3. Aproximações com Elementos Finitos
Neste capítulo apresenta aproximações por elementos finitos, que consiste
basicamente, em substituir um sistema contínuo por um sistema discreto de elementos
equivalente. São apresentados exemplos de aproximações nodais, construção de funções
de interpolação baseadas em elementos, transformações geométricas, de derivadas e de
integrais.
3.1 Generalidades
3.1.1 Aproximação Nodal
Define-se o erro de uma função )(xu aproximante de )(xuex como
)()()( xuxuxe ex−= (3.1)
Desta forma pode-se propor
∑=
=≅N
iiiex xPaxuxu
1
)()()( (3.2)
Alguns exemplos serão apresentados a seguir.
Exemplo 3.1: Aproximação da temperatura ao longo de uma barra, conhecidas as
temperaturas em alguns pontos.
x )(xTex
0 20 oC
0,5 25 oC
1,0 22 oC
Pode-se, no caso, propor uma interpolação de três coeficientes, na forma:
2
321)()( xaxaaxTxTex ++=≅ (3.3)
36
Substituindo os valores conhecidos das temperaturas na Eq. (3.3) obtém-se: Ca o201 = ;
182 =a e 163 −=a , resultando a solução aproximante:
2161820)( xxxT −+= (3.4)
Exemplo 3.2: Solução de uma equação diferencial da forma.
10)()(
2
2
<<= xxfdx
xud ex (3.5a)
com condições de contorno
0)1(;0)0( == exex uu (3.5b)
e conhecidos os valores
xde valoresoutros para 0)(25,0)75,0(
1)25,0(
===
xfff
(3.5c)
Uma aproximação que satisfaz as condições de contorno é da forma:
( )∑=
=N
ii xisenaxu
1
)( π (3.6)
As derivadas primeira e segunda da função (3.6) são respectivamente:
( )∑=
=N
ii xiai
dxdu
1
cos ππ (3.7a)
( ) ( )∑=
−=N
ii xisenai
dxud
1
22
2
ππ (3.7b)
37
Tomando 2=N , obtém-se a expansão
)2()()( 21 xsenaxsenaxu ππ += (3.8)
Substituindo a função (3.5c) e (3.7b) na equação (3.5a) obtém-se
211
245
π−=a ; 22
1323
π−=a
Em geral pode-se, como já foi visto, definir
)()()()( 2211 xPaxPaxPaxu nn+++= L
ou
{ }aP
a
aa
xPxPxPxu
n
n >=<
>=< ML 2
1
21 )()()()( (3.9)
na qual )(),(),( 21 xPxPxP nL satisfazem as condições do capítulo 2. sia ′ são
parâmetros gerais da aproximação. No contexto do método de elementos finitos sia ′ são
os valores nodais da função ou variável que se quer conhecer
nnexn
ex
ex
uxuxu
uxuxu
uxuxu
==
====
)()(
)()(
)()(
222
111
MMM (3.10)
Assim,
nn uxNuxNuxNxu )()()()( 2211 +++= L
ou
38
{ }n
n
n uN
u
uu
xNxNxNxu >=<
>=< ML 2
1
21 )()()()( (3.11)
Na qual , agora, )(xN i são denominadas funções de interpolação e iu são valores
nodais (em pontos do elemento, nós ou nodos) da variável u . As funções de
interpolação devem satisfazer as seguinte propriedade:
≠=
=jiji
xN ij se 0 se 1
)( (3.12)
O erro definido pela equação (3.1) no ponto ix será, então,
0)( =ixe (3.13)
Exemplo 3.3: Aproximação de uma função conhecida em n pontos.
∑=
=N
iii uxNxu
1
)()(
Para satisfazer a propriedade (3.12) as funções de interpolação podem ser da forma de
polinômios de Lagrange
( )∏
≠= −
−=
n
ijj ji
ji xx
xxxN
1
)(
No caso de 4=n , por exemplo, resultará
( )( )( )( )( )( )413121
4321 )(;1
xxxxxxxxxxxx
xNi−−−
−−−==
39
( )( )( )( )( )( )423212
4312 )(;2
xxxxxxxxxxxx
xNi−−−
−−−==
( )( )( )( )( )( )432313
4213 )(;3
xxxxxxxxxxxx
xNi−−−
−−−==
( )( )( )( )( )( )342414
3214 )(;4
xxxxxxxxxxxx
xNi−−−
−−−==
Se u é uma função de várias variáveis, por exemplo, se
{ }n
n
n uxN
u
uu
xNxNxNxuzyxu >=<
>=<= )()()()()(),,( 2
1
21
rM
rLrrr (3.14)
Neste caso,
iiexi uxuxu == )()(rr
com
nizyxx iiii ,,2,1; Lr=>=<
3.1.2 Aproximação por Elementos Finitos
A construção de uma função aproximante )(xur
é difícil quando o número nós e
de parâmetros iu aumenta. O problema se complica ainda mais quando o domínio V é
de forma complexa e se a função de aproximação )(xur
deve satisfazer as condições de
contorno sobre sua fronteira.
O método de aproximação nodal por subdomínio simplifica a construção de
)(xur
e é muito fácil de ser implementado em computador. Esse método consiste em:
40
• identificar uma subdivisão (montagem) em subdomínios eV do domínio V ;
• -definir uma função aproximante )(xu e r diferente sobre cada subdomínio pelo
método de aproximação nodal. Cada função )(xu e r pode depender de variáveis
nodais de outros subdomínios vizinhos como no caso de aproximação por
splines.
