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Instituição Credenciada pelo MEC – Portaria 4.385/05

Unis - MG

Centro Universitário do Sul de Minas

Unidade de Gestão de Pós-graduação – GEPÓS

Av. Cel. José Alves, 256 - Vila Pinto

Varginha - MG - 37010-540

Mantida pela

Fundação de Ensino e Pesquisa do Sul de Minas – FEPESMIG

Varginha/MG

Todos os direitos desta edição reservados ao Unis-MG.

É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, ou parte do mesmo, sob qualquer meio, sem

autorização expressa do Unis-MG.

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ALVES, Alessandro Ferreira

Guia de Estudo – Fundamentos da Educação

– Administração Financeira E Orçamentária.

Varginha: GEPOS- UNIS/MG, 2010.

102 p.

3. Fundamentos de Matemática Financeira. I. Título.

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Reitor

Prof. Ms. Stefano Barra Gazzola

Gestão de Pós-graduação

Prof. Ms. Guaracy Silva

Design Instrucional e Diagramação

Prof. Celso Augusto dos Santos Gomes

Rogério Martins Soares

Núcleo Pedagógico

Profª. Ms. Terezinha Nunes Gomes Garcia

Profª. Drª. Gleicione Aparecida Dias Bagne de Souza

Revisão Ortográfica / Gramatical

Gisele Silva Ferreira

Autor

Alessandro Ferreira Alves

Possui graduação em Matemática pela Universidade Federal de Uberlândia (1996) e Mestrado em

Matemática Pura pela Universidade Estadual de Campinas: UNICAMP (1999). Atualmente está em

fase final de co Curso de Doutorado também pela UNICAMP, no Departamento de Telemática da

FEEC - Faculdade de Engenharia Elétrica e Computação, com previsão de término para o primeiro

semestre de 2011. Atua como professor titular no Centro Universitário do Sul de Minas: UNIS-MG,

desde o ano de 2001, como professor em diversos Cursos de Graduação, bem como Pós-graduação,

nas Modalidades Presencial (GEDUP) e a Distância (GEaD). Além disso, é Coordenador do Curso

de Licenciatura Plena em Matemática na Modalidade a distância desde o segundo semestre de 2007,

bem como, coordenador dos cursos de Pós-graduação MBA em Finanças Corporativas (GEDUP)

desde 2007 e MBA em Gestão Empresarial (GEaD) desde o ano de 2008, do Centro Universitário

do Sul de Minas Gerais: UNIS-MG. Além do mais, coordenou os cursos de Pós-graduação em

Matemática Empresarial (turmas 2004, 2005 e 2006) e Matemática e Ensino (turmas 2002 e 2003).

Atua como professor titular de disciplinas em diversos cursos, como por exemplo, Engenharia

Mecânica, Engenharia de Produção, Engenharia Civil, Matemática, Física, Comércio Exterior,

Sistemas de Informação e Ciência da Computação, relacionadas à Matemática, Estatística e

Computação. Além disso, atua como professor nos Cursos de Pós-graduação do UNIS-MG: MBA

em Finanças Corporativas, MBA em Gestão Estratégica e Inteligência em Negócios, MBA em

Gestão Empresarial, MBA em Gestão de TI, MBA em Logística Empresarial e Pós-graduação em

Qualidade e Produtividade, nas disciplinas de Matemática Financeira, Métodos Quantitativos,

Engenharia Econômica, Simulação de Sistemas Gerenciais e Estatística Aplicada..

Acesso aos

dados

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ÍCONES

REALIZE. Determina a existência de atividade a ser realizada.

Este ícone indica que há um exercício, uma tarefa ou uma prática para ser

realizada. Fique atento a ele.

PESQUISE. Indica a exigência de pesquisa a ser realizada na busca por mais

informação.

PENSE. Indica que você deve refletir sobre o assunto abordado para responder a

um questionamento.

CONCLUSÃO. Todas as conclusões, sejam de ideias, partes ou unidades do curso

virão precedidas desse ícone.

IMPORTANTE. Aponta uma observação significativa. Pode ser encarado como

um sinal de alerta que o orienta para prestar atenção à informação indicada.

HIPERLINK. Indica um link (ligação), seja ele para outra página do módulo

impresso ou endereço de Internet.

EXEMPLO. Esse ícone será usado sempre que houver necessidade de

exemplificar um caso, uma situação ou conceito que está sendo descrito ou

estudado.

SUGESTÃO DE LEITURA. Indica textos de referência utilizados no curso e

também faz sugestões para leitura complementar.

APLICAÇÃO PROFISSIONAL. Indica uma aplicação prática de uso profissional

ligada ao que está sendo estudado.

CHECKLIST ou PROCEDIMENTO. Indica um conjunto de ações para fins de

verificação de uma rotina ou um procedimento (passo a passo) para a realização

de uma tarefa.

SAIBA MAIS. Apresenta informações adicionais sobre o tema abordado de forma

a possibilitar a obtenção de novas informações ao que já foi referenciado.

REVENDO. Indica a necessidade de rever conceitos estudados anteriormente.

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Sumário

EMENTA ................................................................................................................................................... 7

META ........................................................................................................................................................ 8

OBJETIVOS DA UNIDADE ................................................................................................................... 8

PRÉ-REQUISITOS .................................................................................................................................. 8 3. Fundamentos de Matemática Financeira ......................................................................................... 9 3.1 Aspectos Introdutórios: Qual a importância da Matemática Financeira? .................................... 9 3.2 Hoje ou Amanhã? A Noção de Liquidez .................................................................................... 11 3.3 Os Termos Centrais da Matemática Financeira: Tempo e Dinheiro ......................................... 13 3.4 Uma Ferramenta Indispensável para a Análise Financeira: O Diagrama de Fluxo de Caixa

(DFC) 18 3.5 Algumas Aplicações Práticas envolvendo os Regimes de Capitalização ................................. 26 3.6 Estabelecimento das Notações ................................................................................................. 27 3.7 Capitalização Contínua e Descontínua ..................................................................................... 28 3.8 O Regime Linear de Juros: Conceito, Utilização e Fórmulas Características ........................... 29 3.8.1 Taxa e Período .......................................................................................................................... 34 3.8.2 Future Value (ou Valor Futuro ou Montante) ............................................................................. 36 3.8.3 Estudo de Taxas: Taxa Proporcional e Taxa Equivalente ......................................................... 40 3.8.4 Equivalência Financeira a Juros Simples .................................................................................. 42 3.9 Juros Compostos ....................................................................................................................... 52 3.9.1 Aspectos Introdutórios dos Juros Compostos ........................................................................... 53 3.9.2 As Fórmulas Características no Regime Exponencial .............................................................. 54 3.9.3 Extensões ao Uso das Fórmulas ............................................................................................... 62 3.9.4 A Noção de Taxas Equivalentes nos Juros Compostos ............................................................ 64 3.9.5 Taxa Nominal e Taxa Efetiva ..................................................................................................... 68 3.10 Implementação Numérica na HP 12 .......................................................................................... 74 3.10.1 Exercícios Resolvidos Envolvendo o Regime de Capitalização Simples na HP 12 ............. 74 3.10.2 Exercícios Resolvidos Envolvendo o Regime de Capitalização Composto na HP 12 .......... 82 3.10.3 Exercícios Resolvidos Envolvendo Taxas Equivalentes, Taxas Nominais e Taxas Efetivas 87 3.11 Guia Resumo da Implementação na HP 12C ............................................................................ 97 3.12 Resumo da Unidade ................................................................................................................ 101 3.13 Diretrizes sobre a próxima Unidade ........................................................................................ 101 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................................... 102

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Administração Financeira E Orçamentária

EMENTA

Regimes de Capitalização. Séries de Pagamentos. Valor Presente Líquido e Taxa Interna

de Retorno. Equivalência de Fluxos de Caixa. Sistemas de Amortização. Fluxos de Caixa e

Inflação. Métodos de Análise de Investimentos.

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Administração Financeira E Orçamentária

META

Nesta terceira unidade é de nosso interesse apresentar os principais conceitos,

resultados e métodos da matemática financeira, que nos auxiliem para uma tomada de

decisão confiável em operações financeiras de caráter pessoal ou empresarial,

procurando sempre a maximização de resultados empresariais. além disso,

apresentamos os dois regimes de capitalização praticados no mercado financeiro

brasileiro, bem como implementamos diversos problemas simulados envolvendo os

aspectos discutidos na unidade na hp 12C.

OBJETIVOS DA UNIDADE

Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta unidade, você seja capaz de:

- Reconhecer a importância da matemática financeira para a tomada de decisão

em problemas de finanças em geral;

- Estar plenamente familiarizado com os elementos básicos da matemática

financeira para a tomada de decisão empresarial;

- Interpretar e reconhecer a importância do diagrama de fluxo de caixa (DFC) para

a resolução de problemas simulados na área financeira;

- Reconhecer os dois regimes de capitalização presentes no mercado financeiro;

- Estar plenamente familiarizado com a teoria envolvendo os diagramas de fluxo

de caixa;

- Reconhecer os diversos tipos de taxas que temos no mercado financeiro;

- Implementar numericamente diversas situações na área financeira na calculadora

hp 12c envolvendo os aspectos discutidos na unidade.

PRÉ-REQUISITOS

Em verdade, para se ter um bom aproveitamento desta unidade, é importante você

relembrar alguns tópicos discutidos na parte de Matemática Elementar (Fundamentos de

Matemática), bem como das Unidades anteriores do guia de estudos.

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Administração Financeira E Orçamentária

3. Fundamentos de Matemática Financeira

3.1 Aspectos Introdutórios: Qual a importância da Matemática

Financeira?

Nosso objetivo aqui é apresentar os aspectos introdutórios da Matemática

Financeira1 e seus principais elementos de trabalho. Sabemos que nos dias atuais, a

parte mais sensível de uma empresa e do nosso corpo, sem dúvida nenhuma é o bolso,

desta maneira, sempre devemos estar atentos a nossa saúde financeira, bem como das

empresas as quais conduzimos.

Figura 01: A parte mais sensível das empresas e do nosso corpo.

Entendemos a Matemática Financeira como sendo um ramo da Matemática

Aplicada que estuda as operações financeiras de uma forma geral. Todos os dias, de

uma forma ou de outra nos deparamos com tópicos relacionados à Matemática

Financeira propriamente dita.

1 O estudo da Matemática Financeira é todo feito em função do crescimento do capital aplicado com o

tempo. Definiremos capital como qualquer quantidade de moeda ou dinheiro.

Fundamentos de Matemática

Financeira

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Administração Financeira E Orçamentária

Ressaltamos, também, a importância do entendimento do Diagrama de Fluxo de

Caixa (DFC) – uma representação fácil e simples das movimentações financeiras e que

ajuda no entendimento dos principais problemas financeiros.

Figura 02: Diagrama de Fluxo de Caixa: representação fundamental para o estudo de

situações financeiras do nosso dia-a-dia.

Além disso, trabalharemos a fundo com a equivalência financeira no regime de

capitalização simples.

Ou ainda, podemos reescrever a relevância do estudo das técnicas da Matemática

Financeira como segue.

DFC

RepresentaçãoGráfica

Fundamentalpara ainterpretaçãode problemasfinanceiros

Resumindo: Definimos de modo simples a Matemática Financeira

como sendo uma parte da Matemática Aplicada que trata, em

essência, do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo, sendo

que o seu objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos

vários fluxos de entrada e saída de dinheiro de caixa verificado em

diferentes momentos.

Importância! A Matemática Financeira é de extrema importância para a

tomada de decisões em finanças em geral, tanto de caráter pessoal,

quanto empresarial, nos auxiliando no processo de maximização de

resultados empresariais.

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Administração Financeira E Orçamentária

3.2 Hoje ou Amanhã? A Noção de Liquidez

De outra forma, devido ao longo de tempo em que a sociedade brasileira tem

convivido com a inflação, nada é mais óbvio do que a preferência pela liquidez. Por

exemplo, se um cidadão, por mais leigo que seja em teoria associada a Economia, for

questionado sobre sua preferência em ter disponível, hoje, uma certa quantia em

dinheiro ou deixá-la imobilizada por mais algum tempo, sem nenhuma remuneração

adicional, com certeza, ele prefirirá ter seu capital disponível hoje. Isso decorre do

conhecimento que se tem sobre a perda do poder aquisitivo da moeda.

Agora, apenas para refletirmos, consideremos uma sociedade onde não exista

inflação, ou seja, os preços dos bens e serviços se mantenham aproxidamente

constantes ao longo do tempo. Poderíamos indagar: Qual seria a preferência entre

dispor de certa quantia imediatamente ou em uma data futura? Aparentemente, se

for um excelente monetário (por exemplo, poupança), deveria haver uma indiferença

entre ter disponibilidade do dinheiro hoje ou em uma data futura, dado que, qualquer

que seja a época, poder-se-ia comprar a mesma quantidade de bens e serviços.

Entretanto, em termos práticos, não é isso que observamos.

Keynes (1977) identificou três razões pelas quais as pessoas mantêm preferência

pela liquidez: transação, preucação, e especulação.Desta maneira, para que um

proprietário de capital abra mão de sua disponibilidade de capital ele precisa ser

convencido a fazê-lo. Existem diversas maneiras de convencê-lo a imobilizar o seu

capital em algum empreendimento por certo período de tempo.

Importante! Em economias inflacionárias é sabido que, com a mesma quantia

de dinheiro, pode-se comprar mais hoje do que em uma data futura.

Importante! Mesmo em economias sem inflação, temos que a preferência pela

liquidez persiste.

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Administração Financeira E Orçamentária

Figura 02: Razões para preferência da liquidez. .

A forma mais antiga e também a mais usada até os dias de hoje é acenar para o

proprietário de capital (investidor em potencial) com uma promessa atrativa de

pagamento futuro. Essa promessa deve reconstituir, em termos de poder de compra, o

capital imobilizado e proporcionar algum ganho pelo fato de se abrir mão da liquidez do

capital por um dado período. A remuneração paga pela imobilização do capital por um

dado período de tempo, o qual denominamos de juro, como veremos mais a frente.

Ressaltamos, que para o tomador de recursos financeiros, os juros significam os

custos da imobilização do capital num dado período. Sabemos que os juros são

expressos por uma taxa que incide sobre o valor imobilizado por período de tempo.

Dessa forma, a taxa de juros pode ser vista como a remuneração de uma unidade de

capital imobilizada ao longo de uma unidade de tempo.

O problema que aparece nesse sentido e é comum as nossas vidas, tanto como

pessoa física como gestores, é o de qual deve ser o valor da taxa de juros na respectiva

operação financeira desenvolvida ou a ser desenvolvida. Por exemplo, para o caso de

um investidor deve ponderar ao estabelecer ganho que deseja pela imobilização de seu

capital? Desta maneira, aparentemente parece óbvio que esse ganho deva estar

associado com o grau de certeza de seu recebimento e com o período de imobilização.

Importante! Dado que uma promessa atrativa de pagamento no futuro não

significa certeza absoluta de recebimento, o investidor procura compensar essa

incerteza exigindo um ganho maior.

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Administração Financeira E Orçamentária

Logo, esperase que quando o investidor abre mão da liquidez do capital por um

dado período de tempo, dentre outras coisas, leve em conta suas expectativas de ganhos

e os riscos associados.

Portanto, existe sempre um dilema entre um dado valor monetário hoej e um dado

valor monetário no futuro, sendo que a análise desse dilema é a essência da Matemática

Financeira, como mostramos na Figura 03 abaixo.

Dinheiro no Futuro

0 1 2 3 4 ... n – 1 n

versus

Dinheiro Hoje

Figura 03: Discussão Clássica da Matemática Financeira.

