26
3Análise de Wavelets
3.1.História
A palavra wavelet tem como gênese a palavra francesa “Ondalette”, que
significa onda pequena. Também é conhecida como “Ondaleta”. Nós usaremos
simplesmente a palavra wavelet.
As wavelets foram pela primeira vez mencionadas no apêndice da tese de
(Haar, 1909). As wavelets de Haar ficaram no anonimato por vários anos, até que
nos anos 30 vários grupos trabalhando independentemente, pesquisaram a
representação de funções usando uma base variando com a escala. Naquela
ocasião, usando a base de wavelets de Haar, Paul Levy investigou o movimento
Browniano. Ele mostrou que as funções da base de Haar eram melhores do que as
da base de Fourier para estudar os pequenos e complicados detalhes do
movimento Browniano. Por um período longo, as wavelets de Haar continuaram a
ser a única base ortonormal de wavelets conhecida. Em 1985, Mallat deu às
wavelets um grande impulso através de seu trabalho em processamento digital de
imagens. Meyer (1989) inspirado nos resultados de Mallat, construiu a primeira
wavelet não-trivial (suave). Ao contrário das wavelets de Haar, as wavelets de
Meyer são continuamente diferenciáveis, mas não têm suportes compactos1.
Em 1988, Mallat desenvolveu uma teoria denominada análise de
multirresolução. No ano seguinte ele mostrou que a análise de multirresolução
pode ser vista simplesmente como uma forma de algoritmos de pirâmide2 que é
usado para calcular a transformada de wavelets. (Mallat, 1989).
Em 1990, Ingrid Daubechies usou os trabalhos de Mallat, para construir um
conjunto de bases ortonormais de wavelets suaves, com suportes compactos. Os
trabalhos de Daubechies são os alicerces das aplicações atuais das Wavelets. Mais
sob a história das wavelets podem ser achadas em (Paulo C.L, 2002), no livro de
(Yves Meyer 1993), e os trabalhos de (Barbara B, 1998) que descreve o
nascimento, história e os conceitos das wavelets de forma clara.
1 As funções bases são não zero em um intervalo de tempo finito.2 Algoritmos de pirâmide são vistos com mais detalhes na seção 3.6.4.
27
3.1.1.Algumas aplicações
Nas últimas duas décadas, a transformada de wavelets tem sido
satisfatoriamente aplicada a sinais de características não-estacionárias. Sua
aplicação se destaca em diferentes áreas como Engenharia, Física, Matemática,
Estatística, Economia, etc. Podemos ressaltar a sua utilização em estatística, como
um procedimento auxiliar na filtragem (de-noising), regressão não paramétrica e
estimação de densidades de probabilidade. A seguir são mostrados algumas
aplicações.
Uma aplicação teve como finalidade o “alisamento dos dados” e a “inspeção
do sinal”, para prever os terremotos. Usou-se a água dos poços, localizados na
Califórnia, que foi monitorada para se obter as medidas de seus níveis, tomados a
cada hora por aproximadamente seis anos. (Vidakovic, 1999).
Uma outra aplicação muito conhecida foi dado em “compressão de
imagens”, no Federal Bureau of Investigation (FBI) para amostras de impressões
digitais, cujo problema principal era o armazenamento de dados devido ao
tamanho de informação proveniente de muitos anos. Com a aplicação das
wavelets, cada impressão digital ocupou menos espaço de armazenamento para
representar adequadamente os dados originais. Praticamente realizou-se uma
compressão em uma proporção de 20:1. (Graps, 1995).
Nos últimos dez anos as aplicações voltadas à área de sistemas de potência
no setor elétrico têm crescido radicalmente. Entre as aplicações mais conhecidas
podemos mencionar as seguintes:
- Proteção de sistemas de potência
- Qualidade de potência
- Previsão de carga
- Medidas de um sistema de potência
- Transientes de sistemas de potência.
No trabalho de (Rosa C.F. e Horacio D.R., 2002), apresenta-se a descrição das
aplicações das wavelets na área do sistema de potência para cada um dos itens
citados acima. Também se proporciona uma abundante bibliografia, alguns
tutorais e site interessantes.
