COMISSÃO DE LICENCIATURA

SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA

DOCUMENTO

Justificativa para elaboração do documento

A educação básica em matemática é o instrumento disseminador da competência para o pensamento quantitativo nas sociedades modernas. E, como tal, é de importância estratégica tanto para a formação de uma cidadania consciente quanto para geração de capital humano qualificado, indispensável para a competição no mundo contemporâneo.

Graças ao bem sucedido programa nacional de pós-graduação, a matemática brasileira atingiu um padrão de excelência pela qualidade da sua pesquisa e formação de pesquisadores, amplamente reconhecido no âmbito nacional e internacional. Se, por um lado, os quadros altamente qualificados formados pelos nossos programas de pós-graduação garantem ao País uma visibilidade na matemática mundial, persiste o desafio de converter estes resultados em qualificação para o ensino básico em matemática.

Os problemas do ensino básico de matemática são uma parte dos grandes desafios do sistema educacional em nosso país.

Do ponto de vista de políticas públicas, os objetivos centrais do ensino básico de matemática são:(1) formar uma população matematicamente letrada, com domínio dos instrumentos quantitativos

necessários para o cotidiano e para o mercado de trabalho. Estes instrumentos abrangem: conhecimento do significado de números e de grandezas; domínio das operações básicas com os números e suas aplicações relevantes na vida cotidiana; desenvolvimento de raciocínios que conectem os conceitos abstratos da linguagem matemática, que incluem as formas geométricas e a álgebra básica; atividades mais complexas tais como a extração, interpretação e representação de dados quantitativos em gráficos e tabelas.

(2) fornecer bases sólidas para a educação de nível médio e superior e estimular a vocação para as profissões nas diversas áreas que são essenciais para o desenvolvimento social, científico e tecnológico do país e que requerem formação matemática especializada.

Um desempenho adequado na execução destes objetivos é considerado de importância estratégica para as perspectivas de inserção competitiva das nações na economia globalizada do século XXI. A situação atual do Brasil neste aspecto é alarmante. Os resultados do PISA (Programme for International Student Assessment) - matemática, um exame de conteúdo e competências básicas, apesar de avanços substanciais alcançados entre 2000 e 2006, o Brasil ainda teve um dos piores desempenhos. O país ocupa a 58ª posição entre os 65 países participantes da última edição, 2012, duas posições a menos que em 2009, e mais de 100 pontos abaixo da média dos países da OCDE, que foi de 494 pontos.

A correção do quadro atual requer um esforço continuado que deve ser, por isso mesmo, resultante de uma política de Estado aliada a um compromisso de todos os segmentos da sociedade brasileira.

A Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), como representante da comunidade acadêmica da área de matemática, tem se dedicado ao compromisso de contribuir para promover a melhoria do ensino de matemática na escola básica.

A SBM tem investido na elaboração e divulgação de livros didáticos e paradidáticos para a formação do professor, além de promover encontros nacionais tais como o Colóquio Brasileiro de Matemática e a Bienal de Matemática que geram produtos didáticos inovadores para o ensino de matemática. Ampliando estas ações, a SBM criou e mantém um Programa Nacional de Mestrado Profissional em Matemática (www.profmat-sbm.org.br). Trata-se de um programa de pós-graduação strictu sensu, dirigido prioritariamente a professores de Matemática da rede pública em exercício no ensino médio ou fundamental.

O Objetivo deste documento é complementar o conjunto de Diretrizes Curriculares para os cursos de formação do Professor de Matemática da Educação Básica, no endentimento de que as

determinações constantes nas diretirzas não são suficientes quanto ao nível de abordagem dos conteúdos. Com esse fim, apresentamos uma Proposta de Currículo Nacional para os Cursos de Licenciatura, que entendemos ser fundamental para garantir aos professores do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, o domínio profundo do conhecimento matemático necessário para cumprir, com segurança e habilidade, o que deve a ser coberto em sala de aula.

Grande parte dos atuais currículos dos cursos de licenciatura se classifica em dois modelos principais, ambos inadequados à formação sólida do professor. Um deles preconiza formação matemática do licenciado, mas com versões das disciplinas de Bacharelado sem igual grau de aprofundamento; o outro enfatiza apenas as disciplinas pedagógicas, em detrimento das disciplinas de conteúdo matemático. Uma proposta de currículo para a licenciatura deve se basear no princípio de que a formação em matemática forneça ao professor do ensino básico não só pleno domínio dos conteúdos matemáticos, mas também conhecimento das formas adequadas de transferir estes conteúdos para os alunos. Além disso, a estrutura curricular deve contemplar tópicos que darão o suporte adequado para outras disciplinas do currículo e, na medida das possibilidades, especialmente no ensino médio, deve incluir a introdução elementar a avanços científicos da matemática, de modo a preparar o aluno para os desafios do século XXI.

A proposta de currículo para o Curso de Licenciatura em Matemática que aqui apresentamos está alinhada com o Parecer CNE/CP 9/2001, que trata das Diretrizes Curriculares Nacionais para a Formação de Professores da Educação Básica, em nível superior, curso de licenciatura, de graduação plena.

Nossa preocupação inicial é evidenciar características específicas da Licenciatura em Matemática. Damos ênfase à concepção do curso; portanto, conteúdos que, em geral, são ministrados em turmas comuns à licenciatura e bacharelado, têm suas abordagens revistas e direcionadas para a formação do professor.

Elementos constituintes da proposta curricular, ou seja, elementos considerados para elaboração de uma proposta de estrutura curricular, independentemente de legislação que determine conteúdos e carga horária para os cursos de licenciatura em Matemática.

-Matemática na Escola Básica: a matemática que deve ser ensinada na Educação Básica. -A matemática elementar do ponto de vista do Ensino Superior: os fundamentos teóricos dos

conteúdos matemáticos abordados na Educação Básica. -Vivência escolar: as diversas formas de abordagem dos conteúdos baseadas em experiências

docentes.-A experiência Matemática do licenciando como aluno de graduação e como professor: a formação

do licenciado com abordagens que lhe proporcionem maturidade nos fundamentos dos conteúdos matemáticos com os quais irá trabalhar e abordagem de métodos para o ensino da matemática na Educação Básica.

-A Matemática como ferramenta para descrição do mundo real: a diversidade de fenômenos e situações do cotidiano em que a matemática está presente; a investigação de propriedades dentro de estruturas matemáticas, os questionamentos, as ideais e as respostas, ou seja, o estudo da ciência Matemática.

Competências específicas Além das competências relativas ao papel do professor na escola e ao conhecimento pedagógico,

necessários para o bom desempenho da profissão docente, os tópicos constituintes da proposta curricular da SBM visam as seguintes competências específicas do licenciado em Matemática:

-compreender os processos de construção do conhecimento matemático (abrangendo a lógica matemática e o método dedutivo);

- ter segurança para desenvolver atividades matemáticas;

-comunicar-se matematicamente por meio de diferentes linguagens;-saber analisar erros cometidos e ensaiar estratégias alternativas;-decidir sobre a razoabilidade de cálculo, usando o cálculo mental, exato e aproximado, as

estimativas, os diferentes tipos de algoritmos e propriedades e o uso de instrumentos tecnológicos;-domínio de conteúdos básicos de áreas formadoras de problemas que estimulam o aprendizado

da matemática; -criar em sala de aula ambiente propício para o aprendizado de Matemática por meio da exploração

de situações problemas estimulando seus alunos à investigação, argumentação e dedução, desenvolvendo o pensamento matemático dos alunos;

-desenvolver a arte de investigar em matemática, experimentando, formulando e demonstrando propriedades.

Elementos considerados pela Comissão para a elaboração da proposta curricular:- justificativa dos conteúdos. Destacamos como um dos pontos principais de nosso trabalho.

Entendemos que cada conteúdo colocado num currículo do curso deve ser fundamentado, ou seja, os formadores dos licenciados devem evidenciar a importância do conteúdo no currículo da licenciatura e também do ensino básico;

-pontos em que há falha na formação do licenciado em matemática (detectados em avaliações ENADE, de ensino superior; Pisa e SAEB, de Educação Básica);

-como operacionalizar os PCN;-elo entre conteúdos de natureza científica e a prática;-orientação quanto à estrutura curricular apresentando sugestão de elenco de disciplinas com

respectivas ementas e bibliografia

Princípios e objetivos

Destacamos alguns desafios que identificamos como prioritários neste contexto: 1) Um princípio básico para ensino de qualidade em matemática é que o professor conheça

profundamente o material que ensina. Há uma precariedade endêmica na formação matemática de professores do ensino básico no Brasil, particularmente grave na formação de professores das primeiras séries do ensino fundamental. A matemática, ensinada por alguém com domínio precário de sua forma de raciocinar e de seu uso para resolver problemas torna-se um amontoado sem sentido de rituais e de regras a serem repetidas sem raciocinar. Esta é a maneira mais comum, e mais grave, em que o ensino de matemática falha. Claro que a formação de um professor de matemática não se encerra na própria matemática, pois ainda há que dominar a conexão entre o conhecimento e sua vivência eficaz em sala de aula, mas uma formação sólida dos professores na matemática apropriada é uma condição sine qua non para um ensino de qualidade.

2) A matemática e o seu ensino são um bem universal. A formação matemática básica é fundamentalmente a mesma em todos os países e comunidades no mundo que compartilham a civilização contemporânea. Esta identidade universal da matemática possibilita processos de avaliação internacionais como o PISA. A discussão sobre políticas públicas para o ensino de matemática tem que passar por uma reflexão aprofundada sobre as experiências em outros países.

3) O entendimento vigente sobre educação em geral, e educação matemática em particular, propõe um modelo abrangente, que leva em conta especificidades das condições de vida dos alunos, da comunidade em que a escola se insere, de uma articulação profunda entre diferentes currículos e eixos de formação. De fato, sendo a matemática parte essencial da linguagem de todas as ciências, seu ensino deve propiciar o suporte adequado para outras disciplinas do currículo, através do ensino de tópicos que permitam exprimir de forma adequada, por exemplo, as leis da física, os fenômenos

químicos, biológicos, econômicos e sociais, e as aplicações tecnológicas à vida diária. Contudo, o ensino de matemática não pode prescindir de uma primeira fase reducionista, em que os elementos fundamentais de uma formação matemática de qualidade estejam estabelecidos de forma inequívoca em si, como alicerce para uma articulação mais abrangente do conhecimento matemático com tudo mais.

Para cumprir seus objetivos e que o presente documento seja base para uma proposta (ou propostas?) de currículo mínimo norteador para instituições de ensino superior é necessário que sejam realizadas:

1) Reuniões regionaisConsiderando o número de IES com curso de Licenciatura em Matemática e a extensão territorial

do Brasil, é de importância fundamental a realização de reuniões com coordenadores de curso ou núcleos estruturantes para que cheguemos a um documento que contenha todas as demandas regionais, além de contemplar as diretrizes currículares.

2) Produção de Material didáticoConsiderando as especificidades da licenciatura e o objetivo de estruturar o curso direcionado

para a formação docente, encontramos dificuldade na indicação de livros didáticos. Há pouco material com esta ênfase. Uma proposta da Comissão de Ensino é a criação de série da Editora da SBM, dirigida à Licenciatura em Matemática. Os textos seriam selecionados através de um Edital.

Parte I – Resumo de diretrizes para a Licenciatura Plena em Matemática de 1939 a 2014.

Em muitas instituições de ensino, as licenciaturas em matemática surgiram de cursos de bacharelado em matemática acrescidos de um conjunto de disciplinas pedagógicas conforme estabelecido pelo Decreto- lei 1.190, de 4/4/1939, criando o curso de didática de 1 ano e que, quando cursado por bacharéis, daria o título de licenciado, permitindo o exercício do magistério nas redes de ensino. Este é o famoso esquema que ficou conhecido como 3 + 1.

O Parecer CFE 292/62, de 14/11/62, estabeleceu a carga horária dos conteúdos de formação pedagógica a qual deveria ser acrescida aos que quisessem ir além do bacharelado. Esta duração deveria ser de, no mínimo, 1/8 do tempo dos respectivos cursos e que, neste momento, eram escalonados em 8 semestres letivos e seriados.

Em 1971, a Lei Nº 5.692/71, que fixa Diretrizes e Bases para o ensino de 1° e 2º graus, e dá outras providências, em seu artigo 30 a), cria a licenciatura curta ou de 1º grau como formação mínima para o exercício do magistério no ensino de 1º. Grau.

O Parecer 895/71, de 9/12/71, examinando a existência da licenciatura curta face à plena e as respectivas horas de duração, propõe para as primeiras uma duração entre 1200 e 1500 horas e para as segundas uma duração de 2.200 a 2.500 horas de duração. A Resolução CFE 1/72 fixava entre 3 e 7 anos com duração variável de 2200h e 2500h as diferentes licenciaturas, respeitados 180 dias letivos, estágio e prática de ensino. Tal Resolução se vê reconfirmada pela Indicação 22/73, de 8/2/73.

As informações sobre legislação contidas nos parágrafos acima foram obtidas no Parecer CNE/CP 28 de 2001, homologado.

