ELETROMAGNETISMO - PARTE 1 - Edio 01.2011
Eduardo Fontana, PhD
Professor Titular
Departamento de Eletrnica e Sistemas
UFPE
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
Captulo 2 - Eletrosttica 2.1 Campo Eletrosttico
2.1.1 Lei de Coulomb
2.1.2 Campo eletrosttico
Conceituao do campo eletrosttico
Linhas de campo
2.1.3 O conceito de cargas distribudas
2.2 Lei de Gauss para o Campo Eltrico
2.2.1 Fluxo eltrico atravs de uma superfcie fechada
2.2.2 Determinao de campos atravs da Lei de Gauss
2.3. Potencial Eletrosttico
2.3.1 Definio da funo potencial
2.3.2 Diferena de potencial e circulao do campo eletrosttico
2.3.3 Energia potencial de uma carga puntiforme em uma regio de campos
2.3.4 Energia potencial de uma distribuio de cargas
2.4 Equaes de Maxwell para a Eletrosttica
2.4.1 Forma diferencial
2.4.2 Equao de Poisson
2.4.3 Densidade de energia
2.5 Eletrosttica em Meios Materiais
2.5.1 Potencial e campo do dipolo eltrico
2.5.2. Energia de interao entre campo e diplo eltrico
2.5.3. Campo de uma distribuio de dipolos - Vetor polarizao
2.5.4. Cargas de polarizao e relaes constitutivas em meios materiais
2.5.5. Tipos de meios materiais
Meios lineares
Meios isotrpicos e anisotrpicos
Meios homogneos
Meios no-lineares
2.6. Condies de Contorno
Problemas
2.1 Campo Eletrosttico
2.1.1 Lei de Coulomb
A eletrosttica lida com a interao entre partculas carregadas em
repouso e com a anlise de campos produzidos por distribuies de cargas em
repouso. A carga eltrica uma grandeza fundamental, tal como, por
exemplo, a massa, o comprimento e o tempo. Experimentos demonstraram
que cargas eltricas satisfazem as seguintes propriedades:
Existem dois tipos de carga na natureza, que diferem na forma com que interagem.
Cargas do mesmo tipo se repelem, e cargas de tipos distintos se atraem.
Para representar-se o tipo de interao entre cargas, atribui-se o sinal positivo para cargas de um tipo, e o negativo para cargas pertencentes ao
segundo tipo.
A carga quantizada, e o quantum de carga eltrica corresponde a carga de um eletron e vale 1,60 10-19 Coulombs. O Coulomb a unidade de
carga no Sistema Internacional (SI) de unidades.
A carga total em um sistema isolado conservada. Por sistema isolado nesse caso, subtende-se aquele que bloqueie a entrada ou sada de matria
mas que seja susceptvel a penetrao ou emisso de radiao
eletromagntica.
Historicamente, foi atribudo o sinal negativo
carga do eletron.
Coulomb em 1785
realizando uma srie de
experimentos com uma
balana de toro de alta
preciso, determinou que a
fora entre objetos
puntiformes carregados era
inversamente proporcional ao
quadrado da distncia e
proporcional ao produto das
cargas. Por objetos
puntiformes entendem-se
aqueles cujas dimenses
tpicas sejam pequenas comparadas com a distncia de separao. Foi tambm
observado que a linha de ao da fora era dirigida ao longo da linha de
separao entre cargas. Com base na Fig. 2.1, a relao matemtica obtida por
Coulomb pode ser posta na forma vetorial
(2.1)
onde 0 a permissividade eltrica do vcuo e q1 e q2 so os valores das
cargas localizadas nos pontos e , respectivamente. Em unidades
SI, . Na notao da Eq.(2.1), o termo
representa a fora sobre a carga q2 devido a q1 , que ser repulsiva ou atrativa,
se o produto das cargas for positivo ou negativo, respectivamente.
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
Um outro resultado importante obtido de observaes experimentais
que a fora eletrosttica obedece ao princpio da superposio, i.e., a fora
total sobre uma carga de teste, produzida por um conjunto de cargas
puntiformes, pode ser obtida somando-se vetorialmente a fora de cada carga
individual, na ausncia das demais. Conseqentemente, para a situao
ilustrada na Fig.2.2, a fora total sobre a carga qt devido ao conjunto de
cargas qi pode ser obtida de,
(2.2)
Fig.2.2 Geometria para o clculo da fora total produzida por um conjunto
de N cargas sobre uma carga de teste qt.
2.1.2 Campo eletrosttico
Conceituao do campo eletrosttico
Observa-se que uma carga eltrica produz uma regio de influncia ao
seu redor. O efeito pode ser sentido por outro objeto carregado posicionado
nas imediaes da carga. Este transmissor de efeito, que faz-se presente no
espao, a partir da existncia de uma partcula carregada, denominado
de campo eletrosttico.
A caracterizao do campo eletrosttico produzido por um conjunto de
cargas eltricas, pode ser feita colocando-se uma carga de teste qt na regio de
campo, e medindo-se a fora eltrica produzida sobre qt. A magnitude da
carga de teste deve ser pequena de forma a no perturbar o campo
originalmente presente. A partir dessa medio, o campo eletrosttico pode ser
definido pela relao
(2.3)
De acordo com essa definio, o campo eletrosttico independente
da existncia de uma carga no ponto de observao, sendo medido, no sistema
SI, em unidades de Newton/Coulomb.
Por exemplo,
uma carga
puntiforme positiva
produz um campo
eltrico radial
conforme ilustrado
na Fig.2.3. A
dependncia espacial
do campo eltrico
nessa situao,
mais
convenientemente
obtida, admitindo-se
um sistema de
coordenadas tendo
como origem a posio da carga puntiforme. Nesse sistema, o vetor campo
eltrico observado no ponto de coordenadas (R,, ), dado por
(2.4)
Como mostra a Eq.(2.4), o vetor campo eltrico de uma carga
puntiforme radial, o que caracteriza a natureza central da fora eletrosttica,
sendo dependente apenas do inverso do quadrado da distncia.
A generalizao da Eq.(2.3) para o campo produzido por um conjunto
de cargas discretas obtida diretamente da expresso para a fora eletrosttica
dada pela Eq.(2.2), resultando em
(2.5)
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
Linhas de campo
Considere-se a existncia no espao de uma distribuio de cargas que
produz um campo eltrico. Se uma carga de teste positiva fosse colocada em
um determinado ponto dessa regio, sofreria uma acelerao que, em cada
ponto da trajetria, teria mesma direo e sentido do vetor fora eltrica, e por
conseguinte do vetor campo eltrico sobre a carga de teste. Uma linha de
campo uma curva que fornece, em cada ponto, a direo inicial da
trajetria que seria descrita por uma carga de teste inicialmente em repouso.
importante salientar que a linha de campo assim definida no corresponde
a trajetria completa que seria seguida pela carga de teste uma vez que esta
deve estar inicialmente em repouso e no em movimento, de acordo com a
definio.
Para uma dada distribuio de campo eltrico, equaes para as linhas
de campo podem ser obtidas fazendo-se as correspondncias apropriadas entre
as componentes do campo e as coordenadas. Considere-se por exemplo o
traado de linhas em um plano, com o campo decomposto em uma base
ortonormal do tipo
De acordo com a definio de linha de campo, o vetor campo eltrico
deve ser tangente a curva correspondente em cada ponto. Sendo dl1 e dl2 os
comprimentos diferenciais ao longo das direes 1 e 2, respectivamente, a
equao da linha de campo tem de satisfazer a relao
(2.6)
Conhecendo-se a dependncia espacial das componentes do campo,
pode-se resolver a equao diferencial expressa pela Eq.(2.6) para obteno da
equao da linha que passa por um dado ponto do espao. Se uma soluo
analtica da Eq.(2.6) no puder ser obtida, recorrem-se a mtodos numricos
de soluo. Com a difuso de softwares de computao matemtica
compatveis com o sistema operacional Microsoft Windows, tais como Mathcad, Matematica eMatlab, o clculo e traado de linhas de
campo pode ser prontamente programado.
