Analyse numérique :Intégration numérique
Pagora 1A
Chapitre 4
8 février – 11 mars 2013
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 1 / 67
Plan
1 Introduction
2 Intégration par méthode de Monte-Carlo
3 Formules de Newton-CotesBasesNewton-Cotes ferméNewton-Cotes ouvert
4 Formules composites
5 Formules de GaussBasesUn exemple concretFormules de Gauss-Legendre
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 2 / 67
Introduction
Plan
1 Introduction
2 Intégration par méthode de Monte-Carlo
3 Formules de Newton-CotesBasesNewton-Cotes ferméNewton-Cotes ouvert
4 Formules composites
5 Formules de GaussBasesUn exemple concretFormules de Gauss-Legendre
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 3 / 67
Introduction
Description du problème
On cherche à estimer la valeur numérique de
I =
∫ b
af (x) dx
avec :
a et b deux réels (a < b).
f fonction mal connue mais ne disposant pas de singularité sur [a, b].
exemple : f (x) = 1√x intégrable sur [0, 1] mais possède une sigularité en 0.
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 4 / 67
Introduction
Méthode classique : primitive
Lorsqu’on connait une primitive de f (noté ici F ) sur [a, b], on peutcalculer directement I .
I =
∫ b
af (x) dx = F (b)− F (a)
exemple : F (x) = 2√
x est une primitive de f (x) = 1√x sur [0, 1], on a donc
I =
∫ 1
0
1√x
dx = 2√1− 2
√0 = 2
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Introduction
Problème
La plupart des fonctions f ne disposent pas d’expressions analytique pourleurs primitives même dans le cas de fonctions s’écrivant très simplement.
exemples : ∫ 1
0e−x2
dx∫ π/2
0
√1 + cos2 x dx∫ 1
0cos(x2) dx
Solution : utiliser des méthodes numériques.
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Introduction
Exemple concret intégration numérique
Dans le cas du traitement du signal, on peut vouloir connaitre la valeurmoyenne f (t) d’un signal f sur [0, t].
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Introduction
Exercice : valeur moyenne d’une fonction f
Soit f une fonction intégrable sur [a, b], quelle est sa valeur moyenne ?En déduire l’expression de f d’un signal f sur [0, t].
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Introduction
Exercice (correction)
Soit f une fonction intégrable sur [a, b], quelle est sa valeur moyenne ?En déduire l’expression de f d’un signal f sur [0, t].
Notons fmoy la valeur moyenne de f sur [a, b]. fmoy doit vérifier l’égalité :∫ b
afmoy dx =
∫ b
af (x) dx
donc (b − a)fmoy =
∫ b
af (x) dx
et fmoy =1
b − a
∫ b
af (x) dx
d’où l’expression de f (t) =1t
∫ t
0f (x) dx avec t > 0
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Intégration par méthode de Monte-Carlo
Plan
1 Introduction
2 Intégration par méthode de Monte-Carlo
3 Formules de Newton-CotesBasesNewton-Cotes ferméNewton-Cotes ouvert
4 Formules composites
5 Formules de GaussBasesUn exemple concretFormules de Gauss-Legendre
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 10 / 67
Intégration par méthode de Monte-Carlo
Bases de la méthode de Monte-Carlo
Objectif : calculer
I =
∫Ω
f (x) dx
avec Ω ∈ Rn de volume V connu, c’est à dire on connait la valeur exacte de
V =
∫Ω
dx
Comment faire : on tire aléatoirement de manière uniforme des valeursxi ∈ Ω, i = 1, . . . ,N et on approche l’intégrale par
I ≈ QN =VN
N∑i=1
f (xi )
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Intégration par méthode de Monte-Carlo
Exercice
Écrire un programme Scilab permettant d’estimer l’intégrale de 11+x2 sur
[0, 1] par la méthode de Monte-Carlo avec pour entrée N.
Pour rappel, la fonction rand(n,m) retourne une matrice de taille n ×mcontenant des nombres aléatoires de loi uniforme compris entre 0 et 1.