Em 2001, surgem as diretrizes curriculares para a Licenciatura em Matemática por meio do Parecer CNE/CES 1.302/2001, homologado em 6 de novembro de 2001, que estabelece Diretrizes Curriculares Nacionais para os Cursos de Matemática, Bacharelado e Licenciatura, do qual transcrevemos, a seguir, trecho referente à estrutura curricular (o negrito faz parte do original)

Parecer CNE/CES 1.302/2001Os conteúdos descritos a seguir, comuns a todos os cursos de Licenciatura, podem ser

distribuídos ao longo do curso de acordo com o currículo proposto pela IES: Cálculo Diferencial e Integral

Álgebra Linear Fundamentos de Análise Fundamentos de Álgebra Fundamentos de Geometria Geometria AnalíticaA parte comum deve ainda incluir:a) conteúdos matemáticos presentes na educação básica nas áreas de Álgebra, Geometria e

Análise;b) conteúdos de áreas afins à Matemática, que são fontes originadoras de problemas e campos de

aplicação de suas teorias;c) conteúdos da Ciência da Educação, da História e Filosofia das Ciências e da Matemática.Para a licenciatura serão incluídos, no conjunto dos conteúdos profissionais, os conteúdos da

Educação Básica, consideradas as Diretrizes Curriculares Nacionais para a formação de professores em nível superior, bem como as Diretrizes Nacionais para a Educação Básica e para o Ensino Médio.

Desde o início do curso o licenciando deve adquirir familiaridade com o uso do computador como instrumento de trabalho, incentivando-se sua utilização para o ensino de matemática, em especial para a formulação e solução de problemas. É importante também a familiarização do licenciando, ao longo do curso, com outras tecnologias que possam contribuir para o ensino de Matemática.

As IES poderão ainda organizar os seus currículos de modo a possibilitar ao licenciado uma formação complementar propiciando uma adequação do núcleo de formação específica a outro campo de saber que o complemente.

O parecer não determina carga horária mínima, mas é claro em relação ao perfil do licenciado em matemática, às competências e habilidades a serem desenvolvidas e à estrutura curricular dos cursos de licenciatura em matemática.

Em 2002, surge a Resolução CNE/CP n. 1, de 18 de fevereiro de 2002, que institui Diretrizes Curriculares Nacionais para a formação de professores da Educação Básica, em nível superior, curso de licenciatura, de graduação plena. Esta resolução vem nortear a estrutura das licenciaturas, ou seja, os projetos pedagógicos, ressaltando que a carga horária e as diretrizes curriculares específicas serão estabelecidas em resoluções posteriores.

Conforme o esperado, em 2003, é publicada a Resolução CNE/CES 3, de 18 de fevereiro de 2003, que institui Diretrizes Curriculares Nacionais para a formação de professores da Educação Básica em nível superior, em curso de licenciatura, de graduação plena para os cursos de matemática, fundamentada no que está estabelecido no Parecer CNE/CES 1.302/2001, homologado em 6 de novembro de 2001.

A carga horária mínima das licenciaturas é determinada na Resolução CNE/CP n. 02, de 19 de fevereiro de 2002 que institui a duração e carga horária dos cursos de licenciatura, de graduação plena, de formação de professores da Educação Básica em nível superior, fundamentada no Parecer CNE/CP 28 de 2001, estabelece

A carga horária dos cursos de Formação de Professores de Educação Básica, em nível superior, em curso de licenciatura, de graduação plena, será efetivada mediante integralização de, no mínimo, 2800 (duas mil e oitocentas) horas, nas quais, a articulação teoria-prática garanta, nos termos dos seus projetos pedagógicos, as seguintes dimensões das componentes comuns:

I- 400 (quatrocentas) horas de prática como componente curricular, vivenciadas ao longo do curso;

II- 400 (quatrocentas) horas de estágio curricular supervisionado a partir do início da segunda metade do curso;

III- 1800 (mil e oitocentas) horas de aulas para os conteúdos curriculares de natureza científico cultural;

IV- 200 (duzentas) horas para outras formas de atividades acadêmico-científico-culturais.

Sobre o item IV, consta no parecer: Deve-se acrescentar que a diversificação dos espaços educacionais, a ampliação do

universo cultural, o trabalho integrado entre diferentes profissionais de áreas e disciplinas, a produção coletiva de projetos de estudos, elaboração de pesquisas, as oficinas, os seminários, monitorias, tutorias, eventos, atividades de extensão, o estudo das novas diretrizes do ensino fundamental, do ensino médio, da educação infantil, da educação de jovens e adultos, dos portadores de necessidades especiais, das comunidades indígenas, da educação rural e de outras propostas de apoio curricular proporcionadas pelos governos dos entes federativo, são exigências de um curso que almeja formar os profissionais do ensino.

Este enriquecimento exigido e justificado por si só e pelas diretrizes do Parecer 9/2001 não poderá contar com menos de 200 horas. Cabe às instituições, consideradas suas peculiaridades, enriquecer a carga horária por meio da ampliação das dimensões dos componentes curriculares constantes da formação docente.

Além disso, há a possibilidade do aproveitamento criterioso de estudos e que pode ser exemplificado no proposto na Resolução CNE/CP 1/99.

Parte II – Conteúdos II.1. Introdução A proposta de currículo para o Curso de Licenciatura em Matemática a ser apresentada posteriormente está alinhada com a Resolução CNE/CP 1, de 18 de fevereiro de 2002 fundamentada no Parecer CNE/CP 9/2001 e Parecer CNE/CP 27/2001 (o segundo dá nova redação ao item 3.6 c) do primeiro), que trata das Diretrizes Curriculares Nacionais para a Formação de Professores da Educação Básica, em nível superior, curso de licenciatura e de graduação plena.

Nossa preocupação inicial, diante dos documentos citados na Parte I, é evidenciar características específicas da Licenciatura em Matemática. Neste parecer da Comissão de Licenciatura da SBM, conteúdos que, em geral, são ministrados em turmas comuns à licenciatura e bacharelado, terão suas abordagens revistas e direcionadas, especificamente, para a formação do professor.

Quanto aos conteúdos curriculares, nossa proposta está de acordo com a Resolução CNE/CES n.3, de 18 de fevereiro de 2003, que estabelece as Diretrizes Curriculares dos cursos de Matemática, fundamentada no Parecer CNE/CES 1.302/2001, e determina que a carga horária da licenciatura deverá cumprir o estabelecido na Resolução CNE/CP 2/2002, resultante do Parecer CNE/CP 28/2001.

Alguns alegam que para lecionar do sexto ao nono ano do Ensino Fundamental não há necessidade de estudar “tanta matemática” como é exigido nos cursos de licenciatura plena. De encontro aos que têm essa opinião, não devemos esquecer que a maturidade matemática faz um professor seguro ao expor um conteúdo e esta é adquirida quando, em sua formação, são vistos assuntos que exijam o cuidado matemático na formulação de problemas e o aprofundamento e aplicações dos fundamentos dos ramos básicos da matemática como: aritmética, álgebra, geometria e análise.

É importantíssimo que um professor de matemática tenha em mente a utilidade dos conceitos e conteúdos tratados no Ensino Fundamental e como lidar com eles ( Vide parte III): eles servem para quê? Qual a influência que a aprendizagem desses conteúdos terão no futuro do aluno? Ao responder essas perguntas, um professor vai reconhecer, por exemplo, não só que o ensino da decomposição de um número no sistema posicional de base 10 é extremamente útil para o aluno compreender os algoritmos das operações na série seguinte, e por sua vez a boa compreensão dos algoritmos das operações em base 10 é extremamente útil para o domínio dos algoritmos das operações em outras bases, mas também vai reconhecer que a discussão da chamada "fórmula de Baskhara" no Ensino Fundamental é extremamente relevante para a discussão da origem dos números complexos, assunto tratado no Ensino Médio. Com tal consciência, um professor certamente vai propor no Ensino Fundamental questões mais relevantes aos alunos para a sua formação matemática, fornecendo-lhes

uma base melhor para as séries seguintes. Além disso, uma sólida formação matemática aliada a uma cultura matemática a ele proporcionada durante seu curso de graduação é que vai lhe dar subsídios para conseguir propor novas estratégias de ensino para os conteúdos matemáticos que deve lecionar.

A formação de um professor também deve possibilitá-lo a ser um agente crítico de seus procedimentos didáticos pedagógicos. Por exemplo, ao manusear um livro de matemática adotado em uma escola deve analisar como os conceitos básicos são introduzidos e deve ser capaz de detectar possíveis falhas nesses erros, evitando os erros conceituais. Um professor deve preparar os alunos do Ensino Fundamental para aprender os assuntos que serão vistos no Ensino Médio e preparar os alunos do Ensino Médio para aprender matemática além deste.

Ainda corroborando nossa opinião de que um professor de matemática deve ter uma boa formação conteudista, (também!) é importante citar que alguns temas estudados na Educação Básica são melhor compreendidos somente no Ensino Superior, por exemplo aqueles que envolvem o conceito de limite, mesmo que esse conceito não apareça nos livros didáticos do Ensino Médio (EM): conceito de número real; áreas e volumes - Princípio de Cavalieri; Teorema de Tales; o número π; o número e; os modelos matemáticos de fenômenos físicos estudados no EM (sistema massa-mola, velocidade instantânea, circuitos elétricos, ótica).

A formação do professor não pode ser estática, o aprender deve ser uma atividade contínua, mesmo depois de sua saída da universidade. As adaptações e melhorias de sua formação devem evoluir acompanhando os avanços tecnológicos e a demanda dos jovens, hoje hábeis para executar tarefas múltiplas, devido à era digital, mas com a capacidade de focalização e concentração de raciocínio um tanto dispersa. Os jovens, em sua maioria, esperam encontrar em sala de aula respostas rápidas, como ocorre quando estão buscando informações na internet e, em sua maioria, não acham necessária a profundidade do conhecimento que estão recebendo. Cabe ao professor a tarefa de utilizar metodologias para atrair seus alunos para atividades em sala de aula que evidenciem a necessidade de tal profundidade, e o professor só terá sucesso nessa tarefa se estiver disposto e interessado em permanecer como um pesquisador incansável no que faz.

Vivemos em uma época de grande diversidade de possibilidades profissionais. Nossos jovens são bombardeados amiúde com um grande número de informações, realidade que podem deixá-los atordoados e com dificuldades para sua escolha profissional. O professor de matemática deve ser um motivador dos alunos para o estudo de matemática e também de áreas afins. Uma boa aula com um professor dotado de conhecimentos matemáticos e possuidor de habilidades didáticas pode ajudá-los também nessa escolha. Essas são características da formação de um bom professor, que pode marcar e influenciar para sempre a vida de seus alunos.

Pelos motivos expostos, um licenciado em matemática não deve ter sua formação restrita. Sua formação também deve ser complementada com conteúdos de áreas afins, como física, pois constituem áreas em que problemas são formulados e tratados com aplicações da matemática.

Além disso, o aluno de licenciatura deve ter noção da abrangência da matemática dentro dela mesma e que esta não se limita apenas às chamadas áreas afins. Este conhecimento não só lhe abre possibilidades para a continuação de sua formação, mas também amplia sua capacidade de respostas para os alunos com os quais irá trabalhar, tanto na escola básica quanto em outros contextos educacionais (escolas técnicas e profissionalizantes, etc.).

II.2 A maneira como sugerimos que o ensino seja focalizado

A fim de dotar os alunos, na medida e no rítmo adequados, da noção do que seja o método matemático, dar-lhes condições e habilidade para lidar desembaraçadamente com fórmulas e cálculos e preparar-lhes a fim de mais tarde poderem utilizar com vantagem, em situações que se lhes apresentarem de fato, o conhecimento adquirido, em nossa opinião, o ensino da Matemática deve

constituir-se em três componentes básicas, as quais chamaremos de Conceituação, Manipulação e Aplicações.

Cada tópico apresentado na sala de aula, cada novo assunto tratado no curso, cada tema estudado deve ser visto sob esses três aspectos: o conceitual, o manipulativo e o aplicativo. O professor deve submeter-se ao desafio de compor esse trio a cada nova etapa do seu trabalho. Nem sempre vai ser fácil; por isso é um desafio. As vezes até parece impossível: não há muitas fontes bibliográficas nas quais se apoiar. No começo, não se vai sempre poder apresentar cada assunto sob essa tríplice abordagem. Mas anote a dificuldade e busque, com diligência e determinação, superá-la mais tarde. Pesquise, indague, olhe em torno de si, procure exemplos, exerça sua autocrítica. No decorrer do processo terá muitas alegrias. Cada êxito é um nutriente para a auto-estima; cada lacuna é uma motivação para estudos e pesquisas adicionais.

A dosagem adequada dessas três componentes é o fator de equilíbrio do processo de aprendizagem. Elas contribuirão para despertar o interesse dos alunos em aumentar a capacidade que terão no futuro de empregar, não apenas as técnicas aprendidas nas aulas, mas sobretudo a capacidade de análise, o espírito crítico, agudo e bem fundamentado, a clareza das ideias, a disciplina mental que consiste em raciocionar e agir ordenadamente. É conveniente pensar nas três componentes como um tripé de sustentação: as três são suficientes para assegurar a harmonia do ensino e cada uma delas é necessária para seu bom êxito.

