Curso de Pós-Graduação “Lato Sensu” ESPECIALIZAÇÃO EM PROJETO DE ESTRUTURAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL DA UFSC
Disciplina:
EE 08 – UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS
FINITOS EM PROJETOS DE ESTRUTURAS
Prof.a Henriette Lebre La Rovere
Ano: 2002 Realização: ECV / GRUPEX / FEESC Apoio: AltoQI / USIMINAS / CISA
EE08 – Utilização do Método dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais Disciplina do Curso de Especialização em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC)
Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC)
GRUPEX Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas
SUMÁRIO
1 – INTRODUÇÃO
1.1 – Definição
1.2 – Objetivo
1.3 – Histórico
1.4 – Aplicações na Engenharia Civil
1.5 – Enfoque Físico do MEF
2 – PRINCÍPIOS DE ENERGIA E MÉTODO DE RAYLEIGH-RITZ
2.1 – Noções de Cálculo Variacional
2.2 – Princípio da Energia Potencial Mínima
2.3 – Princípio dos Trabalhos Virtuais
2.4 – Método de Rayleigh-Ritz
3 – FORMULAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
3.1 – Modificação do Método de Rayleigh-Ritz
3.2 – Equações de Equilíbrio – Condições de Convergência
3.3 – Elemento de Treliça
3.4 – Elemento Plano
3.5 – Elemento Sólido
3.6 - Elemento de Viga
3.7 - Vetor de Cargas Consistente
3.8 – Formulação Isoparamétrica - Coordenadas Naturais – Mapeamento
3.9 – Integração Numérica – Regras de Gauss
3.10 - Cálculo das Tensões
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4 – MODELAGEM ESTRUTURAL
4.1 – Escolha da Malha e de Elementos Apropriados
4.2 – Concentração de Tensões e Transição de Malhas
5 – APLICAÇÕES EM PROJETOS ESTRUTURAIS
5.1 – Vigas-Parede
5.2 – Lajes-Cogumelo
5.3 – Consolos
5.4 – Coberturas
5.5 - Edifícios
REFERÊNCIAS
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1 – INTRODUÇÃO
1.1 - Definição
O Método dos Elementos Finitos (MEF) é um método aproximado, um método
numérico, em Engenharia. Aplica-se em geral a problemas em que não é possível
obter soluções satisfatórias por métodos analíticos. O MEF pode ser definido sob
diferentes enfoques:
• Enfoque matemático - O método pode ser interpretado como um método
aproximado para solução de equações diferenciais parciais ou Problemas de
Valor de Contorno (PVC), assim como o Método das Diferenças Finitas. Mais
recentemente o MEF foi explicado matematicamente como sendo a forma
fraca de um Problema de Valor de Contorno [1].
• Enfoque físico - O método pode ser caracterizado como um método de
discretização, ou seja, transforma um sistema contínuo, com uma infinidade de
pontos, em um sistema discreto com um número finito de pontos.
• Enfoque variacional - O método é uma modificação do Método Variacional de
Rayleigh-Ritz, em que o domínio de integração do funcional é subdividido em
regiões.
O Método dos Elementos Finitos consiste em dividir o domínio de integração
do problema em um número discreto de regiões pequenas de dimensões finitas
denominadas elementos finitos. A este conjunto de regiões dá-se o nome de malha de
elementos finitos. A figura a seguir mostra uma superfície de forma genérica
discretizada por uma malha de elementos finitos planos triangulares.
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Os elementos podem ter as mais diversas formas geométricas, o que permite
uma melhor representação do problema, conforme ilustrado a seguir.
Elementos unidimensionais - Barras de eixo reto (elementos de treliça, viga) ou curvo
Elementos bidimensionais - Elementos planos : triangulares, retangulares,
quadriláteros com lados retos ou curvos.
Elementos tridimensionais - Elementos sólidos : tetraédricos, hexaédricos, com lados
retos ou curvos.
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Elementos laminares - Elementos de Placa (superfície plana) e Casca (superfície
curva).
Elementos axi-simétricos - Elementos tipo toróide com simetria de revolução,
gerados por elementos triangulares ou retangulares [2].
Os elementos são ligados entre si por pontos nodais denominados de nós. Cada
elemento tem um número determinado de nós, que podem ser externos, os que
materializam a ligação com os demais elementos, ou internos. A localização dos nós
nos lados e dentro do elemento pode variar, por exemplo:
Elemento de treliça:
Elemento bidimensional ou elemento de placa:
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Ao invés de procurar-se soluções aproximadas tratando-se o problema
globalmente, como é feito por métodos aproximados tais como o Método de
Rayleigh-Ritz e o de Galerkin, considera-se cada região ou elemento isoladamente, o
que possibilita a escolha de funções mais simples para representar o comportamento
aproximado local nesta região.
As incógnitas do problema são expressas em função de valores nodais que são
relacionadas através de funções de interpolação (polinômios no caso do MEF)
válidas para cada região ou elemento. Estes polinômios podem ser do 1o grau ou de
ordem superior (quadráticos, cúbicos), o que fornece uma maior flexibilidade ao
método.
O Método dos Elementos Finitos teve origem na Mecânica das Estruturas mas
posteriormente foi generalizado e atualmente é aplicado a diversos problemas em
Engenharia, tais como transmissão de calor, escoamento de fluidos, dispersão de
poluentes, mecânica dos solos, campo magnético, campo elétrico, biomecânica, etc.
Na Mecânica das Estruturas as incógnitas são em geral deslocamentos ou
tensões, mas em outros problemas de Engenharia podem ser temperaturas,
velocidades, pressões, corrente elétrica, ...
O Método dos Elementos Finitos é utilizado em projetos de edifícios, pontes,
coberturas, barragens, motores elétricos, navios, aviões, naves espaciais, etc.
Seja por exemplo uma chapa engastada em um bordo com um furo, como
mostra a figura [2] a seguir. Este é um problema de Estado Plano de Tensões, um
problema contínuo em que as incógnitas são o campo de deslocamentos no plano da
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chapa, u(x,y) e v(x,y). Devido à complexidade da geometria da chapa, não seria
possível para este problema obter-se uma solução exata, analítica.
Aplicando-se o Método dos Elementos Finitos ao problema, a chapa é
discretizada em ne elementos com um total de N nós. Obtém-se assim um total de 2N
incógnitas, uma vez que cada nó tem 2 graus de liberdade (nó i : deslocamentos ui e
vi). Transforma-se assim o sistema de equações diferenciais que rege o problema em
um sistema de equações algébricas 2N × 2N, no qual as incógnitas são os
deslocamentos nodais.
Matricialmente, este sistema de equações pode ser escrito na forma:
[ ]{ } { }FUK =
onde [K] é a matriz de rigidez da estrutura (chapa);
{U} é o vetor de deslocamentos nodais e
{F} é o vetor de forças nodais.
Resolvendo-se este sistema de equações obtém-se as incógnitas, os
deslocamentos nodais {U}. A resolução de sistemas de equações para sistemas com
muitos graus de liberdade só é possível com o auxílio de computadores digitais. Foi
graças ao avanço tecnológico dos computadores e dos programas computacionais que
o MEF pôde ser desenvolvido.
furo
pressão p
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Obtidos os deslocamentos nodais, obtém-se, em qualquer ponto dentro de cada
elemento, os deslocamentos u (x, y) e v(x, y), utilizando-se as funções de interpolação
do elemento. A partir destes deslocamentos obtém-se as deformações específicas e as
tensões em qualquer ponto dentro do elemento.
Deve-se ressaltar que a solução obtida para o problema é uma solução
aproximada. Atendidas certas condições, conforme será visto mais adiante,
refinando-se a malha, ou seja, aumentando-se o número de elementos, a solução
aproximada tende para a solução exata, ou seja, o método é dito convergente.
1.2 – Objetivo
As condições de convergência e a precisão da solução do Método dos
Elementos Finitos dependem não apenas da formulação dos elementos mas também
da escolha da malha e do tipo de elemento utilizado na discretização do problema.
Em outras palavras, não basta utilizar-se programas bem desenvolvidos, com bons
algoritmos numéricos, é necessário também que a modelagem seja adequada.
Quem fornece a malha de elementos finitos e quem escolhe o tipo de elemento
a ser utilizado é o usuário dos programas. Nem sempre é verificado pelo programa se
as coordenadas dos nós ou a conetividade dos elementos está coerente. Pode ser que
um tipo de elemento seja adequado para um certo tipo de problema mas não para
outro. Cabe ao usuário ter conhecimento sobre os elementos fornecidos, suas
formulações e a compatibilidade entre elementos adjacentes. Segundo Cook, Malkus
& Plesha [3] , "although the finite element method can make a good engineer
better, it can make a poor engineer more dangerous". Na verdade mesmo um bom
engenheiro, mas que não conheça a teoria do Método dos Elementos Finitos, pode ser
perigoso ao aplicar o MEF a problemas usuais da Engenharia.
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Cada vez mais, no entanto, os programas de elementos finitos estão se
aperfeiçoando, utilizando pré-processadores para geração de malhas com saídas
gráficas para visualização das malhas e verificação da geometria, o que vem a
facilitar ao usuário. Alguns programas mais modernos dispõem de pré-processadores
para geração automática de malhas, lançando malhas sucessivamente até a obtenção
de uma malha considerada adequada, verificando-se para isto a descontinuidade de
tensões entre elementos.
Esta disciplina tem como objetivo fornecer os conhecimentos necessários à
modelagem consistente de estruturas pelo Método dos Elementos Finitos e à
utilização de programas computacionais de Elementos Finitos em Projetos
Estruturais.
A disciplina será restrita à aplicação do MEF à Mecânica das Estruturas. Só
serão consideradas estruturas com comportamento linear, ou seja estruturas cujos
deslocamentos e deformações específicas são pequenos e que sejam constituídas de
material elástico-linear. Será adotada a formulação do MEF em termos de
deslocamentos, o que corresponde ao Método dos Deslocamentos da Análise
Estrutural.
1.3 – Histórico [3]
Pode-se dizer que o Método dos Elementos Finitos surgiu intuitivamente e só
muito tempo depois, devido ao estudo de métodos energéticos e técnicas variacionais,
é que o método foi comprovado matematicamente.
Desde 1906 os pesquisadores procuram estender os métodos de análise
matricial para estruturas reticuladas (barras) para problemas contínuos bi e tri-
dimensionais. O esquema apresentado seguia o que pode-se chamar de enfoque físico
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do MEF. A dificuldade estava em calcular a matriz de rigidez de elementos bi e tri-
dimensionais de forma arbitrária.
Aparentemente Courant foi o primeiro a propor o MEF na forma que
conhecemos hoje. Em 1941 ele utilizou o Princípio da Energia Potencial Mínima e
subdividiu a seção transversal de uma barra em elementos triangulares, assumindo
funções de interpolação lineares, ao estudar o problema de torção de Saint-Venant.
Posteriormente, Prager e Synge generalizaram o esquema de Courant chamando-o de
Método hipercírculo, aplicando-o a problemas matemáticos.
Na época não foi dada muita atenção ao fato pois não existiam computadores
para resolver grandes sistemas de equações algébricas. O desenvolvimento do MEF
está ligado ao desenvolvimento de computadores digitais e linguagens de
programação. Em 1953 os engenheiros já escreviam as equações de equilíbrio em
forma matricial usando matrizes de rigidez das estruturas e resolviam os sistemas de
equações em computadores (na época um problema grande tinha 100 graus de
liberdade). Nesta época Turner sugeriu que elementos triangulares fossem utilizados
para discretizar uma asa de avião.
O nome Método dos Elementos Finitos foi dado por Clough em 1960. Novos
elementos para análise de tensões foram desenvolvidos desde então por Turner,
Clough, Martin e Topp. Adini, Melosh e Tocher aplicaram o método para análise de
flexão de placas. Ainda considerava-se o método como uma extensão dos métodos de
análise matricial de estruturas reticuladas para problemas contínuos. Foi apenas em
1963 que o método passou a ser respeitado, quando seu fundamento teórico foi
descoberto: o método pode ser interpretado como a solução de um problema
variacional, no qual minimiza-se um funcional.
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No final dos anos 60 e começo dos anos 70 começaram a surgir grandes
programas de ampla aplicação de elementos finitos, tais como o ANSYS, ASKA,
ICES, SAP, ... Mais recentemente, pré-processadores para geração de malhas e dados
de entrada e pós-processadores para avaliação e visualização dos resultados foram
incluídos nos programas, graças ao desenvolvimento dos pacotes gráficos e
aplicativos com windows. Atualmente edifícios inteiros são analisados pelo método
dos elementos finitos em questão de minutos.
Em 1961 dez trabalhos foram publicados sobre o MEF, 134 em 1966 e 844 em
1971. O total de trabalhos publicados até 1976 era de mais de 7000 e o total até 1986
era em torno de 20000. A produção de trabalhos não continuou crescendo neste
mesmo ritmo nesta última década, mas novas aplicações do MEF foram surgindo,
principalmente na análise não-linear de estruturas e também em outras áreas da
Engenharia.
1.4 – Aplicações na Engenharia Civil
Alguns exemplos de aplicação do MEF na Engenharia Civil, analisados pelo
programa SAP2000 [4], estão mostrados no que se segue:
Pontes – elementos finitos de barra 3D (pórtico espacial, grelha)
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Coberturas – elementos finitos de casca
Reservatórios – elementos finitos de casca
Casca cilíndrica
Casca esférica
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Edifícios de Alvenaria Estrutural – elementos finitos de casca
Edifícios de Concreto Armado
lajes : elementos finitos de placa ou casca
pilares e vigas: elementos de barra 3D
(vigas não estão mostradas)
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Barragens – elementos finitos planos (estado plano de deformação)
Valos de Decantação – elementos finitos de casca e barras 3D
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1.5 – Enfoque Físico do MEF
Assim como na Engenharia, de uma maneira geral, existem sistemas contínuos
e discretos, na Mecânica das Estruturas pode-se classificar os sistemas estruturais em
contínuos e discretos. Pode-se ainda discretizar um sistema contínuo tornando-o
discreto, através de métodos de discretização, tais como o Método dos Elementos
Finitos e o Método das Diferenças Finitas.
1.5.1 Sistemas Contínuos Um sistema contínuo é composto por uma infinidade de pontos e possui
portanto um número infinito de graus de liberdade. Na análise de uma estrutura
contínua, a estrutura é dividida em elementos infinitesimais, sendo assim possível
exprimir matematicamente, de uma maneira simples, as relações "tensão-
deformação" para cada elemento. As equações de equilíbrio são equações diferenciais
ordinárias ou um sistema de equações diferenciais parciais, em que as incógnitas são
em geral os deslocamentos ou o campo de deslocamentos da estrutura. Para alguns
casos simples é possível obter-se a solução exata destes problemas através do método
de integração direta, como o exemplo mostrado a seguir.
Exemplo 1: Barra prismática submetida a esforço uniaxial
Seja a barra prismática (eixo reto e seção transversal constante) e de material
homogêneo, mostrada na figura acima, cuja extremidade esquerda é fixa e na qual
aplica-se uma carga axial P, na extremidade direita. A barra tem comprimento igual
a l , área da seção transversal igual a A e módulo de elasticidade constante igual a E.
l
P
A dx
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Neste problema existe apenas a possibilidade de deslocamento axial, tratando-
se portanto de um problema uni-dimensional (1D). As incógnitas do problema são os
deslocamentos axiais que variam ao longo do eixo da barra : u (x) .
A reação de apoio é obtida por equilíbrio estático, tendo mesmo módulo e
sentido contrário à carga aplicada. O diagrama de esforço normal ou axial é portanto
constante e igual a + P ao longo da barra, ou seja, a barra está submetida à tração
pura. Dividindo-se a barra em elementos infinitesimais dx, cada elemento está
submetido então a uma tensão normal positiva:
A
Px =σ (1.1)
que será constante para todos elementos, uma vez que a seção transversal da barra
também é constante e igual a A.
Admite-se que a barra é composta de material elástico-linear, que segue a Lei
de Hooke:
xx Eεσ = (1.2)
onde εx é a deformação específica axial do elemento infinitesimal dx.
Sendo conhecida a relação deformação específica × deslocamento:
dx
dux =ε (1.3)
onde du é a variação de comprimento do elemento infinitesimal dx, como mostra a
figura, obtém-se a equação de equilíbrio do elemento infinitesimal, substituindo-se
(1.1) e (1.2) em (1.3):
dx du
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EA
P
Edx
du x ==σ
(1.4)
que é uma equação diferencial de 1a ordem. Para resolver esta equação é necessário
conhecer-se uma condição de contorno. Neste exemplo é conhecida a condição de
contorno na extremidade esquerda da barra, que é fixa: para x = 0 tem-se que
u(0) = 0.
Os problemas regidos por equações diferencias com condições de contorno
conhecidas são denominados de problemas de valor de contorno (PVC). O exemplo
desta barra é portanto o exemplo de um problema de valor de contorno:
=
=−
0(0)
0
u
EA
P
dx
du
PVC (1.5)
A maioria dos problemas em Mecânica dos Sólidos, incluindo a Mecânica das
Estruturas, pode ser descrita por um Problema de Valor de Contorno.
A solução da equação diferencial da barra deste exemplo pode ser obtida por
integração direta:
cxEA
P)x(u += (1.6)
Aplicando-se a condição de contorno u(0) = 0, obtém-se o valor da constante
de integração: c = 0. A solução do problema fica então:
xEA
Pxu =)( (1.7)
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Observa-se que o deslocamento axial varia linearmente em x, sendo máximo
na extremidade direita da barra, quando x=l : lEA
Pxu =)( .
Nem sempre é tão simples a resolução de uma equação diferencial ou de um
sistema de equações diferenciais parciais de sistemas contínuos, por isto é de
fundamental importância o conhecimento dos métodos de discretização.
1.5.2 Sistemas discretos
Sistemas discretos são aqueles que possuem um número finito de pontos
materiais e portanto um número finito de graus de liberdade. Exemplos clássicos
utilizados na Mecânica das Estruturas são os de pontos materiais ligados por molas
elásticas.
Exemplo 2: Ponto material ligado à mola elástica e linear
Seja um ponto material ligado à extremidade direita de uma mola elástica e
linear, de rigidez k e considerada inextensível, fixa na extremidade esquerda, como
mostra a figura acima.
k
P
u
u(x)
EA
Pl
u(x)
x l
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Aplicando-se uma força horizontal P ao ponto material, este sofrerá um
deslocamento horizontal u, que será diretamente proporcional à força aplicada e
inversamente proporcional à constante elástica da mola :
k
Pu = (1.8)
Este problema possui um único grau de liberdade, o deslocamento u, e a
equação de equilíbrio que rege o problema é uma equação algébrica:
Pu.k = (1.9)
1.5.3 Discretização
Alguns tipos de estruturas contínuas, tais como estruturas compostas de barras
(reticuladas), edifícios formados por lajes rígidas apoiadas em colunas flexíveis
submetidos a cargas laterais, ..., são estruturas usualmente tratadas como discretas em
Análise Estrutural. É como modelar uma estrutura por uma associação de pontos
materiais e molas elásticas. Na verdade aplicam-se métodos de discretização para
transformar as estruturas contínuas em discretas, com um número finito de graus de
liberdade. As equações diferenciais que regem o problema são assim transformadas
em equações algébricas. No caso de estruturas reticuladas os métodos de
discretização conduzem a soluções exatas, enquanto que, para estruturas laminares e
tridimensionais, as soluções serão, em geral, aproximadas.
Exemplo 3: Discretização de uma barra contínua de material homogêneo e seção constante
P
l A
12 u 1
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Seja a barra contínua vista anteriormente no item 1.5.1, discretizada agora por
um elemento unidimensional, que coincide com o eixo longitudinal da barra, com 2
nós na extremidade. As relações força × deslocamento são agora consideradas nos
nós, 1 e 2, e como a barra é fixa à esquerda, o deslocamento horizontal do nó 2 é
nulo, u2 = 0. O sistema fica reduzido portanto a um sistema com apenas 1 grau de
liberdade (GL), o deslocamento horizontal do nó 1, u1 . O sistema contínuo, com um
número infinito de GL, fica assim reduzido a um sistema discreto com um número
finito de GL.
Em analogia a uma mola elástica, deve-se ter que a força aplicada P é
proporcional ao deslocamento u1, sendo esta proporcionalidade dada pela rigidez
axial da barra, ou do elemento; pode-se então escrever a equação de equilíbrio (1.9)
para o nó 1:
Puk =1 (1.9)
Supondo conhecida a rigidez axial da barra, que é o inverso da flexibilidade,
sendo esta obtida por exemplo a partir do Princípio dos Trabalhos Virtuais ou por
outro método da Mecânica das Estruturas:
l
EAk = (1.10)
pode-se obter então a solução da equação de equilíbrio:
EA
Pl
k
Pu ==1 (1.11)
A equação diferencial do problema contínuo foi assim transformada em uma
equação algébrica com 1 incógnita no sistema discreto. Observa-se que o
deslocamento u1 obtido coincide com o valor obtido anteriormente, para a
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extremidade da barra contínua (x=l), ou seja, obteve-se a solução exata para o
problema. A desvantagem deste procedimento seria a impossibilidade de obter-se o
deslocamento em um ponto qualquer da barra, apenas nos nós. Entretanto, os esforços
nas barras, de maior interesse para os projetistas, dependem apenas dos
deslocamentos dos nós nas extremidades dos elementos. Utilizando-se o Método dos
Elementos Finitos como método de discretização, também é possível obter-se os
deslocamentos em qualquer ponto dentro do elemento. Para estruturas reticuladas é
possivel obter-se a rigidez dos elementos diretamente usando os métodos da
Mecânica das Estruturas. Já para estruturas laminares e tridimensionais será
necessário utilizar a formulação matemática do Método dos Elementos Finitos.
