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Licenciatura em Matemática – Prática de Ensino V Profª Maira Mendias Lauro 48 _________________________________________________________________________ ________ 2. Geometria Analítica e o programa Winplot 2.1. Estudo da reta Sabemos que dois pontos distintos determinam uma reta. Qual é, então, a equação da reta que passa por dois pontos dados? Por exemplo, se tivermos os pontos A(2 , 1) e B(5 , 3). Vamos escrever a equação da reta que passa por esses dois pontos: Por outro lado, sabemos que se três pontos A(x A , y A ), B(x B , y B ) e C(x C , y C ) estão alinhados, então vale: P(x,y) pertence à reta procurada se vale: APP’ ~ ABB’ (pois possuem dois ângulos congruentes): Â é comum e m(PP’A)=m(BB’A)=90 Assim,

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2. Geometria Analítica e o programa Winplot

2.1. Estudo da reta

Sabemos que dois pontos distintos determinam uma reta. Qual é, então, a equação

da reta que passa por dois pontos dados?

Por exemplo, se tivermos os pontos A(2 , 1) e B(5 , 3).

Vamos escrever a equação da reta que passa por esses dois pontos:

Por outro lado, sabemos que se três pontos A(xA , yA), B(xB , yB) e C(xC , yC) estão

alinhados, então vale:

Ou seja, a equação geral de uma reta r, sendo A(xA , yA) e B(xB , yB) pontos

conhecidos e P(x , y) um ponto genérico, é dada por:

Assim, para o exemplo acima, temos:

P(x,y) pertence à reta procurada se vale:

APP’ ~ ABB’ (pois possuem dois

ângulos congruentes):

 é comum e m(PP’A)=m(BB’A)=90

Assim,

ou seja, 2x-3y-1=0

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Genericamente, a equação geral de uma reta é dada pela expressão:

ax + by + c = 0

Se isolarmos y obtemos:

equação reduzida da reta

O nosso objetivo, em princípio, é analisar o comportamento da reta quando

mudamos os valores de m = – a/b (coeficiente angular) e q = –c/b (coeficiente linear).

________________________________________________________________________

Lembrando:

O coeficiente angular da reta r é o número real m que expressa a tangente

trigonométrica de sua inclinação (menor ângulo que a reta forma com o eixo x), ou seja:

m = tg

Pode ocorrer, então, que:

Se = 0º tg = 0 m = 0:

Se 0º < < 90º tg > 0 m > 0:

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_________________________________________________________________________________

Se 90º < < 180º tg < 0 m < 0:

Se = 90º tg não é definida:

O coeficiente linear da reta r é o número real q que expressa a ordenada do

ponto onde a reta corta o eixo y.

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Atividade 1: Trace uma reta paralela ao eixo das abscissas e que passe pelo ponto

(0,-2).

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Qual é a equação geral e a equação reduzida dessa reta?

x

yy = -2

Eq.. Geral: y+2=0

Atividade 2: Trace uma reta paralela ao eixo das ordenadas.

Qual é a equação geral e a equação reduzida dessa reta?

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x

y

Atividade 3: Desenhe os gráficos das seguintes retas, num mesmo par de eixos:

a) y = 3x

b) y = 3x + 1

c) y = 3x - 1

d) y = 3x - 2

e) y = 3x + 5

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_________________________________________________________________________________

x

yy = 3xy = 3x+1y = 3x-1y = 3x-2y = 3x+5

Agora analise os gráficos, utilize os recursos do software e responda:

Quais as coordenadas do ponto em que cada reta intercepta o eixo x? (“Um –

Zeros”)

a) 0,0

b) -0,33333

c) 0,33333

d) 0,66667

e) -1,66667

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Quais as coordenadas do ponto em que cada reta intercepta o eixo y? (“Um –

Traço”)

a) (0,0)

b) (0.1)

c) (0,-1)

d) (0,-2)

e) (0,5)

Existe alguma relação entre o termo independente q e a intersecção de cada reta

com o eixo y?

Comparando-se todas as retas desenhadas, em que posição relativa elas se

encontram? Como são os coeficientes de x em cada expressão?

