MAT 4A AULA 10

10.01)

2x 4 0

x 2

e

x 2

D(f) = IR – {-2, 2}

ALTERNATIVA B

10.02)

x2 – 3x + 2 > 0

Raízes : 1 e 2

S: x < 1 ou x > 2

ALTERNATIVA E

10.03)

x – 10 ≥ 0

x ≥ 10

ALTERNATIVA C

10.04)

f(x) > 0 para x ≠ - 3

f(x) = 0 para x = - 3

Não existe valor de x tal que f(x) < 0

( F )

( V )

( V )

( V )

( V )

( V )

10.05)

f(x) > 0 para x < 3

f(x) < 0 para x > 3

f(x) = 0 para x = 3

( V )

( V )

( V )

( V )

( V )

( V )

10.06)

16 – x2 > 0

x2 – 16 < 0

Raízes : -4 e 4

S: -4 < x < 4

Inteiros: {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

ALTERNATIVA C

10.07)

x2 – 1 ≥ 0

S: x ≤ -1 ou x ≥ 1

ALTERNATIVA D

10.08)

Questões certas = x

3x – 1(20 – x) ≥ 28

x ≥ 12

xmín= 12 questões certas

ALTERNATIVA A

10.09)

L(x) = 100 (10 – x)(x – 2)

L(x) = -100 (x – 10)(x – 2)

Raízes: 10 e 2

2 < x < 10

ALTERNATIVA C

10.10)

2x2 + 5x - 3 ≠ 0

Bháskara x ≠ 1/2 e x ≠ -3

IR – {-3, ½}

ALTERNATIVA A

10.11)

4 x0

1 x

1 x 4

Inteiros: {0, 1, 2, 3, 4}

ALTERNATIVA D

10.12)

3 – x2 ≥ 0

Raízes: ±√3

3 x 3

ALTERNATIVA B

10.13)

(n – 9)(n2 + 4n + 5)(n + 7) < 0

-7 < n < 9

Inteiros: {-6, -5, -4, -3, -2, -, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Soma = 15

ALTERNATIVA B

10.14)

5m + 24 > 5 500

5m > 5 476

m > 1 095, 2

8m 700 42 m

5

3m 658

5

m 1 096,7

1 095,2 < m < 1 096,7

m = 1 096

Soma = 1 + 0 + 9 + 6 = 16

10.15)

2

x 1 0

x 4 0

S : [1 , 2)

ALTERNATIVA B

10.16)

ALTERNATIVA C

10.17)

2

2 x 0

x 8x 12 0

x 2

x 2 e x 6

S : x 2

ALTERNATIVA E

10.18)

1 1

x 20 12 x

1 10

x 20 12 x

12 x (x 20)0

(x 20)(12 x)

32 2x0

(x 20)(x 12)

Inteiros Positivos:{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 17, 18, 19}

ALTERNATIVA B

10.19)

a)

2

2

2

2

2

12 Área 28

12 (x 3)(2x 4) 28

12 2x 2x 12 28

2x 2x 12 28

2x 2x 12 12

x x 20 0

x x 12 0

Condições:

x 3 0 x 3

2x 4 0 x 2

Ou seja: x > 2

Solução:

3 ≤ x ≤ 4

b)

Área = 28

Raízes: -5 e 4

Considerando as condições, temos: x = 4

Lados: 7m e 4m

10.20)

a)

L = V – C

L = - 5n2 + 100n – 320 – (5 + 10n)

L = - 5n2 + 90n – 325

L > 0

- 5n2 + 90n – 325 > 0

-n2 + 18n – 65 > 0

Raízes: 13 e 5

Intervalo: 5 < n < 13

Condições: 4 ≤ n ≤ 16

Solução: 5 < n < 13

b)

Maior lucro possível : Vértice da função Lucro

máx

2

máx

máx

18n

2.( 1)

n 9 pássaros

L L(9)

L 5.9 90.9 325

L 80 reais

MAT 4A AULA 11

11.01)

8 x 8

x 8

ALTERNATIVA C

11.02)

x 12 ou x 12

x 12

ALTERNATIVA B

11.03)

( V )

( V )

( V )

( F ) O correto é x 4

( V )

11.04)

x 6 20

x 6 20 ou x 6 20

x 26 ou x 14

SOMA = 12

ALTERNATIVA C

11.05)

x x

x x ou x x

x ou x 0

Solução : x 0

ALTERNATIVA D

11.06)

a) FALSO – para x = 0 também é válido;

b) FALSO – para x = 0 também é válido;

c) FALSO – para qualquer valor de x;

d) FALSO – para qualquer valor de x;

e) VERDADEIRO

ALTERNATIVA E

11.07)

2x 4 x 4 0

Bháskara : x 2

Assim :

x 2 ou x 2

ALTERNATIVA C

11.08)

Para x > 0 f(x) = 1

Para x < 0 f(x) = -1

Imagem: {-1, 1}

ALTERNATIVA C

11.09)

Intercepta eixo das abscissas: f(x) = 0

1 x 2 0

1 x 2

1 x 2 ou 1 x 2

x 1 ou x 3

Então:

a = -1

b = 0

c = 3

d = 0

d + c - b – a = 0 + 3 - 0 – (-1) = 4

ALTERNATIVA A

11.10)

E 2 5 3 5

E 5 2 3 5

E 1

ALTERNATIVA E

11.11)

a) FALSO – o correto é 2(xy) xy

b) FALSO

c) FALSO

d) FALSO

e) VERDADEIRO

ALTERNATIVA E

11.12)

2 2

2 2

2 2

3x 4 x 4

3x 4 x 4 x 0

ou

3x 4 (x 4) x 2

Substituindo os valores, concluímos que não há solução real, assim:

S

ALTERNATIVA C

11.13)

2 2 2 2

E 2 2 2 2 2 1 1 2

E 2 2 2 2 2 1 1 2

E 2 2 2 2 2 1 2 1

E 4

ALTERNATIVA B

11.14)

x 2 5

5 x 2 5

3 x 7

Inteiros não negativos: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

ALTERNATIVA E

11.15)

O gráfico mostra que:

f(0) = 2

f(2) = 0

f(4) = 2

Substituindo nas opções colocadas nas alternativas, temos:

f(x) x 2

ALTERNATIVA B

11.16

O gráfico mostra que:

f(-2) = f(0) = f(2) = 1

f(-1) = f(1) = 0

Substituindo nas opções colocadas nas alternativas, temos:

f(x) x 1

ALTERNATIVA A

11.17)

f(x) 0

x 1 1 0

x 1 1

1 x 1 1

0 x 2

ALTERNATIVA D

11.18)

x 2 3

3x 2 5

3 x 2 3

3x 2 5 ou 3x 2 5

1 x 5

7x 1 ou x

3

7Solução : x 5

3

Inteiros: {3, 4, 5}

Produto = 60

ALTERNATIVA B

11.19)

2

2 2

2 2

5 5 1x x

4 8 4

3x

5 5 1 4x x 8x 10x 3 0

4 8 4 1x

2

ou

5 5 1x x 8x 10x 7 0 x

4 8 4

1 3S : ,

2 4

11.20)

4 2t 0V(t) 10 (4 2t) (2t 6) V(t) 12 para t 2 ou t 3 (IMPOSSÍVEL)

2t 6 0

4 2t 0V(t) 10 (2t 4) (2t 6) V(t) 20 4t para t 3

2t 6 0

4 2t 0V(t) 10 (4 2t) (6 2t) V(t) 2 4t para t 2

2t 6 0

4 2t 0

2t 6 0

V(t) 10 (2t 4) (6 2t) V(t) 8 para 2 t 3

Há um único caso possível (valores de t coerentes) para volume constante que é para V(t) = 8

que ocorrerá das 10h até 11h (2 < t < 3, a partir das 8h).

