 3,35 183,49 21,43  11,72

150 x 75 x 8,00  3553,93  221,71  203,95 250 x 100 x 3,75 257,37 30,06  16,44

200 x 50 x 2,00  48,91  7,92  1,39 250 x 100 x 4,25 374,66 43,76  23,89

200 x 50 x 2,25  69,65  11,27  1,98 250 x 100 x 4,75 521,67 61,09  33,29

200 x 50 x 2,65  113,53  18,42  3,23 250 x 100 x 6,30 1213,86 142,28  77,45

200 x 50 x 3,00  164,35  26,70  4,67 250 x 100 x 8,00 2478,86 290,29  157,88

200 x 50 x 3,35  228,34  37,16  6,50 300 x 100 x 2,65 78,68 13,20  4,65

200 x 50 x 3,75  319,57  52,08  9,10 300 x 100 x 3,00 114,15 19,15  6,73

200 x 50 x 4,25  463,12  75,70  13,21 300 x 100 x 3,35 158,95 26,66  9,37

200 x 50 x 4,75  643,65  105,60  18,36 300 x 100 x 3,75 222,95 37,35  13,14

200 x 50 x 6,30  1478,01  245,05  42,26 300 x 100 x 4,25 323,78 54,38  19,10

200 x 50 x 8,00  2936,15  498,30  84,62 300 x 100 x 4,75 452,03 75,91  26,68

200 x 75 x 2,65  115,97  11,45  5,36 300 x 100 x 6,30 1052,13 176,66  62,06

200 x 75 x 3,00  168,26  16,62  7,76 300 x 100 x 8,00 2144,08 361,28  126,28

 

4 Seções Ue 

A geometria da seção Ue está apresentada na Figura 6.  

Figura 6 ‐ Geometria das seções Ue. 

Na Tabela 2  são apresentados as  forças normais  (Nℓ e Ndist) e os momentos  fletores 

críticos (Mℓ,x, Mℓ,y e Mdist,x) decorrentes das instabilidades local ou distorcional para as 

31  

seções  Ue.  Os momentos  fletores  críticos Mℓ,x  foram  obtidos  em  torno  do  eixo  x, 

enquanto que os momentos  fletores críticos Mℓ,y    foram obtidos em  torno do eixo y. 

Quando o momento fletor é aplicado em torno do eixo y, não há ocorrência do modo 

distorcional. 

Tabela 2 ‐ Forças normais e momentos fletores críticos para perfis Ue. 

Ue  Nℓ (kN)  Ndist (kN) Mℓ,x (kNm)  Mdist,x (kNm)  Mℓ,y (kNm) 

50 x 25 x 10 x 1,20  86,96 95,51 4,51 2,81 0,91 

50 x 25 x 10 x 1,50  167,79 154,62 8,70 4,51 1,77 

50 x 25 x 10 x 2,00  368,58 290,84 20,01 8,40 4,16 

50 x 25 x 10 x 2,25  520,84 378,53 27,89 10,88 5,88 

50 x 25 x 10 x 2,65  836,40 547,38 ‐‐‐‐ 15,62 9,54 

50 x 25 x 10 x 3,00  1187,74 726,23 ‐‐‐‐ 20,60 13,72 

75 x 40 x 15 x 1,20  55,27 89,68 4,27 3,88 0,98 

75 x 40 x 15 x 1,50  107,75 143,66 8,29 6,18 1,90 

75 x 40 x 15 x 2,00  254,45 265,86 19,44 11,34 4,50 

75 x 40 x 15 x 2,25  360,94 343,33 27,49 14,57 6,39 

75 x 40 x 15 x 2,65  586,37 490,11 44,30 20,70 10,41 

75 x 40 x 15 x 3,00  847,53 645,28 63,26 27,11 15,05 

100 x 40 x 17 x 1,20  37,17 98,93 5,48 5,27 0,71 

100 x 40 x 17 x 1,50  72,46 130,03 10,66 8,41 1,39 

100 x 40 x 17 x 2,00  170,82 240,76 25,11 15,45 3,28 

100 x 40 x 17 x 2,25  242,78 310,64 35,58 19,87 4,67 

100 x 40 x 17 x 2,65  394,49 444,88 57,60 28,27 7,58 

100 x 40 x 17 x 3,00  569,22 584,89 82,67 37,03 10,96 

100 x 40 x 17 x 3,35  788,23 747,51 113,43 47,14 15,21 

100 x 50 x 17 x 1,20  39,69 80,47 4,59 4,61 0,90 

100 x 50 x 17 x 1,50  77,37 128,77 8,93 7,33 1,75 

100 x 50 x 17 x 2,00  183,07 237,89 21,00 13,44 4,14 

100 x 50 x 17 x 2,25  260,17 306,91 29,73 17,25 5,88 

100 x 50 x 17 x 2,65  423,49 438,45 48,10 24,49 9,57 

100 x 50 x 17 x 3,00  612,14 575,60 69,02 32,04 13,86 

100 x 50 x 17 x 3,35  847,59 736,27 94,77 40,71 19,23 

125 x 50 x 17 x 2,00  132,56 207,10 25,12 15,98 3,20 

125 x 50 x 17 x 2,25  188,40 267,92 35,59 20,57 4,55 

125 x 50 x 17 x 2,65  306,68 384,19 57,53 29,31 7,42 

125 x 50 x 17 x 3,00  442,53 506,44 82,46 38,40 10,72 

125 x 50 x 17 x 3,35  613,93 649,98 112,86 48,97 14,88 

125 x 50 x 20 x 3,75  879,48 895,65 160,54 69,71 21,26 

150 x 60 x 20 x 2,00  110,38 198,64 25,22 18,45 3,20 

150 x 60 x 20 x 2,25  156,88 256,17 35,79 23,69 4,55 

150 x 60 x 20 x 2,65  255,84 366,14 58,08 33,63 7,41 

150 x 60 x 20 x 3,00  369,84 480,79 83,62 43,96 10,74 

150 x 60 x 20 x 3,35  514,04 615,16 115,34 55,90 14,93 

150 x 60 x 20 x 3,75  717,09 791,95 159,50 71,60 20,86 

150 x 60 x 20 x 4,25  1038,13 1051,52 ‐‐‐‐ 94,49 30,26 

150 x 60 x 20 x 4,75  1438,65 1358,58 ‐‐‐‐ 121,17 42,09 

200 x 75 x 20 x 2,00  78,67 153,26 24,95 19,54 2,91 

200 x 75 x 20 x 2,25  111,82 198,14 35,41 25,13 4,13 

200 x 75 x 25 x 2,65  187,37 331,35 59,08 42,75 6,92 

200 x 75 x 25 x 3,00  271,36 434,37 85,40 55,73 10,04 

32  

Tabela 2 ‐ Forças normais e momentos fletores críticos para perfis Ue (continuação). 

Ue  Nℓ (kN)  Ndist (kN) Mℓ,x (kNm)  Mdist (kNm)  Mℓ,y (kNm) 

200 x 75 x 25 x 3,35  377,17 553,18 118,35 70,65 13,95 

200 x 75 x 25 x 4,75  1063,56 1208,85 326,85 151,55 39,42 

200 x 75 x 30 x 6,30  2515,66 2478,60 ‐‐‐‐ 317,57 93,21 

200 x 100 x 25 x 2,65  205,11 319,40 48,32 34,40 9,29 

200 x 100 x 25 x 3,00  297,04 417,29 69,81 44,77 13,48 

200 x 100 x 25 x 3,35  412,85 530,58 96,74 56,68 18,74 

200 x 100 x 25 x 3,75  578,02 679,90 134,75 72,22 26,29 

200 x 100 x 25 x 4,25  839,86 896,06 194,04 94,74 38,19 

200 x 100 x 25 x 4,75  1168,17 1150,73 267,50 120,73 53,23 

250 x 85 x 25 x 2,00  61,33 143,87 24,80 25,41 2,64 

250 x 85 x 25 x 2,25  87,17 185,49 35,25 32,61 3,76 

250 x 85 x 25 x 2,65  142,17 264,86 57,41 46,23 6,13 

250 x 85 x 25 x 3,00  205,90 347,93 83,04 60,35 8,87 

250 x 85 x 25 x 3,35  286,19 444,61 115,15 76,67 12,33 

250 x 85 x 25 x 3,75  399,99 572,03 160,62 98,07 17,27 

250 x 85 x 25 x 4,25  580,19 759,67 231,69 129,20 25,09 

250 x 85 x 25 x 4,75  805,62 980,44 319,24 165,44 34,90 

250 x 85 x 30 x 6,30  1902,26 2075,83 ‐‐‐‐ 350,26 82,66 

250 x 100 x 25 x 2,65  149,09 273,15 57,34 41,13 7,21 

250 x 100 x 25 x 3,00  215,92 358,04 82,81 53,62 10,44 

250 x 100 x 25 x 3,35  300,10 456,68 114,69 68,01 14,53 

250 x 100 x 25 x 3,75  420,19 587,19 159,70 86,93 20,35 

250 x 100 x 25 x 4,25  610,56 777,07 229,68 114,30 29,57 

250 x 100 x 25 x 4,75  849,29 1001,18 315,51 146,13 41,21 

300 x 85 x 25 x 2,00  47,88 ‐‐‐‐ 23,06 28,30 2,17 

300 x 85 x 25 x 2,25  68,05 ‐‐‐‐ 32,77 36,40 3,08 

300 x 85 x 25 x 2,65  110,78 ‐‐‐‐ 53,41 51,76 5,03 

300 x 85 x 25 x 3,00  160,45 ‐‐‐‐ 77,25 67,78 7,28 

300 x 85 x 25 x 3,35  222,63 ‐‐‐‐ 107,18 86,30 10,12 

300 x 85 x 25 x 3,75  311,18 ‐‐‐‐ 149,60 110,73 14,14 

300 x 85 x 25 x 4,25  450,58 ‐‐‐‐ 216,11 146,38 20,52 

300 x 85 x 25 x 4,75  624,57 ‐‐‐‐ 298,38 188,02 28,49 

300 x 85 x 30 x 6,30  1471,93 1639,62 ‐‐‐‐ 397,82 67,46 

300 x 100 x 25 x 2,65  115,74 ‐‐‐‐ 56,14 47,04 5,89 

300 x 100 x 25 x 3,00  167,62 ‐‐‐‐ 81,17 61,48 8,53 

300 x 100 x 25 x 3,35  232,98 367,96 112,60 78,15 11,86 

300 x 100 x 25 x 3,75  325,64 474,76 157,12 100,05 16,61 

300 x 100 x 25 x 4,25  472,33 632,61 226,66 132,02 24,13 

300 x 100 x 25 x 4,75  657,05 818,06 312,46 169,28 33,57 

 Na Tabela 3 são apresentados as forças normais (Nℓ e Ndist) e os momentos fletores 

críticos (Mℓ,x, Mℓ,y e Mdist,x) decorrentes das instabilidades local ou distorcional para 

os perfis de aço  zincados  com  seções Ue. A espessura de  revestimento metálico  foi 

considerada igual a 0,036 mm. Observa‐se que para os perfis mais finos o modo crítico 

de flambagem é o modo local de chapa. 

 

33  

Tabela 3 ‐ Forças normais e momentos fletores críticos para perfis Ue zincados. 

Ue  Nℓ (kN)  Ndist (kN)  Mℓ,x (kNm) Mdist,x (kNm) Mℓ,y (kNm) 

75 x 40 x 15 x 0,65  7,43  22,32 0,58 0,98 0,13 

75 x 40 x 15 x 0,80  14,32  35,02 1,11 1,53 0,25 

75 x 40 x 15 x 0,95  24,47  50,75 1,89 2,21 0,43 

75 x 40 x 15 x 1,25  57,23  91,90 4,42 3,97 1,01 

75 x 40 x 15 x 1,55  110,79 146,48 8,53 6,30 1,96 

75 x 40 x 15 x 1,95  223,43 241,77 17,07 10,33 3,94 

75 x 40 x 15 x 2,30  367,72 347,71 27,99 14,77 6,51 

75 x 40 x 15 x 2,70  595,71 496,80 44,98 20,94 10,57 

90 x 40 x 12 x 0,95  18,18  39,83 2,27 2,09 0,34 

90 x 40 x 12 x 1,25  42,53  72,89 5,28 3,79 0,80 

90 x 40 x 12 x 1,55  82,18  117,49 10,16 6,06 1,54 

90 x 40 x 12 x 2,30  272,30 286,37 32,85 14,50 5,13 

90 x 40 x 12 x 2,70  440,36 414,17 ‐‐‐‐ 20,78 8,32 

100 x 50 x 17 x 0,95  17,57  45,64 2,03 2,62 0,40 

100 x 50 x 17 x 1,25  41,09  82,49 4,75 4,72 0,93 

100 x 50 x 17 x 1,55  79,56  131,38 9,19 7,48 1,80 

100 x 50 x 17 x 1,95  160,45 216,51 18,43 12,24 3,63 

100 x 50 x 17 x 2,30  265,06 311,20 30,29 17,48 5,99 

100 x 50 x 17 x 2,70  430,24 443,03 48,84 24,77 9,73 

127 x 50 x 17 x 0,95  12,44  38,62 2,44 3,13 0,30 

127 x 50 x 17 x 1,25  29,15  70,13 5,70 5,64 0,71 

127 x 50 x 17 x 1,55  56,44  112,07 11,02 8,96 1,37 

127 x 50 x 17 x 1,95  113,63 185,62 22,15 14,72 2,76 

127 x 50 x 17 x 2,30  187,71 267,82 36,39 21,10 4,56 

127 x 50 x 17 x 2,70  304,16 383,80 58,68 30,01 7,40 

140 x 40 x 12 x 0,95  9,85  ‐‐‐‐ 2,21 2,81 0,21 

140 x 40 x 12 x 1,25  22,99  ‐‐‐‐ 5,17 5,15 0,49 

140 x 40 x 12 x 1,55  44,36  ‐‐‐‐ 9,97 8,31 0,95 

140 x 40 x 12 x 2,30  145,72 ‐‐‐‐ 32,53 20,32 3,12 

140 x 40 x 12 x 2,70  234,42 ‐‐‐‐ ‐‐‐‐ 29,45 5,05 

200 x 40 x 12 x 0,95  6,18  ‐‐‐‐ 1,86 3,02 0,14 

200 x 40 x 12 x 1,25  14,35  ‐‐‐‐ 4,35 5,63 0,34 

200 x 40 x 12 x 1,55  27,60  ‐‐‐‐ 8,38 9,24 0,64 

200 x 40 x 12 x 2,30  88,80  ‐‐‐‐ 27,10 23,42 2,10 

200 x 40 x 12 x 2,70  140,51 ‐‐‐‐ ‐‐‐‐ 34,49 3,37 

250 x 40 x 12 x 0,95  4,67  ‐‐‐‐ 1,68 ‐‐‐‐ 0,11 

250 x 40 x 12 x 1,25  10,79  ‐‐‐‐ 3,91 ‐‐‐‐ 0,26 

250 x 40 x 12 x 1,55  20,54  ‐‐‐‐ 7,51 ‐‐‐‐ 0,50 

250 x 40 x 12 x 2,30  63,92  ‐‐‐‐ ‐‐‐‐ 22,60 1,61 

250 x 40 x 12 x 2,70  99,88  ‐‐‐‐ ‐‐‐‐ 33,89 2,55 

300 x 40 x 12 x 0,95  3,73  ‐‐‐‐ 1,55 ‐‐‐‐ 0,09 

300 x 40 x 12 x 1,25  8,52  ‐‐‐‐ 3,59 ‐‐‐‐ 0,22 

300 x 40 x 12 x 1,55  15,97  ‐‐‐‐ 6,86 ‐‐‐‐ 0,41 

300 x 40 x 12 x 2,30  48,31  ‐‐‐‐ ‐‐‐‐ 20,63 1,27 

300 x 40 x 12 x 2,70  75,63  ‐‐‐‐ ‐‐‐‐ 31,52 2,00 

 

 

34  

5 Seções Z90 

A geometria das seções Z90 esta ilustrada na Figura 7.  