Atividade 4: Faça os gráficos seguintes que irão ilustrar ainda mais os conceitos vistos

na atividade anterior:

f) y = (-1/3)x

g) y = (-1/3)x + 1

h) y = (-1/3)x - 1

i) y = (-1/3)x - 2

j) y = (-1/3)x + 5

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_________________________________________________________________________________

x

yy = (-1/3)Xy = (-1/3)x+1y = (-1/3)x-1y = (-1/3)x-2y = (-1/3)x+5

O que acontece com os gráficos quando m = 3 e m = -1/3?

O que você pode dizer a respeito da posição relativa das retas desenhadas nesta

atividade 4?

Atividade 5: Desenhe os gráficos das seguintes retas:

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_________________________________________________________________________________

a) y = 2x + 1

b) y = (-1/2)x + 1

c) y = -2x + 1

d) y = (1/2)x + 1

e) y = (-4/5)x + 8

f) y = (5/4)x - 1

x

yy = 2x+1y = (-1/2)x+1y = -2x+1y = (1/2)x+1y = (-4/5)x+8y = (5/4)x-1

Qual a posição relativa de cada par de retas a) e b); c) e d); e) e f)? Qual a

relação existente entre os coeficientes de x em cada par?

a) a e b : (0,1) e (0,1)

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b) c e d: (0,1) e (0,1)

c) e e f: (0,8) e (0,-1)

d) Relação:__________________

Atividade 6: Descubra as equações das retas que passam por alguns pares de pontos

dados e use o Winplot para reproduzir as seguintes figuras:

Já sabemos que os segmentos

verticais são representados pelas

“Equações Implícitas”; no entanto,

como não conseguimos travar o

intervalo para essas equações,

utilizaremos, somente para os

segmentos verticais, a opção

“Segmento”.

x

y

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CONFIRMAR SE PRECISA DOS CÁLCULOS

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2.2. Estudo da circunferência

Sabemos que uma circunferência é o conjunto dos pontos do plano que estão a

uma mesma distância r de um ponto C(a , b) dado.

O ponto C é o centro e r é o raio da circunferência.

Então, sendo P(x , y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P

(dC,P) representa o raio da circunferência. Ou seja,

AQUI

Assim, por exemplo, a circunferência de centro C(5 , - 6) e raio r = 2 tem equação

dada por:

Atividade 1: Desenhar os gráficos das seguintes circunferências:

a) x² + y² = 1

b) x² + y² = ¼

c) x² + y² = 4

d) x² + y² = 16

Lembrando:

Dadas as coordenadas de dois pontos A(xA , yA) e B(xB , yB), podemos calcular a

distância d entre eles por:

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x

yxx+yy=1xx+yy=1/4xx+yy=4xx+yy=16

Quais são as coordenadas do centro e qual é o raio de cada uma das

circunferências? O que você vê de comum entre os gráficos desenhados?

Atividade 2: Desenhar os gráficos das seguintes circunferências:

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a) x² + y² = 4 d) (x - 4)² + y² = 4

b) (x - 2)² + y² = 4 e) x² + (y - 2)² = 4

c) (x + 2)² + y² = 4 f) x² + (y + 2)² = 4

x

yx^2+y^2=4(x-2)^2+y^2=4(x+2)^2+y^2=4(x-4)^2+y^2=4x^2+(y-2)^2=4x^2+(y+2)^2=4

Quais são as coordenadas do centro e qual é o raio de cada uma das

circunferências? O que você vê de comum entre os gráficos desenhados?

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Atividade 3: O que significam as expressões x² + y² = 4, x2 + y2 < 4, x2 + y2 > 4?

(Use a opção “Equação – Desigualdades Implícitas” do Winplot e veja se os resultados

estão de acordo com as suas expectativas. Para isso você deve selecionar a equação da

circunferência x² + y² = 4 na janela que foi aberta e clicar nos botões “mudar = para <” e

depois “mudar = para >”).

Atividade 4: Descubra as equações que representam os desenhos e reproduza-os no

Winplot:

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x

y

Como fazer uma semicircunferência no Winplot?

