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Curso de Pós-Graduação “Lato Sensu” ESPECIALIZAÇÃO EM PROJETO DE ESTRUTURAS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL DA UFSC

Disciplina:

EE 08 – UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS

FINITOS EM PROJETOS DE ESTRUTURAS

Prof.a Henriette Lebre La Rovere

Ano: 2002 Realização: ECV / GRUPEX / FEESC Apoio: AltoQI / USIMINAS / CISA

EE08 – Utilização do Método dos Elementos Finitos em Projetos Estruturais Disciplina do Curso de Especialização em Projeto de Estruturas (ECV/CTC/UFSC)

Prof.a Henriette Lebre La Rovere (Prof. Adjunto do ECV/CTC/UFSC)

GRUPEX Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas

SUMÁRIO

1 – INTRODUÇÃO

1.1 – Definição

1.2 – Objetivo

1.3 – Histórico

1.4 – Aplicações na Engenharia Civil

1.5 – Enfoque Físico do MEF

2 – PRINCÍPIOS DE ENERGIA E MÉTODO DE RAYLEIGH-RITZ

2.1 – Noções de Cálculo Variacional

2.2 – Princípio da Energia Potencial Mínima

2.3 – Princípio dos Trabalhos Virtuais

2.4 – Método de Rayleigh-Ritz

3 – FORMULAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

3.1 – Modificação do Método de Rayleigh-Ritz

3.2 – Equações de Equilíbrio – Condições de Convergência

3.3 – Elemento de Treliça

3.4 – Elemento Plano

3.5 – Elemento Sólido

3.6 - Elemento de Viga

3.7 - Vetor de Cargas Consistente

3.8 – Formulação Isoparamétrica - Coordenadas Naturais – Mapeamento

3.9 – Integração Numérica – Regras de Gauss

3.10 - Cálculo das Tensões

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4 – MODELAGEM ESTRUTURAL

4.1 – Escolha da Malha e de Elementos Apropriados

4.2 – Concentração de Tensões e Transição de Malhas

5 – APLICAÇÕES EM PROJETOS ESTRUTURAIS

5.1 – Vigas-Parede

5.2 – Lajes-Cogumelo

5.3 – Consolos

5.4 – Coberturas

5.5 - Edifícios

REFERÊNCIAS

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1 – INTRODUÇÃO

1.1 - Definição

O Método dos Elementos Finitos (MEF) é um método aproximado, um método

numérico, em Engenharia. Aplica-se em geral a problemas em que não é possível

obter soluções satisfatórias por métodos analíticos. O MEF pode ser definido sob

diferentes enfoques:

• Enfoque matemático - O método pode ser interpretado como um método

aproximado para solução de equações diferenciais parciais ou Problemas de

Valor de Contorno (PVC), assim como o Método das Diferenças Finitas. Mais

recentemente o MEF foi explicado matematicamente como sendo a forma

fraca de um Problema de Valor de Contorno [1].

• Enfoque físico - O método pode ser caracterizado como um método de

discretização, ou seja, transforma um sistema contínuo, com uma infinidade de

pontos, em um sistema discreto com um número finito de pontos.

• Enfoque variacional - O método é uma modificação do Método Variacional de

Rayleigh-Ritz, em que o domínio de integração do funcional é subdividido em

regiões.

O Método dos Elementos Finitos consiste em dividir o domínio de integração

do problema em um número discreto de regiões pequenas de dimensões finitas

denominadas elementos finitos. A este conjunto de regiões dá-se o nome de malha de

elementos finitos. A figura a seguir mostra uma superfície de forma genérica

discretizada por uma malha de elementos finitos planos triangulares.

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Os elementos podem ter as mais diversas formas geométricas, o que permite

uma melhor representação do problema, conforme ilustrado a seguir.

Elementos unidimensionais - Barras de eixo reto (elementos de treliça, viga) ou curvo

Elementos bidimensionais - Elementos planos : triangulares, retangulares,

quadriláteros com lados retos ou curvos.

Elementos tridimensionais - Elementos sólidos : tetraédricos, hexaédricos, com lados

retos ou curvos.

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Elementos laminares - Elementos de Placa (superfície plana) e Casca (superfície

curva).

Elementos axi-simétricos - Elementos tipo toróide com simetria de revolução,

gerados por elementos triangulares ou retangulares [2].

Os elementos são ligados entre si por pontos nodais denominados de nós. Cada

elemento tem um número determinado de nós, que podem ser externos, os que

materializam a ligação com os demais elementos, ou internos. A localização dos nós

nos lados e dentro do elemento pode variar, por exemplo:

Elemento de treliça:

Elemento bidimensional ou elemento de placa:

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Ao invés de procurar-se soluções aproximadas tratando-se o problema

globalmente, como é feito por métodos aproximados tais como o Método de

Rayleigh-Ritz e o de Galerkin, considera-se cada região ou elemento isoladamente, o

que possibilita a escolha de funções mais simples para representar o comportamento

aproximado local nesta região.

As incógnitas do problema são expressas em função de valores nodais que são

relacionadas através de funções de interpolação (polinômios no caso do MEF)

válidas para cada região ou elemento. Estes polinômios podem ser do 1o grau ou de

ordem superior (quadráticos, cúbicos), o que fornece uma maior flexibilidade ao

método.

O Método dos Elementos Finitos teve origem na Mecânica das Estruturas mas

posteriormente foi generalizado e atualmente é aplicado a diversos problemas em

Engenharia, tais como transmissão de calor, escoamento de fluidos, dispersão de

poluentes, mecânica dos solos, campo magnético, campo elétrico, biomecânica, etc.

Na Mecânica das Estruturas as incógnitas são em geral deslocamentos ou

tensões, mas em outros problemas de Engenharia podem ser temperaturas,

velocidades, pressões, corrente elétrica, ...

O Método dos Elementos Finitos é utilizado em projetos de edifícios, pontes,

coberturas, barragens, motores elétricos, navios, aviões, naves espaciais, etc.

Seja por exemplo uma chapa engastada em um bordo com um furo, como

mostra a figura [2] a seguir. Este é um problema de Estado Plano de Tensões, um

problema contínuo em que as incógnitas são o campo de deslocamentos no plano da

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chapa, u(x,y) e v(x,y). Devido à complexidade da geometria da chapa, não seria

possível para este problema obter-se uma solução exata, analítica.

Aplicando-se o Método dos Elementos Finitos ao problema, a chapa é

discretizada em ne elementos com um total de N nós. Obtém-se assim um total de 2N

incógnitas, uma vez que cada nó tem 2 graus de liberdade (nó i : deslocamentos ui e

vi). Transforma-se assim o sistema de equações diferenciais que rege o problema em

um sistema de equações algébricas 2N × 2N, no qual as incógnitas são os

deslocamentos nodais.

Matricialmente, este sistema de equações pode ser escrito na forma:

[ ]{ } { }FUK =

onde [K] é a matriz de rigidez da estrutura (chapa);

{U} é o vetor de deslocamentos nodais e

{F} é o vetor de forças nodais.

Resolvendo-se este sistema de equações obtém-se as incógnitas, os

deslocamentos nodais {U}. A resolução de sistemas de equações para sistemas com

muitos graus de liberdade só é possível com o auxílio de computadores digitais. Foi

graças ao avanço tecnológico dos computadores e dos programas computacionais que

o MEF pôde ser desenvolvido.

furo

pressão p

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Obtidos os deslocamentos nodais, obtém-se, em qualquer ponto dentro de cada

elemento, os deslocamentos u (x, y) e v(x, y), utilizando-se as funções de interpolação

do elemento. A partir destes deslocamentos obtém-se as deformações específicas e as

tensões em qualquer ponto dentro do elemento.

Deve-se ressaltar que a solução obtida para o problema é uma solução

aproximada. Atendidas certas condições, conforme será visto mais adiante,

refinando-se a malha, ou seja, aumentando-se o número de elementos, a solução

aproximada tende para a solução exata, ou seja, o método é dito convergente.

1.2 – Objetivo

As condições de convergência e a precisão da solução do Método dos

Elementos Finitos dependem não apenas da formulação dos elementos mas também

da escolha da malha e do tipo de elemento utilizado na discretização do problema.

Em outras palavras, não basta utilizar-se programas bem desenvolvidos, com bons

algoritmos numéricos, é necessário também que a modelagem seja adequada.

Quem fornece a malha de elementos finitos e quem escolhe o tipo de elemento

a ser utilizado é o usuário dos programas. Nem sempre é verificado pelo programa se

as coordenadas dos nós ou a conetividade dos elementos está coerente. Pode ser que

um tipo de elemento seja adequado para um certo tipo de problema mas não para

outro. Cabe ao usuário ter conhecimento sobre os elementos fornecidos, suas

formulações e a compatibilidade entre elementos adjacentes. Segundo Cook, Malkus

& Plesha [3] , "although the finite element method can make a good engineer

better, it can make a poor engineer more dangerous". Na verdade mesmo um bom

engenheiro, mas que não conheça a teoria do Método dos Elementos Finitos, pode ser

perigoso ao aplicar o MEF a problemas usuais da Engenharia.

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Cada vez mais, no entanto, os programas de elementos finitos estão se

aperfeiçoando, utilizando pré-processadores para geração de malhas com saídas

gráficas para visualização das malhas e verificação da geometria, o que vem a

facilitar ao usuário. Alguns programas mais modernos dispõem de pré-processadores

para geração automática de malhas, lançando malhas sucessivamente até a obtenção

de uma malha considerada adequada, verificando-se para isto a descontinuidade de

tensões entre elementos.

Esta disciplina tem como objetivo fornecer os conhecimentos necessários à

modelagem consistente de estruturas pelo Método dos Elementos Finitos e à

utilização de programas computacionais de Elementos Finitos em Projetos

Estruturais.

A disciplina será restrita à aplicação do MEF à Mecânica das Estruturas. Só

serão consideradas estruturas com comportamento linear, ou seja estruturas cujos

deslocamentos e deformações específicas são pequenos e que sejam constituídas de

material elástico-linear. Será adotada a formulação do MEF em termos de

deslocamentos, o que corresponde ao Método dos Deslocamentos da Análise

Estrutural.

1.3 – Histórico [3]

Pode-se dizer que o Método dos Elementos Finitos surgiu intuitivamente e só

muito tempo depois, devido ao estudo de métodos energéticos e técnicas variacionais,

é que o método foi comprovado matematicamente.

Desde 1906 os pesquisadores procuram estender os métodos de análise

matricial para estruturas reticuladas (barras) para problemas contínuos bi e tri-

dimensionais. O esquema apresentado seguia o que pode-se chamar de enfoque físico

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do MEF. A dificuldade estava em calcular a matriz de rigidez de elementos bi e tri-

dimensionais de forma arbitrária.

Aparentemente Courant foi o primeiro a propor o MEF na forma que

conhecemos hoje. Em 1941 ele utilizou o Princípio da Energia Potencial Mínima e

subdividiu a seção transversal de uma barra em elementos triangulares, assumindo

funções de interpolação lineares, ao estudar o problema de torção de Saint-Venant.

Posteriormente, Prager e Synge generalizaram o esquema de Courant chamando-o de

Método hipercírculo, aplicando-o a problemas matemáticos.

Na época não foi dada muita atenção ao fato pois não existiam computadores

para resolver grandes sistemas de equações algébricas. O desenvolvimento do MEF

está ligado ao desenvolvimento de computadores digitais e linguagens de

programação. Em 1953 os engenheiros já escreviam as equações de equilíbrio em

forma matricial usando matrizes de rigidez das estruturas e resolviam os sistemas de

equações em computadores (na época um problema grande tinha 100 graus de

liberdade). Nesta época Turner sugeriu que elementos triangulares fossem utilizados

para discretizar uma asa de avião.

O nome Método dos Elementos Finitos foi dado por Clough em 1960. Novos

elementos para análise de tensões foram desenvolvidos desde então por Turner,

Clough, Martin e Topp. Adini, Melosh e Tocher aplicaram o método para análise de

flexão de placas. Ainda considerava-se o método como uma extensão dos métodos de

análise matricial de estruturas reticuladas para problemas contínuos. Foi apenas em

1963 que o método passou a ser respeitado, quando seu fundamento teórico foi

descoberto: o método pode ser interpretado como a solução de um problema

variacional, no qual minimiza-se um funcional.

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No final dos anos 60 e começo dos anos 70 começaram a surgir grandes

programas de ampla aplicação de elementos finitos, tais como o ANSYS, ASKA,

ICES, SAP, ... Mais recentemente, pré-processadores para geração de malhas e dados

de entrada e pós-processadores para avaliação e visualização dos resultados foram

incluídos nos programas, graças ao desenvolvimento dos pacotes gráficos e

aplicativos com windows. Atualmente edifícios inteiros são analisados pelo método

dos elementos finitos em questão de minutos.

Em 1961 dez trabalhos foram publicados sobre o MEF, 134 em 1966 e 844 em

1971. O total de trabalhos publicados até 1976 era de mais de 7000 e o total até 1986

era em torno de 20000. A produção de trabalhos não continuou crescendo neste

mesmo ritmo nesta última década, mas novas aplicações do MEF foram surgindo,

principalmente na análise não-linear de estruturas e também em outras áreas da

Engenharia.

1.4 – Aplicações na Engenharia Civil

Alguns exemplos de aplicação do MEF na Engenharia Civil, analisados pelo

programa SAP2000 [4], estão mostrados no que se segue:

Pontes – elementos finitos de barra 3D (pórtico espacial, grelha)

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Coberturas – elementos finitos de casca

Reservatórios – elementos finitos de casca

Casca cilíndrica

Casca esférica

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Edifícios de Alvenaria Estrutural – elementos finitos de casca

Edifícios de Concreto Armado

lajes : elementos finitos de placa ou casca

pilares e vigas: elementos de barra 3D

(vigas não estão mostradas)

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Barragens – elementos finitos planos (estado plano de deformação)

Valos de Decantação – elementos finitos de casca e barras 3D

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1.5 – Enfoque Físico do MEF

Assim como na Engenharia, de uma maneira geral, existem sistemas contínuos

e discretos, na Mecânica das Estruturas pode-se classificar os sistemas estruturais em

contínuos e discretos. Pode-se ainda discretizar um sistema contínuo tornando-o

discreto, através de métodos de discretização, tais como o Método dos Elementos

Finitos e o Método das Diferenças Finitas.

1.5.1 Sistemas Contínuos Um sistema contínuo é composto por uma infinidade de pontos e possui

portanto um número infinito de graus de liberdade. Na análise de uma estrutura

contínua, a estrutura é dividida em elementos infinitesimais, sendo assim possível

exprimir matematicamente, de uma maneira simples, as relações "tensão-

deformação" para cada elemento. As equações de equilíbrio são equações diferenciais

ordinárias ou um sistema de equações diferenciais parciais, em que as incógnitas são

em geral os deslocamentos ou o campo de deslocamentos da estrutura. Para alguns

casos simples é possível obter-se a solução exata destes problemas através do método

de integração direta, como o exemplo mostrado a seguir.

Exemplo 1: Barra prismática submetida a esforço uniaxial

Seja a barra prismática (eixo reto e seção transversal constante) e de material

homogêneo, mostrada na figura acima, cuja extremidade esquerda é fixa e na qual

aplica-se uma carga axial P, na extremidade direita. A barra tem comprimento igual

a l , área da seção transversal igual a A e módulo de elasticidade constante igual a E.

l

P

A dx

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Neste problema existe apenas a possibilidade de deslocamento axial, tratando-

se portanto de um problema uni-dimensional (1D). As incógnitas do problema são os

deslocamentos axiais que variam ao longo do eixo da barra : u (x) .

A reação de apoio é obtida por equilíbrio estático, tendo mesmo módulo e

sentido contrário à carga aplicada. O diagrama de esforço normal ou axial é portanto

constante e igual a + P ao longo da barra, ou seja, a barra está submetida à tração

pura. Dividindo-se a barra em elementos infinitesimais dx, cada elemento está

submetido então a uma tensão normal positiva:

A

Px =σ (1.1)

que será constante para todos elementos, uma vez que a seção transversal da barra

também é constante e igual a A.

Admite-se que a barra é composta de material elástico-linear, que segue a Lei

de Hooke:

xx Eεσ = (1.2)

onde εx é a deformação específica axial do elemento infinitesimal dx.

Sendo conhecida a relação deformação específica × deslocamento:

dx

dux =ε (1.3)

onde du é a variação de comprimento do elemento infinitesimal dx, como mostra a

figura, obtém-se a equação de equilíbrio do elemento infinitesimal, substituindo-se

(1.1) e (1.2) em (1.3):

dx du

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EA

P

Edx

du x ==σ

(1.4)

que é uma equação diferencial de 1a ordem. Para resolver esta equação é necessário

conhecer-se uma condição de contorno. Neste exemplo é conhecida a condição de

contorno na extremidade esquerda da barra, que é fixa: para x = 0 tem-se que

u(0) = 0.

Os problemas regidos por equações diferencias com condições de contorno

conhecidas são denominados de problemas de valor de contorno (PVC). O exemplo

desta barra é portanto o exemplo de um problema de valor de contorno:

=

=−

0(0)

0

u

EA

P

dx

du

PVC (1.5)

A maioria dos problemas em Mecânica dos Sólidos, incluindo a Mecânica das

Estruturas, pode ser descrita por um Problema de Valor de Contorno.

A solução da equação diferencial da barra deste exemplo pode ser obtida por

integração direta:

cxEA

P)x(u += (1.6)

Aplicando-se a condição de contorno u(0) = 0, obtém-se o valor da constante

de integração: c = 0. A solução do problema fica então:

xEA

Pxu =)( (1.7)

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Observa-se que o deslocamento axial varia linearmente em x, sendo máximo

na extremidade direita da barra, quando x=l : lEA

Pxu =)( .

Nem sempre é tão simples a resolução de uma equação diferencial ou de um

sistema de equações diferenciais parciais de sistemas contínuos, por isto é de

fundamental importância o conhecimento dos métodos de discretização.

1.5.2 Sistemas discretos

Sistemas discretos são aqueles que possuem um número finito de pontos

materiais e portanto um número finito de graus de liberdade. Exemplos clássicos

utilizados na Mecânica das Estruturas são os de pontos materiais ligados por molas

elásticas.

Exemplo 2: Ponto material ligado à mola elástica e linear

Seja um ponto material ligado à extremidade direita de uma mola elástica e

linear, de rigidez k e considerada inextensível, fixa na extremidade esquerda, como

mostra a figura acima.

k

P

u

u(x)

EA

Pl

u(x)

x l

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Aplicando-se uma força horizontal P ao ponto material, este sofrerá um

deslocamento horizontal u, que será diretamente proporcional à força aplicada e

inversamente proporcional à constante elástica da mola :

k

Pu = (1.8)

Este problema possui um único grau de liberdade, o deslocamento u, e a

equação de equilíbrio que rege o problema é uma equação algébrica:

Pu.k = (1.9)

1.5.3 Discretização

Alguns tipos de estruturas contínuas, tais como estruturas compostas de barras

(reticuladas), edifícios formados por lajes rígidas apoiadas em colunas flexíveis

submetidos a cargas laterais, ..., são estruturas usualmente tratadas como discretas em

Análise Estrutural. É como modelar uma estrutura por uma associação de pontos

materiais e molas elásticas. Na verdade aplicam-se métodos de discretização para

transformar as estruturas contínuas em discretas, com um número finito de graus de

liberdade. As equações diferenciais que regem o problema são assim transformadas

em equações algébricas. No caso de estruturas reticuladas os métodos de

discretização conduzem a soluções exatas, enquanto que, para estruturas laminares e

tridimensionais, as soluções serão, em geral, aproximadas.

Exemplo 3: Discretização de uma barra contínua de material homogêneo e seção constante

P

l A

12 u 1

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Seja a barra contínua vista anteriormente no item 1.5.1, discretizada agora por

um elemento unidimensional, que coincide com o eixo longitudinal da barra, com 2

nós na extremidade. As relações força × deslocamento são agora consideradas nos

nós, 1 e 2, e como a barra é fixa à esquerda, o deslocamento horizontal do nó 2 é

nulo, u2 = 0. O sistema fica reduzido portanto a um sistema com apenas 1 grau de

liberdade (GL), o deslocamento horizontal do nó 1, u1 . O sistema contínuo, com um

número infinito de GL, fica assim reduzido a um sistema discreto com um número

finito de GL.

Em analogia a uma mola elástica, deve-se ter que a força aplicada P é

proporcional ao deslocamento u1, sendo esta proporcionalidade dada pela rigidez

axial da barra, ou do elemento; pode-se então escrever a equação de equilíbrio (1.9)

para o nó 1:

Puk =1 (1.9)

Supondo conhecida a rigidez axial da barra, que é o inverso da flexibilidade,

sendo esta obtida por exemplo a partir do Princípio dos Trabalhos Virtuais ou por

outro método da Mecânica das Estruturas:

l

EAk = (1.10)

pode-se obter então a solução da equação de equilíbrio:

EA

Pl

k

Pu ==1 (1.11)

A equação diferencial do problema contínuo foi assim transformada em uma

equação algébrica com 1 incógnita no sistema discreto. Observa-se que o

deslocamento u1 obtido coincide com o valor obtido anteriormente, para a

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extremidade da barra contínua (x=l), ou seja, obteve-se a solução exata para o

problema. A desvantagem deste procedimento seria a impossibilidade de obter-se o

deslocamento em um ponto qualquer da barra, apenas nos nós. Entretanto, os esforços

nas barras, de maior interesse para os projetistas, dependem apenas dos

deslocamentos dos nós nas extremidades dos elementos. Utilizando-se o Método dos

Elementos Finitos como método de discretização, também é possível obter-se os

deslocamentos em qualquer ponto dentro do elemento. Para estruturas reticuladas é

possivel obter-se a rigidez dos elementos diretamente usando os métodos da

Mecânica das Estruturas. Já para estruturas laminares e tridimensionais será

necessário utilizar a formulação matemática do Método dos Elementos Finitos.