28
3.2.Analise de Fourier versus análise de Wavelets
Para um bom entendimento da análise de wavelets, é necessário começar
com a análise de técnicas mais simples.
Na prática muitos sinais (assumimos contínuos para a explicação) vêm
representados no domínio do tempo, com uma determinada amplitude. Estes
mesmos sinais podem ser representados de outra forma, isto é, no domínio da
freqüência. Quando nós estivermos nos referindo ao domínio da freqüência, é
introduzido o conceito de espectro de freqüência, o qual representa basicamente as
componentes de freqüência do sinal.
A representação do sinal no domínio da freqüência é obtida aplicando a
transformada de Fourier (TF) à série original, expressa no domino do tempo. O
resultado desta transformação é um conjunto de freqüências as quais caracterizam
o sinal original. Mas, surge a pergunta: Por que precisamos de informação de
freqüência? Muitas vezes a informação que se precisa não pode ser vista no
domínio do tempo, e sim, no domínio da freqüência. Em outros casos a parte mais
importante da informação do sinal está “escondida” nas suas freqüências. Esta
transformação pode ser aplicada a sinais não estacionários, desde que, somente se
esteja interessado em saber as componentes de freqüência que contém o sinal.
A TF apenas nos indica o conteúdo espectral do sinal, mas não fornece o
instante ou intervalo de tempo em que essas componentes espectrais aparecem.
Em muitas aplicações, é muito importante saber quando ou em que intervalo
de tempo as freqüências ocorrem. Para essa análise a TF já não é a mais adequada,
salvo se a série for estacionária, pois as freqüências pelas quais, as sinais
estacionárias estão compostas, ocorrem no tempo de existência do sinal.
Como alternativa para resolver este problema, surgiu a Transformada por
Janelas de Fourier (TPJF), que é uma generalização da TF. A sua aplicação
permitirá obter a informação do sinal em tempo e freqüência. A metodologia da
TPJF têm alguns problemas, como por exemplo, a escolha da largura da janela,
como veremos na seção (3.4).
Em geral, muitas das séries temporais, como séries econômicas e
financeiras, exibem comportamentos não estacionários, tais como mudanças nas
tendências, quebres estruturais, desde o começo até o fim do evento. Estas
29
características são freqüentemente as partes mais importantes do sinal e aplicando
a TF ou TPJF não se poderá capturar eficientemente esses eventos. Assim, a
Transformada de wavelets surge como uma ferramenta muito útil para analisar
estas séries do tipo não estacionária. Na seção (3.5) veremos mais detalhes sobre
transformada de wavelets.
As boas propriedades das wavelets fazem que as mesmas sejam muito úteis
na análise de sinais com características não estacionárias, das quais fazem parte
muitas séries econômicas e financeiras.
3.3.Transformada de Fourier
Esta é uma ferramenta principal para explorar os fenômenos em tempo
freqüência. A transformada de Fourier de uma função ( )tf (pelo momento vamos
assumir que t é uma variável contínua), é definido no espaço ( )ℜ1L (i.e.
( ) ( )∫ ℜ∈∀∞< )(, 22 Ltfdttf ). por:
( )( ) ( )∫ℜ−= dtetfwTF twif
π21
(1)
Se fTF ( )ℜ∈ 1L , é a transformada de Fourier de ( ) ( )ℜ∈ 1Ltf , então a
transformada inversa de Fourier será:
( )[ ] ( )( ) ( )tfdwewTFwTFF twiff == ∫−
π211 (2)
onde w é a freqüência angular. Esta transformada inversa de Fourier vai ser
usada para reproduzir a função original.
30
3.4.Transformadas por janelas de Fourier
3.4.1Introdução
Como mencionado na seção (3.2), a aplicação da TF não é adequada para
sinais não estacionários, quando se deseja a informação das freqüências no tempo.