Como exemplo vamos descobrir a equação da semicircunferência da figura acima (o mesmo

método é usado para desenhar metade de uma elipse que será usada numa atividade mais a

frente):

Equação da circunferência completa de centro (0 , 4) e raio 1:

(x-0)^2 + (y-4)^2 = 1

Isolando y temos:

(y-4)^2 = 1 – x^2 → y – 4 = ±sqrt(1 – x^2)

A raiz positiva desenha a parte de cima da circunferência:

A raiz negativa desenha a parte de baixo da circunferência:

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Fiz até o fim na primeira vez ai deu erro na segunda mostrou não ter espaço

As equações e segmentos para o desenho completo segue abaixo.

Detalhe: não sei se pode usar segmento, se não vai ser MT complicado.

(x-6)^2+(y-3.2)^2=3segmento (-4,-1)--(-4,-3)segmento (-3.5,-2)--(-3.5,-3.5)segmento (-2.5,-1.5)--(-2.5,-3.5)y = -3.5; -3.5 <= x <= -2.5y = -3; -4.0 <= x <= -3.5segmento (1,-2)--(1,-3)y = -3.5; 1.5 <= x <= 2.5segmento (-4,0.5)--(2.5,0.8)segmento (-5,1)--(-3.5,-2)segmento (-5,1)--(-4,0.5)y = -3X+1; 1 <= x <= 1.5segmento (2,-2)--(2.5,-3.5)y = -3; 1 <= x <= 1.3segmento (-2.5,-1.5)--(1,-2)segmento (3,-0.5)--(2,-2)segmento (3,-0.5)--(2,-2)segmento (5,0)--(4.5,-1)segmento (3.5,1)--(5,0)segmento (3.5,1)--(3,2)segmento (3,2)--(2.5,0.8)(x-3.5)^2+(y-3)^2=0.3^2

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Atividade 5: Use as equações de retas e circunferências vistas e escreva seu nome.

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2.3. Estudo das cônicas

2.3.1. Elipse:

Sabemos que uma elipse é o conjunto dos pontos P do plano cuja soma das

distâncias a dois pontos fixos e distintos desse plano é constante.

Elipse =

Fixando um sistema cartesiano, podemos obter a equação (reduzida) de uma

elipse. Através da definição acima e considerando a origem do sistema cartesiano como o

centro da elipse, suas equações serão dadas por:

Na elipse da figura ao lado,

destacamos:

F1 e F2: focos

: distância focal

O: centro (ponto médio de A1A2)

A1, A2, B1 e B2: vértices

: eixo maior

: eixo menor

(se tomarmos um sistema cartesiano ortogonal tal que A1A2 x e B1B2 y) e

(se tomarmos um sistema cartesiano ortogonal tal que A1A2 y e B1B2 x).

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_________________________________________________________________________________

Atividade 1: Desenhe os gráficos das seguintes elipses:

O que você vê de comum entre os gráficos desenhados? Quais são os valores de

a e b em cada uma das elipses?

Todas as elipses possuem eixo maior horizontal e centro na origem (0, 0).

a) a = 5 e b = 4

b) a = 4 e b = 3

c) a = 3 e b = 2

d) a = 2 e b = 1

Atividade 2: Desenhe os gráficos das seguintes elipses:

O que você vê de comum entre os gráficos desenhados? Quais são os valores de

a e b em cada uma das elipses?

Todas as elipses possuem eixo maior vertical e centro na origem (0, 0).

a) a = 5 e b = 4

b) a = 4 e b = 3

c) a = 3 e b = 2

d) a = 2 e b = 1

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Atividade 3: Desenhe os gráficos das seguintes elipses:

Quais são os valores de a e b em cada uma das elipses? O que você pode

concluir de relevante a partir desses exemplos?

a = 4 em todas as elipses; b = 4, , , , 2, 1 respectivamente.

A curva do item a) é uma circunferência de raio 4. À medida que o valor de b vai

diminuindo, a elipse vai ficando mais achatada.

Para cada uma das elipses, encontre o valor de (excentricidade,

responsável pelo maior arredondamento da elipse). O que você pode concluir?

