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ANLISE ESTTICA DE ESTRUTURASANLISE ESTTICA DE ESTRUTURASANLISE ESTTICA DE ESTRUTURASANLISE ESTTICA DE ESTRUTURAS E n g e n h a r i a E n g e n h a r i a E n g e n h a r i a E n g e n h a r i a I n d u s t r i a l d a M a d e i r aI n d u s t r i a l d a M a d e i r aI n d u s t r i a l d a M a d e i r aI n d u s t r i a l d a M a d e i r a ---- P r o f . M r c i o P r o f . M r c i o P r o f . M r c i o P r o f . M r c i o M a y e rM a y e rM a y e rM a y e r

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1.2. Composio e Decomposio de Foras no Plano

1. Duas foras cujos mdulos so 5 N e 8 N formam ngulo de 60. Calcular o mdulo da resultante e os ngulos entre a reta de ao da resultante e as retas de ao das componentes.

2. Achar as componentes ortogonais de uma fora de 100 kgf sabendo que uma das direes forma com a fora um ngulo de 30.

3. Duas foras retangulares tm mdulos 10 N e 14 N. Calcular o mdulo de sua resultante e os ngulos que faz a reta de ao da resultante com as retas de ao das componentes.

4. Duas foras concorrentes tm mdulo x, cada uma. O mdulo da resultante de tais foras x. Calcular o ngulo formado entre as foras componentes.

5. Duas foras concorrentes cujos mdulos so 4 kgf e 8 kgf tm resultante de 10 kgf. Calcular os ngulos que faz a reta de ao da resultante com as retas de ao das componentes.

6. Duas foras ortogonais tm mdulos que diferem de 3 N. A resultante de tais foras 15 N. Calcular os mdulos das foras componentes.

7. Decompor uma fora de 200 kgf segundo duas direes ortogonais. Sabe-se que uma das direes forma com a direo da fora o ngulo de 73.

8. Para os sistemas planos de foras abaixo, pede-se calcular o mdulo e os ngulos diretores da resultante.a)

b)

c)

d)

e)

f)

x

y 2N 14N

3N

30 40

90 x

y

x

y 5 kgf

7 kgf

9 kgf 90 125 160

x

y

10 kgf

8 kgf

12 kgf

90

110 35 x

y 12N

20N

14N 28N

90 90 150

140

x

y 4N

5N

6N

5N

90

90

90

90 x

y

5 kgf

4 kgf

7 kgf 10 kgf 90

55

120

145
ANLISE ESTTICA DE ESTRUTURASANLISE ESTTICA DE ESTRUTURASANLISE ESTTICA DE ESTRUTURASANLISE ESTTICA DE ESTRUTURAS E n g e n h a r i a E n g e n h a r i a E n g e n h a r i a E n g e n h a r i a I n d u s t r i a l d a M a d e i r aI n d u s t r i a l d a M a d e i r aI n d u s t r i a l d a M a d e i r aI n d u s t r i a l d a M a d e i r a ---- P r o f . M r c i o P r o f . M r c i o P r o f . M r c i o P r o f . M r c i o M a y e rM a y e rM a y e rM a y e r

2008200820082008 Pgina Pgina Pgina Pgina 2222

Respostas (Composio e Decomposio de Foras no Plano)

1. R = 11,36 N = 22,41 ; = 37,59

2. F1 = 50 kgf ; F2 = 86,6 kgf

3. R = 17,20 N = 35,54 ; = 54,46

4. = 120

5. = 22,33 ; = 49,46

6. 9 N ; 12 N

7. F1 = 191,26 kgf ; F2 = 58,47 kgf

8. a) R = 11,35 N = 50,18 ; = 39,82

b) R = 21,74 kgf = 131,51 ; = 138,49

c) R = 1,41 N = 135 ; = 45

d) R = 17,67 kgf = 8,66 ; = 98,66

e) R = 19,39 N = 61,27 ; = 28,73

f) R = 5,59 kgf = 124,36 ; = 34,36

1.3. Composio e Decomposio de Foras no Espao

1. Os ngulos diretores para uma fora so = 40, = 70 e . Calcular o ngulo .

2. Calcular o ngulo diretor para uma fora, sabendo que = 10 e = 23.

3. Uma fora F = 80 kgf, apresenta componentes ortogonais Fx = 50 kgf, Fy = 20 kgf e Fz. Calcular o mdulo da componente Fz e os ngulos diretores de F. Sabe-se que a componente Fz est orientada de acordo com o eixo z.

