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INDICEUNIDADE 1 - CIRCUITOS CONCENTRADOS E LEIS DE KIRCCHOFF - ............................................... 3
1.1. Circuitos Concentrados ..................................................................................................... 3
1.2. Elementos Concentrados .................................................................................................. 3
1.3. Sentido de referncia ......................................................................................................... 4
1.3.1. Sentido de referncia para tenso de brao ............................................................... 4
1.3.2. Sentido de referncia para corrente de brao ............................................................ 5
1.3.3. Sentido de referncia associado ................................................................................. 5
1.4. Corrente Eltrica e Tenso ............................................................................................. 6
1.5. Leis de Kircchoff ................................................................................................................. 7
1.5.1 Leis das Correntes de Kircchoff .................................................................................... 71.5.2 Leis das Tenses de Kircchoff ....................................................................................... 8
UNIDADE 2ELEMENTOS DE CIRCUITOS - ................................................................................. 14
2.1. Resistores ......................................................................................................................... 14
2.2. Fontes Independentes de tenso e corrente ................................................................... 16
2.3. Equivalente Thevenin e Norton........................................................................................ 18
2.4. Diviso de corrente .......................................................................................................... 18
2.5. Diviso de tenso ............................................................................................................. 20
2.6. Ligao Y - (estrelatringulo) ..................................................................................... 23
2.7. Formas de ondas tpicas ................................................................................................... 27
2.8. Capacitores ....................................................................................................................... 32
2.9. Indutores .......................................................................................................................... 35
2.10. Potncia e Energia .......................................................................................................... 41
2.11. Componentes fsicos x elementos de circuitos .............................................................. 45
UNIDADE 3CIRCUITOS SIMPLES - ............................................................................................. 48
3.1. Ligao srie de elementos .............................................................................................. 48
3.2. Ligao paralela de elementos ......................................................................................... 53
UNIDADE 4 - CIRCUITOS LINEARES INVARIANTES NO TEMPO - .................................................. 63
4.1. Definies e propriedades dos circuitos .......................................................................... 63
4.2. Anlise nodal .................................................................................................................... 63
4.3. Anlise nodal com fontes de tenso ou fontes dependentes no circuito........................ 66
4.4. Anlise por malhas ........................................................................................................... 69
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UNIDADE 5 - TEOREMA DE REDES - ............................................................................................ 74
5.1. Teorema de Thevenin....................................................................................................... 74
5.2. Teorema de Norton .......................................................................................................... 76
5.3. Teorema da superposio ................................................................................................ 77
5.4. Teorema da mxima transferncia de potncia .............................................................. 80
UNIDADE 6 - CIRCUITOS DE 1 ORDEM.................................................................................... 85
6.1. Circuito Linear Invariante no Tempo de Primeira Ordem ............................................... 85
6.1.1. Resposta a excitao zero ......................................................................................... 85
6.1.2. Resposta ao estado zero ........................................................................................... 91
6.1.3. Resposta completa: Transitrio + Regime permanente............................................ 97
6.1.4. Resposta ao Degrau Unitrio .................................................................................... 98UNIDADE 7 - CIRCUITOS DE 2 ORDEM.................................................................................. 104
7.1. Resposta a Excitao Zero ............................................................................................. 104
7.1.1. Circuito RLC paralelo ............................................................................................... 104
7.1.2. Circuito RLC srie ..................................................................................................... 111
7.2. Resposta ao Estado Zero ............................................................................................... 114
7.2.1. Excitao por fonte de corrente constante ............................................................. 114
7.2.2. Excitao por fonte de tenso constante ................................................................ 116
7.3. Resposta Completa ........................................................................................................ 117
UNIDADE 8 - APLICAO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE .................................................... 120
9. AULAS PRTICAS ............................................................................................................... 122
9.1 1 AULA PRTICACIRCUITOS I ................................................................................ 122
9.2 2 AULA PRTICACIRCUITOS I ............................................................................... 129
10. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................... 132
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UNIDADE 1 - CIRCUITOS CONCENTRADOS E LEIS DE KIRCCHOFF -
1.1. Circuitos Concentrados
qualquer ligao de elemento concentrado, de tal forma que as dimenses sejam
pequenas comparadas com o comprimento de onda da mais alta freqncia de interesse. Se
esta relao existir, so vlidas as leis de Kircchoff.
EXEMPLO
a) Circuito de udio
b) Circuitos de computador
- No um circuito concentrado-
1.2. Elementos Concentrados
A corrente eltrica circula atravs de um elemento e a diferena de potencial
entre os terminais do mesmo bem definida. A partir destas consideraes, obtemos
um elemento concentrado.
quantidades bem definidas Principais elementos concentrados
Com dois terminais:
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Com mais de dois terminais:
1.3. Sentido de referncia
1.3.1. Sentido de referncia para tenso de brao
Dada a polaridade da tenso, por conveno, a tenso de brao num instante t positiva sempre que o potencial eltrico no ponto A for maior que o potencial no
ponto B, sendo medidas no mesmo plano de referncia.
DEFINIES
Brao - Elemento concentrado de dois terminais; NsSo os terminais dos braos; Tenso de braoTenso entre ns; Corrente de braoCorrente que flui entre os braos
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1.3.2. Sentido de referncia para corrente de brao
Dado o sentido de referncia para a corrente de brao, por conveno, ela
positiva num instante t, sempre que um fluxo de cargas eltricas entrar num terminal(+) e sair num (-).
1.3.3. Sentido de referncia associado
Se uma corrente i positiva (+) entrar no terminal positivo e sair no terminal
negativo (-), a potncia entregue ao circuito POSITIVA.
*P(+), P(-)
P(+), *P(-)
EXEMPLO:
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1.4. Corrente Eltrica e Tenso
Corrente eltricaA proporo bsica de um circuito a de mover ou transferir cargas de um
percurso fechado especfico. Este movimento de cargas a corrente eltrica denotada
pelas letras:
Formalmente a corrente a taxa de variao de carga no tempo
Tenso eltricaAs cargas em um condutor podem mover-se aleatoriamente, entretanto, se
quisermos um movimento orientado, como no caso da i, devemos aplicar uma f.e.m.
