CENTRO FEDERAL DE EDUCAO TECNOLGICA
DE MINAS GERAIS
DEMAT Departamento de Engenharia de Materiais - Curso Tcnico de Eletromecnica
1 Edio
Professor Andr Barros de Mello Oliveira
Campus I Belo Horizonte
Ano de 2014
EEEMMM CCCOOORRRRRREEENNNTTTEEE CCCOOONNNTTTNNNUUU AAA PPP AAA RRR AAA OOO EEE NNN SSS III NNN OOO TTT CCC NNN III CCC OOO
CEFET-MG Fundamentos de Circuitos Eltricos em Corrente Contnua ii
BIOGRAFIA DO AUTOR
Andr Barros de Mello Oliveira nasceu em Belo Horizonte, Minas Gerais, em 17
de julho de 1969. Formou-se em Engenharia Industrial Eltrica pelo Centro Federal
de Educao Tecnolgica de Minas Gerais (CEFET-MG) em dezembro de 1992.
Obteve o ttulo de Mestre em Engenharia Eltrica pela Universidade Federal de
Minas Gerais (UFMG), em dezembro de 1998, na rea de Eletrnica de Potncia.
Atuou como professor em escolas de formao tcnica em Belo Horizonte, como o
SENAI, a Utramig, o SESI e o CEFET-MG, at 2001. De 2001 a 2006 foi professor
nos cursos de Engenharia de Telecomunicaes e de Engenharia Eltrica do Centro
Universitrio de Belo Horizonte (Uni-BH). Desde outubro de 2006 professor efetivo
do CEFET-MG, tendo atuado em Varginha (campus VIII, Departamento de
Mecatrnica, de 2006 a 2014,) e em Belo Horizonte (campus I, Departamento de
Engenharia de Materiais, DEMAT, desde agosto de 2014). Atualmente professor
no curso tcnico de Eletromecnica.
CEFET-MG Fundamentos de Circuitos Eltricos em Corrente Contnua iii
Um pas se constri com Homens e Livros. (Monteiro Lobato)
H grandes homens que fazem com que todos se sintam pequenos.
Mas o verdadeiro grande homem aquele que faz com que todos se sintam grandes.
(Gilbert Keith Chesterton)
CEFET-MG Fundamentos de Circuitos Eltricos em Corrente Contnua iv
Apresentao
Este texto tem por objetivo principal oferecer um material bsico de referncia
para a disciplina Circuitos Eltricos I, do Curso Tcnico de Eletromecnica.
O texto conta com seis captulos, numa sequencia que possibilita ao aluno
consolidar os conceitos tericos atravs da leitura dos tpicos, dos exemplos
resolvidos e da resoluo de problemas e exerccios.
importante que o aluno tenha como pontos de partida conceitos
fundamentais da eletricidade, como o conhecimento do Sistema Internacional de
Unidades (SI), da notao cientfica e de grandezas eltricas bsicas, que sero
vistos no primeiro captulo.
No texto so abordados circuitos eltricos em corrente contnua (CC) e
mtodos de resoluo, transformaes e teoremas.
Vale salientar que o presente texto no deve substituir a
literatura tcnica da rea de Circuitos Eltricos e Eletrnica,
pois as referncias bibliogrficas so, alm da base desta
obra, muito enriquecedoras em aspectos tericos e prticos.
O bom aluno deve sempre ler e pesquisar os assuntos
referentes a esta disciplina do curso nos excelentes livros
editados em portugus.
Pede-se a compreenso dos alunos e professores
pelos eventuais erros. Assim sendo, so imensamente bem-
vindas as crticas, sugestes e correes, que certamente
contribuiro para a melhoria deste material didtico.
Belo Horizonte, setembro de 2014.
Andr Barros de Mello Oliveira.
Fonte: http://www.scifair.org/+images/ECG.gif
CEFET-MG Fundamentos de Circuitos Eltricos em Corrente Contnua v
ndice
Captulo 1 Introduo ao Estudo de Circuitos Eltricos ....................................................... 1
1.1 - O Sistema Internacional de Unidades - SI .......................................................................2
1.2 Prefixos Mtricos ..................................................................................................................3
1.3 Potncias de 10 .....................................................................................................................3
1.4 Notao Cientfica .................................................................................................................4
1.5 Diagramas Eltricos e Smbolos Grficos .....................................................................7
EP Exerccios e Problemas Srie 1 ...................................................................................... 10
1.6 Grandezas Eltricas ...........................................................................................................12
1.6.1- Algumas Definies Bsicas .........................................................................................12
1.6.2 A Carga Eltrica, Q .......................................................................................................13
1.6.3 - Lei das Cargas Eltricas ...............................................................................................14
1.6.4 - Campo Eletrosttico .......................................................................................................14
1.6.5 Lei de Coulomb ..............................................................................................................15
1.6.6 Diferena de Potencial (d.d.p.) ....................................................................................16
1.6.7 Corrente Eltrica ............................................................................................................16
1.6.8 Tenso Eltrica, V .........................................................................................................19
EP Exerccios e Problemas Srie 2 ........................................................................................ 20
Captulo 2 Fontes de Tenso e de Corrente. Resistncia Eltrica. .................................. 21
2.1 Fontes de Tenso e de Corrente .....................................................................................22
2.1.1 Fontes Independentes ..................................................................................................22
2.1.2 Fontes Dependentes .....................................................................................................25
2.1.3 Associao de Fontes de Tenso e de Corrente .....................................................26
2.2 Resistncia Eltrica ............................................................................................................30
2.2.1 - Cdigo de Cores.........................................................................................................31
2.2.2 - Lei de Ohm ...................................................................................................................35
2.2.3 - A Segunda Lei de Ohm ............................................................................................36
2.2.4 A Condutncia Eltrica, G ......................................................................................37
2.2.5 Potncia e Energia Eltricas em Circuitos Resistivos ..................................37
Captulo 3 Circuitos Eltricos em Corrente Contnua (CC) ................................................ 41
3.1 O Circuito Srie. Associao Srie de Resistores. ....................................................41
3.1.1 Potncia Total em um Circuito Srie ..........................................................................43
3.2 O Circuito Paralelo. Associao Paralelo de Resistores. ........................................44
3.2.1 A Potncia em Circuitos Paralelo ...............................................................................45
3.2.2 Os Circuitos Srie-Paralelo (Mistos) ..........................................................................46
3.3 Leis de Kirchhoff .................................................................................................................47
3.3.1 Leis de Kirchhoff de Tenso (LKT) e de Corrente (LKC) ........................................47
3.3.2 Lei de Kirchhoff das Correntes, LKC ..........................................................................48
3.4 Circuitos Divisor de Tenso e de Corrente ..................................................................50
3.4.1 Regra do Divisor de tenso .........................................................................................50
3.4.2 Divisor de corrente ........................................................................................................51
3.5 Transformaes de Fontes ..............................................................................................53
3.6 Transformaes de Redes: tringulo () para estrela (Y) e vice-versa ................54
CEFET-MG Fundamentos de Circuitos Eltricos em Corrente Contnua vi
Captulo 4 Mtodos de Anlise de Circuitos Eltricos ........................................................ 56
4.1 Introduo .............................................................................................................................56
4.2 Anlise atravs das Leis de Kirchhoff ..........................................................................62
4.2.1 Mtodo das correntes nas malhas ..............................................................................62
4.2.2 Mtodo das correntes nas malhas no formato matricial: Ax = B ...........................63
4.2.3 Regra de Cramer ...........................................................................................................64
4.3 Anlise Nodal ou Mtodo das Tenses nos Ns ........................................................64
Captulo 5 Teoremas Aplicados n Anlise de Circuitos CC ............................................... 67
5.1 Introduo .............................................................................................................................67
5.2 Teoremas de Thvenin e de Norton ...............................................................................67
5.3 Teorema da Mxima Transferncia de Potncia .........................................................68
5.4 Teorema da Superposio................................................................................................70
5.5 - Circuito Ponte de Wheatstone ..........................................................................................72
Captulo 6 Elementos Armazenadores de Energia e Estudo de Transitrios em CC .. 74
6.1 Capacitor e capacitncia ...................................................................................................74
6.1.1 - Definies bsicas .........................................................................................................75
6.2 Associao de Capacitores..............................................................................................79
6.2.1 Associao em Srie ....................................................................................................79
6.2.2 Associao em Paralelo ...............................................................................................80
6.3 - Corrente de carga e descarga num capacitor ..............................................................81
6.4 Comportamento do capacitor frente a um transitrio de tenso ...........................81
6.5 - Transitrio de Carga de um Capacitor ...........................................................................82
6.6 - Transitrio de Descarga de um capacitor .....................................................................90
6.7 O armazenamento de energia num capacitor .............................................................91
6.8 Indutncia .............................................................................................................................92
6.8.1 Induo Eletromagntica ..............................................................................................92
6.8.2 Caractersticas das Bobinas ........................................................................................93
6.8.3 Associao de Indutores ..............................................................................................94
6.6 Estudo de Transitrios em Circuitos RL Srie ...........................................................98
6.6.1 - Corrente transitria crescente no circuito RL: carga do indutor ..............................98
6.6.2 - Corrente transitria decrescente no circuito RL: descarga do indutor .................101
6.7 Armazenamento de energia em um indutor ...............................................................102
Apndice 1 A Regra de Cramer ............................................................................................103
Apndice 2 Listas de Exerccios e Problemas.................................................................106
Referncias Bibliogrficas............................................................................................................ 131
Circuitos Eltricos Curso Tcnico de Mecatrnica
1
Captulo 1
Introduo ao Estudo de Circuitos Eltricos O Sistema Internacional de Unidades SI. Prefixos Mtricos. Potncias de 10. Notao Cientfica. Diagramas Eltricos e Smbolos Grficos. Grandezas Eltricas.
