CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos I - DEFINIO Oestudodosconjuntosnumricostemcomocaractersticaprincipalosseuselementos relacionadosentresi.Isto,comanecessidadedapocadecontarmos,enumerarmosos objetoscriarooconjuntodosnmerosnaturaiseapartirdaosoutrosconjuntosforam surgindo tambm por necessidades, como ampliaes daqueles at ento conhecidos. II CLASSIFICAO DOS CONJUNTOS NUMRICOS. 1)Conjunto dos nmeros naturais( ) 2)Conjunto dos nmeros inteiros( ) 3)Conjunto dos nmeros racionais( ) Q4)Conjunto dos nmeros irracionais( ) 5)Conjunto dos nmeros reais( ) 6)Conjunto dos nmeros complexos( ) CVamos relacionar os conjuntos numricos atravs do diagrama de Venn. No diagrama acima observamos que:

Com isso, fica fcil agora de perceber a relao entre os conjuntos numricos. N Z Q R I C Q I C R Q Z N = ;CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 2 III CONJUNTO DOS NMEROS NATURAIS( ) { }{ } ( ){ } { } ....... , 3 , 2 , 1 0....... , 3 , 2 , 1,..... 3 , 2 , 1 , 0= = = Nnulos no naturais NN

Observamos que o asterisco indica que o zero deve ser suprimido do conjunto. Fica de olhos abertos. A soma de dois nmeros naturais quaisquer um nmero natural; O produto de dois nmeros naturais quaisquer um nmero natural; Adiferenadedoisnmerosnaturaisaeb( ) b a igualaumnmeronaturalse,e somente se,b a . IV CONJUNTO DOS NMEROS INTEIROS( ) { }{ } ( ){ } ( ){ }( ){ } ( ){ } ( ) negativos te estritamen eiros Zpositivos no eiros Zpositivos te estritamen eiros Znegativos no eiros Znulos no eiros ZZint 1 , 2 .......... ..........int 0 , 1 , 2 ......, ..........int ........ .......... , 4 , 3 , 2 , 1int ....... .. ,......... 3 , 2 , 1 , 0int ....... .. , 2 , 1 , 1 , 2 ...,..... , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 ..., = = = = = = ++ Observamos que o conjunto dos nmeros inteiros( ) uma ampliao dos conjuntosdos nmeros naturais( ) . CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 3 EntotodonmeronaturaltambmumnmerointeiroeconsequentementeNum subconjunto de Z. Fica de olhos abertos. A soma de dois nmeros inteiros quaisquer um nmero inteiro; O produto de dois nmeros inteiros quaisquer um nmero inteiro; A diferena de dois nmeros inteiros igual a um nmero inteiro. 4.1. DIVISIBILIDADE Sejam a e b dois inteiros, com a 0, diz-se que a divide b, se, e somente se, existe uminteiroqtalqueb=a.q.Nestecasodiz-setambmqueadivisordebequeb mltiplo de a. Indicaremos por a b o fato de a dividir b; e se a no dividir b, escrevemos a b. Vejamos alguns exemplos: 1.4 12, pois 12 = 4 . 3 2. 5 30, pois 30 = - 5 . (- 6) 3.7-21, pois 21 = 7 . ( - 3) 4.3 11, pois no existe q inteiro tal que 10 = 3 . q Para a relao x y nos inteiros valem as seguintes propriedades: P1 : aa,a Z*, pois a = 1 . a (propriedade reflexiva) Z N Veja: Z N CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 4 P2 : se a b e b ab = a . (propriedade antisimtrica) Demonstrao: De fato, por hiptese, b = a.q1 e a = b.q2. Da, b = b.(1 2.q q ). Se b = 0, como a=b.q2, ento a=0, e se b 0, ento1 .1 2= q qe portanto1 q2 1= = q . Logob a=tambm nesse caso. P3 :se a b e b c a c (propriedade transitiva) Demonstrao: Por hiptese, b = a.q1 e c = b.q2 . Da, c = a.(2 1.q q ) e portanto a c. P4 :se a b e c0, ento a.c b.c . Demonstrao: De fato, por hiptese b = aq e agora multiplique ambos os membros por c, vem:b.c = (a.c).q. Portanto, a.c b.c. Obs.:arecprocadapropriedade4tambmverdadeira,ouseja,sea.cb.cab. (Tente provar !) P5 :se a b ea c, ento a ( bc). Demonstrao: Pela hiptese, b = aq1 e c = aq2. Da subtraindo ou somando uma equao de outra, vem:(bc) = a (2 1q q ). Portanto, a (b c). 