Exemplo 4: Discretização de uma barra contínua composta de 2 hastes
l l
P
1 2
u u1 2
1
111
l
AEk =
2
222
l
AEk =
Seja agora este exemplo em que a barra é composta de duas hastes, de
materiais, comprimentos e seções diferentes, conforme mostra a figura. Esta estrutura
pode ser idealizada pela associação de dois elementos unidimensionais de rigidez
diferentes, k1 e k2 , interligadas por nós, o que corresponde a um sistema discreto de
três pontos materiais ligados por duas molas elásticas diferentes, conforme mostra a
figura a seguir:
l1 l2
u=0
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Como a extremidade à esquerda é fixa, trata-se de um problema de 2 graus de
liberdade, u1 e u2 ; a discretização desta barra conduzirá assim a um sistema de 2
incógnitas e 2 equações algébricas de equilíbrio de forças em torno dos nós, que pode
ser escrito sob a forma:
=+
=+
PuKuK
uKuK
222121
212111 0 (1.12)
ou então, sob a forma matricial:
=
P
0
u
u
KK
KK
2
1
2221
1211 ; [ ]{ } { }FUK = (1.13)
onde {U} é o vetor de deslocamentos nodais, {F} é o vetor de forças nodais e [K] é a
matriz de rigidez da barra que pode ser obtida da seguinte maneira:
i) Impõem-se os deslocamentos u1 = 1 e u2 = 0 à barra:
obtendo-se assim os coeficientes K11 = k1 + k2 e K21 = - k2 .
ii) Impõem-se os deslocamentos u1 = 0 e u2 = 1 à barra:
k1 k2
P u1 u2
k1 k2
u1 =1
k2 k1
K11 K21
k2
u2 =1
k2
K12 K22
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obtendo-se assim os coeficientes K12 = - k2 e K22 = k2 .
Resolvendo-se o sistema de equações (1.12) obtém-se as incógnitas do
problema, u1 e u2.
Para estruturas compostas de muitas barras, em vez de tratar-se a estrutura
globalmente, como neste exemplo, divide-se a estrutura em elementos. As matrizes
de rigidez de cada elemento são calculadas então isoladamente e, a partir destas,
obtém-se a matriz de rigidez da estrutura, somando-se os coeficientes
correspondentes aos mesmos graus de liberdade. Estes procedimentos da Análise
Matricial de Estruturas poderão ser aplicados a estruturas laminares e tridimensionais
discretizadas pelo Método dos Elementos Finitos, uma vez conhecida a matriz de
rigidez dos elementos finitos.
Exemplo 5: Discretização de uma barra contínua de material homogêneo e seção
variável
A=10
P A=1
l = 100
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Seja agora uma barra de material homogêneo mas de seção variável, conforme
mostra a figura acima, engastada na extremidade esquerda e com uma carga axial P
aplicada na extremidade direita. A área da seção transversal varia ao longo do eixo x :
A(x) = 10 - 0,09x, e são dados também, em unidades consistentes, a carga axial P =
20 e o módulo de elasticidade do material da barra, E = 20 000.
Inicialmente será obtida a solução exata do problema, tratando a barra como
contínua. Dividindo-se a barra em elementos infinitesimais dx, cada elemento está
submetido a uma tensão normal positiva, que agora é variável ao longo de x:
xxA
Pxx 09,010
20
)()(
−==σ (1.14)
Levando em consideração a lei de Hooke, (1.2) e a relação deformação
específica × deslocamento (1.3), chega-se à equação diferencial que rege o problema:
( )
( )xEA
P
E
x
dx
du x ==σ
(1.15)
Esta equação diferencial, juntamente com a condição de contorno dada pela
extremidade fixa, quando x = 0 → u(0) = 0, definem o Problema de Valor de
Contorno para este exemplo. A solução da equação diferencial (1.15) pode ser obtida
por integração direta:
( )
cx
dx
E
Pxucdx
xEA
Pxu +
−=∴+= ∫∫ 09,010
)()( (1.16)
( ) cxxu +−−=∴
−
09,010ln09,0
10)(
3
(1.17)
Aplicando-se a condição de contorno, obtém-se a constante de integração c:
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90
10ln010ln
90
1=∴=+− cc (1.18)
a qual, substituída na equação (1.17), fornece a solução deste Problema de Valor de
Contorno:
)009,01ln(90
1)( xxu −−= (1.19)
Na extremidade direita da barra, para x = 100, obtém-se o deslocamento axial
u(100) = 0,0256.
Neste exemplo, apesar de mais complicado do que o primeiro, ainda foi
possível obter-se analiticamente a solução exata do problema. No entanto, à medida
que a geometria, o carregamento e as condições de contorno tornam-se mais
complexos, nem sempre será possível obter-se a solução exata, devendo-se recorrer a
métodos aproximados para buscar-se uma solução aproximada para o problema.
Os métodos aproximados em Engenharia, tais como o Método de Rayleigh-
Ritz, Método de Galerkin ..., utilizam funções, em geral polinômios ou funções
trigonométricas, para a solução aproximada. Em um problema unidimensional de
Mecânica dos Sólidos, teria-se por exemplo:
...)( 33
221 ++++= xxxxu o αααα (1.20)
em que as incógnitas, αi , são determinadas aplicando-se certas restrições de acordo
com o método, sendo que o corpo sólido, ou a estrutura, é tratado globalmente, ou
seja, considera-se o domínio inteiro de integração do problema.
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Para fins de ilustração de soluções aproximadas, pode-se expandir a solução
exata deste exemplo 5 em série de Taylor:
1;...32
)1ln(32
<−−−−=− zzz
zz (1.21)
Como para este problema x < 100, tem-se que 1009,0 <x , logo pode-se
escrever:
−−−−−= ...
3
)009,0(
2
)009,0(009,0
90
1)(
32 xxxxu
+++=∴ ...
3
)009,0(
2
)009,0(009,0
90
1)(
32 xxxxu (1.22)
Para investigar a ordem de precisão de soluções aproximadas, compara-se a
solução exata na extremidade da barra, u(100) = 0,0256 , com a solução dada pelas
diversas aproximações da função u(x), obtidas truncando-se a série dada acima
(1.22):
1 termo (1a ordem): 90
009,0)(
xxu =
2 termos (2a ordem): 902
)009,0(
90
009,0)(
2
×+=
xxxu
E assim sucessivamente. A tabela abaixo mostra os valores obtidos para a solução
aproximada para o deslocamento na extremidade da barra, u (100), até a 10a ordem.
ordem 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a
u (100) 0,0100 0,0145 0,0172 0,0190 0,0203 0,0213 0,0221 0,0227 0,0232 0,0235
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Observa-se da tabela que muitos termos são necessários para obter-se uma
precisão razoável; 10 termos resultam ainda em um erro relativo de 8%. Isto para um
problema relativamente simples, unidimensional.
Para melhorar a precisão das soluções aproximadas dos métodos aproximados
clássicos em Engenharia, torna-se necessário aumentar o grau dos polinômios
utilizados para as funções aproximadas, resultando às vêzes em graus muito elevados
o que complica a solução.
Conforme será visto mais adiante, o Método dos Elementos Finitos é uma
modificação de um destes métodos aproximados, o de Rayleigh-Ritz, em que o
domínio de integração do problema é subdividido em regiões de dimensão finita
denominadas elementos finitos, ou seja, o problema contínuo é discretizado. A
vantagem é que pode-se assim utilizar funções mais simples, polinômios de grau
baixo, para descrever a solução aproximada dentro de cada região ou elemento. Para
melhorar a precisão da solução, aumenta-se o número de elementos ao invés de
aumentar-se o grau dos polinômios utilizados.
Aplicando-se o Método dos Elementos Finitos a este exemplo, de barra
de seção variável, discretiza-se a barra por diversos elementos unidimensionais de
seção constante, conforme feito anteriormente nos exemplos 3 e 4. A figura abaixo
mostra como exemplo a barra de seção variável discretizada por 4 elementos
unidimensionais ou de treliça de mesmo comprimento (li = constante). Considera-se
que cada elemento i tem seção transversal Ai constante, igual ao valor da área no
centro do elemento i.
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A vantagem do MEF é que considera-se dentro de cada elemento uma função
simples de aproximação, no caso um polinômio do 1o grau, pois conforme visto
anteriormente, a solução exata de uma barra unidimensional de seção constante é uma
função linear em x (ver eq. 1.7). Isto vem a facilitar a utilização do método e sua
implementação em programas computacionais. A discretização da barra em 4
elementos, por exemplo, resulta em um sistema de equações algébricas 4 x 4:
[ ] { } { } 141444 ××× = FUK (1.23)
que pode ser resolvido facilmente com o auxílio de computadores.
A solução aproximada obtida pelo MEF para o deslocamento axial na
extremidade direita da barra, u (100), variando-se o número de elementos está
apresentada na tabela abaixo:
Número de elementos
1
2 4 8
u (100) 0,01818 0,02184 0,02407 0,02509
A1
P
A2 A3
A4
l1 l2 l3 l4
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Observa-se que a precisão da solução aproximada para apenas 1 elemento já é
quase equivalente à aproximação de 4a ordem da solução aproximada obtida
anteriormente para o domínio todo da estrutura, para 4 elementos já é superior à
aproximação de 10a ordem, 6% de erro relativo em comparação com 8%, e para 8
elementos resulta em um erro relativo de apenas 2%.
Desejando-se melhorar a precisão da solução aproximada dada pelo MEF, ao
invés de aumentar-se o grau do polinômio das funções de aproximação, aumenta-se o
número de elementos (ne), e, atendidas certas condições, quando este tende ao
infinito (ne → ∞) a solução aproximada tende para a solução exata, o que pode ser
constatado até visualmente para este problema (aumentando-se o número de
elementos a geometria do modelo aproxima-se da estrutura real, contínua).
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2 – PRINCÍPIOS DE ENERGIA E MÉTODO DE RAYLEIGH-RITZ
2.1 – Noções de Cálculo Variacional [5]
2.1.1 – Máximos e mínimos de uma função de uma variável independente
Em cálculo diferencial estuda-se como uma função f varia quando os valores
de uma variável, por exemplo x, variam. A função pode ser escrita na forma f = f(x).
Uma das questões de maior interesse é como obter os valores extremos (máximos e
mínimos) de uma função.
Seja a função f de uma variável independente, x, definida no intervalo
BA xxx ≤≤ , mostrada na figura acima, aonde f(x) é a variável dependente.
O menor valor da função f em todo o domínio denomina-se mínimo absoluto,
no caso será f(xA) e o maior valor denomina-se máximo absoluto, no caso, f(xB).
Além dos valores absolutos, podem existir valores máximos e mínimos
relativos. No exemplo acima, f(x1) é um máximo relativo e f(x2) é um mínimo
relativo.
xA x1 x2 x3 xB x
f(x)
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Podem existir também os pontos indefinidos, que não correspondem nem a um
máximo nem a um mínimo. Tais pontos também são denominados ponto sela ou
ponto singular. No caso, f(x3) corresponde a um ponto sela.
Para estudar os valores extremos da função f(x) convém expandir f(x) em série
de Taylor, em torno de xo , para estudar o comportamento de f na vizinhança de xo (f
deve ser diferenciável em um intervalo bxa o ≤≤ ) :
K++++=+
ooo xxx
oodx
fdx
dx
fdx
dx
dfxxfxxf
3
33
2
22
!3!2)()(
∆∆∆∆ (2.1)
Chama-se )()( oo xfxxff −+= ∆∆ , o incremento total da função f e ∆x o
incremento da variável x. Reescrevendo-se então (2.1) tem-se:
K+++=−+=
ooo xxx
oodx
fdx
dx
fdx
dx
dfxxfxxff
3
33
2
22
!3!2)()(
∆∆∆∆∆ (2.2)
Observa-se da figura abaixo que, se f∆ for positivo então xo é um mínimo
relativo, pois )( xxf o ∆+ será sempre maior do que )( oxf para qualquer valor de
x∆ :
f(x)
∆f < 0
f(x)
∆f > 0
x0 x0+∆x x x0 x0+∆x x
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Analogamente, se f∆ for negativo então xo é um máximo relativo, pois
qualquer que seja o valor de x∆ , )( xxf o ∆+ será sempre menor do que )( oxf .
Como x∆ é muito pequeno, 2x∆ será bem menor do que x∆ e 3x∆ bem
menor do que 2x∆ , e assim sucessivamente, ou seja, a primeira parcela da eq. (2.2)
predomina sobre as demais e o sinal de f∆ será igual ao da primeira parcela.
Observa-se que, se 0≠
oxdx
df não será possível definir o sinal de f∆ , pois o mesmo
irá depender do sinal de x∆ .
Portanto, para obter-se um valor extremo de f (máximo ou mínimo relativo) em
xo é necessário que:
0=
oxdx
df (2.3)
Os pontos que satisfazem esta condição são denominados estacionários e esta
condição é denominada estacionariedade.
Além disso, como 2x∆ é sempre positivo, o caráter do ponto estacionário
ficará definido pelo sinal de
oxdx
fd2
2
.
Se →>⇒> 002
2
fdx
fd
ox
∆ xo é um mínimo relativo
Se →<⇒< 002
2
fdx
fd
ox
∆ xo é um máximo relativo (2.4)
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Se →= 02
2
oxdx
fd xo é um ponto neutro e deve-se investigar as derivadas de
ordem superior.
Esta análise pode ser estendida para funções de duas ou mais variáveis. Será
introduzida agora a seguinte notação variacional:
K+
+
+
=−+=
3
3
32
2
2
)(!3
1)(
!2
1)()( x
dx
fdx
dx
fdx
dx
dfxfxxff
ooo
oo δδδδ∆
(2.5)
onde
xδ é o incremento ou variação da variável x;
xdx
dff
o
δδ
= é o incremento de 1a ordem de f ou 1a variação de f;
2
2
22 )( x
dx
fdf
o
δδ
= é o incremento de 2a ordem de f ou 2a variação de f ... e
f∆ é o incremento total de f ou a variação total de f.
Usando-se a notação acima, pode-se reescrever a eq. (2.5):
K+++= ffff 32
!3
1
!2
1δδδ∆ (2.6)
E a condição de estacionariedade pode também ser reescrita:
00;0 =
⇒≠=
=
oo dx
dfxx
dx
dff δδδ (2.7)
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2.1.2 – Funcionais
Em cálculo variacional, ao invés de trabalhar-se com funções, trabalha-se com
funcionais. Funcional é uma quantidade cujo valor depende de uma ou mais funções
e representa-se na forma: F = F( f(x)) ou simplesmente F=F(f) . Neste caso F
depende apenas de uma função f que depende apenas de uma variável, x.
No caso geral F pode depender de várias funções, as quais podem depender de
uma ou mais variáveis:
),(ou)),(),,(( gfFFyxgyxfFF == (2.8)
Na Mecânica dos Sólidos, são de maior interesse os funcionais cujo valor
depende da integral de uma ou mais funções sobre uma certa região ou domínio, por
exemplo:
dxffffF xx
x
x
x
B
A
)832()( +−= ∫ (2.9)
que pode ser escrito na forma genérica:
2
2
eonde
),,,()(
dx
fdf
dx
dff
dxxfffIfF
xxx
xx
x
x
x
B
A
==
= ∫ (2.10)
Se F depender de f e g, que por sua vez dependem de x e y, tem-se:
dxdyyxggggffffgfIgfF yyyxxxyyyxx
A
x ),,,,,,,,,,,(),( ∫∫= (2.11)
Adotando-se funções diferentes para f, obtém-se valores diferentes para F em
(2.10), assim como adotando-se funções diferentes para f e g, obtém-se valores
diferentes para F em (2.11).
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O problema do Cálculo Variacional consiste em encontrar a função (ou
funções) que torna (ou tornam) o funcional F estacionário. Na Mecânica dos Sólidos,
os problemas são em geral formulados em termos de um funcional, utilizando-se os
princípios energéticos: a solução do problema corresponde a uma função estacionária
do funcional (geralmente que torna o funcional mínimo).
Seja um funcional simples que depende apenas de uma função e de sua
derivada:
BA
x
x
x xxxdxxffIfFB
A
≤≤= ∫ ;),,()( (2.12)
em que são conhecidas as condições de contorno:
BBAA fxffxf == )(e)( (2.13)
O conjunto de funções admissíveis para que o funcional F em (2.12) seja
definido no intervalo [xA , xB] são as funções que satisfazem as condições de
contorno e que são contínuas dentro do intervalo [xA , xB]. Para um funcional
genérico que contenha derivadas até a ordem m de f, as funções admissíveis para f
devem ser contínuas e suas derivadas até a ordem (m-1) também devem ser
contínuas.
Dentro deste conjunto de funções admissíveis para f, deve-se encontrar aquela
que torna o funcional F estacionário. Para isto deve-se estudar o comportamento de F
para pequenas variações em torno da função f, analogamente ao estudo da função f
em torno de xo , conforme visto anteriormente. Define-se assim a função h = f + fδ ,
como mostra a figura a seguir, sendo que h deve também respeitar as condições de
contorno : h (xA ) = fA e h (xB) = fB, para que seja uma função admissível ao funcional.
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Desenvolvendo-se o funcional F em série de Taylor em torno de f tem-se:
K+++=−+= FFFfFffFF32
!3
1
!2
1)()( δδδδ∆ (2.14)
onde
F∆ é a variação total de F;
Fδ é a 1a variação de F;
F2
δ é a 2a variação de F ... e assim por diante.
A condição de estacionariedade do funcional F é dada por:
0=Fδ (2.15)
Analogamente ao que foi visto anteriormente para funções:
Se →>⇒> 002 Ff ∆δ F terá um mínimo relativo
Se →<⇒< 002 Ff ∆δ F terá um máximo relativo
Se →= 02 fδ F terá um ponto neutro.
Partindo da eq. (2.12) e sabendo que, para uma função de duas variáveis,
g=g(x,y), a primeira variação da função se escreve: yy
gx
x
gg δ
∂
∂δ
∂
∂δ
+
= , pode-
se escrever a 1a variação do funcional F:
f, h
δf
xA xB x
fB
fA
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dxff
If
f
IdxffIF
B
A
B
A
x
x
x
x
x
x
x ∫∫
+== δ
∂
∂δ
∂
∂δδ ),( (2.16)
Integrando por partes o 2o termo entre parênteses de (2.16), vem:
B
A
B
A
x
xx
x
x x
ff
Idx
f
I
dx
dff
f
IF
+
−= ∫ δ
∂
∂
∂
∂δδ
∂
∂δ (2.17)
Observa-se que: 0)( e 0)( logo , ==−= BA xfxffhf δδδ (ver figura
anterior, pág. 34), portanto o último termo da eq. (2.17) se cancela. Aplicando agora
a condição de estacionariedade:
0.0 =
−⇒= ∫ dxf
f
I
dx
d
f
IF
B
A
x
x x
δ∂
∂
∂
∂δ (2.18)
Como fδ é arbitrário, para que a eq. (2.18) seja satisfeita para qualquer valor
de fδ , o termo entre colchetes no integrando desta equação deve-se anular:
0=
−
xf
I
dx
d
f
I
∂
∂
∂
∂ (2.19)
o que resulta numa equação diferencial, no caso de 2a ordem, denominada equação de
EULER-LAGRANGE.
Portanto, a função f que torna o funcional F estacionário é aquela que satisfaz
à equação diferencial de Euler-Lagrange, (2.19), e às condições de contorno (2.13).
Exemplo:
Seja o funcional dxxfff x∫
++
1
0
22 422
1 em que as funções f devem atender
às condições de contorno: f(0) = f(1) = 0. Encontre a função f que torne F
estacionário.
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xfffIdxxffIF xx 422
1;),,(
221
0
++== ∫
x
x
ff
Ixf
f
I=+=
∂
∂
∂
∂;44
A equação de Euler-Lagrange para este exemplo torna-se então:
0)(440 =−+∴=
− x
x
fdx
dxf
f
I
dx
d
f
I
∂
∂
∂
∂
que é uma equação diferencial de 2a ordem. Logo a função f que torna o funcional F
estacionário e satisfaz às condições de contorno é a solução do Problema de Valor de
Contorno:
==
+=
0)1()0(
44
ff
xff xx
A solução deste problema é: xee
eef
xx
−−
−=
−
−
22
22
Obter a função f que torna F estacionário e satisfaz às duas condições de
contorno f(0) = f(1) = 0 equivale portanto a encontrar a solução da equação
diferencial acima, de 2a ordem, submetida às duas condições de contorno dadas, ou
seja, encontrar a solução de um Problema de Valor de Contorno (P.V.C.).
Seja agora um funcional que depende apenas de uma função, como o definido
em (2.12), devendo porém a função f satisfazer apenas a uma condição de contorno:
AA fxf =)( (2.20)
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0 logo,0
0 logo,0
≠≠−→=
==−→=
=
=
B
A
xxB
xxA
ffhxx
ffhxx
δ
δ
Para que a função f torne o funcional F definido em (2.20) estacionário, a 1a
variação de F deve se anular. Substituindo-se as condições de contorno acima na eq.
(2.17), tem-se agora que:
0=
−
+
−= ∫
AB
B
A xxxx
x
x x
ff
If
f
Idxf
f
I
dx
d
f
IF δ
∂
∂δ
∂
∂δ
∂
∂
∂
∂δ (2.21)
Para que a equação acima seja satisfeita, como fδ é arbitrário, o integrando
contido no 1o termo deve-se anular, resultando na mesma eq. de Euler-Lagrange,
(2.19), encontrada anteriormente. Devido à condição de contorno (2.20) o último
termo de (2.21) se cancela, mas como agora no ponto B fδ não é mais conhecido,
será também um valor arbitrário e portanto para que o 2o termo se anule e (2.21) seja
satisfeita, deve-se ter que: 0=
Bxxf
I
∂
∂. Esta condição é conhecida como condição de
contorno natural (ou livre), enquanto que a condição de contorno (2.20) é conhecida
como condição de contorno essencial (ou forçada). Resumindo então, para que a
função f torne o funcional F estacionário, as seguintes condições devem ser
atendidas:
xA xB x
δf
fB
fA
f, h
EE08 – Utilização do Método dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais 38
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essencial contorno de condição )(
natural contorno de condição 0
Lagrange-Euler de eq. 0
=
=
=
−
AA
xx
x
fxf
f
I
f
I
dx
d
f
I
B∂
∂
∂
∂
∂
∂
(2.22)
O problema (2.22) (ou a eq. (2.21) + condição de contorno (2.20)) é
conhecido como a forma fraca (ou forma variacional) de um Problema de Valor de
Contorno.
