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APOSTILA DE TÉCNICAS DIGITAIS – LDM1PROF ANDRÉ GARCIA

1.0   – SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

Sistemas de numeração são mecanismos usados para numerar determinados eventos, através de uma lei de formação. Todos os sistemasque a seguir terão como referência o sistema DECIMAL conhecido peloaluno (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,.....,1010,1011,1012, etc).

1.1 – Sistema binário de numeração:Sistema no qual possui apenas dois algarismos para representá-lo, o zero e

o um. Também chamado de sistema de base 2, conforme tabela abaixo:DECIMAL BINÁRIO DECIMAL BINÁRIO

0123

45

000001010011

100101

6789

1011

11011110001001

10101011

1.2 – Conversão do sistema binário para decimal: Nada mais é do que transformar um número qualquer binário em decimal,

conforme regra abaixo:

a) Multiplica-se o algarismo do número binário pela base elevada ao

expoente de sua colocação no número, sendo que a base do número binárioé dois. No número 11001(b) = 25 (d) ficaria assim:

O expoente segue da direita para esquerda1 1 0 0 124 23 22 21 20

1x24 1x23 0x22 0x21 1x20

16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25

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O número 10011(b) = 19 (d) ficaria assim:

O expoente segue da direita para esquerda1 1 0 0 1

24

23

22

21

20

1x24 0x23 0x22 1x21 1x20

16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 25

Transforme os números abaixo de binário para decimal:

a) 1110 (b) = __________________  b) 1010 (b) = __________________ c) 1100110001 (b) = _________________ 

respostas: 14 , 10 , 817

1.3 – Conversão do sistema decimal para binário: Nada mais é do que transformar um número qualquer decimal em binário,

conforme regra abaixo:

Divide-se o número decimal pela base em questão, no caso base 2,

obtendo um resultado e um resto. Caso o resultado possa ainda ter outradivisão pela base, tornar-se-á a fazer esta operação, até termos umresultado que não possa mais dividir pela base. Teremos o número emquestão, sendo o primeiro dígito igual ao último resultado, como exemploabaixo:

a) Qual o número binário referente ao decimal 47?47/2 = 23 23/2 = 11 11/2 = 5 5 /2 = 2 2/2 = 1 ( 1 < 2,

acabou!)

resto: 1 1 1 1 0Conforme a regra acima, o primeiro dígito é o último resultado, e onúmero ficaria assim: 47 = 101111 (b)

 b) Qual o número binário referente ao decimal 400?

400/ 2 = 200/ 2 = 100/ 2 = 50/ 2 = 25/ 2 = 12/ 2 = 6/ 2 = 3/ 2 = 1resto : 0 0 0 0 1 0 0 1

Conforme a regra acima, o primeiro dígito é o último resultado, e o númeroficaria assim: 400 = 110010000 (b)

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Transforme os números abaixo de decimal para binário:

a) 21 = __________________  b) 552 = __________________ 

c) 715 = _________________ 

Respostas:

10101 b ; 1000101000 b ; 1011001011 b

1.4 – Sistema octal de numeração:Sistema no qual possui apenas oito algarismos para representá-lo, o

0,1,2,3,4,5,6 e o 7. Também chamado de sistema de base 8, conforme

tabela abaixo:DECIMAL OCTAL DECIMAL OCTAL0123456

789

0123456

71011

10111213141516

171819

12131415161720

212223

1.5 – Conversão do sistema octal para decimal: Nada mais é do que transformar um número qualquer octal em decimal,

conforme regra abaixo:

a) Multiplica-se o algarismo do número octal pela base elevada aoexpoente de sua colocação no número, sendo que a base do número octal éoito. No número 144(o) = 100 (d) ficaria assim:

O expoente segue da direita para esquerdaX X 1 4 4X X 82 81 80

1x82 4x81 4x80

64 + 32 + 4 = 100

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O número 312(o) = 202 (d) ficaria assim:

O expoente segue da direita para esquerda3 1 2

82

81

80

3x82 1x81 2x80

192 + 8 + 2 = 202

Transforme os números abaixo de octal para decimal:

a) 77 (o) = __________________  b) 100 (o) = __________________ c) 476 (o) = _________________ 

d) Por que o número 3489 não é um número octal? ____________________ 

Respostas: 63 ; 64 ; 318 ; pois possui algarismos oito e nove.