4.2. CRITRIOS DE DIVISIBILIDADE Um inteiro qualquer diferente de zero, divisvel por: 2, se for par. Ex: 2.004; 3, se a soma dos seus algarismos for um numeral divisvel por 3.Ex: 123; 4, se o numeral formado pelos dois algarismos da direita for um divisvel por 4. Ex:7.008; 5, se terminar em 0 ou 5. Ex: 19.875; 6, se for divisvel simultaneamente por 2 e 3. Ex: 1.056; 7, retira-se o ltimo algarismo da direita, em seguida subtrai-se do nmero que restou o dobro do algarismo retirado. Essa diferena tem que ser divisvel por 7. Ex: 343; Obs.: No sendo notvel a diferena, pode-se seguir vrias vezes o mesmo processo. 8, se o numeral formado pelos trs ltimos algarismos da direita for divisvel por 8. Ex: 123.016; 9, se a soma dos algarismos desse nmero for divisvel por 9. Ex: 9.234; 10, se terminar em 0. Ex: 1.230; CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 5 11, se a soma dos algarismos de ordem mpar menosasoma dosalgarismos de ordem par for um nmero divisvel por 11. Ex: 72.897; 12, se for divisvel simultaneamente por 3 e 4. Ex: 11.580; 13, retira-se o ltimo algarismo da direita, em seguida adiciona-se ao nmero que restou o qudruplo do algarismo retirado. Essa soma tem que ser divisvel por 13. Ex: 11.661; Obs.: No sendo notvel a soma, pode-se seguir vrias vezes o mesmo processo. 14, se for divisvel simultaneamente por 2 e 7. Ex: 3.612; 15, se for divisvel simultaneamente por 3 e 5. Ex: 13.455; 21, se for divisvel simultaneamente por 3 e 7. Ex: 16.548; 22, se ao mesmo tempo for divisvel por 2 e 11. Ex: 19.536;25, quando terminar 00, 25, 50 ou 75. Ex: 121.345.725. 4.3. ALGORITMO DA DIVISO Teorema Seae b so doisnmerointeiros, comb> 0, entoexistem e so nicos os inteiros qe r que satisfazem as condies: a = b.q + re0 r < b Oselementosa,b,qersochamados,respectivamente,dividendo,divisor,quocientee resto da diviso de a por b. Exemplo 1: Numa diviso o divisor 4, ache os possveis restos. Soluo: Como o divisor 4, ento0 resto < 4. Da, os possveis restos so{ } 3 , 2 , 1 , 0 . Exemplo 2: Achar os nmeros que, na diviso por 7, do quociente igual ao resto. Soluo: Seja N um dos nmeros procurados. Pelo algoritmo da diviso temos N = 7.q + r, com 0 r < 7. Fazendo r = q, temos N = 8.q , com 0 q < 7 e portanto os nmeros so: 0, 8, 16, 24, 32, 40 e 48. 4.4. RESTOS DAS DIVISES Naaplicaodocarterdedivisibilidade,orestodadivisodeumnmeroqualquerpor outro,cujocarterdedivisibilidadeconhecemos,seromesmorestoencontradona aplicao do carter pelo divisor considerado. Exemplo: Qual o resto da diviso de 1938 por 11? Soluo: Soma dos algarismos de ordem mpar = 9 + 8 = 17 Soma dos algarismos de ordem par = 1 + 3 = 4 17 4 = 13 e 13 dividido por 11 deixa resto 2. CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 6 4.5. TEORIA DOS RESTOS. Proposio 1. O resto da diviso de uma soma por um nmero o mesmo que o da diviso da soma dos restos das parcelas por esse mesmo nmero. Exemplo: Qual o resto da diviso da soma 18 + 27 + 14 por 4? Soluo: Soma dos restos das parcelas: 2 + 3 + 2 = 7 e 7 deixa resto 3 na diviso por 4. Portanto, o resto da soma de 18 + 27 + 14 por 4 ser 3. Proposio2.Orestodadivisodeumprodutoporumnmeroomesmoqueoda diviso do produto dos restos dos fatores por esse nmero. Exemplo: Qual o resto da diviso do produto 4735 x 28624 x 74652 por 9? Soluo: Produto dos restos dos fatores: 1 x 4 x 6 = 24 e 24 deixa resto 6 na diviso por 9. Logo, o resto do produto 4735 x 28624 x 74652 por 9 ser 6. 