Convém observar que essas três componentes básicas refletem algumas das diferentes faces com que a Matemática pode apresentar-se.

Algumas vezes a Matemática é como uma arte: o enlace das proposições, as conexões entre suas diversas teorias, a elegância e a clareza dos seus raciocínios, a eloquência singela das suas proposições e a surpresa de algumas de suas conclusões enlevam o espírito e acariciam nosso senso estético.

Outras vezes, a Matemática se mostra como um eficaz instrumento, às vezes simples em suas aplicações cotidianas, às vezes elaborado e complexo, quando usado para resolver problemas tecnológicos ou desenvolver teorias científicas.

E, para tornar efetiva sua aplicabilidade, ou mesmo para dar destreza na obtenção de suas conclusões teóricas, a Matemática oferece seu lado operacional: a manipulação de seus símbolos, tanto numéricos quanto abstratos.

Digamos algumas palavras sobre cada unia das componentes básicas do ensino da Matemática.

II.2.1 A ConceituaçãoA conceituação compreende vários aspectos, entre os quais destacaremos os seguintes:

(A) A formulação correta e objetiva das definições matemáticas.

Isto inclui a nítida compreensão de que definir significa dar um nome a um conceito, a uma situação ou a uma condição, substituindo uma frase por uma palavra ou um pequeno número de palavras, contribuindo assim para maior clareza do discurso, maior precisão das afirmações, maior concentração nos pontos essenciais da argumentação e mais destreza nos raciocínios.

Por exemplo, nos "Elementos" de Euclides encontramos as seguintes definições: (a) linha é um comprimento sem largura; (b) ângulo é a figura formada por duas semi-retas que têm a mesma origem. Faz parte da boa obediência à componente "Conceituação" deixar claro que (a) é apenas uma motivação intuitiva e (b) é uma verdadeira definição.

Muitas vezes o mesmo conceito pode ser definido de maneiras diferentes, porém, em formas equivalentes em significado. Dependendo das circunstâncias, uma ou outra forma da definição pode ser a mais conveniente. Nestes casos, manda a coerência, até mesmo a ética, que o professor ou autor advirta sua audiência e, sempre que possível, demonstre explicitamente que se trata apenas de descrever a mesma ideia com diferentes termos.

Ilustremos este ponto com dois exemplos. O primeiro exemplo se refere à noção de polígono convexo. Trata-se de um conceito básico de

Geometria, que pode ser definido de vários modos. Às vezes é conveniente dizer que um polígono chama-se convexo quando está inteiramente contido num dos semi-planos determinados por qualquer dos seus lados. Outras vezes convém descrever um polígono convexo como aquele que não contém ziguezagues, tendo definido antes um ziguezague como três lados consecutivos A B , BC e CD tais que A B e CD estão em semi-planos opostos relativamente à reta BC. Dizer que um polígono não contém ziguezagues é uma maneira matematicamente adequada (isto é, precisa) de exprimir que não há nele ângulos reentrantes. Verificar que um polígono é convexo segundo esta definição é bem mais fácil do que segundo a anterior pois cada lado é comparado apenas com os dois adjacentes a ele, enquanto que, na primeira definição, para cada lado do polígono, devemos verificar se todos os demais lados estão no mesmo semi-plano por ele determinado. Cabe ao professor chamar a atenção para o fato de que um polígono convexo de acordo com a primeira definição evidentemente não contém ziguezagues mas a recíproca é bem mais difícil de provar. Na maioria das classes é preferível omitir a demonstração

O segundo exemplo refere-se a polinômios. Um polinômio, pensado como uma função p :R→R, chama-se identicamente nulo quando p ( x )=0 para todo x∈ R. Alternativamente, pode-se definir polinômio identicamente nulo como aquele que tem todos os seus coeficientes iguais a zero. Novamente temos aqui duas definições equivalentes. E evidente que todo polinômio identicamente nulo conforme a segunda definição o é também de acordo com a primeira. A recíproca não é tão óbvia mas pode ser provada facilmente, como consequência do fato de que um polinómio de grau n não pode ter mais do que n raízes. Esta propriedade, por sua vez, resulta imediatamente do chamado "teorema de d'Alembert", segundo o qual p (α )=0 implica p(x ) divisível por x−α .

Em relação a este segundo exemplo, há algumas atitudes que devem ser evitadas mas que, infelizmente, são mais frequentes do que deviam. Uma delas consiste em adotar uma das duas definições e usar a outra sem comentários, como se tivessem o mesmo significado imediato. Outra é a de admitir que são duas definições equivalentes, porém omitir a prova da equivalência, como se fosse algo difícil. Alunos do Ensino Médio têm plena capacidade de entender que o número de raízes de um polinómio não pode exceder seu grau e por que isto é verdade. Finalmente, há autores e professores que tratam os polinômios como expressões algébricas formais e então o problema desaparece pois resta apenas uma definição. Isto significa ignorar que os polinômios são funções e neste fato reside o motivo pelo qual são estudados na escola.

(B) O emprego bem dosado do raciocínio dedutivo, deixando clara a distinção entre o que supõe (hipótese) e o que se quer provar (tese), diferenciando uma proposição de sua recíproca e enfatizando que toda conclusão necessariamente advém de uma premissa.

Aqui cabe distinguir, tão claramente quanto for possível, argumentos heurísticos dc argumentos dedutivos. Muitas vezes um raciocínio intuitivo, de natureza concreta, embora impreciso, tem um forte apelo visual e contribui para despertar o interesse do aluno. Neste caso, é de bom alvitre apresentá-lo. Um exemplo disso é a obtenção da fórmula V=(4/3)π R3 para o volume da esfera, a partir da sua decomposição aproximada em pirâmides com vértice no centro da mesma, admitindo-se conhecida a fórmula S=4 π R2 para a área. Mas em todas as situações deste tipo, deve-se enfatizar que não se trata de uma verdadeira demonstração.

(C) O entendimento e a percepção de que algumas noções e certas proposições podem ser reformuladas ou interpretadas de diferentes formas ou em diferentes termos, reconhecendo assim situações equivalentes ou mesmo idênticas em essência porém apresentadas de maneiras várias, aparentemente descrevendo casos diversos.

Um exemplo disto é a compreensão de que as fórmulas de cos (a+b) e sen (a+b ) nada mais são

do que a regra operacional óbvia e ia . e ib=e i(a+b ) escrita sob a forma de igualdades entre as partes reais e as partes imaginárias de ambos os membros. Ainda nesse mesmo contexto, podemos mencionar a percepção de que o Teorema de Ptolomeu (segundo o qual, num quadrilátero inscritível, o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos) implica que sen (a−b )=sena .cosb−senb .cosa.

O reconhecimento de ideias e proposições análogas porém apresentadas sob aspectos e terminologias aparentemente diversos conduz à importante prática de estabelecer conexões entre os vários temas ela Matemática, fortalecendo a unidade e a coesão dessa disciplina.

Exemplos de conexão matemática podem ser dados observando que uma progressão aritmética é a restrição de uma função afim ao conjunto dos números naturais e, analogamente, uma progressão geométrica é a restrição ao conjunto N de uma função f ( x )=b .ax de tipo exponencial. Estas simples observações permitem transformar analogias em casos particulares e explicar por que tantos problemas (de Matemática Financeira, por exemplo) podem ser tratados por P.G. ou pela função exponencial.

Outro exemplo, lamentavelmente ignorado em nosso Ensino Médio, é a interpretação geométrica dos sistemas lineares de duas ou três equações com três incógnitas, ou o significado geométrico do determinante como volume.

Também ignorado é o uso do logaritmo para cálculo da área sob uma faixa de hipérbole, o que mostraria uma bela conexão entre duas teorias elementares aparentemente bem diferentes.

Os exemplos podem multiplicar-se, exibindo as vantagens didáticas do hábito de estabelecer conexões entre diferentes partes da Matemática Elementar.

A conceituação, entretanto, quando levada a extremos, pode colidir com os bons preceitos do ensino. Um exemplo disso se vê na definição de função como um conjunto de pares ordenados sujeito a certas condições.

Esta prática, que surgiu com o advento ela Matemática Moderna e sua fixação conjuntista, sem dúvida resulta da preocupação de reduzir todos os conceitos fundamentais da Matemática à noção única de conjunto, na crença de que isto daria uma organização da Matemática em bases estritamente rigorosas, isentas de apelos a noções vagas e/ou intuitivas.

Mas não é bem assim.Em primeiro lugar porque se trata de uma definição que, embora logicamente correta, é bastante

elaborada, incompatível com a prática e por isso rapidamente abandonada por aqueles que a usam.Em segundo lugar porque não corresponde à ideia que os matemáticos e os que utilizam a

Matemática fazem de uma função: dados os conjuntos A e B, uma função de domínio A e contradomínio B é uma regra, um conjunto de instruções, uma correspondência, uma lei que permita associar, sem restrições nem ambiguidade, a cada elemento x do conjunto A um elemento f (x) do conjunto B . Entre os exemplos de funções acham-se as transformações geométricas e as funções trigonométricas. Será que existe alguém no mundo que pense numa rotação como um conjunto de pares ordenados? Ou o seno de um ângulo como um conjunto de pares ordenados?

E finalmente, para rebater o argumento de que uma regra (ou um conjunto de instruções ou uma lei) que permita obter f (x) a partir de x é uma noção vaga e não-matemática, observemos que, por sua vez, a fim de definir o conjunto de pares ordenados que determina (ou que é) uma função, é preciso ter uma regra (um conjunto de instruções ou uma lei) que diga quando é que um certo par ordenado pertence ou não ao tal conjunto.

Observemos ainda que, embora pareça paradoxal, a conceituação é mais importante para as aplicações do que a manipulação. Isto porque, a fim de determinar qual o instrumento matemático que

deve ser utilizado na solução de um problema real é necessário ter presente a definição desse instrumento ou de teoremas de caracterização da função a ser empregada. Pois as situações contextuais não vêm acompanhadas de fórmulas. A tarefa de encontrar o instrumento matemático adequado para traduzir a situação é o que se chama de modelagem matemática. Para esse fim, os teoremas de caracterização são indispensáveis.

II.2.2 Manipulação Para analisar corretamente o papel da manipulação, o crítico deve policiar-se atentamente para

não incorrer no erro de menosprezá-la. Durante séculos, e ainda hoje, a manipulação quase que monopolizou o ensino da Matemática. A tal ponto que, para a maioria das pessoas (e até mesmo de professores e autores de livros didáticos) a Matemática é essencialmente manipulação. Houve, nos anos 60, uma forte reação contra isso, a qual chegou ao extremo de praticamente banir os cálculos e exacerbar o abstrato. Hoje prevalece uma posição mais sensata: a manipulação está para o ensino da Matemática assim como a prática de escalas musicais está para o aprendizado do piano ou como o treinamento dos chamados "fundamentos" está para a prática de certos esportes como o tênis ou o voleibol.

A fluência no manuseio de equações, fórmulas e operações com símbolos e números, o desenvolvimento de atitudes mentais automáticas diante de cálculos algébricos ou construções geométricas, a criação de uma série de reflexos condicionados sadios em Matemática, os quais são adquiridos através da prática continuada de exercícios manipulativos bem escolhidos, permite que o aluno (mais tarde, o usuário da Matemática) concentre sua atenção consciente nos pontos realmente essenciais, salvando seu tempo e sua energia de serem desperdiçados com detalhes secundários.

A esse respeito, convém ressaltar o importante papel das calculadoras eletrônicas, não apenas como doadora de tempo, energia e atenção ao aluno, nem somente como anjo da guarda da proteção contra os erros de cálculo mas até mesmo como grande auxiliar da conceituação, permitindo que certos temas matemáticos, como logaritmos, por exemplo, sejam estudados pelo que realmente significam e não como mero instrumento de cálculo aritmético. Ao destruir o emprego calculatório do logaritmo, a calculadora o colocou numa posição mais nobre.

II.2.3 AplicaçõesÉ verdade que a Matemática é bela; que seu cultivo é uma das mais elevadas expressões da

intelectualidade humana; que os problemas por ela propostos constituem desafios cuja solução fortalece a auto-estima, sublima o espírito e recompensa nobremente o esforço. Tudo isto é verdade, mas não é somente por isso que a Matemática é estudada na escola, em toda a parte. Não é apenas por isso que a Matemática é considerada cada dia mais imprescindível para a formação cultural e técnica do homem moderno.

A Matemática é indispensável por tudo isso e, mais particularmente, porque serve ao homem. Porque tem aplicações. Porque permite responder, de modo claro, preciso e indiscutível, perguntas que, sem o auxílio dela, continuariam sendo perguntas ou se transformariam em palpites, opiniões ou conjecturas.

As aplicações são a parte ancilar da Matemática. São a conexão entre a abstração e a realidade. Para um grande número de alunos, são o lado mais atraente das aulas, o despertador que os acorda, o estímulo que os incita a pensar.

