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Elementos Finitos - Teoria na Prtica
22 de maio de 2015
Valdir M Cardoso
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Elementos Finitos - Teoria na Prtica
Objetivo
Apresentar conceitos fundamentais e esclarecer algumas dvidas comuns com respeito
tcnicas de modelamento e simplificaes em anlises de elementos finitos.
Ao final desta apresentao espera-se que o ouvinte seja capaz de:
Ter em mente um processo eficiente para realizao de anlises
Questionar a acuracidade de uma anlise
Aplicar tcnicas de modelamento otimizadas
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Elementos Finitos - Teoria na Prtica
Definio do Problema
Esttico x Dinmico
Linear x No-linear
Sistema de Unidades Consistente
Seleo de Elementos e Discretizao
Singularidade Numrica
Simetria em Modelos
Conexo Shell-to-Solid
Diferenas entre RBE2 e RBE3
Agenda
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Elementos Finitos - Teoria na Prtica
Definio do Problema
Mtodo dos Elementos Finitos
Trata-se de um mtodo para resolver equaes
diferenciais parciais de forma aproximada,
sendo portanto aplicvel em praticamente
qualquer campo de Engenharia.
Problema fsico
Modelo Matemtico Hipteses de:
Geometria, Leis de Material,
Carregamento, Cinemtica
etc.
Soluo de Elementos
Finitos Escolha de:
Elementos, Densidade de Malha,
Parmetros de Soluo
Representao de:
Carregamento, Condies
Contorno, etc.
Verificao da acuracidade
da soluo
Refinar malha,
parmetros, etc.
Interpretao de resultados Refinar a
anlise
Melhorar o
modelo
Alterao do
problema fsico
Melhoria / Otimizao
estrutural
Conceito de hierarquia de
modelos
Comear de forma simplificada
para ganhar entendimento sobre a
fsica do problema e ento incluir
efeitos de maior complexidade de
forma gradativa.
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Problema fsico
Modelo Matemtico Hipteses de:
Geometria, Leis de Material,
Carregamento, Cinemtica
etc.
Soluo de Elementos
Finitos Escolha de:
Elementos, Densidade de Malha,
Parmetros de Soluo
Representao de:
Carregamento, Condies
Contorno, etc.
Verificao da acuracidade
da soluo
Refinar malha,
parmetros, etc.
Interpretao de resultados Refinar a
anlise
Melhorar o
modelo
Alterao do
problema fsico
Melhoria / Otimizao
estrutural
Definio do Problema
Esttico x Dinmico
Linear x No-linear
Sistema de Unidades Consistente
Condies de Contorno
Amortecimento
Diferena modelo x prottipo
Filtros / Simplificaes etc...
tfKxxCxM
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Idealizao de Sistemas
http://www.oregon.gov/ODOT/HWY/REGION2/pages/ast
oria_megler_bridge_painting_phase2.aspx
Problema fsico Representao 1D
Representao em casca Representao em slidos
A complexidade do problema fsico infinita e o seu modelo deve represent-la apenas
dentro da preciso requerida, ao menor custo possvel
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Elementos Finitos - Teoria na Prtica
Idealizao de Sistemas
? ? ?
Qual abordagem escolher?
Escolha de acordo com o nvel de detalhes e resposta desejados!
Furos:
Se necessrios, descartam a
abordagem 1D
Adio de reforos:
Pode exigir modelamento em
casca ou em slido
Contato:
Pode ser melhor representado
por elementos slidos
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Esttico x Dinmico
Esttica Dinmica
Efeitos inerciais so importantes
Tempo de durao do evento altera o fenmeno
Efeitos inerciais desprezados
Tempo de durao do evento no influencia os resultados
fKx tfKxxCxM
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Linear x No-Linear
Linear
Condio fundamental: rigidez [K] mantida constante
= {}
Proporcionalidade entre causas e efeitos
F
U
K
No-Linear
Rigidez [K] variando ao longo da anlise
Pode se dar por 3 meios:
Material
Geomtrica
Contato
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Sistema de Unidades Consistente
]Acelerao de [Unidade Massa]de [Unidade Fora]de [Unidade
2Tempo] de [Unidade
o]Compriment de [Unidade]Acelerao de [Unidade
As unidades escolhidas devem ser "auto consistentes", ou seja, os resultados derivados
podem ser expressos em termos das unidades fundamentais sem a necessidade de
fatores de converso.
Uma forma de se verificar a consistncia fazendo a anlise dimensional, onde:
e
tfKxxCxM
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Tabela Prtica de Sistemas de Unidades Consistentes
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Problema fsico
Modelo Matemtico Hipteses de:
Geometria, Leis de Material,
Carregamento, Cinemtica
etc.
