Volumes Finitos para CFD

7/21/2019 Volumes Finitos para CFD

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Ardson dos S. Vianna Jr.Departamento de Engenharia Química

[email protected]

Volumes finitos



Sumário

Introdução Método

Condições de contorno



Introduço

Vo!umes "initos

resolver equações diferenciais comvariações pelo menos em uma

coordenada espacial – modelo aparâmetros distribuídos



Introduço

Vo!umes "initos !ão é diferenças finitas"

# fundamento dos volumes finitos é aconservação do flu$o entre re%iõesfinitas

&st' li%ado as equações de conservação

desde os primeiros passos



Introduço # conser$aço

(ropriedade qualquer )* )+$,-,.,t/

F DF ∂r

Componente advectiva e transiente

t v Dt ∂= .




(ropriedade )* densidade * massa 0volume

Componente advectiva e transiente

t

v

Dt

D

∂

∂+∇=

ρ ρ

ρ .

r




(ropriedade )* C 1 * massa de 10volume

2

transiente 3advectivo* difusivo 3 fonte

A

A A A R x

C D

x

C v

t

C +

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂

2

2




termofluidodinâmica

( )∂ ρ

ρ v= − ∇ ⋅ r

( ) ρ ∂

∂ µ ρ

r

r r rv

t v v v G p+ ⋅ ∇

= ∇ + − ∇2

( ) ( ) ρ ∂

∂ C

T

t v T k T QP + ⋅ ∇

= ∇ ⋅ ∇ +r




Desenvolvimento dos volumes finitos

wvu ∂∂=

∂∂∂∂ φ ρφ ρφ ρφ ρφ

S z z y y

x x z y xt

+

∂

∂Γ

∂

∂+

∂

∂Γ

∂

∂+

∂∂∂∂∂∂

φ φ



Vo!umes "initos # %&todo

Dividir o volume total em partes4 mes5 Inte%rar no espaço4 manter flu$os

operadores diferença

Construir o sistema de equações 7esolver o sistema

7epresentar a solução



Di"uso com "onte

8ma direção

S z z y y

x x z y xt

+

∂

∂

Γ ∂

∂

+

∂

∂

Γ ∂

∂

+

∂Γ

∂=

∂+

∂+

∂+

∂

φ φ



Di"uso com "onte

0=+ ∂Γ

∂S

x x



Di"uso com "onte

Dividir o volume4 uma direção, %erar mal5a4$i*$93i5

W EP

w e



Di"uso com "onte

Diferença fundamental4 resultado nos centrosdos volumes 2 $i*$9350:3+i2;/5

W EP

w e



Di"uso com "onte

Método dos subdomínios4 equaçãosoma resíduo .ero neste volume"

∫∆

=

V

dV xa R 0),(



Di"uso com "onte

Método dos subdomínios4 equaçãosoma resíduo .ero neste espaço"

∫∆

=

+

∂

∂Γ

∂

∂

V

dV S x x

0φ



Di"uso com "onte

Método dos subdomínios4 equaçãosoma resíduo .ero neste espaço"

∫ ∫∆ ∆

=+

∂

∂Γ

∂

∂

V V

SdV dV x x

0φ



Di"uso com "onte

!ão 5' volume, mas sim a lin5a"

= ∂∂ φ

P

w e

∆ ∆ ∂∂V V x x



Di"uso com "onte

Método dos subdomínios4 equação somaresíduo .ero neste espaço"

quadro

∫ ∫ =+

∂

∂Γ

∂

∂e

w

e

w

dxSAdx A x x

0..φ



Di"uso com "onte

Diferente das diferenças finitas

1 in r m in r r fí i 4 n r 2

sai * acumula

#s limites de inte%ração não são os pontos

nodais

6empre lineari.a a fonte4

PPU S S S V φ +=∆ .



Di"uso com "onte

<orma final

S aaa ++=

P E W p

S aaa −+=



Di"uso sem "onte

&studo de caso4 Difusão de calor&ncontrar o perfil de temperatura de uma

° e >99°C

1*;9;92? m: @*;999A0m@

0=

dx

dT k

dx

d



Di"uso sem "onte

&studo de caso4 B*9,> m a*;99,b*>99

A B



Di"uso sem "onte

Dividir o volume total em partes

2 43

0 0,5

1 5



Di"uso sem "onte

Dividir o volume total em partes4mes5 2 $i*$935

2 43

0 0,5

1 5

0,1 0,2 0,3 0,4




pontos onde se res%ata a solução $i*50:3+i2;/5

E;*9,9> u;E:*9,;> u;

E?*9,:> u?

