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ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DA FORMA DA PROA NOS MOVIMENTOS VERTICAIS DA PROA
DO NAVIO
Victor de Oliveira Petrus Levy
Rio de Janeiro
Março/2014
Projeto de Graduação apresentado
ao Curso de Engenharia Naval e
Oceânica da Escola Politécnica,
Universidade Federal do Rio de
Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do título de
Engenheiro
Orientador:Sergio Hamilton Sphaier
ii
ANÁLISE DA INFLUÊNCIA DA FORMA DA PROA NOS MOVIMENTOS VERTICAIS DA PROA
DO NAVIO
Victor de Oliveira Petrus Levy
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE ENGENHERIA
NAVAL E OCEÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE
JANEIRO COMPARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE
ENGENHEIRO NAVAL E OCEÂNICO
Examinada por:
___________________________________________
Prof° Sergio Hamilton Sphaier, D.Sc.
___________________________________________
Prof° Paulo de Tarso Themistocles Esperança, D.Sc.
___________________________________________
Prof° Claudio Alexis Rodríguez Castillo, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
MARÇO de 2014
iii
Levy, Victor de Oliveira Petrus
Análise da Influência da Forma da Proa nos
Movimentos Verticais da Proa do Navio/ Victor de Oliveira
Petrus Levy. – Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2013
VII, 51p: il: 29,7cm
Orientador: Sergio Hamilton Sphaier
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso
de Engenharia Naval e Oceânica. 2013.
Referencias Bibliográficas: p. 52
1 Problema de Valor de Contorno 2. Teoria das Faixas
3. Petroleiro 4. PSV I Sphaier, Sergio Hamilton II
Universidade Federal do Rio de Janeiro III Título
iv
Resumo do Projeto de graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte dos
requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Naval e Oceânico.
Análise da Influência da Forma da Proa nos Movimentos Verticais da Proa Do Navio
Victor de Oliveira Petrus Levy
Março/2014
Orientador: Sérgio Hamilton Sphaier
Curso: Engenharia Naval e Oceânica
Navios petroleiros de grande porte apresentam baixo número de Froude, visto que estes
são navios de grandes comprimentos e navegam e velocidades relativamente baixas.
Entretanto, é comum vermos este tipo de navios com proa bulbosa, mesmo esta não sendo
interessante do ponto de vista da resistência ao avanço visando à redução do empuxo
necessário para propelir a embarcação. Neste sentido uma investigação sobre a influência
do bulbo nos movimentos verticais do corpo de proa se torna interessante. Além de uma
comparação entre proas de navios com bulbo e sem bulbo, buscaram-se outras concepções
de geometria a serem estudadas, e uma geometria que se mostrou atraente para o estudo
foi a proa do tipo X-Bow comum em navios de apoio offshore, portanto buscou-se fazer
uma análise comparativa entre a proa do tipo X-Bow com proas com bulbo e sem bulbo.
Além do estudo de caso proposto, foram abordadas duas linhas de métodos para a solução
do problema hidrodinâmico, o método bidimensional e o método tridimensional, bem
como os princípios e hipóteses que balizam cada um.
Palavras Chaves: Bulbo, X-Bow, Petroleiro, PSV, Tridimensional, Bidimensional, Teoria das
Faixas.
v
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Engineer
Analysis of the Influence of the Bow Shape on Vertical Motions of the Ship’s Bow
Victor de Oliveira Petrus Levy
March/2014
Advisor: Sérgio Hamilton Sphaier
Course: Marine and Ocean Engineering
Large oil tankers have low Froude number , as these vessels are large in length and
navigate at relatively low speeds . However, it is common to see this type of ship with
bulbous bow , even this is not interesting from the point of view of resistance to progress
in order to reduce the thrust needed to propel the craft . In this sense, an investigation into
the influence of the bulb on the vertical motons of the body of the bow becomes
interesting. In addition to a comparison between prows of ships with bulb and without
bulb, were sought other conceptions of geometry to be studied , and a geometry that has
proven attractive for the study was the bow of the type X- Bow common in offshore
support vessels , so we tried to make a comparative analysis between the bow of the type
X- Bow with prows with bulb and without bulb . In addition to the proposed case study ,
two lines of methods for the solution of the hydrodynamic problem, the two-dimensional
and three-dimensional method as well as the principles and assumptions that guide each
were addressed.
Keywords: Bulbous Bow, X-Bow, Oil Tanker, PSV, three-dimensional, two-dimensional,
Strip Theory.
vi
CONTEÚDO 1 Introdução .................................................................................................................................................... 1
2 Motivação ...................................................................................................................................................... 1
3 Formulação do Problema Hidrodinâmico .................................................................................. 3
3.1 Os Princípios Básicos da Hidrodinâmica ................................................................................. 3
3.2 Os Potenciais de Velocidades ....................................................................................................... 6
3.3 O Problema de Valor de Contorno .............................................................................................. 7
3.3.1 O Domínio Fluido ..................................................................................................................... 7
3.3.2 Problema de Valor de Contorno Para Corpos Com Velocidade de Avanço ...... 8
3.3.3 Problema de Valor de Contorno Para Corpos Sem Velocidade de Avanço .... 19
3.4 As Equações do Movimento ........................................................................................................ 23
3.5 Método Bidimensional - Teoria das Faixas ........................................................................... 29
4 Método Bidimensional X Método tridimensional ................................................................ 33
5 Estudo de caso .......................................................................................................................................... 36
5.1 O Petroleiro ........................................................................................................................................ 41
5.2 O PSV ..................................................................................................................................................... 46
5.3 Comparativo Petroleiro x PSV .................................................................................................... 51
6 Conclusão .................................................................................................................................................... 54
7 Bibliografia ................................................................................................................................................ 55
1
1 INTRODUÇÃO
O presente trabalho tem como objetivo estudar o comportamento dinâmico de um
navio com as mesmas dimensões, porém com variações da geometria do seu corpo. Para
investigar a influencia da geometria do corpo de proa nos movimentos verticais da
embarcação foram escolhidos dois objetos de análise, um petroleiro de grande porte e
uma embarcação de apoio offshore.
Para o estudo do comportamento dinâmico do petroleiro de grande porte serão
analisadas duas concepções de geometrias do corpo de proa, o estudo pretende comparar
os movimentos de verticais do navio com proas com bulbo e sem bulbo. O estudo dos
movimentos da embarcação de apoio offshore também será feito a variação da geometria
com polpa bulbosa e do navio sem bulbo, porém, também serão avaliados os movimentos
verticais do mesmo com a proa com geometria X-BOW.
A escolha por dois tipos de embarcações com dimensões significativamente diferentes
se deu para se poder ter a sensibilidade de quanto à geometria da proa influencia nos
movimentos verticais de uma embarcação em função das suas dimensões, pois é sabido
que as forças e momentos de excitação devido às ondas são relativamente maiores para
navios de pequeno porte do que para aos navios de grande porte. Assim espera-se que a
variação da geometria da proa do navio de apoio offshore influencie mais na amplitude
dos movimentos verticais do corpo de proa do que a variação da geometria do petroleiro.
Para a formulação do problema hidrodinâmico a ser aplicada para se obter os
movimentos dos corpos flutuantes citados existem diversos métodos, que podem ser
subdivididos em duas categorias, os métodos bidimensionais, que usam a teoria de corpos
esbeltos para obter os coeficientes hidrodinâmicos tridimensionais, e os métodos
tridimensionais, cuja precisão dos coeficientes hidrodinâmicos calculados dependem
apenas do tipo de aproximação numérica utilizada (em geral elementos finitos ou o
método da equação integral), do grau e tipo das funções de interpolação e do refinamento
da discretização do domínio.
A fim de se obter resultados acurados para o estudo de caso proposto iremos
primeiramente fazer uma apresentação e discussão do uso de cada tipo de método bem
como os princípios que balizam o desenvolvimento de cada um a fim de escolher o método
que mais se adéqua ao estudo de caso.
2 MOTIVAÇÃO
Não há dúvidas sobre o a influência do bulbo em uma embarcação nas diferentes
componentes da resistência ao avanço do mesmo, a principal componente da resistência
ao avanço afetada pela presença do bulbo é a resistência de ondas, porém, segundo
2
KRATCH [1] para navios com número de Froude
menor do que 0,2 a
resistência em ondas do mesmo é uma parte desprezível da resistência total do navio.