Soluo de Elementos
Finitos Escolha de:
Elementos, Densidade de Malha,
Parmetros de Soluo
Representao de: Carregamento, Condies
Contorno, etc.
Verificao da acuracidade
da soluo
Refinar malha,
parmetros, etc.
Interpretao de resultados Refinar a
anlise
Melhorar o
modelo
Alterao do
problema fsico
Melhoria / Otimizao
estrutural
Seleo de Elementos e Discretizao
Singularidade Numrica
Simetria em Modelos
Conexo Shell-to-Solid
Diferenas entre RBE2 e RBE3
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Seleo de Elementos e Discretizao
No geral, uma grande variedade de tipos de elementos est disponvel nas bibliotecas dos
softwares de elementos finitos, cada um possuindo uma formulao diferente e
procurando simular um comportamento diferente.
CTETRA
CTRIA3/CTRIA6
CPYRA
CQUAD4/CQUAD8
CPENTA
CBAR/CBEAM
CHEXA
CBUSH
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Exemplo
F
b
L h
E,
F = 1000 N
L = 1500 mm
b = 20 mm
h = 100 mm
E = 210 GPa, = 0.3
Tenso de flexo em L/2
= 22.5 MPa
Deslocamento mximo, na
extremidade livre
= 3.2
h
b L
Modelos slidos:
CTETRA (1 e 2 ordem) e CHEXA (1 e 2 ordem), com
(L x h x b):
(6 x 1 x 1); (12 x 2 x 1); (12 x 4 x 2) e (24 x 8 x 4)
Detalhes dos Modelos do Exemplo
Modelos 1D:
CBEAM (1 ordem) com (L):
(1); (2); (4); (8) e (16)
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Resultados
(24 x 8 x 4) (12 x 4 x 2) (12 x 2 x 1) (6 x 1 x 1) (24 x 8 x 4) (12 x 4 x 2) (12 x 2 x 1) (6 x 1 x 1)
CBEAM (1 ordem)
(1 elemento)
Resultado correto j no modelo com 1 nico elemento.
A teoria a mesma, assume as mesmas hipteses!
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Resultados
CTETRA (1 ordem)
(6x1x1)
CTETRA (1 ordem)
(24x8x4)
CTETRA (1 ordem)
(12x4x2)
ELEMENTO DE DEFORMAES CONSTANTES!
Com bastante refinamento obtm-se uma resposta aceitvel
CTETRA (1 ordem)
(192x32x8)
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Singularidade Numrica
comum que se realize simplificaes em modelos de elementos finitos, como por
exemplo remoo de raios e furos. Sabe-se tambm que h a necessidade de realizar um
estudo de convergncia de malha para garantir a qualidade dos resultados, no entanto,
esta combinao pode nos levar a erros de interpretao de resultados, causados pelas
singularidades numricas.
Exemplo
M
H
h
r
t
Tenso mxima de flexo
=
= 363 MPa
H = 120 mm
h = 80 mm
t = 20 mm
r = 16 mm
M = 5kNm
Fator de concentrao (Scc): 1.5
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Resultados Simplificado ("Canto vivo")
Detalhado (Raio)
% = 32% % = 26%
% = 9% % = 3%
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Simetria em Modelos
Aplica-se simetria em modelos de elementos finitos objetivando-se a reduo de custo
computacional. Um "efeito adicional", que para alguns casos, a adio de uma condio
de simetria auxilia na estabilidade do modelo.
De forma geral, aplicar uma condio de simetria se
resume a RESTRINGIR OS GRAUS DE LIBERDADE
DOS NS PRESENTES NO PLANO DE SIMETRIA
NAS DIREES QUE FARIAM COM QUE TAIS NS
ATRAVESSASSEM O PLANO.
Plano de Simetria Graus a restringir
xy Tz, Rx e Ry (3,4,5)
xz Ty, Rx e Rz (2,4,6)
yz Tx, Ry e Rz (1,4,6)
Ti: Graus de liberdade de Translao
Ri: Graus de liberdade de Rotao
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Exemplo
Contato entre dois cilindros
Faces restritas
em Tx (1) Faces restritas
em Ty (2)
Face restrita
em Tz (3)
Presso
(normal)
1/8 de cada cilindro modelado
No caso dos ns de elementos slidos, pelo fato de possurem
apenas graus de translao, as rotaes no precisam de restrio.
IMPORTANTE: GEOMETRIA E CARREGAMENTOS DEVEM SER SIMTRICOS
NECESSRIO DIVIDIR A CARGA DE ACORDO COM A SIMETRIA:
MODELO CARGA;
MODELO CARGA;
Etc.
