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Nota ao concurseiro:O material a seguir segue a ordem e lógica matemática do edital corrente, para um melhor aprendizado siga a sequência das matérias abaixo:CONTEÚDO DO EDITAL:Números Naturais e Inteiros, Divisibilidade, MMC, MDC, Decomposição em Fatores Primos, Números Racionais, Noções de Números Reais, Relação de Ordem, Valor Absoluto, Equação de 1° e 2° Grau, Problemas com as quatro operações, Função do 1° e 2° Grau, Progressão Aritmética e Geométrica, Soma de Número Finito de Termos de uma PA e de uma PG, Porcentagem, Razão, Proporção, Juros Simples e Noções de Estatística.

CONTEÚDO:NÚMEROS NATURAIS E INTEIROS:Introdução aos Números NaturaisO conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico.Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo. Para saber mais, clique nos links: Notas históricas sobre o zero ou Notação Posicional. Caso queira se aprofundar no assunto, veja o belíssimo livro: "História Universal dos Algarismos, Tomos I e II, Editora Nova Fronteira, 1998 e 1999", de Georges Ifrah.Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto como:N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números.Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por:N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

A construção dos Números Naturais1. Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do

número dado), considerando também o zero.

Exemplos: Seja m um número natural.

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(a) O sucessor de m é m+1.(b) O sucessor de 0 é 1.(c) O sucessor de 1 é 2.(d) O sucessor de 19 é 20.

2. Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.Exemplos:(a) 1 e 2 são números consecutivos.(b) 5 e 6 são números consecutivos.(c) 50 e 51 são números consecutivos.

3. Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.

Exemplos:(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.(b) 5, 6 e 7 são consecutivos.(c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.

4. Todo número natural dado n, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado).Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.(a) O antecessor do número m é m-1.(b) O antecessor de 2 é 1.(c) O antecessor de 56 é 55.(d) O antecessor de 10 é 9.

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma seqüência real seja um outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares:P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamado, a sequência dos números ímpares.I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}

Igualdade e DesigualdadesDiremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto B está contido no conjunto A. Quando a

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condição acima for satisfeita, escreveremos A=B (lê-se: A é igual a B) e quando não for satisfeita denotaremos tal fato por:

(lê-se: A é diferente de B). Na definição de igualdade de conjuntos, vemos que não é importante a ordem dos elementos no conjunto.

Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos que os elementos do conjunto A são os mesmos elementos do conjunto B. Neste caso, A=B.

Consideraremos agora uma situação em que os elementos dos conjuntos A e B serão distintos.Sejam A={a,b,c,d} e B={1,2,3,d}. Nem todos os elementos do conjunto A estão no conjunto B e nem todos os elementos do conjunto B estão no conjunto A. Também não podemos afirmar que um conjunto é maior do que o outro conjunto. Neste caso, afirmamos que o conjunto A é diferente do conjunto B.

Exercício: Há um espaço em branco entre dois números em cada linha. Qual é o sinal apropriado que deve ser posto neste espaço: <, > ou =?

159 170852 321587 587

Exercício: Representar analiticamente cada conjunto, isto é, através de alguma propriedade e depois por extensão, apresentando os elementos:

a. Conjunto N dos números Naturaisb. Conjunto P dos números Naturais Paresc. Conjunto I dos números Naturais Ímparesd. Conjunto E dos números Naturais menores que 16e. Conjunto L dos números Naturais maiores que 11f. Conjunto R dos números Naturais maiores ou iguais a 28g. Conjunto C dos números Naturais que estão entre 6 e 10

Operações com Números NaturaisNa sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a Matemática é construída a partir dessas duas

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operações: adição e multiplicação.

A adição de números naturaisA primeira operação fundamental da Aritmética, tem por finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as adições podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com o auxílio de pedras ou por meio de ábacos.

Propriedades da Adição1. Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais é fechada, pois a

soma de dois números naturais é ainda um número natural. O fato que a operação de adição é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de composição interna no conjunto N.

2. Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro.

3. Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural.

4. Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela.

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Curiosidade: Tabela de adiçãoPara somar dois números, com a tabela, um em uma linha e outro em uma coluna, basta fixar um número na 1a. coluna e um segundo número na 1a. linha. Na interseção da linha e coluna fixadas, obtemos a soma dos números.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112 3 4 5 6 7 8 9 10 11 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 156 7 8 9 10 11 12 13 14 15 167 8 9 10 11 12 13 14 15 16 178 9 10 11 12 13 14 15 16 17 189 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Por exemplo, se tomarmos o número 7 na linha horizontal e o número 6 na linha vertical, obteremos a soma 13 que está no cruzamento da linha do 7 com a coluna do 6.

Multiplicação de Números NaturaisÉ a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominado multiplicador.

Exemplo: 4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes:4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geraram o produto, são chamados fatores. Usamos o sinal × ou · ou x, para representar a multiplicação.

Propriedades da multiplicação1. Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto N dos números naturais,

pois realizando o produto de dois ou mais númros naturais, o resultado estará

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em N. O fato que a operação de multiplicação é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto N.

2. Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo.(m.n).p = m.(n.p)(3.4).5 = 3.(4.5) = 60

3. Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que:1.n = n.1 = n1.7 = 7.1 = 7

4. Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo primeiro elemento.m.n = n.m3.4 = 4.3 = 12

Propriedade DistributivaMultiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.

m.(p+q) = m.p + m.q6x(5+3) = 6x5 + 6x3 = 30 + 18 = 48

Divisão de Números Naturais

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Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.

Relações essenciais numa divisão de números naturais1. Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o

dividendo.35 : 7 = 5

2. Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente.35 = 5 x 7

3. A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderiamos escrever:n ÷ 0 = qe isto significaria que:n = 0 x q = 0o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.

Exercício: Substituindo X por 6 e Y por 9, qual é o valor da soma do dobro de X pelo triplo de Y.

Potenciação de Números Naturais

Para dois números naturais m e n, a expressão mn é um produto de n fatores iguais ao número m, ou seja:

mn = m . m . m ... m . mm aparece n vezesO número que se repete como fator é denominado base que neste caso é m. O número de vezes que a base se repete é denominado expoente que neste caso é n. O resultado é donominado potência.Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais, como por exemplo:

23 = 2 × 2 × 2 = 843 = 4 × 4 × 4 = 64

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Propriedades da Potenciação

1. Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n, denotada por 1n, será sempre igual a 1.Exemplos:

a. 1n = 1×1×...×1 (n vezes) = 1

b. 13 = 1×1×1 = 1

c. 17 = 1×1×1×1×1×1×1 = 1

2. Se n é um número natural não nulo, então temos que no=1. Por exemplo:(a) nº = 1(b) 5º = 1(c) 49º = 1

3. A potência zero elevado a zero, denotada por 0o, é carente de sentido no contexto do Ensino Fundamental. O visitante que necessitar aprofundamento neste assunto, deve visitar nosso link Zero elevado a zero?

4. Qualquer que seja a potência em que a base é o número natural n e o expoente é igual a 1, denotada por n1, é igual ao próprio n. Por exemplo:(a) n¹ = n(b) 5¹ = 5(c) 64¹ = 64

5. Toda potência 10n é o número formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros.Exemplos:

a. 103 = 1000

b. 108 = 100.000.000

c. 10o = 1

Potenciação com o browser

Para obter uma potência Mn com o Browser Netscape, como por exemplo 125, digite (ou copie com Control+C) a linha de comando:javascript:Math.pow(12,5)exatamente da forma como está escrito, na caixa que aparece em seu browser com o nome do arquivo que está sendo acessado neste momento (location=endereço). Após isto, pressione a tecla ENTER. Você verá uma nova janela com a resposta248832

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Para sair da janela com a resposta, pressione o botão Voltar (Back) de seu browser.

Números grandesNo livro "Matemática e Imaginação", o matemático americano Edward Kasner apresentou um número denominado googol que pode ser representado por 1 seguido de 100 zeros.

1 Googol = 10100

Ele pensou que este era um número superior a qualquer coisa que passasse pela mente humana sendo maior do que qualquer coisa que pode ser posta na forma de palavras. Um googol é um pouco maior do que o número total de partículas elementares conhecidas no universo, algo da ordem de 1080. Se o espaço com estas partículas fosse comprimido de uma forma sólida com neutrons, este ficaria com algo em torno de 10128 partículas.Outro matemático criou então o googolplex e o definiu como 10 elevado ao googol.

1 Googolplex = 10Googol

Exercícios1. Na figura abaixo, insira os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 nos círculos, de tal modo

que a soma de cada lado seja sempre igual a 10.

2. Um gavião viu um grupo de pombos, chegou perto deles e disse:Olá minhas 100 pombinhas.Uma delas respondeu:Não somos 100 não meu caro gavião,seremos 100, nós, mais dois tantos de nóse mais você meu caro gavião.Quantos pombos há neste grupo?

3. Três homens querem atravessar um rio. O barco que eles possuem suporta no máximo 150 kg. Um deles pesa 50 kg, o segundo pesa 75 kg e o terceiro pesa 120 kg. Qual será o processo para eles atravessarem o rio sem afundar?

4. Forme um quadrado mágico com os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 tal que, a soma dos números de qualquer linha, qualquer coluna ou qualquer diagonal deverá ser sempre igual a 15.

Múltiplos de números Naturais

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Diz-se que um número natural a é múltiplo de outro natural b, se existe um número natural k tal que:a = k × b

Exemplos:(a) 15 é múltiplo de 5, pois 15=3×5.(b) 24 é múltiplo de 4, pois 24=6×4.(c) 24 é múltiplo de 6, pois 24=4×6.(d) 27 é múltiplo de 9, pois 27=3×9.

Se a=k×b, então a é múltiplo de b, mas também, a é múltiplo de k, como é o caso do número 35 que é múltiplo de 5 e de 7, pois:35=7×5Se a=k×b, então a é múltiplo de b e se conhecemos b e queremos obter todos os seus múltiplos, basta fazer k assumir todos os números naturais possíveis. Para obter os múltiplos de 2, isto é, os números da forma a=k×2 onde k é substituído por todos os números naturais possíveis. A tabela abaixo nos auxiliará:0=0×2, 2=1×2, 4=2×2, 6=3×2, 8=4×2, 10=5×2, 12=6×2

O conjunto dos números naturais é infinito, assim existem infinitos múltiplos para qualquer número natural. Se y é um número natural, o conjunto de todos os múltiplos de y, será denotado por M(y). Por exemplo:M(7)={ 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, ... }M(11)={ 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, ... }

Observação: Como estamos considerando 0 como um número natural, então o zero será múltiplo de todo número natural. Tomando k=0 em a=k.b obtemos a=0 para todo b natural. Por exemplo:0=0×2, 0=0×5, 0=0×12, 0=0×15

Observação: Um número b é múltiplo dele mesmo.a = 1 × b se, e somente se, a = bPor exemplo, basta tomar o mesmo número multiplicado por 1 para obter um múltiplo dele próprio, como: 3=1x3, 5=1x5 e 15=1x15.

Divisores de números NaturaisA definição de divisor está relacionada com a de múltiplo. Um número natural b é divisor do número natural a, se a é múltiplo de b.

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Exemplo: 3 é divisor de 15, pois 15=3×5, logo 15 é múltiplo de 3 e também é múltiplo de 5.

Um número natural tem uma quantidade finita de divisores. Por exemplo, o número 6 poderá ter no máximo 6 divisores, pois trabalhando no conjunto dos números naturais não podemos dividir 6 por um número maior do que ele.Os divisores de um número y também formam um conjunto finito, aqui denotado por D(y).

Exemplos:(a) Divisores de 6: D(6)={1,2,3,6}(b) Divisores de 18: D(18)={1,2,3,6,9,18}(c) Divisores de 15: D(15)={1,3,5,15}

Observação: O número zero é múltiplo de todo número natural e além disso, zero não divide qualquer número natural, exceto ele próprio.

Se aceitarmos que 6÷0=b, então teremos que admitir que:6 = 0 x bmas não existe um número b que multiplicado por 0 (zero) seja igual a 6, portanto a divisão de 6 por 0 é impossível.A divisão de 0/0 (zero por zero) é indeterminada, o que significa que pode existir uma situação que ela passe a ter significado, no sentido seguinte:

Se aceitarmos que 0÷0=X, então poderemos escrever que:0 ÷ 0 = X ÷ 1Como temos uma igualdade de frações, gerando uma proporção, deveremos aceitar que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos nesta proporção e assim:0 × 1 = 0 × X = 0que não é contraditório e isto pode ser realizado para todo X real, razão pela qual a expressão da forma 0÷0 é dita indeterminada.

Números primosUm número primo é um número natural com exatamente dois divisores naturais distintos.

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Exemplos:(a) 1 não é primo pois D(1)={1}(b) 2 é primo pois D(2)={1,2}(c) 3 é primo pois D(3)={1,3}(d) 5 é primo pois D(5)={1,5}(e) 7 é primo pois D(7)={1,7}(f) 14 não é primo pois D(14)={1,2,7,14}

Observação: 1 não é primo pois tem apenas 1 divisor e todo número natural pode ser escrito como o produto de números primos, de forma única.

Crivo de EratóstenesÉ um processo para obter números primos menores do que um determinado número natural n. Devemos construir uma tabela contendo os primeiros n números naturais. Para determinar os números primos nesta tabela, basta seguir os seguintes passos.

1. Antes de iniciar, lembramos que 1 não é um número primo.2. Marcamos o número 2, que é o primeiro número primo e eliminamos todos os

múltiplos de 2 que encontrarmos na tabela.3. Marcamos o número 3 e eliminamos todos os múltiplos de 3 que encontrarmos

na tabela.4. Determinamos o próximo número primo, que será o próximo número não

marcado da tabela e eliminamos todos os múltiplos desse número primo que encontrarmos na tabela.

5. Continuamos o processo, sempre voltando ao passo anterior, com o próximo número primo.

6. Os números que não foram eliminados são os números primos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Na tabela, listamos os 100 primeiros números naturais, indicando com a cor mais forte os números primos e com a cor clara os números que não são primos. Como

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exemplo, 2 é primo, enquanto 25 não é primo, pois é múltiplo de 5.No quadro abaixo, mostramos os números primos menores do que 100, obtidos pelo crivo de Eratóstenes.P = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97}

Mínimo Múltiplo ComumDiz-se que um número m é múltiplo comum dos número a e b se m é múltiplo de a e também é múltiplo de b, ou seja.m = k × a e m = w × bonde k e w números naturais.

Exemplos: Múltiplos comuns(a) 24 é múltiplo comum de 6 e 8.(b) 15 é múltiplo comum de 3 e 5.

Determinaremos agora todos os números que tem 18 como múltiplo comum, o que é o mesmo que obter todos os divisores naturais de 18.18 é múltiplo comum de 1 e 18 pois 18=1x1818 é múltiplo comum de 2 e 9 pois 18=2x918 é múltiplo comum de 3 e 6 pois 18=3x6O número 18 é múltiplo comum de todos os seus divisores, logo:D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9,18 }Agora obteremos os múltiplos comuns dos números a e b. Para isso denotaremos por M(a) o conjunto dos múltiplos de a, por M(b) o conjunto dos múltiplos de b e tomaremos a interseção entre os conjuntos M(a) e M(b).

Exemplo: Múltiplos comuns de 3 e 5.M(3)={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...}M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,...}M(3) M(5)={0,15,30,45,...}Como estamos considerando 0 (zero) como número natural, ele irá fazer parte dos conjuntos de todos os múltiplos de números naturais e será sempre o menor múltiplo comum, mas por definição, o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de dois ou mais números naturais é o menor múltiplo comum a esses números que é diferente de zero. Logo, no conjunto:M(3) M(5)={0, 15, 30, 45, ...}o Mínimo Múltiplo Comum entre 3 e 5 é igual a 15.

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Ao trabalhar com dois números a e b, utilizamos a notação MMC(a,b) para representar o Mínimo Múltiplo Comum entre os números naturais a e b, lembrando sempre que o menor múltiplo comum deve ser diferente de zero. Por exemplo:M(4)={0,4,8,12,16,20,24,...}M(6)={ 0, 6, 12, 18, 24, ...}MMC(4,6)=min {12,24,36,...}=12O conjunto dos múltiplos do MMC(a,b) é igual ao conjunto dos múltiplos comuns de a e b. Por exemplo, se a=3 e b=5:M(3)={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,...}M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,...}M(3) M(5)={0,15,30,45,...}M(15)={0,15,30,45,60,...}

Observe que M(15)=M(3) M(5)

Método prático para obter o MMCDo ponto de vista didático, o processo acima é excelente para mostrar o significado do MMC mas existe um método prático para realizar tal tarefa sem trabalhar com conjuntos.

1. Em um papel faça um traço vertical, de forma que sobre espaço livre tanto à direita como à esquerda do traço.

| | |

2. À esquerda do traço escreva os números naturais como uma lista, separados por vírgulas, para obter o MMC(a,b,c,...). Por exemplo, tomaremos 12, 22 e 28 do lado esquerdo do traço vertical e do lado direito do traço poremos o menor número primo que divide algum dos números da lista que está à esquerda. Aqui usamos o 2.

12 22 28 | 2 | |

3. Dividimos todos os números da lista da esquerda, que são múltiplos do número primo que está à direita do traço, criando uma nova lista debaixo da lista anterior com os valores resultantes das divisões (possíveis) e com os números que não foram divididos.

12 22 28 | 26 11 14 | |

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|

4. Repetimos a partir do passo 3 até que os valores da lista que está do lado esquerdo do traço se tornem todos iguais a um.

12 22 28 | 26 11 14 | 23 11 7 | 31 11 7 | 71 11 1 | 111 1 1 | 924

5. O MMC é o produto dos números primos que colocamos do lado direito do traço e neste caso: MMC(12,22,28)=924.

Exemplo: Obtemos o MMC dos números 12 e 15, com a tabela:12 15 | | |

e depois dividimos todos os números da lista da esquerda pelos números primos (quando a divisão for possível), criando novas listas sob as listas anteriores. O MMC(12,15)=60 é o produto de todos os números primos que colocamos do lado direito do traço.

12 15 | 26 15 | 23 15 | 31 5 | 51 1 | 60

Máximo Divisor ComumPara obter o Máximo Divisor Comum devemos introduzir o conceito de divisor comum a vários números naturais. Um número d é divisor comum de outros dois números naturais a e b se, d divide a e d divide b simultaneamente. Isto significa que devem existir k1 e k2 naturais tal que:

a = k1 × d e b = k2 × d

Exemplos: Divisores comuns.(a) 8 divide 24 e 56, pois 24=3x8 e 56=7x8.(b) 3 divide 15 e 36, pois 15=5x3 e 36=12x3.

Observação: Um número d é divisor de todos os seus múltiplos. O conjunto dos divisores comuns de dois números é finito, pois o conjunto dos divisores de um número é finito. O conjunto dos divisores de um número natural y, será denotado por D(y).

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Obteremos agora os divisores comuns aos números 16 e 24, isto é, obteremos a interseção entre os conjunto D(16) e D(24).D(16)={ 1, 2, 4, 8, 16 }D(24)={ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }D(16) D(24)={1, 2, 4, 8}Ocorre que o menor divisor comum entre os números 16 e 24, é 1, assim não interessa o menor divisor comum mas sim o maior divisor que pertence simultaneamente aos dois conjuntos de divisores.

