APLICAÇÃO DA PROGRAMAÇÃO
LINEAR PARA A OTIMIZAÇÃO DA
PRODUÇÃO EM UM LATICÍNIO
LOCALIZADO NA REGIÃO CENTRO-
OESTE DE MINAS GERAIS
Thais Machado Stacanelli (IFMG)
Ramila Aparecida de Moura (IFMG)
Yahayra do Vale Borges Silva (IFMG)
Gabriel da Silva (IFMG)
Ariadne Martins da Silva (IFMG)
Nos dias atuais empresas do ramo de laticínios determinam seu plano
de produção conforme a demanda de produtos, e muitas desconhecem
as ferramentas que a Pesquisa Operacional tem a oferecer. O objetivo
deste trabalho é determinar um plano ótimo de produção para uma
indústria de Laticínios através de um problema de programação linear.
Assim como em toda companhia, uma empresa do ramo lácteo possui
recursos variados no processamento dos derivados e limites de
disponibilidades, os quais podem produzir uma grande diversidade de
produtos lácteos, cada qual com uma margem de lucro. Neste sentido,
pode-se modelar um problema e aplicar em uma planilha eletrônica, a
fim de obter uma maximização na margem de contribuição semanal, e
minimizar os custos de transporte. Através deste modelo pôde-se
determinar qual o melhor Mix de produtos deve ser produzidos,
otimizando assim os recursos existentes em cada situação. O estudo foi
realizado em um laticínio localizado na região Centro-Oeste de Minas
Gerais.
Palavras-chave: Laticínios; Otimização; Produção.
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1. Introdução
A partir dos anos 90, o setor lácteo brasileiro sofreu grandes transformações após o
regulamento do mesmo ser reformulado, o que levou a uma reestruturação do agronegócio do
leite. Devido a este impacto, as empresas foram forçadas a adotarem novas tecnologias
visando reduzir o custo de produção e a maximização de lucros, para manterem-se
competitivas.
Atualmente, com a disseminação de novas tecnologias, e a necessidade de competitividade
entre as empresas, as organizações devem buscar a diferenciação através de padrões de
qualidade, políticas, ações e de métodos que otimizem seus lucros. Devem desenvolver um
sistema que possa controlar o seu processo de produção, como gastos, suprimentos,
disponibilidades e restrições a fim de obter eficiência em atender a demanda do mercado. O
que para grandes empresas é mais fácil, pois possuem recursos para tal.
Porém, neste contexto os pequenos laticínios têm dificuldades de se manterem no mercado,
pois muitos são desprovidos de recursos para investimentos. E a produção é irregular durante
o ano, sendo fortemente influenciado por fatores climáticos, o que dificulta no gerenciamento
da matéria-prima.
Pensando nisso, a utilização da Pesquisa Operacional neste ramo, pode tornar-se uma
ferramenta de apoio à tomada de decisão e no controle de produção, tanto para pequenos
laticínios como também grandes indústrias.
O presente artigo tem como finalidade apresentar como a utilização de métodos da
programação linear pode trazer benefícios para uma empresa de laticínios, a fim de obter
melhores resultados em seu mix de produtos e minimizar os custos de transporte. E a
transformação do leite em derivados, como o queijo mussarela, que é o objeto de estudo,
permite além do aumento de sua vida útil, a diversificação dos produtos oferecidos ao
consumidor e a agregação de valor à matéria-prima. A empresa onde foi realizado o estudo
está localizada na região Centro-Oeste de Minas Gerais.
2. Referencial teórico
2.1 A Indústria de Laticínios
O desenvolvimento da indústria de laticínios ocorreu mais fortemente a partir do crescimento
dos centros urbanos, o que ocorreu concomitantemente com o desenvolvimento industrial, que
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se iniciou no Brasil após a 2ª Guerra Mundial. As indústrias de laticínios no Brasil foram
formadas por empresas médias de caráter familiar e por Cooperativas.
Na década de 70 as indústrias internacionais de laticínios entraram no Brasil e na década de
80 avançaram conseguindo melhorar sua cadeia produtiva através da integração com
fornecedores.
