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2. Geometria Analítica e o programa Winplot
2.1. Estudo da reta
Sabemos que dois pontos distintos determinam uma reta. Qual é, então, a equação
da reta que passa por dois pontos dados?
Por exemplo, se tivermos os pontos A(2 , 1) e B(5 , 3).
Vamos escrever a equação da reta que passa por esses dois pontos:
Por outro lado, sabemos que se três pontos A(xA , yA), B(xB , yB) e C(xC , yC) estão
alinhados, então vale:
Ou seja, a equação geral de uma reta r, sendo A(xA , yA) e B(xB , yB) pontos
conhecidos e P(x , y) um ponto genérico, é dada por:
Assim, para o exemplo acima, temos:
P(x,y) pertence à reta procurada se vale:
APP’ ~ ABB’ (pois possuem dois
ângulos congruentes):
 é comum e m(PP’A)=m(BB’A)=90
Assim,
ou seja, 2x-3y-1=0
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Genericamente, a equação geral de uma reta é dada pela expressão:
ax + by + c = 0
Se isolarmos y obtemos:
equação reduzida da reta
O nosso objetivo, em princípio, é analisar o comportamento da reta quando
mudamos os valores de m = – a/b (coeficiente angular) e q = –c/b (coeficiente linear).
________________________________________________________________________
Lembrando:
O coeficiente angular da reta r é o número real m que expressa a tangente
trigonométrica de sua inclinação (menor ângulo que a reta forma com o eixo x), ou seja:
m = tg
Pode ocorrer, então, que:
Se = 0º tg = 0 m = 0:
Se 0º < < 90º tg > 0 m > 0:
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Se 90º < < 180º tg < 0 m < 0:
Se = 90º tg não é definida:
O coeficiente linear da reta r é o número real q que expressa a ordenada do
ponto onde a reta corta o eixo y.
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Atividade 1: Trace uma reta paralela ao eixo das abscissas e que passe pelo ponto
(0,-2).
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Qual é a equação geral e a equação reduzida dessa reta?
x
yy = -2
Eq.. Geral: y+2=0
Atividade 2: Trace uma reta paralela ao eixo das ordenadas.
Qual é a equação geral e a equação reduzida dessa reta?
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x
y
Atividade 3: Desenhe os gráficos das seguintes retas, num mesmo par de eixos:
a) y = 3x
b) y = 3x + 1
c) y = 3x - 1
d) y = 3x - 2
e) y = 3x + 5
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x
yy = 3xy = 3x+1y = 3x-1y = 3x-2y = 3x+5
Agora analise os gráficos, utilize os recursos do software e responda:
Quais as coordenadas do ponto em que cada reta intercepta o eixo x? (“Um –
Zeros”)
a) 0,0
b) -0,33333
c) 0,33333
d) 0,66667
e) -1,66667
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Quais as coordenadas do ponto em que cada reta intercepta o eixo y? (“Um –
Traço”)
a) (0,0)
b) (0.1)
c) (0,-1)
d) (0,-2)
e) (0,5)
Existe alguma relação entre o termo independente q e a intersecção de cada reta
com o eixo y?
Comparando-se todas as retas desenhadas, em que posição relativa elas se
encontram? Como são os coeficientes de x em cada expressão?
Atividade 4: Faça os gráficos seguintes que irão ilustrar ainda mais os conceitos vistos
na atividade anterior:
f) y = (-1/3)x
g) y = (-1/3)x + 1
h) y = (-1/3)x - 1
i) y = (-1/3)x - 2
j) y = (-1/3)x + 5
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x
yy = (-1/3)Xy = (-1/3)x+1y = (-1/3)x-1y = (-1/3)x-2y = (-1/3)x+5
O que acontece com os gráficos quando m = 3 e m = -1/3?
O que você pode dizer a respeito da posição relativa das retas desenhadas nesta
atividade 4?