Exemplo 2.1. Traado de linhas
de campo utilizando Mathcad
Considere-se como
exemplo o traado das linhas de
campo de um par de cargas de
sinais opostos, conforme ilustrado
na Fig.2.4. Em um ponto do
plano xy definido pelo vetor
posio, , o vetor campo
eltrico obtido da soma vetorial,
Utilizando-se a transposta da matriz de transformao dada pela
Eq.(1.8), o vetor posto na forma,
resultando em
donde,
Utilizando-se a Eq.(2.6), com dl2=dr, dl1=rd , resulta em
Dado um valor inicial ri para a funo r, valores subseqentes podem
ser obtidos para pequenos incrementos d, a partir da aproximao de Taylor,
onde os valores do primeiro membro so calculados iterativamente a partir de
um dado valor inicial.. A Fig.2.5 ilustra algumas linhas de campo calculadas
com o emprego do aplicativo Mathcad cujo cdigo est mostrado no Quadro
2.1. Nesse clculo, utilizou-se d = 1 e 400 pontos de iterao. Cinco linhas
de campo no semi-plano y 0 foram geradas no intervalo 5o 175o, a partir de valores iniciais, =5o, r = 0.75, 0.85, 0.95, 1.05, 1.15, respectivamente. Linhas de campo no semi-plano y 0 so simtricas com respeito ao eixo x.
Fig.2.5 Linhas de campo para o diplo eltrico
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
Quadro 2.1 Cdigo Mathcad correspondente ao Exemplo 2.1 Traado de linhas de campo para o diplo eltrico
copyright by Eduardo Fontana, 1994
Mathcad d := 1
N := 400 Nmero de pontos k := 0 ...4 Subscrito utilizado para denotar 5 pontos iniciais distintos
i := 1..N+1 Subscrito utilizado para calcular N pares de coordenadas
:= Valor inicial do azimute
:= Valor final do azimute r0,k := 0.1k + 0.75 Valores iniciais para a varivel r
Incremento da varivel azimutal Calcula a varivel azimutal na iterao de ordem i : i := (i-1) + Calcula a varivel r na aproximao em 1
a orde de Taylor :
Transforma coordenadas para o sistema xy e plota :
xi,k := ri,k cos [i] yi,k := ri,k sen [i]
2.1.3 O conceito de cargas distribudas
No clculo do campo eletrosttico resultante de um grande nmero de
cargas discretas, como por exemplo, aquelas compondo um meio
macroscpico, muitas vezes conveniente definir uma funo densidade, que
fornea uma medida da distribuio de cargas no meio em questo. Na Fig.
2.6, est ilustrado um elemento de volume diferencial com dimenses lineares
pequenas comparadas com a escala de variao do campo, o que equivale a
admitir que o volume diferencial esteja contido no interior de uma esfera de
raio , tal que,
(2.7)
onde define o centro do elemento de volume, e define o ponto de
observao. Por outro lado, para que se obtenha uma boa medida da
quantidade de carga existente no interior do volume diferencial, necessrio
que sua dimenso caracterstica seja grande comparada com as distncias
inter-atmicas, de forma a conter um grande nmero de elementos de carga. O
campo eletrosttico gerado pelos elementos de carga contidos no volume
diferencial pode ser obtido diretamente da Eq.(2.5),
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
Com base na condio expressa pela Eq.(2.7), pode-se escrever,
resultando em
Fig.2.6. Geometria para determinao do campo produzido
por um elemento diferencial de volume de um meio material. Da ltima relao, a contribuio para o campo eltrico observado no
ponto , depende da carga total contida no volume diferencial, mas
independe de como essa carga esteja distribuda no volume.
Conseqentemente, pode-se assim definir uma funo densidade de carga, tal
que
donde
(2.8)
e o campo produzido pelo elemento diferencial obtido de
(2.9)
O campo total produzido pelas cargas no volume V pode ser assim
obtido integrando-se diretamente a Eq. (2.10), o que fornece,
(2.10)
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
Existem situaes em que pode-se admitir a carga distribuda sobre
uma superfcie ou mesmo sobre uma curva, conforme ilustrado nas Figs.2.7b e
2.7c, respectivamente. Nessas situaes, densidades superficial e linear de
carga podem tambm ser respectivamente definidas, a partir das relaes:
(2.11)
(2.12)
(a) (b)
(c) Fig.2.7. Geometria para o clculo do campo eltrico para distribuies de
carga, (a) volumtrica, (b) superficial e (c) linear.
Campos gerados pelas distribuies ilustradas nas Figs.2.7b e 2.7c
podem ser expressos nas formas gerais:
Distribuio superficial de cargas:
(2.13)
Distribuio linear de cargas:
(2.14)
Exemplo 2.2. Campo produzido por uma esfera exibindo distribuio
uniforme de carga. Considere-se uma esfera de
raio a, uniformemente carregada
com densidade de carga ,
conforme ilustrado na Fig.2.8. Se a
carga total na esfera Q, ento a
densidade uniforme
simplesmente,
O objetivo determinar-se o campo eletrosttico gerado por essa
distribuio. Sem perda de generalidade, o ponto de observao escolhido
sobre o eixo z.. Utilizando-se a Eq.(2.10), com , vem
O elemento de volume em coordenadas esfricas dado por,
donde,
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
Para resolver-se a integral, necessrio explicitar-se a dependncia do
vetor varivel , o que pode ser feito a partir de sua decomposio nos
vetores de base do sistema xyz,
O denominador do integrando obtido de,
Os termos do integrando, dependentes das funes peridicas ,
fornecem contribuio nula aps integrao no intervalo de um perodo
completo dessas funes. Assim, o vetor campo eltrico assume a forma
A integrao em ' realizada a partir da mudana de variveis,
donde,
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
Resolvendo-se a integral na varivel u, resulta em
Para a integral em R', note-se que o termo entre colchetes da forma:
logo,
Se o ponto de observao exterior a esfera, z > a R, o que fornece
Se o ponto de observao interior a esfera vem
Note-se que a escolha do eixo z arbitrria, e o campo eltrico radial
a partir do centro da esfera. Conseqentemente, sendo R a distncia medida
at o ponto de observao, a expresso geral para o campo reduz-se a,
importante observar-se que o campo pode ser representado em ambas
as situaes na forma,
onde a carga total envolvida por uma esfera imaginria de raio R. A
carga envolvida em termos da densidade de carga dada por,
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
Na Fig.2.9, est
ilustrada a dependncia
em R da
componente . Note-
se que a dependncia
linear para pontos no
interior da esfera,
variando inversamente
com o quadrado da
distncia para pontos
exteriores.
2.2 Lei de Gauss para o Campo Eltrico
2.2.1 Fluxo eltrico atravs de uma superfcie fechada
A natureza central e a dependncia com o inverso do quadrado da
distncia, do campo eletrosttico, conforme previsto pela lei de Coulomb,
implica em uma propriedade de conservao para o fluxo das linhas de campo
eltrico atravs de uma superfcie fechada. Considere-se inicialmente uma
carga puntiforme q, localizada na origem de um sistema de coordenadas,
interior a uma superfcie fechada imaginria e de forma arbitrria, conforme
ilustrado na Fig.2.10a. No vcuo, o fluxo eltrico E para fora da regio limitada por essa superfcie definido pela relao,
(2.15)
Em um ponto sobre a superfcie, definido pelo vetor posio ,
o vetor campo eltrico dado por,
resultando em
onde , a componente radial do vetor cuja magnitude
corresponde quela do elemento diferencial de rea perpendicular ao vetor
unitrio . Em termos do elemento diferencial de ngulo
slido, , ilustrado na Fig. 2.10a, pode-se escrever,
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
importante observar-se que a partir da introduo do parmetro d, a superfcie fechada subtende um ngulo slido total
e portanto,
o que implica na seguinte lei de conservao para as linhas de campo
eletrosttico,
(2.16)
(a) (b)
Fig.2.10 (a) Carga envolvida por uma superfcie imaginria e geometria
utilizada para computar o fluxo eltrico atravs da superfcie. (b)
Determinao do fluxo eltrico quando a carga exterior ao volume limitado
pela superfcie.