Denotaremos por MDC(a,b), o Máximo Divisor Comum entre os números naturais a e b. Por exemplo, tomemos os conjuntos de divisores D(16)={1,2,4,8,16} e D(24)={1,2,3,4,6,8,12,24}, então:MDC(16,24)=max( D(16) D(24))=8

Método prático para obter o MDCDe forma similar ao cálculo do MMC(a,b), temos também um procedimento prático para determinar o MDC(a,b) entre dois números naturais, pois encontrar conjuntos de divisores para cada número pode ser trabalhoso. Para introduzir este método, determinaremos o MDC entre os números 30 e 72, a título de exemplo.

1. Construímos uma grade com 3 linhas e algumas colunas, pondo os números dados na linha do meio. Na primeira coluna coloque o maior deles e na segunda coluna o menor.

72 30

2. Realizamos a divisão do maior pelo menor colocando o quociente no espaço sobre o número menor na primeira linha e o resto da divisão no espaço logo abaixo do maior número na terceira linha.

2 72 30 12

3. Passamos o resto da divisão para o espaço localizado à direita do menor número na linha central.

2 72 30 12 12

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4. Realizamos agora a divisão do número 30, pelo resto obtido anteriormente que é 12. Novamente, o quociente será colocado sobre o número 12 e o resto da divisão ficará localizado abaixo do número 30.

2 2 72 30 12 12 6

5. Realizamos agora a (última!) divisão do número 12, pelo resto obtido anteriormente que é 6. De novo, o quociente será posto sobre o número 6 e o resto da divisão ficará localizado abaixo do número 12.

2 2 2 72 30 12 6 12 6 0

6. Como o resto da última divisão é 0 (zero), o último quociente obtido representa o MDC entre 30 e 72, logo denotamos tal fato por:MDC(30,72) = 6

Exercícios:a. Se a diferença entre dois números naturais é 126 e o máximo divisor comum

entre eles é 18, quais são esses números?Solução: Se X e Y são os números procurados, eles devem ser múltiplos de 18 e podem ser escritos na forma X=18a e Y=18b onde a e b devem ser determinados. Assim: 18a-18b=126, de onde segue que 18(a-b)=18×7, o que é equivalente a: a-b=7. Tomando a=8 e b=1 teremos X=144 e Y=18.

b. Se a soma de dois números naturais é 420 e o máximo divisor comum entre eles é 60, quais são esses números?Solução: Sejam X e Y os números procurados. Se MDC(X,Y)=60, os números X e Y devem ser múltiplos de 60, logo podem ser escritos na forma X=60a e Y=60b onde a e b são números inteiros positivos. Assim: 60a+60b=420, o que garante que a+b=7. Devemos escolher números naturais tal que a+b=7, e assim, temos várias opções.Se a=6 e b=1 então X=360 e Y= 60Se a=5 e b=2 então X=300 e Y=120Se a=4 e b=3 então X=240 e Y=180Se a=3 e b=4 então X=180 e Y=240Se a=2 e b=5 então X=120 e Y=300Se a=1 e b=6 então X= 60 e Y=360

c. Se a divisão entre dois números naturais é igual a 6/5 e o máximo divisor comum entre eles é 15, quais são esses números?Solução: Sejam X e Y os números procurados. Se MDC(X,Y)=15, então X e Y

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devem ser múltiplos de 15, logo podem ser escritos na forma X=15a e Y=15b. Assim: (15a)/(15b)=6/5, logo a/b=6/5. Algumas soluções para o problema, são:Se a= 6 e b= 5 então X= 90 e Y= 75Se a=12 e b=10 então X=180 e Y=150Se a=18 e b=15 então X=270 e Y=225

Relação entre o MMC e MDCUma relação importante e bastante útil entre o MMC e o MDC é o fato que o MDC(a,b) multiplicado pelo MMC(a,b) é igual ao produto de a por b, isto é:MDC(a,b) × MMC(a,b) = a × bMDC(12,15) × MMC(12,15)=12 × 15Esta relação é útil quando precisamos obter o MMC e o MDC de dois números, basta encontrar um deles e usar a relação acima.

Exemplo: Para obter o MMC(15,20) e o MDC(15,20), o primeiro passo é obter o que for possível. Se MDC(15,20)=5 e 15 x 20=300, basta lembrar que MDC(15,20)×MMC(15,20)=15×20 e fazer:5 × MMC(15,20) = 300de onde se obtém que MMC(15,20)=60.

Exercício: Se a soma de dois números é 320 e o mínimo múltiplo comum entre eles é 600, quais são esses números? Qual é o máximo divisor comum entre eles?Solução: Se X e Y são os números procurados, eles devem ser divisores de 600, logo devem pertencer ao conjunto D(600):{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,25,30,75,100,120,150,200,300,600}Pares de números deste conjunto que somam 320, são: 300 e 20 ou 200 e 120. O primeiro par não serve pois MMC(300,20)=300. Os números que servem são X=200 e Y=120 pois MMC(200,120)=600 e MDC(200,120)=40.

Primos entre siDois números naturais são primos entre si quando o MDC entre eles é igual a 1. Por exemplo, 16 não é um número primo, 21 também não é um número primo mas 16 e 21 são primos entre si pois MDC(16,21)=1.

Radiciação de números naturaisRadiciação de ordem n é o processo pelo qual dado um número natural a devemos determinar um número natural b tal que:

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bn = aonde n é um número natural. É o processo inverso da potenciação.

Neste trabalho, representaremos a operação de radiciação por

Rn[a], a1/n, pot(a,1/n), pow(a,1/n), que se lê: raiz n-ésima de a. Uma notação simples e muito comum no meio científico é aquela que usa o acento circunflexo: a^(1/n).

Raiz quadrada: A raiz quadrada de um número não negativo (não somente natural) é um outro número não negativo b tal que:

b2 = a

A raiz quadrada de um número a>0 pode ser denotada por a1/2.

Exemplo: Para obter a raiz quadrada de 36 deve-se obter o valor numérico de b de forma que:

b2 = b × b = 36Neste trabalho, usaremos o processo de tentativa, para dividir 36 por seus divisores até que o divisor seja igual ao quociente36÷2=18, 36÷3=12, 36÷4=9, 36÷6=6Portanto 6 é a raiz quadrada de 36.

Raiz cúbica: A raiz cúbica de um número (não somente natural) a é um número b tal que:

b3 = b . b . b = a

A raiz cúbica de um número a pode ser denotada por a1/3.

Exemplo: Para determinar a raiz cúbica de 64, deve-se obter um número b de forma a obter

b3=b×b×b=64Por tentativa, temos:1×1×1=1, 2×2×2=8, 3×3×3=27, 4×4×4=64Portanto 4 é raiz cúbica de 64.

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Em estudos mais avançados, pode-se aprender a extrair a raiz quadrada ou a raiz cúbica de um número não necessariamente natural, com qualquer precisão que se queira.

NÚMEROS INTEIROS:Curiosidades com números inteiros12345679 x 9 = 11111111112345679 x 18 = 22222222212345679 x 27 = 33333333312345679 x 36 = 44444444412345679 x 45 = 55555555512345679 x 54 = 66666666612345679 x 63 = 77777777712345679 x 72 = 88888888812345679 x 81 = 9999999999 x 9 + 7 = 889 x 98 + 6 = 8889 x 987 + 5 = 88889 x 9876 + 4 = 888889 x 98765 + 3 = 8888889 x 987654 + 2 = 88888889 x 9876543 + 1 = 888888889 x 98765432 + 0 = 8888888889 x 1 + 2 = 119 x 12 + 3 = 1119 x 123 + 4 = 11119 x 1234 + 5 = 111119 x 12345 + 6 = 1111119 x 123456 + 7 = 11111119 x 1234567 + 8 = 111111119 x 12345678 + 9 = 1111111119 x 123456789 + 10 = 111111111111 x 11 = 121111 x 111 = 123211111 x 1111 = 1234321

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11111 x 11111 = 123454321111111 x 111111 = 123456543211111111 x 1111111 = 123456765432111111111 x 11111111 = 123456787654321111111111 x 111111111 = 123456789876543219 x 7 = 6399 x 77 = 7623999 x 777 = 7762239999 x 7777 = 7776222399999 x 77777 = 7777622223999999 x 777777 = 7777762222239999999 x 7777777 = 7777776222222399999999 x 77777777 = 77777776222222231 x 7 + 3 = 1014 x 7 + 2 = 100142 x 7 + 6 = 10001428 x 7 + 4 = 1000014285 x 7 + 5 = 100000142857 x 7 + 1 = 10000001428571 x 7 + 3 = 1000000014285714 x 7 + 2 = 100000000142857142 x 7 + 6 = 10000000001428571428 x 7 + 4 = 1000000000014285714285 x 7 + 5 = 100000000000142857142857 x 7 + 1 = 10000000000009 x 9 = 8199 x 99 = 9801999 x 999 = 9980019999 x 9999 = 9998000199999 x 99999 = 9999800001999999 x 999999 = 99999800000112 x 12 = 144, 21 x 21 = 44113 x 13 = 169, 31 x 31 = 961102x102 = 10404, 201x201 = 40401103x103 = 10609, 301x301 = 90601112x112 = 12544, 211x211 = 44521122x122 = 14884, 221x221 = 4884199 = 9+8+7+65+4+3+2+1100 = 1+2+3+4+5+6+7+8×9134498697 = 1 + 2^3 + 4^5 + 6^7 + 8^91000 = 8 + 8 + 8 + 88 + 888

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45 = 8+12+5+20, 8+2=12-2=5x2=20÷2=10100 = 12+20+4+64, 12+4=20-4=4x4=64÷4=16225 = 1+23+45+67+89, 89-67=67-45=45-23=23-1=225^2 + 2^1 = (5-2)^(2+1)

Notação: Para indicar que um número x está elevado a y, escreverei x^y, que é uma notação comum no meio científico.

Introdução aos números inteirosNa época do Renascimento, os matemáticos sentiram cada vez mais a necessidade de um novo tipo de número, que pudesse ser a solução de equações tão simples como:x + 2 = 0, 2x + 10 = 0, 4y + 4 = 0As Ciências precisavam de símbolos para representar temperaturas acima e abaixo de 0º C, por exemplo. Astrônomos e físicos procuravam uma linguagem matemática para expressar a atração entre dois corpos.

Quando um corpo age com uma força sobre outro corpo, este reage com uma força de mesma intensidade e sentido contrário. Mas a tarefa não ficava somente em criar um novo número, era preciso encontrar um símbolo que permitisse operar com esse número criado, de modo prático e eficiente.

Sobre a origem dos sinaisA idéia sobre os sinais vem dos comerciantes da época. Os matemáticos encontraram a melhor notação para expressar esse novo tipo de número. Veja como faziam tais comerciantes:Suponha que um deles tivesse em seu armazém duas sacas de feijão com 10 kg cada. Se esse comerciante vendesse num dia 8 Kg de feijão, ele escrevia o número 8 com um traço (semelhante ao atual sinal de menos) na frente para não se esquecer de que no saco faltava 8 Kg de feijão.Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 2 Kg que restaram, escrevia o número 2 com dois traços cruzados (semelhante ao atual sinal de mais) na frente, para se lembrar de que no saco havia 2 Kg de feijão a mais que a quantidade inicial.Com essa nova notação,os matemáticos poderiam, não somente indicar as quantidades, mas também representar o ganho ou a perda dessas quantidades, através de números, com sinal positivo ou negativo.

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O conjunto Z dos Números InteirosDefinimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por:Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}Exemplos de subconjuntos do conjunto Z(a) Conjunto dos números inteiros excluído o número zero:Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}(b) Conjunto dos números inteiros não negativos:Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}

(c) Conjunto dos números inteiros não positivos:Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0}

Observação: Não existe padronização para estas notações.

Reta NumeradaUma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, não haveria qualquer problema.Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor.

Ordem e simetria no conjunto ZO sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z).Exemplos:(a) 3 é sucessor de 2(b) 2 é antecessor de 3

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(c) -5 é antecessor de -4(d) -4 é sucessor de -5(e) 0 é antecessor de 1(f) 1 é sucessor de 0(g) -1 é sucessor de -2(h) -2 é antecessor de -1

Todo número inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -z e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância da origem do conjunto Z que é 0.Exemplos:(a) O oposto de ganhar é perder, logo o oposto de +3 é -3.(b) O oposto de perder é ganhar, logo o oposto de -5 é +5.

Módulo de um número InteiroO módulo ou valor absoluto de um número Inteiro é definido como sendo o maior valor (máximo) entre um número e seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais | |. Assim:|x| = max{-x,x}

Exemplos:(a) |0| = 0(b) |8| = 8(c) |-6| = 6

Observação: Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número inteiro corresponde à distância deste número até a origem (zero) na reta numérica inteira.

Soma (adição) de números inteirosPara melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.

ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7 (+3) + (+4) = (+7)perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7)ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3)perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)

Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.Exemplos:

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(a) -3 + 3 = 0(b) +6 + 3 = 9(c) +5 - 1 = 4

Propriedades da adição de números inteirosFecho: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.Associativa: Para todos a,b,c em Z:a + ( b + c ) = ( a + b ) + c2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7Comutativa: Para todos a,b em Z:a + b = b + a3 + 7 = 7 + 3Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z, isto é:z + 0 = z7 + 0 = 7Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal quez + (-z) = 09 + (-9) = 0

Multiplicação (produto) de números inteirosA multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderiamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consectivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é:1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos:2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos:(-2) + (-2) + ... + (-2) = 30 x (-2) = -60Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:

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(+1) × (+1) = (+1)(+1) × (-1) = (-1)(-1) × (+1) = (-1)(-1) × (-1) = (+1)

Com o uso das regras acima, podemos concluir que:Sinais dos números Resultado do produto

iguais positivodiferentes negativo

Propriedades da multiplicação de números inteirosFecho: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.Associativa: Para todos a,b,c em Z:a x ( b x c ) = ( a x b ) x c2 x ( 3 x 7 ) = ( 2 x 3 ) x 7Comutativa: Para todos a,b em Z:a x b = b x a3 x 7 = 7 x 3Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:z x 1 = z7 x 1 = 7

Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z-1=1/z em Z, tal que

z x z-1 = z x (1/z) = 19 x 9-1 = 9 x (1/9) = 1

Propriedade mista (distributiva)Distributiva: Para todos a,b,c em Z:a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )3 x ( 4 + 5 ) = ( 3 x 4 ) + ( 3 x 5 )

Potenciação de números inteiros

A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.

an = a × a × a × a × ... × a

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a é multiplicado por a n vezesExemplos:

a. 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32b. (-2)³ = (-2) x (-2) x (-2) = -8c. (-5)² = (-5) x (-5) = 25d. (+5)² = (+5) x (+5) = 25

com os exemplos acima, podemos observar que a potência de todo número inteiro elevado a um expoente par é um número positivo e a potência de todo número inteiro elevado a um expoente ímpar é um número que conserva o seu sinal.

Observação: Quando o expoente é n=2, a potência a² pode ser lida como: "a elevado ao quadrado" e quando o expoente é n=3, a potência a³ pode ser lida como: "a elevado ao cubo". Tais leituras são provenientes do fato que área do quadrado pode ser obtida por A=a² onde a é é a medida do lado e o volume do cubo pode ser obtido por V=a³ onde a é a medida do lado do cubo.

Potenciação com o browser

Para obter a potência Mn em seu navegador, como 125, digite (ou copie) a linha de comando:javascript:Math.pow(12,5)exatamente da forma como está escrito, na caixa que aparece em seu browser com o nome do arquivo que está sendo acessado neste momento (location=endereço). Após isto, pressione a tecla ENTER. Você verá uma nova janela com a resposta248832Para sair da janela com a resposta, pressione o botão Voltar (Back) de seu browser.

Radiciação de números inteirosA raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais não uso o símbolo de radical neste trabalho.

Observação: Por deficiência da linguagem HTML, que até hoje não implementou o sinal de raiz n-ésima, usarei Rn[a] para indicar a raiz n-ésima de a. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz de ordem 2 de um número inteiro a como R[a].

Assim, b é a raiz n-ésima de a se, e somente se, a=bn, isto é:

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b=Rn[a] se, e somente se, a=bn

A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a.

Observação: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. A existência de um número cujo quadrado é igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos números complexos.

Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:R[9] = ±3mas isto está errado. O certo é:R[9] = +3Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos.Exemplos:(a) R³[8] = 2, pois 2³ = 8.(b) R³[-8] = -2, pois (-2)³ = -8.(c) R³[27] = 3, pois 3³ = 27.(d) R³[-27] = -3, pois (-3)³ = -27.

Observação: Ao obedecer a regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que:(a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo.(b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.

DIVISIBILIDADE:Alguns critérios de divisibilidade

Divisibilidade por 2Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, mas 135 não é divisível por 2, pois é um número terminado com o algarismo 5 que não é

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par.

Divisibilidade por 3Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3.Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576 é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3, mas 134 não é divisível por 3, pois 1+3+4=8 que não é divisível por 3.

Divisibilidade por 4Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.Exemplos: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4, mas 1635 não é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4.

Divisibilidade por 5Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5.Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 (zero) nem 5.

Divisibilidade por 6Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3.Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 6, pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3.

Divisibilidade por 7Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:

16592 Número sem o último algarismo-16 Dobro de 8 (último algarismo)

16576 DiferençaRepete-se o processo com este último número.

1657 Número sem o último algarismo-12 Dobro de 6 (último algarismo)

1645 Diferença

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Repete-se o processo com este último número.164 Número sem o último algarismo-10 Dobro de 5 (último algarismo)154 Diferença

Repete-se o processo com este último número.15 Número sem o último algarismo-8 Dobro de 4 (último algarismo)7 Diferença

A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7.

Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:426 Número sem o último algarismo-2 Dobro do último algarismo

424 DiferençaRepete-se o processo com este último número.

42 Número sem o último algarismo-8 Dobro do último algarismo34 Diferença

A última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o número 4261 dado inicialmente não é divisível por 7.

Divisibilidade por 8Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8.Exemplos: 45128 é divisível por 8 pois 128 dividido por 8 fornece 16, mas 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível por 8.

Divisibilidade por 9Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9.Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9, mas 5381 não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não é divisível por 9.

Divisibilidade por 10Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 não termina

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em 0 (zero).

Divisibilidade por 11Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é um número divisível por 11. Como um caso particular, se Sp-Si=0 ou se Si-Sp=0, então o número é divisível por 11.

Exemplo: 1353 é divisível por 11, pois:

Número 1 3 5 3Ordem ímpar par ímpar par

O primeiro e o terceiro algarismos têm ordem impar e a sua soma é: Si=1+5=6, o segundo e o quarto algarismos têm ordem par e a sua soma é: Sp=3+3=6, assim a soma dos algarismos de ordem par Sp é igual à soma dos algarismos de ordem ímpar Si, logo o número é divisível por 11.

Exemplo: 29458 é divisível por 11, pois:

Número 2 9 4 5 8Ordem ímpar par ímpar par ímpar

A soma dos algarismos de ordem ímpar, Si=2+4+8=14, a soma dos algarismos de ordem par, Sp=9+5=14 e como ambas as somas são iguais, o número 29458 é divisível por 11.