O professor deve considerar como parte integrante e essencial de sua tarefa o desafio, a preocupação de encontrar aplicações interessantes para a matemática que está apresentando. Como dissemos acima, nem sempre isso é fácil. Mas vale a pena indagar, pesquisar, pensar, incomodar os colegas, vasculhar livros.

Um procedimento que certamente desperta a atenção dos alunos é abrir cada novo tema com um problema que necessita dos conhecimentos que vão ali ser estudados a fim de ser resolvido. De

preferencia (e isto ocorre naturalmente quando é proposto no início do capítulo) um problema cujo objeto principal não é o assunto a tratar naquele capítulo. Um exemplo evidente é dado por um problema cuja resolução requer Trigonometria mas senos, cossenos ou tangentes não ocorrem no enunciado. Ou problemas que se resolvem com logaritmos mas a palavra "logaritmo" não é mencionada neles.

A fim de resolver problemas desta natureza é muitas vezes necessário ter em mente a caracterização das funções matemáticas a serem utilizadas, as definições matemáticas dos conceitos aplicáveis (conceituação) e, depois de formuladas as equações ou inequações pertinentes, saber lidar operacionalmente com elas e efetuar com eficiência os cálculos necessários (manipulação). Isso ilustra a interdependência das três componentes básicas.

Mas é preciso ter presentes dois preceitos básicos.O primeiro é: nem tudo aquilo cujo uso excessivo condenamos deve ser banido. Por exemplo, a

linguagem, a notação e as regras básicas para o manuseio de conjuntos são uma valiosa e permanente conquista matemática, indispensável para a clareza, a precisão e a generalidade do raciocínio. Não esqueçamos as palavras de Hilbert: "Ninguém nos expulsará do paraíso que Cantor nos legou". Ao criticar a chamada "conjuntivite" que predominou na época da Matemática Moderna, não cometamos o erro de proibir em nossos textos e em nossas aulas a simples menção de conjuntos e o uso da conveniente linguagem que lhe corresponde.

O segundo preceito consiste em não privilegiar excessivamente os temas e a abordagem que consideramos (e que são) relevantes, em prejuízo do equilíbrio das três componentes básicas do ensino. Por exemplo, nota-se hoje em dia uma grande e, até certo ponto, muito justa preocupação com a chamada "contextualização", que significa prover o ensino da Matemática de situações reais, concernentes a problemas que de fato ocorrem, ou podem vir a ocorrer, nos dias atuais; problemas onde as ferramentas matemáticas vêm a ser de utilidade decisiva. Este ponto de vista é válido; inclusive estamos defendendo-o aqui.

Mas não devemos perder de vista o verdadeiro significado da Matemática, cujo método consiste em formular conceitos e teorias gerais que se aplicam em inúmeras situações, às vezes aparentemente diversas. Não importa quantos problemas contextuais resolvamos mediante técnicas ad hoc, não estaremos utilizando toda a força da Matemática se não estivermos olhando para esses problemas como situações especiais de um conceito, de uma teoria matemática que nos permitirá resolvê-los e resolver muitos outros problemas, nem sempre obviamente análogos.

II.2.4 Um exemplo ilustrando o método acimaAs funções exponenciais, f ( x )=ax ou do tipo exponencial, f ( x )=b .ax , são estudadas na Escola

Média. Vejamos como deve ser sua abordagem segundo o modelo aqui proposto.O problema de abertura poderia ser o seguinte:

"A bula do antibiótico que meu médico prescreveu diz que, 24 horas após a primeira dose, a concentração plasmática da substância ativa reduz-se a 10% da concentração máxima. (Por simplicidade, admitamos que se tratava de uma injeção, logo o nível máximo da droga no sangue foi atingido imediatamente.) A receita médica estipulava doses iguais a cada 12 horas. Que fração da dose inicial ainda permanecia em meu organismo na ocasião da segunda dose?"

E claro que, posto no início das aulas sobre funções do tipo exponencial, os alunos já sabem que função matemática vão usar para resolver o problema. Não há como evitar isso. O importante é que eles saibam justificar por que vai ser usada uma função do tipo f ( x )=b .ax. Deste modo, em outras situações saberão fazer uma opção consciente.

O ponto crucial em problemas de modelagem como este é o teorema de caracterização da função que vai ser utilizada.

É óbvio que se temos uma função do tipof ( x )=b .ax, o valor f (x) é proporcional a b (valor

inicial: b=f (0 )). Um pouquinho menos (mas ainda) óbvio é que, fixado t , o valor

f ( x+t )=b .ax+t=(b .ax ) . at=at . f (x) é proporcional a f (x).

Noutras palavras, para todo t o quociente f (x+ t )/ f ( x )=a t n ã o d e p e n d e d e x . Ou seja,

f ( x+t )=a ( t ) . f (x), onde o coeficiente a (t) é o mesmo, seja qual for x .O importante é que vale a recíproca. Ela constitui o seguinte teorema:

Teorema de Caracterização das funções de tipo exponencial Seja f :R→R+¿¿ uma função monótona tal que, para qualquer t∈ R o quociente

f (x+ t)/ f ( x ) não depende de x . Então f é do tipo exponencial: f ( x )=b .ax.Este teorema é um caso típico da componente conceitual. Vejamos se ele se aplica ao exemplo

inicial sobre o antibiótico. Aqui se trata de verificar se uma determinada situação real cumpre certas condições. Num dado instante x, mede-se a concentração plasmática, acha-se o resultado f (x). Após

o tempo t , mede-se outra vez e constata-se que ela se reduziu a α . f (x), com 0<α<1. É razoável

admitir que, em qualquer outro instante x ' , no qual a concentração plasmática é f (x ' ), passado o

mesmo tempo t , tenha-se f (x '+t )=α . f (x ' )? A resposta afirmativa caracteriza uma certa permanência, ou estabilidade, do processo de eliminação da substância no organismo (via suor, urina, etc) e, pelo teorema acima, assegura que f ( x )=b .ax para certos a e b.

Meçamos o tempo xem horas. Evidentemente, b=f (0). Sabemos que f (24)=b/10, ou seja,

b .a24=b/10, donde a24=1/10=0,1. A pergunta é qual o valor de f (12) / f (0). Temos:

f (12) / f (0)=(b .a12)/b=a12=√a24=√0,1≅ 0,316A resposta é: após 12 horas, a concentração plasmática no organismo reduziu-se,

aproximadamente, a 31,5% do nível máximo (inicial).A parte final do problema é manipulativa. O problema, em si, é uma aplicação. As três

componentes se complementam.

(Obs.: Essa parte do documento foi adaptada de texto retirado do livro: LIMA, Elon Lages. Matemática e ensino. 2 ed. Sociedade Brasileira de Matemática - Coleção do professor de Matemática, 2003)

II.3. Conteúdos indispensáveis na formação do professor de matemática e suas justificativas Listamos a seguir justificativas que apontam para a indiscutível necessidade de certos conteúdos

na estrutura curricular dos cursos de licenciatura. Nossa proposta está de acordo com as diretrizes estabelecidas na Resolução CNE/CES n.3, de 18

de fevereiro de 2003, fundamentada no Parecer CNE/CES 1.302/2001.

Razões para estudar disciplinas de Fundamentos de Álgebra

Durante a Escola Básica o estudante se depara com um universo numérico crescente que começa com números naturais e termina com números complexos, onde as propriedades das operações entre os números são essenciais desde as séries iniciais. Refazer na graduação a construção destes conjuntos numéricos traz em muitos momentos maiores esclarecimentos sobre tais conjuntos e suas propriedades, limitações e as razões de estudá-los.

Vivenciar, durante sua graduação, uma discussão sobre o maior conjunto numérico e sobre a questão “Existe algum conjunto numérico maior do que o dos números complexos?” é bastante importante para um licenciando, pois certamente esta é uma pergunta que ele escutará de seus alunos de Ensino Médio. (OBS: Salientamos que esta discussão não é só do âmbito da Álgebra, e portanto deve ser considerada também em outras disciplinas.)

O estudo dos números e de suas propriedades pode parecer apenas um tópico de Matemática, estudado por ela mesma. Mas a crescente aplicação da teoria dos números em nosso dia a dia é algo que torna esse estudo ainda mais atraente. A Criptografia tem hoje aplicações permanentes em nosso cotidiano: senhas bancárias, senhas de internet, etc. O sistema RSA, um dos métodos de chave pública da criptografia mais usados em aplicações comerciais, faz uso da Teoria de Números, principalmente de números primos, e o seu entendimento pode proporcionar ao licenciado a segurança de explicar aos seus futuros alunos, em linhas gerais, uma aplicabilidade do conceito de números primos, bem como a discussão das limitações de um computador.

No Ensino Médio, o aluno trabalha com funções, polinômios e matrizes e suas propriedades, incluindo as algébricas. Conhecer as estruturas algébricas de todos estes conjuntos e as características marcantes das diferentes estruturas algébricas dá ao professor maior segurança para trabalhar tanto nestes como em outros campos, sabendo identificar aqueles que, algebricamente são “essencialmente iguais”, ou seja, os isomorfos, e os que são “essencialmente distintos”.

O estudo de estruturas algébricas leva também aos grupos geométricos e aos problemas clássicos de construções com régua e compasso (extensões de corpos), bem como ao problema de a existência de fórmulas para as soluções de equações algébricas (Teoria de Galois), assunto que começa a ser tratado já no Ensino Fundamental. Salientamos que aqui também esta discussão não é só do âmbito da Álgebra, e portanto deve ser considerada também em outras disciplinas.”

Razões para estudar disciplinas de Fundamentos de GeometriaA geometria deve ser vista em suas diversas formas.A geometria euclidiana vista de forma axiomática é um contexto propício para solidificar o método

dedutivo e para dar o primeiro exemplo do que se chama Método axiomático, tão importante na Matemática e até mesmo em outras áreas. É também o contexto adequado para se contar um pouco da história da Matemática, mencionando-se e explicando-se, por exemplo, o nascimento de outras geometrias, e a chamada “crise dos incomensuráveis”, que deu origem aos números irracionais.

Ainda dentro de uma abordagem axiomática, faz parte do desenvolvimento de uma teoria a discussão sobre o mínimo de ferramentas/resultados necessários para se construí-la. E aqui neste contexto cabe, por exemplo, a discussão sobre a não necessidade do V Postulado de Euclides para se obter a desigualdade triangular, bem como a discussão sobre outras geometrias: a geometria projetiva (que está em evidência devido à sua aplicação na elaboração de filmes 3D); a geometria da esfera (que é utilizada em cartografia e astronomia); a geometria hiperbólica e o Disco de Poincaré (modelo de espaço negativamente curvo).

O Estudo de Construções Geométricas é importante para a fixação de propriedades da Geometria Euclidiana. Os problemas abordados desafiam o raciocínio geométrico e auxiliam no manipular com programas de geometria.

Cabe aqui também mencionar-se que, com aulas de laboratório, através do Cabri ou Geogebra, por exemplo, os próprios alunos podem fazer conjecturas e ficarem motivados a procurar por uma demonstração da mesma, embrenhando-se definitivamente no método matemático e na geometria dinâmica.

Citamos ainda a Geometria Analítica: a ferramenta "revolucionária" geométrica que une a álgebra com a geometria e possibilita modelar os problemas de geometria utilizando sistemas de coordenadas. A

Geometria Analítica traduziu a resolução e problemas geométricos em resoluções de equações e sistemas.

No estudo de geometria também devem ser abordados os movimentos rígidos (simetrias/reflexões, rotações e translações), que preservam distância, áreas e volumes, e também devem ser estudadas as homotetias.

Razões para estudar disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral. O cálculo diferencial e integral (de uma e várias variáveis) tem aplicações na própria matemática e

em áreas afins. As equações diferenciais, modeladas com o conhecimento do cálculo, aparecem, nas aplicações mais simples, na Física e na modelagem de problemas de crescimento populacional, decaimento radioativo, determinação da idade de um fóssil, circuitos elétricos e outros. Para modelagem e resolução de problemas, o cálculo numérico e o cálculo diferencial e integral são ferramentas fundamentais, bem como o conhecimento aprofundado das principais características das diferentes famílias de funções. O cálculo nos fornece técnicas adicionais para abordar tais problemas e buscar soluções. Além desse fato, vários conceitos do próprio Ensino Médio só poderão ser completamente entendidos com o uso do Cálculo Integral e diferencial, como o entendimento de números irracionais, o cálculo do número pi, o estudo do número e, o entendimento de área, o cálculo do volume de uma esfera, etc. Até mesmo conceitos aprendidos na Física estudada no Ensino Médio só poderão ser entendidos plenamente com o uso de limites e derivadas, como o conceito de velocidade instantânea ou sistemas mola-massa.

Razões para estudar disciplinas de Equações Diferenciais No curso de Cálculo são estudadas algumas aplicações baseadas nas propriedades das funções.

Entretanto, uma boa parte dos modelos matemáticos como, por exemplo, as leis da física, são expressos em termos de relações entre taxas de variação, derivadas parciais ou ordinárias. Lembremos aqui das equações fornecidas pelos sistemas mola-massa, crescimento populacional, resfriamento de um corpo, entre outros.