MAT 4A AULA 12

12.01)

Função Par: f(-x) = f(x)

ALTERNATIVA E

12.02)

Função Ímpar: f(-x) = -f(x)

ALTERNATIVA C

12.03)

x – 2 = 10

x = 12

Se f(x – 2) = x2

Então, f(12 – 2) = 122 f(10) = 144

ALTERNATIVA C

12.04)

Para uma função polinomial ser PAR, basta todos os expoentes de x serem PARES, assim:

a) PAR

b) PAR

c) NÃO É PAR

d) PAR

e) PAR

ALTERNATIVA C

12.05)

Para uma função polinomial ser ÍMPAR, basta todos os expoentes de x serem ÍMPARES, assim:

a) ÍMPAR

b) ÍMPAR

c) ÍMPAR

d) NÃO É ÍMPAR

e) ÍMPAR

ALTERNATIVA D

12.06)

( V )

( V )

( V )

( F ) Existem as funções sem paridade

( F ) f(x) = 0 é PAR e ÍMPAR simultaneamente

12.07)

Função PAR: gráfico é simétrico ao eixo y;

Função ÍMPAR: gráfico é simétrico à origem;

PAR : II, III e VI

ÍMPAR: I, IV e V

ALTERNATIVA E

12.08)

Todos os expoentes PARES

ALTERNATIVA B

12.09)

f(5x) 5.f(x)

x 5 f(25) 5.f(5) 75 5.f(5) f(5) 15

x 1 f(5) 5.f(1) 15 5.f(1) f(1) 3

ALTERNATIVA A

12.10)

Funções Trigonométricas

PAR: cosseno e secante

ÍMPAR: seno, cossecante, tangente e cotangente

Produto (mesmo critério para Divisão)

PAR . ÍMPAR = ÍMPAR

PAR . PAR = PAR

ÍMPAR . ÍMPAR = PAR

ALTERNATIVA E

12.11)

2

2

f(x 3) x 2

x 4 f( 4 3) ( 4) 2 f( 1) 18

ALTERNATIVA B

12.12)

f(xy) =f(x)

y

f(300) = 5

f(100.3) = 5

f(100)

3= 5® f(100) = 15

f(700) = f(100.7)

f(700) =f(100)

7

f(700) =15

7

ALTERNATIVA A

12.13)

f(n 1) n 1

Substitui n por (n 2) :

f(n 2 1) n 2 1

f(n 1) n 3

ALTERNATIVA E

12.14)

f(n 1) (n 1).f(n)

n 7 f(8) 8.f(7)

f(8) f(7) 8.f(7) f(7) 7.f(7)x 7

f(7) f(7) f(7)

ALTERNATIVA B

12.15)

Funções Trigonométricas

PAR: cosseno e secante

ÍMPAR: seno, cossecante, tangente e cotangente

Produto (mesmo critério para Divisão)

PAR . ÍMPAR = ÍMPAR

PAR . PAR = PAR

ÍMPAR . ÍMPAR = PAR

ALTERNATIVA E

12.16)

ALTERNATIVA C

12.17)

f(x 1) f(x) f(1)

1x 1 f(2) f(1) f(1) 1 2.f(1) f(1)

2

1 3x 2 f(3) f(2) f(1) f(3) 1 f(3)

2 2

3 1x 3 f(4) f(3) f(1) f(4) f(4) 2

2 2

1 5x 4 f(5) f(4) f(1) f(5) 2 f(5)

2 2

ALTERNATIVA C

12.18)

f(x 1) x.f(x)

1 3 1 1 3 1x f f f

2 2 2 2 2 2

ALTERNATIVA A

12.19

f(7) f(6) = 2 6 + f(6) f(5) = 2 5 + f(5) f(4) = 2 4 + f(4) f(3) = 2 3 =

f(7) f(3) = 2 (6 + 5 + 4 + 3) = 2 18 = 36

12.20

f(0+1) = 2 f(0) 15 43 = 2f(0) 15

f(x).f(y) f(x y)

x 1 e y 3 f 1 .f 3 f 1 3 3.4 f 1 3 12 f 1 3

x 1 e y 1 3 f 1 .f 1 3 f 1 1 3 3.12 f(2 3) 36 f 2 3

f(0) = 58 2 = 29

MAT 4B AULA 10

10.01)

ALTERNATIVA A

A taxa de mortalidade infantil diminui conforme aumenta a escolaridade da mãe. Isso acontece

em todos os países independente do nível saneamento básico oferecido.

10.02)

Contribuição efetiva positiva : I , II e III

ALTERNATIVA E

10.03)

Todos os tipos de pele possuem um FPS mínimo, ou seja, é recomendável que para todos os

tipos, seja feito o uso do protetor solar.

ALTERNATIVA B

10.04)

O período de repouso é com distância “zero” de casa, ou seja, ela está em casa.

ALTERNATIVA D

10.05)

Os gráficos das regiões Norte e Centro-Oeste são praticamente o mesmo.

ALTERNATIVA E

10.06

Observe que no país em que o item é considerado o mais caro do mundo, a figura do item está

TOTALMENTE colorida. Isso significa que o café não é o mais caro em nenhum dos cinco

países.

10.07

São 6 períodos de 30 min cada, dos quais 3 deles a velocidade 50 Km/

Então: 3

6 = 0,5 = 50%

10.08

2x = 270 x = 135

4x = 4 135 = 540

10.09)

Analisando a tabela.

ALTERNATIVA C

10.10

1) Vm = s 400 0

= t 4

= 100 m/min = 0,1 Km/min 60 = 6 Km/h

2) De 6 a 8 min a posição não muda

0 = 1 200 m

10.11

Gastos do PIB com tratamento: 7,3% do PIB

Valor movimentado pela indústria: 3,5% do PIB

10.12

Solução. Essa forma de divisão sempre gera um número de páginas representado por

potências de 2. Como queremos 32 páginas, implica em 16 folhas. De acordo com as

orientações de dobras a divisão da folha será em 4 x 4 retângulos, com a altura maior que a

largura. Logo, as dimensões serão: (10,5 x 4) por (15,5 x 4) por = 42cm x 62cm.

OBS: Repare que as divisões da folha possuem mesma área, mas a de menor perímetro foi 4 x

4.

DIVISÕES

DA FOLHA 1 x 16 2 x 8 4 x 4 8 x 2 16 x 1

ÁREA 2 604 2 604 2 604 2 604 2 604

PERÍMETRO 267 230 208 290 517

10.13

968 + 218 = 1 186

10.14

x: população brasileira (em milhões) 2006

y: população brasileira (em milhões) 2009

( 3)0,10x 0,07y 5,2 +

0,26x 0,21y 8,2

·

0,30x 0,21y 15,6 +

0,26x 0,21y 8,2

0,004x = 7,4 x = 185 mi 10% de x = 18,5

0,1 185 5,2 = 0,007y

18,5 5,2 0,07 = y

Y = 190 mi

10.15

Concentração de íons de cobre em mg/L

50 000 mg 20 000 L

x 1 L

x = 2,5 mg/L

Pelo gráfico II em 24 h, a concentração de Cu2+ é de aproximadamente 2,5 mg/L. O que causa

50% de mortalidade.