Exemplo: 2543 não é divisível por 11, pois:

Número 2 5 4 3Ordem ímpar par ímpar par

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=2+4=6, a soma dos algarismos e ordem par é Sp=5+3=8 e como a diferença Si-Sp não é divisível por 11, o número original também não é divisível por 11.

Exemplo: 65208 é divisível por 11, pois:

Número 6 5 2 0 8Ordem ímpar par ímpar par ímpar

A soma dos algarismos de ordem impar é Si=6+2+8=16, a soma dos algarismos de ordem par é Sp=5+0=5. Como a diferença Si-Sp=11, o número 65208 é divisível por 11

Divisibilidade por 13

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Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invés de subtração.

Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar.1656 Número sem o último algarismo+8 Quatro vezes o último algarismo

1664 SomaRepete-se o processo com este último número.

166 Número sem o último algarismo+16 Quatro vezes o último algarismo182 Soma

Repete-se o processo com este último número.18 Número sem o último algarismo+8 Quatro vezes o último algarismo26 Soma

Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível por 13.

Divisibilidade por 16Um número é divisível por 16 se o número formado pelos seus quatro últimos algarismos é divisível por 16.Exemplos: 54096 é divisível por 16 pois 4096 dividido por 16 fornece 256, mas 45321 não é divisível por 16 pois 5321 não é divisível por 16.

Divisibilidade por 17Um número é divisível por 17 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 17. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 17.

Exemplo: 18598 é divisível por 17 pois:1859 Número sem o último algarismo-40 Cinco vezes o último algarismo

1819 DiferençaRepete-se o processo com este último número.

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181 Número sem o último algarismo-45 Cinco vezes o último algarismo136 Diferença

Repete-se o processo com este último número.13 Número sem o último algarismo-30 Cinco vezes o último algarismo-17 Diferença

A diferença, embora negativa, é divisível por 17, logo o número dado inicialmente também é divisível por 17.

Divisibilidade por 19Um número é divisível por 19 quando o dobro do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 19. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 19.

Exemplo: 165928 é divisível por 19? Vamos verificar.16592 Número sem o último algarismo+16 Dobro do último algarismo

16608 SomaRepete-se o processo com este último número.

1660 Número sem o último algarismo+16 Dobro do último algarismo1676 Soma

Repete-se o processo com este último número.167 Número sem o último algarismo+12 Dobro do último algarismo179 Soma

Repete-se o processo com este último número.17 Número sem o último algarismo

+18 Dobro do último algarismo35 Soma

Como a última soma não é divisível por 19, então o número dado inicialmente também não é divisível por 19.

Exemplo: 4275 é divisível por 19, pois:427 Número sem o último algarismo+10 Dobro do último algarismo

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437 SomaRepete-se o processo com este último número.

43 Número sem o último algarismo+14 Dobro do último algarismo57 Soma

Repete-se o processo com este último número.5 Número sem o último algarismo

+14 Dobro do último algarismo19 Soma

Como a última Soma é o próprio 19, segue que é divisível por 19, então o número 4275 dado inicialmente é divisível por 19.

Divisibilidade por 23Um número é divisível por 23 quando o héptuplo (7 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 23. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 23.

Exemplo: 185909 é divisível por 23? Vamos verificar.18590 Número sem o último algarismo+63 Dobro do último algarismo

18653 SomaRepete-se o processo com este último número.

1865 Número sem o último algarismo+21 Dobro do último algarismo1886 Soma

Repete-se o processo com este último número.188 Número sem o último algarismo+42 Dobro do último algarismo230 Soma

Como a última soma é divisível por 23, então o número dado inicialmente também é divisível por 23.

Divisibilidade por 29Um número é divisível por 29 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 29. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 29.

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Exemplo: O número 8598 é divisível por 29?859 Número sem o último algarismo-24 Dobro do último algarismo835 Diferença

Repete-se o processo com este último número.83 Número sem o último algarismo-15 Dobro do último algarismo68 Diferença

Repete-se o processo com este último número.6 Número sem o último algarismo

-24 Dobro do último algarismo-18 Diferença

A diferença, embora negativa, não é divisível por 29, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 29.

Divisibilidade por 31Um número é divisível por 31 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 31. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 31.

Exemplo: 8598 é divisível por 31?859 Número sem o último algarismo+24 Triplo do último algarismo883 Soma

Repete-se o processo com este último número.88 Número sem o último algarismo+9 Triplo do último algarismo97 Soma

Repete-se o processo com este último número.9 Número sem o último algarismo

+21 Triplo do último algarismo30 Soma

A soma não é divisível por 31, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 31.

Divisibilidade por 49

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Um número é divisível por 49 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 49. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 49.

Exemplo: 8598 é divisível por 49?859 Número sem o último algarismo+40 Cinco vezes o último algarismo899 Soma

Repete-se o processo com este último número.89 Número sem o último algarismo

+45 Cinco vezes o último algarismo134 Soma

Repete-se o processo com este último número.13 Número sem o último algarismo

+20 Cinco vezes o último algarismo33 Soma

A soma não é divisível por 49, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 49.

DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS:Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores.

Decomposição do número 24: 24 = 2 x 2 x 3 x 2

Decomposição do número 50: 50 = 2 x 5 x 5 50 = 5 x 2 x 5

Decomposição do numero 20: 20 = 2 x 5 x 2 20 = 5 x 2 x 2

Decomposição do número 50: 50 = 2 x 5 x 5. 50 = 5 x 2 x 5.

NÚMEROS RACIONAIS : Relacionando números racionais com frações

Um número racional é o que pode ser escrito na formam

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nonde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser não nulo, isto é, n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. Quando não existe possibilidade de divisão, simplesmente usamos uma letra como q para entender que este número é um número racional.Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão (em Latim: ratio=razão=divisão=quociente) entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero}Quando há interesse, indicamos Q+ para entender o conjunto dos números racionais positivos e Q_ o conjunto dos números racionais negativos. O número zero é também um número racional.No nosso link Frações já detalhamos o estudo de frações e como todo número racional pode ser posto na forma de uma fração, então todas as propriedades válidas para frações são também válidas para números racionais. Para simplificar a escrita, muitas vezes usaremos a palavra racionais para nos referirmos aos números racionais.

Dízima periódicaUma dízima periódica é um número real da forma:m,npppp...onde m, n e p são números inteiros, sendo que o número p se repete indefinidamente, razão pela qual usamos os três pontos: ... após o mesmo. A parte que se repete é denominada período.Em alguns livros é comum o uso de uma barra sobre o período ou uma barra debaixo do período ou o período dentro de parênteses, mas, para nossa facilidade de escrita na montagem desta Página, usaremos o período sublinhado.

Exemplos: Dízimas periódicas1. 0,3333333... = 0,32. 1,6666666... = 1,63. 12,121212... = 12,124. 0,9999999... = 0,95. 7,1333333... = 7,13

Uma dízima periódica é simples se a parte decimal é formada apenas pelo período. Alguns exemplos são:

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1. 0,333333... = 0,(3) = 0,32. 3,636363... = 3,(63) = 3,63

Uma dízima periódica é composta se possui uma parte que não se repete entre a parte inteira e o período. Por exemplo:

1. 0,83333333... = 0,832. 0,72535353... = 0,7253

Uma dízima periódica é uma soma infinita de números decimais. Alguns exemplos:1. 0,3333...= 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...2. 0,8333...= 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ...3. 4,7855...= 4,78 + 0,005 + 0,0005 + ...

A conexão entre números racionais e números reaisUm fato importante que relaciona os números racionais com os números reais é que todo número real que pode ser escrito como uma dízima periódica é um número racional. Isto significa que podemos transformar uma dízima periódica em uma fração.O processo para realizar esta tarefa será mostrado na sequência com alguns exemplos numéricos. Para pessoas interessadas num estudo mais aprofundado sobre a justificativa para o que fazemos na sequência, deve-se aprofundar o estudo de séries geométricas no âmbito do Ensino Médio ou mesmo estudar números racionais do ponto de vista do Cálculo Diferencial e Integral ou da Análise na Reta no âmbito do Ensino Superior.

A geratriz de uma dízima periódicaDada uma dízima periódica, qual será a fração que dá origem a esta dízima? Esta fração é de fato um número racional denominado a geratriz da dízima periódica. Para obter a geratriz de uma dízima periódica devemos trabalhar com o número dado pensado como uma soma infinita de números decimais. Para mostrar como funciona o método, utilizaremos diversos exemplos numéricos.

1. Seja S a dízima periódica 0,3333333..., isto é, S=0,3. Observe que o período tem apenas 1 algarismo. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:S = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 +...

Multiplicando esta soma "infinita" por 101=10 (o período tem 1 algarismo), obteremos:10 S = 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!

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Subtraindo membro a membro a penúltima expressão da última, obtemos:10 S - S = 3donde segue que9 S = 3Simplificando, obtemos:

S =1

3= 0,33333... = 0,3

Exercício: Usando o mesmo argumento que antes, você saberia mostrar que:0,99999... = 0,9 = 1

2. Vamos tomar agora a dízima periódica T=0,313131..., isto é, T=0,31. Observe que o período tem agora 2 algarismos. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:T =0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...Multiplicando esta soma "infinita" por 10²=100 (o período tem 2 algarismos), obteremos:100 T = 31 + 0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha, assim:100 T = 31 + Tde onde segue que99 T = 31e simplificando, temos que

T =31

99= 0,31313131... = 0,31

3. Um terceiro tipo de dízima periódica é T=7,1888..., isto é, T=7,18. Observe que existe um número com 1 algarismo após a vírgula enquanto que o período tem também 1 algarismo. Escreveremos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:R = 7,1 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...Manipule a soma "infinita" como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o primeiro membro para obter:R-7,1 = 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...

Multiplique agora a soma "infinita" por 101=10 (o período tem 1 algarismo),

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para obter:10(R-7,1) = 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:10(R-7,1) - (R-7,1) = 0,8Assim:10R - 71 - R + 7,1 = 0,8Para evitar os números decimais, multiplicamos toda a expressão por 10 e simplificamos para obter:90 R = 647Obtemos então:

T =647

90= 7,1888... = 7,18

4. Um quarto tipo de dízima periódica é T=7,004004004..., isto é, U=7,004. Observe que o período tem 3 algarismos, sendo que os dois primeiros são iguais a zero e apenas o terceiro é não nulo. Decomporemos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:U = 7 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...Manipule a soma "infinita" como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o primeiro membro para obter:U-7 = 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...Multiplique agora a soma "infinita" por 10³=1000 (o período tem 3 algarismos), para obter:1000(U-7) = 4 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:1000(U-7) - (U-7) = 4Assim:1000U - 7000 - U + 7 = 4Obtemos então999 U = 6997que pode ser escrita na forma:

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T =6997

999= 7,004004... = 7,004

Números irracionaisUm número real é dito um número irracional se ele não pode ser escrito na forma de uma fração ou nem mesmo pode ser escrito na forma de uma dízima periódica.Exemplo: O número real abaixo é um número irracional, embora pareça uma dízima periódica:x=0,10100100010000100000...Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta a cada passo. Existem infinitos números reais que não são dízimas periódicas e dois números irracionais muito importantes, são:e = 2,718281828459045...,Pi = 3,141592653589793238462643...que são utilizados nas mais diversas aplicações práticas como: cálculos de áreas, volumes, centros de gravidade, previsão populacional, etc...Exercício: Determinar a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 1 metro. O resultado numérico é um número irracional e pode ser obtido através da relação de Pitágoras. O resultado é a raiz quadrada de 2, denotada aqui por R[2] para simplificar as notações estranhas.

Representação, ordem e simetria dos racionaisPodemos representar geometricamente o conjunto Q dos números racionais através de uma reta numerada. Consideramos o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar e tomamos a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números racionais da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números racionais obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar em outras possibilidades.Dizemos que um número racional r é menor do que outro número racional s se a diferença r-s é positiva. Quando esta diferença r-s é negativa, dizemos que o número r é maior do que s. Para indicar que r é menor do que s, escrevemos:r < sDo ponto de vista geométrico, um número que está à esquerda é menor do que um número que está à direita na reta numerada.Todo número racional q exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou

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oposto -q e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto q como -q estão à mesma distância da origem do conjunto Q que é 0. Como exemplo, temos que:(a) O oposto de 3/4 é -3/4.(b) O oposto de 5 é -5.

Do ponto de vista geométrico, o simétrico funciona como a imagem virtual de algo colocado na frente de um espelho que está localizado na origem. A distância do ponto real q ao espelho é a mesma que a distância do ponto virtual -q ao espelho.

Módulo de um número racionalO módulo ou valor absoluto de um número racional q é maior valor entre o número q e seu elemento oposto -q, que é denotado pelo uso de duas barras verticais | |, por:|q| = max{-q,q}Exemplos: |0|=0, |2/7|=2/7 e |-6/7|=6/7.Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número racional q é a distância comum do ponto q até a origem (zero) que é a mesma distância do ponto -q à origem, na reta numérica racional.

A soma (adição) de números racionaisComo todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição entre os números racionais a/b e c/d, da mesma forma que a soma de frações, através de:

a

b+

c

d=

ad+bc

bd

Propriedades da adição de números racionaisFecho: O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda é um número racional.Associativa: Para todos a, b, c em Q:a + ( b + c ) = ( a + b ) + cComutativa: Para todos a, b em Q:a + b = b + aElemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:q + 0 = qElemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que

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q + (-q) = 0Subtração de números racionais: A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto de q, isto é:p - q = p + (-q)Na verdade, esta é uma operação desnecessária no conjunto dos números racionais.

A Multiplicação (produto) de números racionaisComo todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto de dois números racionais a/b e c/d, da mesma forma que o produto de frações, através de:

a

c

d=

ac

bd

O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática:(+1) × (+1) = (+1)(+1) × (-1) = (-1)(-1) × (+1) = (-1)(-1) × (-1) = (+1)

Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo.Propriedades da multiplicação de números racionaisFecho: O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um número racional.Associativa: Para todos a, b, c em Q:a × ( b × c ) = ( a × b ) × cComutativa: Para todos a, b em Q:a × b = b × aElemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:q × 1 = q

Elemento inverso: Para todo q=a/b em Q, q diferente de zero, existe q-1=b/a em Q, tal que

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q × q-1 = 1Esta última propriedade pode ser escrita como:

a

b

a= 1

Divisão de números racionais: A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é:

p ÷ q = p × q-1

Provavelmente você já deve ter sido questionado: Porque a divisão de uma fração da forma a/b por outra da forma c/d é realizada como o produto da primeira pelo inverso da segunda?A divisão de números racionais esclarece a questão:

a

c

d=

a

d

c=

ad

bcNa verdade, a divisão é um produto de um número racional pelo inverso do outro, assim esta operação é também desnecessária no conjunto dos números racionais.

Propriedade distributiva (mista)Distributiva: Para todos a, b, c em Q:a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )

Potenciação de números racionais

A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente.

qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)Exemplos:(a) (2/5)³ =(2/5) (2/5)×(2/5) = 8/125(b) (-1/2)³=(-1/2)×(-1/2)×(-1/2) = -1/8(c) (-5)² =(-5)×(-5) = 25(d) (+5)² =(+5)×(+5) = 25

Observação: Se o expoente é n=2, a potência q² pode ser lida como: q elevado ao quadrado e se o expoente é n=3, a potência q³ pode ser lida como: q elevado ao cubo. Isto é proveniente do fato que área do quadrado pode ser obtida por A=q² onde q é a medida do lado do quadrado e o volume do cubo pode ser obtido por V=q³ onde q é a medida da aresta do cubo.

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Raízes de números racionaisA raiz n-ésima (raiz de ordem n) de um número racional q é a operação que resulta em um outro número racional r que elevado à potência n fornece o número q. O número n é o índice da raiz enquanto que o número q é o radicando (que fica sob o estranho sinal de radical).Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais evito usar o símbolo de radical neste trabalho. Assim:

r = Rn[q] equivale a q = rn

Por deficiência da linguagem HTML, que ainda não implementou sinais matemáticos, denotarei aqui a raiz n-ésima de q por Rn[q]. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz quadrada (de ordem 2) de um número racional q por R[q].A raiz quadrada (raiz de ordem 2) de um número racional q é a operação que resulta em um outro número racional r não negativo que elevado ao quadrado seja igual ao número q, isto é, r²=q.Não tem sentido R[-1] no conjunto dos números racionais.Exemplos:(a) R³[125] = 5 pois 5³=125.(b) R³[-125] = -5 pois (-5)³=-125.(c) R[144] = 12 pois 12²=144.(d) R[144] não é igual a -12 embora (-12)²=144.

Observação: Não existe a raiz quadrada de um número racional negativo no conjunto dos números racionais. A existência de um número cujo quadrado seja igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos Números Complexos.Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas o aparecimento de:R[9] = ±3mas isto está errado. O certo é:R[9] = +3Não existe um número racional não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.A raiz cúbica (de ordem 3) de um número racional q é a operação que resulta na obtenção de um um outro número racional que elevado ao cubo seja igual ao número q. Aqui não restringimos os nossos cálculos são válidos para números positivos, negativos ou o próprio zero.Exemplos:(a) R³[8] = 2, pois 2³ = 8.(b) R³[-8] = -2, pois (-2)³ = -8.

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(c) R³[27] = 3, pois 3³ = 27.(d) R³[-27]= -3, pois (-3)³ = -27.

Observação: Obedecendo à regra dos sinais para a multiplicação de números racionais, concluímos que:(1) Se o índice n da raiz for par, não existe raiz de número racional negativo.(2) Se o índice n da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número racional.