Captulo 1 Introduo ao Estudo de Circuitos Eltricos
Maisculas Minsculas Portugus Ingls Grego
Alfa Alpha lpha
Beta Beta Bta
Gama Gamma Gmma
Delta Delta Dlta
Epslon Epsilon Epslon
Zeta Zeta Zta
Eta Eta Eta
Teta Theta Thta
Iota Iota Ita
Capa Kappa Kappa
Lambda Lambda Lmbda
Mi Mu My
Ni Nu Ny
Csi Xi Xi
micron Omicron O Mikrn
Pi Pi Pi
R Rho Rho
Sigma Sigma Sgma
Tau Tau Tau
Ipsilon Upsilon Ypsiln
Fi Phi Phi
Qui Chi Khi
Psi Psi Psi
mega Omega O Mga
O Alfabeto Grego. Fonte: http://www.webcalc.com.br/matematica/alfa_grego.html
Circuitos Eltricos Curso Tcnico de Mecatrnica
2
1.1 - O Sistema Internacional de Unidades - SI
A engenharia moderna uma profisso na qual equipes de engenheiros trabalham
em projetos multidisciplinares; para que esses engenheiros se comuniquem com facilidade,
essencial que todos utilizem o mesmo sistema de unidades. O Sistema Internacional de
Unidades, ou sistema SI, adotado pelas principais sociedades de engenharia e pela
maioria dos engenheiros do mundo inteiro (NILSSON, 1999). As sete unidades bsicas do
SI so (GUSSOW, 1996): comprimento, massa, tempo, corrente eltrica, temperatura
termodinmica, intensidade luminosa e quantidade de matria (Tabela 1.1).
Tabela 1.1 - Unidades Fundamentais do Sistema Mtrico Internacional.
Grandeza Unidade Fundamental Smbolo
Comprimento metro m
Massa quilograma kg
Tempo segundo s
Corrente eltrica ampre A
Temperatura termodinmica kelvin K
Intensidade luminosa candela cd
Quantidade de matria mole mol
Unidades suplementares do SI: ngulo plano e o ngulo slido (Tabela. 1.2).
Tabela 1.2 - Unidades Suplementares do SI.
Grandeza Unidade Smbolo
ngulo plano Radiano rad
ngulo slido Estereorradiano sr
Outras unidades usuais podem ser deduzidas a partir das unidades fundamentais e
das unidades suplementares. Por exemplo, a unidade de carga o coulomb, que deduzida
a partir das unidades fundamentais segundo e ampre. A maioria das unidades utilizadas
em eletricidade do tipo unidade derivada (veja a Tabela 1.3).
Tabela 1.3 - Unidades derivadas do SI.
Grandeza Unidade Smbolo
Energia ou Trabalho joule J
Fora newton N
Potncia watt W
Carga eltrica coulomb C
Potencial eltrico volt V
Resistncia eltrica ohm
Condutncia eltrica siemens S
Capacitncia eltrica farad F
Indutncia eltrica henry H
Freqncia hertz Hz
Fluxo magntico weber Wb
Densidade de fluxo magntico tesla T
Circuitos Eltricos Curso Tcnico de Mecatrnica
3
1.2 Prefixos Mtricos
No estudo da eletricidade, algumas unidades eltricas so pequenas demais ou
grandes demais para serem expressas convenientemente. Por exemplo, no caso da
resistncia, freqentemente utilizamos valores em milhes ou milhares de ohms (). O
prefixo kilo (designado pela letra k) mostrou-se uma forma conveniente de se representar
mil. Assim, em vez de se dizer que um resistor tem um valor de 10.000 , normalmente nos
referimos a ele como um resistor de 10 kilohms (10 k).
No caso da corrente, freqentemente utilizamos valores de milsimos ou milionsimos
de ampre. Utilizamos ento expresses como miliampres e microampres. O prefixo mili
uma forma abreviada de se escrever milsimos e micro uma abreviao para
milionsimos. Assim, 0,012 A torna-se 12 miliampres (mA) e 0,000 005 A torna-se 5
microampres (A).
A Tabela 1.4 relaciona os prefixos mtricos usados mais freqentemente em
eletricidade com a sua equivalncia numrica.
Pode-se escrever por extenso, por exemplo, uma tenso eltrica dada por 3 000 000 V
como trs milhes de volts, ou, utilizando o prefixo mtrico adequado, 3 MV. Da mesma
forma, poderia-se escrever uma corrente I de 0,001 A como 1 x 10-3 A, que, com o prefixo
correspondente, ficaria: I = 1 mA.
Tabela 1.4 - Prefixos Mtricos Utilizados em Eletricidade.
Prefixo Smbolo Valor
Mega M 1 000 000
Kilo k 1 000
Mili m 0,001
Micro 0,000 001
Nano n 0,000 000 001
Pico p 0,000 000 000 001
1.3 Potncias de 10
Como visto anteriormente, freqentemente necessrio ou conveniente converter
uma unidade de medida em outra unidade que pode ser maior ou menor. Na seo anterior
isto foi feito substituindo-se determinados valores por um prefixo mtrico.
Circuitos Eltricos Curso Tcnico de Mecatrnica
4
Uma outra forma seria a de converter o nmero numa potncia de 10. Muitas vezes
nos referimos s potncias de 10 como a notao do engenheiro.
Por exemplo, um nmero muito grande poderia ser escrito como um nmero
multiplicado por uma potncia de 10, com expoente positivo, se o nmero maior que um e
com expoente negativo, se o nmero menor que 1.
Ilustrando:
2200 = 2,2 x 10+3
0,0022 = 2,2 x 10-3
A Tabela 1.5 mostra exemplos de nmeros expressos em potncias de 10.
Tabela 1.5 - Potncias de 10.
Nmero Potncia de 10 Leitura usual
0,000 001 = 10-6 10 a menos seis
0,000 01 = 10-5 10 a menos cinco
0,000 1 = 10-4 10 a menos quatro
Tabela 1.5 - Potncias de 10 (continuao).
0,001 = 10-3 10 a menos trs
0,01 = 10-2 10 a menos dois
0,1 = 10-1 10 a menos um
1 = 100 10 a zero
10 = 101 10 a um
100 = 102 10 a dois
1.000 = 103 10 a trs
10.000 = 104 10 a quatro
100.000 = 105 10 a cinco
1.000.000 = 106 10 a seis
1.4 Notao Cientfica
A notao cientfica uma forma conveniente que utilizada na soluo de
problemas em eletricidade. Ela representada como o produto de um nmero entre 1 e 10
vezes uma potncia de 10, como se indicado pela Relao (1.1):
Circuitos Eltricos Curso Tcnico de Mecatrnica
5
NOTAO CIENTFICA:
a x 10nn (1.1)
onde a = no entre 1 e 10 e n = expoente da potncia de 10.
Regra 1 Para se escrever nmeros MAIORES do que 1 na forma de notao cientfica,
desloca-se a vrgula para a esquerda tantos algarismos quanto os
necessrios, at atingirmos um nmero entre 1 e 10. O expoente da potncia
de 10 ser POSITIVO e igual ao nmero de casas deslocadas.
Exemplo 1.1 - Expresse os nmeros abaixo em notao cientfica.
a) 880.000 = 880.000,0 (desloca-se a vrgula cinco casas para a esquerda).
Logo, escreve-se 880.000 como 8,8 x 105
b) 3.000 = 3.000,0 = 3 x 103
Regra 2 Para se escrever nmeros MENORES do que 1 na forma de notao
cientfica, desloca-se a vrgula para a direita tantos algarismos quanto os
necessrios, at atingirmos um nmero entre 1 e 10. O expoente da potncia
de 10 ser NEGATIVO e igual ao nmero de casas deslocadas.
Exemplo 1.2 - Escreva os nmeros abaixo em notao cientfica:
a) 0,002 (desloca-se trs casas para a direita) = 2 x 10-3
b) 0,00049 = 4,9 x 10-4
Regra 3 Para se multiplicar dois ou mais nmeros expressos como potncias de 10,
multiplica-se os coeficientes para se obter o novo coeficiente e soma-se os
expoentes para se obter o novo expoente de 10.
Exemplo 1.3 - Calcule os produtos abaixo:
a) 1 x 104 x 2,5 x 103 = (1 x 2,5) x (104+3) = 2,5 x 107
b) 4 x 106 x 1,5 x 10-3 = (4 x 1,5) x (106+ (-3)) = 6 x 103
Circuitos Eltricos Curso Tcnico de Mecatrnica
6
Regra 4 Para se dividir dois ou mais
nmeros expressos como potncias
de 10, divide-se os coeficientes a
fim de se obter o novo coeficiente e
subtrai-se os expoentes para se
obter o novo expoente de 10.
Para efeito de simplificao, usa-se
escrever uma resposta numrica utilizando um
prefixo em vez de empregar a notao
cientfica. Como exemplos so mostrados na
Tabela 1.6 alguns prefixos mtricos mais
utilizados no estudo da eletricidade.
Exemplo 1.4 - Calcule as divises:
44 2
2
2
2,5 10 2,5) 10
2 10 2
1,25 10
a
22 ( 6)
6
4
1 4 3
4 10 4) 10
8 10 8
0,5 10
5 10 10 5 10
b
Tabela 1.6 - Prefixos mtricos mais comuns expressos em potncia de 10. Prefixo mtrico Potncia de 10
tera (T) 1012
giga (G) 109
mega (M) 106
kilo (k) 103
hecto (h) 102
deca (da) 101
deci (d) 10-1
centi (c) 10-2
mili (m) 10-3
micro () 10-6
nano (n) 10-9
pico (p) 10-12
femto (f) 10-15
atto (a) 10-18
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7
1.5 Diagramas Eltricos e Smbolos Grficos
A Figura 1.1a uma representao descritiva de um circuito eltrico simples, onde a
chave liga-desliga permite alimentar a lmpada atravs de uma bateria de tenso contnua.
O mesmo circuito est representado de forma esquemtica na Figura 1.1b. O diagrama
esquemtico uma forma abreviada de se desenhar um circuito eltrico, e os circuitos so
representados geralmente dessa forma (GUSSOW, 1996).
(a) Diagrama descritivo. (b) Diagrama esquemtico.
Figura 1.1 - Um circuito simples com lmpada.
Um diagrama esquemtico mostra, atravs de smbolos grficos, as ligaes
eltricas e as funes das diferentes partes de um circuito. Um circuito onde aparecem os
diagramas esquemtico (desenho no papel) e descritivo (componentes reais em 3D)
mostrado na Figura 1.1c.
Figura 1.1c Fonte: http://download.ultradownloads.com.br/wallpaper/55148_Papel-de-Parede-Circuito-Eletrico_1024x768.jpg
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8
Os smbolos grficos padronizados para os componentes eltricos mais comuns so
apresentados na Figura 1.2, onde as letras entre parntesis indicam o tipo de componente.
Por exemplo, o resistor indicado pela letra R.