Gráfico 1 - Influencia do Bulbo da Potência Requerida em Função do Número de Froude
Navios petroleiros de grande porte apresentam baixo número de Froude, visto que
estes são navios de grandes comprimentos e navegam e velocidades relativamente baixas.
Entretanto, é comum vermos este tipo de navios com proa bulbosa, mesmo esta não sendo
interessante do ponto de vista da resistência ao avanço visando à redução do empuxo
necessário para propelir a embarcação. Neste sentido, achou-se interessante avaliar a
influencia do bulbo para este tipo de embarcação nos movimentos verticais do corpo de
proa, pois, foi a única razão encontrada para a presença do mesmo em petroleiros, pois
construtivamente, um bulbo não se apresenta interessante para o projeto deste tipo de
embarcação
O estudo de caso da embarcação de apoio offshore foi direcionado no mesmo sentido
do apresentado para o petroleiro, pois estas, apesar de apresentarem número de Froude
relativamente maior do que uma embarcação de grande porte, este ainda é baixo, porém o
grande interesse deste estudo é analisar a vantagem do uso da proa do tipo X-BOW,
desenvolvida pela ULSTEIN [2] em 2005, comparada ao navio com bulbo e sem bulbo.
De acordo com o ULSTEIN [2] a proa do Tipo X-BOW garante ao navio uma entrada
suave em ondas, ocasionando uma redução do spray gerado e baixos níveis de acelerações
verticais. Vamos então comparar as acelerações do proa X-BOW com as demais citadas e
avaliar qual gera menores movimentos verticais. Abaixo pode ser vista uma imagem
interessante comparando um navio com proa X-BOW à outro navio com proa convencional
ensaiados em um tanque de prova. Pode-se notar uma notável diferença no spray gerado
dos diferentes tipos de proa.
3
Figura 1 – Ensaio Comparativo entre a Proa X-BOW e Proa Convencional de um Navio de Apoio
Ofsshore ref [2]
O estudo de caso do PSV também nos permite fazer uma análise comparativa em
relação ao Petroleiro a fim de se observar o comportamento das respostas às forças de
excitação em relação ao comprimento do navio. Sabendo que as forças e momentos de
excitação devido às ondas são relativamente maiores para navios de pequeno porte do que
para aos navios de grande porte, esperamos respostas com maiores amplitudes de
resposta para o PSV do que para o Petroleiro, porém, vamos investigar como o
comportamento oscilatório destas respostas se comporta ao adimensionalizarmos as
mesmas em função da razão comprimento do navio por comprimento de onda.
3 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA HIDRODINÂMICO
Neste capítulo apresenta-se a formulação matemática do problema hidrodinâmico de
navios com e sem velocidade de avanço. Serão abordados os princípios básicos da
Hidrodinâmica, os potenciais de velocidades envolvidos no problema, o problema de valor
de contorno para corpo com e sem velocidade de avanço, e as equações do movimento.
3.1 OS PRINCÍPIOS BÁSICOS DA HIDRODINÂMICA
Um conhecimento profundo da mecânica dos fluidos não é requisito para o
entendimento da teoria do comportamento dinâmico, todavia, um conhecimento básico de
determinados aspectos é necessário para ter as bases do entendimento das equações do
movimento de navios. Nesta seção iremos discutir os princípios básicos da hidrodinâmica
que governam as equações do movimento de corpos flutuante. Os princípios a serem
discutidos aqui são:
Principio da impenetrabilidade
Principio da Conservação de Massa
A segunda Lei de Newton
Vamos então a estes:
4
PRINCIPIO DA IMPENETRABILIDADE
O principio da impenetrabilidade define uma relação entre as componentes das
velocidades das partículas fluidas e do corpo na direção normal ao corpo. No caso de
corpos não porosos essas componentes devem ser iguais:
Ou:
PRINCIPIO DA CONSERVAÇÃO DE MASSA
O principio da conservação da massa é dado pela equação da continuidade dada por:
Assumindo que estamos tratando de fluidos incompressíveis, ou seja, cuja massa
específica permanece constante com o tempo, temos que a equação da continuidade pode
ser escrita na seguinte forma:
Considerando que os efeitos viscosos são desprezíveis, que não há criação de vorticidade e
que as forças de corpo derivam de um potencial podemo tratar o fluido como
irrotacional de forma que pode-se verificar que o escoamento é descrito por uma função
potencial de velocidades tal que:
Substituindo a equação acima na equação da conservação de massa para fluidos
incompressíveis chegamos a:
5
que é a equação de Laplace que governa o comportamento dos escoamentos potenciais
A SEGUNDA LEI DE NEWTON
O movimento de uma partícula fluida, sujeita a ação de forças externa é descrito pela
segunda lei de Newton:
Onde
é o operador derivada substantiva;
é a massa específica do fluido;
representa o campo vetorial de velocidades;
é o volume elementar da partícula fluida;
são as forças ;
são as forças de corpo;
são as forças de superfície;
A derivada substantiva da velocidade define o campo vetorial que representa as
acelerações das partículas fluidas,
Assim aplicando a segundo Lei de Newton ao estudo do movimento de um fluido
incompressível cuja relação entre tensão cisalhante e movimento siga a equação
constitutiva de Stokes chegamos a equação de Navier-Stokes:
Ou
Onde:
6
é a pressão;
é a viscosidade cinemática;
é o operador gradiente;
é o laplaceano;
Assumindo que os efeitos viscosos são desprezíveis, as partículas fluidas passam a
deslizar pelo corpo, permanecendo somente no contorno e a equação de Navier-
Stokes pode ser escrita como:
Supondo que o fluido é incompressível e que os efeitos viscosos são desprezíveis e
as forças de corpo derivam de um potencial temos que não há a criação de vorticidade e
sendo o escoamento inicialmente irrotacional, este permanecerá irrotacional assim:
Que é a equação da Integral da equação de Euler
3.2 OS POTENCIAIS DE VELOCIDADES
Os movimentos dos navios em ondas são decorrentes das pressões atuantes no casco. As
ondas em torno do navio são separadas em três componentes:
Ondas incidentes: são as ondas que incidem sobre o corpo. Podemos representar
estas ondas a partir do seu campo de velocidades dado pelo potencial
representativo das ondas incidentes .
Ondas difratadas: quando as ondas incidentes chegam ao corpo, este não permite
que estas ondas ultrapassem seus limites. Sendo assim, é gerado um escoamento
junto ao casco que neutraliza as ondas incidentes gerando velocidades que se
contraponham às velocidades das ondas incidentes. Assim o potencial de difração
gera velocidades cujas componentes na direção normal ao casco anulem as
componentes das velocidades da onda incidente sobre o casco:
7
Ondas Radiadas: o corpo, além de impedir a passagem das partículas fluidas
através de si, se move, impondo movimento às partículas fluidas gerando assim as
ondas radiadas. Para representá-las, introduzimos um potencial de velocidades, o
potencial de radiação .
Contabilizando então os potenciais apresentados temos o potencial dependente do
tempo que engloba o potencial representativo das ondas incidentes, difratadas e
radiadas pelo corpo:
3.3 O PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO
3.3.1 O DOMÍNIO FLUIDO
Para tratarmos o domínio fluido de interesse que está interagindo com o corpo imerso no
mesmo é conveniente definimos os contornos de tal domínio.