1.6 – Conversão do sistema octal para binário:  Nada mais é do que transformar um número qualquer octal em binário,

conforme regra muito simples abaixo:Toma-se cada algarismo octal e transforme-os em binário

individualmente, mas obedecendo sempre a transformação com três dígitos binário para cada número octal:

27(o) = 010111 (b) 536(o) = 101011110 (b)

2 7 5 3 6010 111 101 011 110

Transforme os números abaixo de octal para binário:a) 34 (o) = __________________  b) 256 (o) = __________________ c) 44675 (o) = _________________ 

Respostas: 011100 b ; 010101110 b ; 100100110111101 b

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1.7 – Conversão do sistema binário para octal:  Nada mais é do que transformar um número qualquer binário em octal,

conforme regra muito simples abaixo:

Toma-se cada grupo de três algarismos binários, da direita paraesquerda, e faça a conversão desses grupos individualmente em algarismosoctal, mas obedecendo sempre a transformação com três dígitos binário para cada dígito octal:

110010 (b) = 62(o) 11001100(b) = 314 (o)

110 010 011 001 1006 2 3 1 4

Transforme os números abaixo de binário para octal: b) 10111(b) = __________________  b) 11010101(b) = __________________ c) 1000110011(b) = _________________ 

Respostas: 27(o) ; 325(o) ; 1063(o)

1.8 – Conversão do sistema decimal para octal: Nada mais é do que transformar um número qualquer decimal em octal,

conforme regra abaixo:

Divide-se o número decimal pela base em questão, no caso base 8,obtendo um resultado e um resto. Caso o resultado possa ainda ter outradivisão pela base, tornar-se-á a fazer esta operação, até termos umresultado que não possa mais dividir pela base. Teremos o número emquestão, sendo o primeiro dígito igual ao último resultado, como exemploabaixo:

a) Qual o número octal referente ao decimal 92?92/8 = 11 11/8 = 1 

resto: 4 3

Conforme a regra acima, o primeiro dígito é o último resultado, e onúmero ficaria assim: 92 = 134 (8)

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 b) Qual o número octal referente ao decimal 74?

74/ 8 = 9/ 8 = 1resto : 2 1

Conforme a regra acima, o primeiro dígito é o último resultado, e o númeroficaria assim: 74 = 112 (o)

Transforme os números abaixo de decimal para octal:a) 512 = __________________  b) 719 = __________________ c) 200 = _________________ 

Respostas: 1000(o) ; 1317(o) ; 310(o)

1.9 – Sistema hexadecimal de numeração:Sistema no qual possui apenas 16 algarismos para representá-lo, com

letras inclusas. Também chamado de sistema de base 16, conforme tabelaabaixo:

DECIMAL HEXA DECIMAL HEXA01

23456789

01

23456789

1011

1213141516171819

AB

CDEF10111213

1.10– Conversão do sistema HEXADECIMAL para decimal: Nada mais é do que transformar um número qualquer hexa em decimal,conforme regra abaixo:

a)  Multiplica-se o algarismo do número hexa pela base elevada aoexpoente de sua colocação no número, sendo que a base do númerohexa é 16. As letras deverão ser substituidas pelo equivalente emdecimal para fazer a multiplicação. No número 3f1(h) = 1009 (d)ficaria assim:

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O expoente segue da direita para esquerdaX X 3 F 1X X 162 161 160

3x162

15x161

1x160

768 + 240 + 1 = 1009

O número 312(h) = 786 (d) ficaria assim:O expoente segue da direita para esquerda

3 1 2162 161 160

3x162 1x161 2x160

768 + 16 + 2 = 786

Transforme os números abaixo de hexadecimal para decimal:

a) 1C3 (h) = __________________  b) 238 (h) = __________________ c) 1FC9 (h) = _________________ 

RESPOSTAS: 451 ; 568 ; 8137

1.11 – Conversão do sistema HEXA para binário:  Nada mais é do que transformar um número qualquer hexa em binário,

conforme regra muito simples abaixo:

Toma-se cada algarismo hexa e transforme-os em binárioindividualmente, mas obedecendo sempre a transformação com quatrodígitos binário para cada número hexa:

A7(h) = 10100111 (b) CE3(h) = 110011100011 (b)

A 7 C E 31010 0111 1100 1110 0011

Transforme os números abaixo de hexa para binário:c) 1ED (h) = __________________  b) ABF (h) = __________________ c) 37 (h) = _________________ 

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Respostas: 111101101 b ; 101010111111 b ; 110111 b

1.12 – Conversão do sistema binário para hexa:  Nada mais é do que transformar um número qualquer binário em hexa,conforme regra muito simples abaixo:

Toma-se cada grupo de quatro algarismos binários, da direita paraesquerda, e faça a conversão desses grupos individualmente em algarismoshexa, mas obedecendo sempre a transformação com quatro dígitos binário para cada dígito hexa:

11100010 (b) = E2(h) 110011110001(b) = CF1 (h)

1110 0010 1100 1111 0001E 2 C F 1

Transforme os números abaixo de binário para hexa:d) 1100011(b) = __________________  b) 11000111100011100(b) = __________________ c) 1000110011(b) = _________________ 

Respostas: 63(h) ; 18F1C(h) ; 233(h)

1.13 – Conversão do sistema decimal para hexa: Nada mais é do que transformar um número qualquer decimal em hexa,

conforme regra abaixo:

Divide-se o número decimal pela base em questão, no caso base 16,obtendo um resultado e um resto. Caso o resultado possa ainda ter outradivisão pela base, tornar-se-á a fazer esta operação, até termos um

resultado que não possa mais dividir pela base. Teremos o número emquestão, sendo o primeiro dígito igual ao último resultado, como exemploabaixo:

a) Qual o número hexa referente ao decimal 1000?

