Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba Gerência de Ensino e Pesquisa Departamento Acadêmico de Matemática

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS NOTAS DE AULA DESTINADA A DISCIPLINA MA52F

Profa Paula Francis Benevides

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

1

AULA 01

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

1 – INTRODUÇÃO: Antes de mais nada, vamos recordar a diferença entre a derivada e a diferencial, pois, embora a derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais, esses dois operadores têm significados bastante diferentes. As diferenças mais marcantes são:

a) a derivada tem significado físico e pode gerar novas grandezas físicas, como por exemplo a velocidade e a aceleração; a diferencial é um operador com propriedades puramente matemáticas; b) a derivada transforma uma função em outra, mantendo uma correspondência entre os pontos das duas funções (por exemplo, transforma uma função do segundo grau em uma função do primeiro grau); a diferencial é uma variação infinitesimal de uma grandeza; c) a derivada é uma operação entre duas grandezas; a diferencial é uma operação que envolve uma grandeza; d) o resultado de uma derivada não contém o infinitésimo em sua estrutura; conseqüentemente, não existe a integral de uma derivada; a integral só pode ser aplicada a um termo que contenha um diferencial (infinitésimo); e) Se for feito o quociente entre os dois diferenciais, tem-se:

em total semelhança com a definição de derivada. A conseqüência direta desse fato é que a derivada não é o quociente entre duas diferenciais, mas comporta-se como se fosse esse quociente. Isto significa que a partir da relação:

é possível escrever: dy = f(x).dx que se denomina equação diferencial. f) uma das aplicações mais importantes envolvendo derivadas e diferenciais é a obtenção da equação diferencial, etapa fundamental para a introdução do Cálculo Integral.

1.1 - Definição: Equação diferencial é uma equação que relaciona uma função e suas derivadas ou diferenciais. Quando a equação possui derivadas, estas devem ser passadas para a forma diferencial. As equações diferenciais da forma ( )yfy =′ são chamadas de autônomas. Exemplos:

1) 13 −= xdxdy

2) 0=− ydxxdy

3) 2

2 3 2 0d y dy ydxdx

+ + =

4) 2"' 2( ") ' cosy y y x+ + =

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

2

5) 2 3 2( ") ( ') 3y y y x+ + =

6) 2 2

22 2z z x y

x y∂ ∂

+ = +∂ ∂

7) z zz xx y∂ ∂

= +∂ ∂

1.2 - Classificação: Havendo uma só variável independente, como em (1) a (5), as derivadas são ordinárias e a equação é denominada equação diferencial ordinária. Havendo duas ou mais variáveis independentes, como em (6) e (7), as derivadas são parciais e a equação é denominada equação diferencial parcial. 1.2.1 - Ordem: A ordem de uma equação diferencial é a ordem de mais alta derivada que nela aparece. As equações (1), (2) e (7) são de primeira ordem; (3), (5) e (6) são de segunda ordem e (4) é de terceira ordem. 1.2.2 - Grau: O grau de uma equação diferencial, que pode ser escrita, considerando a derivadas, como um polinômio, é o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece. Todas as equações dos exemplos acima são do primeiro grau, exceto (5) que é do segundo grau. As equações diferenciais parciais serão vista mais adiante. Exemplos:

1

3

33

3

=−

dxyd

ydx

ydx ⇒ 3

32

3

3

dxydy

dxydx =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⇒ 3a ordem e 2o grau

yxLgdxdy

=− 2ln ⇒ yxdxdy

=2ln ⇒ yedxdy

x=.1

2 ⇒ yexdxdy 2= ⇒ 1a ordem e 1o grau

Observe que nem sempre à primeira vista, pode-se classificar a equação de imediato quanto a ordem e grau. 1.3 – Origem das Equações Diferenciais: Uma relação entre as variáveis, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, como

4y x Cx= + ou 2y Ax Bx= + , é chamada uma primitiva. As n constantes, representadas sempre aqui, por letras maiúsculas, serão denominadas essenciais se não puderem ser substituídas por um número menos de constantes. Em geral uma primitiva, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, dará origem a uma equação diferencial, de ordem n, livre de constantes arbitrárias. Esta equação aparece eliminando-se as n constantes entre as (n + 1) equações obtidas juntando-se à primitiva as n equações provenientes de n derivadas sucessivas, em relação a variável independente, da primitiva.

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3

Exemplos: Obter a equação diferencial associada às primitivas abaixo:

a) 62

3 2

+−= xxy

b) y = C1 sen x + C2 cos x c) y = Cx2 d) y = C1 x2 + C2

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4

e) y = a cos(x + b) onde a e b são constantes f) y = C1 e3x + C2 e- 2x AULA 01 – EXERCÍCIOS 1) x2 + y2 = C2 2) y = C ex 3) x3 = C (x2 – y2) 4) y = C1 cos 2x + C2 sen 2x 5) y = (C1 + C2x) ex + C3 6) y = C1 e2x + C2 e- x

7) ayyx

+= 1ln

8) x2y3 + x3y5 = C 9) y = Ax2 + Bx + C 10) y = Ae2x + Bex + C 11) y = C1e3x + C2e2x + C3 ex 12) ln y = Ax2 + B Respostas: 1) 0=+ ydyxdx

2) 0=− ydxdy

3) dxdyxyxy 23 22 =−

4) 042

2

=+ ydx

yd

5) 02 2

2

3

3

=+−dxdy

dxyd

dxyd

6) 022

2

=−− ydxdy

dxyd

7) 0ln =−⋅ ydxdy

yxx

8) 22 3 3 5 0dy dyy x xy y xdx dx

⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

9) 3

3 0d ydx

=

10) 0232

2

3

3

=+−dxdy

dxyd

dxyd

11) 3 2

3 26 11 6 0d y d y dy ydxdx dx

− + − =

12) 2" ' ( ') 0xyy yy x y− − =

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5

AULA 02

1.4 - Resolução:

Resolver uma ED é determinar todas as funções que, sob a forma finita, verificam a equação, ou seja, é obter uma função de variáveis que, substituída na equação, transforme-a numa identidade. A resolução de uma equação diferencial envolve basicamente duas etapas: a primeira, que é a preparação da equação, que consiste em fazer com que cada termo da equação tenha, além de constantes, um único tipo de variável. A segunda etapa é a resolução da equação diferencial e consiste na aplicação dos métodos de integração.

1.5 - Curvas Integrais: Geometricamente, a primitiva é a equação de uma família de curvas e uma solução

particular é a equação de uma dessas curvas. Estas curvas são denominadas curvas integrais da equação diferencial. Exemplo:

xdxdy 2=

1.6 – Tipos de Solução:

Solução geral: A família de curvas que verifica a equação diferencial, (a primitiva de uma equação diferencial) contem tantas constantes arbitrárias quantas forem as unidades de ordem da equação.

Solução particular: solução da equação deduzida da solução geral, impondo condições iniciais ou de contorno.Geralmente as condições iniciais serão dadas para o instante inicial. Já as condições de contorno aparecem quando nas equações de ordem superior os valores da função e de suas derivadas são dadas em pontos distintos.

Solução singular: Chama-se de solução singular de uma equação diferencial à envoltória da família de curvas, que é a curva tangente a todas as curvas da família. A solução singular não pode ser deduzida da equação geral. Algumas equações diferenciais não apresentam essa solução. Esse tipo de solução será visto mais adiante.

As soluções ainda podem ser:

Solução explícita: Uma solução para uma EDO que pode ser escrita da forma y = f (x) é chamada solução explícita.

Solução Implícita: Quando uma solução pode apenas ser escrita na forma G (x, y)=0 trata-se de uma solução implícita

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6

Exemplo:

Consideremos a resolução da seguinte EDO:

xdxdy

+= 1

( )

cxxy

dxxdy

++=

+= ∫∫2

3

32

1

A solução geral obtida é obviamente uma solução explicita.

Por outro lado, pode-se demonstrar que a EDO:

2

2

xxyy

dxdy

−= tem como solução: x

yCey = , ou seja, uma solução implícita.

1.7 - Existência e unicidade de solução para uma EDO

Três perguntas importantes sobre soluções para uma EDO. 1. Dada uma equação diferencial, será que ela tem solução? 2. Se tiver solução, será que esta solução é única? 3. Existe uma solução que satisfaz a alguma condição especial?

Para responder a estas perguntas, existe o Teorema de Existência e Unicidade de solução que nos garante resposta para algumas das questões desde que a equação tenha algumas características.

Teorema: Considere o problema de valor inicia ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+

00 )(

)()(

yxy

xqyxpdxdy

Se p(x) e q(x) são continuas em um intervalo aberto I e contendo x 0 , então o problema

de valor inicial tem uma única solução nesse intervalo.

Alertamos que descobrir uma solução para uma Equação Diferencial é algo “similar” ao cálculo de uma integral e nós sabemos que existem integrais que não possuem primitivas, como é o caso das integrais elípticas. Dessa forma, não é de se esperar que todas as equações diferenciais possuam soluções. 1.8 - Problemas de Valor Inicial (PVI)

Uma equação diferencial satisfazendo algumas condições adicionais é denominada

Problema de Valor Inicial (PVI). Exemplo:

exy' + 2y = arctan(x) y(0) = π

Se forem conhecidas condições adicionais, podemos obter soluções particulares para a

equação diferencial e se não são conhecidas condições adicionais poderemos obter a solução geral.

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2 - EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU

São equações de 1a ordem e 1o grau:

),( yxFdxdy

= ou 0=+ NdyMdx

em que M = M(x,y) e N = N(x,y). Estas funções têm que ser contínuas no intervalo considerado (- ∞, ∞) 2.1 – TIPOS DE EQUAÇÃO: 2.1.1 - EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS. Se a equação diferencial M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 puder ser colocada na forma P(x).dx + Q(y).dy = 0, a equação é chamada equação diferencial de variáveis separáveis.

Resolução: ∫ ∫ =+ Cdy).y(Qdx).x(P

Exemplos: Resolver as seguintes equações:

1) 13 −= xdxdy

2) y dx – x dy = 0

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8

3) 04=

−− dy

yxxdx

4) 0secsec. =− xdytgyydxtgx

5) 01)1( 222 =−−− dyxdxyx

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9

6) xyx

ydxdy

)1(1

2

2

++

=

7) 2

2

11

xy

dxdy

++

=

AULA 02 – EXERCÍCIOS

1) 0.1=−

dxdytgy

x

2) 4xy2 dx + (x2 + 1) dy = 0 3) (2+ y) dx - (3 – x) dy = 0 4) xy dx – (1 + x2) dy = 0

5) 42

2

+=

−

xe

dxdy y

6) (1 + x2) y3 dx + (1 – y2) x3 dy = 0

7) dxdyxyy

dxdyxa =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + 2

8) sec2 x tg y dx + sec2 y tg x dy = 0 9) (x2 + a2)(y2 + b2)dx + (x2 – a2)(y2 – b2)dy = 0

10) (x – 1) dy – y dx = 0 11) (1 + x2)dy – xydx = 0

12) 0cos =+ xydxdy

Respostas: 1) x cos y = C

2) Cy

x =−+1)1ln(2 2

3) (2 + y)(3 – x) = C 4) C y2 = 1 + x2

5) Cxarctge y =−2

2

6) Cyxy

x=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− 22

1121ln

7) y

yk

a a

ex+

=ln

2 8) tg x . tg y = C

9) Cbybarctgy

axaxax =−+

+−

+ 2ln

10) y = c(x – 1)

11) Cxy .1 2+=

12) senxeKy =

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10

AULA 03

2.1.2 - EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS Uma função f = f(x, y) é denominada homogênea de grau k se, para todo t ∈ R, vale a relação f(tx, ty) = tk f(x, y). Uma função f = f(x, y) é homogênea de grau 0 se, para todo t ∈ R, vale a relação f(tx, ty) = f(x, y) Exemplos:

1) A função f(x, y) = x2 + y2 é homogênea de grau 2.

2) 2

2

),(yxyxg = e ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

xyarctgyxh ),( são funções homogêneas de grau 0

Uma forma simples de observar a homogeneidade de uma função polinomial é constatar que todos os monômios da função possuem o mesmo grau. No caso de uma função racional (quociente de polinômios), os membros do numerador devem ter um mesmo grau m e os membros do denominador devem também ter um mesmo grau n, sendo que o grau da expressão do denominador pode ser menor ou igual que o grau da expressão do numerador.

Uma equação diferencial de primeira ordem na forma normal y’ = f(x, y) é dita homogênea se ),( yxff = é uma função homogênea de grau zero.

Exemplos:

1) xy

yxdxdy 22 +

=

2) 2

2

'yxy =

3) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xyarctgy'

Resumindo, As equações homogêneas são as da forma Mdx + Ndy = 0, onde M e N são funções homogêneas em x e y e do mesmo grau. 2.1.2.1 – Resolução: Seja a equação homogênea Mdx + Ndy = 0 Tem-se:

NM

dxdy

−=

Dividindo-se o numerador e o denominador do segundo membro por x elevado a

potencia igual ao grau de homogeneidade da equação, resultará uma função de y/x.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xyF

dxdy

(1)

É necessário, no entanto, substituir a função y/x por uma outra que permita separar as

variáveis.

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11

Dessa forma, substitui-se xy por u.

uxy .= (2)

Derivando y=x.u em relação a x tem-se

dxduxu

dxdy

+= (3)

Substituindo (2) e (3) em (1), temos:

xdx

uuFdu

uuFdxdux

uFdxduxu

=−

−=

=+

)(

)(

)(

Que é uma equação de variáveis separáveis.

Em resumo:

Pode-se resolver uma Equação Diferencial Homogênea, transformando-a em uma equação de variáveis separáveis com a substituição y = x.u, onde u = u(x) é uma nova função incógnita. Assim, dy = xdu + udx é uma equação da forma y’ = f(x,y) pode ser transformada em uma equação separável. Exemplos: 1) (x2 – y2) dx – 2xy dy = 0

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12

AULA 03 – EXERCÍCIOS 1) (x – y) dx – (x + y) dy = 0 2) (2x – y) dx – (x + 4y) dy = 0 3) (x2 + y2) dx + (2x + y)y dy = 0 4) (x + y) dx + (y – x) dy = 0 5) (x2 + y2) dx – xy dy = 0

6) 0442

22

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

dxdyyxy

dxdyy

7) Determinar a solução particular da equação (x2 – 3y2)dx + 2xydy = 0 para y = 1 e x = 2.

Respostas: 1) y2 + 2xy – x2 = K

2) Kyyxx =−− 22 422 3) y3 + 3xy2 + x3 = k

4) xyarctgyxC =+ 22

1ln

5) 2

2

2 xy

kex =

6) Cxyx =±− 23 22

xxy831−=

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13

AULA 04 2.1.3 – EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS HOMOGÊNEAS E EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS DE VARIÁVEIS SEPARADAS;

São as equações que mediante determinada troca de variáveis se transformam em

equações homogêneas ou em equações de variáveis separáveis. São equações da forma:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

=222

111

cybxacybxa

Fdxdy

onde a1, a2, b1, b2, c1 e c2 são constantes. Observemos que a equação acima não é de variáveis separáveis porque temos uma soma das variáveis x e y e também não é homogênea pela existência de termos independentes, portanto deveremos eliminar ou a soma ou o termo independente. O que equivale a efetuar uma translação de eixos.

Para esse tipo de equação tem dois casos a considerar:

2.1.3.1 – O determinante 22

11

baba

é diferente de zero

Resolução:

Seja o sistema (1) ⎩⎨⎧

=++=++

00

222

111

cybxacybxa

cuja solução é dada pelas raízes x = α e y = β .