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Intégration par méthode de Monte-Carlo
Exercice (correction)
Voici un exemple de solution :
function QN = integraleMC(N)QN = 0 ;for k = 1:N
u = rand(1,1) ;QN = QN + (1./N).*(1./(1 + u.*u)) ;
endendfunction
On vient de donner un algorithme permettant de calculer∫ 1
0
11 + x2 dx = arctan(1)
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Intégration par méthode de Monte-Carlo
Vitesse de convergence de la méthode
La méthode converge vers le bon résultat
limN−→∞
QN = I
Cependant sa vitesse de convergence est très lente (il faut que N soit trèsgrand pour avoir un résultat convenable). En effet, on note
fN =1N
N∑i=1
f (xi ) et limN−→∞
fN = fmoy valeur moyenne de f
σ2N =
1N − 1
N∑i=1
(f (xi )− fN)2 et limN−→∞
σ2N = σ2 ∈ R+
La variance de QN vaut
Var(QN) =V 2σ2
NN
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Formules de Newton-Cotes
Plan
1 Introduction
2 Intégration par méthode de Monte-Carlo
3 Formules de Newton-CotesBasesNewton-Cotes ferméNewton-Cotes ouvert
4 Formules composites
5 Formules de GaussBasesUn exemple concretFormules de Gauss-Legendre
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Formules de Newton-Cotes Bases
Plan
1 Introduction
2 Intégration par méthode de Monte-Carlo
3 Formules de Newton-CotesBasesNewton-Cotes ferméNewton-Cotes ouvert
4 Formules composites
5 Formules de GaussBasesUn exemple concretFormules de Gauss-Legendre
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Formules de Newton-Cotes Bases
Interpolation et intégrale
On peut approcher une fonction quelconque f par un polynôme P . Commef (x) est proche de P(x), on a :
f (x) ≈ P(x) =⇒∫ b
af (x) dx ≈
∫ b
aP(x) dx
Avantages :
les polynômes sont faciles à intégrer.
cette méthode est utilisable même si on ne connait que des valeurs def puisqu’on peut alors construire le polynôme P d’interpolation de fsur ces valeurs.
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Formules de Newton-Cotes Bases
Formules de quadrature de type interpolation
Soient (xi , yi = f (xi )), i = 0, . . . , n, n + 1 points d’interpolation tel quea ≤ x0 < x1 < . . . < xn ≤ b.
I =
∫ b
af (x) dx ≈
∫ b
aP(x) dx =
∫ b
a
n∑i=0
yi`i (x) dx
Posons
In =
∫ b
a
n∑i=0
yi`i (x) dx =n∑
i=0
∫ b
ayi`i (x) dx =
n∑i=0
wi f (xi )
avec
wi =
∫ b
a`i (x) dx
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 18 / 67
Formules de Newton-Cotes Bases
Définition : formule de quadrature
On approche l’intégrale par
I (f ) =
∫ b
af (x) dx ≈ In(f ) =
n∑i=0
wi f (xi )
avec :xi , i = 0, . . . , n, noeuds ou points d’intégration.
wi , i = 0, . . . , n, poids de la formule de quadrature.
On définit l’erreur comme étant
R(f ) = I (f )− In(f )
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Formules de Newton-Cotes Bases
Définitions et théorème
Définition : Une formule de quadrature est dite exacte sur un ensemble Vsi pour tout f de V
R(f ) = 0
Définition : Une formule de quadrature est dite de degré de précision nsi elle est exacte pour xk , k = 0, . . . , n et non exacte pour xn+1.
Théorème : Une formule de quadrature à n+1 points est exacte surl’ensemble des polynômes de degré au plus n si, et seulement si, c’est uneformule de type interpolation à n+1 points.
Remarque : Une formule exacte sur l’ensemble des polynômes de degré auplus n est de degré de précision au moins n.