Se em um circuito so utilizados mais de um resistor, emprega se o subscrito para
identificar cada componente (R1, R2, RL etc.).
Figura 1.2a - Smbolos-padro de circuitos.
Circuitos Eltricos Curso Tcnico de Mecatrnica
9
A Figura 1.2b mostra o esquema de ligao de uma lmpada, que pode ser acionada
por dois interruptores paralelos (Three-Way). Note os smbolos para os interruptores (S1 e
S2) e a lmpada (L).
Figura 1.2b Ligao do interruptor THREE-WAY(Paralelo): utilizado sempre em par, para comandar uma lmpada (ou conjunto de lmpadas) de dois pontos distintos. Como exemplo, pode-se acionar uma lmpada em uma escada). Em caso de ligao em 220 V RMS, substituir o condutor de neutro pela fase 2. Fonte: http://www.peesa.com.br/br/manual_instalao.pdf
Outra simbologia interessante, que no aparece na Figura 1.2a, diz respeito aos
smbolos e cores dos condutores utilizados em instalaes eltricas prediais e residenciais,
como ilustra a Figura 1.2c.
Figura 1.2c Simbologia e cores para os condutores FASE, NEUTRO, RETORNO e PROTEO (antigo condutor de TERRA, ou GND, do ingls ground). Uma mquina de lavar monofsica utiliza os cabos vemelho, azul e o verde-amarelo. Fonte: http://www.dee.ufc.br/~gilvan/INSTALAES%20ELTRICAS%20RESIDENCIAIS%20PARTE%202.pdf
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10
EP Exerccios e Problemas Srie 1
Seguindo a metodologia adotada em (CHAVES, 2001), cada questo vem seguida
de uma letra, cujo significado vem descrito a seguir:
- Letra E (por ex., questo 1.1E) - este tipo de questo indica um Exerccio, que requer um
raciocnio simples e a aplicao direta de uma frmula ou equao;
- Letra P (por ex., questo 1.7P) - este tipo de questo indica um Problema, o qual
apresentar um maior grau de dificuldade e envolvimento por parte do (a) aluno(a).
- Letras M e E (por ex., questo 1.5ME) - este tipo de questo indica Mltipla Escolha para
resposta. Nota: para este tipo de questo no basta apenas marcar a resposta, preciso
apresentar a soluo da mesma por escrito.
- Letra T (por ex., questo 1.10T) - este tipo de questo indica um exerccio terico.
1.1E - Escrever os seguintes nmeros em notao cientfica:
a) 300.000
b) 0,001 c) 0,015
d) 0,000234
e) 789.000.000
f) 0,1 mV
1.2E Escrever cada um dos valores que se seguem primeiro em notao cientfica e a
seguir com o prefixo adequado.
a) 0,00053 A para miliampres (mA)
d) 2.400 V para quilovolts (kV)
b) 0,000 0001 F para microfarads (F)
e) 680 k em M
c) 4.000.000 W em megawatts (MW)
f) 5.400.000 em M
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11
1.3E Faa as operaes indicadas, arredondando as respostas com preciso de trs
algarismos.
a) )100,3)(101,2(
)107,5)(1031,8(61
30
b) )500000(000006,0
)01,0)(0014,0(790
1.4E Faa as seguintes converses:
a) 0,075 segundos para milissegundos
b) 7252000 watts para kW e MW
c) 946 watts para HP (horse-power)
OBS.: 1 HP = 746 W
d) 200 ns para segundos
1.5E Fazer os diagramas esquemticos dos seguintes circuitos:
a) Uma bateria de 12 V alimentando uma lmpada (6 W) e um resistor de 24 ligados em
srie.
b) Uma fonte de tenso CA de 127 V alimentando um transformador em cujo secundrio
esto conectados um diodo em srie com um resistor. No primrio do transformador, em
srie com a fonte CA, est ligado um fusvel.
1.6P (NILSSON, 1999) - Exerccio 1.2, pg. 5. Existem aproximadamente 142 milhes de
carros de passeio nos Estados Unidos. Suponha que a bateria de um carro armazene, em
mdia, uma energia de 440 watts-hora (Wh). Estime, em gigawatts-hora, a energia total
armazenada nos carros americanos. Resp.: 62,48 GWh.
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1.6 Grandezas Eltricas
1.6.1- Algumas Definies Bsicas
A Eletricidade um componente essencial da matria. A melhor maneira de entender
a natureza da Eletricidade examinar a menor partcula de todo elemento: o tomo. A
seguir, so listadas algumas definies simples para a introduo aos principais fenmenos
eltricos.
- Matria: tudo aquilo que tem massa e ocupa lugar no espao.
- Molcula: a menor poro da matria que ainda mantm as propriedades do
material original (composto). Um exemplo comum a molcula de gua, designada como
H2O, constituda de dois tomos de Hidrognio e um de Oxignio.
- tomo: como citado anteriormente, o tomo a menor partcula de todo elemento.
Ento, pode-se dizer que quando uma matria composta de tomos iguais, ela
denominada de Elemento Qumico. Por exemplo: Ferro (Fe), Carbono (C) etc.
Hoje, o modelo de tomo aceito, devido em grande parte ao cientista Niels Bohr,
considera que os tomos constituintes da matria so formados de uma regio central (o
ncleo), onde esto concentrados os prtons e os nutrons, e de uma regio ao redor do
ncleo, chamada de eletrosfera em camadas ou nveis, onde esto os eltrons, que se
movimentam em grande velocidade, conforme est ilustrado pela Figura 1.3.
eltron
Ncleo: prtons
+ nutrons
Figura 1.3 - Modelo simplificado do tomo
Figura 1.3 Modelo simplificado do tomo.
Este modelo perfeitamente adequado para explicar a maioria dos fenmenos
eltricos conhecidos.
Os eltrons (-) possuem carga eltrica negativa.
Os prtons (+) possuem carga eltrica positiva.
Os nutrons no possuem carga eltrica.
Circuitos Eltricos Curso Tcnico de Mecatrnica
13
1.6.2 A Carga Eltrica, Q
As partculas constituintes dos tomos possuem duas propriedades: massa e carga
eltrica. A massa do prton praticamente igual massa do nutron (cerca de 1,7 x 10-27
kg) e a massa do eltron cerca de 1840 vezes menor (9,1 x 10-31 kg).
Como visto no item anterior, a carga eltrica no aparece nos nutrons. O valor
numrico da carga eltrica do prton ou do eltron corresponde menor carga eltrica
possvel de se encontrar, chamado de carga eltrica elementar (e).
Isto constitui uma notvel propriedade da carga eltrica, de sempre aparecer em
mltiplos inteiros da mesma unidade bsica. Tal propriedade denominada quantizao da
carga (CHAVES, 2001).
Sendo Q uma quantidade de carga qualquer e n um nmero inteiro, possvel
escrever Equao (1.2):
Q n e (1.2)
O Sistema Internacional (S.I.) de unidades chamou de Coulomb (C) a unidade de
carga eltrica, em homenagem a um dos pioneiros no estudo quantitativo da eletricidade, o
engenheiro e fsico francs Charles de Coulomb (1736-1806).
O valor numrico da carga elementar vale: e = 1,6 x 10-19 C
Ento, 1 C vale 1/e = 6,25 x 1018 eltrons.
Assim, pode-se escrever que:
- Carga eltrica do prton = + e = + 1,6 x 10-19 C;
- Carga eltrica do nutron = - e = - 1,6 x 10-19 C.
Em seu estado natural, todos os tipos de tomos tm carga eltrica total nula, ou
seja, o nmero de prtons igual ao nmero de eltrons.
A quantidade de carga eltrica de um corpo a diferena entre o nmero de prtons
e o nmero de eltrons do mesmo. A carga de um coulomb negativo, - Q, significa que o
corpo contm uma carga de 6,25 x 1018 mais eltrons do que prtons.
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14
1.6.3 - Lei das Cargas Eltricas
Cargas iguais se repelem, cargas opostas se atraem (GUSSOW, 1996). Se uma
carga negativa (-) for colocada prxima a uma outra carga negativa (-), as cargas se
repeliro. No caso de cargas de sinais opostos estiverem suficientemente prximas uma da
outra, haver uma fora de atrao atuando sobre elas.
1.6.4 - Campo Eletrosttico
A caracterstica fundamental de uma carga eltrica a sua capacidade de exercer
uma fora, a qual est presente no campo eletrosttico que envolve cada corpo carregado.
Quando dois corpos de polaridade oposta so colocados prximos um do outro, o
campo eletrosttico se concentra na regio compreendida entre eles.
O campo eltrico representado por linhas de fora desenhadas entre os dois
corpos, como se pode ver nas Figuras 1.4 e 1.5.
Se um eltron (carga de prova) for abandonado no ponto A, na Figura 1.4, ele ser
repelido pela carga negativa e atrado pela carga positiva.
As linhas de campo eltrico indicam as possveis trajetrias desta carga, localizada
na regio do campo eltrico entre os corpos positivo e negativo da figura.
(a) (b)
Figura 1.4 (a) Campo eletrosttico entre duas cargas de polaridades opostas. (b) Linhas de campo eltrico criadas em um solenide.
A Figura 1.5 ilustra a conveno do Eletromagnetismo sobre o sentido das linhas de
campo eltrico: as linhas de fora saem da carga positiva e entram na carga negativa.
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15
Figura 1.5 Segundo uma conveno do Eletromagnetismo, as linhas de fora deixam uma carga positiva e vo de encontro s cargas negativas. Fonte:
http://www.scielo.br/img/revistas/rbef/v27n1/a03fig01.gif
1.6.5 Lei de Coulomb
A Lei de Coulomb, devida ao cientista francs Charles Augustin de Coulomb (1736-
1806), explica a Fora de interao entre partculas eletrizadas e pode ser assim enunciada
(CHAVES, 2001):
Uma partcula com carga Q1, no ponto r1, exerce sobre uma partcula com carga Q2,
no ponto r2 e em repouso em relao primeira, uma fora F, dada em mdulo por:
2
21
d
QQkF
(1.3)
onde:
F [N], Q [C] , d[m] = distncia entre os pontos r1 e r2;
k = constante eletrosttica do meio, sendo que no vcuo,
k = k0 = 9 x 109
2
2
C
m.N.
No ar, desde que no haja umidade, o valor de k praticamente o mesmo do vcuo,
mas em outros meios seu valor pode ser bem reduzido. O fator de reduo conhecido
como constante dieltrica () por estar ligado sempre a meios isolantes, de tal forma que:
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16
o
kk (1.4)
A Tabela 1.7 mostra as constantes dieltricas de alguns meios.
