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  • ANLISE DE LAJES NERVURADAS

    BIDIRECIONAIS ATRAVS DE MODELOS

    SIMPLIFICADOS

    JOS CARLOS A. C. CUNHA

    DISSERTAO DE MESTRADO

  • UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLNDIA

    FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL

    PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA CIVIL

    Jos Carlos Aparecido de Carvalho e Cunha

    ANLISE DE LAJES NERVURADAS BIDIRECIONAIS

    ATRAVS DE MODELOS SIMPLIFICADOS

    Dissertao apresentada ao Programa de Ps Graduao em

    Engenharia Civil da Universidade Federal de Uberlndia,

    como parte dos requisitos para a obteno do ttulo de

    Mestre em Engenharia Civil.

    Orientador: Profa. Dra. Maria Cristina Vidigal de Lima

    Co-orientao: Profa. Dra. Vanessa Cristina de Castilho

    Uberlndia, 16 de maro de 2012.

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    AGRADECIMENTOS

    s professoras orientadoras: Maria Cristina Vidigal de Lima e Vanessa Cristina de

    Castilho.

    Ao professor Turbio Jos da Silva e engenheiro Marcelo Buiate.

    Ao professor Rodrigo Gustavo Delalibera e Jos Madson Caldeira de Faria.

    Ao colega ris Silva Aquino.

    Universidade Federal de Gois, Campus Catalo, pelo espao cedido para a realizao

    dos ensaios experimentais.

    Ao Programa de Ps-graduao da Faculdade de Engenharia Civil da Universidade Federal

    de Uberlndia, pelo financiamento dos recursos para o desenvolvimento dos ensaios deste

    trabalho.

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    Cunha, J. C. Anlise de Lajes Nervuradas Bidirecionais atravs de Modelos Simplificados.

    97 p. Dissertao de Mestrado, Faculdade de Engenharia Civil, Universidade Federal de

    Uberlndia, 2012.

    RESUMO

    O presente trabalho apresenta os resultados de estudo de lajes nervuradas bidirecionais em

    concreto armado fazendo uso de simplificaes na anlise do seu comportamento. As

    simplificaes adotadas dizem respeito a anlise das lajes nervuradas por laje macia de

    rigidez a flexo equivalente, s consideraes sobre a flexibilidade das vigas de apoio e, ao

    tratamento dado a continuidade entre painis de lajes adjacentes. A pesquisa busca

    respaldo nas anlises experimentais, nos resultados de trabalhos publicados e nas normas

    tcnicas de projeto de estruturas em concreto armado para embasar as simplificaes

    adotadas. Uma laje nervurada em tamanho real e sua laje macia equivalente foram

    ensaiadas. Os resultados do ensaio da laje nervurada so comparados com o processamento

    da laje atravs de programas de computador para projetos estruturais. Tambm so

    comparados os custos das lajes de dois edifcios quando se adota a anlise por mtodo

    simplificado ou por analogia de grelha.

    Palavras-chave: Laje nervurada bidirecional, laje macia equivalente, simplificaes de

    clculo, ensaio de laje nervurada.

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    Cunha, J. C. Analysis of Waffle Slabs using Simplified Models. 97 p. MSc Dissertation,

    College of Civil Engineering, Federal University of Uberlndia, 2012.

    ABSTRACT

    The present work aims to study the waffle slabs taking into account the simplifications in

    the analysis of their behavior. The simplifications used concern the analysis of waffle slab

    by the equivalent solid slab, the considerations on the flexibility of the support beams, and

    the treatment of continuity between adjacent panels of slabs. The research supports in the

    experimental analysis, in the results of studies published, in the standard codes for design

    of reinforced concrete to base the simplifications adopted. One waffle slab in actual size

    and its equivalent solid slab are tested. The test results for the waffle slab are compared

    with the processing of the slab through computer programs for structural design. The costs

    of slabs in two buildings are compared when it adopts the simplified analysis method or

    grillage model.

    Keywords: Waffle slab, equivalent solid slab, design simplifications, test.

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    SMBOLOS, ABREVIATURAS E SIGLAS

    SMBOLOS b - largura genrica da seo

    bf - largura da mesa da seo T

    bi - largura da aba da mesa da seo T

    bw - largura da nervura da seo T

    d - altura til da laje

    d - distncia do centro de gravidade de As at a borda comprimida do concreto

    fck - resistncia caracterstica compresso do concreto

    fcm - resistncia mdia compresso do concreto

    fct - resistncia trao axial do concreto

    fct,m - resistncia mdia trao axial do concreto

    fct,inf - limite inferior da resistncia trao do concreto

    fct,sup - limite superior da resistncia trao do concreto

    fyd - tenso de escoamento da armadura passiva

    fyk - tenso caracterstica do ao

    h - altura total da laje ou viga

    he - altura do elemento de enchimento

    hecal - espessura da laje macia equivalente

    heq - altura equivalente

    hf - altura da capa de concreto

    - vo de clculo

    A - rea da seo cheia

    Ac - rea de concreto

    As - rea da seo transversal de armadura

    As - rea de armadura comprimida

    Ec - mdulo de elasticidade do concreto

    Ecs - mdulo de elasticidade secante do concreto

    Es - mdulo de elasticidade do ao

    - rigidez no estdio no fissurado

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    - rigidez no estdio fissurado

    - rigidez equivalente

    G - mdulo de elasticidade transversal

    I - momento de inrcia genrico

    Ii - momento de inrcia flexo da seo no fissurada

    Ieq - momento de inrcia flexo da seo equivalente

    It - momento de inrcia toro da seo

    III - momento de inrcia flexo da seo para o Estdio II

    Lb - comprimento bsico de ancoragem

    M - momento fletor genrico

    Ma - momento fletor mximo atuante na seo

    Mat - momento atuante na seo mais solicitada

    Mr - momento de fissurao da seo

    t - tempo (em meses)

    S - distncia entre eixos

    W - mdulo de resistncia no estdio I

    xII - posio da linha neutra no estdio II

    yt distncia do centro de gravidade fibra mais tracionada

    - dimetro da barra

    e - relao entre os mdulos de deformao longitudinal do ao e do concreto

    - a taxa geomtrica de armadura de compresso

    f - coeficiente para flecha diferida

    - coeficiente funo do tempo

    - coeficiente de fluncia

    - coeficiente de Poisson

    wd - tenso de cisalhamento de clculo, por fora cortante

    SIGLAS MEF - Mtodo dos Elementos Finitos

    EPS - Espuma de poliestireno

    NINC - Nmero de incrementos de carga

    ABECE - Associao Brasileira de Engenharia e Consultoria Estrutural

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    SUMRIO CAPTULO 1 ........................................................................................................................ 8 INTRODUO 1.1 Consideraes iniciais ..................................................................................................... 8 1.2 Objetivos.......................................................................................................................... 8 1.3 Sumrio estruturado......................................................................................................... 8 CAPTULO 2 ...................................................................................................................... 10 LAJES NERVURADAS 2.1 Lajes nervuradas e suas aplicaes................................................................................ 10 2.2 Tipos mais comuns de lajes nervuradas ........................................................................ 12 2.3 Aspectos construtivos e procedimentos de montagem das lajes ................................... 13 2.4 Prescries normativas sobre lajes nervuradas.............................................................. 16 CAPTULO 3 ...................................................................................................................... 19 MODELOS SIMPLIFICADOS DE ANLISE 3.1 Simplificaes na engenharia estrutural ........................................................................ 19 3.2 Laje maica equivalente ................................................................................................ 20 3.3 A rigidez equivalente em lajes nervuradas .................................................................... 21 3.4 Continuidade entre painis de lajes ............................................................................... 23 3.5 Flexibilidade das vigas de apoio.................................................................................... 25 3.6 Distribuio dos esforos internos................................................................................. 28 CAPTULO 4 ...................................................................................................................... 31 ESTADO DA ARTE DE ANLISES EXPERIMENTAIS................................................ 31 4.1 Descrio das anlises ................................................................................................... 31 CAPTULO 5 ...................................................................................................................... 45 PROGRAMA EXPERIMENTAL E ANLISE NUMRICA 5.1 Descrio das lajes......................................................................................................... 45 5.2 Carregamento nas lajes.................................................................................................. 46 5.3 Leitura dos deslocamentos verticais .............................................................................. 47 5.4 Materiais ........................................................................................................................ 48

    5.4.1 Concreto ................................................................................................................. 48 5.4.2 Ao ......................................................................................................................... 49

    5.5 Resultados experimentais .............................................................................................. 49 5.5.1 Resultado do ensaio da laje nervurada ................................................................... 49 5.5.2 Resultado do ensaio da laje macia equivalente..................................................... 51 5.5.3 Comparao dos resultados .................................................................................... 52

    5.6 Anlise numrica no programa GESTRUT................................................................... 53 5.6.1 Caractersticas geomtricas de sees no estdio II ............................................... 54 5.6.2 Efeito da fissurao Modelo simplificado de Branson para flecha imediata ...... 56

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    CAPTULO 6 ...................................................................................................................... 62 COMPARAO ENTRE RESULTADOS DE ENSAIO E DE PROGRAMAS COMERCIAIS 6.1 Introduo...................................................................................................................... 62 6.2 Processamento no programa 1....................................................................................... 63 6.3 Processamento no programa 2....................................................................................... 67 6.4 Resultados obtidos e comparaes ................................................................................ 71 CAPTULO 7 ...................................................................................................................... 78 COMPARAO DE CUSTOS NA ADOO DE ANLISE SIMPLIFICADA 7.1 Introduo...................................................................................................................... 78 7.2 Resultados de Arajo (2003) e Loureiro (2010)............................................................ 78 7.3 Os edifcios analisados .................................................................................................. 79

    7.3.1 Anlise das lajes dos edifcios R1 e C1 por analogia de grelha ............................. 82 7.3.2 Anlise das lajes dos edifcios R1 e C1 como laje macia de rigidez flexo equivalente....................................................................................................................... 83 7.3.3 Comparao dos resultados obtidos ....................................................................... 85

    CAPTULO 8 ...................................................................................................................... 87 CONCLUSO 8.1 Consideraes finais e concluses................................................................................. 87 8.2 Sugestes para trabalhos futuros ................................................................................... 89 REFERNCIAS .................................................................................................................. 90 ANEXO A ........................................................................................................................... 94 ANEXO B ........................................................................................................................... 96 ANEXO C ........................................................................................................................... 97

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    CAPTULO 1

    INTRODUO

    1.1 CONSIDERAES INICIAIS

    Este trabalho trata do estudo das lajes nervuradas, do projeto, dos mtodos analticos de

    clculo disponveis na literatura tcnica, levando-se em conta as caractersticas inerentes ao

    seu comportamento estrutural. Para isto so estudados vrios trabalhos importantes

    relativos ao tema, incluindo resultados de avaliaes experimentais e simulaes

    numricas em programas computacionais. Neste contexto, baseado no conhecimento

    cientfico atual, busca-se entender as simplificaes de clculo que melhor retratam a

    resposta estrutural das lajes nervuradas.

