Transcript
Page 1: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Débora Lima Queiroz

Érica Martins Cavalcante

Orientadores: Pedro André Martins Bezerra

Decio Haramura Júnior

Tutor: Prof. Dr. José Carlos Teles Campos

Page 2: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Introdução

Os métodos numéricos são utilizados para encontrar soluções aproximadas para problemas de difíceis soluções analíticas. A escolha do método numérico está diretamente relacionada ao problema em questão. Este trabalho tem como função a utilização de um método numérico cuja principal característica é a resolução de equações diferencias parciais como a Equação de Poisson, Equação de Laplace, Equação de Helmholtz, Navier-Stokes, etc...

Page 3: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Método dos elementos finitos

Page 4: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Índice

História;

Condições de Contorno;

Método de Galerkin;

Método dos Elementos Finitos;

Mecânica dos Sólidos;

Generalizações;

Motor de Relutância;

Aplicação;

Bibliografia;

Page 5: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

História

Em 1909 Ritz desenvolveu um método efetivo para soluções de problemas de mecânica e deformações de sólidos. Uma das principais restrições do método de Ritz é que as funções devem utilizar as condições de contorno do problema.

Em 1943 Courant aprimorou o Método de Ritz através da introdução de equações lineares e definição de regiões triangulares e aplicou o método para definições de problemas de torção.Os valores antes desconhecidos foram definidos como os nós das extremidades dos triângulos.Eliminando, assim, a principal restrição do método de Ritz.

Em 1960 o termo "elemento finito" foi utilizado pela primeira vez para definir esse método.

Page 6: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

História

Uma outra vertente desse método surgiu também na década de 1940 com o método de Galerkin para soluções de equações diferenciais parciais gerais, e não só aplicadas a área de Engenharia Civil.Ficou conhecido como método residual.

A principal razão para a não utilização do método até 20-30 anos atrás é a sua complexidade matemática, mas esse problema foi solucionado com o uso de computadores de maior capacidade.

Page 7: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Método dos Elementos Finitos

Definição

É a solução de equações diferenciais

parciais pela divisão de um domínio

contínuo em subdomínios discretos de

formas geométricas conhecidas.

Page 8: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Método dos Elementos Finitos

Discretização do

domínio

Escolha das funções

de interpolação

Formulação do

sistema

Solução do

problema

Page 9: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Condições de Contorno

Problemas de valor de contorno são caracterizados

pelo fato de que as condições de contorno são

fixadas nos extremos do intervalo considerado.

Condições de contorno de Dirichlet

Valores da variável dependente

Homogêneas

Page 10: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Condições de Contorno

Não-Homogêneas

Condições de contorno de Neumann Valor da derivada normal da variável

Page 11: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Método de Galerkin

•Equação de Poisson

•Condições de contorno

•Cálculo do residual

em

em

Page 12: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Método de Galerkin

Usando a definição de residual

Aplicando as condições de contorno

Page 13: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Método de Galerkin

Sc = b

Page 14: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Funções de Base

Método Clássico de Galerkin Extensão do método das séries de Fourier;

Funções de base definidas e com valor diferente de zero em todo domínio;

Não existe um método sistemático para a escolha das funções de base;

A escolha inadequada pode levar a um sistema de equações mal-condicionado(difícil solução ou até mesmo impossível);

Possui uso restrito em casos práticos.

Método dos Elementos Finitos Funções de base definidas de forma sistemática;

Sistemas de equações numericamente estáveis e fáceis de resolver;

Funções com valores diferente de zero em uma pequena parte do domínio;

1D- Subintervalos;

2D- triângulos, quadriláteros e elementos curvilíneos;

3D- tetraedros, hexaedros, prismas, elementos curvilíneos.

Page 15: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Discretização – Caso Geral

Os valores de phi são as variáveis locais nodais que podem ser também chamadas de

grau de liberdade de um elemento

Onde N são as funções locais de forma

Page 16: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Discretização – 1D

•Problema Inicial e condições de contorno

•Discretização linear

Page 17: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Discretização- 1D

•Isolando os coeficientes

•Substituição na função

Page 18: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Discretização- 1D

•Determina-se:

•A função φkN0 corresponde a função ϕ

Page 19: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Discretização – 1D

•Variáveis locais e globais

Page 20: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Discretização- 1D

com

•Analogamente para estrutura

para

Page 21: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Discretização- 1D

•Primeiro elemento •Último elemento

Page 22: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Discretização- 1D

Page 23: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Discretização- 2D

•Dada uma equação de Poisson

Considerando

e

•Condições do elemento

Page 24: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Discretização- 2D

•Triangular

•Mudança de base

Page 25: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Discretização 2D

Page 26: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Discretização 2D

Page 27: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Funções de Base

Page 28: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Funções de Base

Page 29: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Comparação entre MDF e MEF

O método das diferenças finitas é uma aproximação para as equações diferenciais, já o método dos elementos finitos é uma aproximação para suas soluções.

A característica mais atrativa do método das diferenças finitas é que ele pode ser facilmente implementado.

A característica mais atrativa no MEF e o fato do mesmo pode ser aplicado para corpos de geometria complexa, enquanto que o MDF fica restrito a problemas de geometrias retangulares ou simples distorções.

Os fundamentos matemáticos do MEF são mais concisos devido a sua melhor aproximação pelos pontos de sua malha.