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Formules de Newton-Cotes Bases
Exercice
Trouver A0 et A1 tels que :∫ 1
−1f (x) dx = A0f (−1) + A1f (1) + R(f )
et vérifier que cette formule de quadrature est de degré de précision 1.
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Formules de Newton-Cotes Bases
Exercice (correction)
C’est une formule de type interpolation à 2 points donc exacte surl’ensemble des polynômes de degré au plus 1. D’où :
f (x) = 1 , R(f ) = 0⇐⇒∫ 1
−11 dx = A0 + A1 = 2
f (x) = x , R(f ) = 0⇐⇒∫ 1
−1x dx = −A0 + A1 = 0
On obtient A0 = 1 et A1 = 1 donc∫ 1
−1f (x) dx = f (−1) + f (1) + R(f )
Cette méthode par construction est au moins de degré de précision 1.
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 22 / 67
Formules de Newton-Cotes Bases
Exercice (correction)
Montrons que cette formule de quadrature est de degré de précision 1.
Pour
f (x) = x2∫ 1
−1f (x) dx =
236= A0f (−1) + A1f (1) = 2
donc R(f ) 6= 0 et la formule de quadrature est de degré de précision 1.
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 23 / 67
Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé
Plan
1 Introduction
2 Intégration par méthode de Monte-Carlo
3 Formules de Newton-CotesBasesNewton-Cotes ferméNewton-Cotes ouvert
4 Formules composites
5 Formules de GaussBasesUn exemple concretFormules de Gauss-Legendre
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Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé
Généralités
Pour obtenir les formules de Newton-Cotes fermé, on interpole f aux pointsuivants
xi = a + ih i = 0, . . . , n avec h =b − a
n
On a donc x0 = a et xn = b et on construit les formules de quadratures dela façon suivante : ∫ b
af (x) dx ≈ (b − a)
n∑i=0
w (n)i f (xi )
avec
w (n)i =
1b − a
∫ b
a`i (x) dx
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 25 / 67
Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé
Cas n = 0, formule des rectanglesLe seul point est soit a, soit b.∫ b
af (x) dx ≈ (b − a)f (a)
∫ b
af (x) dx ≈ (b − a)f (b)
C’est la formule des rectangles qui estexacte uniquement pour les polynômes dedegré 0 (ie. les constantes).
Si f est C1 sur [a, b] alors il existe ξ ∈]a, b[tel que
R(f ) = ±(b − a)
2f ′(ξ)
+ si a, − si bAnalyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 26 / 67
Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé
Cas n = 1, formule des trapèzes
Les points d’interpolation sont x0 = a et x1 = b.
Exercice : Trouver la formule des trapèzes en calculant w (1)0 et w (1)
1 .
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 27 / 67
Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé
Cas n = 1, formule des trapèzes
Correction :
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 28 / 67
Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé
Cas n = 1, formule des trapèzes
Correction :
w (1)0 =
1b − a
∫ b
a`0(x) dx =
1b − a
∫ b
a
x − ba − b
dx =12
w (1)1 =
1b − a
∫ b
a`1(x) dx =
1b − a
∫ b
a
x − ab − a
dx =12
donc la formule des trapèzes est∫ b
af (x) dx ≈ 1
2(f (a) + f (b))
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 29 / 67
Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé
Cas n = 1, formule des trapèzes
La formule des trapèzes est exacte pour les polynômes de degré au plus 1et est de degré de précision 1.
Si f est C2 sur [a, b] alors il existe ξ ∈]a, b[ tel que l’erreur R soit
R(f ) = −(b − a)3
12f ′′(ξ)
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 30 / 67
Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé
Cas n = 2, formule de Simpson
Les points d’interpolation sont x0 = a, x1 =a + b2
et x2 = b.
La formule de Simpson qui est exacte pour les polynômes de degré au plus2 vaut ∫ b
af (x) dx ≈ (b − a)
6
(f (a) + 4f
(a + b2
)+ f (b)
)
Si f est C4 sur [a, b] alors il existe ξ ∈]a, b[ tel que l’erreur R soit
R(f ) = −(b − a)5
2880f (4)(ξ)
La formule de Simpson est de degré de précision 3.