Ou seja, independentemente da localizao da carga e do formato da
superfcie que encerra essa carga, o fluxo eltrico sempre igual ao valor da
carga envolvida pela superfcie. A questo a se considerar a partir da
propriedade obtida da Eq.(2.16), a seguinte: o que ocorreria se a carga
envolvida fosse colocada na regio exterior ao volume limitado pela superfcie
? Note-se que para responder a essa questo, no basta atribuir-se o valor q =
0 na Eq.(2.16), pois isso poderia implicar a no existncia de um campo
eltrico, levando-se a concluso bvia de um fluxo eltrico lquido nulo. Para
analisar-se essa questo considere-se o clculo da Eq.(2.15), para a situao
ilustrada na Fig.2.10b. A superfcie fechada dividida em duas superfcies 1 e 2. Sobre 1 o produto escalar do integrando da Eq.(2.15) sempre positivo, sendo sempre negativo sobre 2 , logo,
que em termos do ngulo slido pode ser posto na forma,
onde a ltima relao decorre do fato de termos um mesmo ngulo
slido , subtendido por ambas as superfcies, conforme ilustrado na
Fig.2.10b. Ou seja:
O fluxo eltrico para o exterior da regio limitada por uma superfcie fechada igual a carga envolvida por essa surperfcie,
com cargas exteriores no exercendo qualquer influncia na
determinao do fluxo Esse resultado pode ser generalizado para o caso de um nmero
arbitrrio de cargas discretas, pela aplicao direta do princpio da
superposio. Para isso considere-se a situao ilustrada na Fig.2.11a, onde
existe um conjunto de N cargas, com as N1 primeiras limitadas pela superfcie
, e as (N - N1) subseqentes, localizadas no exterior do volume limitado pela mesma superfcie. O campo total gerado pelo conjunto de N cargas dado
por,
onde o campo produzido pela carga . O fluxo eltrico atravs de dado
por,
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
A segunda soma corresponde ao fluxo eltrico devido as cargas
exteriores superfcie , sendo portanto nulo. A primeira soma, corresponde carga total lquida limitada pela superfcie , e de acordo com a Eq.(2.16),
(2.17)
importante observar-se que no primeiro membro da Eq.(2.17), o
campo eltrico que aparece no integrando o campo total produzido
pelas N cargas, sejam elas internas ou externas.
Se a carga est distribuda continuamente com densidade em um
volume V, conforme ilustrado na Fig.2.11b, ento a Eq.(2.17) pode ser posta
na forma,
(2.18)
onde o volume de integrao no segundo membro, aquele limitado pela
superfcie , conforme ilustrado na Fig.2.11b. As Eqs.(2.17) e (2.18) so as formas da lei de Gauss para distribuies discreta e contnua, respectivamente.
(a) (b)
Fig.2.11. Aplicao da lei de Gauss para:(a) distribuio discreta de cargas;
(b) distribuio contnua de cargas.
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
2.2.2 Determinao de campos atravs da Lei de Gauss
Na presente seo so examinadas algumas situaes favorveis a
determinao de campos atravs da lei de Gauss. Nessa formulao quer-se
determinar o campo eltrico a partir da Eq. (2.18), para uma dada distribuio
de cargas . Uma vez que o campo eletrosttico aparece no integrando da Eq.(2.18), sua determinao s ser possvel quando a componente normal
superfcie for constante, permitindo assim extrair-se aquela componente do
integrando da Eq.(2.18). Situaes dessa natureza ocorrem, em geral, quando
a distribuio de carga exibe um alto grau de simetria.
Assim, o emprego dessa formulao, requer obteno a priori, de respostas
as seguintes questes:
Quais componentes de campo esto presentes?
De que coordenadas o campo depende?
Exemplo 2.3. Campo de uma esfera uniformemente carregada.
Considere-se novamente o exemplo da esfera de raio a, onde o campo
eltrico foi determinado no Exemplo 2.2 pelo uso da Eq.(2.14). Para
determinar-se de que coordenadas as componentes de campo dependem,
analisa-se inicialmente a simetria da distribuio. Como a funo densidade
possui simetria esfrica, i.e., a funo densidade independente das
coordenadas angulares, pode-se definir um sistema de coordenadas com
centro coincidente com o centro da esfera. Nesse sistema, qualquer operao
de rotao em torno de qualquer eixo passando pelo centro da esfera, no
modifica a distribuio de carga. A partir dessa operao de simetria, conclui-
se que as componentes do vetor campo eltrico s devem depender da
distncia R ao centro da esfera. Sabe-se tambm que esse tipo de configurao
produz um campo com uma componente radial apenas. Conseqentemente, o
campo eletrosttico deve ser do tipo,
A prxima etapa determinar-se uma superfcie Gaussiana sobre a qual
a componente normal do campo seja constante. Como o campo radial e s
depende da varivel R, a superfcie deve satisfazer a equao , que
corresponde a superfcie de uma esfera. Se a superfcie Gaussiana tal
que, , a Eq.(2.18) conduz a:
Se , a integral de volume realizada sobre toda a esfera de raio a,
resultando em
Essas expresses so idnticas quelas obtidas no Exemplo 2.2,
atravs do princpio da superposio que envolve uma maior manipulao
algbrica.
Exemplo 2.4 Campo eletrosttico para um fio retilneo uniformemente
carregado.
Considere-se um fio retilneo infinitamente longo, com carga
uniformemente distribuda com densidade linear (C/m). Para essa
distribuio importante observar-se que o sistema de coordenadas que mais
se adapta a simetria do problema o cilndrico, devido a prpria forma
cilndrica do fio retilneo. A escolha mais adequada para o eixo de simetria do
sistema aquela coincidente com o eixo do fio, conforme ilustrado na
Fig.2.12. Nesse sistema de coordenadas, pode-se extrair as seguintes
observaes:
Como o fio infinitamente longo, no importa em que plano transversal do fio esteja localizado o plano xy, o que implica na existncia de simetria
de translao ao longo da direo z. Assim, as componentes de campo que
existirem independem da varivel z, uma vez que a distribuio
inalterada perante translao ao longo dessa direo.
Rotaes arbitrrias no ngulo , tambm no alteram a distribuio de carga, indicando tambm que as componentes presentes do campo
independem dessa varivel.
As componentes do campo devem portanto depender apenas da varivel r.
Para determinao das componentes de campo presentes pode-se, por
exemplo, aplicar o princpio da superposio, na forma ilustrada na Fig.2.12.
Como pode ser a observado, o campo resultante da contribuio de um par de
elementos de carga, localizados simetricamente com respeito ao plano xy
dirigido no sentido do vetor . Pode-se portanto decompor toda a
distribuio em pares de cargas diferenciais, simetricamente localizados em
relao ao plano xy, e concluir-se que o campo eltrico resultante da forma
Fig.2.12 Geometria utilizada para a determinao do campo eletrosttico de
um filamento retilneo infinitamente longo atravs da lei de Gauss.
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
A partir dessas consideraes, conclui-se que a superfcie gaussiana
apropriada para a geometria do problema deve ser da forma,
. Escolhendo-se uma seo longitudinal de comprimento l de uma superfcie
cilndrica, conforme ilustrado na Fig.2.12 e notando-se que o fluxo eltrico s
existe atravs dessa superfcie, a aplicao da Eq.(2.18) resulta em
Sobre a superfcie cilndrica, , e conseqentemente,
donde,
Com base na lei de Gauss para o campo eletrosttico, e utilizando-se
consideraes semelhantes quelas descritas anteriormente, pode-se mostrar
que o campo eletrosttico produzido pelo plano infinito com carga
uniformemente distribuda com densidade superficial s, ilustrado na Fig.2.13, constante acima ou abaixo do plano, e dado por
.
Fig.2.13 Geometria utilizada para a determinao do campo eletrosttico do
plano infinito uniformemente carregado.
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
2.3. Potencial Eletrosttico
2.3.1 Definio da funo potencial
Considere-se a Eq.(2.10) para o campo produzido por uma distribuio
de cargas suspensas no vcuo,
(2.10)
onde deve-se notar que as variveis de integrao so aquelas relacionadas ao
vetor posio , que define a localizao do elemento diferencial de carga
no volume de integrao. Considerando-se o fator no integrando,
nota-se que este pode ser obtido da operao,
onde o operador atua sobre as coordenadas do vetor posio . Portanto, a
Eq.(2.10) pode ser reescrita na forma,
ou ainda,
(2.19)
A Eq.(2.19) indica que o campo eletrosttico pode ser obtido do
gradiente de uma funo escalar. Essa funo escalar a funo potencial
eletrosttico resultante da distribuio de cargas, e dada por,
(2.20)
No sistema SI, a funo potencial medida em Nm/C que a
denominao do Volt nesse sistema. Note-se que a adio de uma constante
arbitrria no segundo membro da Eq.(2.20) no altera o valor do campo
eltrico obtido da Eq.(2.19). Conseqentemente, a funo potencial definida
a menos de uma constante. Essa constante pode ser definida estabelecendo-se
uma referncia para o potencial em um ponto ou superfcie no espao. Para
distribuies fsicas, isto , distribuies que podem ser localizadas no interior
de um volume finito, uma referncia de potencial nulo geralmente imposta
para pontos arbitrariamente afastados da distribuio.