É bem verdade que raramente conhecemos explicitamente as funções que modelam fenômenos importantes. Por essa razão, Equações Diferenciais é um dos temas centrais do currículo. Este estudo envolve: aspectos analíticos, em que procura-se obter soluções explícitas; aspecto qualitativo, em que procura-se entender as propriedades das soluções sem integrar a equação ; procedimentos numéricos, em que as soluções são obtidas equações numericamente.

Citamos também a computação gráfica dinâmica que utiliza, entre outros elementos, soluções numéricas para equações diferenciais. As animações modeladas por dinâmica aparecem em vários campos de aplicação: educacional, industrial, Robótica, Propaganda, etc.

Dificilmente um professor da Educação Básica ensinará aos seus alunos equações diferenciais, mas com certeza ouvirá dos alunos comentários sobre computação gráfica, tão presente e citada em nosso tempo.

As razões de estudar disciplinas de Geometria Analítica e Álgebra LinearEm Física um vetor surge como uma representação natural para a ação de uma força em uma

direção e um sentido sobre um determinado objeto. No entanto, a formulação matemática desta idéia não é nada simples para o aluno, visto que operar com esses objetos significa operar com classes de equivalência.

A Geometria Analítica estudada na graduação envolve o estudo de vetores, nos espaços euclidiano bi-dimensional e tri-dimensional. Um egresso do curso deve ser capaz de explicar aos seus futuros alunos, por exemplo, qual é a tradução matemática para a resultante de dois vetores utilizada na Física.

Também devem ser estudadas cônicas e quádricas (redução das equações gerais do segundo grau no plano e no espaço), pois são objetos com propriedades importantes tanto em matemática quanto em áreas afins.

No estudo de geometria analítica os operadores lineares aparecem, não necessariamente formalizados, quando estudamos mudanças de sistemas de coordenadas (rotações e simetrias).

Os operadores lineares aparecem, por exemplo, na descrição de movimentos em espaços euclidianos e a ação de um operador corresponde ao produto de uma matriz por um vetor. Movimentos simples como rotações, simetrias, homotetias podem também ser trabalhados no ensino médio, ainda que sem a formulação teórica completa, mas em exemplos simples, evidenciando a utilidade de matrizes e justificando as regras de operações entre elas. Na educação básica as matrizes são vistas apenas como simples tabelas dissociadas de sua propriedade funcional e dinâmica. Cabe ao professor modificar essa forma de abordagem.

O primeiro contato do estudante com a Álgebra Linear ocorre no estudo de sistemas de equações lineares. Na escola básica, esses sistemas tem um número pequeno de equações e de incógnitas (no máximo três) e aparecem em problemas que envolvem proporcionalidade direta.

No curso de Álgebra Linear é feito um estudo sistemático dos sistemas de equações lineares, usando-se a representação matricial. A partir dessa representação são desenvolvidas técnicas de escalonamento para a discussão da existência ou não de soluções e suas propriedades. O estudo de matrizes é uma peça fundamental.

Entretanto, há um aspecto relacionado com matrizes que tem características dinâmicas, as matrizes representam transformações lineares. Neste curso, são introduzidas a transformações lineares em espaços vetoriais e suas representações. Introduzem-se os conceitos de espaço vetorial e de base tendo como exemplo principal a estrutura linear do espaço real n-dimensional, Rn.

É importante ressaltar os exemplos em dimensão dois e três e relacioná-los com transformações geométricas (rotações e reflexões).

O estudo sistemático das transformações lineares nos leva aos conceitos de núcleo, imagem, sobrejetividade, injetividade e o conceito de isomorfismo. Aqui, usa-se a representação matricial de transformações lineares para interpretar geometricamente a solução de sistemas de equações lineares.

A terceira parte do curso trata de um estrutura adicional que o espaço Rn possui, isto é, a noção de norma de vetor proveniente de um produto interno. Esta é a base da geometria euclidiana e o objetivo é estudar funcionais bilineares simétricos e sua representação matricial usando-se matriz simétrica e sua diagonalização. Este último tópico é aplicado no estudo de superfícies quádricas.

Razões para estudar disciplinas de Fundamentos de Análise real

Eis um ponto bem delicado em nossa proposta, pois é comum vermos a disciplina Análise real constante de muitos currículos de Licenciatura, mas com uma ementa igual à disciplina de mesmo nome do bacharelado, praticamente sem qualquer adequação à Licenciatura ou ainda uma versão da mesma, sem igual grau de aprofundamento. Vemos este tópico como um nó no currículo de Licenciatura, requerendo uma discussão grande entre nós todos.

Salientamos:(I) Um dos conceitos mais mal trabalhados na Educação Básica é o de números reais sob todos os

aspectos: operações, grandeza, representação. Por esse motivo achamos que discussões sobre números reais e sua construção devem ser realizadas com os alunos de um curso de licenciatura em matemática desde os primeiros períodos.

(II) De igual importância é o estudo de funções reais de variável real, conceito que em geral é ministrado na Educação Básica somente como a relação entre grandezas sem que haja o estudo, de fato, das operações algébricas que as definem (caso crítico: qual a definição de 2x, para qualquer

número real x?), suas representações e seus comportamentos, além dos erros e confusões cometidos ao tratar com as funções transcendentes (por exemplo, funções trigonométricas, por vezes, não são vistas como funções reais de variável real).

(III) É comum tratar-se de “modelagem matemática” de uma forma simplória, e um professor precisa ter vivenciado uma discussão sobre o aspecto “aproximação”. Nesta linha, é importante um professor de Ensino Médio saber diferenciar funções transcendentes de funções algébricas, bem como funções algébricas de funções racionais. (Por exemplo, a avaliação de uma função racional se dá através de um número finito de operações elementares).

Assim, entendemos que os Fundamentos de Análise devem ser desenvolvidos em três etapas (disciplinas), que denominamos:

Fundamentos de Matemática I, Fundamentos de Matemática II, Análise Real,

devendo, em Fundamentos de Matemática I ser abordado (I) e, em Fundamentos de Matemática II, ser abordado (II). Com maior conhecimento de números reais e funções o aluno está munido dos requisitos para cursar as disciplinas operacionais (os cálculos). E só depois, já com maior maturidade matemática, deve retomar o estudo dos fundamentos de análise (III), na disciplina Análise da Reta.

Ainda sobre a disciplina Análise na Reta: um professor de Escola Básica precisa também conhecer as diversas formas de infinito (que justificam inclusive as diferenças marcantes entre alguns dos conjuntos numéricos).

Uma vez (efetivamente) construído o conjunto dos números reais (na disciplina de Fundamentos I), é nesta disciplina que deve ser complementado o estudo sobre números reais de forma a conceber um número real tanto como limite de uma seqüência convergente de racionais quanto como uma série de racionais (conceitos vistos em Cálculo, disciplina posterior à disciplina de Fundamentos I) e utilizar tal propriedade (limite) para obter aproximações com erros controlados de números reais por racionais. Fundamentais também são a propriedade do supremo e a caracterização de R como o maior corpo ordenado arquimediano.

Razões para estudar disciplinas de Matemática discreta e CombinatóriaUtilizamos a matemática nos mais variados contextos na vida diária e talvez a mais freqüente

questão com a qual nos deparamos seja a de contagem. Saber quantos subconjuntos um conjunto finito possui; quantos são os divisores de um inteiro positivo; quantas são as duplas que podem ser formadas para uma primeira rodada de um torneio de tênis; quantas são as possíveis filas a serem formadas por n alunos; quantas placas diferentes de carro podemos formar. Estas e outras centenas de questões, embora de enunciados muito simples, frequentemente resultam em graves erros. Um estudo cuidadoso de métodos elementares envolvendo basicamente, apenas o princípio multiplicativo, torna-se indispensável na escola secundária. A Analise Combinatória fornece todas as diretrizes necessárias para que se possa responder de forma precisa e concisa questões como as exemplificadas acima. Vale destacar que as técnicas vistas em tal disciplina podem ser aplicadas na resolução de problemas em todas as outras disciplinas do Ensino Fundamental e do Ensino Médio.

MonografiaNo conjunto de conteúdos curriculares de natureza científico cultural, é recomendável a inclusão

de uma monografia de final de curso, pois é importante que o futuro professor saiba redigir um texto de conteúdo matemático, por meio da pesquisa, desenvolvendo seu pensamento crítico e passando pelas dificuldades de expressar com precisão e clareza suas ideias por escrito. Este trabalho deve ser avaliado por uma banca de docentes.

Áreas afinsTranscrevemos um parágrafo do documento Ensino de Ciências e Matemática no Brasil Desafios

para o século XXI - IV Conferência Nacional de Ciência Tecnologia e Inovação, assinados pela SBM e pela ABE, 2010, o qual coloca bem a importância da matemática para o estudo de outras ciências, o que evidencia a necessidade da inclusão de conteúdos de áreas afins à matemática no currículo de um curso de licenciatura em matemática.

“...sendo a matemática parte essencial da linguagem de todas as ciências, seu

ensino deve propiciar o suporte adequado para outras disciplinas do currículo, através do ensino de tópicos que permitam exprimir de forma adequada, por exemplo, as leis da física, os fenômenos químicos, biológicos, econômicos e sociais, e as aplicações tecnológicas à vida diária.

....”

Razões para estudar disciplinas de Estatística e Probabilidade Nas últimas décadas estamos produzindo dados a todo momento, que precisam ser trabalhados

para se constituírem em informação, que poderá, dentro de certos limites, se converter em conhecimento.

As análises de dados de governo (políticas publicas, disseminação da informação, monitoramento de serviços), de indústria e negócios (controle de qualidade, eficiência, previsões), de pesquisa (ciências exatas, biológicas e humanas), da Medicina (diagnóstico, prognóstico, ensaios clínicos), de direito (DNA, investigação criminal) bem como do cidadão comum (investimentos ótimos, tomada de decisão para controle de sua própria vida) caracterizam o que o eminente estatístico C.R.Rao (IJMS, 1999) chamou de “Ubiquidade da Estatística”.

Se a Estatística está em toda a parte, e sabemos que está, por que ela não está presente na escola básica? Por que os alunos entram na universidade com raciocínio determinístico, sem nunca terem sido submetidos a raciocínios que levam em conta incerteza e variabilidade? Isto é um problema histórico, que começou há décadas com o desenvolvimento de ferramentas inferenciais que criaram a necessidade de desenvolver esse conhecimento em cursos de pós- graduação, de se formar quadros para dar conta da pesquisa em ciências aplicadas (psicologia, ciências sociais, biologia etc.). Só depois a formação foi paulatinamente passando a todas as áreas da graduação, mas sem ter ainda chegado, de modo definitivo, à escola básica.

Hoje em dia, o MEC (através de seus parâmetros e exames de caráter nacional) sinaliza para a necessidade de que os alunos formados na escola básica tenham competência para interpretar informações de natureza científica e social, bem como para compreender o caráter aleatório de fenômenos naturais e sociais, utilizando instrumentos adequados para coleta de amostras, para o tratamento da informação e para o cálculo probabilístico. Este último serve de “baliza” para a tomada de decisão em um processo experimental ou observacional. Não existe, no mercado nacional, um Curso de Licenciatura em Estatística e nem essa disciplina é oferecida de modo regular na grade curricular da escola básica. Além disso, o conteúdo da área está descrito em livros-texto de Matemática, notadamente do ensino médio, muitas vezes de um modo pouco atraente, com exercícios instrumentais, carentes de significação, manipulativos, sem criatividade, sem mostrar a relação entre Estatística e Probabilidade.

Assim, é natural que um professor da área de Matemática, oriundo de um Curso de Licenciatura, seja o responsável por ministrá-la. Sabemos que esse professor nem sempre se sente à vontade com os conceitos probabilísticos/estatísticos pois, em muitos casos, nem a ele estes foram apresentados de antemão. Assim, ministrar na Licenciatura algumas disciplinas da área de Estatística vem atenuar esse problema, preparando os futuros docentes para essa importante tarefa. Além disso, a escola moderna

pretende incluir atividades interdisciplinares em seu projeto pedagógico, e a Estatística permearia várias etapas do projeto, com a intermediação natural do professor de Matemática.

É papel do professor que esteja ministrando Elementos de Estatística evitar que seus alunos aceitem cegamente as informações quantitativas com as quais são confrontados a todo momento, desconheçam os processos aleatórios que estão ligados a processos experimentais, desconheçam a importância da variabilidade e das fontes de erro associadas à experimentação e/ou à observação. É igualmente importante auxiliar os alunos a compreender o papel fundamental do Cálculo de Probabilidades na quantificação da incerteza em processos de tomada de decisão, a saber fazer estimativas e entender seus limites e suas margens de erro, a resumir dados coletados para determinar o perfil das amostras coletadas, bem como os limites de conclusão das análises feitas.

Somente um professor ciente de todas essas implicações, ajudará o aluno a se defender de afirmações fraudulentas tomadas em nome da Estatística, ensinando-o a apreciar o uso apropriado dessa metodologia. Neste momento, esse professor é o licenciado em Matemática.