Tabela 1.7 Constante dieltrica () de alguns meios.
Meio isolante Constante dieltrica () ou fator de reduo
Vcuo 1,00000
Ar 1,00054
mbar1 2,7
Papel 3,5
Vidro 4,5
Porcelana 6,0
gua 78
1.6.6 Diferena de Potencial (d.d.p.)
Em virtude da fora do seu campo eletrosttico, uma carga eltrica capaz de
realizar trabalho ao deslocar uma outra carga por atrao ou repulso. A capacidade
de uma carga realizar trabalho chamada de potencial. Quando uma carga for diferente da
outra, haver uma diferena de potencial entre ambas.
A soma das diferenas de potencial de todas as cargas do campo eletrosttico
conhecida como fora eletromotriz (fem).
A unidade fundamental da diferena de potencial o volt (V). O smbolo usado para
a diferena de potencial V, que indica a capacidade de realizar trabalho ao se forar os
eltrons a se deslocarem. A diferena de potencial chamada de tenso. (Alguns usam
inadequadamente a expresso voltagem).
1.6.7 Corrente Eltrica
O movimento ou fluxo de eltrons chamado de corrente. Para se produzir a corrente,
os eltrons devem se deslocar pelo efeito de uma diferena de potencial.
1 O mbar um tipo de resina fssil.
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17
A corrente representada pela letra I. A unidade fundamental com que se mede a
corrente o ampre (A). Um ampre de corrente definido como o deslocamento de um
Coulomb [C] atravs de um ponto qualquer de um condutor durante um intervalo de tempo
de um segundo [s].
Para valores constantes de Q e de t, a definio da corrente pode ser expressa por
meio da Equao (1.5):
s
C
t
Q]A[ I (1.5)
onde: I = corrente, A; Q = carga, C e t = tempo, s.
Escrevendo a Equao (1.5) de outra forma, obtm-se:
Q = It (1.6)
A carga difere da corrente, pois Q representa um acmulo de carga, enquanto I
mede a intensidade das cargas em movimento.
Exemplo 1.5 - Se uma corrente de 2 A passar atravs de um medidor durante 1 minuto ,
quantos coulombs passam pelo medidor?
DADOS: I = 2 A e t = 60 s, Q = ?
Utilizando Q = I.t teremos: Q = (2A) x (60s) = 120 C.
- Fluxo de Corrente
Num condutor, como por exemplo, num fio de cobre, os eltrons livres so cargas
que podem ser deslocadas com relativa facilidade ao ser aplicada uma diferena de
potencial. Se ligarmos s duas extremidades de um fio de cobre (Figura 1.6) uma diferena
de potencial, a tenso aplicada (1,5 V) faz com que os eltrons livres se desloquem. Essa
corrente consiste num movimento dos eltrons a partir do ponto de carga negativa, -Q,
numa das extremidades do fio, seguindo atravs do fio, e voltando para a carga positiva, +Q,
na outra extremidade.
O sentido do movimento dos eltrons de um ponto de potencial negativo para um
ponto de potencial positivo. A seta contnua na Figura 1.6 indica o sentido da corrente em
funo do fluxo de eltrons (fluxo real). O sentido do movimento das cargas positivas,
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18
oposto ao fluxo de eltrons, considerado como o fluxo convencional da corrente e
indicado pela seta tracejada. Em eletricidade bsica, os circuitos so geralmente analisados
em termos da corrente convencional.
Figura 1.6 - A diferena de potencial aplicada s duas extremidades de um fio condutor produz a corrente eltrica. Verificar os sentidos convencional e real da corrente.
- Condutores e Isolantes
O que um condutor de eletricidade?
Conforme estudado anteriormente, os corpos so constitudos por tomos e estes
possuem partculas eletrizadas (prtons e eltrons). Quando vrios tomos se renem para
formar certos slidos, como, por exemplo, os metais, os eltrons das camadas mais
externas no permanecem ligados aos respectivos tomos, adquirindo liberdade de se
movimentar no interior do slido.
Estes eltrons so denominados eltrons livres. Portanto, nos slidos que possuem
eltrons livres, possvel que a carga eltrica seja transportada atravs deles e, por isto,
dizemos que estas substncias so condutores de eletricidade.
O cobre o material mais comumente usado em condutores eltricos. Em seguida
vem o alumnio. Certos gases tambm so usados como condutores sob certas condies.
Por exemplo, o gs neon, o vapor de mercrio e o vapor de sdio so usados em vrios
tipos de lmpadas.
- O que um isolante?
Ao contrrio dos condutores, existem slidos nos quais os eltrons esto firmemente
ligados aos respectivos tomos, isto , estas substncias no possuem eltrons livres ( ou o
nmero de eltrons livres relativamente pequeno). Portanto, no ser possvel o
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19
deslocamento de carga eltrica atravs destes corpos, que so denominados isolantes
eltricos ou dieltricos.
A porcelana, a borracha, o vidro, o plstico, o papel, a madeira etc. so exemplos
tpicos de substncias isolantes.
1.6.8 Tenso Eltrica, V
Foi mencionado anteriormente que a capacidade de uma carga realizar trabalho
chamada de potencial. Ao estabelecer um circuito como o da Figura 1.7, uma fora eltrica
exercida pelos plos A e B da pilha, fazendo com que as cargas no fio condutor se
desloquem de A para B (sentido convencional da corrente).
Conseqentemente, essa fora eltrica realiza um trabalho sobre as cargas,
transferindo a elas certa quantidade de energia (ARRUDA, 1993).
Figura 1.7 Circuito para ilustrao da Tenso Eltrica.
Considerando-se uma carga eltrica q em Coulombs [C] que se desloca de A para B,
e sendo T o trabalho realizado em Joules [J] sobre ela (energia transferida para a carga q),
pode-se definir a tenso eltrica ou diferena de potencial (ddp) em Volts [V] entre A e B,
representada por VAB da seguinte forma:
[C] Q
[J] T[V] VAB (1.7)
EF Exerccios de Fixao
EF 1.1 - Um dispositivo eletrnico ligado em uma bateria de 9 V, sendo percorrido por uma
corrente de 5 mA.
a) Calcule a energia eltrica consumida em uma hora de utilizao.
b) Repita o clculo para duas baterias de 9 V em srie, e a corrente do dispositivo sendo a
mesma do item (a).
EF 1.2 Explique o significado de uma bateria de 12 V? O que a diferencia de outra bateria
de 24 volts?
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20
EP Exerccios e Problemas Srie 2
2.1E Duas partculas eletrizadas esto no vcuo a uma distncia de 30 cm uma da outra.
Sabe-se que Q1 = 2 C e que Q2 = - 3 C. Calcular o mdulo da fora de atrao entre estas
cargas.
2.2E - Um isolante carregado tem um dficit de 50 x 1018 e- (eltrons). Determine a sua
carga eltrica em C com a sua respectiva polaridade.
2.3P - A capacidade de um acumulador (bateria) de 100 Ah. Calcule sua a capacidade em
Coulomb (C) e a intensidade mdia da corrente de descarga, se a bateria perdeu toda a
carga em 20 h, sendo dado: t
QImed
.
2.4E - A intensidade de corrente eltrica em uma lmpada de 100 mA. Quantos eltrons
passam por segundo pelo filamento da lmpada?
2.5P - Sabe-se que a rea do grfico i x t a seguir representa numericamente a quantidade
de carga Q que atravessa a seo reta de um condutor no intervalo de tempo considerado.
Dado o grfico abaixo, calcule a quantidade de carga eltrica que passa por uma seo reta
de um condutor de alumnio nos primeiros 15 ms.
2.6ME - (FGV-SP) Uma seo transversal de um condutor atravessada por um fluxo
contnuo de carga de 6 C por minuto, o que equivale a uma corrente eltrica, em ampres,
de:
a.( ) 60. b.( ) 6. c.( ) 1. d.( ) 0,1. e.( ) 0,6.
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21
Captulo 2
Fontes de Tenso e de Corrente
Resistncia Eltrica
Fontes de Tenso e de Corrente. Associao de Fontes. Resistncia Eltrica. Leis de Ohm. Potncia Eltrica. Energia Eltrica. Captulo 2 Fontes de Tenso e de Corrente. Resistncia Eltrica.
Introduo
Neste primeiro captulo so apresentados os primeiros conceitos sobre circuitos
eltricos em corrente contnua e os seus principais componentes, como o resistor, o
capacitor e o indutor. Sero apresentados as metodologias de soluo de circuitos e o
comportamento destes frente variao de parmetros. Por exemplo, pode-se verificar em
um osciloscpio o efeito na forma de onda da tenso de sada de um circuito RC, quando se
varia o valor do resistor (R) conectado em srie com um capacitor (C).
Na Figura 2.1 mostra-se um diagrama de blocos que ilustra a transformao de um
dispositivo em um modelo que pode ser estudado como um circuito eltrico, aps o seu
modelamento matemtico. Um circuito eltrico um conjunto de componentes eletrnicos
(passivos e ativos) organizados de maneira a modificar uma entrada eltrica at que se
obtenha uma sada eltrica desejada.
Figura 2.1 Diagrama para o modelamento e soluo de um circuito eltrico.
Circuitos Eltricos Curso Tcnico de Mecatrnica
22
2.1 Fontes de Tenso e de Corrente
2.1.1 Fontes Independentes
Antes de falar de fontes de tenso e de corrente, preciso apresentar o conceito de
fontes independentes. Fontes independentes so aquelas que estabelecem uma tenso ou corrente
em um circuito independentemente dos valores de tenso ou corrente em outro(s) ponto(s) do circuito
(NILSSON, 1999).
Uma fonte de tenso uma fonte de alimentao prpria para: laboratrios
cientficos (fsica, qumica, biologia etc.), experimentaes em salas de aula, laboratrios de
empresas e de pesquisa (teste e manuteno), equipamentos hospitalares,
telecomunicaes, redes de computadores etc.
Ela fornece, por exemplo, tenses fixas e contnuas, na faixa de 0 a 12 VCC, sob
corrente de intensidade at 5 A (dependendo da potncia especificada). Alm disso, este
tipo de fonte pode conter proteo contra eventuais curtos-circuitos, provocados
acidentalmente ou pelo manuseio de pessoas inexperientes.
