Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.1)
55Inferências Relativas à Média
Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.2)
é o parâmetro de interesse
é uma estatística
estatística e estimadoresestatística e estimadores
• estatística: – uma estatística é qualquer função das observações de uma
amostra aleatória
• convenção:
Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.3)
n
iixn
X1
1
– uma estatística é denominada de “estimador não tendencioso” se, e somente se, a média da distribuição amostral do estimador é igual a
• estimador não tendencioso:
é uma estimativa não tendenciosa de
exemplo:
estatística e estimadoresestatística e estimadores
Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.4)
é uma VA praticamente normal padronizada se n é grande
estimativa pontualestimativa pontual
• é uma estimativa de . Mas quanto se aproxima de ?
n
-XZ
2//2n
-Xz-
z
X X
2/n
-X
z
onde z/2 é um valor tal que a área da curva normal padronizada a sua direita é /2
f(x)
z/2
/2/2
-z/2
o que eqüivale a:
Logo, há uma probabilidade de 1 - da inequação abaixo ser satisfeita:
1 -
Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.5)
estimativas da médiaestimativas da média(com nível de confiança 1 - (com nível de confiança 1 - ))
• quando é conhecido:
nz
.-X 2/
n
st .-X 2/
• quando é desconhecido:
Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.6)
intervalo de confiança da médiaintervalo de confiança da média
• quando é conhecido:
nz
nz
.X.-X 2/2/
n
st
n
st .X.-X 2/2/
• quando é desconhecido:
Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.7)
exemplo 1:exemplo 1:Sabe-se que a vida em horas de lâmpadas incandescentes é uma variável aleatória normal com = 50 h. Uma amostra de 10 lâmpadas foi ensaiada e a vida média obtida foi 1.556 h. Qual o intervalo dentro do qual, com nível de confiança 95%, espera-se encontrar a média da população?
nz
nz
.X.-X 2/2/
é conhecido. Estima-se o intervalo de confiança da média por:
para P = 95%
10
50.5561
10
50.-1556 025,0025,0 zz z0,025 = 1,960
58711525 h)315561(
Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.8)
Qual o tamanho necessário da amostra da questão anterior para, com a mesma probabilidade, reduzir o tamanho do intervalo de confiança de ±31 h para apenas ±10 h?
exemplo 2:exemplo 2:
nz
.-X 2/
é conhecido. Estima-se o intervalo de confiança da média por:
2
025,0 10
50.
zn
9610
50.960,1
2
n
2
2/
-X
.
zn
Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.9)
exemplo 3:exemplo 3:A massa de um diamante foi medida repetidamente nove vezes por uma balança com erro sistemático desprezável. As indicações não se repetem pela ação de um erro aleatório com distribuição normal e média zero. Encontre o intervalo de confiança dentro do qual, com uma probabilidade de 95% deve encontrar-se o valor verdadeiro da massa do diamante.
20,4 20,1 20,4 20,6 20,2 20,4 20,3 20,5 20,3
não é conhecido, mas pode se estimado por s:
1509,019
)(9
1
2
i
i Xxs
36,20X
da tabela: t(=0,025, =8) = 2,306
116,03
1509,0.306,2.-X 2/
n
st
g)12,020,36(
Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.10)
teste de hipótesesteste de hipóteses• Uma hipótese estatística é uma afirmação sobre uma
população (e não sobre a amostra)
• Normalmente são formuladas duas hipóteses:– H0: (hipótese nula) que é a hipótese que se quer testar
– H1: (hipótese alternativa) que será aceita se não for possível provar que H0 é verdadeira
• Exemplos:(a) H0: mulheres vivem mais que homens
H1: mulheres vivem o mesmo ou menos que homens
(b) H0: o réu é culpado H1: o réu é inocente
Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.11)
teste de hipóteses (unilateral)teste de hipóteses (unilateral)
• Exemplo: seja:H0: = 50 MPa e H1: < 50 MPa
Se Ho é aceita
Pergunta: quanto deve ser menor que 50 MPa para H0 ser falsa?
MPaX 50
X
5050 -
rejeitar H0 e aceitar H1
Qual é o valor crítico de ?
Não é possível rejeitar H0
Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.12)
teste de hipóteses (bilateral)teste de hipóteses (bilateral)
• Exemplo: seja:H0: = 50 MPa e H1: 50 MPa
Se Ho é aceita
Pergunta: quanto deve se afastar de 50 MPa para H0 ser falsa?
MPaX 50
X
50 50 + 50 -
Não é possível rejeitar H0 rejeitar H0 e aceitar H1
rejeitar H0 e aceitar H1
Qual é o valor crítico de ?
Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.13)
exemplo 1:exemplo 1:
Suponha que a resistência do material seja uma variável aleatória com distribuição normal com X = 2,5 MPa.
No exemplo anterior = 1,5 MPa seria uma boa escolha?
Assim, a resistência de um corpo de prova seria determinada, testada e:– Se estiver no intervalo entre (50,0 ± 1,5) MPa afirma-se que = 50 MPa;– Caso contrário, afirma-se que 50 MPa.
Este é um bom teste?
51,548,5
Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.14)
Para responder esta questão, suponha que a resistência do material tenha mesmo média 50 MPa e X = 2,5 MPa:
48,5 51,5
/2 = 0,274/2 = 0,274
z1 = -0,60 z2 = 0,60
60,05,2
0,505,481
z
60,05,2
0,505,512
z
A escolha de = 1,5 MPa não é boa. Quando o material tiver resistência de 50 MPa apenas 45,2% dos ensaios darão a resposta certa. Cerca de 54,8% levarão à conclusão errada, o que é uma margem de erro muito alta!
0,452
50
Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.15)
exemplo 2:exemplo 2:
Suponha que em lugar de ensaiar um corpo de prova, 10 corpos de prova sejam ensaiados e sua média calculada. Se as demais condições forem mantidas, = 1,5 MPa seria uma boa escolha?
Sintetizando o teste:Dez corpos de prova serão ensaiados e resistência média calculada e submetida ao seguinte critério:– Se estiver no intervalo entre (50,0 ± 1,5) MPa afirma-se que = 50 MPa;– Caso contrário, afirma-se que 50 MPa.
E agora: este é um bom teste?
Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.16)
Para responder esta questão, suponha que a resistência do material tenha mesmo média 50 MPa e X = 2,5 MPa. A média de 10 corpos de prova terá desvio padrão de:
90,1790,0
0,505,481
z
90,1790,0
0,505,512
z
Neste caso, a escolha de = 1,5 MPa resulta em uma margem de acerto de 94,2% e uma margem de erro de apenas 5,76%, o que é aceitável. Portanto, para estas condições, = 1,5 MPa é uma boa escolha!
790,010
5,2
nX
5048,5 51,5
/2 = 0,0288/2 = 0,0288
z1 = -1,90 z2 = 1,90
/2 = 0,942
Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.17)
erros de decisãoerros de decisão
Erro tipo I: rejeitar H0 quando esta é verdadeira
Erro tipo II: não rejeitar H0 quando esta é falsa
decisão H0 é verdadeira H0 é falsa não rejeita H0
rejeita H0
decisão correta erro tipo I decisão correta
erro tipo II
– A probabilidade de cometer erro tipo I é denominada “nível de significância” e é denotada por
– A probabilidade de cometer erro tipo II é denotada por
Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.18)
nível de significância (nível de significância ())No exemplo anterior, sendo a distribuição normal, X = 2,5 MPa, n = 10, e = 1,5 MPa. Quanto vale ?
5048,5 51,5
/2 = 0,0288/2 = 0,0288
z1 = -1,90 z2 = 1,90
= P(Z<-1,90) + P(Z>1,90)
= 0,0288 + 0,0288 = 0,0576
5,76% das amostras aleatórias vão rejeitar H0 quando a resistência do material for mesmo 50 MPa. Para diminuir :
– (a) aumentar ou – (b) aumentar n
Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.19)
erro tipo IIerro tipo II
– pode ser calculado para um dado valor específico. Exemplo, seja = 52. Quanto vale ?