De uma maneira geral, para que f torne o funcional dxxffIfFB
A
x
x
x ),,()( ∫=
estacionário, f deve satisfazer à eq. de Euler-Lagrange (2.19) e também às condições:
0ou)(
0ou)(
==
==
B
A
xx
BB
xx
AA
f
Ifxf
f
Ifxf
∂
∂
∂
∂
(2.23)
Para este problema (equação diferencial de 2a ordem e 2 condições de
contorno), deve-se ter em cada ponto do contorno uma condição de contorno,
essencial ou natural, não se pode ter as duas condições no mesmo ponto e nehuma no
outro ponto do contorno, pois a condição de estacionariedade não seria atendida e não
seria possível a resolução do problema.
Estendendo agora o estudo para funcionais que incluem derivadas de ordem
superior:
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;),,,()( dxxfffIfF xx
x
x
x
B
A
∫= f e fx são funções contínuas (2.24)
A primeira variação de F torna-se:
dxff
If
f
If
f
IF
B
A
x
x
xx
xx
x
x∫
++= δ
∂
∂δ
∂
∂δ
∂
∂δ (2.25)
Integrando por partes o 2o e 3o termos da eq. acima, vem:
dxf
I
dx
dff
f
Idxf
f
I B
A
B
A
B
A
x
x x
x
xx
x
x
x
x∫∫
−
=
∂
∂δδ
∂
∂δ
∂
∂
dxf
I
dx
dff
f
I
dx
df
f
I
dxf
I
dx
dff
f
Idxf
f
I
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
x
x xx
x
xxx
x
x
x
xx
x
x xx
x
x
x
x
xx
x
x
xx
xx
∫
∫∫
+
−
=
−
=
∂
∂δδ
∂
∂δ
∂
∂
∂
∂δδ
∂
∂δ
∂
∂
2
2
Substituindo-se os termos acima em (2.25), obtém-se:
B
A
B
A
B
A
x
xxxx
x
x
x
xx
x
x xxx
ff
I
dx
d
f
If
f
Idxf
f
I
dx
d
f
I
dx
d
f
IF
−+
+
+
−= ∫ δ
∂
∂
∂
∂δ
∂
∂δ
∂
∂
∂
∂
∂
∂δ
2
2
(2.26)
Se fossem dadas as condições de contorno:
==
==
')(;)(
')(;)(
BBxBB
AAxAA
fxffxf
fxffxf, os 2o
e 3o termos da eq. (2.26) se anulariam e, como fδ é arbitrário, para que Fδ seja
nulo deve-se ter:
02
2
=
+
−
xxx f
I
dx
d
f
I
dx
d
f
I
∂
∂
∂
∂
∂
∂ (2.27)
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que é a equação de Euler-Lagrange do problema, neste caso uma equação diferencial
de 4a ordem.
De uma maneira geral, não sendo dadas as condições de contorno acima, deve-
se sempre ter:
(2.28) isc.c.natura
0ou')(
0ou')(
0ou)(
0ou)(
essenciais c.c.
==
==
=
−=
=
−=
B
A
B
A
xxx
BBx
xxx
AAx
xxxx
BB
xxxx
AA
f
Ifxf
f
Ifxf
f
I
dx
d
f
Ifxf
f
I
dx
d
f
Ifxf
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Conforme visto anteriormente, em cada ponto do contorno ou tem-se uma
condição de contorno ( no caso, da função e de sua derivada) essencial ou natural, os
dois tipos não podem ocorrer no mesmo ponto.
Se m é a ordem mais alta das derivadas dentro do funcional, a equação de
Euler-Lagrange é uma equação diferencial de ordem 2m, e haverá 2m condições de
contorno, de 0 até 2m-1, lembrando que as funções f admissíveis ao funcional devem
ser contínuas e suas derivadas até a ordem m-1 também.
Exemplo:
Seja o seguinte funcional: dxpEIl
xxzp ∫
−=Π
0
2 v)(v2
1
em que a função v deve atender às condições de contorno: 0(0) ve 0v(0) x == .
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Encontre a equação de Euler-Lagrange e as condições de contorno naturais
deste problema.
pΠ representa a energia potencial total de uma viga de rigidez à flexão, EIz,
constante, submetida a uma carga uniformemente distribuída, p. Para as condições de
contorno dadas (essenciais), trata-se de uma viga engastada em x = 0 e livre em x = l:
v)(v2
1;),v v,( 2
0
pEIIdxxIF xxzxx
l
−== ∫
xxz
xxx
EIII
pI
vv
;0v
;v
==−=∂
∂
∂
∂
∂
∂
A equação de Euler-Lagrange , (2.19), para este exemplo torna-se então:
0)v(002
2
2
2
=+−−∴=
+
− xxz
xxx
EIdx
dp
f
I
dx
d
f
I
dx
d
f
I
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ou
z
xxxxzEI
p
dx
dpEI ==
4
4 vou )v(
que é uma equação diferencial de 4a ordem, a conhecida equação de equilíbrio de
uma viga submetida à flexão.
p
lxv
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As condições de contorno do problema são obtidas a partir de (2.28):
0Mou 0v0v
)
0v0)0( v)
0Vou 0v0vv
)
0v0)0( v)
xx
0x
xxx
0
==⇒=
=∴==
==−⇒=
−
=∴==
==
=
=
==
=
=
lxlxz
lxxx
xx
lxlxz
lxxxx
x
EII
iv
xiii
EII
dx
dIii
xi
∂
∂
δ
∂
∂
∂
∂
δ
sendo que as condições i) e iii) são condições essenciais, impostas, decorrentes do
engaste da viga na extremidade esquerda, em x=0, e as condições ii) e iv) são
condições naturais que devem ser atendidas uma vez que o valor do deslocamento v
e da rotação vx na extremidade direita, em x=l, não são conhecidos. As condições
naturais implicam portanto que se anulem na extremidade direita da viga o momento
fletor, M, e o esforço cortante, V, o que está correto, uma vez que não existe
nenhuma carga nem nenhum binário aplicado na extremidade livre.
A solução deste Problema de Valor de Contorno (forma fraca) em que m = 2 é
a solução da equação diferencial de Euler-Lagrange, de 4a ordem, encontrada acima,
que atende às 4 condições de contorno. Esta solução é a configuração de equilíbrio
da viga, pois, entre todas as configurações admissíveis ao funcional, apenas esta
torna o funcional pΠ , de energia potencial total, estacionário, conforme estabelece
o Princípio de Energia Potencial Estacionária, a ser visto mais adiante. Além disso,
como esta configuração resulta em um valor mínimo do funcional (uma vez que a
rigidez à flexão é positiva), trata-se de uma configuração de equilíbrio estável. Nos
problemas em que o funcional é a energia potencial total e as funções são
deslocamentos, as condições de contorno essenciais envolvem sempre derivadas de
ordem 0 a m-1 , sendo asssim denominadas de condição de contorno geométricas,
enquanto que as condições de contorno naturais envolvem derivadas de ordem m a
2m-1, sendo denominadas condições de contorno do tipo força.
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43
2.2 – Princípio da Energia Potencial Mínima [3]
Seja o sistema da figura abaixo:
em que define-se:
Sistema → corpo sólido (ou estrutura) mais o conjunto de cargas aplicadas neste;
Configuração de um sistema → conjunto de posições de todas as partículas do
corpo sólido;
CR → configuração indeformada ou de referência do sistema;
CD → configuração deformada do sistema;
Sistema Conservativo → quando o trabalho realizado pelas forças internas e
externas do sistema independem do caminho percorrido entre CR e CD (não há perda
de energia).
Para um corpo elástico, o trabalho realizado pelas forças internas é igual em
magnitude à variação da energia de deformação interna, U. Um sistema mecânico
conservativo tem uma energia potencial, isto é, pode-se expressar a quantidade de
energia do sistema em termos da sua configuração (sem precisar conhecer a
“história” das configurações anteriores). A energia potencial total do sistema consiste
da energia de deformação interna, elástica, (U) e do potencial de todas as cargas
externas (V), ou seja, a capacidade destas realizarem trabalho quando deslocadas da
configuração atual deformada para a configuração de referência, indeformada.
VUP +=π (2.29)
F2 F1
u3
u1 F3 2 1
Configuração
deformada 3
u2
Configuração
indeformada
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44
Todo corpo, ao se deformar, armazena energia de deformação interna, portanto
em qualquer configuração CD, U será sempre positiva. O potencial das forças
externas realizarem trabalho, V, entre CD e CR será igual a (– We), sendo We o
trabalho que estas forças realizaram entre CR e CD.
O Princípio de Energia Potencial Estacionária diz que:
“Entre todas as configurações admissíveis de um sistema conservativo, aquelas que
satisfazem as equações de equilíbrio tornam a energia potencial estacionária”.
Este Princípio vale tanto para sistemas lineares como para não-lineares (desde
que elásticos). Além disso se a condição de estacionaridade corresponde a um
mínimo o equilíbrio será estável (se for máximo → equilíbrio instável, se for neutro
→ equilíbrio indiferente)
Para investigar como varia πP para pequenas variações de deslocamentos,
desenvolve-se πP em série de Taylor e a condição de estacionaridade é dada por:
0=δπP → 1a variação de πP é nula (2.30)
O caráter do ponto estacionário ficará determinado pelo sinal da 2a variação de
πP.
a) Sistemas discretos (conservativos)
i) Sistema simples → 1 mola linear → 1 grau de liberdade (GL)
indeformada deformada
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45
Independentemente do caminho percorrido (A,B,C) a energia de deformação
do sistema na configuração deformada é:
2.
2
1ukU =
E o potencial das cargas externas é: uPWV e .−=−=
A energia potencial total (2.29) é dada por:
( )uuPukVU PP π=−=+=π ..2
1 2
A configuração de equilíbrio, ueq é encontrada aplicando-se (2.30):
0. 0 0 =−→=π
→=δπ
=δπ Pukdu
du
du
deq
PPP (2.31)
k
Pueq =∴ (equação de equilíbrio)
A equação (kueq - P).δu = 0 representa o Princípio dos Trabalhos Virtuais
conforme será visto mais adiante.
Pode-se também observar da figura abaixo que, na configuração de equilíbrio,
πP é um mínimo relativo logo o equilíbrio será estável.
De fato, 0 e 2
2
>=π
kkdu
d p
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46
ii) Sistema de vários GL (n)
Pode-se citar como exemplo uma estrutura reticulada composta de barras, com
um total de n graus de liberdade. A energia potencial total do sistema é:
πP = πP (u1, u2, u3, ..., un)
E a 1a variação da energia potencial total é:
n
n
PPPP u
uu
uu
uδ
∂
∂π++δ
∂
∂π+δ
∂
∂π=δπ .....2
2
1
1
A condição de estacionaridade (2.30), 0=δπP , implica em:
0 . . . 0 ; 021
=∂
∂π=
∂
∂π=
∂
∂π
n
PPP
uuu
ou
nai
ui
p
1
0
=
=∂
∂π
(2.32)
que representam um sistema (n × n) de equações (algébricas) de equilíbrio .
Introduzindo-se a seguinte notação: um til (~) sob uma letra para representar
tanto um vetor como uma matriz, pode-se reescrever (2.32) matricialmente:
∂π
∂P
u~
~= 0
Exemplo:
Molas em série → sistema de 3 GL
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47
O sistema possui 3 graus de liberdade que são os deslocamentos horizontais
dos 3 pontos materiais, representados matricialmente pelo vetor de deslocamentos:
=
3
2
1
~
u
u
u
u
E o sistema está submetido a uma carga horizontal em cada ponto material,
representadas pelo vetor:
=
3
2
1
~
P
P
P
F
A energia de deformação interna U depende dos deslocamentos relativos sofridos
por cada mola:
Deslocamento relativo na mola 1 → u1
Deslocamento relativo na mola 2 → u2 - u1
Deslocamento relativo na mola 3 → u3 - u2
Logo: ( ) ( ) 332211
2
233
2
122211
2
1
2
1
2
1uPuPuPuukuukukP −−−−+−+=π
As equações (2.32), 0=∂
∂π
i
P
u resultam em:
( )( ) ( )
( )
=−−
=−−−−
=−−−
0
0
0
3233
2233122
112211
Puuk
Puukuuk
Puukuk
(equações de equilíbrio)
ou, matricialmente:
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48
=
−
−+−
−+
3
2
1
3
2
1
33
3322
221
0
0
P
P
P
u
u
u
kk
kkkk
kkk
ou seja : ~~~
. FuK = (2.33)
que é um sistema (3 x 3) de equações algébricas, sendo ~K a matriz de rigidez do
sistema.
Cada uma das equações (2.32) corresponde à equação de equilíbrio nodal
(∂π
∂P
ii e
uF F= ⇒ = ∑∑0 , a soma das forças internas = soma das forças externas
no nó i).
A 2a variação de πP será positiva, uma vez que:
∂π
∂
∂ π
∂
P P
uK u F
uK
~~ ~ ~
~
~.= − = e
2
2 (2.34)
e a matriz ~K é positivo-definida (o sistema é restringido a movimentos de corpo
rígido, não é hipostático, e a rigidez das molas é positiva). Portanto a solução ~u
corresponde a um mínimo relativo para a energia potencial total, πP, sendo assim uma
configuração de equilíbrio estável.
O Princípio da Energia Potencial Mínima diz que:
“A configuração de equilíbrio (ou campo de deslocamentos que satisfaz as
equações de equilíbrio) de um sistema linear, elástico, é a que torna a energia
potencial total do sistema mínima”.
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49
b) Sistemas Contínuos (conservativos)
Seja um corpo sólido de forma arbitrária, submetido a forças no seu interior,
denominadas forças de volume )(~b , e no seu contorno submetido a forças de
superfície )(~
p e certas condições de contorno (deslocamentos prescritos, ~u ),
conforme mostra a figura abaixo:
sendo
p
p
p
p
x
y
z
~
=
; b
b
b
b
x
y
z
~=
; e no contorno S:
Sσ - parte do contorno com forças de superfície prescritas: ~
p
Su - parte do contorno com deslocamentos prescritos: ~u
O objetivo da Mecânica dos Sólidos é obter a configuração deformada do corpo,
ou seja, o vetor de deslocamentos de cada partícula do corpo: u
u
v
w~
=
. Esta
configuração é a configuração de equilíbrio do corpo, que será obtida utilizando-se o
Princípio da Energia Potencial Mínima, sendo conhecidas:
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50
i) Equações de compatibilidade: que são as relações Deformação Específica ×
Deslocamentos; consideram-se pequenas deformações específicas, portanto estas
relações são lineares.
+==
+==
+==
y
w
z
v
z
w
x
w
z
u
y
v
x
v
y
u
x
u
yzz
y
x
∂
∂
∂
∂γ
∂
∂ε
∂
∂
∂
∂γ
∂
∂ε
∂
∂
∂
∂γ
∂
∂ε
xz
xy
(2.35)
ii) Equações Constitutivas: que relacionam as tensões com as deformações
específicas, que dependem do tipo de material. O material do corpo sólido é
considerado isotrópico e elástico-linear, portanto estas equações são lineares. Apesar
de serem grandezas tensoriais, as tensões e deformações são aqui representadas como
vetores:
−
−
−−
−
−
−+=
xz
yz
xy
z
y
x
xz
yz
xy
z
y
x
E
γ
γ
γ
ε
ε
ε
ν
ν
νννν
ννν
ννν
νν
τ
τ
τ
σ
σ
σ
.
2
2100000
02
210000
002
21000
0001
0001
0001
.)21).(1(
(2.36)
ou, matricialmente : ~~~
.εσ D= ; onde ~D é a matriz constitutiva do material; E é o
módulo de elastcidade e ν é o coeficiente de Poisson do material.
Define-se agora: Uo → energia de deformação por unidade de volume do corpo, que
é igual em magnitude ao trabalho realizado pelas tensões sobre as deformações.
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51
Seja, por exemplo em um problema unidimensional:
(material elástico-linear: εσ .E= )
εεεσεε
dEdU o ...00 ∫∫ == εσε .
2
1.
2
1
2 ==∴ EU o (área sob a curva do gráfico)
Em um corpo sólido tem-se que:
[ ]zyzyxzxzxyxyzzyyxxoU γτγτγτεσεσεσ +++++= .2
1 (2.37)
ou, matricialmente: ~~~~
2
1
2
1σεεσ ⋅=•= T
oU (onde • representa um produto escalar)
A energia de deformação interna total do corpo é obtida integrando-se Uo ao
longo de todo o volume do corpo:
∫∫∫=V
T
V
T
V o dVDdVdVUU 2
1 = .
2
1 =
~~~~~εεσε (2.38)
O potencial das forças externas para o corpo sólido, V = - We , é:
∫ ∫=V S
TTdApudVbuV
σ
. - . -~~~~
(2.39)
lembrando que ~~~~
buubwbvbubT
zyx ⋅=•=++ e ~~~~
puupwpvpupT
zyx ⋅=•=++ e
supondo que os apoios sejam fixos, ~~0=u , ou seja, as reações não produzem trabalho.
A energia potencial total do corpo sólido fica sendo então:
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52
∫ ∫∫=V S
TTT
VP dApudVbudVDσ
εεπ . - . - 2
1
~~~~~~~ (2.40)
Como ), (~~upp εππ = , a 1
a variação da energia potencial total é:
~
~
~
~
uu
PPP δ
∂
∂πεδ
ε∂
∂πδπ +=
Minimizando agora o potencial de energia total do corpo, vem:
0 . - . - ~~~~~~~
== ∫ ∫∫ V S
TTT
VP dApudVbudVDσ
δδεεδδπ (2.41)
(lembrando da regra da derivada do produto: ( )~~~~~~~~~
~
2. + . εεεεεε∂
∂DDDD TT ==
ou ( )~~~~~~
~
2. σεσεσε∂
∂=+= D )
Manipulando-se a eq. (2.41), e sabendo-se que T
u~
δ é arbitrário, para que pδπ
seja nulo deve-se ter:
=
+
++
++
++
0
0
0
z
y
x
zyzxz
zyyxz
zxyxx
b
b
b
zyx
zyx
zyx
∂
∂σ
∂
∂τ
∂
∂τ
∂
∂τ
∂
∂σ
∂
∂τ
∂
∂τ
∂
∂τ
∂
∂σ
que são as equações de equilíbrio do corpo,
(equações de Euler-Lagrange) e também:
=
z
y
x
z
y
x
zzyzx
yzyyz
xzxyx
p
p
p
n
n
n
.
σττ
τστ
ττσ
que é a conhecida equação de Cauchy,
(condição de contorno natural), sendo n~
o vetor normal à superfície de contorno.
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53
2.3 – Princípio dos Trabalhos Virtuais
A partir da equação (2.29), pode-se escrever:
0=+= VUp δδδπ (2.42)
Comparando-se agora as equações (2.41) e (2.42), pode-se concluir que:
∫ ==V i
TWdVU δσεδδ .
~~, onde iWδ pode ser definido como o trabalho virtual das
forças internas, e ∫ ∫ −=−−=V S e
TTWdApudVbuV
σ
δδδδ~~~~
... , onde eWδ pode ser
definido como o trabalho virtual das forças externas.
Substituindo-se δU e δV na eq. (2.42), demonstra-se o Princípio dos Trabalhos
Virtuais:
eieiP WWWW δδδδδπ =⇒=−= 0 (2.43)
Este Princípio pode ser enunciado da seguinte forma:
“Seja um corpo sólido, submetido a certas cargas (de volume, de superfície) e
deslocamentos prescritos no seu contorno. O corpo se deformará atingindo uma
configuração deformada CD (~u em cada partícula) na qual as tensões internas estão
em equilíbrio com as forças externas. Adicionando-se à configuração deformada um
campo de deslocamentos virtuais (~uδ em cada partícula)
*, ou seja, uma pequena
variação em torno da configuração deformada, obtém-se uma nova configuração CV.
Como o corpo estava em equilíbrio, o trabalho virtual desenvolvido pelas forças
internas será igual ao trabalho virtual desenvolvido pelas forças externas ao se
deslocarem entre CD e CV ”.
* Obs.:
~~uu δ+ continua satisfazendo às condições de contorno: 0
~=uδ em Su.
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54
Exemplos:
1) Barra com carga axial uniformemente distribuída.
( )∫∫ ∫∫ −=∴=∴==
L
V
L xx
V o dxxupVdxAuE
UdVEdVUU00
22
)( . 2
2
ε
Logo, ∫ ∫−=L L
xp dxxupdxuEA
0 0
2 )(
2π
∫ ∫ =−→=L L
xxp dxupdxuuEA0 0 0 0 δδδπ ∫∫ −=
L
xx
L
xxx dxuuuudxuu00 δδδ
( )[ ] [ ] 0 . 0 0
=++−= ∫L
x
L
xxp uuEAdxupuEA δδδπ
Condição de contorno essencial: 00)0(0
=→= uu δ
Condição de contorno natural: A E ux x L. .
== 0 (não há carga concentrada na
extremidade x=L).