O método de aproximação por elementos finitos é um método particular de
aproximação por subdomínios que apresenta as seguintes particularidades:
• a aproximação sobre um subdomínio eV depende apenas dos valores nodais
daquele subdomínio ou elemento;
• a aproximação )(xu e r é requerida garantir um certo mínimo grau de
continuidade sobre cada elemento e seus contornos inter-elementos.
Definições
- Os pontos do subdomínio onde a função é avaliada são chamados nós de interpolação
ou simplesmente nós.
- As coordenadas geométricas de tais pontos são chamadas coordenadas nodais.
- Os valores da função )()( iexie
i xuxuurr
== nos nós são chamados variáveis nodais.
Aproximações por elemento finito podem ser caracterizadas pelos seguintes
passos distintos:
- a geometria de todos os elementos deve ser definida analiticamente;
- funções de interpolação apropriadas )(xN i
r devem ser construídas para cada elemento.
Veja Dhatt, G., Touzot, G. (1984) The Finite Element Method Displayed, John
Wiley & Sons, Chichester, 509 p.
3.2 Definição Geométrica dos Elementos
3.2.1 Nós Geométricos
Um conjunto de pontos é selecionado no domínio V para definir a geometria
dos elementos. Estes pontos chamados nós geométricos podem algumas vezes coincidir
com os nós de interpolação. O domínio V é então subdividido em um conjunto de
41
elementos eV de forma simples. Cada elemento é analiticamente e unicamente definido
em termos dos nós geométricos pertencentes àquele elemento e seus contornos.
3.2.2 Regras de Partição de um Domínio em Elementos
A subdivisão de um domínio V em domínio de elemento finito eV deverá
satisfazer os seguintes dois requerimentos:
(a) dois elementos distintos podem ter pontos comuns apenas sobre seus contornos se
tais contornos existem; nenhuma interseção ou superposição é permitida. Contornos
comuns podem ser pontos, linhas ou superfícies.
(b) os elementos montados não podem deixar nenhum buraco dentro do domínio e
aproximar a geometria do domínio real tão próxima quanto possível.
3.2.3 Forma de alguns Elementos Clássicos
Veja Dhatt, G., Touzot, G. (1984) The Finite Element Method Displayed, John
Wiley & Sons, Chichester, 509 p.
3.2.4 Elemento de Referência
O elemento de referência ou elemento mestre é utilizado para simplificar as
expressões analíticas de elementos de forma complexa. Tal elemento rV é definido em
um espaço abstrato adimensional com uma forma geométrica simples. A geometria do
elemento referência é então mapeada na geometria do elemento real usando
transformações geométricas, como ilustrado na Figura 3.1.
Figura 3.1 Elemento referência mapeado no elemento real.
42
A transformação geométrica do elemento referência para um elemento real é do
tipo:
( )ξξτrrrr
eee xx =→: (3.15)
Assim para cada elemento tem-se, como ilustrado na Figura 3.2,
( )kjieee xxxxx ,,,: ξξτ
rrrr=→ (3.16)
Em geral, as coordenadas no elemento referência podem ser colocadas na forma:
( )[ ]{ }nee xNx ξξτ
rrr=→: (3.17)
Figura 3.2 Mapeamento de elementos reais diferentes num mesmo elemento mestre.
Exemplo: Triângulo com 3 nós
Num triângulo de 3 nós como ilustrado na Figura 3.1, as coordenadas dentro do
elemento serão
( ) ( ) ( ) ( )
>=<++=
k
j
i
kji
x
x
x
NxNxNxNx ηξηξηξηξ ,,,, 321 (3.18a)
43
( ) ( ) ( ) ( )
>=<++=
k
j
i
kji
y
y
y
NyNyNyNy ηξηξηξηξ ,,,, 321 (3.18b)
nas quais ηξ , são coordenadas no elemento referência e ( )ηξ ,iN são funções de
transformação geométrica.
No elemento de referência a função aproximante será ( )ξrr
u , enquanto no
elemento real a função aproximante é ( )xurr
. Embora, ( )xurr
e ( )ξrr
u sejam funções
distintas, elas assumem o mesmo valor em pontos correspondentes:
( ) ( )[ ] ( )ξξrrrrrrr
uxuxu == (3.19)
Para ilustrar a transformação do elemento referência para um elemento real,
considera o caso de um triângulo com 3 nós, como ilustrado na Figura 3.3. O elemento
mestre é definido como:
00
1
≥≥
≤+
ηξ
ηξ
Figura 3.3 Elemento no espaço de referência à esquerda, elemento no espaço real à
direita.
As funções de transformação (3.18) devem satisfazer as condições:
44
≠=
=jiji
N ji se0 se1
)(ξr
Desta forma deve-se ter
( )( )( ) 0,
0,
1,
331
221
111
=
=
=
ηξ
ηξ
ηξ
N
N
N
;
( )( )( ) 0,
1,
0,
332
222
112
=
=
=
ηξ
ηξ
ηξ
N
N
N
;
( )( )( ) 1,
0,
0,
333
223
113
=
=
=
ηξ
ηξ
ηξ
N
N
N
As funções que satisfazem as condições anteriores são da forma:
( )( )( ) ηηξ
ξηξ
ηξηξ
=
=
−−=
,
,
1,
3
2
1
N
N
N
(3.20)
Assim, os pontos ( )0,0 , ( )0,1 e ( )1,0 do elemento mestre mapeiam em ( )ii yx , ,
( )jj yx , e ( )kk yx , no elemento real. Os lados do elemento mestre: 0,10,0 − ; 1,00,0 − e
1,00,1 − correspondem aos lados do elemento real: jjii yxyx ,, − ; kkii yxyx ,, − e
kkjj yxyx ,, − respectivamente.
