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Page 1: 1 A Transformada-Z Transformada de Fourier Transformada-Z Transformada-Z reduz-se á transformada Fourier Caso especial da Transformada-Z

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A Transformada-Z

n

njj enxeX ].[

Transformada de Fourier

n

nznxzX ].[

Transformada-Z jez

]}[{ nxZzX

][nxzX Z

Transformada-Z reduz-se á

transformada Fourier

Caso especial daTransformada-Z

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A Transformada-Z

Transformada Z Determinação de zeros e pólos Analise de estabilidade de sistemas discretos

Transformada de Fourier Permite funções generalizadas (diracs) Estudos de sistemas com entradas sinusoidais, por

exemplo modelação e desmodelação Resposta em frequência de sistemas

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Transformada-Z de uma exponencial

11

1101

0

1

1

1

1

][

zaza

zaza

zazkuazXk

k

k

kk

Para a série ser absolutamente somável devemos ter

azza 11

11

011

11

1

1

1

]1[

zaza

zaza

zazkuazXk

k

k

kk

Para a série ser absolutamente somável devemos ter

azza 11

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Região de Convergência (ROC)

Region of Convergence (ROC)

Zona para a qual a série converge Corresponde sempre a um disco (sem as fronteiras) Quando contém o circulo unitário existe transformada de

Fourier

Sequência direita x[n]=0, n<n0

|z|>a

Sequência esquerdax[n]=0, n>n0

|z|<a

Sequência bilaterala<|z|<b

-10 -5 0 5 100

0.5

1

-10 -5 0 5 100

0.5

1

0 5 10 15 200

0.51

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Região de convergência

Para a série convergir temos de ter

n

nznx ].[

n

nznx ][

Ou seja

Pelo que a região só depende do módulo de z, e portanto corresponde a discos centrados na origem

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Transformada-Z Racional

Em muitos casos práticos podemos representar a transformada-Z por uma função racional.

)(

)(

zQ

zPzX

Zeros de Q pólospólos da transformada, X(z) Zeros de P zeroszeros da transformada A ROC não pode conter pólos, estando limitada estando limitada

por estespor estes.

Corresponde aos casos em que x[n] pode ser expresso como uma soma de

exponenciais complexas

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Pólos e Zeros

Zeros

Pólos

O ROC está limitada pelos pólos!

Os pólos permitem analisar a

estabilidade do sistema

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-1-0.5

00.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1-2

0

2

4

6

8

10

Pólos e Zeros

)5.05.0)(5.05.0(

5.0)(

iziz

zzH

zero

pólo pólo

Pólos:0.5-0.5i e 0.5+0.5i

Zero: -0.5

RealImaginário

Gráfico do valor absoluto da

transformada-z de uma função racional

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Transformada-Z de Alguns Sinais

Consultar o Livro para uma tabela mais completa

Sequência Transformada ROC

][n 1

][nuan1.1

1 za

][. nuan n

21

1

.1

.

za

zaaz

az

]1[ nuan1.1

1 za

az

]1[. nuan n

21

1

.1

.

za

zaaz

Pólo em ‘a’

Pólo duplo em ‘a’

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Inversão da Transformada-Z

Por Tabelas (casos simples) Expansão em fracções parciais (funções racionais)

Expansão em série (polinómios) Resolução numérica da equação às diferenças

correspondente. Formula….

Nota: (não esquecer a ROC)

1

011

1

.1)(

M

i

ik

N

k k

k zazd

AzH

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Inversão da Transformada-Z

Expansão em fracções parciais (funções racionais)

1

0111

11

.1)(

)()(

M

i

ik

N

k k

k zazd

A

zQ

zPzH

Termo surge apenas quando ordem de P é

maior que de Q

Pólos, dk simples e distintos

Cada um dos termos pode-se inverter recorrendo a tabelas

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Propriedades da Transformada-Z

Diferenciação de X(z)

Deslocação no tempo Inversão no tempo

Convolução no tempo

Multiplicação por exponencial

21

22112211

contém

)(.)(.][][

RxRxROC

zXazXanxanxa Z

X

nZ

RROC

zXznnx

)(][ 0

0

Linearidade

X

Zn

RzROC

zzXnxz

0

00 )/(][

X

Z

RROCdz

zdXznxn

)(

][

X

Z

RROC

zXnx

/1

)/1(][ ***

21

2121

contém

)()(][*][

RxRxROC

zXzXnxnx Z

Valor inicial

0,0][se

),()1(lim]0[ 1

nnx

zXzxz

Conjugação)(][ *** zXnx Z

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Função de Sistema

A transformada Z da resposta impulsiva de um sistema designa-se por, função de sistema, H(z)função de sistema, H(z)

A função de sistema é equivalente à função de função de transferênciatransferência quando Z se encontra no circulo unitário.

][)( nhTZzH

jez

j zHeH

)()(

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N

k

kk

M

m

mmM

m

mm

N

k

kk

za

zb

zx

zyzHzzxbzzya

0

0

00 .

.

)(

)()().()(.

Resolução de Equações às Diferenças

M

mm

N

kk mnxbknya

00

][.][.

TZFunção de

sistema

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Resolução de Equações às Diferenças

Para o caso de condições iniciais não nulas existe um regime transitório:

N

p

nppF zanyny

0

][][

Regime transitório(zp – pólos de H(z))

Resposta forçada

O regime transitório é formado por uma soma de exponências complexas de bases que correspondem aos pólos do sistema, zp.

Os coeficientes da resposta ap podem ser obtidos atravez da resolução de um sistema de equações obtido atravez da aplicação das condições iniciais do sistema.

Num ponto do futuro relativamente as condições inicias (sistema causal)

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Regime transitório

Temos que:

Y(z)=H(z) X(z) Apenas pode existir sinal y para x(z)=0, se H(z)=

ou seja para os pólos de H(z)!!

Se o pólo estiver fora do circulo unitário a saída cresce sem limites sistema instável

N

p

npp za

0

Para ajudar a relembrar

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Estabilidade

Sistema causal e estável

Pólos dentro do circulo de raio Pólos dentro do circulo de raio unitáriounitário

Sistema de fase mínima (causal) Sistema estável e de inversa causal e estável Pólos e zeros dentro do circulo de raio unitário Notar que a inversa de um sistema que não é de fase mínima

pode ser considerado como sistema não causal ou um sistema instável dependendo da ROC escolhida.

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Estabilidade

A resposta impulsiva de um sistema estável tem transformada Z

A ROC de um sistema estável contem o circulo unitário (tal permite testar a estabilidade de sistemas causais e não causais)

Notar que: a resposta impulsiva de sistema causal é um sinal direitosinal direito e portanto a ROC é externaROC é externa o que implica que os pólos devem estar no interior do circulo unitário

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Estabilidade

Sistemas estáveis Sistemas instáveis

Sis

tem

a ca

usal

Circulo raio unitário

ROC

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Inversão de Sistemas

Sistema de fase mínima:Sistema de fase mínima:Pólos e zeros dentro do

Circulo unitário

São estáveis e causais e têminversa estável e causal

Sistema de fase não mínima:Sistema de fase não mínima:Zeros fora do Circulo unitário.

Não tem inversa estável e causal.Mas têm inversa não causal e estável, ou instável e causal….

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.5

1

Inversa não

causal..

h[n]


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