Exemplo 4: Discretização de uma barra contínua composta de 2 hastes

l l

P

1 2

u u1 2

1

111

l

AEk =

2

222

l

AEk =

Seja agora este exemplo em que a barra é composta de duas hastes, de

materiais, comprimentos e seções diferentes, conforme mostra a figura. Esta estrutura

pode ser idealizada pela associação de dois elementos unidimensionais de rigidez

diferentes, k1 e k2 , interligadas por nós, o que corresponde a um sistema discreto de

três pontos materiais ligados por duas molas elásticas diferentes, conforme mostra a

figura a seguir:

l1 l2

u=0

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Como a extremidade à esquerda é fixa, trata-se de um problema de 2 graus de

liberdade, u1 e u2 ; a discretização desta barra conduzirá assim a um sistema de 2

incógnitas e 2 equações algébricas de equilíbrio de forças em torno dos nós, que pode

ser escrito sob a forma:

=+

=+

PuKuK

uKuK

222121

212111 0 (1.12)

ou então, sob a forma matricial:

=

P

0

u

u

KK

KK

2

1

2221

1211 ; [ ]{ } { }FUK = (1.13)

onde {U} é o vetor de deslocamentos nodais, {F} é o vetor de forças nodais e [K] é a

matriz de rigidez da barra que pode ser obtida da seguinte maneira:

i) Impõem-se os deslocamentos u1 = 1 e u2 = 0 à barra:

obtendo-se assim os coeficientes K11 = k1 + k2 e K21 = - k2 .

ii) Impõem-se os deslocamentos u1 = 0 e u2 = 1 à barra:

k1 k2

P u1 u2

k1 k2

u1 =1

k2 k1

K11 K21

k2

u2 =1

k2

K12 K22

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obtendo-se assim os coeficientes K12 = - k2 e K22 = k2 .

Resolvendo-se o sistema de equações (1.12) obtém-se as incógnitas do

problema, u1 e u2.

Para estruturas compostas de muitas barras, em vez de tratar-se a estrutura

globalmente, como neste exemplo, divide-se a estrutura em elementos. As matrizes

de rigidez de cada elemento são calculadas então isoladamente e, a partir destas,

obtém-se a matriz de rigidez da estrutura, somando-se os coeficientes

correspondentes aos mesmos graus de liberdade. Estes procedimentos da Análise

Matricial de Estruturas poderão ser aplicados a estruturas laminares e tridimensionais

discretizadas pelo Método dos Elementos Finitos, uma vez conhecida a matriz de

rigidez dos elementos finitos.

Exemplo 5: Discretização de uma barra contínua de material homogêneo e seção

variável

A=10

P A=1

l = 100

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Seja agora uma barra de material homogêneo mas de seção variável, conforme

mostra a figura acima, engastada na extremidade esquerda e com uma carga axial P

aplicada na extremidade direita. A área da seção transversal varia ao longo do eixo x :

A(x) = 10 - 0,09x, e são dados também, em unidades consistentes, a carga axial P =

20 e o módulo de elasticidade do material da barra, E = 20 000.

Inicialmente será obtida a solução exata do problema, tratando a barra como

contínua. Dividindo-se a barra em elementos infinitesimais dx, cada elemento está

submetido a uma tensão normal positiva, que agora é variável ao longo de x:

xxA

Pxx 09,010

20

)()(

−==σ (1.14)

Levando em consideração a lei de Hooke, (1.2) e a relação deformação

específica × deslocamento (1.3), chega-se à equação diferencial que rege o problema:

( )

( )xEA

P

E

x

dx

du x ==σ

(1.15)

Esta equação diferencial, juntamente com a condição de contorno dada pela

extremidade fixa, quando x = 0 → u(0) = 0, definem o Problema de Valor de

Contorno para este exemplo. A solução da equação diferencial (1.15) pode ser obtida

por integração direta:

( )

cx

dx

E

Pxucdx

xEA

Pxu +

−=∴+= ∫∫ 09,010

)()( (1.16)

( ) cxxu +−−=∴

09,010ln09,0

10)(

3

(1.17)

Aplicando-se a condição de contorno, obtém-se a constante de integração c:

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90

10ln010ln

90

1=∴=+− cc (1.18)

a qual, substituída na equação (1.17), fornece a solução deste Problema de Valor de

Contorno:

)009,01ln(90

1)( xxu −−= (1.19)

Na extremidade direita da barra, para x = 100, obtém-se o deslocamento axial

u(100) = 0,0256.

Neste exemplo, apesar de mais complicado do que o primeiro, ainda foi

possível obter-se analiticamente a solução exata do problema. No entanto, à medida

que a geometria, o carregamento e as condições de contorno tornam-se mais

complexos, nem sempre será possível obter-se a solução exata, devendo-se recorrer a

métodos aproximados para buscar-se uma solução aproximada para o problema.

Os métodos aproximados em Engenharia, tais como o Método de Rayleigh-

Ritz, Método de Galerkin ..., utilizam funções, em geral polinômios ou funções

trigonométricas, para a solução aproximada. Em um problema unidimensional de

Mecânica dos Sólidos, teria-se por exemplo:

...)( 33

221 ++++= xxxxu o αααα (1.20)

em que as incógnitas, αi , são determinadas aplicando-se certas restrições de acordo

com o método, sendo que o corpo sólido, ou a estrutura, é tratado globalmente, ou

seja, considera-se o domínio inteiro de integração do problema.

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Para fins de ilustração de soluções aproximadas, pode-se expandir a solução

exata deste exemplo 5 em série de Taylor:

1;...32

)1ln(32

<−−−−=− zzz

zz (1.21)

Como para este problema x < 100, tem-se que 1009,0 <x , logo pode-se

escrever:

−−−−−= ...

3

)009,0(

2

)009,0(009,0

90

1)(

32 xxxxu

+++=∴ ...

3

)009,0(

2

)009,0(009,0

90

1)(

32 xxxxu (1.22)

Para investigar a ordem de precisão de soluções aproximadas, compara-se a

solução exata na extremidade da barra, u(100) = 0,0256 , com a solução dada pelas

diversas aproximações da função u(x), obtidas truncando-se a série dada acima

(1.22):

1 termo (1a ordem): 90

009,0)(

xxu =

2 termos (2a ordem): 902

)009,0(

90

009,0)(

2

×+=

xxxu

E assim sucessivamente. A tabela abaixo mostra os valores obtidos para a solução

aproximada para o deslocamento na extremidade da barra, u (100), até a 10a ordem.

ordem 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a

u (100) 0,0100 0,0145 0,0172 0,0190 0,0203 0,0213 0,0221 0,0227 0,0232 0,0235

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Observa-se da tabela que muitos termos são necessários para obter-se uma

precisão razoável; 10 termos resultam ainda em um erro relativo de 8%. Isto para um

problema relativamente simples, unidimensional.

Para melhorar a precisão das soluções aproximadas dos métodos aproximados

clássicos em Engenharia, torna-se necessário aumentar o grau dos polinômios

utilizados para as funções aproximadas, resultando às vêzes em graus muito elevados

o que complica a solução.

Conforme será visto mais adiante, o Método dos Elementos Finitos é uma

modificação de um destes métodos aproximados, o de Rayleigh-Ritz, em que o

domínio de integração do problema é subdividido em regiões de dimensão finita

denominadas elementos finitos, ou seja, o problema contínuo é discretizado. A

vantagem é que pode-se assim utilizar funções mais simples, polinômios de grau

baixo, para descrever a solução aproximada dentro de cada região ou elemento. Para

melhorar a precisão da solução, aumenta-se o número de elementos ao invés de

aumentar-se o grau dos polinômios utilizados.

Aplicando-se o Método dos Elementos Finitos a este exemplo, de barra

de seção variável, discretiza-se a barra por diversos elementos unidimensionais de

seção constante, conforme feito anteriormente nos exemplos 3 e 4. A figura abaixo

mostra como exemplo a barra de seção variável discretizada por 4 elementos

unidimensionais ou de treliça de mesmo comprimento (li = constante). Considera-se

que cada elemento i tem seção transversal Ai constante, igual ao valor da área no

centro do elemento i.

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A vantagem do MEF é que considera-se dentro de cada elemento uma função

simples de aproximação, no caso um polinômio do 1o grau, pois conforme visto

anteriormente, a solução exata de uma barra unidimensional de seção constante é uma

função linear em x (ver eq. 1.7). Isto vem a facilitar a utilização do método e sua

implementação em programas computacionais. A discretização da barra em 4

elementos, por exemplo, resulta em um sistema de equações algébricas 4 x 4:

[ ] { } { } 141444 ××× = FUK (1.23)

que pode ser resolvido facilmente com o auxílio de computadores.

A solução aproximada obtida pelo MEF para o deslocamento axial na

extremidade direita da barra, u (100), variando-se o número de elementos está

apresentada na tabela abaixo:

Número de elementos

1

2 4 8

u (100) 0,01818 0,02184 0,02407 0,02509

A1

P

A2 A3

A4

l1 l2 l3 l4

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Observa-se que a precisão da solução aproximada para apenas 1 elemento já é

quase equivalente à aproximação de 4a ordem da solução aproximada obtida

anteriormente para o domínio todo da estrutura, para 4 elementos já é superior à

aproximação de 10a ordem, 6% de erro relativo em comparação com 8%, e para 8

elementos resulta em um erro relativo de apenas 2%.

Desejando-se melhorar a precisão da solução aproximada dada pelo MEF, ao

invés de aumentar-se o grau do polinômio das funções de aproximação, aumenta-se o

número de elementos (ne), e, atendidas certas condições, quando este tende ao

infinito (ne → ∞) a solução aproximada tende para a solução exata, o que pode ser

constatado até visualmente para este problema (aumentando-se o número de

elementos a geometria do modelo aproxima-se da estrutura real, contínua).

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2 – PRINCÍPIOS DE ENERGIA E MÉTODO DE RAYLEIGH-RITZ

2.1 – Noções de Cálculo Variacional [5]

2.1.1 – Máximos e mínimos de uma função de uma variável independente

Em cálculo diferencial estuda-se como uma função f varia quando os valores

de uma variável, por exemplo x, variam. A função pode ser escrita na forma f = f(x).

Uma das questões de maior interesse é como obter os valores extremos (máximos e

mínimos) de uma função.

Seja a função f de uma variável independente, x, definida no intervalo

BA xxx ≤≤ , mostrada na figura acima, aonde f(x) é a variável dependente.

O menor valor da função f em todo o domínio denomina-se mínimo absoluto,

no caso será f(xA) e o maior valor denomina-se máximo absoluto, no caso, f(xB).

Além dos valores absolutos, podem existir valores máximos e mínimos

relativos. No exemplo acima, f(x1) é um máximo relativo e f(x2) é um mínimo

relativo.

xA x1 x2 x3 xB x

f(x)

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Podem existir também os pontos indefinidos, que não correspondem nem a um

máximo nem a um mínimo. Tais pontos também são denominados ponto sela ou

ponto singular. No caso, f(x3) corresponde a um ponto sela.

Para estudar os valores extremos da função f(x) convém expandir f(x) em série

de Taylor, em torno de xo , para estudar o comportamento de f na vizinhança de xo (f

deve ser diferenciável em um intervalo bxa o ≤≤ ) :

K++++=+

ooo xxx

oodx

fdx

dx

fdx

dx

dfxxfxxf

3

33

2

22

!3!2)()(

∆∆∆∆ (2.1)

Chama-se )()( oo xfxxff −+= ∆∆ , o incremento total da função f e ∆x o

incremento da variável x. Reescrevendo-se então (2.1) tem-se:

K+++=−+=

ooo xxx

oodx

fdx

dx

fdx

dx

dfxxfxxff

3

33

2

22

!3!2)()(

∆∆∆∆∆ (2.2)

Observa-se da figura abaixo que, se f∆ for positivo então xo é um mínimo

relativo, pois )( xxf o ∆+ será sempre maior do que )( oxf para qualquer valor de

x∆ :

f(x)

∆f < 0

f(x)

∆f > 0

x0 x0+∆x x x0 x0+∆x x

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Analogamente, se f∆ for negativo então xo é um máximo relativo, pois

qualquer que seja o valor de x∆ , )( xxf o ∆+ será sempre menor do que )( oxf .

Como x∆ é muito pequeno, 2x∆ será bem menor do que x∆ e 3x∆ bem

menor do que 2x∆ , e assim sucessivamente, ou seja, a primeira parcela da eq. (2.2)

predomina sobre as demais e o sinal de f∆ será igual ao da primeira parcela.

Observa-se que, se 0≠

oxdx

df não será possível definir o sinal de f∆ , pois o mesmo

irá depender do sinal de x∆ .

Portanto, para obter-se um valor extremo de f (máximo ou mínimo relativo) em

xo é necessário que:

0=

oxdx

df (2.3)

Os pontos que satisfazem esta condição são denominados estacionários e esta

condição é denominada estacionariedade.

Além disso, como 2x∆ é sempre positivo, o caráter do ponto estacionário

ficará definido pelo sinal de

oxdx

fd2

2

.

Se →>⇒> 002

2

fdx

fd

ox

∆ xo é um mínimo relativo

Se →<⇒< 002

2

fdx

fd

ox

∆ xo é um máximo relativo (2.4)

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Se →= 02

2

oxdx

fd xo é um ponto neutro e deve-se investigar as derivadas de

ordem superior.

Esta análise pode ser estendida para funções de duas ou mais variáveis. Será

introduzida agora a seguinte notação variacional:

K+

+

+

=−+=

3

3

32

2

2

)(!3

1)(

!2

1)()( x

dx

fdx

dx

fdx

dx

dfxfxxff

ooo

oo δδδδ∆

(2.5)

onde

xδ é o incremento ou variação da variável x;

xdx

dff

o

δδ

= é o incremento de 1a ordem de f ou 1a variação de f;

2

2

22 )( x

dx

fdf

o

δδ

= é o incremento de 2a ordem de f ou 2a variação de f ... e

f∆ é o incremento total de f ou a variação total de f.

Usando-se a notação acima, pode-se reescrever a eq. (2.5):

K+++= ffff 32

!3

1

!2

1δδδ∆ (2.6)

E a condição de estacionariedade pode também ser reescrita:

00;0 =

⇒≠=

=

oo dx

dfxx

dx

dff δδδ (2.7)

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2.1.2 – Funcionais

Em cálculo variacional, ao invés de trabalhar-se com funções, trabalha-se com

funcionais. Funcional é uma quantidade cujo valor depende de uma ou mais funções

e representa-se na forma: F = F( f(x)) ou simplesmente F=F(f) . Neste caso F

depende apenas de uma função f que depende apenas de uma variável, x.

No caso geral F pode depender de várias funções, as quais podem depender de

uma ou mais variáveis:

),(ou)),(),,(( gfFFyxgyxfFF == (2.8)

Na Mecânica dos Sólidos, são de maior interesse os funcionais cujo valor

depende da integral de uma ou mais funções sobre uma certa região ou domínio, por

exemplo:

dxffffF xx

x

x

x

B

A

)832()( +−= ∫ (2.9)

que pode ser escrito na forma genérica:

2

2

eonde

),,,()(

dx

fdf

dx

dff

dxxfffIfF

xxx

xx

x

x

x

B

A

==

= ∫ (2.10)

Se F depender de f e g, que por sua vez dependem de x e y, tem-se:

dxdyyxggggffffgfIgfF yyyxxxyyyxx

A

x ),,,,,,,,,,,(),( ∫∫= (2.11)

Adotando-se funções diferentes para f, obtém-se valores diferentes para F em

(2.10), assim como adotando-se funções diferentes para f e g, obtém-se valores

diferentes para F em (2.11).

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O problema do Cálculo Variacional consiste em encontrar a função (ou

funções) que torna (ou tornam) o funcional F estacionário. Na Mecânica dos Sólidos,

os problemas são em geral formulados em termos de um funcional, utilizando-se os

princípios energéticos: a solução do problema corresponde a uma função estacionária

do funcional (geralmente que torna o funcional mínimo).

Seja um funcional simples que depende apenas de uma função e de sua

derivada:

BA

x

x

x xxxdxxffIfFB

A

≤≤= ∫ ;),,()( (2.12)

em que são conhecidas as condições de contorno:

BBAA fxffxf == )(e)( (2.13)

O conjunto de funções admissíveis para que o funcional F em (2.12) seja

definido no intervalo [xA , xB] são as funções que satisfazem as condições de

contorno e que são contínuas dentro do intervalo [xA , xB]. Para um funcional

genérico que contenha derivadas até a ordem m de f, as funções admissíveis para f

devem ser contínuas e suas derivadas até a ordem (m-1) também devem ser

contínuas.

Dentro deste conjunto de funções admissíveis para f, deve-se encontrar aquela

que torna o funcional F estacionário. Para isto deve-se estudar o comportamento de F

para pequenas variações em torno da função f, analogamente ao estudo da função f

em torno de xo , conforme visto anteriormente. Define-se assim a função h = f + fδ ,

como mostra a figura a seguir, sendo que h deve também respeitar as condições de

contorno : h (xA ) = fA e h (xB) = fB, para que seja uma função admissível ao funcional.

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Desenvolvendo-se o funcional F em série de Taylor em torno de f tem-se:

K+++=−+= FFFfFffFF32

!3

1

!2

1)()( δδδδ∆ (2.14)

onde

F∆ é a variação total de F;

Fδ é a 1a variação de F;

F2

δ é a 2a variação de F ... e assim por diante.

A condição de estacionariedade do funcional F é dada por:

0=Fδ (2.15)

Analogamente ao que foi visto anteriormente para funções:

Se →>⇒> 002 Ff ∆δ F terá um mínimo relativo

Se →<⇒< 002 Ff ∆δ F terá um máximo relativo

Se →= 02 fδ F terá um ponto neutro.

Partindo da eq. (2.12) e sabendo que, para uma função de duas variáveis,

g=g(x,y), a primeira variação da função se escreve: yy

gx

x

gg δ

∂δ

∂δ

+

= , pode-

se escrever a 1a variação do funcional F:

f, h

δf

xA xB x

fB

fA

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dxff

If

f

IdxffIF

B

A

B

A

x

x

x

x

x

x

x ∫∫

+== δ

∂δ

∂δδ ),( (2.16)

Integrando por partes o 2o termo entre parênteses de (2.16), vem:

B

A

B

A

x

xx

x

x x

ff

Idx

f

I

dx

dff

f

IF

+

−= ∫ δ

∂δδ

∂δ (2.17)

Observa-se que: 0)( e 0)( logo , ==−= BA xfxffhf δδδ (ver figura

anterior, pág. 34), portanto o último termo da eq. (2.17) se cancela. Aplicando agora

a condição de estacionariedade:

0.0 =

−⇒= ∫ dxf

f

I

dx

d

f

IF

B

A

x

x x

δ∂

∂δ (2.18)

Como fδ é arbitrário, para que a eq. (2.18) seja satisfeita para qualquer valor

de fδ , o termo entre colchetes no integrando desta equação deve-se anular:

0=

xf

I

dx

d

f

I

∂ (2.19)

o que resulta numa equação diferencial, no caso de 2a ordem, denominada equação de

EULER-LAGRANGE.

Portanto, a função f que torna o funcional F estacionário é aquela que satisfaz

à equação diferencial de Euler-Lagrange, (2.19), e às condições de contorno (2.13).

Exemplo:

Seja o funcional dxxfff x∫

++

1

0

22 422

1 em que as funções f devem atender

às condições de contorno: f(0) = f(1) = 0. Encontre a função f que torne F

estacionário.

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xfffIdxxffIF xx 422

1;),,(

221

0

++== ∫

x

x

ff

Ixf

f

I=+=

∂;44

A equação de Euler-Lagrange para este exemplo torna-se então:

0)(440 =−+∴=

− x

x

fdx

dxf

f

I

dx

d

f

I

que é uma equação diferencial de 2a ordem. Logo a função f que torna o funcional F

estacionário e satisfaz às condições de contorno é a solução do Problema de Valor de

Contorno:

==

+=

0)1()0(

44

ff

xff xx

A solução deste problema é: xee

eef

xx

−−

−=

22

22

Obter a função f que torna F estacionário e satisfaz às duas condições de

contorno f(0) = f(1) = 0 equivale portanto a encontrar a solução da equação

diferencial acima, de 2a ordem, submetida às duas condições de contorno dadas, ou

seja, encontrar a solução de um Problema de Valor de Contorno (P.V.C.).

Seja agora um funcional que depende apenas de uma função, como o definido

em (2.12), devendo porém a função f satisfazer apenas a uma condição de contorno:

AA fxf =)( (2.20)

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0 logo,0

0 logo,0

≠≠−→=

==−→=

=

=

B

A

xxB

xxA

ffhxx

ffhxx

δ

δ

Para que a função f torne o funcional F definido em (2.20) estacionário, a 1a

variação de F deve se anular. Substituindo-se as condições de contorno acima na eq.