Dividiremos então o domínio fluido em quatro contornos para trabalhar o problema:
1. Contorno na Superfície Livre
2. Contorno na Superfície do Corpo
3. Contorno do Fundo
4. Contorno em uma Superfície muito longe do Corpo
Uma representação esquemática dos contornos pode ser vista na figura abaixo:
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Figura 2 – Os Contornos do Domínio
3.3.2 PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO PARA CORPOS COM VELOCIDADE DE
AVANÇO
Tendo definido os princípios básicos e os potenciais de velocidades vamos então ao
equacionamento do problema para o corpo tridimensional com velocidade de avanço, com
geometria similar a de um navio e simetria em relação ao eixo y=0
As hipóteses simplificadoras básicas, como apresentadas anteriormente, são:
1. Efeitos viscosos desprezíveis
2. Fluido Incompressível
3. Forças do Corpo Derivam de um Potencial
4. Potenciais de Velocidades que Satisfazem a equação de Laplace
Para um navio com velocidade de avanço, é intuitivo pensar que este, ao encontrar
ondas pelo proa (sendo para este estudo as ondas monocromáticas) não oscilará na
frequência das ondas. O navio então oscilará em uma frequência dada como frequência de
encontro com as ondas que é dada pela seguinte expressão:
Onde:
é a frequência da onda
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é o número de onda
é a velocidade de avanço do navio
é o ângulo que a direção de propagação das ondas faz com o eixo longitudinal do navio
3.3.2.1 O potencial de Velocidades de um Corpo Com Velocidade de
Avanço
O potencial de velocidade, que foi apresentado anteriormente agora irá apresentar duas
novas parcelas devido à velocidade de avanço. Uma parcela devido ao potencial
representativo da perturbação devida a presença do corpo quando em avanço uniforme
em ondas ( )(potencial representativo das ondas geradas pelo corpo) e outro devido
propriamente a velocidade de avanço em sua direção de propagação:
Onde:
é o potencial total de um corpo como velocidade de avanço
é a velocidade de avanço do corpo
é o potencial representativo da perturbação devida a presença do corpo quando
em avanço uniforme sem ondas ( )
potencial dependente do tempo que engloba os potencial representativo das ondas
incidentes, difratadas e radiadas pelo corpo.
é o potencial representativo das ondas incidentes
é o potencial representativo das ondas difratadas
potencial representativo das ondas radiadas
3.3.2.2 Condição de Contorno na Superfície Livre
A superfície livre do domínio fluido pode ser descrita pela seguinte função:
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Onde representa a elevação da superfície livre.
As condições que devem ser satisfeitas na superfície livre são:
1. Condição de contorno dinâmica o fluido deve ser capaz de “sustentar” a
pressão atuante por agentes externos
2. Condição de contorno cinemática: deve haver a concordância entre os
movimentos da superfície e da partícula fluida
Condição de Contorno Dinâmica
Esta condição determina que a pressão na superfície livre seja constante e igual a pressão
dos agente externos. A pressão dos “agentes externos” neste caso pode ser descrita como a
pressão atmosférica. Esta condição de contorno é definida pela integral da equação de
Euler:
Sendo:
= pressão atmosféfica
= Massa especifica do meio fluido
= aceleração da gravidade
A ser satisfeita em:
Podemos observar que a o conjunto de equações acima apresenta uma nova incógnita
além do potencial de velocidades que é dada por e soma ao nosso problema uma
condição não linear uma vez que a equação acima terá de ser avaliada em ,
que desconhecemos.
Para equacionar o problema de valor de contorno a fim de determinar a função potencial
de velocidades iremos então fazer algumas simplificações. Estas serão:
A grandeza da amplitude dos movimentos descritos pelo corpo é muito inferior
à ordem de grandeza das seções transversais do corpo de forma que a
perturbação imposta às partículas fluidas pode ser considera muito pequena e
os termos de ordem superior podem ser considerados desprezíveis.
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Assumiremos também que a pressão atmosférica será constante e igual a zero
As amplitudes das ondas possuem ordem de grandeza inferior ao
comprimento destas avaliaremos as equações em seu ponto médio, ou seja em
z=0.
Com, estas simplificações, as quais chamaremos de linearização do problema, e avaliando
na superfície z=0 a expressão da Integral da Equação de Euler pode ser reescrita na
seguinte forma:
A partir da equação acima conseguimos então descrever a expressão da superfície livre em
função do potencial de velocidades avaliado na superfície z =0:
Condição de Contorno Cinemática
A condição de contorno cinemática é presente porque deve haver concordância entre os
movimentos da superfície livre e da partícula fluida, ou seja, uma partícula que pertence a
superfície livre em um determinado instante continuará pertencendo a esta superfície. Em
outras palavras, a componente da velocidade da partícula na direção normal ao perfil da
onda é igual a componente da velocidade do perfil de onda nesta direção. De forma
matemática temos:
Que também pode ser escrita como:
A ser satisfeita em
Desenvolvendo a equação acima e lembrando que:
Temos:
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Lembrando que:
Temos:
Analogamente ao caso da condição dinâmica, a equação acima apresenta uma nova
incógnita além do potencial de velocidades que é dada por e soma ao nosso
problema uma condição não linear uma vez que a equação acima terá de ser avaliada em
.
Linearizando e avaliando na superfície z=0 temos então:
Com as equações das condições dinâmicas e cinemáticas podemos então por fim montar e
condição de contorno da superfície livre. Atentando para a equação cinemática podemos
ver que esta depende da equação que descreve o contorno da superfície livre, equação esta
que foi formulada em função do potencial de velocidades quando desenvolvemos e
condição de contorno dinâmica. Assim, substituindo a equação do contorno da superfície
livre formulada a partir da condição dinâmica na condição cinemática temos por fim a
condição de contorno na superfície livre.
As equações a serem manipuladas são:
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Então a condição de superfície livre será:
A ser satisfeita em z=0
3.3.2.3 Condição de Contorno na Superfície do Corpo
No caso do problema do movimento de um corpo flutuante em ondas, a condição de
contorno na superfície do corpo impõe que a velocidade do fluido na direção normal a
superfície do seja igual a velocidade do corpo nesta direção. Assim, descrevendo a
superfície do corpo por a condição de impenetrabilidade do fluido através dela
é satisfeita se:
Válida na posição instantânea do corpo
onde
- velocidade linear do centro do sistema fixo ao corpo
- velocidade angular do corpo
- vetor normal à superfície do corpo, voltado para fora do domínio fluido
- raio vetor de um ponto da superfície do corpo
Que também pode ser escrita como:
Esta condição de contorno tem que ser aplicada na superfície do corpo que
desconhecemos a princípio. O objetivo do estudo é obtermos os movimentos do corpo.
Esta formulação se baseia no principio da impenetrabilidade apresentado a na hipótese de
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que a amplitude de movimentos realizados pelo corpo é muito inferior ao seu tamanho,
então poderemos considerar que o corpo realiza pequenos deslocamentos.
O desenvolvimento da condição de contorno junto à superfície possui um
desenvolvimento um pouco mais complexo que a condição de contorno na superfície livre
apresentada por isso será apresentado somente o resultado desta formulação.
Assim a condição de contorno junto a superfície do corpo é dada por:
Onde:
= deslocamento linear do corpo
= deslocamento angular do corpo
Como estamos tratamos de pequenos deslocamentos, podemos então trabalhar os
deslocamentos angulares como vetores, então o vetor deslocamento pode ser tratado aqui
como:
Assim a condição de contorno na superfície do corpo pode ser escrita na seguinte forma:
Pode-se perceber que foi inserido um novo vetor na expressão acima, o vetor m. Este
vetor, para os seis graus de liberdade que o corpo possui dado por:
Vetor m para os deslocamentos lineares:
Vetor m para os deslocamentos angulares:
Assim para os 6 graus de liberdade temos:
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3.3.2.4 Condição de Contorno do Fundo
Nesta condição de contorno iremos assumir o fundo da região fluida como sendo plano e
horizontal. Assim, podemos descrevê-lo como:
A condição de contorno do fundo é regida pelo princípio da impenetrabilidade abordado
anteriormente. Assim, a condição de contorno do fundo implica que a velocidade das
particular na direção perpendicular ao fundo seja igual a velocidade normal ao fundo.
