Anagramas

As permutaes so agrupamentos formados pelos mesmoselementos, por isso diferem entre si somente pela ordem dos mesmos.

Por exemplo, se C = (2, 3, 4), as permutaes simples de seus elementos so: 234, 243, 324, 342, 423 e 432.

Indicamos o nmero de Permutaes simples de n elementos distintos porPn = n!

Exemplo 1

Quais os anagramas da palavra AMOR?Um anagrama formado com A, M, O, R corresponde a qualquer permutao dessas letras, de modo a formar ou no palavras.

Temos 4 possibilidades para aprimeira posio, 3 possibilidades para a segunda posio, 2 possibilidades para a 3 posio e 1 possibilidade para a quarta posio.

Pelo princpiofundamentalda contagem temos 4 * 3 * 2 * 1 = 24 possibilidades ou 24 anagramas.Alguns anagramas: ROMA, AMRO, MARO, ARMO, MORA . . .

Exemplo 2

Formar os anagramas a partir da palavra PATO.

Pelo Princpio Fundamental da Contagem podemos dizer que possvel formar 24 sequncias.

P4 = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24

PATO PAOT POTA POAT PTOA PTAOAPTO APOT ATPO ATOP AOTP AOPTTAPO TAOP TOPA TOAP TPAO TPOA

Exemplo 3

Carlos e Rose tm trs filhos: Srgio, Adriano e Fabola. Eles querem tirar umafoto de recordaona qual todos apaream lado a lado. Quantas fotos diferentes podem ser registradas?

A forma como iro se distribuir corresponde a uma permutao entre eles, ento:

P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 formas distintas.

Arranjo ou Combinao?

Nas situaes envolvendoproblemas de contagem podemos utilizar o PFC (Princpio Fundamental da Contagem). Mas em algumas situaes os clculos tendem a se tornar complexos e trabalhosos. Visando facilitar o desenvolvimento de tais clculos, alguns mtodos e tcnicas foram desenvolvidos no intuito de determinar agrupamentos nos problemas de contagem, consistindo nos Arranjos e nas Combinaes.

Vamos estabelecer algumas diferenas entre arranjos e combinaes. Os arranjos so caracterizados pela naturezae pela ordem dos elementos escolhidos. J as combinaes so caracterizadas pela natureza dos elementos.

Arranjos

Dado o conjunto B = {2, 4, 6, 8}. Os agrupamentos de doiselementosdo conjunto B, so:

{(2,4), (2,6), (2,8), (4,2), (4,6), (4,8), (6,2), (6,4), (6,8), (8,2), (8,4), (8,6)}

Veja que cada arranjo diferente do outro. Portanto, so caracterizados:

Pela natureza dos elementos: (2,4) (4,8)Pela ordem dos elementos: (1,2) (2,1)A frmula geral utilizada no clculo da quantidade de arranjos simples :

Exemplo 2:Quantas palavras (com sentido ou no) de 5 letras distintas podemos formar com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto?No necessrio montar todas os arranjos possveis para saber a sua quantidade, basta aplicar a frmula:An , p=n! (n p)!

Sendo que o conjunto formado por 20 elementos (n = 20) que sero unidos de 5 em 5 (p = 5). Substitua a frmula.

Portanto, a quantidade de arranjos formados com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto unidas de 5 em 5 1860480.

Combinao

Em uma festa de aniversrio ser servido sorvete aos convidados. Sero oferecidos os sabores de morango (M), chocolate (C), baunilha (B) e ameixa (A) e o convidado dever escolher dois entre os quatro sabores. Notemos que,no importaa ordem em que os sabores so escolhidos. Se o convidado escolhermorango e chocolate{MC} ser a mesma coisa que escolher chocolate e morango {CM}. Nesse caso, podemos ter escolhas repetidas, veja: {M,B} = {B,M}, {A,C} = {C,A} e assim sucessivamente.

Portanto, na combinao os agrupamentos so caracterizados somente pela natureza dos elementos.

Exemplo 1 Arranjos simples

Em um colgio, dez alunos candidataram-se para ocupar os cargos de presidente e vice-presidente do grmio estudantil. De quantas maneiras distintas a escolha poder ser feita?

Temos dez alunos disputando duas vagas, portanto, dez elementos tomados dois a dois.

Exemplo 2 Combinaes

Lucas vai realizar uma viagem e quer escolher quatro entre nove camisetas. De quantos modos distintos ele pode escolher as camisetas?

Temos nove camisetas tomadas quatro a quatro.

- IntroduoFoi a necessidade de calcular o nmero de possibilidades existentes nos chamadosjogos de azarque levou ao desenvolvimento da Anlise Combinatria, parte da Matemtica que estuda os mtodos de contagem. Esses estudos foram iniciados j no sculo XVI, pelo matemtico italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).A Anlise Combinatria visa desenvolver mtodos que permitam contar -de umaforma indireta- o nmero de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condies.2 - FatorialSejanumnmero inteirono negativo. Definimos o fatorial den(indicado pelo smbolo n! ) como sendo:

n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1para n 2.