O crescimento das redes de supermercados provocou uma verdadeira revolução nesse
segmento, uma vez que houve uma mudança no sistema de comercialização dos produtos
lácteos. Essa integração entre supermercados e as indústrias de laticínios produziu um
crescimento acelerado da produção e consumo, o que, em princípio poderia ser encarado
como algo positivo, resultou em uma redução das margens de lucro das empresas laticinistas
devido ao aumento do poder de barganha das grandes redes de supermercados.
Nesse contexto, se por um lado os supermercados diminuíram as margens de lucros das
indústrias de laticínios através do poder de compra, esses mesmos supermercados
viabilizaram um aumento de escala de produção dos produtos lácteos, em função de sua rede
de distribuição no varejo.
Segundo Kmit (2004) o sistema agroindustrial do leite brasileiro sofreu profundas mudanças
de caráter estrutural desde a virada dos anos 90. Primeiro, veio a desregulamentação do
mercado logo no início do governo Collor, liberando os preços dos produtos após mais de
quatro décadas de controle estatal. Simultaneamente, ocorreu a abertura comercial ao exterior
e a consolidação do Mercosul, que representaram um incremento da concorrência com
produtos importados. Finalmente, o Plano Real trouxe a redução da inflação e a estabilização
da economia.
Essa abordagem histórica da indústria de laticínios no Brasil teve a finalidade de esclarecer a
forte influência externa na gestão interna de uma empresa. Neste sentido, pode-se perceber
que a indústria de laticínios tem condições peculiares que demandam estratégias para a
manutenção e desenvolvimento do setor.
2.2 Pesquisa Operacional
Voltada para a resolução de problemas reais, a Pesquisa Operacional é uma ciência aplicada
focada na tomada de decisões, onde se aplica conceitos e métodos de várias áreas científicas
na concepção, planejamento ou operação de sistemas. Para Shamblin e Stevens Jr (1979),
Pesquisa Operacional (PO) é “um método científico de tomada de decisão”.
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Lachtermacher (2004), diz que até a década de 1990, os problemas matemáticos de
programação na resolução de questões gerenciais eram muito difíceis de serem
implementados. Somente com o advento das planilhas eletrônicas e sua crescente utilização,
proporcionaram um aumento significativo na aplicabilidade da Pesquisa Operacional.
Ainda segundo Lachtermacer (2004), a P.O. pode ser utilizada para auxiliar seguintes
processos de decisão:
- Problemas de Otimização de Recursos;
- Problemas de Localização;
- Problemas de Roteirização;
- Problemas de Carteiras de Investimento;
- Problemas de Alocação de Pessoas;
- Problemas de Previsão e Planejamento.
Em um estudo de P.O. é essencial que o problema seja claramente definido, pois é quase
impossível obter uma resposta certa a partir de um problema errado. Deve-se estabelecer bem
o objetivo, as restrições e os limites, para encontrar uma solução ótima.
2.3 Programação Linear
Para Shamblin e Stevens Jr (1979), a programação linear é um meio matemático que auxilia a
designar um montante fixo de recursos que satisfaça certa demanda de tal modo que alguma
função-objetivo seja otimizada e ainda satisfaça a outras condições definidas.
Os benefícios oferecidos por esse tipo de programação são aqueles que se enquadram dentro
de qualquer empresa: diminuição dos custos e aumento de lucros.
Kuhnen (2002) reforça esta ideia quando ele diz que a programação linear busca a
distribuição eficiente de recursos limitados para atender a um determinado objetivo, em geral,
maximizar lucros ou minimizar custos. Este objetivo é representado através de uma função
linear denominada função objetivo.
Para a solução do problema apresentado é usado o modelo de otimização linear, pois “resolve
a solução de problemas relativos à alocação de pessoal, mistura de materiais, distribuição e
transporte.” (MARTÍNES,1998)
2.4 Solver
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O Solver faz parte de um pacote de ferramentas disponíveis em Editores de Planilhas
Eletrônicas, como o Microsoft Excel, e o OpenOffice Calc que permite fazer vários tipos de
simulações na sua planilha. A principal diferença entre os dois é que no Excel é possível obter
relatórios de análise de sensibilidade sendo assim o mais utilizado, pois fornece uma melhor
demonstração dos resultados.