Assim, como o fundo não apresenta velocidade, temos que a velocidade das partículas na
direção normal ao fundo da região fluida deve ser nula. Matematicamente esta condição é
expressa por:
3.3.2.5 Condição de Contorno de Radiação
Esta condição de contorno garante que a perturbação produzido sobre o meio fluido pelos
movimentos de corpo desaparece em regiões afastadas do corpo. A condição de contorno
de radiação permite que não necessitemos avaliar nosso problema de valor de contorno
no fundo e na superfície livre até o infinito. Seguindo o Principio de SOMMERFELD [3] “as
fontes devem ser fontes e não sumidouros de energia. A energia que é irradiada das fontes
deve ser dissipada no infinito, nenhuma energia deve ser irradiada do infinito à região
considerada”. A tradução matemática para esta condição de contorno desenvolvida por
Sommerfeld é dada por:
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Onde:
é o número de onda
é o raio vetor posição
3.3.2.6 Problema de Valor de Contorno para Corpos Com Velocidade de
Avanço Para os Diversos Potenciais
A partir do problema de valor de contorno estabelecido é possível então obter a solução
para os diversos potenciais de velocidades apresentados, lembrando que estes devem
satisfazer a equação de Laplace, vamos resolver então o problema de valor de contorno
para os diversos potenciais para corpos com velocidade de avanço como se segue:
Potencial do Problema Estacionário
O potencial deve satisfazer a equação de Laplace, como se segue:
A condição de Contorno na superfície livre a ser respeitada é:
A ser satisfeita em z=0
Para que não necessitemos avaliar nosso problema de valor de contorno na
superfície livre até o infinito, inserimos também a condição de contorno radiação a
fim de truncar a nossa avaliação a uma distância do corpo grande o suficiente para
não sentirmos mais o efeito das ondas radiadas. Assim a condição de contorno a
ser respeitada é:
A condição de contorno a ser satisfeita na superfície do Fundo é:
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A ser satisfeita em z=-h
A condição de impenetrabilidade a ser satisfeita na superfície do corpo será:
Potencial da onda Incidente
O potencial deve satisfazer a equação de Laplace, como se segue:
A condição de Contorno na superfície livre a ser respeitada é :
Sendo o potencial de ondas incidentes uma função harmônica no tempo, podemos
escrever:
Como discutido anteriormente, um corpo dotado com velocidade de avanço não
oscilará na frequência da onda e sim em uma frequência dada como frequência de
encontro com as ondas que é dada pela seguinte expressão:
Assim temos que a condição de contorno da superfície livre pode ser escrita como:
A ser satisfeita em z=0
A condição de contorno a ser satisfeita na superfície do fundo é:
A ser satisfeita em z=-h
A condição de impenetrabilidade a ser satisfeita na superfície do corpo será:
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Potencial de Difração
O potencial deve satisfazer a equação de Laplace, como se segue:
A condição de Contorno na superfície livre a ser respeitada é :
Analogamente ao potencial de ondas incidentes, o potencial das ondas difratadas é
uma função harmônica no tempo e pode ser escrito na seguinte forma:
Sendo a frequência de oscilação do corpo a frequência de encontra com as ondas
dada por:
Temos que a condição de contorno da superfície livre pode ser escrita como:
A ser satisfeita em z=0
Para que não necessitemos avaliar nosso problema de valor de contorno na
superfície livre até o infinito, inserimos também a condição de contorno radiação a
fim de truncar a nossa avaliação a uma distância do corpo grande o suficiente para
não sentirmos mais o efeito das ondas radiadas. Assim a condição de contorno a
ser respeitada é:
A condição de contorno a ser satisfeita na superfície do fundo é:
A ser satisfeita em z=-h
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Como discutido é gerado um escoamento junto ao casco que neutraliza as ondas
incidentes gerando velocidades que se contraponham às velocidades das ondas
incidentes. Assim o potencial de difração gera velocidades cujas
componentes na direção normal ao casco anulem as componentes das velocidades
da onda incidente sobre o casco. Assim, a condição de contorno na superfície do
corpo a ser respeitada pelo potencial das ondas difratadas é:
Potencial de Radiação
O potencial deve satisfazer a equação de Laplace, como se segue:
A condição de Contorno na superfície livre a ser respeitada é :
Para truncar a solução a uma distancia grande o suficiente do corpo a condição de
contorno de radiação implica que:
A condição de contorno a ser satisfeita na superfície do fundo é:
A ser satisfeita em z=-h
A condição de impenetrabilidade a ser satisfeita na superfície do corpo será:
3.3.3 PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO PARA CORPOS SEM VELOCIDADE DE
AVANÇO
Após apresentar as condições de contorno para corpos com velocidade de avanço vamos
agora apresentá-las para corpos estacionários. As leis e princípios aplicados
anteriormente são igualmente válidos para os corpos estacionários e a única modificação
nas condições de contorno do apresentado anteriormente é que os ternos onde a
velocidade de avanço estava presente agora serão nulos, assim temos:
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O potencial de Velocidades será:
Onde:
é o potencial total de um corpo estacionário
é o potencial representativo das ondas incidentes
é o potencial representativo das ondas difratadas (perturbação das ondas
incidentes pela presença do corpo)
é o potencial representativo das ondas radiadas ( ondas que se radiam para o
fluido pelos movimentos do corpo)
Condição de Contorno na Superfície Livre
A condição de contorno a ser satisfeita na superfície livre será:
A ser satisfeita em z=0
Condição de Contorno na Superfície do Corpo
A condição de contorno a ser satisfeita na superfície do corpo será:
Válida na posição instantânea do corpo
Que também pode ser escrita como:
Condição de Contorno na Superfície do Fundo
A condição de contorno a ser satisfeita na superfície do fundo permanece
inalterada sendo esta:
Condição de Contorno na Superfície de Radiação
21
A condição de contorno de radiação permanece inalterada:
3.3.3.1 Problema de Valor de Contorno Para Corpos Sem Velocidade de
Avanço Para os Diversos Potenciais Tendo apresentado a solução do problema de valor de contorno para os diversos
potenciais para corpos com velocidade de avanço, vamos agora apresentar a mesma para
corpos sem velocidade de avanço, para não tornar a leitura deste trabalho exaustiva,
temos que as únicas diferenças da solução apresentadas são:
O corpo não oscilará na frequência de encontro com as ondas e sim na frequência
das mesma;
O potencial do problema estacionário não estará mais presente na solução;
Os termos onde a velocidade de avanço estava presente agora serão nulos
Assim, assim a solução do problema de valor de contorno para corpos sem velocidade de
avanço, para os diversos potenciais pode ser vista a seguir:
Potencial da onda Incidente
O potencial deve satisfazer a equação de Laplace, como se segue:
A condição de Contorno na superfície livre a ser respeitada é :
A ser satisfeita em z=0
A condição de contorno a ser satisfeita na superfície do fundo é:
A ser satisfeita em z=-h
A condição de impenetrabilidade a ser satisfeita na superfície do corpo será:
Potencial de Difração
O potencial deve satisfazer a equação de Laplace, como se segue:
22
A condição de Contorno na superfície livre a ser respeitada é :
A ser satisfeita em z=0
A condição de contorno de radiação a ser respeitada será:
A condição de contorno a ser satisfeita na superfície do fundo é:
A ser satisfeita em z=-h
A condição de impenetrabilidade a ser satisfeita na superfície do corpo será:
Potencial de Radiação
O potencial deve satisfazer a equação de Laplace, como se segue:
A condição de Contorno na superfície livre a ser respeitada é :
Para truncar a solução a uma distancia grande o suficiente do corpo a condição de
contorno de radiação implica que:
A condição de contorno a ser satisfeita na superfície do fundo é:
A ser satisfeita em z=-h
A condição de impenetrabilidade a ser satisfeita na superfície do corpo será:
23
3.4 AS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO
Antes de entrarmos na discussão das equações do movimento propriamente ditas vamos
primeiramente estabelecer o sistema de coordenadas a ser utilizado. De acordo com
FALTINSEN [4], quando analisamos o movimento de um corpo flutuante é conveniente
utilizar no mínimo dois sistemas de coordenadas.
O primeiro sistema de coordenadas a ser definido é o solidário (oxyz) que é fixo ao navio,
ou seja, move-se de acordo com o movimento do corpo. È conveniente considerar a origem
deste sistema coincidindo com o centro de gravidade (CG). O eixo x tem direção
longitudinal do navio, positivo à vante, o eixo y é positivo para bombordo e o eixo z é
positivo orientado de baixo para cima.