Razões para estudar disciplinas de Física A contextualização é uma ajuda importante na compreensão e fixação de diversos conteúdos da

matemática elementar, e por isso o professor deve dispor de um acervo de exemplos e situações que motivem problemas e permitam a exploração de diversos conceitos de uma forma que fique mais próxima da capacidade dos alunos. A Física se presta muito bem a esse tipo de tarefa, pois a maior parte de seus conceitos pode ser formulada precisamente de forma matemática e, por outro lado, está intimamente ligada à realidade visível.

Alguns exemplos: um conteúdo como cinemática permite explorar as soluções de equações de primeiro e segundo grau (e, eventualmente, de sistemas de equações) como sendo correspondentes a se saber em que instante um certo objeto passará por um determinado local; a dinâmica permite visualizar o conceito de vetor como sendo associado às forças que agem sobre determinado objeto; em diversos problemas da mecânica surge naturalmente a necessidade de se usar a trigonometria e na óptica aparece também a geometria; o conceito de velocidade, visto como variação da posição em um certo intervalo de tempo, leva naturalmente à idéia de derivada. E a lista pode ser muito maior...

Desta forma, nos parece bastante importante que os alunos da licenciatura em matemática tenham uma formação básica de Física durante a sua graduação, de forma que possam não apenas fornecer mais alguns exemplos interessantes de aplicações dos conceitos que ensinam, mas também fazer uma ponte com outra disciplina, o que também é saudável para evitar a terrível e artificial compartimentalização dos conteúdos da escola, que passam a impressão de que o conhecimento é totalmente fragmentado quando na verdade ele apresenta um alto grau de interdependência.

AACC – Atividades acadêmico-científico-culturaisAs atividades sugeridas no Parecer CNE/CP 28 de 2001 denominadas acadêmico-científico-

culturais enriquecem e diversificam a formação do professor: “...Seminários, apresentações, exposições, participação em eventos

científicos, estudos de caso, visitas, ações de caráter científico, técnico, cultural e comunitário, produções coletivas, monitorias, resolução de situações-problema, projetos de ensino, ensino dirigido, aprendizado de novas tecnologias de comunicação e ensino, relatórios de pesquisas são modalidades, entre outras atividades, deste processo formativo. Importante salientar que tais atividades devem contar com a orientação docente e ser integradas ao projeto pedagógico do curso.

Deve-se acrescentar que a diversificação dos espaços educacionais, a ampliação do universo cultural, o trabalho integrado entre diferentes profissionais

de áreas e disciplinas, a produção coletiva de projetos de estudos, elaboração de pesquisas, as oficinas, os seminários, monitorias, tutorias, eventos, atividades de extensão, o estudo das novas diretrizes do ensino fundamental, do ensino médio, da educação infantil, da educação de jovens e adultos, dos portadores de necessidades especiais, das comunidades indígenas, da educação rural e de outras propostas de apoio curricular proporcionadas pelos governos dos entes federativos são exigências de um curso que almeja formar os profissionais do ensino.

...”(ColaboradoresCombinatória (texto proposto por José Plinio dos Santos, da UNICAMP)Estatística e Probabilidade (texto proposto por Lisbeth Kaiserlian Cordani USP)Física (texto proposto por Alexandre Baraviera da UFRGS.)

III. SUGESTÕES DE EMENTAS PARA UM PROGRAMA DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA POR PERÍODO DE INGRESSO NO CURSO: CARGA HORÁRIA E SÚMULAS DAS DISCIPLINAS

Nota: Chamamos a atenção para o fato de o programa proposto abaixo ter, principalmente em seus primeiros períodos, um caráter mais elementar que a maioria dos programas usuais de licenciatura em Matemática. Por exemplo, o curso de Cálculo I na proposta abaixo só é realizado no terceiro período. Essa escolha se deve aos numerosos diagnósticos que apontam que grande parte dos alunos das licenciaturas em Matemática de todo o país começam o curso sem o necessário domínio dos conteúdos de Matemática correspondentes ao Ensino Médio, e além disso, boa parte dos professores em atividade ainda têm sérias lacunas em sua formação relacionadas a esse conteúdo. É então necessário que os conteúdos da Matemática do ensino básico sejam revistos na licenciatura, de um ponto de vista mais avançado e com mais precisão matemática do que é feito usualmente no ensino médio.

Primeiro período:FUNDAMENTOS I: NÚMEROS E FUNÇÕES (60 horas)Conjuntos: a noção de conjunto, a relação de inclusão, o complementar de um conjunto, união e

interseção. Números naturais. Axiomas de Peano, indução. Números inteiros. Números racionais: definição de suas operações e da relação de ordem, expansões decimais de números racionais e recuperação da fração geratriz. Segmentos comensuráveis e não comensuráveis. Números reais, completeza, densidade dos racionais, expansões decimais. Desigualdades, valor absoluto, intervalos. Funções e números cardinais: a noção de função, funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas, conjuntos finitos e infinitos. Gráficos de funções. Função afim, função linear, função quadrática. Caracterizações de funções lineares e afins por suas propriedades fundamentais e aplicações. Problemas do primeiro e segundo graus.

BIBLIOGRAFIA BÁSICALima, E. L., Números e funções reais – Coleção PROFMAT, SBMCarvalho, P. C., Lima, E. L., Morgado, A., Wagner, E., A Matemática do Ensino Médio, vols. 1 e 4,

SBM Ferreira, J., A construção dos números – Coleção Textos Universitários, SBM.Ripoll, J.B.; Ripoll, C. C.; Silveira, J. F. P., Números racionais, reais e complexos. Porto Alegre,

UFRGS, 2006

GEOMETRIA ANALÍTICA I (60 horas)REQUISITOS: nenhum

SÚMULA: Coordenadas na reta e no plano. Segmentos de reta no plano. Distância entre dois pontos . Equações da reta: como gráfico de função afim, implícita, paramétrica. Distância de um ponto a uma reta. Ângulo entre duas retas. Equação da circunferência. Vetores no plano. Operações com vetores: adição, multiplicação por escalar e produto interno. Interpretação geométrica de sistemas de equações lineares com duas incógnitas. Equações da elipse, hipérbole e parábola. A equação geral do segundo grau no plano.

BIBLIOGRAFIA BÁSICA Delgado, J., Frensel, K., Crissaff, L., Geometria Analítica – Coleção PROFMAT, SBM.Lima, E.,com a colaboração de Carvalho, P. C. e Guimarães Filho, F. F., Coordenadas no Plano,

Coleção do Professor de Matemática, SBM, 1999.Lima, E., Geometria Analítica e Álgebra Linear – Coleção Matemática Universitária, IMPA, 2008.

GEOMETRIA I (Geometria euclidiana plana) (90 horas)SÚMULA: Posições relativas de retas no plano. Ângulos. Paralelismo e perpendicularismo.

Comentários sobre o quinto postulado de Euclides. Triângulos. Congruência e semelhança de triângulos. Teorema de Tales. Elementos de trigonometria: relações métricas no triângulo retângulo. Definição das funções trigonométricas. Relações métricas nos triângulos: leis dos senos e dos cossenos, teorema de Stewart, teoremas de Ceva e Menelaus. Pontos notáveis de triângulos: baricentro, circuncentro e ortocentro. Círculos, ângulos inscritos. Tangentes e secantes. Potência de ponto em relação a um círculo. Comprimento de arco. O número π. Polígonos inscritos. Polígonos regulares. Áreas. Cônicas: definições e propriedades básicas de elipses, parábolas e hipérboles.

BIBLIOGRAFIA BÁSICA Barbosa, J.L., Geometria Euclidiana Plana, SBM, 2004.Caminha, A., Tópicos de Matemática elementar – Vol. 2 – Geometria Euclidiana Plana – Coleção

do Professor de Matemática – SBM, 2012.Caminha, A., Geometria – Coleção PROFMAT, SBM.Euclides, Os Elementos – Tradução e Introdução de I. Bicudo – Ed. UNESP, 2009.Hilbert, D., Cohn-Vossen, S., Geometry and the Imagination, AMS Chelsea Pub., 1999.Lima, Elon Lages. – Medida e Forma em Geometria, Coleção Professor de Matemática, SBM,

2009.Moise, E., Elementary Geometry from an Advanced Standpoint, Addison-Wesley, 1990.

COMPUTAÇÃO (60 horas) REQUISITOS: nenhumSÚMULA: Características básicas da organização de um computador. Algoritmos, programação

básica e estrutura de um programa. Representação de dados. Introdução a softwares básicos: processadores de texto e planilhas eletrônicas. Introdução à programação, utilizando uma linguagem à escolha da instituição (como por exemplo Pascal, Matlab, Basic, etc). Solução de problemas com a utilização de computadores.

BIBLIOGRAFIA BÁSICAJensen, K. e Wirth, N., PASCAL SEM– Manual do Usuário e Relatório. Editora CAMPUS, 1988Schmitz, E. A. e Teles, A. S.- PASCAL e Técnicas de Programação. Editora LTC, 3ª edição, 1988Welsh, J. e Elder, J.- Introdução a Linguagem PASCAL , Editora PHB

Segundo período:FUNDAMENTOS II: NÚMEROS E FUNÇÕES 2(60 horas)

Funções polinomiais e aplicações. Números algébricos e transcendentes. Funções exponenciais e logarítmicas. Caracterizações de funções exponenciais e logarítmicas por suas propriedades fundamentais e aplicações. Funções trigonométricas e aplicações. Números complexos. Relações entre trigonometria e números complexos.

BIBLIOGRAFIA BÁSICALima, E. L., Números e funções reais – Coleção PROFMAT, SBMCarvalho, P. C., Lima, E. L., Morgado, A., Wagner, E., A Matemática do Ensino Médio, vols. 1 e 4,

SBM. Do Carmo, M. P., Morgado, A. C., Wagner, E., com notas históricas de Pitombeira, J. B.,

Trigonometria e Números Complexos. Coleção do Professor de Matemática, SBM.

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO (60 horas)Funções reais e exemplos. Funções limitadas, monótonas, periódicas. Noção intuitiva de limite e

de continuidade. Taxa de crescimento. Noção intuitiva de derivada. Aplicações: velocidade, aceleração, densidade. Regras elementares de derivação. Derivadas das funções elementares. Máximos e mínimos de funções reais. Introdução sobre sequências e séries. Ordens de magnitude de funções reais (infinitos e infinitésimos). Crescimento logarítmico, polinomial e exponencial.

BIBLIOGRAFIA BÁSICAÁvila, G., Cálculo, Livros Técnicos e Científicos

ÁLGEBRA I (Aritmética) (60 horas)REQUISITOS: nenhumSÚMULA: Indução Matemática. Números inteiros: divisão euclidiana, máximo divisor comum e seu

algoritmo, equações diofantinas. Teorema Fundamental da Aritmética, Congruência módulo n; critérios de divisibilidade; o anel dos inteiros módulo n e o corpo dos inteiros módulo p. Os Teoremas de Fermat, Euler e Wilson. O Teorema Chinês de Restos. Aplicações à Criptografia.

BIBLIOGRAFIA BÁSICACoutinho, S.C., Números Inteiros e Criptografia RSA, IMPA e SBM, série de Computação e Matemática

Hefez, A., Elementos de Aritmética, Textos Universitários, SBM, 2005.Hefez, A., Aritmética, Coleção PROFMAT, SBM.Martinez, F., Moreira, C., Saldanha, N., Tópicos de Teoria dos Números - Coleção PROFMAT,

SBMMartinez, F., Moreira, C., Saldanha, N., Tengan, E., Teoria dos Números – um passeio pelo mundo

inteiro com primos e outros números familiares – Projeto Euclides, IMPA, 2010

MATEMÁTICA DISCRETA (60 horas) REQUISITOS: Álgebra IPrincípios de contagem: princípio aditivo e multiplicativo. Combinações com repetições. Triângulo

de Pascal, identidades diversas envolvendo números binomiais: demonstrações algébricas e combinatórias. Princípio da inclusão e exclusão. Relações de recorrência, aplicações a problemas de contagem. Resolução de relações de recorrência lineares de segunda ordem e coeficientes constantes (equações a diferenças finitas). Probabilidades discretas. Princípio da casa dos pombos. Introdução à teoria dos grafos. Caminhos eulerianos e hamiltonianos. Coloração. Planaridade.

BIBLIOGRAFIA BÁSICA: J. Plínio O. Santos, Margarida P. Mello, Idani T. C. Murari - Introdução à Análise Combinatória, 4ª

edição. Editora Ciência Moderna Ltda, 2008L. Lovász, J. Pelikán , K.Vesztergombi - Matemática Discreta (Discrete Mathematics) Tradução ,

SBM, 2010.

Morgado, A.C.O., Carvalho, J.B.P, Carvalho, P.C.P e Fernandez, P, Análise Combinatória e Probabilidade, 2004.

Morgado, A.C.O., Carvalho, P.C.P., Matemática Discreta, Coleção PROFMAT, SBM.