Média aritmética e média ponderadaMédia aritmética: Seja uma coleção formada por n números racionais: x1, x2, x3, ..., xn. A média aritmética entre esses n números é a soma dos mesmos dividida por n, isto é:

A=x1 + x2 + x3 +...+ xn

n

Exemplo: Se um grupo de 9 pessoas tem as idades:12, 54, 67, 15, 84, 24, 38, 25, 33então a idade média do grupo pode ser calculada pela média aritmética:

A=12 + 54 + 67 + 15 + 84 + 24 + 38 + 25 + 33

9=

352

9= 39,11

o que significa que a idade média está próxima de 39 anos.Média aritmética ponderada: Consideremos uma coleção formada por n números racionais: x1, x2, x3, ..., xn, de forma que cada um esteja sujeito a um peso, respectivamente, indicado por: p1, p2, p3, ..., pn. A média aritmética ponderada desses n números é a soma dos produtos de cada um por seu peso, dividida por n, isto é:

P=

x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 +...+ xn pn

p1 + p2 + p3 +...+ pn

Exemplo: Um grupo de 64 pessoas, que trabalha (com salário por dia), em uma empresa é formado por sub-grupos com as seguintes características:

12 ganham R$ 50,0010 ganham R$ 60,00

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20 ganham R$ 25,0015 ganham R$ 90,00 7 ganham R$ 120,00

Para calcular a média salarial (por dia) de todo o grupo devemos usar a média aritmética ponderada:

P=50×12 + 60×10 + 25×20 + 90×15 + 120×7

12 + 10 + 20 + 15 + 7=

3890

64=60,78

Médias geométrica e harmônicaMédia geométrica: Consideremos uma coleção formada por n números racionais não negativos: x1, x2, x3, ..., xn. A média geométrica entre esses n números é a raiz n-ésima do produto entre esses números, isto é:

G = Rn[x1 x2 x3 ... xn]

Exemplo: A a média geométrica entre os números 12, 64, 126 e 345, é dada por:

G = R4[12 ×64×126×345] = 76,013

Aplicação prática: Dentre todos os retângulos com a área igual a 64 cm², qual é o retângulo cujo perímetro é o menor possível, isto é, o mais econômico? A resposta a este tipo de questão é dada pela média geométrica entre as medidas do comprimento a e da largura b, uma vez que a.b=64.A média geométrica G entre a e b fornece a medida desejada.G = R[a × b] = R[64] = 8Resposta: É o retângulo cujo comprimento mede 8 cm e é lógico que a altura também mede 8 cm, logo só pode ser um quadrado! O perímetro neste caso é p=32 cm. Em qualquer outra situação em que as medidas dos comprimentos forem diferentes das alturas, teremos perímetros maiores do que 32 cm.Interpretação gráfica: A média geométrica entre dois segmentos de reta pode ser obtida geometricamente de uma forma bastante simples.Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace um segmento de reta que contenha a junção dos segmentos AB e BC, de forma que eles formem segmentos consecutivos sobre a mesma reta.

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Dessa junção aparecerá um novo segmento AC. Obtenha o ponto médio O deste segmento e com um compasso centrado em O e raio OA, trace uma semi-circunferencia começando em A e terminando em C. O segmento vertical traçado para cima a partir de B encontrará o ponto D na semi-circunferência. A medida do segmento BD corresponde à média geométrica das medidas dos segmentos AB e BC.Média harmônica: Seja uma coleção formada por n números racionais positivos: x1, x2, x3, ..., xn. A média harmônica H entre esses n números é a divisão de n pela soma dos inversos desses n números, isto é:

NOÇÕES DE NÚMEROS REAIS:O conjunto dos números reais surge para designar a união do conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. É importante lembrar que o conjunto dos números racionais é formado pelos seguintes conjuntos: Números Naturais e Números Inteiros. Vamos exemplificar os conjuntos que unidos formam os números reais. Veja:

Números Naturais (N): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, .... Números Inteiros (Z): ..., –8, –7, –6, –5, –4, –3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ..... Números Racionais (Q): 1/2, 3/4, 0,25, –5/4, Números Irracionais (I): √2, √3, –√5, 1,32365498...., 3,141592....

Podemos concluir que o conjunto dos números reais é a união dos seguintes conjuntos:

N U Z U Q U I = R ou Q U I = R

Os números reais podem ser representados por qualquer número pertencente aos conjuntos da união acima . Essas designações de conjuntos numéricos existem no intuito de criar condições de resolução de equações e funções, as soluções devem ser dadas obedecendo aos padrões matemáticos e de acordo com a condição de existência da incógnita na expressão.

RELAÇÃO DE ORDEM:

Relação de Ordem

Uma relação de ordem R sobre um conjunto A é uma relação R que possui as propriedades reflexiva, anti-simétrica e transitiva.

Exemplos1. Seja R a relação em N definida por aRb se, e somente se, a<b. Para todo

número natural a tem-se a<a e vale a propriedade reflexiva. Se a<b e b<c então a<c e vale a propriedade transitiva.

2. Seja X um conjunto e P=P(X) o conjunto de todas as partes do conjunto X. Se M P e N P, definimos MRN se, e somente se, M N. R é uma relação de ordem.

3. Seja uma relação D sobre o conjunto N dos números naturais tal que

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(a,b) D se, e somente se, a|b (a divide b), isto é, se existe c N tal que b=ac. Qualquer que seja a N temos a|a pois a=a.1, garantindo que a relação é reflexiva. Se a N e b N e temos que a|b e b|a, então necessariamente temos que a=b e a relação é anti-simétrica. Se a|b e b|c então facilmente temos que a|c, garantindo que a relação é transitiva.

4. Definimos uma relação D sobre o conjunto dos números inteiros, com (a,b)D se, e somente se, a|b. Mostrar que esta relação D não é uma relação de ordem.

Exercícios:1. A ordem lexicográfica « sobre um conjunto A é aquela seguida na organização

de um dicionário.Em um dicionário a letra a precede a letra c, denotada por a«c que se lê: a precede c. Da mesma forma:a«abe, aab«aabc e bace«bbOutra situação: 1«3 que se lê: 1 precede 3. Analogamente:1«125, 112«1123 e 2135«22Mostrar que « é uma relação de ordem sobre N.

2. Se a Z e b Z definimos a relação a«b se, e somente se, b-a N. Mostrar que « é uma relação de ordem sobre Z.

QUANDO O ASSUNTO É RELAÇÃO DE ORDEM POUCAS PESSOAS ENTENDEM, TRATA-SE DE UM ASSUNTO SIMPLES, PORÉM POUCO UTILIZADO NAS SALAS DE AULA:SUGESTÃO DE VIDEO NA INTERNET, CASO VOCÊ TENHA INTERNET CLIQUE NO LINK ABAIXO:

http://www.youtube.com/watch?v=RGL52J3Z3FQVIDEO AULA DE RELAÇÃO DE ORDEM!

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VALOR ABSOLUTO:

Módulo ou valor absoluto:Calculando módulo:Considere a reta real:

Chamamos a distância de um ponto da reta à origem (distância do ponto até o zero) de módulo ou valor absoluto.

Assim, a distância do ponto 4 à origem é 4. Dizemos que o módulo de 4 é igual a 4. E representamos

|4| = 4

Da mesma forma, a distância do ponto -2 à origem é 2, ou seja, o módulo de -2 é 2, pois não há muito sentido em considerarmos distâncias negativas. Assim:

|-2| = 2

Outros exemplos:

|3| = 3

|-7| = 7

|0| = 0

|-1| = 1

Vamos generalizar:

Qual é o módulo de um número qualquer x?

|x| = ?

A resposta é: depende!

Pelos exemplos, podemos observar que, se x for um número positivo, seu módulo é igual a ele mesmo. Porém, se x for um número negativo, a distância não pode ser negativa, logo devemos mudar o sinal desse número, ou considerar o seu oposto (o mesmo número de sinal trocado).

Portanto, |x| = x, se x for um número positivo e |x| = -x, se x for um número negativo, pois devemos trocar o sinal do número negativo.Ou:

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Propriedades do Módulo

1) |a| = |-a|, para todo a real

Não é difícil constatar isso. Observe:

|2| = 2

|10| = 10

|-5| = 5

|-2| = 2

|-10| =10

|5| = 5

2) |x2|=|x|2 = x2, para todo x real

Verifiquemos isso para todas as possibilidades de valores de x: positivo, nulo ou negativo.

a) para x = 5

52 = 25

|5|2 = 52 = 25

|52|=|25|= 25

b) para x = 0

02 = 0

|0|2 = 02 = 0

|02|=|0|= 0

c) para x = -3

(-3) 2 = 9

|-3|2 = 32 = 9

|(-3) 2|=|9|= 9

Associada a essa propriedade está o fato de que

CUIDADO! É errado pensar que Isso só é verdadeiro para x ≥ 0.

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Veja:

Para x = 7

Para x = -2

3) |a . b|=|a|.|b|, para quaisquer a e b reais

Veja:

a) a e b positivos

a = 3 e b = 5

|3 . 5|= |15|= 15

|3|.|5|= 3 . 5 = 15

b) a e b de sinais opostos

a = -2 e b = 4

|-2 . 4|= |-8|= 8

|-2|.|4|= 2 . 4 = 8

c) a e b negativos

a = -7 e b = -10

|-7 . (-10)|= |70|= 70

|-7|.|-10|= 7 . 10 = 70

4) |a + b|&?8804;|a|+|b|, para quaisquer a e b reais

a) a e b positivos

a = 6 e b = 5

|6 + 5|= |11|= 11

|6|+|5|= 6 + 5 = 11

|6 + 5|=|6|+|5|

b) a e b de sinais opostos

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a = -5 e b =1

|-5 + 1|= |-4|= 4

|-5|+|1|= 5 + 1 = 6

|-5 + 1|<|-5|+|1|

c) a e b negativos

a = -8 e b = -3

|-8 + (-3)|= |-11|= 11

|-8|+|-3|= 8 + 3 = 11

|-8 + (-3)|= |-8|+|-3|

5)||a|-|b||&?8804;|a - b|, para quaisquer a e b reais

d) a e b positivos

a = 4 e b = 1

||4|-|1||=|4 - 1|= |3|= 3

|4 - 1|= |3|= 3

||4|-|1||=|4 - 1|

e) a e b de sinais opostos

a = -1 e b =9

||-1|-|9||=|1 - 9|= |-8|= 8

|-1 - 9|= |-10|= 10

||-1|-|9||<|-1 - 9|

f) a e b negativos

a = -10 e b = -3

||-10|-|-3||=|10 - 3|= |7|= 7

|-10 - (-3)|= |-7|= 7

||-10|-|-3||=|-10 - (-3)|

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g) a e de sinais opostos

a = 4 e b = -3

||4|-|-3||=|4 - 3|= |1|= 1

|4 - (-3)|= |7|= 7

||4|-|-3||<|4 - (-3)|

Além dessas propriedades, não é difícil verificar que |a - b|=| b - a|, para quaisquer a e b reais.

Exercícios resolvidos

1) Calcular:

a) |6|+ 1 = 6 + 1 = 7

b) |-5|+ 9 = 5 + 9 = 16

c) |-10|- 1 = 10 -1 = 9

d) |-6|- |-2| = 6 - 2 = 4

e) |0,2 - 0,9|= |-0,7|= 0,7

f)

g) |3 - x|, para x = -3

|3 - x|= |3 - (-3)|= |6|= 6

h)

Note que . Assim:

2) Escrever uma expressão equivalente sem o módulo:

a) |x - 6|, sendo x um número real qualquer

b) |x - 6|, com x > 6

Como x > 6, a expressão de dentro do módulo é positiva. Logo, nesse caso, |x - 6|= x - 6.

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c) |x - 1|+ |x - 3|, com x > 3

Como x > 3, as duas expressões são positivas.Logo, nesse caso, |x - 1|+ |x - 3|= x - 1+ x - 3 = 2x - 4.

3) Achar os possíveis valores de x, em cada caso:

a) x = | - 1|

Resposta: x = 1

b) |x|= 1

Resposta: x = 1 ou x = -1, pois |1|= |-1|= 1

c) |x|= -1

Resposta: x não existe, pois não existe um número tal que seu módulo seja negativo.

d) X2 = 36

Resposta: x = 6 ou x = -6

e) |x|= |-2|

Resposta: x = -2 ou x = 2, pois |2|= |-2|= 2

Sugestão de video para valor absoluto: Atenção =>necessita de internet:http://www.youtube.com/watch?v=68s-LannfSI VIDEO PARTE Ihttp://www.youtube.com/watch?v=jrc5K4vo-EE VIDEO PARTE II

EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU:Introdução às equações de primeiro grauPara resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática. Esta é a parte mais importante e talvez seja a mais difícil da Matemática.

Sentença com palavras Sentença matemática

2 melancias + 2Kg = 14Kg 2 x + 2 = 14

Normalmente aparecem letras conhecidas como variáveis ou incógnitas. A partir daqui, a Matemática se posiciona perante diferentes situações e será necessário conhecer o valor de algo desconhecido, que é o objetivo do estudo de equações.

Equações do primeiro grau em 1 variávelTrabalharemos com uma situação real e dela tiraremos algumas informações

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importantes. Observe a balança:

A balança está equilibrada. No prato esquerdo há um "peso" de 2Kg e duas melancias com "pesos" iguais. No prato direito há um "peso" de 14Kg. Quanto pesa cada melancia?2 melancias + 2Kg = 14KgUsaremos uma letra qualquer, por exemplo x, para simbolizar o peso de cada melancia. Assim, a equação poderá ser escrita, do ponto de vista matemático, como:2x + 2 = 14Este é um exemplo simples de uma equação contendo uma variável, mas que é extremamente útil e aparece na maioria das situações reais. Valorize este exemplo simples.Podemos ver que toda equação tem:

Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis ou incognitas;

Um sinal de igualdade, denotado por =.

Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da esquerda;

Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da direita.

No link Expressões Algébricas, estudamos várias situações contendo variáveis. A letra x é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa desconhecida e equação tem o prefixo equa que provém do Latim e significa igual.

2 x + 2 = 141o. membro sinal de igualdade 2o. membro

As expressões do primeiro e segundo membro da equação são os termos da equação.Para resolver essa equação, utilizamos o seguinte processo para obter o valor de x.

2x + 2 = 14 Equação original2x + 2 - 2 = 14 - 2 Subtraímos 2 dos dois membros

2x = 12 Dividimos por 2 os dois membrosx = 6 Solução

Observação: Quando adicionamos (ou subtraímos) valores iguais em ambos os membros da equação, ela permanece em equilíbrio. Da mesma forma, se

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multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equação por um valor não nulo, a equação permanece em equilíbrio. Este processo nos permite resolver uma equação, ou seja, permite obter as raízes da equação.Exemplos:

1. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo a=c-4. Assim:c + a = 22c + (c - 4) = 222c - 4 = 222c - 4 + 4 = 22 + 42c = 26c = 13

Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.2. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas

cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?Solução: Identificaremos a população da cidade A com a letra a e a população da cidade com a letra b. Assumiremos que a=3b. Dessa forma, poderemos escrever:a + b = 100.0003b + b = 100.0004b = 100.000b = 25.000

Resposta: Como a=3b, então a população de A corresponde a: a=3×25.000=75.000 habitantes.

3. Uma casa com 260m2 de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140m2?Solução: Tomaremos a área de cada dormitório com letra x.3x + 140 = 2603x = 260 -1403x = 120x = 40

Resposta: Cada quarto tem 40m2.Exercícios: Resolver as equações

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1. 2x + 4 = 102. 5k - 12 = 203. 2y + 15 - y = 224. 9h - 2 = 16 + 2h

Desigualdades do primeiro grau em 1 variávelRelacionadas com as equações de primeiro grau, existem as desigualdades de primeiro grau, (também denominadas inequações) que são expressões matemáticas em que os termos estão ligados por um dos quatro sinais:

< menor > maior < menor ou igual > maior ou igual

Nas desigualdades, o objetivo é obter um conjunto de todas os possíveis valores que pode(m) assumir uma ou mais incógnitas na equação proposta.Exemplo: Determinar todos os números inteiros positivos para os quais vale a desigualdade:2x + 2 < 14Para resolver esta desigualdade, seguiremos os seguintes passos:

Passo 1 2x + 2 < 14 Escrever a equação originalPasso 2 2x + 2 - 2 < 14 - 2 Subtrair o número 2 dos dois membrosPasso 3 2x < 12 Dividir pelo número 2 ambos os membrosPasso 4 x < 6 Solução

Concluímos que o conjunto solução é formado por todos os números inteiros positivos menores do que 6:S = {1, 2, 3, 4, 5}Exemplo: Para obter todos os números pares positivos que satisfazem à desigualdade2x + 2 < 14obteremos o conjunto solução:S = {2, 4}Observação: Se há mais do que um sinal de desigualdade na expressão, temos várias desigualdades "disfarçadas" em uma.Exemplo: Para determinar todos os números inteiros positivos para os quais valem as (duas) desigualdades:12 < 2x + 2 < 20poderemos seguir o seguinte processo:

12 < 2x + 2 < 20 Equação original

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12 - 2 < 2x + 2 - 2 < 20 - 2 Subtraímos 2 de todos os membros10 < 2x < 18 Dividimos por 2 todos os membros5 < x < 9 Solução

O conjunto solução é:S = {6, 7, 8, 9}Exemplo: Para obter todos os números inteiros negativos que satisfazem às (duas) desigualdades12 < 2x + 2 < 20obteremos apenas o conjunto vazio, como solução, isto é:S = Ø = { }

Desigualdades do primeiro grau em 2 variáveisUma situação comum em aplicações é aquela em que temos uma desigualdade envolvendo uma equação com 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 incógnitas x e y. Uma forma geral típica, pode ser:a x + b y < conde a, b e c são valores dados.Exemplo: Para obter todos os pares ordenados de números reais para os quais:2x + 3y > 0observamos que o conjunto solução contém os pares:(0,0), (1,0), (0,1), (-1,1), (1,-1), ...Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma solução geométrica satisfatória.Processo geométrico:(1) Traçamos a reta 2x+3y=0;(2) Escolhemos um par ordenado, como (1,1), fora da reta;(3) Se (1,1) satisfaz à desigualdade 2x+3y>0, colorimos a região que contém este ponto, caso contrário, colorimos a região que está do outro lado da reta.(4) A região colorida é o conjunto solução para a desigualdade.

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Sistemas linear de equações do primeiro grauUma equação do primeiro grau, é aquela em que todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. Este tipo de equação poderá ter mais do que uma incógnita.Um sistema de equações do primeiro grau em duas incógnitas x e y, é um conjunto formado por duas equações do primeiro nessas duas incógnitas.Exemplo: Seja o sistema de duas equações:2 x + 3 y = 383 x - 2 y = 18Resolver este sistema de equações é o mesmo que obter os valores de x e de y que satisfazem simultaneamente a ambas as equações.x=10 e y=6 são as soluções deste sistema e denotamos esta resposta como um par ordenado de números reais:S = { (10,6) }

Método de substituição para resolver este sistemaEntre muitos outros, o método da substituição, consiste na idéia básica de isolar o valor algébrico de uma das variáveis, por exemplo x, e, aplicar o resultado à outra equação.Para entender o método, consideremos o sistema:2 x + 3 y = 383 x - 2 y = 18Para extrair o valor de x na primeira equação, usaremos o seguinte processo:

2x + 3y = 38 Primeira equação2x + 3y - 3y = 38 - 3y Subtraímos 3y de ambos os membros

2x = 38 - 3y Dividimos ambos os membros por 2x = 19 - (3y/2) Este é o valor de x em função de y

Substituímos aqora o valor de x na segunda equação 3x-2y=18:

3x - 2y = 18 Segunda equação3(19 - (3y/2)) - 2y = 18 Após substituir x, eliminamos os parênteses

57 - 9y/2 - 2y = 18 multiplicamos os termos por 2114 - 9y - 4y = 36 reduzimos os termos semelhantes

114 - 13y = 36 separamos variáveis e números114 - 36 = 13y simplificamos a equação

78 = 13y mudamos a posição dos dois membros13 y = 78 dividimos ambos os membros por 6

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y = 6 Valor obtido para ySubstituindo y=6 na equação x=19-(3y/2), obtemos:x = 19 - (3×6/2) = 19 - 18/2 = 19-9 = 10Exercício: Determinar a solução do sistema:x + y = 2x - y = 0Cada equação do sistema acima pode ser visto como reta no plano cartesiano. Construa as duas retas no plano e verifique que, neste caso, a solução é um par ordenado que pertence à interseção das duas retas.