    1.2 OBJETIVOS

    Podem ser destacados trs objetivos principais do trabalho:

    Demonstrar a aplicabilidade da anlise simplificada para lajes nervuradas

    bidirecionais;

    Pesquisar o estado da arte das anlises experimentais realizadas com lajes

    nervuradas bidirecionais;

    Comparar os custos envolvidos na adoo da anlise de lajes nervuradas por

    mtodos simplificados ou por analogia de grelha.

    1.3 SUMRIO ESTRUTURADO

    O sumrio estruturado deste trabalho est organizado em sete captulos.

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    No captulo 2 so apresentadas as lajes nervuradas, seu potencial, campo de aplicao,

    materiais empregados, vantagens, desvantagens, alm de cuidados na montagem e aspectos

    construtivos.

    No captulo 3 so discutidas as aplicaes de processos simplificados na anlise estrutural,

    como a simplificao est presente nas normas de projeto e a confuso acerca da anlise de

    lajes nervuradas. O mtodo da laje macia de espessura equivalente apresentado. So

    tratados aspectos sobre a continuidade em lajes, sobre a deslocabilidade dos apoios, as

    regies de esforos numa laje e como melhorar o projeto de lajes visando simplificao nos

    modelos.

    No captulo 4 so apresentados e discutidos os resultados de oito experimentos realizados

    por pesquisadores nacionais e internacionais com lajes nervuradas.

    No captulo 5 so apresentados os dois ensaios experimentais realizados neste trabalho,

    com laje nervurada e laje macia equivalente. So descritos os procedimentos adotados, a

    instrumentao, as caractersticas dos materiais empregados, os resultados obtidos, a

    comparao entre os dois ensaios, bem como consideraes sobre a modelagem numrica

    desenvolvida por analogia de grelha.

    No captulo 6 so comparados os resultados obtidos no ensaio das lajes com os resultados

    de dois programas comerciais para projeto estrutural e com a anlise da laje como grelha

    de vigas independentes.

    No captulo 7 a anlise de laje nervurada como laje macia equivalente aplicada s lajes

    de dois edifcios e o custo dessas lajes comparado com o custo obtido da anlise por

    programa comercial para projeto estrutural.

    As concluses deste trabalho e sugestes para trabalhos futuros so apresentadas no

    captulo 8.

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    CAPTULO 2

    LAJES NERVURADAS

    2.1 LAJES NERVURADAS E SUAS APLICAES

    De acordo com a ABNT NBR 6118:2007 Lajes nervuradas so as lajes moldadas no local

    ou com nervuras pr-moldadas, cuja zona de trao para momentos positivos est

    localizada nas nervuras entre as quais pode ser colocado material inerte, conforme ilustra

    a Figura 2.1.

    Figura 2.1 Seo transversal de laje nervurada

    De acordo com Silva (2005), as lajes nervuradas possibilitam a reduo do peso prprio da

    estrutura pela eliminao, em sua seo transversal, do concreto que no trabalha

    estruturalmente, deixando apenas algumas faixas concretadas, onde se agrupam as

    armaduras tracionadas. Essa regio tracionada recebe o nome de nervura, da o termo laje

    nervurada.

    Por apresentar a distncia entre a resultante das tenses de trao na armadura e a

    resultante das tenses de compresso no concreto maior do que nas lajes macias, as lajes

    nervuradas tm maior rigidez flexo.

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    Por serem compostas por uma grelha de barras interceptadas ortogonalmente e por estarem

    ainda ligadas pela capa de concreto unindo o topo dessas barras, a laje nervurada um

    elemento que pode apresentar grande rigidez toro.

    Para pavimentos, cujo menor vo a ser vencido de at 5 m e as aes a serem suportadas

    no so muito elevadas, empregam-se normalmente lajes macias ou formadas por vigotas

    pr-moldadas.

    As lajes nervuradas so adequadas para vos maiores. Para exemplificar, o catlogo da

    Atex do Brasil (2011), fabricante de formas plsticas para lajes nervuradas, apresenta lajes

    dimensionadas para vos de 6 m a 13 m.

    Dentre as vantagens que as lajes nervuradas de concreto armado moldadas no local

    apresentam, algumas merecem ser destacadas:

    a) Permitem vencer grandes vos com peso prprio menor que as lajes macias;

    b) Podem ser construdas com a mesma tecnologia empregada nas lajes macias;

    c) A versatilidade nas aplicaes, podendo ser utilizadas em pavimentos de edificaes

    comerciais, residenciais, educacionais, hospitalares, garagens, clubes e centros de compras;

    d) Permitem o uso de procedimentos racionalizados, tais como o uso de telas para a

    armadura de distribuio e a utilizao de formas plsticas recuperveis;

    e) So adequadas aos sistemas de lajes sem vigas, devendo manter-se regies macias

    apenas nas regies dos pilares, onde h grande concentrao de esforos;

    Em contrapartida, as lajes nervuradas moldadas no local apresentam uma srie de

    desvantagens, dentre as quais merecem destaques as seguintes:

    a) Normalmente aumentam a altura total da edificao;

    b) Exigem maiores cuidados durante a concretagem para se evitar vazios nas nervuras

    (que costumam ser de pequena largura);

    c) Dificuldades na fixao dos elementos de enchimento, com a possibilidade de

    movimentao dos mesmos durante a concretagem;

    d) Possuem seo transversal diferenciada em relao a momentos fletores positivos e

    negativos.

  • 12

    2.2 TIPOS MAIS COMUNS DE LAJES NERVURADAS

    As lajes nervuradas bidirecionais podem ser moldadas no local ou formadas por elementos

    pr-moldados.

    Dentre as lajes formadas por elementos pr-moldados destacam-se as que usam vigotas

    treliadas numa direo e plaquetas pr-moldadas na direo ortogonal, conforme mostra a

    Figura 2.2.

    Figura 2.2 Laje nervurada formada por elementos pr-moldados. Fonte: FRANCA (2000)

    As lajes moldadas no local podem ser diferenciadas de acordo com o material inerte

    utilizado no preenchimento. Dentre os materiais mais usados esto a espuma de

    poliestireno expandido, conhecida pela sigla EPS e os blocos slico-calcreos, (Figuras 2.3

    e 2.4), alm de blocos cermicos.

    Figura 2.3 Laje nervurada com bloco slico-

    calcreo. Fonte: Catlogo SICAL Figura 2.4 Laje nervurada com bloco de EPS.

  • 13

    Os espaos entre nervuras podem ainda ser moldados com formas plsticas reutilizveis e

    mesmo formas de madeira compensada. A Figura 2.5 apresenta uma laje nervurada com

    formas plsticas sendo desenformada e o resultado final aps a retirada das formas.

    Figura 2.5 Laje nervurada com forma plstica reutilizvel. Fonte: Revista Tchne n. 132

    2.3 ASPECTOS CONSTRUTIVOS E PROCEDIMENTOS DE

    MONTAGEM DAS LAJES

    So apresentados seis procedimentos, obtidos de escritrios de projetos, que podem

    melhorar a eficincia, montagem e anlise das lajes.

    Na montagem, ou posicionamento dos elementos de enchimento, forma ou cubas plsticas,

    a primeira idia de distribuio dessas peas seria aproveitando todo o espao da laje para

    criar o maior nmero de nervuras possvel (Figura 2.6). Esse arranjo pode ser melhorado

    montando os elementos de modo a gerar simetria entre as nervuras (Figura 2.7) e pequenos

    maciamentos junto s vigas de borda. Tambm no se utilizam meias formas ou

    elementos de enchimento cortados.

  • 14

    Figura 2.6 Aspectos construtivos:

    preenchimento total da seo

    Figura 2.7 Aspectos construtivos: preenchimento

    com formas inteiras na seo

    A Figura 2.8 apresenta o maciamento da laje nas regies de maior momento de toro.

    Na Figura 2.9 a alternativa de maciamentos na regio de salincia dos pilares aumenta a

    seo resistente da laje na regio de concentrao de tenses.

    Figura 2.8 Aspectos construtivos: maciamento da

    regio de momento de toro

    Figura 2.9 Aspectos construtivos: maciamento na

    regio de pilares salientes

  • 15

    Para geometrias irregulares pode se usar as alternativas de maciamento da regio irregular

    ou uso de viga chata, conforme mostram as Figuras 2.10 e 2.11, tendo em mente que

    regies de geometria irregular so pontos de concentrao de tenses e execuo mais

    trabalhosa. A viga chata deve ter rigidez flexo igual ou maior do que as vigas

    retangulares de bordo. Por exemplo, uma viga chata de seo 70 cm x 36 cm tem momento

    de inrcia a flexo igual ao de uma viga de seo 15 cm x 60 cm.

    Figura 2.10 Aspectos construtivos: maciamento

    na regio de forma irregular.

    Figura 2.11 Aspectos construtivos: maciamento e

    uso de viga chata.

    Em lajes, onde se pretende garantir a continuidade entre painis adjacentes, pode-se

    recorrer ao maciamento entre os painis, na regio do momento fletor negativo (Figura

    2.12).

    Figura 2.12 Aspectos construtivos: maciamento na regio de continuidade entre lajes

  • 16

    Quando h necessidade de rebaixamentos, caso tpico de banheiros, varandas e sacadas,

    para no haver excesso de argamassa de regularizao em todo o pavimento, pode se

    proceder ao maciamento com diminuio da espessura da laje, como indicado na Figura

    2.13.

    Figura 2.13 Aspectos construtivos: soluo em regies de rebaixamento

    2.4 PRESCRIES NORMATIVAS SOBRE LAJES NERVURADAS

    A norma tcnica ABNT NBR 6118:2007, no item 14.7.7, permite o clculo das lajes

    nervuradas bidirecionais, para efeito dos esforos solicitantes, como laje macia. No item

    13.2.4.2, para que a laje nervurada seja calculada como laje macia, devem ser respeitadas

    certas prescries ilustradas pela Figura 2.14.

    Figura 2.14 Corte esquemtico da laje nervurada. Fonte: Buiate (2004)

    a) A distncia entre os eixos das nervuras no deve ultrapassar 110 cm, isto : b2 + bw

    110 cm;

  • 17

    b) A largura das nervuras no deve ser inferior a 5 cm. A espessura da mesa, quando no

    houver tubulaes horizontais embutidas, no deve ser menor que 3 cm, nem menor do que

    1/15 da distncia entre nervuras. O valor mnimo de 3 cm para a espessura da mesa passa

    para 4 cm, quando existirem tubulaes embutidas de dimetro mximo 12,5 mm;

    c) No permitido o uso de armadura de compresso em nervuras de largura inferior a 8 cm; d) A resistncia da mesa flexo dever ser verificada sempre que a distncia ente eixos de

    nervuras for maior que 65 cm. Nestes casos, a armadura da mesa deve ser calculada como

    para uma laje macia de espessura hf simplesmente apoiada nas nervuras. Se a distncia

    entre eixos de nervuras for menor ou igual a 65 cm, pode-se adotar uma armadura mnima

    para a mesa, sem a necessidade do dimensionamento;

    e) Se a distncia entre dois eixos de nervuras for maior que 65 cm, elas devero ser

    verificadas ao cisalhamento como vigas. Nesses casos, as nervuras devero ter estribos,

    obrigatoriamente. Se essa distncia for menor ou igual a 65 cm, as nervuras podem ser

    verificadas ao cisalhamento com os critrios de lajes. Neste ltimo caso, os estribos

    podero ser dispensados desde que wd wul. A verificao como laje tambm

    permitida se 65 cm < b2 + bw 90 cm, desde que a espessura mdia das nervuras seja

    maior que 12 cm;

    f) Os estribos das nervuras, quando necessrios, devem ter um espaamento mximo de 20

    cm.