Portanto, um trabalho foi realizado sobre as cargas. Definimos a tenso sobre um
elemento como o trabalho realizado para mover uma quantidade de carga atravs dos
terminais de um elemento.
EXEMPLO:
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1.5. Leis de Kircchoff
1.5.1 Leis das Correntes de Kircchoff
Para qualquer circuito concentrado, para qualquer de seus ns, em qualquer
instante de tempo, a soma algbrica de todas as correntes de brao que chegam a um
n e saem desse n zero.
Conveno
Corrente chegando no n
negativa (-)
Corrente saindo do n positiva (+)
EXEMPLO:
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1.5.2 Leis das Tenses de Kircchoff
Para qualquer circuito eltrico concentrado, para qualquer um de seus
percursos fechados, em qualquer instante de tempo, a soma algbrica das tenses de
brao ao redor de qualquer malha fechada zero.
OBS.:
1) Percurso fechado - o caminho percorrido a partir de um n passando poroutros ns e voltando ao mesmo n inicial.
2) Malha Fechada um percurso fechado que no contm braos no seuinterior.
NOTAS
A LCK, impe uma dependncia linear entre as correntes de brao e as equaes solineares e homogneas;
A LCK, se aplica a qualquer circuito eltrico concentrado, isto , independe da naturezado elemento;
A LCK expressa a conservao da carga em todos os ns. No h nem acmulo nemperda de carga.
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EXEMPLO
Usa-se o sentido horrio para percorrer o percurso fechado
EXEMPLOS
1) Algumas das correntes de brao do circuito abaixo so conhecidas, taiscomo: . possvel determinar todas ascorrentes de brao restantes?
NOTAS
A LTK, impe uma dependncia linear entre as tenses de brao de uma malha; A LTK, se aplica a qualquer circuito eltrico concentrado, no importando se os
elementos do circuitos so lineares, no-lineares, ativas, passivos, etc...
A LTK independente da natureza dos elementos.
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2) Suponhamos que no exemplo 1, ns empregamos sentido de referncia
associado para a tenso e corrente de brao, com as seguintes tenses: . possvel determinar as demais tenses de brao?
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Como no podem ser calculados, impossvel de se resolver pois o nmero deincgnitas maior que o nmero de variveis.
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EXERCCIOS
1) No circuito abaixo usando os sentidos de referncia associados para as direesde referncia das variveis de brao
a) Aplicar a LCK aos ns 1, 2, 3 e 4. Demonstre que a LCK aplicada ao n 4 uma conseqncia das outras 3 equaes.
b) Escreva a LTK para as 3 malhas do circuito. Escreva a LTK para os percursosfechados; afe, abdf, acde, bcfe. Demonstre que estas equaes so
conseqncia das 3 equaes de malhas.
2) Calcule
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3) Dado o circuito onde
. Determine as outras tenses de brao possveis.
4) Com o mesmo circuito anterior, onde . Determine as outras correntes de brao possveis.
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UNIDADE 2ELEMENTOS DE CIRCUITOS -
2.1. Resistores
Um elemento com dois terminais, que possuem resistncia, chamado de resistor e
se, a qualquer tempo a sua tenso e sua corrente satisfazem uma relao definidacomo uma curva no plano . Alm disso, necessrio que exista uma relao entre acorrente instantnea e a tenso instantnea.
Smbolo:
Classificao:o Linear: resistoro No linear: diodo, mosfet, etc.o No varivel no tempo
Em circuitos I, vamos estudar apenas os resistores lineares e invariantes no tempo.
Resistor invarivel no tempo e linear: um elemento com dois terminais cujacaracterstica uma reta passando pela origem no plano .
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Unidades:o
o o o
Casos particulares:a) Circuito aberto: chamado o elemento de dois terminais que a qualquer valor de tenso nos seus
terminais (tenso de brao), e corrente (corrente de brao) igual a zero.
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b) Curto circuito: chamado o elemento de dois terminais que a qualquer valor de corrente (corrente
de brao), sua tenso (tenso de brao) igual a zero.
2.2. Fontes Independentes de tenso e corrente
a) Fonte de tenso:
Um elemento de dois terminais chamado de fonte de tenso ideal ou independente,
se ele mantm uma tenso especificada nos terminais do circuito ao qual est ligado,independente da corrente atravs do circuito (carga).
Potncia (+): absorvida
Potncia (-): fornecida
conveniente usar direes de referncia para a tenso e a corrente de uma fonteindependente.
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OBS.:A fonte de tenso real pode ficar em circuito aberto, mas no em curto, pois a corrente
vai a .
b) Fonte de corrente: o elemento de dois terminais que mantm uma corrente especificada em seus
terminais, independente da tenso aplicada.
OBS.:A fonte de corrente pode ficar em curto circuito, mas no pode ficar em circuito aberto,
pois sua tenso vai a .
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2.3. Equivalente Thevenin e Norton
Equivalente Thevenin fonte de tenso Equivalente Norton fonte de corrente
A equivalncia s vlida nos terminais, ou seja, produz a mesma tenso e correntenos terminais. As potncias envolvidas no interior do circuito no so equivalentes.
A relao entre os equivalentes Thevenin e Norton dada por: 2.4. Diviso de corrente
Seja o circuito com dois terminais abaixo:
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Aplicando:Lei das Correntes de Kircchoff (LCK):
Lei das Tenses de Kircchoff (LTK):
Pela Lei de Ohm:
Resolvendo para V:
Logo:
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Circuito com resistores em paralelo:
2.5. Diviso de tensoSeja o circuito abaixo:
Aplicando:LTK:
LCK:
Pela Lei de Ohm:
Resolvendo para I:
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Logo:
Para um circuito com
resistores em srie:
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Exerccios:
1) Calcule a vista pela fonte e encontre :
2) Uma carga requer e absorve . Se apenas uma fonte de est disponvel,calcule o valor da resistncia a ser colocada em paralelo com a carga.
3) Calcule a vista pela fonte e calcule .
4) Encontre os valores de
.
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5) Calcule e a potncia entregue pela fonte.
6) Calcule
e a potncia entregue pela fonte.
2.6. Ligao Y - (estrelatringulo)
OBS.: Para esta relao ser vlida, necessrio que seja respeitada a posio dos resistores no
circuito, caso contrrio, a transformao no valer.