A substituição a ser feita será:

⎩⎨⎧

=∴+==∴+=

dvdyvydudxux

βα

Observa-se que, geometricamente, equivaleu a uma translação dos eixos coordenados para o ponto ( βα , ) que é a interseção das retas componentes do sistema (1), o que é verdadeiro, uma vez eu o determinante considerado é diferente de zero. Assim sendo, a equação transformada será:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++++++

=22222

11111

cbavbuacbavbua

Fdudv

βαβα

x

y

u

v

P

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14

Como α e β são as raízes do sistema:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

=vbuavbua

Fdudv

22

11

que é uma equação homogênea do tipo visto anteriormente. Exemplos:

Resolver a equação 23132

−+−−

=yxyx

dxdy

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15

2.1.3.2 – O determinante 22

11

baba

é igual a zero.

Assim, observe-se que o método aplicado no 1o caso não fará sentido, de vez que as retas no sistema seriam paralelas e sua interseção seria verificada no infinito (ponto impróprio). A equação se reduzirá a uma de variáveis separáveis.

Como 22

11

baba

= 0, os coeficientes de x e y são proporcionais, de modo que se pode

escrever:

a1b2 = a2b1 ∴ 1

2

1

2

bb

aa

= (1)

Chamando a relação constante (1) de m, pode-se escrever:

1

2

1

2

1

2

cc

mbb

aa

≠==

a2 = ma1 b2 = mb1

Assim:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

++=

211

111

)( cybxamcybxa

Fdxdy

Fazendo a1x +b1y = t, e sendo t = f(x), tem-se:

)(11

1

xatb

y −=

Derivando em relação a x:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 1

1

1 adxdt

bdxdy

Equação transformada:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2

11

1

1cmt

ctFadxdt

b

)(11 tGbadxdt

=−

que é uma equação de variáveis separáveis.

Exemplo: Resolver a equação 13612−−+−

=yxyx

dxdy

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Aula 04 – Exercícios

1) (2x – 3y)dx – (3x – y -1)dy = 0 2) (x + 2y – 4)dx – (2x + y -5)dy = 0 3) (3y + x)dx + (x + 5y – 8)dy = 0 4) (2x + 3y -1)dx + (2x + 3y + 2)dy = 0

5) yxyx

dxdy

++−−

=1

331

Respostas: 1) 2x2 – 6xy + y2 + 2y = K 2) (y – x + 1)3 = K(x + y – 3) 3) ln[5(y – 4)2 + 4(x + 12)(y – 4) + (x + 12)2] –

2 arctg ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

+− 212

)4(5xy

= K

4) 3x + 3y = - 9ln(2x + 3y – 7) + C 5) 3x + y + 2ln(-3x – 3y + 3) = K

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17

AULA 05

2.1.4 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS: Uma equação do tipo M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1) é denominada diferencial exata, se existe uma função U(x,y) tal que dU(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy. A condição necessária e suficiente para que a equação (1) seja uma diferencial exata é que:

xN

yM

∂∂

=∂∂

Dada a equação diferencial exata Mdx+Ndy=0 (1) e seja u=f(x,y)=C sua solução, cuja diferencial dada por:

dyyudx

xudu

∂∂

+∂∂

= (2).

Então, comparando (1) e (2) teremos:

),( yxMxu=

∂∂

(3) e ),( yxNyu=

∂∂

(4).

Para obtermos a sua solução u=f(x,y) deveremos integrar, por exemplo,a expressão (3),

em relação à variável x, da qual teremos

∫ += )(),(),( ygdxyxMyxf (5).

Derivando parcialmente (5) em relação à y teremos:

)('),(

ygy

dxyxM

yf

+∂

∂=

∂∂ ∫

(6).

Igualando (6) e (4) resulta:

),()('),(

yxNygy

dxyxM=+

∂

∂∫.

I Isolando g’(y) e integrando em relação a y acharemos:

1),(

),()( Cdyy

dxyxMyxNyg +⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂−= ∫ ∫

(7).

Substituindo (7) em (5) teremos a solução geral da equação exata, que é:

Cdyy

dxyxMyxNdxyxMyxf =⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂−+= ∫ ∫∫

),(),(),(),( .

Logo, a solução é da forma

∫ ∫ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−+= CdyyPNMdxyxU ),(

onde costuma-se denotar ∫= MdxP

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18

Exemplos: 1) (x2 – y2)dx – 2xy dy = 0 2) (2x – y + 1) dx – (x + 3y – 2) dy = 0

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19

AULA 05 – EXERCÍCIOS 1) (x3 + y2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0 2) ey dx + ( xey – 2y) dy = 0 3) 2xy dx + x2 dy = 0 4) senh x.cosy dx = coshx.seny dy

5) 0)( 22 =−− θθ drrdre

6) 2222 yxy

xdyy

dyyx

dx+

=++

Respostas:

1) Ksenyxyx=++ 2

4

4

2) Cyxe y =− 2 3) x2y = K 4) coshxcosy = K

5) Kre =− 22θ

6) Kyxx =++ 22

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20

AULA 06

2.1.4.1 – FATOR INTEGRANTE:

Nem sempre a ED é exata, ou seja, Mdx + Ndy = 0 não satisfaz, isso é: xN

yM

∂∂

≠∂∂

.

Quando isso ocorre vamos supor a existência de uma função F(x, y) que ao multiplicar toda a ED pela mesma resulta em uma ED exata, ou seja, F(x,y)[Mdx +Ndy] = 0, e esta é uma ED exata.

Se ela é exata, existe u(x, y) = cte e MFdxu .=∂

e NFdyu .=∂

e

FNx

FMyx

Ny

Myx

u∂∂

=∂∂

=∂∂

=∂∂

=∂∂

∂ 2

Tomando a condição de exatidão FNdx

FMy

∂=

∂∂

FxNN

xFF

yMM

yF

∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

e achar F por aqui é loucura!!!!!!! Vamos supor então que F(x,y) = F(x)

xNFN

xF

yMF

∂∂

+∂∂

=∂∂

dividindo tudo por FN≠ 0 e organizando, temos:

xN

NxF

FyM

N ∂∂⋅+

∂∂⋅=

∂∂⋅

111

xN

NyM

NxF

F ∂∂⋅−

∂∂⋅=

∂∂⋅

111

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

⋅=∂∂⋅

xN

yM

NxF

F11

reescrevendo: dxxN

yM

NdF

F ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

⋅=11

integrando: ∫ += CdxxRF )(ln

∫=dxxR

ecxF)(

.)( onde:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=xN

yM

NxR 1)(

analogamente, supondo F(x,y) = F(y) que torne exata FMdx + FNdy = 0 teremos:

∫=dyyR

ecyF)(

.)( onde:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

−=xN

yM

MxR 1)(

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21

Em resumo:

Quando a expressão Mdx + Ndy não é diferencial exata, isto é, xN

yM

∂∂

≠∂∂

, mostra-se

que há uma infinidade de funções ),( yxF , tais que )( NdyMdxF + é uma diferencial exata.

A esta função ),( yxF , dá-se o nome de fator integrante. F(x): F(y):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=xN

yM

NxR 1)( ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

−=xN

yM

MyR 1)(

∫=

dxxRexF

)()(

∫=dyyR

eyF)(

)( Exemplos: Resolver as seguintes equações diferenciais transformando em exatas através do fator integrante. 1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0

Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides

22

2) (x2 – y2) dx + 2xy dy = 0 AULA 06– EXERCÍCIOS 1) (2cos y + 4x2) dx = x sen y dy 2) 2x tg y dx + sec2 y dy = 0 3) seny dx + cos y dy = 0 Encontre a solução particular em: 4) 2xy dy = (x2 + y2) dx para y(1) = 2

Respostas: 1) x2 cos y + x4 = C

2) Ctgyex =2

3) Ceseny x =.

4) xxy 32 +=

Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides

23

AULA 07

2.1.5 – EQUAÇÕES LINEARES: Uma equação diferencial linear de 1a ordem e 1o grau tem a forma:

)()( xQyxPdxdy

=+ (1)

Se Q(x) = 0, a equação é dita homogênea ou incompleta; enquanto, se Q(x)≠ 0, a

equação é dita não-homogênea ou completa. Analisaremos dois métodos de solução de equações diferenciais desse tipo a saber: 1o Método: Fator Integrante:

Este método consiste na transformação de uma equação linear em outro do tipo diferencial exata, cuja solução já estudamos anteriormente. Posto isto, vamos retornando à equação original de nosso problema:

QPydxdy

=+

Vamos reescrever esta última sob a forma

0)( =+− dydxQPy

Multiplicando ambos os membros por ∫ Pdx

e (fator integrante) obtemos a expressão

( ) 0=∫+−∫ dyedxQPyePdxPdx

. Aqui, identificamos as funções “M” e “N”:

( )QPyeMPdx

−∫= e

∫=Pdx

eN

Derivando M com relação a y e N com relação a x, obtemos:

∫=∂∂ Pdx

Pey

M e ∫=

∂∂ Pdx

PexN

confirmando assim, que a equação transformada é uma equação diferencial exata.

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24

2o Método: Substituição ou de Lagrange:

Esse método foi desenvolvido por Joseph Louis Lagrange (matemático francês: 1736-1813) criador da Mecânica Analítica e dos processos de Integração das Equações de Derivadas Parciais. O método consiste na substituição de “y” por “Z.t” na equação (1), onde t = φ (x) e

Z= )(xψ , sendo Z a nova função incógnita e t a função a determinar, assim y = Z.t.

Derivando em relação a x, tem-se:

dxdZt

dxdtZ

dzdy

+= (2)

Substituindo (2) em (1) vamos obter:

QPZtdxdZt

dxdtZ =++

QdxdZtPt

dxdtZ =+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + (3)

Para integral a equação (3), examina-se dois casos particulares da equação (1) a saber:

i) P = 0, então dy = Qx, logo, CQdxy += ∫ (4)

ii) Q = 0, então 0=+ Pydxdy

(equação homogênea) que resulta em dy + Pydx = 0 que é de

variáveis separáveis. Daí, 0=+ Pdxy

dy. Integrando essa última, resulta em ∫−= PdxCyln .

Aplicando a definição de logaritmo, passamos a escrever a solução ∫=∫=−− PdxCPdxC

eeey .

Fazendo Cek = , temos ∫=− Pdx

key (5) que representa a solução da equação homogênea ou incompleta. Agora, vamos pesquisar na equação (3) valores para “t” e “Z”, uma vez que y=Z.t, teremos a solução da equação (1) que uma equação linear completa (não-homogênea). Se igualarmos os coeficientes de Z a um certo fator, o valor daí obtido poderá ser levado ao resto da equação, possibilitando a determinação de Z uma vez que “t” pode ser determinado a partir desta condição. Assim, vamos impor em (3), que o coeficiente de Z seja nulo. Feito isto,

0=+ Ptdxdt

(6), que é da mesma forma já estudada no caso ii. Assim, ∫=− Pdx

ket . Substituindo

este resultado em QdxdZt = obtemos Q

dxdZke

Pdx=∫− . Daí, Qe

kdxdZ Pdx∫=

1 e Qdxe

kdZ

Pdx∫=1

.

Integrando este último resultado, temos CQdxek

ZPdx

+∫= ∫1

(7). Lembrando que y = Z.t,

vamos obter, substituindo “t” e “Z”: ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +∫∫= ∫

−CQdxe

kkey

PdxPdx 1, onde resulta, finalmente

em:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +∫∫= ∫

−CdxQeey

PdxPdx.. (8) que é a solução geral da equação (1)

Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides

25

Exemplos:

1) Resolver a equação 2−=− xxy

dxdy

por:

a. Fator integrante

b. Lagrange

Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides

26

AULA 7 – EXERCÍCIOS

1) 0cot=−+

xgx

xy

dxdy

2) arctgxydxdyx =++ )1( 2

3) xytgxdxdy cos. +=

4) xxy

dxdy

=−

5) 32 xxy

dxdy

=+

6) senxytgxdxdy

=−

7) Achar a solução particular para y = 0 e x=0 em x

ytgxdxdy

cos1

=−

Respotas:

1) [ ]Csenxx

y += )ln(1

2) arctgxeCarctgxy −+−= .1

3) xCxsenxy sec241

21

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

4) 2xCxy +=

5) 24

61

xCxy +=

6) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= Cxsenxy

2sec

2

7) x

xycos

=

Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides

27

AULA 08 2.1.6 – EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A LINEARES: Resolver equações diferenciais não lineares é muito difícil, mas existem algumas delas que mesmo sendo não lineares, podem ser transformadas em equações lineares. Os principais tipos de tais equações são: 2.1.6.1 – EQUAÇÕES DE BERNOULLI:

Equação da forma: nyxQyxP

dxdy )()( =+ (1) para 1≠n e 0≠n

Onde P(x) e Q(x) são funções continuas. Nesse caso, a idéia é realizar uma substituição na equação acima, de modo a transformá-la em uma EDO linear. Pois, se:

n = 0 ⇒ y’ + P(x)y = g(x) ⇒ caso anterior n = 1 ⇒ y’ + [P(x) – g(x)] y = 0 ⇒ caso anterior e homogênea

Solução:

Transformação de variável:

Substitui por ty n =−1

Deriva-se em relação a x:

dxdt

dxdyyn n =− −)1( (2)

Substituindo (1), que é:

nQyPy

dxdy

=+ ⇒ PyQydxdy n −=

em (2) temos:

( )dxdtPyQyyn nn =−− −)1(

( )( )dxdtPyQn n =−− −11

como ty n =−1 , temos:

dxdtPtQn =−− ))(1(

QntPndxdt )1(])1[( −=−+

Tornando-se assim uma equação linear a ser resolvida pelo método anterior.

Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides

28

Exemplo: 232 xyxy

dxdy

=−

Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides

29

AULA 08 – EXERCÍCIOS

1) 33 yxxydxdy

=+

2) xyydxdyx ln2=+

3) 33 yxydxdyx =+

4) yxyxdx

dy+=

4

5) 02 2 =+− xydxdyxy

6) 32 xyxydxdy

=−

Respostas:

1) 2

.1

12 xeCx

y++

=

2) Cxex

y+

=).ln(1

3) 1.2 2223 =+− yxCyx

4) 2

4 ln21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += Cxxy

5) xCxy ln.2 =

6) Ke

eyx

x

+−= 2

2

2

22 2

Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides

30

AULA 9

3 - EXERCÍCIOS GERAIS Calcule as Equações Diferenciais abaixo: 1) 0)2(3 =−− dyyxydx

2) 02

=+ − dyyexdx x

3) 0)1( 2 =−− dxydyx

4) 0coscos2 =⋅+⋅ xdysenysenxdxy

5) )cos( yxdxdy

+=

6) 0)()(2 22 =+++ dyyxdxyxx

7) dxyxydxxdy 22 +=−

8) 0)( 22 =−+− xydydxyxyx

9) 0)2( =−+ dyxxyydx

10) 0)52()42( =+−++− dxyxdyyx

11) 342

12++++

=yxyx

dxdy

12) 0)139()23( =+−++− dyyxdxyx 13)

012)cos()cos( =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ + dyy

xxyxdxx

yxyy

14) 0324

22

3 =−

+ dyy

xydxyx

15) 0)46()63( 3222 =+++ dyyyxdxxyx

16) yxy

xyxdxdy

2

2

++

−=

17) 0)cos1()1( =−++ dyxdxysenx

18) 0)2.(sec).(sec =+−+− dyxtgyydxytgxx

19) 0)cos2( 2 =−− senydyxdxeyx x , determinar a solução particular para x = 0.