    No documento apresentado pela Associao Brasileira de Engenharia e Consultoria

    Estrutural, ABECE, para reviso da norma citada, no h nenhuma modificao sugerida

    para o item 14.7.7. No item 13.2.4.2 h sugestes para a espessura mnima da mesa de

    concreto.

    Segundo Schwetz (2011) a norma americana ACI 318-08 no traz nenhuma recomendao

    especfica para o sistema nervurado. O cdigo americano prev que os princpios

    fundamentais de projeto, contidos no seu Captulo 13 - Sistemas de Lajes Bidirecionais,

    so aplicveis a todos os sistemas estruturais planos submetidos a cargas transversais, o

    que inclui as lajes nervuradas. Assim, fica entendido que a norma americana permite o

    clculo de lajes nervuradas baseado em uma analogia s lajes macias de inrcia

    equivalente.

  • 18

    Na discusso pblica para reviso do cdigo americano ACI 318-11 a nica modificao

    no Captulo 13 diz respeito a detalhes de reforo em lajes sem vigas.

    Schwetz (2011) menciona ainda, que a norma europia, EUROCODE 2 EN 1992-1-1, ano

    2004, recomenda: desde que o conjunto de elementos, capa e nervura, das lajes nervuradas

    possuam rigidez toro, estas podem ser dimensionadas com uma analogia a lajes

    macias de inrcia equivalente. A rigidez toro pode ser assumida desde que sejam

    satisfeitas as exigncias:

    a) O espaamento entre as nervuras, b2 na Figura 2.14, no deve exceder a 150 cm;

    b) A altura da nervura abaixo da capa no deve exceder a 4 vezes a largura bw;

    c) A espessura da capa hf deve ser igual a pelo menos 1/10 da distncia entre as nervuras e

    ou 5 cm, o que for maior. Este valor pode ser reduzido para 4 cm quando os blocos de

    enchimento no forem retirados da estrutura.

  • 19

    CAPTULO 3

    MODELOS SIMPLIFICADOS DE ANLISE

    3.1 SIMPLIFICAES NA ENGENHARIA ESTRUTURAL

    Vasconcelos (2001), em artigo intitulado Simplificar no complica: ajuda, afirma serem

    todos os nossos clculos baseados em mentiras. Mentiras to insignificantes que

    podem ser aceitas como pecados veniais. O referido autor comenta que ningum pode

    afirmar que o processo exato realmente o mais preciso. Assim, considera que a

    exatido relativa. Dadas as simplificaes admitidas nos clculos, acrescenta ele, que se

    tem trabalhado num mundo de pequenas mentiras acreditando que se tem feito clculos

    exatos.

    O engenheiro Mario Franco em palestra proferida no Instituto de Engenharia de So Paulo,

    sobre um de seus projetos estruturais, ao responder a perguntas sobre coeficiente de

    instabilidade, rigidez axial de pilares e interao solo-estrutura, afirma: O excesso de

    refinamento pode nos levar longe da realidade (FRANCO, 2009).

    Kassoy (2007) comentando os critrios adotados no projeto estrutural de um edifcio

    residencial de 3 subsolos e 42 andares, ilustrado na Figura 3.1, destaca que o modelo de

    prtico espacial, para dimensionamento de vigas e pilares, foi comparado com o modelo

    simplificado gerado andar por andar. Segundo Kassoy (2007), esse procedimento

    proporcionou a validao dos resultados permitindo ao engenheiro no se afastar da

    realidade fsica do problema, facilmente perdida quando se utilizam modelos muito

    complexos.

  • 20

    Figura 3.1 Perspectiva estrutural e fachada do edifcio projetado. Fonte: KASSOY (2007)

    Loureiro (2010) destaca que o objetivo do projeto estrutural conceber estruturas que

    atendam aos requisitos de segurana e de bom comportamento em servio. Para atingir

    esse objetivo no necessrio e nem possvel o clculo exato da estrutura.

    Comenta ainda o fato dos mtodos simplificados desempenharem um papel fundamental

    em todas as etapas do projeto estrutural de edifcios de concreto armado: no clculo de

    esforos, no dimensionamento de elementos estruturais, na estimativa de deformaes, no

    clculo de efeitos locais de 2a ordem e na verificao da estabilidade global das estruturas.

    O Anexo A deste trabalho lista como as simplificaes, aproximaes e equivalncias

    aparecem freqentemente ao longo do texto na norma tcnica ABNT NBR 6118:2007.

    3.2 LAJE MAICA EQUIVALENTE

    A norma ABNT NBR 6118:2007, no item 14.7.7, permite o clculo das lajes nervuradas

    bidirecionais, para efeito dos esforos solicitantes, como laje macia. A verso anterior

    dessa norma, a ABNT NBR 6118:1980, tambm permitia essa aproximao no seu item

    3.3.2.1.

    Segundo Rocha (1979), as lajes nervuradas funcionam de modo muito idntico s lajes

    macias, sendo calculadas como tal, desde que se obedea a determinados limites de

    espaamento entre nervuras e espessuras de nervura e mesa.

  • 21

    Arajo (2003), apresentando um modelo no-linear para anlise de lajes nervuradas,

    conclui que alm de poderem ser calculadas como lajes macias equivalentes, as lajes

    nervuradas podem ser calculadas com rigidez toro igual rigidez flexo.

    Arajo (2005) comenta que h muito tempo o clculo de lajes nervuradas vem sendo feito

    como se essas lajes fossem lajes macias de espessura equivalente. Diz que este

    procedimento de clculo consagrado e conta com respaldo das principais normas

    internacionais. Acrescenta ainda que, na verdade, h uma grande confuso sobre o assunto.

    Confunde-se a perda de rigidez flexo da laje, decorrente da fissurao do concreto, e o

    conseqente aumento da flecha, com uma possvel falta de rigidez toro. Em sua

    concluso, Arajo (2005) enfatiza que o clculo mais adequado aquele que consiste em

    substituir a laje nervurada por uma laje macia equivalente.

    3.3 A RIGIDEZ EQUIVALENTE EM LAJES NERVURADAS

    Arajo (2006) demonstra que a espessura equivalente de uma laje nervurada pode ser

    calculada a partir de resultados experimentais ou atravs de trs mtodos tericos, sendo

    eles:

    Mtodo da equivalncia de energia;

    Mtodo da rigidez mdia;

    Mtodo de clculo usual.

    Trataremos dos dois ltimos mtodos devido a sua simplicidade de aplicao.

    No mtodo da rigidez mdia, a espessura equivalente dada pela Equao 1:

    ( )[ ] 313f3eq hh1h += (Equao 1) sendo:

    ( )( )

    yx

    yyxx

    SSbSbS

    =

    (Equao 2)

  • 22

    onde:

    bx, by = largura das lajes nervuradas nas duas direes;

    Sx, Sy = distncia entre os eixos das nervuras das duas direes;

    hf = espessura da capa;

    h = altura total, conforme indicado na Figura 3.2;

    D1 = rigidez da nervura;

    D2 = rigidez da capa.

    Figura 3.2 Seo transversal da laje nervurada. Fonte: ARAJO (2006)

    No clculo usual, ou da inrcia equivalente, a espessura da laje macia equivalente dada

    por:

    3

    1

    ,12

    =

    SIh cale (Equao 3)

    onde:

    I o momento de inrcia em relao ao centride da seo T, Figura 3.3.

    S distncia entre eixos, Figura 3.2

    Figura 3.3 Seo T empregada no clculo usual. Fonte: ARAJO (2006)

    Arajo (2006) conclui que o mtodo da rigidez mdia o que mais se aproxima da rigidez

    equivalente de uma laje nervurada.

  • 23

    Na Tabela 3.1 esto comparados os resultados obtidos empregando-se os mtodos da

    rigidez mdia e o mtodo de clculo usual para sees usuais de lajes nervuradas. Dentre

    essas sees est a seo transversal da laje ensaiada para este trabalho e sees comerciais

    de formas plsticas reutilizveis para lajes nervuradas. Observa-se que a maior diferena

    encontrada nas alturas equivalentes de 3%, diferena esta que pode ser considerada muito

    pequena em termos de projeto.

    Tabela 3.1 - Comparao entre o mtodo da equivalncia do momento de inrcia e o mtodo da rigidez mdia

    Largura Distncia

    entre Espessura Altura Altura

    equivalente Altura equivalente Relao

    nervura eixos das nervuras da capa total

    Momento Inrcia Rigidez Mdia Fabricante

    bx=by (cm) Sx=Sy (cm) hf (cm)

    h (cm) heq1 (cm) heq2 (cm)

    heq2/heq1

    Ensaio 7 40 3 9 6,33 6,31 1,00

    9 65 4 25 16,51 15,97 0,97

    9 65 5 26 17,25 16,66 0,97

    Form

    plas

    t

    9,5 65 5 31 20,74 20,13 0,97

    13 60 4 22 16,13 16,07 1,00 13 60 5 23 16,94 16,84 0,99 13 65 4 25 17,92 17,83 0,99 R

    O

    13 65 5 26 18,76 18,57 0,99 10,7 61 4 22 15,40 15,11 0,98 10,7 61 5 23 16,16 15,85 0,98 10,4 65 4 25 17,06 16,69 0,98 A

    stra

    10,4 65 5 26 17,84 17,39 0,97 10,3 60 4 22 15,32 15,02 0,98 10,3 60 5 23 16,08 15,75 0,98 15,3 60 4 26,5 19,94 20,26 1,02 15,3 60 5 27,5 20,87 21,05 1,01

    Ate

    x

    16,6 60 5 37,5 28,51 29,32 1,03

    3.4 CONTINUIDADE ENTRE PAINIS DE LAJES

    As lajes nervuradas possuem sees com diferentes desempenhos para resistir aos

    momentos fletores mximos atuantes no meio do vo ou na regio de continuidade sobre o

    apoio. Um dos trabalhos que tratam desse tema foi desenvolvido por Magalhes (2001).

    As nervuras das lajes estudadas por Magalhes (2001) possuem seo transversal em

    formato de viga T, apresentando melhor desempenho para momentos fletores positivos,

  • 24

    solicitando a mesa da viga que larga, do que para momentos negativos, que comprimem a

    regio inferior da nervura, conforme mostra a Figura 3.4.

    Figura 3.4 Comportamento da seo em relao ao momento fletor. Fonte MAGALHES (2001).

    A continuidade entre as lajes fica afetada e os momentos resistidos no meio do vo so

    maiores dos que os resistidos na regio do apoio intermedirio.

    Magalhes (2001), baseado em anlises experimentais, concluiu que h uma redistribuio

    de momentos negativos da ordem de 15% a 40%. Em seu estudo tambm destacado que

    as lajes ensaiadas, com diferentes taxas de armadura de continuidade, apresentaram

    deslocamentos muito prximos para as cargas de servio.

    O correto posicionamento da armadura negativa e sua integridade durante a concretagem,

    naturalmente, so grandes condicionantes no comportamento da laje em servio.