10.16

1) CHUVEIRO – (tempo total de utilização)

Pot = 3 500 watts = 3,5 kw

E = Pot t

70 = 3,5

Tempo/dia

t = t 20 2

= = 30 30 3

h

2

3 60 = 40 min/dia

2) LAVADORA DE ROUPA

E = Pot

6 = x 12 x = 0,5 kw = 500 watts

3) SECADOR

E = Pot Δt

7 = 1,4 Δt Δt = 5h

10 min 1 =

60 min 6

S = h 1

6 n = 30

10.17

Se o candidato ganha 30% do total dos votos válidos, então 30% correspondem a 1

2 votos

válidos, sendo assim votos válidos = 60% e brancos e nulos = 40%.

10.18

4 777 x

8 848 100%

x 54%

10.19

Exercício resolvido no material

10.20

Exercício resolvido no material

MAT 4B AULA 11

11.01

+ 20 sal. 65% 160 10 hab

10% 250 000 energia

· ·

·

Até 3 sal. 650% 160 10 hab.

30% 250 000

· ·

Consumo

20 sal. 5

25 000

5 16 10· ·

3 sal. 6

3 25 000

5 16 10

·

· ·

5

25 000

5 16 10· · = x

6

3 25 000

5 16 10

·

· ·

x = 10

3 x = 3,3

11.02

100 alunos

Questão

Acertos

Turma

A

Erros

Turma

A

Acertos

Turma

B

Erros

Turma

B

74% 1 32 8 42 18

76% 2 28 12 48 12

84% 3 36 4 48 12

40% 4 16 24 24 36

50% 5 20 20 30 30

11.03

A) 132 2 = 264 264 40 = 6,6

B) 192 2 = 384 384 60 = 6,4

11.04

4 + 36 - 4 36

2·

20 2 6 = 8

11.05

2 2 12 24 = = 2 =

1 1 3 + 2 5 5 +

4 6 12

· = 4,8

mA mG nH

11.06

a = 12

3 = 4

b = 3 32 4 6 = 2 6· · = 2 1,8 = 3,6

c = 3 3 36

= = 1 1 1 6 3 2 11

2 4 6 12

= 3,27...

11.07

5 min e 140 seg = 440

5 seg. 88 seg = 1min e 28 s

11.08

6 5 + 7,3 2 + 7,5 3 + x 2 + 6,2 2

1 2 3 2 2

· · · · · = 7,3

6,5 + 14,6 + 22,5 + 2x + 12,4 = 7,3 10

2x = 73 56

2x = 17 x = 8,7

11.09

5

42 = 20,5 5 = 861

5 x

41

= 20

5 x = 820 861 820 = x

x = 41

11.10

Antes da substituição: 6 1,92 = 11,45 m

Depois: 6 1,90 = 11,40

a media dos 2 atletas

11,52 11,40

3

= 0,04

11.11

P1 + p2 = 1 (52) 52P1 – 52P2 = 52

82P1 + 52P2

P1 + P2 = 72,1

82P1 + 52P2 = 72,1

30P1 = 20,1

P1 = 0,67

P2 = 0,33

11.12

Considerando 100 vizinhos

74 70 = 52,50 70%

x 100%

x = 7 500 reais

7 500 5 250 = 2 250 reais para 25 pessoas 2 250

25 = 90 reais.

11.13

1 100 10 + 1 650 4 + 2 200 3 + 1,1 1 1

18

· · · · · = 1 650

24 200 + 1,1x = 29 700

1,1x = 5 500.

11.14

(V) b = 2a h = 2

1 1

a 2a

= 2 4a

2 1 3

2a

(F) h = 2 2 35 2 35 35

1 1 7 5 12 6

7 5

· · 5,8

(F) mH = 2 2 2 2

1 1 b r b r 2b

b r b r b r b r

mH =

2 2

2

2b

b r

e mH = 2 2b r

b

(V) 2

1 1

a b

11.15

1x

1x x 2 x

· x + 1

x 2

11.16

BE AB passa pelo centro da O, então CE = ED, ou seja, ED = CD

2

Pitágoras D ADF

AD2 = DF2 + AF2

AD2 = EB2 + (AB CD

2)2

AD2 = AB2 AB CD + 2CD

4 + BE2

Pitágoras D ECB

2CD

2

+ BE2 = BC2

Pitágoras DADF Pitágoras DECB

AB2 AB CD = AD2 BC2

Mas AB = AD

AB2 AB CD = AB2 BC2

BC2 = AB CD

BC = AB CD· = MÉDIA GEOMÉTRICA

11.17

1 túnel 1h

2º túnel 3h

3º túnel 6h + 1º túnel 6 1 7h

2º túnel 6 + 3 = 9h

Possibilidades

1 3 7 11

3 3

h ou

1 3 9 13

3 3

h

Média

11 1383 3

2 2

= 4h

Ou

Média 3º túnel 7 9

2

= 8h

Média total = 1 3 8 12

3 3

= 4h

11.18

I) mP = 9 e NP = 3

PA = mP NP 10

2 2

= 5

II) PG = 7 3 21·

III) PH = 2 2 21 21

1 1 10 5

7 3

·

4 = 5(5 x) 4 = 25 5x

5x = 21 x = 21

5

11.19

Exercício resolvido no material

11.20

Exercício resolvido no material

MAT 4B AULA 12

12.01

6 7

2

= 6,5 gols

12.02

Z = 0

X = 0 3 8 9 8 10 7 45

20 20

= 2,25

Y = 2

12.03

a) FALSO - Mais da metade

b) FALSO – O aumento não é constante, ou seja, não é P.A

c) VERDADEIRO

d) FALSO – O aumento não é constante, ou seja, não é linear.

e) FALSO – Média Artimética = 6,1 e Mediana = 5,0

ALTERNATIVA C

12.04

Ma = 50 10 Ma = 5

Me = 4

Mo = 3

12.05

2 2 + 7 2 + 3 x

7

· · · = 6

18 + 3x = 42 3x = 24 x = 8

12.06

As medidas são (x1, x2, …, x100)

se x50 ≠ x51, a mediana é:

M =

x50

+ x51

2

x50 < M < x51

xi < M para todo i <51

50% dos valores estão abaixo da mediana

12.07

30 6,4 +50 5,2 192 260 452

80 80 80

· · = 5,65

12.08

450 30 420

48 48

= 8,75

12.09

100 alunos

20 50 240 175 120 45 650

100 100

= 6,5

25.60.280 300 135 50 750

100 100

= 7,5

mL = 7,5

12.10

2; 2; 2; 4; 5; 10; x Me = 4

4 x < 21

12.11

52 + 42 + 30 + 80 + 102 = 30,6

20 = 15,3 Ma

Mo = 17

Me = 16

12.12

Notas em ordem crescente

0

6

6,5

6,5

7

7

8

8

10

10

Com a ausência a Mediana é 7;

Com a presença, se tirasse até 7, a mediana continuaria 7 e a equipe permaneceria em 3º

lugar. Se tirasse de 7 até 8, a mediana ficaria entre 7 e 7,5 permanecendo em 3º lugar. Se

tirasse 8, a mediana seria 7,5 e continuaria em 3º lugar. Se tirasse mais que 8, a mediana

também seria 7,5 e continuaria em 3º lugar.