Relação entre sistemas lineares e retas no planoNo contexto que estamos trabalhando aqui, cada equação da forma ax+by=c, representa uma reta no plano cartesiano. Um sistema com duas equações de primeiro grau em 2 incógnitas sempre pode ser interpretado como um conjunto de duas retas localizadas no plano cartesiano.Reta 1: ax + by = cReta 2: dx + ey = fHá três modos de construir retas no plano: retas concorrentes, retas paralelas e retas coincidentes.

Se o sistema é formado por duas equações que são retas no plano cartesiano, temos a ocorrência de:Retas concorrentes: quando o sistema admite uma única solução que é um par ordenado localizado na interseção das duas retas;Retas paralelas: quando o não admite solução, pois um ponto não pode estar localizado em duas retas paralelas;Retas coincidentes: quando o admite uma infinidade de soluções pois as retas estão sobrepostas.Exemplos das três situações

Tipos de retas Sistema

Concorrentes x + y = 2x - y = 0

Paralelas x + y = 2x + y = 4

Coincidentes x + y = 2

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2x + 2y = 4Problemas com sistemas de equações:

1. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.Solução: A idade de André será tomada com a letra A e a idade de Carlos com a letra C. O sistema de equações será:C + A = 22C - A = 4

Resposta: C = 13 e A = 92. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas

cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?Solucão: Identificando a população da cidade A com a letra A e a população da cidade B com B, o sistema de equações será:A + B = 100000A = 3B

Resposta: A = 75000, B= 25000.

3. Uma casa com 260m2 de área construída tem 3 dormitórios de mesmo tamanho. Qual é a área de cada dormitório se as outras dependências da casa ocupam 140m2?Solução: Identificaremos a área de cada dormitório com a letra D e a área das outras dependências com a letra O. Assim, o sistema será:3D + O = 260O = 140

Resposta: D = 40Desigualdades com 2 Equações em 2 variáveisOutra situação bastante comum é aquela em que existe uma desigualdade com 2 equações em 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 equações e 2 incógnitas x e y. Uma forma geral pode ter a seguinte forma típica:a x + b y < cd x + e y > fonde as constantes: a, b, c, d, e, f; são conhecidas.Exemplo: Determinar todos os pares ordenados de números reais para os quais:2x + 3y > 65x + 2y < 20Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que

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torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma solução geométrica satisfatória.Processo geométrico:(1) Traçar a reta 2x+3y=6 (em vermelho);(2) Escolher um ponto fora da reta, como o par (2,2) e observar que ele satisfaz à primeira desigualdade;(3) Devemos colorir o semi-plano contendo o ponto (2,2) (em verde);(4) Traçar a reta 5x+2y=20 (em azul);(5) Escolher um ponto fora da reta, por exemplo, o próprio par já usado antes (2,2) (não é necessário que seja o mesmo) e observamos que ele satisfaz à segunda desigualdade;(6) Colorir o semi-plano contendo o ponto (2,2), inclusive a própria reta. (cor azul)(7) Construir a interseção (em vermelho) das duas regiões coloridas.(8) Esta interseção é o conjunto solução para o sistema com as duas desigualdades.

EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU:

Antes de estudar sobre equação do segundo grau entenda a sequência:Introdução às equações algébricasEquações algébricas são equações nas quais a incógnita x está sujeita a operações algébricas como: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação.Exemplos:

1. a x + b = 02. a x² + bx + c = 0

3. a x4 + b x² + c = 0Uma equação algébrica está em sua forma canônica, quando ela pode ser escrita como:

ao xn + a1 xn-1 + ... + an-1 x1 + an = 0

onde n é um número inteiro positivo (número natural). O maior expoente da incógnita

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em uma equação algébrica é denominado o grau da equação e o coeficiente do termo de mais alto grau é denominado coeficiente do termo dominante.Exemplo: A equação 4x²+3x+2=0 tem o grau 2 e o coeficiente do termo dominante é 4. Neste caso, dizemos que esta é uma equação do segundo grau.

A fórmula quadrática de Sridhara (Bhaskara)Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.Seja a equação:a x² + b x + c = 0com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos:x² + (b/a) x + c/a = 0Passando o termo constante para o segundo membro, teremos:x² + (b/a) x = -c/aProsseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o quadrado de b/2a a ambos os membros da equação para obter:x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²Simplificando ambos os lados da equação, obteremos:

[x+(b/2a)]2 = (b² - 4ac) / 4a²Notação: Usaremos a notação R[x] para representar a raiz quadrada de x>0. R[5] representará a raiz quadrada de 5. Esta notação está sendo introduzida aqui para fazer com que a página seja carregada mais rapidamente, pois a linguagem HTML ainda não permite apresentar notações matemáticas na Internet de uma forma fácil.Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação:x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²]oux + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a²]

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que alguns, por preguiça ou descuido, escrevem:

contendo um sinal ± que é lido como mais ou menos. Lembramos que este sinal ± não tem qualquer significado em Matemática.Como estamos procurando duas raízes para a equação do segundo grau, deveremos sempre escrever:x' = -b/2a + R[b²-4ac] /2aoux" = -b/2a - R[b²-4ac] /2aA fórmula de Bhaskara ainda pode ser escrita como:

onde D (às vezes usamos a letra maiúscula "delta" do alfabeto grego) é o discriminante da equação do segundo grau, definido por:D = b² - 4ac

Equação do segundo grauUma equação do segundo grau na incógnita x é da forma:a x² + b x + c = 0onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado.

Equação Completa do segundo grauUma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.Exemplos:

1. 2 x² + 7x + 5 = 02. 3 x² + x + 2 = 0

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Equação incompleta do segundo grauUma equação do segundo grau é incompleta se b=0 ou c=0 ou b=c=0. Na equação incompleta o coeficiente a é diferente de zero.Exemplos:

1. 4 x² + 6x = 02. 3 x² + 9 = 03. 2 x² = 0

Resolução de equações incompletas do 2o. grauEquações do tipo ax²=0: Basta dividir toda a equação por a para obter:x² = 0significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.Equações do tipo ax²+c=0: Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter:x² = -c/aSe -c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.Se -c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais contrários.Equações do tipo ax²+bx=0: Neste caso, fatoramos a equação para obter:x (ax + b) = 0e a equação terá duas raízes:x' = 0 ou x" = -b/a

Exemplos gerais1. 4x²=0 tem duas raízes nulas.2. 4x²-8=0 tem duas raízes: x'=R[2], x"= -R[2]3. 4x²+5=0 não tem raízes reais.4. 4x²-12x=0 tem duas raízes reais: x'=3, x"=0

Exercícios: Resolver as equações incompletas do segundo grau.1. x² + 6x = 02. 2 x² = 03. 3 x² + 7 = 04. 2 x² + 5 = 05. 10 x² = 0

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6. 9 x² - 18 = 0

Resolução de equações completas do 2o. grauComo vimos, uma equação do tipo: ax²+bx+c=0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:

onde D=b²-4ac é o discriminante da equação.Para esse discriminante D há três possíveis situações:

1. Se D<0, não há solução real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo.

2. Se D=0, há duas soluções iguais:x' = x" = -b / 2a

3. Se D>0, há duas soluções reais e diferentes:x' = (-b + R[D])/2ax" = (-b - R[D])/2a

Exemplos: Preencher a tabela com os coeficientes e o discriminante de cada equação do segundo grau, analisando os tipos de raízes da equação.

Equação a b c Delta Tipos de raízesx²-6x+8=0 1 -6 8 4 reais e diferentes

x²-10x+25=0 x²+2x+7=0 x²+2x+1=0

x²+2x=0

O uso da fórmula de BhaskaraVocê pode realizar o Cálculo das Raízes da Equação do segundo grau com a entrada dos coeficientes a, b e c em um formulário, mesmo no caso em que D é negativo, o que força a existência de raízes complexas conjugadas. Para estudar estas raízes, visite o nosso link Números Complexos.Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:x² - 5 x + 6 = 0

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1. Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=62. Escrever o discriminante D = b²-4ac.3. Calcular D=(-5)²-4×1×6=25-24=14. Escrever a fórmula de Bhaskara:

5. Substituir os valores dos coeficientes a, b e c na fórmula:x' = (1/2)(5+R[1]) = (5+1)/2 = 3x" = (1/2)(5-R[1]) = (5-1)/2 = 2

Exercícios1. Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso:

a. x² + 9 x + 8 = 0b. 9 x² - 24 x + 16 = 0c. x² - 2 x + 4 = 0d. 3 x² - 15 x + 12 = 0e. 10 x² + 72 x - 64 = 0

2. Resolver as equações:a. x² + 6 x + 9 = 0b. 3 x² - x + 3 = 0c. 2 x² - 2 x - 12 = 0d. 3 x² - 10 x + 3 = 0

Equações fracionárias do segundo grauSão equações do segundo grau com a incógnita aparecendo no denominador.Exemplos:

1. 3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 02. 3/(x²-4)+1/(x-2)=0

Para resolver este tipo de equação, primeiramente devemos eliminar os valores de x que anulam os denominadores, uma vez que tais valores não servirão para as raízes da equação, pois não existe fração com denominador igual a 0. Na sequência

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extraímos o mínimo múltiplo comum de todos os termos dos denominadores das frações, se houver necessidade.

1. Consideremos o primeiro exemplo:3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 0x deve ser diferente de 3, diferente de 2 e diferente de -2, assim podemos obter o mínimo múltiplo comum entre os termos como:MMC(x) = (x² - 4)(x - 3)Reduzindo as frações ao mesmo denominador que deverá ser MMC(x), teremos:[3(x-3) + 1(x²-4)] / (x²-4)(x-3) = 0o que significa que o numerador deverá ser:3(x - 3) + 1(x² - 4) = 0que desenvolvido nos dá:

x2 + 3x - 13 = 0que é uma equação do segundo grau que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara. Não existirão números reais satisfazendo esta equação.

2. Consideremos agora o segundo exemplo:(x+3)/(2x-1)=2x/(x+4)O mínimo múltiplo comum entre 2x-1 e x+4 é MMC=(2x-1)(x-4) (o produto entre estes fatores) e MMC somente se anulará se x=1/2 ou x= -4. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, teremos uma sequência de expressões como:(x+3)(x+4)=2x(2x-1)x² + 7x + 12 = 4x² - 2x-3x² + 9x + 12 = 03x² - 9x - 12 = 0x² - 3x - 4 = 0(x-4)(x+1) = 0

Solução: x'=4 ou x"= -13. Estudemos outro exemplo:

3/(x²-4)+1/(x-2)=0O mínimo múltiplo comum é MMC=x²-4=(x-2)(x+2) e este MMC somente se anulará se x=2 ou x= -2. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, obteremos:3 + (x+2)=0cuja solução é x= -5

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Exercícios: Resolver as equações do segundo grau fracionárias:1. x + 6/x = -72. (x+2)/(x+1) = 2x/(x-4)3. (2-x)/x + 1/x² = 3/x4. (x+2)/(x-2) + (x-2)/(x+2) = 1

Equações bi-quadradasSão equações do 4o. grau na incógnita x, da forma geral:

a x4 + b x² + c = 0Na verdade, esta é uma equação que pode ser escrita como uma equação do segundo grau através da substituição:y = x²para gerara y² + b y + c = 0Aplicamos a fórmula quadrática para resolver esta última equação e obter as soluções y' e y" e o procedimento final deve ser mais cuidadoso, uma vez quex² = y' ou x² = y"e se y' ou y" for negativo, as soluções não existirão para x.Exemplos:

1. Para resolver x4-13x²+36=0, tomamos y=x², para obter y²-13y+36=0, cujas raízes são y'=4 ou y"=9, assim:x² = 4 ou x² = 9o que garante que o conjunto solução é:S = { 2, -2, 3, -3}

2. Para resolver x4-5x²-36=0, tomamos y=x², para obter y²-5y-36=0, cujas raízes são y'= -4 ou y"=9 e desse modo:x² = -4 ou x² = 9o que garante que o conjunto solução é:S = {3, -3}

3. Se tomarmos y=x² na equação x4+13x²+36=0, obteremos y²+13y+36=0, cujas raízes são y'= -4 ou y"= -9 e dessa forma:x² = -4 ou x² = -9o que garante que o conjunto solução é vazio.

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Sugestão de video para equação do 2ºGrau: Atenção =>necessita de internet:http://www.youtube.com/watch?v=3qs463FeXlo PRIMEIRO VIDEO!http://www.youtube.com/watch?v=IAFxM391knY SEGUNDO VIDEO!

PROBLEMAS ENVOLVENDO AS 4 OPERAÇÕES:Abaixo segue operações simples, tendo em vista que a matéria citada é apenas uma revisão, logo após exercícios:

* Adição

A primeira operação fundamental na Matemática é a adição. Esta operação nada mais é que o ato de adicionar ou adir algo. É reunir todas as frações ou totalidades de algo.

A adição é chamada de operação. A soma dos números chamamos de resultado da operação.

Relembrar: 10 + 5 = 15

10 e 5 são as parcelas; 15 é a soma ou resultado da operação de adição. A operação realizada acima denomina-se, então, ADIÇÃO.

A adição de dois ou mais números é indicada pelo sinal +.

Para calcular a adição, colocamos os números em ordem de unidade, dezena, centena e milhar. Feito isto pode ser efetuada a soma da operação adição.

Exemplo:

1.253 + 2.715

MILHAR CENTENA DEZENA UNIDADE 1 2 5 32 7 1 5

Resultado: Adiciona-se 1 milhar a 2 milhares = 3 milhares (3 mil), adiciona-se 2 centenas a 7 centenas (9 centenas), adiciona-se 5 dezenas a 1 dezena (6 dezenas), adiciona-se 3 unidades a 5 unidades(8 unidades), então 3.968 é o resultado (ou seja, a soma) da operação adição dos números 1.253+2.715.

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Diante da operação de adição, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas:

1) Observe: 4 + 5 = 9 4 + 5 = 5 + 4 onde 5 + 4 = 9

Deduz-se :

1. 4 + 5 e 5 + 4 possuem a mesma soma. 2. As ordens das parcelas não alteram o resultado da soma. 3. A propriedade que permite trocar ou mudar (comutar, permutar) a ordem das parcelas é a

propriedade comutativa.

A propriedade comutativa da adição é representada pela sentença: a + b = b + a e é denominada comutativa da adição.

2) Consideramos três parcelas 5, 4, 2, assim são indicadas: (5+4)+2. Efetuando a operação de adição entre parênteses temos o resultado a soma 9, na seqüência adicionamos a número 2, e mediante isto temos o resultado final a soma 11.

Isto é: (5+4) + 2 = 11 (resultado soma final)

Observe, agora, a soma final conforme outra indicação:

5 + (4+2) = 11 (resultado soma final).

Deduz-se :

Na adição de três parcelas, é indiferente associar as duas primeiras e posteriormente a terceira, ou associar as duas últimas e posteriormente associar a primeira. Esta propriedade tem como denominação propriedade associativa.

Assim fixa-se esta propriedade: a + (b+c) = (a+c) + b

3) Tendo como base os últimos exemplos, conclui-se que existe um número que não altera a o resultado final da soma, mesmo comutando a ordem das parcelas. Este número é o zero (0).

Assim fixa-se esta propriedade: a+0 = 0+a = a (Neutro da adição)

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* Subtração

A subtração é o ato ou efeito de subtrair algo. É diminuir alguma coisa. O resultado desta operação de subtração denomina-se diferença ou resto.

Relembrar: 9 – 5 = 4

Essa igualdade tem como resultado a subtração.

Os números 9 e 5 são os termos da diferença 9-5. Ao número 9 dar-se o nome de minuendo e 5 é o subtraendo.

O valor da diferença 9-5 é 4, este número é chamado de resto ou excedente de 9 sobre 5.

Veja as análises abaixo:

1. 10 – 10 = 0 > O minuendo pode ser igual ao subtraendo. 2. 9 – 11 > é impraticável em N, é o mesmo que escrever 9 – 11 não pertence N.

Assim, o subtraendo deve ser menor ou igual ao minuendo, para que uma operação de subtração se realize em N.

A operação de subtração nem sempre é viável entre dois números naturais. Então, é necessário que em uma subtração em N, o minuendo seja maior ou igual ao subtraendo.

Diante da operação de subtração, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas:

1. O conjunto N não é fechado em relação à operação de subtração, pois 4 – 5 não pertence a N.

2. A subtração em N não possui elemento neutro em relação à operação de subtração:

6 – 0 = 6 Entretanto: 0 – 6 ≠ 6

Logo: 0 – 6 ≠ 6 -0

3. A subtração no conjunto N não admite propriedade comutativa, pois: 4 – 5 ≠ 5 – 4.

4. A subtração no conjunto N não aceita a propriedade associativa, pois (10 – 4) – 2 ≠ 10 – (4-2)

A operação de subtração pode ser considerada como a operação inversa da adição.

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Considerando:

7 + 2 = 9 “equivale a” 7= 9 – 2

7 + 2 = 9 “equivale a” 2= 9 - 7

Concluindo: a) A subtração é inversa a adição. b) Uma das parcelas é igual a soma menos a outra.

Observe esta sentença:

Y + a = c ou a + y = c

Suponha que a e c são dois números naturais conhecidos e x também é um número natural, mas desconhecido. De que modo é possível calcular o valor de x?

Desta forma: a + c = a ou a + y = c > y = a - c

* Multiplicação

É a ação de multiplicar. Denomina-se a operação matemática, que consiste em repetir um número, chamado multiplicando, tantas vezes quantas são as unidades de outro, chamado multiplicador, para achar um terceiro número que representa o produto dos dois.

Definindo ainda, multiplicação é a adição de parcelas iguais, onde o produto é o resultado da operação multiplicação; e os fatores são os números que participam da operação.

a. b = c a.b > fatores c > produto da operação.

De um modo mais amplo e um pouco avançado, podemos expressar:

A + a = a x 2 ou a.2 ou simplesmente 2a

Y + y +y = y x 3 ou y.3 ou simplesmente 3y

W+w+w+w+w+w = w x 6 ou w.6 ou simplesmente 6w

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Diante da operação da multiplicação, são retiradas algumas propriedades, que serão definidas:

1. a propriedade que permite comutar (ou trocar/mudar) a ordem dos fatores é a propriedade comutativa, no caso da operação de multiplicação e pode ser assim simbolizada:

a . b = b . a ou a x b = b x a Comutativa da multiplicação

2. para fazer o cálculo 4.5.6, pode ser usado este caminho :

(4.5) . 6 > Calcula-se primeiro o que se encontra dentro dos parênteses (que é 20), em seguida multiplica-se por 6, dando o resultado = 120

A essa regra de associar fatores da operação multiplicação chama-se associativa da multiplicação.

3. A propriedade comutativa nos permite que seja usado:

1 . x = x ou x.1 = x

É fácil checar que qualquer que seja o número colocado no lugar do X, terá como produto da operação o próprio X.

Então podemos notar que o elemento neutro da multiplicação é o número 1.