Desta forma, concluímos que:

3.3 Os Termos Centrais da Matemática Financeira: Tempo e

Dinheiro

Resumindo! Mesmo em economias não inflacionárias, os agentes econômicos

percebem que o dinheiro muda de valor no tempo. Consequentemente a partir

desse comportamento, as sociedades assimilaram o conceito de juro e

desenvolveram mercados baseados no binômio disponibilidade imediata

versus expectativa de ganhos futuros.

Importância! A Matemática Financeira constitui o ramo da Matemática

que estuda a mudança do valor do dinheiro no tempo tendo por base

certa taxa de juro. O estudo das formas como valores monetários de

hoje se relacionam com valores monetários futuros é o objetivo

principal desse ramo da Matemática.

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Administração Financeira E Orçamentária

Para entendermos estes termos centrais da Matemática Financeira, consideremos a

seguinte situação: Se algum amigo lhe pedisse uma quantia de R$1.000,00 emprestados

para lhe pagar de volta o mesmo valor daqui a um ano, você acharia a proposta

atraente? Por melhor que seja seu amigo, com certeza esse pedido não lhe agradaria.

Algumas questões surgiriam em sua mente:

Será que ele me pagará na data prevista?

Será que o poder de compra dos R$1.000,00 permanecerá inalterado

durante um ano inteiro?

Contudo, se eu permanecesse com o dinheiro, poderia consumi-lo,

satisfazendo as minhas necessidades, ou poderia aplicá-lo na Caderneta de

Poupança, por exemplo, ganhando os juros e rendimentos do período.

De modo intuitivo, você não estaria levando em consideração o principal aspecto

da Matemática Financeira:

Figura 04: Os termos centrais da Matemática Financeira: tempo e dinheiro.

Sabemos que diversas razões influenciam a preferência pela posse atual do

dinheiro:

Risco: existe sempre a possibilidade de não ocorrerem os planos conforme o

previsto; em outras palavras, sempre haverá o risco de não receber os valores

programados em decorrência de fatos imprevistos.

Dinheiro tem custo associado ao tempo!

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Administração Financeira E Orçamentária

Utilidade: o investimento implica deixar de consumir hoje para consumir no futuro,

o que somente será atraente se existir alguma compensação.

Oportunidade: se os recursos monetários são limitados, a posse deles, no presente,

permite aproveitar as oportunidades mais rentáveis que surgirem.

Figura 05: Fatores que influenciam a preferência pela posse do dinheiro.

Desta forma, existe um custo associado à posse do dinheiro no tempo, estudado

pela Matemática Financeira e discutido ao longo da nossa disciplina.

A Matemática Financeira compreende um conjunto de técnicas e formulações

extraídas da Matemática, com o objetivo de resolver problemas relacionados às

Finanças de modo geral, e que, basicamente, consistem no estudo do valor do dinheiro

ao longo do tempo.

Por sua vez, o valor do dinheiro no tempo relaciona-se à idéia de que, ao longo do

tempo, o valor do dinheiro muda, quer em função de ter-se a oportunidade de aplicá-lo,

obtendo-se, assim, uma remuneração (juros) sobre a quantia envolvida, quer em função

de sua desvalorização por causa da inflação.

Desta forma, sempre devemos respeitar alguns princípios básicos, que são:

Risco

Utilidade

Oportunidade

Inflação pode ser entendida como sendo a perda do poder de compra da moeda.

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Administração Financeira E Orçamentária

Só podemos comparar valores (R$) se estes estiverem referenciados na mesma

data.

Só podemos efetuar operações algébricas com valores referenciados na mesma

data.

Como o tempo, é uma das variáveis principais para a Matemática Financeira,

existem duas formas básicas para considerar a evolução do custo do dinheiro no tempo,

ou seja, dois Regimes de Capitalização: o Regime de Capitalização Simples ou

Regime de Capitalização Linear (RCS) e o Regime de Capitalização Composto ou

Regime de Capitalização Exponencial (RCC).

Figura 06: Os dois regimes de capitalização.

Desta forma, podemos descrever os dois regimes de capitalização como segue.

Regime de Capitalização Simples (RCS) – comporta-se como se fosse uma

progressão aritmética (PA), crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo.

Neste critério, os juros somente incidem sobre o capital inicial da operação

(aplicação ou empréstimo), não se registrando juros sobre o saldo dos juros

acumulados. É também chamado de Regime Linear de Juros.

Regimes de Capitalização

Regime Linear

Regime Exponencial

Entendemos por Regime de Capitalização o esquema segundo o qual será cobrado juro por um capital aplicado.

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Administração Financeira E Orçamentária

Regime de Capitalização Composto (RCC) – incorpora ao capital não somente os

juros referentes a cada período, mas também os juros sobre os juros acumulados até

o momento anterior. É um comportamento equivalente a uma progressão geométrica

(PG), pelo qual os juros incidem sempre sobre o saldo apurado no início do período

correspondente (e não unicamente sobre o capital inicial). Também conhecido como

Regime Exponencial de Juros.

Independentemente da forma de capitalização dos juros, sempre existirão em

problemas de Matemática Financeira alguns elementos básicos, que enumeramos logo

abaixo.

Capital Inicial ou Valor Presente ou Principal: é a quantidade de moeda (ou

dinheiro) que um indivíduo tem disponível e concorda em ceder a outro,

temporariamente, mediante determinada remuneração. Provém do inglês Present

Value. Notação: PV, P ou C.

Taxa de Juros: vem do inglês interest rate (taxa de juros). Geralmente, está

relacionada à sua forma de incidência. Pode ser diária, semanal, quinzenal, mensal,

semestral, anual, entre outras. Essa taxa pode ser expressa em forma percentual (5%

ao mês), ou na forma unitária (0,05 ao mês). Embora seu valor seja comumente

representado em forma de taxa percentual ao período, matematicamente, a taxa de

juros deve ser operada em sua forma unitária. Notação: i = taxa.

Juros: equivalem ao aluguel do dinheiro, ou seja, é o nome que se dá à remuneração

paga para que um indivíduo ceda temporariamente o capital que dispõe.Notação: J

= juros.

Montante ou Valor Futuro: é o resultado da aplicação do capital inicial.

Matematicamente, representa a soma do capital inicial mais os juros capitalizados

durante o período. Em algumas situações, como nas operações de desconto

comercial (ou desconto bancário D = N.i.n), o valor futuro também é denominado

valor nominal. É, portanto, a quantidade de moeda (ou dinheiro) que poderá ser

usufruída no futuro. Provém do inglês Future Value. Notação: FV ou M.

Tempo ou período de capitalização: corresponde à duração (em dias, semanas,

meses, anos, etc.) da operação financeira. É comumente expresso em unidades do

período a que se refere. Notação: n.

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Administração Financeira E Orçamentária

Figura 07: Elementos básicos da Matemática Financeira.

3.4 Uma Ferramenta Indispensável para a Análise Financeira: O

Diagrama de Fluxo de Caixa (DFC)

Para um melhor entendimento das diversas operações que aparecem no âmbito

financeiro, temos uma representação gráfica bastante prática e relevante. Em outras

palavras, para facilitar a representação das operações financeiras ao qual discutimos ao

longo da disciplina e no meio empresarial, usualmente empregamos uma representação

gráfica denominada de Diagrama de Fluxo de Caixa ou, simplesmente, DFC, que

consiste na representação gráfica da movimentação de recursos ao longo do tempo

(entradas e saídas de caixa).

Figura 08: O Diagrama de Fluxo de Caixa.

Present Value (Valor Presente)

Taxa de Juros

JurosFuture Value

(Valor Futuro)Tempo

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Administração Financeira E Orçamentária

De forma bastante simples, nesta representação gráfica destacar alguns aspectos

fundamentais, que são:

A escala horizontal representa o tempo, que pode ser expresso de qualquer uma

das formas, por exemplo, em dias, semanas, meses, anos, etc.

Os valores (ou os pontos) 0 e n indicam as posições relativas entre as datas. Assim,

o ponto 0 representa, normalmente, a data inicial. O ponto n representa o número

de períodos passados. Caso a unidade de tempo utilizada seja meses, então

consideramos n meses e, assim por diante.

As entradas de dinheiro correspondem aos recebimentos. Desta maneira, é

associado o sinal positivo e estas entradas são representadas por setas apontadas

para cima.

As saídas de dinheiro correspondem aos pagamentos. Desta forma, é associado o

sinal negativo e estas saídas são representadas por setas apontadas para baixo.

Figura 09: Os elementos formadores do DFC.

Em termos práticos, basicamente temos duas situações gerais, que

geometricamente, ilustramos abaixo, ou seja, as diferentes abordagens de Diagramas de

Fluxo de Caixa para operações de empréstimo e aplicação. Cabe ressaltar, que quando

desenhamos ou caracterizamos um DFC de uma operação é interessante ficar claro a

visão pelo qual o mesmo está sendo interpretado. Desta forma, abaixo analisamos o

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Administração Financeira E Orçamentária

DFC de empréstimo na visão da pessoa que pega determinada quantia emprestada e de

outra forma, no DFC de aplicação na visão da pessoa que aplica certa quantia.

Figura 10: Diagramas de Fluxo de Caixa.

Vejamos alguns exemplos introdutórios que ilustram algumas situações de

aplicação do DFC.

Consideremos a seguinte situação: O Diagrama de Fluxo de Caixa de um

empréstimo contraído por alguém no valor de R$300,00, que será

quitado mediante pagamento de R$340,00, daqui a seis meses, pode ser

visto na Figura 11 abaixo:

Figura 11: Diagrama de Fluxo de um empréstimo no valor de R$300,00.

Vamos representar o diagrama de fluxo de caixa de uma aplicação no

valor de R$500,00 que será resgatado em três parcelas iguais, mensais,

no valor de R$200,00.

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Administração Financeira E Orçamentária

Neste caso, temos a seguinte disposição geométrica representando o

contexto financeiro acima.

Figura 12: O DFC do exemplo acima.

Por exemplo, verifiquemos a seguinte situação que aparece comumente em

situações cotidianas.

(Situação Comum do dia-a-dia) Por exemplo, determinada empresa

compra um certo componente eletrônico para confecção de um de seus

principais produtos. A compra deste componente custa a vista R$100,00,

ou pode ser paga em duas parcelas mensais (sendo uma entrada no ato)

no valor de R$60,00. Qual é a taxa de juros mensal cobrada pela

distribuidora que repassa tal componente?

Salientamos que aparentemente parece uma resposta muito óbvia, mas

devemos sempre ter cuidado com as respostas imediatas. Sendo assim,

antes da análise detalhada do Diagrama de Fluxo de Caixa desta operação, um leigo,

em um primeiro momento, poderia achar que, já que se pagou R$120,00 (duas parcelas

de R$60,00) para o componente financiado no valor de R$100,00, à taxa seria igual a

20%. Embora de modo intuitivo, notemos que este raciocínio está completamente

Observação! A importância do desenho e da interpretação de Diagramas de

Fluxo de Caixa (DFC) é, em muitas ocasiões, de fundamental importância para

análises financeiras.

Solução

Solução

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Administração Financeira E Orçamentária

errado. Em verdade, ao comprar e pagar o componente no valor de R$100,00, a

empresa já havia pago a entrada de R$60,00. Logo, financiou apenas a diferença no

valor de R$40,00, comprometendo-se a pagar R$60,00 um mês depois. Desta maneira,

a taxa de juros incidente sobre a operação foi igual a:

Agora, vamos olhar para a respresentação do DFC associado a situação

que acabamos de descrever. Ou seja, a representação geométrica da situação

descrita acima (DFC), nos auxilia e muito para o um melhor entendimento da

operação financeira apresentada, ou seja, da caracterização da taxa de juros

encontrada. Inicialmente, devemos perceber que como na data zero existem

dois valores, um positivo igual a R$100,00 e um negativo igual a R$60,00,

ambos poderiam ser representados por um valor líquido igual a R$40,00. A

Figura 13 abaixo nos mostra o raciocínio que acabamos de descrever.

Figura 13: Diagrama de Fluxo de Caixa do caso descrito anteriormente.

Notemos que temos num primeiro momento, o DFC bruto da operação e quando

realizamos o contrabalaneamento dos valores caracterizamos o DFC líquido da

operação.

Vejamos mais alguns exemplos ilustrativos para a fixação de idéias, com relação à

caracterização geométrica de situações financeiras via a construção de Diagramas de

Fluxo de Caixa.

[(60/40 – 1)x100%] = 50%

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Administração Financeira E Orçamentária

Vamos construir o diagrama de fluxo de caixa para os seguintes

pagamentos ou recebimentos:

Ano DFC (em R$)

0 (500,00)

1 250,00

2 250,00

3 150,00

4 100,00

Inicialmente, devemos salientar que toda vez que um valor do fluxo de

caixa aparecer em parênteses ele quer representar um pagamento.

Desta forma o DFC associado é dado por:

Figura 14: O Diagrama de Fluxo de Caixa do exemplo.

Vamos construir o diagrama para os fluxos de caixa dados a seguir:

Importante! Sempre que um fluxo de caixa aparecer com o seu valor colocado

em parênteses, significa que o mesmo é um PAGAMENTO.

Solução

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Administração Financeira E Orçamentária

Ano DFC (em $R)

0 (700,00)

1 500,00

2 400,00

3 300,00

4 200,00

5 (300,00)

Observando mais uma vez que os valores R$700,00 e R$300,00 que

aparecem entre parênteses representam pagamentos, neste caso, temos

o seguinte DFC associado:

Figura 15: O Diagrama de Fluxo de Caixa do exemplo.

(Situação Comum do dia-a-dia) Um cliente do Banco AFA gostaria de

descontar uma nota promissória, no valor de R$3.000,00, cujo

vencimento é para 30 dias. O gerente do banco, além de cobrar-lhe juros

de forma antecipada de R$600,00, obriga-o a manter um Certificado de

Depósito Bancário (CDB) no valor de R$400,00 e com remuneração de

10% durante o prazo da operação. Qual o diagrama de fluxo de caixa

correspondente a esta operação financeira?

De forma análoga aos exemplos anteriores montamos o DFC associado,

respeitando obviamente as informações (dados) mostrados no enunciado.

Neste caso, temos o seguinte DFC associado:

Solução

Solução

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25

Administração Financeira E Orçamentária

Figura 16: O Diagrama de Fluxo de Caixa da aplicação.

Notemos que para a data zero no DFC bruto da operação, colocamos uma

entrada de caixa (R$2.400,00 = R$3.000,00 – R$600,00), além disso, temos uma

saída de caixa no valor de R$400,00 representando o valor do CDB.

(Situação Comum do dia-a-dia) A empresa AFA Chumbo pensa em

abrir uma nova instalação industrial com investimento inicial igual a

R$300,00. Sabe-se que os gastos anuais associados aos cinco anos de

vida do negócio são estimados em R$80,00, e as receitas, em R$200,00.

Representar o diagrama de fluxo de caixa dessa operação.

Neste caso, temos a seguinte distribuição geométrica:

Figura 17: O Diagrama de Fluxo de Caixa da aplicação.

Solução

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26

Administração Financeira E Orçamentária

3.5 Algumas Aplicações Práticas envolvendo os Regimes de

Capitalização

Inicialmente, devemos ressaltar que com relação ao regime de capitalização linear

de juros, ou seja, os juros simples, principalmente diante de suas restrições técnicas,

têm aplicações práticas bastante limitadas, porém é de fundamental importância o

entendimento do mesmo já que teremos que utilizar tais conceitos mesclados com o

regime composto de juros. São raras as operações financeiras e comerciais que formam

temporalmente seus montantes de juros segundo o regime de capitalização linear. O uso

de juros simples restringe-se principalmente às operações praticadas no âmbito do

curto prazo.