A transformação é uma para uma se a matriz do Jacobiano da transformação é
não singular. A matriz do Jacobiano é dada na forma, no caso bidimensional:
[ ]
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
ηη
ξξxx
yx
J
Com as funções de transformação geométrica (3.20) as coordenadas yx, serão da
forma:
( ) ( )( ) ( ) kji
kji
yyyy
xxxx
ηξηξηξ
ηξηξηξ
++−−=
++−−=
1,
1,
e a matriz do Jacobiano será expressa como
45
[ ]
−−−−
=ikik
ijij
yyxxyyxx
J
O determinante da matriz jacobiana será:
[ ] ( )( ) ( )( )ijikikij yyxxyyxxJ −−−−−=det
Ex: Demonstre que o determinante da matriz do Jacobiano é [ ] ∆= AJ 2det .
3.2.5 Elementos Clássicos
Veja Dhatt, G., Touzot, G. (1984) The Finite Element Method Displayed, John
Wiley & Sons, Chichester, 509 p.
3.2.6 Coordenadas Nodais e Conectividade dos Elementos
Num sistema global de referência os nós são numerados sequencialmente de 1
até NPOIN e, portanto, as coordenadas dos nós podem ser armazenadas num array de
dimensões ),( NDIMNPOINCOORD . A tabela 3.1 ilustra a numeração dos pontos e
suas respectivas coordenadas.
Tabela 3.1 Nós globais e suas coordenadas
Ponto x y
1 1x 1y
2 2x 2y
M M M
NPOIN NPOINx NPOINy
Os elementos são numerados sequencialmente de 1 até NELEM . Cada elemento
terá um determinado número de nós NNOS . Os elementos e seus respectivos nós são
46
guardados num array de dimensões ),( NNOSNELEMKCONEC . Localmente num
elemento os nós são numerados de 1 à NNOS . A Tabela 3.2 ilustra a conectividade de
uma malha
Tabela 3.2 Elementos e sua conectividade.
Elemento 1 2 … NNOS
1 )1,1(kconec )2,1(kconec … ),1( nnoskconec
2 )1,2(kconec )2,2(kconec … ),2( nnoskconec
M M M M M
NELEM )1,(nelemkconec )2,(nelemkconec … ),( nnosnelemkconec
A Figura 3.4 ilustra uma malha gerada em um programa desenvolvido no DEM,
por Aparecido (2006). A região é um setor de coroa de raio interno 4, raio externo 8,
menor ângulo 30o, maior ângulo 60o, 3 divisões no raio e 4 divisões no ângulo.
Figura 3.4 Malha de elementos triangulares num setor de coroa.
47
As coordenadas dos nós e conectividade dos elementos como saída do gerador
de malhas são mostradas a seguir.
Malha=2D - GerMal2D v1.01 (Número de elementos da malha; Número de nós da malha) 24 20 (Número do nó; Coordenada-x do nó; Coordenada-y do nós) 1 3,464101615137760E+000 2,000000000000000E+000 2 4,618802153517010E+000 2,666666666666660E+000 3 5,773502691896260E+000 3,333333333333330E+000 4 6,928203230275510E+000 4,000000000000000E+000 5 3,173413361164940E+000 2,435045716034880E+000 6 4,231217814886590E+000 3,246727621379840E+000 7 5,289022268608240E+000 4,058409526724800E+000 8 6,346826722329880E+000 4,870091432069760E+000 9 2,828427124746190E+000 2,828427124746190E+000 10 3,771236166328260E+000 3,771236166328250E+000 11 4,714045207910320E+000 4,714045207910310E+000 12 5,656854249492380E+000 5,656854249492380E+000 13 2,435045716034890E+000 3,173413361164940E+000 14 3,246727621379850E+000 4,231217814886580E+000 15 4,058409526724810E+000 5,289022268608230E+000 16 4,870091432069770E+000 6,346826722329880E+000 17 2,000000000000000E+000 3,464101615137750E+000 18 2,666666666666670E+000 4,618802153517000E+000 19 3,333333333333340E+000 5,773502691896250E+000 20 4,000000000000010E+000 6,928203230275510E+000 (Número do elemento; Tipo do Elemento; Nós do elemento) 1 TRG01 1 6 5 2 TRG01 1 2 6 3 TRG01 2 7 6 4 TRG01 2 3 7 5 TRG01 3 8 7 6 TRG01 3 4 8 7 TRG01 5 10 9 8 TRG01 5 6 10 9 TRG01 6 11 10 10 TRG01 6 7 11 11 TRG01 7 12 11 12 TRG01 7 8 12 13 TRG01 9 14 13 14 TRG01 9 10 14 15 TRG01 10 15 14 16 TRG01 10 11 15 17 TRG01 11 16 15 18 TRG01 11 12 16 19 TRG01 13 18 17 20 TRG01 13 14 18 21 TRG01 14 19 18 22 TRG01 14 15 19 23 TRG01 15 20 19 24 TRG01 15 16 20
48
3.3 Aproximação Baseada num Elemento de Referência
3.3.1 Forma Algébrica da Função Aproximante u(x)
No elemento real a função é aproximada como:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }n
ne
neex uxN
u
uu
xNxNxNxuxur
Mr…rrrr
=
>=<≅ 2
1
21)( (3.21)
Na qual eVx ∈r
; neuuu ,,, 21 … são os valores de exu nos nós de interpolação. ( )xN i
r
são as funções de interpolação no elemento real.