(2.17), tem-se agora que:

0=

+

−= ∫

AB

B

A xxxx

x

x x

ff

If

f

Idxf

f

I

dx

d

f

IF δ

∂δ

∂δ

∂δ (2.21)

Para que a equação acima seja satisfeita, como fδ é arbitrário, o integrando

contido no 1o termo deve-se anular, resultando na mesma eq. de Euler-Lagrange,

(2.19), encontrada anteriormente. Devido à condição de contorno (2.20) o último

termo de (2.21) se cancela, mas como agora no ponto B fδ não é mais conhecido,

será também um valor arbitrário e portanto para que o 2o termo se anule e (2.21) seja

satisfeita, deve-se ter que: 0=

Bxxf

I

∂. Esta condição é conhecida como condição de

contorno natural (ou livre), enquanto que a condição de contorno (2.20) é conhecida

como condição de contorno essencial (ou forçada). Resumindo então, para que a

função f torne o funcional F estacionário, as seguintes condições devem ser

atendidas:

xA xB x

δf

fB

fA

f, h

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essencial contorno de condição )(

natural contorno de condição 0

Lagrange-Euler de eq. 0

=

=

=

AA

xx

x

fxf

f

I

f

I

dx

d

f

I

B∂

(2.22)

O problema (2.22) (ou a eq. (2.21) + condição de contorno (2.20)) é

conhecido como a forma fraca (ou forma variacional) de um Problema de Valor de

Contorno.

De uma maneira geral, para que f torne o funcional dxxffIfFB

A

x

x

x ),,()( ∫=

estacionário, f deve satisfazer à eq. de Euler-Lagrange (2.19) e também às condições:

0ou)(

0ou)(

==

==

B

A

xx

BB

xx

AA

f

Ifxf

f

Ifxf

(2.23)

Para este problema (equação diferencial de 2a ordem e 2 condições de

contorno), deve-se ter em cada ponto do contorno uma condição de contorno,

essencial ou natural, não se pode ter as duas condições no mesmo ponto e nehuma no

outro ponto do contorno, pois a condição de estacionariedade não seria atendida e não

seria possível a resolução do problema.

Estendendo agora o estudo para funcionais que incluem derivadas de ordem

superior:

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;),,,()( dxxfffIfF xx

x

x

x

B

A

∫= f e fx são funções contínuas (2.24)

A primeira variação de F torna-se:

dxff

If

f

If

f

IF

B

A

x

x

xx

xx

x

x∫

++= δ

∂δ

∂δ

∂δ (2.25)

Integrando por partes o 2o e 3o termos da eq. acima, vem:

dxf

I

dx

dff

f

Idxf

f

I B

A

B

A

B

A

x

x x

x

xx

x

x

x

x∫∫

=

∂δδ

∂δ

dxf

I

dx

dff

f

I

dx

df

f

I

dxf

I

dx

dff

f

Idxf

f

I

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

A

x

x xx

x

xxx

x

x

x

xx

x

x xx

x

x

x

x

xx

x

x

xx

xx

∫∫

+

=

=

∂δδ

∂δ

∂δδ

∂δ

2

2

Substituindo-se os termos acima em (2.25), obtém-se:

B

A

B

A

B

A

x

xxxx

x

x

x

xx

x

x xxx

ff

I

dx

d

f

If

f

Idxf

f

I

dx

d

f

I

dx

d

f

IF

−+

+

+

−= ∫ δ

∂δ

∂δ

∂δ

2

2

(2.26)

Se fossem dadas as condições de contorno:

==

==

')(;)(

')(;)(

BBxBB

AAxAA

fxffxf

fxffxf, os 2o

e 3o termos da eq. (2.26) se anulariam e, como fδ é arbitrário, para que Fδ seja

nulo deve-se ter:

02

2

=

+

xxx f

I

dx

d

f

I

dx

d

f

I

∂ (2.27)

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que é a equação de Euler-Lagrange do problema, neste caso uma equação diferencial

de 4a ordem.

De uma maneira geral, não sendo dadas as condições de contorno acima, deve-

se sempre ter:

(2.28) isc.c.natura

0ou')(

0ou')(

0ou)(

0ou)(

essenciais c.c.

==

==

=

−=

=

−=

B

A

B

A

xxx

BBx

xxx

AAx

xxxx

BB

xxxx

AA

f

Ifxf

f

Ifxf

f

I

dx

d

f

Ifxf

f

I

dx

d

f

Ifxf

Conforme visto anteriormente, em cada ponto do contorno ou tem-se uma

condição de contorno ( no caso, da função e de sua derivada) essencial ou natural, os

dois tipos não podem ocorrer no mesmo ponto.

Se m é a ordem mais alta das derivadas dentro do funcional, a equação de

Euler-Lagrange é uma equação diferencial de ordem 2m, e haverá 2m condições de

contorno, de 0 até 2m-1, lembrando que as funções f admissíveis ao funcional devem

ser contínuas e suas derivadas até a ordem m-1 também.

Exemplo:

Seja o seguinte funcional: dxpEIl

xxzp ∫

−=Π

0

2 v)(v2

1

em que a função v deve atender às condições de contorno: 0(0) ve 0v(0) x == .

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Encontre a equação de Euler-Lagrange e as condições de contorno naturais

deste problema.

pΠ representa a energia potencial total de uma viga de rigidez à flexão, EIz,

constante, submetida a uma carga uniformemente distribuída, p. Para as condições de

contorno dadas (essenciais), trata-se de uma viga engastada em x = 0 e livre em x = l:

v)(v2

1;),v v,( 2

0

pEIIdxxIF xxzxx

l

−== ∫

xxz

xxx

EIII

pI

vv

;0v

;v

==−=∂

A equação de Euler-Lagrange , (2.19), para este exemplo torna-se então:

0)v(002

2

2

2

=+−−∴=

+

− xxz

xxx

EIdx

dp

f

I

dx

d

f

I

dx

d

f

I

ou

z

xxxxzEI

p

dx

dpEI ==

4

4 vou )v(

que é uma equação diferencial de 4a ordem, a conhecida equação de equilíbrio de

uma viga submetida à flexão.

p

lxv

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As condições de contorno do problema são obtidas a partir de (2.28):

0Mou 0v0v

)

0v0)0( v)

0Vou 0v0vv

)

0v0)0( v)

xx

0x

xxx

0

==⇒=

=∴==

==−⇒=

=∴==

==

=

=

==

=

=

lxlxz

lxxx

xx

lxlxz

lxxxx

x

EII

iv

xiii

EII

dx

dIii

xi

δ

δ

sendo que as condições i) e iii) são condições essenciais, impostas, decorrentes do

engaste da viga na extremidade esquerda, em x=0, e as condições ii) e iv) são

condições naturais que devem ser atendidas uma vez que o valor do deslocamento v

e da rotação vx na extremidade direita, em x=l, não são conhecidos. As condições

naturais implicam portanto que se anulem na extremidade direita da viga o momento

fletor, M, e o esforço cortante, V, o que está correto, uma vez que não existe

nenhuma carga nem nenhum binário aplicado na extremidade livre.

A solução deste Problema de Valor de Contorno (forma fraca) em que m = 2 é

a solução da equação diferencial de Euler-Lagrange, de 4a ordem, encontrada acima,

que atende às 4 condições de contorno. Esta solução é a configuração de equilíbrio

da viga, pois, entre todas as configurações admissíveis ao funcional, apenas esta

torna o funcional pΠ , de energia potencial total, estacionário, conforme estabelece

o Princípio de Energia Potencial Estacionária, a ser visto mais adiante. Além disso,

como esta configuração resulta em um valor mínimo do funcional (uma vez que a

rigidez à flexão é positiva), trata-se de uma configuração de equilíbrio estável. Nos

problemas em que o funcional é a energia potencial total e as funções são

deslocamentos, as condições de contorno essenciais envolvem sempre derivadas de

ordem 0 a m-1 , sendo asssim denominadas de condição de contorno geométricas,

enquanto que as condições de contorno naturais envolvem derivadas de ordem m a

2m-1, sendo denominadas condições de contorno do tipo força.

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43

2.2 – Princípio da Energia Potencial Mínima [3]

Seja o sistema da figura abaixo:

em que define-se:

Sistema → corpo sólido (ou estrutura) mais o conjunto de cargas aplicadas neste;

Configuração de um sistema → conjunto de posições de todas as partículas do

corpo sólido;

CR → configuração indeformada ou de referência do sistema;

CD → configuração deformada do sistema;

Sistema Conservativo → quando o trabalho realizado pelas forças internas e

externas do sistema independem do caminho percorrido entre CR e CD (não há perda

de energia).

Para um corpo elástico, o trabalho realizado pelas forças internas é igual em

magnitude à variação da energia de deformação interna, U. Um sistema mecânico

conservativo tem uma energia potencial, isto é, pode-se expressar a quantidade de

energia do sistema em termos da sua configuração (sem precisar conhecer a

“história” das configurações anteriores). A energia potencial total do sistema consiste

da energia de deformação interna, elástica, (U) e do potencial de todas as cargas

externas (V), ou seja, a capacidade destas realizarem trabalho quando deslocadas da

configuração atual deformada para a configuração de referência, indeformada.

VUP +=π (2.29)

F2 F1

u3

u1 F3 2 1

Configuração

deformada 3

u2

Configuração

indeformada

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44

Todo corpo, ao se deformar, armazena energia de deformação interna, portanto

em qualquer configuração CD, U será sempre positiva. O potencial das forças

externas realizarem trabalho, V, entre CD e CR será igual a (– We), sendo We o

trabalho que estas forças realizaram entre CR e CD.

O Princípio de Energia Potencial Estacionária diz que:

“Entre todas as configurações admissíveis de um sistema conservativo, aquelas que

satisfazem as equações de equilíbrio tornam a energia potencial estacionária”.

Este Princípio vale tanto para sistemas lineares como para não-lineares (desde

que elásticos). Além disso se a condição de estacionaridade corresponde a um

mínimo o equilíbrio será estável (se for máximo → equilíbrio instável, se for neutro

→ equilíbrio indiferente)

Para investigar como varia πP para pequenas variações de deslocamentos,

desenvolve-se πP em série de Taylor e a condição de estacionaridade é dada por:

0=δπP → 1a variação de πP é nula (2.30)

O caráter do ponto estacionário ficará determinado pelo sinal da 2a variação de

πP.

a) Sistemas discretos (conservativos)

i) Sistema simples → 1 mola linear → 1 grau de liberdade (GL)

indeformada deformada

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45

Independentemente do caminho percorrido (A,B,C) a energia de deformação

do sistema na configuração deformada é:

2.

2

1ukU =

E o potencial das cargas externas é: uPWV e .−=−=

A energia potencial total (2.29) é dada por:

( )uuPukVU PP π=−=+=π ..2

1 2

A configuração de equilíbrio, ueq é encontrada aplicando-se (2.30):

0. 0 0 =−→=π

→=δπ

=δπ Pukdu

du

du

deq

PPP (2.31)

k

Pueq =∴ (equação de equilíbrio)

A equação (kueq - P).δu = 0 representa o Princípio dos Trabalhos Virtuais

conforme será visto mais adiante.

Pode-se também observar da figura abaixo que, na configuração de equilíbrio,

πP é um mínimo relativo logo o equilíbrio será estável.

De fato, 0 e 2

2

>=π

kkdu

d p

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46

ii) Sistema de vários GL (n)

Pode-se citar como exemplo uma estrutura reticulada composta de barras, com

um total de n graus de liberdade. A energia potencial total do sistema é:

πP = πP (u1, u2, u3, ..., un)

E a 1a variação da energia potencial total é:

n

n

PPPP u

uu

uu

∂π++δ

∂π+δ

∂π=δπ .....2

2

1

1

A condição de estacionaridade (2.30), 0=δπP , implica em:

0 . . . 0 ; 021

=∂

∂π=

∂π=

∂π

n

PPP

uuu

ou

nai

ui

p

1

0

=

=∂

∂π

(2.32)

que representam um sistema (n × n) de equações (algébricas) de equilíbrio .

Introduzindo-se a seguinte notação: um til (~) sob uma letra para representar

tanto um vetor como uma matriz, pode-se reescrever (2.32) matricialmente:

∂π

∂P

u~

~= 0

Exemplo:

Molas em série → sistema de 3 GL

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47

O sistema possui 3 graus de liberdade que são os deslocamentos horizontais

dos 3 pontos materiais, representados matricialmente pelo vetor de deslocamentos:

=

3

2

1

~

u

u

u

u

E o sistema está submetido a uma carga horizontal em cada ponto material,

representadas pelo vetor:

=

3

2

1

~

P

P

P

F

A energia de deformação interna U depende dos deslocamentos relativos sofridos

por cada mola:

Deslocamento relativo na mola 1 → u1

Deslocamento relativo na mola 2 → u2 - u1

Deslocamento relativo na mola 3 → u3 - u2

Logo: ( ) ( ) 332211

2

233

2

122211

2

1

2

1

2

1uPuPuPuukuukukP −−−−+−+=π

As equações (2.32), 0=∂

∂π

i

P

u resultam em:

( )( ) ( )

( )

=−−

=−−−−

=−−−

0

0

0

3233

2233122

112211

Puuk

Puukuuk

Puukuk

(equações de equilíbrio)

ou, matricialmente:

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48

=

−+−

−+

3

2

1

3

2

1

33

3322

221

0

0

P

P

P

u

u

u

kk

kkkk

kkk

ou seja : ~~~

. FuK = (2.33)

que é um sistema (3 x 3) de equações algébricas, sendo ~K a matriz de rigidez do

sistema.

Cada uma das equações (2.32) corresponde à equação de equilíbrio nodal

(∂π

∂P

ii e

uF F= ⇒ = ∑∑0 , a soma das forças internas = soma das forças externas

no nó i).

A 2a variação de πP será positiva, uma vez que:

∂π

∂ π

P P

uK u F

uK

~~ ~ ~

~

~.= − = e

2

2 (2.34)

e a matriz ~K é positivo-definida (o sistema é restringido a movimentos de corpo

rígido, não é hipostático, e a rigidez das molas é positiva). Portanto a solução ~u

corresponde a um mínimo relativo para a energia potencial total, πP, sendo assim uma

configuração de equilíbrio estável.

O Princípio da Energia Potencial Mínima diz que:

“A configuração de equilíbrio (ou campo de deslocamentos que satisfaz as

equações de equilíbrio) de um sistema linear, elástico, é a que torna a energia

potencial total do sistema mínima”.

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49

b) Sistemas Contínuos (conservativos)

Seja um corpo sólido de forma arbitrária, submetido a forças no seu interior,

denominadas forças de volume )(~b , e no seu contorno submetido a forças de

superfície )(~

p e certas condições de contorno (deslocamentos prescritos, ~u ),

conforme mostra a figura abaixo:

sendo

p

p

p

p

x

y

z

~

=

; b

b

b

b

x

y

z

~=

; e no contorno S:

Sσ - parte do contorno com forças de superfície prescritas: ~

p

Su - parte do contorno com deslocamentos prescritos: ~u

O objetivo da Mecânica dos Sólidos é obter a configuração deformada do corpo,

ou seja, o vetor de deslocamentos de cada partícula do corpo: u

u

v

w~

=

. Esta

configuração é a configuração de equilíbrio do corpo, que será obtida utilizando-se o

Princípio da Energia Potencial Mínima, sendo conhecidas:

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50

i) Equações de compatibilidade: que são as relações Deformação Específica ×

Deslocamentos; consideram-se pequenas deformações específicas, portanto estas

relações são lineares.

+==

+==

+==

y

w

z

v

z

w

x

w

z

u

y

v

x

v

y

u

x

u

yzz

y

x

∂γ

∂ε

∂γ

∂ε

∂γ

∂ε

xz

xy

(2.35)

ii) Equações Constitutivas: que relacionam as tensões com as deformações

específicas, que dependem do tipo de material. O material do corpo sólido é

considerado isotrópico e elástico-linear, portanto estas equações são lineares. Apesar

de serem grandezas tensoriais, as tensões e deformações são aqui representadas como

vetores:

−−

−+=

xz

yz

xy

z

y

x

xz

yz

xy

z

y

x

E

γ

γ

γ

ε

ε

ε

ν

ν

νννν

ννν

ννν

νν

τ

τ

τ

σ

σ

σ

.

2

2100000

02

210000

002

21000

0001

0001

0001

.)21).(1(

(2.36)

ou, matricialmente : ~~~

.εσ D= ; onde ~D é a matriz constitutiva do material; E é o

módulo de elastcidade e ν é o coeficiente de Poisson do material.

Define-se agora: Uo → energia de deformação por unidade de volume do corpo, que

é igual em magnitude ao trabalho realizado pelas tensões sobre as deformações.

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51

Seja, por exemplo em um problema unidimensional:

(material elástico-linear: εσ .E= )

εεεσεε

dEdU o ...00 ∫∫ == εσε .

2

1.

2

1

2 ==∴ EU o (área sob a curva do gráfico)

Em um corpo sólido tem-se que:

[ ]zyzyxzxzxyxyzzyyxxoU γτγτγτεσεσεσ +++++= .2

1 (2.37)

ou, matricialmente: ~~~~

2

1

2

1σεεσ ⋅=•= T

oU (onde • representa um produto escalar)

A energia de deformação interna total do corpo é obtida integrando-se Uo ao

longo de todo o volume do corpo:

∫∫∫=V

T

V

T

V o dVDdVdVUU 2

1 = .

2

1 =

~~~~~εεσε (2.38)

O potencial das forças externas para o corpo sólido, V = - We , é:

∫ ∫=V S

TTdApudVbuV

σ

. - . -~~~~

(2.39)

lembrando que ~~~~

buubwbvbubT

zyx ⋅=•=++ e ~~~~

puupwpvpupT

zyx ⋅=•=++ e

supondo que os apoios sejam fixos, ~~0=u , ou seja, as reações não produzem trabalho.

A energia potencial total do corpo sólido fica sendo então:

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52

∫ ∫∫=V S

TTT

VP dApudVbudVDσ

εεπ . - . - 2

1

~~~~~~~ (2.40)

Como ), (~~upp εππ = , a 1

a variação da energia potencial total é:

~

~

~

~

uu

PPP δ

∂πεδ

ε∂

∂πδπ +=

Minimizando agora o potencial de energia total do corpo, vem:

0 . - . - ~~~~~~~

== ∫ ∫∫ V S

TTT

VP dApudVbudVDσ

δδεεδδπ (2.41)

(lembrando da regra da derivada do produto: ( )~~~~~~~~~

~

2. + . εεεεεε∂

∂DDDD TT ==

ou ( )~~~~~~

~

2. σεσεσε∂

∂=+= D )

Manipulando-se a eq. (2.41), e sabendo-se que T

u~

δ é arbitrário, para que pδπ

seja nulo deve-se ter:

=

+

++

++

++

0

0

0

z

y

x

zyzxz

zyyxz

zxyxx

b

b

b

zyx

zyx

zyx

∂σ

∂τ

∂τ

∂τ

∂σ

∂τ

∂τ

∂τ

∂σ

que são as equações de equilíbrio do corpo,

(equações de Euler-Lagrange) e também:

=

z

y

x

z

y

x

zzyzx

yzyyz

xzxyx

p

p

p

n

n

n

.

σττ

τστ

ττσ

que é a conhecida equação de Cauchy,

(condição de contorno natural), sendo n~

o vetor normal à superfície de contorno.

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53

2.3 – Princípio dos Trabalhos Virtuais

A partir da equação (2.29), pode-se escrever:

0=+= VUp δδδπ (2.42)

Comparando-se agora as equações (2.41) e (2.42), pode-se concluir que:

∫ ==V i

TWdVU δσεδδ .

~~, onde iWδ pode ser definido como o trabalho virtual das

forças internas, e ∫ ∫ −=−−=V S e

TTWdApudVbuV

σ

δδδδ~~~~

... , onde eWδ pode ser

definido como o trabalho virtual das forças externas.

Substituindo-se δU e δV na eq. (2.42), demonstra-se o Princípio dos Trabalhos

Virtuais:

eieiP WWWW δδδδδπ =⇒=−= 0 (2.43)

Este Princípio pode ser enunciado da seguinte forma:

“Seja um corpo sólido, submetido a certas cargas (de volume, de superfície) e

deslocamentos prescritos no seu contorno. O corpo se deformará atingindo uma

configuração deformada CD (~u em cada partícula) na qual as tensões internas estão

em equilíbrio com as forças externas. Adicionando-se à configuração deformada um

campo de deslocamentos virtuais (~uδ em cada partícula)

*, ou seja, uma pequena

variação em torno da configuração deformada, obtém-se uma nova configuração CV.

Como o corpo estava em equilíbrio, o trabalho virtual desenvolvido pelas forças

internas será igual ao trabalho virtual desenvolvido pelas forças externas ao se

deslocarem entre CD e CV ”.

* Obs.:

~~uu δ+ continua satisfazendo às condições de contorno: 0

~=uδ em Su.

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54

Exemplos:

1) Barra com carga axial uniformemente distribuída.

( )∫∫ ∫∫ −=∴=∴==

L

V

L xx

V o dxxupVdxAuE

UdVEdVUU00

22

)( . 2

2

ε

Logo, ∫ ∫−=L L

xp dxxupdxuEA

0 0

2 )(

∫ ∫ =−→=L L

xxp dxupdxuuEA0 0 0 0 δδδπ ∫∫ −=

L

xx

L

xxx dxuuuudxuu00 δδδ

( )[ ] [ ] 0 . 0 0

=++−= ∫L

x

L

xxp uuEAdxupuEA δδδπ

Condição de contorno essencial: 00)0(0

=→= uu δ

Condição de contorno natural: A E ux x L. .

== 0 (não há carga concentrada na

extremidade x=L).

Equação de Euler-Lagrange: 0)( =+ puEA xx

Obs: No caso de existir deformação inicial oε e tensão inicial oσ :

ooo E

d

dUσεσ

ε+−=

εσεεε

...2

2

ooo EEU +−=∴ (2.44)

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55

2) Viga engastada com carga transversal variável ao longo de x

Condições de contorno essenciais: 0)0(v)0(v == x

A energia de deformação interna da viga é: ∫∫ ==V

x

V o dVEdVUU 2

. 2ε

Lembrando que xxx ydx

dy

dx

du

dx

dyyu v.

v.

v..