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
Devido a natureza escalar da funo potencial, o problema de
determinao do campo de uma distribuio de cargas, simplificado com o
auxlio dessa funo, pois a integrao vetorial presente na Eq.(2.10), que
envolve a obteno de trs componentes vetoriais eliminada, dando lugar a
uma nica integrao escalar, como expresso pela Eq.(2.20). Como
demonstra a Eq.(2.19), obtida a funo potencial, o vetor campo eltrico pode
ento ser determinado da relao
(2.21)
Por exemplo, para uma carga puntiforme q, pode-se utilizar a
Eq.(2.20), com
e notando-se que constante sobre a regio ocupada pela carga
puntiforme, obtm-se
onde define a posio da carga q, e corresponde ao ponto de
observao. Portanto, para uma carga puntiforme, o potencial eletrosttico
inversamente proporcional a distncia medida desde a carga at o
ponto de observao. Para um conjunto de N cargas discretas, com a i-sima carga
localizada no ponto , o potencial total pode ser obtido pela soma das
contribuies individuais, na forma,
(2.22)
2.3.2 Diferena de potencial e circulao do campo eletrosttico
O potencial eletrosttico formado pela superposio de funes que,
excludos os pontos de singularidade, assumem valores bem definidos em
cada ponto do espao, conforme demonstram as Eqs. (2.20) e
(2.22). Conseqentemente, estabelecido um valor de referncia, o potencial
eletrosttico univocamente especificado.
Considere-se um caminho arbitrrio C1 ligando dois
pontos P1 e P2 conforme ilustrado na Fig.2.13, a diferena de potencial entre
esses dois pontos pode ser obtida de
donde,
(2.23)
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
Na Eq.(2.23), e so os valores assumidos pela funo potencial
nos pontos P1 e P2 , respectivamente. A unicidade da funo potencial em
cada ponto do espao implica que a integral de linha no segundo membro da
Eq.(2.23) independe da escolha da curva conectando os
pontos P1e P2. Conseqentemente, se for escolhido o caminho fechado
formado pela unio de C1 e C2conforme ilustrado na Fig.2.13, tem-se que
ou equivalentemente,
(2.24)
A Eq.(2.24), indica que o campo eletrosttico possui circulao nula,
Esse era um resultado esperado em vista de o campo eltrico ser uma
grandeza vetorial derivada do gradiente de uma funo escalar.
Em resumo:
As Eqs.(2.18) e (2.24) descrevem o comportamento
bsico do campo eletrosttico de cargas no vcuo e
correspondem as Eqs. de Maxwell para a eletrosttica
no vcuo, na forma integral.
Com base nas propriedades da operao gradiente, conclui-se que as
linhas de campo so sempre perpendiculares as superfcies equipotenciais e
que o vetor campo eltrico tem magnitude igual a mxima taxa de variao da
funo potencial, sendo dirigido no sentido de diminuio do valor dessa
funo no ponto considerado.
Fig.2.14 Caminho fechado utilizado para o clculo da circulao do campo
eltrico
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
2.3.3 Energia potencial de uma carga puntiforme em uma regio de campos
A funo potencial tem uma relao direta com a energia de interao
entre cargas e campos. Considere-se uma regio onde existe um campo
eltrico . Quer-se computar a energia de uma carga de teste em um
ponto dessa regio. Para isso imagina-se que um agente externo fictcio traga
essa carga de um ponto distante, onde a carga no interage com o campo, at o
ponto de localizao final, seguindo, por exemplo, a trajetria definida pela
curva C ilustrada na Fig.2.14. Para computar-se corretamente a energia, o
agente externo deve trazer a carga em movimento uniforme, isto ,
imprimindo uma fora de forma a equilibrar a fora eltrica devida
ao campo , em todos os pontos da trajetria. Dessa forma, o trabalho
realizado pelo agente fictcio dever corresponder a energia adquirida pela
carga de teste para ser posta na regio de campo. A condio de equilbrio de
foras ao longo da trajetria pode ser posta na forma
Fig.2.15. Geometria utilizada no clculo da energia potencial de uma carga
discreta em uma regio de campo.
O trabalho realizado pelo agente externo , ou equivalentemente, a
energia adquirida pela carga, obtida de,
donde,
(2.25)
A Eq.(2.25) mostra que a funo potencial resultante de uma dada
distribuio de cargas, calculada em um ponto no espao, corresponde a
energia que seria adquirida por uma carga unitria ao ser trazida quele ponto.
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
2.3.4 Energia potencial de uma distribuio de cargas
Considere-se a questo de determinao da energia de interao
associada a um conjunto de cargas discretas. Admite-se que a configurao
final consiste de N cargas discretas, com a carga qidesse conjunto localizada
no ponto . Para determinar-se a energia de interao, seja inicialmente a
carga localizada em sua posio final no conjunto, e o clculo do trabalho
realizado por um agente externo fictcio para trazer a carga at a sua
posio final, prxima de . Com base na Eq.(2.25), essa energia dada por,
U = W12 = q2 12 onde
o potencial eletrosttico produzido pela carga na posio da carga .
Note-se que,
W12 = W21
e portanto essa primeira contribuio para a energia pode ser escrita na forma,
Continuando-se com esse processo, e trazendo-se a carga para sua
posio final na distribuio, a expresso para U se torna,
podendo ser posta na forma,
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
Uma inspeo dessa ltima expresso permite identificar cada fator
como o produto de uma das cargas do conjunto com o potencial eletrosttico
produzido pelas demais. Conseqentemente, se esse procedimento for
estendido para formar-se a configurao final de N cargas, obtm-se,
(2.26)
onde o potencial eletrosttico calculado sobre a carga devido as
demais cargas no conjunto. A Eq.(2.26) representa a energia de
interao entre as N cargas, e exclui termos de auto-energia, i.e., termos de
interao da carga com o campo produzido por ela prpria.
O resultado obtido para um conjunto de cargas discretas pode ser
generalizado para uma distribuio contnua de cargas, pelas substituies,
resultando em,
(2.27) Exemplo 2.6: Energia potencial de uma esfera uniformemente carregada
Considere-se a determinao da energia eltrica necessria formao
da distribuio uniforme de cargas no interior da esfera de raio a, considerada
no Exemplo 2.2. Para utilizao da Eq.(2.27), o potencial eletrosttico no
interior da distribuio deve ser inicialmente determinado. Sem perda de
generalidade, essa funo pode ser calculada em um ponto sobre o semi-
eixo z > 0, a uma distncia R da origem. Utilizando-se a Eq.(2.20),
Fazendo-se a substituio de variveis utilizada no Exemplo 2.2,
vem,
com, . Realizando-se a integrao na varivel u,
vem,
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
Se o potencial calculado no exterior da distribuio, ento R > a, e a
funo potencial assume a forma,
,
que a dependncia caracterstica com o inverso da distncia. Se R < a,
ento, deve-se considerar o comportamento do integrando para R' < R e R' >
R. Para isso note-se que,
resultando em,
donde,
Devido a simetria esfrica da distribuio, o potencial depende apenas
da varivel R, i.e., os resultados obtidos so vlidos independentemente da
escolha da direo z, no nosso sistema de coordenadas. Para calcular-se a
energia, utiliza-se a Eq.(2.27), onde deve-se observar que a integrao
realizada no volume da distribuio de carga, ou seja,
(2.28a) ou em termos da carga Q da esfera,
(2.28b)
A Eq.(2.28a) mostra que para uma distribuio contnua a energia tende
a zero, se o volume da distribuio tender a um valor nulo. A Eq.(2.28b) serve
para ilustrar o comportamento da auto-energia de uma carga puntiforme, que
seria obtida mantendo-se a carga Q em um valor finito, e fazendo-se a 0 o que resultaria em uma auto-energia infinita.