Num esforço por corrigir essas deficiências, Dennis Gabor (1946), desenvolveu
uma técnica chamada transformada de Gabor, mais conhecida como transformada
por janelas de Fourier (TPJF), para se conseguir assim, um balanço entre tempo e
freqüência. Esta técnica, consiste em analisar uma parte do sinal, feito pela
escolha de uma função janela “ ( )tW ” em uma escala1 determinada, transladando a
janela através de toda a série de tempo, e logo, tomando a TF de todas as
pequenas séries. O resultado da expansão é uma função de dois parâmetros;
freqüência e tempo. A propriedade chave, é que o tamanho da janela é fixado com
respeito à freqüência, isto produz um plano de divisão retangular de tempo-
freqüência como se mostra na Figura 8.
Tempo
TPJF
Tempo
Amplitude Freqüência Janela
Figura 8 − Transformada por Janelas de Fourier
A TPJF fornece alguma informação a respeito de quando, e em quais
freqüências o evento do sinal ocorre, mas só obtemos esta informação com uma
precisão limitada. Na prática a escolha da janela é muito importante com respeito
ao desempenho da TPJF. Embora bons resultados tenham sido obtidos, estes não
são completamente satisfatórios. Muitos sinais requerem uma aproximação mais
flexível, onde necessitam alterar o tamanho da janela, e assim, determinar eventos
com uma melhor aproximação tanto no tempo como na freqüência.
1 A definição de escala é vista na seção (3.5.3).
31
3.4.2.Relação matemática
A TPJF está dada pela relação:
( )( ) ( ) ( ) twif ettgtftwTPJF −−= ∫ '', (3)
É mais familiar e prático analisar esta técnica numa versão discreta, onde't e w , são atribuídos como valores regularmente distanciados: 0
' tjt = ,
0wkw = , e onde j e k ∈Z, e ow , 0t são valores fixos maiores que zero. Então
nova versão da TPJF é:
( )( ) ( ) ( ) twjif etktgtfkjTPJF 00, −∫ −= (4)
o valor de j se refere as freqüências e k as translações no tempo.
3.5.Transformada de Wavelets
3.5.1.Introdução
A transformada de wavelets tem qualidades atraentes que a fazem um
método muito útil para séries temporais, exibindo características que poderiam
variar tanto em tempo como em freqüência (ou escala). Ver Figura 9.
Am
plitu
de
Tempo
Transformadade Wavelets
Esca
la
Tempo
Figura 9 − Transformada de wavelets proporciona uma representação em tempo eescala
A transformada de wavelets nos permite decompor o sinal num conjunto de
bases de funções, em diferentes níveis de resolução (escalas) e tempos de
32
localização. A partir desses níveis é possível reconstruir ou representar uma
função, usando as bases wavelets e coeficientes desses níveis apropriadamente.
As wavelets são simplesmente ondas de curta duração com energia
concentrada num intervalo de tempo curto, (Graps, 1995), com certas
propriedades matemáticas e que são definidas no espaço funcional de quadrado
integrável L 2 (ℜ).
As famílias de funções ( )tba,ψ , são definidas por dilatações (ou
compressões) e translações de uma única função ( )tψ chamada wavelet mãe1,
definida por:
( )
−
= −
abtatba ψψ 2/1
, , 0,, ≠ℜ∈ aba , (5)
onde o termo 2/1−a serve para normalizar a função ( )tba,ψ (ver 3.5.5. para
mais detalhes).
A transformada de wavelets nos fornece uma descrição em tempo-escala.
De forma análoga a mostrado em (3) e (4) temos:
( ) ( ) dta
bttfadttfabaTW baf
−
== ∫∫−− ψψ 2/1
,2/1),( (6)
e
( ) ( ) dtbktatfakjTW jjf00
2/0),( −= −− ∫ ψ (7)
onde. j, k ∈ Z, jaa 0= , jabkb 00= , além 0a >1 e 0b >1, são fixos. Está se
assumindo que a função ψ satisfaz a condição, ( ) 0=∫ dttψ , de admissibilidade
(ver relação (10)). Mais detalhes podem ser encontradas em (Daubechies, 1992).
3.5.2.Tipos diferentes de transformação wavelets
Existem vários tipos de transformada de wavelet, as quais partem das
fórmulas básicas (6) e (7). Assim, podemos distinguir.
1 Mais na frente (seção 3.6.2) é mostrado que existe outro tipo de funções wavelets chamadowavelets pai, e que é representado pela função ( )tφ .