20) dxexydxxdy x2=−

21) 02 =−+ xdyydxdyy

22) 0)ln( 3 =−+ dyxydxxy

23) Achar a solução particular para y = b e x

= a em 0=−+ xeydxdyx

24) 0)32(2 =+− dyxydxy

25) 222 yxy

dxdy

=+

26) dxyyxdy )1( 2 +=

27) 22 )1( xyxydxdyx +=−

Respostas: 1) )ln(126 2 Cyxy =−

2) 22 2

Cey x =+

3) 1)1(ln =− xCy

4) Cyx =+ secsecln

5) Cxyxgyx +=+−+ )(cot)sec(cos

6) Cyyxx =++ 323 32

7) 222 yxCxy +−=

8) CXyxy =+− )ln(

9) Cyyx

=+ ln

10) )3()1( 3 +−=−+ yxCyx

11) Cxyyx =−+++ 48)584ln(

12) )126ln(62 +−=++ yxCyx

13) Cyxyxysen =++ ln2)(

14) Cyy

x=−

13

2

15) Cyyxx =++ 4223 3

16) Cyyx =++ 222 )1(

17) Cxyyx =−+ cos

18) Cx)-y(2secysecx =++

19) 1cos2 −=− xeyx

20) xxeCxy +=

21) Cyxy =+2

22) Cyyx =+ 3ln2

23) x

eabeyax −+

=

24) y

Cyx 12 −=

25) 0122 =−+ xyyCx

26) 2

22

xCxy−

=

27) 11

12 −−

=xC

y

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

31

AULA 10

4 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM MODELOS MATEMÁTICOS

4.1 - MODELO MATEMÁTICO: É freqüentemente desejável descrever o comportamento de algum sistema ou fenômeno da vida real em termos matemáticos, quer sejam eles físicos, sociológicos ou mesmo econômicos. A descrição matemática de um sistema ou fenômeno, chamada de modelos matemáticos é construída levando-se em consideração determinadas metas. Por exemplo, talvez queiramos compreender os mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo do crescimento de populações animais nesse sistema ou datar fósseis por meio da análise do decaimento radioativo de uma substância que esteja no fóssil ou no extrato no qual foi descoberta. A construção de um modelo matemático de um sistema começa com:

i. a identificação das variáveis responsáveis pela variação do sistema. Podemos a principio optar por não incorporar todas essas variáveis no modelo. Nesta etapa, estamos especificando o nível de resolução do modelo.

A seguir, ii. elaboramos um conjunto de hipóteses razoáveis ou pressuposições sobre o

sistema que estamos tentando descrever. Essas hipóteses deverão incluir também quaisquer leis empíricas aplicáveis ao sistema.

Para alguns propósitos, pode ser perfeitamente razoável nos contentarmos com um

modelo de baixa resolução. Por exemplo, você provavelmente já sabe que, nos cursos básicos de Física, a força retardadora do atrito com o ar é às vezes ignorada, na modelagem do movimento de um corpo em queda nas proximidades da superfície da Terra, mas e você for um cientista cujo trabalho é predizer precisamente o percurso de um projétil de longo alcance, terá de levar em conta a resistência do ar e outros fatores como a curvatura da Terra.

Como as hipóteses sobre um sistema envolvem freqüentemente uma taxa de variação de uma ou mais variáveis, a descrição matemática de todas essas hipóteses pode ser uma ou mais equações envolvendo derivadas. Em outras palavras, o modelo matemático pode ser uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais.

Depois de formular um modelo matemático, que é uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais, estaremos de frente para o problema nada insignificante de tentar resolvê-lo. Se pudermos resolvê-lo, julgaremos o modelo razoável se suas soluções forem consistentes com dados experimentais ou fatos conhecidos sobre o comportamento do sistema. Porém, se as predições obtidas pela solução forem pobres, poderemos elevar o nível de resolução do modelo ou levantar hipóteses alternativas sobre o mecanismo de mudança no sistema. As etapas do processo de modelagem são então repetidas, conforme disposto no seguinte diagrama:

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

32

Naturalmente, aumentando a resolução aumentaremos a complexidade do modelo matemático e, assim, a probabilidade de não conseguirmos obter uma solução explícita. Um modelo matemático de um sistema físico freqüentemente envolve a variável tempo t. Uma solução do modelo oferece então o estado do sistema; em outras palavras, os valores da variável (ou variáveis) para valores apropriados de t descrevem o sistema no passado, presente e futuro. 4.2 – DINÂMICA POPULACIONAL:

Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por meio de matemática foi feito pelo economista inglês Thomas Malthus, em 1798. Basicamente, a idéia por trás do modelo malthusiano é a hipótese de que a taxa segundo a qual a população de um pais cresce em um determinado instante é proporcional a população total do pais naquele instante. Em outras palavras, quanto mais pessoas houver em um instante t, mais pessoas existirão no futuro. Em termos matemáticos, se P(t) for a população total no instante t, então essa hipótese pode ser expressa por:

kxdtdx

= , 00 )( xtx = ktexx .0= (1)

onde k é uma constante de proporcionalidade, serve como modelo para diversos fenômenos envolvendo crescimento ou decaimento. Conhecendo a população em algum instante inicial arbitrário t0, podemos usar a solução de (1) para predizer a população no futuro, isto é, em instantes t > t0.

O modelo (1) para o crescimento também pode ser visto como a equação rSdtdS

= , a qual

descreve o crescimento do capital S quando uma taxa anual de juros r é composta continuamente. Exemplo: Em uma cultura, há inicialmente x0 bactérias. Uma hora depois, t = 1, o número de bactérias passa a ser 3/2 x0. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, determine o tempo necessário para que o número de bactérias triplique. Resolução: x(to) = x0

x(t1) = 23

xo

kxdtdx

=

∫ ∫= kdtx

dx

lnx = kt + c lnx – ln c = kt

lncx

= kt

ekt = cx

x = c.ekt para t = 0 x(0) = x0 x0 = ce0 x0 = c ∴ x = x0.ekt

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

33

Para t = 1

x(1) = 23

x0 x = x0.e0,4055.t

1.00 .

23 kexx = 3x0 = x0.e0,4055.t

23

=ke ln3 = ln e0,4055.t

ek = 1,5 0,4055t = 1,0986 ln1,5 = k t = 2,71 horas k = 0,4055 4.3 - MEIA VIDA:

Em física, meia-vida é uma medida de estabilidade de uma substância radioativa. A meia-vida é simplesmente o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade A0 se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Quanto maior a meia-vida de uma substância, mais estável ela é.

Por exemplo, a meia do ultra-radioativo rádio, Ra-226, é cerca de 1700 anos. Em 1700 anos, metade de uma dada quantidade de Ra-226 é transmutada em Radônio, Rn-222. O isótopo de urânio mais comum, U-238, tem uma meia-vida de aproximadamente 4.500.000.000 de anos. Nesse tempo, metade de uma quantidade de U-238 é transmutada em chumbo, Pb-206.

A.KdtdA

= (2)

A(0) = A0 2

)( 0AtA = kteAA .0=

Exemplo: Um reator converte urânio 238 em isótopo de plutônio 239. Após 15 anos foi detectado que 0,043% da quantidade inicial A0 de plutônio se desintegrou. Encontre a meia vida desse isótopo se a taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente.

Resolução:

t = 0 → A0 t = 15 → A0 – 0,043%A0 99,957%A0 0,99957A0

kAdtdA

=

∫ ∫= kdtA

dA

ln A = kt + c

ktcA=ln

ktecA=

A = c.ekt se t = 0

A(0) = A0 A0 = c.e0 C = A0

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

34

A(t) = A0.ekt

A(15) = A0.e15k A(t) = 2

0A

0,99957 A0 = A0.e15k teAtA510.8867,2

0 .)(−−=

Ln0,99957 = ln e15t 00002867,00

0 .2

−= eAA

-0,00043 = 15 k te 00002867,0

21 −=

K = - 2,8667.10- 5 -0,6931 = - 0,00002867t t = 24,180 t ≅ 24,180 anos

4.4 – DECAIMENTO RADIOATIVO:

O núcleo de um átomo consiste em combinações de prótons e nêutrons. Muitas dessas combinações são instáveis, isto é, os átomos decaem ou transmutam em átomos de outra substância. Esses núcleos são chamados de radioativos. Por exemplo, ao longo do tempo, o altamente radioativo elemento rádio, Ra-226, transmuta-se no gás radônio radioativo, Rn-222. Para modelar o fenômeno de decaimento radioativo, supõe-se que a taxa de dA/dt segundo a qual o núcleo de uma substância decai é proporcional a quantidade (mais precisamente, ao número de núcleos) A(t) de substâncias remanescente no instante t:

A.KdtdA

= (2)

Naturalmente as equações (1) e (2) são iguais, a diferença reside apenas na interpretação

dos símbolos e nas constantes de proporcionalidade. Para o crescimento, conforme esperamos em (1), k>0, para o decaimento, como em (2), k<0.

O modelo (2) para o decaimento também ocorre com aplicações biológicas, como a determinação de meia vida de uma droga – o tempo necessário para que 50% de uma droga seja eliminada de um corpo por excreção ou metabolismo. Em química, o modelo de dacaimento (2) aparece na descrição matemática de uma reação química de primeira ordem, isto é, uma reação cuja taxa ou velocidade dx/dt é diretamente proporcional à quantidade x de uma substância não transformada ou remanescente no instante t.

A questão é que: Uma única equação diferencial pode servir como um modelo matemático para vários

fenômenos diferentes.

4.5 - CRONOLOGIA DO CARBONO:

Por volta de 1950, o químico Willard Libby inventou um método para determinar a idade de fósseis usando o carbono radioativo.

A teoria da cronologia do carbono se baseia no fato de que o isótopo do carbono 14 é produzido na atmosfera pela ação de radiações cósmicas no nitrogênio.

A razão entre a quantidade de C-14 para carbono ordinário na atmosfera para ser uma constante e, como conseqüência, a proporção da quantidade de isótopo presente em todos os organismos é a mesma proporção da quantidade na atmosfera.

Quando um organismo morre, a absorção de C-14, através da respiração ou alimentação, cessa. Logo, comparando a quantidade proporcional de C-14 presente, digamos, em um fóssil com a razão constante na atmosfera, é possível obter uma razoável estimativa da idade do fóssil.

O método se baseia no conhecimento da meia-vida do carbono radioativo C-14, cerca de 5.600 anos.

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

35

O método de Libby tem sido usado para datar móveis de madeira em túmulos egípcios, o tecido de linho que envolvia os pergaminhos do Mar Morto e o tecido do enigmático sudário de Turim.

Exemplo: Um osso fossilizado contém um milésimo da quantidade original do C-14. Determine a idade do fóssil. Resolução: A(t) = A0.ekt

5600.0

0 .2

keAA

=

ke5600ln21ln =

5600k = - 0,6931 K = - 0,000123776 A(t) = A0.e- 0,000123776t

teAA 000123776,000 .

1001 −=

te 000123776,0ln100

1ln −=

- 0,000123776 t = - 6,9077 t = 55.808 anos

4.6 - RESFRIAMENTO: De acordo com a Lei empírica de Newton do esfriamento/resfriamento, a taxa segundo a qual a temperatura de um corpo varia é proporcional a diferença entre a temperatura de um corpo varia proporcionalmente a diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia, denominada temperatura ambiente. Se T(t) representar a temperatura de um corpo no instante t, Tm a temperatura do meio que o rodeia dT/dt a taxa segundo a qual a temperatura do corpo varia, a lei de Newton do esfriamento/resfriamento é convertida na sentença matemática

)( mTTKdtdT

−= , (3)

T = C.ekt

+ Tm onde k é uma constante de proporcionalidade. Em ambos os casos, esfriamento ou aquecimento, se Tm for uma constante, é lógico que k<0.

Exemplo: Um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de 300ºF. Três minutos depois, sua temperatura passa para 200ºF. Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a 75 graus, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for de exatamente 70ºF?

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

36

Resolução:

T(0) = 3000F )( mTTkdtdT

−=

T(3) = 2000F )70( −= TkdtdT

T(?) = 750 ∫ ∫=−kdt

TdT

)70(

Tm = 700 cktT +=− )70ln(

ktc

T=

− 70(ln

c

Tekt 70−=

70. += ktecT T(0) = 3000 300 = C.ek.0 + 70 C = 2300 T = 230.ekt + 70 T(3) = 200 200 = 230.e3k + 70 230 e3k = 130

2301303 =ke

230130lnln 3 =ke 70.230 19018,0 += − teT

230130ln3 =k 70.23075 19018,0 += − te

K = - 0,19018 230

707519018,0 −=− te

- 0,19018t = ln2305

T = 20,13 minutos 4.7 – MISTURAS: A mistura de dois fluidos algumas vezes dá origem a uma equação diferencial de primeira ordem para a quantidade de sal contida na mistura. Vamos supor um grande tanque de mistura contenha 300 galões de salmoura (isto é, água na qual foi dissolvida uma determinada quantidade de libras de sal). Uma outra salmoura é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de três galões por minuto; a concentração de sal nessa segunda salmoura é de 2 libras por galão.Quando a solução no tanque estiver bem misturada, ela será bombeada para fora a mesma taxa em que a segunda salmoura entrar. Se A(t) denotar a quantidade de sal (medida em libras) no tanque no instante t, a taxa segundo a qual A(t) varia será uma taxa liquida:

se RRdtdA

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

sal de saída de Taxa

sal de entrada de Taxa

(4)

A taxa de entrada Re de sal (em libras por minuto) é:

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

37

min/6)/2(.min)/3(

sal de entrada de taxa

entrada de fluxo no

sal de ãoConcentraç

salmoura de

entrada de Taxa

lbgalkbgalRe ==↓↓↓

Uma vez que a solução está sendo bombeada para fora e para dentro do tanque a mesma taxa, o número de galões de salmoura no tanque no instante t é constante e igual a 300 galões. Assim sendo, a concentração de sal no tanque e no fluxo de saída é de A(t)/300 lb/gal, e a taxa de saída de sal Rs é:

min/100

/300

.min)/3(

sal de

saida de taxa

saída de fluxo no

sal de ãoConcentraç

salmoura de

saída de Taxa

lbAgallbAgalRs =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

↓↓↓

A equação (4) torna-se então:

100

6 AdtdA

−= (5)

Exemplo: Dos dados do tanque acima considerado e da equação (4), obtemos a equação (5). Vamos colocar agora a seguinte questão: se 50 libras de sal fossem dissolvidas nos 300 galões iniciais, quanto sal haveria no tanque após um longo período? Resolução:

100

100100

100100

.600

600

6.

.

6100

1100

6

t

tt

tt

PdtPdt

eCA

CeeA

CdteeA

CQdteeA

AdtdA

AdtdA

−

−

−

−

+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +∫∫=

=⋅+

−=

∫

∫

para A(0) =50

550

.60050 0

−=+=

CeC

Logo:

100550600t

eA −−= (6)

A solução acima (6) foi usada para construir a seguinte tabela:

t(min) A(lb) 50 266,41 100 397,67 150 477,27 200 525,57 300 572,62 400 589,93

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

38

Além disso podemos observar que 600→A quando ∞→t . Naturalmente, isso é o que esperaríamos nesse caso; durante um longo período, o número de libras de sal na solução deve ser (300 gal).(2lb/gal) = 600 lb. Neste exemplo supusemos que a taxa segundo a qual a solução era bombeada para dentro era igual à taxa segundo a qual ela era bombeada para fora. Porém isso não precisa ser assim; a mistura salina poderia ser bombeada para fora a uma taxa maior ou menor do que aquela segundo a qual é bombeada para dentro. Por exemplo, se a solução bem misturada do exemplo acima for bombeada para fora a uma taxa menor, digamos de 2 gal/min, o liquido acumulará no tanque a uma taxa de (3 – 2) gal/min = 1gal/min. Após t minutos, o tanque conterá 300 + t galões de salmoura. A taxa segundo a qual o sal sai do tanque é então:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+= gallb

tAgalRs /

300min)./2(

Logo, a Equação (4) torna-se:

tA

dtdA

+−=

30026

ou 6300

2=

++ A

tdtdA

Você deve verificar que a solução da última equação, sujeita a A(0)=50, é:

27 )300)(1095,4(2600)( −+×−+= tttA

4.8 – DRENANDO UM TANQUE: Em hidrodinâmica, a Lei de Toricelli estabelece que a velocidade v do fluxo de água em um buraco com bordas na base de um tanque cheio até a uma altura h é igual a velocidade com que um corpo (no caso, uma gota d’agua) adquiriria em queda livre de uma altura h, isto é,

ghv 2= , onde g é a aceleração devida a gravidade. Essa última expressão origina-se de igualar

a energia cinética 2

21 mv com a energia potencial mgh e resolver para v. Suponha que um tanque

cheio com água seja drenado por meio de um buraco sob a influência da gravidade. Gostaríamos de encontrar a altura h de água remanescente no tanque no instante t.