ALTERNATIVA D

12.13

Ma = 2 500

80 = 31,25

Me = 30 35

2

= 32,5

Mo = 35

X = 31,25 + 32,5 + 35 = 98,75

98 x < 99

12.14

Ma = 1,72

Me = 1,70

a +b + c + d = 4 1,72

a + 2 1,70 + d = 6,88

a + d = 6,88 3,4

a + d = 3,48

a d

2

= 1,74

12.15

O Salário de R$ 2 800,00 não é o valor de nenhuma função, sendo assim, ele é a média

de dois salários distintos. Esses salários precisam ocupar as posições centrais (precisa

ser quantidade par de funcionários) e a soma entre eles precisa ser de R$ 5 600,00.

Assim, os salários das posições centrais precisam ser de R$ 2 000,00 e R$ 3 600,00.

O salário de R$ 2 000,00 ocupará a 10ª posição e, necessariamente, o salário de R$ 3

600,00 ocupará a 11ª posição (total de 20 funcionários).

Assim, precisam ser demitidos 10 dos 30 funcionários, sendo que todos os que serão

demitidos possuem salário de R$ 3 600,00.

ALTERNATIVA D

12.16

Nota % Média

4 a 5 16% 4,5

5 a 6 32% 5,5

6 a 7 8% 6,5

7 a 8 16% 7,5

8 a 9 22% 8,5

9 a

10 6% 9,5

72 176 52 120 187 57 664

100 100

= 6,64

12.17

1 040 m + 840 F

m F

· · = 1 000

1 040m + 840F = 1 000m + 1 000F 40m = 160F m = 4F

12.18

Media min. = 7 1 + 10 4 + 15 7 + 13 10 + 5 13 347

50 50

· · · · · = 6,94

Média máx. = 7 3 + 10 6 + 15 9 + 13 12 + 5 15 447

50 50

· · · · · = 8,94

12.19

Exercício resolvido no material

12.20

Exercício resolvido no material

MAT 4C AULA 10

10.01

ad cb ≠ 0

ad cb

bd bd

a c

b d

10.02

I –

A . X = B

A-1.A.X=A-1.B

I.X=A-1.B

X=A-1.B

VERDADEIRO

II –

8x 0,15y 9,60

6x 0,25y 11,60

8x 0,15y 9,60

0x 0,55y 17,80

y 32,36

x 0,59

VERDADEIRO

III –

1

1

1

1det A

det A

1det A

1,10

10det A 0,91

11

FALSO

ALTERNATIVA C

10.03

1

1

detB 4 5

detB 1

1 5

1 1B

1 4

1 1

1 5B

1 4

SOMA = 1

ALTERNATIVA B

10.04

det A = 2

a b 1 0

c d 0 1

a + 2c = 1 2c = 0

b + 2d = 0 2d = 1

a = 1 ; c = 0

b = 1; d = 1

2

A1 =

2 21 1

2 21

0 1 02

2 2

10.05

det A = 2

A1 =

1 21

12 22

2 61 3

2 2

10.06

det A = 7 + 10 20 28

3

det A = 9 28 37

3 3

10.07

det A = 8 + 2 12 8

3

det A = 18 8

3

54 8 62

3 3

det A1 = 3

62

10.08

det A 0 3m + 6 0 m 2

10.09

2x2 + 6x 10 + 9 15x 12 + x + 3 0

2x2 8x 10 0

x2 4x 5 0

S = 4

P = 5

x’ = 1 e x’’ = 5

10.10

det A = 2

1 + 1

2 =

1

2

A1 =

2 1 11

2 2 2

0 1 10

2 2 2

10.11

A =

1 1 3

4 2 0

7 5 3

det A = 6 60 + 42 + 12 = 0

det A = 0 não tem inversa.

10.12

(1) 1 1

3 1 = 2

det A = 4 + 5 + 12 10 4 6 det A = 1

32A

det A = a23

2

1 = 2

10.13

(1) 0 1

2 1 = 2

det A = 6 9 4 det A = 7

a12 = A21

det A a12 =

2

7

2

7

10.14

16 1

det A = 22 det A

4 = det2 A det A = 2

10.15

det A = 1

A1 =

1 1

1 11 1

1 2 1 2

1 1

10.16

a) VERDADEIRO

b) FALSO - a 0 e a 1

c) FALSO – det (A – B) ≠ det A – det B

d) FALSO – det (AB) = detA . detB 2m = 2n . detB detB = 2(m - n)

e) FALSO – Os dois produtos resultam em matrizes nulas, ou seja, os produtos são

iguais.

ALTERNATIVA A

10.17

det A 0

50 + 5x2 + 4x 2x2 20 25x 0

3x2 21x + 30 0

x2 7x + 10 0

x’ 2

x’’ 5

10.18

A1 A X = A1 B

IN X = A1 B

X = A1 B

10.19

(1)

7 6 4 4 5 2

10 9 7 6 3 3

0 3 1 2 2 1

(1)

1 0 3

1 1 0

3 3 3

= (1) (3 + 9 9) = 3

10.20

4 3 9 12 (-1)

3 2 7 9

2 0 5 8

3 2 11 14 (-1)

·

·

(1)

1 2 2 6 3 6

2 6 7 18 9 18

0 4 5 12 8 12

(1)

3 4 3

8 11 9

4 7 4

= (1) (132 144 168 + 132 + 189 + 128)

(1) (5) = 5

10.21

(1)

x 1 1 3 2 2 x 1 2 0

0 2 2 6 x 4 2 8 x 14

2 2 1 6 3 4 0 7 7

< 0

56(x 1) 7(x 1)(x + 4) +28 < 0

56x 56 7(x2 + 3x 4) + 28 < 0

56x 28 7x2 21x + 28 < 0

(1)(7x2 + 35x) < 0

7x2 35x < 0

x’ = 0

x’’ = 5

1 + 2 + 3 + 4 = 10

10.22

Exercício resolvido no material

10.23

det A = 2

11 12 13

21 22 23

31 32 33

A A A 2 0 0

A A A 2 1 0

A A A 4 1 2

transposta =

2 2 4

0 1 1

0 0 2

det A = A1 =

1 1 2

1 10

2 2

0 0 1

MAT 4C AULA 11

11.01

A + B = 28

A + C = 35

B + C = 23

A + B = (35 – C) + (23 – C)

C = 15

A = 20

B = 8

Alternativa D

11.02

D =

1 2 1

2 1 1

1 1 2

= 2 + 2 + 2 1 1 8 = 4

Dx =

23 2 1

21 1 1

28 1 2

= 46 + 56 + 21 28 23 84 = 12

x = 12

4

= 3

11.03

x = 2

2x + 2 = 92 (5)

