1
MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL
Movimento de um projétil Componentes da velocidade inicial Movimento horizontal Movimento vertical Alcance Altura máxima
2
MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL
3
MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL
A bola faz uma trajetória curva
Para analisar este movimento consideraremos que
• a aceleração g é constante durante o intervalo do movimento e direcionada para baixo
• o efeito da resistência do ar é desprezável
Com estas suposições a trajetória do projétil é sempre uma parábola
444
Fotografia estroboscópica de bolas de ping-pong
A Figura mostra que a trajetória da bola é uma parábola
A fotografia estroboscópica regista a trajetória de objetos em movimento
555
yyxx evevv
000
0
0v
Componentes da velocidade inicial
xe
ye
0
00cos
v
v x0
0
0sinv
v y
As componentes iniciais x e y da velocidade são
000 sinvv y 000 cosvv x
Analisamos o movimento em cada uma das dimensões separadamente
0v
6
ANÁLISE DO MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL
MOVIMENTO HORIZONTAL
0xaNa horizontal não há aceleração, portanto
000 cosvv x
tvxtx x00
tvxx 000 cos
mas
MRU
7
Na ausência da resistência do ar, a partícula fica sujeita apenas à aceleração de queda livre, verticalmente, para baixo.
gay
A componente y da velocidade da partícula varia com o tempo devido a aceleração, logo:
MOVIMENTO VERTICAL
gtvv yy 0
200 2
1gttvyty y
000 sinvv y como
gtvvy 00 sin
A coordenada y da partícula será
2000 2
1sin gttvyty ou
MRUV
888
EQUAÇÕES DE MOVIMENTO DO PROJÉTIL
constante cos 000 vvvxxComponente horizontal da velocidade
Componente vertical da velocidade gtvgtvv yy 000 sin
Componente vertical da posição
tvxtvxtx xx 00000 cosComponente horizontal da posição
2000
200 2
1sin
2
1gttvygttvyty y
Movimento retilíneo uniforme na horizontal (MRU)
Movimento retilíneo uniformemente variado na vertical (MRUV)
9
O diagrama mostra movimento de um projétil perto da superfície da Terra
1010
Exemplo1: Movimento de um projétil
11
Exemplo 2:
1212
Duas esferas saem simultaneamente da mesma altura
A bola move-se horizontalmente enquanto está caindo, mas isso não interfere no seu movimento vertical
porque os movimentos horizontal e vertical são independentes entre si.
131313
Fotografia estroboscópica das esferas que saem simultaneamente da mesma altura
As duas esferas chegam ao mesmo tempo ao solo
As duas esferas saem sob a ação da gravidade
A cada instante as esferas têm a mesma altura
A esfera rosa é solta v0y = 0
(queda livre)
A esfera amarela tem velocidade inicial horizontal v0x
1414
Exemplo 3: Quando um avião em deslocamento horizontal com velocidade constante deixa cair um pacote com medicamentos para refugiados em terra, a trajetória do pacote vista pelo piloto é igual à trajetória vista pelos refugiados?
Não. O piloto verá o pacote descrever uma trajetória retilínea vertical:
Os refugiados verão o pacote descrever um movimento horizontal uniforme e um vertical uniformemente acelerado, a visão será de uma trajetória parabólica:
1515
Visão do piloto e visão dos refugiados
1616
O tempo para atingir a altura máxima y=h (quando ) :
16
Alcance e altura máxima dum projétil
0
0v
ALTURA MÁXIMA
0yv
g
vh
2
sin 0
220
g
v
g
vg
g
vvh
2
sinsin
2
1sinsin
200
2
000000
hhyy
yy
gtvgtvv
gtvv
000
0
sin
0yv
sin
sin0
00
00
vgt
gtv
h
h
g
vth
00 sin
Substituindo th na outra expressão
2
1sin
2
1sin 2
002
000 hh gttvhgttvyy (y=h e y0=0)
1818g
vR 0
20 2sin
ALCANCE
22 htt
g
vvR 00
00
sin2cos
tvxtvxx xxx 00000 cos
)2(cos)2( 000 hhx tvtvR
g
v 00 sin0
0v
00 yv
R é o alcance - distância horizontal percorrida pela partícula até chegar à altura inicial
O movimento é simétrico a partícula leva um tempo th para subir e o mesmo tempo th para cair ao mesmo nível
Portanto o tempo para percorrer R é
191919
Um projétil lançado da origem com uma velocidade escalar inicial de m/s 50para vários ângulos 0
Os ângulos complementares (somam 90 graus) dão origem ao mesmo valor de R
22 0 / o450
g
vR
2
max0
0
2
2sin0 g
vR
1for quando máximo é 2sin 0
Alcance máximo Rmáx
O que acontece quando
20
Exemplo 4: ALCANCE PARA OS ÂNGULOS DE 30, 45 , 60
21
Examplo 5. Um cão está correndo na rua, e de repente dá um salto com uma velocidade inicial de 11 m/s fazendo um ângulo de 300 com a horizontal. Em que ponto o cão entra em contato com o solo depois do salto?