Para encontrar o valor de c, precisamos usar a relação fundamental: a2 = b2 + c2 em

cada caso.

a) c = 0; e = 0/4 = 0

b) c = 1; e = 1/4 = 0,25

c) c = 2; e = 2/4 = 0,5

d) c = 3; e = 3/4 = 0,75

e) c = ; e = /4 = 0,87

f) c = ; e = /4 = 0,97

Podemos concluir que nas elipses sempre temos: 0<e<1 e quanto maior o valor de e,

mais achatada é a elipse. Quando e = 0, temos uma circunferência.

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_________________________________________________________________________________

Atividade 4: Desenhe os seguintes gráficos:

O que você pode concluir a partir desses exemplos?

Os itens de a) até e) são elipses com eixo maior horizontal. Há mudança dos centros que

são respectivamente: (0,0); (2,1); (-2,1); (5,-2); (-2,-1).

Os itens de f) até j) são elipses com eixo maior vertical. Há mudança dos centros que são

respectivamente: (0,0); (3,2); (-3,2); (-3,-2); (3,-2).

Todas as elipses possuem a mesma forma, ou seja, a mesma excentricidade. Dessa

forma, podemos olhá-las como tendo sofrido translações.

1

4

1y

9

2x)e

14

2y

9

5x)d

14

1y

9

2x)c

14

1y

9

2x)b

14

y

9

x)a

22

22

22

22

22

1

9

2y

4

3x)j

19

2y

4

3x)i

19

2y

4

3x)h

19

2y

4

3x)g

19

y

4

x)f

22

22

22

22

22

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_________________________________________________________________________________

Atividade 5: Descubra as equações das elipses que representam o boneco e reproduza-o

no Winplot:

x

y

x

yy = 3; -2 <= x <= 2y = 4; -1 <= x <= 1segmento (-1,3.0)--(-1,4)segmento (1,3.0)--(1,4)x^2/2.5^2+y^2/9=1(x+1)^2/0.25^2+(y-1)^2/0.5^2=1(x-1)^2/0.25^2+(y-1)^2/0.5^2=1x^2+y^2=0.25^2y+1=-sqrt(1-x^2)y+1=-sqrt(0.25(1-x^2))y=1.5+sqrt(0.25-4(x+1)^2)y=1.5+sqrt(0.25-4(x-1)^2)

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2.3.2. Hipérbole:

Sabemos que uma hipérbole é o conjunto dos pontos P de um plano tais que a

diferença de suas distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante e menor que a

distância entre esses pontos fixos.

Hipérbole =

2a < 2c

Fixando um sistema cartesiano, podemos obter a equação (reduzida) de uma

hipérbole. Através da definição acima e considerando a origem do sistema cartesiano

como o centro da hipérbole, suas equações serão dadas por:

Na hipérbole da figura ao lado,

destacamos:

F1 e F2: focos

: distância focal

O: centro (ponto médio de A1A2)

A1 e A2: vértices

: eixo real ou transverso

: eixo imaginário ou

conjugado

(se tomarmos um sistema cartesiano ortogonal tal que A1A2 x e B1B2 y) e

(se tomarmos um sistema cartesiano ortogonal tal que A1A2 y e B1B2 x).

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_________________________________________________________________________________

Atividade 1: Desenhe os gráficos das seguintes hipérboles num mesmo par de eixos:

O que você vê de comum entre os gráficos desenhados? Quais são os valores de

a e b em cada uma das hipérboles?

Atividade 2: Desenhe os gráficos das seguintes hipérboles:

O que você vê de comum entre os gráficos desenhados? Quais são os valores de

a e b em cada uma das hipérboles?

Atividade 3: Desenhe os gráficos das seguintes hipérboles:

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_________________________________________________________________________________

Quais são os valores de a e b em cada uma das hipérboles? O que você pode

concluir de relevante a partir desses exemplos?

Para cada uma das hipérboles, encontre o valor de (excentricidade). O que

você pode concluir?

Atividade 4: Desenhe os seguintes gráficos:

O que você pode concluir a partir desses exemplos?

1

4

1y

9

2x)e

14

2y

9

5x)d

14

1y

9

2x)c

14

1y

9

2x)b

14

y

9

x)a

22

22

22

22

22

1

4

2x

9

3y)j

14

2x

9

3y)i

14

2x

9

3y)h

14

2x

9

3y)g

14

x

9

y)f

22

22

22

22

22

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Atividade 5: Na hipérbole da figura abaixo, temos um retângulo de lados 2a e 2b. As

retas a1 e a2, que contêm as diagonais desse retângulo são chamadas assíntotas da

hipérbole.