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
2.4 Equaes de Maxwell para a Eletrosttica
2.4.1 Forma diferencial
A partir da lei de Coulomb, obtm-se as duas relaes integrais
representadas pelas Eqs.(2.18) e (2.24) , transcritas a seguir,
(2.18)
(2.24)
que juntamente com a expresso para a fora eletrosttica sobre uma
distribuio de carga, obtida da Eq.(2.3),
(2.29)
so suficientes para descrever o comportamento de campos eletrostticos, bem
como a interao entre corpos carregados. Essas equaes integrais para o
campo so casos particulares das relaes mais gerais obtidas por James
Clerck Maxwell no final do Sculo 19, para descrever o comportamento de
campos eletromagnticos.
Como discutido anteriormente, o uso dessa formulao integral para
determinao do vetor se restringe a situaes onde as distribuies de
carga apresentem um alto grau de simetria. Este raramente o caso
encontrado na prtica, onde uma relao entre campo e fonte vlida ponto a
ponto mais apropriada.
Para obter-se equaes diferenciais, relacionando campo e fonte,
considere-se a aplicao do teorema de Gauss [Eq.(1.46)] ao primeiro membro
da Eq.(2.18),
Essa relao independente da escolha do volume de integrao. Em
particular, para um volume diferencial dV,
resultando na forma diferencial da lei de Gauss,
(2.30)
A Eq.(2.30) mostra que a operao divergncia realizada sobre o vetor (
) em um dado ponto do espao, indica a existncia de carga naquele
ponto, aqui representada localmente pela densidade volumtrica .
Aplicando-se o teorema de Stokes [Eq.(1.48)] ao primeiro membro da
Eq.(2.24), vem,
Como essa ltima relao vlida qualquer que seja a rea de
integrao, o mesmo ocorrer sobre uma rea diferencial dS, o que fornece,
Nenhuma restrio foi imposta quanto a orientao do vetor rea
diferencial . Logo, essa relao s poder ser verificada se,
(2.31)
o que mostra que o campo eletrosttico irrotacional.
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
2.4.2 Equao de Poisson
As Eqs.(2.30) e (2.31) so equaes diferenciais que descrevem o
campo eletrosttico em cada ponto do espao, podendo ser utilizadas para sua
determinao, independentemente da geometria da distribuio de
cargas. Essas equaes podem ser resolvidas com o auxlio da funo
potencial. Para isso, note-se que o rotacional nulo do vetor , implica que
esse pode ser derivado da funo potencial como j mostrado anteriormente
na Eq.(2.21). Isso tambm decorrncia direta da identidade vetorial
expressa pela Eq.(1.37), ou seja,
Substituindo a Eq.(2.21) na Eq.(2.30), tem-se que,
donde
(2.32)
que a Equao de Poisson, vlida para distribuies de cargas no vcuo. A
soluo dessa equao, no caso especial em que a distribuio de carga est imersa em uma regio ilimitada, dada pela Eq.(2.20), essa ltima tendo
surgido da prpria definio e clculo do potencial eletrosttico produzido por
uma distribuio de cargas. Mtodos de soluo da equao de Poisson em
casos envolvendo no s a existncia de distribuies de carga como tambm
a presena de superfcies condutoras e meios materiais distintos na regio de
interesse, sero tratados no Captulo 3.
2.4.3 Densidade de energia
Na Seco 2.3.4 obteve-se uma expresso para a energia eltrica
associada a uma distribuio de cargas existindo no espao sem fronteiras. A
expresso a obtida, envolvia uma integral volumtrica do produto das
grandezas e , calculada sobre o volume da distribuio, ou seja, expressa sob o ponto de vista da fonte do campo eletrosttico. Alternativamente,
pode-se imaginar essa energia como estando distribuda no espao de
existncia do campo. Para isso, considere-se a Eq.(2.27), que com o auxlio
da Eq. (2.30), pode ser posta na forma,
utilizando-se a Eq.(1.31), com , tem-se que,
e utilizando-se a Eq.(2.21) vem,
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
Nessa ltima expresso, importante observar que a integrao
realizada em todo o espao de existncia do campo eletrosttico. A integral
pode ainda ser posta na forma,
A primeira integral pode ser transformada em uma integral de
superfcie com base no teorema de Gauss, o que fornece,
Para distribuies de carga existindo em uma regio sem fronteiras, a
superfcie de integrao que aparece no primeiro termo envolve todo o espao
de existncia do campo. Portanto, essa superfcie tomada a uma
distncia R , com R medido desde o centro da distribuio at um ponto sobre a superfcie. Levando-se em conta que a distribuio localizada, o
potencial e campo eltrico para R assumem as respectivas formas assintticas,
onde q a carga total na distribuio. Com ,
fornecendo portanto,
(2.33)
A Eq.(2.33) representa a energia eltrica estabelecida por uma
distribuio de cargas,expressa no ponto de vista do campo
eletrosttico. Nesse ponto de vista, a energia interpretada como estando
distribuda em todo o espao. De acordo com essa interpretao, pode-se
definir umadensidade de energia,
(2.34)
que permite associar regies de alta ou baixa energia como aquelas exibindo
campos de alta ou baixa magnitude, respectivamente.
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
Considere-se, por exemplo, a obteno da energia associada a
distribuio de cargas do Exemplo 2.6, com o emprego da Eq.(2.33). O campo
em cada ponto do espao, obtido do Exemplo 2.3, dado por,
Utilizando-se a Eq.(2.33) vem,
que corresponde ao resultado previsto pela Eq.(2.28a).
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
2.5 Eletrosttica em Meios Materiais 2.5.1 Potencial e campo do dipolo eltrico
Um par de cargas de sinais opostos constitui um dipolo eltrico.
Dipolos na matria podem ser produzidos pela aplicao de um campo
eltrico nos tomos ou molculas constituintes, resultando em uma separao
dos centros de cargas positiva e negativa correspondentes. Dipolos assim
gerados, produzem campos que se superpem ao campo externamente
aplicado.
Em outros tipos de
materiais, a configurao
molecular de seus elementos
constituintes tal que os
centros de cargas so
intrinsecamente separados,
dando origem a dipolos
permanentes que existem
independentemente da
presena de um campo
externo. Quando um campo
externo aplicado nesses
materiais, os dipolos
permanentes, inicialmente
orientados desordenadamente,
tendem a alinhar-se com o
campo. Nesse processo o
campo produzido pelo
conjunto de dipolos
razoavelmente intenso,
superpondo-se ao campo
externo.
Em ambas as situaes o campo em um meio material constitudo de
dipolos diferente do campo externamente aplicado, devido ao campo de
reao no material. Dessa forma, para determinar-se o campo no interior ou
nas proximidades de um material constitudo de dipolos, necessrio analisar
as propriedades eltricas do elemento fundamental, eletricamente neutro, aqui
denominado de dipolo eltrico.
Com esse propsito considere-se o comportamento da funo potencial
e campo eletrosttico para o dipolo eltrico ilustrado na Fig.2.16. O potencial
no ponto P obtido a partir da Eq.(2.22),
e o campo eltrico obtido da relao,
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
Uma situao de interesse prtico ocorre quando a distncia do ponto
de observao origem grande comparada com a distncia de separao
entre cargas. Essa situao tpica daquela encontrada em meios materiais,
onde a distncia de separao tipicamente menor do que uma dimenso
atmica ou molecular, e a distncia ao ponto de observao corresponde a
escala macroscpica de variao das grandezas de campo. Reescrevendo-se a
funo potencial na forma,
,
com o auxlio da varivel auxiliar,
e com base na aproximao de Taylor em 1a. ordem
,
, vem
donde,
Define-se o momento de dipolo de uma distribuio de cargas pela
expresso geral,
Para o caso das duas cargas discretas ilustradas na Fig.2.15, essa
integral reduz-se a:
,
e a funo potencial pode ser reescrita na forma,
(2.35)
A Eq.(2.35) permite extrair as seguintes observaes:
Para uma carga puntiforme(monopolo eltrico), o potencial varia na
proporo 1/R
Para o dipolo eltrico, o potencial varia na proporo 1/R2
O campo eltrico obtido diretamente da Eq.(2.21) que em coordenadas
esfricas da forma:
que com o emprego da Eq.(2.35) resulta em
(2.36)
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
Alguns valores especficos assumidos pelo campo em sub-regies do espao
tridimensional esto ilustrados a seguir:
No plano z = 0 ,
Sobre o semi-eixo z > 0 ,
Sobre o semi-eixo z < 0 ,
As linhas de campo do diplo eltrico podem ser traadas em um plano
contendo o eixo z, com base na formulao desenvolvida na Seo 2.1.