Equação de Euler-Lagrange: 0)( =+ puEA xx
Obs: No caso de existir deformação inicial oε e tensão inicial oσ :
ooo E
d
dUσεσ
ε+−=
εσεεε
...2
2
ooo EEU +−=∴ (2.44)
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55
2) Viga engastada com carga transversal variável ao longo de x
Condições de contorno essenciais: 0)0(v)0(v == x
A energia de deformação interna da viga é: ∫∫ ==V
x
V o dVEdVUU 2
. 2ε
Lembrando que xxx ydx
dy
dx
du
dx
dyyu v.
v.
v..
2
2
−=−==∴−=−= εθ
Logo:
( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫ =∴=∴−=L
xxz
A
L
xxA xx
Ldx
EIUdAydx
EUdxdAy
EU
0
22
0
22
0v
2 . v
2 v.
2
O potencial das forças externas que atuam na viga é: ∫−=L
dxxxqV0
)( v)(
A energia potencial total fica sendo então: ( )∫ ∫−=L L
xxz
p dxxxqdxEI
0 0
2 )(v).(v
2π
Fazendo-se 0=pδπ chega-se à equação de Euler-Lagrange, que é a equação de
equilíbrio da viga, e às condições de contorno naturais conforme foi visto
anteriormente (ver pág. 41 a 42).
L
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56
2.4 – Método de Rayleigh-Ritz [3], [5]
Conforme já foi visto, a maioria dos problemas de Mecânica dos Sólidos pode
ser expressa por um Problema de Valor de Contorno, seja formulado
variacionalmente (forma fraca) ou pela sua forma forte (equação diferencial + todas
as condições de contorno). A não ser para problemas muito simples, não será possível
obter a solução exata destes problemas (P.V.C.), devendo-se procurar uma solução
aproximada. Os métodos aproximados em Engenharia buscam soluções aproximadas
que transformam o sistema contínuo em um sistema discreto com um número finito
de graus de liberdade (transformando um sistema de equações diferenciais de
equilíbrio em um sistema de equações algébricas de equilíbrio).
Os métodos aproximados variacionais são aqueles que só podem ser aplicados
a problemas que admitem uma formulação variacional. O mais conhecido destes
métodos é o Método de Rayleigh-Ritz, proposto inicialmente em 1870 por Lord
Rayleigh ao estudar problemas de vibração e generalizado posteriormente por Ritz.
Este método consiste em operar apenas com um subconjunto das funções admissíveis
ao funcional e minimizar o funcional em relação a elas. A escolha das funções é
importante e aumentando-se o número de termos da função melhora-se a
aproximação.
Seja encontrar a função f que torna estacionário o funcional:
BA
x
x
x xxxdxxffIfFB
A
≤≤= ∫ ;),,()( (2.45)
em que são dadas as condições de contorno:
0)(e0)( == BA xfxf (2.46)
sendo que f é uma função contínua. Entre as funções f admissíveis ao funcional, a
solução exata do problema é a que satisfaz a condição de estacionariedade: 0=Fδ .
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57
O Método de Rayleigh-Ritz consiste em definir, entre estas funções
admissíveis, um subconjunto da forma:
ff nn ≅++++= φαφαφαφα K332211 (2.47)
em que as funções iφ são linearmente independentes; além disto, as funções iφ são
contínuas e satisfazem às condições de contorno: 0)()( == BiAi xx φφ . Os parâmetros
iα são chamados de coordenadas generalizadas (não possuem necessariamente um
significado físico).
Substituindo-se a eq. (2.47) na eq. (2.45), obtém-se uma aproximação para o
funcional F, F , que é função dos parâmetros iα já que as funções iφ são
conhecidas:
),,,,( 321 nFF αααα K=
sendo n o número de coordenadas generalizadas que são as incógnitas do problema.
Aplicando-se a condição de estacionariedade, vem:
02
2
1
1
=+++= n
n
FFFF δα
∂α
∂δα
∂α
∂δα
∂α
∂δ L (2.48)
Como as variações iδα são arbitrárias, a eq. (2.48) só será satisfeita se:
niF
i
, 2, 1,= para 0 K=∂α
∂ (2.49)
que definem um sistema de equações algébricas cuja solução fornece os valores dos
parâmetros iα , transformando-se assim um sistema contínuo em um sistema discreto.
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58
Se as funções f cumprem as condições de convergência do método, aumentando-se
o número de termos, ou seja, n, as soluções aproximadas ( f ) tenden para a exata (f).
As condições de convergência deste método são:
1) As funçõesφi devem ser admissíveis, ou seja, devem satisfazer às condições de
contorno essenciais do problema e tanto estas funções como suas derivadas até a
ordem m-1 devem ser contínuas, onde m é a ordem da derivada máxima que aparece
no funcional.
2) A sequência de funções deve ser completa, ou seja, no limite, quando n → ∞ , o
erro quadrático médio deve ser anular:
0lim
2
1
=
−∫ ∑
=∞→
dxfB
A
x
x
n
i
iin
φα (2.50)
Para saber se a solução está convergindo, deve-se proceder por tentativas,
aumentando-se sucessivamente o número de termos e comparando-se a última
solução com a da tentativa precedente, até chegar-se a uma diferença entre soluções
menor do que a tolerância desejada:
1a tentativa: 1
)1(
1
)1(φα=f
2a tentativa: 2
(2)
21
(2)
1
(2)φαφα +=f (2.51)
iésima tentativa: i
i
i
iiif φαφαφα )(
2
)(
21
)(
1
)(+++= K
→∈≤− − )1()( iiff convergência.
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59
Em geral as funções φi são polinômios ou funções trigonométricas. Se o ponto
estacionário do funcional corresponde a um mínimo, então ao substituir-se as funções
aproximadas, (2.73), na expressão do funcional, (2.67), obtém-se:
F F F F( ) (2) (3) (i)1 ≥ ≥ ≥ ≥L
ou seja, a sequência é monotônica e os funcionais aproximados são maiores do que o
real. No caso do funcional representar a energia potencial de um sistema ( pπ ), os
funcionais aproximados são então "mais rígidos" do que o real e se as funções
aproximadas forem deslocamentos, serão em geral menores do que os reais:
Portanto pπ é um limite superior para pπ . Aumentando-se o número de
termos na solução aproximada (n), o sistema aproximado torna-se mais flexível, logo
mais próximo do sistema real.
Obs.:
• Se a base de funções de aproximação contiver a solução exata do problema, então
encontra-se a solução exata ao utilizar-se o Método de Rayleigh-Ritz.
• As funções aproximadas não necessitam atender às condições de contorno
naturais, apenas as essenciais do problema (no caso do ponto estacionário do
funcional corresponder a um mínimo não importa, pois, ao aplicar-se a condição
de estacionariedade, minimiza-se o erro nas condições de contorno naturais).
u
uexato
n
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60
Exemplos:
1) Seja encontrar uma solução aproximada, θ , para tornar estacionário o seguinte
funcional:
[ ]dxxF x∫ ++−=1
0
22 2)( θθθ
em que a função deve atender às condições de contorno: 0(1))0( == θθ .
Para este problema, bastante simples, poderia-se obter a solução exata, θ, resolvendo-
se a equação de Euler-Lagrange obtida minimizando-se o funcional F:
xsen
xsenxxx −=⇒=++
10 θθθ
Esta solução exata será utilizada para comparação com as soluções
aproximadas fornecidas pelo Método de Rayleigh-Ritz.
Escolhem-se como funções aproximadas, funções do tipo:
)(.).1( 21 L++−= xxx ααθ
que satisfazem às condições de contorno do problema (não é possível partir-se de um
polinômio linear pois resulta em solução trivial, por isto deve partir-se de um
polinômio quadrático).
i) 1a aproximação: 11)1(
).21(.).1()1(
αθαθ xxx x −=∴−=
Substituindo-se θ no funcional F, vem:
[ ]dxxxxxxxF ∫ −−+−=1
0
21
2221
221
)1( )(2+)()2-1( ααα
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61
121
)1(
12
2
10
3αα +−=∴F
Minimizando o funcional em relação a 1α vem:
)1(18
5
18
5
012
2
10
60
)1()1(1
1
1
1
1
xx
FFF
−=→=∴
=+−=→==
θα
α∂α
∂δα
∂α
∂δ
ii) 2a aproximação: )+().1(.(2)(2)
21(2)
xxx ααθ −=
Substituindo-se θ no funcional F, integrando e minimizando em relação a 1α
e 2α vem:
=+
=+
20
1
105
13
20
312
1
20
3
10
3
)2(2
)2(1
)2(2
)2(1
αα
αα ;
que é um sistema de 2 equações a 2 incógnitas, cuja solução é:
41
7;
369
71 )2(2
)2(1 == αα
A solução aproximada fica sendo então:
+−= xxx
41
7
369
71)1()2(θ
COMPARAÇÃO COM A SOLUÇÃO EXATA
X θ (exata) θ (1) θ (2)
0,25 0,044014 0,0521 0,0440
0,50 0,069747 0,0694 0,0698
0,75 0,060056 0,0521 0,0600
Observa-se que a solução converge rapidamente para a solução exata usando-
se o Método de Rayleigh-Ritz, já obtendo-se bons resultados na segunda tentativa.
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62
2) Seja uma viga bi-apoiada submetida a uma carga uniformemente distribuída p:
Tomando como primeira solução aproximada para o deslocamento vertical do eixo:
2
21)1( xxv o ααα ++=
Impondo-se as condições de contorno essenciais da viga em x = 0 e x = l, obtém-se:
llvv 21o 0)(;0 0)0( ααα −=⇒==⇒=
A 1a solução aproximada fica sendo então: )( 2
2)1( lxxv −= α
O funcional de energia potencial total da viga é:
( )∫ ∫−=l l
xxp dxxvpdxvEI
0 0
2 )(.
2π
Substituindo-se a solução aproximada no funcional acima obtém-se:
( )∫ ∫ −−=l l
p dxlxxpdxEI0 0
22
2
2 )(.2 ααπ
Aplicando-se a condição de estacionariedade ao funcional acima:
0 ).(40 0
22
2
=−−=∂
∂∫ ∫
l lpdxlxxpdxEIα
α
π
Integrando-se e resolvendo-se a equação acima obtém-se:
EI
pl
24
2
2 −=α e a solução aproximada fica sendo então: )(24
22
)1( lxxEI
plv −−= .
p
x
v(x)
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63
No meio do vão (x=l/2), a flecha (máxima) é EI
pl
EI
pl
96384
4 44
= e o momento fletor é
12
2pl
− , enquanto que o esforço cortante no apoio à direita é V(0) = 0.
Na segunda aproximação adiciona-se mais um termo:
3)2(3
2)2(2
)2(1
)2()2( xxxv o αααα +++=
Impondo-se as condições de contorno essenciais da viga em x = 0 e x = l, obtém-se:
)()( 23)2(3
2)2(2
)2( xlxlxxv −+−= αα
Substituindo-se )2(v no funcional de energia potencial total e aplicando-se a condição
de estacionariedade:
0 ).().36.12(
0 ).().124(
0 0
232)2(3
)2(2
3
0 0
2)2(3
)2(2
2
=−−+=∂
∂
=−−+=∂
∂
∫ ∫
∫ ∫
l lp
l lp
dxxlxpdxxxEI
dxlxxpdxxEI
ααα
π
ααα
π
Resolvendo-se agora este sistema de equações (2 × 2) obtém-se:
EI
pl
24
2)2(
2 −=α e 0)2(3 =α , ou seja a mesma solução anterior.
Adicionando-se mais um termo, obtém-se a terceira aproximação:
4)3(4
3)3(3
2)3(2
)3(1
)3()3( xxxxv o ααααα ++++=
E, procedendo-se analogamente, encontra-se os valores dos αi . Verifica-se que esta
3a aproximação corresponde à solução exata:
+−=
l
x
l
x
l
x
EI
plv 24
48 3
3
4
44)3(
, sendo
a flecha máxima, v (l/2) = EI
pl
384
5 4
; e os esforços, M(l/2) = - 8
2pl e V(0) =
2
pl.
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64
REFERÊNCIAS
[1] Hughes, T.J.R. – The Finite Element Method – Linear Static and Dynamic Finite
Element Analysis, Ed. Prentice-Hall, Inc., 1987.
[2] Cook, R.D. –Finite Element Modeling for Stress Analysis, Ed. John Wiley &
Sons, Inc., 1995.
[3] Cook, R.D., Malkus, D.S., Plesha, M.E. – Concepts and Applications of Finite
Element Analysis, Ed. John Wiley & Sons, Inc., third edition, 1989.
[4] Computers and Structures, Inc. SAP 2000 Plus - Integrated Structural Analysis
and Design Software – Analysis Reference, Vol. I e Vol. II, 1996.
[5] U.F.R.G.S. – The Finite Element Technique, Editado por C.A. Brebbia e A.J.
Ferrante, Editora da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 1975.
BIBLIOGRAFIA ADICIONAL
Assan, A.E. – Método dos Elementos Finitos – Primeiros Passos, Editora da
Universidade Estadual de Campinas, 1999.
Assan, A.E. – Métodos Energéticos e Análise Estrutural, Editora da Universidade
Estadual de Campinas, 1996.
Buchanan, G.R. - SCHAUM’S Outlines – Finite Element Analysis Theory and
Problems, Ed. McGraw-Hill, 1995.
Bathe, K.J. - Finite Element Procedures, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliff, New
Jersey, 1996.
Bathe, K.J. - Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice-Hall, Inc.,
Englewood Cliff, New Jersey, 1982.
Hinton, E. e Owen, D.R.J. - Finite Element Programming, London: Academic Press,
1977.
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3 – FORMULAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
3.1 – Modificação do Método de Rayleigh-Ritz
O Método dos Elementos Finitos pode ser definido como uma modificação do
Método de Rayleigh-Ritz, em que o domínio de integração do funcional é
subdividido em regiões. As funções de aproximação são funções de interpolação
definidas em pequenos intervalos que interpolam valores nodais. As coordenadas
generalizadas ou parâmetros ajustáveis são portanto valores nodais, e, na formulação
do MEF em termos de deslocamentos, os valores nodais são deslocamentos nodais.
Seja por exemplo uma barra unidimensional submetida a uma carga axial que
varia linearmente em x, q (x) = c.x:
i) Domínio total:
1a aproximação: xu 1
)1( α=
2a aproximação:
221
)2( xxu αα +=
3a aproximação:
33
221
)3( xxxu ααα ++=
Calcula-se o funcional para todo o domínio: )( ipp αππ = e aplica-se a condição de
estacionaridade, 0=∂
∂
i
p
α
π para i = 1, np, sendo np o número de parâmetros.
Neste problema a 3a aproximação
coincidirá com a solução exata:
x, u
L
2a aprox.
0 Lx
u
3a aprox. ≡ exata
1a aprox.
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ii) Domínio subdividido em 3 subregiões:
Adimitindo-se funções de aproximação lineares em cada subregião ou intervalo:
221 0; xxxaau ≤≤+=
3243 ; xxxxaau ≤≤+=
4365 ; xxxxaau ≤≤+=
Pelo Método de Rayleigh-Ritz, para que uma função aproximada seja
admissível ela deve atender as condições essenciais, portanto deve-se ter 0=u
quando x = 0, além disto u deve ser contínua em todo o domínio de integração, o
que implica em se impor a continuidade entre os elementos:
para uuxx =→= 2 (= u2) e para uuxx =→= 3 (= u3)
As equações acima ficam então:
22 0; xxxau ≤≤=
322422 ;)( xxxxxaxau ≤≤−+=
433623422 ;)()( xxxxxaxxaxau ≤≤−+−+=
que podem ser representadas graficamente:
1
2
3
1 2 2 3
1 2 3 4 x, u
x1 x2 x3 x4
1 2 3
1
2
3
x1=0 x2 x3 x4
x
u
u4
u3
u2
u1=0
1 2 3
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O funcional é calculado como a soma dos funcionais em cada intervalo:
pppp ππππ ++=
As equações de equilíbrio são obtidas fazendo-se 0=pπδ , sendo
),,( 642 aaapp ππ = . Atendidas as condições de admissibilidade das funções
aproximadas: as funções e suas derivadas até a ordem (m-1) devem ser contínuas
(sendo m a ordem da derivada mais alta que aparece no funcional), em todo o
domínio de integração, também pode-se considerar o equilíbrio de cada elemento
isoladamente: 0=epπδ . Na verdade pode-se escrever que:
∑∫∫ ∑∑===
=
⇔=
ne
eVe
e
V
ne
e
ne
e
epp dVdV
111
)( LLππ
3.2 – Equações de Equilíbrio – Condições de Convergência
Seja um problema bidimensional mostrado na figura abaixo:
O domínio de integração do problema é dividido em ne regiões ou elementos
retangulares, de lados 2a por 2b com 4 nós cada, conforme mostra a figura abaixo.
Cada nó i tem 2 graus de liberdade (GL), um deslocamento horizontal ui e um
vertical vi, portanto cada elemento fica com um total de 8 GL.
P
X
Y
fn
e
1 2 3
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Cada elemento e está submetido a forças de volume
=y
x
b
bb~
, forças de superfície
=y
x
p
pp~
no contorno Sσ , deslocamentos prescritos no contorno Su (deslocamentos
nulos no caso de apoios fixos) e forças aplicadas diretamente nos nós
=
y
x
y
x
n
f
f
f
f
f
4
2
1
1
~M
.
A energia potencial do sistema é considerada como a soma da energia
potencial de cada elemento e (admitindo-se continuidade entre elementos):
∑=
=ne
e
epp
1
ππ (3.1)
Em cada elemento a energia potencial é substituída por um valor aproximado,
em que o campo de deslocamentos é substituído por um campo aproximado: para
cada ponto (x,y) tem-se
=),(
),(
~ yxv
yxuu
e, vetor de deslocamentos dentro do elemento,
em que: ∑
∑
=
=
k
kk
j
jj
yxyxv
yxyxu
αφ
αφ
),(),(
),(),(
2
2
3
1
4
x
u1
u4
u3
u2
a a
b
b
v3 v4
v1 v2 y
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Em geral adotam-se para u e para v as mesmas funções φj=φk, , sendo estas funções
conhecidas em x e y, e αj , αk são parâmetros desconhecidos, incógnitas do
problema. A precisão do elemento irá depender do número de parâmetros no
elemento (np), quanto maior este número, melhor a precisão. Tomando-se 4 termos
para aproximar os deslocamentos horizontais u e 4 para os verticais v (no total tem-
se np = 8), e escolhendo-se polinômios para φ , tem-se as seguintes expressões:
xyyxyxv
xyyxyxu
8765
4321
),(
),(
αααα
αααα
+++=
+++=
que podem ser reescritas matricialmente:
=
=
8
7
6
5
4
3
2
1
~.
10000
00001
),(
),(
α
α
α
α
α
α
α
α
xyyx
xyyx
yxv
yxuu
e ou
~~~.αAu
e= (3.2)
onde ~A é uma matriz (2 × np) formada pelas funções conhecidas φ e
~α é um vetor
(np ×1) formado pelos parâmetros desconhecidos α.
Para cada elemento e, escreve-se a eq. (3.2) para cada nó i:
~1~1~.αAu
e= , sendo
1~A calculada fazendo-se x=x1 e y=y1 ;
~2~2~.αAu
e= , sendo
2~A calculada fazendo-se x=x2 e y=y2 ;
~3~3~.αAu
e= , sendo
3~A calculada fazendo-se x=x3 e y=y3 ;
~4~4~.αAu
e= , sendo
4~A calculada fazendo-se x=x4 e y=y4 ;
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estas expressões podem ser reescritas matricialmente:
1~8~
8~4~
~3~
~2~
~1~
184~
3~
2~
1~
184
4
3
3
2
2
1
1
~.
.
.
.
.
××
××
×
=
=
=
=npnp
np
e
e
e
e
C
A
A
A
A
u
u
u
u
v
u
v
u
v
u
v
u
u α
α
α
α
α
(3.3)
onde ~u é o vetor de deslocamentos nodais do elemento.
Se a matriz ~C for quadrada, ou seja se o n
o de GL do elemento for igual ao n
o
de parâmetros np, para este caso tem-se no
GL=8 e np=8, e se as funções φ forem
linearmente independentes, como ocorre no caso dos polinômios escolhidos, a matriz
~C será inversível, obtendo-se portanto, a partir da eq. (3.3):
~
1
~~uC
−=α (3.4)
Substituindo-se agora a eq. (3.4) em (3.2), vem:
~
1
~~~~~... uCAAu
e −== α ou
~~~.uNu
e= (3.5)
A partir da eq. (3.5) obtém-se e
u~
, ou seja os deslocamentos u , v, em qualquer
ponto (x,y) dentro do elemento, em função dos deslocamentos nodais ~u , que passam
a ser as incógnitas do problema A matriz ~N é denominada de matriz de funções de
interpolação ou funções de forma, sendo atualmente obtida diretamente, não sendo
necessário utilizar-se a eq. (3.2) nem ~α como vetor de incógnitas. Será visto mais
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adiante que estas funções são lineares no plano xy para o caso de elementos
retangulares de 4 nós e a matriz ~N tem a seguinte forma:
=
4321
4321
~ 0000
0000
NNNN
NNNNN (3.6)
Para problemas bidimensionais, seja de estado plano de tensão ou de
deformação, as deformações e tensões podem ser representadas pelos vetores:
=
xy
y
x
γ
ε
ε
ε~
e
=
xy
y
x
τ
σ
σ
σ~
A partir das relações deformação específica × deslocamento (2.35) vistas
anteriormente, pode-se escrever:
∂
∂
∂
∂∂
∂∂
∂
=
),(
),(.0
0
yxv
yxu
xy
y
x
xy
y
x
γ
ε
ε
ou e
u~~~
.∂=ε (3.7)
Substituindo-se a eq. (3.5) em (3.7) obtém-se:
~~~~~~. uBuN =∂=ε (3.8)
sendo ~B denominada matriz de deformação específica × deslocamentos nodais.