1000/16 = 62 62/16 = 3 resto: 8 14

Conforme a regra acima, o primeiro dígito é o último resultado, e onúmero ficaria assim: 92 = 3E8 (16)

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 b) Qual o número hexa referente ao decimal 134?

134/ 16 = 8resto : 6

Conforme a regra acima, o primeiro dígito é o último resultado, e o númeroficaria assim: 134 = 86 (h)

Transforme os números abaixo de decimal para hexa: b) 384 = __________________  b) 3882 = __________________ c) 350 = _________________ 

Respostas: 180(h) ; F2A(h) ; 15E(h)

2.0   – OPERAÇÕES ARITMÉTRICAS NO SISTEMABINÁRIO

Trata-se de um assunto importante para compreensão de como funciona os processos matemáticos digitalmente.

2.1  Adição no sistema binário:

Obedece a seguinte tabela :0 + 0 = 01 + 0 = 10 + 1 = 1

1 + 1 = 10 ,sendo que o dígito 1 da esquerda pertenceria a próxima casa binária:

Exemplo:A) 110 b + 111 b = 1101 b

1 1

1 1 0+ 1 1 11 1 0 1

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 b) 11001 b + 1011 b = 100100 b

1 1 1 1

1 1 0 0 1

+ 1 0 1 1. 1 0 0 1 0 0

Resolva as seguintes somas binárias:

a)  11111 b + 111111 b = _________________  b)  101101 b + 11100011 b = ___________________ c)  10101 b + 111 b = ______________________ 

Respostas: 1011110 ; 10010000 ; 11100

2.2– Subtração no sistema binário:

Obedece a seguinte tabela :0 - 0 = 01 - 0 = 11 - 1 = 0

0 – 1 = 1 ,e empresta 1 para próxima casa binária:Exemplos:

a)  1000b – 111b = 0001b. 1 0 0 0

- 1 111110 0 0 1

 b) 

10010 b – 10001 b = 00001 b. 1 0 0 1 0

. - 1 0 0 0 1 1. 0 0 0 0 1

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Resolva as seguintes subtrações binárias:

a)  1111111 b - 111111 b = _________________  b)  101101 b - 111 b = ___________________ 

c)  10101 b - 101 b = ______________________ 

Respostas: 1000000 b ; 100110 b ; 10000 b

2.3– Multiplicação no sistema binário:

Procede como uma multiplicação no sistema decimal:

0 x 0 = 01 x 0 = 00 x 1 = 01 x 1 = 1

Exemplos:

a)  1000b x 1b = 10001000

. x 1. 1000

 b) 1100b x 11b = 100100. 1100

. x 11

. 1100

. 1100-100100

 b)  11010 b x 101 b = 10000010 b. 11010. x 101. 11010. 00000*. 11010**. 10000010

Resolva as seguintes multiplicações:

a)  10101b x 11b = ______________  b)  11001b x 10b = _______________ 

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c)  5A (h) * 11b = ________________ 

Rspostas: 111111b ; 11011 ; 100001110

3.0   – FUNÇÕES LÓGICAS – PORTAS LÓGICAS

Existe na matemática eletrônica digital um modelo de sistema lógico  para cálculos e formações de sistemas digitais. Esse modelo matemáticochama-se álgebra de Boole. Conjuntamente com esse modelo, temos asfunções lógicas que vão dar formas estruturadas às expressões geradas pelaálgebra de Boole.

 Nas funções lógicas, teremos apenas dois estados:-  estado 0 (zero);

-  estado 1 (um).Esses estados são níveis de eventos opostos entre si, isto é, se oestado zero representa uma torneira fechada, o estado umrepresenta a mesma aberta; se o estado zero representa uma luzapagada, o estado um representa uma luz acesa.

3.1 – Função E ou AND

A função E é aquela que representa a multiplicação booleana de duas ou

mais variáveis, e sua representação algébrica igual a S = A x B x ....N., queé o mesmo que S = A and B and ... N , sendo S o resultado da expressão.Abaixo temos a tabela verdade dessa função e a direita temos o símbolo da porta AND com duas variáveis de entrada.A B S

A S

B

0  0

0  1

1  0

1 1

0

0

0

1

3.2 – Função OU ou OR 

A função OU (OR) é aquela que representa a soma booleana de duas oumais variáveis, e sua representação algébrica igual a S = A + B + .... N.,sendo S o resultado da expressão, que é o mesmo que S = A ou B ou .... N.