Segundo Gomes Jr. e Souza (2004), com a utilização do Solver, pode-se obter um valor ideal
(máximo ou mínimo) para uma célula, chamada célula objetivo, conforme as restrições, ou
limites, sobre os valores de outras células em uma planilha. A partir de um grupo de células
chamadas de células variáveis, o Solver realiza funções que participam do cálculo das
fórmulas nas células objetivo e de restrição.
O Solver atualiza os valores nas células de variáveis a fim de satisfazer aos limites sobre
células de restrição e encontrar o resultado ideal para a célula objetiva. A partir do Solver no
Excel é possível obter três tipos de relatórios, são eles:
- Relatório de Resposta: fornece os valores originais e finais da Célula objetiva e de
todas as Células de restrições.
- Relatório de Sensibilidade: fornece o valor final de cada célula de restrição, seu custo
reduzido, o coeficiente da função objetivo, o acréscimo e o decréscimo do coeficiente da
função objetivo para o qual a solução atual permanecerá ótima.
- Relatório de Limite: fornece os limites inferiores e superiores de cada célula que é
possível ajustar, mantendo todas as outras células em seus valores atuais e satisfazendo as
restrições.
3. Metodologia
Para determinar um método onde o plano ótimo de produção em uma indústria de laticínios
fosse possível, este trabalho utilizou-se da seguinte metodologia:
a) Pesquisa bibliográfica sobre os principais assuntos:
- Histórico da indústria de laticínios;
- Pesquisa operacional;
- Programação linear.
b) Visita in loco para uma melhor visualização de todo o processo produtivo dos
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produtos em estudo;
c) Entrevista com o proprietário da empresa buscando conhecer seus principais interesses
de mercado;
d) Coleta de dados e elaboração de um modelo proposto que visa através do melhor mix
de produtos, maximizar o lucro da empresa, empregando os conceitos da pesquisa
operacional aplicado à programação linear.
4. Resultados e Discussões
4.1 A empresa
Localizada na região Centro-Oeste de Minas Gerais, o laticínio vem produzindo vários
produtos derivados do leite, podendo ser eles divididos em quatro principais tipos: queijos,
doce, requeijão e iogurte.
Este trabalho terá como foco de estudo a produção de queijo do tipo mussarela, sendo estes
subdivididos em: mussarela em barra de três diferentes pesos, nozinho e bolinha temperada.
Esta escolha se deu pelo fato de que mesmo sendo produtos onde há uma grande igualdade de
matéria-prima, seu retorno financeiro é desigual.
4.2 Problemática
Para a produção de cada um dos produtos em estudo necessita-se de tempo, mão-de-obra e
ingredientes para seu processamento, que também são denominados de recursos de
fabricação.
Diante dessa situação, pode-se questionar como elaborar um plano de produção que respeite
as limitações da empresa e do mercado, gerando ainda o melhor resultado financeiro para a
empresa. Portanto, a empresa em estudo deseja estabelecer uma programação semanal para a
produção de cinco tipos de queijo mussarela (mussarela em barra de 3,5kg, mussarela em
barra de 1 kg, mussarela em barra de 0,5kg, nozinho de 0,5kg e bolinha temperada de 0,5kg),
todos derivados do leite. Para a fabricação destes produtos são necessários dois principais
recursos: Mão-de-Obra e leite (matéria prima) para os quais a empresa apresenta uma
limitação conforme a Tabela 1:
Tabela 1 – Disponibilidade de recursos.
RECURSOS DISPONIBILIDADES
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LEITE (LITROS) 2000
MÃO-DE-OBRA (MINUTOS) 1200
Fonte: Elaborado pelos autores (2014)
Os demais ingredientes e suas quantidades necessárias para a produção dos queijos tipo
mussarela foram desconsiderados aqui, não somente pelo fato de ser a “fórmula secreta” do
proprietário como também por não interferirem consideravelmente na solução, não sendo
vistos como limitantes pela empresa.