As equações constitutivas que relacionam as tensões com as deformações são:
~~~εσ D= (3.9)
sendo que ~D será diferente para estado plano de tensão ou de deformação.
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Pode-se escrever agora o valor aproximado da energia potencial total (ver eq.
(2.40)) de cada elemento e:
~~~
,
~~
,
~~~~. - . -
2
1n
T
V S
TeTeeT
V
ep fudApudVbudVD
e ee−= ∫ ∫∫
σ
εεπ (3.10)
sendo que o último termo representa o potencial de realização de trabalho das forças
aplicadas diretamente nos nós sobre os deslocamentos nodais.
A primeira variação do funcional de energia potencial total é:
~~~
,
~~
,
~~~~. . - . - n
T
V S
eTeeTeeT
V
ep fudApudVbudVD
e eeδδδεεδδπ
σ∫ ∫∫ −= (3.11)
Usando agora as eqs. (3.5) e (3.8) :
TTTeeeNuuuNuuNu~~
,
~~~~~~~.. δδδδ =⇒=⇒=
TTTBuuBuB~~~~~~~~~
.. δεδδεδε =⇒=⇒=
e substituindo-as na eq. (3.11) obtém-se:
~~~
T
~~~
T
~~~~~
T
~~. . - . - n
T
V S
eTeTeT
V
ep fudApNudVbNudVuBDBu
e eeδδδδδπ
σ∫ ∫∫ −=
(3.12)
Como os vetores de deslocamentos nodais não variam com x e y, eles podem
ser colocados fora das integrais:
[ ]~~~
T
~~~
T
~~~~~
T
~~. . - . - n
T
V S
eTeTe
V
Tep fudApNudVbNuudVBDBu
e eeδδδδδπ
σ∫ ∫∫ −=
Aplicando-se a condição de estacionaridade e colocando-se o vetor T
u~
δ em
evidência obtém-se:
[ ] 0 . . - . - 0~~
T
~~
T
~~~~
T
~~=
−⇒= ∫ ∫∫ nV S
eee
V
Tep fdApNdVbNudVBDBu
e eeσ
δδπ (3.13)
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Como T
u~
δ é arbitrário, para que a eq. (3.13) seja satisfeita deve-se ter:
[ ] 0 . . - . - ~~
T
~~
T
~~~~
T
~=
−∫ ∫∫ nV S
eee
VfdApNdVbNudVBDB
e eeσ
(3.14)
que representa a equação de equilíbrio do elemento e.
Chamando de e
V
edVBDBk
e
~~
T
~~∫= (3.15) a matriz de rigidez do elemento e
∫ ∫+=e e
V S
eeedApNdVbNf ..
~
T
~~
T
~~ σ
(3.16) o vetor de cargas consistente do elemento,
que representa as forças nodais equivalentes a cargas aplicadas dentro e na superfície
do elemento (corresponde ao vetor de ações nodais de engastamento perfeito =
− esforços de engastamento perfeito), pode-se reescrever a equação de equilíbrio
(3.14) do elemento e:
~~~~~~~~0 n
ee
n
eeffukffuk +=∴=−− (3.17)
que tem a mesma forma conhecida do método dos deslocamentos com formulação
matricial, utilizada para elementos de estruturas reticuladas. Através do MEF
discretizou-se cada elemento (sistema contínuo) nos seus nós, transformando-se
assim as equações diferenciais de equilíbrio num sistema de equações algébricas (no
caso do elemento plano com 4 nós e 8 GL, num sistema de equações 8 × 8)
A solução da estrutura global requer que:
01
==∑=
ne
e
epp δπδπ
ou seja, [ ] ∑∑∑===
+=∴=
−−
ne
e
n
ene
e
ene
e
n
eeffukffuk
1 ~~1~~
1 ~~~~0 (3.18)
que pode ser reescrita da seguinte forma:
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~~~FUK = (3.19)
onde
~K é a matriz de rigidez da estrutura;
~U é o vetor de deslocamentos nodais da estrutura e
~F é o vetor de forças nodais da estrutura, que inclui forças aplicadas diretamente nos
nós e forças equivalentes a cargas atuando nos elementos.
Na verdade, obtidos a matriz de rigidez e o vetor de cargas consistente de cada
elemento pelas eqs. (3.15) e (3.16), pode-se aplicar os métodos usuais de análise
matricial de estruturas para formar a matriz de rigidez e o vetor de forças nodais da
estrutura, somando-se a contribuição de todos os elementos. Aplicando-se as
condições de contorno em (3.19), ou seja restringindo-se a estrutura, resolve-se o
sistema de equações resultante e obtém-se os deslocamentos nodais ~
U ; a partir destes
calcula-se o vetor e
u~
de deslocamentos u, v dentro de cada elemento usando-se a eq.
(3.5) e as deformações específicas e tensões em cada ponto (x,y) do elemento através
das eqs. (3.8) e (3.9).
A vantagem do MEF é que a formulação é genérica, todas as equações vistas
aqui para um problema bidimensional com elementos retangulares podem ser
generalizadas para qualquer tipo de problema e qualquer tipo de elemento, com
quaisquer no de nós: as equações são as mesmas, apenas as matrizes e vetores irão
variar de acordo com cada problema específico, e a eq. (3.5) irá variar também de
acordo com o tipo e no de nós no elemento.
Alguns tipos de problema da Teoria da Elasticidade com as matrizes e vetores
correspondentes são apresentados no que se segue:
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Problema unidimensional – barra prismática submetida a esforço axial (treliça)
)(~
xuue
= xεε =~
xσσ =~
ED =~
Problema bidimensional – estado plano de tensão
=),(
),(
~ yxv
yxuu
e
=
xy
y
x
γ
ε
ε
ε~
=
xy
y
x
τ
σ
σ
σ~
.
2
100
01
01
1 2~
−−=
νν
ν
ν
ED
Problema bidimensional – estado plano de deformação
=),(
),(
~ yxv
yxuu
e
=
xy
y
x
γ
ε
ε
ε~
=
xy
y
x
τ
σ
σ
σ~
.
)1(2
2100
011
01
1
)21).(1(
)1.(
~
−
−−
−
−+
−=
ν
νν
νν
ν
νν
νED
furo
elemento
infinitesimal
σx
σy τxy
σx
σy τxy
σz
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Problema axisimétrico –carregamento e estrutura simétricos
=),(
),(
~ yxv
yxuu
e
=
z
xy
y
x
ε
γ
ε
ε
ε~
=
z
xy
y
x
σ
τ
σ
σ
σ~
−−
−
−−−
−−
−+
−=
1011
0)1(2
2100
101
1
10
11
)21).(1(
)1.(
~
ν
ν
ν
νν
νν
ν
ν
νν
ν
ν
ν
νν
νED
Problema de flexão de placas – Placa fina, Teoria de Kirchhoff
),(~
yxwue
=
∂∂
∂
∂
∂−
∂
∂−
=
=
yx
w
y
wx
w
xy
y
x
2
2
2
2
2
~
2
κ
κ
κ
ε
=
xy
y
x
M
M
M
~σ
.
2
100
01
01
)1(12
.2
3
~
−−=
νν
ν
ν
hED (deformações específicas e tensões generalizadas)
σx
σz
σy τyx
σx τxy
σy
τyz
τxz
superfície média
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Condições de convergência
As condições de convergência do Método dos Elementos Finitos são as
mesmas do que as do Método de Rayleigh-Ritz:
1) As funções φi devem ser admissíveis, ou seja, tanto as funções como suas
derivadas até a ordem m-1 devem ser contínuas, onde m é a ordem da derivada
máxima que aparece no funcional, e também devem satisfazer às condições de
contorno essenciais do problema
2) A sequência de funções deve ser completa, ou seja, deve incluir todos os termos de
baixa ordem, de forma que quando o no de termos tender a infinito, o erro quadrático
médio se anule.
Para o MEF, como o domínio de integração é subdividido em elementos, estas
condições de convergência devem ser alteradas:
1) As funções de interpolação Ni devem ser admissíveis, ou seja dentro de cada
elemento elas devem ser contínuas e suas derivadas até a ordem m-1 também
(m é a ordem da derivada máxima que aparece no funcional); deve haver
continuidade de deslocamentos e de suas derivadas até a ordem m-1 entre
os elementos (de forma que os deslocamentos aproximados sejam admissíveis
em todo o domínio de integração do problema) e os deslocamentos também
devem atender às condições de contorno essenciais do problema.
2) As funções de interpolação Ni devem ser completas, ou seja, os polinômios
devem incluir os termos de baixa ordem; em outra palavras, os elementos
devem apresentar todos os movimentos de corpo rígido e estado de
deformação específica constante.
A condição de convergência (1) é conhecida como condição de compatibilidade
e a condição (2) é conhecida como condição de completude. Os elementos finitos
que atendem às duas condições são denominados elementos conformes.
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Um modelo ou uma malha de elementos conformes será sempre convergente, ou
seja, refinando-se a malha (aumentando-se gradativamente o no
de elementos), a
solução aproximada tenderá para a solução exata e a convergência será sempre
monotônica.
A condição (2) de completude deve sempre ser atendida, é imprescindível, mas
modelos com elementos incompatíveis, que não satisfazem à condição (1), podem ser
convergentes, no entanto não há mais garantia da convergência ser monotônica.
Para atender à condição de compatibilidade (1), no caso de funcionais com m=1
deve-se ter que as funções de forma N devem ser contínuas (m-1 = 0); esta funções
são denominadas de funções de forma de continuidade C o (N ∈ C
o) e no caso de
m = 2 as funções N e suas derivadas de 1a ordem devem ser contínuas (m-1 = 1),
sendo denominadas funções de forma de continuidade C 1 (N ∈ C
1). Estas funções
estão ilustradas abaixo:
Funções de forma de continuidade C o
Funções de forma de continuidade C 1
(φ ∈ C o)
(φ ∈ C
1)
De uma maneira geral, quando a ordem da derivada mais alta que aparece no
funcional de energia potencial total for m, deve-se ter que N ∈ C m-1
.
x
φ, φ’
φ’
φ’
φ
φ, φ’
x
φ
φ’
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3.3 – Elemento de barra unidimensional com 2 nós - treliça
Seja um elemento de barra prismática, de seção transversal A, comprimento L e
material homogêneo com módulo de elasticidade E. O elemento tem 2 nós e está
submetido a uma carga axial uniforme p conforme mostra a figura abaixo.
O sistema local do elemento é representado pelos eixos x,y e o sistema global
por X,Y. Este é um problema unidimensional em que a única direção de deslocamento
é axial, u(x). Portanto o vetor de deslocamentos no elemento, o vetor de deformações
específicas, o vetor de tensões e a matriz constitutiva são representados por:
)(~
xuue
= xεε =~
xσσ =~
ED =~
Como o elemento tem 2 nós, com 1 GL cada, tem-se no total 2 GL, portanto deve-se
escolher 2 parâmetros de maneira a que np = no GL e a matriz
~C fique quadrada:
[ ]
=+==2
1
21~
1.)(α
ααα xxxuu
e ou
~~~.αAu
e= que é a eq. (3.2);
o vetor de deslocamentos nodais para este elemento é:
=2
1
~ u
uu .
Escrevendo-se a eq. (3.2) para os nós 1 e 2 tem-se:
[ ] [ ]
=
==2
1
2
1
11 011)0(α
α
α
αxuu e [ ] [ ]
=
==2
1
2
1
22 11)(α
α
α
αLxLuu
e
p
L
X
Y x
u1 1
2 y
u2
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Portanto:
~~2
1
2
1
~.
1
01α
α
αC
Lu
uu =
=
= que é a eq. (3.3), e a inversa da matriz ~C é:
−=
−=
−
LL
L
LC
/1/1
01
11
0.
11
~ e
~
1
~~.uC
−=α → eq. (3.4)
A partir das eqs. (3.2), (3.4) e (3.5) encontra-se a matriz de funções de interpolação:
[ ]
−=
−==⇒==
−−
L
x
L
x
LLxCANuCAAu
e1
/1/1
01.1....
1
~~~~
1
~~~~~α
A eq. (3.5) fica então: ~~~
.uNue
= ou
−==
2
1
~1)(
u
u
L
x
L
xxuu
e
onde N1 = 1 – x/L e N2 = x/L.
As funções N1 e N2 são as funções de interpolação conhecidas como função de
forma, que permitem obter o deslocamento u em qualquer ponto dentro do elemento
em função dos deslocamentos nodais u1 e u2. Observa-se que as funções são lineares,
como esperado, pois partiu-se de um polinômio linear, com 2 parâmetros. Nota-se
também que para x = 0 → u(0) = u1 e para x= L → u(L) = u2,
ou seja:
≠==
==
==
==
ij; para 0
para 1 ou
0)( e 1)(
0)( e 1)(
1222
2111
ji
ii
xxN
xxN
xNxN
xNxN
e para 1)()( 21 =+→∀ xNxNx , conforme pode ser observado graficamente:
1
1 2
N1(x): N2(x):
1
1 2
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Atualmente estas funções Ni são encontradas diretamente, por inspeção,
sabendo que elas sempre valem 1 no nó i e 0 nos demais nós. São as conhecidas
funções Serendipity, pois foram encontradas por acaso.
A matriz ~B que relaciona deformação específica × deslocamentos nodais , pode ser
encontrada a partir das eqs. (3.8) e (3.5) :
( )~~
2
121
~~~
)(uB
u
u
dx
dN
dx
dNuN
dx
d
dx
xdux =
==== εε
logo :
−=
=
LLdx
dN
dx
dNB
1121
~
A matriz de rigidez do elemento de treliça no sistema local pode ser obtida pela
eq. (3.15) e como as matrizes não variam ao longo da área, pode-se fazer dV = A.dx :
∫∫ ==Le
V
edxABDBdVBDBk
e 0 ~~
T
~~~
T
~~.
Substituindo-se as matrizes ~B e
~D na expressão acima obtém-se:
[ ] ∫∫∫
−
−=−
−
==×××
LLL Tedx
LL
LLEAdxLL
L
LEAdxABEBk
0 22
22
00 21~12~22~ /1/1
/1/1./1/1
/1
/1..
−
−=∴
11
11.
~ L
EAk
e que é a conhecida matriz de rigidez do elemento de treliça.
O vetor de cargas consistente pode ser obtido pela eq. (3.16).
Admite-se que: 0~
== xbb e ===b
ppp x
~
constante, sendo
px a carga por unidade de área, p a carga por unidade de
comprimento e b a largura da seção suposta retangular.
b
px
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dxbb
p
L
x
L
xdApNdVbN
f
ff
TL
V S
eee
e e.10 ..
0~
T
~~
T
~2
1
~∫∫ ∫
−+=+=
=σ
=
−
=
=∴
2
2
2
2.
0
2
2
2
1
~ pL
pL
L
xL
xx
pf
ff
L
e
sendo o sentido positivo das componentes igual ao dos deslocamentos nodais.
Para este problema unidimensional, a ordem mais alta das derivadas que aparecem no
funcional de energia potencial é m =1. Portanto as funções de interpolação N1 e N2
são admissíveis, pois são contínuas dentro do elemento (N ∈ Co) e como os elementos
são ligados por nós cujos deslocamentos são únicos, haverá sempre continuidade
(até a ordem m-1 = 0) de deslocamentos entre os elementos. A 1a condição de
convergência é portanto atendida e o elemento é classificado de compatível. Como
dentro do elemento xxu 21 .)( αα += , os termos de baixa ordem estão incluídos na
solução aproximada e portanto o elemento atende à 2a condição de convergência,
sendo classificado de completo (α1 representa o movimento de corpo rígido de
translação e α2 o estado de deformação específica constante). Como o elemento
atende às duas condições de convergêngia do MEF, ele é classificado de conforme.
Exemplo: Barra submetida a carregamento (por unidade de comprimento) que varia
linearmente, discretizada por 3 elementos de treliça de mesmo comprimento (l = L/3):
p
L pL/2 1
2
pL/2
X, u
q=cX
1 2 3
u1 u2 u3 u4
3
L
3
L
3
Ll l l
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Para a estrutura global o vetor de deslocamentos nodais e de forças totais nos nós é:
=
4
3
2
1
~
u
u
u
u
U e
=
4
3
2
1
~
f
f
f
f
F
A matriz de rigidez da estrutura é formada considerando-se todos os elementos,
somando-se os coeficientes correspondentes ao mesmo GL dos elementos que
concorrem em um mesmo nó: [ ]∑=
=3
1~~
e
ekK .
Conforme já foi visto, a matriz de rigidez de cada elemento é:
−
−=
11
11.
~ l
EAk
e,
portanto a matriz de rigidez da estrutura fica sendo:
−
−−
−−
−
=
−
−+−
−+−
−
=×
1100
1210
0121
0011
.
1100
11110
01111
0011
.44~ l
EA
l
EAK
Para formar o vetor de forças totais da estrutura, calcula-se inicialmente o vetor
de cargas consistente de cada elemento:
a) Elemento 1
x = X ∴ q = cx
=
−
=
−
=∴ ∫3
6
3
32../
/12
2
0
3
32
0
1
~ cl
cl
l
xl
xx
cdxcxlx
lxf
l
l
1 2
x
l
cl2/6 cl
2/3
2 1
l
x
X = 0
x = 0
X = l
x = l
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b) Elemento 2
x = X - l ∴ X = x + l ∴q = c (x+l)
=
+
−−+
=+
−
=∴ ∫6
53
2
23
232.)(./
/12
2
0
23
232
0
2
~ cl
cl
x
l
x
x
l
xlx
x
cdxlxclx
lxf
l
l
c) Elemento 3
x = X - 2l ∴ X = x + 2l ∴q = c (x+2l)
=
+
−−+
=+
−
=∴ ∫3
46
7
3
2
2
32
2.)2(./
/12
2
0
23
232
0
2
~ cl
cl
xl
x
x
l
xlx
x
cdxlxclx
lxf
l
l
O vetor de forças da estrutura fica sendo então:
+
=
+
++
=
+= ∑
=
3/4
2
6/
3/4
6/76/5
3/23/
6/
0
0
0
2
2
2
2
2
22
22
2
3
1 ~~~
cl
cl
cl
clR
cl
clcl
clcl
clR
fFFe
e
n
onde R é a reação de apoio aplicada no nó 1. Substituindo-se a matriz de rigidez e o
vetor de forças da estrutura no sistema de equações de equilíbrio ~~~
. FUK = e
impondo-se a condição de contorno: u1 = 0 (eliminando-se a 1a equação) , vem:
=
−
−−
−
3/4
2.
110
121
012
.2
2
2
4
3
2
cl
cl
cl
u
u
u
l
EA
3 2
l
x
X = l
x = 0 X = 2l
x = l
4 3
l
x
X =2 l
x = 0 X = 3l
x = l
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Resolvendo-se o sistema de equações acima obtém-se os deslocamentos dos
nós 2, 3 e 4, e a partir destes tem-se o vetor de deslocamentos nodais da estrutura:
=
27
23
13
0
.3
3
~ EA
clu
A reação de apoio é obtida substituindo-se este vetor de deslocamentos na 1a
linha do sistema de equações ~~~
. FUK = :
[ ]6
0011.2
4321
clRuuuu
l
EA+=×+×+×−×
223
2
9
6.13
3cl
cl
EA
cl
l
EAR −=−××−=∴
que é igual à resultante da carga distribuída com sentido oposto, conforme esperado.
Este exemplo será utilizado para verificar a precisão do MEF e continuidades de
deslocamentos e tensões entre os elementos. Para verificar a solução aproximada para
deslocamentos, compara-se com a solução exata que pode ser obtida a partir da eq.
diferencial de equilíbrio (sistema global, X), através do método de integração direta:
)3(6
)( 32 XXLEA
cXu −=
para X = l (nó 2) → EA
cl
EA
cllu
3
13
6
26)(
33
==
para X = 2l (nó 3) → EA
cl
EA
cllu
3
23
6
46)(
33
==
para X = 3l (nó 4) → EA
cl
EA
cllu
3
27
6
546)(
33
==
R=-9cl2/2 3l
3cl 9cl
2/2
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Comparando-se com a solução aproximada dos deslocamentos nodais, observa-se que
para este caso que é simples, unidimensional, obteve-se nos nós a solução exata.
Entretanto, dentro dos elementos o campo de deslocamentos aproximado é linear e
não consegue representar o campo de deslocamentos exato que é um polinômio
cúbico. Por exemplo, no centro do elemento 2, X = 3l/2, tem-se pela solução exata:
EA
cllu
3
1875.6)5.1( = , enquanto que a solução aproximada no elemento 2 fornece:
[ ]EA
cluu
u
ulxlxlxu
3
32
3
2 6)(
2
1.//1)2/( =+=
−== .
Comparando-se agora os valores das tensões na barra:
Solução exata: )(2
)33(6
)(.. 2222 XL
A
cXL
A
c
dx
XduEE xx −=−=== εσ
Solução aproximada (usando-se as eqs. (3.8) e (3.9)):
elemento 1: A
clE
EA
cl
l
uu
u
u
llxxx
3
13
3
13112
112
12
2
111
~==⇒=
−=
−== εσεε
elemento 2: A
clE
EA
cl
l
uu
u
u
llxxx
3
10
3
1011 222
223
3
222
~==⇒=
−=
−== εσεε
elemento 3: A
clE
EA
cl
l
uu
u
u
llxxx
3
4
3
411 233
234
4
333
~==⇒=
−=
−== εσεε
Observa-se que as deformações específicas e consequentemente as tensões
aproximadas são constantes ao longo dos elementos, uma vez que os deslocamentos
variam linearmente dentro dos elementos, não conseguindo representar assim a
solução exata que é um polinômio do 2o grau. Nota-se também que existe
descontinuidades de deformações e de tensões entre os elementos. A comparação da
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solução aproximada encontrada pelo MEF com a solução exata tanto para
deslocamentos como para tensões está mostrada na figura abaixo:
Diversas conclusões podem ser extraídas deste exemplo:
1) As soluções aproximadas para deslocamentos são mais precisas do que para as
tensões, o que é típico para o MEF em que as incógnitas são deslocamentos (cada vez
que deriva-se a solução aproximada perde-se uma ordem de precisão);
2) As funções de interpolação utilizadas não apresentam descontinuidades de
deslocamentos mas apresentam descontinuidades de suas derivadas (deformações e
tensões) entre elementos, pois são funções de forma de continuidade Co. Mesmo
aumentando-se o grau do polinômio (polinômios de Lagrange) ainda haveria estas
descontinuidades, o que porém para problemas uni, bi e tridimensional em que m=1
não afeta a convergência. Nos problemas de vigas, placas e cascas, quando m=2, será
necessário utilizar-se funções de forma de continuidade C1, tais como os polinômios
de Hermite, para garantir a continuidade da função aproximada e de sua 1a derivada
(v e dv/dx no caso do elemento de viga).