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Abaixo temos a tabela verdade dessa função e a direita temos o símbolo da porta OU com duas variáveis de entrada.

A B S

A

SB

0 0

0 1

1 0

1 1

0

1

1

1

3.3 – Função NÃO ou NOT

A função NÃO (NOT) é aquela que representa a inversão do estado deentrada da variável, isto é, se na entrada a variável é zero, na saída ficaráum; se na entrada a variável é um, na saída ficará zero a S = ou S = A’,sendo S o resultado da expressão. Abaixo temos a tabela verdade dessafunção e a direita temos o símbolo da porta NOT.

A S

A S0

1

1

0

3.4 – Função NE ou NAND

A função NE ou NAND é aquela que representa a negativa ou inversão damultiplicação booleana de duas ou mais variáveis, e sua representaçãoalgébrica igual a S = A x B x ....N., que é o mesmo que S = A nand B nand... N , sendo S o resultado da expressão. Abaixo temos a tabela verdade

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dessa função e a direita temos o símbolo da porta NAND com duasvariáveis de entrada.A B S

AS

B

0 0

0 1

1 0

1 1

1

1

1

0

3.5 – Função NOU ou NOR A função NOU (NOR) é aquela que representa a negativa ou inversão da

soma booleana de duas ou mais variáveis, e sua representação algébricaigual a S = A + B + .... N., sendo S o resultado da expressão, que é omesmo que S = A ou B ou .... N. Abaixo temos a tabela verdade dessafunção e a direita temos o símbolo da porta NOR com duas variáveis deentrada.

A B S

A

SB

0 0

0 1

1 0

1 1

1

0

0

0

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BLOCOS LÓGICOS BÁSICOSPORTA SÍMBOLO TABELA

VERDADEFUNÇÃOLÓGICA

E

AND

A B S Função E: Assume

valor 1 quando todasas variáveis foremiguais a 1, e valor zeronos outros casos

 possíveis.

0 00 11 01 1

0001

OU

OR 

A B S Função OU: Assumevalor 0 quando todasas variáveis foremiguais a 0, e valor umnos outros casos

 possíveis.

0 00 11 01 1

0111

 NE

 NAND

A B S Inverso da FunçãoE (AND)

0 00 11 01 1

1110

 NOU

 NOR 

A B SInverso da FunçãoOU (OR)

0 00 11 0

1 1

100

0

 NÃO NOT

INVERSOR 

A   Função NÃO:Inverte a variávelaplicada a suaentrada

01

10

EXERCÏCIO : Faça a tabela verdade e o símbolo das portas NAND e OR 

com três variáveis de entrada, A,B e C:

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4.0  - CIRCUITOS LÓGICOS, EXPRESSÕES BOOLEANASE TABELA VERDADE

Através de um ou mais circuitos lógicos associados entre si teremos

uma expressão booleana equivalente. O objetivo será exatamente formar um complexo eletrônico no qual busca-se uma solução digital para umou mais eventos eventos binário na entrada, através de variáveis.

4.1 – Expressões booleanas geradas por circuitos interligados

Exemplificando, temos o seguinte circuito 1):

A S1 SB

C

Qual seria a expressão booleana?

-  Temos S1 = A x B-  Temos S = S1 + C-  Logo, substituindo S1 , teremos S = A x B + C

Circuito 2)

A

B

C

D

S = (A+B) x (C+D)

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Circuito 3)

A

B

C

D

S = (AxB) + C’ + (CxD)’

Circuito 4)

A

B

C

D

S = { [ (A’ x B) x (B x C)’ x (B + D)’ ]’ }

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Circuito 5) Faça a expressão booleana do seguinte circuito:

B

C

4.2  - Circuitos obtidos de expressões booleanas: Neste caso teremos uma expressão booleana e formaremos o diagrama

do circuito equivalente:

Expressão 1) S = (A+B) x C x (B+D)

A

B

C

D

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Expressão 2) S = A x B + (A+B) x C’A

B

C

Expressão 3) S = [ (A x B)’ + (C X D)’ + D]

A

B

C

D

Expressão 4) ALUNO FAZER S = { [(A’ + B)’ + (C’ x D)’]’ x E + [ (A x D’ x E’) + (C x D x E)] x

A’ }

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4.3 - Tabela verdade obtida de expressões booleanas:

Para obtermos a tabela verdade, isto é, qual a saída S para todas ascombinações nas entradas pelas variáveis, fazemos da seguinte forma:

a)  Montamos o quadro de combinações das variáveis de entrada; b)  Montamos as colunas com os agrupamentos da equação, podendo ter 

colunas auxiliares, e uma coluna para o resultado final;c)  Preenchemos essas colunas independentemente com resultados obtidos

das variáveis;d)  Preenche-se a coluna do resultado final obedecendo os operandos dos

agrupamentos da expressão.