 

Figura 7 ‐ Geometria das seções Z90. 

Na Tabela 4  são apresentados as  forças normais  (Nℓ e Ndist) e os momentos  fletores 

críticos (Mℓ,x, Mℓ,y, Mdist,x e Mdist,y) decorrentes das  instabilidades  local ou distorcional 

para as seções Z90. Os momentos fletores críticos Mℓ,x e Mdist,x foram obtidos em torno 

do eixo x, enquanto que os momentos fletores críticos Mℓ,y e Mdist,y foram obtidos em 

torno do eixo y.  

Tabela 4 ‐ Forças normais e momentos fletores críticos para perfis Z90. 

Z90  Nℓ (kN)  Ndist (kN) Mℓ,x (kNm) Mdist,x (kNm) Mℓ,y (kNm)  Mdist,y (kNm)

50 x 25 x 10 x 1,20  80,96  95,81 4,51 2,81 2,35  1,31 

50 x 25 x 10 x 1,50  157,25  155,79 8,70 4,51 4,56  2,11 

50 x 25 x 10 x 2,00  367,89  294,31 20,01 8,40 10,65  3,95 

50 x 25 x 10 x 2,25  519,85  383,47 27,89 10,88 15,00  5,11 

50 x 25 x 10 x 2,65  834,79  555,45 ‐‐‐‐ 15,62 24,06  7,37 

50 x 25 x 10 x 3,00  1183,05  737,94 ‐‐‐‐ 20,60 34,15  9,75 

75 x 40 x 15 x 1,20  55,27  90,30 4,27 3,88 2,53  1,91 

75 x 40 x 15 x 1,50  107,75  144,87 8,29 6,18 4,92  3,05 

75 x 40 x 15 x 2,00  254,45  268,72 19,44 11,34 11,60  5,61 

75 x 40 x 15 x 2,25  360,94  347,39 27,49 14,57 16,46  7,22 

75 x 40 x 15 x 2,65  586,37  497,86 44,30 20,70 26,72  10,28 

75 x 40 x 15 x 3,00  845,92  654,91 63,26 27,11 38,48  13,48 

100 x 50 x 17 x 1,20  39,69  80,47 4,59 4,61 2,77  2,07 

100 x 50 x 17 x 1,50  77,37  128,91 8,93 7,33 5,40  3,30 

100 x 50 x 17 x 2,00  183,07  238,56 21,00 13,44 12,73  6,06 

100 x 50 x 17 x 2,25  259,69  307,87 29,73 17,25 18,08  7,79 

100 x 50 x 17 x 2,65  423,49  440,81 48,10 24,49 29,38  11,07 

100 x 50 x 17 x 3,00  611,00  580,16 69,02 32,04 42,42  14,50 

100 x 50 x 17 x 3,35  847,59  742,63 94,77 40,71 58,69  18,45 

125 x 50 x 17 x 2,00  132,56  203,75 25,12 15,98 12,73  5,67 

125 x 50 x 17 x 2,25  188,40  263,82 35,59 20,57 18,08  7,30 

125 x 50 x 17 x 2,65  306,12  379,17 57,53 29,31 29,39  10,41 

125 x 50 x 17 x 3,00  442,53  500,77 82,46 38,40 42,44  13,65 

125 x 50 x 17 x 3,35  612,80  643,22 112,86 48,97 58,71  17,41 

125 x 50 x 20 x 3,75  879,48  882,71 160,54 69,71 70,33  25,80 

 

35  

 

Tabela 4 ‐ Forças normais e momentos fletores críticos para perfis Z90 (continuação). 

Z90  Nℓ (kN)  Ndist (kN) Mℓ,x (kNm) Mdist,x (kNm) Mℓ,y (kNm)  Mdist,y (kNm)

150 x 60 x 20 x 2,25  156,88  252,19 35,79 23,69 18,43  8,37 

150 x 60 x 20 x 2,65  255,84  360,58 58,08 33,63 3‐‐‐‐  11,89 

150 x 60 x 20 x 3,00  369,84  474,74 83,62 43,96 43,35  15,55 

150 x 60 x 20 x 3,35  513,10  607,67 115,34 55,90 60,10  19,78 

150 x 60 x 20 x 3,75  717,09  784,07 159,50 71,60 83,82  25,34 

150 x 60 x 20 x 4,25  1036,22  1041,96 ‐‐‐‐ 94,49 120,98  33,46 

150 x 60 x 20 x 4,75  1435,98  1347,90 ‐‐‐‐ 121,17 241,05  104,16

200 x 75 x 20 x 2,00  78,67  150,86 24,95 19,54 14,22  6,14 

200 x 75 x 20 x 2,25  111,82  195,13 35,41 25,13 20,19  7,90 

200 x 75 x 25 x 2,65  187,37  324,62 59,08 42,75 30,14  14,12 

200 x 75 x 25 x 3,00  271,36  425,59 85,40 55,73 43,62  18,41 

200 x 75 x 25 x 3,35  377,17  542,99 118,35 70,65 60,58  23,35 

200 x 75 x 25 x 3,75  527,14  697,77 164,91 90,22 84,68  29,84 

200 x 75 x 25 x 4,25  764,58  924,16 237,58 118,66 122,66  39,22 

200 x 75 x 25 x 4,75  1061,62  1189,48 326,85 151,55 170,22  50,14 

200 x 75 x 30 x 6,30  2511,03  2432,27 ‐‐‐‐ 317,57 330,77  110,16

250 x 85 x 25 x 2,00  61,33  140,50 24,80 25,41 13,95  7,39 

250 x 85 x 25 x 2,25  87,17  181,31 35,25 32,61 19,84  9,48 

250 x 85 x 25 x 2,65  142,17  259,04 57,41 46,23 32,32  13,44 

250 x 85 x 25 x 3,00  205,90  340,59 83,04 60,35 46,74  17,56 

250 x 85 x 25 x 3,35  286,19  435,41 115,15 76,67 64,85  22,30 

250 x 85 x 25 x 3,75  399,99  561,28 160,62 98,07 90,55  28,51 

250 x 85 x 25 x 4,25  580,19  746,10 231,69 129,20 130,88  37,66 

250 x 85 x 25 x 4,75  805,62  964,41 319,24 165,44 181,03  48,08 

250 x 85 x 30 x 6,30  1902,26  2030,70 ‐‐‐‐ 350,26 376,74  106,51

300 x 85 x 25 x 2,00  47,88  ‐‐‐‐ 23,06 28,30 13,96  6,99 

300 x 85 x 25 x 2,25  68,05  ‐‐‐‐ 32,77 36,40 19,84  8,98 

300 x 85 x 25 x 2,65  110,78  ‐‐‐‐ 53,41 51,76 32,33  12,76 

300 x 85 x 25 x 3,00  160,45  253,23 77,25 67,78 46,76  16,69 

300 x 85 x 25 x 3,35  222,63  325,90 107,18 86,30 64,88  21,24 

300 x 85 x 25 x 3,75  311,18  419,13 149,60 110,73 90,58  27,23 

300 x 85 x 25 x 4,25  450,58  562,82 216,11 146,38 130,93  35,96 

300 x 85 x 25 x 4,75  624,57  739,86 298,38 188,02 181,12  46,14 

300 x 85 x 30 x 6,30  1469,27  1602,35 ‐‐‐‐ 397,82 376,89  102,23

 

6 Seções Z45 

Para os perfis de aço formados a frio com seção Z com enrijecedores inclinados a 45º, 

a Tabela 5 apresenta forças normais (Nℓ e Ndist) e momentos fletores críticos devido à 

flambagem  local  e  distorcional  (Mℓ,x,  Mℓ,y,  Mdist,x  e  Mdist,y)  decorrentes  das 

instabilidades local ou distorcional para as seções Z45. 

 

 

 

36  

Tabela 5 ‐ Forças normais e momentos fletores críticos para perfis Z45. 

Z45  Nℓ (kN)  Ndist (kN) Mℓ,x (kNm) Mdist,x (kNm) Mℓ,y (kNm)  Mdist,y (kNm)

100 x 50 x 17 x 1,20 39,62  52,99 4,67 2,83 2,80  1,29 

100 x 50 x 17 x 1,50 77,23  86,08 9,08 4,56 5,42  2,08 

100 x 50 x 17 x 2,00 182,05  162,76 21,29 8,52 12,53  3,89 

100 x 50 x 17 x 2,25 258,73  212,48 30,09 11,06 17,49  5,04 

100 x 50 x 17 x 2,65 419,55  308,56 48,20 15,94 ‐‐‐‐  7,26 

100 x 50 x 17 x 3,00 604,15  412,28 ‐‐‐‐ 21,11 ‐‐‐‐  9,62 

100 x 50 x 17 x 3,35 831,69  534,31 ‐‐‐‐ 27,20 ‐‐‐‐  12,40 

125 x 50 x 17 x 2,00 131,84  146,22 25,39 10,26 12,53  3,68 

125 x 50 x 17 x 2,25 187,03  191,47 35,75 13,34 17,50  4,79 

125 x 50 x 17 x 2,65 302,78  279,92 ‐‐‐‐ 19,28 ‐‐‐‐  6,92 

125 x 50 x 17 x 3,00 436,05  375,38 ‐‐‐‐ 25,60 ‐‐‐‐  9,19 

125 x 50 x 17 x 3,35 599,28  488,89 ‐‐‐‐ 33,08 ‐‐‐‐  11,87 

125 x 50 x 20 x 3,75 860,08  666,08 ‐‐‐‐ 45,55 ‐‐‐‐  16,95 

150 x 60 x 20 x 2,00 109,98  138,27 25,56 11,75 13,01  4,20 

150 x 60 x 20 x 2,25 156,31  180,14 36,18 15,22 18,34  5,44 

150 x 60 x 20 x 2,65 253,98  261,86 58,26 21,89 29,28  7,82 

150 x 60 x 20 x 3,00 366,48  348,99 ‐‐‐‐ 28,96 41,17  10,34 

150 x 60 x 20 x 3,35 506,54  452,24 ‐‐‐‐ 37,21 ‐‐‐‐  13,30 

150 x 60 x 20 x 3,75 703,95  592,32 ‐‐‐‐ 48,22 ‐‐‐‐  17,23 

150 x 60 x 20 x 4,25 1005,63  801,06 ‐‐‐‐ 64,61 ‐‐‐‐  23,08 

150 x 60 x 20 x 4,75 1363,92  1051,63 ‐‐‐‐ 83,98 ‐‐‐‐  30,04 

200 x 75 x 20 x 2,00 78,25  109,98 25,06 13,01 15,22  4,14 

200 x 75 x 20 x 2,25 111,22  143,74 35,44 16,87 21,66  5,37 

200 x 75 x 25 x 2,65 186,36  234,13 59,74 27,48 30,13  9,18 

200 x 75 x 25 x 3,00 269,41  310,89 86,01 36,15 43,14  12,07 

200 x 75 x 25 x 3,35 373,77  400,95 118,25 46,27 59,03  15,45 

200 x 75 x 25 x 3,75 521,42  521,42 ‐‐‐‐ 59,74 80,42  19,93 

200 x 75 x 25 x 4,25 752,10  700,75 ‐‐‐‐ 79,46 ‐‐‐‐  26,52 

200 x 75 x 25 x 4,75 1040,31  916,32 ‐‐‐‐ 102,86 ‐‐‐‐  34,30 

200 x 75 x 30 x 6,30 2409,11  1899,49 ‐‐‐‐ 211,90 ‐‐‐‐  73,79 

250 x 85 x 25 x 2,00 61,12  101,90 25,05 16,57 14,62  4,86 

250 x 85 x 25 x 2,25 86,86  132,69 35,56 21,40 20,78  6,28 

250 x 85 x 25 x 2,65 141,41  192,25 57,74 30,67 33,82  9,00 

250 x 85 x 25 x 3,00 204,43  255,81 83,10 40,42 48,84  11,85 

250 x 85 x 25 x 3,35 283,12  330,65 114,34 51,81 67,55  15,18 

250 x 85 x 25 x 3,75 394,98  431,53 ‐‐‐‐ 66,93 93,57  19,60 

250 x 85 x 25 x 4,25 569,75  582,27 ‐‐‐‐ 89,23 ‐‐‐‐  26,11 

250 x 85 x 25 x 4,75 786,68  763,37 ‐‐‐‐ 115,66 ‐‐‐‐  33,82 

250 x 85 x 30 x 6,30 1812,01  1624,56 ‐‐‐‐ 240,92 ‐‐‐‐  73,40 

300 x 85 x 25 x 2,00 47,62  76,87 23,23 18,86 14,62  4,64 

300 x 85 x 25 x 2,25 67,57  100,88 32,98 24,43 20,78  6,01 

300 x 85 x 25 x 2,65 110,01  148,88 53,56 35,15 33,83  8,63 

300 x 85 x 25 x 3,00 158,76  202,75 77,17 46,48 48,85  11,39 

300 x 85 x 25 x 3,35 219,49  258,75 106,27 59,74 67,56  14,62 

300 x 85 x 25 x 3,75 305,67  337,62 ‐‐‐‐ 77,47 93,60  18,92 

300 x 85 x 25 x 4,25 439,35  469,02 ‐‐‐‐ 103,71 ‐‐‐‐  25,28 

300 x 85 x 25 x 4,75 603,31  608,90 ‐‐‐‐ 134,79 ‐‐‐‐  32,81 

300 x 85 x 30 x 6,30 1386,76  1333,52 ‐‐‐‐ 281,58 ‐‐‐‐  71,35 

 

37  

Observa‐se que para todos os perfis Z45  formados por elementos mais espessos não 

foi possível determinar o momento  fletor elástico crítico devido à  instabilidade  local, 

pois  no  gráfico  que mostra  a  variação  do  coeficiente  de  flambagem  em  função  do 

comprimento do perfil não há ocorrência de um ponto de mínimo correspondente ao 

modo  local de chapa, conforme mostra a Figura 8.  Isso pode ser explicado pela baixa 

relação entre a largura da alma e a espessura do perfil (relação bw/t). 

0

10

20

30

40

50

60

0.1 1 10 100

coeficiente de in

stab

ilidad

e

a/bwL/bw

coef

icie

nte

de f

lam

bage

mlo

cal

 

Figura 8 ‐ Variação do coeficiente de flambagem em função do comprimento do perfil submetido à flexão com seção Z45 300x85x25x4,75. 

7 Seções Cartola 

A geometria das seções cartolas esta ilustrada na Figura 9.  

Figura 9 ‐ Geometria da seção cartola. 