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 31 / 67
Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé
Cas n = 2, formule de Simpson
Exercice : montrer que la formule de Simpson est de degré de précision 3.
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 32 / 67
Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé
Cas n = 2, formule de Simpson
Exercice : montrer que la formule de Simpson est de degré de précision 3.
La formule de Simpson est exacte pour les polynômes de degré au plus 2donc elle est de degré de précision au moins 2. D’autre part,∫ b
ax3 dx =
b4 − a4
4=
b − a4
(b3 + ab2 + a2b + a3)
b − a6
(a3 + 4
(a + b2
)3
+ b3
)=
b − a4
(b3 + ab2 + a2b + a3)
La formule de Simpson est de degré de précision au moins 3.
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 33 / 67
Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé
Cas n = 2, formule de Simpson
Pour x4, on obtient∫ b
ax4 dx =
b5 − a5
5=
b − a5
(b4 + ab3 + a2b2 + a3b + a4)
et
b − a6
(a4 + 4
(a + b2
)4
+ b4
)=
b − a24
(5b4 + 4ab3 + 6a2b2 + 4a3b + 5a4)
Les deux quantités ne sont pas égales donc la formule de Simpson est dedegré de précision 3.
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 34 / 67
Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes fermé
Quelques formules de Newton-Cotes fermé
n nom w (n)0 w (n)
1 w (n)2 w (n)
3 w (n)4 w (n)
5 w (n)6
1 trapèzes 12
12
2 Simpson 16
46
16
3 Simpson 3/8 18
38
38
18
4 Boole 790
3290
1290
3290
790
5 - 19288
75288
50288
50288
75288
19288
6 Weddle 41840
216840
27840
272840
27840
216840
41840
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 35 / 67
Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes ouvert
Plan
1 Introduction
2 Intégration par méthode de Monte-Carlo
3 Formules de Newton-CotesBasesNewton-Cotes ferméNewton-Cotes ouvert
4 Formules composites
5 Formules de GaussBasesUn exemple concretFormules de Gauss-Legendre
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 36 / 67
Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes ouvert
Généralités
Pour obtenir les formules de Newton-Cotes ouvert, on interpole f aux pointsuivants
xi = a + (i + 1)h i = 0, . . . , n avec h =b − an + 2
et on construit les formules de quadratures de la façon suivante :∫ b
af (x) dx ≈ (b − a)
n∑i=0
w (n)i f (xi )
avec
w (n)i =
1b − a
∫ b
a`i (x) dx
Contrairement aux formules de Newton-Cotes fermé, les pointsd’intégration ne sont jamais a et b.
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 37 / 67
Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes ouvert
Cas n = 0, formule des rectangles
Exercice : Trouver la formule des rectangles pour Newton-Cotes ouvert etmontrer qu’elle est de degré de précision 1.
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 38 / 67
Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes ouvert
Cas n = 0, formule des rectangles
Correction :
w (0)0 =
1b − a
∫ b
a`0(x) dx =
1b − a
∫ b
adx = 1
La formule des rectangles est donc :∫ b
af (x) dx ≈ (b − a)f
(a + b2
)Montrons que cette formule est de degré de précision 1.
I (1) =
∫ b
adx = (b − a) I0(1) = (b − a)f
(a + b2
)= (b − a)
La formule est donc de degré au moins 0 (car R(1) = I (1)− I0(1) = 0)
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 39 / 67
Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes ouvert
Cas n = 0, formule des rectangles
I (x) =
∫ b
ax dx =
b2 − a2
2I0(x) = (b − a)f
(a + b2
)= (b − a)
a + b2
La formule est donc de degré au moins 1 (car R(x) = I (x)− I0(x) = 0)
I (x2) =
∫ b
ax2 dx =
b3 − a3
3=
13
(b − a)(b2 + ab + a2)
I0(x2) = f(
a + b2
)= (b − a)
(a + b2
)2
=14
(b − a)(b2 + 2ab + a2)
R(x2) 6= 0, donc le degré de précision est bien 1.