Considere o tanque ao lado:

Se a área do buraco for Ah (em pés quadrados) e a velocidade de

saída da água do tanque for ghv 2= (em pés/s), o volume de saída de

água do tanque por segundo é ghAh 2 (em pés cúbicos/s). Assim, se

V(t) denotar o volume de água no tanque no instante t,

ghAdtdV

h 2−= (6)

onde o sinal de subtração indica que V está decrescendo. Observe aqui que estamos ignorando a possibilidade de atrito do buraco que possa causar uma redução na taxa de fluxo. Agora, se o tanque for tal que o volume de água em qualquer instante t possa ser escrito como hAtV w=)( ,

onde wA (em pés quadrados) é a área constante da superfície de água, então dtdhA

dtdV

w= .

Substituindo essa última expressão em (6), obtemos a equação diferencial desejada para a altura de água no instante t:

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

39

ghAA

dtdh

w

h 2−= (7)

É interessante notar que (7) permanece válida mesmo quando Aw não for constante. Nesse caso, devemos expressar a superfície superior da água como uma função de h, isto é, Aw = A(h). 4.9 – DISSEMINAÇÃO DE UMA DOENÇA: Uma doença contagiosa, por exemplo, um vírus de gripe, espalha-se em uma comunidade por meio do contato entre as pessoas. Seja x(t) o número de pessoas que contraíram a doença e y(t) o número de pessoas que ainda não foram expostas. É razoável supor que a taxa dx/dt segundo a qual a doença se espalha seja proporcional ao número de encontros ou interações entre esses dois grupos de pessoas. Se supusermos que o número de intereações é conjuntamente proporcional a x(t) e a y(t), isto é, proporcional ao produto xy, então:

kxydtdx

= (8)

onde k é a constante de proporcionalidade usual. Suponha que uma pequena comunidade tenha uma população fixa de n pessoas. Se uma pessoa infectada for introduzida na comunidade, pode-se argumentar que x(t) e y(t) são relacionadas por x + y = n + 1. Usando essa última equação para eliminar y em (8), obtemos o modelo

)1( xnkxdtdx

−+= (9)

Uma condição óbvia que acompanha a equação (9) é x(0) = 1. 4.10 – CORPOS EM QUEDA: Para construir um modelo matemático do movimento de um corpo em um campo de força, em geral iniciamos com a segunda lei do movimento de Newton. Lembre-se da física elementar que a primeira lei do movimento de Newton estabelece que o corpo permanecerá em repouso ou continuará movendo-se a uma velocidade constante, a não ser que esteja agindo sobre ele

uma força externa. Em cada caso, isso equivale a dizer que, quando a soma das forças ∑= kFF

isto é, a força liquida ou resultante, que age sobre o corpo for diferente de zero, essa força líquida será proporcional a sua aceleração a ou, mais precisamente, F = m.a, onde m é a massa do corpo. Suponha agora que uma pedra seja jogada par acima do topo de um prédio, conforme ilustrado na figura abaixo:

Qual a posição s(t) da pedra em relação ao chão no

instante t? A aceleração da pedra é a derivada segunda 22 dtsd . Se assumirmos como positiva a direção para cima e que nenhuma outra força além da gravidade age sobre a pedra, obteremos a segunda lei de Newton

mgdt

sdm −=2

2

ou gdt

sd−=2

2

(10)

Em outras palavras, a força liquida é simplesmente o peso F= F1 = - W da pedra próximo á superfície da Terra. Lembre-se de que a magnitude do peso é W = mg, onde m é a massa e g é a aceleração devida a gravidade. O sinal de subtração foi usado em (10), pois o peso da pedra é uma força dirigida para baixo, oposta a direção positiva. Se a altura do prédio é s0 e a velocidade inicial

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

40

da pedra é v0, então s é determinada, com base no problema de valor incial de segunda ordem

gdt

sd−=2

2

, 0)0( ss = , 0)0(' vs = (11)

Embora não estejamos enfatizando a resolução das equações obtidas, observe que (11) pode ser resolvida integrando-se a constante – g duas vezes em relação a t. As condições iniciais determinam as duas constantes de integração. Você poderá reconhecer a solução de (11), da

física elementar, como a fórmula 002

21)( stvgtts ++−= .

4.11 – CORPOS EM QUEDA E A RESISTÊNCIA DO AR:

Antes dos famosos experimentos de Galileu na torre inclinada de Pisa, acreditava-se que os objetos mais pesados em queda livre, como uma bala de canhão, caíam com uma aceleração maior do que a de objetos mais leves, como uma pena. Obviamente, uma bala de canhão e uma pena, quando largadas simultaneamente da mesma altura, caem a taxas diferentes, mas isso não se deve ao fato de a bala de canhão ser mais pesada. A diferença nas taxas é devida a resistência do ar. A força de resistência do ar foi ignorada no modelo dado em (11). Sob algumas circunstâncias, um corpo em queda com massa m, como uma pena com baixa densidade e formato irregular, encontra uma resistência do ar proporcional a sua velocidade instantânea v. Se nessas circunstancias, tomarmos a direção positiva como orientada para baixo, a força liquida que age sobre a massa será dada por F = F1 + F2 = mg – kv, onde o peso F1 = mg do corpo é a força que age na direção positiva e a resistência do ar F2 = - kv é uma força chamada amortecimento viscoso que age na direção oposta ou para cima.

Veja a figura abaixo: Agora, como v esta relacionado com a aceleração a

através de a = dv/dt, a segunda lei de Newton torna-se F = m.a = m. dv/dt. Substituindo a força liquida nessa forma da segunda lei de Newton, obtemos a equação diferencial de primeira ordem para a velocidade v(t) do corpo no instante t.

kvmgdtdvm −= (12)

Aqui k é uma constante de proporcionalidade positiva. Se s(t) for a distancia do corpo em queda no instante t a partir do ponto inicial, então v = ds/dt e a = dv/dt = d2s/dt2. Em termos de s, (12) é uma equação diferencial de segunda ordem:

dtdskmg

dtsdm −=2

2

ou mgdtdsk

dtsdm =+2

2

(13)

4.12 – CORRENTE DESLIZANTE:

Suponha que uma corrente uniforme de comprimento L em pés seja pendurada em um

pino de metal preso a uma parede bem acima do nível do chão. Vamos supor que não haja atrito entre o pino e a corrente e que a corrente pese ρ libras/pés. A figura abaixo (a) ilustra a posição da corrente quando em equilíbrio; se fosse deslocada um pouco para a direita ou para a esquerda, a corrente deslizaria pelo pino. Suponha que a direção positiva seja tomada como sendo para baixo e que x(t) denote a distancia que a extremidade direita da corrente teria caído no tempo t. A posição de equilíbrio corresponde a x = 0. Na figura (b), a corrente é deslocada em x0 pés e é mantida no pino até ser solta em um tempo inicial que designaremos por t=0. Para a corrente em movimento, conforme mostra a figura (c), temos as seguintes quantidades:

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

41

Peso da corrente:

W = (L pés) . ( ρ lb/pés) = L ρ Massa da corrente: m = W/g = L ρ /32 Força resultante:

xpxLxLF 222

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += ρρ

Uma vez que a = d2x/dt2, ma = F torna-se

xdt

xdL ρρ 232 2

2

=⋅ ou 0642

2

=− xLdt

xd (14)

4.13 - CIRCUITOS EM SÉRIE:

Considere o circuito em série de malha simples mostrado ao lado, contendo um indutor, resistor e capacitor. A corrente no circuito depois que a chave é fechada é denotada por i(t); a carga em um capacitor no instante t é denotada por q(t). As letras L, C e R são conhecidas como indutância, capacitância e resistência, respectivamente, e em geral são constantes. Agora, de acordo com a segunda Lei de Kirchhoff, a voltagem aplicada E(t) em uma malha fechada deve ser igual à soma das quedas de voltagem na malha.

A figura abaixo mostra os símbolos e as fórmulas para a respectiva queda de voltagem em um indutor, um capacitor e um resistor. Uma vez que a corrente i(t) está relacionada com a carga q(t) no capacitor por i = dq/dt, adicionando-se as três quedas de voltagem.

,2

2

dtqdL

dtdiL

indutor

=

dtdqRiR

resistor

=

qc

capacitor1

e equacionando-se a soma das voltagens aplicadas, obtém-se uma equação diferencial de segunda ordem

)(12

2

tEqcdt

dqRdt

qdL =++

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

42

Para um circuito em série contendo apenas um resistor e um indutor, a segunda lei de Dirchhoff estabelece que a soma das quedas de voltagem no indutor (L(di/dt)) e no resistor (iR) é igual a voltagem aplicada no circuito (E(t)). Veja a figura abaixo

Obtemos, assim, a equação diferencial linear para a corrente i(t).

)(tERidtdiL =+

onde L e R são constantes conhecidas como a indutância e a resistência, respectivamente. A corrente i(t) é também chamada de resposta do sistema. A queda de voltagem em um capacitor com capacitância C é dada por q(t)/Ci, onde q é a carga no capacitor. Assim sendo, para o circuito em série mostrado na figura (a), a segunda lei de Kirchhoff nos dá

)(1 tEqC

Ri =+

mas a corrente i e a carga q estão relacionadas por i = dq/dt, dessa forma, a equação acima transforma-se na equação diferencial linear

)(1 tEqCdt

dqR =+

Exemplo: Uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é ½ Henry e a resistência é 10 ohms. Determine a corrente i se a corrente inicial for 0. Resolução:

L= indutância = ½ ERidtdiL =+ Para i(0) = 0

R = resistência = 10 121021

=+⋅ idtdi

ce0

560 +=

i = corrente 2420 =+ idtdi

56

−=c

E = voltagem aplicada = 12 P = 20 Q = 24 Logo:

∫ ∫ == tdtPdt 2020 tei 20

56

56 −−=

[ ]∫ +⋅= − cdxeei tt 242020

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += − ceei tt 2020

2024

cei t ⋅+= −20

56

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

43

AULA 10 – EXERCÍCIOS 1) Encontre uma expressão para a corrente em um circuito onde a resistência é 12Ω , a indutância é 4 H, a pilha fornece uma voltagem constante de 60 V e o interruptor é ligado quanto t = 0. Qual o valor da corrente? 2) Uma força eletromotriz é aplicada a um circuito em série LR no qual a indutância é de 0,1 henry e a resistência é de 50 ohms. Ache a curva i(t) se i(0) = 0. Determine a corrente quanto t ∞→ . Use E = 30 V. 3) Uma força eletromotriz de 100 V é aplicada a um circuito em série RC no qual a resistência é de 200Ω e a capacitância é de 10- 4 farads. Ache a carga q(t) no capacitor se q(0) = 0. Ache a corrente i(t). 4) Uma força eletromotriz de 200 V é aplicada a um circuito em série RC no qual a resistência é de 1000Ω e a capacitância é 5 x 10- 6 farads. Ache a carga q(t) no capacitor se i(0) = 0,4. Determine a carga da corrente em t = 0,005s. Determine a carga quando t ∞→ . 5) Sabe-se que a população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante. Se a população duplicou em 5 anos, quando ela triplicará? 6) Suponha que a população da comunidade do problema anterior seja 10000 após 3 anos. Qual era a população inicial? Qual será a população em 10 anos? 7) A população de uma cidade cresce a uma taxa proporcional à população em qualquer tempo. Sua população inicial de 500 habitantes aumenta 15% em 10 anos. Qual será a população em 30 anos? 8) O isótopo radioativo de chumbo, Ph 209, decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente em qualquer tempo. Sua meia vida é de 3,3 horas. Se 1 grama de chumbo está presente inicialmente, quanto tempo levará para 90% de chumbo desaparecer? 9) Inicialmente havia 100 miligramas de uma substância radioativa presente. Após 6 horas a massa diminui 3%. Se a taxa de decrescimento é proporcional à quantidade de substância presente em qualquer tempo, determinar a meia vida desta substância. 10) Com relação ao problema anterior, encontre a quantidade remanescente após 24 horas. 11) Em um pedaço de madeira queimada, ou carvão, verificou-se que 85,5% do C-14 tinha se desintegrado. Qual a idade da madeira? 12) Um termômetro é retirado de uma sala, em que a temperatura é 70ºF, e colocado no lado fora onde a temperatura é 10ºF. Após 0,5 minuto o termômetro marcava 50ºF. Qual será a temperatura marcada pelo termômetro no instante t=1 minuto? Quanto levará para marcar 15ºF?

13) Segundo a Lei de Newton, a velocidade de resfriamento de um corpo no ar é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ar. Se a temperatura do ar é 20oC e o corpo se resfria em 20 minutos de 100oC para 60oC, dentro de quanto tempo sua temperatura descerá para 30oC? 14) Um indivíduo é encontrado morto em seu escritório pela secretária que liga imediatamente para a polícia. Quando a polícia chega, 2 horas depois da chamada, examina o cadáver e o ambiente, tirando os seguintes dados: A temperatura do escritório era de 20oC, o cadáver inicialmente tinha uma temperatura de 35oC. Uma hora depois medindo novamente a temperatura do corpo obteve 34.2oC. O investigador, supondo que a temperatura de uma pessoa viva é de 36.5oC, prende a secretária. Por que? No dia seguinte o advogado da secretária a liberta, alegando o que? 15) Sob as mesmas hipóteses subjacentes ao modelo em (1), determine a equação diferencial que governa o crescimento populacional P(t) de um país quando os indivíduos tem autorização para imigrar a uma taxa constante r. 16) Usando o conceito de taxa liquida, que é a diferença entre a taxa de natalidade e a taxa de mortalidade na comunidade, determine uma equação diferencial que governe a evolução da população P(t), se a taxa de natalidade for proporcional a população presente no instante t, mas a de mortalidade for proporcional ao quadrado da população presente no instante t. 17) Suponha que um estudante portador de um vírus da gripe retorne para um campus universitário fechado com mil estudantes. Determine a equação diferencial que descreve o número de pessoas x(t) que contrairão a gripe, se a taxa segundo a qual a doença for espalhada for proporcional ao numero de interações entre os estudantes gripados e os estudantes que ainda não foram expostos ao vírus. 18) Suponha um grande tanque para misturas contenha inicialmente 300 galões de água,no qual foram dissolvidas 50 libras de sal. Água pura é bombeada pra dentro do tanque e uma taxa de 3 gal/min, e então, quando a solução esta bem misturada, ela é bombeada para fora segundo a mesma taxa. Determine uma equação diferencial para a quantidade de sal A(t) no tanque no instante t. 19) Suponha que a água esta saindo de um tanque por um buraco circular em sua Bse de área Ah. Quando a água vaza pelo buraco, o atrito e a concentração da corrente de água nas proximidades do buraco reduzem o volume de água que esta vazando do tanque por segundo

para ghcAh 2 , onde c (0<c<1) é uma constante

empírica.Determine uma equação diferencial para a altura h de água no instante t para um tanque cúbico, como na figura abaixo, O raio do buraco é 2 pol e g = 32 pés/s2.