11x + 5y = 500

10x 5y = 460

11x + 5y = 500

x = 40

11.04

12 2K + 5 = 13

2K = 13 17

2K = 4 K = 2

11.05

3m n 18

6m n 18

9m = 36 m = 4

6 4 + n = 18

n = 18 24 n = 6

11.06

9x 3y 33

4x 3y 18

5x = 15 x = 3

3 3 + y = 11 y = 2

11.07

x = Dx

D

D = 3 5

4 7

= 21 + 20 = 41

11.08

x =

6 1 1

18 2 0

14 1 3 36 18 28 54 28

6 3 4 9 41 1 1

3 2 0

2 1 3

= 7

11.09

3x 2y 9 3

(-2)4x 3y 11

·

· =

9x 6y 27

8x 6y 22

x = 5

3 5 + 2y = 9

2y = 6 y = 3

x2 + y2 = 25 + 9 = 34

11.10

Y =

4 9 1

3 11 4

2 2 2 88 72 6 22 32 54 10

16 8 9 4 48 6 54 1 1

3 2 4

2 3 2

= 2

11.11

x y z 6

y-4z =-10 (-1)

y+2z=8

· = y 4z 10

y 2z 8

6z = 18 = 3

y = 8 6 = 2

x = 1

12 + 22 + 32 = 14

11.12

D =

1 2 1

2 1 1

1 1 2

= 2 + 2 + 2 1 1 3 = 4

Dx =

16 2 1

15 1 1

17 1 2

= 32 + 34 + 15 17 16 60 = 12

Dy =

1 16 1

2 15 1

1 17 2

= 30 + 16 + 34 15 17 64 = 16

X = 3

Y = 4

Z = 16 3 8 = 5

11.13

1 (c 1)y 0

y 1 cc y 1

1 + (c + 1)(1 c) = 0

1 1 2c c2 = 0

c2 + 2c = 0

c = 0 e c = 2

11.14

2 2

x y 2 a (-b)

bx+ay=a b

· · =

2 2

bx by 2ab

bx ay a b

(a b)y = a2 2ab + b2

(a b)y = (a b)2

y = a b

x = 2a a + b x = a + b

11.15

2ax y a ( 1)x y 2a 1

· =

2ax y a

x y 2a 1

(a 1)x = a2 2a + 1

x = a 1

a 1 + y = 2a 1 y = a

(1) = 1

11.16

2 2

a x+b y = 2 a b ( b)

(a)b x+a y = a + b

· · · · ·

·· · =

2

2 3 2

abx b y 2ab

abx a y a ab

(a2 b2)y = a3 ab2

y = 2 2

2 2

a(a b )

a b

y = a

ax + b a = 2ab

ax = ab

x = b

11.17

Dx =

31 2 5

31 5 3

38 3 2

= 310 + 228 + 465 950 279 124 = 350

x = 5

10x + 10y + 10z = 100

x + y + z = 10

y + z = 10 5 y + z = 5 = x

11.18

2) x + y = z x + 2 = 5 x = 3

3) z t = 4 t = 1

1) z t 4

2z t 11

= 3z = 15 z = 5

5) y 5 + 1 = 2 y = 2

11.19

x y z t 11

x y z t 9

= 2x = 2 x = 1

x y z t 7

x y z t 5

= 2 2t = 12 2 t = 10 t = 5

1) 1 + y + 3 + 5 = 11 y = 2

2) 1 y z 5 = 9

3) 1 y z 5 9

1 y z 5 7

= 2z 10 = 16 2z = 6 z = 3

x y z = 30

11.20

2x y z w 1

x 2y z w 2

x y 2z w 3

x y z 2w 4

5x + 5y + 5z + 5w = 10

x + y + z + w = 2

1 + y + 1 + 2 = 2 y = 0

2x y z w 1

x y z w 2

x = 1

x y 2z w 3

x y z w 2

z = 1

x y z 2w 4

x y z w 2

w =2

S = {(1, 0, 1, 2)}

11.21

D = sen2 + cos2 = 1

Dx = cos2 cos

sen2 sen

=

cos2 sen sen3 2sen cos2

sen cos2 sen3

sen(cos2 + sen2) = sen

x = sen

1) sen2 (cos)y = cos2 sen2

= (cos)y = cos2

= y = cos

MAT 4C AULA 12

12.01

x 5y 10z 500

x y z 92

x z

= 5y 11z 500

y 2z 92 (-5)

·

z = 40

x = 40

y = 12

12.02

200x 50y 600z 1 350 50

28x+4y+24z=66 4

x+0,5y+0,6z=2,2

=

4x y 12z 27

7x+y+6z=16,5

x+0,5y+0,6z=2,2

(7x + y + 6z = 16,5) (4x + y + 12z = 27) = 3x 6z 10,5

[(x + 0,5y + 0,6z = 2,2) 2] + (7x + y + 6z = 16,5) = 5x + 4,8z = 12,1

3x 6z 10,5 (5) 15x 30z 52,5

5x + 4,8z = 12,1 (3) 15x 14,4z = 36,3

15x 30z 52,5

15x 14,4z 36,3

44,7z = 88,8 z = 2 100 = 200

3x = 10,5 + 12 3x = 1,5 x = 0,5 100 = 50

Y = 27 2 24 y = 1 100 = 100

12.03

5R + 3A + 2C = 17,20

3R + 2A + 3C = 14,00

C – R = A – C – R – A + 2C = 0

-3R - 3A + 6C = 0

3R + 2A + 3C = 14

ìíï

îï

- A + 9C = 14 Þ A = 9C -14

5R + 3(9C – 14) + 2C = 17,20 5R = 59,2 – 29C (I)

–R –(9C–14) + 2C = 0 R = –7C+14 (II)

Substituindo (II) em (I), tem-se:

5(–7C + 14) = 59,2 – 29C

–35C + 70 = 59,2 – 29C 6C = 10,8

C = 1,8

R = –7C+14 R = –7 1,8+14 R = 1,4

–R – A + 2C = 0 –1,4 – A + 21,8 = 0

A = 2,2

O preço da cerveja é 0,40 centavos a mais que o preço do refrigerante

12.04

x 3y 12

x 2y 2

5y = 10 y = 2 e x = 6

x

y = 3

12.05

2x y 3

6x 3y 9

2x y 3

0x 0y 0

y 2x 3

S : (x;2x 3)

ALTERNATIVA D

12.06

6z = 18 z = 3

4y + 5z = 23 4y + 15 = 23 y = 2

x + 2y + 3z = 14 x + 4 + 9 = 14 x = 1

12.07

3x 3y z 2

3x y 2z 4

22x 5y 3z 3

·

·

1 3 1 2

0 10 1 10

0 1 5 1

10y z 10 ( 5)

y 5z 1

·

49y = 49 y = 1

10 10 = z z = 0

x 3 + 0 = 2 x = 1

12.08

23x 2y 10

6x 4y 20

·

0 = 0

12.09

y z 1 ( 1)

y 3z 1

·

-2z =0 z = 0

y = -1

2x = 2 x = 1

12.10

3 + 2z 2(1 + z) 2z = 1

2z = 1 1 z = 1

x = 3 + 2 x = 5

y = 1 + 1 y = 2

12.11

x y z 0 ( 2)

3x 2y z 7

10y 9z 12

·

1 1 1 0

0 5 4 7

0 10 9 12

2

10y 8z 14

10y 9z 12

z = 2

12.12

2x 5z 4 ( 2)

x y 3z 5 3

3x y z 3

·

·

1 1 3 5

0 4 8 12

0 2 11 6

(11)

44y 88z 132

16y 88z 48

28y = 84 y = 3

12.13

3 1 1 2

5 0 0 10

7 0 0 14

x = 2

y + z = 4

12.14

y = 2x – 1

z = x

12.15

3x + z = 3 9 3a + 2 a = 3

8 = 4a a = 2

x z 5 2a

x z 1

2x = 6 2ª

X = 3 a

z = x 1 z = 2 a

12.16

2x 2y 12

2y 2z 14

2x 2w 18

2x + 2y + 2z + 2w = 32

12.17

x 2y 5

2x 4y 10

(x + 2y = 5) 2 = 2x + 4y = 10

12.18

3x 2y 10 (2)

6x 4y 18

·

12.19

x reais

G m x 2 000

m T x 4 000

G T x 700

= 2G + 2m + 2T = 3x + 1 300

G + m + T = x 1 700

3x 1 300 = 2x + 3 400

x = 2 100 reais.