Uma fonte de tenso independente constitui um componente de dois terminais
(Figura 2.2a) que mantm uma tenso especfica nos mesmos independentemente da
corrente atravs dele (IRWIN, 2000).
Uma fonte de tenso real representada na Figura 2.2b, onde R representa a
resistncia interna da fonte. Uma situao ideal seria a de R tender para zero, a fim de que
toda a tenso da fonte fosse entregue carga conectada aos terminais A e B. A curva
caracterstica deste tipo de fonte mostrada na Figura 2.3.
(a) (b)
Figura 2.2. (a) Fonte de tenso ideal (esquema). (b) Fonte de tenso real.
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23
Figura 2.3 - Smbolos e curva caracterstica de uma fonte de tenso independente.
Matematicamente, teramos em RL, para R = 0:
VRL = V - R.I (2.1)
= V 0.I = V volts.
As fontes de tenso que so utilizadas hoje em dia se aproximam deste modelo, j
que todas possuem uma resistncia (ou impedncia) interna R, qual se atribui as perdas
(a tenso de sada no a que gerada por exemplo, uma bateria de 12 V pode
apresentar uma tenso em seus terminais de 11,8 V, o que reduz, logicamente, o seu
rendimento).
bvio que uma fonte de tenso CC apresenta muito mais componentes do que a
fonte da Figura 2.2b. Na Figura 2.4 apresentada uma fonte CC simples, com o acrscimo
de componentes como transformador (T1), transistor (Q1), capacitor (C1) etc. A Figura 2.5
mostra uma fonte de tenso industrializada.
Figura 2.4 Uma fonte CC com a ligao dos componentes. Fonte: http://www.sabereletronica.com.br/files/image/figura_2_fonte_alimentacao.png
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24
(a) (b) Figura 2.5 Fonte de tenso. (a) Aspecto frontal. (b) Placa com componentes.
Fonte: http://www.brastron.com.br/kit%20fonte%20alimentacao.jpg
A fonte de corrente independente (veja a Figura 2.6a), de modo similar s fontes
de tenso, constitui um componente de dois terminais que mantm uma corrente especfica
independentemente da tenso sobre seus terminais (a corrente de sada fixa em um valor
determinado pelo usurio desta fonte). A sua curva caracterstica apresentada na Figura 2.6b.
A fonte de corrente real, representada na Figura 2.6c, possui uma resistncia interna R
conectada aos seus terminais A e B. Idealmente, R deveria tender para infinito (o ramo com o resistor
estaria aberto), a fim de que toda a corrente da fonte pudesse fluir para a carga resistiva conectada aos
terminais A e B.
Figura 2.6 (a) Fonte de corrente ideal. (b) Curva caracterstica I x V. (c) Fonte de corrente real.
Mas, onde seria interessante alimentar uma carga com corrente constante? Pode-se
exemplificar com o caso de um motor de corrente contnua (motor CC ou motor DC), muito
utilizado em equipamentos eletrnicos e eltricos. Este motor drena uma corrente que
(a) (b)
(c)
Circuitos Eltricos Curso Tcnico de Mecatrnica
25
depende da forma como ele est carregado. Isso significa que a tenso sobre ele pode
variar e nas condies de maior carga esta pode cair a valores to baixos que o motor
paralisa o seu funcionamento. A sua velocidade de giro (rpm, rotaes por minuto), tambm
depende da corrente que a carga solicita. Para uma velocidade constante, deveria ser
empregada uma fonte de corrente constante para o motor CC. Uma forma de compensar
estes problemas utilizar algum tipo de circuito que mantenha constante a corrente num
motor independente das suas condies de funcionamento, ou seja, da sua carga.
Da mesma forma, h situaes em que necessrio alimentar uma carga com uma
tenso constante, mesmo com a variao do consumo de carga. Fontes de tenso
reguladas em uma placa de computador constituem um exemplo.
As Figuras 2.7a e 2.7b mostram os smbolos de ambas as fontes independentes
citadas anteriormente.
Figura 2.7 Smbolos (a) de uma fonte ideal independente de tenso, (b) de uma fonte ideal independente de corrente, (c) de uma fonte dependente de tenso controlada por tenso FTCT, (d) de uma fonte dependente de corrente controlada por tenso FCCT, (e) de uma fonte dependente de tenso controlada por corrente FTCC e (f) de uma fonte dependente de corrente controlada por corrente FCCC.
2.1.2 Fontes Dependentes
As fontes dependentes so aquelas que estabelecem uma tenso ou corrente em
um circuito cujo valor depende do valor da tenso ou da corrente em outro ponto do circuito.
Os smbolos para representar fontes dependentes aparecem na Figura 2.7 (c at f). Estas
fontes so tambm conhecidas como Fontes Dependentes ou Fontes Controladas.
Um bom exemplo de fonte de tenso dependente uma fonte de tenso regulada. A
srie de circuitos integrados (CIs) 78XX, onde os dois ltimos dgitos indicam a tenso de
sada, trabalham com uma tenso de entrada que deve estar dentro de uma certa faixa.
Para o CI A7805 (5V @ 1,5 A), ou seja, com tenso de sada de 5 V, mostrado na Figura
2.8, para se obter uma tenso regulada fixa de 5 V em sua sada, precisa-se de pelo menos
7 V nos terminais de entrada, caso contrrio haver uma certa instabilidade na regulao.
Na Figura 2.9 v-se um esquema de um regulador 78XX montado em uma placa de circuito
impresso.
Circuitos Eltricos Curso Tcnico de Mecatrnica
26
Figura 2.8a Circuito Integrado 78XX. No caso, com o CI 7805, obtm-se uma tenso de sada regulada de 5 V. Fonte: http://i137.photobucket.com/albums/q227/lafaller/7805comoreguladorvarivel.jpg
Figura 2.9 Um regulador 78XX montado em uma placa de circuito impresso. Fonte: http://tonieletronica.50webs.com/imagens/fonte78xx.jpg
A Figura 2.10 mostra o esquema de uma fonte de tenso estabilizada, com destaque para o
transformador de entrada (1) e para o dissipador de calor (2) do transistor.
2.1.3 Associao de Fontes de Tenso e de Corrente
A associao em srie de fontes de tenso nos permite aumentar a diferena de
potencial disponibilizada para efeitos de alimentao de um determinado circuito.
Um exemplo clssico o uso de mltiplas pilhas para alimentar aparelhos
eletrodomsticos, lanternas, brinquedos etc.
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27
Figura 2.10 Montagem de uma fonte de tenso estabilizada. Fonte: http://www.electronics-lab.com/projects/power/003/psu_th.gif
comum a associao em srie de quatro pilhas de 1,5 V (corretamente
associadas), para uma fonte de alimentao de 6 V, como se v na Figura 2.11, onde se
consegue:
Vtotal = 1,5 + 1,5 + 1,5 + 1,5 = 6 V.
Note-se que o valor final a soma de todas as pilhas individuais, se todas estiverem
conectadas no mesmo sentido (positivo de um dispositivo ligado ao negativo do seguinte).
Caso contrrio, se um dispositivo estiver conectado invertido (por exemplo, no circuito da
Figura 2.11, a ltima pilha), teramos:
Vtotal = 1,5 + 1,5 + 1,5 1,5 = 3 V.
Figura 2.11 Associando 4 pilhas em srie para a obteno de uma fonte de 6 V. Fonte: http://www.feiradeciencias.com.br/sala12/image12/12_T09_04.gif
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28
Figura 2.12 Circuito equivalente: associao em paralelo de duas fontes de tenso.
Fonte: www.if.ufrgs.br/~lang/Associa_pilhas_paralelo.pdf
Uma associao de dois
geradores em paralelo (Figura 2.12)
utilizada para se obter uma intensidade
da corrente eltrica (i) que seja maior
do que a intensidade da corrente
eltrica em um nico gerador.
Assim, obtm-se:
i = i1 + i2 (2.2)
Por que no se usa conectar pilhas em paralelo?
O problema reside no fato de que, havendo diferenas entre as foras eletromotrizes,
ainda que pequenas, provoca-se a circulao de correntes internas associao, e,
conseqentemente, um indesejvel consumo de energia, mesmo quando a parte do circuito
externo estiver desligada. Geradores associados em paralelo podem criar correntes
internas entre os geradores componentes... pelo menos um deles funciona como receptor,
consumindo energia (Gaspar, 2001; p. 165).
A associao em paralelo de fontes de corrente segue um conjunto de regras
semelhantes s estabelecidas para a associao em srie de fontes de tenso. A corrente
equivalente dos terminais de uma associao em paralelo dada pela soma das correntes
parciais (Figura 2.13a e 2.13.b), onde se levam em conta as polaridades respectivas.
No caso das fontes de corrente reais, Figura 2.13c, o valor da resistncia interna
dada pelo resistor equivalente paralelo das resistncias internas parciais, o que torna a fonte
de corrente mais acentuadamente no ideal. O clculo do resistor equivalente para
associaes e srie e em paralelo ser visto mais adiante.
(a) Associao das correntes em paralelo: soma das correntes parciais.
Circuitos Eltricos Curso Tcnico de Mecatrnica
29
(b) Associao das correntes em paralelo: neste caso, com correntes opostas e is1 > is2.
(c) Associao em paralelo de fontes de corrente reais.
Figura 2.13 Alguns exemplos de associao de fontes de corrente.
EP Exerccios e Problemas - Srie 1
1) O que diferencia uma fonte de tenso ideal de uma fonte de tenso real?
2) Explique, com suas palavras, como feita a carga de bateria de um carro, quando se usa
para isso a bateria de outro carro, j carregada. Como se ligam os cabos? Faa um
esquema.
3) Montar um circuito com a associao em paralelo de duas fontes de corrente de 5 A e
destas em srie com uma fonte de 2,5 A. Cada fonte possui uma resistncia interna de 100
k e o sentido da corrente vertical, para cima. Qual ser a fonte de corrente equivalente?
Fundamentos de Circuitos Eltricos em corrente contnua (CC) para o Ensino Tcnico
30
2.2 Resistncia Eltrica
A resistncia eltrica (R) uma medida da oposio ao movimento dos portadores
de carga, ou seja, a resistncia eltrica representa a dificuldade que os portadores de carga
(eltrons livres) encontram para se movimentarem atravs de um condutor. Quanto maior a
mobilidade dos portadores de carga, menor a resistncia eltrica do condutor.
