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1 Value-at-Risk: Overview Análise de Risco (1) R.Vicente mpmmf

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  • 1Value-at-Risk: Overview

    Anlise de Risco (1)R.Vicente mpmmf

  • 2Resumoz Objetivosz Definioz Esquema Geralz Dinmica de Preosz Passeio Aleatrio Discretoz Somas de Variveis Aleatriasz Teorema Central do Limitez Estatstica dos Retornosz Auto-Correlaoz Volatilidadez Matrizes de Correlaoz Bibliografia

  • 3Objetivos 1. Medida de exposio por transao, unidade de

    negcios ou agregada;

    2. Alocao de capital apropriada ao valor de mercado e risco;

    3. Estabelecimento de limites de exposio;

    4. Disclosure para acionistas, mercado e rgos regulatrios;

    5. Avaliao de traders e/ou unidades de negcio.

  • 4Definio Dado um horizonte de tempo T e um nvel de confiana p, o VaR a perda no valor de mercado no horizonte T que pode ser excedida com probabilidade 1-p.

    BIS: p=0,99 e T = 10 dias

    JPM: p=0,95 e T = 1 dia

    O VaR apenas um benchmark para decises comparativas. Em situaes adversas podem ocorrer problemas de liquidez que podem ampliar significativamente perdas potenciais.

  • 5Esquema Geral

    Simulao de mudanas nos preos e taxas.(modelos estatsticos paramtricos ou bootstrap)

    Base de dados com carteiras

    Clculo do valor de mercado de cada instrumento para cada cenrio de preos e taxas.

    (aproximaes de 1a (delta) ou 2a (delta-gama) ordem, full valuation)

  • 6O que necessrio ?

    1. Modelo para as mudanas aleatrios nos preos;

    2. Modelo para preos e sensibilidades de derivativos

  • 7Dinmica de Preos

    1 1

    1 1

    11

    1 1

    var

    0 var 1

    = + = =

    = =

    t t t t

    t t t

    t t t

    t t t t

    R

    E R I

    R I

    E I I

    Plain vanilla model: constantes., (0,1)iid N

  • 8Passeio Aleatrio Discreto 1

    2 2 2

    1 1~ ( ) ( ) ( ) . . .2 2

    0

    n n n

    n

    n n n j nj

    S S

    p s s i i d

    s s

    = +

    = + += = =

    -10 0 10 20 30 40 50 60 70-140

    -120

    -100

    -80

    -60

    -40

    -20

    0

    20

    40

  • 9Passeio Aleatrio Discreto

    1000S1

    1

    2 2 2

    1

    0

    N

    N jj

    N

    N jj

    N

    N jj

    S

    S

    S Ns

    =

    =

    =

    =

    = =

    = =

  • 10

    Convoluo

    1

    N

    N jj

    S =

    =

    1 2

    1 2

    1 2

    ~ ( )

    ( ) ( ) ( )

    j j jX X X x p x

    p x dx p x p x x

    p p p

    = +

    = =

    Qual a distribuio de ?

  • 11

    Convoluo

    1

    N

    n jj

    S =

    =

    1

    1

    1 1 1 1 1 ' 11

    1 2

    ~ ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    N

    j j j jj

    N

    j N N N Nj

    N

    X X x p x

    p x dx p x p x p x x x

    p p p p

    =

    =

    =

    = =

    " "

    "

    Qual a distribuio de ?

