XXIV Jornada de Física Teórica

MINI-CURSO:

Tópicos Especiais de Dinâmica da Atmosfera

Professor:

Carlos Frederico Mendonça Raupp (IFT-UNESP)

E-mail: raupp@ift.unesp.br

Introdução

Atmosfera: constitui um invólucro fluido em torno do planeta que está em incessante movimento devido, em última instância, ao aquecimento diferenciado pelo sol sobre a Terra;

Escoamento atmosférico: caracterizado por movimentos que estendem-se desde escalas milimétricas até às escalas comparáveis com o próprio tamanho do planeta movimentos de escala planetária;

Fluidos geofísicos: escoamento é significativamente afetado pela rotação do planeta;

Movimentos na atmosfera: devem ser descritos por um conjunto acoplado de equações que representam as leis da hidrodinâmica e da termodinâmica; Hipótese do Contínuo

Perfil vertical idealizado de temperatura de acordo com a atmosfera padrão. Fonte: Wallace e Hobbs (1977).

MODELO DE ÁGUA-RASA COM ROTAÇÃO

Para os movimentos de grande-escala na atmosfera tem-se que L >> H, sendo L a escala típica de comprimento horizontal dos movimentos e H a escala de altura típica da troposfera;

Para esses movimentos, em primeira aproximação, a equação da continuidade pode ser escrita como , enquanto a equação do movimento vertical pode ser aproximada pelo balanço hidrostático;

Dessa forma, vários “ingredientes dinâmicos” desses movimentos podem ser descritos por um modelo de uma camada de fluido homogêneo e hidrostático modelo de água-rasa;

0v

div

Equações de Navier-Stokes para uma camada de fluido homogêneo (densidade constante), hidrostático e sobre a Terra em rotação:

x

pf

z

uw

y

u

x

uu

t

u

1

vv (1a)

y

pfu

zw

yxu

t

1vv

vvv (1b)

gz

p

(1c)

0v

z

w

yx

u (1d)

Onde V = (u, v, w)T vetor velocidade

p pressão hidrostática; densidade (constante)

g aceleração efetiva da gravidade e f parâmetro de Coriolis

Fig. 1: Representação esquemática do modelo de água rasa aplicado à atmosfera. (Fonte: Matsuno, 1966)

Se = const (fluido homogêneo, tomando a derivada em x ou em y da equação hidrostática, tem-se que:

0

x

p

z0

y

p

z(1.2)

Logo, u e v também não dependem de z.

)(v

),0,,(),,,(v

0 0

hHyx

utyxwthHzyxwdz

yx

udz

z

whH hH

(1.3)Condições de fronteira: (i) w(x,y,0,t) = 0 (sem topografia)

(ii) y

h

x

hu

t

h

dt

dhHhzw

v)(

0vv

v

yx

uh

yx

uH

y

h

x

hu

t

h(1.4)

Integrando a equação hidrostática em uma coluna de altura h, tem-se:

gz

p

xhgp x

hg

x

p

x

hg

x

px

0lim

yhgp y

hg

y

p

y

hg

y

p y

0lim

(1.5a,b)

0vv

xf

y

u

x

uu

t

u Substituindo nas equações (1.a,b), obtém-se:

0v

vvv

yfu

yxu

t

0vv

v 2

yx

u

yx

uc

yxu

t

(1.6a)

(1.6b)

(1.6c)

= gh perturbação do geopotencial

gHc Velocidade das ondas de gravidade puras

Simular o efeito da convecção térmica inclusão de uma fonte de massa F na equação da continuidade (1.6c) pode também representar o efeito do aquecimento associado à liberação de calor latente na atmosfera:

uy

u

x

uu

xf

t

u

vv

vv

vvv

yxu

yfu

t

Fyx

u

yxu

yx

uc

t

vv

v2

(1.7a)

(1.7b)

(1.7c)

onde é o coeficiente de dissipação do tipo “Rayleigh” e de resfriamento Newtoniano

Linearizando em relação a um estado básico em repouso:

ux

ft

u

v

vv

yfu

t

Fyx

uc

t

v2

(1.8a)

(1.8b)

(1.8c)

onde é o coeficiente de dissipação do tipo “Rayleigh” e de resfriamento Newtoniano

DERIVAÇÃO DO MODELO DE ÁGUA RASA VIA SOLUÇÃO DO MODELO DE EQUAÇÕES PRIMITIVAS POR SEPARAÇÃO

DE VARIÁVEIS

Modelo de equações primitivas linearizado em relação a um estado básico em repouso usando a pressão como coordenada vertical:

0vu

xf

t

0uv

yf

t

0vu

pyx

pC

J

P

R

pt

(1.9a)

(1.9b)

(1.9c)

(1.9d)

Onde: geopotencial

velocidade vertical em coordenada-p

J termo de aquecimento/resfriamento diabático

R constante dos gases para o ar seco

Cp calor específico a pressão constante

Parâmetro de estabilidade estática do estado básico

T = T (p) temperatura do estado básico

dp

Td

pC

TR

p

R

p

Fazendo 1/ / p (1.9d), obtém-se:

p

J

pC

R

yx

u

ppt p

v1

(1.10)

Supor inicialmente o caso adiabático, i.e., J 0 (analisar os modos normais do sistema):

0vu

xf

t

0uv

yf

t

0v1

yx

u

ppt

(1.11a)

(1.11b)

(1.11c)

)12.1()(

),,(ˆt)y,(x,v

),,(ˆ

v pG

tyx

tyxuu

Fazendo a seguinte separação de variáveis:

0ˆ

vu

Gx

ft

0ˆ

uv

Gy

ft

0vˆ1ˆ

Gyx

u

dp

dG

dp

d

t

(1.13a)

(1.13b)

(1.13c)

)14.1(1vˆ

ˆ

2c

dp

dG

dp

d

G

yx

ut

De (1.13c), segue que:

c constante de separação (tem dimensão de velocidade)

Logo, a estrutura horizontal é governada por:

0ˆ

vˆ

xf

t

u

0ˆ

ˆv

yuf

t

0vˆˆ

2

yx

uc

t

(1.15a)

(1.15b)

(1.15c)

Equação da Estrutura Vertical

De (1.14) segue que a estrutura vertical é governada pela seguinte equação:

)16.1(011

2

G

cdp

dG

dp

d

Supondo como condições de fronteira para o sistema (1.9) = 0 em p = 0 (topo)e em p = p0 (superfície), tais condições são escritas como:

dG / dp = 0 em p = 0 (1.17a)

dG / dp = 0 em p = p0 (1.17b)

A eq. (1.16) com as condições de fronteira (1.17a,b) constitui um problema de Sturm-Liouville.

Supondo ainda que é constante com a pressão, tem-se que (1.16) torna-se:

022

2

Gcdp

Gd

Equação Característica:

)18.1(02

2 c

Solução Geral:

ipc

ipc BeAepG

)( (1.20)

)19.1(ic

Aplicando a condição de fronteira (1.17a) em p = 0, tem-se que A = B. Aplicando a condição de fronteira (1.17b) em p = p0, tem-se:

000

pc

ipc

ieei

c

mp

coup

csin

00 0 (1.21)

m = 0, 1, 2, 3, ...

Logo:

0pm

cm

(1.22) Autovalores

p

cpG

mm

cos)( (1.23) Autofunções

m cm (ms-1)

0

1 40,02

2 20,2

3 13,5

4 10,1

Tabela .11: Autovalores cm da equação da estrutura vertical (1.16) com

as condições de fronteira (1.17a,b) para p0 = 1000hPa e = 1,6 x 10-6 m4

s2 Kg-2.

Soluções de Ondas Lineares das Equações da Água Rasa

Vamos considerar caso do plano -equatorial:

f = y (2.1)

Onde = 2/a Parâmetro de Rossby

0v

xy

t

u

0v

yyu

t

0v2

yx

uc

t

(2.2a)

(2.2b)

(2.2c)

É conveniente transformar as equações para a forma adimensional, utilizando as escalas:

2

1

c

L 2

1

1

cT (2.3)

Fig. 2.1: Número de unidades de tempo adimensionais por dia (escala da esquerda) ou escala de tempo [T] em dias (escala da direita) como função de c = (gH)1/2. (Fonte: Silva Dias e Schubert, 1979)

Fig. 2.2: Número de unidades de comprimento adimensionais por 1000Km (escala da esquerda) ou escala de comprimento [L] em quilômetros (escala da direita) como função de c = (gH)1/2. (Fonte: Silva Dias e Schubert, 1979)

Usando c como escala para u e v e c2 = gH como escala de , tem-se:

0v

xy

t

u

0v

yyu

t

0v

yx

u

t

(2.4a)

(2.4b)

(2.4c)

Condições de fronteira: ),,(v),,(v tyLx

u

tyx

u

x

(2.5a)

0),,(vlim

tyx

u

y

(2.5b)

Buscando soluções na forma de ondas planas (Ansatz de ondas planas):

tiikx

k

k

ke

uu

kvv (2.6)