A simbologia para o resistor segue duas tendncias (Figura 2.14):
1) "retngulo" com terminais, que uma representao simblica para os resistores
de valores fixos tanto na Europa como no Reino Unido e
2) representao em "linha quebrada" (zig-zag), usada nas Amricas e no Japo.
Figura 2.14 Simbologias mais usuais para o resistor eltrico. Fonte: http://www.feiradeciencias.com.br/sala15/15_03.asp
A Figura 2.15 mostra o aspecto construtivos de um resistor de filme de carbono
(carvo).
Figura 2.15 Aspecto construtivo de um resistor de filme de carbono (valor fixo). Fonte: http://www.feiradeciencias.com.br/sala15/15_03.asp
Pode-se afirmar que um resistor possui duas funes bsicas: opera como limitador
de corrente eltrica e como dissipador de energia (efeito joule), como num chuveiro eltrico.
Fundamentos de Circuitos Eltricos em corrente contnua (CC) para o Ensino Tcnico
31
Como mostrado nas Figuras 2.14 e 2.15, os resistores so componentes passivos
de dois terminais, e no possuem polaridade, podendo ser conectados de qualquer forma
em um circuito, utilizando seus terminais. , portanto, um componente bidirecional em
corrente e tenso.
O resistor especificado em ohms () e com valores de potncia de trabalho (em
Watts).
Resistores de fio (P > 5 Watts), tm valores expressos nominalmente em seu
corpo (Figura 2.16), onde no 1 resistor, v-se 22R 5 % 10W, o que significa que o mesmo
de 22 +/- 5% e suporta 10 Watts.
Figura 2.16 Tipos de resistores (10 W, 5 W, 5 W, 1 W, W e W, respectivamente de cima para baixo). Fonte: http://autosom.net/artigos/lpad.htm
2.2.1 - Cdigo de Cores
Como os resistores de baixa
potncia (0,25 W, 0,5 W) so de tamanho
reduzido, convencionou-se usar um cdigo
de cores em anis para identificao do seu
valor nominal. O ltimo anel identifica o
valor da tolerncia (erro de fabricante com
relao ao valor nominal).
Na Figura 2.17 v-se o cdigo de
cores para resistores de 4 faixas. O resistor
indicado apresenta as faixas na seqncia:
1 faixa: vermelho (2),
2 faixa: verde (5),
3 faixa: preto (0) e
4 faixa: ouro (5% de tolerncia).
Figura 2.17 Cdigo de cores para
resistores de 4 (quatro) faixas.
Como interpretar esta seqncia?
Basta seguir o roteiro:
- Os dois primeiros dgitos so escritos: 25.
- a terceira faixa indica o nmero de zeros: cor preta = nenhum.
Fundamentos de Circuitos Eltricos em corrente contnua (CC) para o Ensino Tcnico
32
Assim, o resistor de 25 5 %, ou seja o seu valor nominal varia entre 23,75 e
26.25 ohms.
A Figura 2.18 mostra os cdigos de cores para 4, 5 e 6 faixas, estas ltimas
identificando resistores de preciso, utilizados em equipamentos de medidas como
multmetros analgicos e digitais, osciloscpios; equipamentos biomdicos etc.
Figura 2.18 Tabela completa com os cdigos de cores para resistores de 4, 5 e 6 faixas. Fonte: http://blog.ebrandi.eti.br/wp-content/uploads/2008/08/resistorcolorcode.gif
De posse da tabela da Figura 2.18, como ler um resistor de 5 ou 6 faixas?
Quando o resistor de preciso, apresenta 5 faixas coloridas. Como a ltima faixa
destes resistores normalmente marrom ou vermelha, pode haver uma confuso a respeito
de onde o lado certo para iniciar a leitura, j que a primeira faixa que representa o valor do
resistor tambm pode ser marrom ou vermelha. Sendo assim, a exemplo do resistor de 4
listras coloridas, o melhor fazer observar a faixa que est mais prxima do extremo do
resistor. Esta ser a primeira faixa, por onde se deve iniciar a leitura. Outra dica verificar a
faixa que est mais afastada das outras. Esta a ltima faixa de cor.
A leitura nestes resistores semelhante dos resistores com 4 cores, mas
adicionada mais uma cor no incio, fazendo existir mais um algarismo significativo na
medio. Assim, os trs primeiros dgitos so os algarismos significativos, o que
confere maior preciso na leitura. O quarto o elemento multiplicador. O quinto dgito
a tolerncia e o sexto dgito (quando existir) far referncia ao coeficiente de
temperatura, ou seja, como a resistncia varia de acordo com a temperatura
ambiente.
Este ltimo valor dado em PPM (partes por milho).
Fonte: http://www.teletronica.kit.net/resistores.htm.
Existem ferramentas de computao aplicadas Eletrnica, como simuladores de
circuitos, clculos de componentes etc. A Figura 2.19 apresenta uma tela de sada de um
programa onde o usurio coloca como dados de entrada as cores das faixas do resistor (de
quatro faixas) e o programa retorna o seu valor nominal.
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33
Figura 2.19 Calculadora online para o clculo de resistores.
Fonte: http://www.eletrohoo.com.br/site/calculadoras.asp
LR - Leitura Recomendada:
Resistores SMD - Fonte: http://www.teletronica.kit.net/resistores.htm
medida que o tempo passa, menores so os equipamentos e, naturalmente, os
componentes internos tambm acompanham esta diminuio do tamanho. Hoje, dentro
desta filosofia, so encontrados facilmente resistores SMD nos aparelhos eletrnicos. Estes
resistores so soldados na superfcie da placa e, por serem muito pequenos, possuem
nmeros impressos no corpo, obedecendo mesma idia de contagem, porm com
nmeros ao invs de cores (veja a ilustrao abaixo).
As redes de resistores (vrios resistores dentro
de um mesmo encapsulamento) tambm
obedecem a esta metodologia.
Nota: SMD significa Surface-mounted devices,
ou seja, dispositivo montado sobre (ou rente) a
superfcie.
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34
EF Exerccio de Fixao
EF 2.1 Encontre o valor nominal e a tolerncia para os resistores com as seguintes faixas:
a) vermelho, vermelho, amarelo.
b) marrom, preto, laranja e prata.
c) verde, azul, marrom e ouro.
d) azul, cinza, vermelho e ouro.
A Tabela 2.1 mostra os valores comerciais para resistores.
Tabela 2.1 - Valores comerciais de resistores.
Nota: existem multiplicadores maiores, no indicados aqui.
Valores
base x 10 x 100 x 1000
10 100 1 k 1M
12 120 1k2 1M2
15 150 1k5 1M5
18 180 1k8 1M8
22 220 2k2 2M2
27 270 2k7 2M7
33 330 3k3 3M3
39 390 3k9 3M9
47 470 4k7 4M7
56 560 5k6 5M6
68 680 6k8 6M8
82 820 8k2 8M2
Para cada finalidade, prevendo-se o valor de corrente que o atravessa, deve-se
adotar um resistor de tamanho e potncia adequados, para sua correta aplicao em um
circuito.
Fundamentos de Circuitos Eltricos em corrente contnua (CC) para o Ensino Tcnico
35
O tamanho fsico de um resistor est diretamente ligado potncia que o mesmo
pode dissipar. Para minimizar os efeitos da dissipao de calor pelo resistor, pode-se fazer
uso de um dissipador de calor, como mostrado na Figura 2.20.
Figura 2.20 Resistores de tamanhos diferentes, com relao potncia. Fonte: http://www.feiradeciencias.com.br/sala15/15_03.asp
2.2.2 - Lei de Ohm
Por volta de 1800, Georg Simon Ohm, um fsico e matemtico alemo (1789-1854) pesquisou a
relao entre a tenso e a corrente em um simples circuito eltrico, como o da Figura 2.21, contendo
uma fonte CC, um resistor, um voltmetro e um ampermetro.
Figura 2.21 Circuito base utilizado por Georg Simon Ohm, por volta de 1800, de cuja anlise surgiu a Lei de Ohm. Fonte: http://nzip.rsnz.org/es/applets/ohmslaw_files/Image-ohm2.jpg
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36
O cientista Georg Simon Ohm descobriu que, num circuito em que a resistncia no
variava com a temperatura, quando ocorria um aumento na tenso aplicada, a corrente
variava em uma proporo direta, isto : a relao entre a tenso e a corrente era constante.
Em um condutor hmico ocorre uma variao linear entre V (tenso) e I (corrente
eltrica), conforme mostra o grfico da Figura 2.22. Ohm definiu uma constante de
proporcionalidade k de tal forma que, pela Equao (2.3):
Figura 2.22 Curva caracterstica tenso x
corrente (relao linear). A inclinao k a
resistncia R do circuito.
V = k.I (2.3)
A constante de proporcionalidade,
que representa a inclinao do grfico da
Figura 1.20, conhecida como resistncia, e
a Equao (1.3) Lei de Ohm reescrita
como:
I
VR (2.4)
2.2.3 - A Segunda Lei de Ohm
Para condutores em forma de fios (Figura 2.23) verifica-se, experimentalmente, que a
resistncia eltrica do condutor depende do comprimento do fio ( , em metros [m]), da rea
de sua seo transversal (A ou S, em m2) e do tipo de material que constitui o condutor
(parmetro resistividade, identificado pela letra grega r, ). Este ltimo parmetro
depende somente da temperatura do material do condutor.
A Figura 2.23 mostra graficamente os parmetros que afetam a resistncia eltrica
de um condutor (BOYLESTAD, 2002).
Figura 2.23 Um fragmento de um condutor e seus principais parmetros (BOYLESTAD,
2002).
A resistncia eltrica de um condutor como o da Figura 2.23 dada pela relao:
2m
mm
RS
(2.5)
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37
Considerando a influncia da temperatura, h uma equao muito usual que nos
permite encontrar a resistncia de um condutor em diferentes temperaturas, dada por:
20 201 . 20oR R t C
onde 20 o coeficiente de temperatura da resistncia a 200 C e R20 a resistncia
na temperatura de 200 C.
Como uma ilustrao, calculemos a resistncia de um fio de cobre de 1 k, em 200
C, na temperatura de 600 C, tendo como referncia os valores de a 200 C dados na Tabela
2.2 (BOYLESTAD, 2002).
Tabela 2.2.
Soluo:
20 201 . 20oR R t C
60 20 201 . 60 20
1000 1 0,00393. 60 20
1157,2 .