Digno de nota, que para se chegar a quantidade de tempo necessária de mão-de-obra
considerou-se dois funcionários trabalhando, com uma carga horária diária de 480 minutos
cada. Seu somatório foi dividido pelas quatro principais produções do laticínio: queijos,
doces, requeijão e iogurtes e enfim multiplicados por cinco, sendo estes os dias da semana
trabalhados.
As quantidades necessárias para produzir uma unidade de cada um dos tipos de queijo
mussarela estão representadas na Tabela 2:
Tabela 2 – Recursos de matéria prima e mão-de-obra necessária para a produção de uma unidade.
PRODUTO LEITE (L) MÃO-DE-OBRA (MIN)
Mussarela 3,5 kg 35 15
Mussarela 1kg 10 6
Mussarela 0,5kg 5 4
Nozinho 0,5kg 5 7
Bolinha Temperada 0,5kg 5 3
Fonte: Elaborado pelos autores (2014)
Para que fosse possível encontrar o lucro de cada produto, um dado importante foi fornecido
pelo proprietário do laticínio. O custo médio para um quilograma de massa do produto lhe
custa R$ 12,60, isto é, incluindo custos com a matéria prima, embalagem, mão-de-obra,
energia e outros. Deste modo foi possível calcular o lucro, que está apresentado na Tabela 3.
Tabela 3 – Lucro obtido por unidade.
PRODUTO LUCRO (R$)
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Mussarela 3,5 kg 4,9
Mussarela 1kg 2,4
Mussarela 0,5kg 3,7
Nozinho 0,5kg 4,73
Bolinha Temperada 0,5kg 4,4
Fonte: Elaborado pelos autores (2014)
Pelo fato da empresa já estar no mercado há algum tempo, esta possui sua clientela fixa que
demanda semanalmente exatamente 20 unidades de queijo mussarela de 3,5kg e para os
outros tipos uma quantidade mínima de acordo com o apresentado pela Tabela 4.
Tabela 4 – Demanda mínima semanal.
PRODUTO DEMANDA
Mussarela 1kg 60
Mussarela 0,5kg 30
Nozinho 0,5kg 35
Bolinha Temperada 0,5kg 30
Fonte: Elaborado pelos autores (2014)
É importante ressaltar que todas essas demandas devem ser atendidas mesmo que estas não
apresentem um lucro superior às demais.
4.3 Modelagem do problema de programação linear
Com os dados fornecidos, foi possível construir um Modelo Matemático, como mostra a
Figura 1, buscando solucionar a problemática da empresa, ou seja, obter o maior lucro através
do melhor Mix de produção.
Figura 1- Modelo Canônico inicial.
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Fonte: Elaborado pelos autores (2014)
A partir do Modelo Matemático e com o auxílio de uma planilha eletrônica, foi possível
construir fórmulas objetivando moldar o problema, para que o mesmo fosse resolvido com o
programa Solver, que utiliza programação linear, usando o Algoritmo Simplex.
Após a resolução obtida pelo Solver e obedecendo a todas as restrições, obteve-se o resultado
mostrado na Tabela 5, referente à quantidade produzida para cada tipo e lucro máximo da
empresa.
Tabela 5 - Resultados apresentados pelo Solver.
Fonte: Elaborado pelos autores (2014)
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Os resultados acima mostram que o Mix de produção encontrado utilizou quase toda a
disponibilidade de leite e de mão de obra, o que demostra que não estaria havendo muita
sobra dos mesmos. Observa-se que após ter atendido a todas as demandas, a Bolinha
Temperada foi o produto que mais se mandou produzir, pelo fato de este ser o que mais gera
lucro.
Visto que o Laticínio em estudo não apresentou um consumo total deste produto, houve a
necessidade de se criar uma restrição de limite superior, obtendo assim um novo modelo
(Figura 2), com uma nova resolução (Tabela 6).