12.20

x y z 10

3x y 4z 8

5x 3y 6z 28

x y z 10

0x 2y z 22

0x 2y z 22

x y z 10

0x 2y z 22

0x 0y 0z 0

z 22 2y

x 32 3y

S.P.I

S : (32 3y;y;22 2y)

12.21

x 2y 3z 0

2x 5y 7z 1

x y 2z 3

x 2y 3z 0

0x y z 1

0x y z 3

x 2y 3z 0

0x y z 1

0x 0y 0z 4

S.I

MAT 4D AULA 10

10.01

Sabemos que as duas pontas do corrimão somadas medem 60 cm.

Temos:

x2 = 1202 + 902 x2 = 14 400 + 8100

x2 = 22 500 x = 150 cm

Somando as duas pontas com a parte inclinada do corrimão temos

150 cm + 60 cm = 210 cm = 2,10 m

10.02

x2 = (40 x)2 + 202

x2 = 1 600 80x + x2 + 400

80x = 2 000 x = 25 Km

10.03

A mesma distância entre A e G é quando traçamos um segmento no plano, ou seja,

planificando o cubo.

K = 1

2

10.04

x2 + 152 = 172

x2 + 225 = 289

x2 = 64 x = 8

10.05

h2 = m n

10.06

52 = m 13

m = 25

13

h2 = 25 144

15 13·

h = 5 12 60

13 13

·

A =

13 60

132

·

= 30

10.07

x2 = 5 + 3 x = 8 x = 2 2

10.08

4 + 3 2 4 + 3 1,4

4 + 4,2 8,2 cm

10.09

(10 + x)2 = (2 + x)2 + (9 + x)2

100 + 20x + x2 = 4 + 4x + x2 + 81 + 18x + x2

x2 + 2x 15 = 0

x’ = 5

x’’ = 3

10.10

x2 + y2 = (3x)2

y2 = 8x2

y = 2 2 x

hip

cat =

3x 3 2

42 2x

10.11

y2 = 3,92 1,52

y2 = 15,21 2,25

y2 = 12,96

y = 3,6

z2 = 2,52 1,52

z2 = 6,25 2,25

z2 = 4

z = 2

x = y z x = 3,6 2 = 1,6

10.12

b a 11

b a 11

b = 11 a = 0

b2 = a2 + 112

b2 a2 = 121 (b + a)(b a) = 121

ou

b a 121

b a 1

b = 61 a = 60

Perímetro

11 + 60 + 61 = 132 cm

10.13

(3 + x)2 = x2 + 64

x2 + 6x + 9 = x2 + 64

6x = 55

x = 55

6 9,16 chih

10.14

302 + (50 x)2 = 202 + x

300 + 2 500 100x + x2 = 400 + x2

3 000 = 10x x = 30

10.15

xx' = 16 2,25 = 36

yy’ = 12 2,25 = 27

x2 = 362 + 272

x2 = 1 296 + 729

x = 2 025 x = 45

10.16

x2 = 1302 502

x2 + 16 900 2 500

x2 = 14 400

x = 120

Vm = Vr cos

72 = Vr 120

130

Vr = 72 13

12

· Vr = 78 Km/h

10.17

z2 = 82 + x2

z2 x2 = 64

(z + x)(z x) = 64

z + x = 16

z x = 4

z = 10 e x = 6

w2 = 82 + y2

w2 y2 = 64

(w y)(w + y) = 64

w + y = 32

w y = 2

w = 17 e y = 15

64 = 16 4

64 = 32 2

64 = 64 1 e 64 = 8 8 não convem

S = 6 15 8

2

· = 84

10.18

1)

2)

* h a = b c h = bc

a

S = p r

a h a b c

2 2

· r

a bc

a = a + b + c r r =

bc

a b c

10.19

Exercício resolvido no material

10.20

Exercício resolvido no material

MAT 4D AULA 11

11.01

A área dos dois lotes, em unidades de área é

a) 350 b) 380 c) 420 d) 450 e) 480

11.02

Sendo L a medida limite para o lado do quadrado, temos

L2 = 0,06 5x 10x

L2 = 3x2

11.03

Ao construirmos qualquer figura com as peças do Tangram todas as áreas serão iguais,

portanto para descobrir a área da casa basta saber a área do hexágono.

Se um lado do hexágono é igual a 2cm o seu lado oposto terá o mesmo valor, assim

percebemos pela figura que a soma das áreas dos dois triângulos maiores é igual a 4 cm2, pois

juntos foram um quadrado de lado 2cm. Comparando com o Trangram original (figura 1) esses

dois triângulos maiores correspondem à metade da área total de um Tangram.

Concluímos que a área da casa como de qualquer figura construída com o Tangram

obedecendo às regras estabelecidas pelo enunciado será igual a 8cm2.

d = L 2 4 = L 2 L = 2 2

A = (2 2 )2 = 8 cm2

11.04

I. Todo quadrado é um retângulo (4 ângulos retos)

II. Todo quadrado é um losango (apresenta 4 lados congruentes)

III. Todo losango é um paralelogramo (possui lados opostos paralelos)

IV. Todo paralelogramo é um trapézio (quadrilátero convexo com 2 lados paralelos)

11.05

Como os lados são iguais e perpendiculares entre si, toda diagonal é bissetriz do ângulo

formado em cada vértice.