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a) Transformao de Y -:
Quando temos o circuito em estrela (Y) e necessitamos transformar para tringulo (),
usamos as seguintes relaes de resistncias:
b) Transformao de - Y:Quando temos o circuito em tringulo (), e necessitamos t ransformar para estrela (Y)
usamos as seguintes relaes de resistncias:
Dica: Para facilitar a transformao e a localizao dos resistores corretamente,desenha-se o Y dentro do , assim possvel ter uma visualizao exata da posio dos
resistores.
Exerccios:
1) Determinar a resistncia equivalente entre
.
a)
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b)
c)
d)
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2) Quando , a potncia ser de . Determine e o valor de .
3) Determine as correntes indicadas:
4) Calcule
:
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5) Calcule :
6) Calcule aplicando as LTK e LCK:
2.7. Formas de ondas tpicas
a) Constante: , para qualquer tempo .
b) Funo seno (ou cosseno):
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Onde:
c) Funo degrau unitrio: definida como:
d) Funo degrau unitrio defasado:
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e) Funo de pulso:
OBS.: a rea de um pulso sempre . para todo .
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f) Funo impulso unitrio:
Relao entre (t) e u(t):
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g) Funo rampa unitria:
Relao entre
e
Exerccios:
a) Faa os seguintes grficos:a) b) c) d)
e)
f) g) h) i) j) k) l)
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2.8. Capacitores
Um elemento de dois terminais chamado capacitor se, a qualquer instante de
sua
carga e sua tenso satisfazem uma relao definida por uma curva Esta curva chamada de curva caracterstica do capacitor.
Smbolo:
Classificao:o Linearo No linear: capacitncia em MOSFETs, diodos, etc.o Varivel com o tempoo Invariante no tempo
Capacitores lineares e invariveis no tempo:
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Unidades:
Parmetros:a) Carga no capacitor: b) Corrente no capacitor:
c) Tenso no capacitor:
Caractersticas do capacitor:a) Se a tenso num capacitor no variar com o tempo, ento a corrente nele ser
nula.
Como a tenso no varia com o tempo a derivada em relao ao tempo ser nula:
Obs.:Um capacitor um circuito aberto para corrente contnua.
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Ex.: Capacitor carregado .
b) Um capacitor pode armazenar energia, mesmo quando a corrente atravs deleseja nula.
Ex.:Capacitor carregado com tenso constante.
c) impossvel alterar instantaneamente a tenso nos terminais de um capacitor,pois a corrente tenderia ao infinito.
Temos que:
Se alterarmos a tenso, instantaneamente, temos:
d) Os capacitores nunca dissipam energia ativa, apenas armazenam energia em seu
campo eltrico.
e) Um capacitor carregado equivalente a ligao srie de um capacitordescarregado em
e uma fonte constante
.
a condio inicial de tenso no capacitor em .
a tenso no capacitor se, em .
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2.9. Indutores
Smbolo:
Comparao do indutor com o capacitor:
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Parmetros:
Classificao:
Linear
No linear
Invariante no tempo
Varivel no tempo
A grande maioria dos indutores so no lineares, mas, dependendo da aplicao,
podemos aproximar a curva BxH por uma reta. Ento, se o indutor for projetado para trabalhar
nesta regio, teremos um indutor linear.
Obs.:Se no h variao de corrente, a tenso nos terminais do indutor zero.
No variando , zero, portanto .
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Obs.:Um indutor, para corrente contnua um curto circuito.
a) Energia armazenada:
b) Quando a chave aberta, a corrente I0cai a zero num tempo muito curto, fazendocom que haja uma sobre tenso na chave.
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Exerccios:
1) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da tenso nos seguintes casos:
2) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da corrente no capacitor nosseguintes casos:
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3) Assumir que a forma de onda da corrente no capacitor a seguinte, calcule e esboce aforma de onda da tenso:
4) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da tenso no indutor para osseguintes casos:
5) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da corrente no indutor para osseguintes casos:
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6) Seja o circuito abaixo, calcular e esboar a forma de onda de na fonte decorrente.
7) Seja o circuito abaixo, calcule
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8) A corrente no capacitor dada pela forma de onda abaixo e percorre o capacitor com
. Calcular e esboar a forma de onda de
para
e a potncia
instantnea e mdia entregue pela fonte.
2.10. Potncia e Energia
no armazena energia, mas dissipa. armazena energia em seu campo eltrico.
armazena energia em seu campo magntico.
Corrente que entra igual a corrente que sai.
a) Potncia instantnea: b) Energia: a integral da potncia instantnea a partir de at .
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c) Potncia mdia e ativa:
Obs.: A expresso s vlida para corrente cotnua. Para correntealternada, a potncia mdia em um resistor, por exemplo, dado por Desenvolvendo:
=
Indutor:
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Obs.:Num sistema peridico, portanto .Obs.:O capacitor tem um comportamento igual ao do indutor.
Exerccios:
1) Seja o seguinte circuito:
Esboce a tenso, potncia instantnea e mdia para:
c)
d)
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2) Calcular e esboar a forma de onda de cada elemento abaixo, a tenso dadapor:
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2.11. Componentes fsicos x elementos de circuitos
Elementos de circuitos (Modelos de circuitos): Estes modelos so indispensveis na anlise
e sntese de circuitos fsicos.
a) Faixa de operao:Qualquer elemento ou componente fsico especificado pela faixade operao, como:
Ex.: Um resistor de , , pode ter circulando no mximo a seguinte corrente:
Ento, a tenso mxima aplicada dever ser:
b) Efeito da temperatura: Diodos, mosfets, resistores, capacitores, entre outros, sosensveis temperatura. Esta variao de temperatura acarreta na variao dos
parmetros dos dispositivos.
c) Efeito parasita:
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Nos transformadores, alm da resistncia do fio, existe uma indutncia de disperso.
d) Valores tpicos dos componentes fsicos: Resistores: , valores mltiplos de: Capacitores: . Indutores: .
Exerccios:
1) Seja o circuito abaixo:
Esboar a tenso, potncia instantnea e mdia em cada elemento, nos seguintes
casos:
c)
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d)
2) Repetir o exerccio anterior para o seguinte circuito:
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UNIDADE 3CIRCUITOS SIMPLES -
3.1. Ligao srie de elementos
a) Resistores
LTK:
LCK:
Obs.: so percorridos pela mesma corrente.