Outro sistema a ser definido é o sistema OXYZ que encontra-se na superfície livre com Z=0
sobre a superfície livre. O eixo OZ aponta verticalmente pra cima
Tendo definido os sistemas de coordenadas a serem utilizados, vamos então a definição
dos movimentos do navio. Os movimentos de um navio, assim como qualquer outro corpo
rígido pode ser dividido em três deslocamentos lineares e três movimentos rotacionais. Os
seis graus de liberdade do navio estão apresentados a seguir:
1. Surge ( ) – Movimento Linear na direção longitudinal (x) da embarcação;
2. Sway ( ) – Movimento Linear na direção do eixo transversal (y) da embarcação;
3. Heave ( ) – Movimento Linear na direção do eixo vertical (z) da embarcação;
4. Roll ( ) – Movimento de rotação em torno do eixo longitudinal (x) da
embarcação;
5. Pitch ( ) – Movimento de rotação em torno do eixo transversal (y) da
embarcação;
6. Yaw ( ) – Movimento de rotação em torno do eixo vertical (z) da embarcação;
Tendo definido todos os movimentos que um navio pode descrever e determinado os
sistemas de referência vamos agora determinar a equação do movimento. De acordo com
LEWANDOWSKI [5] quando estamos tratando do comportamento dinâmico de um corpo
rígido é vantajoso assumir a origem do sistema de coordenadas no centro de massa do
corpo, assim usaremos para a definição das equações do movimento o sistema solidário
(oxyz) com origem no centro de gravidade da embarcação. O motivo para definir a
referencia do sistema do centro de massa é pelo fato de que o centro de massa de qualquer
sistema de partículas sofrendo a ação de quaisquer forças externas acelera como se fosse
uma partícula com a massa de todo o sistema sofrendo a ação das forças externas.
Assim, a segunda lei de Newton para uma partícula pode ser aplicada diretamente ao
corpo rígido se a referência estiver em seu centro de gravidade. Temos então:
24
Sendo:
é o somatório de todas as forças externas
é a massa do corpo rígido
é a aceleração instantânea do centro de gravidade
Sendo assim, para determinar a equação completa do movimento vamos agora
contabilizar as forças externas atuando sobre o corpo. Para obtermos as forças atuando
sobre o corpo, devemos primeiramente determinar todos os campos de pressões atuantes
no mesmo. Os campos de pressões a serem determinados são:
Campo de pressão hidrostática decorrente somente da posição vertical do ponto
da superfície do corpo
Campo de pressão dinâmica decorrente da onda incidente
Campo de pressão dinâmica decorrente da onda difratada
Campos de pressões dinâmicas decorrentes dos seis movimentos do corpo
A partir deste campos de pressões pode se então determinar as forças e os momentos
atuantes sobre o corpo, estes são:
Forças e momentos hidrostáticos
Forças e momentos decorrentes das ondas incidentes (normalmente refrenciados
como forças e momentos de Froude-Krylov)
Forças e momentos decorrentes da onda difratada
Forças e momentos decorrentes das ondas radiadas
Vamos então a determinação dos campos de pressões citados. A partir da Integral da
Equação de Euler e o potencial de velocidades. Temos a pressão em qualquer parte do
domínio
Onde:
Podemos então separar esta pressão em parte dinâmica e parte estática:
A parte estática pode ser dividia ainda em uma parte dependente do tempo e uma
independente, desta forma, podemos escrever a equação acima com um termo estático
independente do tempo, um tempo estacionário e outro termo dependente do tempo:
25
Sendo a pressão dependente do tempo dada por:
A pressão dinâmica é dada por:
Linearizando esta expressão obtermos:
A pressão estática é dada por:
Após determinarmos a pressão no domínio fluido, a integral da pressão ao longo da
superfície do corpo fornece a força total atuando sobre o corpo:
Podemos separar esta força em duas partes, a parte Hidrostática:
E a parte hidrodinâmica:
Multiplicando-se vetorialmente o vetor posição dos pontos da superfície do corpo pelo
produto pressão vezes vetor normal e integrando-se sobre a superfície do corpo, pode-se
obter os momentos em relação aos eixos do sistema de referência:
Assim é possível obter as forças e os momentos que o escoamento fluido faz sobre o corpo
para os diversos campos de pressão.
26
Forças e Momentos Hidrostáticos
Quando um corpo flutuante abandona sua posição de equilíbrio estático, a ação do seu
peso e das reações de origem hidrostática tendem a restaurar sua posição original. A estas
reações dá-se o nome de forças de restauração. Assim para determinarmos as forças e
momentos de restauração devemos proceder a integração das pressões hidrostáticas ao
longo da superfície instantânea do corpo:
Como a pressão hidrostática é dada por temos que:
Procedendo as integrações, aplicando o teorema de Gauss e sabendo que a superfície
molhada do corpo oscila chegamos então na equação na forma matricial das
forças de restauração. De acordo com FALTINSEN [4] podemos escrever as forças de
restauração na forma matricial da seguinte forma:
Forças e Momentos de Excitação
As forças de excitação podem ser subdivididas em duas partes,uma devido à onda
incidente, também chamada de força de Froude-Krylov, outra relativa ao potencial de
difração. Assim as forças e momentos de excitação são:
Forças e Momentos de Radiação
As forças e momentos originados da radiação de ondas são:
27
Em notação matricial tomam a forma:
Onde são os termos da matriz de massa adicional e são os termos da matriz de
amortecimento hidrodinâmico devido à energia cedida para a formação de ondas .As
forças e momentos e são os seis componentes para os seis graus de liberdade
do vetor de forças e momentos.
Aplicando a segunda lei de Newton e reunindo-se as forças citadas acima, pode-se obter as
equações de movimento na forma matricial:
Onde:
é a matriz de massa:
é a matriz de massa adicional
é a matriz de amortecimento (vale ressaltar que um termo referente ao amortecimento
viscoso pode ser adicionado a esta matriz, porém ao tratarmos de fluidos sem viscosidade
estamos o desprezando)
é a matriz de restauração hidrostática
é o vetor de Força de excitação
é o vetor posição
Fisicamente de acordo com FALTINSEN [4] a expressão acima pode ser ilustrada com a
seguinte figura:
28
Figura 3- Superposição da forças de excitação de onda, Massa Adicional, Amortecimento e Restauração
Sendo as forças de excitação dadas por forças harmônicas e tratando-se de um sistema
linear, temos que o corpo também responderá harmonicamente à excitação. Sendo as
forças de excitação e as respostas de forma harmônica temos então:
Assim a equação do movimento pode ser escrita:
Ou:
Vemos que a partir da equação acima que a dependência do tempo se concentra na função
exponencial pode ser cancelada na equação, sendo assim pode-se obter uma equação para
obtenção da resposta para cada frequência:
De acordo com SPHAIER [6] a força da onda pode ser escrita da seguinte forma:
Sendo:
é a função de transferência entre a onda e a força sobre o corpo
é a amplitude da onda
29
Sendo assim chegamos a um expressão que relaciona os seis movimentos do corpo e a
amplitude da onda em função da frequência:
Esta função é chamada de função de transferência, fatos de amplificação e operador de
resposta de amplitude (RAO – Response Amplitude Operator).
3.5 MÉTODO BIDIMENSIONAL - TEORIA DAS FAIXAS
A hipótese de corpo esbelto nos permite imaginar na possibilidade de tratarmos um
problema tridimensional aproximado a uma série de problemas bidimensionais estudados
em planos transversais que foi o desenvolvido por SALVESEN [7] . Em decorrência deste
resultado, esta forma de estudo é chamada de teoria das faixas. A hipótese de corpo
esbelto significa que as relações entre boca–comprimento (B/L) e calado-comprimento
(T/L) são pequenas e que:
Sendo assim, o cosseno diretor na direção x é desprezível comparado com as outras
componentes e podemos aproximar a equação de Laplace tridimensional pela sua
expressão bidimensional.
Entretanto, a integral para determinação da parte hidrodinâmica das forças apresenta
uma derivada em x como pode ser visto a seguir:
Isto significa que temos que resolver um problema de valor de contorno tridimensional
para obtermos o potencial tornando inviável a aproximação do problema tridimensional
por uma série de problemas bidimensionais. Assim é conveniente aproximar esta integral
da seguinte forma:
Com isso podemos determinar as propriedades hidrodinâmicas em cada seção do corpo e
posteriormente proceder a derivação.
A única simplificação feita até agora foi a de corpo esbelto, porém para a aplicação desta
teoria o corpo deve ser considerado como um corpo rígido, flutuando na superfície de um
fluido ideal, este homogêneo, incompressível, irrotacional, sem viscosidade e livre de
tensões na superfície. É assumido que o problema dos movimentos do corpo flutuante é de
pequenas amplitudes e pode ser linearizado, como discutido anteriormente.