Figura 2 - Modelo Canônico proposto.
Fonte: Elaborado pelos autores (2014)
Tabela 6 - Resultados apresentados pelo Solver.
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Fonte: Elaborado pelos autores (2014)
Com a criação da nova restrição de limite superior para o produto do tipo Bolinha Temperada,
pode-se observar uma diminuição no lucro máximo obtido. Isto não significa que o Modelo
Matemático inicial, como mostra o Modelo 1 apresente o melhor Mix de produção, pois não é
vantajoso para o proprietário produzir apenas por ser o mais lucrativo, tendo em vista que o
mesmo não teria saída no mercado. Além disto, vale ressaltar que toda a mão de obra foi
utilizada e que houve uma redução quanto a sobra de leite. Deste modo, a quantidade a ser
produzida de cada um dos tipos de produto foi melhor distribuída, levando em consideração a
demanda.
O Solver também gerou a planilha de análise de sensibilidade para ver o quanto poderia
aumentar ou diminuir de cada recurso. Esses dados foram organizados na Tabela 7:
Tabela 7 - Análise de sensibilidade.
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Fonte: Elaborado pelos autores (2014)
A partir do relatório de sensibilidade pôde-se observar que:
- Havia disponível 2000L de leite e foram utilizados apenas 1900L, ou seja, ainda há
uma folga de 100L, sendo assim, o leite não é um recurso escasso e não tem impacto
no lucro;
- Havia 1200 minutos de mão de obra disponível e foram todos utilizados, sendo assim,
por não haver folga é um recurso escasso. Todo recurso escasso gera um valor de
preço sombra, isso significa que para cada minuto a mais disponível, aumentaria o
lucro em R$ 0,92;
- Para a demanda de mussarela de 3,5Kg foram produzidas as 20 unidades disponíveis de
produção, sendo assim por não haver folga é um recurso escasso. E para cada unidade
produzida a mais afetaria o lucro negativamente, gerando um prejuízo de R$ 8,97 e
que para cada unidade produzida a menos afetaria o lucro positivamente, gerando um
aumento de R$ 8,97;
- Para a demanda de mussarela de 1Kg foram produzidas as 60 unidades disponíveis de
produção, sendo assim por não haver folga é um recurso escasso. Para cada unidade
produzida a mais afetaria o lucro negativamente, gerando um prejuízo de R$ 3,15 e
que para cada unidade produzida a menos afetaria o lucro positivamente, gerando um
aumento de R$ 3,15;
- Para a demanda de mussarela de 0,5Kg foram produzidas 40 unidades, valor permitido
por ser maior que o limite inferior que é 30, sendo assim, por haver folga não é um
recurso escasso e não tem impacto no lucro;
- Para a demanda de nozinho de 0,5Kg foram produzidas as 35 unidades disponíveis para
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produção, sendo assim por não haver folga é um recurso escasso. Para cada unidade
produzida a mais afetaria o lucro negativamente, gerando um prejuízo de R$ 1,74 e
que para cada unidade produzida a menos afetaria o lucro positivamente, gerando um
aumento de R$ 1,74;
- Para a demanda de bolinha temperada de 0,5Kg foram produzidas 45 unidades, valor
permitido por ser maior que o limite inferior que é 30, sendo assim, por haver folga
não é um recurso escasso e não teria impacto no lucro, porém, como foi determinado
um valor limite para a produção de bolinha temperada de 45 unidades, observou se
que para cada unidade produzida a mais de 45, teria um impacto no lucro, aumentando
em R$ 1,62.
Pode-se concluir que é vantajoso produzir mais bolinha temperada, por gerar maior lucro. E
esses intervalos de acréscimos e decréscimos significam que se pode aumentar ou diminuir os
valores das variáveis em questão, que o comportamento da função objetivo não se altera.