Para n = 0 , teremos : 0! = 1.Para n = 1 , teremos : 1! = 1Exemplos:

a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720b) 4! = 4.3.2.1 = 24c) observe que 6! = 6.5.4!d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1e) 10! = 10.9.8.7.6.5!f ) 10! = 10.9.8!3 - Princpio fundamental da contagem - PFCSedeterminado acontecimento ocorre emnetapas diferentes, e se aprimeira etapapode ocorrer de k1maneiras diferentes, a segunda de k2maneiras diferentes, e assim sucessivamente,entoo nmero total T de maneiras de ocorrer o acontecimento dado por:T = k1. k2. k3. ... . knExemplo:O DETRAN decidiu que as placas dos veculos do Brasil sero codificadas usando-se 3letras do alfabetoe 4 algarismos. Qual o nmero mximo de veculos que poder ser licenciado?

Soluo:

Usando o raciocnio anterior, imaginemos uma placa genrica do tipo PWR-USTZ.Como o alfabeto possui 26 letras e nossosistema numricopossui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1 posio, temos 26 alternativas, e como pode haver repetio, para a 2, e 3 tambm teremos 26 alternativas. Com relao aos algarismos, conclumos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos ento afirmar que o nmero total de veculos que podem ser licenciados ser igual a: 26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no pas existissem 175.760.001 veculos, o sistema de cdigos de emplacamento teria que ser modificado, j que no existiriam nmeros suficientes para codificar todos os veculos.Perceberam?4 - Permutaes simples4.1 -Permutaes simples denelementos distintos so os agrupamentos formados com todos osnelementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.

Exemplo:com oselementos A,B,C so possveis as seguintes permutaes: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.4.2 -O nmero total de permutaes simples denelementos distintos dado por n!, isto Pn= n! onden! = n(n-1)(n-2)... .1 .

Exemplos:

a)P6= 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720b)Calcule o nmero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco lugares.P5= 5! = 5.4.3.2.1 = 120

4.3 -Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou no significado na linguagem comum.

Exemplo:

Os possveis anagramas da palavra REI so:REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER.5 - Permutaes com elementos repetidosSe entre osnelementos de um conjunto, existemaelementos repetidos,belementos repetidos,celementos repetidos e assim sucessivamente , o nmero total de permutaes que podemos formar dado por:

Exemplo:Determine o nmero de anagramas da palavra MATEMTICA.(no considere o acento)

Soluo:Temos 10 elementos, com repetio. Observe que a letra M est repetida duas vezes, a letra A trs , a letra T, duas vezes. Na frmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o nmero procurado, podemos escrever:k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200Resposta: 151200 anagramas.6 - Arranjos simples6.1-Dado um conjunto comnelementos , chama-se arranjo simples de taxak, a todo agrupamento dekelementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocao dos elementos. Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos:a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.6.2 -Representando o nmero total de arranjos denelementos tomadoskak(taxa k) por An,k, teremos a seguinte frmula:

Obs : fcil perceber que An,n= n! = Pn .(Verifique)Exemplo:

Um cofre possui um disco marcado com os dgitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre marcado por uma sequncia de 3 dgitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas dever fazer(no mximo) para conseguir abri-lo?

Soluo:

As sequncias sero do tipo xyz. Para a primeira posio teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Podemos aplicar a frmula de arranjos, mas pelo princpio fundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado:10.9.8 = 720.Observe que 720 = A10,37 - Combinaes simples7.1 -Denominamos combinaes simples denelementos distintos tomadoskak(taxa k) aos subconjuntos formados porkelementos distintos escolhidos entre osnelementos dados. Observe que duas combinaes so diferentes quando possuem elementos distintos, no importando a ordem em que os elementos so colocados.

Exemplo:

No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar:a) combinaes de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd.b) combinaes de taxa 3: abc, abd,acd,bcd.c) combinaes de taxa 4: abcd.7.2 -Representando por Cn,ko nmero total de combinaes denelementos tomadoskak(taxa k) , temos a seguinte frmula:

Nota: o nmero acima tambm conhecido comoNmero binomiale indicado por:

Exemplo:

Uma prova consta de 15 questes das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poder escolher as 10 questes?

Soluo:

Observe que a ordem das questes no muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de combinao de 15 elementos com taxa 10.

Aplicando simplesmente a frmula chegaremos a:C15,10= 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3003

Agora que voc viu o resumo da teoria, tente resolver os 3 problemas seguintes:01 - Um coquetel preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos coquetis diferentes podem ser preparados?Resp: 12002 - Sobre uma circunferncia so marcados 9 pontos distintos. Quantos tringulos podem ser construdos com vrtices nos 9 pontos marcados?Resp: 8403 - Uma famlia com 5 pessoas possui um automvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos podero se acomodar para uma viagem?Resp: 48Exerccio resolvido:

Um salo tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salo pode estar aberto?

Soluo:

Para a primeira porta temos duas opes: aberta ou fechadaPara a segunda porta temos tambm, duas opes, e assim sucessivamente.Para as seis portas, teremos ento, pelo Princpio Fundamental da Contagem - PFC:N = 2.2.2.2.2.2 = 64Lembrando que uma dessas opes corresponde a todas as duas portas fechadas, teremos entoque o nmero procurado igual a 64 - 1 = 63.

Resposta: o salo pode estar aberto de 63 modos possveis.