4. Um sistema de trs foras no espao dado por: F1 = 210 kgf ; 1 = 50 ; 1 = ? ; 1 = 47 F2 = 250 kgf ; 2 = 45 ; 2 = 45 ; 2 = ? F3 = 350 kgf ; 3 = 61 ; 3 = 43 ; 3 = 61 Pede-se determinar: a) o mdulo da resultante; b) os ngulos diretores da resultante. Sabe-se que 1 90 e que 2 90.

5. Uma fora tem mdulo 400 kgf. Calcular suas trs componentes ortogonais Fx, Fy e Fz. Sabe-se que = 30 e = 60.

6. Uma fora tem mdulo 50 N. Calcular as suas trs componentes ortogonais Fx, Fy e Fz. Sabe-se que = 70 e = 30 e ainda que um ngulo agudo.

7. Uma fora de mdulo 100 N apresenta ngulos diretores = 76 e = 123. Calcular as projees ortogonais da fora sobre os eixos x, y e z. Sabe-se que um ngulo obtuso.
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8. As projees ortogonais de uma fora de mdulo 500 kgf, sobre os eixos x, y e z so respectivamente Fx = 207 kgf, Fy = 193 kgf e Fz. Sabe-se que a orientao de Fz contrria ao eixo z. Calcular os ngulos diretores da fora 500 kgf.

9. As projees ortogonais de uma fora de mdulo 280 N, sobre os eixos x, y e z so respectivamente Fx, Fy = 165 N e Fz = 142 N. Sabe-se que a orientao de Fx contrria ao eixo x. Calcular os ngulos diretores da fora 280 N.

10. Uma fora F1 tem mdulo 10 N e sua reta suporte o eixo y tendo o mesmo sentido que este eixo. Uma fora F2 tem mdulo 30 N e ngulos diretores = 60 e = 30. Pede-se calcular: a) o mdulo da resultante das duas foras; b) os ngulos diretores da resultante.

11. Um sistema de trs foras no espao dado por: F1 = 180 kgf ; 1 = 81 ; 1 = ? ; 1 = 19 F2 = 300 kgf ; 2 = 43 ; 2 = 61 ; 2 = 61 F3 = 400 kgf ; 3 = ? ; 3 = 90 ; 3 = 90 Pede-se determinar: a) o mdulo da resultante; b) os ngulos diretores da resultante. Sabe-se que 3 90 e que 1 90.

12. Um sistema de trs foras no espao dado por: F1 = 50 kgf ; 1 = 0 ; 1 = 90 ; 1 = ? F2 = 60 kgf ; 2 = 26 ; 2 = ? ; 2 = 80 F3 = 80 kgf ; 3 = ? ; 3 = 112 ; 3 = 150 Pede-se determinar: a) o mdulo da resultante; b) os ngulos diretores da resultante. Sabe-se que 1 90 , 2 90 e que 3 90.

13. Um sistema de quatro foras no espao dado por: F1 = 200 N ; 1 = ? ; 1 = 125 ; 1 = 100 F2 = 300 N ; 2 = 36 ; 2 = ? ; 2 = 82 F3 = 100 N ; 3 = 105 ; 3 = 40 ; 3 = ? F4 = 400 N ; 4 = 45 ; 4 = 45 ; 4 = 90 Pede-se determinar: a) o mdulo da resultante; b) os ngulos diretores da resultante. Sabe-se que 1, 2 e 3 so ngulos agudos.