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

44

20) Para um movimento em alta velocidade no ar – tal como o paraquedista mostrado na figura abaixo , caindo antes de abrir o paraquedas – a resistência do ara esta próxima de uma potencia da velocidade instantânea. Determine a equação diferencial para a velocidade v(t) de um corpo em queda com massa m, se a resistência do ar for proporcional ao quadrado de sua velocidade instantânea. 21) Uma pequena barra de metal, cuja temperatura inicial é de 200C, é colocada em um recipiente com água fervendo. Quanto tempo levará para a barra atingir 900C se sua temperatura aumentar 20 em 1 segundo? Quanto tempo levará para a barra atingir 980C? 22) Um tanque contém 200 litros de fluido no qual foram dissolvidos 30 gramas de sal. Uma salmoura contendo 1 grama de sal por litro é então bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 4 L/min; a solução bem misturada é bombeada para fora à mesma taxa. Ache o número A(t) de gramas de sal no tanque no instante t. 23) Um grande tanque contém 500 galões de água pura. Uma salmoura contendo 2 libras por galão é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 gal/min. A solução bem misturada é bombeada para fora à mesma taxa. Ache a quantidade A(t) de libras de sal no tanque no instante t. Qual é a concentração da solução no tanque no instante t = 5 min? 24) Um grande tanque esta parcialmente cheio com 100 galões de um fluido no qual foram dissolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura contendo ½ libra de sal por galão é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6 gal/min. A solução bem misturada é então bombeada para fora a uma taxa de 4 gal/min. Ache a quantidade de libras de sal no tanque após 30 minutos.

Respostas:

1) tetI 355)( −−=

2) tcei 500

53 −+= e

53)(lim =∞→ tit

3) tceq 50

1001 −+= onde C = -1/100 e

tei 50

21 −=

4) tceq 200

10001 −+=

tcei 200200 −−=

5001

−=C

coulombsq 0003,0)005,0( =

ampi 1472,0)005,0( =

1000

1→q

5) 7,92 anos. 6) x0 = 6600,66 e N(10) = 26.396,04 7) N(30) = 760 8) t = 11 horas 9) t = 136,72 horas 10) 88,5 gramas. 11) 15600 anos 12) T(1) = 36,66ºF e t = 3,06 min 13) t = 60 min 14) justificativa pessoal.

15) rkpdtdP

+= , rkpdtdP

−=

16) 221 PkPk

dtdP

−=

17) )1000( xkxdtdx

−=

18)100

AdtdA

−=

19) hcdtdh

450π

−=

20) 2kvmgdtdvm −=

21) Aproximadamente 82,1 s Aproximadamente 145,7 s 22) A(t) = 200 – 170 e-t/50

23) A(t) = 1000 – 1000 e-t/100 0,0975 lb/gal 24) 64,38 lb

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

45

AULA 11

5 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2a ORDEM E ORDEM SUPERIOR

As equações lineares de ordem n são aquelas da forma:

ByAdx

ydAdx

ydAdx

ydA nn

n

n

n

n

n

=/++++ −

−

−

−

...2

2

21

1

10

Onde B, A0, A1, A2,..., An dependem apenas de x ou são constantes. Para começarmos este estudo vamos utilizar como padrão de uma EDO-2 linear (Equação Diferencial Ordinária Linear de ordem 2) a seguinte equação: y” +p(x)y’ +q(x)y = r(x) onde:

p(x) e q(x) são os coeficientes e representam parâmetros do sistema r(x) termos de excitação (input) y(x) resposta do sistema

Se r(x) = 0, ∀ x∈I → Eq. Dif. Homogênea r(x) ≠ 0 → Eq. Dif. não homogênea A EDO-2 acima possui 2 soluções, y1(x) e y2(x) e são linearmente independentes (L.I), isto

é ctexhxyxy

≠= )()()(

1

2

Com isso, y1(x) e y2(x) formam uma base para a solução da EDO-2 homogênea (base fundamental). Exemplo: y" + y = 0 Se propormos como solução y1(x) = sen(x) y2 (x) = cos(x)

ctextgxxsen

xyxy

≠== )()cos()(

)()(

1

2 , logo, formam uma base, com isso, a solução geral da EDO-2

fica y(x) = C1cos(x) + C2sen(x). Se obtemos as bases para a solução da homogênea, a solução da equação fica

)(...)()()( 2211 xyCxyCxyCxy nn+++=

Se temos uma solução y1(x) pode-se obter y2(x) mais facilmente. Obtida uma solução y1(x) da EDO-2, pode-se obter y2(x) pelo conceito de base, onde y1(x)

e y2(x) são linearmente independentes.

ctexhxyxy

≠= )()()(

1

2

)().()( 12 xyxhxy =

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

46

Exemplo: Obter y2(x), sabendo que y1(x) = x (1 – x2)y” – 2xy’ + 2y = 0 AULA 11 – EXERCÍCIOS Obter y2(x) nos exercicios abaixo: 1) x2y” – 5xy’ +9y = 0 , com y1(x) = x3

2) 4x2y” – 3y = 0 com y1(x) = x-1/2

3) x2y” + xy’ + (x2 – ¼)y = 0, com y1(x) = x-1/2 cosx

Respostas: 1) y2(x) = x3 lnx

2) y2(x) = 2

23

x

3) y2(x) = x-1/2senx

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

47

AULA 12 5.1 – EQUAÇÕES LINEARES E HOMOGÊNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES:

São aquelas da forma: 0...2

2

21

1

10 =/++++ −

−

−

−

yAdx

ydAdx

ydAdx

ydA nn

n

n

n

n

n

, onde A0, A1, A2,...,An

são constantes. Resolução:

Para n= 1 → 010 =+ yAdxdyA

yAdxdyA 10 −=

dxAA

ydy

0

1−=

CxAA

y +−=0

1ln

Cx

AA

ey+−

= 0

1

Cx

AA

eey .0

1−

=

Chamando 0

1

AA

− = λ e KeC = , temos key x .λ=

Para nos facilitar a demonstração, vamos usar a seguinte equação:

02

2

=++ bydxdya

dxyd

onde a e b são constantes.

Vamos utilizar xey λ= calculado anteriormente como solução proposta.

xey λ= xey λλ='

xey λλ2"=

Substituindo na EDO temos:

0).(

02

2

=++

=++x

xxx

ebabeeae

λ

λλλ

λλ

λλ

Como 0≠xeλ para qualquer valor de x, temos 02 =++ baλλ , a qual iremos chamar de equação característica da EDO-2 dada.

Em relação a equação característica 0)( =λP temos três casos a considerar:

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

48

Caso 1: Raízes Reais Distintas.

xey 11

λ=

xey 22

λ= Assim a solução geral fica:

xx eCeCy

yCyCy21

21

2211

λλ +=

+=

E para uma equação de ordem n fica:

x

nxxx neCeCeCeCy λλλλ ++++= ...321

321

Caso 2: Raízes Múltiplas.

Se λλλ == 21 , onde se aplicarmos a regra anterior teremos xey λ=1 e xey λ=2 . Só que é necessário encontrar soluções que sejam linearmente independentes, pois com

as raízes sendo iguais temos === 11

2x

x

ee

yy

λ

λ

constante.

Assim temos que achar uma segunda solução que seja linearmente independente. Supondo a equação y” + ay’ + by = 0 e utilizando o conceito de base em que

)().()( 12 xyxhxy = , onde xey λ=1 , temos:

xxx

xx

x

heehehy

heehy

ehy

xyxhxy

λλλ

λλ

λ

λλ

λ2

2

2

2

12

'2""''.

)().()(

++=

+=

=

=

Substituindo na equação dada:

0''2" 2 =+++++ xxxxxx bheheaeahheeheh λλλλλλ λλλ Reordenando:

[ ] 0)(')2(" 2 =+++++ hbahahe x λλλλ Como 0≠xeλ e ba ++ λλ2 =0, pois como já vimos anteriormente 0)( =λP .

Então:

KCxhCh

h

+===

'0"

Logo:

xeKCxy

yhyλ).(

.

2

12

+=

=

Solução geral:

xx

xx

CeCeKCCy

eKCxCeCy

yCyCy

λλ

λλ

221

21

2211

)(

)(

++=

++=

+=

fazendo C1 + C2k = C1 e C2C = C2

temos:

x

xx

exCCy

xeCeCyλ

λλ

)( 21

21

+=

+=

A propriedade se estende para equações de ordem superior:

xnn exCxCxCCy λ)...( 12

321−++++=

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

49

Caso 3: Raízes complexas distintas. Sejam bia +=1λ e bia −=2λ as raízes da equação característica. Aplicando a condição para raízes reais distintas teríamos como solução:

( )bixbixax

bixaxbixax

xbiaxbia

eCeCey

eeCeeCy

eCeCy

−

−

−+

+=

+=

+=

21

21

)(2

)(1

..

Das fórmulas de Euler temos:

θθ

θθθ

θ

iseneisene

i

i

−=

+=− cos

cos

Com isso:

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]senbxCCibxCCey

isenbxbxCisenbxbxCeyax

ax

2121

21

cos

coscos

−++=

−++=

Fazendo C1 + C2 = C1 i(C1 – C2) = C2

temos:

[ ]senbxCbxCey ax21 cos +=

Exemplos:

1) 03613 2

2

4

4

=+− ydx

yddx

yd

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

50

2) y”+4y = 0, com y(0) = 3 e y(π /2) = -3 3) y” - 2√2 y’+2y = 0 AULA 12 – EXERCÍCIOS 1) y” – 5y’ + 6y = 0 2) y”’ + 3y” – 4y’ – 12y = 0 3) y” + 2y’ + 2y = 0, com y(0) = 1 e y(π /2) = 0 4) y” – 25y = 0 com y(0) = 0 e y’(0) = 20 5) y” – y’ – 2y = 0 com y(0) = -4 e y’(0) = -17 6) y”-9π 2y=0 7) 9y” + 6y’ + y = 0

com y(0) = 4 e y’(0) = 313−

8) y” + 2ky’ +k2y = 0 9) 8y” – 2y’ – y = 0 com y(0) = 0,2 e y’(0) = 0,325 10) 4y” – 4y’ - 3y = 0

com y(-2) = e y’(-2) = 2e−

11) y” – 7y’ + 12y = 0 12) y”’ - 4y” + 5y’=0 13) y”’ – 5y” + 7y’ = 0 14) y” + 2y’ + y = 0

Respostas:

1) xx eCeCy 32

21 +=

2) xxx eCeCeCy 23

32

21

−− ++=

3) y = e-xcosx 4) y = - 2e- 5x + 2e5x 5) y = 3e- x – 7e2x

6) xx eCeCy ππ 32

31

−+=

7) 3)34(x

exy −−=

8) y = (C1 + xC2) e- kx

9) 24 5,03,0xx

eey +−= −

10) y = e – 0,5x

11) xx eCeCy 42

31 +=

12) ( )senxCxCeCy x32

21 cos ++=

13) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++=

23

23cos 21

25

1xsenCxCeCy

x

14) xexCCy −+= )( 21

Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides

51

AULA 13

5.2 – EQUAÇÕES LINEARES E HOMOGÊNEAS DE COEFICIENTES VARIÁVEIS: EULER – CAUCHY A equação de Euler-Cauchy tem a seguinte forma:

ByAdxdybaxA

dxydbaxA

dxydbaxA n

nn

n =+++++++ 012

22

2 )()()( L

onde A0, A1, ..., An, a e b são constantes. Para resolver tal equação faremos

teabax .=+ que irá eliminar os coeficientes variáveis. No caso da equação ter a forma:

0'"2 =++ byaxyyx Faremos:

y = xm y’ = mxm-1

y” = m(m-1)xm-2 Substituindo y, y’ e y” na EDO-2, temos que: (m2 + (a – 1) m + b)xm = 0 como y(x) = xm tem que ser diferente de zero, temos m2 + (a – 1) m + b = 0, que é uma equação do segundo grau com duas raízes. Caso 1: m1 e m2 são reais e diferentes.

21

21)( mm xCxCxy += Caso 2: m1 e m2 são reais e iguais

)ln()( 21 xxCxCxy mm +=

mxxCCxy ))ln(()( 21 +=

Caso 3: m1 e m2 são complexas conjugadas )( bia ±

)]ln()lncos([)( 21 xbsenCxbCxxy a += Exemplos:

Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides

52

1) 012)12(2)12( 2

22 =−+−+ y

dxdyx

dxydx

2) x2y” + 2xy’ + 2y = 0

AULA 13 – EXERCÍCIOS 1) x2y”- 20y = 0 2) (1+x)3y”’+9(1+x)2y”+18(1+x)y’+6y = 0 3) 10x2y” + 46xy’+32,4y = 0 4) x2y”+ xy’+y = 0 5) 4x2y”+24xy’+25y = 0 com y(1) = 2 e y’(1) = - 6 6) x2y”- 3xy’+ 4y = 0 com y(1) = 0 e y’(1) = 3

Respostas: 1) C1x-4 + C2x5

2) 33

221

)1()1(1 xC

xC

xCy

++

++

+=

3) (C1 + C2 lnx) x-1,8

4) C1.cos(lnx) + C2.sen(lnx)

5) (2 – lnx) 25−x

6) 3x2lnx

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

53

AULA 14

5. 3 - EQUAÇÕES LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

=++

10

00

)(')(

)()(')("..

KxyKxy

xryxqyxpyIVP

y1(x).y2(x) → base para a solução da EDO-2 homogênea yh(x) → solução da EDO-2 homogênea yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x) yp(x) → solução particular, função qualquer que satisfaz a EDO-2 não-homogênea A solução geral de uma equação linear não homogênea tem a forma:

)()()( xyxyxy ph +=

Teorema da existência da Unicidade: Se p(x) e q(x) são funções contínuas sobre o intervalo aberto I e x0 ∈I, então o P.V.I. possuiu uma única solução y(x) sobre I. Para determinarmos yp, denominada solução particular, dispomos dos seguintes métodos:

i. Método dos coeficientes a determinar ou método de Descartes ii. Método da variação de parâmetros ou método de Lagrange iii. Método do operador derivada D.

5.3.1 - Solução por coeficientes a determinar (Descartes): Vale somente para EDO-2 com coeficientes constantes Padrão para solução particular:

Termo em r(x) Proposta para yp(x) xkeα xCeα

,...)1,0( =nkxn 011

1 ... CxCxCxC nn

nn ++++ −

−

⎭⎬⎫

xKsenxK

ααcos

xsenCxC αα 21 cos +

⎪⎭

⎪⎬⎫

xsenkexke

x

x

β

βα

α cos )cos( 21 xsenCxCe x ββα +

obs:

1. se r(x) é composição de funções da 1o coluna, yp(x) é composição das respectivas funções na 2o coluna.

2. se r(x) coincide com uma função que compões yh(x), multiplique por x (ou por x2) para considerar raiz dupla da equação característica.