Atividade 5: Desenhe os gráficos das seguintes retas:
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a) y = 2x + 1
b) y = (-1/2)x + 1
c) y = -2x + 1
d) y = (1/2)x + 1
e) y = (-4/5)x + 8
f) y = (5/4)x - 1
x
yy = 2x+1y = (-1/2)x+1y = -2x+1y = (1/2)x+1y = (-4/5)x+8y = (5/4)x-1
Qual a posição relativa de cada par de retas a) e b); c) e d); e) e f)? Qual a
relação existente entre os coeficientes de x em cada par?
a) a e b : (0,1) e (0,1)
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b) c e d: (0,1) e (0,1)
c) e e f: (0,8) e (0,-1)
d) Relação:__________________
Atividade 6: Descubra as equações das retas que passam por alguns pares de pontos
dados e use o Winplot para reproduzir as seguintes figuras:
Já sabemos que os segmentos
verticais são representados pelas
“Equações Implícitas”; no entanto,
como não conseguimos travar o
intervalo para essas equações,
utilizaremos, somente para os
segmentos verticais, a opção
“Segmento”.
x
y
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CONFIRMAR SE PRECISA DOS CÁLCULOS
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2.2. Estudo da circunferência
Sabemos que uma circunferência é o conjunto dos pontos do plano que estão a
uma mesma distância r de um ponto C(a , b) dado.
O ponto C é o centro e r é o raio da circunferência.
Então, sendo P(x , y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P
(dC,P) representa o raio da circunferência. Ou seja,
AQUI
Assim, por exemplo, a circunferência de centro C(5 , - 6) e raio r = 2 tem equação
dada por:
Atividade 1: Desenhar os gráficos das seguintes circunferências:
a) x² + y² = 1
b) x² + y² = ¼
c) x² + y² = 4
d) x² + y² = 16
Lembrando:
Dadas as coordenadas de dois pontos A(xA , yA) e B(xB , yB), podemos calcular a
distância d entre eles por:
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x
yxx+yy=1xx+yy=1/4xx+yy=4xx+yy=16
Quais são as coordenadas do centro e qual é o raio de cada uma das
circunferências? O que você vê de comum entre os gráficos desenhados?
Atividade 2: Desenhar os gráficos das seguintes circunferências:
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a) x² + y² = 4 d) (x - 4)² + y² = 4
b) (x - 2)² + y² = 4 e) x² + (y - 2)² = 4
c) (x + 2)² + y² = 4 f) x² + (y + 2)² = 4
x
yx^2+y^2=4(x-2)^2+y^2=4(x+2)^2+y^2=4(x-4)^2+y^2=4x^2+(y-2)^2=4x^2+(y+2)^2=4
Quais são as coordenadas do centro e qual é o raio de cada uma das
circunferências? O que você vê de comum entre os gráficos desenhados?
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Atividade 3: O que significam as expressões x² + y² = 4, x2 + y2 < 4, x2 + y2 > 4?
(Use a opção “Equação – Desigualdades Implícitas” do Winplot e veja se os resultados
estão de acordo com as suas expectativas. Para isso você deve selecionar a equação da
circunferência x² + y² = 4 na janela que foi aberta e clicar nos botões “mudar = para <” e
depois “mudar = para >”).
Atividade 4: Descubra as equações que representam os desenhos e reproduza-os no
Winplot:
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x
y
Como fazer uma semicircunferência no Winplot?
Como exemplo vamos descobrir a equação da semicircunferência da figura acima (o mesmo
método é usado para desenhar metade de uma elipse que será usada numa atividade mais a
frente):
Equação da circunferência completa de centro (0 , 4) e raio 1:
(x-0)^2 + (y-4)^2 = 1
Isolando y temos:
(y-4)^2 = 1 – x^2 → y – 4 = ±sqrt(1 – x^2)
A raiz positiva desenha a parte de cima da circunferência:
A raiz negativa desenha a parte de baixo da circunferência:
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Fiz até o fim na primeira vez ai deu erro na segunda mostrou não ter espaço
As equações e segmentos para o desenho completo segue abaixo.