    O dimensionamento das lajes pode ser feito considerando-se o momento fletor mximo

    positivo e, para garantir a ductilidade e pequena abertura de fissuras na regio do apoio,

    pode-se admitir um momento fletor negativo, com o seguinte recurso: desloca-se o

    diagrama de momentos fletores positivos da estrutura, como na Figura 3.5, at que o

    diagrama parablico intercepte o eixo da laje em 10 % do vo (0,10 L). O diagrama

    representar, para o momento negativo, 36 % do valor do momento fletor positivo (0,36

    M). O valor de Lb corresponde ao comprimento bsico de ancoragem.

  • 25

    Figura 3.5 Diagrama de momentos fletores.

    Esse recurso, usual em escritrios de projeto estrutural, muito prtico para determinar

    uma armadura mnima na regio de continuidade, consistindo em:

    a) determinar a rea de ao necessria para resistir a 36 %, ou mais objetivamente a 40 %,

    do momento fletor positivo;

    b) calcular o comprimento das barras de ao como um dcimo do vo, acrescido do

    comprimento bsico de ancoragem Lb, conforme a bitola escolhida para a armadura e

    condies de aderncia.

    3.5 FLEXIBILIDADE DAS VIGAS DE APOIO

    Stramandinoli (2003) estudando numericamente lajes nervuradas quadradas de vo 5,20 m

    x 5,20 m, compara os momentos fletores e flechas obtidas considerando apoios fixos ou

    apoio em vigas de seo 20 cm x 50 cm. Em seu trabalho considerou 4 exemplos de lajes,

    conforme se observa na Figura 3.6.

    Na laje descrita como Exemplo 1, a distncia entre nervuras de 30 cm. Na laje Exemplo 2

    a distncia de 50 cm, no Exemplo 3 de 80 cm e no Exemplo 4 de 100 cm. A

    sobrecarga de utilizao foi de 2,00 kN/m e o revestimento adotado foi de 1,00 kN/m. O

    valor do momento de inrcia toro foi admitido sem reduo em todas as lajes. Os

    resultados obtidos so representados nos grficos das Figuras 3.7 e 3.8.

  • 26

    Exemplo 1 Exemplo 2

    Exemplo 3 Exemplo 4

    Figura 3.6 Sees das lajes estudadas (unidades em cm). Fonte: STRAMANDINOLI (2003)

    Figura 3.7 Diferena entre as anlises para momentos fletores mximos. Fonte: STRAMANDINOLI

    (2003)

    Figura 3.8 Diferena entre as anlises para flechas mximas. Fonte: STRAMANDINOLI (2003)

    Desse estudo obtm-se uma relao mxima de 0,96 nos momentos fletores e de 1,13 nas

    flechas mximas ao se comparar os valores encontrados para apoio em vigas com os

  • 27

    valores de apoios fixos. Essa anlise mostra a ordem de grandeza que afeta esforo e

    deslocamento quando se considera o apoio em vigas como indeslocvel.

    Devese ter em mente que no se projetam vigas muito deslocveis, para assegurar as

    hipteses de dimensionamento, e a fim de se evitar danos a alvenarias e a outros sistemas.

    Arajo (2008) prope um mtodo simplificado para clculo de lajes macias apoiadas em

    vigas flexveis. Tal mtodo consiste em calcular todas as lajes como simplesmente

    apoiadas, para determinao dos momentos fletores positivos, flechas e reaes de apoio.

    O valor do momento negativo entre lajes contnuas considerado igual ao valor do maior

    momento positivo das lajes vizinhas, na direo estudada.

    Esse mtodo foi compatvel com as anlises via mtodo dos elementos finitos empregadas

    no trabalho de Arajo (2008), ficando as concluses restritas aos pavimentos de edifcios

    residenciais e de escritrios, com dimenses e carregamentos usuais.

    Interessantes afirmaes so feitas na introduo do artigo, referido acima, ao mencionar

    que qualquer mtodo simplificado pode ser utilizado para projetar pavimentos de edifcios

    de concreto armado, desde que atenda a dois requisitos:

    1) A soluo no deve se afastar muito da soluo elstica, para garantir um bom

    funcionamento da estrutura em servio;

    2) O equilbrio do pavimento como um todo deve ser garantido.

    Arajo (2008) complementa que os modelos simplificados tm sido utilizados desde os

    primrdios do projeto estrutural e tm sido comprovados, na prtica, por estruturas que se

    mantiveram seguras e em bom funcionamento durante toda a sua vida til.

    Arajo (2009) procurando validar um estudo anterior por meio da anlise no linear,

    conclui que o mtodo simplificado para clculo da flecha final das lajes macias

    adequado. Esse mtodo consiste em determinar a flecha final da laje, multiplicando a

    flecha elstica inicial, obtida por tabelas e para a combinao quase permanente de

    carregamento, pelo fator (1+), onde o coeficiente de fluncia.

  • 28

    Afirma ser o erro cometido, por no se considerar eventuais fissuras da laje na avaliao da

    flecha inicial, compensado pela considerao da fluncia no estdio I. No estudo, a flecha

    inicial mxima obtida com o Mtodo dos Elementos Finitos 11,4 mm, enquanto no

    mtodo simplificado o valor obtido 7,1 mm. Para as flechas finais os valores so de 24

    mm via Mtodo dos Elementos Finitos (MEF) e 24,9 mm no mtodo simplificado.

    Para a simulao do comportamento no linear dos materiais foram utilizadas equaes

    constitutivas e diagramas tenso-deformao como os apresentados na Figura 3.9.

    a) Concreto comprimido b) Concreto tracionado

    Figura 3.9 Diagramas tenso deformao para o concreto. Fonte: ARAJO (2009).

    3.6 DISTRIBUIO DOS ESFOROS INTERNOS

    Na anlise de uma laje nervurada importante compreender em quais regies os esforos

    mximos ocorrem e se h superposio desses esforos gerando esforos combinados. Para

    esta anlise, foram calculados os esforos de flexo, toro e cisalhamento para uma laje

    simplesmente apoiada nas vigas de borda, utilizando um programa comercial para projeto

    estrutural. As dimenses da laje consideradas na anlise foram 8,00 m x 8,00 m e o

    carregamento de 3,00 kN/m2, com vigas de seo transversal de 20 cm x 80 cm apoiadas

    em quatro pilares nas extremidades. O vo entre eixos de pilares de 7,80 m.

    A regio de maiores momentos fletores, numa laje simplesmente apoiada nas vigas de

    borda, naturalmente ocorre no centro da laje (Figura 3.10).

  • 29

    Figura 3.10 Momentos fletores mximos em uma laje apoiada nas vigas de bordo

    Pode-se observar, conforme resultados apresentados na Figura 3.11, que os momentos

    torsores se concentram nas quinas do painel de laje e assumem o valor mximo na

    interseo com a nervura mais prxima da borda da laje.

    Figura 3.11 Momentos torsores mximos em uma laje apoiada nas vigas de bordo

    Arajo (2003) ilustra essa situao, onde os efeitos de toro podem ser visualizados como

    na Figura 3.12. Nesse desenho a faixa na direo y no passa pelo centro da laje. Conforme

    se observa, as deflexes da faixa na direo x (wx) provocam um giro de toro () na faixa

    em y. A rigidez toro desta faixa faz com que as deflexes sejam reduzidas e,

    conseqentemente, haver uma reduo nos momentos fletores.

  • 30

    Figura 3.12 Toro em uma faixa lateral. Fonte: ARAJO (2003)

    O esforo cortante maior, naturalmente, na regio dos apoios, mas h uma variao neste

    esforo, sendo maior na regio central da viga de apoio, diminuindo seu valor do centro da

    viga para a extremidade apoiada em pilar (Figura 3.13).

    Figura 3.13 Esforo cortante mximos em uma laje apoiada nas vigas de bordo

    Na anlise dos momentos fletores, momento de toro e fora cortante, observa-se que no

    existe superposio de regies de esforo mximo para a laje retangular simplesmente

    apoiada, ou seja, a regio crtica flexo no coincide com a de toro, nem com a de

    cisalhamento na laje.

  • 31

    CAPTULO 4

    ESTADO DA ARTE DE ANLISES EXPERIMENTAIS

    4.1 DESCRIO DAS ANLISES

    Os resultados dos trabalhos experimentais desenvolvidos por Ji et al. (1985), Droppa Jr.

    (1999), Abdul-wahab (2000), Selistre (2000), Schwetz (2005), Duarte Filho (2007), Duarte

    Filho (2008), Schwetz (2008) e Schwetz (2011) so discutidos a seguir.

    Ji et al. (1985) apud Schwetz (2011) realizaram o estudo dos deslocamentos de um painel

    de lajes nervuradas de concreto armado, em modelo reduzido, submetido a cargas verticais.

    Os resultados experimentais foram comparados com os valores obtidos numericamente,

    pelo processo de analogia da laje macia com rigidez flexo equivalente. Concluindo

    que o mtodo da laje macia equivalente superestima a rigidez toro e sugeriram que, no

    clculo da laje, a espessura equivalente fosse reduzida em 20% na fase elstica e 40% na

    fase elstica fissurada.

    Droppa Jr. (1999) analisou os dados obtidos do ensaio de uma laje nervurada bidirecional

    formada por elementos pr-moldados de armao treliada. Na Figura 4.1 so reproduzidas

    as dimenses em planta da laje. Na Figura 4.2 observam-se as dimenses das sees

    transversais das nervuras.

  • 32

    Figura 4.1 Localizao das nervuras. Unidades em cm. Fonte: DROPPA JR. (1999)

    Figura 4.2 Sees transversais das nervuras. Unidades em cm. Fonte: DROPPA JR. (1999)

    A laje foi apoiada sobre alvenaria e o carregamento feito com gua at o valor de 6,0

    kN/m, conforme ilustrao da Figura 4.3.

    Figura 4.3 Laje com carregamento mximo. Fonte: DROPPA JR. (1999).

  • 33

    Os resultados tericos e experimentais do deslocamento devido sobrecarga esto

    apresentados na Figura 4.4. A rigidez toro no estdio I calculada como tC IE3,0 e

    no estdio II como tC IE05,0 , onde Ec o mdulo de elasticidade secante do concreto e

    It o valor do momento de inrcia toro das barras.

    Figura 4.4 Diagrama sobrecarga x deslocamento. Fonte DROPPA JR. (1999)

    O deslocamento obtido para a sobrecarga de 3,0 kN/m est apresentado na Tabela 4.1.

    Tabela 4.1 Deslocamentos obtidos por Droppa Jr (1999) para sobrecarga de 3,0 kN/m.

    Droppa Jr (1999) conclui que existe grande influncia da rigidez toro sobre os valores

    dos deslocamentos, chegando a 170 % de diferena.

  • 34

    O deslocamento foi calculado utilizando-se das tabelas de Bares. Devido diferena de

    inrcia entre nervuras nos dois sentidos da laje, calcula-se a espessura equivalente para

    cada direo, determinando-se a mdia das espessuras, no caso 7,6 cm. O valor encontrado

    para o deslocamento usando a tabela de Bares foi de 0,8 mm, 43 % menor do que o

    deslocamento medido experimentalmente. Entretanto, ainda foi melhor do que o valor da

    grelha no linear, com rigidez toro dos elementos no estdio II, que 157 % maior.