Caracterstica da curva :
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b) Fontes de tenso:Considerando fontes de tenso em srie:
LTK:
LCK: Todas as fontes de tenso so percorridas pela mesma corrente.
c) Fontes de corrente:Considerando n fontes de corrente em srie:
LTK:
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Para no violar a LCK, esta ligao s possvel se as fontes de correntes forem iguais.
d) Capacitores:Considerando n capacitores ligados em srie:
LTK:
LCK:
Obs.: Todos os capacitores so percorridos pela mesma corrente.
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e) Indutores:Considerando n indutores em srie:
LTK:
LCK:
Obs.: Todos os indutores so percorridos pela mesma corrente.
f) Resistor e fonte de tenso:
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LTK:
Equao Caracterstica
Se so conhecidos, a equao relaciona tenso e corrente.
Para:
g) Resistor e diodo:
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Para:
3.2. Ligao paralela de elementos
a) Resistores:
LCK:
LTK:
Como
so submetidos mesma tenso, temos:
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Para resistores:
Obs.: A sempre menor do que a menor das resistncias ligadas em paralelo.
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b) Fontes de corrente:
LCK:
LTK:
Obs.:Todas as fontes esto submetidas a mesma .
c) Fontes de tenso:
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LCK:
LTK:
Obs.: Para a ligao das fontes de tenso em paralelo todas as fontes devem ser iguais.
Princpio de paralelismo de transformadores: no secundrio.d) Indutores:
LCK:
LTK:
Todos os indutores esto submetidos a mesma tenso, ento temos:
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e) Capacitores:
LCK:
LTK:
Todos os capacitores esto submetidos ao mesmo potencial, ento temos:
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f) Resistor e fonte de corrente:
LTK:
LCK:
Para:
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g) Resistor e diodo:
Para:
h) Resistor, diodo e fontes de corrente:
Se:
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Se:
Obs.: Caso singular:
Concluses:
1) Para ligao de elementos em srie, a corrente a mesma em todos os elementos e atenso a soma algbrica das tenses em cada elemento.
2) Numa ligao de elementos em paralelo, vlido o princpio da dualidade, aplicadono item 1.
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Exerccios:
1) Determine as resistncias equivalentes e a corrente em cada resistor.
2) Determine :a)
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b)
3) Para os circuitos abaixo:
a) Determine a caracterstica nos pontos .b) Descrever a caracterstica no plano .c) Obter o equivalente Thevenin.d) Obter o equivalente Norton.
4) Descrever analtica e graficamente a caracterstica do circuito abaixo:
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UNIDADE 4 - CIRCUITOS LINEARES INVARIANTES NO TEMPO -
4.1. Definies e propriedades dos circuitos
Componentes: podem ser: Lineares
No lineares
Variantes no tempo
Invariantes no tempo.
Circuitos com:
Componentes lineares circuitos lineares
Componentes lineares invariantes circuitos lineares e invariantes no tempo.
4.2. Anlise nodal
Nesta seo consideremos mtodos de anlise de circuitos nos quais as tenses so
incgnitas.
Temos:
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Passos para a anlise nodal:
a. Contar o nmero de nsPela LTK o somatrio das tenses em qualquer percurso fechado zero. A LTK
obriga uma dependncia linear entre as tenses de brao.
b. Escolher uma referncia (nesse caso, )Como o foi adotado como referncia ,temos:
Em geral, escolhemos um n como referncia e chamamos as tenses dos outros ns
em relao a esta referncia.
Conclumos que em um circuito com ns, teremos equaes e incgnitas.Exemplos:
1)
Pela LCK:
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Logo:
2)
Logo:
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Obs.: Para circuitos que no tenham fontes de tenso ou fontes dependentes, o determinante
pode ser escrito como forma de matriz, e definido como matriz de condutncia do circuito.
Caractersticas da matriz condutncia:
simtrica em relao diagonal principal quando no circuito s tiver fontes decorrente.
Os elementos da diagonal so positivos e os outros negativos.
4.3. Anlise nodal com fontes de tenso ou fontes dependentes no circuito
Evitamos o uso do ramo com fonte de tenso, tratando os ns 2 e 3 como super n.
Super n: Como o somatrio das correntes que chegam no n 2 e 3 so zero, quando
tratarmos de corrente, o n 2 e 3 ser um super n.
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LCK:
Logo:
Equao do super n: como temos trs incgnitas e dois ns (duas equaes so
obtidas pela LCK), temos que obter mais uma equao para termos o nmero de equaes
igual ao nmero de incgnitas.
Procedimentos prticos para a anlise nodal:
a) Fazer um diagrama claro e simples do circuito, indicando todos os valores das fontes eelementos.
b) Se o circuito possuir n ns, escolher um como referncia e escrever as tenses dos ns em ralao a referncia.c) Se o circuito possuir somente fontes de corrente, aplique a LCK e forme a matriz
condutncia.d) Se o circuito possuir fontes de tenso, substitua-a por um curto circuito criando um
super n.
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Exerccios:
1) Encontrar as tenses nos ns
2) No circuito abaixo, usar anlise nodal para determinar
3) Substituir a fonte de
por uma fonte de corrente dependente com seta para cima
com valor de , onde ib a corrente dirigida para baixo na condutncia de Determine 4) Substituir a fonte de por uma fonte de tenso de com referncia positiva
dirigida para cima. Determine
5) Substituir a fonte de
por uma fonte de tenso dependente, referncia positiva
dirigida para baixo e definida como Determine
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4.4. Anlise por malhas
S possvel se o circuito for uma superfcie plana.
Somente malhas, no percursos fechados.
n malhas, n equaes
Corrente de malha no sentido horrio.
Na malha que estamos trabalhando, a corrente positiva em relao s outras.
Exemplos:
1)
LTK:
Logo:
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2)
3)
Como criamos uma super malha, temos 3 incgnitas e somente 2 equaes. Para
conseguirmos a terceira equao, teremos que conseguir atravs da fonte de corrente.