Detalhe: não sei se pode usar segmento, se não vai ser MT complicado.
(x-6)^2+(y-3.2)^2=3segmento (-4,-1)--(-4,-3)segmento (-3.5,-2)--(-3.5,-3.5)segmento (-2.5,-1.5)--(-2.5,-3.5)y = -3.5; -3.5 <= x <= -2.5y = -3; -4.0 <= x <= -3.5segmento (1,-2)--(1,-3)y = -3.5; 1.5 <= x <= 2.5segmento (-4,0.5)--(2.5,0.8)segmento (-5,1)--(-3.5,-2)segmento (-5,1)--(-4,0.5)y = -3X+1; 1 <= x <= 1.5segmento (2,-2)--(2.5,-3.5)y = -3; 1 <= x <= 1.3segmento (-2.5,-1.5)--(1,-2)segmento (3,-0.5)--(2,-2)segmento (3,-0.5)--(2,-2)segmento (5,0)--(4.5,-1)segmento (3.5,1)--(5,0)segmento (3.5,1)--(3,2)segmento (3,2)--(2.5,0.8)(x-3.5)^2+(y-3)^2=0.3^2
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Atividade 5: Use as equações de retas e circunferências vistas e escreva seu nome.
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2.3. Estudo das cônicas
2.3.1. Elipse:
Sabemos que uma elipse é o conjunto dos pontos P do plano cuja soma das
distâncias a dois pontos fixos e distintos desse plano é constante.
Elipse =
Fixando um sistema cartesiano, podemos obter a equação (reduzida) de uma
elipse. Através da definição acima e considerando a origem do sistema cartesiano como o
centro da elipse, suas equações serão dadas por:
Na elipse da figura ao lado,
destacamos:
F1 e F2: focos
: distância focal
O: centro (ponto médio de A1A2)
A1, A2, B1 e B2: vértices
: eixo maior
: eixo menor
(se tomarmos um sistema cartesiano ortogonal tal que A1A2 x e B1B2 y) e
(se tomarmos um sistema cartesiano ortogonal tal que A1A2 y e B1B2 x).
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Atividade 1: Desenhe os gráficos das seguintes elipses:
O que você vê de comum entre os gráficos desenhados? Quais são os valores de
a e b em cada uma das elipses?
Todas as elipses possuem eixo maior horizontal e centro na origem (0, 0).
a) a = 5 e b = 4
b) a = 4 e b = 3
c) a = 3 e b = 2
d) a = 2 e b = 1
Atividade 2: Desenhe os gráficos das seguintes elipses:
O que você vê de comum entre os gráficos desenhados? Quais são os valores de
a e b em cada uma das elipses?
Todas as elipses possuem eixo maior vertical e centro na origem (0, 0).
a) a = 5 e b = 4
b) a = 4 e b = 3
c) a = 3 e b = 2
d) a = 2 e b = 1
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Atividade 3: Desenhe os gráficos das seguintes elipses:
Quais são os valores de a e b em cada uma das elipses? O que você pode
concluir de relevante a partir desses exemplos?
a = 4 em todas as elipses; b = 4, , , , 2, 1 respectivamente.
A curva do item a) é uma circunferência de raio 4. À medida que o valor de b vai
diminuindo, a elipse vai ficando mais achatada.
Para cada uma das elipses, encontre o valor de (excentricidade,
responsável pelo maior arredondamento da elipse). O que você pode concluir?
Para encontrar o valor de c, precisamos usar a relação fundamental: a2 = b2 + c2 em
cada caso.
a) c = 0; e = 0/4 = 0
b) c = 1; e = 1/4 = 0,25
c) c = 2; e = 2/4 = 0,5
d) c = 3; e = 3/4 = 0,75
e) c = ; e = /4 = 0,87
f) c = ; e = /4 = 0,97
Podemos concluir que nas elipses sempre temos: 0<e<1 e quanto maior o valor de e,
mais achatada é a elipse. Quando e = 0, temos uma circunferência.