2

2

−=−==∴−=−= εθ

Logo:

( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫ =∴=∴−=L

xxz

A

L

xxA xx

Ldx

EIUdAydx

EUdxdAy

EU

0

22

0

22

0v

2 . v

2 v.

2

O potencial das forças externas que atuam na viga é: ∫−=L

dxxxqV0

)( v)(

A energia potencial total fica sendo então: ( )∫ ∫−=L L

xxz

p dxxxqdxEI

0 0

2 )(v).(v

Fazendo-se 0=pδπ chega-se à equação de Euler-Lagrange, que é a equação de

equilíbrio da viga, e às condições de contorno naturais conforme foi visto

anteriormente (ver pág. 41 a 42).

L

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56

2.4 – Método de Rayleigh-Ritz [3], [5]

Conforme já foi visto, a maioria dos problemas de Mecânica dos Sólidos pode

ser expressa por um Problema de Valor de Contorno, seja formulado

variacionalmente (forma fraca) ou pela sua forma forte (equação diferencial + todas

as condições de contorno). A não ser para problemas muito simples, não será possível

obter a solução exata destes problemas (P.V.C.), devendo-se procurar uma solução

aproximada. Os métodos aproximados em Engenharia buscam soluções aproximadas

que transformam o sistema contínuo em um sistema discreto com um número finito

de graus de liberdade (transformando um sistema de equações diferenciais de

equilíbrio em um sistema de equações algébricas de equilíbrio).

Os métodos aproximados variacionais são aqueles que só podem ser aplicados

a problemas que admitem uma formulação variacional. O mais conhecido destes

métodos é o Método de Rayleigh-Ritz, proposto inicialmente em 1870 por Lord

Rayleigh ao estudar problemas de vibração e generalizado posteriormente por Ritz.

Este método consiste em operar apenas com um subconjunto das funções admissíveis

ao funcional e minimizar o funcional em relação a elas. A escolha das funções é

importante e aumentando-se o número de termos da função melhora-se a

aproximação.

Seja encontrar a função f que torna estacionário o funcional:

BA

x

x

x xxxdxxffIfFB

A

≤≤= ∫ ;),,()( (2.45)

em que são dadas as condições de contorno:

0)(e0)( == BA xfxf (2.46)

sendo que f é uma função contínua. Entre as funções f admissíveis ao funcional, a

solução exata do problema é a que satisfaz a condição de estacionariedade: 0=Fδ .

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57

O Método de Rayleigh-Ritz consiste em definir, entre estas funções

admissíveis, um subconjunto da forma:

ff nn ≅++++= φαφαφαφα K332211 (2.47)

em que as funções iφ são linearmente independentes; além disto, as funções iφ são

contínuas e satisfazem às condições de contorno: 0)()( == BiAi xx φφ . Os parâmetros

iα são chamados de coordenadas generalizadas (não possuem necessariamente um

significado físico).

Substituindo-se a eq. (2.47) na eq. (2.45), obtém-se uma aproximação para o

funcional F, F , que é função dos parâmetros iα já que as funções iφ são

conhecidas:

),,,,( 321 nFF αααα K=

sendo n o número de coordenadas generalizadas que são as incógnitas do problema.

Aplicando-se a condição de estacionariedade, vem:

02

2

1

1

=+++= n

n

FFFF δα

∂α

∂δα

∂α

∂δα

∂α

∂δ L (2.48)

Como as variações iδα são arbitrárias, a eq. (2.48) só será satisfeita se:

niF

i

, 2, 1,= para 0 K=∂α

∂ (2.49)

que definem um sistema de equações algébricas cuja solução fornece os valores dos

parâmetros iα , transformando-se assim um sistema contínuo em um sistema discreto.

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58

Se as funções f cumprem as condições de convergência do método, aumentando-se

o número de termos, ou seja, n, as soluções aproximadas ( f ) tenden para a exata (f).

As condições de convergência deste método são:

1) As funçõesφi devem ser admissíveis, ou seja, devem satisfazer às condições de

contorno essenciais do problema e tanto estas funções como suas derivadas até a

ordem m-1 devem ser contínuas, onde m é a ordem da derivada máxima que aparece

no funcional.

2) A sequência de funções deve ser completa, ou seja, no limite, quando n → ∞ , o

erro quadrático médio deve ser anular:

0lim

2

1

=

−∫ ∑

=∞→

dxfB

A

x

x

n

i

iin

φα (2.50)

Para saber se a solução está convergindo, deve-se proceder por tentativas,

aumentando-se sucessivamente o número de termos e comparando-se a última

solução com a da tentativa precedente, até chegar-se a uma diferença entre soluções

menor do que a tolerância desejada:

1a tentativa: 1

)1(

1

)1(φα=f

2a tentativa: 2

(2)

21

(2)

1

(2)φαφα +=f (2.51)

iésima tentativa: i

i

i

iiif φαφαφα )(

2

)(

21

)(

1

)(+++= K

→∈≤− − )1()( iiff convergência.

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59

Em geral as funções φi são polinômios ou funções trigonométricas. Se o ponto

estacionário do funcional corresponde a um mínimo, então ao substituir-se as funções

aproximadas, (2.73), na expressão do funcional, (2.67), obtém-se:

F F F F( ) (2) (3) (i)1 ≥ ≥ ≥ ≥L

ou seja, a sequência é monotônica e os funcionais aproximados são maiores do que o

real. No caso do funcional representar a energia potencial de um sistema ( pπ ), os

funcionais aproximados são então "mais rígidos" do que o real e se as funções

aproximadas forem deslocamentos, serão em geral menores do que os reais:

Portanto pπ é um limite superior para pπ . Aumentando-se o número de

termos na solução aproximada (n), o sistema aproximado torna-se mais flexível, logo

mais próximo do sistema real.

Obs.:

• Se a base de funções de aproximação contiver a solução exata do problema, então

encontra-se a solução exata ao utilizar-se o Método de Rayleigh-Ritz.

• As funções aproximadas não necessitam atender às condições de contorno

naturais, apenas as essenciais do problema (no caso do ponto estacionário do

funcional corresponder a um mínimo não importa, pois, ao aplicar-se a condição

de estacionariedade, minimiza-se o erro nas condições de contorno naturais).

u

uexato

n

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60

Exemplos:

1) Seja encontrar uma solução aproximada, θ , para tornar estacionário o seguinte

funcional:

[ ]dxxF x∫ ++−=1

0

22 2)( θθθ

em que a função deve atender às condições de contorno: 0(1))0( == θθ .

Para este problema, bastante simples, poderia-se obter a solução exata, θ, resolvendo-

se a equação de Euler-Lagrange obtida minimizando-se o funcional F:

xsen

xsenxxx −=⇒=++

10 θθθ

Esta solução exata será utilizada para comparação com as soluções

aproximadas fornecidas pelo Método de Rayleigh-Ritz.

Escolhem-se como funções aproximadas, funções do tipo:

)(.).1( 21 L++−= xxx ααθ

que satisfazem às condições de contorno do problema (não é possível partir-se de um

polinômio linear pois resulta em solução trivial, por isto deve partir-se de um

polinômio quadrático).

i) 1a aproximação: 11)1(

).21(.).1()1(

αθαθ xxx x −=∴−=

Substituindo-se θ no funcional F, vem:

[ ]dxxxxxxxF ∫ −−+−=1

0

21

2221

221

)1( )(2+)()2-1( ααα

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61

121

)1(

12

2

10

3αα +−=∴F

Minimizando o funcional em relação a 1α vem:

)1(18

5

18

5

012

2

10

60

)1()1(1

1

1

1

1

xx

FFF

−=→=∴

=+−=→==

θα

α∂α

∂δα

∂α

∂δ

ii) 2a aproximação: )+().1(.(2)(2)

21(2)

xxx ααθ −=

Substituindo-se θ no funcional F, integrando e minimizando em relação a 1α

e 2α vem:

=+

=+

20

1

105

13

20

312

1

20

3

10

3

)2(2

)2(1

)2(2

)2(1

αα

αα ;

que é um sistema de 2 equações a 2 incógnitas, cuja solução é:

41

7;

369

71 )2(2

)2(1 == αα

A solução aproximada fica sendo então:

+−= xxx

41

7

369

71)1()2(θ

COMPARAÇÃO COM A SOLUÇÃO EXATA

X θ (exata) θ (1) θ (2)

0,25 0,044014 0,0521 0,0440

0,50 0,069747 0,0694 0,0698

0,75 0,060056 0,0521 0,0600

Observa-se que a solução converge rapidamente para a solução exata usando-

se o Método de Rayleigh-Ritz, já obtendo-se bons resultados na segunda tentativa.

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62

2) Seja uma viga bi-apoiada submetida a uma carga uniformemente distribuída p:

Tomando como primeira solução aproximada para o deslocamento vertical do eixo:

2

21)1( xxv o ααα ++=

Impondo-se as condições de contorno essenciais da viga em x = 0 e x = l, obtém-se:

llvv 21o 0)(;0 0)0( ααα −=⇒==⇒=

A 1a solução aproximada fica sendo então: )( 2

2)1( lxxv −= α

O funcional de energia potencial total da viga é:

( )∫ ∫−=l l

xxp dxxvpdxvEI

0 0

2 )(.

Substituindo-se a solução aproximada no funcional acima obtém-se:

( )∫ ∫ −−=l l

p dxlxxpdxEI0 0

22

2

2 )(.2 ααπ

Aplicando-se a condição de estacionariedade ao funcional acima:

0 ).(40 0

22

2

=−−=∂

∂∫ ∫

l lpdxlxxpdxEIα

α

π

Integrando-se e resolvendo-se a equação acima obtém-se:

EI

pl

24

2

2 −=α e a solução aproximada fica sendo então: )(24

22

)1( lxxEI

plv −−= .

p

x

v(x)

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63

No meio do vão (x=l/2), a flecha (máxima) é EI

pl

EI

pl

96384

4 44

= e o momento fletor é

12

2pl

− , enquanto que o esforço cortante no apoio à direita é V(0) = 0.

Na segunda aproximação adiciona-se mais um termo:

3)2(3

2)2(2

)2(1

)2()2( xxxv o αααα +++=

Impondo-se as condições de contorno essenciais da viga em x = 0 e x = l, obtém-se:

)()( 23)2(3

2)2(2

)2( xlxlxxv −+−= αα

Substituindo-se )2(v no funcional de energia potencial total e aplicando-se a condição

de estacionariedade:

0 ).().36.12(

0 ).().124(

0 0

232)2(3

)2(2

3

0 0

2)2(3

)2(2

2

=−−+=∂

=−−+=∂

∫ ∫

∫ ∫

l lp

l lp

dxxlxpdxxxEI

dxlxxpdxxEI

ααα

π

ααα

π

Resolvendo-se agora este sistema de equações (2 × 2) obtém-se:

EI

pl

24

2)2(

2 −=α e 0)2(3 =α , ou seja a mesma solução anterior.

Adicionando-se mais um termo, obtém-se a terceira aproximação:

4)3(4

3)3(3

2)3(2

)3(1

)3()3( xxxxv o ααααα ++++=

E, procedendo-se analogamente, encontra-se os valores dos αi . Verifica-se que esta

3a aproximação corresponde à solução exata:

+−=

l

x

l

x

l

x

EI

plv 24

48 3

3

4

44)3(

, sendo

a flecha máxima, v (l/2) = EI

pl

384

5 4

; e os esforços, M(l/2) = - 8

2pl e V(0) =

2

pl.

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64

REFERÊNCIAS

[1] Hughes, T.J.R. – The Finite Element Method – Linear Static and Dynamic Finite

Element Analysis, Ed. Prentice-Hall, Inc., 1987.

[2] Cook, R.D. –Finite Element Modeling for Stress Analysis, Ed. John Wiley &

Sons, Inc., 1995.

[3] Cook, R.D., Malkus, D.S., Plesha, M.E. – Concepts and Applications of Finite

Element Analysis, Ed. John Wiley & Sons, Inc., third edition, 1989.

[4] Computers and Structures, Inc. SAP 2000 Plus - Integrated Structural Analysis

and Design Software – Analysis Reference, Vol. I e Vol. II, 1996.

[5] U.F.R.G.S. – The Finite Element Technique, Editado por C.A. Brebbia e A.J.

Ferrante, Editora da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, 1975.

BIBLIOGRAFIA ADICIONAL

Assan, A.E. – Método dos Elementos Finitos – Primeiros Passos, Editora da

Universidade Estadual de Campinas, 1999.

Assan, A.E. – Métodos Energéticos e Análise Estrutural, Editora da Universidade

Estadual de Campinas, 1996.

Buchanan, G.R. - SCHAUM’S Outlines – Finite Element Analysis Theory and

Problems, Ed. McGraw-Hill, 1995.

Bathe, K.J. - Finite Element Procedures, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliff, New

Jersey, 1996.

Bathe, K.J. - Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice-Hall, Inc.,

Englewood Cliff, New Jersey, 1982.

Hinton, E. e Owen, D.R.J. - Finite Element Programming, London: Academic Press,

1977.

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3 – FORMULAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

3.1 – Modificação do Método de Rayleigh-Ritz

O Método dos Elementos Finitos pode ser definido como uma modificação do

Método de Rayleigh-Ritz, em que o domínio de integração do funcional é

subdividido em regiões. As funções de aproximação são funções de interpolação

definidas em pequenos intervalos que interpolam valores nodais. As coordenadas

generalizadas ou parâmetros ajustáveis são portanto valores nodais, e, na formulação

do MEF em termos de deslocamentos, os valores nodais são deslocamentos nodais.

Seja por exemplo uma barra unidimensional submetida a uma carga axial que

varia linearmente em x, q (x) = c.x:

i) Domínio total:

1a aproximação: xu 1

)1( α=

2a aproximação:

221

)2( xxu αα +=

3a aproximação:

33

221

)3( xxxu ααα ++=

Calcula-se o funcional para todo o domínio: )( ipp αππ = e aplica-se a condição de

estacionaridade, 0=∂

i

p

α

π para i = 1, np, sendo np o número de parâmetros.

Neste problema a 3a aproximação

coincidirá com a solução exata:

x, u

L

2a aprox.

0 Lx

u

3a aprox. ≡ exata

1a aprox.

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ii) Domínio subdividido em 3 subregiões:

Adimitindo-se funções de aproximação lineares em cada subregião ou intervalo:

221 0; xxxaau ≤≤+=

3243 ; xxxxaau ≤≤+=

4365 ; xxxxaau ≤≤+=

Pelo Método de Rayleigh-Ritz, para que uma função aproximada seja

admissível ela deve atender as condições essenciais, portanto deve-se ter 0=u

quando x = 0, além disto u deve ser contínua em todo o domínio de integração, o

que implica em se impor a continuidade entre os elementos:

para uuxx =→= 2 (= u2) e para uuxx =→= 3 (= u3)

As equações acima ficam então:

22 0; xxxau ≤≤=

322422 ;)( xxxxxaxau ≤≤−+=

433623422 ;)()( xxxxxaxxaxau ≤≤−+−+=

que podem ser representadas graficamente:

1

2

3

1 2 2 3

1 2 3 4 x, u

x1 x2 x3 x4

1 2 3

1

2

3

x1=0 x2 x3 x4

x

u

u4

u3

u2

u1=0

1 2 3

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O funcional é calculado como a soma dos funcionais em cada intervalo:

pppp ππππ ++=

As equações de equilíbrio são obtidas fazendo-se 0=pπδ , sendo

),,( 642 aaapp ππ = . Atendidas as condições de admissibilidade das funções

aproximadas: as funções e suas derivadas até a ordem (m-1) devem ser contínuas

(sendo m a ordem da derivada mais alta que aparece no funcional), em todo o

domínio de integração, também pode-se considerar o equilíbrio de cada elemento

isoladamente: 0=epπδ . Na verdade pode-se escrever que:

∑∫∫ ∑∑===

=

⇔=

ne

eVe

e

V

ne

e

ne

e

epp dVdV

111

)( LLππ

3.2 – Equações de Equilíbrio – Condições de Convergência

Seja um problema bidimensional mostrado na figura abaixo:

O domínio de integração do problema é dividido em ne regiões ou elementos

retangulares, de lados 2a por 2b com 4 nós cada, conforme mostra a figura abaixo.

Cada nó i tem 2 graus de liberdade (GL), um deslocamento horizontal ui e um

vertical vi, portanto cada elemento fica com um total de 8 GL.

P

X

Y

fn

e

1 2 3

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Cada elemento e está submetido a forças de volume

=y

x

b

bb~

, forças de superfície

=y

x

p

pp~

no contorno Sσ , deslocamentos prescritos no contorno Su (deslocamentos

nulos no caso de apoios fixos) e forças aplicadas diretamente nos nós

=

y

x

y

x

n

f

f

f

f

f

4

2

1

1

~M

.

A energia potencial do sistema é considerada como a soma da energia

potencial de cada elemento e (admitindo-se continuidade entre elementos):

∑=

=ne

e

epp

1

ππ (3.1)

Em cada elemento a energia potencial é substituída por um valor aproximado,

em que o campo de deslocamentos é substituído por um campo aproximado: para

cada ponto (x,y) tem-se

=),(

),(

~ yxv

yxuu

e, vetor de deslocamentos dentro do elemento,

em que: ∑

=

=

k

kk

j

jj

yxyxv

yxyxu

αφ

αφ

),(),(

),(),(

2

2

3

1

4

x

u1

u4

u3

u2

a a

b

b

v3 v4

v1 v2 y

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Em geral adotam-se para u e para v as mesmas funções φj=φk, , sendo estas funções

conhecidas em x e y, e αj , αk são parâmetros desconhecidos, incógnitas do

problema. A precisão do elemento irá depender do número de parâmetros no

elemento (np), quanto maior este número, melhor a precisão. Tomando-se 4 termos

para aproximar os deslocamentos horizontais u e 4 para os verticais v (no total tem-

se np = 8), e escolhendo-se polinômios para φ , tem-se as seguintes expressões:

xyyxyxv

xyyxyxu

8765

4321

),(

),(

αααα

αααα

+++=

+++=

que podem ser reescritas matricialmente:

=

=

8

7

6

5

4

3

2

1

~.

10000

00001

),(

),(

α

α

α

α

α

α

α

α

xyyx

xyyx

yxv

yxuu

e ou

~~~.αAu

e= (3.2)

onde ~A é uma matriz (2 × np) formada pelas funções conhecidas φ e

~α é um vetor

(np ×1) formado pelos parâmetros desconhecidos α.

Para cada elemento e, escreve-se a eq. (3.2) para cada nó i:

~1~1~.αAu

e= , sendo

1~A calculada fazendo-se x=x1 e y=y1 ;

~2~2~.αAu

e= , sendo

2~A calculada fazendo-se x=x2 e y=y2 ;

~3~3~.αAu

e= , sendo

3~A calculada fazendo-se x=x3 e y=y3 ;

~4~4~.αAu

e= , sendo

4~A calculada fazendo-se x=x4 e y=y4 ;

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estas expressões podem ser reescritas matricialmente:

1~8~

8~4~

~3~

~2~

~1~

184~

3~

2~

1~

184

4

3

3

2

2

1

1

~.

.

.

.

.

××

××

×

=

=

=

=npnp

np

e

e

e

e

C

A

A

A

A

u

u

u

u

v

u

v

u

v

u

v

u

u α

α

α

α

α

(3.3)

onde ~u é o vetor de deslocamentos nodais do elemento.

Se a matriz ~C for quadrada, ou seja se o n

o de GL do elemento for igual ao n

o

de parâmetros np, para este caso tem-se no

GL=8 e np=8, e se as funções φ forem

linearmente independentes, como ocorre no caso dos polinômios escolhidos, a matriz

~C será inversível, obtendo-se portanto, a partir da eq. (3.3):

~

1

~~uC

−=α (3.4)

Substituindo-se agora a eq. (3.4) em (3.2), vem:

~

1

~~~~~... uCAAu

e −== α ou

~~~.uNu

e= (3.5)

A partir da eq. (3.5) obtém-se e

u~

, ou seja os deslocamentos u , v, em qualquer

ponto (x,y) dentro do elemento, em função dos deslocamentos nodais ~u , que passam

a ser as incógnitas do problema A matriz ~N é denominada de matriz de funções de

interpolação ou funções de forma, sendo atualmente obtida diretamente, não sendo

necessário utilizar-se a eq. (3.2) nem ~α como vetor de incógnitas. Será visto mais

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adiante que estas funções são lineares no plano xy para o caso de elementos

retangulares de 4 nós e a matriz ~N tem a seguinte forma:

=

4321

4321

~ 0000

0000

NNNN

NNNNN (3.6)

Para problemas bidimensionais, seja de estado plano de tensão ou de

deformação, as deformações e tensões podem ser representadas pelos vetores:

=

xy

y

x

γ

ε

ε

ε~

e

=

xy

y

x

τ

σ

σ

σ~

A partir das relações deformação específica × deslocamento (2.35) vistas

anteriormente, pode-se escrever:

∂∂

∂∂

=

),(

),(.0

0

yxv

yxu

xy

y

x

xy

y

x

γ

ε

ε

ou e

u~~~

.∂=ε (3.7)

Substituindo-se a eq. (3.5) em (3.7) obtém-se:

~~~~~~. uBuN =∂=ε (3.8)

sendo ~B denominada matriz de deformação específica × deslocamentos nodais.