    Abdul-Wahab (2000) ensaiou 6 modelos de lajes nervuradas em escala de 1:4,

    representando vos reais de 6 m, variando o espaamento e a altura das nervuras. Tambm

    foram ensaiadas 2 lajes macias, sendo a laje S7 de espessura equivalente laje nervurada

    S2. As lajes eram simplesmente apoiadas ao longo dos lados, como pode ser visto na

    Figura 4.5.

    Figura 4.5 - Geometria da laje nervurada (unidades em mm). Fonte: ABDUL-WAHAB (2000)

    A Figura 4.6 mostra o deslocamento central obtido para as lajes S2 e S7.

  • 35

    Figura 4.6 Deslocamento central. Fonte: ABDUL-WAHAB (2000)

    O autor conclui que a abordagem por espessura equivalente leva a superestimativa da

    rigidez toro na faixa elstica fissurada e no-fissurada. Uma melhor estimativa da

    rigidez no trecho fissurado obtido quando se assume uma reduo de 25 % na rigidez do

    trecho no-fissurado. Comparando o comportamento das lajes S2 e S7 o autor comenta que

    na faixa elstica no-fissurada a diferena de rigidez entre as lajes parece ser relativamente

    moderada.

    Selistre (2000) realizou uma anlise terico-experimental de um pavimento, em modelo

    reduzido na escala 1:7,5, com laje nervurada bidirecional. O modelo da laje tinha

    dimenses em planta de 81,25 cm x 161,18 cm, altura de 2,67 cm, nervuras de largura 1,33

    cm com 5,33 cm de face a face (Figura 4.7).

    Figura 4.7 Modelo ensaiado, montagem e vista inferior. Fonte: SELISTRE (2000).

  • 36

    As lajes se apoiavam em 6 pilares metlicos sem continuidade com estes. O sistema de

    aplicao de cargas feito com gua aplicou uma carga final de 7,5 kN/m.

    Dois modelos de anlise foram empregados: elementos finitos de placa com laje macia

    equivalente, processado no programa SAP90 e, grelha de vigas com seo T, utilizando

    programa comercial para projeto estrutural.

    Na concluso foi destacado que o mtodo de clculo que melhor simulou o comportamento

    da estrutura, enquanto este era aproximadamente elstico linear, foi o de elementos finitos

    de placa, que foi o mais rgido, discretizado no SAP90. A Figura 4.8 apresenta a curva

    carga x deflexo do deflectmetro D11, posicionado no centro da placa.

    Figura 4.8 Carga x deslocamento deflectmetro D11. Fonte: SELISTRE (2000)

    Nos ltimos estgios de carga, a fissurao do micro concreto foi to intensa e abrangente,

    a ponto de nenhum dos dois programas, no caso o SAP90 e o TQS, reproduzirem o

    comportamento da laje.

    SCHWETZ (2005) analisou um pavimento com laje nervurada em modelo reduzido, na

    escala de 1:7,5 com dimenses em planta de 1,48 m x 1,68 m, espessura das lajes de 3,73

    cm, conforme mostra a Figura 4.9.

  • 37

    Figura 4.9 Laje nervurada em modelo reduzido. Fonte: SCHWETZ (2005)

    Esse pavimento foi processado em programa comercial tendo as dimenses apresentadas

    na Figura 4.10.

    Figura 4.10 Laje nervurada processada pelo programa (unidades em cm). Fonte: SCHWETZ (2005)

  • 38

    Para o carregamento foi utilizada areia para simular o carregamento distribudo e p de

    chumbo para representar o carregamento linear devido ao peso das paredes.

    A autora constata que o modelo de grelhas do programa computacional tende a apresentar

    valores maiores de deslocamentos, no regime elstico, do que os valores medidos no

    ensaio.

    Dentre os fatores que podem contribuir para essa discrepncia a diferena de escala do

    modelo, embora a literatura indique que o comportamento no se altere significativamente

    para a escala utilizada, conforme afirma a autora. Outro fator seria a desconsiderao da

    contribuio da capa da laje no modelo terico.

    A hiptese de que ao se considerar a rigidez toro das nervuras ocorre uma diminuio

    nos valores de momentos fletores e flechas da laje nervurada, foi testada processando a

    grelha com valores menores para o divisor de inrcia das barras da grelha utilizado como

    padro pelo programa. Os valores dos momentos fletores, resultantes dessa nova anlise,

    sofreram uma reduo significativa e se aproximaram mais dos valores experimentais

    (Figura 4.11).

    Figura 4.11 Reduo dos momentos fletores. Fonte: SCHWETZ (2005)

    Duarte Filho (2007) ensaiou uma laje nervurada de 2,0 m x 2,0 m, altura de 5 cm, nervuras

    de 3,5 cm de largura e enchimento em EPS de 25 cm x 25 cm x 3,5 cm. O carregamento

  • 39

    realizado com gua atingiu o valor de 7,75 kN/m, conforme mostra a Figura 4.12. O

    deslocamento no centro da laje foi medido com deflectmetro (Figura 4.13).

    Figura 4.12 Dimenses da laje nervurada (seo e planta), sem escala. Fonte: DUARTE FILHO (2007)

    Figura 4.13 Posicionamento do deflectmetro no centro da laje. Fonte: DUARTE FILHO (2007)

    O autor conclui que a rigidez toro da laje nervurada no foi desprezvel. E tambm que

    os processos empregados para lajes macias parecem ser vlidos para a determinao dos

    esforos em laje nervurada bidirecional, por melhor representar o comportamento da laje

    do que os modelos de grelha com a inrcia toro reduzida.

  • 40

    Conforme comentado pelo autor, os resultados da analogia de grelha mais prximos aos

    experimentais foram obtidos considerando a inrcia toro igual a 2 ou 4 vezes a inrcia

    flexo, como geralmente feito no caso de lajes macias, comenta o autor. As Figuras

    4.14 e 4.15 apresentam os resultados obtidos nas anlises desenvolvidas por Duarte Filho

    (2007).

    Figura 4.14 Grfico carregamento x deslocamento para modelos diferentes. Fonte: DUARTE FILHO

    (2007)

    Figura 4.15 Resultados para a anlise por analogia de grelha atualizando-se a inrcia toro. Fonte:

    DUARTE FILHO (2007)

    Duarte Filho (2008) ensaiou uma laje nervurada, em escala 1:2, com dimenso em planta

    de 2,0 m x 2,0 m, altura de 5 cm, largura das nervuras de 3,5 cm e enchimento em EPS de

  • 41

    15 cm x 15 cm x 3,5 cm, para verificar a validade de se considerar a laje nervurada

    bidirecional como laje macia equivalente. A Figura 4.16 apresenta as dimenses da laje.

    Figura 4.16 Dimenses (cm) da laje analisada (sem escala). Fonte: DUARTE FILHO (2008)

    Como concluso o autor destaca que a considerao da laje nervurada bidirecional como

    laje macia equivalente forneceu resultados bastante prximos ao comportamento da laje

    ensaiada (Figura 4.17).

    Figura 4.17 Comparao do resultado experimental com o modelo simplificado. Fonte: DUARTE

    FILHO (2008)

    A laje nervurada ensaiada no apresentou elevada perda de rigidez toro com a

    fissurao (devido flexo), como pode ser observado na Figura 4.18.

  • 42

    Figura 4.18 Resultados para a anlise por analogia de grelha, com coeficientes de rigidez toro

    constantes. Fonte: DUARTE FILHO (2008)

    O autor ressalta ainda a necessidade de se obter mais ensaios experimentais.

    Schwetz (2008) ensaiou uma laje nervurada de uma estrutura real e fez a anlise numrica

    atravs de programa comercial. A laje tinha seo transversal de altura total 32,5 cm, capa

    7 cm, largura das nervuras de 12 cm e entre - eixo de nervuras de 80 cm. A Figura 4.19

    apresenta o esquema estrutural da laje e locao da rea carregada experimentalmente.

    Figura 4.19 Planta e rea de carregamento. Fonte: SCHWETZ (2008).

    O carregamento de projeto previa, alm do peso prprio da estrutura, uma carga

    permanente de 1,0 kN/m e uma carga acidental de 3,0 kN/m. No ensaio a regio

    carregada foi solicitada at 6,6 kN/m com o emprego de sacos de argamassa (Figura 4.20).

  • 43

    Figura 4.20 Carregamento colocado em uma seo da laje. Fonte: SCHWTEZ (2008)

    A instrumentao usada foi composta por extensmetros e deflectmetros. A Figura 4.21

    apresenta o resultado do deflectmetro R2 posicionado sob o centro da regio de aplicao

    do carregamento.

    Figura 4.21 Grfico carga x deslocamento vertical do deflectmetro R2. Fonte: SCHWTEZ (2008)

    A concluso do estudo demonstra uma tendncia ao comportamento linear da laje em todas

    as etapas de carregamento, com deslocamentos medidos prximos aos previstos

    numericamente. Nesse artigo no houve nenhuma considerao sobre a rigidez toro

    adotada no programa para as barras da laje.

    Schwetz (2011) ensaio trs lajes nervuradas em escala natural. A primeira laje,

    denominada Caso de Estudo 1 a mesma descrita em Schwetz (2008). A segunda laje,

    denominada Caso de Estudo 2, destinada garagem foi carregada em etapas de disposio

  • 44

    dos automveis (Figura 4.22). A terceira laje, de cobertura destinada a duas quadras de

    tnis, foi carregada com o preenchimento das camadas sucessivas de argila e saibro.

    Figura 4.22 Carregamento da laje Caso 2. Fonte: SCHWETZ (2011)

    A autora destaca que, conforme anlise paramtrica efetuada no trabalho, o modelo

    computacional descreveria melhor o comportamento de lajes nervuradas se considerasse a

    totalidade da inrcia toro das barras da grelha que formam a laje.

    Como sugesto de trabalhos futuros Schwetz (2011) cita o estudo da capacidade de

    resistncia toro das lajes nervuradas quando armadas somente flexo, a fim de

    determinar se a armadura especfica de toro deve ou no ser utilizada neste sistema

    estrutural.

    Os trabalhos experimentais, at aqui relatados, demonstram a necessidade de melhor

    quantificar a rigidez a toro das barras da laje nervurada, indicando tambm no ser esta

    propriedade desprezvel. Mostram tambm a boa previso do comportamento das lajes

    nervuradas quando estas so modeladas como laje macia equivalente, notadamente na

    fase elstica dos materiais.

  • 45

    CAPTULO 5

    PROGRAMA EXPERIMENTAL E ANLISE NUMRICA

    5.1 DESCRIO DAS LAJES

    O programa experimental realizado neste trabalho foi constitudo de uma laje macia e

    uma laje nervurada bidirecional, executadas em estrutura de reao, possibilitando o ensaio

    das lajes com comprimento livre de 3,00 m x 3,00 m. Os ensaios foram realizados na

    Universidade Federal de Gois, Campus Catalo.

    As lajes macia e nervurada bidirecional foram moldadas in loco, considerando-se a pea

    apoiada nos quatro bordos, sobre estrutura metlica construda para este fim, conforme

    ilustra a Figura 5.1.