30
Para o uso da teoria das faixas é assumido que a frequência das ondas incidentes é alta
com comprimento de onda da mesma ordem que a boca do navio. Assim, temos que as
ondas radiadas e difratadas terão pequenos comprimentos de onda e se propagarão
paralelamente ao eixo longitudinal do navio.
Reunindo todas as hipóteses citadas temos as seguintes modificações das equações
apresentadas para o problema de valor de contorno:
1. A equação de Laplace tridimensional pode ser aproximada pela sua expressão
bidimensional:
2. o cosseno diretor na direção x é desprezível comparado com as outras
componentes:
Assim, na condição de contorno na superfície do corpo, podemos utilizar o vetor
unitário no plano x constante e igual a zero de tal forma que:
E a condição de contorno sobre cada seção fica reduzia a:
Onde:
3. A condição de contorno na superfície livre em z=0 fica reduzida a:
31
Reunindo as pressões das forças hidrostáticas, hidrodinâmicas e do peso e aplicando a
segunda lei de Newton temos então a equação do movimento:
Sendo os coeficientes de massa adicional e os de amortecimento dados por:
33
4 MÉTODO BIDIMENSIONAL X MÉTODO TRIDIMENSIONAL
A determinação teórico-numérica do comportamento do navio no mar tem evoluído
consideravelmente nos últimos 50 anos. Atualmente temos duas linhas de métodos para a
determinação da resposta do navio em mar, o método bidimensional e o método
tridimensional.
O método bidimensional, referenciado como teoria das faixas [7] foi a primeira
metodologia a descrever adequadamente os movimentos de navios esbeltos. Porém, o
efeito da tridimensionalidade dos navios não foi adequadamente representado por essa
teoria.
O método tridimensional permite capturar melhor a influencia da geometria do navio.
Para o método tridimensional existem algumas variações em relação ao tratamento
34
matemático do problema que foram surgindo ao longo do tempo. A formulações
tridimensionais podem ser divididas em dois grupos: as que são baseadas na função de
Green e as baseadas nas fontes de Rankine.
A fim de comparar os dois métodos propostos para a resposta de um corpo rígido sujeito a
forças de excitação do mar achou-se conveniente plotar as respostas (RAO) a partir dos
dois métodos para uma mesma embarcação e fazer uma análise crítica das mesmas.
Para o método tridimensional usou-se do software comercial WAMIT, baseado na teoria
potencial tridimensional. No caso do cálculo pela teoria das faixas, será utilizado um
código de avaliação dos movimentos de heave e pitch de um navio em ondas regulares,
desenvolvido internamente, a partir de códigos abertos publicados na literatura.
Neste sentido, o gráfico abaixo apresenta uma comparação de RAOs levantados a partir
dos dois códigos citados:
Gráfico 2 - RAO método bidimensional x Método tridimensional
Como podemos observar as duas curvas se comportam de forma igual ao observarmos o
trecho compreendido pelas baixas e altas frequências:
0,000
0,200
0,400
0,600
0,800
1,000
1,200
0 0,5 1 1,5 2
RA
O (
M/M
)
FREQUÊNCIA(RAD/S)
RAO HEAVE
2D
3D
35
Gráfico 3 - RAO método bidimensional x Método tridimensional - Faixa de Frequências
O comportamento em altas frequências similar ao método 3D já era esperado, pois como
discutido quando abordado a teoria das faixas, assumimos que as frequência das ondas
incidentes é alta com comprimento de onda da mesma ordem que a boca do navio, assim, o
resultado da teoria das faixas para altas frequências é bastante satisfatório.
O comportamento em baixas frequências é explicado a partir da equação do movimento:
Ao tratarmos então de baixas frequências, os 2 primeiros termos da equação tendem a
zero:
Restando apenas a parcela hidrostática da força:
Temos assim:
Como a parcela hidrostática da força é, praticamente, precisamente calculada pela teoria
das faixas, temos bons resultados para baixas frequências com o uso do método
bidimensional.
36
Assim, para obtermos resultados acurados para todas as frequências e poder capturar a
tridimensionalidade do casco, visto que o estudo de caso objetiva observar a influencia da
geometria do casco nos seus movimentos verticais, iremos usar o método tridimensional
para o nosso estudo.
Uma ressalva a ser feita nessa seção é que a prática comum da hidrodinâmica é comparar
resultados teóricos à experimentais a fim de fazer a validação de uma teoria, entretanto, o
método baseado na teoria potencial tridimensional implementado no software comercial
WAMIT, há anos apresenta bons resultados ao tratar da hidrodinâmica de corpos
flutuantes.
Outra discussão sobre o confronto entre o método bidimensional e tridimensional é em
relação à velocidade de avanço. Ao inserirmos a velocidade de avanço no potencial de
velocidades, como discutido anteriormente, temos o seguinte potencial:
Sendo o potencial – o potencial representativo do efeito da velocidade de avanço e é
potencial de velocidade quando o corpo é forçado a oscilar na frequência de encontro.
Usando a integral da equação de Euler, desconsiderando o termo de pressão hidrostática, e
mantendo os termos do potencial de velocidades linearizados, temos que a pressão
atuando no corpo é:
A parcela da pressão proporcional à velocidade de avanço U gerará termos de massa
adicional e amortecimento dependentes da velocidade de avanço. A condição de contorno
da superfície do corpo também sofre alterações pela presença da velocidade de avanço,
como visto.
Assim, uma análise de corpos com velocidade de avanço pelo método tridimensional é
complicada. Para fins práticos, o uso da teoria das faixas é recomendado quando se trata
de corpos com velocidade de avanço e em muitos casos a mesma mostra uma boa
concordância com resultados experimentais.
5 ESTUDO DE CASO
Como mencionado no início deste trabalho, o estudo de caso proposto pretende
analisar a influencia da geometria em dois tipos de embarcações diferentes em seus
movimentos verticais, uma de grande porte, que chamaremos de Petroleiro, e outra de
médio porte, que chamaremos de PSV.
Para o estudo do comportamento dinâmico do petroleiro de grande porte serão
analisadas duas concepções de geometrias do corpo de proa, o estudo pretende comparar
os movimentos de verticais do navio com proas com bulbo e sem bulbo. O estudo dos
37
movimentos da embarcação de apoio offshore (PSV) também será feito a variação da
geometria com polpa bulbosa e do navio sem bulbo, porém, também serão avaliados os
movimentos verticais do mesmo com a proa com geometria X-BOW.
Para a modelagem dos bulbos em ambas embarcações utilizou-se as recomendações
feitas por KRATCH [1] em sua publicação “Design of Bulbous Bow”. Já para modelagem da
proa do tipo X-Bow para o PSV, utilizou-se das recomendações e de imagens disponíveis
da ULSTEIN [2].
Após termos todas as geometrias feitas, foram geradas as malhas a serem analisadas
no WAMIT e por fim levantados sistematicamente RAOs para todas as embarcações. A
apresentação e discussão dos resultados obtidos podem ser vistas nas duas próximas
seções deste trabalho.
A partir dos RAOs plotados e feita a discussão particular sobre a variação da
geometria das duas embarcações partiu-se então para uma comparação entre as respostas
obtidas para o Petroleiro com as respostas obtidas para o PSV. A fim desta comparação
plotou-se as respostas obtidas em relação à razão comprimento do navio por
comprimento de onda
para poder observar se as duas embarcações se comportavam
de forma parecida após feita uma adimensionalização dos seus comprimentos em relação
ao comprimento de onda.
A faixa de frequências e os comprimentos utilizados para o estudo podem ser vistos a
seguir:
38
Figura 4 - Ondas do Estudo
Tendo definido a frequência e o comprimento de onda, temos então o mar ao qual
vamos estudar o comportamento das embarcações em questão.