4.6. NMEROS PRIMOS Definio Dizemos que um nmero inteiro positivo p maior que 1 primo, se, e somente se, p possui exatamente dois divisores positivos distintos, ou seja,{ } p , 1 . Exemplo: O nmero 2 primo, poisosdivisorespositivosde2so{ } 2 , 1 .Emais,2oniconmeroprimopar,poisse existe primo par maior que 2, seria da forma N = 2q (q >1). Portanto, 1, 2 e q so divisores de N, o que torna absurdo, pois N primo. Proposio 1. O conjunto dos nmeros primos infinito. Proposio 2. Se p primo e p ab, ento p a ou p b. CLCULO DO NMEROS DE DIVISORES POSITIVOS Quantos so os divisores do nmero 126.000? Fatorando o nmero N = 126.000, obtemos: 7 . 5 . 3 . 23 2 4= NConsideremos alguns exemplos de divisores de N: ; 2 ; 3 ; 7 . 5 . 3 ; 7 . 5 . 3 . 2 ; 7 . 3 . 2 ; 5 . 24 2 2 2 3 3etc. CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 7 Podemos notar que nos divisores de N: 1. O expoente do fator 2 pode variar de 0 a 4: (20; 21; 22; 23; 24). 2. O expoente do fator 3 pode variar de 0 a 2: (30; 31; 32). 3. O expoente do fator 5 pode variar de 0 a 3: (50; 51; 52; 53). 4. O expoente do fator 7 pode variar de 0 a 1: (70; 71). Ento, se representarmos os divisores de N como nmeros da forma w y xD 7 . 5 . 3 . 22= , das observaes anteriores podemos dizer que: 1. x toma valores em {0, 1, 2, 3, 4}, resultando em 5 o nmero de possibilidades para o x. 2. y toma valores em {0, 1, 2}, resultando em 3 o nmero de possibilidades para o y. 3. z toma valores em {0, 1, 2, 3}, resultando em 4 o nmero de possibilidades para z. 4. w toma valores em {0,1}, resultando em 2 o nmero de possibilidades para w. Ento, pelo princpio multiplicativo, temos 5 . 3 . 4 . 2 = 120 divisores de N = 126.000. Dado nnp p p N ..... .2211= ondeoss pi' soprimosedistintos,calcularonmerode divisores de N. Tomando-se as consideraes do exemplo anterior, temos: 1. O expoente de p1 toma valores em {0, 1, 2,.......1}, resultando em (1 + 1) possibilidades de escolha para ele. 2. O expoente de p2 toma valores em {0, 1, 2, ... 2}, resultando em (2 + 1) possibilidades de escolha para ele. ............................................................................................................................................ n. O expoente de pn toma valores em {0, 1, 2,.....n}, resultando em (n + 1) possibilidades de escolha para ele. Pelo princpio multiplicativo, podemos concluir que (1 + 1) (2 + 1)... (n + 1) representa o nmero de divisores de N. 02) Quantos divisores naturais possui o nmero 360? Quantos so pares? Quantos so impares? Quantos so quadrados perfeitos? Soluo: CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 8 Sabemos que a fatorao do nmero 15 .23 .32 360 =Com isso, o nmero 5 . 3 . 2 : 360 forma da escrito ser podeonde : 1.toma valores em {0, 1, 2, 3}, resultando em 4 o nmero de possibilidades para o . 2.toma valores em {0, 1, 2}, resultando em 3 o nmero de possibilidades para o . 3. toma valores em {0, 1}, resultando em 2 o nmero de possibilidades para . Ento, pelo princpio multiplicativo, temos 4 . 3 . 2 = 24 divisores positivos de 360. Observamos que a quantidade de divisores positivos que so pares o valor deno pode ser 0. Pois, se forfor zero ter com resultado102 =que um numero impar. Ento, pelo princpio multiplicativo, temos 3 . 3 . 2 = 18 divisores positivos pares de 360. Observamosqueaquantidadededivisorespositivosquesoimparesovalorde sadmiteo nmerozerocomopossibilidades.Pois,sefor forzerotercomresultado102 = queum numero impar. Ento, pelo princpio multiplicativo, temos 1 . 3 . 2 = 6 divisores positivos impares de 360. Observamosqueaquantidadededivisorespositivosquesoquadradosperfeitososvaloresde e ,so respectivamente{ }{ } { } 0 2 , 0 , 2 , 0 e . Portanto, pelo princpio multiplicativo, temos 2 . 2 . 