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )NNN termos

    p S p p p p = ="

  • 12

    Convoluo no Espao de Fourier

    '1 ' 1

    1

    1 1 1 1 1 ' 11

    1

    ( ) exp( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    N

    N

    j N N N Nj

    N

    jj

    p z dx izx izx izx

    dx p x p x p x x x

    p z p z

    =

    =

    =

    =

    "

    " "

    ( )

    1 1

    , ,1

    ln ( ) ln ( ) ln ( )

    ln (0)

    NN

    j jj j

    l Nl

    l N l jlj

    p z p z p z

    pc i cz

    = =

    =

    = = = =

    Como conseqncia os

    cumulantes se somam:

  • 13

    Cumulantes

    ( )1, ,1 2

    ,2,12

    2,

    ll N l

    l N l

    N

    c cN

    cc = =

    , ,1l N lc Nc=Se as variveis so i.i.d. os cumulantes de uma soma de N variveis so:

    Os cumulantesnormalizados so:

    Em uma soma de N variveis i.i.d. a assimetria (skewness) , a curtose e os cumulantes superiores decaem como:

    33, ,

    2,2

    lN N l N

    lN NN

    = = = =

  • 14

    Teorema Central do LimiteSeja uma seqncia de variveis aleatrias i.i.d. com distribuio comum. Suponha que estejam definidos os dois primeiros cumulantes.

    Seja , ento, para fixo:

    1{ }N

    k kX =

    1kX c= = 222 2k kX X c = =

    N

    N kS X= 1k=

    2121

    2xN

    N

    S NP dxeN

    <

  • 15

    Teorema Central do Limite

  • 16

    Distribuies Estveis

    Se a distribuio de tiver a mesma forma

    funcional, da distribuio de , a distribuio de

    dita estvel.

    1

    N

    N kk

    S X=

    =kX kX

    Portanto, uma distribuio estvel se, no espao de Fourier, sua funo caracterstica for

    [ ] ( ) ( ) nnp z p z=

    tal que tenham a mesma forma funcional. ( ) ( )np z e p z

  • 17

    Distribuies Estveis

    Exemplo: A distribuio Lorentziana (Cauchy) estvel:

    No espao de Fourier:

    2 2 ( )

    ixzzep z dx e

    x

    = =

    +

    2 2

    1( )p xx

    = +

    ( ) n znp z e=

    Retornando ao espao original:

    2 2

    1 1( )2 ( )

    n zixzn

    np x dz e en x

    = =+

  • 18

    Distribuies Estveis

    A classe completa de distribuies estveis descrita pela seguinte famlia de funes caractersticas (Lvy e Khintchine):

    1 tan , 12

    ln ( )21 ln , 1

    0 2 0 [ 1, 1]

    zi z a z iz

    p zzi z a z i zz

    a

    = = < > +\

  • 19

    Distribuies Estveis

    NORMAL

    02

    Exponencial

    Uniforme

    LVY

    Lorentziana

    1=

    Lvy-Smirnoff

    1/ 2=

    ( 1) =

  • 20

    Passeio Aleatrio Contnuo 1

    2 2 2

    ~ ( ) . . .

    0

    n n n

    n

    n n n j nj

    S Sp i i d

    s s

    = +

    = = =

    22 2

    0

    ( )