Si f est C2 sur [a, b] alors il existe ξ ∈]a, b[ tel que l’erreur R soit
R(f ) =(b − a)3
24f (2)(ξ)
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 40 / 67
Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes ouvert
Quelques formules de Newton-Cotes ouvert
n nom w (n)0 w (n)
1 w (n)2 w (n)
30 rectangles 11 trapèzes 1
212
2 Milne 23 -13
23
3 - 1124
124
124
1124
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 41 / 67
Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes ouvert
Quelques propriétés pour terminer
Pour une formule de Newton-Cotes associée à une valeur impaire de n.
Si f ∈ Cn+1([a, b]), alors il existe un réel Kn et ξ ∈]a, b[ tel que l’erreur Rcommise sur la valeur de l’intégrale soit
R(f ) =Kn
(n + 1)!(b − a)n+2 f (n+1)(ξ)
A noter que :Kn < 0 si Newton-Cotes fermé
Kn > 0 si Newton-Cotes ouvert
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 42 / 67
Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes ouvert
Quelques propriétés pour terminer
Pour une formule de Newton-Cotes associée à une valeur paire de n.
Si f ∈ Cn+2([a, b]), alors il existe un réel Mn et ξ ∈]a, b[ tel que l’erreur Rcommise sur la valeur de l’intégrale soit
R(f ) =Mn
(n + 2)!(b − a)n+3 f (n+2)(ξ)
A noter que :Mn < 0 si Newton-Cotes fermé
Mn > 0 si Newton-Cotes ouvert
Remarque : La propriété est valable pour toutes les formules deNewton-Cotes (fermé et ouvert) sauf Newton-Cotes fermé avec n = 0.
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 43 / 67
Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes ouvert
Degré de précision des formules de Newton-Cotes
Exercice : déduire des propriétés précédentes le degré de précision desformules de Newton-Cotes.
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 44 / 67
Formules de Newton-Cotes Newton-Cotes ouvert
Degré de précision des formules de Newton-Cotes
Dans le cas n pair,
R(f ) =Mn
(n + 2)!(b − a)n+3 f (n+2)(ξ)
Donc pour tout k < n + 2, R(xk) = 0 et le degré de précision est au moinsn + 1. Maintenant,
R(xn+2) = Mn (b − a)n+3 6= 0
Le degré de précision des formules de Newton-Cotes avec n pair est n + 1.
Par un raisonnement analogue, on montre que le degré de précision desformules de Newton-Cotes avec n impair est n.
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 45 / 67
Formules composites
Plan
1 Introduction
2 Intégration par méthode de Monte-Carlo
3 Formules de Newton-CotesBasesNewton-Cotes ferméNewton-Cotes ouvert
4 Formules composites
5 Formules de GaussBasesUn exemple concretFormules de Gauss-Legendre
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 46 / 67
Formules composites
Défauts des formules de Newton-Cotes
Pour rendre l’erreur plus petite qu’une quantité donnée, la seulepossibilité avec les formules de Newton-Cotes est d’augmenter lenombre de points d’intégration (donc le degré du polynômed’interpolation). Cela conduit parfois à l’apparition de comportementspeu appréciables (ex : phénomène de Runge).
A partir de n ≥ 9, les formules de Newton-Cotes deviennent instables(c’est à dire que les poids intervenant dans les formules peuvent êtrenégatifs).
=⇒ Idée : approcher f par des polynômes par morceaux pour le calcul del’intégrale (formule composite).
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 47 / 67
Formules composites
Bases
La méthode consiste à diviser l’intervalle [a, b] en r sous-intervalles delongueur
h =b − a
ret d’introduire les points de subdivision
ti = a + ih i = 0, . . . , r
On forme ∫ b
af (x) dx =
r−1∑i=0
∫ ti+1
tif (x) dx
et l’on applique sur chaque intervalle [ti , ti+1] une des formules deNewton-Cotes.