Utilizando-se a Eq.(2.6), obtm-se,
que resulta na equao diferencial,
A equao descrevendo o comportamento de cada linha de campo,
resolvida por integrao direta da equao diferencial. Assumindo-se o valor
inicial , resulta em
donde
(2.37)
A forma assinttica do conjunto de linhas de campo, traadas no plano
contendo o eixo z, e obtidas da Eq.(2.37), est ilustrada na Fig.2.17.
Fig.2.17. Linhas de campo para o diplo eltrico obtidas a partir da Eq.(2.37)
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
2.5.2. Energia de interao entre
campo e diplo eltrico
Considere-se um diplo
eltrico imerso em uma regio de
campo, conforme ilustrado na
Fig.2.18. A energia de interao
entre campo e diplo pode ser obtida diretamente a partir da interpretao
fsica da funo potencial. A expresso, a ser obtida, serve para elucidar a
compreenso de fenmenos de interao de meios materiais com campos
eletromagnticos.
Na geometria da Fig.2.18, admite-se que o campo eltrico derivado
da funo potencial . A energia de interao U, a soma das energias potenciais das duas cargas que compem o diplo,
Assumindo-se que a funo potencial varie pouco sobre a distncia de
separao entre as cargas, pode-se utilizar a aproximao de Taylor em 1a.
ordem,
o que fornece
ou equivalentemente,
(2.38)
Da Eq.(2.38) nota-se que:
A energia mnima quando o diplo est alinhado com o campo.
A energia mxima quando campo e diplo so antiparalelos
Assim, a tendncia
natural do dipolo eltrico a
de orientar-se no sentido do
campo aplicado, pois esta a
condio em que a energia
de interao minimizada.
Pode-se determinar a
energia de interao entre
dois diplos a partir das
Eqs.(2.36) e (2.38). Considerando-se a configurao ilustrada na Fig.2.19,
fcil mostrar que a energia de interao da forma,
(2.39)
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
2.5.3. Campo de uma distribuio de dipolos - Vetor polarizao
Considere-se o caso mais
geral de uma distribuio de
dipolos em um determinado
volume V, conforme ilustrado na
Fig.2.20. Esta a situao obtida,
por exemplo, em meios materiais
isolantes neutros, cujo efeito
eltrico predominante aquele de
seus dipolos constituintes. Apesar
da natureza discreta da estrutura da
matria, do ponto de vista
macroscpico pode-se assumir que
os dipolos estejam distribudos
continuamente no interior do
volume V. Sob esse ponto de vista,
utiliza-se a descrio usual para o volume diferencial de um meio material, ou
seja, ele deve ser grande comparado com distncias interatmicas, e ainda
assim pequeno comparado com a escala tpica de variao das grandezas que
definem o campo eletrosttico.
Para computar-se o momento de dipolo lquido em um dado volume
diferencial dV' do material localizado no vetor posio , introduz-se
o vetor polarizao , definido pela relao:
(2.40)
Da definio dada pela Eq.(2.40), pode-se notar que a unidade SI dessa
grandeza o C/m2 . Dessa expresso, dado dV e o valor do vetor polarizao, obtm-se diretamente o momento de dipolo lquido no volume diferencial.
Assim, o vetor uma grandeza do tipo densidade volumtrica de dipolos,
que fornece a magnitude, direo e sentido do momento de dipolo lquido em
um volume diferencial dV. A menos da natureza vetorial, o vetor polarizao
fornece uma representao da densidade local de dipolos na matria, tendo
papel semelhante quele desempenhado pela densidade volumtrica de cargas
ou monopolos em um objeto carregado.
Utilizando-se a Eq.(2.35), com o auxlio da Eq.(2.40), obtm-se a
contribuio do volume diferencial dV para a funo potencial no ponto , na forma
e o potencial total naquele ponto obtido integrando-se as contribuies
elementares sobre o volume V, ou seja,
(2.41)
A Eq. (2.41) uma expresso simples que permite computar o
potencial, e por conseguinte, o campo eltrico da matria polarizada. Existem
materiais ferroeletricos que so capazes de reter polarizao, mesmo na
ausncia de um campo aplicado. Os tomos ou molculas destes materiais
formam dipolos permanentes que em princpio so orientados aleatriamente
devido as vibraes trmicas. Quando se aplica um campo no material,
suficiente para vencer o efeito trmico, possvel obter-se alinhamento dos
dipolos, que pode persistir mesmo na ausncia do campo externo.
Exemplo 2.7: Campo de uma placa
delgada polarizada
Como exemplo de
determinao da funo potencial e
campo eltrico da matria
polarizada, considere-se o caso do
disco delgado polarizado
uniformemente, conforme ilustrado
na Fig. 2.21, e a determinao do
potencial e vetor campo eltrico em
um ponto arbitrrio do eixo z..
Utilizando-se a Eq.(2.41),
com , tem-se
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
Realizando-se a integrao, obtm-se
Da expresso anterior, nota-se que o potencial no eixo z, apresenta os
valores limites:
a) :
onde, p representa o momento de dipolo do disco delgado. Uma inspeo da
Eq.(2.35) indica que essa ltima expresso representa, de fato, o potencial no
eixo z produzido por um dipolo localizado na origem.
b) :
O campo eltrico no eixo z obtido de:
donde,
com .
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
2.5.4. Cargas de polarizao e relaes constitutivas em meios materiais
Uma questo importante no
estudo de eletrosttica a
determinao de campos na presena
de meios materiais. Como discutido
na seo anterior, dipolos na matria
fornecem uma contribuio para o
potencial eletrosttico e o objetivo da
presente anlise caracterizar as
contribuies advindas de cargas
livres (monopolos) e de cargas
ligadas (dipolos). . Em essncia, um
meio material pode ser
caracterizado eletricamente como
formado por dipolos e monopolos,
em suspeno no vcuo.
Considere-se o volume V do
meio material contendo uma
distribuio de dipolos, caracterizada
pelo vetor polarizao , e uma
distribuio de cargas, caracterizada por uma densidade de cargas livres ,
conforme ilustrado na Fig.2.22 O potencial eletrosttico observado no
ponto obtido por superposio utilizando-se as Eqs.(2.20) e (2.41), o que
fornece,
(2.42)
Na segunda integral da Eq.(2.42) pode-se utilizar a relao,
com o operador atuando apenas nas coordenadas do ponto . Com base
nessa relao, a dependncia espacial do integrando do segundo termo da
Eq.(2.42) pode ser posta na forma,
Fazendo-se uso da Eq.(1.31),
com as substituies, , resulta em
Inserindo-se esta ltima expresso na Eq.(2.42) e arranjando-se os termos do
segundo membro, obtm-se,
A aplicao do teorema de Gauss, na segunda integral da expresso anterior
permite escrever a funo potencial na forma,
(2.43)
onde o vetor unitrio normal dirigido para fora da superfcie que limita o meio material, conforme ilustrado na Fig.2.22.
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
A Eq.(2.43) expressa a forma caracterstica com que o vetor
polarizao, representativo do meio material, contribui para a funo
potencial. O numerador do integrando do primeiro termo da Eq.(2.43)
representa uma densidade equivalente de cargas
(2.44)
com a densidade de cargas ligadas definida por,
(2.45)
Com essa identificao, a contribuio do volume do material para o
potencial ou campo eltrico em um ponto do espao aquela proveniente da
densidade equivalente de cargas, definida pela Eq.(2.44).