    n t com n t tsS t ns tt

    = =

  • 21

    Passeio Aleatrio Contnuo:Difuso

    2s D t=

    2 ( )S t Dt=DefinindoConstante de difuso

    ( )201( , ) exp22

    x xp x t

    DtDt =

    -30 -20 -10 0 10 20 300

    0.05

    0.1

    0.15

    0.2

    0.25

    0.3

    0.35

    0.4

    2

    0 22p p D pxt x x

    = +

    Equao de Difuso

  • 22

    Caudas Pesadas

  • 23

    Caudas Pesadas

  • 24

    Caudas Pesadas

  • 25

    Estatstica dos Retornos: IBOV

    0

    5000

    10000

    15000

    20000

    j

    u

    l

    -

    9

    4

    j

    a

    n

    -

    9

    5

    j

    u

    l

    -

    9

    5

    j

    a

    n

    -

    9

    6

    j

    u

    l

    -

    9

    6

    j

    a

    n

    -

    9

    7

    j

    u

    l

    -

    9

    7

    j

    a

    n

    -

    9

    8

    j

    u

    l

    -

    9

    8

    j

    a

    n

    -

    9

    9

    j

    u

    l

    -

    9

    9

    j

    a

    n

    -

    0

    0

    j

    u

    l

    -

    0

    0

    j

    a

    n

    -

    0

    1

    j

    u

    l

    -

    0

    1

    j

    a

    n

    -

    0

    2

    j

    u

    l

    -

    0

    2

    -0,2-0,1

    00,10,20,30,4

    jul-94

    jan-95

    jul-95

    jan-96

    jul-96

    jan-97

    jul-97

    jan-98

    jul-98

    jan-99

    jul-99

    jan-00

    jul-00

    jan-01

    jul-01

    jan-02

    jul-02

    IBOVESPA

    1 1lnt t tt t t

    S S SSS S S

    + + =

  • 26

    Estatstica dos Retornos: Leptocurtose no IBOV

    1ln ttt

    Sx

    S+

    = IBOVESPAMdia -0,0012Assimetria -0,15Curtose 3,87

    Um teste de Kolmoroff-Smirnoff rejeita a normalidade da amostra com p-value de 0,038 para um nvel de significncia de 5%.

  • 27

    Auto-correlao

    IBOVESPA

    ( ) t L t t L tC L x x x x+ +=

    99% de confiana

  • 28

    Leptocurtose e Heterocedasticidade

    Retornos independentes e gaussianos mas com a volatilidade mudando com o tempo geram distribuies de retornos agregados leptocrticas.

    2

    22

    44 2 2

    2 2

    1[ ( )] ( ) exp22

    3[ ][ ] [ ] [ ] 3 0[ ]

    xp x d p

    = =

  • 29

    Leptocurtose e Jump DiffusionRetornos independentes e gaussianos mas com picos eventuais de volatilidade tambm geram distribuies de retornos agregados leptocrticas.

  • 30

    Leptocurtose e Mistura de Normais

    Qualquer curtose pode ser gerada via uma mistura de distribuies normais

    Normal 1: probabilidade p

    Normal 2: probabilidade 1-p

    X Z=X Z=

    ( )

    2 2 2

    2 2

    44 4

    4

    var( ) (1 )

    1

    3 (1 )

    X p p

    pp

    E Xp p

    = + ==

    = = +

  • 31

    VolatilidadesAs volatilidades so bem descritas por um modelo GARCH e so altamente heterocedasticas.

  • 32

    Auto-correlao das Volatilidades

    As volatilidades so bem descritas por um modelo GARCH e so altamente heterocedasticas e auto-correlacionadas.

  • 33

    Matriz de Correlaes

    RANDOM

    MARKET

    Espectro de Autovalores

  • 34

    Bibliografia

    Duffie e Pan, An Overview of Value at Risk

    Bouchaud e Potters, Theory of Financial Risk;

    Mantegna R.N. e Stanley E., An Introduction to Econophysics;

    Feller W., An Introduction to Probability Theory and Applications;Leitura Complementar

    Sornette e Andersen, Increments of Uncorralated Time Series Can Be PredictedWith a Universal 75% Probability of Success;

    http://xxx.lanl.gov/abs/cond-mat/0001324

    Value-at-Risk: OverviewResumoObjetivos Definio Esquema Geral O que necessrio ?Dinmica de Preos Passeio Aleatrio Discreto Passeio Aleatrio DiscretoConvoluoConvoluo Convoluo no Espao de Fourier CumulantesTeorema Central do LimiteTeorema Central do LimiteDistribuies EstveisDistribuies EstveisDistribuies EstveisDistribuies EstveisPasseio Aleatrio Contnuo Passeio Aleatrio Contnuo:DifusoCaudas PesadasCaudas PesadasCaudas PesadasEstatstica dos Retornos: IBOVEstatstica dos Retornos: Leptocurtose no IBOVAuto-correlaoLeptocurtose e HeterocedasticidadeLeptocurtose e Jump DiffusionLeptocurtose e Mistura de NormaisVolatilidadesAuto-correlao das VolatilidadesMatriz de CorrelaesBibliografia