1 = 4 divisores positivos que so quadrados perfeitos de 360. Quantidadedesubconjuntosenvolvendo contagem. Quantos subconjuntos possui o conjunto A = {a, b, c}? Vamos escrever todos os subconjuntos de A: ; {a}; {b}; {c}; {a, b}; {a, c}; {b, c}; {a, b, c}. H,portanto,8subconjuntos.Analisandooqueacontececomoselementos,emrelaoaos subconjuntos, podemos dizer que cada um deles aparece ou no. Ento para o elemento temos 2possibilidadesquantosuapresenanosubconjunto(aparecerounoaparecer).Omesmo acontece com os elementos b e c. Portanto, segundo o princpio multiplicativo, temos 2 . 2 . 2 = 8 subconjuntos de A = {a, b, c}. Quantos subconjuntos possui um conjunto A com n elementos? Pelo que foi explicado no exemplo anterior, cada elemento de A pode ou no estar presente num determinado subconjunto e, pelo fato de A ter n elementos, ento A possui2 . 2...2 = 2n subconjuntos. CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 9 TESTANDO SEUS CONHECIMENTOS Problema 1. (COLGIO NAVAL) Dois inteiros positivos, primos entre six ey ,satisfazem a equao 0 x 7 xy 6 y2 2= .Achar asomay x+ . (A)6 (B)8(C) 4(D)10 (E)13 resp.: B Problema 2. (EUA) Se r2 r 10 = 0, ento (r + 1)(r + 2)(r 4) : a) inteiro b)positivo e irracional c)negativo e irracional d)racional e no inteiro e)no real resp.: A Problema 3. (MACK 2003) Dado o numero natural n = 26.32.55 , os divisores positivos de n, que so mltiplos de 225, so em numero dea)36 b)32 c)28 d)25 e)27 RESP.: C Problema 4. (OBM) O nmero 1234a6 divisvel por 7. Ento o algarismo a igual a: A) 0B) 2C) 4D) 6 E) 8 RESP.: D Problema 5. (UNIFESP 2006)Um nmero inteiro positivo m dividido por 15 d resto 7. A soma dos restos das divises de m por 3 e por 5 a) 2b) 3 c) 4d) 5e) 6 RESP.: B Problema 6. CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 10 (OBM)Quantossoospossveisvaloresinteirosdexparaque 1999++xxsejaumnmero inteiro? a) 5b) 10 c) 20d) 30 e) 40 RESP.: C Problema 7. (UNICAMPADAPTADA)AdivisodeumcertonmerointeiropositivoNpor1994 deixa o resto 148. Ento o resto da diviso de N + 2000 pelo mesmo nmero 1994 igual a: a) 0 b) 1 c) 148d) 154e) 160 RESP.: D Problema 8. (MACK 2002)Em um determinado site de Olimpada de Matemtica tinha o seguinte desafio: Sabendo que a, b e c so nmeros naturais tais que a + b + c = 25 e a + 2b + 3c = 40. Se c assume o maior valor possvel, o produto a . b vale: A) 7 B) 17C) 18D) 20E) 21 Resp.: B Problema 9. O maior nmero pelo qual devemos dividir 301 e 411 para que os restos das divises sejam 5 e 4, respectivamente, : a) 35b) 39 c) 37 d) 41 e) 11 RESP.: C Problema 10. (CN)Quantos valores do K Z existem, tais que, 17 . 113++kk um nmero inteiro? a) 4b) 5 c) 6d) 7e) 8 RESP.: E Problema 11. (MACK2000)Osnaturaisn,n 9 de modo que a frao 333nn seja um nmero inteiro. RESP.:27 , 15 , 11 = n Problema 42. (ROMNIA) Ache todos os inteiros positivos m e n de modo que8 3 92 2+ = + n n m . Problema 43. (BANCOCONESUL)Achetodososinteirosx,demodoque1 52 x x sejaum quadrado perfeito. Problema 44. Determine todos os naturais n de modo que( ) ( )221 2006 2005 + = + + n n . Problema 45. (OMRJ 98) a)Encontretodasassoluesinteirasepositivasde p y x1 1 1= + ,ondepumnmero primo [cada soluo um par ordenado( ) y x; ]. b) Encontre pelo menos 5 solues inteiras e positivas de.19981 1 1= +y x Problema 46. Sejam a e b nmeros reais tais que a2 + b2 = 6ab. Se qpb ab a 23 33 3=+ onde p e q so nmeros primos entre si. Calcule o valor de p + q. Problema 47. (O.C.M)Encontre as solues inteiras da equao( ) 6 3 32 = y x y CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 16 Problema 48. (EUA99)Sejaa2,a3,a4,a5,a6,a7valoresinteirosquesatisfaaaequao ! 7 ! 6 ! 5 ! 4 ! 3 ! 2 757 6 5 4 3 2a a a a a a+ + + + + = .Sabendoque0ai 1, ento:

PRODUTO DOS DIVISORES INTEIROS POSITIVOS O produto P(n) dos divisores positivos de um nmero inteiro positivo n > 1 igual a :

Onde : d(n) a quantidade de divisores positivos de n. Problema 1. (OBM 2004) Na seqncia deFibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, cada termo, a partir do terceiro, igual soma dos dois termos anteriores. Quanto vale a soma infinita ( )|||

\||||

\||||

\|=+ + +11........1.1112121112 1rkrk kppppppn Sr 2) () (n dn n P =CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 32 onde o n-simo termo o n-simo termo da seqncia de Fibonacci dividido por 2n? RESP.: 02 Problema 2. (IME 1996 / O.B.M - 1985) Calcule a soma abaixo: 3001 . 29981 `....10 . 717 . 414 . 11+ + + + RESP.: 30011000 Problema 3. (I.M.O - 1979)Sejam p e q naturais tais que: 1319113181........4131211 + + + =qp. Prove que p divisvel por 1979. RESP.: DEMONSTRAO Problema 4. (ALEMANHA)Ache o valor da soma:

==|||

\|+ 101023101 3 . 3 1iii iiix parax xx RESP.: 51 Problema 5. (O.M.M.G)Determine o valor da soma20081120072007= ||

\|+ =a paraakk. RESP.: ||

\|24015 Problema 6. (OMSP)Ummicrbio(detamanhodesprezvel)partedaorigemdeumsistemade coordenadas.Inicialmenteelesedeslocaumaunidadeechegaaoponto(1,0).Aelevira 900nosentidoanti-horrioeanda 21unidadeatoponto(1,1/2).Elecontinuadessa maneira, sempre descrevendo ngulos de 900 , no sentido anti-horrio eandando ametade da distncia da vez anterior. Continuando indefinidamente ele vai se aproximando cada vez mais de um determinado ponto. Ento a soma das coordenadas desse ponto igual a: CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 33 21) 1 )52)54)56) e d c b aRESP.: A Problema 7. (ROMNIA 1998)Sejam: 1000 19981.....1998 100111998 100011998 19971.....5 414 312 11+ ++=+ +++= B e A Prove que BA um nmero inteiro. Problema 8.. (EUA) Sabendo que *+ x na equao33=xxx . Ento o valor de x igual a: a) 3b) 31c)3d) 33e) 63RESP.: D Problema 9. (CANAD - 98) Resolva a equao3) 1 (222=++xxxno conjunto dos nmeros reais( ) . RESP.:25 125 12 1=+= x e x Problema 10. Num programa de televiso Show do milho o apresentador lanou a seguinte pergunta:

o valor da expresso... 16 8 4 2representa um nmero racional Q. Ento o valor de Q igual a: a)1b) 2c) 3d) 4 e) 5 RESP.: D Problema 11. Seja a a maior raiz da equao0 1 22 3= x x x . Calcule o valor de

a a a2 4 2RESP.: 02 CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 34 Problema 12. (IRLANDA 1997)Encontre todos os pares( ) y x ;de inteiros tais que: y x y x . . 1998 . 1996 1 = + +( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1995 ; 1997 1998, 1997 ; 1997 1998 , 3993 ; 3995 , 1997 1996 ; 1997 , 1997 1996 ; 1999 , 1 ; 1 : .22 2 2+ + RESP Problema 13. (MOLDAVIA)Se} 0 { , N c e b atais que2000 . . . . . = + + + + + + c b a c b c a b a c b a . Ache o valor numrico dec b a + +RESP.: 52 Problema 14. (INGLATERRA 1998)Seja f : N R uma funo tal que f(1) = 999 e f(1) + f(2) + f(3) + ...+ f(n) = n2.f(n) para todo n inteiro positivo. Determine o valor de f(1998) RESP.: 19991 Problema 15. (EUA) Sejam a e b nmeros reais taisque5 60 , 3 60 = =b a. Calcule o valor numrico de ( ) bb a 1 2112 . RESP.: 02 Problema 16. (PERU) Sabendo que a expresso( ) ( ) ( ) ( )3 4 54 3 2..... . . . x x x x tem infinitos termos e pode ser representada da seguinte forma nx . Ento o valor den igual a: a) 1 b) 2c) 3d) 4 e) 5 RESP.: A Problema 17. (PERU) Seja a sucesso s0, s1, s2, ..........., sk , ........ onde s0 = 49, s1 = 7 , s2 =7, ......, . Calcule a soma dos algarismos do produto de todos os termos da sucesso . Obs.: a sucesso tem infinitos termos. RESP.: 07 Problema 18. (OBMEP 2007)Qual o 021termo dasequncia : ( ) ( ) ( ) ( ) ? ;......... 15 14 13 12 11 ; 10 9 8 7 ; 6 5 4 ; 3 2 ; 1 + + + + + + + + + +RESP.: 4641 CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 35 Problema 19. (OBMEP 2007)A soman na S + + + + + = ..... 39 29 19 9 denota a soma dos primeiros n nmeros naturais terminados em 9. Qual o menor valor de n para que nSseja maior do que? 105 RESP.:142 = n Problema 20. (OBMEP 2007)Para percorrer um caminho reto de 10 metros de comprimento, uma pulga usa a seguinte estratgia: a cada dia ela percorre a metade do caminho que faltava no dia anterior. Portanto, no primeiro dia ela percorre 5 metros, no segundo 2,5 metros e assim por diante (o tamanho da pulga desprezvel). A partir de qual dia a pulga estar a menos de 0, 001m do nal do caminho? RESP.:14 = n Problema 21. (OBMEP 2007)Sabendo que a quantidade de palitos de fsforo utilizados da fila n ata a1 igual a 270 . Calcule o valor de n, cujos os trs primeiros termos so mostrados na figura abaixo? RESP.:12 = n Problema 22. (BULGARIA)Asomadosalgarismosdointeiropositivonsoluodaequao ( ) ( )221 2006 2005 + = + + n n igual a: a) 10b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 RESP.: E Problema 23. (CROACIA 2004) Calcule o valor de( ) 2005 z na expresso abaixo: ( )|||