14. As fora F1 e F2, abaixo especificadas, apresentam resultante R. F1 = ? ; 1 = 43,28 ; 1 = 61 ; 1 = ? F2 = ? ; 2 = 0 ; 2 = 90 ; 2 = 90 R = 282 kgf ; = 14,22 ; = 80 ; = 80 Pede-se calcular os mdulos de F1 e F2 e ainda o ngulo 1. Sabe-se que as foras esto aplicadas na origem do sistema de referncia e que suas extremidades situam-se no primeiro octante.
ANLISE ESTTICA DE ESTRUTURASANLISE ESTTICA DE ESTRUTURASANLISE ESTTICA DE ESTRUTURASANLISE ESTTICA DE ESTRUTURAS E n g e n h a r i a E n g e n h a r i a E n g e n h a r i a E n g e n h a r i a I n d u s t r i a l d a M a d e i r aI n d u s t r i a l d a M a d e i r aI n d u s t r i a l d a M a d e i r aI n d u s t r i a l d a M a d e i r a ---- P r o f . M r c i o P r o f . M r c i o P r o f . M r c i o P r o f . M r c i o M a y e rM a y e rM a y e rM a y e r

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Respostas (Composio e Decomposio de Foras no Espao)

1. = 57,03 ou = 122,97

2. No possvel uma fora apresentar dois de seus ngulos diretores iguais a 10 e 23.

3. Fz = 59,16 kgf = 51,32 ; = 75,52 ; = 42,31

4. R = 765,35 kgf = 51,02 ; = 48,61 ; = 65,87

5. Fx = 346,41 kgf ; Fy = 200 kgf Fz = 0

6. Fx = 17,10 N ; Fy = 18,24 N Fz = 43,30 N

7. Fx = 24,19 N ; Fy = -80,30 N Fz = -54,46 N

8. = 65,54 ; = 67,29 ; = 145,53

9. = 128,97 ; = 53,89 ; = 59,53

10. R = 38,98 N = 67,37 ; = 22,63 ; = 90

11. R = 746,80 kgf = 29,88 ; = 74,72 ; = 65

12. R = 152,98 kgf = 31,51 ; = 110,72 ; = 112,63

13. R = 782,76 N = 32,55 ; = 57,89 ; = 85,17

14. F1 = 101,01 kgf ; F2 = 199,82 kgf 1 = 61

1.4.1. Momento Polar

1. Para o sistema de foras abaixo, calcular: a) o mdulo do vetor momento polar do sistema, em relao ao plo P; b) os ngulos que faz a reta de ao do vetor momento com os planos 1 e 2, os quais so

ortogonais. F1 = 6 N F2 = 8 N F3 = 7 N A (0 ; 2 ; 1) m B (1 ; 0 ; 2) m C (4 ; 0 ; 0) m

2. A chapa plana da figura abaixo possui um pino P, em torno do qual pode girar. Aplicam-se sobre a chapa, em seu plano, as foras F1 e F2. Pede-se: a) a grandeza do momento responsvel pelo giro da chapa em torno do pino; b) o sentido de giro que as foras comunicam a chapa.

F1 = 8 kgf F2 = 5 kgf 20

30

y

x

z

F1 F2

F3

A

B

C

1

2

.

.

.

P

.

F1

F2

A

B

.

.

P

.
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3. A chapa plana da figura abaixo possui um pino P, em torno do qual pode girar. Sobre a chapa, e no seu plano, atua um sistema de foras. Pede-se: a) o mdulo do momento responsvel pelo giro da chapa em redor do pino; b) o sentido de giro da chapa ao redor do pino.

F1 = 10 kgf F2 = 4 kgf F3 = F5 = 6 kgf F4 = F6 = 3 kgf

4. Calcular o mdulo do momento polar, em relao ao plo O, para o conjunto de foras abaixo. F1 = 10 kgf F2 = 20 kgf F3 = 5 kgf F4 = 12 kgf A (4 ; -2) m B (-3 ; 0) m C (3 ; -3) m D (1 ; 2) m

5. Calcular o mdulo do momento polar, em relao ao plo O, para o conjunto de foras abaixo. F1 = 10 N F2 = 8 N F3 = 5 N A (2 ; 2 ; 0) m B (0 ; 2 ; 0) m C (0 ; 0 ; 4) m D (3 ; 0 ; 0) m

6. Calcular o mdulo da fora F1 afim de que a chapa da figura abaixo no gire em torno do pino P.

F1 = ? F2 = 8 N F3 = 6 N d1 = 8 cm d2 = 10 cm d3 = 7 cm

7. A barra da figura abaixo pode girar em torno do pino O. A barra pesa 20 kgf. Calcular o mdulo da fora F1 afim de que no ocorra giro da barra em torno de O.