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 48 / 67
Formules composites
Exercice : formule composite des trapèzes (NC fermé)
Établir la formule composite des trapèzes. En combien de points est ilnécessaire d’évaluer f pour pouvoir utiliser cette formule ?
Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 49 / 67
Formules composites
Exercice (correction)
On applique sur chaque intervalle [ti , ti+1] la formule des trapèzes (NCfermé) ∫ ti+1
tif (x) dx ≈ h
2(f (ti ) + f (ti+1))
D’où ∫ b
af (x) dx =
r−1∑i=0
∫ ti+1
tif (x) dx ≈
r−1∑i=0
(f (ti ) + f (ti+1))
et la formule composite des trapèzes s’écrit∫ b
af (x) dx ≈ h
(12f (a) +
r−1∑i=1
f (ti ) +12f (b)
)
On doit évaluer r + 1 fois f pour pouvoir utiliser cette formule.
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Formules composites
Erreur commise par la formule composite des trapèzes
On note R(f , [ti , ti+1]) l’erreur commise sur l’intgrale de f entre ti et ti+1.∫ ti+1
tif (x) dx =
h2
(f (ti ) + f (ti+1)) + R(f , [ti , ti+1])
Or on a vu précédement que si f ∈ C2([ti , ti+1]), il existe ξi ∈]ti , ti+1[ telquel
R(f , [ti , ti+1]) = − 112
h3f ′′(ξi )
Maintenant, supposons que f soit C2 sur [a, b] alors l’erreur R(f ) commisesur l’intégrale de f entre a et b vaut
R(f ) =r−1∑i=0
R(f , [ti , ti+1]) = −h3
12
r−1∑i=0
f ′′(ξi ) ξi ∈]ti , ti+1[
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Formules composites
Erreur commise par la formule composite des trapèzes
Si f est C2 sur [a, b], alors f ′′ est continue sur [a, b] et il existe un réel c telquel
c = maxx∈[a,b]
|f ′′(x)|
On peut donc majorer |R(f )|, ainsi
|R(f )| ≤ h3
12
r−1∑i=0
|f ′′(xii )| ≤h3
12
r−1∑i=0
c = c h2 b − a12
et on alim
r−→∞|R(f )| = lim
h−→0|R(f )| = 0
On assure bien ici que l’erreur commise sur l’estimation de l’intégrale tendevers 0 en utilisant la formule composite des trapèzes (ceci reste vrai pourtout autre formule composite).
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Formules de Gauss
Plan
1 Introduction
2 Intégration par méthode de Monte-Carlo
3 Formules de Newton-CotesBasesNewton-Cotes ferméNewton-Cotes ouvert
4 Formules composites
5 Formules de GaussBasesUn exemple concretFormules de Gauss-Legendre
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Formules de Gauss Bases
Plan
1 Introduction
2 Intégration par méthode de Monte-Carlo
3 Formules de Newton-CotesBasesNewton-Cotes ferméNewton-Cotes ouvert
4 Formules composites
5 Formules de GaussBasesUn exemple concretFormules de Gauss-Legendre
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Formules de Gauss Bases
Petit rappel
Soit une formule de quadrature
In(f ) =n∑
i=0
wi f (xi )
Les formules de Newton-Cotes fixent les nœuds xi et utilisent des poidsassurant un degré de précision n ou n + 1.
L’idée des formules de Gauss est de choisir les nœuds pour que le degréde précision de la formule soit le plus élevé possible.
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Formules de Gauss Bases
Mise en forme du problème
Problème : Trouver les nœuds xi , i = 0 et les poids wi , . . . , n tel que∫ b
af (x) dx ≈
n∑i=0
wi f (xi )
On cherche donc 2n + 2 inconnues.
Idée : Chercher une formule exacte sur l’ensemble des polynômes de degréau plus 2n + 1, soit∫ b
axk dx =
n∑i=0
wixki k = 0, . . . , 2n + 1
On cherche 2n + 2 inconnues reliées entre elles par 2n + 2 équations.