0vk kkk ikyui

0vk dy

dyui k

kk

0dy

vk d

ikui kkk

(2.7a)

(2.7b)

(2.7c)

Na forma vetorial:

(ikI + k)k = 0 (2.8)

k número de onda zonal

k = [uk, vk, k]T autovetor

k freqüência temporal (autovalor)

0

0

0

dy

dik

dy

dy

iky

k(2.9)

Operador linear (anti-hermitiano)

É possível reduzir o sistema (2.7) a uma única equação diferencial ordinária em vk, dada por

0v--v 222

2

2

k

kk

k yk

kdy

d

vk 0 quando |y|

Solução:

)()(v 2k

2

yHey n

y

Desde que seja satisfeita a relação de dispersão abaixo:

12- 22 nk

kk

k , n = 0, 1, 2, .... (2.10)

Fig. 2.3: Diagrama de dispersão de algumas ondas lineares permitidas pelo modelo (2.5). (Fonte: Silva Dias e Schubert, 1979).

Fig. 2.4: Diagrama da velocidade de grupo das ondas lineares permitidas pelo modelo (2.5). (Fonte: Silva Dias e Schubert, 1979).

As autofunções são dadas por:

2

y

1nrn,k,1nrn,k,

n22

rn,k,

1nrn,k,1nrn,k,

rn,k,

2

e

(y)k)Hin(ω(y)k)H(ω2

i(y)Hkω

(y)k)Hin(ω(y)k)H(ω2

i

(y)ξ

(2.11)

Para n > 0

2

y

0

0

1,3k,

2

e

(y)H

0

(y)H

(y)ξ

(2.12)

Para n = -1 (Kelvin)

Estas autofunções formam um conjunto ortogonal e completo no espaço das funções de quadrado integrável em (-, + ).

Fig. 2.5: Estrutura espacial dos campos do vento e do geopotencial associada às ondas de Rossby para n = 1. (Adaptado de Raupp, 2002.)

Fig. 2.6: Estrutura espacial dos campos do vento e do geopotencial associada às ondas de gravidade-inerciais para n = 1. (Adaptado de Raupp, 2002.)

Fig. 2.7: Estrutura espacial dos campos do vento e do geopotencial associada às ondas mistas de Rossby-gravidade (n = 0). (Adaptado de Raupp, 2002.)

Fig. 2.8: Estrutura espacial dos campos do vento e do geopotencial associada à onda de Kelvin (n = -1). (Adaptado de Raupp, 2002.)

Solução Geral das Equações da Água Rasa Através do Método Espectral

Modelo de equações primitivas forçado por um perfil de aquecimento diabático dado por J(x,y,p,t).

ux

yt

vu

vuv

yy

t

ppp

J

pcyx

u

ppt p

1v1

(3.1a)

(3.1b)

(3.1c)

coeficiente de dissipação de momento e de resfriamento Newtoniano.

Dado que a equação da estrutura vertical (1.16), com C.F. (1.17a,b) constitui um problema de Sturm-Liouville:

J

jjj pGtyxutpyxu

1

)(),,(),,,(

J

jjj pGtyxtpyx

1

)(),,(v),,,(v

J

jjj pGtyxtpyx

1

)(),,(),,,(

J

jjj pGtyx

p

J

p 1

)(),,(q

(3.2)

Onde os coeficientes de expansão são dados por:

0

0

)(),,,(),,(p

j dppGtpyxutyxu 0

0

)(),,,(v),,(vp

j dppGtpyxtyx

0

0

)(),,,(),,(p

j dppGtpyxtyx

0

0

)(),,(p

j dppGp

J

ptyxq

(3.3)

Substituindo (3.2) em (3.1), multiplicando as equações resultantes por Gm(p), usando a equação da estrutura vertical (1.16) para cada um dos modos verticais, integrando as equações resultantes no intervalo [0,p0] e

usando a ortogonalidade das autofunções Gj(p) obtém-se:

jjj u

xy

t

u

jv

jj v

v

yyu

tj

j

jjjj

jj qc

yx

uc

t

2j2

v

(3.4a)

(3.4b)

(3.4c)

Ft

Escrevendo na forma adimensional, usando as mesmas escalas usadas anteriormente:

(3.5)

Onde = [u(x,y,t), v(x,y,t), (x,y,t)]T

0

0

0

yx

yy

xy

(3.6)

F = [0, 0, F]T com F = q (c5)-1/2 (3.7)