11.06

L2 = 80 L 80 L = 4 5

11.07

ATOTAL = 24 + 6 = 30 cm2

11.08

1

3

= 3

4 = 180 = 45o

11.09

P = 2 + 5 + 5 + 7 + 5 = 24

11.10

P = 2 + 5 + 5 + 4 = 16

11.11

b x 180

y 2b 180

x y = b

11.12

Base do quadrado menor = x 2

Base do quadrado médio = x

Base do quadrado maior = x + 2

x + 2 = y + 4 y = x 2

(x 2)2 + (x + 2)2 + x2 = 83

x2 4x + 4 + x2 + 4x + 4 + x2 = 83

3x2 + 8 = 83

3x2 = 75

x2 = 25 x = 5

11.13

B b B b

2 2

= 12

2B

2 = 12 B = 12

B

b = 2

12

b = 2 b = 6

11.14

3

6 3272

2 4

cm2

11.15

(15 + 18) (15 + 17)

33 32 = 1 056

11.16

a = 3 3,6 + 7,2

a = 18 cm

4x + 2a = 36

4x + 2y = 36

4(2y) + 2y = 36

10y = 36

y = 3,6

x = 2 3,6 x = 7,2

x = y + 2b

cos 60o = b

y =

1

2

b = y

2

x = y + 2 y

2 x = 2y

11.17

sen 60o = h

12

3 h

2 12 h = 6 3

L = R

12 6 3 = 18 6 x

72 2

18 6 = x

4 2

2 2· = x

x = 2 2

11.18

01 – FALSO – Em um quadrilátero convexo, a soma dos ângulos internos é sempre 360º ;

02 – VERDADEIRO - a = r, então, o perímetro será igual a 5r;

04 – VERDADEIRO – A área do trapézio corresponde a área de 3 triângulos equiláteros

iguais de lado r, então:

2r 3Área 3

4

08 – VERDADEIRO

16 – VERDADEIRO – os ângulos da base maior medem 60º

SOMA = 30

11.19

exercício resolvido no material

11.20

exercício resolvido no material

MAT 4D AULA 12

12.01

Distância Q e C = 2 R

2

3,14 6 370 20 001,8

Vm = d

t

800 = 20 001,8

t t 25 h

12.02

TG: sobra = 4 12 4

TM: sobras = 4 4

21

2

4

TP: sobra = 4 16

21

4

4

12.03

* Deslocamento do bloco em relação ao rolo 2R

* Deslocamento do rolo em relação ao solo 2R

Y = 4R

12.04

V( )C = 2p.10®C = 20pcm

F( )A = p.62 ® A = 36pcm2

F( )C = 50® 2pR = 50®R =25

pcm

V( )A = 36p® pR2 = 36p®R = 6cm

12.05

12.06

Inicialmente tem-se:

2

C 2 R

A R

Multiplicando o raio por 3, tem-se:

2

2

C´ 2 .(3R)

C´ 3.2 R

C´ 3C

A´ 3R

A´ 9 R

A´ 9.A

ALTERNATIVA D

12.07

S = (62 42)

S = 20

12.08

4L = 640 L = 160

2R = 628

R = 628

6,28 R = 100

R 100 5

L 160 8

12.09

R = 20

A = 60 120 2 R2

A = 7 200 2 3,14 400

A = 7 200 2 512

A = 4 688 cm2 = 0,48 m2

12.10

R ou 2R

12.11

Ac = R2

As = (2R)2 R2 = 4R2 R2

2

2

R

4R 4

12.12

R2 = 400

R = 20 1,15 R’ = 23

R2 = 529

400 100%

120 x

x = 32,25%

12.13

2

Setor o

2

o

2

2

o

2

Área R360

Setor Círculo Menor(Área a)

a 4

R 4360

R 1440

Setor Círculo Maior(Área A)

2A 3R360

1A R

80

1A 1440

80

A 18

12.14

(R + r)2 = R2 + (2R r)2

R2 + 2Rr + r2 = R2 + 4R2 4Rr + r2

4R2 = 6Rr

4R = 6r

R 6 3

r 4 2

12.15

A1 = A2 + A3

y + T + x = w + y + z + x

T = W + z

12.16

2R2 = 52 R = 5 2

2

Ao =

2

5 2

2

Ao = 25 2

4

·

Ao = 25

2

12.17

AD = 5

BC 5 = 4 3 BC = 12

5

* 42 = 5 AC AC = 16

5

* 32 = 5 CD CD = 9

5

2 2 21 5 16 9

- - 2 2 10 10

· · ·

2

(6,25 2,56 0,81)

2,88

2

= 1,44

12.18

R2 = (R 1)2 + ( 3 )2

2R = 4 R = 2

sen = 3

2 = 60o

S = 120

360 R2

S = 4

3

12.19

Exercício resolvido no material

12.20

Exercício resolvido no material

MAT 4E AULA 10

10.01

sen 75º = sen(30 + 45)

sen 75º = sen30o cos45o + sen40o cos30o

sen 75º = 1 2 2 3

2 2 2 2

· ·

sen 75º = 2 6

4

10.02

(F) sen (7º – 2º) = sen 7º cos 2º – sen 2º cos 7º

(F) cos (27º + 12º) = cos 27º cos 12º + sen 27º sen 12º

(V)

(V)

(F) cos (2x – x) = cos 2x cos x + sen 2x sen x

10.03

tg( + ) = 2 4 6

1 2 4 7

·

10.04

m = sen 90º cos x + cos 90º

m = cosx

10.05

y = sen cos x + sen x cos + cos 2

cos x +sen

2

sen x

y = sen x + sen x y = 0

10.06

cos cosx sen senx 2(cos2 sen2 senx)

cosx 2cosx 3cosx

10.07

sen x cos 45o + sen 45o cos x + sen x cos 45o sen 45o cos x

2 sem x 2

2 2 sen x

10.08

sen105o = sen(45o + 60o)

sen105o = sen45o cos60o + sen60o cos45o

sen105o =2

2×1

2+

3

2×

2

2

sen105o = 2 ×1

4+

3

4

æ

èç

ö

ø÷

sen105o =2 1+ 3( )

4

ALTERNATIVA E

10.09

sen x cos2 y sen y cos x cos y + cos x cos y + sen x sen2 y

sen x

10.10

tg(45 30) o o

o o

tg45 tg30

1 tg30 tg45

·

31

3

31

3

3 33 3

3 3 3 3

·

9 6 3 3

9 3

12 6 3

6

= 2 3

10.11

2 sen b cos a + 2 sen a cos b

2(sen (a + b))

2 sen 30o = 1

10.12

1,4

2 = 0,7

45o = o o30 60 1 3

2 4

2,7

4 = 0,6

sen 45o = o osen30 sen60

2

=

1 3

2 22

10.13

sen x sen y + cos x cos y

cos(x + y) cos 3

=

1

2

10.14

tg = 0,5 5 1

10 100 20

tg( + ) = 2,5 25 1

10 100 4

1tg

tg tg 12011 tg tg 4

1 tg20

·

·

1

5 + 4tg = 1

1

20 tg

4 + 80tg = 20 tg

81tg = 16

tg = 16

81

10.15

4 30º 15º = 105º

cos 105o = cos(60 + 45)

cos 105º = 1 2

2 2·

3 2

2 2·

cos 105o = 2 - 6

4

10.16

* sec2 x = 1 + tg2x 1 + 25 secx = 26

* sec2 y = 1 + tg2y 1 2 secy = 2

* sen2 x = 1 cos2x 1 1

26 =

25

26 senx =

5

26

* sen2 y = 1 cos2y 1 1

2 =

1

2 seny =

1

2

sec(x y) = 1 1

1 1 5 1cos x y

26 2 26 2

· ·

sec(x y) =

12 13 136

6 34 13

·

tg(x y) = 5 1 4 2

1 5 6 3

sec2(x y) = 1 + 4

9 =

13

9

sec(x y) = 13

3

10.17

tg15o = 11,7

x tg(60o 45o) =

11,7

x

3 1 4 2 3 11,7 = 2- 3 =

2 x1 3

x = 11,7 11,7

= 0,32 3

= 39 m

10.18

(sena cosb + senb cosa)(sena cosb senb cosa)

sen2a cos2b senb2 cos2a

(1 cos2a) cos2b sen2b cos2a

cos2b cos2a(cos2b + sen2b)

cos2b cos2a

10.19

cos = 4

5 e cos =

3

5

sen cos + sen cos

3 3 4 4

5 5 5 5

· ·

9 16

25 25

= 1

10.20

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

x y3

cos x y cos3

1cosxcos y senxseny

2

E senx seny cos x cos y

E sen x 2senxseny sen y cos x 2cosxcosy cos y

E sen x cos x sen y cos y 2 cosxcosy senxseny

1E 1 1 2

2

E 3

MAT 4E AULA 11

11.01

sen(4x) sen(2.2x)

sen(4x) 2.sen(2x)cos(2x)