As equações constitutivas que relacionam as tensões com as deformações são:

~~~εσ D= (3.9)

sendo que ~D será diferente para estado plano de tensão ou de deformação.

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Pode-se escrever agora o valor aproximado da energia potencial total (ver eq.

(2.40)) de cada elemento e:

~~~

,

~~

,

~~~~. - . -

2

1n

T

V S

TeTeeT

V

ep fudApudVbudVD

e ee−= ∫ ∫∫

σ

εεπ (3.10)

sendo que o último termo representa o potencial de realização de trabalho das forças

aplicadas diretamente nos nós sobre os deslocamentos nodais.

A primeira variação do funcional de energia potencial total é:

~~~

,

~~

,

~~~~. . - . - n

T

V S

eTeeTeeT

V

ep fudApudVbudVD

e eeδδδεεδδπ

σ∫ ∫∫ −= (3.11)

Usando agora as eqs. (3.5) e (3.8) :

TTTeeeNuuuNuuNu~~

,

~~~~~~~.. δδδδ =⇒=⇒=

TTTBuuBuB~~~~~~~~~

.. δεδδεδε =⇒=⇒=

e substituindo-as na eq. (3.11) obtém-se:

~~~

T

~~~

T

~~~~~

T

~~. . - . - n

T

V S

eTeTeT

V

ep fudApNudVbNudVuBDBu

e eeδδδδδπ

σ∫ ∫∫ −=

(3.12)

Como os vetores de deslocamentos nodais não variam com x e y, eles podem

ser colocados fora das integrais:

[ ]~~~

T

~~~

T

~~~~~

T

~~. . - . - n

T

V S

eTeTe

V

Tep fudApNudVbNuudVBDBu

e eeδδδδδπ

σ∫ ∫∫ −=

Aplicando-se a condição de estacionaridade e colocando-se o vetor T

u~

δ em

evidência obtém-se:

[ ] 0 . . - . - 0~~

T

~~

T

~~~~

T

~~=

−⇒= ∫ ∫∫ nV S

eee

V

Tep fdApNdVbNudVBDBu

e eeσ

δδπ (3.13)

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Como T

u~

δ é arbitrário, para que a eq. (3.13) seja satisfeita deve-se ter:

[ ] 0 . . - . - ~~

T

~~

T

~~~~

T

~=

−∫ ∫∫ nV S

eee

VfdApNdVbNudVBDB

e eeσ

(3.14)

que representa a equação de equilíbrio do elemento e.

Chamando de e

V

edVBDBk

e

~~

T

~~∫= (3.15) a matriz de rigidez do elemento e

∫ ∫+=e e

V S

eeedApNdVbNf ..

~

T

~~

T

~~ σ

(3.16) o vetor de cargas consistente do elemento,

que representa as forças nodais equivalentes a cargas aplicadas dentro e na superfície

do elemento (corresponde ao vetor de ações nodais de engastamento perfeito =

− esforços de engastamento perfeito), pode-se reescrever a equação de equilíbrio

(3.14) do elemento e:

~~~~~~~~0 n

ee

n

eeffukffuk +=∴=−− (3.17)

que tem a mesma forma conhecida do método dos deslocamentos com formulação

matricial, utilizada para elementos de estruturas reticuladas. Através do MEF

discretizou-se cada elemento (sistema contínuo) nos seus nós, transformando-se

assim as equações diferenciais de equilíbrio num sistema de equações algébricas (no

caso do elemento plano com 4 nós e 8 GL, num sistema de equações 8 × 8)

A solução da estrutura global requer que:

01

==∑=

ne

e

epp δπδπ

ou seja, [ ] ∑∑∑===

+=∴=

−−

ne

e

n

ene

e

ene

e

n

eeffukffuk

1 ~~1~~

1 ~~~~0 (3.18)

que pode ser reescrita da seguinte forma:

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~~~FUK = (3.19)

onde

~K é a matriz de rigidez da estrutura;

~U é o vetor de deslocamentos nodais da estrutura e

~F é o vetor de forças nodais da estrutura, que inclui forças aplicadas diretamente nos

nós e forças equivalentes a cargas atuando nos elementos.

Na verdade, obtidos a matriz de rigidez e o vetor de cargas consistente de cada

elemento pelas eqs. (3.15) e (3.16), pode-se aplicar os métodos usuais de análise

matricial de estruturas para formar a matriz de rigidez e o vetor de forças nodais da

estrutura, somando-se a contribuição de todos os elementos. Aplicando-se as

condições de contorno em (3.19), ou seja restringindo-se a estrutura, resolve-se o

sistema de equações resultante e obtém-se os deslocamentos nodais ~

U ; a partir destes

calcula-se o vetor e

u~

de deslocamentos u, v dentro de cada elemento usando-se a eq.

(3.5) e as deformações específicas e tensões em cada ponto (x,y) do elemento através

das eqs. (3.8) e (3.9).

A vantagem do MEF é que a formulação é genérica, todas as equações vistas

aqui para um problema bidimensional com elementos retangulares podem ser

generalizadas para qualquer tipo de problema e qualquer tipo de elemento, com

quaisquer no de nós: as equações são as mesmas, apenas as matrizes e vetores irão

variar de acordo com cada problema específico, e a eq. (3.5) irá variar também de

acordo com o tipo e no de nós no elemento.

Alguns tipos de problema da Teoria da Elasticidade com as matrizes e vetores

correspondentes são apresentados no que se segue:

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Problema unidimensional – barra prismática submetida a esforço axial (treliça)

)(~

xuue

= xεε =~

xσσ =~

ED =~

Problema bidimensional – estado plano de tensão

=),(

),(

~ yxv

yxuu

e

=

xy

y

x

γ

ε

ε

ε~

=

xy

y

x

τ

σ

σ

σ~

.

2

100

01

01

1 2~

−−=

νν

ν

ν

ED

Problema bidimensional – estado plano de deformação

=),(

),(

~ yxv

yxuu

e

=

xy

y

x

γ

ε

ε

ε~

=

xy

y

x

τ

σ

σ

σ~

.

)1(2

2100

011

01

1

)21).(1(

)1.(

~

−−

−+

−=

ν

νν

νν

ν

νν

νED

furo

elemento

infinitesimal

σx

σy τxy

σx

σy τxy

σz

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Problema axisimétrico –carregamento e estrutura simétricos

=),(

),(

~ yxv

yxuu

e

=

z

xy

y

x

ε

γ

ε

ε

ε~

=

z

xy

y

x

σ

τ

σ

σ

σ~

−−

−−−

−−

−+

−=

1011

0)1(2

2100

101

1

10

11

)21).(1(

)1.(

~

ν

ν

ν

νν

νν

ν

ν

νν

ν

ν

ν

νν

νED

Problema de flexão de placas – Placa fina, Teoria de Kirchhoff

),(~

yxwue

=

∂∂

∂−

∂−

=

=

yx

w

y

wx

w

xy

y

x

2

2

2

2

2

~

2

κ

κ

κ

ε

=

xy

y

x

M

M

M

.

2

100

01

01

)1(12

.2

3

~

−−=

νν

ν

ν

hED (deformações específicas e tensões generalizadas)

σx

σz

σy τyx

σx τxy

σy

τyz

τxz

superfície média

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Condições de convergência

As condições de convergência do Método dos Elementos Finitos são as

mesmas do que as do Método de Rayleigh-Ritz:

1) As funções φi devem ser admissíveis, ou seja, tanto as funções como suas

derivadas até a ordem m-1 devem ser contínuas, onde m é a ordem da derivada

máxima que aparece no funcional, e também devem satisfazer às condições de

contorno essenciais do problema

2) A sequência de funções deve ser completa, ou seja, deve incluir todos os termos de

baixa ordem, de forma que quando o no de termos tender a infinito, o erro quadrático

médio se anule.

Para o MEF, como o domínio de integração é subdividido em elementos, estas

condições de convergência devem ser alteradas:

1) As funções de interpolação Ni devem ser admissíveis, ou seja dentro de cada

elemento elas devem ser contínuas e suas derivadas até a ordem m-1 também

(m é a ordem da derivada máxima que aparece no funcional); deve haver

continuidade de deslocamentos e de suas derivadas até a ordem m-1 entre

os elementos (de forma que os deslocamentos aproximados sejam admissíveis

em todo o domínio de integração do problema) e os deslocamentos também

devem atender às condições de contorno essenciais do problema.

2) As funções de interpolação Ni devem ser completas, ou seja, os polinômios

devem incluir os termos de baixa ordem; em outra palavras, os elementos

devem apresentar todos os movimentos de corpo rígido e estado de

deformação específica constante.

A condição de convergência (1) é conhecida como condição de compatibilidade

e a condição (2) é conhecida como condição de completude. Os elementos finitos

que atendem às duas condições são denominados elementos conformes.

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Um modelo ou uma malha de elementos conformes será sempre convergente, ou

seja, refinando-se a malha (aumentando-se gradativamente o no

de elementos), a

solução aproximada tenderá para a solução exata e a convergência será sempre

monotônica.

A condição (2) de completude deve sempre ser atendida, é imprescindível, mas

modelos com elementos incompatíveis, que não satisfazem à condição (1), podem ser

convergentes, no entanto não há mais garantia da convergência ser monotônica.

Para atender à condição de compatibilidade (1), no caso de funcionais com m=1

deve-se ter que as funções de forma N devem ser contínuas (m-1 = 0); esta funções

são denominadas de funções de forma de continuidade C o (N ∈ C

o) e no caso de

m = 2 as funções N e suas derivadas de 1a ordem devem ser contínuas (m-1 = 1),

sendo denominadas funções de forma de continuidade C 1 (N ∈ C

1). Estas funções

estão ilustradas abaixo:

Funções de forma de continuidade C o

Funções de forma de continuidade C 1

(φ ∈ C o)

(φ ∈ C

1)

De uma maneira geral, quando a ordem da derivada mais alta que aparece no

funcional de energia potencial total for m, deve-se ter que N ∈ C m-1

.

x

φ, φ’

φ’

φ’

φ

φ, φ’

x

φ

φ’

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3.3 – Elemento de barra unidimensional com 2 nós - treliça

Seja um elemento de barra prismática, de seção transversal A, comprimento L e

material homogêneo com módulo de elasticidade E. O elemento tem 2 nós e está

submetido a uma carga axial uniforme p conforme mostra a figura abaixo.

O sistema local do elemento é representado pelos eixos x,y e o sistema global

por X,Y. Este é um problema unidimensional em que a única direção de deslocamento

é axial, u(x). Portanto o vetor de deslocamentos no elemento, o vetor de deformações

específicas, o vetor de tensões e a matriz constitutiva são representados por:

)(~

xuue

= xεε =~

xσσ =~

ED =~

Como o elemento tem 2 nós, com 1 GL cada, tem-se no total 2 GL, portanto deve-se

escolher 2 parâmetros de maneira a que np = no GL e a matriz

~C fique quadrada:

[ ]

=+==2

1

21~

1.)(α

ααα xxxuu

e ou

~~~.αAu

e= que é a eq. (3.2);

o vetor de deslocamentos nodais para este elemento é:

=2

1

~ u

uu .

Escrevendo-se a eq. (3.2) para os nós 1 e 2 tem-se:

[ ] [ ]

=

==2

1

2

1

11 011)0(α

α

α

αxuu e [ ] [ ]

=

==2

1

2

1

22 11)(α

α

α

αLxLuu

e

p

L

X

Y x

u1 1

2 y

u2

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Portanto:

~~2

1

2

1

~.

1

01α

α

αC

Lu

uu =

=

= que é a eq. (3.3), e a inversa da matriz ~C é:

−=

−=

LL

L

LC

/1/1

01

11

0.

11

~ e

~

1

~~.uC

−=α → eq. (3.4)

A partir das eqs. (3.2), (3.4) e (3.5) encontra-se a matriz de funções de interpolação:

[ ]

−=

−==⇒==

−−

L

x

L

x

LLxCANuCAAu

e1

/1/1

01.1....

1

~~~~

1

~~~~~α

A eq. (3.5) fica então: ~~~

.uNue

= ou

−==

2

1

~1)(

u

u

L

x

L

xxuu

e

onde N1 = 1 – x/L e N2 = x/L.

As funções N1 e N2 são as funções de interpolação conhecidas como função de

forma, que permitem obter o deslocamento u em qualquer ponto dentro do elemento

em função dos deslocamentos nodais u1 e u2. Observa-se que as funções são lineares,

como esperado, pois partiu-se de um polinômio linear, com 2 parâmetros. Nota-se

também que para x = 0 → u(0) = u1 e para x= L → u(L) = u2,

ou seja:

≠==

==

==

==

ij; para 0

para 1 ou

0)( e 1)(

0)( e 1)(

1222

2111

ji

ii

xxN

xxN

xNxN

xNxN

e para 1)()( 21 =+→∀ xNxNx , conforme pode ser observado graficamente:

1

1 2

N1(x): N2(x):

1

1 2

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Atualmente estas funções Ni são encontradas diretamente, por inspeção,

sabendo que elas sempre valem 1 no nó i e 0 nos demais nós. São as conhecidas

funções Serendipity, pois foram encontradas por acaso.

A matriz ~B que relaciona deformação específica × deslocamentos nodais , pode ser

encontrada a partir das eqs. (3.8) e (3.5) :

( )~~

2

121

~~~

)(uB

u

u

dx

dN

dx

dNuN

dx

d

dx

xdux =

==== εε

logo :

−=

=

LLdx

dN

dx

dNB

1121

~

A matriz de rigidez do elemento de treliça no sistema local pode ser obtida pela

eq. (3.15) e como as matrizes não variam ao longo da área, pode-se fazer dV = A.dx :

∫∫ ==Le

V

edxABDBdVBDBk

e 0 ~~

T

~~~

T

~~.

Substituindo-se as matrizes ~B e

~D na expressão acima obtém-se:

[ ] ∫∫∫

−=−

==×××

LLL Tedx

LL

LLEAdxLL

L

LEAdxABEBk

0 22

22

00 21~12~22~ /1/1

/1/1./1/1

/1

/1..

−=∴

11

11.

~ L

EAk

e que é a conhecida matriz de rigidez do elemento de treliça.

O vetor de cargas consistente pode ser obtido pela eq. (3.16).

Admite-se que: 0~

== xbb e ===b

ppp x

~

constante, sendo

px a carga por unidade de área, p a carga por unidade de

comprimento e b a largura da seção suposta retangular.

b

px

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dxbb

p

L

x

L

xdApNdVbN

f

ff

TL

V S

eee

e e.10 ..

0~

T

~~

T

~2

1

~∫∫ ∫

−+=+=

=

=

=∴

2

2

2

2.

0

2

2

2

1

~ pL

pL

L

xL

xx

pf

ff

L

e

sendo o sentido positivo das componentes igual ao dos deslocamentos nodais.

Para este problema unidimensional, a ordem mais alta das derivadas que aparecem no

funcional de energia potencial é m =1. Portanto as funções de interpolação N1 e N2

são admissíveis, pois são contínuas dentro do elemento (N ∈ Co) e como os elementos

são ligados por nós cujos deslocamentos são únicos, haverá sempre continuidade

(até a ordem m-1 = 0) de deslocamentos entre os elementos. A 1a condição de

convergência é portanto atendida e o elemento é classificado de compatível. Como

dentro do elemento xxu 21 .)( αα += , os termos de baixa ordem estão incluídos na

solução aproximada e portanto o elemento atende à 2a condição de convergência,

sendo classificado de completo (α1 representa o movimento de corpo rígido de

translação e α2 o estado de deformação específica constante). Como o elemento

atende às duas condições de convergêngia do MEF, ele é classificado de conforme.

Exemplo: Barra submetida a carregamento (por unidade de comprimento) que varia

linearmente, discretizada por 3 elementos de treliça de mesmo comprimento (l = L/3):

p

L pL/2 1

2

pL/2

X, u

q=cX

1 2 3

u1 u2 u3 u4

3

L

3

L

3

Ll l l

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Para a estrutura global o vetor de deslocamentos nodais e de forças totais nos nós é:

=

4

3

2

1

~

u

u

u

u

U e

=

4

3

2

1

~

f

f

f

f

F

A matriz de rigidez da estrutura é formada considerando-se todos os elementos,

somando-se os coeficientes correspondentes ao mesmo GL dos elementos que

concorrem em um mesmo nó: [ ]∑=

=3

1~~

e

ekK .

Conforme já foi visto, a matriz de rigidez de cada elemento é:

−=

11

11.

~ l

EAk

e,

portanto a matriz de rigidez da estrutura fica sendo:

−−

−−

=

−+−

−+−

1100

1210

0121

0011

.

1100

11110

01111

0011

.44~ l

EA

l

EAK

Para formar o vetor de forças totais da estrutura, calcula-se inicialmente o vetor

de cargas consistente de cada elemento:

a) Elemento 1

x = X ∴ q = cx

=

=

=∴ ∫3

6

3

32../

/12

2

0

3

32

0

1

~ cl

cl

l

xl

xx

cdxcxlx

lxf

l

l

1 2

x

l

cl2/6 cl

2/3

2 1

l

x

X = 0

x = 0

X = l

x = l

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b) Elemento 2

x = X - l ∴ X = x + l ∴q = c (x+l)

=

+

−−+

=+

=∴ ∫6

53

2

23

232.)(./

/12

2

0

23

232

0

2

~ cl

cl

x

l

x

x

l

xlx

x

cdxlxclx

lxf

l

l

c) Elemento 3

x = X - 2l ∴ X = x + 2l ∴q = c (x+2l)

=

+

−−+

=+

=∴ ∫3

46

7

3

2

2

32

2.)2(./

/12

2

0

23

232

0

2

~ cl

cl

xl

x

x

l

xlx

x

cdxlxclx

lxf

l

l

O vetor de forças da estrutura fica sendo então:

+

=

+

++

=

+= ∑

=

3/4

2

6/

3/4

6/76/5

3/23/

6/

0

0

0

2

2

2

2

2

22

22

2

3

1 ~~~

cl

cl

cl

clR

cl

clcl

clcl

clR

fFFe

e

n

onde R é a reação de apoio aplicada no nó 1. Substituindo-se a matriz de rigidez e o

vetor de forças da estrutura no sistema de equações de equilíbrio ~~~

. FUK = e

impondo-se a condição de contorno: u1 = 0 (eliminando-se a 1a equação) , vem:

=

−−

3/4

2.

110

121

012

.2

2

2

4

3

2

cl

cl

cl

u

u

u

l

EA

3 2

l

x

X = l

x = 0 X = 2l

x = l

4 3

l

x

X =2 l

x = 0 X = 3l

x = l

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Resolvendo-se o sistema de equações acima obtém-se os deslocamentos dos

nós 2, 3 e 4, e a partir destes tem-se o vetor de deslocamentos nodais da estrutura:

=

27

23

13

0

.3

3

~ EA

clu

A reação de apoio é obtida substituindo-se este vetor de deslocamentos na 1a

linha do sistema de equações ~~~

. FUK = :

[ ]6

0011.2

4321

clRuuuu

l

EA+=×+×+×−×

223

2

9

6.13

3cl

cl

EA

cl

l

EAR −=−××−=∴

que é igual à resultante da carga distribuída com sentido oposto, conforme esperado.

Este exemplo será utilizado para verificar a precisão do MEF e continuidades de

deslocamentos e tensões entre os elementos. Para verificar a solução aproximada para

deslocamentos, compara-se com a solução exata que pode ser obtida a partir da eq.

diferencial de equilíbrio (sistema global, X), através do método de integração direta:

)3(6

)( 32 XXLEA

cXu −=

para X = l (nó 2) → EA

cl

EA

cllu

3

13

6

26)(

33

==

para X = 2l (nó 3) → EA

cl

EA

cllu

3

23

6

46)(

33

==

para X = 3l (nó 4) → EA

cl

EA

cllu

3

27

6

546)(

33

==

R=-9cl2/2 3l

3cl 9cl

2/2

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Comparando-se com a solução aproximada dos deslocamentos nodais, observa-se que

para este caso que é simples, unidimensional, obteve-se nos nós a solução exata.

Entretanto, dentro dos elementos o campo de deslocamentos aproximado é linear e

não consegue representar o campo de deslocamentos exato que é um polinômio

cúbico. Por exemplo, no centro do elemento 2, X = 3l/2, tem-se pela solução exata:

EA

cllu

3

1875.6)5.1( = , enquanto que a solução aproximada no elemento 2 fornece:

[ ]EA

cluu

u

ulxlxlxu

3

32

3

2 6)(

2

1.//1)2/( =+=

−== .

Comparando-se agora os valores das tensões na barra:

Solução exata: )(2

)33(6

)(.. 2222 XL

A

cXL

A

c

dx

XduEE xx −=−=== εσ

Solução aproximada (usando-se as eqs. (3.8) e (3.9)):

elemento 1: A

clE

EA

cl

l

uu

u

u

llxxx

3

13

3

13112

112

12

2

111

~==⇒=

−=

−== εσεε

elemento 2: A

clE

EA

cl

l

uu

u

u

llxxx

3

10

3

1011 222

223

3

222

~==⇒=

−=

−== εσεε

elemento 3: A

clE

EA

cl

l

uu

u

u

llxxx

3

4

3

411 233

234

4

333

~==⇒=

−=

−== εσεε

Observa-se que as deformações específicas e consequentemente as tensões

aproximadas são constantes ao longo dos elementos, uma vez que os deslocamentos

variam linearmente dentro dos elementos, não conseguindo representar assim a

solução exata que é um polinômio do 2o grau. Nota-se também que existe

descontinuidades de deformações e de tensões entre os elementos. A comparação da

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solução aproximada encontrada pelo MEF com a solução exata tanto para

deslocamentos como para tensões está mostrada na figura abaixo:

Diversas conclusões podem ser extraídas deste exemplo:

1) As soluções aproximadas para deslocamentos são mais precisas do que para as

tensões, o que é típico para o MEF em que as incógnitas são deslocamentos (cada vez

que deriva-se a solução aproximada perde-se uma ordem de precisão);

2) As funções de interpolação utilizadas não apresentam descontinuidades de

deslocamentos mas apresentam descontinuidades de suas derivadas (deformações e

tensões) entre elementos, pois são funções de forma de continuidade Co. Mesmo

aumentando-se o grau do polinômio (polinômios de Lagrange) ainda haveria estas

descontinuidades, o que porém para problemas uni, bi e tridimensional em que m=1

não afeta a convergência. Nos problemas de vigas, placas e cascas, quando m=2, será

necessário utilizar-se funções de forma de continuidade C1, tais como os polinômios

de Hermite, para garantir a continuidade da função aproximada e de sua 1a derivada

(v e dv/dx no caso do elemento de viga).

3) Apesar das tensões aproximadas serem menos precisas do que os deslocamentos

aproximados, perto dos centros dos elementos obtém-se valores próximos dos exatos.

4) Aumentando-se o no de elementos diminui-se a descontinuidade de tensões entre

os elementos, portanto um parâmetro indicador do grau de precisão da malha

escolhida é a descontinuidade de tensões nos nós entre elementos.

l 2l 3l l 2l 3l

x x

u4

u3

u2

u1=0

u(x) σx(x)

sol. aprox.

sol. exata

sol. exata

sol. aprox.

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3.4 – Elementos planos

Os elementos planos são utilizados para modelar estruturas submetidas a

estado plano de tensão ou de deformação, em que cada ponto pode sofrer 2

deslocamentos no plano xy, u e v. O vetor de deslocamentos no elemento, o vetor de

deformações específicas e o vetor de tensões são representados por:

=),(

),(

~ yxv

yxuu

e

=

xy

y

x

γ

ε

ε

ε~

=

xy

y

x

τ

σ

σ

σ~

As tensões são obtidas a partir da eq. (3.9),

~~~εσ D= , sendo que a matriz constitutiva

~D depende se o estado plano é de tensão ou de deformação (ver pág. 74). Os

elementos planos podem ser quadriláteros, retangulares, triangulares e com no de nós

variável no elemento. Para cada tipo de elemento haverá uma matriz de funções de

interpolação e um vetor de deslocamentos nodais diferente, portanto a matriz de

rigidez de cada elemento, calculada pela eq. (3.15), também será diferente, conforme

descrito no que se segue. O vetor de cargas consistente de cada elemento pode ser

obtido pela eq. (3.16), e serão vistos alguns exemplos mais adiante no item 3.10.