Os resultados são geralmente mais precisos(mais bem aproximados) pelo MEF, porém existem exemplos em que a aplicação do MDF é mais coerente, devido a sua estreita dependência aos valores de contorno.

Page 30: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

APLICAÇÃO

Page 31: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Motor rotacional de relutância

variável

Motores de dupla saliência;

Enrolamentos concentrados

nos pólos do extrator ou do

rotor;

Sua operação é baseada no

principio de relutância

mínima;

Para o motor se mover com

rotação contínua deve-se

energizar sequencialmente

os enrolamentos do estator

em sincronismo com a

posição do rotor

Page 32: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Motor rotacional de relutância

variável

Pontos Positivos Baixo custo de fabricação;

Cerca de 60% do custo da produção de motores CC e CA.

A ausência de imãs e enrolamentos no rotor permitem a queda de custo com material.

Efeitos mínimos com a temperatura; Limitada a variação de resistência do estator;

Operação em altas velocidades; Limitada por cinco fatores principais:

– Perdas no núcleo e ventilação;

– Rolamentos dos mancais;

– Dinâmica do eixo do rotor;

– Resistência mecânica do material do rotor;

– Capacidade VA do conversor.

Tolerância a faltas; No caso de um curto circuito em um enrolamento da fase não haverá grandes conseqüências à máquina, como aconteceria em máquinas permanentemente excitadas ou motores de indução.

Baixa inércia;

Fácil reparo.

Page 33: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Motor rotacional de relutância

variável

Pontos Negativos:

Necessidade de conversor para acionamento;

Pequeno entreferro(distancia entre o motor e o estator);

São mais sensíveis a variação do entreferro e qualquer variação afeta o balanço entre as fases e pode gerar um aumento no nível de ruído.

Estrutura duplamente saliente;

Gera aumentos no ruído audível;

Necessidade de um sensor de posição ou de um método para identificação de posição;

Não pode ser operado diretamente na rede elétrica;

Havendo a necessidade de um conversor que adiciona custo ao acionamento como um todo.

Altas perdas por ventilação a velocidades superiores.

Page 34: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Motor rotacional de relutância

variável

Objetivos da aplicação do MEF:

Calcular a indutância, para as posições

alinhada e desalinhada;

Análise do comportamento do motor com

VARIAÇÃO DO NÚMERO DE ESPIRAS

VARIAÇÃO DO ENTREFERRO

VARIAÇÃO DO ARCO POLAR DO ROTOR

VARIAÇÃO DA CORRENTE DE FASE

(EXCITAÇÃO)

Page 35: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Motor rotacional de relutância

variável

Motor de

relutância de

Praveen

Vijayraghavan

Page 36: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Motor rotacional de relutância

variável

Page 37: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Motor rotacional de relutância

variável

•Marcação dos nós no

FEA

Page 38: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Motor rotacional de relutância

variável

•Subdivisão em elementos

finitos

Page 39: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Motor rotacional de relutância

variável

Comportamento das linhas de fluxo

(a) posição desalinhada; (b) posição alinhada

(a) (b)

Page 40: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Motor rotacional de relutância

variável

Resultados

Analíticos

(Vijayraghavan

2001)

Resutaldos

utilizando o

FEMM

(TEIXEIRA 2008)

Resultados

usando software

FEA

Indutância

desalinhado

15.9 mH 16,09 mH 16.18 mH

Indutância

alinhado

83.8 mH 80,55 mH 84.92 mH

Cálculo da indutância

Page 41: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Conclusão

O método dos Elementos finitos pode

ser bastante aplicado à área de

Engenharia Elétrica. Pois soluciona

equações diferenciais parciais como as

de Laplace e Poisson, extremamente

utilizadas em problemas de

eletromagnetismo, com uma

aproximação bastante próxima do real

ou analítico.

Page 42: 2008.1 - Método Dos Elementos Finitos

Bibliografia

SCHÄFER, Michael. Computational Engineering –Introduction to Numerical Methods. John Wiley & Sons, 2006.

COOK,Robert Davis.Finite Element modeling for stress analysis. John Wiley & Sons

O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor, and J.Z. ZhuThe Finite-Element-Method (Vol. 1, 2, 3)6th edition, Elsevier Butterworth-Heinemann, Oxford, 2005

PEREIRA,Luís Alberto.Método dos elementos finitos aplicado ao eletromagnetismo. PUCRS

PEREIRA,Luís Alberto. Aspectos Fundamentais do Método dos Elementos Finitos. PUCRS

TEIXEIRA, V.S.C.,Projeto de motores a relutância variável e ferramenta computacional para determinação das características estáticas da máquina, Dissertação de Mestrado. Universidade Federal do Ceará, 2008. 165 p.

RUGGIERO,Márcia A.Gomes.Cálculo Numérico:Aspectos teóricos e computacionais,2ª Edição Editora MAKRON Books,1996

CARNAHAN,B.,LUTHER,H.A.,WILKES,J.O.,Applied Numerical Methods, Editora John Wiley & Sons,1969.

HENRIQUES, L. O. A. P., Implementação de estratégia de minimização de oscilações de torque e remoção de sensor de posição para um acionamento de relutância variável usando técnica neuro-fuzzy, Tese de Doutorado. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2004. 156 p.

SADIKU, MATTHEW N.O., Elementos de eletromagnetismo,3ª Edição, BOOKMAN Companhia ED ,2004

CUNHA,Cristina. Métodos Numéricos para as engenharias e ciências aplicadas,Editora da UNICAMP,1993


Recommended