Na Tabela 6 são apresentadas as forças normais e os momentos fletores críticos. Nota‐

se  que  devido  à  relação  entre  as  dimensões  da  alma  e  da  mesa,  nenhum  perfil 

submetido  à  compressão  e  à  flexão  em  torno  do  eixo  X  apresenta  flambagem 

distorcional. Para os perfis  fletidos  em  torno do  eixo  Y,  a  flambagem distorcional  é 

critica somente para os perfis com bw=75 mm e bf=100 mm. 

 

38  

Tabela 6 ‐ Forças normais e momentos fletores críticos para perfis cartola. 

Cr  Nℓ (kN) Mℓ,x (kNm) Mℓ,y (kNm) Mdist,y kNm 

50 x 100 x 20 x 2,00  188,11 4,23 20,05 ‐‐‐‐ 

50 x 100 x 20 x 2,25  267,83 6,02 28,50 ‐‐‐‐ 

50 x 100 x 20 x 2,65  436,77 9,82 46,40 ‐‐‐‐ 

50 x 100 x 20 x 3,00  632,52 14,22 67,09 ‐‐‐‐ 

50 x 100 x 20 x 3,35  877,48 19,77 93,00 ‐‐‐‐ 

67 x 134 x 30 x 3,00  483,21 14,46 59,63 ‐‐‐‐ 

67 x 134 x 30 x 3,75  940,28 28,14 115,94 ‐‐‐‐ 

67 x 134 x 30 x 4,75  1903,86 57,01 233,89 ‐‐‐‐ 

75 x 75 x 20 x 2,00  281,37 9,47 10,84 ‐‐‐‐ 

75 x 75 x 20 x 2,25  399,65 13,48 15,39 ‐‐‐‐ 

75 x 75 x 20 x 2,65  649,76 21,99 25,00 ‐‐‐‐ 

75 x 75 x 20 x 3,00  938,11 31,79 36,07 ‐‐‐‐ 

75 x 75 x 20 x 3,35  1299,84 44,18 49,87 ‐‐‐‐ 

75 x 100 x 20 x 2,00  212,20 6,58 14,53 8,27 

75 x 100 x 20 x 2,25  301,54 9,35 20,64 10,58 

75 x 100 x 20 x 2,65  491,67 15,24 33,51 14,94 

75 x 100 x 20 x 3,00  711,93 22,12 48,33 19,45 

75 x 100 x 20 x 3,35  989,33 30,74 66,77 24,62 

80 x 160 x 30 x 3,00  392,66 14,16 71,23 ‐‐‐‐ 

80 x 160 x 30 x 3,75  765,49 27,61 138,47 ‐‐‐‐ 

80 x 160 x 30 x 4,75  1549,96 56,02 279,32 ‐‐‐‐ 

80 x 160 x 30 x 6,30  3596,14 129,86 640,72 ‐‐‐‐ 

100 x 50 x 20 x 2,00  202,97 22,83 5,31 ‐‐‐‐ 

100 x 50 x 20 x 2,25  289,00 32,44 7,52 ‐‐‐‐ 

100 x 50 x 20 x 2,65  468,26 52,78 12,18 ‐‐‐‐ 

100 x 50 x 20 x 3,00  673,71 76,26 17,60 ‐‐‐‐ 

100 x 50 x 20 x 3,35  930,21 105,75 24,28 ‐‐‐‐ 

As  forças normais e os momentos  fletores críticos para os perfis de aço zincados em 

seção  cartola  estão  apresentados  na  Tabela  7.  Verifica‐se  que  para  os  perfis mais 

espessos com bf=75 mm o modo distorcional é critico quando o elemento é fletido em 

torno do eixo Y.  

Tabela 7 ‐ Forças normais e momentos fletores críticos para perfis cartola zincados. 

Cr  Nℓ kN Mℓ,x kNm Mdist,x kNm Mℓ kNm Mdist,y kNm 

20 x 30 x 12 x 0,95  71,07 0,60 4,57 0,79 ‐‐‐‐ 

20 x 30 x 12 x 1,25  165,18 1,39 7,91 1,84 ‐‐‐‐ 

20 x 30 x 12 x 1,55  317,77 2,68 12,09 3,55 ‐‐‐‐ 

20 x 30 x 12 x 2,30  1029,72 8,77 25,94 11,55 ‐‐‐‐ 

20 x 30 x 12 x 2,70  1634,78 14,15 35,20 18,45 ‐‐‐‐ 

21 x 30 x 13 x 0,32  2,03 0,02 0,47 0,02 ‐‐‐‐ 

21 x 30 x 13 x 0,38  3,61 0,03 0,69 0,04 ‐‐‐‐ 

21 x 30 x 13 x 0,43  5,43 0,05 0,90 0,06 ‐‐‐‐ 

21 x 30 x 12 x 0,50  9,40 0,08 1,22 0,11 ‐‐‐‐ 

21 x 30 x 13 x 0,65  20,50 0,19 2,15 0,22 ‐‐‐‐ 

21 x 75 x 10 x 0,43  1,55 0,02 ‐‐‐‐ 0,21 0,35 

21 x 75 x 10 x 0,50  2,53 0,03 ‐‐‐‐ 0,34 0,48 

21 x 75 x 10 x 0,65  5,87 0,07 ‐‐‐‐ 0,79 0,86 

21 x 75 x 10 x 0,80  11,29 0,13 ‐‐‐‐ 1,51 1,36 

21 x 75 x 10 x 0,95  19,33 0,22 ‐‐‐‐ 2,58 1,99 

39  

8 Conclusão  

Para  a  determinação  dos  momentos  fletores  e  forças  normais  resistentes, 

considerando‐se  o  fenômeno  da  instabilidade  distorcional,  conforme  ABNT  NBR 

14762:2010, há necessidade de se conhecer as variáveis auxiliares momento  fletor e 

força  normal  críticas  de  flambagem  distorcional.  A  Norma  não  fornece  qualquer 

procedimento para a obtenção desses valores, havendo, pois, há necessidade do uso 

de programas computacionais específicos para sua determinação. 

Neste  trabalho  foram  realizadas  análises  lineares  de  estabilidade,  com  auxílio  do 

programa INSTAB, dos perfis de aço formados a frio de séries comerciais, conforme a 

ABNT NBR 6355:2003. Foram apresentados os valores dos momentos fletores e forças 

normais críticas decorrentes das flambagens distorcional e local.  

Os  resultados  apresentados  permitirão  ao  engenheiro  obter  de maneira  direta,  ou 

seja,  sem a necessidade de uso de programas  computacionais específicos,  as  forças 

normais  e  os  momentos  fletores  resistentes  considerando‐se  as  instabilidades, 

conforme formulação da ABNT NBR 14762:2010. 

9 Agradecimentos 

Agradece‐se à FAPESP – Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo, à CAPES  ‐ Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior e ao CNPq – Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico  

10 Referências bibliográficas 

ÁDÁNY,  S.  e  SCHAFER,  B.W.  Buckling mode  decomposition  of  single‐branched  open  cross‐section members via finite strip method: application and examples. Thin‐walled Structures. v. 44, p. 585‐600, 2006. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 14762: Dimensionamento de estruturas de aço constituídas de perfis formados a frio. Rio de Janeiro. 2010. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6355: Perfis estruturais de aço formados a frio ‐ Padronização. Rio de Janeiro. 2003. BATISTA, E.M. Effective  section mode: A general direct method  for  the design of  steel  cold‐formed members under local‐global buckling interaction. Thin‐walled Structures. v. 48, p. 345‐356, 2010. BEBIANO, R., SILVESTRE, N. e CAMOTIM, D. Gbtul 1.0. Civil Engineering. Universidade Técnica de Lisboa, 2008. PIERIN;  I.  A  instabilidade  de  perfis  formados  a  frio  em  situação  de  incêndio.  Tese  de Doutorado. Escola Politécnica. Universidade de São Paulo. 2011. PROLA, L.C., Estabilidade  local e global de elementos estruturais de aço enformados a  frio, Tese de Doutoramento. Universidade Técnica de Lisboa, Portugal, 2001. 

40  

SCHAFER,  B.W.,  PEKOZ,  T.,  Computational  modeling  of  cold‐formed  steel:  characterizing geometric imperfections and residual stress. Journal of Constructional Steel Research. Vol. 47, p. 193‐210, 1998. SILVA, E.L., SILVA, V.P. Dimensionamento de perfis  formados a  frio conforme NBR 14762 e NBR 6355, Instituto Brasileiro de Siderurgia, Centro Brasileiro de Construção em Aço, 2008. VON KÁRMAN, T., SECHLER. E.E. e DONNELL, L.H. The strength of thin plates  in compression. Transactions of the American Society of Mechanical Enginneers (ASME), v. 54, p. 53‐57, 1932. WINTER,  G.  Thin‐walled  structures‐theoretical  solutions  and  test  results.  Preliminary Publications  of  the  Eighth  Congress,  International  Association  for  Bridge  and  Structural Engineering (IABSE), p. 101‐112, 1968. 

  

 

   

*autor correspondente 41

 Uma nova forma de cálculo aproximado de tensões de cisalhamento causadas por força 

cortante em barras de aço de seção circular maciça Pedro Wellington G. N. Teixeira1* e Renan Vieira Dias2 

 1 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, Av. Prof. Luciano Gualberto – 

Travessa 3 no 380, email: pedro‐wellington@usp.br  2 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, Av. Prof. Luciano Gualberto – 

Travessa 3 no 380, email: rendias_2002@yahoo.com.br   A new approach for simple calculation of shear stresses in steel beams of 

circular cross section 

 

Resumo Apresenta‐se uma forma de se calcularem valores aproximados das tensões de cisalhamento associadas  à  força  cortante  na  seção  transversal  de  vigas  de  seção  circular  maciça, considerando que o material segue a Lei de Hooke. O procedimento proposto é acoplado a um modelo mecânico simples e conduz a uma expressão que pode ser utilizada para determinar o valor e a direção da  tensão, de  forma aproximada, em qualquer ponto da seção. Os valores determinados com essa fórmula aproximada são bastante próximos dos obtidos com a Teoria da Elasticidade para o caso de elementos estruturais de aço. Considerando‐se que barras de seção circular maciça de aço não são tratadas na ABNT NBR 8800:2008, acredita‐se que este trabalho  virá  contribuir  para  análise  desse  caso.  Vigas  de  seção  circular maciça  são menos comuns  na  prática,  mas  podem  ser  aplicadas,  por  exemplo,  como  pinos  de  aço  para transmissão de forças cortantes. 

Palavras‐chave: Mecânica  dos  sólidos;  cisalhamento;  vigas  de  seção  circular;  estruturas  de aço.  Abstract   A  new  approach  to  determine  shear  stresses  in  circular  cross  section  beams  is  presented, considering  the material obeys Hooke´s Law. The proposed method  is coupled with a simple mechanical model  and permits  the determination of  the  stresses  values  and  trajectories  as well,  in an approximated way, at all points of  the cross section. The values determined with this method are very close of those obtained with Theory of Elasticity for steel structures. It´s to  be  considered  that  circular  cross  section  steel  beams  are  not  treated  in  ABNT  NBR 8800:2008.  So,  it believes  that  this work will present  a  contribution  for  analyzing  this  case. Circular  cross  section  steel  beams  are  not  usual  in  practice,  but  it meets  application,  for example, as steel dowels to shear force transfer.  Keywords: Solid Mechanics; shear; circular cross sections beams; steel structures.  

 

Volume 2. Número 1 (abril/2013). p.41‐53        ISSN 2238‐9377 

42

1 Introdução 

Usualmente,  o  cálculo  de  tensões  de  cisalhamento  causadas  pela  força  cortante  na 

seção transversal de vigas é feito com uso da teoria aproximada de Jourawski. A teoria 

exata desenvolvida por Saint‐Venant “é útil somente em muitos poucos casos práticos” 

(Timoshenko & Gere, 1983). 

Quando  se  tratam de  vigas de  seção  circular, no entanto,  a  fórmula de  Jourawski é 

prática apenas para fornecer valores aproximados da tensão máxima, a qual se supõe 

ocorrer na linha neutra. A aplicação a outros pontos da seção não é adequada. 

Neste  trabalho  apresentam‐se  algumas  considerações  importantes  que,  aplicadas 

juntamente  com  as hipóteses de  Jourawski, permitem uma boa precisão no  cálculo 

dessas  tensões,  se  comparadas  com  os  resultados  de  uma  teoria  exata,  além  de 

acoplamento a um modelo físico simples. 

Portanto, este trabalho apresenta uma nova maneira de calcular de forma aproximada 

as tensões de cisalhamento em todos os pontos da seção transversal de uma viga de 

seção  circular. Além  disso,  a  partir  de  considerações  geométricas  simples,  revela‐se 

uma conexão entre este procedimento simplificado e a teoria exata. 

2 Tensões de cisalhamento causadas por força cortante em vigas de 

seção circular 

2.1  Cálculo pela Teoria da Elasticidade 

As hipóteses da Teoria da Elasticidade podem ser encontradas em referências clássicas 

sobre o assunto, como por exemplo, Timoshenko & Goodier, 1970. 

Analisando a seção transversal de uma viga de seção circular e usando as equações da 

Teoria da Elasticidade é possível determinar a tensão de cisalhamento resultante  (ζR) 

devida à força cortante, em um ponto com coordenadas (X,Y) da ST, a partir da tensão 

vertical (ζV) e da tensão horizontal (ζH), mostradas abaixo. 

43

 

Figura 1 – Definições para aplicação da Teoria da Elasticidade no cálculo das tensões de cisalhamento devidas à força cortante em viga de ST circular – ver Equações 1, 2 e 3. 

 

        (1) 

 

    (2) 

 

       (3) 

 Sendo 

ν – Coeficiente de Poisson; 

V – Força cortante; 

I – Momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo X 

 

2.2 A Fórmula de Jourawski 

A  fórmula  de  Jourawski  foi  desenvolvida  utilizando‐se  as  hipóteses  clássicas  da 

Resistência dos Materiais e  considerando‐se ainda que a  tensão de  cisalhamento na 

seção  transversal  atue  paralelamente  à  força  cortante  e  tenha  valor  constante  ao 

longo da largura da seção. 

Dessa  forma,  aplicando‐se  estas  hipóteses  a  uma  determinada  fibra  da  seção,  com 

largura “b”, chega‐se à conhecida expressão: 

 

44

 Onde: 

ζV – Tensão de cisalhamento vertical. 

V – Força cortante, suposta atuando segundo o eixo “Y”, vertical; 

S – Momento estático da área acima ou abaixo da fibra considerada em relação 

ao eixo “X” que passa pelo centro de gravidade da seção transversal; 

I – Momento de inércia da seção circular em relação a “X”. 

b – Largura da seção na fibra considerada. 

 A demonstração da equação  acima  se encontra em  textos  clássicos  sobre Mecânica 

dos Sólidos (Almeida Neto, 2011; Timoshenko & Gere, 1983). 

O  desenvolvimento  da  equação  de  Jourawski  foi  feito  a partir  do  estudo  de  seções 

retangulares,  nas  quais  “b”  é  constante,  o  que  permite  a  utilização  das  hipóteses 

acima. Nas seções em que ocorra variação de “b”, quanto maior for essa variação ao 

longo da altura, menor será a validade das hipóteses. 