No elemento mestre a interpolação será da forma:
( ) ( ) { }nex uNuu ξξξrrr
=≅ )( (3.22)
Na qual { }nu são as variáveis nodais do elemento e ( )ξr
N são as funções e interpolação
no elemento mestre. As coordenadas no elemento mestre são definidas pela Eq. (3.17).
Observações:
• em geral funções ( )xNr
são usadas apenas para os elementos mais simples, pois
( )xNr
depende das coordenadas de cada elemento, sendo, portanto, diferentes
para cada elemento;
• funções ( )ξr
N são independentes da geometria do elemento real eV . Um único
conjunto de funções ( )ξr
N pode ser usado para todos os elementos que têm o
mesmo elemento mestre ou elemento de referência. O elemento mestre é
caracterizado por sua forma, seus nós geométricos e seus nós de interpolação.
49
3.3.1.1 Funções de Interpolação para um Triângulo de 3 Nós
Considere um triângulo em que os 3 nós de interpolação são também nós
geométricos nos vértices do triângulo. Denominando os nós de kji ,, , as variáveis
nodais serão:
{ }
=
k
j
i
n
u
u
u
u (3.23)
A interpolação linear sobre o elemento real será da forma
( ) ( ) ( )
>=<
k
j
i
u
u
u
yxNyxNyxNyxu ,,,),( 321 (3.24)
A interpolação linear também pode ser suposta na forma:
ycxccyxu 321),( ++= (3.25)
A Eq. (3.25) aplicada aos nós do elemento fornece o sistema:
kkkkk
jjjjj
iiiii
ycxccyxuu
ycxccyxuu
ycxccyxuu
321
321
321
),(
),(
),(
++==
++==++==
(3.26)
Que pode ser reescrito na forma matricial como
{ } [ ]{ }cAcc
c
yxyxyx
u
u
u
u
kk
jj
ii
k
j
i
n =
=
=
3
2
1
111
(3.27)
A solução do sistema (3.27) para os coeficientes sc, resulta
50
[ ] { }n
k
j
i
kk
jj
ii
uA
u
uu
yxyxyx
ccc
1
1
3
2
1
111
−
−
=
=
(3.28)
Se [ ]A é não singular ela pode ser invertida e a inversa de [ ]A pode ser obtida como
[ ] [ ][ ]TAC
AA
det11 =−
Na qual o determinante é calculado por
[ ] ( )( ) ( )( )jkjijijk yyxxyyxxA −−−−−=det
e os elementos da matriz de cofatores [ ]AC são calculados como
( ) mnnm
mn MC +−= 1
em que mnM são os menores complementares. mnM é definido como o determinante da
matriz eliminando a linha m e coluna n. A matriz de cofatores, então será da forma:
[ ]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
−−−−−−−−−
−−−−=
ijijijji
ikikikki
jkjkjkkj
A
xxyyyxyxxxyyyxyx
xxyyyxyxC (3.29)
Após várias manipulações algébricas, obtém-se os coeficientes na forma:
[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
[ ] ( ) ( ) ( )[ ]
[ ] ( ) ( ) ( )[ ]kijjikijk
kijjikijk
kijjijikkiijkkj
uxxuxxuxxA
c
uyyuyyuyyA
c
uyxyxuyxyxuyxyxA
c
−+−−−=
−−−+−−=
−+−−−=
det1
det1
det1
3
2
1
(3.30)
os quais substituídos na Eq. (3.25) leva a função aproximante na forma:
51
[ ]
( )( ) ( )( )[ ]( )( ) ( )( )[ ]( )( ) ( )( )[ ]
−−−−−
+−−−−−
+−−−−−
=
kiijiij
jkkikki
ijjkjjk
uyyxxxxyy
uyyxxxxyy
uyyxxxxyy
Ayxu
det1
),( (3.31a)
ou
[ ]
( )( ) ( )( )[ ]( )( ) ( )( )[ ]( )( ) ( )( )[ ]
−−−−−−−−−−
−−−−−
=
k
j
i
T
iijiij
kkikki
jjkjjk
u
u
u
yyxxxxyy
yyxxxxyy
yyxxxxyy
Ayxu
det1
),( (3.31b)
Sabendo que [ ] ∆= AA 2det e comparando as Equações (3.31b) e (3.24) obtém-se
as funções de interpolação na forma:
( ) ( )( ) ( )( )[ ]
( ) ( )( ) ( )( )[ ]
( ) ( )( ) ( )( )[ ]yyxxxxyyA
yxN
yyxxxxyyA
yxN
yyxxxxyyA
yxN
iijiijk
kkikkij
jjkjjki
−−−−−=
−−−−−=
−−−−−=
21
,
21
,
21
,
(3.32)
com
( )( ) ( )( )jkjijijk yyxxyyxxA −−−−−=2 (3.33)
Existirá um conjunto de funções (3.32) para cada elemento eV . Já no elemento
mestre, a interpolação será da forma:
( ) ( ) ( )
>=<
k
j
i
u
u
u
NNNu ηξηξηξηξ ,,,),( 321 (3.34)
Na qual
52
( )( )( ) ηηξ
ξηξηξηξ
==
−−=
,,
1,
3
2
1
NNN
(3.35)
e as relações entre coordenadas globais e locais são dadas por
( ) ( ) ( ) ( )
++=
k
j
i
x
x
x
NNNx ηξηξηξηξ ,,,, 321 (3.36a)
( ) ( ) ( ) ( )
++=
k
j
i
y
y
y
NNNy ηξηξηξηξ ,,,, 321 (3.36b)
As funções de interpolação geométrica serão as próprias funções de interpolação, ou
seja,
332211 ;; NNNNNN ===
Usando o elemento mestre existirá um único conjunto (3.35) para todos os elementos da
malha, pois um único elemento mestre rV mapeia em cada elemento real eV , como
visto anteriormente.