4. Multiplicando-se dois números naturais o resultado será sempre um número natural que pode ser traduzido a propriedade do fechamento da multiplicação

A pertence N e B pertence N (a.b) pertence N

* Divisão

É o ato de dividir ou fragmentar algo. É a operação na matemática em que se procura achar quantas vezes um número contém em outro ou mesmo pode ser definido como parte de um todo que se dividiu.

À divisão dá o nome de operação e o resultado é chamado de Quociente.

1) A divisão exata

Veja: 8 : 4 é igual a 2, onde 8 é o dividendo, 2 é o quociente, 4 é o divisor, 0 é o resto

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A prova do resultado é: 2 x 4 + 0 = 8

Propriedades da divisão exata 1. Na divisão em N não vale o fechamento, pois 5 : 3 não pertence a N 2. O conjunto N não têm elemento neutro em relação a divisão, pois 3:1 = 3, entretanto 1:3 não

pertence a N. Logo 3:1 é diferente de 1:3 3. A divisão em N não tem a propriedade comutativa, pois 15 : 5 é diferente de 5: 15 4. A divisão em N não tem a propriedade associativa, pois (12:6) : 2 = 1 é diferente de 12 :

(6:2) = 4

Pode-se afirmar que a divisão exata tem somente uma propriedade.

Observe este exemplo: (10 + 6) : 2 = 16 :2 = 8

(10+6):2 = 10:2 + 6 :2 = 8

O quociente não sofreu alteração alguma permanecendo o mesmo 8. Chamamos então esta propriedade de distributiva da divisão exata válida somente para direita, com relação às operações de adição e subtração.

Um dos mandamentos da matemática é JAMAIS DIVIDA POR ZERO. Isto significa dizer que em uma operação o divisor tem que ser maior do que zero.

2) A divisão não-exata

Observe este exemplo: 9 : 4 é igual a resultado 2, com resto 1, onde 9 é dividendo, 4 é o divisor, 2 é o quociente e 1 é o resto.

A prova do resultado é: 2 x 4 + 1 = 9

De um modo geral na divisão :

Operação divisão exata: D:d = q > d.q = D, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente e o resto é subentendido “igual a zero”.

Operação divisão não-exata : D = d.q + r, onde D = dividendo, d = divisor, q = quociente, r é o resto.

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

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RESUMOS SOBRE AS 4 OPERAÇÕES:

Operações fundamentais

Adição: 1. Ato ou efeito de adir. 2. Arit. Reunião de todas as unidades ou frações de unidade de

vários números; soma, total. 3. Acréscimo, aumento.

Exemplo:

a) 2254 + 1258 = 3512

Milhar Centenas Dezenas Unidades

1 1

2 2 5 4

1 2 5 8

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3 5 1 2

Para o cálculo da adição, ordenamos os números em unidades, dezenas, centenas, milhar...

Feito isso, efetuamos a soma. Notem que os números 2254 e 1258 foram agrupados para serem

somados.O resultado da soma das unidades (4+8 = 12) é igual a 1 dezena e 2 unidades. Portanto,

adiciona-se 1 dezena a sua respectiva "casa".O resultado da soma das dezenas (1+5+5 = 11) é igual a 1 centena e 1 dezena. Portanto,

adiciona-se uma centena a sua respectiva "casa".A soma da "casa" das centenas (1+2+2 = 5), ou seja, 5 centenas.Finalmente, a soma da "casa" do milhar é igual a 3 (1+2=3).

A soma de 2254 + 1258 = 3512.

*Observação: as cores auxiliam a compreensão do processo.

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Subtração: 1. Ato ou efeito de subtrair(se). 2.Tirar de outro número parcela, quantia etc.; diminuir.

Exemplo:

a) 2234 - 1258 = 976

2 2 3 4

1 2 5 8

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Primeiramente, vamos agrupar os números em unidades, dezenas, centenas, milhar, etc...Feito isso, observamos que não é possível a subtração das unidades (4 - 8). É preciso, portanto,

"pedir emprestado" à casa das dezenas:

Milhar Centenas Dezenas Unidades

2 2 3-1 = 2 4+10 = 14

1 2 5 8

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6

Observamos que não é possível a subtração das dezenas(2 - 5). Vamos "pedir emprestado" a nossa "vizinha" centena:

Page 80: APOSTILA DE MATEMÁTICA - PROF ENSINO INFANTIL  E FUNDAMENTAL

Milhar Centenas Dezenas Unidades

2 2-1=1 10+2=12 14

1 2 5 8

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7 6

Vamos efetuar a subtração das centenas: Oras, não é possível efetuar o cálculo (1 - 2) das

centenas sem pedir emprestado à casa do milhar...

Milhar Centenas Dezenas Unidades

2-1=1 10+1=11 12 14

1 2 5 8

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

0 9 7 6

Agora sim! Vamos efetuar o cálculo das centenas (11 - 2 = 9). E, também, do milhar (1 - 1 = 0).

A subtração de 2234 - 1258 = 976.

Cálculo da adição e subtração envolvendo números não inteiros

Exemplos:

Page 81: APOSTILA DE MATEMÁTICA - PROF ENSINO INFANTIL  E FUNDAMENTAL

a) 235,65 + 45,758 = 281,408

1 1 1

2 3 5 ,6 5 0

4 5 ,7 5 8

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2 8 1 ,4 0 8

Siga os mesmos passos do cálculo com números inteiros, não se esquecendo, porém, de agrupar os algarismos de acordo com suas "casas" (milhar, centena, dezena, unidades,...).

b) 254,65 - 144,732 = 109,918

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Cent. Dez. Uni. Dec. Cent. Mil.

Page 82: APOSTILA DE MATEMÁTICA - PROF ENSINO INFANTIL  E FUNDAMENTAL

2 5 4-1=3 ,16 5-1=4 10

1 4 4 ,7 3 2

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

,9 1 8

Cent. Dez. Uni. Dec. Cent. Mil.

2 5-1=4 13 ,16 4 10

1 4 4 ,7 3 2

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1 0 9 ,9 1 8

Siga os mesmos passos do cálculo da subtração com números inteiros, agrupe as algarismos de acordo com suas "casas" e "peça emprestado" à "casa" do vizinho quando não for possível efetuar a subtração.

Multiplicação: 1. Ato ou efeito de multiplicar. 2.Arit. Operação aritmética, que consiste em repetir um número, chamado multiplicando, tantas vezes quantas são as unidades de outro, chamado multiplicador, para achar um terceiro que representa o produto dos dois. 3.Repetir (um número) tantas vezes quantas são as unidades de (outro).

Exemplo:

a) 236 x 25 = 5900

Milhar Centenas Dezenas Unidades

Page 83: APOSTILA DE MATEMÁTICA - PROF ENSINO INFANTIL  E FUNDAMENTAL

2 3 6

2 5

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Vamos inicialmente multiplicar 236 por 5:

Milhar Centenas Dezenas Unidades

1 3

2 3 6

2 5

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1 1 8 0

1) 6x5 = 30 (3 dezenas e 0 unidades)2) 3x5 = 15 + 3 = 18 (1 centena e 8 dezenas) - Não se esqueça de somar as 3 a casa das dezenas.3) 2x5 = 10 + 1 = 11

Agora vamos multiplicar 236 por 2. Estamos efetuando o cálculo da casa das dezenas, portanto, vamos colocar os resultados em sua respectiva casa. Após a multiplicação, some os resultados.

Milhar Centenas Dezenas Unidades

1

Page 84: APOSTILA DE MATEMÁTICA - PROF ENSINO INFANTIL  E FUNDAMENTAL

2 3 6

2 5

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

1 1 8 0

4 7 2 +

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5 9 0 0

Multiplicação de números não inteiros

Vamos efetuar os mesmos cálculos dos com os números inteiros e tomar um pouco de cuidado com a vírgula.

Exemplo:

a) 45,5 x 8,1 = 368,55

Observe:

Mil. Cent. Dez. Uni. Dec.

4 5 ,5

8 ,1

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

O número 45,5 possui 1 casa após a vírgula. O número 8,1 também apresenta 1 casa após a vírgula. O resultado terá, portanto, 2 (1+1) casas após a vírgula. Vamos agora efetuar a multiplicação sem nos preocupar com a vírgula. Afinal, já sabemos que o produto terá 2 casas após a vírgula.

Page 85: APOSTILA DE MATEMÁTICA - PROF ENSINO INFANTIL  E FUNDAMENTAL

4 5 5

8 1

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

___________________

4 5 5

3 6 4 0 +

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

___________________

3 6 8 5 5

Bom, sem nos preocuparmos com as vírgulas o resultado seria 36855, porém sabemos, como visto acima, que o número deve possuir 2 casas após a vírgula. Vamos colocar as vírgulas então!

3 6 8 ,5 5

Simples não? Mas vamos recapitular: Contamos e somamos a quantidade de casas após a vírgula dos números que iremos multiplicar. O resultado apresentará esse número de casas após a vírgula. Resolvemos, então, a multiplicação e depois colocamos as vírgulas :)

Divisão: 1. Ato, efeito ou operação de dividir. 2. Fragmentação. 3. Parte de um todo que se dividiu. 4. Mat. Operação com que se procura achar quantas vezes um número se contém noutro.

A divisão é, sem dúvidas, o principal problema dos estudantes. Vamos resolver alguns exercícios, observe as resoluções e os esquemas.

Exemplos: Por favor, espere e siga a resolução.

a) 756 : 21 = 36

b) 202 : 5 = 40,4

Page 86: APOSTILA DE MATEMÁTICA - PROF ENSINO INFANTIL  E FUNDAMENTAL

c) 17,4 : 3 = 5,8

Vejam a questão da FUVEST 2003 - Primeira fase:

Num bolão, sete amigos ganharam vinte e um milhões, sessenta e três mil e quarenta e dois reais. O prêmio foi dividido em sete partes iguais. Logo, o que cada um recebeu, em reais, foi:(a) 3.009.006,00(b) 3.009.006,50(c) 3.090.006,00(d) 3.090.006,50(e) 3.900.060,50

FUNÇÕES DO 1º E 2º GRAU:

Função do 1º grau - Linear Chamamos de função do 1º grau ou afim a qualquer função IR em IR definida por f(x) = ax +b, onde a e b são números reais e a é não nulo.

Definição: f : IR ? IR definida por f(x) = ax + b, a ? IR * e b ? IR

OBS:a) O gráfico da função do 1º grau é uma reta.b) O conjunto imagem da função do 1º grau é IRc) A função do 1º grau com b= 0 , ou seja, f(x)= ax é chamada linear. EXEMPLO: Construa o gráfico e dê o conjunto imagem das seguintes funções de IR em IR :i)

Page 87: APOSTILA DE MATEMÁTICA - PROF ENSINO INFANTIL  E FUNDAMENTAL

ii)

Observe que a função f(x) = 5x, é uma função linear, e é uma reta que passa pela origem( 0, 0 ), pois para x = o temos y = 0, para construirmos o gráfico basta obter apenas mais um ponto.

Raiz ou zero da função do 1º grauDada a função do 1º grau y = ax +b, chama-se raiz ou zero da função, o valor de x para o qual ax + b = 0 , ou seja, o valor de x que anula a função. Então, para determinarmos a raiz ou o zero da função, fazemos y = 0 e resolvemos a equação. EXEMPLO : Determine a raiz das seguintes equações :

i) ii)

Observe que em y = 3x – 6 , y = 0 e x = 2 , calculado anteriormente, o ponto ( 2, 0 ) é a intersecção da reta com o eixo x.

Page 88: APOSTILA DE MATEMÁTICA - PROF ENSINO INFANTIL  E FUNDAMENTAL

Exercícios1. Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no

valor de R$ 300,00, e uma parte variável, que corresponde a uma comissão de 8 % do total de vendas que ele fez durante o mês.

1. Expressar a função que representa seu salário mensal.2. Calcular o salário do vendedor sabendo que durante um mês ele vendeu R$

10.000,00 em produtos.

1. Dada a função f(x) = ax +2, determine o valor de a para que se tenha f(4) = 22.

1. Dada a função f(x) = ax – 3, determine o valor de a para que se tenha f(1) = - 8.

1. Construir o gráfico das seguintes funções:

a) f(x) = 3x + 2 b) f(x) = c) f(x) = 5(x + 9) – 2x +10

1. Determine a raiz das funções:

a) f(x) = 4x – 3 b) f(x) = c) f(x) = - 3. (2x – 3) – 4x +3

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Função de 2o. Grau - Quadrática Chamamos de função quadrática, qualquer função de IR em IR definida por f(x) = ax2 + bx + c, onde a , e .EXEMPLOS :a) f(x) = 5x2 + 3x – 2 a = 5 b = 3 c = -2b) f(x) = x2 + 2x – 3 a = 1 b = 2 c = -3c) f(x) = -x2 + 4x a = -1 b = 4 c = 0d) f(x) = x2 – 5 a = 1 b = 0 c = -5 Observe que o coeficiente de a, nunca será zero, pois se isto ocorrer não teremos mais uma função do 2º grau, e sim uma função do 1º grau.

Concavidade da parábola• a > 0 concavidade da parábola voltada para cima• a < 0 concavidade da parábola voltada para baixo

Raízes ou zeros da função quadrática Raízes ou zeros da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c são os valores de x para os quais a função se anula (y = 0) Determinamos as raízes da função quadrática resolvendo a equação:

ax2 + bx + c = 0 o que pode ser feito aplicando a fórmula resolutiva:

onde:

Interpretação geométrica das raízes

• Se a função tem dois zeros reais desiguais ( x’ e x” ).

• Se a função tem um zero real duplo ( x’= x” ).

• Se a função não tem zero real.

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Vértice da parábola As coordenadas do vértice são adquiridas através das fórmulas:

e

Imagem da função quadrática Observando os gráficos que representam a função quadrática f(x) = ax2 + bx +c :

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EXERCÍCIOS PARA FUNÇÕES DO 1º E 2º GRAU:

EXERCÍCIOS

1. Calcule as coordenadas do vértice das parábolas que representam as seguintes funções:1. f(x) = x2 – 6x + 5

2. f(x) = -x2 + 2x –2

2. Escreva se a função admite um máximo ou um mínimo e determine esse máximo ou esse mínimo:

1. f(x) = 5x2 – 3x –2

2. f(x) = -x2 +2x –2

3. Determine o conjunto imagem das seguintes funções:

1. f(x) = 2x2 – 3x – 22. f(x) = -x2 + 5x + 6

4. Dada a função f(x) = x2 – 2x –3 , determine:

1. As raízes da função2. Vértice da parábola3. Identifique se a função assume ponto de máximo ou mínimo

4. O conjunto imagem da função.

5. O gráfico da função.

Sugestão de video para equação do 2ºGrau: Atenção =>necessita de internet:http://www.youtube.com/watch?v=WNKQSQxFnwM

PROGRESSÃO ARITIMÉTICA E GEOMÉTRICA:PROGRESSÃO ARITIMÉTICA:

Uma progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante . O número é chamado de razão da progressão aritmética, e vem do 'r', de resto da subtração

Alguns exemplos de progressão aritmética:

• , em que (uma vez que a razão é a diferença entre os números anterior e posterior).

, em que .

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• , em que .

Numa progressão aritmética, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é, an = (an − 1 + an + 1) / 2.

Fórmula do termo geral de uma progressão aritméticaA fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é expressa da seguinte forma:

an é o enésimo termo (termo geral); a1 é o primeiro termo; n é o número de termos presentes na PA; r é a razão.

Demonstração

• O valor de qualquer termo é igual ao anterior mais a constante.

• O valor do segundo termo é igual ao primeiro mais a constante:

• O valor do terceiro termo é igual ao segundo mais a constante:

, portanto:

• O valor do quarto termo é igual ao terceiro mais a constante:

, portanto:

• Como o número multiplicado pela constante é sempre a posição do termo menos 1, temos a fórmula:

Outra fórmula útil expressa o n-ésimo termo em função do m-ésimo termo:

Page 93: APOSTILA DE MATEMÁTICA - PROF ENSINO INFANTIL  E FUNDAMENTAL

Soma dos termos de uma progressão aritmética

A soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes deles

A soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética finita, a partir do primeiro, é calculada pela seguinte fórmula:

A soma dos termos entre e é:

Diz a lenda que Gauss fora punido pelo professor (por estar desatento numa de suas aulas do ciclo primário de matemática) com a tarefa de somar todos os números inteiros de 1 a 100. Apercebeu-se desta fórmula e utilizou-a para calcular imediatamente a soma pedida. Ao apresentar sua resposta, o professor disse ser impossível o garoto ter realizado a tarefa em tão pouco tempo e duvidou da resposta de Gauss. O garoto só foi levado a sério no final da aula, quando os outros alunos obtiveram a resposta. Dizem também que Gauss chegou a ser punido fisicamente por questionar o professor[1].

Interpolação AritméticaÉ a ação de inserir ou interpolar uma quantidade de meios aritméticos entre extremos de uma progressão aritmética. A fórmula utilizada é:

Onde:

un = Último termo da P.A. u1 = Primeiro termo da P.A. n = Número total de termos da P.A. r = Razão da P.A.

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Tipos de progressões aritméticas

Progressão aritmética constanteUma progressão aritmética constante ou estacionária é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre igual a zero.

Exemplos de progressão aritmética constante:

• P.A. (5,5,5,5,5,5,5,5,5,...) - razão r = 0 • P.A. (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão r = 0

temos vários tipos de p.a P.a constante (8,8,8,8) P.a infinita (2,4,6,8,10,12...) P.a finita(30,40,50,60) P.a decrescente (3,6,9,12,15) e assim sucessivamente, se você prestar bastante atenção na aula não se torna tão difícil assim.

Progressão aritmética crescenteUma progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre maior que zero (r>0).

Exemplos de progressão aritmética crescente:

• P.A. (2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,...) - razão r = 2 • P.A. (3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...) - razão r = 3

Progressão aritmética decrescenteUma progressão aritmética decrescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre menor do que zero (r<0).

Exemplos de progressão aritmética decrescente:

• P.A. (6,4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10,-12,-14,-16,-18,-20,-22,-24,-26,-28,...) - razão r = -2 • P.A. (6,3,0,-3,-6,-9,-12,-15,-18,-21,-24,-27,-30,-33,-36,-39,-42,...) - razão r = -3

Progressão aritmética de segunda ordemUma progressão aritmética de segunda ordem é considerada por muitos matemáticos o tipo de progessão aritmética mais complexo. Consiste numa sequência de números que, aparentemente, nada parece com uma progressão aritmética, porém percebe-se que a diferença entre os números da sequência cresce em progressão aritmética como mostra o exemplo:

• Sequência - (1,3,7,13,21,31,43,57,73bnk)Se subtrairmos o primeiro termo da sequência do segundo, teremos como resultado o número 2. Já a diferença entre o segundo e terceiro termos é igual a 4, a diferença entre o terceiro e o quarto termos é igual a 6 e assim sucessivamente. Verificamos que a diferença entre os termos da sequência cresce em progressão aritmética de razão igual a 2.

PS:o numero da razão cresce de 2 em 2.

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PROGRESSÃO GEOMÉTRICA:

Uma progressão geométrica (P.g. ou P.G.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante . Esta constante é chamada razão da progressão geométrica. A letra q foi escolhida por ser inicial da palavra quociente.