Porém, as operações que adotam juros simples, além de apresentarem geralmente

prazos reduzidos, não costumam apurar o seu percentual de custo (ou rentabilidade)

por esse regime. Os juros simples são utilizados para o cálculo dos valores monetários

da operação (encargos a pagar, para empréstimos, e rendimentos financeiros, para

aplicações), e não para a apuração do efetivo resultado percentual.

É importante ressaltarmos, ainda, que muitas taxas praticadas no mercado

financeiro (nacional e internacional) estão referenciadas em juros simples, porém a

formação dos montantes das operações processa-se exponencialmente (juros

compostos). Por exemplo, a Caderneta de Poupança paga tradicionalmente uma taxa

de juros de 6% ao ano para seus depositantes, creditando todo mês o rendimento

proporcional de 0,5%. A taxa referenciada para esta operação é linear, porém os

rendimentos são capitalizados segundo o critério de juros compostos, ocorrendo ao

longo dos meses juros sobre juros.

Para uma avaliação mais rigorosa do custo ou da rentabilidade expressos em

porcentagem, mesmo para aquelas operações que referenciam suas taxas em juros

simples, é sugerida a utilização do critério de juros compostos.

Além disso, outros segmentos além do mercado financeiro também seguem as leis

dos juros compostos, tais como o estudo do crescimento demográfico, do

Importante! Tecnicamente mais correto por envolver a capitalização exponencial

dos juros o regime composto é reconhecidamente adotado por todo o mercado

financeiro e de capitais.

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Administração Financeira E Orçamentária

comportamento dos índices de preços da economia, da evolução do faturamento e de

outros indicadores empresariais de desempenho, dos agregados macroeconômicos, da

apropriação contábil de receitas e despesas financeiras, etc.

Figura 18: Aplicações envolvendo os regimes de capitalização.

3.6 Estabelecimento das Notações

Um pouco mais a frente, estaremos discutindo nas entrelinhas, o desenvolvimento

de cálculos e interpretações de Diagramas de Fluxos de Caixa na calculadora HP-12C

ou no Simulador da mesma, desta maneira é importante já colocarmos às seguintes

convenções e simbologias para definirmos os elementos do Diagrama Padrão do Fluxo

de Caixa. O Quadro 01 abaixo nos apresenta tais notações e as respectivas descrições.

Tecla Descrição

n

Representa o número de períodos de capitalização de juros, expressos

em anos, semestres, trimestres ou dias. (n = 0 indica a data de hoje ou a

data do início do 1o período; n = 1 indica a data do final do 1

o período e

assim por diante).

i

Representa a taxa de juros por período de capitalização, expressa em

porcentagem (forma percentual) e sempre mencionando a unidade de

tempo considerada (ano, semestre, trimestre, mês, dia).

Aplicações práticaslimitadas

Operações praticadas no âmbito do curto prazo

Regime Linear

Amplamenteutilizado no mercadofinanceiro

Utilizado tambémpara mensurar ocomportamento dosíndices de preços daeconomia

Regime Exponencial

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Administração Financeira E Orçamentária

Tecla Descrição

PV

Representa o Valor Presente (Present Value), ou seja, o valor do capital

inicial aplicado. Corresponde ao valor monetário colocado no diagrama

padrão de fluxo de caixa quando n = 0.

FV

Representa o Valor Futuro (Future Value), ou seja, valor do montante

acumulado no final de n períodos de capitalização, com a taxa de juros i.

Corresponde ao valor monetário colocado no diagrama padrão do fluxo

de caixa quando n = 1, 2, 3,....

PMT

Representa o Valor de cada prestação da Série Uniforme (Periodic

PayMen T) que ocorre no final de cada período. Corresponde ao valor

monetário de cada uma das prestações iguais colocadas no diagrama

padrão do fluxo de caixa quando n = 1, 2, 3, ....

3.7 Capitalização Contínua e Descontínua

Pelo que vimos anteriormente, podemos compreender Regime de Capitalização

como o processo em que os juros são formados e incorporados ao principal (ou capital).

De outra forma, podemos identificar duas formas de capitalização, que são:

A Capitalização Contínua

E

A Capitalização Descontínua

Figura 19: Os tipos de capitalização.

Tipos de Capitalização

Capitalização Discreta

Capitalização Contínua

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Administração Financeira E Orçamentária

Referindo-se a Capitalização Contínua, temos que é um regime que se processa

em intervalos de tempo bastante reduzidos, isto é, caracteristicamente em intervalo de

tempo infinitesimal, ou seja, promovendo grande freqüência de capitalização.

Por exemplo, o faturamento de um supermercado, a formação do custo de

fabricação no processamento fabril, a formação da depreciação de um equipamento, etc.

São capitalizações que se formam continuamente, e não somente ao final de um único

período (mês, ano, etc.). A forma de capitalização contínua encontra enormes

dificuldades em aplicações práticas, sendo pouco utilizada.

Na Capitalização Descontínua temos que os juros são formados somente ao final

de cada período de capitalização. A caderneta de poupança que paga juros unicamente

ao final do período a que se refere sua taxa de juros (mês) é um exemplo de

capitalização descontínua. Os rendimentos, neste caso, passam a ocorrer

descontinuamente, somente um único momento do prazo da taxa (final do mês) e não se

distribuem pelo mês.

De conformidade com o comportamento dos juros, a capitalização descontínua

pode ser identificada tanto em juros simples como em juros compostos.

3.8 O Regime Linear de Juros: Conceito, Utilização e Fórmulas

Características

No regime de capitalização a juros simples, o cálculo dos juros em cada período

em cada período é realizado multiplicando-se a taxa de juros sempre pelo capital. Desta

forma, o valor dos juros em todos os períodos é constante e igual a:

A capitalização contínua, na prática, pode ser entendida em todo fluxo

monetário distribuído ao longo do tempo e não somente num único

instante.

Capitalização Descontínua os juros são formados apenas ao final de cada período de capitalização, como por exemplo, o que acontece com a nossa Caderneta de Poupança.

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30

Administração Financeira E Orçamentária

No Brasil, esse regime de capitalização é utilizado basicamente nas operações de

empréstimo de curtíssimo prazo, até mesmo por um dia, que o mercado denomina hot

money; na cobrança de cheques especiais; nos financiamentos indexados em moeda

estrangeira; e no desconto de títulos de curto prazo, tais como duplicatas e notas

promissórias.

Em linhas gerais, os juros são calculados periodicamente: ao final de um dia, de

um mês, de um ano ou de qualquer outro período pré-fixado por ocasião de um

investimento ou empréstimo.

Se os juros possuem taxa fixa e são calculados sempre a partir da quantia

inicial, eles são denominados de juros simples, como vimos anteriormente. Neste

instante, estaremos interessados em caracterizar as fórmulas (expressões) características

deste regime de capitalização, lembrando mais uma vez que estaremos implementando

os cálculos no Simulador da HP 12C.

Consideremos a seguinte situação ilustrativa: Um empréstimo de R$2.000,00

pelo qual deverão ser pagos 5% de juros simples por mês. Para saber de quanto

serão os juros ao final de um mês, basta calcular o valor de:

No segundo mês, estes juros dobram, no terceiro triplicam, e assim por diante.

Para calcular os juros num período n de tempo, poderíamos fazer:

5% de R$2.000,00 = 0,05 x 2.000 = R$100,00

Juros = 2.000 x 0,05 x n

PV x i

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Administração Financeira E Orçamentária

De modo geral, os juros simples J, resultantes da aplicação de um capital

C a uma taxa i, durante um período n de tempo, podem ser calculados pela

seguinte expressão:

Lembremos que i e n devem ter as mesmas unidades. Por exemplo, se temos uma

taxa diária, n deverá ser calculado em dias, etc.

Esta fórmula é básica tanto para o cálculo dos juros como dos outros valores

financeiros mediante simples dedução algébrica, ou visualização da mesma de outra

forma como apresentamos abaixo.

Vejamos alguns exemplos ilustrativos, onde utilizamos diretamente as fórmulas

apresentadas anteriormente.

J = PV x i x n

Resumindo! Neste caso, temos que:

J = PV. i. n Onde:

J = valor dos juros expressos em unidades monetárias;

PV = capital. É o valor (em R$) representativo de determinado momento;

i = taxa de juros, expressa em sua forma unitária;

n = prazo.

PV = nxi

J i =

nxPV

J n =

ixPV

J

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Administração Financeira E Orçamentária

Qual é o juro simples que um capital de R$30.000,00 produz,

quando aplicado durante cinco meses, a uma taxa de 3,5% a.m.

(ao mês)?

Neste caso, temos que:

PV = 30 000

n = 5 meses

e

i = 3,5% ao mês = 0,035 ao mês.

Daí:

J = PV x i x n

J = 30000 x 0,035 x 5

J = 5.250,00

Ou seja, o juro é de R$5.250,00.

Qual é o juro simples que um capital de R$2.500,00 rende quando

aplicado durante um ano, à taxa mensal de 2%?

Temos que PV = 2500, n = 1 ano = 12 meses, i = 2,0% ao mês = 0,02 ao

mês. Daí:

J = PVx i x n

J = 2500 x 0,02 x 12

J = 600,00

Ou seja, o juro é de R$600,00.

Um capital de R$10.000,00, investido a juros simples de 13% ao ano, foi

sacado após três meses e dez dias, a contar da data inicial do

investimento. Qual foi o juro?

Na resolução deste problema é importante tomarmos cuidado com as

Solução

Solução

Solução

Page 33: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

33

Administração Financeira E Orçamentária

unidades de tempo. Assim:

3 meses e 10 dias = 100 dias

Daí, temos que:

J = PV x i x n

J = 10000 x 0,13 x 360

100

Observemos que o período n foi reduzido a anos, uma vez que dividimos o

número de dias por 360, que é o ano comercial.

J = 10000 x 0,13 x 360

100

J = 361,11

Ou seja, o juro é de R$361,11.

Qual é a taxa mensal de juros simples que deverá incidir sobre um capital

de R$5.000,00 para que este, em quatro meses e meio, renda R$720,00?

Temos que PV = 5000, n = 4 meses e meio = 4,5 meses e J = 720. Daí:

J = PV x i x n

720 = 5000 x i x 4,5

i = 5,45000

720

x

i = 0,032 ao mês, i.e., i = 3,2% ao mês

Que capital inicial rende R$2.000,00 em cinqüenta dias, a uma taxa

simples de 0,2% a.d. (ao dia)?

Temos que J = 2000, n = 50 dias e i = 0,2% ao dia = 0,002 ao dia.

Daí:

Solução

Solução

Page 34: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

34

Administração Financeira E Orçamentária

J = PV x i x n

2000 = PV x 0,002 x 50

PV = 002,050

2000

x

PV = 20000

Ou seja, o capital inicial é de R$20.000,00.

Qual a taxa mensal de juros simples que deve incidir num capital para

que ele duplique de valor em um ano?

Neste caso, temos que o juro é igual ao próprio capital inicial. Desta

forma, temos que:

J = PV x i x n

PV = PV x i x 12

i = 12xPV

PV

i = 12

1 = 0,083333....

Ou seja, a taxa será igual a 8,33% ao mês.

3.8.1 Taxa e Período

Como vimos nos problemas de juros simples, devemos tomar o cuidado no

manejo das taxas e dos períodos de tempo, a fim de não tratá-los com unidades

diferentes.

É comum nas operações de curto prazo, onde predominam as aplicações com

taxas referenciadas em juros simples, ter-se o prazo definido em número de dias. Dessa

forma, o número de dias pode ser calculado de duas maneiras:

Importante! Se calculada anualmente, essa mesma taxa se tornaria,

evidentemente, 100% (afinal, o capital dobrou!). Portanto:

8,33% a o mês = 100% ao ano

Solução

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Administração Financeira E Orçamentária

a) Pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias. Tem-

se, por este critério, a apuração do denominado juro comercial ou ordinário;

Figura 20: O juro comercial.

b) Pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendário do ano civil (365 dias). O

juro apurado desta maneira denomina-se juro exato. Neste caso, será necessário

recorrermos a uma tabela.

Figura 21: O juro exato.

Ano Comercial

1 ano = 360 dias

1 mês = 30 dias

Juro Comercial ou Ordinário

Tempo Exato

Calendário do ano civil

Juro Exato

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Administração Financeira E Orçamentária

Por exemplo, 12% ao ano equivale pelos critérios enunciados, à taxa diária de:

a) Juro Exato: dias365

%12= 0,032877% ao dia

b) Juro Comercial: dias360

%12= 0,033333% ao dia

3.8.2 Future Value (ou Valor Futuro ou Montante)

Um determinado capital, quando aplicado a uma taxa periódica de juro por

determinado tempo, produz um valor acumulado o qual denominamos de Montante

ou Valor Futuro e, identificado em juros simples por FV ou M. Em outras palavras, o

montante é constituído do capital mais o valor acumulado dos juros, isto é:

Por outro lado, sabemos que:

Substituindo (II) em (I), obtemos que:

Importante! Na ilustração, o juro comercial diário é ligeiramente superior ao

exato pelo menor número de dias considerado no intervalo de tempo.

M = C + J (I)

J = C.i.n (II)

M = C.(1 + i.n) ou FV = PV.(1 + i.n)

Page 37: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

37

Administração Financeira E Orçamentária

Evidentemente, o valor de PV desta fórmula pode ser obtido através de simples

transformação algébrica:

Salientamos que a expressão (1 + i.n) é definida como Fator de Capitalização

(ou de Valor Futuro – FCS) dos juros simples. Ao multiplicar um capital por este

fator, corrige-se o seu valor para uma data futura, determinando o montante.

O inverso, ou seja, ).1(

1

ni é denominado de Fator de Atualização (ou de

Valor Presente – FAS).

Figura 22: Fator de Capitalização e Fator de Atualização.

Vejamos alguns exemplos ilustrativos referentes ao que acabamos de apresentar

sobre o Valor Futuro.

Uma pessoa aplica R$18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês durante 8 meses.

Determinar o valor acumulado ao final deste período.

(1 + i.n)

FCS

Fator de Capitalização

FAS

Fator de Atualização

PV = )1( nxi

FV

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Administração Financeira E Orçamentária

Temos que PV = 18000, n = 8 meses e i = 1,5% ao mês = 0,015 ao mês.

Daí:

FV = PV x (1 + i x n)

FV = 18000 x (1 + 0,015 x 8)

FV = 20.160,00

Uma dívida de R$900.000,00 irá vencer em 4 meses. O credor está

oferecendo um desconto de 7% ao mês caso o devedor deseje antecipar o

pagamento para hoje. Calcular o valor que o devedor pagaria caso

antecipasse a liquidação da dívida.

Temos que FV = 900000, n = 4 meses e i = 7,0% ao mês = 0,07 ao mês.

Daí:

FV = PV x (1 + i x n)

900000 = PV x (1 + 0,07 x 4)

PV = 703.125,00

Qual será o montante resultante de uma aplicação de R$29.800,00, à taxa

de 1,2% a.m., durante seis meses?

Temos que PV = 29800, n = 6 meses e i = 1,2% ao mês = 0,012 ao mês.

Daí:

FV = 29800 x (1 + 0,012 x 6)

FV = 31.945,60

Coloquei certa quantia em um banco a 12% ao ano e retirei, depois de 4

anos, R$928,00. Quanto recebi de juros, sabendo que a aplicação foi feita

à base de juros simples?

Solução

Solução

Solução

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Administração Financeira E Orçamentária

Temos neste problema que FV = 928, i = 0,12 e n = 4. É de nosso

interesse calcular J. Daí:

J = C x i x n

928 = C x 0,12 x 4

J = 0,48.C

Mas, como FV = PV + J, segue que:

928 = C + 0,48.C

928 = 1,48.C

C 623,03

Logo, o capital investido foi de R$627,03. Para encontrarmos os juros, basta

subtrair o montante do capital, ou seja, J = 928 – 627,03 = 300,97.