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Atividade 4: Desenhe os seguintes gráficos:
O que você pode concluir a partir desses exemplos?
Os itens de a) até e) são elipses com eixo maior horizontal. Há mudança dos centros que
são respectivamente: (0,0); (2,1); (-2,1); (5,-2); (-2,-1).
Os itens de f) até j) são elipses com eixo maior vertical. Há mudança dos centros que são
respectivamente: (0,0); (3,2); (-3,2); (-3,-2); (3,-2).
Todas as elipses possuem a mesma forma, ou seja, a mesma excentricidade. Dessa
forma, podemos olhá-las como tendo sofrido translações.
1
4
1y
9
2x)e
14
2y
9
5x)d
14
1y
9
2x)c
14
1y
9
2x)b
14
y
9
x)a
22
22
22
22
22
1
9
2y
4
3x)j
19
2y
4
3x)i
19
2y
4
3x)h
19
2y
4
3x)g
19
y
4
x)f
22
22
22
22
22
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Atividade 5: Descubra as equações das elipses que representam o boneco e reproduza-o
no Winplot:
x
y
x
yy = 3; -2 <= x <= 2y = 4; -1 <= x <= 1segmento (-1,3.0)--(-1,4)segmento (1,3.0)--(1,4)x^2/2.5^2+y^2/9=1(x+1)^2/0.25^2+(y-1)^2/0.5^2=1(x-1)^2/0.25^2+(y-1)^2/0.5^2=1x^2+y^2=0.25^2y+1=-sqrt(1-x^2)y+1=-sqrt(0.25(1-x^2))y=1.5+sqrt(0.25-4(x+1)^2)y=1.5+sqrt(0.25-4(x-1)^2)
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2.3.2. Hipérbole:
Sabemos que uma hipérbole é o conjunto dos pontos P de um plano tais que a
diferença de suas distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante e menor que a
distância entre esses pontos fixos.
Hipérbole =
2a < 2c
Fixando um sistema cartesiano, podemos obter a equação (reduzida) de uma
hipérbole. Através da definição acima e considerando a origem do sistema cartesiano
como o centro da hipérbole, suas equações serão dadas por:
Na hipérbole da figura ao lado,
destacamos:
F1 e F2: focos
: distância focal
O: centro (ponto médio de A1A2)
A1 e A2: vértices
: eixo real ou transverso
: eixo imaginário ou
conjugado
(se tomarmos um sistema cartesiano ortogonal tal que A1A2 x e B1B2 y) e
(se tomarmos um sistema cartesiano ortogonal tal que A1A2 y e B1B2 x).
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Atividade 1: Desenhe os gráficos das seguintes hipérboles num mesmo par de eixos:
O que você vê de comum entre os gráficos desenhados? Quais são os valores de
a e b em cada uma das hipérboles?
Atividade 2: Desenhe os gráficos das seguintes hipérboles:
O que você vê de comum entre os gráficos desenhados? Quais são os valores de
a e b em cada uma das hipérboles?
Atividade 3: Desenhe os gráficos das seguintes hipérboles:
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_________________________________________________________________________________
Quais são os valores de a e b em cada uma das hipérboles? O que você pode
concluir de relevante a partir desses exemplos?
Para cada uma das hipérboles, encontre o valor de (excentricidade). O que
você pode concluir?
Atividade 4: Desenhe os seguintes gráficos:
O que você pode concluir a partir desses exemplos?
1
4
1y
9
2x)e
14
2y
9
5x)d
14
1y
9
2x)c
14
1y
9
2x)b
14
y
9
x)a
22
22
22
22
22
1
4
2x
9
3y)j
14
2x
9
3y)i
14
2x
9
3y)h
14
2x
9
3y)g
14
x
9
y)f
22
22
22
22
22
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Atividade 5: Na hipérbole da figura abaixo, temos um retângulo de lados 2a e 2b. As
retas a1 e a2, que contêm as diagonais desse retângulo são chamadas assíntotas da
hipérbole.