Elemento plano retangular de 4 nós –Bilinear

Seja um elemento plano retangular, de lados 2a por 2b, com 4 nós e portanto

um total de 8 GL, conforme mostrado abaixo:

2

3

1

4

x, u

a

b

b

a

X

y, v Y Sistema

Local

Sistema

Global

v3

u1

u2 v4

v1

v2

u4

u3

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O vetor de deslocamentos no elemento é obtido usando-se a eq. (3.5): ~~~uNu

e= , a

partir dos deslocamentos nodais ~u e da matriz de funções de interpolação

~N :

=

4321

4321

~ 0000

0000

NNNN

NNNNN

sendo que a matriz ~N poderia ser obtida por 1

~~~. −

= CAN , conforme foi feito para o

elemento de treliça. Entretanto fica mais fácil obter-se estas funções diretamente por

inspeção, sabendo-se que as funções são lineares no plano xy e lembrando que: Ni = 1

no nó i e Ni = 0 nos demais nós.

Por exemplo, para encontrar-se a função N1, sabe-se que:

para o nó 1: x = a e y = b → N1 = 1

para o nó 2: x = - a e y = b → N1 = 0

para o nó 3: x = - a e y = - b → N1 = 0

para o nó 4: x = a e y = - b → N1 = 0

ou seja N1 deve se anular na face x = -a e y = -b,

logo →

+

+=

b

y

a

xN 11.

4

11 ,

que pode ser representada graficamente por:

Analogamente, para as outras funções encontra-se:

+

−=

b

y

a

xN 11.

4

12 ;

−=

b

y

a

xN 11.

4

13 e

+=

b

y

a

xN 11.

4

14

Estas funções podem ser reescritas na forma genérica:

+

+=

ii

iy

y

x

xN 11.

4

1

1

N1

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Este elemento é conhecido por elemento bilinear, pois as funções de

interpolação são o produto de 2 polinômios lineares, mas também é chamado de

elemento de Serendipity ou Lagrangeano de 4 nós.

A matriz ~B que relaciona deformação específica × deslocamentos nodais, pode

ser encontrada a partir das eqs. (3.5) a (3.8) : ~~~~~~~~

.. uBuNue

=∂=∂=ε . Portanto:

∂∂

∂∂

=

x

N

y

N

x

N

y

N

x

N

y

N

x

N

y

N

y

N

y

N

y

N

y

Nx

N

x

N

x

N

x

N

B

44332211

4321

4321

~0000

0000

Substituindo-se as funções de interpolação na expressão acima tem-se que:

−+−−−−−+−−++

+−−−−+

−−−+−+

)()()()()()()()(

)(0)(0)(0)(0

0)(0)(0)(0)(

4

183~

ybxaybxaybxaybxa

xaxaxaxa

ybybybyb

abB

A matriz de rigidez deste elemento no sistema local pode ser obtida pela eq. (3.15), e

como as matrizes não variam ao longo da espessura t, tem-se que dV = t.dA = t.dxdy:

∫∫∫ −−==

a

a

b

b

e

V

edxdytBDBdVBDBk

e.

~~

T

~~~

T

~~ (3.20)

Substituindo-se as matrizes

83~ ×B e

33~ ×D na expressão acima obtém-se assim a

matriz de rigidez do elemento no sistema local, ek

88~ × . Quando o sistema local não

coincide com o global, deve-se aplicar uma transformação de coordenadas para obter-

se a matriz de rigidez no sistema global:

~~~~.. TkTk

e

local

Te

global= (3.21)

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onde ~T é a matriz de cossenos diretores entre os dois sistemas de coordenadas.

Para problemas bidimensionais, a ordem mais alta das derivadas que aparecem

no funcional de energia potencial é m =1. Portanto as funções de interpolação N1, N2 ,

N3 e N4 são admissíveis, pois são contínuas dentro do elemento (N ∈ Co) e como os

deslocamentos variam linearmente ao longo dos lados que são ligados por nós cujos

deslocamentos são únicos (por 2 valores passa-se uma única reta), haverá sempre

continuidade (até a ordem m-1 = 0) de deslocamentos u e v entre os elementos. A 1a

condição de convergência é portanto atendida e o elemento é classificado de

compatível. Como dentro do elemento os termos de baixa ordem estão incluídos na

solução aproximada (ver eq. (3.2)), o elemento atende à 2a condição de convergência,

sendo classificado de completo (os movimento de corpo rígido e os estados de

deformação específica constante estão assim incluídos). Como o elemento atende às

duas condições de convergência do MEF, ele é classificado de conforme.

Elemento plano retangular de 8 nós - Serendipity

Seja agora um elemento plano retangular, de lados 2a por 2b, com 8 nós e

portanto um total de 16 GL, conforme mostrado abaixo:

2

3

1

4

x, u

a

b

b

a

X

y, v Y

5

6 7

8

Sistema

Local

Sistema

Global

vi ui

nó i

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Este elemento é mais preciso do que o elemento de 4 nós pois possui 16 GL, ou seja,

deve-se ter um total de 16 parâmetros para se descrever o campo aproximado de

deslocamentos, o que resulta em polinômios quadráticos (completos) no plano xy:

xyyxxyyxyxyxv

xyyxxyyxyxyxu2

162

15142

132

1211109

28

276

25

24321

),(

),(

αααααααα

αααααααα

+++++++=

+++++++=

As funções de interpolação poderiam ser obtidas por 1

~~~. −

= CAN , o que seria

muito trabalhoso uma vez que para este elemento a matriz ~C é 16 ×16. É mais fácil

obter-se as funções Ni por inspeção, denominadas de funções Serendipity, conforme

feito para o elemento de 4 nós:

−+

+

+= 111.

4

11

b

y

a

x

b

y

a

xN ;

−+−

+

−= 111.

4

12

b

y

a

x

b

y

a

xN

+

−=

+

+=

b

y

a

x

a

x

b

y

a

xN 11.

2

1111.

2

12

2

5 ; etc ....

A matriz de interpolação ~N passa a ser 2 × 16 e tem a forma:

=

8765

8765

4321

4321

~ 0000

0000

0000

0000

NNNN

NNNN

NNNN

NNNNN

A matriz ~B que relaciona deformação específica × deslocamentos nodais,

passa a ser 3 ×16 e é encontrada a partir da matriz ~N →

162~23~163~.

×××∂= NB :

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

x

N

y

N

x

N

y

N

x

N

y

N

x

N

y

N

y

N

y

N

y

N

y

Nx

N

x

N

x

N

x

N

x

N

y

N

x

N

y

N

x

N

y

N

x

N

y

N

y

N

y

N

y

N

y

Nx

N

x

N

x

N

x

N

B

88776655

8765

8765

44332211

4321

4321

~0000

0000

0000

0000

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Substituindo-se as funções de interpolação na matriz acima e inserindo-se em

seguida as matrizes ~B e

~D na eq. (3.20), encontra-se a matriz de rigidez deste

elemento ek~

(16 ×16) no sistema local, e no sistema global usando-se a eq. (3.21).

As funções de interpolação Ni são admissíveis, pois são contínuas dentro do

elemento (N ∈ Co). Como ao longo de cada lado do elemento existem 3 nós e por 3

pontos interpola-se uma única parábola do 2o grau, haverá sempre continuidade (até

a ordem m-1 = 0) de deslocamentos u e v entre os elementos. A 1a condição de

convergência é portanto atendida e o elemento é classificado de compatível. Como

dentro do elemento os termos de baixa ordem estão incluídos na solução aproximada,

o elemento atende à 2a condição de convergência, sendo classificado de completo.

Portanto este elemento de 8 nós, denominado Serendipity, é classificado de conforme.

Elemento plano retangular de 9 nós - Lagrangeano

Seja agora um elemento plano retangular, de lados 2a por 2b, com 9 nós e

portanto um total de 18GL, conforme mostrado abaixo:

O campo de deslocamentos aproximado deve incluir 18 parâmetros, sendo assim um

polinômio completo do 2o grau em xy, um pouco mais preciso do que o elemento de 8

2

3

1

4

x, u

a

b

b

a

X

y, v Y

5

6 7

8

Sistema

Local

9

Sistema

Global

vi ui

nó i

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nós:

2218

217

21615

214

213121110

229

28

276

25

24321

),(

),(

yxxyyxxyyxyxyxv

yxxyyxxyyxyxyxu

ααααααααα

ααααααααα

++++++++=

++++++++=

Este elemento é denominado de elemento Lagrangeano de 9 nós, pois as

funções de forma podem ser obtidas a partir dos polinômios de Lagrange:

)()(),( yNxNyxN iii ×=

sendo:

≠=

=

=n

ijj

ji

n

j

j

i

xx

xx

xN

;1

1

)(

)(

)( e

≠=

=

=n

ijj

ji

n

j

j

i

yy

yy

yN

;1

1

)(

)(

)(

Seja por exemplo encontrar a função N1 : primeiro faz-se uma interpolação quadrática

em x dos nós 1, 5 e 2 e depois uma interpolação quadrática em y dos nós 1, 8 e 4:

)).((

)).(()(

5121

521

xxxx

xxxxxN

−−

−−= ;

)).((

)).(()(

8141

841

yyyy

yyyyyN

−−

−−= )()(),( 111 yNxNyxN ×=∴

Para o elemento da figura em que os nós intermediários encontram-se bem no

centro dos lados (não necessariamente isto irá ocorrer), tem-se que:

)0)).(((

)0)).((()(1

−−−

−−−=

aaa

xaxxN ;

)0)).(((

)0)).((()(1

−−−

−−−=

bbb

ybyyN

))((4

),(221 byax

ba

xyyxN ++=∴

Observa-se que para o nó 1 N1 = 1 e para os demais nós N1 = 0. Procede-se

analogamente para se encontrar as demais funções de interpolação. Estas funções

também poderiam ser encontradas a partir do elemento Serendipity de 8 nós,

adicionando-se termos às funções Serendipity )8(iN , de forma a que estas também se

anulem no nó 9:

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4 a 1;4

1 )9(9

)8()9( =+= iNNN ii 8 a 5;2

1 )9(9

)8()9( =−= iNNN ii

sendo

−=

2

2

2

2)9(

9 11b

y

a

xN .

A partir das funções Ni obtém-se a matriz de funções ~N que passa a ser 2×18 e a

partir desta obtém-se ~B e a matriz de rigidez e

k~

(18×18) através da eq. (3.20).

A velocidade de convergência do elemento está relacionada à maior ordem do

polinômio completo contido nas funções de interpolação do elemento. O Triângulo

de Pascal mostrado abaixo possibilta visualizar esta ordem (p) para os elementos

Serendipity ( ) e Lagrangeanos ( ):

4

3

2

1

01

33

3223

432234

3223

22

=

=

=

=

=

p

p

p

p

p

yx

yxyx

yxyyxyxx

yxyyxx

yxyx

yx

Geralmente os elementos Lagrangeanos incluem o “miolo” do Triângulo e os

elementos Serendipity não. Em todos os elementos os termos das funções devem

respeitar a simetria do triângulo, o que é chamado de isotropia geométrica. Por isto

que para o elemento retangular de 4 nós tomou-se xy como 4o termo em vez de x2 ou

y2, para não favorecer nenhuma direção. Os elementos Serendipity e Lagrangeano de

4 nós, lineares, são equivalentes, já os elementos Serendipity quadráticos possuem 8

nós (as funções incluem 8 termos) e os cúbicos 12 nós (as funções incluem 12

termos), sendo os nós situados nos lados do elemento, enquanto que os Lagrangeanos

quadráticos possuem 9 nós (funções tem 9 termos) e os cúbicos 16 nós (funções tem

16 termos), sendo que os nós situam-se nos lados e no interior do elemento. Os

elementos retangulares Serendipity e Lagrangeanos são sempre conformes.

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Elemento plano triangular de 3 nós - CST

Seja agora um elemento plano triangular com 3 nós e portanto um total de 6

GL, conforme mostrado abaixo:

O campo de deslocamentos deve ter portanto 6 parâmetros no total, ou seja, um

polinômio linear completo (p=1) no plano xy:

yxyxv

yxyxu

654

321

),(

),(

ααα

ααα

++=

++=

Observa-se que este campo de deslocamentos resulta em deformações

específicas constantes em qualquer ponto (x,y) dentro do elemento:

2αε =∂

∂=

x

ux ; 6αε =

∂=

y

vy e 53 ααγ +=

∂+

∂=

x

v

y

uxy

por isto o elemento é denominado CST (“constant strain triangle”) ou triângulo de

deformação constante; as tensões no elemento também serão constantes.

Antigamente as funções de interpolação deste elemento eram obtidas utilizando-se

coordenadas naturais de área:

A

ALN i

ii ==

3

2

1

A1

A3 A2 P

X

Y

(P: ponto genérico)

v3

3

1

2 u2

Y

X

u1

v1

v2

u3

y, v

x, u

Sistema Global

Sistema Local

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Atualmente as funções de interpolação são obtidas a partir do elemento

retangular de 4 nós, “colapsando-se” um dos nós. Este elemento é compatível e

completo, portanto também é classificado de elemento conforme.

Conhecidas as funções Ni obtém-se a matriz de interpolação ~N que passa a ser 2 × 6

e a partir desta obtém-se a matriz ~B e a matriz de rigidez e

k~

através da eq. (3.20).

Elemento plano triangular de 6 nós - LST

Seja agora um elemento plano triangular com 6 nós e portanto um total de 12

GL, conforme mostrado abaixo:

O campo de deslocamentos deve ter portanto 12 parâmetros no total, ou seja,

um polinômio quadrático completo (p=2) em xy:

212

21110987

26

254321

),(

),(

yxxyyxyxv

yxxyyxyxu

αααααα

αααααα

+++++=

+++++=

Este campo de deslocamentos resulta em deformações específicas que variam

linearmente em xy, sendo o elemento denominado LST (“linear strain triangle”):

xyx 542 2αααε ++= ; yxy 12109 2αααε ++=

v3

v2

3

1

2 u2

Y

X

u1

v1

u3

y, v

x, u

v4

v5

v6

u4

u5

u6

5

6

4

Sistema Global

Sistema Local

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xyyxxy 11108643 22 ααααααγ +++++=

Este elemento é uma ordem mais preciso do que o elemento CST e também é

conforme, sendo mais adequado do que o elemento CST para modelar estruturas

planas submetidas à flexão, conforme será visto mais adiante no Capítulo 4.

Atualmente as funções de interpolação são obtidas a partir do elemento retangular de

8 nós em que alguns nós são “colapsados”. A matriz de rigidez deste elemento é

obtida a partir da eq. (3.20), de maneira análoga aos outros elementos planos.

3.5 – Elementos sólidos

Os elementos sólidos são utilizados para modelar estruturas submetidas

a estado multi-axial de tensões, sendo que cada ponto pode sofrer 3 deslocamentos no

espaço xyz: u, v e w. O vetor de deslocamentos no elemento, o vetor de deformações

específicas e o vetor de tensões são representados por:

=

),,(

),,(

),,(

~zyxw

zyxv

zyxu

ue

=

xz

yz

xy

z

y

x

γ

γ

γ

ε

ε

ε

ε~

=

xz

yz

xy

z

y

x

τ

τ

τ

σ

σ

σ

σ~

As tensões são obtidas a partir da eq. (3.9),

~~~εσ D= , sendo que a matriz

constitutiva ~D é expressa pela eq. (2.36). Os elementos sólidos podem ser hexaedros

ou tetraedros, com no de nós variável no elemento. Só serão apresentados elementos

hexaédricos (paralelepípedos) de 8 e 20 nós. Para cada tipo de elemento haverá uma

matriz de funções de interpolação ~N , uma matriz

~B e uma matriz de rigidez

diferente ek~

calculada pela eq. (3.15). O vetor de cargas consistente pode ser obtido

pela eq. (3.16), conforme será visto mais adiante em alguns exemplos no item 3.10.

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Elemento sólido hexaédrico de 8 nós - trilinear

Seja um elemento sólido hexaédrico, de lados 2a por 2b por 2c, com 8 nós e

portanto um total de 24 GL, conforme mostrado abaixo:

O campo aproximado de deslocamentos deve ter um total de 24 parâmetros, o

que resulta em polinômios lineares no espaço xyz:

xyzxzyzxyzyxzyxw

xyzxzyzxyzyxzyxv

xyzxzyzxyzyxzyxu

2423222120191817

161514131211109

87654321

),,(

),,(

),,(

αααααααα

αααααααα

αααααααα

+++++++=

+++++++=

+++++++=

As funções de interpolação podem ser obtidas por inspeção, sabendo-se que

são funções lineares no espaço xyz e lembrando que: Ni = 1 no nó i e Ni = 0 nos

demais nós:

+

+

+=

c

z

b

y

a

xN 111.

8

11 ;

+

+

−=

c

z

b

y

a

xN 111.

8

12 ;

+

−=

c

z

b

y

a

xN 111.

8

13

+

+

+=

c

z

b

y

a

xN 111.

8

15L , etc.

ou, na forma genérica:

+

+

+=

iii

iz

z

y

y

x

xN 111.

8

1.

7 8

2 1

6 5

3 4

X

Y

Z

x, u

2a

2b

2c

Nota: origem no centro do elemento

y, v

z, w

x, u

ui

vi

wi

nó i (3 GL)

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Sistema Local

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Este elemento é conhecido por elemento trilinear, pois as funções de

interpolação, que são contínuas dentro do elemento, são o produto de 3 polinômios

lineares. Assim como no elemento bilinear, os deslocamentos variam linearmente ao

longo das faces do elemento, portanto haverá sempre compatibilidade entre 2

elementos hexaédricos de 8 nós adjacentes, sendo classificados de compatíveis. Os

elementos trilineares também são completos, pois as funções de interpolação incluem

todos os termos de baixa ordem; portanto são classificados de elementos conformes.

A matriz de funções de interpolação, formada pelas funções Ni passa a ser 3×24:

821

821

821

243~000000

000000

000000

NNN

NNN

NNN

N

L

L

L

A matriz ~B que relaciona deformação específica × deslocamentos nodais, é

encontrada a partir de: 124~243~36~13~36~124~246~16~

.××××××××

∂=∂== uNuuBeε →

243~36~246~.

×××∂= NB , sendo:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂

yz

xz

xy

z

y

x

0

0

0

00

00

00

~

A matriz de rigidez deste elemento (no sistema local) pode ser obtida pela eq. (3.15):

dzdxdyBDBdVBDBka

a

Tb

b

c

c

e

V

e

e ∫∫∫∫ − ×××−−×==

246~66~624~~~

T

~2424~ (3.22)

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Elemento sólido hexaédrico de 20 nós - Serendipity

Seja um elemento sólido hexaédrico, de lados 2a por 2b por 2c, com 20 nós e

portanto um total de 60 GL, conforme mostrado abaixo:

O campo aproximado de deslocamentos deve ter um total de 60 parâmetros, o

que resulta em polinômios quadráticos (completos) no espaço xyz:

2604847464544434241

2402827262524232221

220

219

218

217

216

215

214

213

212

211

210

2987654321

),,(

),,(

),,(

xyzxyzxzyzxyzyxzyxw

xyzxyzxzyzxyzyxzyxv

xyzzxyyzxyzzyxzzxxyyx

zyxxyzxzyzxyzyxzyxu

ααααααααα

ααααααααα

ααααααααα

ααααααααααα

+++++++++=

+++++++++=

++++++++

+++++++++++=

L

L

As funções de interpolação podem ser obtidas por inspeção, sabendo-se que

são funções quadráticas no espaço xyz e lembrando que: Ni = 1 no nó i e Ni = 0 nos

demais nós:

−++

+

+

+= 2111.

8

11

c

z

b

y

a

x

c

z

b

y

a

xN ;

Nota: origem no centro do elemento

ui

vi

wi

nó i (3 GL)

Y

Z

X

1

6 5

4 3

2

8 7

9

13

12

11

10

9

17

19

18

20

14

15

16

2a

2b

2c

y, v

z, w

x, u

Sistema Global

Sistema Local

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−++−

+

+

−= 2111.

8

12

c

z

b

y

a

x

c

z

b

y

a

xN ;

−−+

+

+= 2111.

8

15

c

z

b

y

a

x

c

z

b

y

a

xN ,

L,111.4

12

2

17

+

+=

c

z

b

y

a

xN , etc.

Este elemento é conhecido por elemento Serendipity de 20 nós, pois as funções

de interpolação, que são contínuas dentro do elemento, são funções Serendipity.

Neste elemento os deslocamentos variam parabolicamente ao longo de suas arestas,

portanto haverá sempre compatibilidade entre 2 elementos hexaédricos de 20 nós

adjacentes, sendo classificados de elementos compatíveis. Os elementos Serendipity

de 20 nós também são completos, pois as funções de interpolação incluem todos os

termos de baixa ordem; portanto estes elementos são classificados de conformes.

A matriz de funções de interpolação ~N passa a ser 3×60 e a matriz

~B , 6×60,

enquanto que a matriz de rigidez deste elemento fica sendo 60×60:

dzdxdyBDBdVBDBka

a

Tb

b

c

c

e

V

e

e ∫∫∫∫ − ×××−−×==

606~66~660~~~

T

~6060~ (sistema local).

3.6 – Elemento de viga

Já foi visto anteriormente que o funcional de energia potencial total de

uma viga carregada transversalmente é:

∫∫ −=L

V

xp dxxvxqdVE

0

2

)().( 2

π

ou, lembrando que xxx ydx

dy

dx

du

dx

dyyu v.

v.

v..

2

2

−=−==∴−=−= εθ :

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( )∫ ∫−=L L

xxp dxxxqdxEI

0 0

2 )(v).(v2

π (3.23)

onde I é o momento de inércia da seção em relação ao eixo horizontal z.

Observa-se que a ordem mais alta das derivadas que surge no funcional é 2

(m=2). Portanto dentro do elemento as funções de interpolação devem ser contínuas

e suas primeiras derivadas também (até a ordem m-1=1). Para que haja continuidade

ao longo de toda a estrutura, deve haver continuidade de deslocamentos (v) e de

rotações (vx=dv/dx) entre os elementos (nos nós), mas pode existir descontinuidade de

curvaturas (vxx=d2v/dx

2). Serão utilizadas portanto funções de interpolação de

continuidade C1, que interpolam valores nodais de v e vx, conhecidas como

polinômios de Hermite, de forma a que as condições de convergência sejam atendidas

e os elementos sejam conformes. Será desprezada a deformação por cisalhamento, ou

seja, segue-se a conhecida Teoria de Viga de Euler-Bernoulli, em que as seções

transversais das vigas permanecem planas e perpendiculares à linha neutra, após se

deformarem. Existem elementos de viga de 2, 3 , 4, ... nós, mas será apresentado a

seguir apenas o elemento de 2 nós.

Elemento de viga de 2 nós

Seja um elemento de viga de 2 nós, de comprimento L, área da seção

transversal A e módulo de elasticidade E. conforme mostrado abaixo:

y,v

L

X

Y x

1

2 θ2

θ1

v1

v2

Sistema Local

Sistema Global

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Como cada nó tem 2 GL, um de translação v e outro de rotação θ ≈ vx, tem-se

assim um total de 4 GL, portanto deve-se utilizar 4 parâmetros para descrever os

deslocamentos no elemento:

34

2321)( xxxxv αααα +++= ou

~~~.)( αAxvu

e== (3.24)

onde [ ]32

~1 xxxA = e

=

4

3

2

1

~

α

α

α

α

α .

Para expressar os deslocamentos v(x) em função dos valores nodais, deriva-se

inicialmente a eq. (3.24) em relação a x:

[ ]

=++=

4

3

2

1

22432 .321032)(

α

α

α

α

ααα xxxxxvx (3.25)

e em seguida escreve-se as equações (3.24) e (3.25) para os nós 1 e 2, matricialmente:

=

=

=

=

=

=

=

=

=

4

3

2

1

2

32

2

2

10

10

3210

1

0010

0001

α

α

α

α

θ

θ

LL

LLL

v

vv

v

vv

Lxx

Lx

xx

x

ou ~~~

.αCu = → ~

1

~~.uC

−=α (3.26)

Substituindo-se a eq. (3.26) na eq. (3.24), obtém-se:

~

1

~~..)( uCAxv

−= ou 24231211

~~.)( θθ NvNNvNuNxv +++== (3.27)

ou seja, obtém-se o deslocamento v em qualquer ponto x no elemento em função dos

deslocamentos nodais, sendo [ ] 1

~~4321

~

−== CANNNNN a matriz de

funções de interpolação Ni, que são os conhecidos polinômios cúbicos de Hermite:

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A matriz ~B que relaciona deformação específica com deslocamentos nodais é

encontrada a partir da eq. (3.27):

2~

2

~~~~2~

2

v. dx

NdyBuBu

dx

Ndyy xxx −=→=−=−=ε (3.28)

E a matriz constitutiva que relaciona tensões com deformações específicas é:

EDED xx =→==~~~~

ou εσεσ (3.29)

Substituindo-se estas expressões na eq. (3.15) pode-se calcular a matriz de

rigidez do elemento de viga. Entretanto, para este elemento, como a curvatura é

constante ao longo da seção, utiliza-se a curvatura vxx como “deformação específica

generalizada”, a rigidez à flexão EI como “matriz constitutiva generalizada” e o

momento fletor (M=EI.vxx) como “tensão generalizada”:

~~~~~~~~~; e; ; ByBuByyvuBvEIDMv xxxxxxx −=→−=−===== εσε

1

1

1

1

x=0 x=L

3

3

2

2

123

1L

x

L

xN +−= N1 =1; N1,x =0 N1 =0; N1,x =0

2

32

22

L

x

L

xxN +−= N2 =0; N2,x =1 N2 =0; N2,x =0

3

3

2

2

323

L

x

L

xN −= N3 =0; N3,x =0 N3 =1; N3,x =0

2

32

4L

x

L

xN +−= N4 =0; N4,x =0 N4 =0; N4,x =1

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A matriz de rigidez do elemento de viga pode ser obtida então introduzindo-se

as expressões acima na eq. (3.15) e integrando-se a a priori ao longo da área:

∫∫

∫∫∫ ∫∫

==

∴=−−==

LLe

L

AA

Le

V

e

dxBDBdxBEIBk

dxBEBdAydxdAByEBydVBDBke

0 ~~

T

~0 ~

T

~~

0 ~

T

~

2

0 ~

T

~~~

T

~~

)( )(

(3.30)

A partir da eq. (3.28) tem-se que: 2~

2

~ dx

NdB = , que pode ser calculada

derivando-se duas vezes em relação a x as funções de interpolação Ni :

+−−+−+−=

× 23223241~

6212664126

L

x

LL

x

LL

x

LL

x

LB (3.31)

Substituindo-se agora a eq.(3.31) na eq.(3.30) vem:

−−−

== ∫×××

22

22

30 41~

T

14~44~

4626

612612

2646

612612

LLLL

LL

LLLL

LL

L

EIdxBEIBk

Le (3.32)

que é a conhecida matriz de rigidez de um elemento reticulado de viga no sistema

local. Para o elemento de placa procede-se analogamente ao elemento de viga,

utilizando-se também deformações, tensões e matriz constitutiva “generalizadas”.

Para encontrar o vetor de cargas consistente do elemento de viga (no sistema

local) também utiliza-se a eq. (3.16), sendo que as cargas de volume e de superfície

(by e py) são agrupadas e aplicadas ao longo do eixo da viga, distribuídas por unidade

de comprimento, q(x):

∫=Le

dxxqNf0

T

~~)( (3.33)

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3.7 – Vetor de cargas consistente

Conforme visto anteriormente, o vetor de cargas consistente de um elemento

finito, que é o vetor de cargas nodais equivalente a cargas distribuídas no elemento

(cargas de volume e de superfície) pode ser calculado pela expressão (3.16).

Entretanto, quando o elemento estiver submetido a deformações ~oε e/ou tensões

iniciais ~oσ , deve-se modificar esta expressão pois, conforme já foi visto para um

problema unidimensional (ver eq. (2.44)) a energia de deformação interna passa a ser:

~~~~~~

~

ooo DD

Uσεεσ

ε+−==

∂ e

dVDDdVUUV o

T

o

TT

V o ∫∫

+−==

~~~~~~~~2

1σεεεεε

A expressão completa do vetor de cargas consistente passa a ser então:

∫∫ ∫ ∫++=ee e e

V

eoV S V

eo

eeedVBdVDBdApNdVbNf

~

T

~~~

T

~~

T

~~

T

~~

. - .. .. σεσ

(3.34)

No que se segue será apresentado um exemplo de cálculo de vetor de cargas

consistente para cada tipo de elemento finito apresentado neste Capítulo.

Elemento de Treliça de 2 nós

Seja uma barra unidimensional (de concreto, por exemplo) que sofreu uma

retração hidráulica de ∆L.

L

Loo

∆−== εε

~

2 x u2

e

L

u1

1

∆L

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Para encontrar o vetor de cargas equivalente a esta deformação inicial imposta,

utiliza-se a eq. (3.34), que para um elemento de treliça de seção constante (área A)

torna-se: dxEBAdVDBfL

o

T

V o

Te

e ∫∫ ==0

~~~~~~

. εε

O deslocamento aproximado ao longo do elemento de treliça de 2 nós é definido por:

−==

2

1

~~1)(

u

u

L

x

L

xuNxu

e a matriz que relaciona deformação específica × deslocamentos nodais é:

−=∂=

LLNB

11

~~~

Substituindo-se esta matriz na expressão do vetor de cargas consistente tem-se:

∆−

∆=

∆−

= ∫ LLEA

LLEAdx

L

L

L

LAfL

e

/

/E

1

1

.0~

Elemento Plano Retangular de 4 nós

Seja um elemento plano retangular de 4 nós submetido a uma carga (por

unidade de comprimento) linearmente distribuída em uma das faces:

EA∆L/L

EA∆L/L

3 2a

2

4

1

2b q1

q2

y

x Nota: origem no

centro do elemento

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As funções de forma N1 e N2 para este elemento são:

+

±=

b

y

a

xN 11

4

12,1 ,

que podem ser utilizadas também para obter-se a carga q(x) em função de q1 e q2 :

++

−=+=

a

xq

a

xqqNqNxq 1

21

2)( 21

2112

Como a carga de superfície foi multiplicada pela espessura do elemento, sendo dada

por unidade de comprimento, a expressão (3.34) para este elemento fica:

∫ ∫−×

=

−==

eS

a

a

y

y

y

ee

f

f

f

dxxq

NdApNfσ

4

2

1

T

~~

T

~18~

0

0

)(

0. .

M

Como não existe carga aplicada na direção x, pode-se obter apenas as componentes

em y do vetor de cargas consistente, e integra-se ao longo da face y = +b:

−+

+

++

−=

−+

+−

+++

=

++

+

−==

=

∫ ∫

− −

0

0

3

22

43

22

4

3

22

43

22

4

0

0

14

21

4

21

41

4

..12

12

0

0

12

1

12

1

)(

2

32

2

31

2

32

2

31

2

22

2

21

2

22

2

21

21T

~

4

3

2

1

~

a

aa

q

a

aa

q

a

aa

q

a

aa

q

dxa

xq

a

x

a

xq

a

x

a

xq

a

xq

dxa

xq

a

xq

a

x

a

x

dxxqN

f

f

f

f

f

a

a

a

a

a

a

y

y

y

y

e

y

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+

+

−==

+

+

−=

0

0

)2(6

)2(6

:2 chamando ou, ,

0

033

23

2

3

21

21

~

21

21

~

qqL

qqL

fLaaq

aq

aqaq

fe

y

e

y

Elemento Sólido Hexaédrico de 20 nós

Seja um elemento sólido hexaédrico de 20 nós submetido a uma tração

uniforme (q) na direção y, na sua face superior (y = +b):

L

)2(6

21 qqL

+

)2(6

21 qqL

+

1

6 5

4 3

2 8 7

9

13

12

11

10

17

19

18

20

14

15

16

2a

2b

2c

py= q

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Como só existe carga aplicada na direção y, pode-se obter apenas as

componentes em y do vetor de cargas consistente:

=⇒

=

==×

−−×

∫ ∫∫

y

y

y

y

y

e

y

y

y

y

S

a

a

c

c

ee

f

f

f

f

f

f

f

f

f

dxdzqNdApNfe

20

4

3

2

1

120,~

20

2

1

T

~~

T

~160~

0

0

0

0

0

0

0

. .

MM

σ

Apenas 8 componentes deste vetor serão não-nulas, pois para y = + b, Ni ≠ 0 apenas

quando i = 1, 2, 5, 6, 9, 13, 17 e 18. Para y = + b as funções N1 e N9 ficam sendo:

−+

+

+= 111

4

11

c

z

a

x

c

z

a

xN e

+

−=

c

z

a

xN 11

2

12

2

9

Calcula-se inicialmente a componente f1y inserindo-se N1 na expressão dee

f~

acima:

Qqacacac

acq

dzq

ca

za

a

a

c

zaa

dzdxq

c

z

ac

xz

a

x

a

xdzdxqNf

c

c

a

a

c

c

a

a

c

cy

=−=

++−=

+++−

=

+++−

+==

∫ ∫∫ ∫

− −− −

33

4

3

44

44.

3

2

3

222

4.11.

2

3

2

3

2

2

2

2

11

Analogamente para os nós extremos da face superior encontra-se: f2y = f5y = f6y = Q.

Calcula-se em seguida a componente f9y substituindo-se N9 na expressão de e

f~

:

Pqaca

cq

dzq

ca

za

a

a

c

zaa

dzdxq

ca

zx

a

x

c

zdzdxqNf

c

c

a

a

c

c

a

a

c

cy

==

=

−++

=

−−+==

∫ ∫∫ ∫

− −− −

3

4

3

4.2

223

2

3

222

2.1.

2

3

2

3

2

2

2

2

99

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e para os outros nós no meio das arestas também encontra-se: f13y = f18y = f17y = P.

Observa-se que apesar da carga distribuída aplicada atuar para cima, nos nós

dos cantos da face superior as componentes do vetor de cargas consistente encontrado

atuam para baixo, conforme ilustrado na figura abaixo:

Elemento de Viga de 2 nós

Seja um elemento de viga de 2 nós e de comprimento L, submetido a:

a) carga vertical uniformemente distribuída ao longo do eixo, q(x)= -p:

Para este carregamento, o vetor de cargas consistente definido pela eq. (3.33)

para elemento de viga de seção transversal constante fica sendo:

∫∫ −==LLe

dxpNdxxqNf0

T

~0

T

~~

)(

Inserindo-se as funções de interpolação para o elemento de viga de 2 nós, que

são os polinômios cúbicos de Hermite, na expressão acima encontra-se:

P

P

P

P Q Q

Q Q

p

1 2 L

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−=

+−

+−

+−

−= ∫

12

2

12

2

23

2

231

2

2

0

2

32

3

3

2

2

2

32

3

3

2

2

~

L

L

L

L

pdxp

L

x

L

xL

x

L

xL

x

L

xx

L

x

L

x

fLe

que são as conhecidas ações nodais de engastamento perfeito ( = − esforços de

engastamento perfeito) de um elemento de viga submetido a carga vertical uniforme.

b) carga vertical concentrada -P, aplicada no meio do vão (x= L/2):

No caso de carga concentrada, ao invés de integrar-se o produto das funções de

interpolação pelas cargas distribuídas ao longo do elemento, calcula-se simplesmente

o produto da função de interpolação no ponto de aplicação pela carga concentrada:

=

+−

+−

+−

−=−==

8

2

8

2

84

8

2

4

3822

8

2

4

31

)(2/~~

PL

P

PL

P

LL

LLL

PPNfLx

Te

f2

f1

f4

f3

pL2/12

pL/2 pL/2

pL2/12

PL/8

P/2 P/2

PL/8

L/2 L/2

P

1 2

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Exercícios Propostos

1) Encontre as funções de forma do elemento de treliça de 3 nós, utilizando os

polinômios de Lagrange, para os seguintes casos:

a) b)

2) Encontre as funções de forma N1 , N2 e N5 do elemento plano retangular

Lagrangeano de 9 nós:

Sugestão: Utilize os polinômios de Lagrange interpolando os 3 nós pertinentes

inicialmente em x e em seguida em y; depois faça o produto para obter N1 , N2 e N5.

3) Calcule o vetor de cargas consistente do elemento de treliça de 2 nós para os

seguintes casos:

a) b)

4) Encontre por inspeção as seguintes funções de forma do elemento sólido

hexaédrico de 20 nós (utilize a numeração dos nós no elemento definida na pág. 100):

N3 , N4 , N7 , N8 , N11 , N15 , N19 e N20 .

1 2 3

L/2 L/2

1 2 3

2L/3 L/3

2 1 5

3 4

6

7

8 9 x

y

a

a

b

b

1 2

L

+∆T 1 2

2L/3 L/3

F

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5) Calcule o vetor de cargas consistente do elemento de viga de 2 nós para os casos:

a)

)(.V2/~~

2/~~2/2/~~

MNfMNuMvfuLx

T

x

e

Lx

T

x

T

LxLxx

eT−×=→×−=×−=−=

====

b)

2

2

22

dx

vd.y

dx

du

yh

T

h

T

x

o

−==ε

×α

−=ε∴α

∫∫∫∫

∫∫

=∴−=−

=

−=−=−=

L TeL TTL

A

VV

o

TeT

dxh

TBEIfdx

h

TBuEIdx

h

T

dx

vddAy

dVyh

TE

dx

vdydVDfu

0 ~~0 ~~0 2

22

2

2

~~~~~

222.

.2

......V

ααα

αεε

6) Calcule o vetor de cargas consistente do elemento plano bilinear retangular para o

seguinte caso de carregamento (onde q1 e q2 são cargas por unidade de comprimento):

__

L/2 L/2

M

1 2

L

- T

+T

y

x

b

h

- αT

+ αT

ϕ

2 1

3 4

q1

q2

x

y

a

a

b

b

q1

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3.8 – Formulação Isoparamétrica – Coordenadas Naturais- Mapeamento

A formulação isoparamétrica torna possível a utilização de elementos com

lados inclinados e curvos, possibilitando a modelagem de estruturas de qualquer

forma geométrica.

Na formulação de elementos isoparamétricos utiliza-se o sistema de

coordenadas naturais: coordenadas ξ, η, ζ que variam sempre de –1 a +1, ao invés

do sistema cartesiano usual x,y,z. A figura abaixo ilustra os dois sistemas de

coordenadas para um elemento plano quadrilátero:

A transformação de coordenadas do sistema usual x,y,z para o sistema de

coordenadas naturais ξ, η, ζ é chamada de Mapeamento (a origem de x,y,z não

coincide necessariamente com o centro do elemento).

Assim como o campo de deslocamentos dentro do elemento está relacionado

com os deslocamentos nodais através da matriz de funções de interpolação:

~~~.uNu

e=

4 (1, -1) (-1, -1) 3

(-1, 1) 2 1 (1, 1)

ξ

η y

x

4 3

2

1

(x1, y1)

(x3, y3) (x4, y4)

(x2, y2)