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4)
5)
6) Use a anlise de malhas para determinar
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7) Use anlise de malhas para determinar
8) Use anlise de malhas para determinar
9) Use anlise de malhas para determinar
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Procedimentos prticos para anlise de malhas:
a) S aplicada a uma rede de circuito planar.b) Atribuir uma corrente a cada malha, arbitrando sentido horrio, aplicando a LTK.c) Emprega-se valores de resistncia ao invs de condutncia.d) Se o circuito tiver apenas fonte de tenso, a matriz resultante (matriz resistncia)
simtrica em relao diagonal principal, sendo a diagonal principal positiva e o restodos elementos negativos.
e) Se o circuito houver fontes de corrente:1) Fonte de corrente em paralelo com resistor, aplicar equivalente Thevenin.2) Fonte de corrente em srie com resistor, substituir por um circuito aberto.
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UNIDADE 5 - TEOREMA DE REDES -
5.1. Teorema de Thevenin
Estabelece que uma rede linear ativa com qualquer nmero de fontes pode ser
substituda em parte ou totalmente por uma nica fonte de tenso em srie com uma
resistncia de Thevenin, onde a tenso em circuito aberto e a aresistncia equivalente vista pelos terminais , com todas as fontes internas do circuitozeradas.
Obs.:As fontes de tenso so substitudas por um curto circuito.
Exemplo: Encontre o equivalente Thevenin do circuito abaixo:
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Primeiramente, substitumos a fonte de tenso por um curto circuito. Depois calculamos o
Atravs da anlise por malhas podemos achar o valor de
Ento:
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5.2. Teorema de Norton
Estabelece que uma rede linear ativa com qualquer nmero de fontes pode ser
substituda em parte ou totalmente por uma nica fonte de corrente em paralelo com uma
resistncia de Norton, onde a fonte de corrente a corrente nos terminais em curtocircuito e
a resistncia vista pelos terminais
com todas as fontes zeradas.
Obs.:As fontes de corrente so substitudas por um circuito aberto.
Exemplo: Encontre o equivalente Norton do circuito abaixo:
Curto circuitando os terminais , temos a resistncia equivalente
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Com isso, podemos calcular o
5.3. Teorema da superposio
Para redes lineares vlido o princpio da superposio, que estabelece: A resposta de
I ou V em qualquer trecho de um circuito linear que possui mais de uma fonte independente
de corrente ou tenso, ou ainda, de ambos os tipos, pode ser obtida somando-se
algebricamente as respostas nesses ramos produzidas pela ao de cada uma das fontes
atuando isoladamente, isto , estando as demais fontes zeradas.
Obs.:Cuidar as polaridades das fontes de tenso e de corrente.
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Exemplo 3:
1) Para fonte de a fonte de um curto e a de um circuito aberto.
Logo:
2) Para a fonte de a fonte de um curto e a de um circuitoaberto.
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Logo:
3) Para a fonte de a fonte de e so um curto circuito.
Temos ento:
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5.4. Teorema da mxima transferncia de potncia
Um teorema muito til sobre a potncia pode ser desenvolvido com referncia a uma
fonte de tenso ou corrente.
A potncia fornecida para :
Sendo:
Portanto:
Para obter a mxima transferncia de potncia, faz-se:
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Para verificar se a funo de mximo ou de mnimo:
Portanto:
Exerccios:
1) Encontre o equivalente Thevenin e Norton dos seguintes circuitos:a)
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b)
c)
d)
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e)
2) Determine
aplicando anlise nodal:
3) Determine a corrente em todos os elementos, empregando anlise nodal:
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4) Determine Ix usando:a) Anlise nodal.b) Anlise de malhas.
5) Determine empregando o princpio da superposio e a potncia gerada pelasfontes.
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UNIDADE 6 - CIRCUITOS DE 1 ORDEM
6.1. Circuito Linear Invariante no Tempo de Primeira Ordem
Estudaremos nesta unidade o comportamento de certa grandeza no circuito. Esta
poder ser tenso, corrente ou a combinao das duas. Alm disso, os circuitos de primeira
ordem so caracterizados por possurem apenas um elemento capaz de armazenar energia,
podendo ser a carga num capacitor ou fluxo de corrente num indutor. Isto ir resultar, em
uma equao diferencial de primeira ordem com os coeficientes constantes, j que est sendo
considerados circuitos lineares invariantes no tempo.A resposta destas grandezas no circuito
ser devido a:
Fontes independentes, que so as entradas ou excitaes; Condies iniciais do circuito.
6.1.1. Resposta a excitao zero
Ocorrer num circuito que no possui entradas ou excitaes. O comportamento de tal
circuito ser funo somente das condies iniciais, ou seja, a energia armazenada no circuito
no instante de tempo t=0.Estudaremos ento dois circuitos de primeira ordem:
Circuito RC Circuito RL
6.1.1.1. Circuito RC (Resistor- Capacitor)
Figura 6.1- Circuito RC
Para t
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Durante este processo a energia no capacitor ser dissipada no resistor na forma de
calor.
Analisando o circuito para t 0:
Figura 6.2- Circuito RC para t 0
LTK: LCK: As duas equaes de braos dos dois elementos sero:
Capacitor
Quando Vc(t) 0 Resistor
Temos, portanto, quatro equaes para quatro incgnitas. Supondo que queiramos a
tenso no capacitor como resposta:
A expresso das correntes ser:
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Observando a equao das correntes chegamos podemos observar que esta ser uma
equao diferencial, linear, de primeira ordem, homognea, com os coeficientes constantes.
Ento chegamos que a soluo para a equao das correntes dada pela seguinte equao:
Onde: K1 uma constante determinada pelas condies iniciais do circuito; a freqncia de amortecimento dada pela expresso:
RC==constante de tempo
No instante de tempo temos que:
OBS.: Quanto menor for o capacitor, mais rpido ser a descarga.
A resposta geral ser da seguinte forma:
Pelas equaes obtidas pela LKCobtemos:
Logo:
Com as expresses da , , e obteremos os seguintes grficos:
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Figura 6.3Grfico da corrente no capacitor.
Figura 6.4- Grfico da corrente no resistor.
Figura 6.5Grfico da tenso no capacitor.
A figura 6.5(grfico da tenso do capacitor) mostra o comportamento do capacitor, ou seja, a
descarga do mesmo ao longo do tempo. Podemos observar que a curva caracterstica uma
exponencial, e desta forma, pode ser caracterizada por duas condies:
A ordem da curva em a condio inicial; A constante de tempo depender exclusivamente dos parmetros do circuito (R, L, C)
e da forma como os mesmos esto conectados.