    A laje nervurada bidirecional foi executada com espessura de 9 cm e elemento inerte em

    EPS com dimenso de 33 x 33 x 6 cm e nervuras de 7 cm (Figuras 5.2 e 5.3). A laje

    macia de espessura equivalente foi executada com 6,3 cm conforme ilustra a Figura 5.4.

    O esquema em planta das caractersticas geomtricas das lajes macia e nervurada

    apresentado na Figura 5.5.

    Figura 5.1 - Estrutura metlica para suporte Figura 5.2 - Laje nervurada bidirecional ensaiada

  • 46

    Figura 5.3 Concretagem Figura 5.4 - Laje macia de espessura

    equivalente

    Figura 5.5 Vista em planta das lajes nervuradas e macia (unidades em cm)

    5.2 CARREGAMENTO NAS LAJES

    Cada passo de carregamento correspondeu a adio de um bloco sextavado, de peso mdio

    de 0,08 kN, numa rea de influncia de 0,16 m, o que significa uma carga de 0,5 kN/m

    para cada passo. O peso prprio da laje nervurada correspondeu a 1,25 kN/m e da laje

    macia 1,58 kN/m.

    Os deslocamentos verticais foram medidos imediatamente aps a aplicao das cargas. O

    ensaio da laje nervurada durou 5 horas e foi subdividido em 17 incrementos de carga. J o

    ensaio da laje macia durou 3 horas e foi subdividido em 11 incrementos de carga.

  • 47

    Deve-se ressaltar que tanto o lanamento quanto adensamento do concreto foram feitos

    manualmente nos dois ensaios.

    A fim de controlar a espessura do concreto das lajes foram utilizados tubos de PVC,

    (Figura 5.6) posicionados na regio central da laje e marcaes na madeira de borda.

    Figura 5.6 Tubo para controle de espessura das lajes

    Foram pesados, em balana eletrnica aferida, 100 blocos sextavados recolhidos

    aleatoriamente sendo realizada a mdia de peso para 1 bloco (Figura 5.7).

    Figura 5.7 - Pesagem dos blocos

    5.3 LEITURA DOS DESLOCAMENTOS VERTICAIS

    A instrumentao, para medida dos deslocamentos verticais, foi realizada usando quatro

    relgios comparadores, de preciso 0,01 mm, posicionados no centro da laje e nas vigas de

    reao (Figuras 5.8, 5.9 e 5.10).

  • 48

    Figura 5.8 - Esquema de aplicao de carga e posicionamento dos medidores de deslocamentos

    Figura 5.9 Instrumentao para verificao da flecha

    da estrutura de reao

    Figura 5.10 Instrumentao para determinao do

    valor do deslocamento

    5.4 MATERIAIS

    5.4.1 CONCRETO

    Nas duas lajes ensaiadas foi utilizado concreto de trao 1:2,5:2,5 em volume, relao

    gua/cimento igual a 0,6 e cimento CP II E 32.

    Os valores da resistncia compresso e da resistncia trao do concreto foram obtidos

    da ruptura de corpos-de-prova cilndricos com 15 cm de dimetro e 30 cm de altura.

    Na Tabela 5.1 esto apresentadas as caractersticas do concreto obtidas no ensaio. O

    mesmo foi realizado aos 29 dias e as propriedades dos materiais determinadas 28 dias aps

    a concretagem.

  • 49

    Tabela 5.1 Caractersticas do concreto

    Caractersticas do Concreto Valores

    Obtidos

    Resistncia compresso do concreto (fck) 17,2 MPa

    Resistncia a trao por compresso diametral (fct,sp) 2,37 MPa

    Resistncia trao direta do concreto (fct) 2,13 MPa

    Mdulo de elasticidade secante do concreto (Ecs) 19,7 GPa

    Abatimento mdio (Slump Test) 83 mm

    O mdulo de elasticidade do concreto foi obtido pela equao fornecida pela ABNT NBR

    6118:2007.

    5.4.2 AO

    A armadura utilizada na laje nervurada foi composta de duas barras de 6,3 mm (CA-50)

    em cada nervura, com cobrimento de 1 cm. Para a laje macia de espessura equivalente foi

    usada armadura com 6,3 a cada 20 cm.

    5.5 RESULTADOS EXPERIMENTAIS O deslocamento mximo nas vigas de apoio foi de 0,27 mm no ensaio da laje nervurada e

    de 0,09 mm no ensaio da laje macia. O deslocamento, no meio do vo, devido ao peso

    prprio da estrutura foi obtido por projeo do comportamento linear dos grficos de

    carregamento x deslocamento.

    5.5.1 RESULTADO DO ENSAIO DA LAJE NERVURADA

    O grfico dos resultados do ensaio apresentado na Figura 5.11, e relaciona carregamento

    e deslocamento. Nota-se o comportamento no linear do concreto e o incio de fissurao

    para a carga de 4,25 kN/m. A Figura 5.12 mostra o processo de fissurao da laje. Todos

    os deslocamentos medidos no ensaio esto apresentados no Anexo B.

    As fissuras so perceptveis a partir do carregamento de 6,25 kN/m. Aps este valor

    aparecem fissuras novas a cada incremento de carga (Figura 5.13).

  • 50

    Ensaio laje nervuradaDeslocamento no centro da laje

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

    Deslocamentos (mm)

    Car

    rega

    men

    to (k

    N/m

    )

    Figura 5.11 Resultado do ensaio da laje nervurada bidirecional

    Figura 5.12 Fissurao da laje nervurada. Fissuras destacadas

    Figura 5.13 Croqui da fissurao da laje nervurada

  • 51

    O carregamento mximo foi de 9,75 kN/m, correspondendo a uma flecha de 18,63 mm ou

    1/161 do vo da laje. A Figura 5.14 apresenta o carregamento final na laje nervurada.

    Figura 5.14 Carregamento final da laje nervurada

    5.5.2 RESULTADO DO ENSAIO DA LAJE MACIA EQUIVALENTE

    O resultado do carregamento x deslocamento para a laje macia equivalente est

    apresentada na Figura 5.15.

    O comportamento do concreto praticamente bilinear, com incio de fissurao para carga

    de 5,08 kN/m. As fissuras so visveis a olho nu a partir do carregamento de 6,08 kN/m,

    seguido de abertura brusca de fissuras e paralisao do ensaio (Figura 5.16). Para

    carregamento de 6,58 kN/m, a flecha foi de 15,97 mm ou 1/188 do vo.

    Ensaio laje macia equivalenteDeslocamento no cento da laje

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

    Deslocamento (mm)

    Car

    rega

    men

    to (k

    N/m

    )

    Figura 5.15 Resultado do ensaio da laje macia equivalente

  • 52

    Figura 5.16 Croqui da fissurao da laje macia

    5.5.3 COMPARAO DOS RESULTADOS

    Os resultados dos ensaios encontram-se representados na Figura 5.17. Nota-se o

    desempenho similar entre as duas lajes na fase elstica, sem fissurao. Neste ponto, a laje

    macia mais rgida e a laje nervurada apresenta um comportamento mais dctil. Os

    resultados dos deslocamentos e da flecha das lajes ensaiadas so apresentados na Tabela

    5.2.

    Comparao ensaiosDeslocamento no centro da laje

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

    Deslocamento (mm)

    Car

    rega

    men

    to (k

    N/m

    )

    ensaio laje nervuradaensaio laje macia

    Figura 5.17 Comparao dos ensaios realizados.

  • 53

    Tabela 5.2 - Resultados dos deslocamentos dos apoios e da flecha para os ensaios

    Tipo de laje Deslocamento mximo no

    apoio (mm)

    Flecha

    (mm)

    Laje nervurada bidirecional 0,27 18,63

    Laje macia 0,09 15,97

    5.6 ANLISE NUMRICA NO PROGRAMA GESTRUT

    A laje nervurada foi processada no programa GESTRUT, desenvolvido por Gesualdo

    (2009). A grelha obtida pelo GESTRUT apresentada na Figura 5.18.

    Na anlise numrica dessas lajes usando o programa GESTRUT foram consideradas as

    seguintes condies de contorno:

    na extremidade das barras, no contorno da laje, foram restringidas as translaes no

    eixo y;

    nas extremidades das barras dos cantos foram restringidas as translaes nos eixos

    x, y e z;

    as rotaes foram liberadas. O plano dos eixos x e z o plano da laje. O eixo y

    perpendicular ao plano da laje. As rotaes so referidas em torno dos eixos x, y ou

    z.

    Alm disso, cada barra de extremidade da grelha foi rotulada no apoio, recebendo vnculo

    do tipo 0. O vnculo de tipo 1 estabelece continuidade com a barra ligada. As cargas foram

    aplicadas nos ns da grelha.

    A laje nervurada foi modelada como grelha equivalente composta por vigas de seo T,

    considerando-se a inrcia a toro integral desses elementos. A inrcia a toro sem

    redues dada pela Equao 4.

    3)(

    3

    33wfff

    t

    bhhhbI

    +

    =

    (Equao 4)

    onde:

  • 54

    bf largura da mesa da seo T; bw largura da nervura;

    hf altura da mesa da seo; h altura total da seo.

    Figura 5.18 Discretizao da grelha de laje processada no programa GESTRUT

    5.6.1 CARACTERSTICAS GEOMTRICAS DE SEES NO ESTDIO II

    No estado de fissurao denominado Estdio II puro, ilustrado na Figura 5.19, admite-se

    que:

    os esforos de trao so resistidos apenas pela armadura localizada abaixo da linha

    neutra;

    existe uma relao linear entre tenso e deformao especfica no concreto para

    todos os pontos da seo transversal;

    toda a resistncia do concreto na regio fissurada desprezada;

    a distribuio das tenses de compresso no concreto triangular;

    no ocorre escoamento do ao nem plastificao do concreto.

  • 55

    Figura 5.19 Seo Transversal no Estdio II puro. Fonte: CARVALHO (1994)

    De acordo com Carvalho (2005), o momento de inrcia da seo no estdio II (Ix,II0) em

    relao linha neutra de posio XII, pode ser determinado pela Equao 5 quando a

    profundidade da linha neutra inferior espessura da mesa hf. Ou pela Equao 6 quando

    a profundidade da linha neutra superior espessura da mesa.

    (Equao 5)

    (Equao 6)

    onde:

    bf: largura da mesa da seo T; : relao entre os mdulos de deformao longitudinal

    do ao e do concreto; As: rea de armadura tracionada; d: altura til da seo; As: rea de

    armadura comprimida; d: distncia do centro de gravidade de As at a borda comprimida

    do concreto; bw: largura da nervura.

    A posio da linha neutra uma das razes da Equao 7:

    , (Equao 7)

    onde os coeficientes so obtidos pelas equaes 8, 9 e 10.

  • 56

    (Equao 8)

    (Equao 9)

    (Equao 10)

    Para vigas de seo transversal retangular ou sem armadura as expresses so vlidas,

    com

    5.6.2 EFEITO DA FISSURAO MODELO SIMPLIFICADO DE BRANSON PARA

    FLECHA IMEDIATA

    O modelo de Branson, como apresentado em Carvalho (2005), um mtodo semi

    probabilstico, simplificado, utilizando expresses empricas que fornecem valores mdios

    da inrcia.