Dado que as autofunções k,n,r(y) formam um conjunto ortogonal e

completo em (-<y<)e que as funções trigonométricas complexas eikx

formam um conjunto ortogonal e completo no intervalo [-Lx,Lx]:

k n r

ikxrnkrnk eytgtyxG

1

3

1,,,, )()(),,( (3.8)

gk,n,r(t) = < Gk(y,t) k,n,r(y)> (3.9) , onde

dyytygyutygytygyutygytyG rnkkrnkkrnkkrnkkrnkk

)(),()(),()(v),()(),()(),( *,,3

*,,1,,2

*,,1,,

(3.10)

x

x

L

L

ikx

xk dxetyxG

LtyG ),,(

1),( (3.11)

(x,y,t) = ck,n,r(t) k,n,r(y)eikx

k n r1

3

1

F(x,y,t) = fk,n,r(t) k,n,r(y)eikx

k n r1

3

1

Dessa forma, as variáveis de estado e a forçante podem ser expressas por suas respectivas expansões em série:

(3.12)

Substituindo a equação (3.12) em (3.5), multiplicando escalarmente por *

s,m,l(y)e-isx , integrando a expressão obtida no domínio todo e usando a

relação (2.8) e a ortogonalidade das autofunções k,n,r(y)eikx no domínio

[-Lx,Lx] X (-<y<):

)()()()(

,,,,,,,,,, tctftci

dt

tdcrnkrnkrnkrnk

rnk (3.13)

para cada k, n, r.

A solução geral é dada por:

dsesfectc tsit

rnkti

rnkrnkrnkrnk ))((

0

,,)(

,,,,,,,, )()0()(

Previsão de tempo Previsão climática

1][

)0()( )(

,,

,,,,,,

,,,,

ti

rnk

rnkrnkrnk

rnktrnki

ei

fectc

No caso de uma forçante estacionária, a solução é dada por:

(3.14)

(3.15)

Para = 0, ocorre ressonância com os modos geostróficos zonalmente simétricos (k = 0 e = 0):

1,,0n,1k,

tiωn,1k,

01,,0 iω

)e(1flim)(

n,1k,

1,,nn tftc

nk

(3.16a)

3,1,0k,-1,3

tiωk,-1,3

03,1,0 iω

)e(1flim)(

k,-1,3

3,1,

tftck

(3.16b)

Um dos mecanismos que mantém a circulação média zonal da atmosfera

trnkrnk etftf 23

,,,,ˆ)(

No caso de uma forçante explosiva, i.e., cresce inicialmente, atinge um máximo e passa a decrescer com o tempo

(3.17)

A solução é dada, na ausência de dissipação (=0), por:

ti

rnkrnki

rnkrnk

rnkrnkrnk etitief

itc ,,,, 22

,,,,,,,,

3

,, 2

111ˆ)(

(3.18)

Referências

MAJDA, A. J. Introduction to PDEs and Waves for the Atmosphere and Ocean. Volume 9. American Mathematical Society, 2003. ISBN: 0-8218-2954-8.

HOLTON, J. An introduction to dynamic meteorology. 4th Edition. Elsevier Academic Press, 2004.

A. E. GILL. Atmosphere-Ocean Dynamics. Volume 30. International Geophysics Series. Editora: Academic Press (1982). ISBN: 0-12-283520-4

J. PEDLOSKY. Geophysical Fluid Dynamics – Second Edition. Editora: Springer. ISBN: 0-387-96387-1. ISBN: 3-540-96387-1.

LEMES, M. A. M.; A. D. MOURA. Fundamentos de dinâmica aplicados à Meteorologia e Oceanografia. 2ª Edição. Holos Editora Ltda-ME, 2002. ISBN: 85-86699-33-0.

HALTINER, G. J.; R. T. WILLIAMS. Numerical prediction and dynamic meteorology. Second Edition, 1980. Editora: Wiley. ISBN: 0471059714, 477 pp.

SILVA DIAS, P.L.; W. H. SCHUBERT. The dynamics of equatorial mass-flow adjustment. Atmospheric Science Paper No. 312 (Department of Atmospheric Science Colorado State University), Fort Collins, Colorado, USA, 1979.

RAUPP, C. F. M. (2002). Efeitos de processos não lineares na influência inter-hemisférica de fontes de calor. São Paulo, 2002. p. [Dissertação de Mestrado. Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas/Universidade de São Paulo].

MATSUNO, T. Quasi-geostrophic motions in the equatorial area. J. Meteor. Soc. Japan, 44, 25-43, 1966.

John M. Wallace & Peter V. Hobbs. Atmospheric Science. First Edition: An Introductory Survey, Editora: Academic Press, 1a edição (1977)