Www.dca.ufrn.br/~lmarcos/courses/compgraf Computação Gráfica Geometria de Transformações Luiz M. G. Gonçalves

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  • www.dca.ufrn.br/~lmarcos/courses/compgraf Computao Grfica Geometria de Transformaes Luiz M. G. Gonalves
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  • Transformaes F Vetores, bases e matrizes F Translao, rotao e escala F Coordenadas homogneas F Rotaes e translaes 3D F Composio de transformaes
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  • Uso de transformaes F Construir modelos complexos a partir de componentes simples F Transformar coordenadas de cmera em mundo, objeto e imagem e vice-versa F Analisar efeitos de transformaes rgidas e no rgidas em objetos xoxo zozo yoyo ycyc xcxc zczc xwxw zwzw ywyw y im x im
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  • Cinemtica
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  • Vetores F Noo da Fsica: wcomprimento, direo, sentido F Exemplos: wvelocidade, fora, deslocamento F Representao matemtica: wtuplas ordenadas v = (v 1,v 2,,v n ) v u
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  • Vetores F Definies: wProduto escalar: u.v = u 1 v 1 +u 2 v 2 ++u n v n wNorma: ||v ||= (v 1 2 +v 2 2 ++v n 2 ) 1/2 wUnitrio: ||v ||= 1 wngulo: (u,v) = acos -1 [(u.v) / (||u|| ||v)] wOrtogonalidade: u.v = 0 ( (u,v)=90 o ) v u 0
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  • Combinao linear F Dados dois vetores v 1 e v 2,ande uma distncia qualquer na direo de v 1 e ento ande outra distncia na direo de v 2 F O conjunto de todos os lugares (vetores, pontos) que podem ser atingidos dado pelas combinaes lineares possveis entre v 1 e v 2
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  • Combinao linear F V = k 1 V 1 +k 2 V 2 v1v1 v2v2 k1V1k1V1 k2V2k2V2 V = k 1 V 1 +k 2 V 2
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  • Independncia Linear F Um conjunto de vetores dito linearmente independente se nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinao linear dos outros F Exemplo de 3 vetores LI: we 1 = (1,0,0) we 2 = (0,1,0) we 3 = (0,0,1)
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  • Base vetorial F Uma base vetorial um conjunto de vetores linearmente independentes entre si, cuja combinao linear leva a qualquer lugar do espao considerado, isto , varre o espao. F Significa: para varrer um espao n- dimensional, so necessrios n vetores
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  • Base vetorial F Se os vetores da base possuem todos norma 1 e se so mutuamente ortogonais, a base dita ser ortonormal F Exemplo: vetores da base cannica de R 3 : we 1 = (1,0,0) we 2 = (0,1,0) we 3 = (0,0,1) F Obviamente, h muito mais que uma base possvel para um dado espao vetorial.
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  • Representao de vetores F Todo vetor tem uma representao nica numa dada base wOs multiplicadores pelos vetores da base so chamados de componentes ou coordenadas wMudando a base, muda os componentes, mas no o vetor V= v 1 E 1 +v 2 E 2 +...+v n E n F Os vetores E 1, E 2,..., E n so vetores da base F Os escalares v 1, v 2,..., v n so os componentes de v com respeito base.