2643,0)0,525,515,48( quandoXP
= 0,2643
52
26,43% das amostras aleatórias vão aceitar H0 quando a resistência do material for 52 MPa
5048,5 51,5
Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.20)
erro tipo I versus erro tipo IIerro tipo I versus erro tipo II
• e para várias combinações de n e
9918,0500,00014,0160,520,48
9445,02119,00164,0165,515,48
9705,0500,00114,0100,520,48
8923,02643,00576,0105,515,48
5,5052
X
X
X
X
ememnaceitaçãoderegião
Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.21)
teste de hipóteses: conclusõesteste de hipóteses: conclusões
1. O tamanho da região crítica (aceitação) e podem sempre ser reduzidas pela escolha apropriada dos valores críticos
2. Os erros tipo I e II estão sempre relacionados. Para o mesmo “n” o aumento da probabilidade de um reduz a do outro
3. Para os mesmos valores críticos, o aumento de “n” reduz as probabilidades dos erros I e II
4. Quando H0 é falsa, aumenta quando o valor verdadeiro do parâmetro se aproxima do valor especificado em H0 e vice-e-versa
Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.22)
teste de hipóteses: procedimento geralteste de hipóteses: procedimento geral
1. Identifique o parâmetro de interesse no problema2. Formule a hipótese nula (H0)
3. Formule uma hipótese alternativa apropriada (H1)
4. Defina o nível de significância5. Estabeleça a estatística usada6. Estabeleça a região de rejeição da estatística7. Execute o experimento, obtenha os dados e faça as contas8. Decida se H0 deve ou não ser rejeitada e transponha esta
conclusão para o contexto do problema
Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.23)
2/2/2/2/0
0
0
00
tToutTzZouzZ
tTzZ
tTzZ
seHrejeiteseHrejeiteasalternativhipóteses
dodesconheciconhecido
hipóteses relativas a uma médiahipóteses relativas a uma média
H0: = 0
n
XZ
0
ns
XT 0
Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.24)
Verificar se a condutividade térmica de um certo tipo de tijolo é 0,340 com nível de significância 0,05 a partir de uma amostra com n = 35 que resultou no valor médio 0,343. Sabe-se que = 0,010.
exemplo 3:exemplo 3:
Solução:P1 - parâmetro de interesse: condutividade térmica do tijoloP2 - H0: = 0,340P3 - H1: 0,340P4 - nível de significância: 0,05P5 - é conhecido,
usar a estatística Z < -z 0.025 ou Z > z 0.025
Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.25)
P6 - H0 será rejeitada se o valor de Z, calculado a partir da média dos 35 ensaios, obedecer uma das seguintes condições:
Z < -1.960 ou Z > 1,960P7 - Fazendo as contas:
77,135010,0
340,0343,0
z
P8 - Como -1,960 < 1,77 < 1,960, H0 não pode ser rejeitada, isto é, a pequena diferença entre 0,340 e 0,343 pode decorrer do acaso.
Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.26)
Um certo tipo de barbante deve apresentar resistência média à ruptura de 180 N. Se cinco pedaços, selecionados aleatoriamente de alguns rolos apresentaram média 169,5 N com s = 5,7 N. Teste a H0 = 180 N contra H1 < 180 N com = 0,01. Assuma que a população é normal.
exemplo 4:exemplo 4:
Solução:P1 - parâmetro de interesse: resistência do barbanteP2 - H0: = 180 NP3 - H1: < 180 NP4 - nível de significância: 0,01P5 - não é conhecido,
usar a estatística T < -t 0.01 para = 4
ns
XT 0
Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.27)
P6 - H0 será rejeitada se o valor de T, calculado a partir da média dos cinco ensaios, obedecer a seguinte condição:
T < -3,747P7 - Fazendo as contas:
12,457,5
0,1805,169
t
P8 - Como o valor obtido é menor que o crítico, rejeita-se H0 e aceita-se a hipótese de que a resistência média do barbante é mesmo menor que 180 N.
Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.28)
2/2/2/2/21
21
21
00
tToutTzZouzZ
tTzZ
tTzZ
seHrejeiteseHrejeiteasalternativhipóteses
dodesconheciconhecido
221 nn
hipóteses relativas a duas médiashipóteses relativas a duas médias
H0: 1 - 2 =
2
2
1
2
21
21
)(
nn
XXZ
XX
21
2121
222
211
21 )2(.
)1()1(
)(
nn
nnnn
snsn
XXT
Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.29)
exemplo 5:exemplo 5:
Solução:P1 - parâmetro de interesse: diferença de resistênciaP2 - H0: = 0,050
P3 - H1: > 0,050
P4 - nível de significância: 0,05P5 - não é conhecido, mas n > 30
é possível usar a estatística Z > z 0.05
ns
XT 0
Verifique se a diferença entre a resistência elétrica entre dois condutores é maior que 0,050 com nível de significância = 0,05. Uma amostra com n = 32 foi extraída de cada condutor resultando em: X1 = 0,136 e s1 = 0,004 e X2 = 0,083 e s2 = 0,005 .
Albertazzi.Inferências Relativas à Média. (5.30)
P6 - H0 será rejeitada se o valor de Z, calculado a partir da diferença das médias dos 32 ensaios, obedecer a condição:
Z > 1,645P7 - Fazendo as contas:
65,2
32)005,0(
32)004,0(
050,0083,0136,022
z
P8 - Como 2,65 > 1,645 rejeita-se a H0 e afirma-se que a resistência do primeiro condutor é maior que a do segundo em pelo menos 0,050 .