PCC I – TEMAS E PROBLEMAS ELEMENTARESProporcionalidade e porcentagem. Equações do primeiro grau. Equações do segundo grau. O

Teorema de Pitágoras. Áreas de figuras planas. Razões trigonométricas. Métodos de contagem. Probabilidade. Noções de estatística.

BIBLIOGRAFIA BÁSICACarvalho, P. C., Lima, E. L., Morgado, A., Wagner, E., Temas e problemas elementares. Coleção

PROFMAT – SBM.

SOCIOLOGIA DA EDUCAÇÃO

Terceiro período:CÁLCULO I (90 horas)SÚMULA Limites. Continuidade. Derivada: os problemas da reta tangente e da velocidade

instantânea, o conceito de derivada, regras de derivação, problemas envolvendo taxas de variação, regra da cadeia, derivada da função inversa, derivadas das funções elementares (polinômios, funções exponenciais, logarítmicas, funções trigonométricas, funções hiperbólicas), problemas sobre taxas relacionadas, aproximações lineares e diferenciais, derivadas de ordem superior. Aplicações das derivadas: classificação de pontos críticos, Teorema do Valor Médio, problemas de máximos e mínimos. Polinômio de Taylor e aproximações de funções. Séries de Taylor. As séries de Taylor das funções elementares. Formas indeterminadas e a Regra de L’Hôpital. Esboço de gráficos de funções. Integrais indefinidas, propriedades da integral, integração por substituição. Integrais definidas, interpretações como área, trabalho, etc. Propriedades e cálculo de integrais definidas. O Teorema Fundamental do Cálculo. A regra da substituição, integração por partes. A função logaritmo definida como uma integral. Aplicações da integral definida ao cálculo de áreas e volumes. Técnicas de Integração. Integrais impróprias.

BIBLIOGRAFIA BÁSICAÁvila, G., Cálculo, Livros Técnicos e Científicos.Simmons, G. F., Cálculo com Geometria Analítica, Vol 1 e 2, Rio de Janeiro: Mc Graw Hill, 1987.

Stewart, J., Cálculo, vol. I, Ed. Thompson, 2001. Thomas, G.B. Cálculo, vol. 1, 10 ed, São Paulo: Addison-Wesley, 2002.

ÁLGEBRA II (Polinômios e equações algébricas)(60 horas)SÚMULA: Relações de equivalência. A construção do anel dos números inteiros a partir dos naturais e

do corpo dos números racionais a partir dos inteiros. Resolução de equações: o corpo dos números complexos; raízes n-ésimas de um número complexo; equações de grau 2, 3 e 4. O Teorema Fundamental da Álgebra (enunciado e ideias de demonstrações). Exemplos simples de grupos e suas estruturas: raízes complexas n-ésimas da unidade, grupos de permutações, grupos de rotações. Máximo divisor comum de polinômios. Polinômios irredutíveis. Fatoração de polinômios. Decomposição em frações parciais. Comentários sobre construtibilidade com régua e compasso.

BIBLIOGRAFIA BÁSICAGarcia, A. e Lequain, Y., Elementos de Álgebra, Projeto Euclides, IMPA, 2002.Hefez, A., Villela, M.L.T., Polinômios e equações algébricas – Coleção PROFMAT, SBM.Lang, S. - Algebraic Structures. Addison-Wesley, 1967

Lima ,E.L., Carvalho ,P.C.P., Wagner,E., Morgado, A.C., A Matemática do Ensino Médio - Volume 3, Coleção do Professor de Matemática, SBM.

GEOMETRIA ANALÍTICA II (60 horas)SÚMULA: Coordenadas no espaço. Equações paramétricas de retas e distância entre dois pontos

no espaço. Segmentos de reta e vetores no espaço. Operações com vetores no espaço: produto interno, produto vetorial e produto misto. Equação do plano. Sistemas de duas ou três equações lineares em 3 incógnitas e seu significado geométrico. Escalonamento (eliminação gaussiana). Determinantes e a regra de Cramer. Áreas, volumes e a matriz de Gram. Quádricas centrais. A equação geral do segundo grau em 3 variáveis.

BIBLIOGRAFIA BÁSICA Delgado, J., Frensel, K., Crissaff, Lhaylla, Geometria Analítica – Coleção PROFMAT, SBMLima, E., com a colaboração de Carvalho, P. C., Coordenadas no Espaço, Coleção do Professor

de Matemática, SBM, 1999.Lima, E., Geometria Analítica e Álgebra Linear – Coleção Matemática Universitária, IMPA, 2008 –

Coleção PROFMAT, SBM

ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE (60 horas)REQUISITOS: Cálculo I e Matemática DiscretaSÚMULA: Aspectos históricos da contagem e probabilidade. Discussão sobre a Estatística na

sociedade atual: aspectos históricos, população e amostra, necessidade da amostragem, uso em várias áreas e auxílio na tomada de decisões. Estatística Descritiva: tipos de variáveis, tabelas, gráficos e respectivas interpretações, quantis, comparação entre variáveis e medidas resumo. Probabilidade: espaço amostral e eventos, probabilidade condicional, Teorema de Bayes e independência de eventos. Variáveis aleatórias discretas: função de probabilidade, modelos e aplicações, função de probabilidade bidimensional, independência de variáveis e medidas. Variáveis Aleatórias Contínuas: função densidade de probabilidade, modelos e aplicações, aproximação Normal para a Binomial e medidas. Estimação: tipos de amostragem, distribuição amostral, teorema central do limite, estimação pontual, propriedades de um estimador e intervalo de confiança para média e proporção. Testes de Hipóteses: região crítica, erros tipo I e II, nível descritivo, testes para média, proporção e comparação de médias.

BIBLIOGRAFIA BÁSICABotter, D.A., Paula, G.A., Leite, J.G. e Cordani, L.K. (1966). Noções de Estatística. IME/USP, São

Paulo.Bussab, W.O. e Morettin, P.A. (2010). Estatística Básica. 6ª Edição. Saraiva Editora, São Paulo.Magalhães, M.N. e Pedroso de Lima, A.C. (2010). Noções de Probabilidade e Estatística. 7a

Edição, EDUSP, São Paulo. Morgado, A.C.O., Carvalho, J.B.P., Carvalho, P.C.P., Fernandez, P. (2004). Análise Combinatória

e Probabilidade. 6a Edição, SBM - Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro.Noether, G.E. (1976). Introdução à Estatística. Ed. Guanabara Dois, Rio de Janeiro.

PSICOLOGIA DA EDUCAÇÃO

Quarto período:CÁLCULO II (90 horas)REQUISITOS: Cálculo ISÚMULA. Caminhos e equações paramétricas de curvas, derivadas e integrais de caminhos.

Funções de duas variáveis, gráficos, curvas de nível, limite e continuidade. Funções com três ou mais variáveis, derivadas parciais, derivadas de ordem maior, planos tangentes e aproximações lineares, diferenciais, regra da cadeia, derivadas direcionais, vetor gradiente, superfícies de nível. Pontos críticos:

máximos, mínimos e pontos de sela. O teorema da função implícita. Máximos e mínimos condicionados, multiplicadores de Lagrange.

BIBLIOGRAFIA BÁSICA. Kaplan, Wilfred. Cálculo Avançado. São Paulo: Edgard Blücher, 2002. vol. 1.Stewart, J., Cálculo, vol.1 e 2, 4 ed, Ed. Thompson, 2001.Thomas, G.B. Cálculo, vol. 2, 10ed. São Paulo:Addison-Wesley, 2002.

ÁLGEBRA LINEAR (90 horas)SÚMULA:Espaços Vetoriais: Definição, Subespaços. Combinações lineares, subespaços gerados por um

conjunto de vetores. Dependência linear, bases e dimensão. Subespaços. Posto de uma matriz. Aplicações aos Sistemas de Equações Lineares. Transformações Lineares, Propriedades das transformações lineares. Núcleo e Imagem. Geometria das transformações lineares em dimensões 2 e 3. Matrizes das transformações lineares. Espaços com Produto Interno: Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Comprimento e ângulo. Bases Ortonormais. Processo de Gram-Schmidt. Coordenadas e mudança de base. Autovalores e Autovetores: Definição. Diagonalização.  Matrizes Simétricas. Diagonalização ortogonal (teorema espectral). Formas quadráticas. Aplicações de diagonalização na caracterização de cônicas e quádricas.

BIBLIOGRAFIA BÁSICA HEFEZ, A., FERNANDEZ, C.S., Introdução à Álgebra Linear – Coleção PROFMAT – SBM

LIMA, E. L., Álgebra Linear, Col. Matemática Universitária, IMPA, 1995.

FÍSICA I (60 horas)REQUISITOS: Cálculo ISÚMULA: Mecânica, calor, eletricidade, acústicaMecânica: Cinemática: velocidade, aceleração (escalar e centrípeta). Estática e vetores. Dinâmica:

força, trabalho, leis de Newton. Energia e princípio da conservação. Gravitação. Leis de Kepler.BIBLIOGRAFIA BÁSICA Halliday. D.,  Resnick , R. e Walker, J. , Fundamentos de Física (4a ed – John Wiley & Sons) Nussenzveig, M., Curso de Física Básica (1 – Mecânica)- Editora Edgard Blücher Ltda.

FILOSOFIA DA EDUCAÇÃO

PCC II - APLICAÇÕES DA INFORMÁTICA NO ENSINO NA EDUCAÇÃO BÁSICA (60 horas)REQUISITOS: Cálculo II, Geometria Analítica, Geometria IISÚMULA. Análise e proposta de utilização de diferentes softwares para o ensino e aprendizagem

da Matemática na escola, como softwares de geometria dinâmica, acompanhada de prática pedagógica. Análise de sites Web na área de ensino da Matemática e suas possíveis utilizações no dia a dia da sala de aula.

BIBLIOGRAFIA BÁSICABarr, Feigenbaum – The Hanbook of Artificial Inteligence, vol. 1Dreyfus, Dreyfus -  Mind over MachineGiraldo, V., Caetano, P., Mattos, F., Recursos Computacionais no Ensino da Matemática, Coleção

PROFMAT, SBM.Papert , S. Logo -  Computadores e Educação, Brasiliense, 1988, São Paulohttp://www2.mat.ufrgs.br/edumatec/atividades_index.php

Quinto período:

CÁLCULO III (60 horas) – Pré- Requisito: Cálculo ISÚMULA. Integrais duplas sobre retângulos, integração repetida, integrais duplas sobre regiões

genéricas do plano, integrais duplas em coordenadas polares, aplicações das integrais duplas. Integrais triplas, integração repetida, aplicações das integrais triplas, integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas, centros de massa e Teorema de Pappus. Mudança de variáveis em integrais múltiplas. Campos vetoriais, campos gradientes. Integrais de linha. Integrais de linha de campos vetoriais. Teorema de Green. Área e Integrais de superfície. Teorema da divergência. Teorema de Stokes.

BIBLIOGRAFIA BÁSICAKaplan, Wilfred. Cálculo Avançado. São Paulo: Edgard Blücher, 2002. vol. 1.Stewart, J., Cálculo, vol.1 e 2, 4 ed, Ed. Thompson, 2001.Thomas, G.B. Cálculo, vol. 2, 10ed. São Paulo:Addison-Wesley, 2002.

GEOMETRIA II SÚMULA: Seções cônicas e propriedades óticas. Transformações geométricas no plano:

translações, rotações, homotetias, inversões. Geometria espacial: paralelismo de retas e planos, perpendicularidade de retas e planos, o axioma da tridimensionalidade, ângulos. Volumes e áreas de sólidos de revolução. Polígonos, poliedros, simetrias. Teorema de Euler. Sólidos platônicos. Comentários sobre geometrias não-euclidianas.

BIBLIOGRAFIA BÁSICA Carvalho, Paulo Cezar Pinto. Introdução à Geometria Espacial. 4. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2002.Greenberg, Marvin Jay. Euclidean & Non-Euclidean Geometry. 3. ed. WH Freeman & Co.: 1993.Lima, Elon. Isometrias. SBM.

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS (60 horas)REQUISITOS: Cálculo I, Calculo II, Álgebra LinearSÚMULA. Equações Diferenciais Ordinárias de 1a e 2a Ordens: resolução e aplicações.

Aplicações de séries na resolução de equações diferenciais ordinárias. Soluções de Equações Diferenciais em Séries de Potências. Sistemas de Equações Diferenciais Lineares. Métodos numéricos para integração de equações diferenciais ordinárias. Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais clássicas.

BIBLIOGRAFIA BÁSICABOYCE-DIPRIMA - Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, Ed.