A aplicação da fórmula de Jourawski a uma seção circular apresenta como problema o 

fato  de  que  não  se  pode  assumir  que  as  tensões  de  cisalhamento  sejam  sempre 

paralelas  à  força  cortante.  Ainda  assim,  podem‐se  analisar  as  tensões máximas,  na 

linha neutra, com as seguintes hipóteses: 

Faz‐se  um  corte  longitudinal  horizontal  na  metade  da  altura  da  ST  e 

consideram‐se  as  tensões  de  cisalhamento  horizontais  longitudinais  (ζℓ) 

uniformes no plano de corte; 

Admite‐se que as tensões de cisalhamento verticais (ζv) sejam paralelas a “Y”; 

A  partir  dessas  hipóteses,  com  base  na  Figura  2,  pode‐se  aplicar  a  fórmula  de 

Jourawski (na linha central da seção circular e apenas nela), o que conduz a: 

 

        (4) 

45

Onde, 

D é o diâmetro da seção; 

S é o momento estático de metade da área em relação a X; 

 Figura 2 – Figura auxiliar para aplicação da fórmula de Jourawski no cálculo da tensão 

de cisalhamento máxima em uma ST circular.  2.3 Uma conexão entre as duas teorias 

Propõe‐se fazer o seguinte exercício: verificar como se relacionam as expressões (2) e 

(4), haja vista que ambas se referem à tensão vertical no centro de uma seção circular. 

Portanto, a partir da equação abaixo: 

 

 

Encontra‐se o seguinte resultado:  

 

Verifica‐se que o coeficiente de Poisson deve ser igual a 0,5 para que as expressões (2) 

e (4) conduzam ao mesmo resultado. Ou seja, quando ν=0,5, a fórmula de Jourawski e 

a  Teoria  da  Elasticidade  coincidem  para  um  ponto  situado  no  centro  da  seção 

transversal circular. 

Essa questão deixa em aberto a possibilidade de aplicar Jourawski de forma a obter o 

mesmo valor de tensão  fornecida pela Teoria da Elasticidade em um ponto qualquer 

46

da seção. Assim como o questionamento sobre a equivalência entre as hipóteses, e sua 

relação com um valor ideal do coeficiente de Poisson. 

2.4 Utilizando um novo método 

Inicialmente será utilizada a estrutura da fórmula de Jourawski para realizar o cálculo. 

Assim,  será necessário  calcular o momento estático  (S) e  a  largura da  seção  (b) em 

qualquer altura da ST circular. 

Essas tarefas terão maior utilidade com uso do seguinte procedimento: 

Divide‐se  a  seção  circular  em  elipses,  sendo  todas  com  eixo maior  vertical  e 

com o eixo menor igual a D/n, onde D é o diâmetro da seção e n é o número de 

divisões; 

Admita‐se ainda a seguinte hipótese: 

Supõe‐se que cada elipse receberá uma parcela de V proporcional à sua inércia 

em relação ao eixo X; 

Assim, conforme a Figura 3, o procedimento descrito acoplado com a hipótese acima, 

conduz à seguinte expressão: 

 

      (5) 

 Onde: 

V ‐ Força cortante; 

Vn – Força cortante resistida pela área hachurada; 

I – Momento de inércia da seção circular em relação a X; 

In – Momento de inércia da área hachurada em relação a X; 

47

 Figura 3 – Divisão da ST circular em elipses. 

 

Admita‐se que cada uma dessas elipses se comportará como um corpo individual para 

a equação de Jourawski. 

Considere‐se a análise de uma parte da ST, conforme a Figura 4. 

 Figura 4 – Detalhe de parte da ST circular dividida em elipses. 

 

O desenvolvimento do cálculo do momento estático da área hachurada em relação ao 

eixo “X” conduz à expressão abaixo, sendo importante observar que a mesma é valida 

apenas  quando  “b”  for muito  pequeno.  Contudo,  adiante  no  cálculo  da  tensão  de 

48

cisalhamento,  será  imposto  que,  no  limite,  o  valor  de  “b”  tende  para  zero,  e  não 

haverá preocupação com essa questão. 

 

    (6) 

 Conhecido o valor de “S” em qualquer ponto da ST, deve‐se agora calcular a  largura 

“b”,  também para qualquer ponto da ST. Para  isso, será considerado que as  tensões 

estejam distribuídas uniformemente em uma espessura “d” que é ortogonal à elipse 

que passa pelo ponto da ST com coordenadas (X, Y). 

Por último, considera‐se que “b” tenha valor insignificante em relação à “c” quando o 

número de divisões “n” é muito grande, o que permite relacionar “d” e “b” por meio 

da expressão abaixo. 

    (7) 

 Agora, têm‐se todos os elementos para aplicar a fórmula de Jourawski em um ponto 

qualquer da seção circular com o procedimento proposto: 

A expressão do momento estático “S” da elipse considerada em relação ao eixo 

X – Equação (6); 

A espessura “d” da elipse considerada, na coordenada (x,y) – Equação (7); 

A relação Vn/In = V/I; 

Basta impor que: 

 

Quando  b 0,  podem  ser  empregadas  as  equações  (6)  e  (7)  na  expressão  acima, 

chegando‐se finalmente a: 

 

49

    (8) 

  

Que é a expressão procurada. Com a Equação (8), definidos “X” e “Y”, tem‐se a tensão 

de cisalhamento naquele ponto causada pela força “V”. 

Como  resultado  das  hipóteses  apresentadas,  a  direção  da  tensão  de  cisalhamento 

calculada com Equação (8) segue a trajetória de uma elipse cujo centro coincide com o 

centro da ST circular e que passa pelo ponto com coordenadas (X, Y). 

O eixo principal maior da elipse que define a  trajetória das  tensões de cisalhamento 

calculadas com a Equação (8) pertence ao eixo Y, é igual ao diâmetro da seção circular 

(D) e está disposto paralelo à direção de atuação da força cortante (V). 

Retornando às expressões da Teoria da Elasticidade (1), (2) e (3), pode‐se verificar que, 

impondo‐se ν=0,5, obtém‐se o mesmo resultado da Equação (8). 

Para  comprovar  o  que  se  diz  é  necessário  decompor  a  tensão  encontrada  com  a 

Equação (8) nas direções horizontal e vertical. 

Fazendo‐se esta decomposição, para um ponto qualquer da ST com coordenadas  (X, 

Y), encontram‐se as expressões: 

 

 

Que  coincidem  com  as  expressões  da  Teoria  da  Elasticidade  (2)  e  (3),  quando  o 

coeficiente de Poisson é adotado com valor de 0,5. 

3 Discussão 

A  partir  dos  resultados  expostos,  pode‐se  apresentar  a  trajetória  das  tensões  de 

cisalhamento na Figura 7. Observa‐se que consiste em uma analogia bastante simples 

de definição dessas trajetórias segundo elipses. 

50

Na Figura 8, apresentam‐se as curvas de iguais tensões, dadas por: 

    (9) 

 

                 Figura 7 – Trajetória das tensões de cisalhamento obtidas com a Equação 8. 

 Figura 8 – Curvas de igual tensão de cisalhamento obtidas com a Equação 9. 

51

4 Aplicação numérica 

Como exemplo numérico, serão determinadas as tensões na seção transversal de um 

tarugo de aço, com diâmetro Φ=100 mm, utilizado para movimentar uma carga com 

valor F=500kN. 

  

Figura 9 – Dados para o exemplo numérico: F= 500 kN; a=400 mm; Φ= 100 mm.  

Na Figura 10 encontram‐se os resultados das tensões encontrados na seção transversal 

para V= 250kN. As tensões na periferia da seção podem ser calculadas pela expressão 

abaixo (Equação 8a), que é obtida a partir da Equação 8 fazendo‐se X² + Y² = R², o que 

torna o cálculo bem mais simples: 

        (8a) 

  

  

Figura 10 – Tensões de cisalhamento na seção transversal do tarugo com Φ= 100 mm para V= 250 kN, calculadas com a Eq.8 (valores em kN/cm²; somente ¼ da seção está 

representada). 

52

As direções das tensões são: vertical, no centro, e tangentes ao círculo, na periferia da 

seção. Na Tabela 2, apresenta‐se comparação com os valores obtidos com a Teoria da 

Elasticidade para o mesmo exemplo. 

Tabela 1 – Comparação dos valores calculados com a Equação 8 e com a Teoria da Elasticidade (ν = 0,3) para exemplo mostrado na Figura 9 (valores em kN/cm²). 

 

Y X %ERRO

0,000 0,000 ‐3,70

1,250 0,000 ‐3,70

2,500 0,000 ‐3,70

3,750 0,000 ‐3,70

4,375 0,000 ‐3,70

0,000 5,000 8,33

1,250 4,841 8,33

2,500 4,330 8,33

3,750 3,307 8,33

4,375 2,421 8,33

4,24

Equação 8

2,05

2,81

3,68

4,11

4,24

1,030,99

1,86

3,18

3,98

T. Elasticidade

4,41

4,13

3,31

1,93

3,92

3,79

3,39

2,59

1,90   5 Conclusão 

A partir de uma hipótese sobre a distribuição das  tensões de cisalhamento na seção 

transversal  e  de  considerações  geométricas,  determinou‐se  uma  expressão  teórica 

para  o  cálculo  da  tensão  de  cisalhamento  em  um  ponto  da  seção  transversal,  por 

aplicação da fórmula de Jourawski. 

A  expressão  proposta  determina  diretamente  o  valor  da  tensão  resultante. 

Comparando‐se com a expressão da Teoria da Elasticidade, verifica‐se que a hipótese 

adotada  neste  trabalho  equivale  numericamente  ao  caso  de  se  ter  coeficiente  de 

Poisson ν=0,5. 

Não se buscou uma explicação  física para essa coincidência matemática que permite 

uma conexão de resultados entre as duas teorias. 

6 Referências bibliográficas 

ALMEIDA NETO,  E.  S.  (2011)  PEF  2306  –  Tópicos  de Mecânica  dos  Sólidos.    Escola Politécnica de Universidade de São Paulo – Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica.  

53

ASSOCIAÇÃO  BRASILEIRA  DE  NORMAS  TÉCNICAS.  (2008).  NBR  8800  –  Projeto  de estruturas  de  aço  e  de  estruturas mistas  de  aço  e  concreto  de  edifícios.    Rio  de Janeiro.  TIMOSHENKO,  S.  P.;  GERE,  J.  E.  (1983).   Mecânica  dos  sólidos:  volume  1.    Rio  de Janeiro: LTC.  TIMOSHENKO,  S.  P.; GOODIER,  J. N.  (1970).    Teoria  da  Elasticidade.    3  ed.    Rio  de Janeiro, Guanabara Dois.  

54

 

Sobre o comportamento de pilares tubulares preenchidos com concreto em temperatura elevada 

Roberval J. Pimenta1*, Gustavo M. Chodraui1, Emerson A. Bolandim1 e Alexander G. Martins1  

1 Codeme Engenharia S.A., BR 381‐ Km 421, Betim/MG, roberval@codeparsa.com.br. 

 

Hollow section composite steel‐concrete columns at elevated temperature 

 

Resumo Dentre os elementos mistos previstos na norma brasileira ABNT NBR 8800:2008, destacam‐se os  pilares mistos  tubulares.  Uma  das  etapas  do  seu  dimensionamento  é  a  verificação  em temperatura elevada, onde se busca simular seu comportamento em situação de  incêndio. A ABNT NBR  14323:2013  permite  o  cálculo  via métodos  analíticos  simplificados  e  avançados, utilizando‐se os conceitos da engenharia estrutural e  térmica. Para verificar a adequação da análise térmica e do procedimento de cálculo analítico simplificado, os resultados de diversos ensaios  em pilares  tubulares mistos  em  situação de  incêndio,  obtidos na  literatura  técnica, serão comparados com aqueles fornecidos pelo programa PilarMisto versão 3.04.11.  Palavras‐chave: pilar misto, tubo, incêndio, análise térmica, procedimento analítico.  Abstract Hollow section composite columns are highlighted among the composite elements included at ABNT  NBR  8800:2008.  One  of  the  design  steps  is  checking  their  behavior  at  elevated temperature.  ABNT  NBR  14323:2013  allows  design  by  simple  and  advanced  analytical methods,  based  on  thermal  and  structural  engineering  concepts.  In  order  to  verify  the accuracy of both  thermal analysis and analytical simplified procedure, several  test  results of hollow section composite columns at elevated temperature are compared with those provided by Brazilian software PilarMisto version 3.04.11.  Key‐words: hollow section composite column, tube, fire, thermal analysis, analytical procedure. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Volume 2. Número 1 (abril/2013). p.54‐74        ISSN 2238‐9377 

55

 

1  Introdução  

 

O uso de estruturas mistas vem ganhando corpo no mercado da construção civil no 

Brasil  desde  a  publicação  da  norma  brasileira  ABNT  NBR  8800:2008.  Dentre  os 

elementos mistos previstos nessa norma, destacam‐se os pilares mistos tubulares. 

Os  pilares mistos  tubulares  possuem  uma  série  de  vantagens  em  relação  aos  seus 

equivalentes em  aço,  concreto  armado ou mesmo outros  tipos de pilares mistos. A 

disposição do aço e do concreto na seção transversal otimiza a resistência e a rigidez 

do  pilar.  Por  estar  situado  no  perímetro  externo  da  seção,  portanto  na  posição  de 

maior distância em relação ao centro geométrico, o perfil de aço atua de forma mais 

eficaz na resistência a tensões de tração oriundas das imperfeições geométricas iniciais 

(curvaturas  e  excentricidades)  e  do  momento  fletor  solicitante,  e  contribui 

significativamente para aumentar a rigidez do pilar. O concreto, situado no núcleo do 

pilar, contribui bastante para resistir a tensões de compressão em aplicações típicas e 

aumenta  a  capacidade  de  resistência  à  flambagem  local  do  perfil  de  aço, 

particularmente  no  de  seção  retangular. Adicionalmente, observa‐se  que  o  tubo  de 

aço  confina  o  núcleo  de  concreto,  o  que  aumenta  a  resistência  à  compressão  dos 

pilares com seção circular e a ductilidade daqueles com seção retangular. Em contraste 

com os pilares de concreto e os pilares mistos revestidos, onde o lascamento explosivo 

(“explosive  spalling”)  do  concreto  em  situação  de  incêndio  é  sempre  uma 

possibilidade, nos pilares mistos tubulares esse fenômeno nunca ocorre por causa da 

presença protetora do tubo de aço. O uso de pilares mistos tubulares conduz ainda a 

outras vantagens econômicas. O  tubo serve de  fôrma para o concreto,  reduzindo os 

custos  de  material  e  mão  de  obra.  Em  edifícios  de  altura  moderada  a  grande,  a 

velocidade de construção é substancialmente maior que a de estruturas de concreto 

armado,  considerando  que  os  elementos  de  aço  são  montados  antecipadamente, 

sendo seguidos pelos trabalhos em concreto, com frente de serviço que engloba vários 

pavimentos. 