33
A. Transformada de wavelets contínua - dado pela relação (6) -
B. Transformada de wavelets discreta - dado pela relação (7) -
Dentro da transformada de wavelets discreta distinguem-se duas abordagens:
b.1 Representação por Frames
b.2 Representação por bases de wavelets ortonormais e outras bases
Na seqüência será descrito cada uma destas alternativas, centrando nosso
interesse, nas bases de wavelets ortonormais (b.2)
3.5.3.Transformada de wavelets contínua
Entender a transformada continua de wavelets é muito importante pelo fato
de ter propriedades similares quando é analisado o caso discreto.
A transformada continua de wavelets, é dada pela seguinte relação: (ver
equações (5) e (6).
( ) ( ) ( ) dtttfbaTCW baf
,, ψ∫= (8)
a função ( )tba,ψ é uma família de funções definida como translações e
dilatações de uma única função ( )tψ , chamada wavelet mãe. A função ( )tψ tem
que satisfazer a condição de admissibilidade,
( )∞<
Ψ= ∫ℜ dw
ww
C2
ψ , ( 9)
onde ( )wΨ é a transformada de Fourier de ( )tψ . Esta condição de
admissibilidade implica:
( ) ( ) 00 =Ψ=∫ dttψ (10)
34
3.5.3.1
Propriedades básicas
Mostramos algumas propriedades básicas.
Resolução de identidade
Quando a condição de admissibilidade é satisfeita, i.e. ∞<ψC , é possível
achar a transformada inversa contínua, assim uma função ( )tf de ( )ℜ2L pode ser
reconstruída de sua transformação wavelets.
( ) ( ) ( )∫ ∫∞
∞−
∞
∞−= 2,,1
adbdatbaTWC
Ctf ba
f ψψ
(11)
Escalonamento
Escalonamento de uma wavelet simples significa alongar ou comprimir
uma wavelet. Para compreender melhor isto mostraremos um exemplo de senóides
escalonadas, onde o efeito do fator de escala é dado por “a”. Ver Figura 10 .
( ) ( ) 1;sen == attf
( ) ( ) 2/1;2sen == attf
( ) ( ) 4/1;4sen == attf
Figura 10 − Efeito do fator de escala “a” na função senoidal
É fácil ver que o fator de escala trabalha exatamente da mesma forma com
wavelets. O menor fator de escala mostrado na Figura 11, corresponde à wavelet
mais comprimida.
35
( ) ( ) 1; == attf ψ
( ) ( ) 2/1;2 == attf ψ
( ) ( ) 4/1;4 == attf ψ
Figura 11 − Efeito da do fator de escala “a” na wavelet
Translação
Translações de uma wavelet simples significa deslocamento no mesmo
conjunto.
Matematicamente, o deslocamento de uma função ( )tψ por k é representado por
( )kt −ψ :
Função wavelet ( )tψ
Traslação da Função wavelet ( )kt −ψ
Figura 12 − Translação de uma wavelet em k unidades
Assim, há uma correspondência entre escalas e freqüências das wavelets, isto é:
• Para baixos a ⇒ wavelets curtas ⇒ rápidas mudanças⇒ altas freqüências w
• Para altos a ⇒ wavelets longas ⇒ mudanças lentas ⇒baixas freqüências w
Estas duas últimas propriedades são muito importantes para poder entender a
transformada de wavelets no espaço de três dimensões como se mostra na Figura
13.
36
Tempo
Escala
Amplitude =TCW(j,k)
kj
Figura 13 − Espaço tridimensional das amplitudes dos coeficientes wavelets em cadanível de resolução e tempo de deslocação.
k = parâmetro de translação
j = parâmetro de escalonamento
3.5.4.Representação de wavelet discreta por Frames
Quando não se pode estabelecer a condição de ortonormalidade é melhor
pensar no caso mais geral, que são as frames onde o alvo é obter coleções de
funções que não são ortogonais, nem linearmente independentes, mas que ainda
podem ser utilizadas para definir um operador de representação. Da equação (7),
os valores escolhidos para o parâmetro de dilatação a e b são discretos. O
parâmetro jaa 0= , onde 0a >0, 0a é fixo e j corresponde às diferentes larguras
das wavelets. O parâmetro jabkb 00= , 0b > 0, 0b é fixo e k corresponde as
translações das wavelets através do tempo.