Guanabara, 1990. Figueiredo, D. G. – Equações Diferenciais Aplicadas, Coleção Matemática Universitária - IMPA

Figueiredo, D. G. – Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, Projeto Euclides - IMPA

FÍSICA II (60 horas)REQUISITOS: Física Geral I e Cálculo IIISÚMULA: Eletricidade e magnetismo. Movimento ondulatório e luz. Calor. Acústica. Comentários

sobre tópicos de física moderna.BIBLIOGRAFIA BÁSICA Halliday. D.,  Resnick , R. e Walker, J., Fundamentos de Física (4a ed – John Wiley & Sons) Nussenzveig, M., Curso de Física Básica ( 3 – Eletromagnetismo ), - Ed. Edgard Blücher Ltda

ESTRUTURA DA EDUCAÇÃO BÁSICA

Sexto período:

CÁLCULO NUMÉRICO (60 horas) REQUISITOS Cálculo IISÚMULA. Aritmética de Ponto Flutuante; Análise de erros nas operações aritmética de ponto

flutuante. Zeros de Funções: Método de Bisseção;  Método de Falsa Posição; Método Interativo Linear; Método de Newton – Raphson; Método da Secante, Método Especial para raízes de equações polinomiais. Resolução de Sistemas Lineares: Métodos Diretos:  Métodos de Eliminação de Gauss,  Fatoração LU; Métodos Iterativos:  Método Iterativo de Gauss – Jacobi,  Método Iterativo de Gauss – Seidel. Interpolação Polinomial:  Forma de Lagrange para o polinômio interpolador, Forma de Newton para o polinômio interpolador,  Forma de Newton-Gregory para o polinômio interpolador; Estudo do Erro na interpolação; Interpolação Inversa;Estudo sobre a escolha do polinômio interpolado; Fenômeno de Runge; Funções Spline (linear) em interpolação. Integração Numérica. Fórmula de Newton-Cotes;  Regra dos Trapézios ; Regra de Simpson;  Estudo dos Erros. Soluções Numéricas de Equações Diferenciais Ordinárias: Métodos de passo simples:  Método de Série de Taylor, Método de Euler , Método de Euler Modificado, Método de Runge – Kutta de 4.º ordem,  Métodos de previsão – correção.

BIBLIOGRAFIA BÁSICABurden, Richard L. e  Faires, J. Douglas. Análise Numérica, 8. ed. São Paulo: Thompson, 2008.Ruggiero, Márcia A. Gomes e Lopes, Vera Lucia Rocha; Cálculo Numérico, Aspectos Teóricos e

Computacionais 2. ed. São Paulo: Makron Books, 2004.

ÁLGEBRA III (60 horas)REQUISITOS: Álgebra IISÚMULA: Anéis. O anel de polinômios A[X] (A anel). Domínios euclidianos: elementos invertíveis,

irredutíveis e fatoração única. A noção de isomorfismo entre estruturas algébricas. Grupos. Grupos finitos. Teorema de Lagrange. Grupos de permutações. Grupos de matrizes. Extensões algébricas dos racionais; números algébricos e transcendentes; adjunção de raízes; corpo de decomposição de um polinômio; grau de extensão; números construtíveis com régua e compasso; os problemas clássicos da Geometria.

BIBLIOGRAFIA BÁSICAFigueiredo, D., Números irracionais e transcendentes. Rio de Janeiro: SBM, 1985Gonçalves,A. - Introdução à Álgebra, Projeto Euclides, IMPA, 1979.Garcia, A. e Lequain, Y., Elementos de Álgebra, Projeto Euclides, IMPA, 2002.Hefez, A., Villela, M.L.T., Polinômios e equações algébricas – Coleção PROFMAT, SBM.Lang, S. - Algebraic Structures. Addison-Wesley, 1967Niven, I., Números racionais e irracionais, Coleção Fundamentos da Matemática Elementar, SBM,

1984.Wagner, E., Construções Geométricas, Col. Professor de Matemática, IMPA,1998.

COMBINATÓRIAIndução e Contagem. Sequências recorrentes lineares. Funções geratrizes [G,W].

Conceitos básicos de grafos ([D, Cap. 1] e [B, Cap. 1]). Teoria extremal de grafos: Teorema de Turán. ([D, Cap. 7] e [B, Cap. 4]). Introdução à teoria de Ramsey ([B, Cap. 6], [D, Cap. 9], [KM]).Aplicações de Álgebra Linear a Combinatória [KM].

BIBLIOGRAFIA BÁSICA

Bollobás, B. - Modern Graph Theory (2nd ed). Springer, 2002.Diestel, R. - Graph Theory (3rd. ed). Springer, 2005. Disponível online em http://www.math.uni-hamburg.de/home/diestel/books/graph.theory/GraphTheoryIII.counted.pdf Graham, R., Knuth, D., Patashink, E O. - Concrete Mathematics (2nd ed). Addison-Wesley,1994.Kohayakawa, Y., Moreira, C. G. - Tópicos em Combinatória Contemporânea. IMPA, 2001.

L. Lovász, J. Pelikán , K.Vesztergombi - Matemática Discreta (Discrete Mathematics) Tradução , SBM, 2010.

Wilf, H. - Generatingfunctology. Academic Press, 1990. 

DIDÁTICA

PCC III - LABORATÓRIO DE PRÁTICA DE ENSINO-APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA I (70 horas) REQUISITOS: Fundamentos de Matemática I e Fundamentos de Aritmética

SÚMULA. Preparação, execução e avaliação de experiências de prática de ensino nos seguintes conteúdos: números naturais, inteiros, racionais; incomensurabilidade e números irracionais; números reais; números complexos.

Sétimo período:ANÁLISE REAL (90 horas) SÚMULA: Conjuntos finitos e infinitos. Conjuntos enumeráveis e não-enumeráveis. Cardinais.

Números reais. R é um corpo ordenado completo. Seqüências de números reais: monótonas, limitadas, convergentes. Teorema de Bolzano–Weierstrass. Critério de Cauchy. Limites e desigualdades. Operações com limites. Limites infinitos. Séries de números reais. Principais critérios de convergência. Convergência absoluta e condicional. Noções sobre a topologia da reta.: conjuntos abertos, fechados e compactos. Funções reais de variável real: limites, continuidade. Teorema de Weierstrass. Teorema do valor intermediário. Continuidade uniforme. Derivadas. Teorema do valor médio. Derivadas de ordem superior. Fórmulas de Taylor. Séries de Taylor. Integral de Riemann. Integrabilidade das funções contínuas. Teorema fundamental do cálculo.

BIBLIOGRAFIA BÁSICAÁvila, G. - Análise Matemática para a Licenciatura; 3 ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2006.Figueiredo, D. G. – Análise I – LTCLima, E. – Análise Real, vol. 1 – Coleção Matemática Universitária - IMPA

DIDÁTICA DA MATEMÁTICA

PCC IV – LABORATÓRIO DE PRÁTICA DE ENSINO-APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA II (70 horas) REQUISITOS: Geometria II, Geometria Analítica

SÚMULA: Preparação, execução e avaliação de experiências de prática de ensino nos seguintes conteúdos: geometria sintética no plano e no espaço. Medidas: comprimentos, áreas e volumes. Geometria Analítica. Transformações geométricas. Construções com régua e compasso.

OPTATIVA

ESTÁGIO - Segundo orientações do PARECER CNE/CP 9/2001.

Oitavo período:CÁLCULO EM VARIÁVEL COMPLEXA (60 horas)SÚMULA: Números Complexos. Funções Analíticas; Funções elementares. Integrais. Fórmula

integral de Cauchy. Séries de potências. Resíduos e pólos. O teorema de Liouville e o teorema fundamental da álgebra. Transformações por funções elementares.

BIBLIOGRAFIA BÁSICAChurchill, R.V. – Variáveis Complexas e suas aplicações – editora da USP.Gamelin, T.W.-Complex Analysis – Springer.

Honig, C.H. – Introdução às Funções de uma Variável Complexa – Publicação do IME/USP.Howie, M.H. – Complex Analysis – Springer.Soares, M. – Cálculo em uma Variável Complexa – Coleção Matemática Universitária - IMPA

PCC V – LABORATÓRIO DE PRÁTICA DE ENSINO-APRENDIZAGEM EM MATEMÁTICA III (70 horas) REQUISITOS: Cálculo I, Fundamentos de Matemática II, Matemática Discreta

SÚMULA: Preparação, execução e avaliação de experiências de prática de ensino nos seguintes conteúdos: números reais, funções algébricas, funções transcendentes, seqüências numéricas e progressões. Análise combinatória e probabilidade discreta.

ESTÁGIO - De acordo com as recomendações do CNE/CP 009/2001

LIBRAS - De acordo com o capítulo II, DA INCLUSÃO DA LIBRAS COMO DISCIPLINA CURRICULAR, do Decreto nº 5.626, de 22 de dezembro de 2005 que regulamenta a lei no. 10.436, de 24 de abril de 2002, que dispõe sobre a Língua Brasileira de Sinais - Libras, e o art. 18 da Lei no 10.098, de 19 de dezembro de 2000.

Obs.: Na elaboração da proposta de estrutura curricular, além do citado anteriromente, consideramos também as seguintes orientações do PARECER CNE/CP 9/2001, contidas nos itens 3.2.1 que transcrevemos a seguir.

3.2 No campo curricular3.2.1 Desconsideração do repertório de conhecimento dos professores em formação.

Aqui, o problema é o fato de o repertório de conhecimentos prévios dos professores em formação nem sempre ser considerado no planejamento e desenvolvimento das ações pedagógicas. Esse problema se apresenta de forma diferenciada. Uma delas diz respeito aos conhecimentos que esses alunos possuem, em função de suas experiências anteriores de vida cotidiana e escolar. A outra forma ocorre quando os alunos dos cursos de formação, por circunstâncias diversas, já têm experiência como professores e, portanto, já construíram conhecimentos profissionais na prática e, mesmo assim, estes conhecimentos acabam não sendo considerados/tematizados em seu processo de formação.

Mas, há também problemas causados pelo fato de se idealizar que esses alunos “deveriam saber” determinados conteúdos, sem se buscar conhecer suas experiências reais como estudantes, para subsidiar o planejamento das ações de formação. Estudos mostram que os ingressantes nos cursos superiores, em geral, e nos cursos de formação de professores, em particular, têm, muitas vezes, formação insuficiente, em decorrência da baixa qualidade dos cursos da educação básica que lhes foram oferecidos. Essas condições reais nem sempre são levadas em conta pelos formadores, ou seja, raramente são considerados os pontos de partida e as necessidades de aprendizagem desses alunos.

Para reverter esse quadro de desconsideração do repertório de conhecimentos dos professores em formação, é preciso que os cursos de preparação de futuros professores tomem para si a responsabilidade de suprir as eventuais deficiências de escolarização básica que os futuros professores receberam tanto no ensino fundamental como no ensino médio.

As diretrizes para o curso de Licenciatura em Matemática implicam na rigidez da distribuição de conteúdos em grande parte de sua carga horária mínima, pois 400 consistem de estágio, 400 de prática como componente curricular e as 1800 de conteúdo científico devem contemplar:

1) cerca de 360 horas que correspondem às disciplinas pedagógicas (sociologia da educação, psicologia da educação, filosofia da educação, estrutura da educação, didática, didática específica);

2) conteúdos de formação matemática necessários (cálculo, álgebra, álgebra linear, análise, geometria, geometria analítica) que antecedem o curso de disciplinas que fazem o elo entre o conteúdo científico e a prática;

3) conteúdos para suprir eventuais deficiências de escolarização básica;4) LIBRAS.

Nesse quadro, verifica-se que há pouco espaço para optativas. Por esse motivo, sugerimos incluir optativas nas 200 horas de atividades acadêmico-científico-culturais. Lembrando que, as 400 horas que contemplam a prática devem estar vinculadas aos conteúdos descritos no item 2). Portanto, não cabe incluir optativas nessa parte da carga horária.

Sugestões de AACC (100 horas)Podem ser contabilizados como AACC as seguintes atividades, desde que realizadas após o

ingresso no curso, devidamente documentadas e, preferencialmente, diversificadas: Participação em atividades de extensão universitária; Cursos de extensão com carga horária definida e que incluam avaliação de freqüência e

desempenho; Participação em atividades de iniciação científica; Atividades de monitoria; Atividades desenvolvidas como Bolsa PET, Bolsa EAD e demais bolsas acadêmicas; Disciplinas obrigatórias alternativas excedentes; Apresentação de trabalho por alunos não bolsistas de IC em jornadas, simpósios, congressos, encontros ou conferências nas áreas: Educação, Educação Matemática, Estatística ou

Matemática; Participação efetiva e comprovada em jornadas, simpósios, congressos, encontros ou

conferências nas áreas mencionadas no item anterior.

Comissão de LicenciaturaCarlos Gustavo T. de A. Moreira (IMPA)Daniel Cordeiro Morais Filho (UFCG)Elon Lages Lima (IMPA)Nedir do Espirito Santo

O presente documento foi baseado em documento anteriormente elaborado por uma Comissão designada pela SBM com a composição descriminada a seguir. A presente comissão externa seu débito e agradecimento à primeira comissão.

Comissão de EnsinoData: 20/03/2011Membros da ComissãoCydara Cavedon Ripoll (UFRGS)Maria Aparecida Soares Ruas (Primeiro Secretário da SBM) (USP-São Carlos)

Mario Jorge Dias Carneiro (UFMG)Milton Lopes Filho (UNICAMP)Nedir do Espírito Santo (Coordenação) (UFRJ)Sandra Maria Semensato de Godoy (USP)Yuriko Baldin (UFSCar)