R R
Percebe-se que o cobre apresenta um
coeficiente de temperatura positivo
(caracterstica dos condutores de
eletricidade).
2.2.4 A Condutncia Eltrica, G
Assim como possvel definir a condutividade como sendo o inverso da
resistividade, tambm se define uma grandeza chamada condutncia eltrica (G), como
sendo o inverso da resistncia eltrica (R). Assim, G = 1/R.
A unidade de condutncia eltrica denominada siemens (S). Dessa forma tem-se
que 1 S = 1/ = -1.
2.2.5 Potncia e Energia Eltricas em Circuitos Resistivos
Uma razo importante para o clculo de potncia e energia num projeto de um
sistema eltrico o fato de que todos os dispositivos reais apresentam limitaes quanto
quantidade de potncia que so capazes de dissipar e, portanto, somente os clculos de
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38
tenso e corrente no so suficientes para garantir as suas corretas especificaes
(NILSSON, 1999).
Potncia a taxa de trabalho realizado ou o trabalho realizado por unidade de
tempo. Para a potncia eltrica, a sua unidade no Sistema Internacional o Watt [W] ou o
Joule [J] por segundo [s].
Matematicamente, a potncia dada por:
w dwp = [W]. Com w e t 0, p =
t dt
(2.6)
onde o operador dw/dt chamado de derivada do trabalho em relao ao tempo,
atravs do qual se consegue encontrar a potncia instantnea de uma funo w(t), j que a
derivada uma reta tangente a um ponto. Isto ser tratado mais adiante a outras grandezas
eltricas. Recordando as unidades de corrente e tenso vistas anteriormente,
coulomb
joulesV
J
C
e segundos
coulombsI
C
s
e fazendo o produto da tenso pela corrente (V x I), resulta na potncia eltrica, P,
dada por:
IVPcoulomb
joulesx
segundos
coulombs = [J/s] (2.7)
Trabalhando a Equao (2.7), pode-se, atravs da Lei de Ohm, obter:
P = R .I 2 (2.8)
R
VP
2
(2.9)
A Energia eltrica consumida ou produzida o produto da potncia eltrica de
entrada ou sada e o tempo durante o qual essa entrada ou sada ocorre (OMALLEY,
1993):
)segundos(tx)watts(P)joules(W (2.10)
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39
Em unidades eltricas, energia watt-segundo. Geralmente, mais conveniente
usar uma unidade maior de energia eltrica, portanto, adotado o kilowatt-hora, sendo:
1000
hora wattskWhhorakilowatt
(2.11)
2.2.5.1 Conveno de Sinais para a Potncia
Uma fonte de energia produz ou desenvolve energia, e uma carga absorve energia.
A potncia absorvida por um componente ou circuito eltrico dada por um sinal
positivo (P > 0), quando a seta de corrente est em direo ao terminal positivo da
referncia de tenso, conforme mostra a Figura 2.24, o que constitui um caso de referncias
associadas entre tenso e corrente (o termo conveno passiva de sinal tambm
utilizado). Exemplo: a corrente entrando em um resistor.
Figura 2.24 Modelo onde as referncias entre V e I so associadas (P > 0).
Se as referncias de tenso e corrente no
so associadas (a seta de corrente indica o
terminal negativo no bloco da Figura 2.24 ou
ento a corrente sai pelo terminal positivo), a
potncia tem sinal negativo, dado por P = - VI.
Se P negativo, o componente ou o circuito no interior do bloco produz potncia.
Ento o bloco constitui uma fonte de energia eltrica (OMALLEY, 1993), como p. ex. , uma
fonte de tenso DC.
Resumindo, o sinal algbrico da potncia eltrica interpretado da seguinte forma:
- Se P > 0, a potncia est sendo fornecida ao circuito ou componente;
- Se P < 0, a potncia est sendo recebida do circuito ou componente.
Exerccios de Fixao
EF 2.2 - Um estudante usou uma lmpada de 100 W durante 6 h de estudo. Se o custo
mdio da energia de R$ 0,15 / kWh (valor fictcio), calcule o custo da energia consumida
neste perodo.
Fundamentos de Circuitos Eltricos em corrente contnua (CC) para o Ensino Tcnico
40
EF 2.3 - Um eletrodomstico de 127 V que possui uma resistncia de 18 ohms operou por
uma hora e meia.
a) Qual foi a energia eltrica utilizada?
b) Qual seria a energia eltrica deste mesmo eletrodomstico operando no mesmo tempo,
mas em uma rede de 220 V?
EF 2.4 - Calcule a corrente em mA que um aquecedor de 55 W solicita de uma linha de
tenso CA de 110 V.
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41
Captulo 3
Circuitos Eltricos em
Corrente Contnua (CC)
O Circuito Srie. Associao em srie de Resistores. Potncia em um circuito srie. O circuito Paparelo. Associao em paralelo de resistores. Potncia em circuitos paralelo. O circuito misto. Circuitos divisor de tenso e de corrente.
Captulo 3 Circuitos Eltricos em Corrente Contnua (CC)
3.1 O Circuito Srie. Associao Srie de Resistores.
Dois ou mais resistores formam uma associao denominada de circuito srie,
quando ligados um aps o outro, como mostra a Figura 3.1. Um circuito srie possui como
caracterstica principal o fato de permitir somente um percurso para a passagem de corrente
eltrica.
(a) (b)
Figura 3.1 Associao srie de resistores. (a) Diagrama esquemtico. (b) Diagrama descritivo.
Quando alimentado pela fonte de tenso contnua E, o circuito srie da Figura 3.1
apresenta as seguintes propriedades:
1. a corrente em todos os resistores a mesma e igual quela fornecida pela fonte, isto :
Rn2R1R I...III
2. A somatria das tenses dos resistores igual tenso da fonte, ou seja:
Rn2R1R V...VVE
Aplicando-se a Lei de Ohm em cada resistor, temos:
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42
n21 RI...RIRIE (3.1)
Dividindo todos os membros da Equao (1.6) por I, obtm-se:
n21 R...RRI
E (3.2)
onde:
eqRI
E a resistncia equivalente da associao srie apresentada.
Logo, para uma associao em srie de n resistores, pode-se escrever:
n21eq R...RRR (3.3)
Exemplo 3.1 Um circuito srie de trs resistores possui resistncia total RT (Req) de 4k7
ohms. Se o primeiro resistor de 1 k e o segundo vale o triplo do primeiro,
encontre o valor do terceiro resistor.
Soluo: Aplicando a Equao (3.1) a esta associao, tem-se:
70040004700R
R300010004700RRRR
3
3321eq
Exemplo 3.2 Um potencimetro um
resistor varivel muito utilizado em circuitos
eletrnicos como divisor de tenso, controle
de sinal (por exemplo, o controle analgico
de volume em um aparelho de som).
Conforme mostra a Figura 1.25, consiste
basicamente de uma pelcula de carbono, ou
em um fio que percorrido por um cursor
mvel, onde, atravs de um sistema rotativo
ou deslizante, se altera o valor da resistncia
entre os seus terminais (CAPUANO, 1998).
Figura 3.2 - Aspecto de um Potencimetro.
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43
Um resistor de 2 k e um potencimetro de 220 k ajustado em 10 k esto
conectados em srie Figura 3.3. Calcule a tenso da fonte, necessria para fornecer a
esta associao uma corrente de 0,002 A.
Soluo:
Seja o esquema do circuito: Figura
3.3. Pela Lei de Ohm, V = RI, onde R = 2 k
+ 10 k (pelo ajuste do potencimetro
terminal C - e pela conexo utilizada).
Ento, V = 12 k . 2 mA = 24 V.
Figura 3.3 Uso do potencimetro.
3.1.1 Potncia Total em um Circuito Srie
Foi verificado que a Lei de Ohm pode ser usada para a determinao de valores
totais num circuito srie, bem como para partes separadas do circuito.
De forma anloga, a frmula para a potncia eltrica pode ser aplicada para valores
totais, conforme mostra a Equao (3.4):
TT VIP (3.4)
onde:
PT = potncia total [W];
I = corrente [A] e
VT = tenso total [V] (tenso aplicada aos resistores).
Assim, tomando como base o circuito genrico da Figura 3.1, a potncia total PT
produzida pela fonte num circuito srie tambm pode ser expressa como a soma das
potncias individuais usadas em cada parte do circuito.
)V...VV.(IVIP n21TT (3.5)
n21T P...PPP (3.6)
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44
3.2 O Circuito Paralelo. Associao Paralelo de Resistores.
Um circuito paralelo aquele onde dois ou mais componentes esto ligados
mesma fonte de tenso, conforme se v na Figura 3.4. A, vem-se trs resistores ligados
em paralelo entre si e com a bateria V.
Um componente no circuito tratado isoladamente forma um ramo. Os resistores R1,
R2 e R3 formam ramos no circuito, bem como a fonte de tenso V. Um percurso fechado
denominado de malha. Por exemplo, a fonte V e o resistor R1 formam um percurso fechado
(malha 1).
Figura 3.4 Um circuito paralelo com trs malhas.
Neste circuito, a corrente total da fonte, IT, a soma das correntes nos ramos 1, 2 e
3, ou seja:
321T IIII (3.7)
Aplicando a Lei de Ohm Equao (3.7) e sendo RT a resistncia total ou
equivalente do circuito da Figura 3.4, pode-se escrever:
321T R
V
R
V
R
V
R
V (3.8)
Simplificando a Equao (3.8), obtm-se facilmente:
321T R
1
R
1
R
1
R
1 (3.9)
A Equao (3.9) pode ser generalizada para n resistores conectados em paralelo:
n21T R
1...
R
1
R
1
R
1 (3.10)
Logo, pela Equao (3.10) encontra-se a resistncia total ou equivalente de um
circuito com n resistores ligados em paralelo. O fator 1 / RT a condutncia do circuito.
Fundamentos de Circuitos Eltricos em corrente contnua (CC) para o Ensino Tcnico
45
EF Exerccios de Fixao
EF 3.1 Obtenha a resistncia equivalente de dois resistores iguais a R conectados em
paralelo.
EF 3.2 No esquema da Figura 3.5, tem-se uma chave S em paralelo com o resistor R2.
Determinar os valores de R1 e de R2 , sabendo-se que RAD = 10 k quando a chave S est
fechada e que RAD = 14,7 k quando a chave S est aberta. Resp.: R1 = 10 k e R2 = 14,7
k..