EF*9,?> uF

E>*9,F> u>




Inte%rar no espaço4 manterflu$os

∫∆

=

V

dV dx

dT k

dx

d 0

∫ =

e

w

Adxdx

dT k

dx

d 0




Gerar o sistema pontos internos

–

!o de incH%nitas * no de equações

7esolver o sistema

Comparar com solução analítica



Di"uso sem "onte

6olução

450

500

Analítica

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

100

150

200

250

300

350

400

Ex. 4.1

T e m p e r a t u r a ( C )

x (m)



Di"uso com "onte

&studo de caso4 Difusão de calor com fonte

m l m r B*: m m

condutividade térmica constante i%ual a*9,>A0m e com uma fonte de caloruniforme q*;999J0m? 1s faces 1 e K estão

respectivamente a ;99°C e :99°CConsiderando variações somente na direção$, calcular a distribuição de temperatura

1*;m:



Di"uso com "onte

Dividir o volume total em partes

2 43

0 0,02

1 5



Di"uso com "onte

Dividir o volume total em partes4mes5 2 $i*$935

2 43

0 0,02

1 5

0,004 0,008 0,012 0,016



Di"erenças "initas # %&todo

pontos onde se res%ata a solução $i*50:3+i2;/5

E;*9,99: u;E:*9,99L u;

E?*9,9; u?

EF*9,9;F uF

E>*9,9; u>




Inte%rar no espaço4 manter flu$os

∆ ∆

=+ V V

qdV dV dxk dx 0

∫ ∫ =+

e

w

e

wqAdx Adxdx

dT

k dx

d

0



Di"uso com "onte

6olução

250

Analítica

0,000 0,002 0,004 0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020

150

200

. .

T e m p e r a t u r a ( C )

x (m)



Di"uso com "onte ' (dimens)es

Mesma metodolo%ia

wvu ∂∂∂∂∂∂ φ ρφ ρφ ρφ ρφ

S

z z y y

x x z y xt

+

∂

∂Γ

∂

∂+

∂

∂Γ

∂

∂+

∂∂∂∂∂∂

φ φ



Di"uso com "onte ' (D

8ma direção

S z z y y

x x zw

yv

xu

t

+

∂∂Γ

∂∂+

∂∂Γ

∂∂+

∂∂Γ

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

φ φ

φ ρφ ρφ ρφ ρφ




N

W EP

w eS







∫ ∫∫∆ ∆∆

=+

∂

∂Γ

∂

∂+

∂

∂Γ

∂

∂

V V V

SdV dV y y

dV x x

0φ φ

∫ ∫∫∆ ∆∆

=+

∂

∂Γ

∂

∂+

∂

∂Γ

∂

∂

V V V

SdV Ady y y

Adx x x

0φ φ




∫ ∫∫ =+

∂

∂Γ

∂

∂+

∂

∂Γ

∂

∂e n

SdV Ady y y

Adx x x

0φ φ

0=+

∂

∂

Γ +

∂

∂

Γ dV S y A x A

n

s

e

w

φ φ



Di"uso com "onte # (d

<orma final

S aaaaa ++++=

PS N E W p S aaaaa −+++=





Di"uso com "onte ' *dimens)es

trNs direções

S z z y y

x x zw

yv

xu

t

+ ∂

∂Γ

∂

∂+

∂

∂Γ

∂

∂+

∂Γ

∂=

∂+

∂+

∂+

∂

φ φ

φ ρφ ρφ ρφ ρφ




trNs direções+

,I- ./ ' Vo!ume de contro!e para o m&todo de $o!umes "initos.

i

0

E1 2 e

3 4

n

t

b

sS

5

6




∫ ∫∫ ∫∆ ∆∆ ∆

=++

∂

∂Γ

∂

∂+

∂

∂Γ

∂

∂+

∂

∂Γ

∂

∂

V V V V

SdV dV z z

dV y y

dV x x

0φ φ φ

∫ ∫∫∫∆ ∆∆∆

=+

∂

∂Γ

∂

∂++

∂

∂Γ

∂

∂+

∂

∂Γ

∂

∂

V V V V

SdV Adz

z z

Ady

y y

Adx

x x

0φ φ φ



Di"uso com "onte # *d

<orma final N N S S E E W W P p aaaaa +++= φ φ φ φ φ

U B BT T S aa +++ φ φ

PT BS N E W p S aaaaaaa −+++++=



7onc!uso

<orma final

U vizinhosvizinhos p p S aa += ∑ φ φ

Pvizinhos p S aa −= ∑



8e"er9ncias

Verstee% O Malalaseera, A, 1nIntroduction to Computational <luid

D-namics4 5e <inite Volume Met5od +:nd&dition/, :99P

(atanar, 6V !umerical Oeat ransfer and<luid <loJ, a-lor and <rancis Group, ;Q9

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