Emprestei uma certa quantia a 12% ao ano e recebi R$3.230,00 depois de

2 anos e quatro meses. Quanto emprestei?

Sabendo que 2 anos e 4 meses é o mesmo que 28 meses, é preciso

converter o tempo em anos. Desta forma, temos como informação n =

12

28, FV = 3230 e i = 0,12. Daí:

FV = PV x (1 + i x n)

Ou seja,

PV = nxi

FV

1

PV =

12

2812,01

3230

x

PV 2.523,44

A que taxa anual um certo capital deve ser aplicado para que, num prazo

de 2 anos, triplique de valor?

Solução

Solução

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40

Administração Financeira E Orçamentária

Neste caso, para um capital PV, temos que FV = 3.PV e n = 2 anos,

daí:

FV = PV x (1 + i x n)

Ou seja,

3.PV = PV x (1 + i x 2)

i = 1 ao ano, ou seja, 100%

Portanto, a taxa anual é de 100% para que o capital triplique de valor em dois

anos.

3.8.3 Estudo de Taxas: Taxa Proporcional e Taxa Equivalente

Para compreendermos de forma mais clara o significado destas taxas deve-se

reconhecer que toda operação envolve dois prazos:

(1) O prazo a que se refere à taxa de juros;

E

(2) O prazo de capitalização (ocorrência) dos juros.

Por exemplo, vamos admitir um empréstimo bancário a uma taxa (custo) nominal

de 24% ao ano. O prazo a que se refere especificamente a taxa de juros é anual. A

seguir, deve-se identificar a periodicidade de ocorrência dos juros. Ao se estabelecer

que os encargos incidirão sobre o principal somente ao final de cada ano, os dois prazos

considerados são coincidentes.

O crédito direto ao consumidor promovido pelas Financeiras é outro exemplo de

operação com prazos iguais. Caracteristicamente, a taxa cobrada é definida ao mês e os

juros capitalizados também mensalmente.

Porém em diversas outras operações estes prazos não são coincidentes. O juro

pode ser capitalizado em prazo inferior ao da taxa, devendo-se nesta situação ser

definido como o prazo da taxa será rateado ao período de capitalização.

Por exemplo, sabe-se que a Caderneta de Poupança paga aos seus depositantes

uma taxa de juros de 6% ao ano, a qual é empregada (capitalizada) ao principal todo

mês através de um percentual proporcional de 0,5%. Tem-se aqui, então, dois prazos –

prazo da taxa: ano e prazo de capitalização: mês.

Solução

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41

Administração Financeira E Orçamentária

Como vimos anteriormente, devemos expressar estes prazos diferentes na mesma

base de tempo. Ou transforma-se o prazo específico da taxa para o prazo de

capitalização ou, de maneira inversa, o período de capitalização passa a ser expresso na

unidade de tempo da taxa de juros.

No regime de juros simples, diante de sua própria natureza linear, esta

transformação é processada pela denominada taxa proporcional de juros também

denominada de taxa linear ou taxa nominal. Esta taxa proporcional é obtida da

divisão entre a taxa de juros considerada na operação e o número de vezes em que

ocorrerão os juros (quantidade de períodos de capitalização).

Por exemplo, para uma taxa de juros de 18% ao ano, se a capitalização for

definida mensalmente (ocorrerão 12 vezes juros no período de um ano), o percentual de

juros indicará sobre o capital a cada mês será:

Taxa proporcional = 12

%18 = 1,5% ao mês

A aplicação de taxas proporcionais é muito difundida, principalmente em

operações de curto e curtíssimo prazo, tais como: cálculo de juros de mora, descontos

bancários, créditos de curtíssimo prazo, apuração de encargos sobre saldo devedor de

conta corrente bancária, etc.

Vamos calcular o juro produzido pelo capital de R$2.000,00:

À taxa de 4% ao mês, durante 6 meses;

À taxa de 12% ao trimestre, durante 2 trimestres.

No primeiro caso, temos:

..04,0..%4

6

000.2

mamai

mesesn

PV

Logo:

J = 2.000 x 6 x 0,04 = R$480,00.

Importante! As taxas de juros se dizem equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo juro.

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42

Administração Financeira E Orçamentária

No segundo caso, temos:

..12,0..%12

2

000.2

tatai

trimestresn

PV

Daí:

J = 2.000 x 2 x 0,12 = R$480,00

Como os juros produzidos são iguais, podemos dizer que 4% ao mês e 12% ao

trimestre são taxas equivalentes.

3.8.4 Equivalência Financeira a Juros Simples

O problema da equivalência financeira constitui-se no raciocínio básico da

Matemática Financeira.

Definição(Capitais Equivalentes): Dois ou mais capitais representativos de uma

certa data dizem-se equivalentes quando, a uma certa taxa de juros, produzem

resultados iguais numa data comum (denominada data focal).

Por exemplo, R$120,00 vencíveis daqui a um ano e R$100,00, hoje, são

equivalentes a uma taxa de juros simples de 20%, uma vez que os R$100,00,

capitalizados, produziriam R$120,00 dentro de um ano, ou os R$120,00, do final do

primeiro ano, resultariam em R$100,00 se atualizados para hoje. Ou seja, ambos os

capitais produzem, numa data de comparação (data focal) e a taxa de 20% ao ano,

resultados idênticos.

Vamos interpretar graficamente o raciocínio descrito anteriormente:

Importante! No regime de juros simples, taxas proporcionais (nominais ou

lineares) e taxas equivalentes são consideradas a mesma coisa, sendo indiferente à

classificação de duas taxas de juros como proporcionais ou equivalentes, ou seja:

Juros Simples: Taxas equivalentes Taxas proporcionais

Page 43: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

43

Administração Financeira E Orçamentária

FV = 100,00 x (1 + 0,20 x 1)

R$ 100,00 Cn

R$120,00

PV = )12,01(

00,120

x

Figura 23: Interpretação geométrica do raciocínio acima.

Vamos determinar se R$438.080,00 vencíveis daqui a 8 meses é

equivalente a se receber hoje R$296.000,00, admitindo uma taxa de juros

simples de 6% ao mês.

Neste caso, temos a seguinte disposição geométrica:

FV = 296000 x (1 + 0,06 x 8)

R$ 296.000,00 R$438.080,00

0 8

PV = )806,01(

438080

x

Figura 24: Interpretação geométrica do exemplo acima.

Observemos que:

FV = 296000 x (1 + 0,06 x 8) = R$438.080,00

e

PV = )806,01(

438080

x= R$296.000,00

Desta maneira, concluímos que R$296.000,00 hoje é equivalente a R$438.000,00

daqui a 8 meses considerando uma taxa de juros linear igual a 6% ao mês.

0 8

Solução

Page 44: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

44

Administração Financeira E Orçamentária

Nosso objetivo agora é generalizar este raciocínio. A equivalência de capitais

pode então ser generalizada a partir da seguinte representação gráfica:

A1 A 2 B 1 B 2 B3

_____________________________________________ _ _ _ _ _

0 1 2 3 4 5 n

Os capitais A 1 , A 2 e B 1 , B 2 , B 3 dizem-se equivalentes se, quando expressos em

valores de uma data comum (data de comparação ou data focal), e a mesma taxa de

juros, apresentam resultados iguais.

Por exemplo, se escolhermos como data de comparação no momento n = 0, tem-

se que:

Por outro lado, se escolhermos como data de comparação o momento n = 6, tem-

se que:

E, assim sucessivamente.

Generalizando o Caso Anterior

)51()41()31()21()11(

32121

xi

B

xi

B

xi

B

xi

A

xi

A

A 1 .(1 + i x 5) + A 2 .(1 + i x 4) = B 1 .(1 + i x 3) + B 2 .(1 + i x 2) + B 3 .(1 + i x 1)

Page 45: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

45

Administração Financeira E Orçamentária

Geometricamente, podemos observar tal situação na Figura Graficamente, temos:

Figura 25: Disposição gráfica da observação anterior.

O fracionamento em juros simples leva a resultados discrepantes, dado que:

Como resultado das distorções produzidas pelo fracionamento do prazo, a

equivalência de capitais em juros simples é dependente da data de comparação

escolhida (data focal).

Observação! Na questão da equivalência financeira em juros simples, é

importante ressaltar que os prazos não podem ser desmembrados

(fracionados) sob pena de alterar os resultados. Em outras palavras, dois

capitais equivalentes, ao fracionar os seus prazos, deixam de produzir o

mesmo resultado na data focal pelo critério de juros simples. Por exemplo,

admitamos que o montante final de dois anos de R$100,00 aplicados hoje, à

taxa de juros simples de 20% ao ano, é igual a R$140,00. No entanto, este

processo de capitalização linear não pode ser fracionado de forma alguma.

Por exemplo, apurar inicialmente o montante ao final do primeiro ano e, a

partir daí, chegar ao montante do segundo ano envolve a capitalização dos

juros (juros sobre juros), prática esta não adotada no regime de juros

simples.

PV.(1 + 0,2 x 2) PV.(1 + 0,2 x 1).(1 + 0,2 x 1)

Page 46: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

46

Administração Financeira E Orçamentária

Figura 26: A dependência da equivalência de capitais com a data focal: regime simples.

A título de ilustração, consideremos a seguinte situação: Vamos admitir

que A deva a B os seguintes pagamentos:

R$50.000,00 de hoje a 4 meses;

R$80.000,00 de hoje a 8 meses.

Suponhamos que A esteja avaliando um novo esquema de pagamento, em

substituição ao original. A proposta de A é a de pagar R$10.000,00 hoje, R$30.000,00

de hoje a 6 meses, e o restante ao final do ano. Sabe-se que B exige uma taxa de juros

simples de 2,0% ao mês. Esta taxa é a que consegue obter normalmente em suas

aplicações de capital. Sendo assim, vamos apurar o saldo a ser pago.

Para facilitar no nosso entendimento, apresentamos na Figura 24 abaixo a

disposição geométrica do problema apresentado, onde convencionamos

representar a dívida original na parte superior, e a proposta alternativa de pagamento na

parte inferior.

Figura 27: Representação gráfica do exemplo anterior.

Esquema

Original

Esquema

Proposto

Solução

Page 47: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

47

Administração Financeira E Orçamentária

A ilustração que apresentamos é de substituição de uma proposta de pagamentos

por outra equivalente. Para serem equivalentes, os pagamentos devem produzir os

mesmos resultados, a uma determinada taxa de juros, em qualquer data comum.

Inicialmente, vamos admitir que a data focal selecionada é o momento hoje. Assim, ao

igualar os pagamentos das propostas em valores representativos da data focal escolhida,

tem-se:

DATA FOCAL = 0

)1202,01()602,01(

00,000.3000,000.10

)802,01(

00,000.80

)402,01(

00,000.50

x

X

xxx

46.296,30 + 68.965,50 = 10.000,00 + 26.785,70 + 24,1

X

Ou seja,

X = R$97.310,40

Suponhamos que B resolva definir o mês 12 a data focal para determinar o valor

do saldo a ser pago. Expressando-se os pagamentos na data focal escolhida, tem-se:

DATA FOCAL = 12

50.000,00 x (1 + 0,02 x 8) + 80.000,00 x (1 + 0,02 x 4) = 10.000,00 x (1 + 0,02 x 12) +

30.000,00 x (1 + 0,02 x 6) + X

Ou seja,

144.400,00 = 46.000,00 + X

Portanto,

X = R$98.400,00

Como resultado, verifica-se que o saldo a pagar altera-se quando a data focal é

modificada. Esta característica é típica de juros simples (em juro composto este

comportamento não existe), sendo explicada pelo fato de não ser aceito o fracionamento

dos prazos.

Page 48: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

48

Administração Financeira E Orçamentária

Vejamos alguns exemplos que ilustram a aplicabilidade dos conceitos discutidos

anteriormente no regime de capitalização simples.

Suponhamos que uma pessoa aplicou em uma instituição financeira

R$18.000,00 resgatando R$21.456,00 quatro meses depois. Calcular a

taxa mensal de juros simples auferida nesta aplicação.

Temos que PV = 18.000,00, FV = 21.456,00 e n = 4 meses. Daí:

21.456,00 = 18.000,00 x ( 1 + 4 x i)

1,192 = 1 + 4i

4i = 0,192

i = 0,048 que representa 4,8% ao mês

Se uma determinada pessoa necessitar de R$100.000,00 daqui a 10

meses, quanto deverá ela depositar hoje num fundo de poupança que

remunera à taxa linear de 12% ao ano?

Temos que FV = 100.000,00, n = 10 meses e i = 12% ao ano ou i =

12

%12 = 1% ao mês = 0,01 a.m. Daí:

FV = PV x ( 1 + i x n)

100.000,00 = PV x ( 1 + 0,01 x 10)

PV = 90.909,09

Vamos determinar a taxa bimestral de juros simples que faz com que um

capital triplique de valor após 2 anos.

Importante! Na prática, a definição da data focal em problemas de

substituição de pagamentos no regime de juros simples deve ser decidida

naturalmente pelas partes, não se verificando um posicionamento técnico

definitivo da Matemática Financeira.

Solução

Solução

Page 49: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

49

Administração Financeira E Orçamentária

Temos que PV = 1, FV = 3 e n = 24 meses = 12 bimestres. Daí:

3 = 1 x ( 1 + i x 12)

3 = 1 + 12.i

12i = 2

i = 0,166666... ou 16,666666...% a.b. (ao bimestre)

Um título com valor nominal de R$7.200,00 vence em 120 dias. Para uma taxa

de juros simples de 31,2% ao ano, pede-se calcular o valor desse título:

a) Hoje;

b) Dois meses antes de seu vencimento;

c) Um mês após o seu vencimento.

Neste caso, temos que:

a) Valor do Título Hoje = C 0 =

412

312,01

00,200.7

x

= 104,1

00,200.7 = R$6.521,74 (Neste

caso devemos atualizar)

b) Valor do Título Dois Meses antes do Vencimento = C 2 =

212

312,01

00,200.7

x

=

052,1

00,200.7 = R$6.844,11 (Neste caso devemos atualizar)

c) Valor do Título Um mês após o Vencimento = C 5 = 7.200,00 x ( 1+ 12

312,0 x 1) =

R$7.387,20 (Neste caso devemos capitalizar)

Uma pessoa deve dois títulos no valor de R$25.000,00 e R$56.000,00 cada. O

primeiro título vence de hoje a 2 meses, e o segundo um mês após. O devedor

deseja propor a substituição destas suas obrigações por um único pagamento

ao final do 5 0 mês. Considerando 3% ao mês a taxa corrente de juros simples,

determinar o valor deste pagamento único.

Vamos denotar por M a quantidade a ser encontrada, ou seja, o valor

deste pagamento único o qual temos que determinar. Desta maneira,

Solução

Solução

Solução

Page 50: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

50

Administração Financeira E Orçamentária

temos a seguinte disposição geométrica:

Data Focal: mês 5 (ou quinto mês), ou seja, devemos capitalizar os dois capitais

para o Momento 5.

Desta maneira, temos que:

M = 25.000,00 x ( 1 + 0,03 x 3) + 56.000,00 x ( 1 + 0,03 x 2)

M = 27.250,00 + 59.360,00

M = 86.610,00

Uma pessoa tem os seguintes compromissos financeiros:

R$35.000,00 vencíveis no fim de 3meses;

R$65.000,00 vencíveis no fim de 5 meses.