    Pode ser aplicado para obter o valor da inrcia entre o estdio I, no fissurado, e estdio II

    puro.

    A forma geral da expresso de Branson :

    (Equao 11)

    onde:

    Im - momento de inrcia efetivo para uma seo ou para toda a pea, no caso de vigas

    simplesmente apoiadas; momento de inrcia mdio entre a seo do apoio e a seo do

    meio do vo, para o caso de vigas contnuas;

    II momento de inrcia da pea no estdio I (da seo bruta ou homogeneizada);

    III momento de inrcia da pea no estdio II puro;

    Mr momento de fissurao do concreto;

    Mat momento atuante na seo mais solicitada;

  • 57

    n ndice de valor igual a 4, para situaes em que a anlise feita em apenas uma seo

    da pea, ou igual a 3, quando se faz a anlise da pea ao longo de todo o seu comprimento,

    que a situao em questo.

    Na ABNT NBR 6118: 2007, item 17.3.2.1, a flecha imediata em vigas pode ser avaliada,

    de maneira aproximada, atravs da rigidez equivalente , dada por:

    (Equao 12)

    em que:

    Ic momento de inrcia da seo bruta de concreto;

    III momento de inrcia da seo fissurada de concreto no estdio II, calculado com o

    coeficiente ;

    Ma momento fletor na seo crtica do vo considerado; momento mximo no vo para

    vigas biapoiadas ou contnuas e momento no apoio para balanos, para a combinao de

    aes considerada nessa avaliao;

    Mr momento de fissurao do elemento estrutural, dado pela equao 13, e que deve ser

    reduzido metade para barras lisas;

    Ecs mdulo de elasticidade secante do concreto, dado por (em MPa);

    O momento de fissurao Mr, pode ser determinado pela expresso aproximada presente

    no item 17.3.1 da norma ABNT NBR 6118: 2007.

    (Equao 13)

    sendo:

    = 1,2 para sees em forma de T ou duplo T e 1,5 para sees retangulares;

    Ic momento de inrcia da seo bruta de concreto;

    yt distncia do centro de gravidade fibra mais tracionada.

  • 58

    fct a resistncia trao direta do concreto. Para determinao do momento de

    fissurao deve ser usado no estado limite de formao de fissura e o no

    estado limite de deformao excessiva.

    No item 8.2.5 da referida norma tem-se:

    (Equao 14)

    (Equao 15)

    em que:

    - valor inferior da resistncia trao do concreto;

    resistncia mdia trao do concreto;

    resistncia caracterstica compresso do concreto.

    Para cada incremento de carga o momento fletor mximo foi comparado com o momento

    de fissurao, dado na Equao 13. Quando este foi atingido, a rigidez equivalente de todas

    as barras foi corrigida usando a expresso de Branson (Equao 12). O momento mximo

    Ma, e a posio da linha neutra no Estdio II so calculados com os dados obtidos do

    processamento para o carregamento anterior.

    5.6.3 RESULTADOS OBTIDOS NO PROGRAMA GESTRUT

    Na Tabela 5.3, para cada etapa de carregamento, apresentado o momento de inrcia

    equivalente, o momento de inrcia no Estdio II puro, a relao (Mr/Ma), a flecha,

    momento fletor e momento de toro mximos obtidos.

  • 59

    Tabela 5.3 Resultados da anlise numrica no programa GESTRUT.

    Carga Distrib.

    (kN/m)

    Carga N

    (kN)

    Ieq

    (cm4)

    III

    (cm4) (Mr/Ma)

    Desloc.

    (cm)

    M

    (kN.cm)

    Mt

    (kN.cm)

    1,25 0,20 846 --- --- 0,14 24,39 7,00

    1,75 0,28 846 --- --- 0,20 34,14 16,44

    2,25 0,36 846 --- --- 0,25 43,9 21,13

    2,75 0,44 558 299 0,47 1,41 47,38 34,48

    3,25 0,52 505 299 0,38 0,52 54,13 43,94

    3,75 0,6 437 299 0,25 0,65 59,27 54,78

    4,25 0,68 404 299 0,19 0,77 65,17 65,02

    4,75 0,76 378 299 0,14 0,89 70,94 75,50

    5,25 0,84 360 299 0,11 1,01 76,87 85,77

    5,75 0,92 347 299 0,09 1,12 82,91 95,86

    6,25 1,00 337 299 0,07 1,24 89,02 105,87

    6,75 1,08 330 299 0,06 1,35 95,29 115,63

    7,25 1,16 324 299 0,05 1,46 101,54 125,42

    7,75 1,24 320 299 0,04 1,58 107,97 134,96

    8,25 1,32 316 299 0,03 1,68 114,78 143,90

    8,75 1,40 313 299 0,03 1,80 120,73 154,16

    9,25 1,48 311 299 0,02 1,91 127,28 163,52

    9,75 1,56 309 299 0,02 2,02 133,78 172,94

    A Figura 5.20 compara o resultado numrico da grelha do programa GESTRUT com o

    resultado experimental obtido na laje nervurada.

    Figura 5.20 Comparao dos resultados do ensaio de laje nervurada e clculo como grelha (GESTRUT)

  • 60

    As Figuras 5.21 e 5.22 comparam os resultados dos ensaios, de laje macia equivalente e

    nervurada, com a previso do deslocamento mximo no centro da laje utilizando as tabelas

    de Bares.

    A laje macia foi analisada com o emprego das tabelas de Bares, presentes em Carvalho

    (2005). O momento de fissurao e a estimativa da perda de rigidez devido fissurao na

    flexo foram avaliados conforme descrio no item 5.6.2 acima.

    Comparao ensaio macia e placa

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36

    Deslocamento (mm)

    Car

    rega

    men

    to (k

    N/m

    )

    placa tabela Baresensaio macia

    Figura 5.21 Comparao entre ensaio de laje macia e tabela de Bares

    Comparao ensaio nervurada e placa

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36

    Deslocamento (mm)

    Car

    rega

    men

    to (k

    N/m

    )

    ensaio

    tabela Bares

    Figura 5.22 Comparao entre ensaio da laje nervurada e tabela de Bares

    A fim de melhor representar a fissurao real da laje nervurada, o modelo de grelha foi

    processado com o momento de fissurao correspondente ao carregamento que origina o

    incio de fissurao no ensaio, obtendo-se o grfico da Figura 5.23.

  • 61

    Comparao ensaio e programas

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36

    Deslocamento (mm)

    Car

    rega

    men

    to (k

    N/m

    )

    ensaiogestrut fissuracao real

    Figura 5.23 Comparao ensaio da laje nervurada e grelha (GESTRUT) com momento de fissurao real

    Observa-se a boa aproximao, do modelo terico para o experimental, quando se modela

    a laje por grelha com barras sem reduo da rigidez toro e com estimativa mais realista

    do incio da fissurao da laje.

  • 62

    CAPTULO 6

    COMPARAO ENTRE RESULTADOS DE ENSAIO E DE PROGRAMAS COMERCIAIS

    6.1 INTRODUO

    A fim de avaliar os resultados nas lajes ensaiadas e os obtidos nos programas comerciais,

    so comparados os resultados das flechas mximas obtidas no ensaio e por dois programas

    comerciais para projeto de estruturas de concreto armado, denominados Programa 1 e

    Programa 2.

    Este trabalho no procura comparar diretamente os resultados dos programas comerciais

    entre si.

    No houve minorao ou majorao das cargas permanentes e adicionais para a

    determinao dos deslocamentos. O mdulo de elasticidade e a resistncia caracterstica do

    concreto utilizados nas anlises foram os valores obtidos experimentalmente. O Anexo C

    traz todos os dados para processamento da laje por qualquer programa comercial.

    Uma terceira comparao realizada com a laje modelada como uma grelha de vigas

    independentes de seo T. Nesse caso hipottico, no existe qualquer interao entre as

    barras da grelha e os carregamentos so aplicados nos ns com a devida separao dos

    quinhes de carga de cada barra. Dessa forma, cada n solicitado por uma fora vertical

    correspondente carga distribuda multiplicada pela rea de influncia do n, no valor de

    0,16 m (Figura 6.1).

  • 63

    Figura 6.1 - Laje nervurada como vigas T independentes

    6.2 PROCESSAMENTO NO PROGRAMA 1

    O programa 1 utiliza a analogia de grelha com as barras de seo T, inrcia toro

    determinada pela Equao 16 e Figura 6.2.

    (Equao 16)

    Figura 6.2 Seo T

    So fornecidas as flechas: elstica, imediata, diferida e total, sendo esta a soma da imediata

    e diferida.

    A rigidez toro das barras da grelha no modificada no caso de haver fissurao por

    toro, ficando a cargo do usurio uma reduo desta rigidez, aplicvel a todas as barras,

    configurada no item Anlise Painis de laje Reduo na toro (Figura 6.3).

  • 64

    Figura 6.3- Tela de configurao do Programa 1

    Para a flecha imediata, o Programa 1 utiliza a formulao de Branson, presente na norma

    ABNT NBR 6118:2007, para avaliao de forma simplificada dos deslocamentos nas lajes.

    Nestes termos, o processo iterativo com os passos assim descritos:

    1- Com os esforos elsticos, calculam-se as combinaes no Estado Limite ltimo e

    dimensiona-se a laje;

    2- Com os esforos elsticos e com as armaduras calculadas a partir destes, obtm-se a

    rigidez equivalente (EIeq) atravs da expresso de Branson;

    3- montado um modelo de grelha exatamente igual ao modelo elstico, mas onde a

    rigidez de cada barra alterada para sua rigidez equivalente calculada;

    flecha diferida, ou surgida ao longo do tempo, sob ao de cargas de longa durao,

    decorrentes dos efeitos de retrao e fluncia, soma-se a flecha imediata.

    O clculo dessas flechas depende de muitas variveis, como temperatura, teor de umidade,

    condies de cura, idade do concreto, histrico de carregamentos.

    A flecha adicional diferida em lajes, conforme item 19.3.1 da ABNT NBR 6118:2007

    utilizando os critrios do item 17.3.2.1.2, calculada em funo do tempo e da taxa de

    armadura de compresso, pode ser determinado de maneira aproximada, multiplicando a

    flecha imediata pelo fator (1+ ), onde dado pela Equao 17.

    (Equao 17)

  • 65

    onde a taxa geomtrica de armadura de compresso dada pela Equao 18

    (Equao 18)

    onde a rea da seo da armadura longitudinal de compresso; b a largura da base e d

    a rea til da seo transversal.

    Para a laje ensaiada tem-se = 0. O coeficiente funo do tempo e pode ser calculado

    pelas Equaes 19 e 20.

    (Equao 19)

    (Equao 20)

    Para o tempo t maior ou igual a 70 meses o valor de igual a 2. Assim, para o tempo

    de incio de aplicao de carga de 28 dias, ou 0,93 meses, tem-se:

    ;

    (

    A planta de forma criada pelo programa est ilustrada na Figura 6.4. As vigas de borda

    foram modeladas com seo transversal de 10 cm x 30 cm, pilares intermedirios de seo

    15 cm x 15 cm e vos entre-eixos de 150 cm.