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

54

Exemplo: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

+=+−

0)0('1)0('2" 2

yy

xeyyy x

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

55

AULA 14 – EXERCÍCIOS 1) y” + 4y = sen 3x 2) y” + 2y’ +10y = 25x2 + 3 3) y” + 2y’ – 35y = 12e5x + 37 sen 5x 4) y” – 5y’ + 6y= 2x2 – 1 5) y”’ – 4y’ = 1 – 3x 6) y”’ – 2y” = 3x2 – 2x + 1

7) y” – 7y’ +12y = 3e x− 8) y” – 7y’ +10y = 8e2x 9) y” – 4y’ +4y = 8e2x 10) y” + 4y = 3e4x 11) y” – 4y” + 3y = 3sen2x

12) xsendx

yddx

yd 484 2

2

4

4

=−

13) y”’ – 4y’ = 12sen2x 14) y” + y = 4senx

15) senxydx

yddx

yd 42 2

2

4

4

=++

Problema de valor inicial: 16) y” + 1,5y’ – y = 12x2 + 6x3 – x4 y(0) = 4 e y’(0) = - 8 17) y” – 4y = e-2x – 2x y(0) = 0 e y’(0) = 0 Respostas:

1) xsenxBsenxA 35122cos −+

2) xxxsenCxCe x −++− 221 2

5)33cos(

3)

xsenxxeeCeC xxx 56,05cos1,0552

71 −−++−

4) 275

95

3

23

22

1 ++++=xxeCeCy xx

5) 48

3 223

221

xxeCeCCy xx −+++= −

6) 8

3128

2342

321xxxeCxCCy x −−−++=

7) xxx eeCeCy −++=2034

23

1

8) xxx xeeCeCy 252

21 3

8−+=

9) xxx exxeCeCy 2222

21 4++=

10) xexsenCxCy 421 20

322cos ++=

11) )2cos82(6533

21 xxseneCeCy xx −−+=

12) 40

424

2321

xseneCeCxCC xx ++++ −

13) xeCeCCy xx 2cos432

32

21 +++= −

14) xxsenxCxCy cos2cos 21 −+= 15)

senxxCCxxCCsenxxy )(cos)(2 4321

2

++++−=

16) 424 xe x +−

17) xxx xexee 222

41

21

161

161 −− −+−

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

56

AULA 15 5.3.2 - SOLUÇÃO POR VARIAÇÃO DE PARÂMETROS:

Qualquer tipo de excitação r(x) Qualquer coeficiente Pn(x) desde que contínuos.

yn + Pn-1(x)yn-1 +...+ P1(x)y’ + P0(x)y = r(x)

A solução geral da EDO é y = yh + yp como na resolução por coeficientes a determinar. mas a solução da particular fica yp=y1(x).u1 + y2(x).u2+...+yn(x)yn, onde y1, y2, ..., yn são as bases para a EDO homogênea. A idéia é constituir a solução particular com uma combinação destas bases utilizando parâmetros variáveis.

Onde

∫= dxxW

xrxWu)(

)().(11 , ∫= dx

xWxrxW

u)(

)().(22 , .... ∫= dx

xWxrxW

u nn )(

)().(

Sendo que W = W(y1,y2,...,yn), que é o Determinante de Wronski (Wronskiano)

)(),...,,(

112

11

''2

'1

21

21 xW

yyy

yyyyyy

yyyW

nn

nn

n

n

n ==

−−− L

MLMM

L

L

Para calcularmos W1(x), substituiremos a primeira coluna pelo vetor (0, 0, 0, ... ,1), para calcularmos W2(x) substituiremos a segunda coluna e assim sucessivamente:

112

''2

2

1

1

00

−−

=

nn

n

n

n

yy

yyyy

W

L

MLMM

L

L

,

111

''1

1

2

1

00

−−

=

nn

n

n

n

yy

yyyy

W

L

MLMM

L

L

, ....,

1

00

12

11

'2

'1

21

L

MLMM

L

L

−−

=

nn

n

yy

yyyy

W

Cuidado: Antes de aplicar o método, verificar o que acompanha yn. Se tiver f(x).yn, não se esqueça de dividir r(x) por f(x). Se a Equação Diferencial for de ordem 2, tempos como solução da particular yp(x) = u(x)y1(x) + v(x)y2(x) onde,

∫−= dxxw

xrxyxu

)()()(

)( 2 e ∫= dxxw

xrxyxv

)()()(

)( 1

e y1(x) e y2(x) são as bases da homogênea.

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

57

Exemplo: 223 2'2""' −=+−+ xyxyyxyx

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

58

AULA 15 – EXERCÍCIOS 1) y” + 4y’ + 3y = 65x 2) x2y” – 2xy’ +2y = x3cosx 3) x2y” – 4xy’ + 6y = 21x-4 4) 4x2y” + 8xy’ – 3y = 7x2 – 15x3 5) x3y”’- 3x2y” +6xy’ – 6y = x4lnx 6) xy”’ + 3y” = ex

7) 1234 22

2

4

4

+−=− xxdx

yddx

yd

8) y”’ – y” – 4y’ + 4y = 12e-x

9) y”’ – y” – 2’ = x - 2

Respostas:

1) 9

260365

23

1 −++= −− xeCeCy xx

2) xxxCxCy cos221 −+=

3) 432

21 2

1 −++= xxcxcy

4) 3

)( 322

3

22

1

1xxxCxCy −

++= −

5) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+++=

611ln

6

43

32

21 xxxCxCxCy

6) xexxCxCCy 13

121

−− +++=

7) 6410

881216

2342

42

321 −+−+−+++= − xxxxeCeCxCCy xx

8) xxxx eeCeCeCy −− +++= 22321

9) xxeCeCCy xx

45

4

22

321 +−++= −

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

59

AULA 16 5.3.3 - MÉTODO DO OPERADOR DERIVADA 5.3.3.1 – Operador “D” (operador derivada): Os operadores são símbolos sem nenhum significado isolado que indicam, de modo abreviado, as operações que devem ser efetuadas Dada uma função definida por y=f(x), chama-se operador derivada, denotado por D, a

dxdD = , 2

22

dxdD = , 3

33

dxdD = , ...

5.3.3.2 - Propriedades: Sejam u=u(x) e v =v(x): P1. D(u+v)=Du+Dv (propriedade distributiva) P2. D(m.u)=m.Du, (propriedade comutativa, sendo m uma constante) P3. Dm(Dnu)=Dm+nu, (sendo m e n constantes positivas)

P4. O operador inverso ∫ −=−

dxueeuaD

axax ..1, a ∈ℜ.

P5. O operador direto uaDuuaD .)( −=− audxdu

−= , a ∈ℜ.

5.3.3.3 – Resolução de Equações Lineares

1) Resolver, empregando operadores: 01272

2

=+− ydxdy

dxyd

.

2) 0442

2

=+− ydxdy

dxyd

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

60

3) Vamos resolver utilizando operador direto, inverso, coeficientes a determinar e variação de

parâmetro a equação xeydx

yd −=−2

2

.

Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides

61

AULA 16 – EXERCÍCIOS

1) (D2 – D – 12)y = 0

2) senxydxdy

dxyd

=+− 652

2

3) senxeydxdy

dxyd x=+− 232

2

4) (D3-16D)y=e4x + 1 5) (D2 – 7D+12)y = 5e3x 6) (D3 – 3D + 2)y = xe-2x

7) ( ) ( ) xx eeyDD −+=−− 2321 2

8) ( ) 142 −=− xyD

9) ( ) xeyDD 32 65 =+− Respostas: 1) y = C1e4x

+ C2e-3x

2) xsenxeCeCy xx cos101

1013

22

1 +++=

3) ( )senxxeeCeCyx

xx −++= cos2

221

4) 1632

443

421

xexeCeCCy xxx −+++= −

5) xxx xeeCeCy 342

31 5−+=

6) xxxxx exexeCxeCeCy 22

22321 1827

2 −−− ++++=

7) xxxxx eexCeBxeAey −−−++=61

23 22

8) 41

422 +−+= − xBeAey xx

9) xxx eCeCxey 32

21

3 +−=

Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides

62

AULA 17 6 - EXERCÍCIOS GERAIS

Calcule as Equações Diferenciais abaixo:

1) xsenxedxdy

dxyd x 2234 23

3

−−=+

2) xex

dxdy

dxyd

dxyd 2

2

2

3

3

3265 +=+−

3) 13 22

2

+−=− xesenxydx

yd

4) 1284 22

2

+−=− xxydx

yd

5) 222

2

3

3

−=−− xdxdy

dxyd

dxyd

6) 1234 32

2

4

4

+−=− xxdx

yddx

yd

7) xey

dxdy

dxyd −=+− 3232

2

8) xey

dxyd 22

2

44 =−

9) xey

dxdy

dxyd 22

2

344 =+−

10) xey

dxdy

dxyd 222

2

=+−

11) senxydxdy

dxyd 2232

2

=+−

12) xdxdy

dxyd cos342

2

=+

13) xsenydx

yd 23164

4

=−

14) xydx

yd 2cos542

2

=−

15) 52 22

2

+=− xedxdy

dxyd

16) xxey

dxdy

dxyd 22

2

44 =+−

17) xeydxdy

dxyd x 2cos8822

2

−=−−

18) 2

244 22

2 xeydxdy

dxyd x +=+−

19) xey

dxdy

dxyd x

=+− 22

2

20) x

ydx

ydcos

12

2

=+

21) xyxyyx 32'2"2 =+−

RESPOSTAS:

1) 4

2816

322cos22

321xxsenxexsenCxCCy

x

+−+++=

2) 2

3185

6

223

32

21

xxx xexxeCeCCy −++++=

3) 132

3 2

21 −−−+= −x

xx esenxeCeCy

4) 44

2 222

21 −+−+= − xxeCeCy xx

5) 4

54

22

321xxeCeCCy xx +−++= −

6) 848

580

3 2352

42

321xxxeCeCxCCy xx −−−+++= −

7) 2

221

xxx eeCeCy

−

++=

8) xxx xeeCeCy 22

22

1 ++= −

9) xxx exxeCeCy 222

22

1 23

++=

10) )( 221 xxCCey x ++=

11) senxxeCeCy xx

51cos

532

21 +++=

12) )4(cos1734

21 senxxeCCy x +++= −

13) 32

2cos322cos 432

22

1xxxsenCxCeCeCy xx ++++= −

14) 8

2cos522

21

xeCeCy xx −+= −

15) 22

5 22

21

xx xexeCCy +−+=

16) xexxCCy 2

3

21 6 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

17) )22cos3(51

914

22

1 xsenxeeCeCy exxx ++−+= −

18) 8

1)( 2221

++++=

xexxCCy x

19) xxexeexCCy xxx ln)( 21 +−+=

20) xsenxxxsenxCxCy +++= coslncoscos 21

21) senxsenxxxsenxCxCy lncoscos 21 +−+=

Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides

63

AULA 18

7 – MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR

Vimos que uma única equação pode servir como modelo matemático para fenômenos diversos. Por essa razão, examinamos uma aplicação, o movimento de uma massa conectada a uma mola, detalhadamente na seção 8.1 abaixo. Veremos que, exceto pela terminologia e pelas interpretações físicas dos quatro termos na equação linear ay” + by’ + cy = g(t), a matemática de um circuito elétrico em série é idêntica à de um sistema vibratório massa-mola. Formas dessa equação diferencial linear de segunda ordem aparecem na análise de problemas em várias áreas da ciência e da engenharia. Na seção 8.1, consideramos exclusivamente problemas de valor inicial, enquanto na seção 8.2 examinamos aplicações descritas por problemas de contorno conduzem-nos aos conceitos de autovalor e autofunção. A seção 8.3 começa com uma discussão sobre as diferenças entre mola linear e mola não-linear; em seguida, mostraremos como um pêndulo simples e um fio suspenso levam a modelos não-lineares. 8.1 – EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE VALOR INICIAL: 8.1.1 - Sistema Massa-Mola: Movimento Livre não amortecido Lei de Hooke: Suponha que uma mola flexível esteja suspensa verticalmente em um suporte rígido e que então uma massa m seja conectada à sua extremidade livre. A distensão ou elongação da mola naturalmente dependerá da massa; massas com pesos diferentes distenderão a mola diferentemente. Pela lei de Hooke, a mola exerce uma força restauradora F oposta à direção do alongamento e proporcional à distensão s. Enunciado de forma simples, F = ks, onde k é a constante de proporcionalidade chamado constante da mola. A mola é essencialmente caracterizada pelo número k. Por exemplo, se uma massa de 10 libras alonga em ½ pé uma mola, então 10 = k(½) implica que k = 20 lb/pés. Então uma massa de, digamos, 8 lb necessariamente estica a mesma mola somente 2/5 pé. Segunda Lei de Newton: Depois que uma massa m é conectada a uma mola, provoca uma distensão s na mola e atinge sua posição de equilíbrio no qual seu peso W é igual à força restauradora ks. Lembre-se de que o peso é definido por W = mg, onde g= 32 pés/s2, 9,8m/s2 ou 980 cm/s2.

s

l

xequilíbrio

Posição inicial

mg

K(s+x)

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

64

Conforme indicado na figura acima, a condição de equilíbrio é mg = ks ou mg – ks = 0. Se a massa for deslocada por uma quantidade x de sua posição de equilíbrio, a força restauradora da mola será então k(x + s). Supondo que não haja forças de retardamento sobre o sistema e supondo que a massa vibre sem a ação de outras forças externas – movimento livre – podemos igualar F com a força resultante do peso e da força restauradora:

kxksmgkxmgxskdt

xdmzero

−=−+−=++−=43421

)(2

2

(1)

O sinal negativo indica que a força restauradora da mola age no sentido oposto ao do movimento. Além disso, podemos adotar a convenção de que os deslocamentos medidos abaixo da posição de equilíbrio são positivos. 7.1.1.1 - ED do Movimento Livre não amortecido:

Dividindo a equação (1) pela massa m obtemos a equação diferencial de segunda ordem

022

2

=+ xdt

xd ω (2)

onde mk /2 =ω A equação (2) descreve um movimento harmônico simples ou movimento livre não amortecido. Duas condições iniciais óbvias associadas com (2) são x(0) = x0 e x’(0) = x1, representando, respectivamente, o deslocamento e a velocidade iniciais da massa. Por exemplo, se x0 > 0, x1 < 0, a massa começa de um ponto abaixo da posição de equilíbrio com uma velocidade inicial dirigida para cima. Quando x1 = 0, dizemos que ela partiu do repouso. Por exemplo, se x0 < 0, x1 = 0, a massa partiu do repouso de um ponto |x0| unidades acima da posição de equilíbrio. 7.1.1.2 - Solução e Equação do Movimento:

Para resolver a Equação (2), observamos que as soluções da equação auxiliar m2+ϖ 2=0 são números complexos m1 = ϖ i, m2 = - ϖ i. Assim, determinamos a solução geral de (2) como:

tsenCtCtx ωω 21 cos)( += (3) O período das vibrações livres descritas por (3) é T = 2 ωπ / e a freqüência é

πω 2//1 == Tf . Por exemplo, para x(t) = 2 cos 3t – 4 sen 3t, o período é 2π /3 e a freqüência é 3/2π unidades; o segundo número significa que há três ciclos do gráfico a cada 2π unidades ou, equivalentemente, que a massa está sujeita a 3/2π vibrações completas por unidade de tempo. Além disso, é possível mostrar que o período 2π /ϖ é o intervalo de tempo entre dois máximos sucessivos de x(t). Lembre-se de que o máximo de x(t) é um deslocamento positivo correspondente à distância máxima de x(t) é um deslocamento positivo correspondente à distância máxima atingida pela massa abaixo da posição de equilíbrio, enquanto o mínimo de x(t) é um deslocamento negativo correspondente à altura máxima atingida pela massa acima da posição de equilíbrio. Vamos nos referir a cada caso como deslocamento extremo da massa. Finalmente, quando as condições iniciais forem usadas para determinar as constantes C1 e C2 em (3), diremos que a solução particular resultante ou a resposta é a equação do movimento. Exemplo: Uma massa de 2 libras distende uma mola em 6 polegadas. Em t = 0, a massa é solta

de um ponto 8 polegadas abaixo da posição de equilíbrio, a uma velocidade de 34 pés/s para

cima. Determine a equação do movimento livre.