Substituindo esses valores em (5) tem-se uma expressão para as wavelets
( )
−= −
j
j
jj
kj aabk
atat
0
00
0
2/0, ψψ
( )002/
0 bktaa jj −= −− ψ
(12)
37
3.5.5.Representação por bases de wavelets ortonormais.
Se, de forma particular e especial, for feita uma escolha de ( )tψ , 0a e 0b ; a
função ( )tkj ,ψ vai formar uma base ortonormal de ( )ℜ2L . Em particular para a
equação (12) são escolhidos 20 =a , 10 =b . Então existe uma função ( )tψ , tal
que:
( ) ( )ktt jjkj −= −− 22 2/
, ψψ (13)
Aqui pode-se ver que ( )tkj ,ψ é obtido de ( )tψ por uma dilatação binária
j−2 e uma translação “diádica” jk 2 . Para estabelecer que ( )tkj ,ψ constitua uma
base ortonormal num espaço ( j = fixo) ( )ℜ2L , precisamos mostrar:
Ortogonalidade : < ( )tkj ,ψ , ( )tkj ˆ,
ψ > = 0 para kk ˆ≠
Normalização: 1, =kjψ se Zk ∈
Alguma função ( ) ( )ℜ∈ 2Ltf pode ser arbitrariamente aproximada por uma
combinação linear finita de funções ( )tkj ,ψ , mas para isso, tem que se satisfazer
mais uma condição:
Completeza: Para todo ( ) ( )ℜ∈ 2Ltf e todo 0>ε ,
( ) ( ) ε<− tftf ˆ
onde ( ) ( ) kjk
kjtftf ,,,ˆ ψψ∑ ><= é a estimação da função ( )tf , e o produto
interno ( ) >< kjtf ,,ψ representa a transformada de wavelets, que vem a ser os
coeficientes da função base. Completeza afirma que as combinações lineares do
conjunto podem ser utilizadas para se obter aproximações de qualquer função
( )tf do espaço ( )ℜ2L usando as bases de wavelets . É fácil ver que a condição de
ortogonalidade implica que os elementos ( )tkj ,ψ sejam linearmente
38
independentes. Os conjuntos de bases ortonormais do espaço também são
chamados conjuntos ortonormais completos.
A função Haar ( ( )tψ ) é a função mais simples e conhecida, para ( )tkj ,ψ
definido em (13), constitui uma base ortonormal para ( )ℜ2L . A demonstração é
encontrada em (Daubechies, 1992. p.10).
3.5.6.Transformada de wavelets discreta para uma função discreta
No caso anterior foi falado que, a transformada de wavelets era contínua
quando a função wavelet, for também continua, e a sua correspondente
transformada era discreta quando a função wavelet fosse discreta. Além disso,
assumimos inicialmente que a função ( )tf era contínua.
Nesta parte a transformada discreta de wavelets vai ser aplicada para um
conjunto de dados discretos. A saída desta transformação será também discreta.
Existem muitas formas de expressar a transformada discreta de wavelets de um
vetor de observações. Seja uma função discreta do tempo ( ) [ ]110 .......,, −= NxxxtX ,
a relação da equação (8) torna-se discreta para este caso, e dada por:
( ) ( ) ( )kttXkjTWD jN
t
jX −= −−
=
− ∑ 22,1
0
2/ ψ (14)
A relação inversa desta função utilizada para as sínteses ou reconstrução do
sinal é dada pela relação:
( ) ( )[ ] ( )ktkjTWDtX j
Zk
X
j
j −= −
∈Ζ∈
− ∑∑ 2,2 2/ ψ (15)
39
3.6.Análise multirresolução de bases ortonormais de wavelets
3.6.1.Propriedades da análise de multirresolução
A análise de multirresolução consiste de uma seqüência de aproximações
sucessivas de espaços jV (seguindo a convenção de Daubechies)1.
...... 21012 ⊂⊂⊂⊂⊂⊂ −− VVVVV (16)
Na Figura 14 pode-se observar como é a distribuição destes espaços.