F1 F2

2m

. P

3m

F4 F3

F5

F6

F1 F2

F3

B

C

D

.

.

O .

y

x

z

.

.

A

F1

F2

A

B

.

.

P

.

F3

d1 d2 d3 .

C

x

y

90

50 45 90

F3

F2 A

B

.

.

.

.

C

D

F4

F1

O

.

62 90

F2 = 10 kgf

80 cm

F1

.

30 cm

O
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2008200820082008 Pgina Pgina Pgina Pgina 6666

Respostas (Momento Polar)

1. a) MP = 20 N.m b) o vetor momento faz ngulo de 53,13

com o plano 1 e 36,87 com o plano 2.

2. a) MP = 10 kgf.cm b) a chapa gira no sentido anti-horrio.

3. a) MP = 1,04 kgf.m b) a chapa gira no sentido anti-horrio.

4. MO = 4 kgf.m

5. MO = 26 N.m

6. F1 = 10 N

7. F1 = 14,41 kgf

1.4.2. Momento Axial

1. dado o conjunto de trs foras da figura abaixo onde a fora F2 paralela ao eixo z e a fora F3 paralela ao eixo y. Pede-se calcular o valor algbrico dos momentos axiais do sistema em relao aos eixos x, y e z.

F1 = 10 kgf F2 = 12 kgf F3 = 15 kgf A (0 ; 0 ; 3) m B (3 ; 0 ; 0) m C (3 ; 4 ; 0) m D (3 ; 0 ; 4) m

2. A figura abaixo representa uma porta, vista de frente e vista em planta. Uma fora de 2 kgf aplicada na porta, perpendicularmente a seu plano. A linha AB representa o eixo das dobradias. Determinar o mdulo, a direo e o sentido do momento axial da fora em relao ao eixo das dobradias.

3. A pea rgida da figura abaixo est em um plano horizontal submetida a foras verticais. Calcular o momento axial do sistema de foras em relao ao eixo AB. A pea apoiada nos pontos A e B.

F1 = F3 = F5 = 20 kgf F2 = F4 = 10 kgf

F1

F2

F3 D

A

B

.

.

O .

y

x

z

.

.

C

A

B

2,10 m

0,80 m

F

F1

F2 F5

60 cm

A

B

F3

F4

60 cm

40 cm

40 cm
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4. A pea rgida da figura abaixo est no plano horizontal xOy, apoiada nos pontos O e A. A fora F1 est no plano xOz e a fora F2 paralela ao eixo z. Calcular o mdulo de F1 a fim de que a pea no gire em torno de OA.

F2 = 100 kgf

Respostas (Momento Axial)

1. Mx = -12 kgf.m ; My = -14,8 kgf.m Mz = 45 kgf.m

2. Mdulo: 1,6 kgf.m ; Direo: AB Sentido: de B para A

3. MAB = 8 kgf.m

4. F1 = 170,13 kgf

1.5. Composio e Decomposio de Foras Paralelas

1. Determinar a resultante do sistema de foras paralelas da figura abaixo.

PQ 20 cm

2. Determinar a resultante do sistema de foras paralelas da figura abaixo.

M (8 ; 12) cm N (29 ; 0) cm

3. Achar a posio do centro de foras paralelas para o sistema de foras da figura abaixo.

P (0 ; 12) cm M (0 ; -4) cm Q (-2 ; 0) cm

15 N

P

Q

10 N

.

.

25 N

Q

x

y

M

P

7 N

8 N

.

.

.

F1

80 cm

O

A

50 cm

50 cm

36

F2

x

y

z

.

.

20 kgf

M

N

8 kgf

x

y

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