Exemplo 1) S = A’ + AB + AB’C (Obs.: Quando coloca-se as variáveis juntas, como AB, é o mesmo que A x B) :

A B C 1o MembroA’

2o MembroAB

Auxiliar B’

3o MembroAB’C

ResultadoS

0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

11110000

00000011

11001100

00000100

11110111

Exemplo 2) S = A’B + BCA B C Auxiliar 

A’1o Membro

A’B2o Membro

BCResultado

S0 0 0

0 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

1

1110000

0

0110000

0

0010001

0

0110001

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Exercício 1) Faça a tabela verdade com o resultado S da seguinteexpressão: S = (A+B) x C x (B+D)

A B C D S0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 1

1 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1 

4.3 - Tabela verdade obtida de circuitos:

Basta em primeiro lugar achar a expressão booleana do circuito para depoismontar a tabela verdade:

Exercício 1) Ache a expressão do circuito abaixo e monte a tabela verdade:

A

B S

C

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Exercício 2) Monte a Tabela verdade da expressão abaixo:

S = [ ( A + B) x C] ‘ + [ D x (C + B)] ‘

A B C D A + B S0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 1

1 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1 

Exercício 3) Prove as seguintes equações, através de tabelas verdadescomparando-as:

a)  (A’ x B’) ≠ (A x B)’ b) (A’ + B’) ≠ (A + B)’

c) (A’ x B’) = ( A + B)’ d) (A’+ B’) = (A x B)’

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Exercício 4) Obtenha dois inversores, um com uma porta NE, outro comuma porta NOU – Dica, fazer a tabela verdade:

5.0  - CIRCUITOS COMBINACIONAIS:

Circuitos combinacionais são aqueles que a saída depende única eexclusivamente das várias combinações entre as variáveis de entrada.Temos, então que analisar uma situação real, definir as variáveis econvenções, formar uma tabela verdade, chegar a uma expressão e,finalmente, montar o circuito:

SITUAÇÃOA SER ANALIZA-DA

TABELA

VERDADE

EXPRES-SÃO CIRCUITO

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EXEMPLO 1)

RUA B 

Sinal2

SINAL 1

RUA (A) PREFERENCIALSINAL 1

Sinal2

Temos um cruzamento entre as ruas A e B, queremos colocar um sistemaque acione os dois sinais (1) e (2), obedecendo as seguintes situações:

1- Quando houver somente carros na rua A , o sinal 1 deverá estar verde;2- Quando houver somente carros na rua B , o sinal 2 deverá estar verde;3- Quando houver carros transitando nas Ruas A e B, o sinal para rua Aficará verde, pois é preferencial, e o da rua B vermelho;

Através dos dados acima, serão definidos variáveis e estados das mesmas, para se montar a tabela verdade:

a)  Existe carro em A -> A = 1 , caso não exista, A = 0 ; Rua A é uma

variável b)  Existe carro em B -> B = 1 , caso não exista, B = 0 ; Rua B é umavariável

c)  Vd do sinal 1 (V1) aceso, Vd sinal 2 apagado, vm do sinal 2 aceso =>V1 = 1 ; V2 = 0

d)  Vd do sinal 2 (V2) aceso, Vd sinal 2 apagado, vm do sinal 1 aceso =>V2 = 1 ; V1 = 0

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TABELA VERDADE

SITUAÇÃO RUA A Rua B V1 V20

123

0

011

0

101

X(1)

011

X(0)

100

Convenciona-se que quando a variável de saída é 1, buscamos as variáveisde entrada. Se estiver 1, temos sua designação igual a mesma sem a barraou o ‘ . Caso contrário, se estiver 0, temos sua designação barrada ou com ‘. Exemplo: A = 1 ; = 0.

Análise sinal 1:Quando teremos Sinal V1 em verde, e obviamente V2 vermelho? Nas

situações 0 ou 2 ou 3. Situação 0 =>>>>> A’ x B’ = 1 ouSituação 2 =>>>>> A x B’ = 1 ouSituação 2 =>>>>> A x B = 1.