Para o resgate dessas dívidas, o devedor pretende utilizar suas reservas financeiras

aplicando-as em uma conta de poupança que rende 66% ao ano de juros simples. Pede-

se determinar o valor do capital que deve ser aplicado nesta poupança de forma que

possam ser sacados os valores devidos em suas respectivas datas de vencimentos sem

deixar saldo final na conta.

Temos a seguinte disposição geométrica:

0 2 3 5

25.000,00 56.000,00

M

Solução

Page 51: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

51

Administração Financeira E Orçamentária

Data Focal: data zero (hoje) - (Neste caso devemos atualizar os dois capitais)

Além disso, i = 66% ao ano = 5,5% ao mês ou 0,055 ao mês. Logo:

C0 =

)5055,01(

00,000.65

)3055,01(

00,000.35

xx (Neste caso devemos atualizar os dois capitais)

C0 = 30.042,92 + 50.980,39

C0 = 81.023,31

A pessoa, depositando hoje R$81.023,31 numa poupança que paga 5,5% ao mês

de juros simples, terá condições, com este capital aplicado, de resgatar suas dívidas nas

respectivas datas de vencimento. Logo, ao capitalizar o capital aplicado para os

momentos 3 e 5, o resultado registrado deve ser igual ao valor dos pagamentos, isto é:

Momento 3 = 81.023,31x (1 + 0,055 x 3) = R$ 94.392,16

(–) Resgate (35.000,00)

Momento 5 = 59.392,16 x (1 + 0,055 x 2) = R$ 65.925,30

(–) Resgate (65.000,00)

Observemos que o saldo remanescente de R$925,30 é devido à capitalização dos

juros (regime linear), já que vimos anteriormente que neste regime o prazo da operação

não pode ser fracionado, originando-se daí a diferença que encontramos.

Saldo: R$925,30

Saldo: R$53.392,16

C0

3

35.000,00

5

65.000,00

Page 52: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

52

Administração Financeira E Orçamentária

Uma dívida no valor de R$48.000,00 vence daqui a 6 meses. O devedor

pretende resgatar a dívida pagando R$4.800,00 hoje, R$14.000,00 de hoje dois

meses, e o restante um mês após a data do vencimento. Sendo o momento

deste último pagamento definido como a data focal da operação, e sabendo-se

ainda que é de 34,8% ao ano a taxa linear de juros adotada nesta operação,

determinar o montante do pagamento.

Temos a seguinte disposição geométrica:

Data Focal: Momento 7 – Devemos capitalizar todos os capitais (4.800,00,

14.000,00 e 48.000,00) para a data 7 (mês 7).

Logo:

48.000,00 x 112

348,01 x = 4.800,00 x 7

12

348,01 x + 14.000,00 x 5

12

348,01 x + M

43.392,00 = 5.774,40 + 16.030,00 + M

M = R$27.587,60

3.9 Juros Compostos

Aqui estaremos discutindo o segundo regime de capitalização, que é o regime

composto de juros, popularmente conhecido por “juros sobre juros”, ou ainda como

regime de capitalização exponencial. Cabe ressaltarmos também, que este regime é o

mais utilizado em aplicações financeiras diversas, desde finanças pessoais até finanças

empresariais.

0 2 6 7

4.800,00 14.000,00

48.000,00

M

Dívida Original

Solução

Page 53: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

53

Administração Financeira E Orçamentária

3.9.1 Aspectos Introdutórios dos Juros Compostos

Já vimos que os juros simples são aqueles calculados à taxa fixa, sempre a partir

da mesma quantia inicial (capital inicial).

Agora, nosso objetivo é apresentar os principais aspectos relacionados às

operações no regime de capitalização composto. O regime de juros compostos

considera que os juros formados em cada período são acrescidos ao capital formando o

montante (capital + juros) do período. Este montante, por sua vez, passará a render juros

no período seguinte formando um novo montante (constituído do capital inicial, dos

juros acumulados e dos juros sobre juros formados em períodos anteriores), e assim por

diante.

Este processo de formação dos juros é diferente daquele descrito para os juros

simples, onde unicamente o capital rende juros, não ocorrendo remuneração sobre os

juros formados em períodos anteriores.

Tecnicamente, o regime de juros compostos é superior ao de juros simples,

principalmente pela possibilidade de fracionamento dos prazos. No critério

composto, a equivalência entre capitais pode ser apurada em qualquer data, retratando

melhor a realidade das operações que o regime linear.

Figura 28: Interpretação dos dois regimes de capitalização.

Os juros são calculados apenas em cima da quantiainicial.

• Juros Simples

Os juros são determinados sobre o montante do períodologo anterior, temos neste caso juros sobre juros.

• Juros Compostos

No critério de juros compostos consideramos que os juros formados num período sejam determinados sobre o montante do período anterior. Falamos que os juros são capitalizados variando exponencialmente em função do tempo.

Page 54: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

54

Administração Financeira E Orçamentária

3.9.2 As Fórmulas Características no Regime Exponencial

No regime de capitalização composto (RCC), ou regime de juros compostos, a

incidência de juros ocorre sempre de forma acumulativa, ou seja, os juros são

capitalizados, produzindo juros sobre juros periodicamente (a taxa de juros incidirá

sobre o montante acumulado no final do período imediatamente anterior).

Por exemplo, consideremos a seguinte situação: Em uma operação de empréstimo

de R$100,00 por três meses, a uma taxa de 60% ao mês, os juros de cada período

incidirão sempre sobre o montante do final do período anterior. Desta maneira, a

composição dos valores futuros, mediante o emprego de juros simples e compostos,

pode ser vista no Quadro 02 abaixo:

Quadro 02: Capitalizações: simples e composta.

n FV (Regime Linear) FV (Juros Compostos)

0 100,00 100,00

0,1 106,00 104,81

0,5 130,00 126,49

0,8 148,00 145,65

1 160,00 160,00

2 220,00 256,00

3 280,00 409,60

Notemos que:

O Valor Futuro calculado no regime de capitalização composta supera aquele

obtido no regime de capitalização simples para períodos superiores à unidade. Para

períodos menores que 1, o Valor Futuro, calculado mediante o emprego de juros

simples é maior.

No regime de capitalização a juros compostos, o cômputo dos juros é realizado,

no primeiro período, multiplicando-se a taxa de juros pelo capital. A partir do

segundo período, calculam-se os juros em cada período multiplicando a taxa de

juros pelo montante acumulado no fim de cada período imediatamente anterior

(juros sobre juros). Os juros são incorporados, a cada período, a partir do

montante acumulado no fim de cada período imediatamente anterior. Por

conseguinte, o valor dos juros cresce exponencialmente com o passar dos

períodos.

Page 55: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

55

Administração Financeira E Orçamentária

Vejamos a interpretação geométrica comparativa entre os dois regimes de

capitalização com relação a formação do Valor Futuro, como mostrado na Figura 29

abaixo.

Figura 29: Evolução do valor futuro.

Observemos que a forma de capitalização da taxa de juros no regime de

capitalização composta impede quaisquer operações de multiplicação ou divisão de

taxas de juros. Para tornar compatíveis taxas e prazos, converta sempre os prazos

para a mesma base das taxas fornecidas. Evite, mais uma vez, converter taxas.

Para melhor entendermos este contexto e definir as fórmulas de cálculo a serem

utilizadas, admita ilustrativamente uma aplicação de R$1.000,00 a taxa composta de

10% ao mês. Denotando por PV o Valor Presente (capital) e FV o Valor Futuro

(Montante), têm-se os seguintes resultados ao final de cada mês:

Final do 1 0 mês: O capital de R$1.000,00 produz juros de R$100,00 (10% x

R$1.000,00) e um montante de R$1.100,00 (R$1.000,00 + R$100,00), ou seja:

FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) = R$1.100,00

CUIDADO!

No Regime de Juros Compostos

Nunca multiplique ou divida a taxa de juros!!!

Page 56: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

56

Administração Financeira E Orçamentária

Final do 2 0 mês: O montante do mês anterior (R$1.100,00) é o capital deste 2 0

mês, servindo de base para o cálculo dos juros deste período. Desta forma:

FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10)

FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) 2 = R$1.210,00

O montante do 2º mês pode ser assim decomposto:

R$1.000,00 capital aplicado

R$100,00 juros referentes ao 1 0 mês (10% x R$1.000,00)

R$100,00 juros referentes ao 2 0 mês (10% x R$1.000,00)

R$10,00 juros sobre os juros produzidos no 1 0 mês (10% x R$100,00)

Final do 3 0 mês: Dando seqüência ao raciocínio de juros compostos:

FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x (1 + 0,10)

FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) 3 = R$1.331,00

Final do enésimo mês: Aplicando-se a evolução dos juros compostos exposta

para cada um dos meses, o montante (valor futuro) acumulado ao final do

período atinge:

FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x ...x (1 + 0,10)

FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) n

Generalizando, temos que:

Onde (1 + i) n é o Fator de Capitalização (ou de Valor Futuro), - FCC (i, n) a

juros compostos, e ni)1(

1 o Fator de Atualização (ou de Valor Presente) – FAC (i,

n) a juros compostos.

A movimentação de um capital ao longo de uma escala de tempo em juros

compostos se processa mediante a aplicação destes fatores, conforme podemos

visualizar na Figura 03 abaixo:

FV = PV x (1 + i) n e PV = ni

FV

)1(

Page 57: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

57

Administração Financeira E Orçamentária

Figura 30: Movimentação de um capital na escala de tempo a juros compostos.

Se olharmos de outra forma, sabemos que o valor monetário dos juros (J) é

apurado pela diferença entre o Valor Futuro (FV) e o Valor Presente (PV), podendo-

se obter o seu resultado também pela seguinte expressão:

Como

Colocando-se PV em evidência, obtemos:

Resumindo, da equação geral para capitalização composta, é possível deduzirmos

outras equações (equações derivadas) que nos permite a obtenção direta do valor

presente, da taxa ou do prazo da operação com as notações descritas abaixo.

J = FV – PV

FV = PV x (1 + i) n

J = PV x [(1 + i) n – 1]

Page 58: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

58

Administração Financeira E Orçamentária

Figura 31: Principais Fórmulas no Regime de Capitalização Composta.

Vejamos alguns exemplos ilustrativos, onde aplicamos as fórmulas apresentadas

anteriormente.

Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$12.000,00 em um título

pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a.m.?

Do enunciado do problema temos que: PV = 12.000,00, i = 3,5% ao

mês = 0,035 a.m. e n = 8 meses.

Daí:

FV = PV x (1 + i) n

FV = 12.000,00 x (1 + 0,035) 8

FV = 15.801,71

Ou seja, o valor de resgate desta aplicação é igual a R$15.801,71.

NOTA IMPORTANTE!

Estaremos colocando mais alguns exemplos envolvendo cálculos algébricos, mas

ressaltamos mais uma vez que será de nosso interesse a implementação de

exemplos no simulador da HP 12C.

Solução

Page 59: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

59

Administração Financeira E Orçamentária

Vamos encontrar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de

R$40.000,00 que produz um montante de R$43.894,63 ao final de um

quadrimestre.

Do problema temos que: PV = 40.000,00, n = 4 meses e FV =

43.894,63.

Daí:

FV = PV x (1 + i) n

3.894,63 = 40.000,00 x (1 + i) 4

00,000.40

63,894.43 = (1 + i) 4

1,097366 = (1 + i) 4

4 097366,1 = 4 4)1( i

1,0235 = 1 + i

i = 0,0235 ou 2,35% ao mês

Ou seja, a taxa de juros mensal composta é igual a i = 2,35% ao mês.

Uma aplicação de R$22.000,00, efetuada em certa data produz, à taxa

composta de juros de 2,4% ao mês, um montante de R$26.596,40 em

certa data futura. Calcular o prazo da operação.

Do problema temos que: PV = 22.000,00, i = 2,4% ao mês = 0,024

a.m. e FV = 26.596,40.

Daí:

FV = PV x (1 + i) n

26.596,40 = 22.000,00 x (1 + 0,024) n

00,000.22

40,596.26 = (1,024) n

1,208927 = (1,024) n

log (1,208927) = log (1,024) n

0,082400 = n x log(1,024)

n = )024,1log(

082400,0

n = 8 meses

Solução

Solução

Page 60: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

60

Administração Financeira E Orçamentária

Portanto, o prazo de tal operação é igual a 8 meses.

Determinar o juro pago de um empréstimo de R$88.000,00 pelo prazo de

5 meses á taxa composta de 4,5% ao mês.

Do problema temos que: PV = 88.000,00, n = 5 meses e i = 4,5% a.

m. = 0,045 a.m.

Daí:

J = PV x [ (1 + i) n – 1]

J = 88.000,00 x [ (1 + 0,045) 5 – 1]

J = 21.664,02

Ou seja, o juro pago por este empréstimo é igual a R$21.664,02.

Colocada em um banco, uma quantia rendeu R$40.000,00 a juros

compostos de 2% ao mês, durante 5 meses. Calcular essa quantia.

Do enunciado do problema temos que: FV = 40000, i = 2% ao mês =

0,02 a.m. e n = 5 meses e queremos determinar o valor de PV.

Daí:

FV = PV x (1 + i) n

40000 = PV x (1 + 0,02) 5

40000 = PV.(1,104080803)

PV = 104080803,1

40000

PV = 36229,2324

Importante! Toda vez que nos interessar o cálculo do expoente n (ou seja, do horizonte da operação em questão), devemos utilizar o logaritmo decimal (na base 10) para encontrarmos tal valor, como mostrado no exemplo anterior.

Solução

Solução

Page 61: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

61

Administração Financeira E Orçamentária

Ou seja, o valor presente (ou a quantia inicial) desta aplicação é igual a

R$36.229,2324.

Durante quanto tempo é preciso aplicar R$5.000,00, à taxa de 7% ao mês,

para produzir o montante de R$12.000,00?

Do problema temos que: PV = 5.000,00, i = 7% ao mês = 0,07 a.m. e

FV = 12.000,00.

Daí:

FV = PV x (1 + i) n

12000 = 5000 x (1 + 0,07) n

12 = 5 x (1 + 0,07) n

log 12 = log[5 x (1 + 0,07) n ] = log5 + log(1,07) n

1,079181 = 0,69897 + n.log(1,07) n

n = 029384,0

380211,0

n 12,9 meses

Portanto, o prazo de tal operação é aproximadamente igual a 12,9 meses.

Um capital de R$7.500,00 aplicado durante 5 meses produziu um

montante de R$9.500,00. Qual foi a taxa mensal aplicada?

Do problema temos que: PV = 7.500,00, n = 5 meses e FV = 9.500,00.

Daí:

FV = PV x (1 + i) n

9500 = 7500 x (1 + i) 5

7500

9500 = (1 + i) 5

1,266666667 = (1 + i) 5

5 266666667,1 = 5 5)1( i

Solução

Solução

Page 62: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

62

Administração Financeira E Orçamentária

1,048413171 = 1 + i

i = 0,048413171 ou 4,8413171% ao mês

Ou seja, a taxa de juros mensal composta é igual a i = 4,8413171% ao mês.

Na porta do Banco AFA, encontra-se um cartaz onde se lê “Aplique hoje

R$1.788,80 e receba R$3.000,00 daqui a 6 meses”. Qual é a taxa mensal

de juros que o banco está aplicando sobre o dinheiro investido?

Do problema temos que: PV = 1.788,80, n = 6 meses e FV = 3.000,00.

Daí:

FV = PV x (1 + i) n

3000 = 1788,80 x (1 + i) 6

80,1788

3000 = (1 + i) 6

1,677101968 = (1 + i) 6

6 677101968,1 = 6 6)1( i

1,090000201 = 1 + i

i = 0,090000201 ou aproximadamente 9% ao mês

Ou seja, a taxa de juros mensal composta é igual a i = 9% ao mês.