4.4 Análise do transporte
A fim de se calcular um eventual custo mínimo de transporte e o melhor arranjo de
distribuição, alguns valores fictícios foram criados, deste modo o laticínio teria sua matriz na
cidade de Oliveira, com uma capacidade máxima de produção de 190 kg de queijo mussarela
semanalmente e uma suposta Filial na cidade de Divinópolis, com uma capacidade de
produção de 250 kg do mesmo. Os custos unitários de transporte para cada loja estão
representados na Tabela 8:
Tabela 8 – Custo unitário de transporte.
EMPRESA
CARMO DA
MATA CLÁUDIO
CARMÓPOLIS DE
MINAS
MATRIZ R$0,20 R$0,10 R$0,12
FILIAL R$0,30 R$0,15 R$0,25
Fonte: Elaborado pelos autores (2014)
Foram criados também três supostos pontos de distribuição, cada um em uma cidade da
região, demandando diferentes quantidades de kg de queijo mussarela. Na cidade de Carmo
da Mata a demanda máxima semanal é de 100 kg de queijo, em Cláudio 190 kg e em
Carmópolis de Minas 150 kg. Para uma melhor visualização, o Quadro 1, apresenta de
maneira clara e objetiva todos os dados.
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Quadro 1 - Dados referentes a custo, capacidade e demanda de produção.
Observa-se que o problema está balanceado, ou seja, o valor da demanda é igual ao da oferta.
Deste modo, utilizando os dados acima, foi possível montar o Modelo Matemático, como
mostra a Figura 3.
Figura 3 - Modelo Canônico referente ao transporte.
Fonte: Elaborado pelos autores (2014)
Vale ressaltar que para facilitar a montagem do modelo, algumas denominações foram dadas,
tais como: Matriz = x1, Filial = x2, Carmo da Mata = y1, Cláudio = y2 e Carmo da Mata = y3.
Com o auxilio de uma planilha eletrônica, e utilizando programação Linear (Solver),
encontrou-se o arranjo de distribuição e o custo mínimo de transportes, o que mostra a Tabela
9.
Tabela 9- Arranjo de distribuição e custo mínimo de transporte.
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Fonte: Elaborado pelos autores (2014)
Percebe-se que a distribuição tanto da Matriz para a cidade de Cláudio, quanto da Filial para a
cidade de Carmópolis de Minas não se mostrou viável. Percebe-se também que a demanda foi
totalmente atendida e que não houve estoque de produtos.
5. Conclusão
A programação linear nos permite criar varias situações buscando encontrar a melhor solução
a ser aplicada a diversas problemáticas encontradas em nosso dia a dia.
Com o auxilio da ferramenta Solver, foi possível propor um novo Mix de produção, onde este
retornaria um maior lucro semanal para a empresa, respeitando as disponibilidades e
procurando atender as demandas, isto é claro, sem esquecer se há ou não escoamento destes
produtos para o mercado. Também foi possível, simular uma problemática referente ao
transporte, encontrando o melhor arranjo de distribuição, com seu menor custo, o que
facilitaria a compreensão de todos aqueles, incluindo o proprietário, que tenha o interesse de
encontrar tais resultados.
Assim, pode-se afirmar que o modelo proposto pôde auxiliar de forma significativa no
planejamento desta linha de produção.
Referências Bibliográficas
GOMES JR, A.C.; SOUZA, M.J.F. Solver (Excel): Manual de Referência. UFOP, 2004.
KMIT, W. Maximização do resultado na indústria de laticínios através da otimização do mix de produção com
a utilização das UEPs como fator de limitação da margem de contribuição. Tese de M. Sc., Florianópolis, SC,
2004.
KUHNEN, O. L. Métodos quantitativos. Erechim: Apostila da Pós-Graduação em Auditoria e Perícia, 2002.
LACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional Na Tomada De Decisões, 2ª edição; editora Campus; São
Paulo/SP; p.26 – 261; 2004.
MARTÍNES, J. M.; SANTOS, S. A. Métodos Computacionais de Otimização. IMECC-UNICAMP:
Departamento de Matemática Aplicada, 1998.
SHAMBLIN, J. E. & STEVENS JR, G.T. Pesquisa Operacional – Uma Abordagem Básica; editora Atlas, São
Paulo/SP;1979.
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