Logo a expressão do Sinal 1 ficará : V1 = A’B’ + AB’ + AB

Análise sinal 2:Quando teremos Sinal V2 em verde, e obviamente V1 vermelho? Nasituação 1. Situação 1 =>>>>> A’ x B = 1Logo a expressão do Sinal 2 ficará : V2 = A’B

Agora podemos fazer os circuitos que farão funcionar os dois sinaisnas condições propostas:

V1 = A’B’ + AB’ + AB V2 = A’B

A

B

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6.0 - ÁLGEBRA DE BOOLE E SIMPLIFICAÇÃO: 

Muitos dos circuitos já estudados permitem simplificação, diminuindo sua complexidade no atode se fazer o circuito eletrônico. Para tal fim, far-se-á necessário a compreensão da álgebra de

Boole e seus postulados. A álgebra de Boole, que são representadas as variáveis por letras,  podem estas assumir apenas os valores 1 ou 0. Desta primícia, foram determinados alguns postulados.

6.1 - Postulados.

6.1.1 – Postulado da Complementação:

Se A = 0 => A’ = 1Se A = 1 => A’ = 0

Então, A” = A

6.1.2 – Postulado da Adição:

0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 1

Então:

A + 0 = A

A + 1 = 1A + A = AA + A’ = 1

6.1.3 – Postulado da Multiplicação:

0 x 0 = 00 x 1 = 01 x 0 = 01 x 1 = 1

Então:

A x 0 = 0A x 1 = AA x A = AA x A’ = 0

6.2 – Propriedades:

6.2.1 Propriedade Comutativa:

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6.2.1.1 - Comutativa na soma:

A+B = B+A

Provar pela tabela verdade:

6.2.1.2 – Comutativa na Multiplicação:

AxB = BxA

Provar pela tabela verdade:

6.2.2 Propriedade Associativa:

6.2.2.1 – Associativa na Adição:

A + (B+C) = (A+B) + C = A + B + C

6.2.2.2 – Associativa na Multiplicação:

A x (BxC) = (AxB) x C = A x B xC

6.2.3 Propriedade Distributiva:

A x (B+C) = (AxB) +(AxC)

6.3 – Teoremas de Morgan:6.3.1 – O complemento do Produto é igual à soma dos Complementos de n variáveis:

(AxB)’ = A’ + B’

6.3.2 – O complemento da Soma é igual ao produto dos Complementos:

(A+B)’ = A’ x B’

6.4 – Identidades Auxiliares:

1)  A + AB = A

Prove:

2)  A + A’B = A+B

Prove:

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3)  (A+B) x (A + C) = A + BC

Prove:

6.5 – Simplificação de Expressões booleanas:

Baseado nos postulados, teoremas e identidades acima, podemos, quando possível, fazer simplificações de expressões booleanas, facilitando a execução dos circuitos eletrônicos.Exemplo:

1) S = ABC + AC’ + AB’ Resposta : S = A ; Provar:

Desenhar os dois circuitos:

2) S = A’B’C’ + A’BC’ + AB’C Resposta: S = A’C’ + AB’C ; Prove:

Exercícios para aula:

a)  S = A’B’ + A’Bb)  S = A’B’C’ + A’BC + A’BC’ + AB’C’ + ABC’c)  S = (A+B+C) . (A’+B’ + C)

Respostas: a) S = A’ ; b) S = C’+ A’B ; c) S = AB’ + A’B + C

Fazer em casa: S = ( (AC)’ + B + D) ‘ + C(ACD)’ Resposta: S = CD’ + A’C

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6.6 – Simplificação de Expressões booleanas com diagrama Veitch-Karnaugh:

O diagrama Karnaugh foi elaborado com o propósito de simplificar uma expressão oudiretamente de uma tabela verdade.

6.6.1 – Diagrama Karnaugh com duas variáveis:

B’ BA’ 00 01A 10 11

Exemplo : S = A’B’ + A’B + AB’

B’ BA’ 1 1A 1 0

Tabela verdade:

A B S0

011

0

101

1

110

Resposta: S = B’+ A’

6.6.2 – Diagrama Karnaugh com três variáveis:

A’B’ B

000 001 011 010A 100 101 111 110

C’ C C’

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Exemplo 1) : Faça a simplificação da expressão definida pela seguinte tabela verdade:

A B C S0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

10111010

S = A’B’C’ + A’BC’ + AB’C’ + A’BC + ABC’

A’B’ B

AC’ C C’

Resposta: S = A’B + C’

A) : Faça a simplificação da expressão definida pela seguinte tabela verdade:

A B C S0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

01011110

S =

A’B’ B

AC’ C C’

Resposta: S = A’C + AC’ + B’C

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B) Faça a tabela verdade e minimize com Karnaugh a seguinte expressão:

S = A’B’C’ + A’B’C + A’BC + AB’C + ABC Resp: S = C + A’B’

S = A’BC + AB’C’ + ABC’ Resp.: AC’+ A’BC

6.6.2 – Diagrama Karnaugh com quatro variáveis:

C’ CA’ 0000 0001 0011 0010 B’

0100 0101 0111 0110 BA 1100 1101 1111 1110

1000 1001 1011 1010 B’D’ D D’

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Exemplo 1)

A B C D S0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 1

1 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 1

011101011101

1101

S = ?