Dentre as diversas etapas no dimensionamento de um pilar tubular misto, destaca‐se a 

verificação em  temperatura elevada, onde  se busca  simular  seu comportamento em 

situação de incêndio. O método de análise mais usual é o denominado procedimento 

56

prescritivo, que tem por base um incêndio nominal – incêndio‐padrão, com uma curva 

de elevação da temperatura dos gases e períodos de resistência ao incêndio definidos 

nas  normas  técnicas  (Tempo  Requerido  de  Resistência  ao  Fogo,  TRRF).  A  Norma 

Brasileira  ABNT  NBR  14432:2001  estabelece  as  condições,  relativas  aos  elementos 

estruturais,  que  devem  ser  atendidas  pelas  edificações  para  que,  na  ocorrência  de 

incêndio, seja evitado o colapso da estrutura. Os critérios estabelecidos nessa norma 

baseiam‐se na  elevação  de  temperatura  dos  elementos  estruturais  considerando  as 

condições  de  exposição  ao  incêndio‐padrão  –  ver  ABNT  NBR  14432:2001  para 

definições e mais informações.  

Na ocorrência de um incêndio, o aumento de temperatura, em consequência da ação 

térmica,  provoca  em  todos  os materiais  uma  redução  de  resistência  e  rigidez,  bem 

como o aparecimento de  solicitações adicionais àquelas normalmente presentes em 

temperatura ambiente. As propriedades mecânicas tanto do aço quanto do concreto 

reduzem‐se  progressivamente  com  a  elevação  de  temperatura.  A 

ABNT NBR 14323:2013  indica  tabelas  de  fatores  de  redução  para  cálculo  das 

propriedades mecânicas dos aços e do concreto em  função da temperatura. De uma 

maneira geral, a verificação em situação de incêndio baseia‐se em métodos tabulares, 

modelos analíticos simplificados e avançados de cálculo e ensaios experimentais. 

O  método  tabular  para  dimensionamento  de  pilares  mistos  tubulares  da  ABNT 

NBR 14323:2013 fornece requisitos mínimos que devem ser atendidos, em função do 

tempo requerido de resistência ao fogo, TRRF, fornecido pela ABNT NBR 14432:2001: 

dimensões da seção transversal e do cobrimento de concreto da armadura e taxas de 

armadura em relação à área de concreto. O método tabular fornece resultados do lado 

da  segurança  quando  comparados  com  os  resultados  de  ensaios  ou  de  modelos 

avançados de  cálculo. É um método  simples e de  fácil aplicação, mas que  conduz a 

resultados excessivamente conservadores em grande parte dos casos. 

Para  resultados melhores  e mais  econômicos,  a  ABNT  NBR  14323:2001  permite  o 

cálculo  via  métodos  analíticos  simplificados  e  avançados  de  dimensionamento, 

utilizando‐se os conceitos da engenharia estrutural e térmica. Observa‐se, porém, que 

o método analítico para pilares mistos tubulares não  fornece  indicações para cálculo 

da  temperatura dos elementos componentes da seção em  função do TRRF. Deve‐se, 

57

portanto,  recorrer  aos  modelos  de  análise  térmica  dos  métodos  avançados  de 

dimensionamento, permitidos pela norma brasileira. 

O  programa  PilarMisto  versão  3.04.11,  cujas  bases  de  desenvolvimento  podem  ser 

encontradas  em  Caldas  et  al.  (2005,  2011)  e  Caldas  (2008),  é  capaz  de  calcular, 

fundamentado  nos  princípios  da  análise  térmica,  a  distribuição  de  temperatura  em 

pilares mistos tubulares preenchidos de concreto, com seção retangular e circular. O 

programa,  inicialmente, calcula a  força axial de compressão  resistente de cálculo do 

pilar misto  em  temperatura  ambiente,  conforme  as  recomendações  da  ABNT  NBR 

8800:2008,  em  função  da  seguinte  entrada  de  dados:  tipo  e  dimensões  da  seção 

transversal,  disposição  e  quantidade  das  barras  da  armadura,  comprimentos  de 

flambagem  nas  direções  x  e  y,  resistência  ao  escoamento  do  aço  do  perfil  e  da 

armadura e resistência à compressão característica do concreto. 

A determinação da distribuição de temperatura na seção transversal do pilar é feita a 

partir  da  curva  padrão  de  elevação  da  temperatura  dos  gases  em  incêndio, 

apresentada pela ABNT NBR 14323:2013, em função do TRRF da edificação ou de parte 

dela,  conforme  as  exigências  da  ABNT  NBR  14432:2001.  Para maiores  detalhes  da 

formulação envolvida na análise térmica, ver Caldas (2008). 

Uma  vez  determinada  a  distribuição  de  temperatura,  calculam‐se  as  propriedades 

necessárias  da  seção  transversal  e  a  força  resistente  de  cálculo  em  situação  de 

incêndio,  Nfi,Rd,  utilizando  as  formulações  do  método  analítico  simplificado 

apresentado na ABNT NBR 14323:2013.  

Para verificar a adequação da análise térmica e do procedimento de cálculo analítico 

simplificado,  os  resultados  de  diversos  ensaios  em  pilares  tubulares  mistos  em 

situação  de  incêndio,  obtidos  na  literatura  técnica,  serão  comparados  com  aqueles 

fornecidos pelo programa. No caso de pilares carregados excentricamente, os valores 

da  força  excêntrica  de  compressão  resistente  de  cálculo  em  situação  de  incêndio 

foram obtidos com auxílio do método apresentado no anexo H da EN 1994‐1‐2:2005, 

já que o programa PilarMisto versão 3.04.11 não prevê esse tipo de solicitação. 

 

2  Os ensaios 

 

58

Após uma  intensa pesquisa na  literatura  técnica,  foram selecionados 149 ensaios de 

pilares  tubulares mistos  em  situação  de  incêndio.  Vários  ensaios  não  puderam  ser 

considerados porque utilizaram concreto de alta resistência e a ABNT NBR 8800:2008 

permite somente a utilização de concretos com resistência característica à compressão 

menor ou igual a 50 MPa. Outros também foram descartados por não apresentarem o 

mínimo  de  informação  necessária  para  a  análise.  Como  se  verá  adiante,  os  pilares 

ensaiados  apresentam  uma  boa  variação  de  parâmetros,  tais  como:  quantidade  de 

armadura,  tipo  de  agregado  graúdo  do  concreto  (silicoso  ou  calcário),  seção 

geométrica do  tubo  (circular,  retangular ou quadrada),  resistência  à  compressão do 

concreto (fcm), resistência ao escoamento do aço do tubo (fy) e da armadura (fys), ponto 

de  aplicação  da  força  (com  ou  sem  excentricidade),  comprimento  e  condição  de 

contorno da extremidade do pilar (engastado ou rotulado). 

Para facilitar a apresentação dos resultados comparativos, os ensaios foram separados 

em quatro grupos: pilares sem armadura e sem excentricidade, pilares sem armadura 

e  com  excentricidade,  pilares  com  armadura  e  sem  excentricidade  e  pilares  com 

armadura e com excentricidade.  

Tem‐se, a seguir, um breve resumo dos ensaios realizados por cada um dos trabalhos 

encontrados na literatura técnica. 

Grimault e Tournay (1975) e Stanke (1975) reportaram 69 ensaios de pilares tubulares 

de seção circular e quadrada preenchidos de concreto com e sem armadura. Os pilares 

tinham 3500, 3600 e 3740 mm de  comprimento e  foram  carregados em  seu  centro 

geométrico.  As  condições  de  contorno  eram  uma  extremidade  engastada  e  outra 

rotulada. A elevação da  temperatura do  forno seguiu a curva padrão de  incêndio da 

ISO‐834:1975. Não foi informado o tipo do agregado graúdo do concreto nem o modo 

de  falha do pilar. Somente os pilares sem proteção  foram considerados no presente 

trabalho. 

Grimault (1983) reportou 28 ensaios de pilares tubulares de seção circular e quadrada 

preenchidos  de  concreto  com  e  sem  armadura.  A  carga  foi  aplicada  com  ou  sem 

excentricidade em relação ao centro geométrico do pilar e a elevação da temperatura 

do  forno  seguiu  a  curva  padrão  de  incêndio  da  ISO‐834:1975.  A  carga  foi mantida 

constante durante  todo o ensaio e a condição de contorno para as extremidades do 

59

pilar era  rotulada. Não  foi  informado o  tipo do agregado graúdo do concreto nem o 

modo de falha do pilar. 

Kordina e Klingsch (1983) realizaram 26 ensaios de pilares tubulares de seção circular e 

quadrada preenchidos de concreto com e sem armadura. Os pilares tinham 3700 mm 

de comprimento, preenchidos de concreto com agregado graúdo silicoso. A carga foi 

aplicada  com  ou  sem  excentricidade  em  relação  ao  centro  geométrico  do  pilar  e  a 

elevação da temperatura do forno seguiu a curva padrão de incêndio da ISO‐834:1975. 

A carga  foi mantida constante durante todo o ensaio e as condições de contorno do 

pilar eram uma extremidade engastada e outra  rotulada. Observou‐se que  todos os 

pilares falharam por instabilidade global. 

Klingsch  e  Wittbecker  (1988)  realizaram  6  ensaios  de  pilares  tubulares  de  seção 

circular e quadrada preenchidos de concreto com e sem armadura. Os pilares tinham 

2960 mm de comprimento e a carga foi aplicada com uma pequena excentricidade de 

5,0 mm  para  simular  possíveis  imperfeições.  A  elevação  da  temperatura  do  forno 

seguiu  a  curva padrão de  incêndio da  ISO‐834:1975 e  as  condições de  contorno do 

pilar eram uma extremidade engastada e outra rotulada. Devido à pequena dimensão 

da seção transversal de alguns pilares, somente um dos ensaios foi considerado neste 

trabalho. 

Lie  e  Chabot  (1992)  realizaram  44  ensaios  de  pilares  tubulares  de  seção  circular  e 

quadrada preenchidos  com  concreto  sem armadura. Os pilares  tinham 3810 mm de 

comprimento,  preenchidos  de  concreto  com  agregado  graúdo  silicoso  ou  calcário. 

Todos os pilares  foram carregados em seu centro geométrico, exceto um em que  foi 

dada  uma  excentricidade  de  34 mm. A  elevação  da  temperatura  do  forno  seguiu  a 

curva padrão de  incêndio dada pela ASTM‐E119:1985 ou CAN/ULC‐S101‐M89:1989. A 

carga  foi mantida  constante durante  todo o ensaio e  as  condições de  contorno em 

ambas as extremidades do pilar eram iguais, engastadas ou rotuladas. O modo de falha 

dos pilares foi instabilidade global ou esmagamento da seção. 

Chabot  e  Lie  (1992)  realizaram  8  ensaios  de  pilares  tubulares  de  seção  circular  e 

quadrada  preenchidos  de  concreto  com  armadura. Os  pilares  tinham  3810 mm  de 

comprimento – utilizou‐se  concreto  com agregado graúdo  calcário. Todos os pilares 

foram carregados em seu centro geométrico e a condição de contorno do pilar para 

ambas as extremidades era engastada. Os procedimentos para aplicação da  carga e 

60

elevação  da  temperatura  do  forno  foram  os  mesmos  utilizados  por  Lie  e  Chabot 

(1992a).  O modo  de  falha  dos  pilares  foi  instabilidade  global  ou  esmagamento  da 

seção. 

Myllymäki et al.  (1994)  realizaram 3 ensaios de pilares  tubulares de  seção quadrada 

preenchidos de concreto com armadura. Os pilares tinham 3810 mm de comprimento 

– utilizou‐se concreto com agregado graúdo silicoso. Um dos pilares foi carregado em 

seu centro geométrico e os outros não. A elevação da temperatura do forno seguiu a 

curva  padrão  de  incêndio  dada  pela  ISO‐834:1975.  A  carga  foi mantida  constante 

durante  todo o ensaio e  a  condição de  contorno para  as extremidades do pilar era 

rotulada.  Os  pilares  cuja  carga  foi  aplicada  excentricamente  em  relação  ao  centro 

geométrico  falharam  por  instabilidade  global,  enquanto  o  outro  pilar  falhou  por 

esmagamento da seção. 

Han  et  al.  (2002)  realizaram  11  ensaios  de  pilares  tubulares  de  seção  circular  e 

retangular  preenchidos  com  concreto  sem  armadura,  sendo  7  desses  protegidos 

contra  incêndio. Os pilares tinham 3810 mm de comprimento, mas apenas 3000 mm 

estavam expostos à elevação da temperatura. Todos os pilares foram preenchidos com 

concreto  com  agregado  graúdo  calcário  e  foram  ensaiados  com  suas  extremidades 

rotuladas para a mesma relação de carga (0,77), ou seja, a razão entre a carga aplicada 

em situação de incêndio e em temperatura ambiente. A carga foi aplicada com ou sem 

excentricidade em relação ao centro geométrico do pilar. A elevação da temperatura 

do  forno  seguiu  a  curva  padrão  de  incêndio  da  ISO‐834:1975. Os  critérios  de  falha 

adotados foram baseados no encurtamento total e na taxa de encurtamento do pilar. 

Foi  observada  a  falha  dos  pilares  tanto  por  instabilidade  global  quanto  por 

esmagamento da seção. Somente os pilares sem proteção  foram considerados neste 

trabalho. 

Han  et  al.  (2003)  realizaram  13  ensaios  de  pilares  tubulares  de  seção  circular 

preenchidos com concreto sem armadura, sendo 5 desses protegidos contra incêndio. 

Os pilares,  com 3810 mm de  comprimento, preenchidos de  concreto  com agregado 

graúdo calcário,  foram ensaiados com suas extremidades  rotuladas. Todos os pilares 

falharam  por  instabilidade  global.  Somente  os  pilares  sem  proteção  foram 

considerados neste trabalho. 

61

Renaud  (2004)  reportou  33  ensaios  de  pilares  tubulares  de  seção  quadrada 

preenchidos de concreto com e sem armadura, sendo vários desses ensaios presentes 

em outras referências deste trabalho. A carga foi aplicada com ou sem excentricidade 

em  relação  ao  centro  geométrico  do  pilar  e  as  condições  de  contorno  para  as 

extremidades do pilar eram: rótula‐rótula, rótula‐engaste ou engaste‐engaste. Não foi 

informado o tipo do agregado graúdo do concreto nem o modo de falha do pilar. 

Kim  et  al.  (2005)  realizaram  20  ensaios  de  pilares  tubulares  de  seção  circular  e 

quadrada preenchidos de concreto sem armadura. Os pilares, que tinham 3500 mm de 

comprimento e extremidades rotuladas, foram preenchidos de concreto com agregado 

graúdo silicoso e carregados em seu centro geométrico durante o ensaio. A elevação 

da  temperatura  do  forno  seguiu  a  curva  padrão  de  incêndio  da  norma  sul  coreana 

KSF 2257.  Kim  et  al.  (2005)  comentaram  que  essa  curva  é  equivalente  à  da  ASTM‐

E119:1985. O modo  de  falha  observado  em  alguns  pilares  foi  instabilidade  local  da 

parede do  tubo na extremidade do pilar e uma suave deformação por  flexão. Vários 

pilares não atingiram um modo de falha durante o ensaio. 