........... 1012 −VVVV
.... ....
Figura 14 − Distribuição dos espaços
A união desses espaços fechados é ( )ℜ2L ,
( )ℜ=∈
2LVZj
jU (17)
A interseção contém somente à função zero
{ }0=∈I
ZjjV
(18)
Existem muitos espaços que satisfazem as relações (16)-(18). O aspecto de
multirresolução é uma conseqüência de outros requisitos adicionais, descritas a
seguir. Dada uma função ( )tf de ( )ℜ2L , tem-se que,
1 Esta convenção diz que os subespaços denotados com os menores subíndices estarão dentro dossubespaços de maiores subíndices. Esta convenção é oposta à convenção de Mallat.
40
( ) ( ) 12 −∈⇔∈ jj VtfVtf (19)
A relação (19) diz que numa análise multirresolução, o espaço 1−jV é obtido
de jV escalando-se as funções aproximadas, pela razão dos respectivos níveis de
resolução.
Outra característica requerida na análise multirresolução, é a invariância de
0V sob translações inteiras.
( ) ( ) 00 VktfVtf ∈−⇔∈ (20)
O princípio básico da análise de multirresolução consiste que uma coleção
qualquer de funções de um conjunto fechado, satisfaz às relações (16) e (20).
3.6.2.Bases ortogonais
As wavelets são bases de funções que permitem a extração de informação
disponível do sinal no domínio do tempo e escala (ou freqüência). Os diferentes
tipos de famílias de wavelets quase sempre vem em pares. Assim, temos as
wavelets pai e mãe representados por ( )tφ e ( )tψ respectivamente. As wavelets
do tipo pai1, ( )tkj ,φ , capturam as partes do sinal de baixa freqüência, e as wavelets
do tipo mãe2, ( )tkj ,ψ , capturam os detalhes ou componentes de alta freqüência,
em um nível de resolução dado. Utilizando as bases ortonormais ( )tkj ,φ e ( )tkj ,ψ
vai se poder usadas para representar uma função ( )tf em ( )ℜ2L .
Definimos o espaço jW , chamado também espaço das wavelets para o
conjunto de wavelets do tipo mãe ( )tkj ,ψ , e o espaço jV chamado também espaço
de escalonamento para o conjunto de wavelet do tipo pai ( )tkj ,φ . Para cada Ζ∈j ,
1 As wavelets da forma ( )tkj,φ são ditos wavelets do tipo pai, devido a que foram gerados a partir
de uma única função ( )tφ .2 De forma similar as wavelets da forma ( )tkj,ψ são ditos wavelets do tipo mãe devido a que foram
gerados a partir de uma única função ( )tψ .
41
definimos jW como o complemento ortogonal de jV em 1−jV , e assim, temos a
relação entre os espaços V e W :
jjj WVV ⊕=−1
jj VW ⊥
(21)
A Figura 15 mostra como é a distribuição dos espaços W e V
1−jW
........... 1−jj VV
.... jW ....
Figura 15 − Distribuição dos espaços W e V
3.6.3.Construção de ψ(t) e φ (t) a partir de uma escala de maior resolução
Pela propriedade (19), tem-se que funções de um espaço são simplesmente
versões escaladas de elementos do próximo espaço. Se a função ( ) 0Vt ∈φ , e por
(16) o espaço 0V está contido no espaço 1−V (ver Figura 15), então, ( ) 1−∈Vtφ .
Portanto a função ( )tφ pode ser expressa em (22), como uma combinação linear
deste último espaço 1−V , que é um espaço escalado suportado por ( )t2φ .
( ) ( ) ( ),22 ktkltk
−= ∑ φφ Ζ∈k , (22)
Por outro lado, foi mencionado na seção anterior e mostrado na Figura 15
que 1W ⊂ 0W , então a wavelet mãe ( )tψ também pode ser expressa em (23), como
uma combinação linear de funções escala ( )t2φ deslocadas, similar à equação
anterior.
42
( ) ( ) ( ),22 ktkhtk
−= ∑ φψ (23)
Os coeficientes ( )kl e ( )kh são conhecidos também como filtros “passa
baixo” e “passa alto” respetivamente, e estão relacionados por:
( ) ( )klh kk −−= 11 (24)
ou também da forma, para sinais de comprimento finito e ordem N.