3.9.3 Extensões ao Uso das Fórmulas

Devemos acrescentar ao estudo de juros compostos que o valor presente

(capital) não se refere necessariamente a um valor expresso no momento zero. Em

verdade, o valor presente pode ser apurado em qualquer data focal anterior à do

valor futuro (montante).

Consideremos a seguinte situação: Suponhamos que seja de nosso

interesse calcular quanto será pago por um empréstimo de R$20.000,00

vencível de hoje a 14 meses ao se antecipar por 5 meses à data de seu

pagamento. Sabe-se que o credor está disposto a atualizar a dívida à taxa

composta de 2,5% ao mês.

O problema envolve basicamente o cálculo do valor presente, ou seja,

um valor atualizado a uma data anterior à do montante (mês 9). Daí:

Solução

Solução

Page 63: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

63

Administração Financeira E Orçamentária

PV = 55 )025,1(

00,000.20

)025,01(

00,000.20 = R$17.677,10

Graficamente, temos a seguinte representação do problema:

Figura 32: Representação Gráfica do Exemplo1.

Consideremos a seguinte situação: Admita um empréstimo que envolve os

seguintes pagamentos: R$15.000,00 de hoje a 2 meses; R$40.000,00 de

hoje a 5 meses; R$50.000,00 de hoje a 6 meses e R$70.000 de hoje a 8

meses. O devedor deseja apurar o valor presente (na data zero) destes

fluxos de pagamento, pois está negociando com o banco a liquidação

imediata de toda a sua dívida. A taxa de juros considerada nesta

antecipação é de 3% ao mês.

Vejamos a representação gráfica da dívida na figura abaixo:

Figura 33: Representação gráfica da dívida do Exemplo 2.

Utilizando-se a fórmula do valor presente:

PV = 8652 )03,1(

00,000.70

)03,1(

00,000.50

)03,1(

00,000.40

)03,1(

00,000.15

PV = 14.138,94 + 34.504,35 + 41.874,21 + 55.258,65

PV = R$145.776,15

Observação! As expressões de cálculos PV e FV permitem capitalizações e

atualizações envolvendo diversos valores e não somente um único capital ou

montante.

Solução

Page 64: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

64

Administração Financeira E Orçamentária

3.9.4 A Noção de Taxas Equivalentes nos Juros Compostos

Vimos no regime de capitalização simples, que a taxa equivalente é a própria

taxa proporcional da operação. Por exemplo, a taxa de 3% ao mês e 9% ao trimestre

são ditas proporcionais, pois mantêm a seguinte relação:

São também equivalentes, já que promovem a igualdade de montantes de um

mesmo capital ao final de certo período de tempo.

Por exemplo, em juros simples um capital de R$80.000,00 produz o mesmo

montante em qualquer data se capitalizado a 3% a.m. e 9% a.t.

E assim por diante.

O conceito de taxa equivalente que vimos no regime de capitalização simples

continua sendo válido para a capitalização composta, no entanto, sendo diferente sua

fórmula de cálculo. Por se tratar de capitalização exponencial, a expressão da taxa

equivalente composta é a média geométrica da taxa de juros do período inteiro, isto é:

taxasprazos

9

3

3

1

n = 3 meses 00,200.87$)109,01(00,000.80.).%9(

00,200.87$)303,01(00,000.80.).%3(

RxtaFV

RxmaFV

n = 12 meses 00,800.108$)409,01(00,000.80.).%9(

00,800.108$)1203,01(00,000.80.).%3(

RxtaFV

RxmaFV

i q

q i1 – 1

Page 65: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

65

Administração Financeira E Orçamentária

Onde:

q = número de períodos de capitalização.

Figura 34: Interpretação do conceito de taxas equivalentes.

A taxa equivalente composta mensal de 10,3826% ao semestre é de 1,66%,

pois:

i 6 = 6 103826,01 – 1

i 6 = 6 103826,01 - 1 = 1,0166 - 1 = 0,0166 ou 1,66% a.m.

Taxas Equivalentes = TaxasProporcionais

• Juros Simples

Taxas Equivalentes ≠ TaxasProporcionais

• Juros Compostos

Informação Importante! Na expressão de cálculo para taxas equivalentes no

regime composto, salientamos que o parâmetro i da fórmula referencia a taxa

relacionada ao maior período, enquanto que o parâmetro i q referencia a

taxa relacionada ao menor período. Desta maneira, por exemplo, se temos o

interesse de calcular a taxa semestral equivalente, para juros compostos a

10% ao ano, temos que i = 10% ao ano (maior período) e i q (menor período)

será a taxa de interesse a ser calculada.

Page 66: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

66

Administração Financeira E Orçamentária

Desta forma, para um mesmo capital e prazo de aplicação, é

indiferente (equivalente) o rendimento de 1,66% a.m. ou

10,3826% ao semestre.

Assim, ilustrativamente um capital de R$100.000,00 aplicados por dois anos

produz:

Para i = 1,66% e n = 24 meses: FV = 100.000,00 x (1,0166) 24 = R$148.457,63.

Para i = 10,3826% e n = 4 semestres: FV = 100.000,00 x (1,103826) 4 =

R$148.457,63.

O banco AFA divulga que a rentabilidade oferecida por uma aplicação

financeira é de 12% ao semestre (ou 2% ao mês). Desta maneira, uma

aplicação de R$10.000,00 produz, ao final de 6 meses, o montante de

R$11.200,00 (R$10.000,00 x 1,12). Efetivamente, os 12% constituem-se

na taxa de rentabilidade da operação para o período inteiro de um

semestre, e, em bases mensais, esse percentual pode ser expresso em

termos de taxa equivalente composta.

Interpretação do Exemplo: Assim, os 12% de rendimentos do semestre

determinam uma rentabilidade efetiva mensal de 1,91%, e não de 2% conforme

o enunciado pelo banco.

De outra forma, temos:

i 6 = 6 12,1 - 1 = 1,91% ao mês

De forma natural, ao se aplicar R$10.000,00 por 6 meses a uma taxa composta de

1,91% ao mês, chega-se ao montante de R$11.200,00.

Vejamos mais alguns exemplos ilustrativos referente ao cálculo de taxas

equivalentes no regime de juros compostos.

Qual a taxa semestral equivalente para juros compostos a 10% ao ano?

Sendo assim, verificamos que o processo de descapitalização da taxa de juro no

regime composto processa-se pela apuração de sua média geométrica, ou seja,

da taxa equivalente. Neste caso, o percentual de juro considerado representa a

taxa efetiva de juro na operação.

Conclusão do

Exemplo

Page 67: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

67

Administração Financeira E Orçamentária

Para resolvermos tal problema, devemos utilizar a fórmula:

iq

q i1 – 1

Onde:

q = número de períodos de capitalização.

Em que i é a taxa anual (maior período), ou seja, i = 10% ao ano = 0,1 a.a.

Além disso, temos que q = 2 (1 ano = 2 semestres). Desta maneira, temos que:

iq

q i1 – 1

i 2 = 2 1 i – 1

i 2 = 2 1,01 – 1

i 2 = 2 01,1 – 1

i 2 = 1,04880 – 1

i 2 = 0,04880 ou seja i 2 4,88% a.s. (ao semestre)

Portanto, a taxa semestral equivalente para juros compostos a 10% ao ano é

aproximadamente igual a 4,88%.

Qual a taxa anual equivalente para juros compostos a 7% ao bimestre?

Neste caso, devemos encontrar o valor de i, já que o maior período em

questão é ano. Notemos também, que q = 6 (1 ano = 6 bimestres) e i q = i

6 = 7% a.b. = 0,07 a.b. Logo, temos que:

iq

q i1 – 1

i 6 = 6 1 i – 1

0,07 = 6 1 i – 1

1 + 0,07 = 6 1 i

1,07 = 6 1 i

Elevando ambos os membros a potência 6, obtemos:

(1,07) 6 = ( 6 1 i ) 6

1 + i = (1,07) 6

Solução

Solução

Page 68: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

68

Administração Financeira E Orçamentária

i = (1,07) 6 – 1

i = 0,500730351 ou seja i 50,07% a.a. (ao ano)

Portanto, a taxa anual equivalente é de aproximadamente 50,07%.

3.9.5 Taxa Nominal e Taxa Efetiva

Em símbolos, temos que:

Onde q representa o número de períodos de capitalização dos juros.

Por exemplo, uma taxa de 3,8% ao mês determina um montante efetivo de

juros de 56,45% ao ano, ou seja:

i f = (1 + 0,038) 12 - 1 = 56,44% ao ano

Por exemplo, seja a taxa nominal de juros de 36% ao ano, capitalizada de

forma mensal. Os prazos não são coincidentes. O prazo de capitalização

é de um mês e o prazo a que se refere à taxa de juros igual a um ano

(12 meses). Desta maneira, 36% ao ano representa uma taxa nominal de

juros, expressa para um período inteiro, a qual deve ser atribuída ao

período de capitalização.:

A taxa efetiva de juros é a taxa dos juros apurada durante todo o prazo n,

sendo formada exponencialmente através dos períodos de capitalização. Ou

seja, taxa efetiva é o processo de formação dos juros pelo regime de juros

compostos ao longo dos períodos de capitalização.

Taxa Efetiva (i f ) = (1 + i) q – 1

Dizemos que uma taxa de juros é nominal, geralmente quando o prazo de

capitalização dos juros (ou seja, período de formação e incorporação dos juros ao

principal) não é o mesmo daquele definido para a taxa de juros.

Page 69: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

69

Administração Financeira E Orçamentária

Ao falarmos de taxa nominal é comum admitir-se que a capitalização ocorre

por juros proporcionais simples. Assim, no exemplo, a taxa por período de

capitalização é de 36%/12 = 3% ao mês (taxa proporcional ou linear).

Ao se capitalizar esta taxa nominal, apura-se uma taxa efetiva de juros superior

àquela declarada para a operação. Com base nos dados do exemplo acima, temos:

Taxa nominal da operação para o período = 36% ao ano

Taxa proporcional simples

(taxa definida para o período de capitalização) = 3% ao mês

Taxa efetiva de juros: i f =

12

12

36,01 - 1 = 42,6% ao ano

Notemos que a taxa nominal não revela a efetiva taxa de juros de uma

operação.

Ao falarmos que os juros anuais são de 36%, mas capitalizados mensalmente,

apuramos que a efetiva taxa de juros atinge 42,6% ao ano. Para que 36% ao ano

fosse considerada a taxa efetiva, a formação mensal dos juros deveria ser feita a partir

da taxa equivalente composta, ou seja:

Taxa Equivalente Mensal de 36% ao ano

..%6,2136,1136,01

11

121212 mai

iiq

q

Ao se capitalizar exponencialmente esta taxa de juros equivalente mensal chega-

se, evidentemente aos 36% ao ano.

Taxa Efetiva Anual anoaoi

i

f

f

%361)026,01(

1)026,01(

12

12

Page 70: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

70

Administração Financeira E Orçamentária

Um banco emprestou R$8.000,00 por um ano, à taxa anual de 18% ao

ano, com capitalização bimestral. Qual será a taxa efetiva anual e o

montante que será devolvido ao final do ano?

Como a capitalização é bimestral, podemos dizer que q = 6 (1 ano =

6 bimestres) e i = 18% ao ano. Desta forma, temos que:

Taxa Proporcional bimestral = 6

%18 = 3% a.b. = 0,03 a.b.

Logo:

Taxa Efetiva: (i f ) = (1 + i) q – 1 = (1 + 0,03) 6 – 1 = 0,194

Desta forma, a taxa efetiva será de aproximadamente 19,4% ao ano

aproximadamente.

No cálculo do montante a ser devolvido, temos que:

Observação Importante! Vamos convencionar que, quando houver mais

de um período de capitalização e não houver uma menção explícita de

que se trata de uma taxa efetiva, a atribuição dos juros a estes períodos

deve ser processada através da taxa proporcional. Por outro lado,

quando os prazos forem coincidentes (prazo da taxa e o de formação

dos juros) a representação da taxa de juros é abreviada. Por exemplo, a

expressão única “10% ao ano” indica que os juros são também

capitalizados em termos anuais.

Muitas vezes, ainda, o mercado define, para uma mesma operação,

expressões diferentes de juros em termos de sua forma de

capitalização. Por exemplo, o custo efetivo de 4,2% ao mês cobrado por

um banco, pode ser equivalentemente definido em 4,12% ao mês para o

mesmo período, ou seja:

1042,130 0,137234% ao dia x 30 = 4,12% ao mês

A taxa de 4,12% ao mês é nominal (linear) e equivalente a taxa efetiva de

4,2% ao mês.

Solução

Page 71: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

71

Administração Financeira E Orçamentária

FV = PV.(1 + i) n

Onde:

n = 1 ano = 6 bimestres e PV = 8000

Logo,

FV = PV.(1 + i) n

FV = 8000.(1 + 0,03) 6

FV = 9552,418372

Portanto, concluímos que o montante a ser devolvido será de

aproximadamente R$9.552,00 e a taxa efetiva será de aproximadamente 19,4% ao

ano.

Um empréstimo no valor de R$ 11.000,00 é efetuado pelo prazo de um

ano à taxa nominal (linear) de juros de 32% ao ano, capitalizado

trimestralmente. Pede-se determinar o montante e o custo efetivo do

empréstimo.

Vamos admitir, de acordo com a convenção adotada, que a taxa de

juros pelo período de capitalização seja a proporcional simples

(Referencial teórico da Unidade 02), desta forma, temos que:

Taxa Nominal (taxa linear): i = 32% ao ano = 0,32 a.a.

Descapitalização Proporcional: i = 4

%32 = 8% ao trimestre (já que 1 ano = 4

trimestres) = 0,08 a.t.

Montante do Empréstimo:

FV = PV.(1 + i) n

FV = 11000.(1 + 0,08) 4

FV = 11000.(1,08) 4

FV = 14.965,40

Taxa Efetiva:

i f = (1 + i) q – 1

i f = (1 + 0,08) 4 – 1

i f = (1,08) 4 – 1

i f = 0,36 ao ano

Solução

Page 72: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

72

Administração Financeira E Orçamentária

i f = 36% ao ano

Portanto, o montante é igual a R$14.965,40 e o custo efetivo do empréstimo é

igual a 36% ao ano.

A Caderneta de Poupança paga juros anuais de 6% com capitalização

mensal à base de 0,5%. Calcular a rentabilidade efetiva desta operação.

Neste caso, mais uma vez a taxa efetiva dará a rentabilidade efetiva da

Caderneta de Poupança, já que podemos observar que a taxa de juros

de 6% é uma taxa nominal de juros, já que a capitalização é realizada mensalmente.

Notando que q = 12 (já que 1 ano = 12 meses), segue que:

Taxa Efetiva:

i f = (1 + q

i) q – 1

i f = (1 + 12

06,0) 12 – 1

i f = (1 + 0,05) 12 – 1

i f = 0,617 ao ano

i f = 6,17% ao ano

Portanto, a rentabilidade efetiva da caderneta de poupança foi de 6,17% ao

ano.

Sendo de 24% ao ano a taxa nominal de juros cobrada por uma instituição,

calcular o custo efetivo anual, admitindo que o período de capitalização dos

juros seja:

a) Mensal;

b) Trimestral;

c) Semestral.