 

3 Apresentação dos resultados 

 

Os  resultados  obtidos  nos  ensaios  e  os  calculados  por  intermédio  do  programa 

PilarMisto versão 3.04.11 são apresentados nas Tabelas 1 a 4, assim como os principais 

parâmetros  dos  protótipos  ensaiados,  necessários  para  a  análise  comparativa  a  ser 

feita adiante. Ressalta‐se que, quando disponíveis, os valores da  resistência média à 

compressão do concreto, fcm, obtidas no dia dos ensaios, foram utilizados no cálculo. A 

esbeltez  reduzida  em  temperatura  elevada,  , ,  foi  obtida  pelo  programa  com  os 

valores  dos  parâmetros  informados  nos  relatórios  dos  ensaios. Observa‐se  que  em 

alguns ensaios o diâmetro das barras da armadura aparece com valores diferentes dos 

convencionais. Isso é devido ao programa não aceitar diâmetros diferentes na mesma 

seção transversal; o diâmetro que aparece nas tabelas é o valor que conduz à mesma 

área da armadura utilizada no ensaio. 

Para o caso de pilares sujeitos à compressão excêntrica, adotou‐se o modelo de cálculo 

do  Anexo  H  da  EN  1994‐1‐2:2005,  apresentado  a  seguir.  Observa‐se  que  para  a 

determinação  da  força  axial  resistente  de  cálculo  sem  excentricidade  o  método 

62

apresentado no Anexo H é diferente do apresentado no Procedimento Geral, que é o 

adotado pela ABNT NBR 14323:2013 e pelo programa. Mas, conforme  recomendado 

por Lennon et al. (2007), o procedimento geral deve ser prioritariamente utilizado em 

projeto,  haja  vista  que  o método  do  Anexo H  conduz  a  resultados  excessivamente 

conservadores,  para  pilares  de  baixa  esbeltez,  e  contra  a  segurança,  para  pilares 

esbeltos,  conforme  Aribert  et  al.  (2008)  e  Wang  e  Orton  (2008).  Portanto,  neste 

trabalho,  somente o cálculo da  redução da  resistência oriunda da excentricidade  foi 

feita com base na formulação do Anexo H da EN 1994‐1‐2:2005. 

 

Tabela 1 – Pilares tubulares sem armadura e com excentricidade 

 

 

Tabela 2 – Pilares tubulares com armadura e sem excentricidade 

 

   

Seção Dim. t fy Agreg.transv. [mm] [mm] [MPa] 28 dias Dia ens. Graúdo [mm] [min]  [kN] [kN]

1 C 478 8.00 293 32.8 ‐‐‐ Calcário R‐R 71.7 32 2200 0.69 1026 0.472 C 219.0 5.00 293 32.8 ‐‐‐ Calcário R‐R 32.9 17 450 1.10 210 0.473 C 219.0 5.00 293 32.8 ‐‐‐ Calcário R‐R 65.7 18 300 1.14 202 0.674 R 300x200 7.96 341 39.2 40.6 Calcário R‐R 22.5 21 2233 0.96 510 0.235 R 300x150 7.96 341 39.2 40.6 Calcário R‐R 22.5 16 1853 1.07 432 0.236 Q 200 6.30 279 ‐‐‐ 45.7 Sil icoso R‐E 20.0 22 400 0.97 310 0.787 C 219.1 8.18 350 24.3 31.9 Sil icoso R‐R 34.0 33 525 1.53 89 0.178 Q 200 6.30 279 42.6 44.7 ‐‐‐ R‐R 20.0 22 400 1.23 323 0.81

Ensaio

Tubo Concreto

fcm [MPa] MECond.

Cont.

Simbologia: R ‐ Rótula; E ‐ Engaste; C ‐ Circular; R ‐ Retangular; Q ‐ Quadrada.

e Tempo Nexp Ncalc0,

Seção Dim. t fy Arm. fys c Agreg.transv. [mm] [mm] [MPa] [mm] [MPa] [mm] 28 dias Dia ens. Graúdo [mm] [min]  [kN] [kN]

9 C 273.1 6.35 350 419,5 400 23 42.3 46.7 Calcário E‐E ‐‐‐ 188 1050 0.88 357 0.3410 C 273.1 6.35 350 419,5 400 23 42.3 47.0 Calcário E‐E ‐‐‐ 96 1900 0.82 1005 0.5311 Q 203.2 6.35 350 416,0 400 23 41.3 47.0 Calcário E‐E ‐‐‐ 150 500 0.77 223 0.4512 Q 203.2 6.35 350 416,0 400 23 41.3 47.0 Calcário E‐E ‐‐‐ 105 930 0.86 391 0.4213 Q 254.0 6.35 350 419,5 400 23 42.3 48.1 Calcário E‐E ‐‐‐ 113 1440 0.81 858 0.6014 Q 254.0 6.35 350 419,5 400 23 42.3 48.1 Calcário E‐E ‐‐‐ 70 2200 0.71 1458 0.6615 Q 304.8 6.35 350 817,8 400 23 41.3 47.0 Calcário E‐E ‐‐‐ 39 3400 0.50 3806 1.1216 Q 304.8 6.35 350 425,2 400 26 41.3 47.0 Calcário E‐E ‐‐‐ 212 2000 0.80 760 0.3817 Q 150.0 5.00 416 412,0 596 30 31.1 31.4 Silicoso R‐R ‐‐‐ 83 140 1.93 51 0.3618 Q 200.0 6.30 337 418,0 475 21 ‐‐‐ 45.7 Silicoso E‐E ‐‐‐ 79 590 0.94 534 0.9119 Q 140.0 5.00 328 412,0 475 25 31.0 ‐‐‐ Silicoso R‐E ‐‐‐ 46 410 1.14 228 0.56

20 Q 140.0 3.60 360 48,0 420 24 42.0 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐E ‐‐‐ 46 410 1.66 118 0.29

21 Q 160.0 3.60 360 9,1 420 24 32.0 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐E ‐‐‐ 48 585 1.40 207 0.3522 Q 160.0 3.60 360 9,1 420 24 32.0 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐E ‐‐‐ 25 820 1.25 414 0.5023 Q 160.0 6.30 360 811,0 420 24 32.0 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐E ‐‐‐ 35 830 1.21 438 0.5324 Q 160.0 6.30 360 811,0 420 24 32.0 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐E ‐‐‐ 35 830 1.21 438 0.5325 Q 225.0 3.60 360 811,0 420 24 46.0 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐E ‐‐‐ 80 580 1.28 497 0.8626 Q 225.0 3.60 360 811,0 420 24 46.0 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐E ‐‐‐ 110 970 1.36 319 0.3327 Q 225.0 3.60 360 414,0 420 24 35.0 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐E ‐‐‐ 55 1320 1.00 711 0.5428 Q 225.0 3.60 360 812,2 420 24 35.0 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐E ‐‐‐ 73 1320 1.08 596 0.4529 Q 225.0 3.60 360 811,0 420 24 46.0 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐E ‐‐‐ 84 1360 1.29 465 0.3430 Q 200.0 5.00 360 811,0 420 24 46.0 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐E ‐‐‐ 60 1550 1.22 495 0.3231 Q 200.0 5.00 378 10,0 475 35 36.0 38.3 ‐‐‐ R‐R ‐‐‐ 62 500 1.51 321 0.6432 Q 200.0 6.30 219 418,0 475 30 ‐‐‐ 42.9 ‐‐‐ R‐R ‐‐‐ 61 537 1.63 323 0.6033 Q 200.0 6.30 337 418,0 475 30 42.6 44.7 ‐‐‐ R‐E ‐‐‐ 79 650 1.34 326 0.5034 Q 200.0 6.30 274 418,0 475 30 42.6 44.7 ‐‐‐ R‐R ‐‐‐ 59 550 1.62 339 0.6235 Q 200.0 5.00 378 810,0 494 35 38.5 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐R ‐‐‐ 62 500 1.72 277 0.5536 Q 200.0 10.00 598 46,0 500 35 38.5 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐R ‐‐‐ 27 1200 1.31 1045 0.8737 Q 200.0 5.00 598 46,0 500 35 32.5 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐R ‐‐‐ 23 1000 1.35 717 0.72

Cond.

Cont.e

fcm [MPa]Ncalc

METempo Nexp 0,Ensaio

Tubo Concreto

63

Tabela 3 – Pilares tubulares sem armadura e excentricidade 

 

Seção Dim. t fy Agreg.transv. [mm] [mm] [MPa] 28 dias Dia ens. Graúdo [mm] [min]  [kN] [kN]

38 C 141.3 6.55 350 28.6 33.1 Sil icoso E‐E ‐‐‐ 55 110 1.02 110 1.0039 C 141.3 6.55 350 28.6 31.0 Sil icoso E‐E ‐‐‐ 57 131 0.99 103 0.7940 C 168.3 4.78 350 28.6 32.7 Sil icoso E‐E ‐‐‐ 76 150 1.05 121 0.8141 C 168.3 4.78 350 28.6 32.7 Sil icoso R‐R ‐‐‐ 60 150 2.19 54 0.3642 C 168.3 4.78 350 28.6 35.5 Sil icoso E‐E ‐‐‐ 56 218 1.14 174 0.8043 C 168.3 6.35 350 28.6 35.4 Sil icoso E‐E ‐‐‐ 81 150 0.94 132 0.8844 C 219.1 4.78 350 24.3 31.0 Sil icoso E‐E ‐‐‐ 80 492 0.99 292 0.5945 C 219.1 4.78 350 24.3 32.3 Sil icoso E‐E ‐‐‐ 102 384 0.99 226 0.5946 C 219.1 8.18 350 24.3 31.9 Sil icoso R‐R ‐‐‐ 73 525 1.63 164 0.3147 C 219.1 8.18 350 24.3 31.7 Sil icoso E‐E ‐‐‐ 82 525 0.81 345 0.6648 C 273.1 5.56 350 26.3 28.6 Sil icoso E‐E ‐‐‐ 112 574 0.86 459 0.8049 C 273.1 5.56 350 26.3 29.0 Sil icoso E‐E ‐‐‐ 133 525 0.88 376 0.7250 C 273.1 5.56 350 26.3 27.2 Sil icoso E‐E ‐‐‐ 70 1000 0.77 683 0.6851 C 273.1 12.70 350 26.3 27.4 Sil icoso E‐E ‐‐‐ 143 525 0.61 391 0.7452 C 323.9 6.35 350 23.5 27.6 Sil icoso E‐E ‐‐‐ 145 699 0.79 654 0.9453 C 323.9 6.35 350 23.5 24.3 Sil icoso E‐E ‐‐‐ 93 1050 0.74 900 0.8654 C 355.6 6.35 350 23.5 23.8 Sil icoso E‐E ‐‐‐ 111 1050 0.65 1047 1.0055 C 355.6 12.70 350 23.5 25.4 Sil icoso E‐E ‐‐‐ 170 1050 0.60 794 0.7656 C 406.4 12.70 350 23.5 27.6 Sil icoso E‐E ‐‐‐ 71 1900 0.45 2362 1.2457 C 141.3 6.55 300 35.9 30.2 Sil icoso E‐E ‐‐‐ 82 80 0.83 64 0.8058 C 141.3 6.55 300 33.0 34.8 Sil icoso E‐E ‐‐‐ 64 143 0.97 93 0.6559 C 219.1 4.78 300 33.0 35.4 Sil icoso E‐E ‐‐‐ 111 500 1.01 211 0.4260 C 219.1 4.78 300 43.0 42.7 Sil icoso E‐E ‐‐‐ 108 560 1.09 240 0.4361 C 219.1 8.18 350 35.9 28.7 Sil icoso E‐E ‐‐‐ 102 560 0.77 255 0.4662 C 273.1 6.35 350 43.0 46.5 Calcário E‐E ‐‐‐ 106 1050 0.96 686 0.6563 C 273.1 6.35 350 43.0 50.7 Calcário E‐E ‐‐‐ 76 1050 0.90 1005 0.9664 C 273.1 6.35 350 33.0 38.7 Calcário E‐E ‐‐‐ 178 715 0.93 296 0.4165 C 273.1 6.35 350 35.9 38.2 Calcário E‐E ‐‐‐ 144 712 0.93 412 0.5866 C 323.9 6.35 300 43.0 42.4 Calcário E‐E ‐‐‐ 234 820 1.04 389 0.4767 C 323.9 6.35 300 43.0 47.5 Calcário E‐E ‐‐‐ 114 1180 0.85 1253 1.0668 C 355.6 6.35 300 40.8 42.4 Calcário E‐E ‐‐‐ 149 1335 0.84 1245 0.9369 C 355.6 12.70 300 40.8 40.7 Calcário E‐E ‐‐‐ 274 965 0.80 638 0.6670 C 406.4 6.35 300 40.8 44.0 Calcário E‐E ‐‐‐ 294 1400 0.94 1165 0.8371 C 406.4 12.70 300 33.0 37.4 Calcário E‐E ‐‐‐ 125 1900 0.57 2215 1.1772 C 406.4 12.70 300 43.0 45.1 Calcário E‐E ‐‐‐ 152 1900 0.64 2219 1.1773 C 152.4 6.35 350 40.2 46.5 Calcário E‐E ‐‐‐ 86 286 0.91 147 0.5174 C 254.0 6.35 350 40.2 46.5 Calcário E‐E ‐‐‐ 97 931 0.86 867 0.9375 C 478.0 8.00 293 32.8 ‐‐‐ Sil icoso R‐R ‐‐‐ 29 4700 0.65 4702 1.0076 R 300x200 7.96 341 39.2 40.6 Sil icoso R‐R ‐‐‐ 21 2486 0.87 2172 0.8777 R 300x150 7.96 341 39.2 40.6 Sil icoso R‐R ‐‐‐ 16 1906 1.01 1880 0.9978 C 318.5 7.00 304 27.5 ‐‐‐ Sil icoso R‐R ‐‐‐ 150 941 1.21 373 0.4079 C 318.5 7.00 304 37.8 ‐‐‐ Sil icoso R‐R ‐‐‐ 28 1548 0.67 2299 1.4880 C 406.4 9.00 311 27.5 ‐‐‐ Sil icoso R‐R ‐‐‐ 59 1676 0.77 1947 1.1681 C 406.4 9.00 311 37.8 ‐‐‐ Sil icoso R‐R ‐‐‐ 47 2581 0.77 2836 1.1082 C 406.4 9.00 311 37.8 ‐‐‐ Sil icoso R‐R ‐‐‐ 88 1676 0.92 1960 1.1783 C 406.4 9.00 311 37.8 ‐‐‐ Sil icoso R‐R ‐‐‐ 108 1676 0.98 1685 1.0184 Q 300 9.00 363 27.5 ‐‐‐ Sil icoso R‐R ‐‐‐ 130 745 0.78 747 1.0085 Q 300 9.00 363 37.8 ‐‐‐ Sil icoso R‐R ‐‐‐ 44 1401 0.68 2129 1.5286 Q 350 9.00 363 27.5 ‐‐‐ Sil icoso R‐R ‐‐‐ 160 1039 0.90 916 0.8887 Q 350 9.00 363 37.8 ‐‐‐ Sil icoso R‐R ‐‐‐ 108 1940 0.87 1661 0.8688 Q 350 9.00 363 37.8 ‐‐‐ Sil icoso R‐R ‐‐‐ 140 1558 1.01 1215 0.7889 Q 350 9.00 363 37.8 ‐‐‐ Sil icoso R‐R ‐‐‐ 140 1558 1.01 1215 0.7890 Q 140 3.60 384 35.0 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐E ‐‐‐ 67 190 1.48 69 0.3691 Q 140 3.60 360 43.0 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐E ‐‐‐ 42 410 1.73 114 0.2892 Q 140 3.60 360 38.0 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐E ‐‐‐ 24 685 1.50 221 0.3293 Q 225 3.60 360 23.0 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐E ‐‐‐ 16 1295 0.65 1388 1.0794 Q 265 4.00 360 23.0 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐E ‐‐‐ 68 910 0.95 596 0.6595 Q 265 4.00 360 23.0 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐E ‐‐‐ 22 1300 0.66 1485 1.1496 Q 225 3.60 360 45.0 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐E ‐‐‐ 165 430 1.43 144 0.3397 Q 225 3.60 360 45.0 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐E ‐‐‐ 56 1085 1.27 567 0.5298 Q 225 3.60 360 45.0 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐E ‐‐‐ 42 1520 1.18 735 0.4899 Q 225 8.00 400 33.0 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐E ‐‐‐ 131 560 0.96 263 0.47100 Q 225 8.00 400 33.0 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐E ‐‐‐ 40 1405 0.91 877 0.62101 Q 225 8.00 400 33.0 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐E ‐‐‐ 29 1970 0.85 1233 0.63102 Q 406 12.50 310 30.0 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐E ‐‐‐ 36 4500 0.54 3411 0.76103 Q 305 9.50 308 29.0 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐E ‐‐‐ 43 1650 0.62 1862 1.13

* Pilar não falhou durante o ensaio.

fcm [MPa]Tempo Nexp 0,

NcalcEnsaioTubo Concreto

Cond.