\|+ + + ==20041 1 . 111 ) (j j j j jn n zRESP.: 01 Problema 24. (Olimpada do Cone Sul)Temos o conjunto dos 100 nmeros 1001......, ,41,31,21, 1 . Eliminamos dois nmeros quaisquer a e b desse conjunto, substituindo-os porab b a + + , e obtendo um conjunto com um elemento a menos. Aps 99 dessas operaes, resta apenas um nmero. Quais os possveis valores desse ltimo nmero? RESP.: 100 CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 36 Problema 25. (RUSSIA)Sabe-se que a soma ..... 00000013 , 0 000008 , 0 00005 , 0 0003 , 0 002 , 0 01 , 0 1 , 0 + + + + + + + = Sconverge para uma dizima peridica cujo nmero de algarismos do perodo igual a: a) 22 b) 42c) 44d) 48 e) 88 RESP.: C Problema 26. (CHILE)Simplificando ) 2 ).( 1 (2 .......6 . 52 . 45 . 42 . 34 . 32 . 23 . 22 . 11 5 4 3 2+ ++ + + + ++n nnn obtemos: 132)32) 222) 122)22)2 1 2 2 1+ +++ ++ + + + +nendncnbnan n n n n RESP.: C Problema 27. (EUA 2001)Sabendo que ! 20011! 2001 ! 2000 ! 19992001......! 5 ! 4 ! 35! 4 ! 3 ! 24! 3 ! 2 ! 13++ ++ ++ +++ +++ + vale k. Ento o valor de 2008.k igual a: a) 2008 b) 1004c) 502d) 2009 e) 251 RESP.: B Problema 28. Se 3x + 4y = 5, calcule o valor mnimo de x2 + y2. RESP.: 01 Problema 29. (BIOLORSSIA 2001)Determine o resto da diviso de ( ) 2004 40601 !. 200 ..... 1 3 !. ..... 11 !. 2 5 !. 12por k k k + + + + + + + . RESP.: 2001 Problema 30. (OBM 95)O nmero 26! = 1.2.3.4....25.26 termina por uma fileira de zeros. Seja N o inteiro que se obtem ao removermos todos os zeros do final de 26!. O maior inteiro k para o qual 12k um divisor de N : a) 2b) 4c) 6 d) 8e) 9 RESP.: D Problema 31. O valor da soma ) 100 99 99 100 (1.......) 3 2 2 3 (1) 2 1 1 2 (1++ ++++= S1011)910)91)109)101) e d c b aRESP.: A CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 37 Problema 32. Um aluno resolvendo uma questo de mltipla escolha chegou ao seguinte resultado , no entanto as opes estavam em nmeros decimais e pedia-se a mais prxima do valor encontrado para resultado, e, assim sendo, procurou simplificar esse resultado, a fim de melhor estimar a resposta. Percebendo que o radicando da raiz de ndice 4 quarta potncia de uma soma de dois radicais simples, sabendo que este resultado da forma( ) q p com q p > + .Ento o valor de p + q igual a: a) 1b) 2c) 3 d) 4 e) 5 RESP.: E Problema 33. (UNICAMP)Considere duas circunferncias, uma delas tendo o raio com medida racional e a outra com medida irracional. Suponha que essa circunferncia tm centros fixos e esto se tocandodemodoquearotaodeumadelasproduzumarotaonaoutra,sem deslizamento.Mostrequeosdoispontos(umdecadacircunferncia)quecoincidemno incio da rotao, nunca mais voltaro a se encontrar. Resp.: DEMONSTRAO Problema 34. (EUA)Se r2 r 10 = 0, ento (r + 1)(r + 2)(r 4) : a) inteiro b)positivo e irracional c)negativo e irracional d)racional e no inteiro e)no real RESP.: A Problema 35. (OBM)Sejam x e y nmeros racionais. Sabendo que 5 20064 2006xy tambm um nmero racional, quanto vale o produto xy? A) 20 B) Pode ser igual a 20, mas tambm pode assumir outros valores. C) 1 D) 6 E) No se pode determinar REsp.: A CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 38 Problema 36. (UERJ - 2004)Considere a seguinte soma infinita: (1/2) + (2/4) + (3/8) + (4/16) + ... No grfico I, abaixo, cada parcela desta soma representada pela rea de um retngulo, e a soma infinita determinada pela soma das reas desses retngulos. No grfico II, embora a configurao dos retngulos tenha sido alterada, as reas se mantm iguais. Com base nessas informaes, podemos afirmar que a soma infinita tem o seguinte valor: a) 3/2 b) 2c) 5/2d) 4 RESP.: B Problema 37. (UFF 2003) RESP.: E Problema 38. (EUA2002)Qualquernmeroquepodeserrepresentadocomonasfigurasseguintes chamado nmero triangular. CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 39 (1)(3) (6)(10) Se tn representa o n simo nmero triangular. Ento o valor da expresso : 2 )20014001)20034004)10012001)20034003)1....1 1 12002 3 2 1e d c b at t t t+ + + + resp.: C Problema 39. Passando em uma sala de aula, um aluno verificou que, no quadro negro, o professor havia escrito uma sequncia oscilante de 123454321234543..... o aluno achou interessante e ficou imaginando qual seria o digito da posio 02007. Descubra voc tambm este digito. Problema 40. (CANADA)Sabendoque 8.... 220712207122071220712207 podeserescritoda seguinteforma dc b a +,quandoa,b,cedsointeirospositivos.Entoovalorded c b a + + + igual a: a) 10b) 11 c) 12d) 13e) 14 RESP.: B Problema 41. (UFRJ) A regio fractal F, construda a partir de um quadrado de lado 1cm, constituda por uma infinidade de quadrados e construda em uma infinidade de etapas. A cada nova etapa consideram-se os quadrados de menor lado (l ) acrescentados na etapa anterior e acrescentam-se, para cada um destes, trs novos quadrados de lado l /3. As trs primeiras etapas de construo de F so apresentadas a seguir. CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 40