F
F
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Acoplamento entre Casca e Slido
Enquanto os ns de elementos slidos possuem apenas graus de liberdade de translao
(Tx, Ty e Tz), as formulaes de elementos de casca assumem hipteses estruturais que
contabilizam tambm as rotaes (Rx, Ry e Rz). Portanto, percebe-se que a unio direta
entre estes tipos de elementos gera uma incompatibilidade cinemtica.
Slido
Casca
IMPORTANTE: NO SE AVALIA RESULTADOS NESTE TIPO DE CONEXO, DEVE
SER FEITO AFASTADO DAS REGIES DE INTERESSE, APENAS PARA REDUO
DE TEMPO COMPUTACIONAL
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Possveis Solues
Slido
Casca
Constraint TIE
ns da casca x superfcie do slido Slido
Casca
Elemento de casca
interno adicional Slido
Casca
Elementos de casca
externos adicionais
Constraint TIE Casca interna Casca externa
Exemplo
0.1 m
0.0
2 m
Casca
Slido
E = 2e11 Pa
= 0.29
= 7.85e3 kg/m
Frequncia natural do primeiro modo de vibrar:
1 = 0.748
3 = 7.25 Hz
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Resultados Livre
Casca interna Casca externa
TIE
E% = 100%
(movimento de corpo rgido)
E% = -0.7%
E% = 0.0% E% = 0.0%
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Diferenas entre RBE2 e RBE3
Definio prtica, vlida para os dois tipos:
O movimento de um grau de liberdade ser dependente do movimento de pelo menos
um outro grau de liberdade.
RBE2 RBE3
O movimento do n INDEPENDENTE, governa o movimento
dos ns DEPENDENTES (deslocamento relativo igual a zero)
Existir uma conexo rgida vinculando os graus de liberdade
destes ns, portanto adiciona rigidez estrutura.
O usurio define quais graus de liberdade sero vinculados.
O movimento do n DEPENDENTE, ser governado pela
mdia do movimento dos ns INDEPENDENTES
No um elemento rgido, portanto no adiciona rigidez
estrutura.
O usurio define quais graus de liberdade sero vinculados.
N INDEPENDENTE
Ns DEPENDENTES
N DEPENDENTE
Ns INDEPENDENTES
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Exemplo
Bordas fixas
F
Como aplicar a fora distribuda nos ns
da placa?
RBE2 RBE3
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Concluses
Problema fsico
Modelo Matemtico Hipteses de:
Geometria, Leis de Material,
Carregamento, Cinemtica
etc.
Soluo de Elementos
Finitos Escolha de:
Elementos, Densidade de Malha,
Parmetros de Soluo
Representao de: Carregamento, Condies
Contorno, etc.
Verificao da acuracidade
da soluo
Refinar malha,
parmetros, etc.
Interpretao de resultados Refinar a
anlise
Melhorar o
modelo
Alterao do
problema fsico
Melhoria / Otimizao
estrutural
Neste material procurou-se cobrir alguns dos aspectos fundamentais de anlises de
elementos finitos, alm da apresentao de alguns conceitos e tcnicas de modelamento.
Dentro do fluxo de trabalho apresentado, percebe-se que os assuntos abordados se
concentraram nas fases de Modelo Matemtico, Soluo de Elementos Finitos e
Verificao de Acuracidade da Soluo.
Para os mais variados problemas fsicos de Engenharia, estas fases devem ser
dominadas em sua essncia, possibilitando o emprego adequado da teoria para soluo
de problemas prticos.
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Elementos Finitos - Teoria na Prtica
Pesquisa de Satisfao
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Obrigado!
Valdir Mendes Cardoso [email protected]
Suporte Altair Brasil [email protected]
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Extras
Bases para formulao
Ponte de Tacoma
Anlise Modal
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Desastre da Ponte Estreita de Tacoma
Isto poderia ser evitado?
uma falha de engenharia
Antiga Nova
Antiga
Nova
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Por que anlise modal?
Primeiro sempre devemos fazer uma anlise modal, com ela podemos entender o
comportamento global do sistema
Primeiro identificando as freqncias naturais do sistema tanto o valor como a
forma.
Mesmo num caso esttico, podemos usar a anlise modal para verificar a
existncia de movimentos de corpo rgido.
Verificar as condies de contorno.
Com a energia de deformao modal o engenheiro pode entender onde o modelo
tem maior sensibilidade, em termos de rigidez.
Finalmente num problema com cargas dinmicas a anlise modal ajuda a prever
a resposta.
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