Alguns exemplos de progressão geométrica:

• , em que

• , em que

• , em que

• , em que :

• , em que

Definição por recursão e fórmula do termo geralCostuma-se denotar por an o n-ésimo termo de uma progressão geométrica. Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial a1 e sua razão q.

A sucessão dos termos é obtida por recursão:

• •

É fácil demonstrar por indução matemática que:

Em alguns contextos (por exemplo, ao usar a linguagem de programação C), pode ser conveniente considerar que o termo inicial da PG tem índice zero (a0). Neste caso, o termo geral fica:

De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo simplesmente por:

Page 96: APOSTILA DE MATEMÁTICA - PROF ENSINO INFANTIL  E FUNDAMENTAL

Soma dos termos de uma P.G.A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por:

, veja notação de somatório

DemonstraçãoEssa fórmula pode ser explicada assim. Escreva:

Multiplique pela razão(q):

Subtraia a primeira soma da segunda, cancelando os termos repetidos:

o que é equivalente (através de fatoração por fator comum) a:

Divida ambas os termos por: : e o resultado segue.

Soma dos infinitos termos de uma P.G.

A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando | q | < 1. Sua soma é:

Agora, se e a1 > 0 então sua soma é mais infinito e se e a1 < 0, sua soma é menos infinito.

Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Observe cuidadosamente o caso , por exemplo. Observe também que q pode ser complexo. O tratamento destas séries pode ser visto no

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artigo sobre séries divergentes.

Produto dos termos de uma P.G.O produto dos termos de uma Progressão Geometrica, a partir do primeiro, é dada por:

O produto também pode ser determinado sem o conhecimento da razão:

, sendo similar à forma do Somatória da P.A..

Classificação das progressões geométricasAs P.G. podem ser classificadas em cinco grupos conforme o valor de q.

Progressão geométrica constanteUma progressão geométrica constante é toda progressão geométrica em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão q tem que, caso a1 diferente de 0(zero), ser sempre 1 ou 0 (nulo).

Exemplos de progressão geométrica constante:

• P.g.(1,1,1,1,1,1,1,1,1,...) - razão q = 1 • P.g.(0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão nula ou indeterminada

Progressão geométrica crescenteUma progressão geométrica crescente é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso há dois casos: para a1 positivo a razão q tem que ser sempre positiva e maior que 1 e para a1 negativo a razão q tem que ser positiva e menor que 1.

Exemplos de progressão geométrica crescente:

• P.G. (1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,...) - razão q = 2 • P.G. (2,6,18,54,162,486,1458,4374,13122,...) - razão q = 3 • P.G. (-100,-10,-1,-0.1,-0.01,-0.001,-0.0001,-0.00001,...) - razão q = 1/10

Progressão geométrica decrescenteUma progressão geométrica decrescente é toda progressão geométrica em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso há dois casos: para a1 positivo a razão q tem que ser sempre positiva e menor que 1 e para a1 negativa a razão q tem que ser positiva e maior que 1.

Exemplos de progressão geométrica decrescente:

• P.G. (-1,-2,-4,-8,-16,-32,-64,-128,-256,-512,-1024,-2048,-4096,...) - razão q = 2 • P.G. (8,4,2,1,1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128,...) - razão q = 1/2

Page 98: APOSTILA DE MATEMÁTICA - PROF ENSINO INFANTIL  E FUNDAMENTAL

Progressão geométrica oscilanteUma progressão geométrica oscilante (ou alternante) é toda progressão geométrica em que todos os termos são diferentes de zero e dois termos consecutivos tem sempre sinais opostos, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre negativa e diferente de zero.

Exemplos de progressão geométrica oscilante:

• P.G. (3,-6,12,-24,48,-96,192,-384,768,...) - razão q = -2 • P.G. (1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,...) - razão q = -1

Progressão geométrica quase nulaUma progressão geométrica quase nula é toda progressão geométrica em que o primeiro termo é diferente de zero e todos os demais são iguais a zero, sendo que para isso a razão q tem que ser sempre igual a zero.

Exemplos de progressão geométrica quase nula:

• P.G. (8,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão q = 0 • P.G. (-169,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão q = 0

Progressão Aritmética GeométricaUma progressão aritmética geométrica é o produto de uma progressão aritmética por uma progressão geométrica.

O interessante, neste caso, é obter uma fórmula geral para a soma de n termos.

Soma de Número Finito de Termos de uma PA e de uma PG:Progressão Aritmética

DefiniçãoÉ uma sequência em que cada termo, a partir do segundo. É a soma do anterior com uma constante, denominada razão. Esta razão e representada pela letra r.

Elementos

a1 - 1o termo

an - termo genérico (ou n-ésimo termo)

r - razãon - número de termosSn - soma dos termos

TM - termo médio

Fórmula do termo Geral da P.A.an = a1 + (n-1).r

Interpolação Aritmética

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Interpolar ou inserir 'k' meios aritméticos entre os termos a1 e an significa formar uma progressão aritmática de 'k + 2' termos, onde a1 e an são extremos.

Soma dos Termos da P.A.A soma dos termos de uma P.A. limitada (ou finita) é igual ao produto da semi-soma dos extremos pelo número de termos.

Termo Médio de uma P.A.

Consequência da Fórmula da SomaP.A. de número ÍMPAR de termos Sn = TM .

Si - Sp = TM

onde: Si = a1 + a3+ a5 + ... e Sp = a2 + a4 + a6 + ...

P.A. de número PAR de termos:

Representação de 3 termos na P.A.Quando três termos desconhecidos estão em progressão aritmética, pode-se usar o seguinte artifício:

(x-r) ; x ; (x+r)

Exercícios - PROGRESSÃO ARITMÉTICA - P.A.Questões

1-) Encontre o termo geral da P.A. (2, 7, ...).

2-) Encontre o termo geral da P.A. (7/3, 11/4, ...).

3-) Qual é o décimo quinto termo da P.A. (4, 10, ...).

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4-) Qual é o centésimo número natural par ?

5-) Ache 0 5o termo da P.A. (a+b ; 3a-2b ; ...).

6-) Ache o sexagésimo número natural ímpar.

7-) Numa P.A. de razão 5, o primeiro termo é 4. Qual é a posição do termo igual a 44 ?

8-) Ache a1 numa P.A., sabendo que r=1/4 e a17=21.

9-) Quantos termos tem uma P.A. finita, de razão 3, sabendo-se que o primeiro termo é -5 e o último é 16 ?

10-) Calcule o número de termos da P.A. (5, 10, ..., 785).

11-) Qual é o primeiro termo de uma P.A. cujo sétimo termo é 46, sendo o termo precedente 39 ?

12-) Quantos múltiplos de 7 podemos escrever com 3 algarismos ?

13-) Quantos são os números naturais menores que 98 e divisíveis por 5 ?

14-) Quantos números inteiros existem, de 100 a 500, que não são divisíveis por 8 ?

15-) Interpole 11 meios aritméticos entre 1 e 37.

16-) Quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e 66 para que a razão da interpolação seja 8 ?

17-) Determine a média aritmética dos seis meios aritméticos que podem ser interpolados entre 10 e 500.

18-) Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no quilometro 3 e outro no quilometro 88. Entre eles serão colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância. Determine em quais marcos quilométricos deverão ficar esses novos telefones.

19-) (ITA-SP) Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, que não são divisíveis nem por 5 nem por 7 ?

20-) Uma fábrica produziu, em 1986, 6530 unidades de um determinado produto e, em 1988, produziu 23330 unidades do mesmo produto. Sabendo que a produção anual desse produto vem crescendo em progressão aritmética, pede-se:

a) Quantas unidades do produto essa fábrica produziu em 1987 ?

b) Quantas unidades foram produzidas em 1991 ?

Respostas

Questão 1

Dados: a1 = 2 ; r = 7 - 2 = 5 ; an = ? ; n = ?

Resolução:an = a1 + (n-1).ran = 2 + (n -1).5 an = 2 + 5n - 5 an = 5n - 3

Resposta: an = 5n - 3

Questão 2

Dados: a1 = 7/3 ; r = 11/4 - 7/3 = (33 - 28)/12 = 5/12 ; an = ? ; n = ?

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Resolução:an = a1 + (n-1).ran = 7/3 + (n -1). 5/12 an = 7/3 + 5/12n - 5/12 an = 5/12n + 28/12 - 5/12 an = 5/12n + 23/12

Resposta: an = 5/12n + 23/12 ou an = (5n + 23)/12

Questão 3

Dados: a1 = 4 ; r = 10 - 4 = 6 ; an = a15 = ? ; n = 15

Resolução: an = a1 + (n-1).ra15 = 4 + (15 -1).6 a15 = 4 + 14.6 a15 = 4 + 84 a15 = 88

Resposta: a15 = 88

Questão 4

Dados: a1 = 0 ; r = 2 - 0 = 2 ; an = a100 = ? ; n = 100

Resolução:an = a1 + (n-1).ra100 = 0 + (100 -1).2 a100 = 0 + 99.2 a100 = 198

Resposta: a100 = 198

Questão 5

Dados: a1 = a+br = (3a-2b)-(a+b) r = 3a-2b - a-b r = 2a-3b an = a5 = ? ; n = 5

Resolução: an = a1 + (n-1).ra5 = a+b + (5-1).(2a-3b) a5 = a+b + 4.(2a-3b) a5 = a+b +8a-12b a5 = 9a - 11b

Resposta: a5 = 9a - 11b

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Questão 6

Dados: a1 = 1 ; r = 3 - 1 = 2 ; an = a60 = ? ; n = 60

Resolução:an = a1 + (n-1).ra60 = 1 + (60 -1).2 a60 = 1 + 59.2 a60 = 1 + 118 a60 = 119

Resposta: a60 = 119

Questão 7

Dados: a1 = 4 ; r = 5 ; an = 44 ; n = ?

Resolução:an = a1 + (n-1).r44 = 4 + (n-1).5 44 = 4 + 5n -5 44 -4 + 5 = 5n 45 = 5n 45/5 = n 9 = n ou n = 9

Resposta: 9a posição

Questão 8

Dados: a1 = ? ; r = 1/4 ; a17 = 21 ; n = 17

Resolução:an = a1 + (n-1).ra17 = a1 + (17-1).(1/4) 21 = a1 + 16/421 = a1 + 421 - 4 = a117 = a1

Resposta: a1 = 17

Questão 9

Dados: a1 = -5 ; r = 3 ; an = 16 ; n = ?

Resolução:an = a1 + (n-1).r16 = -5 + (n-1).316 = -5 + 3n -316 = 3n - 816 + 8 = 3n 24 = 3n24/3 = n8 = n

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Resposta: n = 8

Questão 10

Dados: a1 = 5 ; r = 5 ; an = 785 ; n = ?

Resolução: an = a1 + (n-1).r785 = 5 + (n-1).5785 = 5 + 5n -5785 = 5n785/5 = n 157 = n

Resposta: n = 157

Questão 11

Dados: a1 = ? ; an = a7 = 46 ; a6 = 39 ; r = a7 - a6 ; r = 46 - 39 ==> r = 7 ; n = 7

Resolução:an = a1 + (n-1).r46 = a1 + (7-1).7 46 = a1 + 6.7 46 = a1 + 42 46 - 42 = a1 4 = a1

Resposta: a1 = 4

Questão 12

Dados: P.A.(105,...,994); a1 = 105 ; an = 994 ; r = 7 ; n = ?

Resolução:an = a1 + (n-1).r994 = 105 + (n-1).7 994 = 105 + 7n - 7 994 = 105 - 7 + 7n994 = 98 + 7n994 - 98 = 7n896 = 7n 896/7 = n 128 = n

Resposta: n = 128

Questão 13

Dados: P.A.(0,...,95);a1 = 0 ; an = 95 ; r = 5 ; n = ?

Resolução:an = a1 + (n-1).r95 = 0 + (n-1).5 95 = 0 + 5n - 5 95 + 5 = 5n

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100 = 5n100 = 5n100/5 = n20 = n

Resposta: n = 20

Questão 14

1-) Calculamos a quantidade de números, entre 100 e 500, que são divisíveis por 8.Dados: P.A.(104,...,496); a1 = 104 ; an = 496 ; r = 8 ; n = ?

Resolução:an = a1 + (n-1).r496 = 104 + (n-1).8 496 = 104 + 8n - 8 496 = 96 + 8n 496 - 96 = 8n 400 = 8n 400/8 = n 50 = n

2-) Calculamos a quantidade de todos os números, entre 100 e 500.Dados: P.A.(100,...,500); a1 = 100 ; an = 500 ; r = 1 ; n = ?

Resolução: an = a1 + (n-1).r500 = 100 + (n-1).1 500 = 100 + n - 1 500 = 99 + n 500 - 99 = n 401 = n

3-) Calculamos o número de termos que não são divisíveis por 8, fazendo: n = 401 - 50 = 351

Resposta: n = 351

Questão 15

P.A.(1, _, _, _, _, _, _, _, _, _, _, _,37)Dados: a1 = 1 ; r = ? ; an = a13 = 37 ; n = 13

Resolução: an = a1 + (n-1).ra13 = 1 + (13-1).r 37 = 1 + 12.r 37 -1 = 12r 36 = 12r 36/12 = r 3 = r

Calculamos as 11 interpolações:

a2 = a1 + r = 1+3 = 4a3 = a2 + r = 4+3 = 7a4 = a3 + r = 7+3 = 10a5 = a4 + r = 10+3 = 13a6 = a5 + r = 13+3 = 16

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a7 = a6 + r = 16+3 = 19a8 = a7 + r = 19+3 = 22a9 = a8 + r = 22+3 = 25a10 = a9 + r = 25+3 = 28a11 = a10 + r = 28+3 = 31a12 = a11 + r = 31+3 = 34

Resposta: an = P.A.(1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37)

Questão 16

Dados: P.A.(2,...,66); a1 = 2 ; an = 66 ; r = 8 ; n = ?

Resolução:an = a1 + (n-1).r66 = 2 + (n-1).8 66 = 2 + 8n - 8 66 = 8n - 6 66 + 6 = 8n 72 = 8n 72/8 = n 9 = n

Subtraímos 2 termos dos 9 termos encontrados: n = 9 - 2 = 7.

Resposta: n = 7

Questão 17

Dados: P.A.(10, _, _, _, _, _, _,500); a1 = 10 ; an = a8 = 500 ; r = ? ; n = 8

Resolução:an = a1 + (n-1).r500 = 10 + (8-1).r 500 = 10 + 7.r 500 - 10 = 7r 490 = 7r 490/7 = r 70 = r

Calculamos as 6 interpolações:

a2 = a1 + r = 10+70 = 80a3 = a2 + r = 80+70 = 150a4 = a3 + r = 150+70 = 220a5 = a4 + r = 220+70 = 290a6 = a5 + r = 290+70 = 360a7 = a6 + r = 360+70 = 430

Calculamos a média aritmética:

M.A. = Adição dos termos / número de termos adicionados = (a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7) / 6 M.A. = (80 + 150 + 220 + 290 + 360 + 430) / 6 = 1530 / 6 = 255

Resposta: M.A. = 255

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Questão 18

P.A.(3,..,88)Dados: a1 = 3 ; r = ? ; an = a18 = 88 ; n = 18

Resolução: an = a1 + (n-1).ra18 = 3 + (18-1).r 88 = 3 + 17.r 88 - 3 = 17r85 = 17r 85/17 = r 5 = r

Calculamos as 16 interpolações:

a2= a1 + r = 3+5 = 8a3= a2 + r = 8+5 = 13a4= a3 + r = 13+5 = 18a5= a4 + r = 18+5 = 23a6= a5 + r = 23+5 = 28a7= a6 + r = 28+5 = 33a8= a7 + r = 33+5 = 38a9= a8 + r = 38+5 = 43a10= a9+ r = 43+5 = 48a11= a10+ r = 48+5 = 53a12= a11+ r = 53+5 = 58a13= a12+ r = 58+5 = 63a14= a13+ r = 63+5 = 68a15= a14+ r = 63+5 = 73a16= a15+ r = 73+5 = 78a17= a16+ r = 78+5 = 83

Resposta: Marcos quilométricos: 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58, 63, 68, 73, 78, 83

Questão 19

Dados: M(5) = 1000, 1005, ..., 9995, 10000. M(7) = 1001, 1008, ..., 9996.M(35) = 1015, 1050, ... , 9975.M(1) = 1, 2, ..., 10000.

Resolução:

Para múltiplos de 5, temos: an = a1+ (n-1).r => 10000 = 1000 + (n - 1). 5 => n = 9005 / 5 => n = 1801.Para múltiplos de 7, temos: an = a1+ (n-1).r => 9996 = 1001 + (n - 1). 7 => n = 9002 / 7 => n = 1286.Para múltiplos de 35, temos: an = a1 + (n - 1).r => 9975 = 1015 + (n - 1).35 => n = 8995 / 35 => n = 257.Para múltiplos de 1, temos: an = a1 = (n -1).r => 10000 = 1000 + (n - 1).1 => n = 9001.

Sabemos que os múltiplos de 35 são múltiplos comuns de 5 e 7, isto é, eles aparecem no conjunto dos múltiplos de 5 e no conjunto dos múltiplos de 7 (daí adicionarmos uma vez tal conjunto de múltiplos).

Total = M(1) - M(5) - M(7) + M(35).Total = 9001 - 1801 - 1286 + 257 = 6171

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Resposta: n = 6171

Questão 20

P.A.(6530, _ , 23330)

Dados: a1 = 6530 ; r = ? ; an = 23330 ; n = 3

Resolução:an = a1 + (n-1).ra3 = 6530 + (3-1).r 23330 = 6530 + 2.r 23330 - 6530 = 2r 16800 = 2r 16800/2 = r 8400 = ra2 = a1 + r a2 = 6530 + 8400 a2 = 14930

P.A.(6530, 14930, 23330, _ , _, _)

Dados: a1 = 6530 ; r = 8400 ; an = a6 = ? ; n = 6

Resolução:

an = a1 + (n-1).ra6 = 6530 + (6-1).8400 a6 = 6530 + 5.8400 a6 = 6530 + 42000 a6 = 48530

Resposta: a) 14930; b) 48530

Progressão Geométrica

DefiniçãoÉ uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do anterior com uma constante, denominada razão, representada pela letra 'q'.

Elementos

a1 - 1o termo

an - termo genérico, termo geral (ou n-ésimo termo)

q - razãon - número de termosSn - soma dos termos

Pn- produto dos termos

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Fórmula do Termo Geral da P.G.

an = a1 . qn-1

Produtos dos Termos de uma P.G. O produto dos 'n' termos de uma P.G. é dado por:

ou

Soma dos Termos da P.G.

P.G. limitada (ou finita)

ou

P.G. ilimitada (ou infinita) decrescente

Obs.: para -1 < q < 1 e o número de termos tendendo ao infinito.