Calcule a rea de F. a) 3/2 cm2 b) 2 cm2c) 1 cm2d) 3cm2 e) 5/2 cm2 resp.: A Problema 42. (OBM-2000) Colocamosemordemcrescenteosnmerosescritosnascasasbrancas dotabuleiroaseguir(estamosmostrandoapenasassuasquatroprimeiraslinhas).Assim, por exemplo, o nono nmero da nossa lista 14. Qual o 2000o nmero da nossa lista? 1 234 56789 10111213141516 A) 3931B) 3933 C) 3935D) 3937E) 3939 Problema 43. O nmero total de laranjas que compem quinze camadas igual a: a) 1360 b) 1260 c) 1160d) 1060 e) 960 RESP.: A CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 41 ( ) ( )( )( )( )laranjas S Sto Porn n nnkk nque Sabemosnnnn Snn n Snn n Sque observeSSeja1360215 . 15 1631 . 16 . 15: tan61 2 112 2.....232221:151151215121511:16 . 15 ......... 4 . 3 3 . 2 2 . 1= ++ =+ += =||

\|= + + + +=+ =||

\|= =||

\|+ = =+ =+ + + + = Outra soluo: Usando as propriedades da coluna no tringulo de pascal, temos: 16 15 ... 4 3 3 2 2 1 S + + + + = 216 15...24 323 222 12S + +++= 3172162322C C ... C C2S= + + + = 6802 315 16 17= = S = 1.360 laranjas Problema 44. (O.C.M ) Se x + x + 1 = 0 , calcule o valor numrico de: 227272 2 21........111||