Neste caso, temos que:

a) Custo Efetivo (i f ): 1 ano = 12 meses, logo q = 12

Solução

Solução

Page 73: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

73

Administração Financeira E Orçamentária

i f = (1 + q

i) q – 1

i f = (1 + 12

24,0) 12 – 1

i f = 0,2682 ao ano

i f = 26,82% a.a.

b) Custo Efetivo (i f ): 1 ano = 4 trimestres, logo q = 4

i f = (1 + q

i) q – 1

i f = (1 + 4

24,0) 4 – 1

i f = 0,2625 ao ano

i f = 26,25% a.a.

c) Custo Efetivo (i f ): 1 ano = 2 semestres, logo q = 2

i f = (1 + q

i) q – 1

i f = (1 + 2

24,0) 2 – 1

i f = 0,2544 ao ano

i f = 25,44% a.a.

Uma aplicação financeira promete pagar 42% ao ano de juros. Sendo de

um mês o prazo da aplicação, pede-se determinar a sua rentabilidade

efetiva considerando os juros de 42% ao ano como:

a) Taxa Efetiva

b) Taxa Nominal

Neste caso, temos o seguinte:

a) Taxa Efetiva: a rentabilidade mensal é a taxa equivalente

composta de 42% ao ano. Aqui, temos que q = 12 (já que 1 ano = 12 meses) e i =

42% ao ano, onde i é a taxa referenciada ao maior período na fórmula abaixo para a

taxa equivalente composta.

Solução

Page 74: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

74

Administração Financeira E Orçamentária

iq

q i1 – 1

i 1212 42,01 – 1

i 1212 042,1 – 1

i 12 = 0,297 ao mês

i 12 = 2,97% a.m.

Notemos que capitalizando exponencialmente os juros de 2,97% ao mês,

chegamos evidentemente à taxa efetiva anual de 42% ao ano, isto é:

(1 + 0,0297) 12 – 1 = 42% ao ano

b) Taxa Nominal: a rentabilidade mensal de 42% ao ano é definida pela taxa

proporcional simples, isto é:

i = 12

%42 = 3,5% ao mês = 0,035 a.m.

Ao capitalizarmos exponencialmente esta taxa para o prazo de um ano, chega-se a

um resultado efetivo superior à taxa nominal de 42% ao ano:

i f = (1 + 0,035) 12 – 1

i f = 51,1% a.a.

3.10 Implementação Numérica na HP 12

Agora, vamos apresentar alguns exemplos envolvendo os conceitos teóricos

discutidos anteriormente, ou seja, apresentaremos a implementação numérica na HP

12C relacionando os regimes de capitalização simples e composto, bem como trabalhar

com as taxas de juros.

3.10.1 Exercícios Resolvidos Envolvendo o Regime de

Capitalização Simples na HP 12

Vejamos agora a implementação numérica envolvendo o regime de capitalização

simples. Salientamos, que neste caso, a implementação não é feita diretamente como

vamos perceber com relação ao regime composto, ou seja, aqui teremos que

implementar utilizando as fórmulas do regime linear de juros.

Page 75: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

75

Administração Financeira E Orçamentária

Calcular o valor dos juros simples correspondentes a um empréstimo de

R$2.500,00 pelo prazo de 18 meses, à taxa de 5% ao mês.

Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

2500 <ENTER>

2.500,00

Valor do empréstimo

5 <%>

5,00

Valor mensal dos juros

18 <x>

18,00

Valor total dos juros

Calcular os juros simples de um empréstimo no valor de R$20.000,00, à

taxa de 18% ao ano, pelo prazo de 9 meses.

Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

20000 <ENTER>

20.000,00

Valor do empréstimo

18 <ENTER> 12 <÷> <%>

300,00

Valor mensal dos juros

9 <x>

2.700,00

Valor total dos juros

Solução

Solução

Page 76: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

76

Administração Financeira E Orçamentária

Uma aplicação de R$ 19.000,00, pelo prazo de 120 dias, obteve um

rendimento de R$ 1.825,00. Qual a taxa anual de juros simples dessa

aplicação?

Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

120 <ENTER>

120,00

Prazo em dias

360 < >

0,33

Prazo em anos

19000 <x>

6.333,33

Valor Aplicado x Prazo

<1/x> 1825 <x>

0,29

Taxa Anual (forma unitária)

100 <x>

28,82

Taxa Anual (forma

percentual)

Sabendo-se que os juros de R$ 546,00 foram obtidos com a aplicação de

R$ 6.500,00, à taxa de 1,2% ao mês, calcular o prazo da aplicação.

Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

6500 <ENTER>

6.500,00

Valor da Aplicação

1.2<%>

78,00

Valor dos juros por mês

546 <x> <y> < >

7,00

Prazo da aplicação em

meses

Solução

Solução

Page 77: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

77

Administração Financeira E Orçamentária

Calcular o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$

4.000,00, à taxa de juros de 24% ao ano, pelo prazo de 10 meses.

Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

4000 <ENTER>

4.000,00

Valor do empréstimo

24<ENTER> 12< ><%>

80,00

Valor mensal dos juros

10 <x>

800,00

Valor total dos juros

Uma pessoa aplicou R$ 2.700,00 a uma taxa de juros simples de 2,8% ao

mês, pelo prazo de 3 meses. Quanto resgatou?

Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

2700 <ENTER>

2.700,00

Valor da aplicação

2.8 <%>

75,60

Valor mensal dos juros

3 <x> < + >

2.926,80

Valor do resgate

Solução

Solução

Page 78: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

78

Administração Financeira E Orçamentária

Calcular o valor dos juros e do montante de um capital de R$ 7.500,00,

aplicado a uma taxa de juros simples de 12% ao ano, por 220 dias.

Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

7500 <ENTER>

7.500,00

Valor da aplicação

12 <ENTER> 360 < >

<%>

2,50

Valor diário dos juros

220 <x>

550,00

Valor dos juros

<+>

8.050,00

Valor do montante

Para montar uma microempresa, uma pessoa contraiu um empréstimo no

banco AFA ao custo de 24% ao ano. Quitou à dívida um ano depois, pelo

montante de R$ 35.500,00. Calcular o valor do empréstimo e o valor

pago de juros.

Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

35500 <STO> 1

35.500,00

Montante da dívida

24 <ENTER> 100 < > 1

<+>

1,24

1 + a taxa na forma unitária

< >

28.629,03

Valor do empréstimo

Solução

Solução

Page 79: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

79

Administração Financeira E Orçamentária

Teclas Visor Observação

<CHS> <RCL> 1 <+>

6.870,97

Valor do juro

Ou de uma outra forma:

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

35500 <ENTER>

35.500,00

Montante da dívida

1 <ENTER> 24 <%> <+>

1,24

1 + a taxa na forma unitária

< >

28.629,03

Valor do empréstimo

35500 <->

6.870,97

Valor do juro

Uma empresa descontou uma duplicata de R$120.000,00 no banco Bom

Negócio. O prazo do título era de 54 dias e a taxa de desconto comercial

(por fora), de 8% ao mês. Calcular:

a) O valor creditado na conta da empresa.

b) A taxa mensal de juros da operação.

Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

120000 <STO> 1

120.000,00

Valor do título

8 <%> 30 < >

54 <x> <– >

102.720,00

Valor creditado na conta da

Solução

Page 80: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

80

Administração Financeira E Orçamentária

Teclas Visor Observação

empresa

RCL> 1 < %>

16,82

Taxa de juros para os 54

dias (em %)

30 < > 54 <x>

9,35

Taxa mensal de juros da

operação em (%)

Uma nota promissória, no valor de R$ 15.000,00 em seu vencimento, foi

descontada 3 meses antes de seu prazo de resgate, a uma taxa de

desconto comercial (por fora) de 28% ao ano. Calcular o valor de face da

nota promissória e a taxa anual de juros da operação.

Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

15000 <STO> 1

15.000,00

Valor do título

28 <ENTER> 12 < >

<%> 3 <x> <– >

13.950,00

Valor de face da nota

promissória

<RCL> 1 < %>

7,53

Taxa de juros para os 3

meses (em %)

4 <x>

ou

12 < > 3 <x>

30,11

Taxa anual de juros da

operação em (%)

Solução

Page 81: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

81

Administração Financeira E Orçamentária

Uma duplicata no valor de R$ 15.000,00 foi descontada 54 dias antes de

seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial (por fora)

cobrada pelo banco é de 8% ao mês, o IOF2 é de 0,0041% ao dia e o

banco cobra 15% de taxa administrativa, pede-se o valor líquido liberado

pelo banco e a taxa mensal de juros da operação.

Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

15000 <STO> 1

15.000,00

Valor do título

8 <%> 30 < > 54 <x> <– >

12.840,00

Valor líquido antes do IOF

<STO> 2 <RCL> 1

0.0041<%> 54 <x>

33,21

Valor do IOF

<CHS> <RCL> 2 <+>

12.806,79

Valor líquido após o IOF

<STO> 3 <RCL> 1

1.5 <%> <CHS>

<RCL> 3 <+>

12.581,79

Valor líquido liberado pelo

banco

<RCL> 1 < %>

19,22

Taxa de juros para os 54

dias (em %)

54 < > 30 <x>

10,68

Taxa mensal de juros da

operação (em %)

2 IOF – Imposto sobre Operações Financeiras

Solução

Page 82: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

82

Administração Financeira E Orçamentária

3.10.2 Exercícios Resolvidos Envolvendo o Regime de

Capitalização Composto na HP 12

Vejamos agora a implementação numérica envolvendo o regime de capitalização

composto. Os cálculos financeiros na HP 12C podem ser realizados de duas formas

diferentes. Na primeira utilizamos diretamente as teclas dos registradores financeiros:

PV, i, n e FV. Na segunda utilizamos as funções matemáticas da calculadora, sendo

necessário conhecer as expressões dos regimes de capitalização. Salientamos, que a

utilização dos registradores financeiros permite não só aplicar diretamente as fórmulas

apresentadas, mas também efetuar cálculos de forma rápida e segura, desde que se saiba

o que eles representam.

Calcular o valor de resgate de uma aplicação de R$ 1.200,00, pelo prazo

de 8 meses, à taxa de juros compostos de 3,5% ao mês.

Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

1200 <CHS> <PV>

-1.200,00

Insere a aplicação

Informação Importante! Para operarmos corretamente a calculadora é

necessário seguirmos a simbologia do fluxo de caixa, introduzindo com o sinal

negativo todas as saídas de caixa. Geralmente, podemos adotar o seguinte

procedimento:

Apagamos o conteúdo dos registradores financeiros pressionando f FIN.

Introduzimos as variáveis conhecidas (no mínimo três) teclando CHS

quando a variável representar uma saída de caixa.

Solução

Page 83: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

83

Administração Financeira E Orçamentária

Teclas Visor Observação

8 <n>

8,00

Insere o prazo

3.5 <i>

3,50

Insere a taxa

<FV>

1.580,17

Valor de resgate

Calcular a taxa mensal de juros compostos de uma aplicação de R$

4.000,00 que produz um montante de R$ 4.862,02 ao final de 8 meses.

Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

4000 <CHS> <PV>

- 4.000,00

Insere a aplicação

4862.02 <FV>

4.862,02

Insere o montante

8 <n>

8,00

Insere o prazo em meses

<i>

2,47

Taxa mensal de juros (em %)

Uma aplicação de R$ 20.000,00, efetuada em certa data produz, à taxa de

juros compostos de 1,75% ao mês, um montante de R$ 22.582,44 em

certa data futura. Calcular o prazo da operação.

Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.

Solução

Solução

Page 84: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

84

Administração Financeira E Orçamentária

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

20000 <CHS> <PV>

-20.000,00

Insere a aplicação

22582.44 <FV>

22.582,44

Insere o montante

1.75 <i>

1,75

Insere a taxa mensal

<n>

7,00

Prazo da operação (em meses)

Se eu quiser comprar um carro no valor de R$22.000,00, quanto devo

aplicar hoje para que, daqui a 2 anos, possua tal valor, a uma taxa de

aplicação de 18% ao ano?

Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

22000 <CHS> <FV>

-22.000,00

Insere o montante

18 <i>

18,00

Insere a taxa anual

2 <n>

2,00

Insere o prazo (em anos)

<PV>

15.800,06

Valor da aplicação hoje

Seja um capital de R$ 25.000,00 emprestado à taxa de 18% ao ano, pelo

prazo de 4 anos e 9 meses. Calcular o montante pela convenção linear.

Solução

Page 85: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

85

Administração Financeira E Orçamentária

Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

25000 <CHS> <PV>

-25.000,00

Insere o empréstimo

18 <i>

18,00

Insere a taxa anual

4 <ENTER> 9 <ENTER>

12 < > <+> <n>

4,75

Insere o prazo

<FV>

55.012,82

Valor do Montante

Seja um capital de R$ 25.000,00 emprestado à taxa de 18% ao ano, pelo prazo

de 4 anos e 9 meses. Calcular o montante pela convenção exponencial.

Neste caso, temos a seguinte disposição de passos.

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

<STO> <EEX>

0,00 c

Introduz “c” no visor

25000 <CHS> <PV>

-25.000,00 c

Insere o empréstimo

18 <i>

18,00 c

Insere a taxa anual

9 <ENTER> 12< > 4 <+>

<n>

4,75 c

Insere o prazo

<FV>

54.875,63 c

Valor do Montante

Solução

Solução

Page 86: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

86

Administração Financeira E Orçamentária

Calcular o valor de resgate de uma aplicação no valor de R$2.500,00, à taxa de

9% ao semestre, capitalizados mensalmente, se o prazo de aplicação for de 3

meses.

Resolvendo na HP 12C, vem que:

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

2500 <CHS> <PV>

- 2.500,00

Valor da Aplicação

3 <n>

3,00

Insere o prazo em meses

9 <ENTER> 6 < > <i>

1,50

Insere a taxa efetiva mensal

<FV>

2.614,20

Valor de resgate

Calcular a taxa anual de juros, capitalizada trimestralmente, para que o capital

de R$400.000,00, renda, em 2 anos, R$168.840,20.

Resolvendo na HP 12C, temos que:

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

168840.20 <ENTER>

400000 <+> <CHS> <FV>

- 568.840,20

Valor do Montante

Observação Importante! Notemos que os valores futuros apurados são diferentes,

ou seja, o montante na convenção linear é ligeiramente superior ao obtido na

convenção exponencial.

Solução

Solução

Page 87: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

87

Administração Financeira E Orçamentária

Teclas Visor Observação

<g> <LSTx> <PV>

400.000,00

Valor aplicado

2 <ENTER> 4 <x> <n>

8,00

Insere o prazo em trimestres

<i>

4,50

Taxa Efetiva Trimestral (em

%)

4 <x>

18,00

Taxa Nominal Anual (em

%)

3.10.3 Exercícios Resolvidos Envolvendo Taxas Equivalentes,

Taxas Nominais e Taxas Efetivas

Vejamos agora a implementação numérica na HP 12C aws diversas taxas que

apreseentamos ao longo da Unidade. Inicialmente, colocamos abaixo um resumo

envolvendo a noção de taxas equivalentes.

Quadro Resumo para Taxas Equivalentes – Regime de Capitalização

Composto

Denominando:

i a = taxa de juros anual;

i s = taxa de juros semestral;

i t = taxa de juros trimestral;

i m = taxa de juros mensal;

i d = taxa de juros diária;

i b = taxa de juros bimestral;

E considerando o ano comercial (360 dias), a fórmula a seguir permite o

cálculo dessas taxas equivalentes:

1+ i a =(1 + i m ) 12 = (1 + i s ) 2 = (1 + i t )4 = (1 + i b ) 6 = (1 + i d ) 360

Page 88: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

88

Administração Financeira E Orçamentária

Ressalatmos ainda, que no mercado financeiro brasileiro impera uma enorme

confusão quanto aos conceitos de taxas de juros, principalmente no que se refere às

taxas equivalentes compostas, taxas nominais e taxa efetiva. A falta desses conceitos

tem dificultado a realização de bons negócios entre os técnicos e os executivos, ou seja,

a nível empresarial.