3.3.2 Propriedades da Função Aproximante u(x)
A seguir são apresentadas algumas propriedades das funções de aproximação:
(a) Propriedade fundamental da aproximação nodal
Pode-se observar que a aproximação por elemento finito satisfaz as propriedades
da aproximação nodal. Os valores da função aproximante )(xur
coincide com os valores
da função exata )(xuex
r em todos os nós de interpolação.
53
( ) ( ) ( ) ( )
>=<=
ne
ineiiiiex
u
uu
xNxNxNxuxu Mr…rrrr 2
1
21)(
da qual resulta
≠=
=jiji
xN ij se 0 se 1
)(r
(3.37)
Similarmente, usando a aproximação no elemento mestre:
( ) ( ) ( ) ( )
>=<=
ne
ineiiiiex
u
uu
NNNuu Mr
…rrrr
2
1
21)( ξξξξξ
da qual resulta
≠=
=jiji
N ij se 0 se 1
)(ξr
(3.38)
(b) Continuidade dentro do elemento
Se a função aproxiamante )(xur
e todas suas derivadas até ordem s são
requeridas serem contínuas juntas, funções de interpolação ( )xN i
r de mesma qualidade
devem ser usadas.
(c) Continuidade inter-elemento
Se a função aproxiamante )(xur
e suas derivadas até ordem s são requeridas
serem contínuas sobre um contorno comum com outro elemento, então )(xur
e suas
derivadas até ordem s podem depender apenas das variáveis nodais sobre o contorno
54
comum. Considere primeiramente a continuidade através de um contorno comum com o
elemento adjacente.
( ) ( ) ( )
>=<
ne
ne
u
uu
xNxNxNxu Mr…rrr 2
1
21)(
Produtos ii uxN )(r
devem ser nulos se iu não pertence ao contorno comum. Daí
( ) 0=xN i
r (3.39a)
quando xr
está sobre um contorno e iu não pertence àquele contorno. Similarmente,
sobre o elemento mestre ( ) 0=ξr
iN quando ξr
está sobre um contorno e iu não está
sobre aquele contorno. A continuidade das derivadas através de um contorno comum é,
analogamente escrita como:
( ) ( ) ( )
>∂
∂∂
∂∂
∂=<
∂∂
ne
ne
u
uu
xxN
xxN
xxN
xxu
Mr
…rrr
2
1
21)(
na qual
( )0=
∂∂
xxN i
r (3.39b)
quando xr
está localizado sobre o contorno comum e iu não. A condição prévia para
um elemento mestre bidimensional é:
( ) ( )0=
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
xN
xN ii η
ηξξ
ξξ
rr
55
Continuidade entre elementos adjacentes tem desempenhado um papel
importante no desenvolvimento do método. O grau de continuidade a ser mantido entre
elementos adjacentes é problema dependente e será discutido posteriormente.
(d) Polinômios completos como funções de interpolação
O erro de truncamento )()()( xuxuxe ex−= pode ser reduzido pelo decréscimo
do tamanho do elemento. Em muitos problemas é necessário reduzir o erro nas
derivadas das funções de aproximação. Para assegurar que o erro )()()( xuxuxe ex−=
tenda a zero com um decréscimo no tamanho do elemento é essencial que a função
aproxiamante u contenha um termo constante não nulo. A aproximação u é então
capaz de representar a função constante exu dentro do elemento. Para assegurar que o
erro xxuxxu ex ∂∂−∂∂ /)(/)( tenda a zero com um decréscimo no tamanho do elemento
é também essencial que u contenha um termo em x . Deste modo, se xuex ∂∂ / é
constante, xu ∂∂ / será capaz de representar aquela constante exatamente. Em geral, se o
erro sobre exu e suas derivadas até ordem s são para decrescer com o tamanho do
elemento, a expressão (3.21) deve conter um polinômio completo até ordem s . Além
do mais se a função u e suas derivadas, até o grau 1−s , são contínuas através de
contornos comuns com elementos adjacentes, então o erro de truncamento para exu e
suas derivadas até ordem s tenderão a zero em todo o domínio V , incluindo seus
contornos. Quando as condições de continuidade inter-elementos não são satisfeitas,
convergência ainda pode ser obtida em alguns casos.
Definições
• Se apenas os valores das funções são contínuos através de contornos, a função é
dita ser de classe 0C . Quando a função e suas derivadas são continuas, ela é dita
ser de classe 1C . Em geral, se a função e todas as suas derivadas até ordem α
são contínuas, ela é dita ser de classe αC .
56
• Um elemento é isoparamétrico se as funções de transformação geométrica ( )ξr
N
são idênticas Às funções de interpolação ( )ξr
N . Para cada elemento os nós
geométricos e de interpolação são idênticos.
• Um elemento é pseudo-paramétrico se as funções ( )ξr
N e ( )ξr
N são diferentes,
mas com os mesmos monômios.