( ) ( )Nklh kk 211 +−−= , (25)
Estas relações são dadas pela própria ortogonalidade entre a função do tipo
pai e a função wavelet do tipo mãe.
As funções ( )kl e ( )kh são filtros de quadratura em espelho-FQE
(Quadrature Mirror Filter-QMF). (Oppenheim, 1989). Será visto mais do FQE na
seção 3.6.4.2.
3.6.4.Algoritmo piramidal
Na prática a transformada de wavelets discreta é implementada via o
algoritmo piramidal, (Mallat, 1989), sendo preciso para cada iteração do algoritmo
piramidal três dados; 1) o vetor de entrada, 2) o filtro wavelets do tipo mãe ( )kh ,
3) e o filtro de escala ( )kl da wavelet do tipo pai.
Como sabemos a transformada discreta das funções wavelets do tipo pai e
mãe, matematicamente ,são calculadas usando as relações de ( ) ( )ttxa kjkj ,, ,φ=
e ( ) ( )ttxd kjkj ,, ,ψ= respetivamente. O algoritmo piramidal efetua estes cálculos
de outra forma, usando os filtros passa baixo e passa alto das funções wavelets
usadas na análise. Para o j-ésimo passo, o algoritmo calcula esta transformada
discreta a partir dos coeficientes suaves kja ,1− , do nível 1−j , dado por:
43
( ) njn
kj aknla ,1, 2 −∑ −= (26)
( ) njn
kj aknhd ,1, 2 −∑ −= (27)
A transformada de wavelets pode ser interpretada como uma filtragem
seguida de uma decimação (ou downsampling). O número de coeficientes para
kja , que está no nível j , será a metade do número de coeficientes kja ,1− do nível
1−j , da mesma forma para kjd , , de tal forma que ao final se terá a mesma
quantidade de dados que ao início. Os filtros L e H são escritos como
( ) ( ) ZkZk khHeklL ∈∈ == )()( . De forma similar para os filtros de reconstrução
( ) ( ) ZkZk khHeklL ∈∈ == )(')( ''' . Estes tipos de filtros são especiais e estão
relacionados uns com os outros, com propriedades importantes para assim
conseguir a perfeita reconstrução do sinal (ver 3.6.4.2.). A seleção das wavelets
determinam os filtros.
Figura 16 − Decomposição do sinal com downsampling
Da Figura 16 mostra a decomposição do sinal, o símbolo 2↓ significa que
cada amostra de entrada é removido (downsampling de 2) com o fim de manter
constante a amostra inicial. Vamos analisar esta Figura, considerando um sinal
( )kX que pertença ao espaço de funções 0V . Tomando a transformada de wavelets
discreta, e aplicando em seguida downsampling de 2, resulta em coeficientes kd ,1
e ka ,1 que pertencem ao espaços 1W e 1V respectivamente, que são, por definição,
( )3
,3
W
d k
( )0
,0
V
a k
( )3
,3
V
a k
( )2,2 Va k
( )2,2 Wd k
( )1,1 Va kH 2↓
2↓L
H 2↓
2↓L
H 2↓
2↓L
( )1,1 Wd k
44
versões escaladas de elementos do espaço 0V . Os coeficientes de 1V são chamados
de aproximação e os coeficientes de 2W chamados de detalhes. Novamente
aplicamos a transformada aos coeficientes de aproximação de 2V , utilizando o
mesmo procedimento até se conseguir a escala desejada (no caso 3V ). Portanto o
sinal original foi subdividido em outros sinais com bandas diferentes de
freqüência, onde cada coeficiente da transformada possui uma banda de
freqüência única, podendo ser analisada da maneira mais conveniente ao objetivo
que se deseja. (Costa e Silva. M, 1999).
3.6.4.1Reconstrução ou sínteses
Até agora vimos como a transformada discreta de wavelets pode ser usada
para analisar ou decompor sinais. Resta saber como aqueles componentes podem
ser novamente unidos para formar o sinal original sem perda de informação. Este
processo é chamado “reconstrução ou sínteses”.