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Figura 6.6- Grfico da tenso do capacitor.
6.1.1.2. Circuito RL (Resistor - Indutor)
Figura 6.7Circuito RL
Para , a chave S1est ao terminal be o indutor est carregado com a corrente ; Para , S1 conectada ao terminal c, pois a fonte de corrente no pode ficar
em circuito aberto;
O indutor fica conectado ao resistor (R)e a fonte de corrente fica curto circuitada e a
energia armazenada no campo magntico do indutor dissipada no resistor na forma de calor.
Analisando o circuito para (figura 6.8)
Figura 6.8Circuito RL para
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LTK
LCK
Portando obtemos
A energia armazenada no indutor (fluxo) vai descarregar gradualmente at zero.
Durante este processo, a energia armazenada no campo magntico do indutor dissipada na
forma de calor pelo resistor.
As equaes de braos sero:
Indutor
Resistor
Como queremos como resposta e sabemos que:
Ento obtemos
Onde esta equao corresponde a uma equao diferencial linear, homognea, de
primeira ordem com os coeficientes constantes ento a soluo para a equao ser da
seguinte forma:
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Onde:
K1 uma constante determinada pelas condies iniciais do circuito;No instante de tempo
temos que:
a freqncia de amortecimento dada pela expresso:
= = constante de tempoOBS.:Todos estes clculos valem somente para
Com a anlise exponencial obtemos o seguinte comportamento para o indutor:
Figura 6.9- Grfico da corrente no indutor.
6.1.2. Resposta ao estado zero
6.1.2.1. Circuito RC
Para , S1 fechada. Obtemos ento;
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Figura 6.10Circuito Rc em resposta ao estado zero
Em
, S1 abre, e a fonte de corrente conectada ao circuito
;
Para
Aps um pequeno intervalo com a chave aberta obtemos:
Figura 6.11Circuito RC com S1 aberta.
,Pois
Pela LTK:
A partir disto, obteremos as seguintes consideraes:
Com a fonte de corrente, a tenso no capacitor no varia instantaneamente; parte de zero (valor inicial) e sobe gradativamente. Portanto:
Em
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Ou seja, a corrente fluir toda pelo capacitor
medida que cresce, cresce, aplicando uma e diminuindo a
LCK:
Quando deixarmos o circuito ligado, cresce at um valor e fica estvel
O capacitor carregado um circuito aberto e toda a corrente Ipassar pelo resistor.Isto ocorrer quando:
Considerando a tenso do capacitor como a resposta almejada, temos:
Quando analisamos o circuito para , a tenso no capacitor permanece nula, e a
corrente no resistor tambm. A corrente flui ento somente pelo capacitor. Logo aps, com a
corrente fluindo pelo capacitor, ocorre um aumento na tenso .
Ento teremos um , e tende a crescer diminuindo assim, ,pois:
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OBS.:
Para , o capacitor estar carregado, e ser considerado um circuito abertoquando toda a corrente da fonte fluir pelo resistor.
Quando isto ocorrer, o capacitor ser um circuito aberto.
Note que para determinarmos a resposta da tenso do capacitor ao estado zero,
dependemos dos parmetros do circuito e ainda da funo de entrada que no nosso caso ser
. Esta resposta denominada soluo em regime permanente (soluo particular)e
representa a soluo do circuito para um tempo infinitamente grande e conhecidacomo soluo em regime permanente, ou soluo para o estado zero do circuito. Ento aexpresso para a soluo particular ser determinada exclusivamente a partir da forma da
funo de entrada ().Com estas consideraes podemos definir que a soluo geral para a equao da
tenso no capacitor ser do tipo:
Onde a depende alm dos parmetros do circuito, das condies iniciaisno circuito no instante de tempo Onde determinado pelas condies iniciais.J a que depender dos parmetros do circuito e ainda da funo de
excitao de entrada.
A partir disto podemos obter a equao da soluo geral pela seguinte expresso:
Mas para obtermos ser realizado pela expresso geral:
,
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E as correntes sero dadas pelas equaes
Logo
Podemos obter ento a corrente no resistor . Sabemos que: Ento
Figura 6.12- Grfico da corrente e da tenso do capacitor.
6.1.2.2. Resposta ao estado zero com fonte de corrente senoidal
Considerando o circuito abaixo ao qual excitado por uma fonte de corrente
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Figura 6.13Circuito RC alimentado por uma fonte senoidal.
Onde
Amplitude;
Frequencia angular
;
= FaseA soluo geral para o circuito ser da seguinte forma:
Onde a soluo homognea ser
E a soluo particular
Onde as constantese so as constantes a serem determinadas
Soluo geral
Para determinar , faz-se:
,
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6.1.3. Resposta completa: Transitrio + Regime permanente
Figura 6.14Circuito RC para resposta completa.
Para , a chave curto-circuita a fonte; Em , vale a seguinte equao:
Para : Temos aqui a resposta excitao e ao estado zero onde:
Resposta a excitao zero; Resposta ao estado zero.Soluo para
:
Soluo para :
Soluo geral:
Onde: Resposta completa
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Resposta excitao zero
Resposta ao estado zero
Isolando
Depender das condies iniciais e repetina aplicao daexcitao que em tende a desaparecer e por causa disto, chamado de TRANSITORIO;
Esta parcela continua conforme o transitrio vai se esgotando, sendo, portanto,
chamado de regime permanente e ligado a forma de onda da excitao
.
Figura 6.15Grfico da tenso em resposta completa.
6.1.4. Resposta ao Degrau Unitrio
Para
,
;
Para , .
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Figura 6.16Analogia entre a funo degrau e uma chave no circuito.
Obs.: anlogo a uma chave que atua em t=0Exemplo:
Figura 6.17Exemplo do circuito utilizando a funo degrau.
Para ,
Para ,LTK:
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Soluo homognea:
Soluo particular ( )O indutor carregado um curto circuito
Para ,
Para , Para
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EXERCCIOS
1) Determine
2)
3)
4)
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5)
6)
7)
8) Determine
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9) Determine para o circuito abaixo
10)Obter .