    Figura 6.4 - Forma da laje (unidades em cm)

  • 66

    Os momentos fletores e momentos torsores mximos obtidos para cada carregamento esto

    na Tabela 6.1.

    Tabela 6.1 - Momento fletores e torsores mximos no Programa 1.

    Carga Distribuda

    (kN/m)

    Momento Fletor Mximo

    (kN.m/m)

    Momento Torsor Mximo

    (kN.m/m)

    1,25 0,78 0,19

    1,75 1,07 0,27

    2,25 1,31 0,34

    2,75 1,55 0,42

    3,25 1,89 0,5

    3,75 2,24 0,57

    4,25 2,59 0,65

    4,75 3,05 0,73

    5,25 3,41 0,8

    5,75 3,79 0,88

    6,25 4,08 0,96

    6,75 4,43 1,03

    7,25 4,78 1,11

    7,75 5,4 1,19

    8,25 5,35 1,26

    8,75 5,69 1,34

    9,25 6,01 1,42

    9,75 6,34 1,49

    A Figura 6.5 mostra a distribuio dos momentos torsores na grelha para um determinado

    carregamento. Vale notar que as barras nas extremidades da grelha no apresentam

    momento torsor, evidenciando a liberdade de giro sobre o prprio eixo para a barra da

    grelha na regio de apoio.

  • 67

    Figura 6.5- Grelha com valores do momento torsor processada no Programa 1

    6.3 PROCESSAMENTO NO PROGRAMA 2

    O Programa 2 tambm faz a anlise da estrutura atravs do mtodo da analogia de grelha.

    Na flexo as barras so consideradas como seo T. Para a inrcia toro considerada

    somente a seo retangular composta pela nervura e parte da mesa (Figura 6.6).

    Figura 5.6 - Seo considerada na toro

    O Programa 2 fornece os valores das flechas imediata e diferida, conforme ilustrado nas

    Figuras 6.7 e 6.8.

    Figura 6.7- Grelha com flecha imediata Figura 6.8 - Grelha com flecha diferida

  • 68

    O programa tambm apresenta as barras da grelha que se encontram fissuradas para um

    dado carregamento.

    O carregamento aplicado subdividido em incrementos de carga a fim de que a rigidez em

    cada barra da laje possa ser corrigida gradativamente medida que a fissurao se propaga.

    O programa se baseia no trabalho de Carvalho (1994) para implementar o processo de

    clculo incremental. Quanto maior o nmero de incrementos de carga, melhor o resultado

    obtido, porm mais demorado o processamento (Figura 6.9).

    Figura 6.9 Influncia do nmero de incrementos de carga

    Na presente anlise foi empregado um nmero de incrementos, NINC, igual a 12.Todas as

    barras da grelha foram consideradas com 2 subdivises em cada barra, assim, os esforos

    so fornecidos para sees no meio e nas extremidades da barra.

    Na anlise flexo adotou-se a formulao presente na ABNT NBR 6118: 2007, ou seja, a

    expresso de Branson com expoente igual a 4 (Figura 6.10). Carvalho (2005) esclarece que

    o expoente 4 usado em situaes onde anlise feita em apenas uma seo da pea.

    Quando se faz a anlise da pea ao longo de todo o seu cumprimento o expoente 3.

    Figura 6.10 Diagrama momento fletor x curvatura segundo ABNT NBR 6118:2007

  • 69

    O diagrama da rigidez toro x momento torsor adotado est representado pela Figura

    6.11, onde a rigidez da seo no fissurada dada pela Equao 21 e, aps iniciada a

    fissurao, pela Equao 22.

    (Equao 21)

    (Equao 22)

    onde:

    : rigidez toro no estdio no fissurado; : rigidez toro no estdio fissurado;

    E: mdulo de elasticidade secante do concreto; : momento de inrcia toro da sesso.

    Figura 6.11 Diagrama rigidez toro x momento torsor

    A rigidez toro integral da seo corresponde a , conforme item 8.2.9 da norma

    ABNT NBR 6118:2007. O Programa 2 utiliza 75% da rigidez toro total at o incio da

    fissurao do concreto e, aps a fissurao, 12,5%. Vale ressaltar que o Programa 2

    considera nula a rigidez toro das barras para determinao da rea de ao necessria no

    Estado Limite ltimo.

    A planta de forma gerada pelo Programa 2 est ilustrada na Figura 6.12.

    300

    300

  • 70

    Figura 6.12- Forma gerada pelo Programa 2 (unidades em cm)

    Nota-se que o programa no centraliza as nervuras da laje e os pilares intermedirios P2,

    P4, P5 e P7 foram retirados, pois o Programa 2 considera a barra da grelha ligada

    diretamente a esses, influindo no resultado da flecha e na considerao de apoio da laje

    sobre viga.

    Para compensar a retirada dos pilares a altura das vigas de bordo foi aumentada de 30 cm

    para 60 cm, garantindo a condio de apoio praticamente indeslocvel. A rigidez toro

    das vigas de bordo foi dividida por 10 para no influir na flexo da laje.

    Os momentos fletores mximos, para cada incremento de carga, esto apresentados da

    Tabela 6.3.

    Tabela 6.3 Momentos fletores mximos obtidos no Programa 2

    Carga Distribuda

    (kN/m)

    Momento Fletor Mximo

    (kN.m/m)

    1,25 0,75

    1,75 1,25

    2,25 1,5

    2,75 1,75

    3,25 2,25

  • 71

    3,75 2,5

    4,25 3

    4,75 3,25

    5,25 3,5

    5,75 4

    6,25 4,25

    6,75 6,75

    7,25 5

    7,75 5,25

    8,25 5,5

    8,75 6

    9,25 6,25

    9,75 6,75

    6.4 RESULTADOS OBTIDOS E COMPARAES

    Ainda para efeito de comparao so apresentadas a Tabela 6.4 e a Tabela 6.5. Na Tabela

    6.4 esto os resultados da anlise da laje como grelha composta por vigas T independentes,

    onde cada viga carregada no n com a carga concentrada correspondente sua rea de

    influncia dividida igualmente entre as vigas que se cruzam nesse n.

    O momento de fissurao para essas vigas

    nervuracm.kN10,35M r = , ultrapassado na segunda

    etapa de carregamento.

    Tabela 6.4 - Laje como grelha composta por vigas T independentes

    Ieq (cm4)

    Carga Distribuda

    (kN/m)

    Carga N Grelha

    (kN)

    Carga N Viga

    (kN)

    Deslocamento

    Mximo (cm)

    Momento Mximo

    (kN.cm)

    846 1,25 0,20 0,10 0,16 28,5

    622 1,75 0,28 0,14 0,22 39,9

    416 2,25 0,36 0,18 0,41 51,3

    354 2,75 0,44 0,22 0,68 62,7

    329 3,25 0,52 0,26 0,94 74,1

  • 72

    317 3,75 0,60 0,30 1,17 85,5

    311 4,25 0,68 0,34 1,39 96,9

    307 4,75 0,76 0,38 1,60 108,3

    305 5,25 0,84 0,42 1,80 119,7

    303 5,75 0,92 0,46 2,00 131,1

    302 6,25 1,00 0,50 2,18 142,5

    301 6,75 1,08 0,54 2,37 153,9

    301 7,25 1,16 0,58 2,56 165,3

    300 7,75 1,24 0,62 2,74 176,7

    300 8,25 1,32 0,66 2,93 188,1

    300 8,75 1,40 0,70 3,11 199,5

    300 9,25 1,48 0,74 3,30 210,9

    300 9,75 1,56 0,78 3,47 222,3

    A Figura 6.13 apresenta o resultado da flecha no meio do vo para esse caso, usando o

    software FTOOL desenvolvido por Martha (2002).

    Figura 6.13 - Processamento das barras da grelha como vigas T independentes.

    Na Tabela 6.5 esto os momentos fletores mximos, obtidos da laje macia de espessura

    equivalente laje ensaiada, atravs das Tabelas de Bares, presentes em Carvalho (2005).

    Tabela 6.5 - Momentos fletores para laje macia equivalente.

    Carga Distribuda p

    (kN/m) x=y lx=ly (m)

    Momento Mximo mx=my

    (kN.m/m)

    1,25 4,41 3,00 0,5

    1,75 4,41 3,00 0,69

    2,25 4,41 3,00 0,89

    2,75 4,41 3,00 1,09

    3,25 4,41 3,00 1,29

  • 73

    3,75 4,41 3,00 1,49

    4,25 4,41 3,00 1,69

    4,75 4,41 3,00 1,89

    5,25 4,41 3,00 2,08

    5,75 4,41 3,00 2,28

    6,25 4,41 3,00 2,48

    6,75 4,41 3,00 2,68

    7,25 4,41 3,00 2,88

    7,75 4,41 3,00 3,08

    8,25 4,41 3,00 3,27

    8,75 4,41 3,00 3,47

    9,25 4,41 3,00 3,67

    9,75 4,41 3,00 3,87 As flechas imediatas obtidas atravs dos programas comerciais esto na Tabela 6.6, onde

    tambm esto as flechas obtidas no ensaio da laje nervurada, no processamento da grelha

    pelo programa GESTRUT, e os resultados do processamento como vigas independentes.

    Tabela 6.6 Comparao ensaio, programas e vigas T independentes.

    Deslocamento Centro da Laje (mm) Carga Distribuda

    (kN/m) Ensaio Programa 1 GESTRUT Vigas T Independentes Programa 2

    0,00 0,00 0,00 0 0,00 0,00

    1,25 1,14 1,80 1,40 1,60 1,50

    1,75 1,64 3,20 2,00 2,20 2,30

    2,25 2,10 5,30 2,50 4,10 3,00

    2,75 2,49 7,60 4,10 6,80 4,00

  • 74

    3,25 2,91 10,20 5,20 9,40 6,70

    3,75 3,42 13,20 6,50 11,70 6,60

    4,25 4,01 15,90 7,70 13,90 8,70

    4,75 4,65 15,50 8,90 16,00 11,00

    5,25 5,44 15,20 10,10 18,00 13,20

    5,75 6,43 15,80 11,20 20,00 15,20

    6,25 7,42 17,30 12,40 21,80 17,20

    6,75 8,62 18,80 13,50 23,70 18,80

    7,25 9,91 20,30 14,60 25,60 20,60

    7,75 11,24 21,80 15,80 27,40 22,20

    8,25 12,98 20,40 16,80 29,30 21,40

    8,75 14,94 21,60 18,00 31,10 22,90

    9,25 16,79 22,90 19,10 33,00 23,80

    9,75 18,63 21,20 20,20 34,70 25,00 A Figura 6.14 apresenta o grfico com as curvas carregamento x deslocamento obtido no

    ensaio da laje nervurada e no processo pelo Programa 1, pelo programa GESTRUT, e

    grelhas de vigas T independentes.

    As curvas do carregamento x deslocamento para o Programa 2 analisando tambm o ensaio

    da laje nervurada, programa GESTRUT, e grelhas de vigas T independentes esto

    apresentadas na Figura 6.15.

    Figura 6.14- Comparao ensaio, Programa 1 e grelha de vigas T

  • 75

    Figura 6.15- Comparao ensaio, Programa 2 e grelha de vigas T

    Nas Figura 6.16 e 6.17 esto os valores dos d


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