Figura 17 − Reconstrução do sinal via coeficientes de wavelets
A Figura 17 mostra como é feita a reconstrução do sinal a partir dos
coeficiente das wavelets. O símbolo 2↑ indica upsampling, que é o processo de
alongamento dos componentes do sinal, por inserção (introdução) de zeros entre
as amostras. O procedimento da transformada inversa discreta de wavelets resulta
de aplicar upsampling seguido de filtragem. Como no caso de decomposição o
procedimento se repete até obter o sinal reconstruído.
( )3
,3
W
d k( )0
,0
V
a k
( )3
,3
V
a k
( )2,2 Va k
( )2,2 Wd k
( )1,1 Va k
( )1,1 Wd k
H ‘2↑
L‘2↑
H ‘2↑
L‘2↑
H ‘2↑
L‘2↑
45
3.6.4.2.Importância da escolha do filtro
A parte de filtragem do processo de reconstrução também traz algumas
discussões, como conseqüência da escolha do filtro que será crucial para se obter
uma perfeita reconstrução do sinal original. Essa perfeita reconstrução é realmente
possível e significativa. É sabido que o downsampling das componentes do sinal
executado durante a fase de decomposição introduz uma distorção chamada
aliasing, (Strang, 1996; Oppenheim, 1989). Se escolhermos adequadamente e
cuidadosamente os filtros para as fases de descomposição e reconstrução (que são
muito parecidas, mas não idênticas), podemos cancelar os efeitos de aliasing.
Descomposição Reconstrução
Figura 18 − Processo de decomposição e reconstrução
A Figura 18 mostra a decomposição dos filtros de baixa e alta (L e H), junto
com seus associados filtros de reconstruções (L’ e H’) de um sistema, e são
chamados filtros de quadratura em espelho já mencionados.
De fato, a escolha dos filtros não somente determina se será possível a
perfeita reconstrução (com perda o sem perda de informação)1, como também
determina a forma da wavelet que será usada, para realizar a análise. Na verdade
não são selecionados os filtros, e sim, as wavelets, determinando-se dessa forma
os filtros a usar. Como veremos mais adiante, nosso problema basicamente estará
na seleção do tipo de wavelets a usar na análise.
1 É dito com perda de informação quando o alguns coeficientes de alta freqüência, relativo a cadanível, do sinal decomposto são eliminados a partir de um parâmetro escolhido adequadamente.
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3.7.Alguns tipos de wavelets
Com respeito à escolha das wavelets, tem-se muitas alternativas. A seguir
são mostrados algumas características das wavelets biortogonais, Daubechies,
Symlet e Coiflet usadas na análise no capítulo 5.
3.7.1.Wavelets tipo Biortogonais
A família de wavelets biortogonais exibe a propriedade de fase linear, a qual
é necessária para a reconstrução do sinal. Usa duas wavelets, uma para a
decomposição e outra para a reconstrução, em lugar de uma só. Esta wavelet tem
suporte compacto e é simétrica. As wavelets biortogonais são definidas como
pares de bases mutuamente ortogonais, mais nenhum desses pares é ortogonal.
Figura 19 − Wavelet ψ de tipo Biortogonais
3.7.2.Wavelets tipo Daubechies
As wavelets ortogonais de Daubechies, “dbN”, são perfeitamente compactas
no tempo, mas no domínio da freqüência, tem um alto grau de superposição
espectral entre as escalas. Sua maior vantagem é serem ortogonais, o que significa
que um erro no sinal de entrada não cresce com a transformação e a estabilidade
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numérica computacional é assegurada. Por outro lado não possuem fase linear
Figura 20 − Wavelet ψ do tipo Daubechies
3.7.3.Wavelets tipo Symlets
Este tipo de wavelet foi proposto por Daubechies como uma modificação à
família “dbN”, com possuem propriedades similares, e tendem a ser simétricas.
Figura 21 − Wavelet ψ do tipo Symlet
3.7.4.Wavelets tipo Coiflets
Este tipo de wavelets é mais simétrico do que o tipo Symlets. Foi construído
por Daubechies como requerimento de Coifman.