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UNIDADE 7 - CIRCUITOS DE 2 ORDEM
7.1. Resposta a Excitao Zero
7.1.1. Circuito RLC paralelo
figura 7.1- Circuito de segunda ordem paralelo
Pelas equaes de brao podemos obter:
Resistor
Capacitor
Indutor
Aplicando a LTK Pela LCK temos
Com isso, podemos perceber que temos 6incgnitas, duas em cada equao
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Derivando e dividindo por C obtemos:
Por convenincia, vamos definir dois parmetros:
Constante de amortecimento:
Freqncia angular ressonante:
Substituindo na equao
Substituindo
por Schegamos na equao caracterstica
Razes:
Os zeros do polinmio, ou suas razes, so chamadas de freqncias naturaisdo circuito;
As razes deste polinmio nos dizem o tipo de comportamento do circuito;De acordo com os valores de
e de
, teremos quatro tipos de comportamento
Circuito superamortecido; Circuito criticamente amortecido;
Por quem definimos e ?Eles nos ajudam a caracterizar o comportamento do circuito RLC, que hora nos d
uma resposta exponencial, hora senoidal
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Circuito subamortecido; Circuito sem perdas.
7.1.1.1 Circuito superamortecido ( )As freqncias naturais so razes reais e negativas, cuja resposta o somatrio de
duas exponenciais.
Onde K1 e K2 so determinadas pelas condies iniciais do circuito. Isto pode ser percebido a
partir da resposta quando t=0
Derivando
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7.1.1.2 Circuito Criticamente Amortecido ( )As freqncias naturais so reais, negativas e iguas.
Resposta:
- Surge devido descarga de corrente do indutor sobre o capacitor aumentando suatenso.7.1.1.3 Circuito Subamortecido ( )
As freqncias naturais so razes imaginrias, complexas, conjugadas.
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Cuja resposta :
Onde e dependem das condies iniciais
7.1.1.4 Circuito sem perdas (
)
As freqncias naturais so imaginrias.
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Resposta
Exemplo:
Dado o circuito abaixo determinar para a resposta excitaozero para cada caso.
a)
b) c)
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a)
Clculo de e
- Circuito superamortecido
Clculo das freqncias naturais Determinao de K1 e K2
A tenso no capacitor para
Derivando em
Como
, temos
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Logo
7.1.2. Circuito RLC srie
Figura 7.2- Circuito RLC srie
LTK LCK
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Derivando a equao e dividindo por L
Substituindo por S
Equao caracterstica
As razes deste polinmio nos do o comportamento do circuito, em relao ao
amortecimento.
Razes
Da mesma forma que o circuito RLC paralelo, os valores de e so os valores quedeterminam o tipo de amortecimento do sistema. Circuito superamortecido ( )
Circuito criticamente amortecido ( )
Circuito subamortecido ( )
Circuito criticamente amortecido ( )
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EXERCCIOS
1) Seja o circuito
Determine
e esboar a forma de onda.
2) Seja o circuito
Determine paraa) b) c) d) 3) Seja o circuito
Determine
4) Repita o exerccio 2 para
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5) No circuito abaixo, a chave indicada estava fechada a bastante tempo, sendoaberta em . Calcular a tenso a partir deste instante
7.2. Resposta ao Estado Zero
7.2.1. Excitao por fonte de corrente constante
Figura 7.3- Circuito RLC paralelo excitado por uma fonte de corrente LTK
LCK
Polinmio
Soluo geral
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Onde
so os quatro casos de amortecimento e
para t
tendendo para o infinito, regime permanente.
Supondo que o sistema seja superamortecido a pode ser expressa por
J a igual a zero, pois num tempo muito grande o indutor um curtocircuito, ento a tenso no capacitor ser igual a zero.
Soluo Geral
Determinao das constantes K1 e K2
, logo
Derivando em funo do tempo para
Onde S1 e S2so as razes do polinmio
EXEMPLO
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7.2.2. Excitao por fonte de tenso constante
Figura 7.4- Circuito RLC serie excitado por uma fonte de tenso
LTK
LCK
Derivando e dividindo por L
Soluo geral
Como
Ento toda tenso da fonte aplicada no indutor
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7.3. Resposta Completa
determinada pela resposta transitria mais a resposta em regime permanente.
Figura 7.5- Circuito RLC srie
LTK
LCK
A equao de segundo grau que descreve este circuito
Como logo um sistema superamortecido.
Pela equao caracterstica
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Determinao de K1 e K2Como
Derivando para
Portanto
Logo
Resposta completa
EXERCCIOS
1) Considere , refaa o exerccio anterior para 2) Encontre
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3) Determine
4) Determine
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UNIDADE 8 - APLICAO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Figura 7.6- Circuito RL
Equao
Aplicando Laplace
Resolvendo por fraes parciais
Pela tabela das transformadas de Laplace temos:
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EXERCCIOS
1) Resolver por Laplace
2) Refazer o exerccio anterior com
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9. AULAS PRTICAS9.1 1 AULA PRTICACIRCUITOS I
Tempo de descarga do capacitor
A principal caracterstica do capacitor a propriedade de armazenar energia na
forma de campo eltrico. Ao aplicarmos em um capacitor uma tenso contnua, esse
se carrega com uma tenso cujo valor depende do intervalo de tempo em que
se desenvolver o processo.
Figura 1
No circuito da figura 1, uma fonte de tenso de 30 volts ligada em srie com um
capacitor para t
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Tarefa pratica 1
Completar a tabela abaixo utilizando a montagem descrita na figura 1 respondendo
as questes abaixo:
a) Calcule o tempo de descarga do capacitor para cada valor de capacitncia;
b) Esboce a curva de descarga para as trs capacitncias (Vxt);
Valor de
capacitor
Tempo de
descarga
calculado*Tempo de
descarga no
experimento
*
Esboo
da curva
*Interprete como tenso final 1.2 V
c) Compare e discuta a diferena entre os valores de tempo obtidos nos trs casos.
Explique o por qu.
10.Qual o valor de resistncia escolhido pelo grupo? Qual a influncia deste valorna experincia?
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Retificadores
Um exemplo da utilizao de capacitores como filtro na sada de pontes
retificadoras de onda completa (Figura 2).
Figura 2- Ponte retificadora de onda completa com filtro capacitivo.