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  • Transformao Linear F Uma funo (ou mapeamento ou ainda transformao) F linear se, para todos os vetores u e v e todos escalares k: F(u+v) = F(u) + F(v) F(kv) = kF(v) Ou F(ku+lv) = kF(u)+lF(v) F Qualquer mapeamento linear completamente especificado pelo seu efeito numa base vetorial
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  • Efeito na base v = v 1 E 1 + v 2 E 2+ v 3 E 3 F(v) = F(v 1 E 1 +v 2 E 2+ v 3 E 3 )= = F(v 1 E 1 )+F(v 2 E 2 )+F(v 3 E 3 )= = v 1 F(E 1 ) + v 2 F(E 2 )+v 3 F(E 3 ) F Obs: uma funo F afim se ela linear mais uma translao wEx: y = mX+b no linear, mas afim
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  • Transformando um vetor F As coordenadas do vetor da base transformado (em termos dos vetores da base original): F(E 1 ) = f 11 E 1 +f 21 E 2 +f 31 E 3 F(E 2 ) = f 12 E 1 +f 22 E 2 +f 32 E 3 F(E 3 ) = f 13 E 1 +f 23 E 2 +f 33 E 3 F O vetor geral V transformado torna-se: F(V) = v 1 F(E 1 ) + v 2 F(E 2 )+v 3 F(E 3 ) = v 1 (f 11 E 1 +f 21 E 2 +f 31 E 3 )+v 2 (f 12 E 1 +f 22 E 2 +f 32 E 3 )+v 3 (f 13 E 1 +f 23 E 2 +f 33 E 3 )= (f 11 v 1 +f 12 v 2 +f 13 v 3 )E 1 +(f 21 v 1 +f 22 v 2 +f 23 v 3 )E 2 +(f 31 v 1 +f 32 v 2 +f 33 v 3 )E 3
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  • Transformando um vetor F Suas coordenadas ainda em referncia a E tornam-se: v 1 t = f 11 v 1 +f 12 v 2 +f 13 v 3 v 2 t = f 21 v 1 +f 22 v 2 +f 23 v 3 v 3 t = f 31 v 1 +f 32 v 2 +f 33 v 3 F Ou simplesmente v i = f ij v j que a frmula de multiplicao matricial
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  • Multiplicao de matrizes! F Uma matriz F de dimenses nxn representa uma funo linear em n dimenses wA i-sima coluna mostra o que a funo faz ao vetor de base correspondente F Transformao uma combinao linear das colunas de F wPrimeiro componente do vetor de entrada escala a primeira coluna da matriz wacumula no vetor de sada wrepete para cada coluna e componente
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  • Multiplicao matricial F Usualmente calcula-se de modo diferente wfaa o produto interno da coluna i da matriz com o vetor de entrada para conseguir componente i do vetor de sada: v 1 t f 11 f 12 f 13 v 1 v 2 t = f 21 f 22 f 23 v 2 v 3 t f 31 f 32 f 33 v 3
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  • Translao
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  • Rotao
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  • Matriz de rotao possui vetores unitrios
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  • Representao da rotao
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  • Exemplo de rotao
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  • Relaes espaciais F Representao em relao a um frame (sistema de coordenadas) F P (X,Y,Z)
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  • Orientao
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  • Matriz de orientao
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  • Propriedade elementar (unitria)
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  • Juntando orientao e posio
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  • Coordenadas Homogneas
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  • Juntar rotao e translao
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  • Coordenadas homogneas F Translao no linear. Como representar em forma de matriz? wAdiciona uma coordenada extra a cada vetor x 100t x x y =0 10t y y z0 01t z z 100011 F Coordenada extra chamada de homognea (ou w) F Transformao denominada homognea
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  • Translao pura
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  • Transformao Homognea
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  • Transformaes Homogneas 3D F So muito similar ao 2D F Coordenadas homogneas requerem matrizes 4x4 F Matrizes de translao e escala so:
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  • Operador de Translao
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  • Transformao Homognea 3D F Rotao um pouco mais complicado F Sistema de coordenadas de mo direita ou esquerda afeta direo de rotao F Sistema de mo direita F Sistema de mo esquerda x y z x y z
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  • Produto Cruzado (Vetorial) F Eixo Z determinado a partir dos eixos X e Y pelo produto vetorial F Produto vetorial segue regra da mo direita em um sistema de mo direita e regra da mo esquerda em um sistema de mo esquerda F Estaremos trabalhando quase sempre com sistema de mo direita
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  • Roll, Pitch, Yaw
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  • Rotao em torno de cada eixo
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  • Generalizao da Rotao
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  • Exemplo de rotao + translao
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  • Exemplo: continuao
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  • Transformaes homogneas em cadeias
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  • Invertendo a transf. homognea