Cont.e

ME

64

Tabela 4 – Pilares tubulares com armadura e excentricidade 

 

 

O método  de  cálculo  para  cargas  excêntricas  foi  desenvolvido  por Grimault  (1983). 

Dadas a excentricidade de carga  = Mfi,Sd/Nfi,Sd, a taxa de armadura  e a esbeltez do 

pilar, uma força axial equivalente solicitante de cálculo em incêndio (Nfi,eq,Sd) pode ser 

determinada pela seguinte expressão Nfi,eq,Sd = Nfi,Sd/s onde s e  são parâmetros 

relacionados à taxa de armadura do pilar tubular e da excentricidade de carga, dados 

pelas  Figuras  1  e  2,  respectivamente.  A  armadura  do  pilar  deve  ser  considerada 

distribuída igualmente nas quatro faces. 

Podem‐se  considerar  as  expressões  da  Tabela  5  para  cálculo  do  parâmetro  s, 

modificadas  a  partir  das  desenvolvidas  por  Grimault  (1983),  que  apresentaram 

algumas inconsistências. 

 

Seção Dim. t fy Arm. fys c Agreg.transv. [mm] [mm] [MPa] [mm] [MPa] [mm] 28 dias Dia ens. Graúdo [mm] [min]  [kN] [kN]

104 Q 300.0 8.00 394 432,0 544 40 33.8 36.4 Silicoso R‐R 66.0 58 1400 1.04 1097 0.78105 Q 300.0 8.00 394 432,0 544 40 33.8 36.4 Silicoso R‐R 120.0 126 1000 1.21 385 0.38106 Q 200.0 6.30 277 418,0 475 21 ‐‐‐ 38.1 Silicoso R‐E 20.0 63 432 1.17 300 0.69107 Q 200.0 6.30 277 418,0 475 21 ‐‐‐ 38.1 Silicoso R‐E 50.0 58 318 1.15 254 0.80108 Q 200.0 12.50 234 418,0 475 21 ‐‐‐ 38.1 Silicoso R‐E 20.0 39 612 0.99 605 0.99109 Q 200.0 12.50 234 418,0 475 21 ‐‐‐ 38.1 Silicoso R‐E 50.0 34 432 0.98 501 1.16110 Q 200.0 6.30 291 418,0 475 21 ‐‐‐ 35.6 Silicoso R‐E 5.0 61 537 1.14 388 0.72111 Q 200.0 6.30 291 418,0 475 21 ‐‐‐ 35.6 Silicoso R‐E 100.0 79 213 1.21 109 0.51112 Q 260.0 7.10 292 418,0 475 21 ‐‐‐ 44.0 Silicoso R‐E 26.0 37 1237 0.88 1017 0.82113 Q 300.0 7.00 352 418,0 475 21 ‐‐‐ 44.0 Silicoso R‐E 30.0 90 1000 1.02 584 0.58114 Q 200.0 6.30 300 418,0 475 21 ‐‐‐ 45.7 Silicoso R‐E 20.0 39 649 1.03 598 0.92115 Q 300.0 7.00 342 418,0 475 21 ‐‐‐ 44.0 Silicoso R‐E 30.0 92 636 1.28 434 0.68116 C 273.0 5.00 348 418,0 475 21 ‐‐‐ 44.0 Silicoso R‐E 27.0 56 695 1.14 589 0.85117 Q 200.0 6.30 253 410,0 456 21 ‐‐‐ 45.7 Silicoso R‐E 20.0 23 551 0.98 342 0.62118 Q 200.0 6.30 274 418,0 475 21 ‐‐‐ 45.7 Silicoso R‐E 5.0 58 550 1.21 450 0.82119 Q 200.0 6.30 281 418,0 469 21 ‐‐‐ 29.1 Silicoso R‐E 20.0 82 294 1.00 211 0.72120 Q 220.0 6.30 287 418,0 469 21 ‐‐‐ 29.1 Silicoso R‐E 22.0 68 375 1.04 311 0.83121 Q 220.0 6.30 282 620,0 498 21 ‐‐‐ 29.1 Silicoso R‐E 22.0 88 421 1.25 267 0.63122 Q 260.0 7.10 292 622,0 484 21 ‐‐‐ 29.1 Silicoso R‐E 26.0 64 869 0.95 746 0.86123 Q 300.0 7.00 344 625,0 462 21 ‐‐‐ 29.1 Silicoso R‐E 30.0 56 1507 0.78 1330 0.88124 Q 200.0 5.00 378 810,0 475 35 36.0 38.3 ‐‐‐ R‐R 15.0 57 500 1.50 210 0.42125 Q 260.0 4.00 550 814,0 475 41 33.0 38.3 ‐‐‐ R‐R 25.0 45 1200 1.13 638 0.53126 Q 260.0 4.00 550 814,0 475 41 33.0 38.3 ‐‐‐ R‐R 50.0 33 1200 1.07 644 0.54127 Q 300.0 7.00 327 816,0 475 43 32.0 38.0 ‐‐‐ R‐R 50.0 57 1500 0.91 840 0.56128 Q 300.0 7.00 327 816,0 475 43 32.0 45.9 ‐‐‐ R‐R 100.0 29 1500 0.79 972 0.65129 Q 200.0 6.30 277 418,0 475 30 43.9 45.9 ‐‐‐ R‐R 20.0 63 430 1.66 197 0.46130 Q 200.0 6.30 277 418,0 475 30 43.9 45.9 ‐‐‐ R‐R 50.0 58 320 1.63 167 0.52131 Q 200.0 12.50 234 418,0 475 30 43.9 45.9 ‐‐‐ R‐R 20.0 39 610 1.35 440 0.72132 Q 200.0 12.50 234 418,0 475 30 43.9 45.9 ‐‐‐ R‐R 50.0 34 460 1.32 367 0.80133 Q 200.0 6.30 219 418,0 475 30 ‐‐‐ 42.9 ‐‐‐ R‐R 100.0 79 213 1.70 75 0.35134 Q 260.0 7.10 292 418,0 475 30 40.2 43.5 ‐‐‐ R‐R 26.0 37 1017 1.15 729 0.72135 Q 300.0 7.00 352 418,0 475 30 40.2 43.5 ‐‐‐ R‐R 30.0 70 1000 1.18 531 0.53136 Q 200.0 6.30 300 418,0 475 30 42.6 44.7 ‐‐‐ R‐R 20.0 39 500 1.38 395 0.79137 Q 300.0 7.00 342 418,0 475 30 40.2 43.5 ‐‐‐ R‐R 30.0 92 634 1.62 283 0.45138 C 273.0 5.00 348 418,0 475 30 40.2 43.5 ‐‐‐ R‐R 27.0 56 695 1.47 394 0.57139 Q 200.0 6.30 253 410,0 475 30 42.6 44.7 ‐‐‐ R‐R 20.0 23 400 1.25 243 0.61140 Q 200.0 6.30 265 418,0 475 30 59.0 59.9 ‐‐‐ R‐R 20.0 56 649 1.48 294 0.45141 Q 200.0 6.30 281 418,0 475 33 26.2 28.7 ‐‐‐ R‐R 20.0 82 294 1.48 145 0.49142 Q 200.0 6.30 279 817,1 475 33 26.2 28.7 ‐‐‐ R‐R 20.0 66 419 1.60 175 0.42143 Q 220.0 6.30 287 418,0 475 33 26.2 28.7 ‐‐‐ R‐R 22.0 68 375 1.33 249 0.66144 Q 220.0 6.30 282 820,0 475 33 26.2 28.7 ‐‐‐ R‐R 22.0 88 421 1.57 217 0.52145 Q 260.0 7.10 292 622,0 475 33 26.2 28.7 ‐‐‐ R‐R 26.0 64 869 1.21 593 0.68146 Q 300.0 7.00 344 625,0 475 33 26.2 28.7 ‐‐‐ R‐R 30.0 56 1507 1.03 1059 0.70147 Q 300.0 7.00 327 814,0 441 35 38.0 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐E 50.0 57 1500 0.73 955 0.64148 Q 300.0 7.00 327 814,0 441 35 38.0 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐E 100.0 25 1500 0.57 1237 0.82149 Q 200.0 5.00 378 10,0 494 35 38.5 ‐‐‐ ‐‐‐ R‐R 15.0 57 500 1.69 83 0.17

EnsaioTubo Concreto Cond.

Cont.e Tempo Nexp 0,

Ncalc MEfcm [MPa]

65

Tabela 5 – Cálculo do parâmetro s 

≤ 1,2   65432 21939121301821229142156512211966217461650 ,,,,,,,,,,,,,s 

> 1,2  51

31

212502150021040650 ,,,,,,,s  

 

Observa‐se que o parâmetro  é dado em função da excentricidade da carga () e do 

comprimento de  instabilidade em  incêndio (Le,fi), ambos relativos à dimensão externa 

da  seção  transversal  do  pilar  misto,  b  ou  d,  para  seções  tubulares  quadradas  ou 

circulares, respectivamente. O parâmetro pode ser calculado por meio das expressões 

da Tabela 6, diferentes das apresentadas por Grimault (1983), mas com o mesmo grau 

de aproximação. 

 

Figura 1 – Parâmetro s 

Figura 2 – Parâmetro 

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0

Parâm

etros

Taxadearmaduradopilar‐ (%)

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

Parâm

etro  

Parâmetro /b ou /d

40

35

30

25

20

10

Le,fi/b ou Le,fi/d

66

Tabela 6 – Cálculo do parâmetro  

Le,fi/b ou Le,fi/d = 40  0001882118735242 020

30 ,,,,  

Le,fi/b ou Le,fi/d = 35  000171821767045118816 020

30

40 ,,,,,  

Le,fi/b ou Le,fi/d = 30  00014913379116162058214 020

30

40 ,,,,,  

Le,fi/b ou Le,fi/d = 25  00011654281156952982321 020

30

40 ,,,,,  

Le,fi/b ou Le,fi/d = 20  0001860445823011685219911557 020

30

40

50 ,,,,,,  

Le,fi/b ou Le,fi/d ≤ 10  0001926460722838602678182241 020

30

40

50 ,,,,,,  

 

Nas  expressões  da  tabela  6,  0  é  igual  a  /b  ou  /d,  para  seções  quadradas  ou 

circulares,  respectivamente.  Para  valores  intermediários,  pode‐se  fazer  interpolação 

linear. 

Portanto,  para  que  um  pilar  tubular  preenchido  com  concreto,  submetido  à 

compressão excêntrica ou ao efeito combinado de compressão axial e momento fletor, 

seja  adequadamente  dimensionado  em  situação  de  incêndio,  deve‐se  ter

Rd,fiSd,eq,fi NN . 

O método apresentado pode  ser aplicado a pilares  tubulares de  seção quadrada ou 

circular – embora não haja proibição explícita, a EN 1994‐1‐2:2005 não é  clara  se o 

método abrange também os pilares de seção retangular. Neste trabalho, entretanto, o 

método também foi aplicado aos pilares de seção retangular. O método do Anexo H da 

norma europeia possui ainda outras exigências e  limitações que devem ser atendidas 

para sua aplicação – ver EN 1994‐1‐2:2005 para maiores esclarecimentos. 

Neste trabalho, por facilidade e efeito de comparação, os parâmetros foram aplicados 

multiplicando  a  força  axial  de  cálculo  resistente,  dando  origem  à  força  excêntrica 

resistente de cálculo, Nfi,exc,Rd, a ser comparada com a força utilizada nos ensaios, dada 

por:  Rd,fisRd,exc,fi NN . 

 

4  Análise dos Resultados 

 

Nesta  seção,  apresentam‐se  análises  estatística  e  qualitativa  dos  resultados 

encontrados. A  análise  estatística  é  feita  com base  em  simples medidas  de  locação 

(média) e dispersão (desvio padrão). Para isso, introduziu‐se uma variável denominada 

67

erro de modelo (ME) – ver Tabela 1 a 4 – , isto é, da razão entre os valores calculados 

teoricamente e os obtidos nos ensaios, cuja média é utilizada para verificar o grau de 

conservadorismo  (ou  não  conservadorismo)  do  modelo  de  cálculo  adotado  pelo 

programa.  O  desvio  padrão  de  ME  é  uma  indicação  da  precisão  desse  modelo. 

Também  foram  calculados  coeficientes  de  correlação  entre  os  valores  obtidos 

teoricamente pelo programa e os obtidos nos ensaios. 

A primeira observação que pode ser feita ao se analisar os resultados apresentados é 

sua  grande  dispersão,  em  especial  na  região  de  esbeltez  reduzida  em  temperatura 

elevada,  , ,  compreendida entre 0,7 e 1,3, evidenciada pelo alto valor encontrado 

(0,26) do desvio padrão da variável erro de modelo (ME) – ver Figura 3 adiante.  Isso, 

de certa forma, já era esperado, haja vista as incertezas envolvidas no comportamento 

de estruturas em situação de incêndio, relativas tanto aos procedimentos de ensaios – 

e  ausência  de  informações  completas  nos  relatórios  –  quanto  ao  modelo  teórico 

propriamente dito. No primeiro caso, podem‐se citar as dificuldades  inerentes a esse 

tipo de ensaio, a variação de procedimentos e equipamentos de um  laboratório para 

outro  –  por  exemplo,  a maneira  de  carregar  o  protótipo,  o  tipo  de mecanismo  de 

controle  e de  combustível utilizados. No  segundo  caso,  a  inabilidade do modelo de 

captar o comportamento real do pilar em situação de incêndio, modos alternativos de 

colapso,  flambagem  local,  etc.  Elevados  valores  de  dispersão  também  foram 

observados em outros trabalhos similares (Rush et al., 2011). Por outro  lado, o baixo 

valor encontrado para a média do erro de modelo  (0,68)  sugere que os modelos de 

análise térmica e estrutural adotados pelo programa são bastante conservadores em 

média. 