ALTERNATIVA B

11.02

tg2A = 2

2 tgA

1 tg A

· tg2A =

2 10

1 100

·

tg2A = 20

99

11.03

( F ) Não é soma dos quadrados, é a diferença;

( V )

( V )

( V )

( V )

11.04

2 sen cos 2kp

11.05

cos2 sen2 p2 k2

11.06

2 2

2 2

2

2 2

2

cos(2x) cos x sen x

cos(2x) (1 sen x) sen x

cos(2x) 1 2sen x

cos(2x) cos x (1 cos x)

cos(2x) 2cos x 1

( V )

( V )

( V )

( F )

( F )

11.07

cos20 = 1 2 sen2 1 2 3

36

cos20 = 1 1 5

6 6

11.08

y = osen(2 22 30')

2

·

sen45

2

y = 2

4

11.09

2 2 2 2cos sen cos sen17 17 17 17

·

1 cos 2

17

= cos 2

17

11.10

m = 2senA cosA 2senA cosA

m = 2senA (1 cos2A)

m = 2senA sen2A

m = 2 sen3A = 2

32

10

= 16 103 1,6 102

11.11

cos(2x) = 2 cos2x 1

cos(2x) = 2 9

16 1

9

8 1

cos(2x) = 1

8

11.12

sen2a 2sena cosa + cos2a = 9

25

1 9

25 = 2 sena cosa

16

25 = sen 2a

11.13

(cos2x + sen2x) (cos2x sen2x) 1 cos2x

11.14

y = sen275o 2sen75o cos75o + cos275o

y = 1 sen(2 75o) 1 sen150o

y = 1 sen30o 1 1

2

y = 1

2

11.15

2 2

x x2sen cos

2 2

x xcos sen

2 2

=

xsen 2

2

1

·

senx

11.16

tg2 = 2 3

1 3

· = 3

tg = 3

11.17

MQ = cosx senx

cosx senx

cosx senx + cosx senx

detMQ = 2 senx cosx

detMQ = sem(2x)

11.18

tg(2x) = 5

o o

o o

tg45 tgx tg45 tgx

1 tg45 tgx 1 tg45 tgx

· · =

1 tgx 1 tgx

1 tgx 1 tgx

2 2

2

1 2tgx tg x 1 2tgx tg x

1 tg x

=

2

4tgx

1 tg x

2tg(2x) = 2 5 = 10

11.19

y =

x x1 2 sen cos

2 2

1 senx

· ·

y = 1 senx

1 senx

= 1

11.20

E = tg(A B + B C)

E =

tg A B tg B C

1 tg A B tg B C

·

E = 0

MAT 4E AULA 12

12.01

132 = 52 + x2

x2 = 144 x = 12

tg = 6

5

tg( + ) = 12

5

6tg

1256 5

1 tg5

·

5tg + 6 = 12 72tg

5

25tg + 72tg = 60 30

tg = 30

97

12.02

AD2 = L2 + 2L

4

25L

4

AP = L 5

2

cos = L

L 5

2

2

5

* 2 + = 90o

sen = cos(2) sen = 2cos2 1

sen = 2 4

5 1

8 5

5

sen = 3

5

12.03

A = (cos90o cosx sen90o senx) (sen3 cosx senx cos3)

A = (senx) (senx)

A = sen2x

12.04

sen2x cos90o + sen90o cos2x = 1

8

2 cos2x 1 = 1

8

2cos2x = 9

8

cos2x = 9

16 cosx =

3

4

12.05

sen 80 40

cos 72 27

=

sen120

cos45

sen 80 40

cos 72 27

=

3

2

2

2

sen 80 40

cos 72 27

=

3 2 6 =

22 2·

12.06

senC = senx

1

cosC = cos x

1

C = x

A = 2

x

12.07

sen2x + 2senx cosx + cos2x = 9 3

16

·

sen2x = 27

16 1

sen2x = 11

16

12.08

sen105o = sen45o cos60o + sen60o cos45o

2 31

2 2

o o

x 1 500

sen30 sen105

x 1 500

1 2 312 2 2

X =

2 61 500 2

2 + 6 2 6

··

X = 1 500 2 2 6

2 6 4

· ·

X = 750 6 2

12.09

A = sen2 4 1 2cos

4

A = sen2 + cos2

A = 1

x = sen2

= 1

12.10

sen

cos = 2

sen2 + cos2 = 1

4cos2 + cos2 = 1

cos2 = 1

5

cos = 1

5

sen = 2cos = 2

5

cos(2) = cos2 sen2

cos(2) = 1 4

5 5

3

5

12.11

= 1 cos2y cos2y

= 1 2cos2y

= cos2y

12.12

b2 = 1 + 1 2cos(2) = 2 2cos2

x2 = 1 + 1 2cos = 2 2cos

b2 = 2 2cos2 + 2sen2

b2 = 2 2cos2 + 2 2cos2

b2 = 4 4cos2

b

a =

24 1 cos

2 1 cos

b

a = 2 1 cos ·

b

a =

2 1 cos

2 ·

b

a = 2

1 cos

2

2 cos

2

12.13

= 4 + 4 = 8

x = 2 2 2

2

x’ = 1 + 2 > 1

x’’ = 1 2 < 1

sen(a) = 1 + 2

12.14

A = cos2x + sen2y + sen2x 2senx cosy + cos2y

A = 2 2senx senx

A = 2 (1 sen2x)

A = 2cos2x

12.15

sen( + ) = sen cos + sen cos 1 1

4 4

sen( + ) = 1

2 + = 30o ou + = 150o

assim o 3º ângulo pode ser:

180º 30º = 150º

Ou

180º 150º = 30º

12.16

sen23x + 2 sen3x cos3x + cos23x

1 + sen6x

max 1

min 1

12.17

21 tg x 1

2tgx 2senx cosx

·

2

2

2

sen1

cos sen2 coscos sen 2sencos

2cos

·

cos2x 1

2senx cosx 2senx cosx

· ·

22cos x 1 1

2senx cosx

·

22cos x

2senx cosx·

cos x

senx cotgx

12.18

detA = cos2x sen2x

detA = cos(2x)

detA1 = 1

cos2x = sec(2x)

12.19

2

2

2

cos(2A) 1 2sen (A)

2A x

xcos(x) 1 2sen

2

x 1 cos(x)sen

2 2

x 1 cos xsen

2 2

12.20

2

2

cos(2A) 2cos A 1

2A x

xcos x 2cos 1

2

x 1 cos xcos2

2 2

x 1 cos xcos

2 2