A integral de superfcie no segundo membro da Eq.(2.43) representa a
contribuio da superfcie do material para o potencial. O numerador do
integrando desse termo equivale eletricamente a uma densidade superfcial
de cargas ligadas
, (2.46)
Com a introduo da polarizao do material pode-se determinar de que
forma esse parmetro deve ser levado em conta na forma diferencial da lei de
Gauss, dada pela Eq.(2.30). Notando-se que o segundo membro dessa equao
representa a densidade volumtrica de cargas, com cargas livres e ligadas
simultaneamente levadas em conta, com base na Eq.(2.44) pode-se escrever a
Eq.(2.30) na forma
Inserindo-se a Eq.(2.44), com o auxlio da Eq.(2.45), na expresso
anterior obtm-se
Assim, a divergncia do vetor
(2.47)
depende apenas da densidade de cargas livres . Esse campo auxiliar
denominado de vetor densidade de fluxo eltrico, sendo medido em C/m2 no
sistema SI. Com a introduo do vetor , a lei de Gauss em forma
diferencial assume a forma
(2.48)
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
Com a introduo do vetor densidade de fluxo eltrico, a eletrosttica
fica descrita pelas Eqs.(2.48) e (2.31), levando-se em conta a relao
constitutiva, dada pela Eq.(2.47), entre os vetores . A vantagem de
introduzir-se o vetor densidade de fluxo eltrico que nesse novo ponto de
vista, a densidade de cargas que aparece em uma das equaes de Maxwell,
representa apenas as cargas livres, com o efeito das cargas de polarizao
sendo levado em conta na Eq.(2.47). Observe-se que o vetor campo eltrico
aquele que leva em conta todas as fontes de carga possveis na matria, ou
seja, livres ou ligadas. O vetor densidade de fluxo eltrico, por outro lado,
aparece como grandeza auxiliar, com divergncia diretamente relacionada a
densidade de cargas livres, facilitando assim o tratamento das equaes de
Maxwell.
A ttulo de ilustrao, considerando-se o exemplo da placa polarizada
ilustrada na Fig.2.19, pode-se identificar os tipos de cargas ligadas a
presentes. Nota-se, por exemplo, que a densidade volumtrica de cargas
ligadas nula, dado que,
Existe no entanto carga ligada distribuda em partes da superfcie da
placa, conforme discriminado a seguir:
Tampa superior:
Tampa inferior:
Fita lateral de altura t:
Ou seja, a placa delgada polarizada permanentemente equivalente,
sob o ponto de vista da eletrosttica, a dois discos uniformemente carregados,
imersos no vcuo, com cargas de sinais opostos e separados de uma
distncia t.
2.5.5. Tipos de meios materiais
Meios lineares
Existem certos materiais cujos tomos ou molculas constituintes
possuem os centros de carga positiva e negativa coincidentes, e
consequentemente estes materiais s se polarizam na presena de um campo
eletrosttico externamente aplicado. Quando um campo aplicado, induz-se
uma separao de cargas que em primeira ordem proporcional a intensidade
do campo. Consequentemente, para essa classe de materiais, o vetor
polarizao pode ser relacionado ao campo interno atravs de uma relao do
tipo,
(2.49)
onde o parmetro adimensional denominado de susceptibilidade
eltrica. Esse parmetro depende essencialmente da composio do material
considerado. Materiais cuja relao entre e obedece a Eq.(2.49), so
denominados de lineares. A relao entre e para meios lineares
obtida combinando-se as Eqs.(2.47) e (2.49), resultando em
(2.50)
onde
(2.51)
denominado de permissividade eltrica do material.
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
Meios isotrpicos e anisotrpicos
Um meio eletricamente isotrpico quando suas propriedades
dieltricas independem da direo do campo aplicado. Em materiais lineares
isotrpicos, valem as relaes dadas pelas Eqs.(2.49) e (2.50).
Existe no entanto uma classe importante de materiais em que a
propriedade dieltrica em uma dada direo depende no s do campo
aplicado nessa direo, como tambm das outras componentes de
campo. Nestes materiais, denominados de anisotrpicos, a relao entre
polarizao e campo aplicado assume a forma mais geral,
ou equivalentemente,
(2.52)
com, , e
(2.53)
representando o tensor susceptibilidade eltrica.
Com base na Eq.(2.47), a relao entre os vetores e pode ser
posta na forma matricial
(2.54)
com
(2.55)
representando o tensor permissividade eltrica e , a matriz identidade.
Meios homogneos
Se alm de linear e isotrpico, o meio tambm for homogneo, i.e., se
suas propriedades dieltricas independerem das coordenadas, as equaes da
eletrosttica podem ser escritas na forma,
,
,
o que fornece
com .
Essas relaes mostram que o potencial eletrosttico em um meio
linear, homogneo e isotrpico, satisfaz a Equao de Poisson. O segundo
membro dessa equao indica que no interior de meios dieltricos, o
potencial, e conseqentemente o campo eletrosttico, produzidos por uma
distribuio de cargas livres enfraquecido por um fator , com
respeito queles que seriam produzidos pela mesma distribuio de cargas, na
ausncia do material.
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
Meios no-lineares
A estrutura de materiais ferroeltricos tal que seus tomos ou
molculas constituintes exibem um momento de dipolo permanente. Na
ausncia de um campo externo, vibraes trmicas mantm os dipolos
orientados aleatoriamente, resultando em uma polarizao mdia nula. A
aplicao de um pequeno campo no material pode ser suficiente para vencer a
barreira trmica produzindo um alinhamento dos dipolos. O acoplamento dos
dipolos devido aos campos dipolares pode ser suficientemente forte, de forma
que retirando-se o campo externo, o material seja capaz de reter uma
polarizao residual que s pode ser quebrada revertendo-se o campo externo,
ou aquecendo-se o material ou atravs de choques mecnicos. Materiais desse
tipo, alm de serem capazes de reter polarizao permanente, exibem
uma relao no linear entre campo e polarizao. O tratamento de campos
eletrostticos na presena de tais materiais feito utilizando-se as equaes da
eletrosttica conjuntamente com a relao constitutiva mais geral expressa
pela Eq.(2.47).
2.6. Condies de Contorno
As equaes de
Maxwell, bem como a
equao de Poisson,
so equaes
diferenciais cujas
solues requerem o
conhecimento do
comportamento dos
campos nas fronteiras
da regio de interesse
ou mesmo na interface
entre materiais
exibindo propriedades
dieltricas
distintas. A forma
como feita a
transio de campos
entre meios distintos
ditada pelas condies de contorno examinadas a seguir. Para isso, considere-
se a interface entre os meios 1 e 2 conforme ilustrado na Fig.2.23. Nessa
figura esto desenhados um cilindro imaginrio de altura h e rea de
base S, bem como um caminho fechado C com segmentos de
dimenses l e h. Ambas as figuras esto parcialmente contidas em cada meio. As grandezas de campo, na regio bem prxima interface, so
representadas pelos vetores e , nos meios 1 e 2,
respectivamente. O vetor unitrio tangente interface representado pelo
parmetro , com representando o vetor unitrio normal interface,
dirigido do meio 1 para o meio 2.
Utilizando-se a lei de Gauss
com correspondendo superfcie cilndrica mostrada na Fig.2.23, no limite
em que h 0, obtm-se
No primeiro membro dessa ltima relao, utilizou-se o fato de a
contribuio da superfcie lateral para o fluxo total tender a zero , no
limite h 0. No segundo membro, admitindo-se a existncia de uma
densidade superficial de carga , ento,
resultando na condio de contorno para o vetor densidade de fluxo
eltrico,
(2.56)
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
A Eq.(2.56) indica que a componente normal do vetor densidade de
fluxo eltrico descontnua se existir densidade superficial de carga na
interface de separao dos meios. Essa situao pode ocorrer, por exemplo,
na interface entre meios condutores, ou naquela entre um condutor e um no-
condutor. Se ambos os meios so no-condutores, ento = 0, e da
Eq.(2.52), conclui-se que a componente normal do vetor contnua.
Aplicando-se a Eq.(2.24) para o caminho fechado mostrado na
Fig.2.23, obtm-se
uma vez que a contribuio para a integral de linha dos segmentos normais
interface tende a zero no limite h 0. Assim,
Essa ltima relao indica que a componente tangencial do vetor
campo eltrico contnua na interface entre dois meios quaisquer. Indica
tambm que o vetor perpendicular ao vetor , ou
equivalentemente, , i.e.,
(2.57)
Um caso particular importante para as condies de contorno dadas
pelas Eqs.(2.56) e (2.57) ocorre quando a fronteira de interesse formada
entre um meio condutor e um meio isolante. Como o campo no interior de um
condutor nulo no regime esttico, no meio isolante, os campos assumem os
seguintes valores na interface de separao,
Se o meio isolante for linear, ento .