Apresenta‐se a seguir a Figura 4, de correlação entre os valores calculados e os obtidos 

nos ensaios, que contém  também a  linha de correlação perfeita  (linha diagonal) e a 

que representa o erro médio. A área abaixo da linha de correlação perfeita representa 

valores  conservadores,  no  domínio  de  sobrevivência,  enquanto  a  área  acima 

representa valores não conservadores, no domínio de falha. Observa‐se que a linha de 

erro médio  (0,68)  situa‐se  1,24 desvios padrão  (0,26)  abaixo da  linha de  correlação 

perfeita  (1,00).  Supondo que  a  variável erro de modelo possa  ser  representada por 

uma distribuição normal –  testes de normalidade não  rejeitaram essa hipótese para 

nível de significância de 5% –, isso significa que se espera que 89% dos valores estejam 

68

no domínio de  sobrevivência, o que evidencia novamente o  caráter  conservador do 

método  de  cálculo  utilizado  pelo  programa.  Calculou‐se  também  o  coeficiente  de 

correlação  entre  os  valores  teóricos  e  os  dos  ensaios,  obtendo‐se  o  valor  de  89%, 

denotando  correlação  quase  perfeita  entre  o  método  de  cálculo  e  os  ensaios  – 

segundo  Haldar  e  Mahadevan  (2000),  duas  amostras  podem  ser  consideradas 

perfeitamente correlacionadas se o seu coeficiente de correlação for igual ou superior 

a 90%. 

 

 

Figura 3 – Apresentação dos resultados relativos à curva da ABNT NBR 14323:2013 

Observa‐se na Tabela 3, dos casos de carga centrada sem uso de armadura, o método 

de  cálculo mostra‐se menos  conservador  à medida  que  se  aumenta  a  dimensão  da 

seção  transversal  até  que,  a  partir  de  dimensões  superiores  a  360  mm,  torna‐se 

claramente  não  conservador.  Isso  se  deve  provavelmente  ao  desenvolvimento  de 

tensões  locais  elevadas  e  fissuras  oriundas  do  gradiente  de  temperatura  que  se 

propagam  através  do  núcleo  de  concreto  pela  ausência  de  armadura  transversal  e 

perda do  confinamento do  concreto  à medida que  as propriedades do  aço do  tubo 

degradam‐se com o aumento da temperatura (Lie e Chabot, 1992a). Observou‐se que 

quanto maiores  forem  as  dimensões  da  seção  transversal maiores  se  tornam  esses 

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0

Curva NBR 14323:2013Com_armadura_sem_excentricidadeCom_aramdura_com_excentricidadeSem_armadura_sem_excentricidadeSem_armadura_com_excentricidade

69

efeitos.  Assim  sendo,  com  base  nos  ensaios  apresentados,  recomenda‐se  que  não 

sejam utilizados pilares sem armadura com dimensão da seção transversal superior a 

360  mm. 

 

Figura 4 – Correlação entre valores calculados e de ensaio 

Ainda  em  relação  aos  pilares  sem  armadura,  pode‐se  notar  que,  embora  o  erro  de 

modelo  apresente‐se  sempre  do  lado  da  segurança,  o  tempo  de  resistência  ao 

incêndio‐padrão  na  presença  de  excentricidade  praticamente  não  ultrapassou 

30  minutos nos ensaios – ver Tabela 1. Recomenda‐se, portanto, que os pilares mistos 

tubulares  submetidos  a  forças  excêntricas  não  sejam  utilizados  sem  armadura  para 

TRRF superior a 30 minutos. 

Expurgando‐se as situações não  recomendadas, observa‐se uma discreta melhora na 

dispersão,  evidenciada  pela  diminuição  do  desvio  padrão  (0,24)  e  um  aumento  do 

conservadorismo, representada pela diminuição da média (0,66). Nesse caso, a média 

encontra‐se  1,41  desvios  padrão  abaixo  da  correlação  perfeita,  significando  que  se 

espera que 92% dos valores estejam no domínio de sobrevivência. 

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

2600

2800

3000

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

2600

2800

3000

Car

ga

últ

ima

calc

ula

da

-N

ca

lc(k

N)

Carga última de ensaio - Ntest (kN)

Com_armadura_sem_excentricidade

Com_armadura_com_excentricidade

Sem_armadura_sem_excentricidade

Sem_armadura_com_excentricidade

Correlação_perfeita

Média

+1,24

70

Outro ponto que merece destaque são os relativamente bons resultados encontrados 

com o método apresentado no Anexo H do EN 1994‐1‐2:2005 para cálculo dos pilares 

tubulares com armadura submetidos a forças aplicadas excentricamente – ver Tabela 

4.  A  análise  estatística  mostra  uma  dispersão  bem  menor  dos  resultados  (desvio 

padrão  igual  a  0,19),  embora  um  pouco  mais  conservadores  (média  de  0,65),  e 

correlação  perfeita  (92%).  Com  isso,  estima‐se  que  cerca  de  97%  dos  resultados 

estejam no domínio de sobrevivência. 

Os  pilares  com  armadura  e  sem  excentricidade  –  Tabela  2  –  foram  os  que 

apresentaram o maior grau de conservadorismo  (média de 0,55), com desvio padrão 

relativamente  baixo  (0,20).  Entretanto,  em  relação  aos  pilares  com  armadura  e 

excentricidade,  apresentam  dispersão  relativa  um  pouco  maior,  evidenciado  pelos 

coeficientes de variação, iguais a 29% e 36%, respectivamente. 

Analisando os resultados dos modelos sem armadura e sem excentricidade – Tabela 3, 

observa‐se um aumento da capacidade de carga daqueles construídos com concreto 

de agregado graúdo calcário em relação aos de agregado silicoso. Esse fato, também 

observado em diversas publicações (Lie e Chabot, 1992; Chabot e Lie, 1992; Myllymäki 

et al., 1994), é devido principalmente ao processo de descarbonetação que ocorre no 

agregado  calcário  a  partir  de  700  °C,  atingindo  seu  ponto  crítico  próximo  a  900  °C 

(calcinação). Essa reação, fortemente endotérmica, aumenta significativamente o calor 

específico  e  diminui  a massa  específica  do  agregado,  o  que  retarda  o  aumento  da 

temperatura do núcleo de concreto. 

 

5  Conclusões 

 

Neste trabalho, após uma pesquisa abrangente, foram apresentados os resultados de 

diversos  ensaios  encontrados  na  literatura  técnica,  que  foram  comparados  aos 

calculados  pelo  programa  PilarMisto  versão  3.04.11,  com  o  intuito  de  verificar  a 

adequação  da  análise  térmica  e  do  procedimento  de  cálculo  analítico  simplificado 

apresentados  na  norma  brasileira  ABNT  NBR  14323:2013.  Algumas  conclusões  são 

apresentadas a seguir: 

Os  procedimentos  utilizados  são  bastante  conservadores  em média, mas  os 

resultados apresentaram uma dispersão muito grande; 

71

Os valores calculados apresentaram uma  forte correlação com os obtidos nos 

ensaios, muito próxima da faixa de correlação perfeita (superior a 90%); 

Analisados em conjunto, espera‐se que cerca de 89% dos resultados estejam no 

domínio de sobrevivência; 

É recomendado que não sejam utilizados pilares sem armadura para dimensão 

de seção transversal superior a 360 mm e para qualquer dimensão na presença 

de excentricidade, para TRRF superior a 30 min; 

Expurgando‐se da análise os valores das situações não recomendadas, espera‐

se que cerca de 92% dos resultados estejam no domínio de sobrevivência; 

Os  pilares  preenchidos  de  concreto  com  agregado  graúdo  calcário 

apresentaram  maior  resistência  ao  fogo  do  que  aqueles  preenchidos  de 

concreto com agregado graúdo silicoso. 

 

6  Agradecimentos 

 

Os  autores  agradecem  à  Codeme  Engenharia  pelo  apoio  a  esta  pesquisa,  à 

Universidade  Federal  de Minas Gerais  (UFMG),  na  pessoa  do  Prof.  Rodrigo  Barreto 

Caldas,  e  à  Vallourec  &  Mannesmann  Tubes  pela  cessão  do  programa  PilarMisto 

versão 3.04.11. 

 

7  Referências Bibliográficas 

 

ABNT NBR 8800. Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto 

de edifícios, Rio de Janeiro, 2008. 

ABNT NBR 14323. Dimensionamento de estruturas de aço de edifícios em situação de 

incêndio.  Rio  de  Janeiro,  2013  (aprovada  em  consulta  nacional  ‐  em  fase  de 

publicação). 

ABNT NBR  14432.  Exigências  de  Resistência  ao  Fogo  de  Elementos  Construtivos  de 

Edificações. Rio de Janeiro, 2001. 

72

ARIBERT,  J.M.; RENAUD, C.H.; ZHAO, B.  Simplified  Fire Design  for Composite Hollow 

Section  Columns.  Structures &  Buildings,  161,  Issue  SB6,  Proceedings,  Institution  of 

Civil Engineers, United Kingdom, 2008. 

ASTM‐E119.  Standard Methods of  Fire Tests of Building Construction  and Materials. 

American Society for Testing and Materials, Philadelphia, 1985. 

CALDAS,  R.B.;  SOUSA  JR.,  J.B.M.;  FAKURY,  R.H.  Análise  Térmica  via  Método  das 

Diferenças Finitas de Seções Transversais de Concreto em Situação de Incêndio. In: 47 

Congresso Brasileiro do Concreto, 2005. CBC2005 

CALDAS, R.B. Análise Numérica de Estruturas de Aço, Concreto e Mistas em Situação 

de  Incêndio.  Tese  de  Doutorado  –  Universidade  Federal  de  Minas  Gerais,  Belo 

Horizonte, 2008. 

CALDAS, R.B.; FAKURY,R.H.; ARAUJO, A.H.M. Análise Térmica de Seções Tubulares de 

Aço  Preenchidas  Com  Concreto  e  Envolvidas  com Material  de  Revestimento  Contra 

Fogo. In: 1º Congresso Ibero‐Latino‐Americano sobre Segurança contra Incêndio, 2011, 

Natal, RN. 1º CILASCI, 2011. 

CAN/ULC‐S101‐M89.  Standard  Methods  of  Fire  Endurance  Tests  of  Buildings 

Constructions  and  Materials,  Underwriters’  Laboratories  of  Canada,  Scarborough, 

Canada, 1982. 

CHABOT, M;  LIE,  T.T..  Experimental  Studies  on  the  Fire  Resistance  of  Hollow  Steel 

Columns  Filled with  Bar‐Reinforced  Concrete. National  Research  Council  of  Canada, 

Internal Report No. 628, Ottawa, 1992. 

EN  1994‐1‐2:2005  (Anexo  H)  ‐  Simple  calculation model  for  concrete  filled  hollow 

sections exposed to fire all around the column according to the standard temperature‐

time curve. 

GRIMAULT,  J.P.;  TOURNAY,  M.  Stabilité  au  Feu  des  Profils  Creux  en  Acier  de 

Construction. CIDECT‐Report Nr. 15A – 76/36, Campagnes, 1975. 

GRIMAULT, J.P. Fire Stability of Concrete Filled Hollow Section Columns. New Proposal 

for  Taking  into  Account  the  Influence  of  Small  Eccentricities  or  Small  Moments. 

CIDECT‐Document 15B – 15C 83/6, Cannes, France, 1983. 

HALDAR,  A.;  MAHADEVAN,  S.  Probability,  Reliability  and  Statistical  Methods  in 

Engineering Design. John Wiley & Sons, Inc., United States, 2000. 

73

HAN, Lin‐Hai; YANG, You‐Fu; XU, Lei. An Experimental Study and Calculation on the Fire 

Resistance  of  Concrete‐Filled  SHS  and  RHS  Columns.  Journal  of  Construction  Steel 

Research,59, 427‐452, May, 2002. 

HAN,  L.H.;  ZHAO,  X.  L.;  ASCE, M.;  YANG,  Y.F.;  FENG,  J.B.  Experimental  Study  and 

Calculation  of  Fire  Resistance  of  Concrete‐Filled  Hollow  Steel  Columns.  Journal  of 

Construction Engineering ASCE, 346‐356, March, 2003. 

ISO‐834  Fire  Resistance  Tests‐Elements  –  Elements  of  Buildings  Construction. 

International Standard ISO 834, Geneva, 1975. 

KIM, D.K.; CHOI, S.M.; KIM, J.H.; CHUNG, K.S.; PARK, S.H.. Experimental Study on Fire 

Resistance  of  Concrete‐Filled  Steel  Tube  Column  under  Constant  Axial  Loads.  Steel 

Structures 5, 305‐313, 2005. 

KLINGSCH, W., WITTBECKER, W. Fire Resistance of Hollow Section Composite Columns 

of Small Cross Sections. CIDECT 15G – 89/3 –E, Duesseldorf,1988. 

KORDINA,  E. H.  Karl;  KLINGSCH, Wolfram.  Fire  Resistance  of  Composite  Columns  of 

Concrete  Filled  Hollow  Sections,  CIDECT‐Report  Nr.  15  C1/C2  –  83/27,  Dusseldorf, 

1983. 

LENNON, T.; MOORE, D.B.; WANG, Y.C., BAILEY, C.G. Designers´ Guide to EN 1991‐1‐2, 

1992‐1‐2, 1993‐1‐2  and 1994‐1‐2. Handbook  for  the  fire Design of  Steel, Composite 

and Concrete Structures to the Eurocodes. Edited by H. Gulvanessian, Thomas Telford, 

United Kingdom, 2007. 

LIE,  T.T.;  CHABOT, M.  Experimental  Studies  on  the  Fire  Resistance  of  Hollow  Steel 

Columns  Filled  with  Plain  Concrete.  National  Research  Council  of  Canada,  Internal 

Report No. 611, Canada, 1992. 

LIE, T.T.; KODUR, V.R. Mechanical Properties of Fibre‐Reinforced Concrete at Elevated Temperatures. National Research Council of Canada, Internal Report No. 687, Ottawa, 

1995. 

MYLLYMÄKI,  J.;  LIE,  T.T.;  CHABOT, M.  Fire  Resistance  Tests  of  Square  Hollow  Steel 

Columns  Filled  with  Reinforced  Concrete.  National  Research  Council  of  Canada, 

Internal Report No. 673, Canada, 1994. 

RENAUD,  C.  Impovement  and  Extension  of  the  Simple  Calculation Method  for  Fire 

Resistance of Unprotected Concrete Filled Hollow Columns. Final Report. CIDECT 15Q‐

12/03. March, 2004. 

74

RUSH, D.; BISBY, L.; MELANDINOS, A.; LANE, B. Fire Resistance Design of Unprotected 

Concrete Filled Steel Hollow Sections: Meta‐Analysis of Available Furnace Test Data. 

Fire Safety Science – Proceedings of the tenth International Symposium, International 

Association for Fire Safety Science, United Kingdom, 2011. 

STANK,  JÜRGEN  Brandverhalten  betongefüllter  Stahlhohlprofile  und  offener 

Stahlprofile mit Betonummantelung. Berlin‐Dahlem, 1975. 

WANG,  Y.C.;  ORTON,  A.H.  Fire  Resistant  Design  of  Concrete  Filled  Tubular  Steel 

Columns. The Structural Engineer, vol. 7, pp 40‐45,October, 2008.