Quais são as equações das assíntotas da hipérbole da figura acima?
Desenhe o gráfico da seguinte hipérbole:
Desenhe as assíntotas da hipérbole. Quais são as suas equações?
Desenhe o gráfico da seguinte hipérbole:
Desenhe as assíntotas da hipérbole. Quais são as suas equações?
2.3.3. Parábola:
Assíntota é uma reta
que tangencia a curva
no infinito.
A hipérbole acima, que tem as medidas dos semi eixos iguais, isto é, a = b,
é chamada equilátera. Nesse caso, as assíntotas são as bissetrizes do primeiro
e do segundo quadrantes, como você deve ter observado na atividade acima.
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Sabemos que uma parábola é o conjunto dos pontos P de um plano
equidistantes de um ponto fixo F e de uma reta fixa d do plano, tal que F d.
Parábola =
Atividade 1: Construa os gráficos seguintes:
a) y = x² d) y = x²
b) y = 2x² e) y = (½)x²
c) y = 3x² f) y = (¼)x²
O que você vê de comum entre os gráficos desenhados? O que você pode
concluir de relevante a partir desses exemplos?
Atividade 2: Construa os gráficos seguintes:
a) y = -x² d) y = - x²
b) y = -2x² e) y = -(½)x²
c) y = -3x² f) y = -(¼)x²
O que você vê de comum entre os gráficos desenhados? O que você pode
concluir de relevante a partir desses exemplos?
Atividade 3: Construa os gráficos seguintes:
Na parábola da figura ao lado,
destacamos:
F: foco
d: reta diretriz
V: vértice (ponto médio do segmento
FD)
e: eixo de simetria (reta que passa pelo
foco F e é perpendicular à diretriz)
p: parâmetro (distância do foco ao
vértice ou do vértice à diretriz)
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a) x = y² d) x = y²
b) x = 2y² e) x = (½)y²
c) x = 3y² f) x = (¼)y²
O que você vê de comum entre os gráficos desenhados? O que você pode
concluir de relevante a partir desses exemplos?
Atividade 4: Construa os gráficos seguintes:
a) x = -y² d) x = - y²
b) x = -2y² e) x = -(½)y²
c) x = -3y² f) x = -(¼)y²
O que você vê de comum entre os gráficos desenhados? O que você pode
concluir de relevante a partir desses exemplos?
Fixando um sistema cartesiano, podemos obter a equação (reduzida) de uma
parábola, bem como a equação de sua diretriz e as coordenadas de seu foco. Através da
definição e considerando a origem do sistema cartesiano como o vértice da parábola,
suas equações serão dadas por:
1º caso: eixo de simetria sobre o eixo y
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Se p > 0, a parábola tem a concavidade
voltada para cima.
parábola: x2 = 4py ou
diretriz: y = - p
foco: F(0 , p)
2º caso: eixo de simetria sobre o eixo x
Se p > 0, a parábola tem a concavidade
voltada para a direita.
parábola: y2 = 4px ou
diretriz: x = - p
foco: F(p , 0)
Se p < 0, a parábola tem a
concavidade voltada para baixo.
Se p < 0, a parábola tem a
concavidade voltada para a esquerda.
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Atividade 5: Determine as equações das diretrizes e as coordenadas dos focos das
parábolas das atividades anteriores e teste-as no Winplot.
Quais são as suas equações?
Atividade 6: Usando as equações de retas, circunferências e cônicas vistas, crie o seu
próprio desenho.
REFERÊNCIAS
BARUFI, Maria Cristina B.; LAURO, Maira M. Funções Elementares, equações e
inequações: uma abordagem utilizando microcomputador. CAEM – IME/USP, 2000.
IEZZI, G. e outros. Fundamentos da Matemática Elementar. São Paulo: Atual, 2000.
SMOOTHEY, Marion. Atividades e jogos com gráficos. São Paulo: Scipione, 1997.