C’ CA’ B’

BA

B’D’ D D’

Resposta: S = D + AC’ + A’B’C

Exemplo 2) A B C D S0 0 0 00 0 0 1

0 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 1

1 1 1 01 1 1 1

01

011111001000

01

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S = ?

C’ CA’ B’

BA

B’D’ D D’

Resposta: AB’CD’+ BCD + A’B + A’D

Exercícios:Minimize FAZENDO ANTES A TABELA VERDADE:

a) S = A’B’C’D’ + A’ B’C’D + A’B’CD’ + A’BC’D + AB’C’D’+ AB’C’D + AB’CD’ +ABC’D + ABCD Resp: S = ABD + C’D + B’D’

b)A B C D S0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 1

1 1 1 01 1 1 1

10101111101010

11

S = ?RESP: S = A’B +BC +D’

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7.0 - CIRCUITOS COMBINACIONAIS PARTE 2:

7.1 – CÓDIGOSDentro de um aspecto digital, podemos formar as diversas combinações das

variáveis de entrada em códigos específicos. Por exemplo, o código específico da tabela verdade

de quatro variáveis (A,B,C e D), ou quatro bits, é chamado de código BCD 8421, que significaBinary Coded Decimal.

7.1.1 – CÓDIGO BCD 8421 Neste código temos exatamente a composição binária de soma uma (1) unidade

 binário com a soma de uma (1) unidade decimal

7.1.2 – CÓDIGO Excesso 3 Neste código temos o início do código binário adiantado de 3 unidades em relação

ao decimal. Neste código temos somente de 0 até 9 decimal. Este código é usado em algunscircuitos aritméticos:

DECIMAL Excesso 3A B C D

0123456789

0 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 0

DECIMAL BCD 8421A B C D

01

23456789

10111213

1415

0 0 0 00 0 0 1

0 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 01 1 0 1

1 1 1 01 1 1 1 

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7.1.3 – CÓDIGO Johnson Neste código, de 5 bits, isto é, 5 variáveis de saída, temos os bits de saída = 1 colocados da

direita para esquerda, seqüencialmente, como se fosse um “ônibus” atravessando um rua:

DECIMAL Johnson

A B C D E0123456789

0 0 0 0 00 0 0 0 10 0 0 1 10 0 1 1 10 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 01 1 1 0 01 1 0 0 01 0 0 0 0 

7.1.4 – CÓDIGO GRAY Neste código temos a característica de deslocar para direita as colunas da esquerda,

começando a primeira COLUNA com 0, a segunda com 00, a terceira com 0000 e a quarta com00000000:

7.2 – Codificadores e Decodificadores:A função de um decodificador no sistema digital é fazer com que um código de

entrada seja transformado em outro código na saída deste sistema decodificador. Exemplo:

Entrada de dados: Código BCD 8421 ==è Sistema è Saída de dados: Excesso 3Vejo o sistema como codificador Vejo o sistema como decodificador 

DECIMAL GRAYA B C D

0123

456789

101112131415

0 0 0 00 0 0 10 0 1 10 0 1 0

0 1 1 00 1 1 10 1 0 10 1 0 01 1 0 01 1 0 11 1 1 11 1 1 01 0 1 01 0 1 11 0 0 11 0 0 0 

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7.2.1 – Decodificador BCD 8421 para Excesso 3:

BCD 8421A B C D

EXCESSO 3S3 S2 S1 S0

0 0 0 0

0 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 0

1 1 0 11 1 1 01 1 1 1 

0 0 1 1

0 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 0X X X XX X X XX X X X

X X X XX X X XX X X X

Teremos que ter 4 circuitos para definir nosso decodificador. Serão eles S1, S2, S3e S4. Antes de fazer o circuito, teremos que simplifica-los:

S3 = A’BC’D + A’BCD’ + A’BCD + AB’C’D’ + AB’C’DS2 = A’B’C’D + A’B’CD’ + A’B’CD + A’BC’D’ + AB’C’DS1 = A’B’C’D’ + A’B’CD + A’BC’D’ + A’BCD + AB’C’D’S0 = A’B’C’D’ + A’B’CD’ + A’BC’D’ + AB’C’D’ + A’BCD’

S3:C’ C

A’ B’B

AB’

D’ D D’Resposta: S3 = A+ BD +BC

S2:C’ C

A’ B’B

AB’

D’ D D’Resposta: S2 = B’D+ B’C + BC’D’

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S1C’ C

A’ B’B

A

B’D’ D D’Resposta: S1 = C’D’+CD

S0C’ C

A’ B’B

AB’

D’ D D’Resposta: S0 = D’

Fazer o circuito:

7.2.1 – Decodificador BCD 8421 para Excesso 3:EXCESSO 3

A B C DBCD 8421S8 S4 S2 S1

0 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 0

0 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 0

1 1 0 11 1 1 01 1 1 10 0 0 00 0 0 1

0 0 1 0

0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 1

0 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 1

X X X XX X X XX X X XX X X XX X X X

X X X X 

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  Na tabela verdade do excesso 3 acima, temos parte da numeração do mapa deKarnaught que não faz parte desta codificação, então tanto faz seu resultado a direita dodecodificador, pois na prática, nunca será usado.