vo = 11 m/s
q =300
vox = 11 cos 300
voy = 11 sin 300
4.9 t = 5.50
Com a ajuda do esquema ao lado, determinamos as componentes da velocidade inicial:
vox = 9.53 m/s
voy = 5.50 m/s
a = g=-9.8 m/s2
4.9 t2 = 5.50 t
200 2
1attvyy y )8.9(
2
1)5.5(0 2tt
2m/s 4.9
m/s 5.50 t
É preciso determinar o tempo que o cão leva para dar o salto
t = 1.12 s
22
Examplo 5 (Cont.)
v = 10 m/s
q =310
x = vxt; t = 1.12 s
vox = 10 cos 310
voy = 10 sin 310
x = (9.53 m/s)(1.12 s) = 10.7 m
Alcance do cão:
vx =vox = 9.53 m/s
A velocidade horizontal é constante
Assim:
O alcance é x = 10.7 m
Exemplo 6. Um canhão atira esferas com velocidade v0 = 100 m/s. a) Determine o alcance máximo da esfera. b) Mostre que existem dois ângulos possíveis para atingir um alvo à uma distância d = 800 m, menor que a distância máxima.
a) Determine o alcance máximo da esfera
tvtvxtvxx xx )45(cos)(cos 000000
O alcance é máximo quando 450
)7071.0(m/s 100 tx tx 71.70
23
2
1sin 2
000 gttvyy Cálculo de t
02
1sin
2
1sin 00
200
tgtvgttv
2
1sin00 2
00 gttv
s 43.14m/s 8.9
45sinm/s 1002sin22
200
g
vt
Substituindo em x: m102043.1471.7071.70 tx
242424
b) Mostre que existem dois ângulos possíveis para atingir um alvo à uma distância d = 800 m, menor que a distância máxima.
e o ângulo complementar
tvxtvxx xx )(cos 00000
ttvx 000 cos 100cos
2
1sin 2
000 gttvyy
m/s 8.9
sin 1002sin22
000 g
vt
2
1sin00 2
00 gttv
cos100800 0t
0sin41.20 t
t0cos8
Substituo t na outra equação :
41.20
8cossin
)sin41.20)(cos(8
00
00
2
7839.02sin41.20
82cossin2 000
o01
o01 26 522 ooo
02 642690 -
252525
Exemplo 7. Uma pedra cai dum penhasco com velocidade v = 10 m/s na horizontal. a) Descreva o movimento, ou seja, determine vx(t), vy(t), x(t) e y(t). b) Obtenha os ângulos e de e com a horizontal em t =1.0 s.
v
r
a) Descreva o movimento, ou seja, determine vx(t), vy(t), x(t) e y(t) e os vetores e .
r
v
As componentes da velocidade são:
tgtgtvv oyy 8.90 m/s 10xv
m/s )8.910( yxyyxx eteevevv
Velocidade:
As componentes do vetor posição são:
tttvxx xx 1010000
2
2200
9.4
8.92
100
2
1
t
tgttvyy y
Posição: m ) 9.4 10( 2
yxyx eteteyexr
26
m ) 9.4 10( 2
yxyx eteteyexr
b) Obtenha os ângulos e que e fazem com a horizontal em t =1.0 s.
' r
v
x
ytg
Obtemos a partir do vetor posição que
-0.49s) 1)(49.0(
49,010
9.4
t
o26
m/s )8.910( yxyyxx eteevevv
Obtemos a partir da velocidade que
-0.98s) 1)(98.0(98,010
8.9 t
v
vtg
x
y o44'