• Um elemento é sub-paramétrico quando os polinômios geométricos ( )ξr
N são de
uma ordem mais baixa do que os polinômios de interpolação ( )ξr
N . Ele é super-
paramétrico no caso oposto. Elementos super-paramétricos não possuem a
propriedade (d) mencionada anteriormente.
• O número de variáveis nodais associadas com o número total de nós de
interpolação de um elemento é chamado de número de graus de liberdade (ndof).
3.4 Construção de Funções )(ξN e )(ξN
Funções de transformações geométricas ( )ξr
N e funções de interpolação têm
propriedades idênticas. Elas podem ser, algumas vezes, construídas com polinômios
tendo as propriedades descritas anteriormente. Tais polinômios são frequentemente de
Lagrange ou de Hermite, entretanto, nenhum método de construção tem sido encontrado
para todos os casos. Um número de fórmulas bem conhecidas tem sido encontrado para
elementos clássicos. A seguir será descrito um método sistemático de construção para
todos os elementos.
3.4.1 Método Geral de Construção
(a) Escolha da base polinomial
Num elemento mestre pode-se escrever ( )ξr
u como uma combinação linear de
funções conhecidas independentes ( )ξr
1P , ( )…rξ2P que são mais frequentemente
monômios independentes. A escolha das funções ( )ξr
iP é uma das operações mais
importantes no método de elemento finito.
57
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }aP
a
aa
PPPu
ndof
ndof ξξξξξr
Mr
…rrr
=
= 2
1
21 (3.40)
O conjunto de funções ( )ξr
P constitui a base polinomial da aproximação. O
número de termos na base deve ser igual ao número de graus de liberdade (ndof) do
elemento. Uma base polinomial completa é sempre preferida, mas isto só é possível
apenas para uns poucos casos de valores inteiros ndof. A Tabela 3.3 dá uma indicação
do grau do polinômio e número de graus de liberdade para elementos uni, bi e
tridimensionais. A Tabela 3.4 mostra bases de polinômios completas e incompletas pra
alguns elementos clássicos. Para construir funções de transformação geométrica ( )ξr
N ,
seleciona-se expressões da mesma forma para zyx ,,
( ) ( ) { }
( ) ( ) { }( ) ( ) { }z
y
x
aPz
aPy
aPx
ξξ
ξξ
ξξ
rrrrrr
=
=
=
(3.41)
O número de funções ( )ξr
P e coeficientes { }xa , { }ya e { }za é igual ao número
de nós geométricos do elemento.
Tabela 3.3 Grau de polinômio requerido e número de graus de liberdade.
Grau do polinômio 1D 2D 3D
r ndof ndof ndof
1 2 3 4
2 3 6 10
3 4 10 20
4 5 15 35
5 6 21 56
58
Dimensões Grau do
polinômio
Base Polinomial P ndof
Base Completa
1 1 ξ1 (linear) 2
1 2 21 ξξ (quadrática) 3
2 1 ηξ1 (linear) 3
2 2 221 ηξηξηξ (quadrática) 6
3 1 ζηξ1 (linear) 4
3 2 ξζζηζηξηξζηξ 2221
(quadrática)
10
Base
incompleta
2 ξηηξ1 (bilinear) 4
3 ξηζξζηζξηζηξ1
(trilinear)
8
Definições
• Os coeficientes { }a são chamados variáveis generalizadas do elemento para
distingui-los das variáveis nodais { }nu .
• A expressão ( ) ( ) { }aPu ξξrr
= define uma aproximação generalizada para
distingui-la da aproximação nodal ( ) ( ) { }nuNu ξξrr
= .
• Os coeficientes { }xa , { }ya , { }za são chamados coordenadas generalizadas do
elemento para distingui-los das coordenadas nodais { }nx , { }ny , { }nz
(b) Relação entre variáveis generalizadas e nodais
59
Em cada nó de interpolação de coordenadas { }iξ , a função ( )ξu assume o valor
nodal ( )iexi uu ξ= :
{ }
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
{ }a
PPP
PPP
PPP
u
u
uu
ndofndofndofndof
ndof
ndof
n
ndof
==
ξξξ
ξξξ
ξξξ
…M…MM
……
M
21
22221
11211
2
1
{ } [ ]{ }aPu nn = (3.42)
deste modo, invertendo a matriz nodal [ ]nP de ordem ndof
{ } [ ] { }nn uPa 1−= (3.43)
Similarmente, para as coordenadas tem-se
{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }{ } [ ]{ }znn
ynn
xnn
aPz
aPy
aPx
=
=
=
(3.44)
assim, invertendo [ ]nP
{ } [ ] { }{ } [ ] { }{ } [ ] { }nnz
nny
nnx
zPa
yPa
xPa
1
1
1
−
−
−
=
=
=
(3.45)
(c) Expressões analíticas para N e N
Substituindo (3.43) em (3.40)
60
( ) ( ) [ ] { }nn uPPu 1−= ξξrr
(3.46a)
ou
( ) ( ) { }nuNu ξξrr
= (3.46b)
Na qual
( ) ( ) [ ] 1−= nPPN ξξrr
(3.47)
De maneira similar,
( ) ( ) { }
( ) ( ) { }
( ) ( ) { }n
n
n
zNz
yNy
xNx
ξξ
ξξ
ξξ
rrrrrr
=
=
=
(3.48)
na qual
( ) ( ) [ ] 1−= nPPN ξξrr
(3.49)
(d) Diferenciação da função ( )ξr
u
Diferenciando (3.46a) obtém-se
[ ] { } { } [ ]{ }nnnn uBu
N
N
N
uP
P
P
P
u
u
u
ξ
ζ
η
ξ
ζ
η
ξ
ζ
η
ξ
=
∂∂
∂∂
∂∂
=
∂∂
∂∂
∂∂
=
∂∂∂∂∂∂
−1 (3.50)
61
Sumário de operações para construir N
• Escolha da base polinomial
• Avaliação da matriz nodal ( )[ ] ( )[ ] ndofjiPjiP ijn …,2,1,, == ξ
• Inversão de [ ]nP
• Cálculo de N
( ) ( ) [ ] 1−= nPPN ξξrr
Estas operações são realizadas uma única vez para cada elemento mestre
diferente.