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

65

Solução: Convertendo as unidades: 6 polegadas = ½ pé 8 polegadas = 2/3 pé Devemos converter a unidade de peso em unidade de massa M = W/g = 2/32 = 1/16 slug Além disso, da lei de Hooke , 2 = k(½) implica que a constante de mola é k = 4 lb/pé, Logo, (1) resulta em:

xdt

xd 4161

2

2

−=

0642

2

=+ xdt

xd

ϖ 2 = - 64 ϖ = 8i x(t) = C1 cos 8t + C2 sem 8t O deslocamento e a velocidade iniciais são x(0) = 2/3 e x’(0) = - 4/3, onde o sinal negativo na última condição é uma conseqüência do fato de que é dada à massa uma velocidade inicial na direção negativa ou para cima. Aplicando as condições iniciais a x(t) e a x’(t), obtemos C1 = 2/3 e C2 = - 1/6, assim, a equação do movimento será:

tsenttx 81618cos

32)( −=

7.1.2 – Sistema Massa-Mola: Movimento Livre Amortecido

O conceito de movimento harmônico livre é um tanto quanto irreal, uma vez que é descrito pela Equação (1) sob a hipótese de que nenhuma força de retardamento age sobre a massa em movimento. A não ser que a massa seja suspensa em um vácuo perfeito, haverá pelo menos uma força contrária ao movimento em decorrência do meio ambiente. 7.1.2.1 - ED do Movimento Livre Amortecido:

No estudo de mecânica, as forças de amortecimento que atuam sobre um corpo são consideradas proporcionais a uma potência da velocidade instantânea. Em particular, vamos supor durante toda a discussão subseqüente que essa força é dada por um múltiplo constante de dx/dt. Quando não houver outras forças externas agindo sobre o sistema, segue na segunda lei de Newton que

dtdxkx

dtxdm β−−=2

2

(4)

ondeβ é positivo e chamado de constante de amortecimento e o sinal negativo é uma conseqüência do fato de que a força amortecedora age no sentido oposto ao do movimento. Dividindo-se (4) pela massa me, obtemos a equação diferencial do movimento livre amortecido

02

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+ x

mk

dtdx

mdtxd β

(5)

ou

02 22

2

=++ xdtdx

dtxd ωλ (6)

onde

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

66

mβλ =2 e

mk

=2ω

O símbolo 2λ foi usado somente por conveniência algébrica, pois a equação auxiliar é:

m2 + 2λ m + 2ω = 0 e as raízes correspondentes são, portanto,

221 ωλλ −+−=m e 22

2 ωλλ −−−=m Podemos agora distinguir três casos possíveis, dependendo do sinal algébrico de

22 ωλ − . Como cada solução contém o fator de amortecimento te λ− , λ >0, o deslocamento da massa fica desprezível após um longo período. CASO I: Superamortecido

022 >−ωλ

tmtm eCeCtx 2121)( += (7)

Essa equação representa um movimento suave e não oscilatório. CASO II: Amortecimento Crítico

022 =−ωλ

( )tCCetx t21)( += −λ (8)

Observe que o movimento é bem semelhante ao sistema superamortecido. É também evidente de (8) que a massa pode passar pela posição de equilíbrio no máximo uma vez. Qualquer decréscimo na força de amortecimento resulta em um movimento oscilatório. CASO III: Subamortecido

022 <−ωλ Como as raízes m1 e m2 agora são complexas, a solução geral da Equação (6) é:

( )tsenCtCetx t 222

221 cos)( λωλωλ −+−= − (9)

O movimento descrito em (9) é oscilatório; mas, por causa do fator te λ− , as amplitudes de vibração → 0 quando t ∞→ . Exemplos:

1) Um peso de 8 libras alonga uma mola em 2 pés. Supondo que uma força amortecedora igual a duas vezes a velocidade instantânea aja sobre o sistema, determine a equação de movimento se o peso for solto de uma posição de equilíbrio a uma velocidade de 3 pés/s para cima.

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

67

Solução: Com base na lei de Hooke, vemos que 8 = k(2) nos dá k = 4 lb/pés e que W = mg nos dá m = 8/32=1/4 slug. A equação diferencial do movimento é então:

dtdxx

dtxd 24

41

2

2

−−=

01682

2

=++ xdtdx

dtxd

Resolvendo a equação temos: X(t)= C1 e – 4t + C2te - 4t (amortecimento crítico) Aplicando as condições iniciais x(0) = 0 e x’(0) = - 3, obtemos c1 = 0 e c2 = -3, logo, a equação do movimento é: X(t) = - 3te -4t

2) Um peso de 16 lb é atado a uma mola de 5 pés de comprimento. Na posição de equilíbrio, o comprimento da mola é de 8,2 pés. Se o peso for puxado para cima e solto do repouso, de um ponto 2 pés acima da posição de equilíbrio, qual será o deslocamento x(t) se for sabido ainda que o meio ambiente oferece uma resistência numericamente igual à velocidade instantânea.

Solução: O alongamento da mola depois de preso o peso será de 8,2 – 5 = 3,2 pés; logo, segue da lei de Hooke que 16 = k(3,2) ou k = 5 lb/pés. Alem disso, m = 16/32 = ½ slug. Portanto, a equação diferencial é dada por:

dtdxx

dtxd

−−= 521

2

2

01022

2

=++ xdtdx

dtxd

Resolvendo a equação temos:

( )tsenCtCetx t 33cos)( 21 += − (subamortecido) Aplicando as condições iniciais x(0) = - 2 e x’(0) = 0, obtemos c1 = - 2 e c2 = - 2/3, logo a equação do movimento é:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= − tsentetx t 3

323cos2)(

7.1.3 – Sistema Massa Mola: Movimento Forçado 7.1.3.1 - ED do Movimento Forçado com Amortecimento:

Considerando agora uma força externa f(t) agindo sobre uma massa vibrante em uma mola. Por exemplo, f(t) pode representar uma força que gera um movimento oscilatório vertical do suporte da mola. A inclusão de f(t) na formulação da segunda lei de Newton resulta na equação diferencial do movimento forçado ou induzido

)(2

2

tfdtdxkx

dtxdm +−−= β (10)

Dividindo (10) por m, obtemos:

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

68

)(2 22

2

tFxdtdx

dtxd

=++ ωλ (11)

Onde F(t) = f(t)/m. Como no item anterior, 2 m/βλ = , mk /2 =ω . Para resolver essa última equação não homogênea, podemos usar tanto o método dos coeficientes a determinar quanto o de variações de parâmetro.

Exemplo:

Interprete e resolva o problema de valor inicial txdtdx

dtxd 4cos522,1

51

2

2

=++ , com x(0) =

½ e x’(0) = 0

Solução: O problema representa um sistema vibrante que consiste em uma massa ( m= 1/5 slug

ou quilograma) presa a uma mola (k = 2 lb/pés ou N/m). A massa é solta do repouso ½ unidade (pé ou metro) abaixo da posição de equilíbrio. O movimento é amortecido ( 2,1=β ) e

esta sendo forçado por uma força externa periódica (T = 2π ) que começa em t=0.

Intuitivamente, poderíamos esperar que, mesmo com o amortecimento, o sistema continuasse em movimento até o instante em que a força externa fosse “desligada”, caso em que a amplitude diminuiria. Porém, da forma como o problema foi dado, f(t)=5cos4t permanecerá “ligada” sempre. Em primeiro lugar, multiplicaremos a equação dada por 5 e resolvemos a equação

01062

2

=++ xdtdx

dtxd

empregando os métodos usuais e usando o método dos coeficientes a

determinar, procuramos uma solução particular, achando como solução:

tsentsentCtCetx t 451504cos

10225)cos()( 21

3 +−+= −

Aplicando as condições iniciais, temos que a equação do movimento é:

tsentsenttetx t 451504cos

10225)

5186cos

5138()( 3 +−−= −

7.1.3.2 – ED de um Movimento Forçado Não Amortecido:

Se houver a ação de uma força externa periódica, e nenhum amortecimento, não haverá termo transiente na solução de um problema. Veremos também que uma força externa periódica com uma freqüência próxima ou igual às das vibrações livres não amortecidas pode causar danos severos a um sistema mecânico oscilatório. Exemplo:

Resolva o problema de valor inicial: tsenFxdt

xd γω 02

2

2

=+ , x(0) = 0 e x’(0) = 0,, onde F0

é uma constante e ωγ ≠ . Solução: A função complementar é xc(t) = c1cos ω t + c2 sen ω t. Para obter uma solução particular, vamos experimentar xp(t) = A cos γ t + B senγ t de tal forma que: tsenFtsenBtAxx pp γγγωγγωω 0

22222" )(cos)( =−+−=+

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

69

Igualando os coeficientes, obtemos imediatamente A = 0 e )( 220

γω −=

FB . Logo:

tsenF

tx p γγω )(

)( 220

−=

Aplicando as condições iniciais dadas à solução geral, obtemos a solução final que será:

)()(

)( 220 tsentsen

Ftx γωωγ

γω+−

−= , com ωγ ≠

7.1.4 – Circuito em Série Análogo Circuitos elétricos RLC em série

Aplicando a segunda Lei de Kirchoff, chegamos a:

)(2

2

tECq

dtdqR

dtqdL =++ (12)

Se E(t) = 0, as vibrações elétricas do circuito são consideradas livres. Como a equação auxiliar da equação (11) é Lm2 + Rm + 1/C = 0, haverá três formas de solução com R ≠ 0, dependendo do valor do discriminante R2 -4L/C. Dizemos que o circuito é:

Superamortecido: 042 >−CLR

Criticamente amortecido: 042 =−CLR

Subamortecido: 042 <−CLR

Em cada um desses três casos, a solução geral de (12) contém o fator e-Rt/2L e, portanto, q(t)→0 quando t ∞→ . No caso subamortecido, se q(0) = q0, a carga sobre o capacitor oscilará à medida que decair, em outras palavras, o capacitor é carregado e descarregado quanto t ∞→ . Quando E(t) = 0 e R = 0, dizemos que o circuito é não amortecido e as vibrações elétricas não tendem a zero quando t cresce sem limitação; a resposta do circuito é harmônica simples. Exemplos:

1) Encontre a carga q(t) sobre o capacitor em um circuito em série LRC quando L=0,25 henry(h), R = 10 ohms(Ω ), C = 0,001 farad(f), E(t) = 0, q(0) = q0 coulombs(C) e i(0)=0.

Solução: Como 1/C = 1000, a equação (12) fica:

04000'40"

01000'10"41

=++

=++

qqq

qqq

R

LC

E

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

70

Resolvendo a equação homogênea de maneira usual, verificamos que o circuito é subamortecido e q(t) = e-20t(C1 cos60t +C2 sen60t). Aplicando as condições iniciais, obtemos:

)6031

60(cos)( 200 tsenteqtq t += −

Quando há uma voltagem impressa E(t) no circuito as vibrações elétricas são chamadas forçadas. No caso em que R≠ 0, a função complementar qc(t) de (12) é chamada de solução transiente. Se E(t) for periódica ou constante, então a solução particular qp(t) de (12) será uma solução estacionária. 7.2 – EQUAÇÕES LINEARES - PROBLEMAS DE CONTORNO 7.2.1 – Deflexão de uma viga: Muitas estruturas são construídas usando grandes suportes de aço ou vigas, as quais defletem ou distorcem sob seu próprio peso ou em decorrência de alguma força externa. A deflexão y(x) é governada por uma equação diferencial linear de quarta ordem relativamente simples.

Vamos supor uma viga de comprimento L seja homogênea e tenha seção transversal uniforme ao longo de seu comprimento. Na ausência de qualquer carga sobre a viga (incluindo o próprio peso), a curva que liga os centróides de todas as suas seções transversais é uma reta chamada eixo de simetria. Se for aplicada uma carga à viga em um plano contendo o eixo de simetria, ela sofrerá uma distorção e a curva que liga os centróides de todas as seções transversais será chamada então de curva de deflexão ou curva elástica. A curva de deflexão aproxima o formato da viga. Suponha agora que o eixo x coincida com o eixo de simetia da viga e que a deflexão y(x), medida a partir desse eixo, seja positiva se dirigida para baixo. Na teoria da elasticidade, mostra-se que o momento fletor M(x) em um ponto x ao longo da viga está relacionado com a carga por unidade de comprimento w(x) pela equação:

)(2

2

xwdx

Md= (12)

Além disso, momento fletor M(x) é proporcional à curvatura k da curva elástica EIkxM =)( (13)

onde E e I são constantes; E é o módulo de elasticidade de Yang do material de que é feita a viga e I é o momento de inércia de uma seção transversal da viga (em torno de um eixo conhecido como o eixo neutro). O produto EI é chamado de rigidez defletora da viga.

Agora, do cálculo, a curvatura é dada por [ ] 2

32)'(1

"

y

yk+

= . Quando a deflexão y(x) for

pequena, a inclinação y’ ≈0 e, portanto, [ ] 232)'(1 y+ ≈ 1, Se fizermos k = y”, a Equação (13)

vai se tornar M = Ely”. A derivada segunda dessa última expressão é:

4

4

2

2

2

2

"dx

ydELydxdEL

dxMd

== (14)

Usando o resultado dado em (1) para substituir d2M/dx2 em (14), vemos que a deflexão y(x) satisfaz a equação diferencial de quarta ordem

)(4

4

xwdx

ydEL = (15)

L

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

71

As condições de contorno associadas à Equação (15) dependem de como as extremidades da viga estão apoiadas. Uma viga em balanço é engastada ou presa em uma extremidade e livre de outra. Trampolim, braço estendido, asa de avião e sacada são exemplos comuns de vigas, mas até mesmo árvores, mastros, edifícios e o monumento de George Washington podem funcionar como vigas em balanço, pois estão presos em uma extremidade e sujeitos à força fletora do vento. Para uma viga em balanço, a deflexão y(x) deve satisfazer às seguintes condições na extremidade engastada x = 0:

y(0) = 0, uma vez que não há deflexão e y’(0) = 0, uma vez que a curva de delexão é tangente ao eixo x (em outras palavras, a inclinação da curva de deflexão é zero nesse ponto).

Em x = L, as condições da extremidade livre são:

y”(L) = 0, uma vez que o momento fletor é zero e y”’(L) = 0, uma vez que a força de cisalhamento é zero.

A Tabela abaixo resume as condições de contorno que estão associadas com a equação (15) 7.2.1.1 – Soluções Não Triviais do Problema de Valores de Contorno: Resolva o problema de valores de contorno y” + λ y = 0, y(0) = 0 e y(L) = 0 Consideremos três casos: λ = 0, λ < 0 e λ > 0. Caso I: Para λ = 0, a solução de y” = 0 é y = C1x + C2. As condições y(0) = 0 e y(l) = 0 implicam, sucessivamente que c2 = 0 e c1= 0. Logo, para λ = 0, a única solução do problema de contorno é a solução trivial y = 0.

Caso II: Para λ <0, temos que y = c1cosh λ− x + c2senh λ− x. Novamente y(0) = 0 nos

dá c1 = 0 e, portanto, y = c2senh λ− x. A segunda condição y(l) = 0 nos diz que

c2senh λ− L = 0. Como λ− L≠ 0, precisamos ter c2 = 0. Assim y = 0

Obs.: λ− parece um pouco estranho, mas tenha em mente que λ < 0 é equivalente a -λ >0.

Caso III: Para λ >0, a solução geral de y”+ λ y = 0 é dada por y = c1cos λ x + c2sen λ x. Como antes, y(0) = 0 nos dá que c1 = 0, mas y(L) = 0 implica c2sen λ L = 0. Se c2 = 0, então, necessariamente, y = 0. Porém, se c2 ≠ 0, então sen λ L = 0. A última condição implica que o argumento da função seno deve ser um múltiplo inteiro de π .

πλ nL = ou 2

22

Ln πλ = , n = 1, 2, 3...