Termo Médio de uma P.G.TM2 = a1.an

Representação de 3 termos na P.G.Para representar três termos em P.G., sendo dado o produto dos termos, use:

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Exercícios - PROGRESSÃO GEOMÉTRICA - P.G.Questões

1-) Escreva os cinco primeiros termos de cada P.G., sendo dados:

a) a1 = 2 e q = 3

Resposta: P.G. (2, 6, 18, 54, 162, ...)

b) a1 = 3 e q = -1

Resposta: P.G. (3, -3, 3, -3, 3, ...)

c) a1 = -6 e q = 1/2

Resposta: P.G. (-6; -3; -1,5; -0,75; -0,375; ...) ou (-6; -3; -3/2; -3/4; -3/8; ...)

d) a1 = -2 e q = 5/4

Resposta: P.G. (-2; -5/2; -25/8; -125/32; -625/128; ...)

e) a1 = 7 e q = 0

Resposta: P.G. (7, 0, 0, 0, 0, 0, ...)

f) a1 = q = 1

Resposta: P.G. (1, 1, 1, 1, 1, ...)

2-) Calcule o valor do primeiro termo de uma P.G., sabendo que o quarto termo é -108 e a razão é q = 3.

3-) A soma do 2o com o 3o termo de uma P.G. vale 16 e o produto do 1o com o 3o é 16. Determine essa P.G. sabendo que ela é crescente.

Resolução:a2 + a3 = 16 (I)a1 . a3 = 16 (II)

Fazer a3 = a1 . q 2 e substituir em (II).

a1 . a1 . q 2 = 16

a1 2 .q 2 = 16

Extrair a raiz quadrada dos dois membros.a1 .q = 4a1 = 4/qSe a2 = a1 .qa2 = 4/q . qa2 = 4 Como a2 + a3 = 16, temos:a3 = 12q = a3 / a2 = 12/4 = 3Daí a1 = 4/qa1 = 4/3

Resposta: P.G. (4/3, 4, 12, ...)

4-) Interpole quatro meios geométricos entre 1/8 e 4.

5-) Interpole seis meios geométricos entre 1 e 2187.

Resolução:

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an = a1. qn-1

2187 = 1.q 8-1

2187 = 1.q 7

Fatorando 2187, temos: 2187 = 37.Então, 37 = q 7

Se os expoentes são iguais, as bases das potências também são iguais. Logo, q = 3a2 = a1 . q a3 = a2 . q a4 = a3 . q a5 = a4 . q a6 = a5 . q a7 = a6 . q P.G.(1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187)

6-) Uma pessoa aplicou R$ 8.000,00 à taxa de 2,5 por cento ao mês. Calcule por quanto tempo esse dinheiro deve ficar aplicado para que o montante seja de R$ 11.586,38. (Use log 1,025 = 0,0107 e log 1,4129732 = 0,1501.)

7-) Calcule a soma dos 6 primeiros termos da P.G. (7, 14, ...).

Resolução:Sn = a1. (q

n-1) / q-1

S6 = 7.(26-1) / 2-1S6 = 7.(64-1) / 1S6 = 7.63S6 = 441

PORCENTAGEM:PorcentagemPraticamente todos os dias, observamos nos meios de comunicação, expressões matemáticas relacionadas com porcentagem. O termo por cento é proveniente do Latim per centum e quer dizer por cem. Toda razão da forma a/b na qual o denominador b=100, é chamada taxa de porcentagem ou simplesmente porcentagem ou ainda percentagem.Historicamente, a expressão por cento aparece nas principais obras de aritmética de autores italianos do século XV. O símbolo % surgiu como uma abreviatura da palavra cento utilizada nas operações mercantis.Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos 10% e isto significa que em cada 100 unidades de algo, tomaremos 10 unidades. 10% de 80 pode ser obtido como o produto de 10% por 80, isto é:Produto = 10%.80 = 10/100.80 = 800 / 100 = 8Em geral, para indicar um índice de M por cento, escrevemos M% e para calcular M% de um número N, realizamos o produto:Produto = M%.N = M.N / 100

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Exemplos:1. Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão

etiquetadas com um número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par? uantas fichas têm a etiqueta com número ímpar?Par = 52% de 25 = 52%.25 = 52.25 / 100 = 13Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com número par e 12 fichas com número ímpar.

2. Num torneio de basquete, uma determinada seleção disputou 4 partidas na primeira fase e venceu 3. Qual a porcentagem de vitórias obtida por essa seleção nessa fase?Vamos indicar por X% o número que representa essa porcentagem. Esse problema pode ser expresso da seguinte forma:X% de 4 = 3Assim:(X/100).4 = 34X/100 = 34X = 300X = 75

Na primeira fase a porcentagem de vitórias foi de 75%.3. Numa indústria há 255 empregadas. Esse número corresponde a 42,5% do total

de empregados da indústria. Quantas pessoas trabalham nesse local? Quantos homens trabalham nessa indústria?Vamos indicar por X o número total de empregados dessa indústria. Esse problema pode ser representado por:42,5% de X = 255Assim:42,5%.X = 25542,5 / 100.X = 25542,5.X / 100 = 25542,5.X = 25500425.X = 255000X = 255000/425 = 600

Nessa indústria trabalham 600 pessoas, sendo que há 345 homens.4. Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço

marcado na etiqueta. Se paguei R$ 690,00 pela mercadoria, qual o preço original dessa mercadoria?Seja X o preço original da mercadoria. Se obtive 8% de desconto sobre o preço da etiqueta, o preço que paguei representa 100%-8%=92% do preço original e

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isto significa que92% de X = 690logo92%.X = 69092/100.X = 69092.X / 100 = 69092.X = 69000X = 69000 / 92 = 750

O preço original da mercadoria era de R$ 750,00.

RAZÃO:Razão ou rácio é a divisão ou relação entre duas grandezas. Razão de um número a para um número b, sendo b, diferente de zero, é o quociente de a por b.

a : b ou a / b

O número a é chamado de antecedente e o b de consequente.

Assim, o conceito de razão nos permite fazer comparações de grandeza entre dois números. Por exemplo, para saber quantas vezes o número 100 é maior do que o número 2 (ou em outras palavras, qual a razão entre 100 e 2), procedemos da seguinte forma:

100 : 2 = 50

Portanto, o número 100 é 50 vezes maior do que o número 2. A razão é a relação entre duas grandezas que já estão relacionadas, é uma divisão entre dois valores, um exemplo é a razão entre um perímetro e a medida de uma lado de um triângulo, a razão seria o perímetro dividido pela medida do lado.

Razão de duas grandezasA razão de duas ou mais grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que expressam as suas medidas racionais, consideradas na mesma unidade. Grandezas são características dos objetos possíveis de serem comparadas e cujas medidas podem ser adicionadas, subtraídas ou divididas uma pela outra. razão vem do latim ratio e envolve a ideia de relação de Euclides(matemático Grego)

ExemploO peso de Alberto é 80 kg e o de Valmir é de 60.000 g. Qual a razão entre seus pesos?

Devemos transformar primeiro as grandezas na mesma unidade de medida: 60.000 g = 60 kg

Assim, 80/60 = 4/3 e, portanto, a proporção entre as igualdades é de 3/5

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RAZÃO E PROPORÇÃO – RESUMO ESPECIAL:RazõesA palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois números A e B, denotada por:

A

BExemplo: A razão entre 12 e 3 é 4 porque:

12

3= 4

e a razão entre 3 e 6 é 0,5 pois:3

6= 0,5

A razão também pode ser expressa na forma de divisão entre duas grandezas de algum sistema de medidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco, normalmente adicionamos A litros de suco concentrado com B litros de água. A relação entre a quantidade de litros de suco concentrado e de água é um número real expresso como uma fração ou razão (que não tem unidade), é a razão:

A

B= A/B

Exemplo: Tomemos a situação apresentada na tabela abaixo.Líquido Situação1 Situação2 Situação3 Situação4

Suco puro 3 6 8 30Água 8 16 32 80

Suco pronto 11 22 40 110Na Situação1, para cada 3 litros de suco puro coloca-se 8 litros de água, perfazendo o total de 11 litros de suco pronto.Na Situação2, para cada 6 litros de suco puro coloca-se 16 litros de água, perfazendo o total de 24 litros de suco pronto.Exemplo: Em uma partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10.

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Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o número de arremessos que ele acertou pelo total de arremessos, o que significa que o jogador acertou 1 para cada dois arremessos, o que também pode ser pensado como o acerto de 0,5 para cada arremesso.10 : 20 = 1 : 2 = 0,5

ProporçõesProporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D é a igualdade:

A

B=

C

DNotas históricas: A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. No século XV, o matemático árabe Al-Kassadi empregou o símbolo "..." para indicar as proporções e em 1.537, o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporção na forma6:3::8:4.Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o emprego das proporções durante o período do Renascimento.

Propriedade fundamental das proporçõesNuma proporção:

A

B=

C

Dos números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:A · D = B · CExemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:

3

4=

6

8Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6.Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:

x = 4

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3 6Para obter X=2.

Razões e Proporções de SegmentosConsideremos dois segmentos AB e CD, cujas medidas são dadas, respectivamente, por 2cm e 4cm.A________B, C ______________ DComparando os segmentos AB e CD, estabelecemos uma razão entre as suas medidas.

m(AB)

m(CD)=

2

4Podemos também afirmar que AB está para CD na razão de 1 para 2 ou que CD está para AB na razão de 2 para 1.

Polígonos SemelhantesDois polígonos são semelhantes se têm ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.Exemplo: Sejam os triângulos ABC e RST.

Observamos que os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas, denotadas aqui por, A~R, B~S, C~T e os lados correspondentes são proporcionais.AB/RS=5/(2,5)=2 BC/ST=4/2=2 AC/RT=3/(1,5)=2

Afirmamos que os polígonos (triângulos) ABC e RST são semelhantes e indicamos isto por :ABC ~ DEF

Figuras SemelhantesDuas figuras são semelhantes quando elas têm a mesma forma com medidas correspondentes congruentes, ou seja, quando uma é uma ampliação ou redução da outra. Isto significa que existe uma proporção constante entre elas sem ocorrência de

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deformação. A figura final e a figura original são chamadas figuras semelhantes.As figuras geométricas são semelhantes quando existe uma igualdade entre as razões dos segmentos que ocupam as correspondentes posições relativas nas figuras.Exemplo: Nos triângulos

observamos que os ângulos correspondentes possuem a mesma medida, ou seja, A=R, B=S e C=T e os lados correspondentes são proporcionais.AB/RS = BC/ST = CA/TR = 2Assim, os triângulos ABC e DEF são semelhantes e indicamos por:ABC ~ DEFExemplo: O mapa do Brasil está em duas escalas diferentes.

Os dois mapas possuem a mesma forma mas têm tamanhos diferentes. O mapa verde é uma ampliação do mapa amarelo ou o mapa amarelo é uma redução do mapa verde.

Aplicações práticas das razõesExistem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre as quais: velocidade média, escala, densidade demográfica e densidade de um corpo.

1. Velocidade Média: A "velocidade média", em geral, é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida (expressa em quilômetros ou metros) e um tempo por ele gasto (expresso em horas, minutos ou segundos).vmédia = distância percorrida / tempo gasto

Exemplo: Suponhamos que um carro de Fórmula MAT percorreu 328Km em 2h. Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso?

A partir dos dados do problema, teremos:

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vmédia = 328 Km / 2h = 164 Km/h

o que significa que a velocidade média do veículo durante a corrida foi de 164 Km/h, ou seja, para cada hora percorrida o carro se deslocou 164 Km.

2. Escala: Uma das aplicações da razão entre duas grandezas se encontra na escala de redução ou escala de ampliação, conhecidas simplesmente como escala. Chamamos de escala de um desenho à razão entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos medidos na mesma unidade.escala = comprimento no desenho / comprimento realUsamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos como móveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, mapas, maquetes, etc.Exemplo: Observemos as figuras dos barcos:

Base menor barco azul/Base menor barco vermelho = 2/4Base maior barco azul/Base maior barco vermelho = 4/8Altura do barco azul/Altura do barco vermelho = 3/6O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois as dimensões do barco vermelho são 2 vezes maiores do que as dimensões do barco azul, ou seja, os lados correspondentes foram reduzidos à metade na mesma proporção.

3. Densidade Demográfica: O cálculo da densidade demográfica, também chamada de população relativa de uma região é considerada uma aplicação de razão entre duas grandezas. Ela expressa a razão entre o numero de habitantes e a área ocupada em uma certa região.Exemplo: Em um jogo de vôlei há 6 jogadores para cada time, o que significa 6 jogadores em cada lado da quadra. Se, por algum motivo, ocorre a expulsão de 1 jogador de um time, sendo que não pode haver substituição, observa-se que sobra mais espaço vazio para ser ocupado pelo time que tem um jogador expulso. Neste caso, afirmamos que a densidade demográfica é menor na quadra que tem um jogador expulso e maior na outra quadra.

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Exemplo: Um estado brasileiro ocupa a área de 200.000 Km². De acordo com o censo realizado, o estado tem uma população aproximada de 12.000.000 habitantes. Assim:dens.demográfica=12.000.000 habitantes/200.000 Km²densidade demográfica = 60 habitantes/ Km2

Isto significa que para cada 1 Km2existem aproximadamente 60 habitantes.4. Densidade de um Corpo: Densidade de um corpo é mais uma aplicação de

razão entre duas grandezas. Assim, a densidade (volumétrica) de um corpo é a razão entre a massa desse corpo, medida em Kg ou gramas e o seu volume, medido em m³, dm³ ou qualquer outra unidade de volume.Exemplo: Se uma estátua de bronze possui uma densidade volumétrica de 8,75 kg/dm³ então para cada dm³ há uma massa de 8,75 kg.Curiosidade:Devido à existência de densidades diferentes, observamos que ao colocarmos corpos diferentes em um recipiente com água, alguns afundam e outros flutuam.

Uma bolinha de isopor flutuará na água enquanto que uma de chumbo, de mesmo volume afundará. Isso ocorre porque a densidade do chumbo é maior que a densidade do isopor. Algumas substâncias e suas densidades estão na tabela abaixo:

Substância Densidade [g/cm³]madeira 0,5gasolina 0,7álcool 0,8

alumínio 2,7ferro 7,8

mercúrio 13,65. Pi: Uma razão muito famosa: Os egípcios trabalhavam muito com certas

razões e descobriram a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Este é um fato fundamental pois esta razão é a mesma para toda circunferência. O nome desta razão é Pi e seu valor é aproximadamente:Pi = 3,1415926535

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Exemplo: Se C é o comprimento da circunferência e D a medida do diâmetro da circunferência, temos uma razão notável:C / D = Pi = 3,14159265358979323846264338327950...significando queC = Pi . DExemplo: Se a medida do raio de uma circunferência tem 1,5cm então o perímetro da circunferência é igual a 9,43cm.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS “RAZÃO E PROPORÇÃO”

1) Dois números somados totalizam 510. Sabe-se que um deles está para 8, assim como o outro está para 9. Quais são os dois números? Chamemos o primeiro número de a e o outro número de b. Do enunciado, tiramos que a está para 8, assim como b está para 9. Utilizando-nos da terceira propriedade das proporções temos:

Sabemos que a e b somados resultam em 510, assim como a adição de 8 a 9 resulta em 17. Substituindo estes valores na proporção teremos:

Portanto:

Chegamos então que os dois números são 240 e 270.

2) Um número a somado a um outro número b totaliza 216. a está para 12, assim como b está para 15. Qual o valor de a e de b ? Recorrendo à terceira propriedade das proporções montamos a seguinte proporção:

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Sabemos que a soma de a com b é igual a 216, assim como também sabemos que 12 mais 15 totaliza 27. Substituindo tais valores teremos:

Portanto:

R= Os dois números são 96 e 120.

3) Um número a subtraído de um outro número b resulta em 54. a está para 13, assim como b está para 7. Qual o valor de a e de b ? Recorremos à terceira propriedade das proporções para montarmos a seguinte proporção:

Sabemos que a diferença entre a e b é igual a 54, e sabemos também que 13 menos 7 dá 6. Substituindo tais valores teremos:

Portanto:

R= Os dois números são 117 e 63.

4) A diferença entre dois números é igual a 52. O maior deles está para 23, assim como o menor está para 19. Quais são os números? Vamos chamar o número maior de a e o menor de b. Do enunciado, a está para 23, assim como b está para 19. Ao utilizarmos a terceira propriedade das proporções temos:

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Sabemos que a menos b é igual a 52, assim como 23 menos 19 é igual a 4. Ao substituirmos estes valores na proporção teremos:

Portanto:

R= Chegamos então que os dois números são 299 e 247.

5) A idade de Pedro está para a idade de Paulo, assim como 5 está para 6. Quantos anos tem Pedro e Paulo sabendo-se que as duas idades somadas totalizam 55 anos? Identifiquemos a idade de Pedro por a e a idade de Paulo por b. A partir do enunciado, temos que a está para b, assim como 5 está para 6. Utilizando-nos da segunda propriedade das proporções temos:

Sabemos que a soma a e b resulta em 55, assim como 5 mais 6 resulta em 11. Substituindo estes valores na proporção temos:

Para calcularmos o valor de a temos:

Portanto:

R= Pedro tem 25 anos e Paulo tem 30 anos.

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JUROS SIMPLES:

Juro é toda compensação em dinheiro que se paga ou se recebe pela quantia em dinheiro que se empresta ou que é emprestada em função de uma taxa e do tempo. Quando falamos em juros, devemos considerar:

1. O dinheiro que se empresta ou que se pede emprestado é chamado de capital.2. A taxa de porcentagem que se paga ou se recebe pelo aluguel do dinheiro é

denominada taxa de juros.3. O tempo deve sempre ser indicado na mesma unidade a que está submetida a

taxa, e em caso contrário, deve-se realizar a conversão para que tanto a taxa como a unidade de tempo estejam compatíveis, isto é, estejam na mesma unidade.

4. O total pago no final do empréstimo, que corresponde ao capital mais os juros, é denominado montante.

Para calcular os juros simples j de um capital C, durante t períodos com a taxa de i% ao período, basta usar a fórmula:

j =C · i · t

100Exemplos:

1. O preço à vista de um aparelho é de R$ 450,00. A loja oferece este aparelho para pagamento em 5 prestações mensais e iguais porém, o preço passa a ser de R$ 652,00. Sabendo-se que a diferença entre o preço à prazo e o preço à vista é devida aos juros cobrados pela loja nesse período, qual é a taxa mensal de juros cobrada por essa loja?A diferença entre os preços dados pela loja é:652,00 - 450,00 = 202,50A quantia mensal que deve ser paga de juros é:202,50 / 5 = 40,50Se X% é a taxa mensal de juros, então esse problema pode ser resolvido da seguinte forma:X% de 450,00 = 40,50X/100.450,00 = 40,50450 X / 100 = 40,50450 X = 4050X = 4050 / 450X = 9

A taxa de juros é de 9% ao mês.2. Uma aplicação feita durante 2 meses a uma taxa de 3% ao mês, rendeu R$

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1.920,00 de juro. Qual foi o capital aplicado?O capital que a aplicaçao rendeu mensalmente de juros foi de: 1920,00/2=960,00. Se o capital aplicado é indicado por C, esse problema pode ser expresso por:3% de C = 960,003/100 C = 960,003 C / 100 = 960,003 C = 96000C = 96000/3 = 32000,00

O capital aplicado foi de R$ 32.000,00.

NOÇÕES DE ESTATÍSTICA:

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