Quais são as equações das assíntotas da hipérbole da figura acima?

Desenhe o gráfico da seguinte hipérbole:

Desenhe as assíntotas da hipérbole. Quais são as suas equações?

Desenhe o gráfico da seguinte hipérbole:

Desenhe as assíntotas da hipérbole. Quais são as suas equações?

2.3.3. Parábola:

Assíntota é uma reta

que tangencia a curva

no infinito.

A hipérbole acima, que tem as medidas dos semi eixos iguais, isto é, a = b,

é chamada equilátera. Nesse caso, as assíntotas são as bissetrizes do primeiro

e do segundo quadrantes, como você deve ter observado na atividade acima.

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Sabemos que uma parábola é o conjunto dos pontos P de um plano

equidistantes de um ponto fixo F e de uma reta fixa d do plano, tal que F d.

Parábola =

Atividade 1: Construa os gráficos seguintes:

a) y = x² d) y = x²

b) y = 2x² e) y = (½)x²

c) y = 3x² f) y = (¼)x²

O que você vê de comum entre os gráficos desenhados? O que você pode

concluir de relevante a partir desses exemplos?

Atividade 2: Construa os gráficos seguintes:

a) y = -x² d) y = - x²

b) y = -2x² e) y = -(½)x²

c) y = -3x² f) y = -(¼)x²

O que você vê de comum entre os gráficos desenhados? O que você pode

concluir de relevante a partir desses exemplos?

Atividade 3: Construa os gráficos seguintes:

Na parábola da figura ao lado,

destacamos:

F: foco

d: reta diretriz

V: vértice (ponto médio do segmento

FD)

e: eixo de simetria (reta que passa pelo

foco F e é perpendicular à diretriz)

p: parâmetro (distância do foco ao

vértice ou do vértice à diretriz)

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_________________________________________________________________________________

a) x = y² d) x = y²

b) x = 2y² e) x = (½)y²

c) x = 3y² f) x = (¼)y²

O que você vê de comum entre os gráficos desenhados? O que você pode

concluir de relevante a partir desses exemplos?

Atividade 4: Construa os gráficos seguintes:

a) x = -y² d) x = - y²

b) x = -2y² e) x = -(½)y²

c) x = -3y² f) x = -(¼)y²

O que você vê de comum entre os gráficos desenhados? O que você pode

concluir de relevante a partir desses exemplos?

Fixando um sistema cartesiano, podemos obter a equação (reduzida) de uma

parábola, bem como a equação de sua diretriz e as coordenadas de seu foco. Através da

definição e considerando a origem do sistema cartesiano como o vértice da parábola,

suas equações serão dadas por:

1º caso: eixo de simetria sobre o eixo y

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Se p > 0, a parábola tem a concavidade

voltada para cima.

parábola: x2 = 4py ou

diretriz: y = - p

foco: F(0 , p)

2º caso: eixo de simetria sobre o eixo x

Se p > 0, a parábola tem a concavidade

voltada para a direita.

parábola: y2 = 4px ou

diretriz: x = - p

foco: F(p , 0)

Se p < 0, a parábola tem a

concavidade voltada para baixo.

Se p < 0, a parábola tem a

concavidade voltada para a esquerda.

Page 34: Winplot Trabalho EP 1 (2)

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Atividade 5: Determine as equações das diretrizes e as coordenadas dos focos das

parábolas das atividades anteriores e teste-as no Winplot.

Quais são as suas equações?

Atividade 6: Usando as equações de retas, circunferências e cônicas vistas, crie o seu

próprio desenho.

REFERÊNCIAS

BARUFI, Maria Cristina B.; LAURO, Maira M. Funções Elementares, equações e

inequações: uma abordagem utilizando microcomputador. CAEM – IME/USP, 2000.

IEZZI, G. e outros. Fundamentos da Matemática Elementar. São Paulo: Atual, 2000.

SMOOTHEY, Marion. Atividades e jogos com gráficos. São Paulo: Scipione, 1997.