Tarefa prtica 2.
2.1. Montar o circuito da figura 3, retificador de onda completa, e desenhar a
forma de onda de tenso obtida na sada da ponte retificadora utilizando o
osciloscpio.
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Figura 3- Ponte retificadora de onda completa
2.2. Montar o circuito da figura 2, retificador de onda completa com filtro
capacitivo, e desenhar a forma de onda de tenso obtida na sada da ponte
retificadora alternando a capacitncia. Utilize o osciloscpio.
Valor de
capacitor
Esbooda curva
a) Qual a diferena da forma de onda da tenso com e sem capacitor?
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b) O valor do capacitor interfere na forma de onda de sada? Por qu?
Utilizao do capacitor como filtro
Devido ao seu comportamento quando submetido a tenses em determinadas
freqncias o capacitor muito utilizado em circuito de filtros. Um exemplo simples da
utilizao dele como filtro na alimentao de microcontroladores.
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Figura 5 - Retirada da folha de especificao do microcontrolador KA2 da
Freescale
Fora utilizao para filtro de rudos em alta freqncia, o capacitor utilizado
para sinais conhecidos tais como onda quadrada, dente de serra, senoidal, pois
dependendo da freqncia da onda conseguem-se sinais especficos e teis para a
eletrnica em geral.
Tarefa de casa
Repita a tarefa um, utilizando um indutor em srie com uma fonte de corrente.
Utilize um simulador de circuitos, por exemplo, LTspice
(http://www.ufsm.br/materiais) . Obtenha o grfico da corrente em funo do tempo
(
) para trs valores diferentes de indutncia.
http://www.ufsm.br/materiaishttp://www.ufsm.br/materiais5/23/2018 Apostila de Circuitos Eletricos
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Osciloscpio
BotesBotes de seleo: utilizados para interagir com as opes dos menus do
osciloscpio;
Regulador de nveis de medida: utilizado para selecionar as faixas de escala do
osciloscpio no momento em que se faz a anlise da medida obtida;
Medidas: Seleciona quais medidas que iro ser mostradas no momento de
aquisio da medida;
Auto set: Calcula e mostra a escala adequada forma de onda;
Run/Pause: Pausa e continua o processo de leitura;
Trigger menu: seleciona se ir ser feita uma interpretao da amplitude do sinal ou
da diferenas de tempos (utiliza o boto 1 para regulagem);
SEC/Div: Seleciona a base para a escala de tempo;
VOLTS/Div: Seleciona a base para a escala de tenso.
Modo de utilizao do osciloscpio:Ligue a ponteira do osciloscpio no local aonde deve ser feita a medida;
Ligue o osciloscpio;
Selecione auto set;
Selecione a base de tempo ideal da amostra (depende do valor do capacitor e do
resistor) selecionando no boto 7;
Selecione a base de tenso ideal da amostra ( ) selecionando no boto 8;
Selecione Trigger Menu (6) e selecione a analise no tempo;
Selecione medidas, escolha os valores de aquisio e utilize o boto 2 para leitura
dos dados no tempo quando a curva estiver parada (5).
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9.2 2 AULA PRTICACIRCUITOS I
Circuito RLC
1. Introduo terica:
O circuito RLC, onde: R resistncia, L indutncia e C capacitncia, um circuito
eltrico oscilante.
Pela lei das malhas de Kircchoff temos:
(1)
Assim:
Substituindo na equao (1), temos:
+ Derivando a equao e dividindo por L, temos: Temos ento:
e
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Tipo de amortecimento Superamortecido ( Criticamente amortecido ( Sub-amortecido (
Sem perdas
2. LaboratrioA partir do circuito abaixo obter:
Variando a capacitncia obtenha os trs tipos de amortecimento.
Dados
Rinterna da fonte 50 ()
Rdcada 40 ()
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Frequncia 80 (Hz)
Tenso de alimentao ____ (V)
Indutor ____ (H)
a) Sub-amortecidoC =
0 =
=
GRFICO
b) Super amortecidoC =
0 =
=
GRFICO
c) Criticamente amortecidoC =
0 =
=
GRFICO
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10. BIBLIOGRAFIA
[1] - JOHNSON, D. E.; Hilburn, J. R. Fundamentos de Anlise de Circuitos Eltricos. ed.
4, p. 542, LTC, 2001.
[2] - ORSINI, L. Q. Curso de Circuitos Eltricos. v. 1, p. 286, Edgard Blncher, 2002.
[3] - MARIOTTO, P. A. Anlise de Circuitos Eltricos. p. 400, Prentice Hall, 2002.
COLABORADORESPrograma de Educao Tutorial de Engenharia Eltrica (PET-EE)
O que o programa?
O PET desenvolvido por grupos de estudantes, com tutoria de um docente,
organizados a partir de cursos de graduao das Instituies de Ensino Superior do pas, sendo
um grupo por curso orientados pelo princpio da indissociabilidade entre ensino, pesquisa e
extenso e da educao tutorial. A Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) possui
atualmente dez grupos PET ativos, os quais buscam atuar constantemente tanto na
comunidade acadmica quanto fora dos limites do campus da UFSM, promovendo atividades
integradas de ensino, pesquisa e extenso.
Os principais objetivos do programa so: contribuir para a elevao da qualidade de
formao acadmica dos alunos de graduao; estimular a formao de profissionais e
docentes de elevada qualificao tcnica, cientfica, tecnolgica e acadmica; formular novas
estratgias de desenvolvimento e modernizao do ensino superior no pas; e estimular o
esprito crtico, bem como a atuao profissional pautada pela tica, pela cidadania e pela
funo social da educao superior.
Atividades do grupoPrograma de Apoio as Disciplinas (PAD)
O PAD foi criado para estimular a utilizao de laboratrios e a motivao dos alunos e
professores atravs da soluo de problemas prticos e auxlio na elaborao de atividades
prticas. Atravs do PAD o PET-EE vem contribuindo com a organizao de planos de aulas ematerial didtico de apoio para realizao de aulas prticas e utilizao dos laboratrios.
Assim, busca-se atuar, positivamente, de forma direta na graduao, onde alunos e
professores trabalham em conjunto para o crescimento, desenvolvimento e integrao do
curso como um todo.
Reviso 1
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