Figura 3.5.
3.2.1 A Potncia em Circuitos Paralelo
A potncia dissipada em cada ramo em um circuito paralelo de n ramos Figura 3.6
- se origina da mesma fonte de tenso. Logo, a potncia total igual soma dos valores
individuais das potncias de cada ramo.
Figura 3.6 Um circuito paralelo de n ramos.
As potncias dissipadas no circuito da Figura 3.6 so:
P1 = V.I1 (3.11) P2 = V.I2 (3.12) Pn = V.In (3.13)
A potncia total PT fornecida pela fonte de tenso V dada por
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46
PT = V.IT (3.14)
onde IT = I1 + I2 + ... + In , que, na Equao (3.14), fornece:
PT = V.IT = V.(I1 + I2 + ... + In)= P1 + P2 + ... + Pn (3.15)
Em ambas as associaes, em srie e em paralelo, a soma dos valores individuais
da potncia dissipada no circuito igual potncia total gerada pela fonte de alimentao.
3.2.2 Os Circuitos Srie-Paralelo (Mistos)
Um circuito misto formado por associaes de circuitos srie e paralelo. Um
exemplo de circuito mostrado na Figura 3.7.
Figura 3.7 Um circuito Srie-Paralelo.
Para se obter os valores da corrente, da tenso e da resistncia neste tipo de
circuito, segue-se as regras que se aplicam a um circuito srie para a parte em srie do
circuito e segue-se as regras que se aplicam a um circuito paralelo para a parte em paralelo
do circuito.
A soluo de circuitos mistos fica simples se todos os grupos paralelo e srie forem
reduzidos primeiro a resistncias equivalentes nicas e se os circuitos forem redesenhados
na sua forma simplificada ou equivalente (GUSSOW, 1996).
Exemplo 3.3 Encontre para o circuito da Figura 3.7:
a) a resistncia equivalente do circuito, se todos os resistores so iguais a 1k .
b) a corrente que circula no resistor R1 , se a bateria Vi = 12 V.
Soluo:
Fundamentos de Circuitos Eltricos em corrente contnua (CC) para o Ensino Tcnico
47
a) Primeiro, encontra-se a resistncia R45 = (R4.R5)/( R4+R5) = 500 ohms.
Em seguida, soma-se R45 com R3 , e obtm-se R345 = 1,5 k.
A resistncia equivalente agora R1 em srie com a combinao em paralelo
de R2 e R345.
.k 6,15k1k 1
5k1k 1k 1
RR
RRRR
3452
3452
1eq
b) a corrente que circula por R1 a corrente total do circuito, dada por
.mA 5,76k1
12
R
VII
eq
iTi
3.3 Leis de Kirchhoff
3.3.1 Leis de Kirchhoff de Tenso (LKT) e de Corrente (LKC)
As leis de Kirchhoff, devidas ao fsico alemo Gustav Robert Kirchhoff constituem a
base do estudo de circuitos eltricos.
3.3.1.1 Lei de Kirchhoff das Tenses, LKT
A Lei de Kirchhoff das Tenses (LKT), ou Lei das Malhas, pode ser escrita como
(BARTKOWIAK, 1994), (GUSSOW, 1996):
a tenso aplicada a um circuito fechado igual soma das quedas de tenso
naquele circuito, isto :
Tenso aplicada = soma das quedas de tenso
ou, de outra maneira:
Tenso aplicada - soma das quedas de tenso = 0.
Fundamentos de Circuitos Eltricos em corrente contnua (CC) para o Ensino Tcnico
48
Escrita matematicamente, a LKT fica: .0V
Para o circuito da Figura 3.8, por
exemplo, onde temos trs resistores
conectados em srie, pode-se escrever, de
acordo com a LKT:
1 2 3AV V V V
onde V a tenso aplicada e V1, V2 e V3 so
as quedas de tenso ao longo do circuito
fechado.
Figura 3.8 Ilustrao da
frmula .0V
A equao 0V aplicada ao circuito da Figura 3.8, fornece:
1 2 3 0 0AV V V V V (3.16)
3.3.2 Lei de Kirchhoff das Correntes, LKC
Pela Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) a soma das correntes que entram em
um n deve ser igual soma das correntes que saem deste mesmo n.
O enunciado da LKC :
0I (3.17)
EF Exerccios de Fixao
EF 3.3 (NILSSON, 1999) Exemplo 2.8 Pg. 24.
Use as leis de Kirchhoff para determinar o valor de io no circuito da Figura 3.9 , sendo dados:
VA = 120 V, R1 = 10 ohms e R2 = 50 ohms.
Figura 3.9.
Fundamentos de Circuitos Eltricos em corrente contnua (CC) para o Ensino Tcnico
49
EF 3.4 Escrever a equao para a corrente I1
para o circuito da Figura 3.10 e calcule a
mesma, sendo dados:
VR2 = 10 V, R2 = 1k e I3 = 2 mA.
Figura 3.10.
EF 3.5 Um circuito formado por cinco resistncias idnticas ligadas em paralelo (R=10
k) atravs de uma fonte de tenso de 12 V. Calcule:
a) a corrente total fornecida pela fonte.
b) a corrente que passa em cada resistncia.
EF 3.6 Um receptor de rdio que funciona em 9V (Figura 3.11) est conectado a uma
fonte de 12 V atravs de uma resistncia R, consumindo 120 mA. Calcule:
Figura 3.11.
a) O valor de VR, utilizando a LKT.
b) a potncia dissipada em R e no
receptor de rdio.
EF 3.7 Para a rede de resistores da Figura 3.5, pede-se:
a) o resistor equivalente, RT, sendo
dados:
R1 = R2 = R3 = R4 = 1 k.
b) a corrente total, IT.
Figura 3.12.
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50
3.4 Circuitos Divisor de Tenso e de Corrente
3.4.1 Regra do Divisor de tenso
Seja o circuito da Figura 3.13, que mostra um circuito srie genrico com n
resistores. Para se obter o valor da tenso no resistor Rx, qual seria o procedimento?
Figura 3.13 Circuito srie genrico.
A equao de malha do circuito dada por:
IR...IRIRIRE nx21 (3.18)
A corrente do circuito dada por I = E/Req ou I = VT/RT.
Para se encontrar a tenso Vx , aplica-se Vx = Rx .I, resultando na Equao (3.19):
T
T
XX V
R
RV (3.19)
onde:
Vx = tenso no resistor Rx , no qual se quer calcular a queda de tenso, V;
RT = Req = resistncia total ou equivalente da associao srie, ;
VT ( = E volts para o circuito da Figura 3.13) = tenso da fonte aplicada associao
srie de resistores.
A Regra do Divisor de Tenso pode ento ser enunciada da seguinte forma: num
circuito srie, cada resistncia produz uma queda de tenso V igual sua parte proporcional
da tenso aplicada (GUSSOW, 1996).
Fundamentos de Circuitos Eltricos em corrente contnua (CC) para o Ensino Tcnico
51
3.4.2 Divisor de corrente
O caso especial de dois resistores em paralelo nos leva regra do divisor de
corrente. Na Figura 3.14, a corrente total que entra na combinao do paralelo de R1 e R2 se
divide respectivamente nas correntes I1 e I2, sendo:
1
1R
VI e
2
2R
VI .
Figura 3.14 Divisor de corrente.
Sabendo-se que a tenso V igual a RT.IT, onde RT a resistncia equivalente de R1
e R2 em paralelo, tem-se:
21
21TTT
RR
RRIIRV
(3.20)
Se a expresso de V for substituda nas expresses de I1 e I2, encontra-se:
21
2T1
121
21T1
RR
RII
R
1
RR
RRII
(3.21)
21
1T2
221
21T2
RR
RII
R
1
RR
RRII
(3.22)
As Equaes (3.21) e (3.22) so enunciadas matematicamente pela regra do Divisor
de Corrente, descrita da seguinte forma:
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52
Regra do Divisor de Corrente: Para dois resistores em paralelo, a corrente em
cada resistor a corrente total multiplicada pela razo entre o resistor oposto e a soma dos
dois resistores.
EF Exerccios de Fixao
EF 3.8 Para o circuito da Figura 3.15, pede-se calcular:
a) As quedas de tenso VL1 e VL2, utilizando o mtodo do divisor de tenso.
b) O consumo de potncia de cada lmpada em W.
c) A corrente indicada pelo ampermetro, em A.
Figura 3.15.
EF 3.9 Um circuito com dois resistores em paralelo apresenta
R2 = 3 R1 . Usando a regra do divisor de corrente, encontre a
razo I1 / I2 .
EF 3.10 Determinar a variao de tenso entre os pontos C e
A do circuito da Figura 3.16, atravs do mtodo do divisor de
tenso.
Figura 3.16.
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53
3.5 Transformaes de Fontes
Muitas vezes possvel utilizar transformaes de fonte para obter o circuito
equivalente de Thvenin ou de Norton2.
A tcnica de transformao de
fontes mais recomendada para
circuitos que contenham apenas
fontes independentes, j que a
presena de fontes dependentes
significa que deve-se preservar a
identidade das tenses e/ou correntes
de controle, o que quase sempre
impede a reduo do circuito.
Figura 3.17 Dualidade entre fontes de tenso
(a) e de corrente (b).
A Figura 3.17 mostra a reciprocidade ou a dualidade entre uma fonte de tenso e
uma fonte de corrente.
A demonstrao desta dualidade bastante simples. Supondo uma carga RL
conectada aos ns A e B do circuito da Figura 3.17a, teramos uma corrente de carga dada
por:
L
LRR
VI
(3.23)
Supondo, agora, o mesmo resistor RL conectado aos ns A e B do circuito da Figura
3.17b (Fonte de Corrente), teramos, pela regra do divisor de corrente,
L
LRR
R.II
(3.24)
Para que os circuitos de fonte de tenso e de fonte de corrente sejam equivalentes, IL
dever ser a mesma para ambos, i.e.,
LRR
V
LRR
R.I
. Da, I = V / R.
2 Os circuitos citados vem dos Teoremas de mesmo nome, que sero estudados posteriormente. Tais teoremas
permitem a simplificao de redes complexas, reduzindo-as a um circuito de uma s malha.
Fundamentos de Circuitos Eltricos em corrente contnua (CC) para o Ensino Tcnico
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Nota: a polaridade de V sendo invertida, inve
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