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana
Problemas
2.1) Um fio retilneo semi-infinito tem carga uniformemente distribuda
com densidade (C/m). Defina um sistema de coordenadas apropriado e determine o vetor campo eltrico no plano perpendicular ao fio e que
contenha uma de suas extremidades.
2.2) Carga distribuda com densidade s = k (C/m2), na superfcie R = a ,
, 0 2. Determine: a) a carga total na superfcie
b) o vetor campo eltrico na origem.
2.3) Carga distribuda com densidade s = kcos (C/m2), na
superfcie R = a . Determine
a) a carga total na superfcie.
b) o vetor campo eltrico na origem.
2.4) Uma carga puntiforme q est localizada na origem de um sistema de
coordenadas. Considere o cubo com vrtices nos pontos:
(-1,-1,-1); (1,-1,-1); (-1,1,-1); (1,1,-1); (-1,-1,1); (1,-1,1); (-1,1,1); (1,1,1)
Determine o fluxo eltrico atravs da face do cubo definida por {z = 1, -1
x 1, -1 y 1}.
2.5) Uma carga q est localizada no ponto (0,0,0) e uma carga q, no ponto (0,2,0). Determine o fluxo eltrico atravs da superfcie definida pelas
condies
{y = 1, -1 x 1, -1 z 1}, admitindo que o vetor rea diferencial associado a essa superfcie aponte
no sentido +y.
2.6) Um plano infinitamente extenso tem carga uniformemente distribuda
com densidade s = k(C/m2). Uma carga puntiforme q est localizada a uma
altura h do plano. Admitindo que a carga puntiforme no distora a
distribuio de cargas no plano, calcule a fora exercida pela carga sobre o
plano.
2.7) Dois fios retilneos, infinitamente longos e paralelos tm cargas
distribudas e localizaes definidas pela tabela seguinte. Determine:
a) o vetor fora por unidade de comprimento exercida pelo fio 1 sobre o
fio 2.
b) o vetor campo eltrico resultante no plano y=0 para os
casos 1 = 2 e 1 = 2.
Fio Localizao Densidade linear de carga(C/m)
1 x = 0, y=a 1
2 x = 0, y = a 2
2.8) Carga distribuda na regio {r a , < z < }, com
densidade =k(r/a) (C/m3). Determine o vetor campo eltrico dentro e fora da regio de carga.
2.9) Carga distribuda na regio a R b com densidade =k(R/b) (C/m3). Determine:
a) a carga total na regio a R b. b) o vetor campo eltrico nas regies, 0 R a, a R b e R b.
2.10) Considere a existncia de
uma carga puntiformeQ imersa no
vcuo e localizada no centro de um
cilindro imaginrio de altura 2L e
raio a. Determine o fluxo eltrico
atravs da superfcie lateral do
cilindro.
2.11) Considere a existncia de
uma distribuio uniforme de
cargas no interior da esfera de
raiob. Calcule a poro do fluxo
eltrico para fora do cilindro
imaginrio de raio a e altura 2L que
atravessa suas tampas superior e
inferior, admitindo o cilindro imerso
no interior da distribuio, conforme
ilustrado na figura.
2.12) Considere a existncia de um campo eltrico no espao
tridimensional, dado por,
a) qual a carga total envolvida por um cilindro imaginrio de raio a e
altura 2L , com eixo de simetria sobre o eixo z e existente na regio -L
< z < L.
b) que tipo de distribuio produziria este campo e qual a sua localizao
no espao?
2.13) Para a distribuio
de carga definida por:
a) determine o vetor
campo eltrico em todo o
espao.
b) faa um esboo da
dependncia em zda(s)
componente(s) do vetor
campo eltrico.
2.14) Carga distribuda
em todo o espao com
densidade volumtrica
dada por,
, onde 0 (C/m3) e (1/m3) so constantes e R mede a distncia de um
ponto no espao origem. Determine o vetor campo eltrico em todo o
espao.
2.15) Uma distribuio esttica de cargas est distribuda em todo o espao
com densidade volumtrica dada por, , onde 0 (C/m3) ,
(1/m3) e a (m), so constantes er mede a distncia de um ponto sobre o plano xy origem. Determine o vetor campo eltrico em todo o espao.
2.16) Considere um fio finito de comprimento l, com densidade linear de
carga constante em todo fio. Defina um sistema de coordenadas adequado
e determine a funo potencial e o vetor campo eltrico produzidos por
esta distribuio.
2.17) Carga distribuda com densidade s = kcos (C/m2), na
superfcie R = a . Determine:
a) o potencial eletrosttico em um ponto sobre o eixo z, interior ou
exterior a esfera.
b) o vetor campo eltrico correspondente no eixo z.
2.18) Considere um anel de cargas de raio a, com uma densidade linear
uniforme . Calcule o trabalho realizado por um agente externo fictcio para trazer uma carga q de um ponto infinitamente distante at o centro do
anel.
2.19) Oito cargas puntiformes, cada uma com q coulombs, esto dispostas
nos vrtices de um cubo de lado a. Determine a energia potencial eltrica
desse sistema de cargas.
2.20) Para a distribuio de cargas da questo anterior, qual seria o trabalho
realizado por um agente externo fictcio para trazer uma carga q0 de um
ponto infinitamente distante, at o centro do cubo?
2.21) Carga distribuda uniformemente com densidade na regio
definida pelas equaes, , onde e so as
coordenadas radial e polar no sistema de coordenadas esfricas. Determine
o potencial e o vetor campo eltrico sobre o eixo z. Qual a energia
necessria para se trazer uma carga q de um ponto remoto at o ponto de
coordenadas, R=a, ?
2.22) Carga distribuda uniformemente com densidade no interior da
regio definida pelas equaes, , onde r e z so as
coordenadas radial e axial no sistema de coordenadas cilndricas.
Determine o potencial e o vetor campo eltrico no eixo z.
2.23) Para a distribuio de cargas do problema anterior, qual a energia
necessria para se mover uma carga de teste q do centro da distribuio at
o ponto de coordenadas, ?
2.24) Considere uma casca esfrica limitada pelas superfcies R = a e R = b,
com b>a. Nessa regio, carga distribuda uniformemente com densidade
0 (C/m3). Admitindo o ponto de vista do campo, onde a energia
eletrosttica considerada como distribuda no espao, determine:
a) a densidade de energia eletrosttica nas regies R a, a R b e R b.
b) as respectivas pores de energia eletrosttica contidas nas
regies R a, a R b e R b 2.25) Considere um cilindro de altura h e
raio a, exibindo um vetor polarizao
permanente dada por , conforme
ilustrado na figura. Determine o potencial
eletrosttico em um ponto sobre o eixo z, dentro
ou fora do cilndro.
2.26) Considere dois dipolos e ,
separados por uma distnciad, e um vetor
unitrio dirigido ao longo da linha de separao
entre e . Dado que os dipolos esto
alinhados sobre retas paralelas, determine os
ngulos entre e de forma que a energia de
interao seja nula.
2.27) Para o cilindro polarizado do problema 2.25, determine o trabalho que
seria realizado por um agente externo fictcio para transportar uma carga
de teste q0 de um ponto no centro da tampa inferior at um ponto no centro
da tampa superior.
2.28) Uma esfera isolante de raio a, com centro na origem, polarizada
permanentemente com vetor polarizao constante . Determine os
vetores campo eltrico e densidade de fluxo eltrico na origem.
2.29) O espao entre duas superfcies condutoras esfricas concntricas de
raios a e b preenchido com um dieltrico de
permissividade . Admitindo a esfera externa aterrada e a interna submetida a um potencial V, determine as densidades superficiais de carga
de polarizao nas duas superfcies do dieltrico.
2.30) Calcule os momentos de dipolo eltrico para o cilindro do problema
2.25 e para a esfera do problema 2.28.
2.31) Para um conjunto de cargas discretas qi (i=1,2,3,...N), localizadas nos
pontos (i=1,2,3,...N), o momento de dipolo pode ser calculado da
expresso
e para uma distribuio contnua de cargas definida pela funo
densidade ocupando um volume V, o momento de dipolo pode ser
calculado da relao
Utilizando essas definies determine os momentos de dipolo para os
sistemas de cargas mostrados na figura seguinte.
Prob. 2.31
Copyright Verso Impressa 1994 by Eduardo Fontana
Copyright Verso ebook 2011 by Eduardo Fontana