S8 = AB’CD + ABC’D’S4 = A’BCD + AB’C’D’ + AB’C’D + AB’CD’S2 = A’BC’D + A’BCD’ + AB’C’D + AB’CD’S1 = A’BC’D’ + A’BCD’ + AB’C’D’ + AB’CD’ + ABC’D’

S8:C’ C

A’ B’B

A

B’D’ D D’Resposta: S8 = AB + ACD

S4:C’ C

A’ B’B

AB’

D’ D D’Resposta: S4 = B’D’+ AC’D + BCD

S2C’ C

A’ B’B

AB’

D’ D D’Resposta: S2 = C’D+CD’

S1C’ C

A’ B’B

AB’

D’ D D’Resposta: S1 = D’

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Exercício proposto:

Fazer a tabela verdade para acender um display de 7 segmentos, fazendo um decodificador de bcd 8421 para display de 7 segmentos, com a numeração de 0 até 9, simplificar com karnaught edesenhar o circuito. Obedecer a disposição nominal abaixo, para o display de 7 segmentos:

af b

ge c

d

Exemplo: Para formar o número 1, temos que acender as letras b e c, logo temos b = 1 e c= 1

8.0 - FLIP-FLOPS:

O flip-flop é um dispositivo que possui dois estados estáveis. Para o flip-flop assumir um desses estados é necessário que haja uma combinação das variáveis e um pulso, um disparo,que chamaremos de CLOCK.

8.1 – FLIP-FLOP RS:Este flip-flop é pouco usado, pois não permite o uso das entradas 1 e 1.

.__________ ___________ 

 _________.

  ___________. ___________ 

FF RSR S QF0 00 11 01 1

Qa01

Não permitido

 

S Q

CK 

R Q’

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8.2 – FLIP-FLOP JK:Este flip-flop, no caso de J = 1 e K = 1, para ter-se QF = Q’a, é necessário que a

entrada clock volte à situação zero, após a aplicação dos sinais na entrada, teremos então, com o pulso de clock, o valor Q’A:

.__________ ___________ 

 _________.

  ___________. ___________ 

FF JK J K QF0 0

0 11 01 1

Qa

01

Q’A

8.2.1 – FLIP-FLOP JK com entradas Preset e Clear:Podemos forçar a saída inicial de Q em 1 ou zero, uando nosso flip-flop possuir os

recursos de Preset (Pr) e Clear (CLR), conforme tabela verdade abaixo:

FF JK usando PR e CLR CLR PR QF

0 00 11 01 1

Não permitido01

funcionamentonormal

8.2.2 – FLIP-FLOP JK mestre-escravo:O flip-flop JK tão somente, caso o clock seja 1, e houver uma modificação nas entradas

J e K, automaticamente mudará a saída Q, sem termos uma transição de clock, indesejável paracertos circuitos. Então surgiu o JK mestre-escravo, que muda o estado da saída Q quando háuma transição do clock de 0 para 1, conforme a entrada apresentado. Depois disto, mesmo

mudando a entrada, somente teremos um novo Qf se o clock for a 0, para ir a 1 novamente,estabelecendo essa nova saída. A tabela verdade é a mesma do item 8.2.

8.3 – FLIP-FLOP Tipo T:Basta unir as entradas J e K para termos esse flip-flop. Faça a tabela verdade.

8.4 – FLIP-FLOP Tipo D:Basta unir as entradas J e K’, isto é, colocando um inversor na entrada para K, e teremos

esse flip-flop. Faça a tabela verdade.

 

J Q

CK 

K Q’

5/11/2018 APOSTILA DE TÉCNICAS DIGITAIS - slidepdf.com

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Aluno: _____________________________ Matrícula_______ 

Rubrica_________________________ Apost num______ 

Rubrica Professor ______________________________ 

Exercícios:

1) 11001011 (b) > decimal?

2) 145 (d) > binario?

3) 111100011110 > hexa?

4) 3FE (h) > decimal

5) FA4 (h) > binario

Faça:

A) soma binario : 10011101 + 111 =

B) Subtração binário: 111100101- 10101 =

C) Multiplicação binário: 10111 x 101 =


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