De acordo com JOURNÉE [8] as ondas harmônicas podem ser vistas sobre duas
perspectivas:
a. A primeira perspectiva em que o perfil de onda é tratado em função do seu
comprimento ao longo da direção de propagação em um instante fixo no tempo. A
expressão para o perfil de onda visto por esta perspectiva é:
b. A segunda perspectiva é um registro ao longo do tempo do perfil de onda. A
expressão para o perfil de onda visto por esta perspectiva é dada por:
39
Figura 5 – Perfis de Onda
Ainda de acordo com JOURNÉE [8] uma onda se movendo ao longo da direção x,
pode ter seu perfil descrito em função da direção x e do tempo t da seguinte forma:
A partir da definição do mar de estudo vamos então discutir as equações do
movimento que estão envolvidas em nosso problema. Como estamos interessados nos
movimentos verticais das embarcações iremos apresentar portanto as equações acopladas
de Heave e Pitch que estão envolvidas em nossa análise, são estas:
Sendo os movimentos e as forças de excitação harmônicas temos que:
Assim as equações de Heave e Pitch podem ser escritas da seguinte forma:
Escrevendo a equação na forma matricial e cortando os termos a fim de retirar a
dependência do tempo das equações temos:
40
Ou:
Sabendo que a força de excitação de acordo com SPHAIER [6] pode ser escrita como:
Sendo:
é a função de transferência entre a onda e a força sobre o corpo
é a amplitude da onda
Temos então:
Chegamos então ao operador de resposta de amplitude (RAO) de Heave e Pitch:
Resolvendo esta expressão para diversas frequências podemos então plotar os RAOs de
Heave e Pitch.
A fim de se observar os movimentos e acelerações verticais no corpo de proa das
embarcações em questão, o mesmo foi generalizado pelo movimento de um ponto situado
na proa das embarcações, visto que não há razão para que pontos em sua vizinhança
tenham movimentos discrepantes do mesmo. A expressão que permite o cálculo dos
movimentos e acelerações verticais deste ponto situado no corpo de proa é a seguinte:
Como estamos trabalhando com pequenos deslocamentos demos que:
E a aceleração na proa é obtida por:
Ou:
41
5.1 O PETROLEIRO Antes de apresentarmos os resultados obtidos pelo WAMIT vamos primeiramente
apresentar as geometrias e respectivas malhas geradas para o petroleiro com bulbo e sem
bulbo. Estas podem ser vistas a seguir:
Petroleiro sem Bulbo
Figura 6 - (A) Forma gerada Petroleiro Sem Bulbo (B) Malha Petroleiro sem Bulbo
Petroleiro com Bulbo
Figura 7 - (A) Forma gerada Petroleiro Com Bulbo (B) Malha Petroleiro Com Bulbo
Após a geração das malhas foi possível então usar o WAMIT para gerar os RAOs de
Heave e Pitch a fim de se observar o influência do bulbo no petroleiro em seus
movimentos verticais.
Foram levantados RAOs para o Centro de Gravidade de embarcação e para um ponto
situado na proa da embarcação a fim de observar os movimentos verticais do corpo de
proa, para simplificação do estudo generalizamos os movimentos verticais deste ponto
situado no corpo de proa para o corpo inteiro, visto que não há razão para que pontos em
sua vizinhança tenham movimentos discrepantes do mesmo. Vale também a ressalva que
42
os movimentos angulares deste ponto não são apresentados, simplesmente pelo fato de
um simples ponto não apresentar deslocamento angulares.
Para fins do estudo foram plotados RAOs para aproamento de ondas de 180º e 135º
Figura 8 - Aproamentos Estudados
Os resultados e as discussões sobre os RAOs e os ângulos de fase levantados estão
apresentados a seguir:
Heave e Pitch para o centro de gravidade
Gráfico 4 - RAO de Heave e Pitch no CG para Aproamento de 135º
43
Gráfico 5 – Ângulos de Fase da reposta no CG para Aproamento de 135º
Gráfico 6 - RAO de Heave e Pitch no CG para Aproamento de 180º
Gráfico 7 – Ângulos de Fase da reposta no CG para Aproamento de 180º
Como podemos ver nos gráficos acima, para os dois aproamentos estudados, o petroleiro
com bulbo e sem bulbo apresentam deslocamentos angulares e lineares praticamente
idênticos, tendo, o petroleiro com bulbo uma pequena diferença no deslocamento angular
na frequência natural de pitch, esta por sua vez pouca significativa, não transmitindo uma
vantagem.
Em relação à fase dos movimentos concordância entre o petroleiro com bulbo e o
petroleiro sem bulbo porém, é valido atentar que para as ondas com ângulo de incidência
de 180º e 135º observamos uma mudança de fase dos movimento de heave para altas
frequências. Em altas frequências, o comprimento da onda começa a se aproximar do
44
comprimento do bulbo, assim este começa a interferir na fase das ondas ocasionando uma
mudança de fase.
A coincidência entre os deslocamentos no centro de gravidade, principalmente os
angulares de pitch, refletem na igualdade dos deslocamentos verticais do corpo de proa,
como podemos ver a partir dois gráficos a seguir:
Heave para o Corpo de Proa
Gráfico 8 – RAO de Heave no corpo de proa para Aproamento de 135º
Gráfico 9 – Ângulos de Fase da reposta na proa para Aproamento de 135º
45
Gráfico 10 – RAO de Heave no corpo de proa para Aproamento de 180º
Gráfico 11 – Ângulos de Fase da reposta na proa para Aproamento de 180º
Como previsto os deslocamentos verticais do corpo de proa tanto para o petroleiro com
bulbo quanto para o sem são praticamente idênticos para toda a faixa de frequência
estudada.
Ao contrário do que se pensava no início deste trabalho o bulbo em uma embarcação de
grande porte não é vantajoso para minimizar os movimentos verticais da mesma. Como
mencionado no inicio do trabalho, embarcações de grande porte possuem baixo número
de Froude e de acordo com KRATCH [1], o bulbo não se apresenta vantajoso em
embarcações com a fim de minimizar o empuxo requerido para propelir a
embarcação.
Entretanto, como estudado o bulbo em uma embarcação de grande porte, também não é
vantajoso em relação ao comportamento dinâmico da mesma. O volume deslocado pelo
bulbo no corpo de proa da embarcação não é suficiente para mudar significativamente a
inércia do mesmo em relação ao corpo total de proa, a inércia longitudinal do petroleiro
não é alterada significativamente e consequentemente as amplitudes dos movimentos de
pitch também não, para os casos do petroleiro com e sem o bulbo não modificando assim
os deslocamentos verticais do corpo de proa visto que a força de restauração do mesmo
não sofre significativas modificações.
46
5.2 O PSV As geometrias e respectivas malhas geradas para o estudo do PSV podem ser vistas a
seguir:
PSV sem Bulbo
Figura 9 - (A) Forma gerada PSV sem Bulbo (B) Malha PSV sem Bulbo
PSV com Bulbo
Figura 10 - (A) Forma gerada PSV com Bulbo (B) Malha PSV com Bulbo
PSV X-Bow
47
Figura 11 - (A) Forma gerada PSV X-Bow (B) Malha PSV X-Bow
Analogamente ao estudo feito do Petroleiro, após a geração das malhas foi utilizado o
WAMIT para gerar os RAOs de Heave e Pitch e observar a influência das geometrias
propostas nos movimentos verticais da embarcação. Foram levantados RAOs para o centro
de gravidade e para a proa da embarcação, os movimentos desta generalizados a partir de
um ponto situado na mesma.
Como feito para o Petroleiro, foram considerados aproamentos de ondas de 180º e
135º.
Os resultados e as discussões sobre os RAOs levantados estão apresentados a seguir:
Heave e Pitch para o centro de gravidade
Gráfico 12 - RAO de Heave e Pitch no CG para Aproamento de 135º
Gráfico 13 – Ângulos de Fase da reposta na proa para Aproamento de 135º
48
Gráfico 14 - RAO de Heave e Pitch no CG para Aproamento de 180º
Gráfico 15 – Ângulos de Fase da reposta na proa para Aproamento de 180º
Ao contrario do estudo feito para o Petroleiro, no PSV observar algumas
modificações nos deslocamentos lineares e angulares quando se varia a forma da proa.
Como o deslocamento das embarcações é praticamente o mesmo, o motivo destas
variações não pode ser devido à diferença entre as forças de restauração, por isso buscou-
se na literatura indicações de parâmetros de forma (que não as dimensões principais da
embarcação, visto que todas possuem as mesmas dimensões) que influenciam nos
movimentos verticais de embarcações.