ξ = +1 ξ = - 1

η = -1

η= +1

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pode-se também relacionar as coordenadas dentro do elemento (vetor e

x~

) com as

coordenadas nodais (vetor ~x ) do elemento através da matriz

~M :

~~~.xMx

e=

onde, para um elemento sólido, 3D:

=

z

y

x

xe

~ e

=

M

2

2

2

1

1

1

~

z

y

x

z

y

x

x .

sendo as matrizes ~

M e ~N expressas em termos de ξ, η, ζ . Quando o grau dos

polinômios contidos na matriz ~

M for igual ao dos contidos na matriz ~N , ou seja

quando o mesmo número de parâmetros (mp=np) for utilizado para descrever a

geometria (mp) e o campo de deslocamentos (np), o elemento é classificado como

isoparamétrico. Quando o grau dos polinômios em ~

M for menor do que o dos

polinômios em ~N , ou seja, quando menos parâmetros forem utilizados para descrever

a geometria do que o campo de deslocamentos (mp<np), o elemento é classificado de

subparamétrico e quando mp>np, o elemento é classificado de superparamétrico .

Exemplos:

i) Elemento Isoparamétrico

~M e

~N lineares

~M e

~N quadráticas

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ii) Elemento Subparamétrico

Ex: elemento incompatível de Wilson ~

M linear e ~N quadrática:

∑=

−+−+=4

1

22

21 )1()1(),(

i

iiuNu ηαξαηξ

∑=

−+−+=4

1

24

23 )1()1(),(

i

iivNv ηαξαηξ

iii) Elemento Superparamétrico (elemento não utilizado na prática)

~

M quadrática e ~N linear:

∑=

=4

1

),(i

iiuNu ηξ ; ∑=

=4

1

),(i

iivNv ηξ

O campo de delocamentos é expresso em termos de coordenadas naturais,

~N =

~N (ξ,η,ζ ) mas deve ser derivado em relação a x, y e z, devendo-se aplicar a Regra

da Cadeia, o que será realizado através de uma matriz denominada Jacobiana (~J ).

A formulação isoparamétrica facilita a integração numérica das expressões de

matriz de rigidez e de vetor de cargas consistente dos elementos, uma vez que as

coordenadas naturais variam sempre de –1 a +1. Apresenta-se no que se segue a

formulação dos elementos planos isoparamétricos com 4 a 9 nós:

Elemento plano isoparamétrico de 4 nós:

Funções de Forma:

)1)(1(4

1iiiN ηηξξ ++=

y

x

4 3

2

1

ξ = +1 ξ = - 1

η = -1

η= +1

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O campo de deslocamentos dentro do elemento é definido por:

∑=

=4

1

),(i

iiuNu ηξ ; ∑=

=4

1

),(i

iivNv ηξ

e as coordenadas x e y dentro do elemento também são expressas por:

∑=

=4

1

),(i

ii xNx ηξ ; ∑=

=4

1

),(i

ii yNy ηξ

definindo assim o mapeamento.

Para se encontrar as deformações específicas, deve-se derivar os

deslocamentos em relação a x e a y, no entanto, como u e v estão expressos em

função de ξ e η, deve-se aplicar a Regra da Cadeia:

xxx ∂

∂+

∂=

∂ η

η

ξ

ξ e

yyy ∂

∂+

∂=

∂ η

η

ξ

ξ

No entanto não se conhecem diretamente as relações entre ξ , η e x e y e sim

as relações inversas x = x(ξ ,η) e y = y(ξ ,η), portanto deve-se fazer inicialmente:

ξξξ ∂

∂+

∂=

∂ y

y

x

x e

ηηη ∂

∂+

∂=

∂ y

y

x

x

ou, matricialmente:

∂∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

=

∂∂

y

xJ

y

xyx

yx

.ou ~

η

ξ

ηη

ξξ

η

ξ

onde ~J é denominada matriz Jacobiana. Para se encontrar as deformações

específicas, ~~~

.uB=ε , deve-se utilizar a matriz inversa, ~Γ =

~J

-1 , ou seja:

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−=Γ

∂∂

Γ=

∂∂

∂∂

∂∂

=

∂∂

1121

1222

~~

1;.ou

JJ

JJ

Jy

x

yy

xx

y

x

η

ξ

η

ξηξ

ηξ

,

em que J é o determinante da matriz ~J , denominado Jacobiano. A mesma expressão

é utilizada para a matriz ~B (pág. 89), entretanto cada coeficiente desta é calculado

derivando-se as funções Ni em relação a ξ ,η e usando-se os coeficientes da matriz ~Γ :

1211 Γ∂

∂+Γ

∂=

∂∴

∂+

∂=

ηξ

η

η

ξ

ξiiiiii NN

x

N

x

N

x

N

x

N

2221 Γ∂

∂+Γ

∂=

∂∴

∂+

∂=

ηξ

η

η

ξ

ξiiiiii NN

y

N

y

N

y

N

y

N

Algumas limitações devem ser impostas à forma dos elementos e à posição dos nós,

de maneira que a matriz Jacobiana não fique singular (o determinante J deve ser

sempre positivo), conforme será visto no próximo capítulo. Para avaliar as integrais

das expressões da matriz de rigidez e vetor de cargas consistente do elemento, deve-

se fazer também uma mudança de variáveis com o auxílio do determinante da matriz

Jacobiana:

ηξηξ ddJddJdxdydA ...det~

===

Logo, para um elemento de espessura t, tem-se:

∫∫∫∫ −−−−==

1

1 ~~

T

~

1

1~~

T

~~... ηξddJtBDBdxdytBDBk

a

a

b

b

e (3.35)

e se estiver submetido apenas a cargas de volume, por exemplo, tem-se:

∫ ∫∫ ∫∫ − −− −===

1

1

1

1 ~

T

~~

T

~~

T

~~

... ... . ηξdJdtbNdxdytbNdVbNfb

b

a

aV

ee (3.36)

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Elemento plano isoparamétrico de 5 a 9 nós:

As funções de forma deste elemento com no variável de nós dependem de quais

nós estão presentes no elemento, conforme mostra a tabela abaixo:

Funções de forma nó 5

presente

nó 6

presente

nó 7

presente

nó 8

presente

nó 9

presente

N1= )1)(1(

4

1ηξ ++ 5

2

1N−

8

2

1N− 9

4

1N−

N2= )1)(1(

4

1ηξ +− 5

2

1N− 6

2

1N−

9

4

1N−

N3= )1)(1(

4

1ηξ −−

6

2

1N− 7

2

1N−

9

4

1N−

N4= )1)(1(

4

1ηξ −+

7

2

1N− 8

2

1N− 9

4

1N−

N5= )1)(1(

2

1 2 ηξ +−

92

1N−

N6= )1)(1(

2

1 2ηξ −−

92

1N−

N7= )1)(1(

2

1 2 ηξ −−

92

1N−

N8= )1)(1(

2

1 2ηξ −+

92

1N−

N9= )1)(1(

2

1 22 ηξ −−

A matriz de rigidez deste elemento também é obtida pela expressão (3.35) e o vetor

de cargas consistente, para cargas de volume no elemento, pela expressão (3.36).

4 3

2 1

y

x

ξ = +1 ξ = - 1

η = -1

η= +1

η

ξ

5

6

7

8 9

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3.9 – Integração Numérica – Regras de Gauss

Para obtenção da matriz de rigidez e do vetor de cargas consistente nos

elementos em programas computacionais de elementos finitos, é necessário avaliar as

integrais envolvidas por um processo numérico. Será apresentado a seguir apenas o

processo das Regras de Gauss e será admitido que os limites das integrais sejam

sempre de –1 a +1.

a) Integração em uma dimensão

A idéia das Regras de Gauss surgiu da aproximação da área sob uma curva por um

retângulo em que a altura é tomada no meio do intervalo:

ou seja,

)0(2)()11()( 1

1

1ffdfI =×+≅= ∫− ξξξ

Se f(ξ) for a equação de uma reta de qualquer inclinação, a integral acima será

avaliada exatamente (área do trapézio = base × altura média), caso contrário será

apenas uma aproximação. Este procedimento com apenas 1 ponto de Gauss foi

estendido para vários pontos; quanto maior o no de pontos, maior será a precisão, é

como aproximar a área sob a curva por uma soma de retângulos:

)()()()( 2211

1

1 nn fWfWfWdfI ξξξξξ ×++×+×≅= ∫− L (3.37)

onde ξi são as posições dos pontos e Wi são os pesos de Gauss. Observa-se da figura

acima que no caso de apenas 1 ponto de Gauss tem-se que: ξ 1 = 0.0 e W1 = 2.0

-1 1 0

f(ξ )

f(ξ1)

ξ1 ξ

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Para n pontos, a posição e o peso de cada ponto é encontrada de maneira a

integrar exatamente um polinômio de grau (2n-1) conforme mostrado abaixo para o

caso de n=2 (integra exatamente um polinômio de grau 2n-1=3):

se 33

221)( ξξξξ aaaaf o +++= (3.38)

a integral exata será:

2

1

1

43

32

21

1

1 3

22

432)( aa

aaaadf oo +=

+++=

−−∫

ξξξξξξ (3.39)

Escolhendo-se 2 pontos ξ1 e ξ 2 dentro do intervalo [-1,1], simetricamente em relação

a ξ = 0:

a eq. (3.37) fica: )()()( 2211

1

1ξξξξ fWfWdfI ×+×== ∫− (3.40)

Substituindo-se agora a eq. (3.38) na eq. (3.40) acima resulta em:

)()()(323

222212

313

212111

1

1ξξξξξξξξ aaaaWaaaaWdfI oo +++×++++×== ∫− (3.41)

Comparando-se (3.39) e (3.41) chega-se a um sistema de equações algébricas 4 × 4:

0

3/2

0

2

322

311

222

211

2211

21

=+

=+

=+

=+

ξξ

ξξ

ξξ

WW

WW

WW

WW

f(ξ1)

f(ξ2) f(ξ )

ξ1 ξ2 -1 1 ξ

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cuja solução fornece os pesos: 0.121 == WW e as posições 3

3;

3

321 +=−= ξξ

dos pontos de Gauss para n =2. Procede-se analogamente para n > 2; a tabela abaixo

apresenta um resumo das posições e pontos de Gauss até n = 3.

Ordem n Posições dos Pontos de Gauss ξi Peso dos Pontos de Gauss Wi

1 ξ1 = 0. W1 = 2.0

3/31 −=ξ W1 = 1.0

2 3/32 +=ξ W2 = 1.0

6.01 −=ξ W1 = 5/9

ξ2 = 0. W2 = 8/9

3

6.03 +=ξ W3 = 5/9

Resumindo, para n pontos de Gauss, a integral de um polinômio 2n-1 será

avaliada exatamente, e se a função f(ξ ) não for um polinômio, quanto maior o no de

pontos de Gauss, melhor será a aproximação.

b) Integração em duas, três dimensões

As Regras de Gauss em duas ou mais dimensões são obtidas pelo produto das

Regras de Gauss em uma dimensão, ou seja, pela aplicação sucessiva das regras

unidimensionais. Em duas dimensões obtém-se, integrando-se primeiro em relação a

ξ e em seguida em relação a η:

∑∑

∑∑∫ ∑∫∫

××≅

×≅=

−−−

i j

jiji

i

jii

j

j

i

ii

fWWI

fWWdfWddfI

),(..

),(),(),(1

1

1

1

1

1

ηξ

ηξηηξηξηξ(3.42)

Seja por exemplo o elemento isoparamétrico, quadrilátero, de 4 nós. Como a

matriz ~B tem coeficientes lineares em ξ e η, e o determinante de

~J também (será

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constante apenas para o elemento retangular), o integrando contido dentro da integral

da matriz de rigidez será um polinômio do 3o grau em ξ e η, portanto 2 pontos em

cada direção são necessários (sendo denominados esquema ou Regra de Gauss 2×2):

Já os elementos de ordem superior, como o isoparamétrico de 9 nós necessitam

de um esquema de Gauss 3×3:

Em três dimensões, a aproximação da integral de uma função pelas Regras de

Gauss fica sendo:

∑∑∑∫ ∫ ∫ ≅=− − −

i j

kjikj

k

i fWWWdddfI ),,(.),,(1

1

1

1

1

1ζηξζηξζηξ (3.43)

ξ = + 6.0 ξ = - 6.0

η = + 6.0

××××

9

×××× 3

×××× 4

×××× 5

×××× 6

×××× 7

×××× 8

×××× 1

×××× 2

η = - 6.0

ξ

η

2 ××××

1××××

×××× 4

×××× 3

η= +3

3

η= -3

3

ξ= +3

3

ξ= -3

3

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3.10 – Cálculo das Tensões

Após resolvido o sistema de equações de equilíbrio da estrutura, obtém-se o

vetor de deslocamentos nodais no Sistema Global ~

U , em relação aos graus de

liberdade (GL) da estrutura. A partir de ~

U , obtém-se o vetor de deslocamentos nodais

em cada elemento e, ~u , no Sistema Local, em relação aos GL do elemento, através de

transformação de coordenadas e correspondência entre os GL

A partir de ~u , obtém-se então as tensões em qualquer ponto x,y,z (ou ξ, η e ζ)

no elemento em função dos deslocamentos nodais:

~~~~~~),,(),,(),,( uzyxBDzyxDzyx == εσ (3.44)

Como as deformações ~ε envolvem derivadas do campo de deslocamentos,

espera-se que as tensões ~σ sejam menos precisas do que os deslocamentos. Em

elementos de baixa ordem, lineares, as tensões no centro do elemento são mais

precisas do que nos cantos, nos nós do elemento. Uma grande descontinuidade de

tensões nos nós entre elementos adjacentes (de mesmo material e espessura) indica

que é necessário refinar a malha do modelo.

Para melhorar a precisão dos valores de tensões nos nós, costuma-se efetuar a

média dos valores fornecidos por elementos adjacentes, conforme mostrado abaixo

para elementos planos de 4 nós:

8

5

7

6

14 13

12 11 10

15

16 17 18

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As tensões no nó 14 são calculadas pela média aritmética dos valores de tensão

obtidos em cada elemento adjacente a este nó:

+++=

)8(

14~

)7(

14~

)6(

14~

)5(

14~14~ 4

1σσσσσ

Em elementos de treliça, elementos planos retangulares e sólidos

paralelepipédicos, os locais ótimos de obtenção de tensões são os pontos de

integração de Gauss, conforme mostra o exemplo abaixo de uma viga, modelada por

dois elementos isoparamétricos de 8 nós de estado plano de tensão:

Como o esforço cortante é constante ao longo do eixo da viga, a solução exata

para a deformação de cisalhamento γxy é constante ao longo do eixo x; já dentro de

cada elemento de 8 nós a solução aproximada para γxy varia parabolicamente em xy,

mas nas posições dos pontos de Gauss ( 3/3±=ξ ) ela se aproxima do valor exato.

Para elementos distorcidos, a posição dos pontos de Gauss não são locais

ótimos, mas apenas uma boa escolha para obtenção de tensões. Em alguns programas

computacionais, o contorno de tensões na malha de elementos finitos é calculado ou

pela média dos valores nodais, ou extrapolando os valores dos pontos de Gauss.

No caso de existirem deformações e tensões inicias no elemento, as tensões ficam:

~~~~~ooD σεεσ +

−= (3.45)

elemento

finito solução

exata

×××× ×××× ×××× ××××

×××× - pontos de Gauss

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4 – MODELAGEM ESTRUTURAL

4.1 – Escolha da Malha e dos Elementos Apropriados

Atualmente os elementos isoparamétricos são os mais utilizados na modelagem

de estruturas pois, além de serem conformes, os elementos podem ter lados

inclinados ou curvos, possibilitando assim a modelagem de estruturas de qualquer

forma geométrica. Na análise linear de estruturas é em geral mais conveniente utilizar

uma malha mais grossa de elementos de ordem superior do que uma malha mais fina

de elementos de baixa ordem. No caso de elementos de barra, tipo treliça ou viga, os

elementos de ordem inferior, de 2 nós, são suficientes na maioria dos casos. A figura

abaixo apresenta recomendações de elementos para cada tipo de problema:

1D 3D TRELIÇA 2 nós SÓLIDOS VIGA

20 nós 2D EPT EPD AXIS. 8 ou 9 nós

PLACAS CASCAS

8 ou 9 nós 9 ou 16 nós

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Já na análise não-linear de estruturas pode ser mais eficiente uma modelagem

com uma malha fina de elementos de baixa ordem, de forma a evitar problemas de

convergência que surgem nos elementos com campos complexos de deslocamentos.

Os elementos isoparamétricos apresentam limitações quanto à forma e à

posição dos nós nos lados dos elementos de forma a que a matriz Jacobiana não fique

singular e possa ser invertida na formulação da matriz de rigidez do elemento. Deve-

se evitar elementos distorcidos, os ângulos internos (α) devem ser sempre menores

do que 180o, conforme mostrado abaixo para elementos planos, próximos de 180o já

podem apresentar problemas; procurar usar ângulos internos sempre próximos de 90o:

α < 180o α > 180o α ≈ 180o α ≈ 180o

SIM NÃO NÃO NÃO

Deve-se também evitar posicionar os nós intermediários nos lados dos elementos

perto dos cantos, colocá-los sempre na faixa central dos lados, 0,25 < β < 0,75:

SIM NÃO

Deve-se procurar manter a razão entre os lados (A/B em elementos

retangulares, em quadriláteros tomar valores médios) em torno de 1, no máximo 3,

ou seja, 1/3 < A/B < 3, conforme mostrado a seguir:

α

a

α α

α

α

βl

l

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A/B = 3,5 NÃO A/B = 1,3 SIM

Esta limitação aplica-se principalmente a elementos de baixa ordem, como por

exemplo o elemento plano bilinear, pois quando submetidos à flexão apresentam

energia de deformação por cisalhamento excessiva, espúria, tornando o elemento

muito rígido. Este efeito, denominado “cisalhamento parasita”, aumenta com o

quadrado da razão A/B. A figura abaixo ilustra este efeito na flexão pura: (a) modo

de deformação correto (γxy = 0); (b) modo de deformação do elemento bilinear (γxy

varia linearmente em x, é nula no centro e aumenta em direção aos lados extremos).

(a) (b)

Este efeito é menos pronunciado nos elementos de ordem superior, mas

também deve-se procurar evitar o uso de elementos alongados (usar 1/3 < A/B < 3).

Em estruturas planas submetidas à flexão, deve-se evitar o uso de elementos

triangulares pois estes apresentam deformações específicas e tensões constantes ao

longo de todo o elemento. A figura abaixo ilustra a diferença entre modelar uma viga

submetida à flexão com elementos de estado plano de tensão retangulares e

triangulares. Observa-se que muitos elementos triangulares seriam necessários para

aproximar a variação linear de deformações εx ao longo da altura da viga, enquanto

que apenas um elemento retangular de 4 nós modela corretamente esta variação.

A

B

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As limitações dos elementos mostradas para elementos planos, aplicam-se

também para elementos sólidos.

4.2 – Concentração de Tensões e Transição de Malhas

Sempre que houver uma concentração ou uma variação brusca de tensões numa

estrutura, como por exemplo nos pontos de aplicação de cargas, nos cantos de

aberturas, nos pontos restringidos por vínculos, deve-se utilizar uma malha refinada

ou elementos de ordem superior nesta região. Para estruturas pequenas, com poucos

graus de liberdade, costuma ser mais conveniente modelar toda a estrutura com uma

malha refinada. No entanto, em estruturas maiores, convém modelar apenas a região

em que há concentração de tensões com uma malha refinada e o resto da estrutura

com uma malha mais grossa, tornando-se necessária uma transição de malhas.

Deve-se ter cautela ao se realizar uma transição de malhas para garantir a

compatibilidade de deslocamentos entre elementos adjacentes. A figura a seguir

mostra uma transição incompatível entre um elemento isoparamétrico de 8 nós e um

isoparamétrico de 4 nós, que não deve ser utilizada:

x x

+

_

_

εx constante em x

M M

+

__

εx varia

linear-

mente

em y

+ _

εx constante

εx constante

_

εx constante em x

M M

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Para fazer uma transição de uma malha de elementos de ordem superior para

uma de elementos de ordem inferior pode-se utilizar os elementos isoparamétricos

com nós variáveis. A figura abaixo ilustra uma transição compatível de uma malha de

elementos de 8 nós para uma de elementos de 4 nós, usando-se o elemento de 5 nós:

Apresentam-se a seguir duas transições possíveis, compatíveis, de uma malha

grossa para uma malha mais fina de elementos de mesma ordem: a) usando-se

elementos triangulares na transição; b) usando-se elementos trapezoidais.

(a) (b)

lado com 3 nós: deslocamentos variam parabolicamente

lado com 2 nós: deslocamentos variam linearmente

ambos lados com 3 nós: deslocamentos variam parabolicamente

8-NOS 5-NOS 4-NOS

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Estas mesmas transições podem ser feitas com elementos de ordem superior,

quadráticos:

(a) (b)

A transição abaixo, de uma malha fina para uma malha grossa de 4 nós, apesar

de incompatível, pode ser utilizada mas com cautela, não deve-se extrair resultados

na zona de transição. Existe incompatibilidade de deslocamentos entre um elemento

de 5 nós, pois no lado com 3 nós os deslocamentos variam parabolicamente,

adjacente a dois elementos de 4 nós, pois em cada lado com 2 nós os deslocamentos

variam linearmente, conforme mostrado na figura abaixo. Esta incompatibilidade é

menos severa do que a de um elemento de 8 nós adjacente a um de 4 nós.

Malha Fina de elementos de 4 nós

Elementos de 5 nós

Malha Grossa de elementos de 4 nós

4 nós 4 nós

5 nós

Deformada na vertical de 2 elementos de 4 nós adjacente a um elemento de 5 nós

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Analogamente deve-se ter cautela ao se utilizar a transição abaixo, de uma malha fina

para uma malha grossa de elementos de 9 nós, devido às incompatibilidades.

O conhecido efeito de Saint-Venant, da Teoria da Elasticidade, também aplica-

se ao método dos elementos finitos:

1) se uma certa região da estrutura não estiver bem modelada, nesta região a

solução não estará bem aproximada, mas longe desta região o resto do modelo

não será afetado; se bem modelado o resto da estrutura apresentará uma boa

solução. Ou seja, se na zona de transição a solução não estiver precisa, longe

desta zona esta imprecisão não será sentida.

2) se deseja-se conhecer conhecer as tensões em apenas uma certa região da

estrutura, pode-se modelar bem apenas esta região pois a solução será precisa

apenas nesta região, não será afetada pelo resto do modelo.

Malha Fina de elementos de 9 nós

Malha Grossa de elementos de 9 nós

Elementos de 5 nós

Elementos de 6 nós

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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[7] Hinton, E. e Owen, D.R.J. - Finite Element Programming , London: Academic Press, 1977.

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[10] Computers and Structures, Inc. SAP 2000 Plus - Integrated Structural Analysis and Design Software - Version 6.1, 1997.