Remarque : La formule obtenue est de degré de précision 2n + 1.
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Formules de Gauss Un exemple concret
Plan
1 Introduction
2 Intégration par méthode de Monte-Carlo
3 Formules de Newton-CotesBasesNewton-Cotes ferméNewton-Cotes ouvert
4 Formules composites
5 Formules de GaussBasesUn exemple concretFormules de Gauss-Legendre
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Formules de Gauss Un exemple concret
Exercice
Soit la formule de quadrature de Gauss
I (f ) =
∫ 1
−1f (x) dx ≈ In(f ) = w0f (x0) + w1f (x1)
Établir le système d’équations reliant les poids et les nœuds. Vérifier que
w0 = w1 = 1 x0 = −√33
x1 =
√33
est solution du système établi et vérifier que la formule
∫ 1
−1f (x) dx ≈ f
(−√33
)+ f
(√33
)
est de degré de précision 3.
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Formules de Gauss Un exemple concret
Exercice (correction)
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Formules de Gauss Un exemple concret
Exercice (correction)
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Formules de Gauss Un exemple concret
Exercice (correction)
On cherche une formule exacte sur l’ensemble des polynômes de degré auplus 2n + 1, soit∫ b
axk dx =
n∑i=0
wixki k = 0, . . . , 2n + 1
Ici a = −1, b = 1, n = 1. On établit le système suivant
∫ 1
−11 dx = 2 = w0 + w1∫ 1
−1x dx = 0 = w0x0 + w1x1∫ 1
−1x2 dx =
23
= w0x20 + w1x2
1∫ 1
−1x3 dx = 0 = w0x3
0 + w1x31
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Formules de Gauss Un exemple concret
Exercice (correction)
w0 = w1 = 1 x0 = −√33
x1 =
√33
est solution du système établi précédemment.
Montrons enfin que la formule est de degré de précision 3. Par définition,elle est de degré de précision au moins 3. D’autre part, on a∫ 1
−1x4 dx =
256= w0x4
0 + w1x41 =
29
La formule est bien de degré de précision 3.
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Formules de Gauss Formules de Gauss-Legendre
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2 Intégration par méthode de Monte-Carlo
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4 Formules composites
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Formules de Gauss Formules de Gauss-Legendre
Polynômes de Legendre
Les polynômes de Legendre notés Pm (m entier positif) peuvent se définirde différentes manières :
Pm(x) =1
2m m!
dm
dxm [(x2 − 1)m]
Pm(x) =12m
m∑k=0
(m!
k!(m − k)!
)2
(x − 1)k(x + 1)m−k
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Formules de Gauss Formules de Gauss-Legendre
Polynômes de Legendre
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Formules de Gauss Formules de Gauss-Legendre
Formule de Gauss-Legendre
On veut approcher
I (f ) =
∫ 1
−1f (x) dx
Par la formule de quadrature suivante
In(f ) =n∑
i=0
wi f (xi )
La formule de Gauss-Legendre indique de prendre pour xi la ième racine(classée dans l’ordre croissant) du polynôme de Legendre Pn+1(Pn+1(xi ) = 0) et pour wi
wi =2
(1− x2i )(P ′n+1(xi ))2
Cette formule est de degré de précision 2n + 1.Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 66 / 67
Formules de Gauss Formules de Gauss-Legendre
Formule de Gauss-Legendre dans le cas général
On veut maintenant approcher
I (f ) =
∫ b
af (t) dt
Pour pouvoir utiliser les formules précédentes, il faut tout d’abord effectuerle changement de variable suivant
I (f ) =
∫ b
af (t) dt =
b − a2
∫ 1
−1f(
b − a2
x +a + b2
)dx
et on peut utiliser la formule de Gauss-Legendre, on a∫ b
af (t) dt ≈ b − a
2
n∑i=0
wi f(
b − a2
xi +a + b2
)avec les xi et wi établis précédemment.Analyse numérique (Pagora 1A) Intégration numérique 8/02 - 11/03/2013 67 / 67