A partir dos gráficos plotados acima podemos ver uma concordância entre os RAOs
do PSV sem bulbo e do PSV X-Bow. Esta concordância era de se esperar visto que a única
significativa diferença entre estas duas geometrias é devido ao ângulo de entrada da proa
na linha d’água. O PSV X-Bow possui um ângulo de entrada menor do que a PSV sem Bulbo.
A comparação entre os ângulos pode ser vista abaixo:
COMPARAÇÃO ENTRE OS ANGULOS DE ENTRADA NA LINHA D'AGUA
PSV X BOW 26,801 DEG
PSV SEM BULBO 39,01 DEG
PSV COM BULBO 42,85 DEG Tabela 1 - Comparação entre os ângulos de entrada em DWL
De acordo com BHATTACHARRYA [9], as amplitudes dos movimentos verticais
diminuem a medida que se diminui o ângulo de entrada na linha d’água, o que pode ser
comprovado a partir dos resultados obtidos.
49
O PSV com Bulbo apresentou maiores amplitudes tanto nos deslocamento
angulares, tanto nos deslocamentos lineares como pode ser visto. A presença do Bulbo
deslocou meio metro a posição longitudinal do centro de empuxo do navio quando
comparado ao navio sem bulbo, porém em relação ao PSV X-Bow, não há significativa
diferença entre os LCBs:
COMPARAÇÃO ENTRE LCBs (referência espelho de popa)
PSV X BOW 43.23 m
PSV SEM BULBO 42.87 m
PSV COM BULBO 43,37 m Tabela 2 - Comparação entre os LCBs das embarcações
De acordo com BHATTACHARRYA [9] a influencia da posição longitudinal do
centro de empuxo nos movimentos verticais da embarcação não é tão clara, porém, de
acordo com dados experimentais, ficou comprovado que navios recebendo ondas pela
proa, que é o aproamento estudado, têm maiores amplitudes de movimentos verticais ao
ter seu centro de empuxo deslocado mais a vante, o que esta acontecendo ao
compararmos o PSV com bulbo com o sem bulbo.
Apesar do X-Bow possuir um centro de empuxo próximo ao do PSV com bulbo o
seu baixo ângulo de entrada na linha d´água o permite entrar com uma maior “suavidade”
ao enfrentar ondas de proa, minimizando assim sua excitação em ondas e consequente
amplitude vertical dos movimentos.
A coincidência observada para a amplitude dos movimentos também se reflete nos
ângulos de fase dos movimentos do PSV X-Bow e do PSV sem bulbo, porém estes ângulos
se diferem dos ângulos de fase do PSV com bulbo à medida que a frequência de oscilação
aumenta e o comprimento de onda diminui. O bulbo altera a natureza da onda, “criando
sua própria onda”, mais a vante e com diferente fase da onda de excitação. Assim a partir
do estudo do PSV pôde- ter uma maior sensibilidade da influencia do bulbo na mudança da
fase dos movimentos da embarcação.
Heave para o Corpo de Proa
Os resultados abaixo transmitem a influencia do movimento de pitch nos
movimento verticais do corpo de proa. A discussão feita anteriormente é
igualmente válida para estes resultados visto que estes não são nada mais do que o
movimento heave somado ao de pitch no corpo de proa:
50
Gráfico 16 - RAO de Heave no corpo de proa para Aproamento de 135º
Gráfico 17 – Ângulos de Fase da reposta na proa para Aproamento de 135º
Gráfico 18 - RAO de Heave no corpo de proa para Aproamento de 180º
51
Gráfico 19 – Ângulos de Fase da reposta na proa para Aproamento de 135º
5.3 COMPARATIVO PETROLEIRO X PSV
Após a discussão particular sobre cada embarcação separadamente, vamos agora
fazer um comparativo entre as duas. Para fazer tal comparação é necessário uma
adimensionalização do comprimento do navio pelo comprimento de onda de forma a
poder se observar o comportamento oscilatório das amplitudes das forças de excitação em
relação ao comprimento da embarcação, visto que comparar as resposta em função da
frequência não teria muito sentido visto que o Petroleiro analisado possui comprimento
praticamente quatro vezes maior ao PSV, sendo assim, enquanto “passa uma onda pelo
PSV, quatro ondas passam pelo Petroleiro”.
A fim desta comparação plotou-se as respotas obtidas em relação à razão
comprimento do navio por comprimento de onda
para poder observar se as duas
embarcações se comportavam de forma parecida após feita uma adimensionalização dos
seus comprimentos em relação ao comprimento de onda.
Para inserir nos eixos das abscissas a razão
devemos primeiramente relacionar a
frequência com esta relação. O ponto de partida para fazer tal relação esta na equação da
dispersão vista abaixo:
Para águas profundas temos que então a equação da dispersão fica reduzida a:
Temos então uma relação entre o número de onda (k) e a frequência:
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Sendo o número de onda dado por:
Sendo o comprimento da onda temos então uma relação entre a frequência e o
comprimento de onda:
Multiplicando a equação acima dos dois lados pelo comprimento entre perpendiculares do
navio temos então a relação entre a frequência e a razão
:
Fazendo esta relação plotou-se então a resposta à força de excitação contra a razão
para os movimentos verticais do corpo de proa com aproamento de ondas de 180º. O
resultado disto pode ser visto no gráfico abaixo:
Gráfico 20 - RAO de Heave adimensionalizado no corpo de proa para Aproamento de 180º
A partir do gráfico acima pode se então observar que ao plotarmos a resposta em
função da razão
o comportamento oscilatório das forças de excitação tende-se a se
comportar de forma parecida independente do tipo de embarcação. Esta normalização do
comportamento oscilatório entre o PSV e o Petroleiro acontece pois após a
adimensionalização do comprimento da embarcação em relação ao comprimento de onda
não se tem mais “uma onda passando pelo petroleiro, enquanto quatro ondas passam pelo
PSV”, as comprimentos de onda agora estão distribuídos em relação ao comprimento do
navio, assim para o PSV e para o Petroleiro temos o mesmo número de ondas por
comprimento do navio.
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A partir deste estudo adimensional do comportamento oscilatório das forças de
excitação pode-se também perceber a grande influencia do comprimento de uma
embarcação em seu comportamento no mar, pois embarcações com comprimentos
diferentes tinham respostas diferentes ao serem excitadas ao terem seu comprimento
adimensionalizado em relação ao comprimento de onda passaram a ter resposta muito
parecidas. No gráfico abaixo pode ser vez a mesma resposta das embarcações plotadas em
função da frequência e pode-se então perceber a variação das mesma quando não há o
comprimento adimensionalizado:
Gráfico 21 - RAO de Heave no corpo de proa de todas as embarcações para Aproamento de 180º
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6 CONCLUSÃO
A partir do trabalho proposto algumas conclusões podem ser tiradas. Estas são:
O método bidimensional é capaz de descrever a dinâmica de corpos flutuantes de
maneira precisa para altas e baixas frequências, porém em frequências
intermediarias a tridimensionalidade do corpo não é percebida pelo método e os
resultados são levemente discrepantes.
Em uma embarcação com uma grande inércia como um Petroleiro, a geometria de
seu corpo de proa não possui nenhuma influencia em seus movimentos verticais.
A variação da geometria de uma embarcação de médio porte como um PSV pode
sim implicar em variações em seu comportamento dinâmico, porém para se poder
fazer uma generalização de quais parâmetros de forma influenciam mais ou menos
em seu comportamento, um estudado mais aprofundado, com mais variações da
geometria deve ser feito. Porém dificilmente, uma geometria será tão vantajosa
como o X-Bow, pois esta além de minimizar os movimentos verticais, como visto,
tem implicações na resistência ao avanço da embarcação, minimizando a mesma.
O bulbo é capaz de se alterar a fase dos movimentos de resposta às forças de
excitação.
Ao adimesionalizarmos a resposta das embarcações em relação a razão
comprimento do navio por comprimento de onda 0percerbemos uma coincidência
entre as resposta, nos levando a concluir que o comportamento dinâmico de uma
embarcação depende consideravelmente da relação comprimento navio por
comprimento de onda
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7 BIBLIOGRAFIA
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University Press, 1990.
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Publishing, 2004.
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Oceânica COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, 2008.
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2002.
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