\|+ + + ||

\|+ + ||

\|+ + ||

\|+xxxxxxxxRESP.: 54 Problema 45. (EUA)Sejam xx91199119911991199119+++++ = e S a soma dos valores absolutos de todas as razes desta equao ento o valor de S2 igual a: a)381 b) 382c) 383 d) 384e) 385 RESP.: C CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 42 Problema 46. (CANADA 2000) Sabendo que p e q so duas razes reais da equao , 4 3 4 3 4 3 x x + + + =ento o valor de p + q igual a: a) 4b) 6c) 8d) 10e) 12 RESP.: C Problema 47. Dadaaequaodo2ograu 2( 1) 2 1 0. x m x m + + + = Quantossoos valores inteiros dem para que as razes desta equao sejam inteiros? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 RESP.: D Problema 48. (Hong Kong) A raiz real dax x = + + + 1 1 1pertence ao intervalo: a) (0, 1) b) (1, 2) c) (2, 3) d) 3, 4) e) 94, 5) RESP.: B Problema 49. (UFRJ 2008) Um jogo de computador tem diversas fases. As fases so compostas por nveis. A primeira fase tem um nico nvel, que d acesso aos trs nveis da segunda. Cada um dos nveis da fase k d acesso a trs nveis da fase k + 1, de acordo com o esquema da figura 1. Assim, o diagrama correspondente s 4 primeiras fases o apresentado na figura 2. CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 43 Quantos nveis tem a fase 6? Problema 50. 04)(UERJ 2007) A figura 1 mostra um molusco 'Triton tritonis' sobre uma estrela do mar. Um corte transversal nesse molusco permite visualizar, geometricamente, uma seqncia de semicrculos. O esquema na figura 2 indica quatro desses semicrculos.

Admita que as medidas dos raios (AB, BC, CD, DE, EF, FG, ...) formem uma progresso tal que (AB)/(BC) = (BC)/(CD) = (CD)/(DE) = (DE)/(EF) = ... Assim, considerando AB = 2, a soma AB + BC + CD + DE + ... ser equivalente a: 5 3 )3 3 )5 2 )3 2 )++++dcba RESP.: D CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 44 Problema 51. (EUA95)Considereotringuloabaixoformadospelosnmeros0,1,2,....nas extremidadeseosnmerosinterioresseroobtidoscomasomadosdoisnmeros adjacentes acima dele.

Se f(n) a soma dos nmeros da linha n. Ento, o resto da diviso de f(100) por 100 igual a: (A) 12(B) 30(C) 50(D) 62(E) 74 resp.: E Problema 52. (OMRN 96)Sabendo-se que A0 = A e que nnnnAAA+=+11, qual o valor de A1996 ? AAe AAdAAc bAa+ + + + ++ + + +1. 1996) .1996 .... 2 1). 1995 . 998 1) 1996 .... 3 2 1 )1996) resp.: C Problema 53. (HUNGRIA-96)Definimos a seqncia ) 2 )( 1 (1321 1+ ++ = =n na a e an npara n > 1. Expresse an em funo de n. Problema 54. Calcule a1992, se nnnnaaa+=+11, n = 0, 1, 2, 3, ..... e a0 = 1 Problema 55. (Holanda) Determine = +19891211nn n Problema 56. Considere os conjuntos: C1 = {1} C2 = {2,3,4} C3 = {5,6,7,8,9} C4 = {10,11,12,13,14,15,16} .................................................. CONJUNTOSNUMERICOSProfessor Judson Santos CONJUNTOS NUMERICOS Professor Judson Santos 45 Eassimpordiante.Seasomadoselementosdo500conjuntorepresentadoporx3+y3. Determine o valor de x + y, sabendo-se que x e y so nmeros consecutivos. a) 95b) 96c) 97 d) 98 e) 99 resp.: E Problema 57. Osnmerosinteirospositivossoagrupadosempartesdistintasdaseguintemaneira{1}, {2,3}, {4,5,6} , {7,8,9,10}, {11,12,13,14,15}... seja S a soma dos elementos que compem o 240 conjunto desta sequncia. Calcule a soma dos algarismos de S a) 21 b) 22c) 23 d) 24e) 25 resp.: A Problema 58. (IME)Considere a tabela formada por nmeros mpares. 1 35 79 11 1315 1719 ............................. a)Obter o terceiro elemento da linha vinte b)Obter a soma dos elementos da linha vinte. Problema 59. (AUSTRALIA)Paracadainteiropositivon,sejaf(n)= 3 2 3 2 3 21 2 1 1 21+ + + + + n n n n n

Calcule o valor de f(1) + f(3) + f(5) + ........ + f(999997) + f(999999) Problema 60. (CROACIA)Sejaf(x)= a aaxx+,ondeaumnmerorealpositivo.DetermineS= )20012000( ..... )20012( )20011( f f f + + +