Exercício: Construir as funções de forma ( )ξr
N para um elemento isoparamétrico
quadrilateral de 4 nós.
3.4.2 Propriedades Algébricas de Funções N e N
(a) cada função de interpolação é formada como o produto interno do polinômio de base
( )ξr
P e a i-ésima coluna da matriz [ ] 1−nP .
( ) ( ) { }ii CPN ξξrr
= (3.51)
na qual iC é a i-ésima coluna de [ ] 1−nP
[ ] { } { } { }[ ]…… in CCCP 211 =− (3.52)
A função ( )ξr
iN é então uma combinação linear da função no polinômio de base
( )ξr
P , os coeficientes sendo os termos da coluna i.
62
(b) Pós-multiplicando a Eq. (3.47) por [ ]nP obtém-se
( ) [ ] ( ) [ ] [ ]( )ξ
ξξrrr
P
PPPPN nnn
1
=
= −
(3.53)
e após usar a definição de [ ]nP
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )ξ
ξξξ
ξξξ
ξξξ
ξξξr
…M…MM
……
r…
rrP
PPP
PPP
PPP
NNN
ndofndofndofndof
ndof
ndof
ndof =
21
22221
11211
21
ou
( ) ( ) ( ) ndofjPPN jij
ndof
ii ,,2,1
1
…rrv
==∑=
ξξξ (3.54)
A Eq. (3.54) mostra a característica da estrutura algébrica das funções de forma
iN . Ela mostra que os termos ( )ξr
jP pertencem ao polinômio de base usado para
construir iN . Tal equação pode ser empregada para verificar se qualquer dado
polinômio ( )ξr
p é incluído independentemente na base das funções de N . A seguinte
identidade deve ser satisfeita:
( ) ( ) ( )ξξξrrv
ppN i
ndof
ii =∑
=1
(3.55)
Por exemplo, se os monômios ηξ ,,1 estão contidos em N , deve se verificar que
63
( )
( )
( ) ηηξ
ξξξ
ξ
=⋅
=⋅
=⋅
∑
∑
∑
=
=
=
i
ndof
ii
i
ndof
ii
ndof
ii
N
N
N
1
1
1
11
v
v
v
Exercício: verifique o caso dos monômios incluídos na construção do quadrilátero de 4
nós.
(c) Diferenciação Eq. (3.54) conduz ao resultado
( ) ( ) ( )ndofj
PP
N jij
ndof
i
i ,,2,11
…rrv
=∂
∂=
∂∂∑
= ξ
ξξ
ξξ
(3.56)
A expressão (3.54) juntamente com as relações
≠=
=jiji
xN ij se 0 se 1
)(r
;
≠=
=jiji
N ij se 0 se 1
)(ξr
;
( ) 0=xN i
r;
( )0=
∂∂
xxN i
r
( ) ( ) ( ) ndofjPPN jij
ndof
ii ,,2,1
1
…rrv
==∑=
ξξξ
são muito úteis para verificar formas explícitas de funções de interpolação iN e suas
derivadas.
3.5 Transformação de Operadores Diferenciais
As equações governantes de problemas físicos são escritas no domínio real e
envolve funções desconhecidas exu e suas derivadas x
uex
∂∂
, y
uex
∂∂
, etc. Visto que a
64
aproximação (3.21) no espaço do elemento real é frequentemente muito complicada, é
mais conveniente trabalhar no espaço do elemento de referência (3.22)
( ) ( ) { }nex uNuu ξξξrrr
=≅ )( (3.57)
Juntamente com a transformação
( ) ( )[ ]{ }
ζηξξ
ξξξτ
=
=
==→
rr
rrrrr
zyxx
xNxx n:
(3.58)
A transformação sendo uma para uma, tem-se
( )xxrrrr
ξξτ =→− :1 (3.59)
Visto que a inversa da transformação 1−τ é muito difícil de construir, exceto em
caso de elementos simples. É melhor trabalhar no espaço do elemento de referência.
Para expressões contendo derivadas em relação ao espaço real ( )zyx ,, é necessário
obter expressões equivalentes no espaço do elemento mestre ( )ζηξ ,, . Tais expressões
dependem da matriz do Jacobiano [ ]J da transformação.