3) Apesar das tensões aproximadas serem menos precisas do que os deslocamentos
aproximados, perto dos centros dos elementos obtém-se valores próximos dos exatos.
4) Aumentando-se o no de elementos diminui-se a descontinuidade de tensões entre
os elementos, portanto um parâmetro indicador do grau de precisão da malha
escolhida é a descontinuidade de tensões nos nós entre elementos.
l 2l 3l l 2l 3l
x x
u4
u3
u2
u1=0
u(x) σx(x)
sol. aprox.
sol. exata
sol. exata
sol. aprox.
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3.4 – Elementos planos
Os elementos planos são utilizados para modelar estruturas submetidas a
estado plano de tensão ou de deformação, em que cada ponto pode sofrer 2
deslocamentos no plano xy, u e v. O vetor de deslocamentos no elemento, o vetor de
deformações específicas e o vetor de tensões são representados por:
=),(
),(
~ yxv
yxuu
e
=
xy
y
x
γ
ε
ε
ε~
=
xy
y
x
τ
σ
σ
σ~
As tensões são obtidas a partir da eq. (3.9),
~~~εσ D= , sendo que a matriz constitutiva
~D depende se o estado plano é de tensão ou de deformação (ver pág. 74). Os
elementos planos podem ser quadriláteros, retangulares, triangulares e com no de nós
variável no elemento. Para cada tipo de elemento haverá uma matriz de funções de
interpolação e um vetor de deslocamentos nodais diferente, portanto a matriz de
rigidez de cada elemento, calculada pela eq. (3.15), também será diferente, conforme
descrito no que se segue. O vetor de cargas consistente de cada elemento pode ser
obtido pela eq. (3.16), e serão vistos alguns exemplos mais adiante no item 3.10.
Elemento plano retangular de 4 nós –Bilinear
Seja um elemento plano retangular, de lados 2a por 2b, com 4 nós e portanto
um total de 8 GL, conforme mostrado abaixo:
2
3
1
4
x, u
a
b
b
a
X
y, v Y Sistema
Local
Sistema
Global
v3
u1
u2 v4
v1
v2
u4
u3
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O vetor de deslocamentos no elemento é obtido usando-se a eq. (3.5): ~~~uNu
e= , a
partir dos deslocamentos nodais ~u e da matriz de funções de interpolação
~N :
=
4321
4321
~ 0000
0000
NNNN
NNNNN
sendo que a matriz ~N poderia ser obtida por 1
~~~. −
= CAN , conforme foi feito para o
elemento de treliça. Entretanto fica mais fácil obter-se estas funções diretamente por
inspeção, sabendo-se que as funções são lineares no plano xy e lembrando que: Ni = 1
no nó i e Ni = 0 nos demais nós.
Por exemplo, para encontrar-se a função N1, sabe-se que:
para o nó 1: x = a e y = b → N1 = 1
para o nó 2: x = - a e y = b → N1 = 0
para o nó 3: x = - a e y = - b → N1 = 0
para o nó 4: x = a e y = - b → N1 = 0
ou seja N1 deve se anular na face x = -a e y = -b,
logo →
+
+=
b
y
a
xN 11.
4
11 ,
que pode ser representada graficamente por:
Analogamente, para as outras funções encontra-se:
+
−=
b
y
a
xN 11.
4
12 ;
−
−=
b
y
a
xN 11.
4
13 e
−
+=
b
y
a
xN 11.
4
14
Estas funções podem ser reescritas na forma genérica:
+
+=
ii
iy
y
x
xN 11.
4
1
1
N1
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Este elemento é conhecido por elemento bilinear, pois as funções de
interpolação são o produto de 2 polinômios lineares, mas também é chamado de
elemento de Serendipity ou Lagrangeano de 4 nós.
A matriz ~B que relaciona deformação específica × deslocamentos nodais, pode
ser encontrada a partir das eqs. (3.5) a (3.8) : ~~~~~~~~
.. uBuNue
=∂=∂=ε . Portanto:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
x
N
y
N
x
N
y
N
x
N
y
N
x
N
y
N
y
N
y
N
y
N
y
Nx
N
x
N
x
N
x
N
B
44332211
4321
4321
~0000
0000
Substituindo-se as funções de interpolação na expressão acima tem-se que:
−+−−−−−+−−++
+−−−−+
−−−+−+
=×
)()()()()()()()(
)(0)(0)(0)(0
0)(0)(0)(0)(
4
183~
ybxaybxaybxaybxa
xaxaxaxa
ybybybyb
abB
A matriz de rigidez deste elemento no sistema local pode ser obtida pela eq. (3.15), e
como as matrizes não variam ao longo da espessura t, tem-se que dV = t.dA = t.dxdy:
∫∫∫ −−==
a
a
b
b
e
V
edxdytBDBdVBDBk
e.
~~
T
~~~
T
~~ (3.20)
Substituindo-se as matrizes
83~ ×B e
33~ ×D na expressão acima obtém-se assim a
matriz de rigidez do elemento no sistema local, ek
88~ × . Quando o sistema local não
coincide com o global, deve-se aplicar uma transformação de coordenadas para obter-
se a matriz de rigidez no sistema global:
~~~~.. TkTk
e
local
Te
global= (3.21)
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onde ~T é a matriz de cossenos diretores entre os dois sistemas de coordenadas.
Para problemas bidimensionais, a ordem mais alta das derivadas que aparecem
no funcional de energia potencial é m =1. Portanto as funções de interpolação N1, N2 ,
N3 e N4 são admissíveis, pois são contínuas dentro do elemento (N ∈ Co) e como os
deslocamentos variam linearmente ao longo dos lados que são ligados por nós cujos
deslocamentos são únicos (por 2 valores passa-se uma única reta), haverá sempre
continuidade (até a ordem m-1 = 0) de deslocamentos u e v entre os elementos. A 1a
condição de convergência é portanto atendida e o elemento é classificado de
compatível. Como dentro do elemento os termos de baixa ordem estão incluídos na
solução aproximada (ver eq. (3.2)), o elemento atende à 2a condição de convergência,
sendo classificado de completo (os movimento de corpo rígido e os estados de
deformação específica constante estão assim incluídos). Como o elemento atende às
duas condições de convergência do MEF, ele é classificado de conforme.
Elemento plano retangular de 8 nós - Serendipity
Seja agora um elemento plano retangular, de lados 2a por 2b, com 8 nós e
portanto um total de 16 GL, conforme mostrado abaixo:
2
3
1
4
x, u
a
b
b
a
X
y, v Y
5
6 7
8
Sistema
Local
Sistema
Global
vi ui
nó i
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Este elemento é mais preciso do que o elemento de 4 nós pois possui 16 GL, ou seja,
deve-se ter um total de 16 parâmetros para se descrever o campo aproximado de
deslocamentos, o que resulta em polinômios quadráticos (completos) no plano xy:
xyyxxyyxyxyxv
xyyxxyyxyxyxu2
162
15142
132
1211109
28
276
25
24321
),(
),(
αααααααα
αααααααα
+++++++=
+++++++=
As funções de interpolação poderiam ser obtidas por 1
~~~. −
= CAN , o que seria
muito trabalhoso uma vez que para este elemento a matriz ~C é 16 ×16. É mais fácil
obter-se as funções Ni por inspeção, denominadas de funções Serendipity, conforme
feito para o elemento de 4 nós:
−+
+
+= 111.
4
11
b
y
a
x
b
y
a
xN ;
−+−
+
−= 111.
4
12
b
y
a
x
b
y
a
xN
+
−=
−
+
+=
b
y
a
x
a
x
b
y
a
xN 11.
2
1111.
2
12
2
5 ; etc ....
A matriz de interpolação ~N passa a ser 2 × 16 e tem a forma:
=
8765
8765
4321
4321
~ 0000
0000
0000
0000
NNNN
NNNN
NNNN
NNNNN
A matriz ~B que relaciona deformação específica × deslocamentos nodais,
passa a ser 3 ×16 e é encontrada a partir da matriz ~N →
162~23~163~.
×××∂= NB :
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
x
N
y
N
x
N
y
N
x
N
y
N
x
N
y
N
y
N
y
N
y
N
y
Nx
N
x
N
x
N
x
N
x
N
y
N
x
N
y
N
x
N
y
N
x
N
y
N
y
N
y
N
y
N
y
Nx
N
x
N
x
N
x
N
B
88776655
8765
8765
44332211
4321
4321
~0000
0000
0000
0000
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Substituindo-se as funções de interpolação na matriz acima e inserindo-se em
seguida as matrizes ~B e
~D na eq. (3.20), encontra-se a matriz de rigidez deste
elemento ek~
(16 ×16) no sistema local, e no sistema global usando-se a eq. (3.21).
As funções de interpolação Ni são admissíveis, pois são contínuas dentro do
elemento (N ∈ Co). Como ao longo de cada lado do elemento existem 3 nós e por 3
pontos interpola-se uma única parábola do 2o grau, haverá sempre continuidade (até
a ordem m-1 = 0) de deslocamentos u e v entre os elementos. A 1a condição de
convergência é portanto atendida e o elemento é classificado de compatível. Como
dentro do elemento os termos de baixa ordem estão incluídos na solução aproximada,
o elemento atende à 2a condição de convergência, sendo classificado de completo.
Portanto este elemento de 8 nós, denominado Serendipity, é classificado de conforme.
Elemento plano retangular de 9 nós - Lagrangeano
Seja agora um elemento plano retangular, de lados 2a por 2b, com 9 nós e
portanto um total de 18GL, conforme mostrado abaixo:
O campo de deslocamentos aproximado deve incluir 18 parâmetros, sendo assim um
polinômio completo do 2o grau em xy, um pouco mais preciso do que o elemento de 8
2
3
1
4
x, u
a
b
b
a
X
y, v Y
5
6 7
8
Sistema
Local
9
Sistema
Global
vi ui
nó i
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nós:
2218
217
21615
214
213121110
229
28
276
25
24321
),(
),(
yxxyyxxyyxyxyxv
yxxyyxxyyxyxyxu
ααααααααα
ααααααααα
++++++++=
++++++++=
Este elemento é denominado de elemento Lagrangeano de 9 nós, pois as
funções de forma podem ser obtidas a partir dos polinômios de Lagrange:
)()(),( yNxNyxN iii ×=
sendo:
∏
∏
≠=
=
−
−
=n
ijj
ji
n
j
j
i
xx
xx
xN
;1
1
)(
)(
)( e
∏
∏
≠=
=
−
−
=n
ijj
ji
n
j
j
i
yy
yy
yN
;1
1
)(
)(
)(
Seja por exemplo encontrar a função N1 : primeiro faz-se uma interpolação quadrática
em x dos nós 1, 5 e 2 e depois uma interpolação quadrática em y dos nós 1, 8 e 4:
)).((
)).(()(
5121
521
xxxx
xxxxxN
−−
−−= ;
)).((
)).(()(
8141
841
yyyy
yyyyyN
−−
−−= )()(),( 111 yNxNyxN ×=∴
Para o elemento da figura em que os nós intermediários encontram-se bem no
centro dos lados (não necessariamente isto irá ocorrer), tem-se que:
)0)).(((
)0)).((()(1
−−−
−−−=
aaa
xaxxN ;
)0)).(((
)0)).((()(1
−−−
−−−=
bbb
ybyyN
))((4
),(221 byax
ba
xyyxN ++=∴
Observa-se que para o nó 1 N1 = 1 e para os demais nós N1 = 0. Procede-se
analogamente para se encontrar as demais funções de interpolação. Estas funções
também poderiam ser encontradas a partir do elemento Serendipity de 8 nós,
adicionando-se termos às funções Serendipity )8(iN , de forma a que estas também se
anulem no nó 9:
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4 a 1;4
1 )9(9
)8()9( =+= iNNN ii 8 a 5;2
1 )9(9
)8()9( =−= iNNN ii
sendo
−
−=
2
2
2
2)9(
9 11b
y
a
xN .
A partir das funções Ni obtém-se a matriz de funções ~N que passa a ser 2×18 e a
partir desta obtém-se ~B e a matriz de rigidez e
k~
(18×18) através da eq. (3.20).
A velocidade de convergência do elemento está relacionada à maior ordem do
polinômio completo contido nas funções de interpolação do elemento. O Triângulo
de Pascal mostrado abaixo possibilta visualizar esta ordem (p) para os elementos
Serendipity ( ) e Lagrangeanos ( ):
4
3
2
1
01
33
3223
432234
3223
22
=
=
=
=
=
p
p
p
p
p
yx
yxyx
yxyyxyxx
yxyyxx
yxyx
yx
Geralmente os elementos Lagrangeanos incluem o “miolo” do Triângulo e os
elementos Serendipity não. Em todos os elementos os termos das funções devem
respeitar a simetria do triângulo, o que é chamado de isotropia geométrica. Por isto
que para o elemento retangular de 4 nós tomou-se xy como 4o termo em vez de x2 ou
y2, para não favorecer nenhuma direção. Os elementos Serendipity e Lagrangeano de
4 nós, lineares, são equivalentes, já os elementos Serendipity quadráticos possuem 8
nós (as funções incluem 8 termos) e os cúbicos 12 nós (as funções incluem 12
termos), sendo os nós situados nos lados do elemento, enquanto que os Lagrangeanos
quadráticos possuem 9 nós (funções tem 9 termos) e os cúbicos 16 nós (funções tem
16 termos), sendo que os nós situam-se nos lados e no interior do elemento. Os
elementos retangulares Serendipity e Lagrangeanos são sempre conformes.
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Elemento plano triangular de 3 nós - CST
Seja agora um elemento plano triangular com 3 nós e portanto um total de 6
GL, conforme mostrado abaixo:
O campo de deslocamentos deve ter portanto 6 parâmetros no total, ou seja, um
polinômio linear completo (p=1) no plano xy:
yxyxv
yxyxu
654
321
),(
),(
ααα
ααα
++=
++=
Observa-se que este campo de deslocamentos resulta em deformações
específicas constantes em qualquer ponto (x,y) dentro do elemento:
2αε =∂
∂=
x
ux ; 6αε =
∂
∂=
y
vy e 53 ααγ +=
∂
∂+
∂
∂=
x
v
y
uxy
por isto o elemento é denominado CST (“constant strain triangle”) ou triângulo de
deformação constante; as tensões no elemento também serão constantes.
Antigamente as funções de interpolação deste elemento eram obtidas utilizando-se
coordenadas naturais de área:
A
ALN i
ii ==
3
2
1
A1
A3 A2 P
X
Y
(P: ponto genérico)
v3
3
1
2 u2
Y
X
u1
v1
v2
u3
y, v
x, u
Sistema Global
Sistema Local
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Atualmente as funções de interpolação são obtidas a partir do elemento
retangular de 4 nós, “colapsando-se” um dos nós. Este elemento é compatível e
completo, portanto também é classificado de elemento conforme.
Conhecidas as funções Ni obtém-se a matriz de interpolação ~N que passa a ser 2 × 6
e a partir desta obtém-se a matriz ~B e a matriz de rigidez e
k~
através da eq. (3.20).
Elemento plano triangular de 6 nós - LST
Seja agora um elemento plano triangular com 6 nós e portanto um total de 12
GL, conforme mostrado abaixo:
O campo de deslocamentos deve ter portanto 12 parâmetros no total, ou seja,
um polinômio quadrático completo (p=2) em xy:
212
21110987
26
254321
),(
),(
yxxyyxyxv
yxxyyxyxu
αααααα
αααααα
+++++=
+++++=
Este campo de deslocamentos resulta em deformações específicas que variam
linearmente em xy, sendo o elemento denominado LST (“linear strain triangle”):
xyx 542 2αααε ++= ; yxy 12109 2αααε ++=
v3
v2
3
1
2 u2
Y
X
u1
v1
u3
y, v
x, u
v4
v5
v6
u4
u5
u6
5
6
4
Sistema Global
Sistema Local
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xyyxxy 11108643 22 ααααααγ +++++=
Este elemento é uma ordem mais preciso do que o elemento CST e também é
conforme, sendo mais adequado do que o elemento CST para modelar estruturas
planas submetidas à flexão, conforme será visto mais adiante no Capítulo 4.
Atualmente as funções de interpolação são obtidas a partir do elemento retangular de
8 nós em que alguns nós são “colapsados”. A matriz de rigidez deste elemento é
obtida a partir da eq. (3.20), de maneira análoga aos outros elementos planos.
3.5 – Elementos sólidos
Os elementos sólidos são utilizados para modelar estruturas submetidas
a estado multi-axial de tensões, sendo que cada ponto pode sofrer 3 deslocamentos no
espaço xyz: u, v e w. O vetor de deslocamentos no elemento, o vetor de deformações
específicas e o vetor de tensões são representados por:
=
),,(
),,(
),,(
~zyxw
zyxv
zyxu
ue
=
xz
yz
xy
z
y
x
γ
γ
γ
ε
ε
ε
ε~
=
xz
yz
xy
z
y
x
τ
τ
τ
σ
σ
σ
σ~
As tensões são obtidas a partir da eq. (3.9),
~~~εσ D= , sendo que a matriz
constitutiva ~D é expressa pela eq. (2.36). Os elementos sólidos podem ser hexaedros
ou tetraedros, com no de nós variável no elemento. Só serão apresentados elementos
hexaédricos (paralelepípedos) de 8 e 20 nós. Para cada tipo de elemento haverá uma
matriz de funções de interpolação ~N , uma matriz
~B e uma matriz de rigidez
diferente ek~
calculada pela eq. (3.15). O vetor de cargas consistente pode ser obtido
pela eq. (3.16), conforme será visto mais adiante em alguns exemplos no item 3.10.
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Elemento sólido hexaédrico de 8 nós - trilinear
Seja um elemento sólido hexaédrico, de lados 2a por 2b por 2c, com 8 nós e
portanto um total de 24 GL, conforme mostrado abaixo:
O campo aproximado de deslocamentos deve ter um total de 24 parâmetros, o
que resulta em polinômios lineares no espaço xyz:
xyzxzyzxyzyxzyxw
xyzxzyzxyzyxzyxv
xyzxzyzxyzyxzyxu
2423222120191817
161514131211109
87654321
),,(
),,(
),,(
αααααααα
αααααααα
αααααααα
+++++++=
+++++++=
+++++++=
As funções de interpolação podem ser obtidas por inspeção, sabendo-se que
são funções lineares no espaço xyz e lembrando que: Ni = 1 no nó i e Ni = 0 nos
demais nós:
+
+
+=
c
z
b
y
a
xN 111.
8
11 ;
+
+
−=
c
z
b
y
a
xN 111.
8
12 ;
+
−
−=
c
z
b
y
a
xN 111.
8
13
+
+
+=
c
z
b
y
a
xN 111.
8
15L , etc.
ou, na forma genérica:
+
+
+=
iii
iz
z
y
y
x
xN 111.
8
1.
7 8
2 1
6 5
3 4
X
Y
Z
x, u
2a
2b
2c
Nota: origem no centro do elemento
y, v
z, w
x, u
ui
vi
wi
nó i (3 GL)
Sistema Global
Sistema Local
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Este elemento é conhecido por elemento trilinear, pois as funções de
interpolação, que são contínuas dentro do elemento, são o produto de 3 polinômios
lineares. Assim como no elemento bilinear, os deslocamentos variam linearmente ao
longo das faces do elemento, portanto haverá sempre compatibilidade entre 2
elementos hexaédricos de 8 nós adjacentes, sendo classificados de compatíveis. Os
elementos trilineares também são completos, pois as funções de interpolação incluem
todos os termos de baixa ordem; portanto são classificados de elementos conformes.
A matriz de funções de interpolação, formada pelas funções Ni passa a ser 3×24:
=×
821
821
821
243~000000
000000
000000
NNN
NNN
NNN
N
L
L
L
A matriz ~B que relaciona deformação específica × deslocamentos nodais, é
encontrada a partir de: 124~243~36~13~36~124~246~16~
.××××××××
∂=∂== uNuuBeε →
243~36~246~.
×××∂= NB , sendo:
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂
=∂
yz
xz
xy
z
y
x
0
0
0
00
00
00
~
A matriz de rigidez deste elemento (no sistema local) pode ser obtida pela eq. (3.15):
dzdxdyBDBdVBDBka
a
Tb
b
c
c
e
V
e
e ∫∫∫∫ − ×××−−×==
246~66~624~~~
T
~2424~ (3.22)
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Elemento sólido hexaédrico de 20 nós - Serendipity
Seja um elemento sólido hexaédrico, de lados 2a por 2b por 2c, com 20 nós e
portanto um total de 60 GL, conforme mostrado abaixo:
O campo aproximado de deslocamentos deve ter um total de 60 parâmetros, o
que resulta em polinômios quadráticos (completos) no espaço xyz:
2604847464544434241
2402827262524232221
220
219
218
217
216
215
214
213
212
211
210
2987654321
),,(
),,(
),,(
xyzxyzxzyzxyzyxzyxw
xyzxyzxzyzxyzyxzyxv
xyzzxyyzxyzzyxzzxxyyx
zyxxyzxzyzxyzyxzyxu
ααααααααα
ααααααααα
ααααααααα
ααααααααααα
+++++++++=
+++++++++=
++++++++
+++++++++++=
L
L
As funções de interpolação podem ser obtidas por inspeção, sabendo-se que
são funções quadráticas no espaço xyz e lembrando que: Ni = 1 no nó i e Ni = 0 nos
demais nós:
−++
+
+
+= 2111.