Quais as taxas anual, semestral e trimestral equivalentes à taxa de 5% ao mês?

Resolvendo na HP 12C, temos que:

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

1.05 <ENTER>

1,05

1 + a taxa mensal (unitária)

12 <yx

>

1,80

1 + a taxa anual (unitária)

1 < – > 100 <x>

79,59

Taxa anual (em %)

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

1.05 <ENTER>

1,05

1 + a taxa mensal (unitária)

6 <yx

>

1,34

1 + a taxa semestral

(unitária)

1 < – > 100 <x>

34,01

Taxa semestral (em %)

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

1.05 <ENTER>

1,05

1 + a taxa mensal (unitária)

1 + a taxa semestral

Solução

Page 89: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

89

Administração Financeira E Orçamentária

Teclas Visor Observação

6 <yx

>

1,34 (unitária)

1 < – > 100 <x>

34,01

Taxa semestral (em %)

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

1.05 <ENTER>

1,05

1 + a taxa mensal (unitária)

3 <yx

> 1 < – > 100 < x>

15,76

Taxa trimestral (em %)

Qual a taxa mensal equivalente à taxa de 24,38% ao ano?

Resolvendo na HP 12C, temos que:

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

1.2438 <ENTER>

1,24

1 + a taxa anual (unitária)

12 <1/x> <yx

>

1,02

1 + a taxa mensal (unitária)

1 < – > 100 <x>

1,83

Taxa mensal (em %)

Qual a taxa mensal equivalente à taxa de 0,005% ao dia?

Resolvendo na HP 12C, temos que:

Solução

Solução

Page 90: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

90

Administração Financeira E Orçamentária

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

1.00005 <ENTER>

1,000005

1 + a taxa diária (unitária)

360 <ENTER> 12 < + > <yx

>

1,00150

1 + a taxa mensal (unitária)

1 < – > 100 <x>

0,15

Taxa mensal (em %)

Qual a taxa bimestral equivalente à taxa de 12% ao trimestre?

Resolvendo na HP 12C, temos que:

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

1.12 <ENTER>

1,12

1 + a taxa trimestral

(unitária)

2 <ENTER> 3 < + > <yx

>

1,08

1 + a taxa bimestral

(unitária)

1 < – > 100 <x>

7,85

Taxa bimestral (em %)

Qual a taxa diária equivalente à taxa de 23,78% ao ano?

Resolvendo na HP 12C, temos que:

Solução

Solução

Page 91: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

91

Administração Financeira E Orçamentária

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

23,78 <ENTER> 100 <÷> 1

<+>

1,24

1 + a taxa anual (unitária)

360 <1/x> <yx

>

1,00

1 + taxa diária (unitária)

1 < – > 100 <x>

0,06

Taxa diária (em %)

Qual a taxa equivalente à taxa de 27%m ao ano pelo prazo de 8

meses?

Resolvendo na HP 12C, temos que:

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

1.27 <ENTER>

1,27

1 + a taxa anual (unitária)

8 <ENTER> 12 <÷> <yx

>

1,1727

1 + a taxa para 8 meses

(unitária)

1 < – > 100 <x>

17,27

Taxa para os 8 meses (em

%)

Consideremos uma taxa nominal de 28% ao ano que é capitalizada

semestralmente. Qual a taxa efetiva anual equivalente?

Resolvendo na HP 12C, temos que:

Solução

Solução

Page 92: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

92

Administração Financeira E Orçamentária

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

28 <ENTER>

2 < > 100 < > 1 <+>

1,14

1 + a taxa efetiva semestral

(unitária)

2 <yx

> 1,30 1 + a taxa efetiva anual

(unitária)

1 < – > 100 <x>

29,96

Taxa Efetiva Anual

Equivalente (em %)

Calcular a taxa nominal anual, com capitalização trimestral, da qual

resultou a taxa efetiva de 32% ao ano.

Resolvendo na HP 12C, temos que:

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

1.32 <ENTER>

1,32

1 + a taxa efetiva anual

(unitária)

4 <1/x> <yx

>

1,2875

1 + a taxa nominal

trimestral (unitária)

1 < – > 4 <x> 100 <x>

28,75

Taxa Nominal Anual (em

%)

Qual a taxa efetiva mensal, equivalente a uma taxa nominal de 36%

ao ano, com capitalização trimestral?

Solução

Page 93: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

93

Administração Financeira E Orçamentária

Resolvendo na HP 12C, temos que:

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

36 <ENTER> 4 < >

100 < > 1 <+> <yx

>

1,09

1 + a taxa efetiva trimestral

(unitária)

4 <yx

>

1,4116

1 + a taxa efetiva anual

equivalente (unitária)

12 <1/x> <yx

>

1,03

1 + a taxa efetiva mensal

equivalente (unitária)

1 < – > 100 <x>

2,91

Taxa Efetiva Mensal

Equivalente (em %)

Qual a taxa efetiva trimestral equivalente a uma taxa nominal de

28% ao ano, com capitalização semestral?

Resolvendo na HP 12C, temos que:

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

28 <ENTER> 2 < >

100 < > 1 <+>

1,14

1 + a taxa efetiva semestral

(unitária)

2 <yx

>

1,2996

1 + a taxa efetiva trimestral

equivalente (unitária)

Solução

Solução

Page 94: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

94

Administração Financeira E Orçamentária

Teclas Visor Observação

4 <1/x> <yx

>

1,0677

1 + a taxa efetiva trimestral

equivalente (unitária)

1 < – > 100 <x>

6,77

Taxa Efetiva Trimestral

Equivalente (em %)

Uma taxa nominal de 17,25% ao ano é capitalizada mensalmente.

Qual a taxa efetiva anual equivalente?

Resolvendo na HP 12C, temos que:

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

17.25 <ENTER> 12 <÷>

100 <+> 12 <yx

>

1,01

1 + a taxa efetiva mensal

(unitária)

12 <yx

>

1,19

1 + a taxa efetiva anual

(unitária)

1 < – > 100 <x>

18,68

Taxa Efetiva Anual

Equivalente (em %)

Calcular a taxa nominal anual, com capitalização trimestral, da qual

resultou a taxa efetiva de 19,75% ao ano.

Resolvendo na HP 12C, temos que:

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

Solução

Solução

Page 95: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

95

Administração Financeira E Orçamentária

Teclas Visor Observação

1.1975 <ENTER>

1,1975

1 + a taxa efetiva anual

(unitária)

12 <1/x> <yx

>

1,02

1 + a taxa nominal mensal

(unitária)

1 < – > 12 <x> 100 <x>

18,16

Taxa Nominal Anual (em

%)

Qual a taxa efetiva mensal, equivalente a uma taxa nominal de 36%

ao ano, com capitalização trimestral?

Resolvendo na HP 12C, temos que:

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

36 <ENTER> 4 < >

100 < > 1 <+> <yx

>

1,09

1 + a taxa efetiva trimestral

(unitária)

4 <yx

>

1,4116

1 + a taxa efetiva anual

equivalente (unitária)

12 <1/x> <yx

>

1,03

1 + a taxa efetiva mensal

equivalente (unitária)

1 < – > 100 <x>

2,91

Taxa Efetiva Mensal

Equivalente (em %)

Solução

Page 96: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

96

Administração Financeira E Orçamentária

Calcular o valor de resgate de uma aplicação no valor de

R$2.500,00, à taxa de 9% ao semestre, capitalizados mensalmente,

se o prazo de aplicação for de 3 meses.

Resolvendo na HP 12C, temos que:

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

2500 <CHS> <PV>

– 2.500,00

Valor da aplicação

3 <n>

3,00

Insere o prazo em meses

9 <ENTER> 6 <÷> <i>

1,50

Insere a taxa efetiva mensal

<FV>

2.614,20

Valor de resgate

O banco ALFA emprestou R$150.000,00 à empresa BETA, pelo

prazo de 2 anos, a uma taxa de 25% ao ano, com capitalização

trimestral. Qual o montante a ser devolvido ao banco ALFA?

Resolvendo na HP 12C, temos que:

Teclas Visor Observação

<f> <REG>

0,00

Limpa os registradores

150000 <CHS> <PV>

– 150.000,00

Valor da empréstimo

3 <ENTER> 4 <x> <n>

8,00

Insere o prazo em trimestres

25 <ENTER> 4 <÷> <i>

6.25

Insere a taxa efetiva

trimestral

<FV>

243.625,51

Montante devolvido

Solução

Solução

Page 97: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

97

Administração Financeira E Orçamentária

3.11 Guia Resumo da Implementação na HP 12C

Abaixo listamos de forma resumida as principais funções com relação a

implementação na calculadora HP 12C, como se fosse uma espécie de guia rápido de

utilização.

Quadro 03: Resumo das funções básicas da HP 12C.

Tarefa Teclas Visor Comentários

Ligar a HP

ON

0,00 ou 0.00

Aparece, nesse

caso, o número

zero com duas

casas decimais,

podendo o mesmo

ser representado

nos sistemas de

numeração

brasileiro ou

americano

Desligar a HP

ON

Apagado

-----------

Escolher o Sistema

de Numeração

ON.

0,00 ou 0.00

Pressionar

simultaneamente

as duas teclas,

soltando primeiro

a tecla ON e

depois a tecla (.)

Entrada de

Números

56

0,00 ou 0.00

A apresentação

depende da

representação

escolhida

Corrigir o número

digitado

CLX

0,00 ou 0.00

Apaga o valor no

visor.

Entrada de

números em

seqüência

56.5

ENTER

340.5

56,50

56,50

340,50

56,50 guardando

na memória X

56,50 guradando

na memória Y

340,50 guardando

na memória X

Page 98: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

98

Administração Financeira E Orçamentária

Tarefa Teclas Visor Comentários

Trocar o número

de casas decimais

f 3

340,500

Fixa em três casas

decimais.

Etrair raiz

quadrada do

número na

memória X

g x

18,453

Exemplo de

acionamento das

funções azuis.

Armazenar o

valor numa

memória fixa

STO 1

18,453

18,453 está na

memória fixa 1

Obter a parte

fracionária do

número no visor

g FRAC

0,453

Recuperar um

valor necessário

RCL 1

18,453

18,453 continua na

memória fixa 1 e

agora também

está na X

Obter a parte

inteira do número

no visor

g INTG

18,000

Recuperar valor

da memória fixa 1

RCL 1

18,453

Eliminar demais

casas decimais do

número no visor

f RND

18,453

Constatação da

eleminação das

casas

Fixar seis casas

decimais

f 6

18,453000

Fixa em seis casas

decimais

Trocar o número

f 3

18,453

Fixa três casas

Page 99: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

99

Administração Financeira E Orçamentária

Tarefa Teclas Visor Comentários

de casas decimais

decimais

Obter 10% do

número no visor

10%

1,845

10% do valor

acima

Obter a diferença

percentual entre

um número na

memória Y

(18,453) e outro na

memória X (1,845)

▲ %

– 90,000

100.(X – Y) ÷ Y,

i.e., 1,845 é 90%

menor que 18,453

(considerando

todas as casas

decimais)

Recuperar o

conteúdo da

memória fixa 1

RCL 1

18,453

Determinar

quanto

percentualmente o

valor em X (1,845)

representa em

relação ao valor

em Y (18,453)

1,845 %T

9,999

100.(X ÷ Y)

18,453 é guardado

em Y

Recuperar o

último valor

armazenado em X,

após o uso de

teclas +, -- , x, %T,

etc.

g LST x

1,845

Nesse caso

específico %T

Trocar o sinal do

número no visor

(memória X)

CHS

– 1,845

Nesse caso, de +

para –

Trocar o conteúdo

da memória X

pelo da Y

x y

9,999

9,999 está agora

em Y

Page 100: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

100

Administração Financeira E Orçamentária

Analogamente, abaixo colocamos de forma resumida com relação aos tipos de

erros que podem aparecer em implementações realizadas na HP 12C.

Quadro 04: Resumo dos tipos de erros na HP 12C.

Código de Erro Mensagem

Error 0

Relacionado à realização de operações matemáticas

fora dos intervalos de definição.

Error 1

Relacionado à utilização de valores maiores do que

9,999999999 x 10 99 e menores do que – 9,999999999

x 10 99 em operações com as teclas STO e 12x.

Error 2

Relacionado às operações estatísticas.

Error 3

Relativo ao cômputo da taxa interna de retorno

(IRR) ou de juros de um fluxo (serão apresentados

os fluxos de caixa que ocasionam esse tipo de erro).

Error 4

Relativo ao erro de memória (modo de

programação).

Error 5

Relacionado à utilização de valores nos

registradores financeiros fora de seus intervalos de

definição (regime de juros compostos).

Error 6

Relativo à utilização de valores de registradores

STO, RCL, CFj, Nj, NPV e IRR fora de seus

intervalos de definição.

Error 7

Relativo ao cômputo da taxa interna de retorno

(IRR) ou de juros de um fluxo, caso não existam no

mínimo uma entrada de caixa (fluxo de caixa

positivo) e uma saída de caixa (fluxo de caixa

negativo).

Error 8

Relativo às operações com calendário (datas).

IMPORTANTE

Para limparmos o visor mostrando uma situação

de erro, pressionamos qualquer tecla.

Page 101: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

101

Administração Financeira E Orçamentária

3.12 Resumo da Unidade

Nesta terceira Unidade do guia de estudos, apresentamos os conceitos

introdutórios da Matemática Financeira, que constituem nos elementos básicos para a

descrição dos aspectos teóricos de toda essa área da Matemática Aplicada, tais como,

diagramas de fluxo de caixa, juros, valor presente, valor futuro, etc. Além disso,

apresentamos as diferenças significativas entre os dois regimes de capitalização, regime

linear e regime exponencial de juros, explorando a teoria envolvendo os juros simples

através da resolução de diversos exemplos e exercícios ilustrativos. Ressaltamos ainda,

que apresentamos de forma detalhada o aspecto principal da Matemática Financeira no

regime simples que é a parte relacionada a Equivalência Financeira.

3.13 Diretrizes sobre a próxima Unidade

A partir do momento que apresentamos a teoria envolvendo os regimes de

capitalização e taxas de juros praticadas no regime composto de juros, na nossa próxima

Unidade estaremos discutindo a parte relacionada as Séries de Pagamentos Uniformes e

Variáveis, bem como apresentaremos os dois primeiros indicadores para a

caracterização da viabilidade econômica de projetos empresariais, que são o Valor

Prresente Líquido (VPL) e a Taxa Interna de Retorno (IRR).

Page 102: Administracao Financeira e Orcamentaria Unid3

102

Administração Financeira E Orçamentária

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Para maiores informações com relação ao assunto tratado nesta Unidade, cada um

de vocês pode se pautar nos livros referenciados abaixo.

Bibliografia Básica

MATHIAS, W. Franco, GOMES, José M. Matemática Financeira. 2a ed. São Paulo:

Atlas, 1993.

PUCCINI, A. L. Matemática financeira: objetiva e aplicada. Rio de Janeiro: Livros

Técnicos Científicos, 1993.

POLO, E. F. Engenharia das operações financeiras pela HP- 12C. São Paulo: Atlas,

1996.

FILHO, Nelson Casarotto & KOPITTKE, Bruno H. Análise de Investimentos. 9a

Edição. São Paulo: Editora Atlas, 2000.

SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira: Aplicações à Análise de Investimentos. São

Paulo: Prentice Hall, 2001.

Bibliografia Complementar

FERNANDES,P. E. Engenharia das Operações Financeiras. São Paulo: Atlas, 1995.

HALFELD, M. Como Administrar seu Dinheiro. São Paulo: Fundamento Educacional,

2001.

HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2001.

MANNARINO, R. Introdução à Engenharia Econômica. Rio de Janeiro: Campus, 1991.