3.5.1 Derivadas Primeiras
Como ( ) ( )zyxf ,,,, =ζηξ , pela regra da cadeia pode-se obter que
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )z
zy
yx
xz
zy
yx
xz
zy
yx
x
∂∂
∂∂
+∂
∂∂∂
+∂
∂∂∂
=∂∂
∂∂
∂∂
+∂
∂∂∂
+∂
∂∂∂
=∂∂
∂∂
∂∂
+∂
∂∂∂
+∂
∂∂∂
=∂∂
ζζζζ
ηηηη
ξξξξ
65
Ou numa forma matricial tem-se
( )
( )
( )
( )
( )
( )
∂∂∂
∂∂
∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
∂∂∂∂∂∂
z
y
x
zyx
zyx
zyx
ζζζ
ηηη
ξξξ
ζ
η
ξ
(3.60a)
Ou de forma simplificada
{ } [ ]{ }xJ ∂=∂ξ (3.60b)
No elemento mestre resulta a equação
( )
( )
( )
( )
( )
( )
∂∂∂∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
∂∂∂
∂∂
∂
ζ
η
ξ
ζηξ
ζηξ
ζηξ
zzz
yyy
xxx
z
y
x
(3.61a)
ou
{ } [ ]{ }ξ∂=∂ jx (3.61b)
na qual
[ ] [ ] 1−= Jj (3.62)
Escrevendo a matriz do jacobiano na forma simbólica, no caso mais geral,
[ ]
=
333231
232221
131211
JJJJJJJJJ
J
66
A inversa da mátria do Jacobiano será da forma:
[ ] [ ][ ] [ ]
−−−
−==−
332313
322212
3121111
det1
det1
MMMMMM
MMM
JC
JJ T
ij
na qual ijM são os menores complementares. Neste caso, resulta
[ ] [ ]
−−−−−−−−−
=−
211222111132311222313221
112313213113331133212331
2212231233123213233233221
det1
JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ
JJ (3.63)
na qual o determinante do Jacobiano é dado por
[ ] ( ) ( ) ( )11 22 33 23 32 12 23 31 21 33 13 21 32 22 31det J J J J J J J J J J J J J J J J= − + − + − (3.64)
Nos casos uni e bidimensionais resultarão:
[ ] 11)1 JJD = ; [ ]11
1 1J
J =− (3.65)
[ ]
=
2221
1211)2JJJJ
JD ; [ ] [ ]
−
−=−
1121
12221
det1
JJJJ
JJ (3.66)
Cálculo dos termos de [ ]J
Sabe se que
( ) { } { } { }[ ]nnn zyxNzyx ξr
= (3.67)
na qual { } { } { }nnn zyx são as coordenadas geométricas dos nós. A matriz do
Jacobiano é:
67
[ ] { } { } { }[ ]nnnzyxJ zyx
N
N
N
xnnos
nnosx
3
3
∂∂
∂∂
∂∂
=
∂∂
∂∂
∂∂
=
ζ
η
ξ
ζ
η
ξ
(3.68)
Transformação de uma integral
A mudança de variáveis (3.58) permite mudar a integração de uma função f no
domínio geométrico real eV em uma integração mais simples no espaço do elemento
mestre rV
( ) ( )( ) [ ]∫∫ =re VV
dddJxfdxdydzxf ζηξξ detrrr
(3.69)
Exercício: partindo de ( ) zdydxddVrrr
•×= no espaço real e ( ) ζηξrrr
ddddV •×= no
elemento de referência; demonstre que com idxxdrr
= , jdyydrr
= , kdzzdrr
= e
ξξ dkJjJiJd )( 131211
rrrr++= , ηη dkJjJiJd )( 232221
rrrr++= ,
ζζ dkJjJiJd )( 333231
rrrv++= :
[ ] ζηξ dddJdxdydzdV det==
3.6 Cálculo de Funções N , suas Derivadas e da Matriz do Jacobiano
Em geral necessita-se de aproximações de ( ) ( ) ( )yxu
xxu
xu∂
∂∂
∂,, , etc. Estas
aproximações são usadas para avaliar integrais sobre o volume de um elemento:
68
( ) ( ) ( ) e
VdV
yxu
xxu
xufke∫
∂
∂∂
∂= …
rrr,,, (3.70a)
Que no elemento mestre fica na forma:
( ) ( ) ( ) [ ] ( )[ ] r
VdVJj
uuufk
rξ
ηξ
ξξ
ξr
…rrr
det,,,,∫
∂
∂∂
∂= (3.70b)
Além do mais, estas integrais são avaliadas por técnicas numéricas e geralmente
são aproximadas como:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]∑
∂∂
∂∂
≈r
rrrr
rr Jjuu
ufWk ξξηξ
ξξ
ξrr
…rrr
det,,,, (3.70c)
na qual rξr
são coordenadas de um conjunto de pontos de integração (por exemplo
pontos de Gauss); rW são fatores de ponderação (pesos) da fórmula de integração
numérica
( ) ( ) { }nrr uNu ξξrr
=
( ) ( ) { } 3,2,1; =∂
∂=
∂∂
iuNu
ni
r
i
r
ξξ
ξξ
rr
( )[ ]rj ξr
e [ ][ ]rJ ξr
det são a inversa da matriz do Jacobiano e seu determinante avaliados
no ponto rξr
.
Note que as expressões para ( )rN ξr
e ( ) irN ξξ ∂∂ /r
são independentes da
forma real do elemento. Todos os cálculos são no espaço do elemento de referência.
Então, é necessário avaliar ( )rN ξr
e suas derivadas apenas uma vez para cada tipo de
elemento. A matriz do Jacobiano e seu determinante, entretanto, dependem das
coordenadas geométricas de cada elemento e devem, portanto, para cada elemento.
69
Exercício: implementar rotinas numéricas para calcular ( )rN ξr
, ( ) irN ξξ ∂∂ /r
, [ ]J ,
[ ] 1−J para elementos triangulares de 3 e 6 nós e quadrilaterais de 4, 8 e 9 nós.
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