8
11
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
xN ;
Nota: origem no centro do elemento
ui
vi
wi
nó i (3 GL)
Y
Z
X
1
6 5
4 3
2
8 7
9
13
12
11
10
9
17
19
18
20
14
15
16
2a
2b
2c
y, v
z, w
x, u
Sistema Global
Sistema Local
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−++−
+
+
−= 2111.
8
12
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
xN ;
−−+
−
+
+= 2111.
8
15
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
xN ,
L,111.4
12
2
17
−
+
+=
c
z
b
y
a
xN , etc.
Este elemento é conhecido por elemento Serendipity de 20 nós, pois as funções
de interpolação, que são contínuas dentro do elemento, são funções Serendipity.
Neste elemento os deslocamentos variam parabolicamente ao longo de suas arestas,
portanto haverá sempre compatibilidade entre 2 elementos hexaédricos de 20 nós
adjacentes, sendo classificados de elementos compatíveis. Os elementos Serendipity
de 20 nós também são completos, pois as funções de interpolação incluem todos os
termos de baixa ordem; portanto estes elementos são classificados de conformes.
A matriz de funções de interpolação ~N passa a ser 3×60 e a matriz
~B , 6×60,
enquanto que a matriz de rigidez deste elemento fica sendo 60×60:
dzdxdyBDBdVBDBka
a
Tb
b
c
c
e
V
e
e ∫∫∫∫ − ×××−−×==
606~66~660~~~
T
~6060~ (sistema local).
3.6 – Elemento de viga
Já foi visto anteriormente que o funcional de energia potencial total de
uma viga carregada transversalmente é:
∫∫ −=L
V
xp dxxvxqdVE
0
2
)().( 2
.ε
π
ou, lembrando que xxx ydx
dy
dx
du
dx
dyyu v.
v.
v..
2
2
−=−==∴−=−= εθ :
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( )∫ ∫−=L L
xxp dxxxqdxEI
0 0
2 )(v).(v2
π (3.23)
onde I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo horizontal z.
Observa-se que a ordem mais alta das derivadas que surge no funcional é 2
(m=2). Portanto dentro do elemento as funções de interpolação devem ser contínuas
e suas primeiras derivadas também (até a ordem m-1=1). Para que haja continuidade
ao longo de toda a estrutura, deve haver continuidade de deslocamentos (v) e de
rotações (vx=dv/dx) entre os elementos (nos nós), mas pode existir descontinuidade de
curvaturas (vxx=d2v/dx
2). Serão utilizadas portanto funções de interpolação de
continuidade C1, que interpolam valores nodais de v e vx, conhecidas como
polinômios de Hermite, de forma a que as condições de convergência sejam atendidas
e os elementos sejam conformes. Será desprezada a deformação por cisalhamento, ou
seja, segue-se a conhecida Teoria de Viga de Euler-Bernoulli, em que as seções
transversais das vigas permanecem planas e perpendiculares à linha neutra, após se
deformarem. Existem elementos de viga de 2, 3 , 4, ... nós, mas será apresentado a
seguir apenas o elemento de 2 nós.
Elemento de viga de 2 nós
Seja um elemento de viga de 2 nós, de comprimento L, área da seção
transversal A e módulo de elasticidade E. conforme mostrado abaixo:
y,v
L
X
Y x
1
2 θ2
θ1
v1
v2
Sistema Local
Sistema Global
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Como cada nó tem 2 GL, um de translação v e outro de rotação θ ≈ vx, tem-se
assim um total de 4 GL, portanto deve-se utilizar 4 parâmetros para descrever os
deslocamentos no elemento:
34
2321)( xxxxv αααα +++= ou
~~~.)( αAxvu
e== (3.24)
onde [ ]32
~1 xxxA = e
=
4
3
2
1
~
α
α
α
α
α .
Para expressar os deslocamentos v(x) em função dos valores nodais, deriva-se
inicialmente a eq. (3.24) em relação a x:
[ ]
=++=
4
3
2
1
22432 .321032)(
α
α
α
α
ααα xxxxxvx (3.25)
e em seguida escreve-se as equações (3.24) e (3.25) para os nós 1 e 2, matricialmente:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
4
3
2
1
2
32
2
2
10
10
3210
1
0010
0001
α
α
α
α
θ
θ
LL
LLL
v
vv
v
vv
Lxx
Lx
xx
x
ou ~~~
.αCu = → ~
1
~~.uC
−=α (3.26)
Substituindo-se a eq. (3.26) na eq. (3.24), obtém-se:
~
1
~~..)( uCAxv
−= ou 24231211
~~.)( θθ NvNNvNuNxv +++== (3.27)
ou seja, obtém-se o deslocamento v em qualquer ponto x no elemento em função dos
deslocamentos nodais, sendo [ ] 1
~~4321
~
−== CANNNNN a matriz de
funções de interpolação Ni, que são os conhecidos polinômios cúbicos de Hermite:
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A matriz ~B que relaciona deformação específica com deslocamentos nodais é
encontrada a partir da eq. (3.27):
2~
2
~~~~2~
2
v. dx
NdyBuBu
dx
Ndyy xxx −=→=−=−=ε (3.28)
E a matriz constitutiva que relaciona tensões com deformações específicas é:
EDED xx =→==~~~~
ou εσεσ (3.29)
Substituindo-se estas expressões na eq. (3.15) pode-se calcular a matriz de
rigidez do elemento de viga. Entretanto, para este elemento, como a curvatura é
constante ao longo da seção, utiliza-se a curvatura vxx como “deformação específica
generalizada”, a rigidez à flexão EI como “matriz constitutiva generalizada” e o
momento fletor (M=EI.vxx) como “tensão generalizada”:
~~~~~~~~~; e; ; ByBuByyvuBvEIDMv xxxxxxx −=→−=−===== εσε
1
1
1
1
x=0 x=L
3
3
2
2
123
1L
x
L
xN +−= N1 =1; N1,x =0 N1 =0; N1,x =0
2
32
22
L
x
L
xxN +−= N2 =0; N2,x =1 N2 =0; N2,x =0
3
3
2
2
323
L
x
L
xN −= N3 =0; N3,x =0 N3 =1; N3,x =0
2
32
4L
x
L
xN +−= N4 =0; N4,x =0 N4 =0; N4,x =1
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A matriz de rigidez do elemento de viga pode ser obtida então introduzindo-se
as expressões acima na eq. (3.15) e integrando-se a a priori ao longo da área:
∫∫
∫∫∫ ∫∫
==
∴=−−==
LLe
L
AA
Le
V
e
dxBDBdxBEIBk
dxBEBdAydxdAByEBydVBDBke
0 ~~
T
~0 ~
T
~~
0 ~
T
~
2
0 ~
T
~~~
T
~~
)( )(
(3.30)
A partir da eq. (3.28) tem-se que: 2~
2
~ dx
NdB = , que pode ser calculada
derivando-se duas vezes em relação a x as funções de interpolação Ni :
+−−+−+−=
× 23223241~
6212664126
L
x
LL
x
LL
x
LL
x
LB (3.31)
Substituindo-se agora a eq.(3.31) na eq.(3.30) vem:
−
−−−
−
−
== ∫×××
22
22
30 41~
T
14~44~
4626
612612
2646
612612
LLLL
LL
LLLL
LL
L
EIdxBEIBk
Le (3.32)
que é a conhecida matriz de rigidez de um elemento reticulado de viga no sistema
local. Para o elemento de placa procede-se analogamente ao elemento de viga,
utilizando-se também deformações, tensões e matriz constitutiva “generalizadas”.
Para encontrar o vetor de cargas consistente do elemento de viga (no sistema
local) também utiliza-se a eq. (3.16), sendo que as cargas de volume e de superfície
(by e py) são agrupadas e aplicadas ao longo do eixo da viga, distribuídas por unidade
de comprimento, q(x):
∫=Le
dxxqNf0
T
~~)( (3.33)
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3.7 – Vetor de cargas consistente
Conforme visto anteriormente, o vetor de cargas consistente de um elemento
finito, que é o vetor de cargas nodais equivalente a cargas distribuídas no elemento
(cargas de volume e de superfície) pode ser calculado pela expressão (3.16).
Entretanto, quando o elemento estiver submetido a deformações ~oε e/ou tensões
iniciais ~oσ , deve-se modificar esta expressão pois, conforme já foi visto para um
problema unidimensional (ver eq. (2.44)) a energia de deformação interna passa a ser:
~~~~~~
~
ooo DD
Uσεεσ
ε+−==
∂
∂ e
dVDDdVUUV o
T
o
TT
V o ∫∫
+−==
~~~~~~~~2
1σεεεεε
A expressão completa do vetor de cargas consistente passa a ser então:
∫∫ ∫ ∫++=ee e e
V
eoV S V
eo
eeedVBdVDBdApNdVbNf
~
T
~~~
T
~~
T
~~
T
~~
. - .. .. σεσ
(3.34)
No que se segue será apresentado um exemplo de cálculo de vetor de cargas
consistente para cada tipo de elemento finito apresentado neste Capítulo.
Elemento de Treliça de 2 nós
Seja uma barra unidimensional (de concreto, por exemplo) que sofreu uma
retração hidráulica de ∆L.
L
Loo
∆−== εε
~
2 x u2
e
L
u1
1
∆L
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Para encontrar o vetor de cargas equivalente a esta deformação inicial imposta,
utiliza-se a eq. (3.34), que para um elemento de treliça de seção constante (área A)
torna-se: dxEBAdVDBfL
o
T
V o
Te
e ∫∫ ==0
~~~~~~
. εε
O deslocamento aproximado ao longo do elemento de treliça de 2 nós é definido por:
−==
2
1
~~1)(
u
u
L
x
L
xuNxu
e a matriz que relaciona deformação específica × deslocamentos nodais é:
−=∂=
LLNB
11
~~~
Substituindo-se esta matriz na expressão do vetor de cargas consistente tem-se:
∆−
∆=
∆−
−
= ∫ LLEA
LLEAdx
L
L
L
LAfL
e
/
/E
1
1
.0~
Elemento Plano Retangular de 4 nós
Seja um elemento plano retangular de 4 nós submetido a uma carga (por
unidade de comprimento) linearmente distribuída em uma das faces:
EA∆L/L
EA∆L/L
3 2a
2
4
1
2b q1
q2
y
x Nota: origem no
centro do elemento
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As funções de forma N1 e N2 para este elemento são:
+
±=
b
y
a
xN 11
4
12,1 ,
que podem ser utilizadas também para obter-se a carga q(x) em função de q1 e q2 :
++
−=+=
a
xq
a
xqqNqNxq 1
21
2)( 21
2112
Como a carga de superfície foi multiplicada pela espessura do elemento, sendo dada
por unidade de comprimento, a expressão (3.34) para este elemento fica:
∫ ∫−×
=
−==
eS
a
a
y
y
y
ee
f
f
f
dxxq
NdApNfσ
4
2
1
T
~~
T
~18~
0
0
)(
0. .
M
Como não existe carga aplicada na direção x, pode-se obter apenas as componentes
em y do vetor de cargas consistente, e integra-se ao longo da face y = +b:
∴
−+
+
++
−
−=
−+
+−
+++
−
−
=
++
−
−
+
−==
=
∫
∫ ∫
−
− −
0
0
3
22
43
22
4
3
22
43
22
4
0
0
14
21
4
21
41
4
..12
12
0
0
12
1
12
1
)(
2
32
2
31
2
32
2
31
2
22
2
21
2
22
2
21
21T
~
4
3
2
1
~
a
aa
q
a
aa
q
a
aa
q
a
aa
q
dxa
xq
a
x
a
xq
a
x
a
xq
a
xq
dxa
xq
a
xq
a
x
a
x
dxxqN
f
f
f
f
f
a
a
a
a
a
a
y
y
y
y
e
y
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+
+
−==
+
+
−=
0
0
)2(6
)2(6
:2 chamando ou, ,
0
033
23
2
3
21
21
~
21
21
~
qqL
qqL
fLaaq
aq
aqaq
fe
y
e
y
Elemento Sólido Hexaédrico de 20 nós
Seja um elemento sólido hexaédrico de 20 nós submetido a uma tração
uniforme (q) na direção y, na sua face superior (y = +b):
L
)2(6
21 qqL
+
)2(6
21 qqL
+
1
6 5
4 3
2 8 7
9
13
12
11
10
17
19
18
20
14
15
16
2a
2b
2c
py= q
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Como só existe carga aplicada na direção y, pode-se obter apenas as
componentes em y do vetor de cargas consistente:
=⇒
=
==×
−−×
∫ ∫∫
y
y
y
y
y
e
y
y
y
y
S
a
a
c
c
ee
f
f
f
f
f
f
f
f
f
dxdzqNdApNfe
20
4
3
2
1
120,~
20
2
1
T
~~
T
~160~
0
0
0
0
0
0
0
. .
MM
σ
Apenas 8 componentes deste vetor serão não-nulas, pois para y = + b, Ni ≠ 0 apenas
quando i = 1, 2, 5, 6, 9, 13, 17 e 18. Para y = + b as funções N1 e N9 ficam sendo:
−+
+
+= 111
4
11
c
z
a
x
c
z
a
xN e
+
−=
c
z
a
xN 11
2
12
2
9
Calcula-se inicialmente a componente f1y inserindo-se N1 na expressão dee
f~
acima:
Qqacacac
acq
dzq
ca
za
a
a
c
zaa
dzdxq
c
z
ac
xz
a
x
a
xdzdxqNf
c
c
a
a
c
c
a
a
c
cy
=−=
++−=
+++−
=
+++−
+==
∫
∫ ∫∫ ∫
−
− −− −
33
4
3
44
44.
3
2
3
222
4.11.
2
3
2
3
2
2
2
2
11
Analogamente para os nós extremos da face superior encontra-se: f2y = f5y = f6y = Q.
Calcula-se em seguida a componente f9y substituindo-se N9 na expressão de e
f~
:
Pqaca
cq
dzq
ca
za
a
a
c
zaa
dzdxq
ca
zx
a
x
c
zdzdxqNf
c
c
a
a
c
c
a
a
c
cy
==
=
−++
=
−−+==
∫
∫ ∫∫ ∫
−
− −− −
3
4
3
4.2
223
2
3
222
2.1.
2
3
2
3
2
2
2
2
99
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e para os outros nós no meio das arestas também encontra-se: f13y = f18y = f17y = P.
Observa-se que apesar da carga distribuída aplicada atuar para cima, nos nós
dos cantos da face superior as componentes do vetor de cargas consistente encontrado
atuam para baixo, conforme ilustrado na figura abaixo:
Elemento de Viga de 2 nós
Seja um elemento de viga de 2 nós e de comprimento L, submetido a:
a) carga vertical uniformemente distribuída ao longo do eixo, q(x)= -p:
Para este carregamento, o vetor de cargas consistente definido pela eq. (3.33)
para elemento de viga de seção transversal constante fica sendo:
∫∫ −==LLe
dxpNdxxqNf0
T
~0
T
~~
)(
Inserindo-se as funções de interpolação para o elemento de viga de 2 nós, que
são os polinômios cúbicos de Hermite, na expressão acima encontra-se:
P
P
P
P Q Q
Q Q
p
1 2 L
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−
−=
+−
−
+−
+−
−= ∫
12
2
12
2
23
2
231
2
2
0
2
32
3
3
2
2
2
32
3
3
2
2
~
L
L
L
L
pdxp
L
x
L
xL
x
L
xL
x
L
xx
L
x
L
x
fLe
que são as conhecidas ações nodais de engastamento perfeito ( = − esforços de
engastamento perfeito) de um elemento de viga submetido a carga vertical uniforme.
b) carga vertical concentrada -P, aplicada no meio do vão (x= L/2):
No caso de carga concentrada, ao invés de integrar-se o produto das funções de
interpolação pelas cargas distribuídas ao longo do elemento, calcula-se simplesmente
o produto da função de interpolação no ponto de aplicação pela carga concentrada:
−
−
−
=
+−
−
+−
+−
−=−==
8
2
8
2
84
8
2
4
3822
8
2
4
31
)(2/~~
PL
P
PL
P
LL
LLL
PPNfLx
Te
f2
f1
f4
f3
pL2/12
pL/2 pL/2
pL2/12
PL/8
P/2 P/2
PL/8
L/2 L/2
P
1 2
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Exercícios Propostos
1) Encontre as funções de forma do elemento de treliça de 3 nós, utilizando os
polinômios de Lagrange, para os seguintes casos:
a) b)
2) Encontre as funções de forma N1 , N2 e N5 do elemento plano retangular
Lagrangeano de 9 nós:
Sugestão: Utilize os polinômios de Lagrange interpolando os 3 nós pertinentes
inicialmente em x e em seguida em y; depois faça o produto para obter N1 , N2 e N5.
3) Calcule o vetor de cargas consistente do elemento de treliça de 2 nós para os
seguintes casos:
a) b)
4) Encontre por inspeção as seguintes funções de forma do elemento sólido
hexaédrico de 20 nós (utilize a numeração dos nós no elemento definida na pág. 100):
N3 , N4 , N7 , N8 , N11 , N15 , N19 e N20 .
1 2 3
L/2 L/2
1 2 3
2L/3 L/3
2 1 5
3 4
6
7
8 9 x
y
a
a
b
b
1 2
L
+∆T 1 2
2L/3 L/3
F
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5) Calcule o vetor de cargas consistente do elemento de viga de 2 nós para os casos:
a)
)(.V2/~~
2/~~2/2/~~
MNfMNuMvfuLx
T
x
e
Lx
T
x
T
LxLxx
eT−×=→×−=×−=−=
====
b)
2
2
22
dx
vd.y
dx
du
yh
T
h
T
x
o
−==ε
×α
−=ε∴α
=ϕ
∫∫∫∫
∫∫
=∴−=−
=
−=−=−=
L TeL TTL
A
VV
o
TeT
dxh
TBEIfdx
h
TBuEIdx
h
T
dx
vddAy
dVyh
TE
dx
vdydVDfu
0 ~~0 ~~0 2
22
2
2
~~~~~
222.
.2
......V
ααα
αεε
6) Calcule o vetor de cargas consistente do elemento plano bilinear retangular para o
seguinte caso de carregamento (onde q1 e q2 são cargas por unidade de comprimento):
__
L/2 L/2
M
1 2
L
- T
+T
y
x
b
h
- αT
+ αT
ϕ
2 1
3 4
q1
q2
x
y
a
a
b
b
q1
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3.8 – Formulação Isoparamétrica – Coordenadas Naturais- Mapeamento
A formulação isoparamétrica torna possível a utilização de elementos com
lados inclinados e curvos, possibilitando a modelagem de estruturas de qualquer
forma geométrica.
Na formulação de elementos isoparamétricos utiliza-se o sistema de
coordenadas naturais: coordenadas ξ, η, ζ que variam sempre de –1 a +1, ao invés
do sistema cartesiano usual x,y,z. A figura abaixo ilustra os dois sistemas de
coordenadas para um elemento plano quadrilátero:
A transformação de coordenadas do sistema usual x,y,z para o sistema de
coordenadas naturais ξ, η, ζ é chamada de Mapeamento (a origem de x,y,z não
coincide necessariamente com o centro do elemento).
Assim como o campo de deslocamentos dentro do elemento está relacionado
com os deslocamentos nodais através da matriz de funções de interpolação:
~~~.uNu
e=
4 (1, -1) (-1, -1) 3
(-1, 1) 2 1 (1, 1)
ξ
η y
x
4 3
2
1
(x1, y1)
(x3, y3) (x4, y4)
(x2, y2)
ξ = +1 ξ = - 1
η = -1
η= +1
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pode-se também relacionar as coordenadas dentro do elemento (vetor e
x~
) com as
coordenadas nodais (vetor ~x ) do elemento através da matriz
~M :
~~~.xMx
e=
onde, para um elemento sólido, 3D:
=
z
y
x
xe
~ e
=
M
2
2
2
1
1
1
~
z
y
x
z
y
x
x .
sendo as matrizes ~
M e ~N expressas em termos de ξ, η, ζ . Quando o grau dos
polinômios contidos na matriz ~
M for igual ao dos contidos na matriz ~N , ou seja
quando o mesmo número de parâmetros (mp=np) for utilizado para descrever a
geometria (mp) e o campo de deslocamentos (np), o elemento é classificado como
isoparamétrico. Quando o grau dos polinômios em ~
M for menor do que o dos
polinômios em ~N , ou seja, quando menos parâmetros forem utilizados para descrever
a geometria do que o campo de deslocamentos (mp<np), o elemento é classificado de
subparamétrico e quando mp>np, o elemento é classificado de superparamétrico .
Exemplos:
i) Elemento Isoparamétrico
~M e
~N lineares
~M e
~N quadráticas
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ii) Elemento Subparamétrico
Ex: elemento incompatível de Wilson ~
M linear e ~N quadrática:
∑=
−+−+=4
1
22
21 )1()1(),(
i
iiuNu ηαξαηξ
∑=
−+−+=4
1
24
23 )1()1(),(
i
iivNv ηαξαηξ
iii) Elemento Superparamétrico (elemento não utilizado na prática)
~
M quadrática e ~N linear:
∑=
=4
1
),(i
iiuNu ηξ ; ∑=
=4
1
),(i
iivNv ηξ
O campo de delocamentos é expresso em termos de coordenadas naturais,
~N =
~N (ξ,η,ζ ) mas deve ser derivado em relação a x, y e z, devendo-se aplicar a Regra
da Cadeia, o que será realizado através de uma matriz denominada Jacobiana (~J ).
A formulação isoparamétrica facilita a integração numérica das expressões de
matriz de rigidez e de vetor de cargas consistente dos elementos, uma vez que as
coordenadas naturais variam sempre de –1 a +1. Apresenta-se no que se segue a
formulação dos elementos planos isoparamétricos com 4 a 9 nós:
Elemento plano isoparamétrico de 4 nós:
Funções de Forma:
)1)(1(4
1iiiN ηηξξ ++=
y
x
4 3
2
1
ξ = +1 ξ = - 1
η = -1
η= +1
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O campo de deslocamentos dentro do elemento é definido por:
∑=
=4
1
),(i
iiuNu ηξ ; ∑=
=4
1
),(i
iivNv ηξ
e as coordenadas x e y dentro do elemento também são expressas por:
∑=
=4
1
),(i
ii xNx ηξ ; ∑=
=4
1
),(i
ii yNy ηξ
definindo assim o mapeamento.
Para se encontrar as deformações específicas, deve-se derivar os
deslocamentos em relação a x e a y, no entanto, como u e v estão expressos em
função de ξ e η, deve-se aplicar a Regra da Cadeia:
xxx ∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂ η
η
ξ
ξ e
yyy ∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂ η
η
ξ
ξ
No entanto não se conhecem diretamente as relações entre ξ , η e x e y e sim
as relações inversas x = x(ξ ,η) e y = y(ξ ,η), portanto deve-se fazer inicialmente:
ξξξ ∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂ y
y
x
x e
ηηη ∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂ y
y
x
x
ou, matricialmente:
∂
∂∂
∂
=
∂
∂∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
=
∂
∂∂
∂
y
xJ
y
xyx
yx
.ou ~
η
ξ
ηη
ξξ
η
ξ
onde ~J é denominada matriz Jacobiana. Para se encontrar as deformações
específicas, ~~~
.uB=ε , deve-se utilizar a matriz inversa, ~Γ =
~J
-1 , ou seja:
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−
−=Γ
∂
∂∂
∂
Γ=
∂
∂∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
=
∂
∂∂
∂
1121
1222
~~
1;.ou
JJ
JJ
Jy
x
yy
xx
y
x
η
ξ
η
ξηξ
ηξ
,
em que J é o determinante da matriz ~J , denominado Jacobiano. A mesma expressão
é utilizada para a matriz ~B (pág. 89), entretanto cada coeficiente desta é calculado
derivando-se as funções Ni em relação a ξ ,η e usando-se os coeficientes da matriz ~Γ :
1211 Γ∂
∂+Γ
∂
∂=
∂
∂∴
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
ηξ
η
η
ξ
ξiiiiii NN
x
N
x
N
x
N
x
N
2221 Γ∂
∂+Γ
∂
∂=
∂
∂∴
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
ηξ
η
η
ξ
ξiiiiii NN
y
N
y
N
y
N
y
N
Algumas limitações devem ser impostas à forma dos elementos e à posição dos nós,
de maneira que a matriz Jacobiana não fique singular (o determinante J deve ser
sempre positivo), conforme será visto no próximo capítulo. Para avaliar as integrais
das expressões da matriz de rigidez e vetor de cargas consistente do elemento, deve-
se fazer também uma mudança de variáveis com o auxílio do determinante da matriz
Jacobiana:
ηξηξ ddJddJdxdydA ...det~
===
Logo, para um elemento de espessura t, tem-se:
∫∫∫∫ −−−−==
1
1 ~~
T
~
1
1~~
T
~~... ηξddJtBDBdxdytBDBk
a
a
b
b
e (3.35)
e se estiver submetido apenas a cargas de volume, por exemplo, tem-se:
∫ ∫∫ ∫∫ − −− −===
1
1
1
1 ~
T
~~
T
~~
T
~~
... ... . ηξdJdtbNdxdytbNdVbNfb
b
a
aV
ee (3.36)
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Elemento plano isoparamétrico de 5 a 9 nós:
As funções de forma deste elemento com no variável de nós dependem de quais
nós estão presentes no elemento, conforme mostra a tabela abaixo:
Funções de forma nó 5
presente
nó 6
presente
nó 7
presente
nó 8
presente
nó 9
presente
N1= )1)(1(
4
1ηξ ++ 5
2
1N−
8
2
1N− 9
4
1N−
N2= )1)(1(
4
1ηξ +− 5
2
1N− 6
2
1N−
9
4
1N−
N3= )1)(1(
4
1ηξ −−
6
2
1N− 7
2
1N−
9
4
1N−
N4= )1)(1(
4
1ηξ −+
7
2
1N− 8
2
1N− 9
4
1N−
N5= )1)(1(
2
1 2 ηξ +−
92
1N−
N6= )1)(1(
2
1 2ηξ −−
92
1N−
N7= )1)(1(
2
1 2 ηξ −−
92
1N−
N8= )1)(1(
2
1 2ηξ −+
92
1N−
N9= )1)(1(
2
1 22 ηξ −−
A matriz de rigidez deste elemento também é obtida pela expressão (3.35) e o vetor
de cargas consistente, para cargas de volume no elemento, pela expressão (3.36).
4 3
2 1
y
x
ξ = +1 ξ = - 1
η = -1
η= +1
η
ξ
5
6
7
8 9
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3.9 – Integração Numérica – Regras de Gauss
Para obtenção da matriz de rigidez e do vetor de cargas consistente nos
elementos em programas computacionais de elementos finitos, é necessário avaliar as
integrais envolvidas por um processo numérico. Será apresentado a seguir apenas o
processo das Regras de Gauss e será admitido que os limites das integrais sejam
sempre de –1 a +1.
a) Integração em uma dimensão
A idéia das Regras de Gauss surgiu da aproximação da área sob uma curva por um
retângulo em que a altura é tomada no meio do intervalo:
ou seja,
)0(2)()11()( 1
1
1ffdfI =×+≅= ∫− ξξξ
Se f(ξ) for a equação de uma reta de qualquer inclinação, a integral acima será
avaliada exatamente (área do trapézio = base × altura média), caso contrário será
apenas uma aproximação. Este procedimento com apenas 1 ponto de Gauss foi
estendido para vários pontos; quanto maior o no de pontos, maior será a precisão, é
como aproximar a área sob a curva por uma soma de retângulos:
)()()()( 2211
1
1 nn fWfWfWdfI ξξξξξ ×++×+×≅= ∫− L (3.37)
onde ξi são as posições dos pontos e Wi são os pesos de Gauss. Observa-se da figura
acima que no caso de apenas 1 ponto de Gauss tem-se que: ξ 1 = 0.0 e W1 = 2.0
-1 1 0
f(ξ )
f(ξ1)
ξ1 ξ
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Para n pontos, a posição e o peso de cada ponto é encontrada de maneira a
integrar exatamente um polinômio de grau (2n-1) conforme mostrado abaixo para o
caso de n=2 (integra exatamente um polinômio de grau 2n-1=3):
se 33
221)( ξξξξ aaaaf o +++= (3.38)
a integral exata será:
2
1
1
43
32
21
1
1 3
22
432)( aa
aaaadf oo +=
+++=
−−∫
ξξξξξξ (3.39)
Escolhendo-se 2 pontos ξ1 e ξ 2 dentro do intervalo [-1,1], simetricamente em relação
a ξ = 0:
a eq. (3.37) fica: )()()( 2211
1
1ξξξξ fWfWdfI ×+×== ∫− (3.40)
Substituindo-se agora a eq. (3.38) na eq. (3.40) acima resulta em:
)()()(323
222212
313
212111
1
1ξξξξξξξξ aaaaWaaaaWdfI oo +++×++++×== ∫− (3.41)
Comparando-se (3.39) e (3.41) chega-se a um sistema de equações algébricas 4 × 4:
0
3/2
0
2
322
311
222
211
2211
21
=+
=+
=+
=+
ξξ
ξξ
ξξ
WW
WW
WW
WW
f(ξ1)
f(ξ2) f(ξ )
ξ1 ξ2 -1 1 ξ
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cuja solução fornece os pesos: 0.121 == WW e as posições 3
3;
3
321 +=−= ξξ
dos pontos de Gauss para n =2. Procede-se analogamente para n > 2; a tabela abaixo
apresenta um resumo das posições e pontos de Gauss até n = 3.
Ordem n Posições dos Pontos de Gauss ξi Peso dos Pontos de Gauss Wi
1 ξ1 = 0. W1 = 2.0
3/31 −=ξ W1 = 1.0
2 3/32 +=ξ W2 = 1.0
6.01 −=ξ W1 = 5/9
ξ2 = 0. W2 = 8/9
3
6.03 +=ξ W3 = 5/9
Resumindo, para n pontos de Gauss, a integral de um polinômio 2n-1 será
avaliada exatamente, e se a função f(ξ ) não for um polinômio, quanto maior o no de
pontos de Gauss, melhor será a aproximação.
b) Integração em duas, três dimensões
As Regras de Gauss em duas ou mais dimensões são obtidas pelo produto das
Regras de Gauss em uma dimensão, ou seja, pela aplicação sucessiva das regras
unidimensionais. Em duas dimensões obtém-se, integrando-se primeiro em relação a
ξ e em seguida em relação a η:
∑∑
∑∑∫ ∑∫∫
≅
∴
××≅
×≅=
−−−
i j
jiji
i
jii
j
j
i
ii
fWWI
fWWdfWddfI
),(..
),(),(),(1
1
1
1
1
1
ηξ
ηξηηξηξηξ(3.42)
Seja por exemplo o elemento isoparamétrico, quadrilátero, de 4 nós. Como a
matriz ~B tem coeficientes lineares em ξ e η, e o determinante de
~J também (será
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constante apenas para o elemento retangular), o integrando contido dentro da integral
da matriz de rigidez será um polinômio do 3o grau em ξ e η, portanto 2 pontos em
cada direção são necessários (sendo denominados esquema ou Regra de Gauss 2×2):
Já os elementos de ordem superior, como o isoparamétrico de 9 nós necessitam
de um esquema de Gauss 3×3:
Em três dimensões, a aproximação da integral de uma função pelas Regras de
Gauss fica sendo:
∑∑∑∫ ∫ ∫ ≅=− − −
i j
kjikj
k
i fWWWdddfI ),,(.),,(1
1
1
1
1
1ζηξζηξζηξ (3.43)
ξ = + 6.0 ξ = - 6.0
η = + 6.0
××××
9
×××× 3
×××× 4
×××× 5
×××× 6
×××× 7
×××× 8
×××× 1
×××× 2
η = - 6.0
ξ
η
2 ××××
1××××
×××× 4
×××× 3
η= +3
3
η= -3
3
ξ= +3
3
ξ= -3
3
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3.10 – Cálculo das Tensões
Após resolvido o sistema de equações de equilíbrio da estrutura, obtém-se o
vetor de deslocamentos nodais no Sistema Global ~
U , em relação aos graus de
liberdade (GL) da estrutura. A partir de ~
U , obtém-se o vetor de deslocamentos nodais
em cada elemento e, ~u , no Sistema Local, em relação aos GL do elemento, através de
transformação de coordenadas e correspondência entre os GL
A partir de ~u , obtém-se então as tensões em qualquer ponto x,y,z (ou ξ, η e ζ)
no elemento em função dos deslocamentos nodais:
~~~~~~),,(),,(),,( uzyxBDzyxDzyx == εσ (3.44)
Como as deformações ~ε envolvem derivadas do campo de deslocamentos,
espera-se que as tensões ~σ sejam menos precisas do que os deslocamentos. Em
elementos de baixa ordem, lineares, as tensões no centro do elemento são mais
precisas do que nos cantos, nos nós do elemento. Uma grande descontinuidade de
tensões nos nós entre elementos adjacentes (de mesmo material e espessura) indica
que é necessário refinar a malha do modelo.
Para melhorar a precisão dos valores de tensões nos nós, costuma-se efetuar a
média dos valores fornecidos por elementos adjacentes, conforme mostrado abaixo
para elementos planos de 4 nós:
8
5
7
6
14 13
12 11 10
15
16 17 18
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As tensões no nó 14 são calculadas pela média aritmética dos valores de tensão
obtidos em cada elemento adjacente a este nó:
+++=
)8(
14~
)7(
14~
)6(
14~
)5(
14~14~ 4
1σσσσσ
Em elementos de treliça, elementos planos retangulares e sólidos
paralelepipédicos, os locais ótimos de obtenção de tensões são os pontos de
integração de Gauss, conforme mostra o exemplo abaixo de uma viga, modelada por
dois elementos isoparamétricos de 8 nós de estado plano de tensão:
Como o esforço cortante é constante ao longo do eixo da viga, a solução exata
para a deformação de cisalhamento γxy é constante ao longo do eixo x; já dentro de
cada elemento de 8 nós a solução aproximada para γxy varia parabolicamente em xy,
mas nas posições dos pontos de Gauss ( 3/3±=ξ ) ela se aproxima do valor exato.
Para elementos distorcidos, a posição dos pontos de Gauss não são locais
ótimos, mas apenas uma boa escolha para obtenção de tensões. Em alguns programas
computacionais, o contorno de tensões na malha de elementos finitos é calculado ou
pela média dos valores nodais, ou extrapolando os valores dos pontos de Gauss.
No caso de existirem deformações e tensões inicias no elemento, as tensões ficam:
~~~~~ooD σεεσ +
−= (3.45)
elemento
finito solução
exata
×××× ×××× ×××× ××××
×××× - pontos de Gauss
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4 – MODELAGEM ESTRUTURAL
4.1 – Escolha da Malha e dos Elementos Apropriados
Atualmente os elementos isoparamétricos são os mais utilizados na modelagem
de estruturas pois, além de serem conformes, os elementos podem ter lados
inclinados ou curvos, possibilitando assim a modelagem de estruturas de qualquer
forma geométrica. Na análise linear de estruturas é em geral mais conveniente utilizar
uma malha mais grossa de elementos de ordem superior do que uma malha mais fina
de elementos de baixa ordem. No caso de elementos de barra, tipo treliça ou viga, os
elementos de ordem inferior, de 2 nós, são suficientes na maioria dos casos. A figura
abaixo apresenta recomendações de elementos para cada tipo de problema:
1D 3D TRELIÇA 2 nós SÓLIDOS VIGA
20 nós 2D EPT EPD AXIS. 8 ou 9 nós
PLACAS CASCAS
8 ou 9 nós 9 ou 16 nós
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Já na análise não-linear de estruturas pode ser mais eficiente uma modelagem
com uma malha fina de elementos de baixa ordem, de forma a evitar problemas de
convergência que surgem nos elementos com campos complexos de deslocamentos.
Os elementos isoparamétricos apresentam limitações quanto à forma e à
posição dos nós nos lados dos elementos de forma a que a matriz Jacobiana não fique
singular e possa ser invertida na formulação da matriz de rigidez do elemento. Deve-
se evitar elementos distorcidos, os ângulos internos (α) devem ser sempre menores
do que 180o, conforme mostrado abaixo para elementos planos, próximos de 180o já
podem apresentar problemas; procurar usar ângulos internos sempre próximos de 90o:
α < 180o α > 180o α ≈ 180o α ≈ 180o
SIM NÃO NÃO NÃO
Deve-se também evitar posicionar os nós intermediários nos lados dos elementos
perto dos cantos, colocá-los sempre na faixa central dos lados, 0,25 < β < 0,75:
SIM NÃO
Deve-se procurar manter a razão entre os lados (A/B em elementos
retangulares, em quadriláteros tomar valores médios) em torno de 1, no máximo 3,
ou seja, 1/3 < A/B < 3, conforme mostrado a seguir:
α
a
α α
α
α
βl
l
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A/B = 3,5 NÃO A/B = 1,3 SIM
Esta limitação aplica-se principalmente a elementos de baixa ordem, como por
exemplo o elemento plano bilinear, pois quando submetidos à flexão apresentam
energia de deformação por cisalhamento excessiva, espúria, tornando o elemento
muito rígido. Este efeito, denominado “cisalhamento parasita”, aumenta com o
quadrado da razão A/B. A figura abaixo ilustra este efeito na flexão pura: (a) modo
de deformação correto (γxy = 0); (b) modo de deformação do elemento bilinear (γxy
varia linearmente em x, é nula no centro e aumenta em direção aos lados extremos).
(a) (b)
Este efeito é menos pronunciado nos elementos de ordem superior, mas
também deve-se procurar evitar o uso de elementos alongados (usar 1/3 < A/B < 3).
Em estruturas planas submetidas à flexão, deve-se evitar o uso de elementos
triangulares pois estes apresentam deformações específicas e tensões constantes ao
longo de todo o elemento. A figura abaixo ilustra a diferença entre modelar uma viga
submetida à flexão com elementos de estado plano de tensão retangulares e
triangulares. Observa-se que muitos elementos triangulares seriam necessários para
aproximar a variação linear de deformações εx ao longo da altura da viga, enquanto
que apenas um elemento retangular de 4 nós modela corretamente esta variação.
A
B
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As limitações dos elementos mostradas para elementos planos, aplicam-se
também para elementos sólidos.
4.2 – Concentração de Tensões e Transição de Malhas
Sempre que houver uma concentração ou uma variação brusca de tensões numa
estrutura, como por exemplo nos pontos de aplicação de cargas, nos cantos de
aberturas, nos pontos restringidos por vínculos, deve-se utilizar uma malha refinada
ou elementos de ordem superior nesta região. Para estruturas pequenas, com poucos
graus de liberdade, costuma ser mais conveniente modelar toda a estrutura com uma
malha refinada. No entanto, em estruturas maiores, convém modelar apenas a região
em que há concentração de tensões com uma malha refinada e o resto da estrutura
com uma malha mais grossa, tornando-se necessária uma transição de malhas.
Deve-se ter cautela ao se realizar uma transição de malhas para garantir a
compatibilidade de deslocamentos entre elementos adjacentes. A figura a seguir
mostra uma transição incompatível entre um elemento isoparamétrico de 8 nós e um
isoparamétrico de 4 nós, que não deve ser utilizada:
x x
+
_
_
εx constante em x
M M
+
__
εx varia
linear-
mente
em y
+ _
εx constante
εx constante
_
εx constante em x
M M
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Para fazer uma transição de uma malha de elementos de ordem superior para
uma de elementos de ordem inferior pode-se utilizar os elementos isoparamétricos
com nós variáveis. A figura abaixo ilustra uma transição compatível de uma malha de
elementos de 8 nós para uma de elementos de 4 nós, usando-se o elemento de 5 nós:
Apresentam-se a seguir duas transições possíveis, compatíveis, de uma malha
grossa para uma malha mais fina de elementos de mesma ordem: a) usando-se
elementos triangulares na transição; b) usando-se elementos trapezoidais.
(a) (b)
lado com 3 nós: deslocamentos variam parabolicamente
lado com 2 nós: deslocamentos variam linearmente
ambos lados com 3 nós: deslocamentos variam parabolicamente
8-NOS 5-NOS 4-NOS
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Estas mesmas transições podem ser feitas com elementos de ordem superior,
quadráticos:
(a) (b)
A transição abaixo, de uma malha fina para uma malha grossa de 4 nós, apesar
de incompatível, pode ser utilizada mas com cautela, não deve-se extrair resultados
na zona de transição. Existe incompatibilidade de deslocamentos entre um elemento
de 5 nós, pois no lado com 3 nós os deslocamentos variam parabolicamente,
adjacente a dois elementos de 4 nós, pois em cada lado com 2 nós os deslocamentos
variam linearmente, conforme mostrado na figura abaixo. Esta incompatibilidade é
menos severa do que a de um elemento de 8 nós adjacente a um de 4 nós.
Malha Fina de elementos de 4 nós
Elementos de 5 nós
Malha Grossa de elementos de 4 nós
4 nós 4 nós
5 nós
Deformada na vertical de 2 elementos de 4 nós adjacente a um elemento de 5 nós
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Analogamente deve-se ter cautela ao se utilizar a transição abaixo, de uma malha fina
para uma malha grossa de elementos de 9 nós, devido às incompatibilidades.
O conhecido efeito de Saint-Venant, da Teoria da Elasticidade, também aplica-
se ao método dos elementos finitos:
1) se uma certa região da estrutura não estiver bem modelada, nesta região a
solução não estará bem aproximada, mas longe desta região o resto do modelo
não será afetado; se bem modelado o resto da estrutura apresentará uma boa
solução. Ou seja, se na zona de transição a solução não estiver precisa, longe
desta zona esta imprecisão não será sentida.
2) se deseja-se conhecer conhecer as tensões em apenas uma certa região da
estrutura, pode-se modelar bem apenas esta região pois a solução será precisa
apenas nesta região, não será afetada pelo resto do modelo.
Malha Fina de elementos de 9 nós
Malha Grossa de elementos de 9 nós
Elementos de 5 nós
Elementos de 6 nós
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] Cook, R.D.; Malkus, D.S. e Plesha, M.E. - Concepts and Applications of Finite Element Analysis, John Wiley & Sons, Inc., terceira edição, 1989.
[2] Cook, R.D - Finite Element Modeling for Stress Analysis, John Wiley & Sons, Inc., 1995.
[3] Bathe, K.J. - Finite Element Procedures , Prentice- Hall, Inc., Englewood Cliff, New Jersey, 1996.
[4] Bathe, K.J. - Finite Element Procedures in Engineering Analysis , Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliff, New Jersey, 1982.
[5] Buchanan, G. R. - Finite Element Analysis , Schaum’s Outline Series, McGraw- Hill, 1995.
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[7] Hinton, E. e Owen, D.R.J. - Finite Element Programming , London: Academic Press, 1977.
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[10] Computers and Structures, Inc. SAP 2000 Plus - Integrated Structural Analysis and Design Software - Version 6.1, 1997.