Portanto, para todo real não nulo c2, y = c2sen(nπ x/L) é uma solução do problema para cada n. Como a equação diferencial é homogênea, podemos, se desejarmos, não escrever

c2. Em outras palavras, para um dado número na seqüência, ,...,9,4, 2

2

2

2

2

2

LLLπππ

a função

correspondente na seqüência ,...3,2, xL

senxL

senxL

sen πππ é uma solução não trivial do

problema original.

Extremos da viga Condições de contorno engastada y = 0, y’ = 0 Livre y” = 0 m y”’ = 0 Simplesmente apoiada

y = 0, y” = 0

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

72

7.2.1.2 – Deformação de uma Coluna Fina:

No século XVIII, Leonhard Euler dói um dos primeiros matemáticos a estudar um problema de autovalor quando analisava como uma coluna elástica fina se deforma sob uma força axial compressiva. Considere uma longa coluna vertical fina de seção transversal uniforme de comprimento L. Seja y(x) a deflexão da coluna quando uma força compressiva vertical constante ou carga P for aplicada em seu topo conforme mostra a figura. Comparando os momentos fletores em qualquer ponto ao longo da coluna, obtemos

Pydx

ydEL −=2

ou 02

2

=+ Pydx

ydEL (16)

onde E é o módulo de elasticidade de Yang e I é o momento de inércia de uma seção transversal em torno de uma reta vertical pelo seu centróide.

Exemplo: Determine a deflexão de uma coluna vertical fina e homogênea de comprimento L sujeita a uma carga axial constante P, se a coluna for simplesmente apoiada em ambas as extremidades. Solução:

O problema de contorno a ser resolvido é:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==

=+

0)(0)0(

02

2

Lyy

Pydx

ydEI

Observe primeiramente que y = 0 é uma solução perfeitamente aceitável desse

problema. Essa solução tem uma interpretação intuitiva e simples: se a carga P não for grande o suficiente, não haverá deflexão. A questão é esta, para que valores de P a coluna vai defletir? Em termos matemáticos: para quais valores de P o problema de contorno dado tem soluções não triviais?

Escrevendo EIP=λ , vemos que:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===+

0)(0)0(0"

Lyy

yy λ

é idêntico ao problema dado no item 8.2.1.1. Com base no Caso III daquela discussão vemos que as curvas de deflexão são )/()( 2 Lxnsencxyn π= , correspondentes aos autovalores

...3,2,1,// 222 === nLnEIPnn πλ

Fisicamente, isso significa que a coluna vai deformar-se ou defletir somente quando a

força compressiva assumir um dos valores ...3,2,1,/ 222 == nLEInPn π Essas forças são

chamadas cargas criticas. A curva de deflexão correspondente a menor carga crítica 22

1 / LEIP π= , chamada de carga de Euler, é )/()( 21 Lxsencxy π= e é conhecida como o primeiro modo de deformação. As curvas de deflexão correspondentes a n = 1, n = 2 e n = 3 são apresentadas na figura abaixo. Observe que, se a coluna original tiver algum tipo de restrição física em x = L/2,

então a menor carga crítica será 222 /4 LEIP π= e a curva de deflexão será aquela da figura

(b). Se a restrição for colocada na coluna em x = L/3 e x = 2L/3, a coluna somente vai se

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

73

deformar quando a carga critica 223 /9 LEIP π= for aplicada. Nesse caso a curva de deflexão

será aquela da figura (c).

7.2.1.3 – Corda Girando: A equação diferencial linear de segunda ordem 0" =+ yy λ (17)

ocorre muitas vezes como modelo matemático. Já vimos nas formas 0)/(22 =+ xmkdtxd e

0)/1(22 =+ qLCdtqd como modelos para, respectivamente, um movimento harmônico simples e um sistema massa-mola e a resposta harmônica simples de um circuito em série. É evidente que o modelo para deflexão de uma coluna fina dado em (16) quando escrito como

0)/(22 =+ yELPdxyd , é igual ao que foi dado em (17). Vamos encontrar a Equação (17) como um modelo que define a curva de deflexão ou a configuração y(x) assumida por uma corda girando. A situação física é análoga aquela de duas pessoas segurando uma corda e fazendo-a girar sincronizadamente. Veja as figuras (a) e (b) abaixo.

Suponha que uma corda de comprimento L e densidade linear constante ρ (massa por unidade de comprimento) seja esticada ao longo do eixo x e fixada em x = 0 e x = L. Suponha que a corda seja então girada em torno do eixo x a uma velocidade angular constante ω . Considere uma parte da corda sobre o intervalo [ ]xxx Δ+, , onde xΔ é pequeno. Se a magnitude T da tensão T, tangencial a corda, for constante ao longo dela, a equação diferencial desejada pode ser obtida igualando-se duas formulações diferentes da força liquida que age sobre a corda no intervalo [ ]xxx Δ+, . Em primeiro lugar, vemos na figura (c), que a força liquida vertical é:

12 θθ TsenTsenF −= (18) Se os ângulos 1θ e 2θ (medidos em radianos) forem

pequenos, teremos 22 θθ tgsen ≈ e 11 θθ tgsen ≈ . Alem disso,

como 2θtg e 1θtg são, por sua vez, inclinações das retas contendo os vetores T2 e T1, podemos também escrever

)('2 xxytg Δ+=θ e )('1 xytg =θ Assim sendo, (18) vai se tornar: [ ])(')(' xyxxyTF −Δ+≈ (19)

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

74

Em segundo lugar, podemos obter uma forma diferente dessa mesma força liquida usando a segunda lei de Newton, F = m.a. Aqui, a massa da corda no intervalo é xm Δ= ρ ; a aceleração centrípeta de um corpo girando a uma velocidade angular ω em um circulo com

raio r é 2ωra = . Sendo xΔ pequeno, podemos tomar r = y. Assim sendo, a força liquida vertical é também aproximada por

( ) 2ωρ yxF Δ−≈ (20) onde o sinal de subtração justifica-se pelo fato de a aceleração ter o sentido oposto ao do eixo y. Igualando-se (20) e (19), temos:

[ ] 2)()(')(' ωρ yxxyxxyT Δ−≈−Δ+ Ou (21)

yx

xyxxyT 2)(')(' ρω−≈Δ

−Δ+

Para xΔ próximo a zero, o quociente da diferença x

xyxxyΔ

−Δ+ )(')(' em (21) é

aproximado pela derivada segunda de d2y/dx2. Finalmente chegamos ao modelo

ydx

ydT 22

2

ρω−=

Ou (22)

022

2

=+ ydx

ydT ρω

Como a corda esta fixa em ambas as extremidades, x = 0 e y = L, esperamos que a solução y(x) da última equação em (22) também satisfaça as condições de contorno y(0) = 0 e y(L) = 0. AULA 18 – EXERCÍCIOS Movimento Livre não amortecido

1) Um peso de 4 lb é preso a uma mola cuja constante é 16 lb/pés. Qual é o período do movimento harmônico simples?

2) Um peso de 24 libras, preso a uma das extremidades de uma mola, distende-a em 4 polegadas. Ache a equação de movimento, considerando que o peso será solto do repouso, de um ponto 3 polegadas acima da posição de equilíbrio.

3) Um peso de 20 libras distende uma mola em 6 polegadas. O peso é solto do repouso 6 polegadas abaixo da posição de equilíbrio.

a) Determine a posição do peso em t

= 329,

4,

6,

8,

12πππππ

b) Qual será a velocidade do peso

quanto t = 163π s? Qual será o

sentido do movimento do peso nesse instante?

c) Em que instante o peso passa pela posição de equilíbrio

Movimento Livre Amortecido

4) Uma massa de 1 quilograma é presa a uma mola cuja constante é 16 N/m e todo o sistema é então submerso em um líquido que oferece uma força de amortecimento numericamente igual a 10 vezes a velocidade instantânea. Determine as equações do movimento, considerando que:

a) o peso é solto do repouso 1 metro abaixo da posição de equilíbrio.

b) O peso é solto 1 metro abaixo da posição de equilíbrio a uma velocidade de 12 m/s para cima.

5) Um peso de 10 libras é preso a uma mola, distendendo-a em 2 pés. O peso está preso a uma dispositivo de amortecimento que oferece uma resistência igual a

)0( >ββ vezes a velocidade

instantânea. Determine os valores da constante de amortecimento β de tal

forma que o movimento subseqüente seja:

a) superamortecido b) criticamente amortecido c) subamortecido

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

75

Movimento Forçado

6) Um peso de 16 libras distende uma mola em 8/3 pé. Inicialmente, o peso parte do repouso 2 pés abaixo da posição de equilíbrio. O movimento subseqüente em lugar em um meio que oferece uma força amortecedora numericamente igual a ½ da velocidade instantânea. Qual é a equação do movimento se o peso sofre a ação de uma força externa igual a f(t) = 10 cos 3t?

7) Quando uma massa de 2 quilogramas é presa a uma mola cuja constante de elasticidade é 32 N/m, ela chega ao repouso na posição de equilíbrio. A partir de t=0 uma força igual a f(t)=68e-2t cos 4t é aplicada ao sistema. Qual é a equação de movimento na ausência de amortecimento?

Circuito em Série Análogo

8) Ache a carga no capacitor em um circuito em série LRC em t=0,01s quando L=0,05h, R=2Ω , C=0,01f, E(t)=0V, q0=5C e i(0)=0A. Determine a primeira vez em que a carga sobre o capacitor é igual a zero.

9) Ache a carga no capacitor, a corrente no circuito em série LRC e a carga máxima no capacitor quando:L= 5/3h R=10Ω , C=1/30f, E(t)=300V, q(0)=0C, i(0)=0A.

10) Determine a carga no capacitor em um circuito em série LRC, supondo L = ½ h, R=10Ω , C = 0,01f, E(t) = 150V, q(0)=1C e i(0) = 0A. Qual é a carga no capacitor após um longo período?

Corda Girando 11) Considere o problema de contorno

introduzido na construção do modelo matemático para a forma de uma corda

girando:

0)(,0)0(

022

2

==

=+

Lyy

ydx

ydT ρω

Respostas:

1) 82π

2) ttx 64cos41)( −=

3) a)41

12−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ πx ,

21

8−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛πx

41

6−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛πx ,

21

4=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛πx ,

42

329

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ πx

b) 4 pés/s para baixo

c) 16

)12( π+=

nt , n= 0, 1, 2, ...

4) a) tt eetx 82

31

34)( −− −=

b) tt eetx 82

35

32)( −− +−=

5) a) β > 5/2 b) β = 5/2

c) 0 < β < 5/2

6)

( )tsent

tsentetxt

33cos3

10

247

47364

247cos

34)( 2

++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

−

7)

tsene

tetsenttx

t

t

42

4cos214

494cos

21)(

2

2

−

−

−

−++−=

8) 4,1078C; 0,0509s 9) q(t)=10+10e-3t(cos3t+sen3t)

i(t) = 60e-3tsen3t; 10,432 C

10) Ctsentetq t

23;

23)1010(cos

21)( 10 ++−= −

11) PL

nWn 1π=

n = 1, 2, 3…

Lxnseny π

=

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

76

AULA 19

8 - TRANSFORMADA DE LAPLACE

8.1 – INTRODUÇÃO: A transformação de Laplace é um método de resolução de equações diferenciais e dos

correspondentes problemas de valor inicial e de valor de contorno. O processo de resolução consiste em três etapas principais:

i. Um problema “difícil” é transformado numa equação “simples” (equação subsidiária) ii. Resolve-se a equação subsidiária mediante manipulações puramente algébricas. iii. A solução da equação subsidiária é transformada novamente para se obter a solução

do problema dado.

Desta maneira, a transformação de Laplace reduz o problema de resolução de uma equação diferencial a um problema algébrico. A terceira etapa é facilitada pelas tabelas, cujo papel é análogo ao das tabelas de integras na integração. Essas tabelas também são úteis na primeira etapa. Seja f(x) definida para todo x≥0, sua transformada F(s) é dada por:

∫∞

−==0

)())(()( dxxfexfLsF sx (1)

A função F(s) é chamada a transformada de Laplace da função original f(x) e será representada por L (f). Notação: Representaremos a função original por uma letra minúscula e sua transformada pela mesma letra maiúscula, de modo que F(s) designe a transformada de f(x). Exemplos: - Seja f(x) = 1 quando x >0. Determinar F(s). - Seja f(x) = x quando x >0. Determinar F(s).

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

77

8.2 – PRINCÍPIO DA LINEARIDADE: Se F(s) = L(f(x)) e G(s) = L(g(x)) então para C1 e C2 constantes, L(C1f(x) +C2g(x)) = C1F(s) + C2G(s) Exemplos: - h(x) = 3 + 4x H(s) = L(h(x)) = - f(x) = eax, onde a é qualquer, logo L (eax) = 8.3 – TABELA: Na tabela abaixo encontramos uma pequena lista de algumas funções elementares importantes e suas transformadas de Laplace (essas transformadas encontram-se no formulário Prandiano e também encontra-se uma lista mais completa na Tabela Schaum)

1)(1 =xf

sxf 1)]([ L 1 =→

axxf cos)(12 = 2212 )]([ L

assxf+

=→

xxf =)(2 21

1)]([ Ls

xf =→ axexf bx cos.)(13 =

2213 )()]([ L

absbsxf+−

−=→

23 )( xxf =

33!2)]([ L

sxf =→

axxxf cos)(14 = 222

22

14 )()]([ L

asasxf

+−

=→

nxxf =)(4 14

!)]([ L +=→ nsnxf

axxf cos1)(15 −=

)()]([ L 22

2

15 assaxf+

=→

axexf =)(5

asxf

−=→

1)]([ L 5 bxexf ax cos)(16

−= 2216 )(

)]([ Lbas

asxf++

+=→

axxexf =)(6 26 )(

1)]([ Las

xf−

=→ axxf cosh)(17 =

2217 )]([ Las

sxf−

=→

axn exxf −⋅=)(7 17 )(

!)]([ L ++=→ nas

nxf axxxf cosh)(18 =

222

22

18 )()]([ L

asasxf

−+

=→

axxf sen)(8 = 228 )]([ L

asaxf+

=→

axxxf cosh2

)(2

19 = 222

23

19 )(3)]([ Las

sasxf−+

=→

axxxf sen)(9 = 2229 )(

2)]([ Las

asxf+

=→ axxf senh)(20 =

2220 )]([ Las

axf−

=→

senbxexf ax=)(10 2210 )(

)]([ Lbas

bxf+−

=→

aaxxf

2senh)(21 =

)()]([ L 2221 as

sxf+

=→

baeexf

bxax

−−

=)(11 ))((1)]([ L 11 bsas

xf−−

=→ nxxf l=)(22

snsxf l−−

=→γ)]([ L 22

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78

8.4 - TRANSLAÇÃO E DESLOCAMENTO: Se F(s) = L (f(x))

L (eaxf(x)) = ?

4

)2(cos 2 +=

ssxL

L (e-xcos 2x)) =

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

79

AULA 19 – EXERCÍCIOS Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:

1) f(x) = 3 + 2x2

2) f(x) = 2 senx + 3 cos2x

3) f(x) = 2x2 – 3x + 4

4) L (xe4x)

5) L (e-2xsen5x)

6) L (x cos ax)

7) L (e-xx cos 2x)

8) f(x)=x2.e2x

9) f(t) = t cost

10) f(t) = t sen2t

11) f(t) = 2t4

12) f(t) = t5

13) f(t) = 4t – 10

14) f(t) = 7t + 3

15) f(t) = t2 + 6t – 3

16) f(t) = - 4t2 + 16t + 9

17) f(x) = x3 + 3 cos2x

18) f(x) = 5e2x + 7e-x

19) f(t) = t2 – e-9t + 5

20) f(t) = 4t2 – 5sen3t

21) f(t) = cos5t + sen2t

Respostas:

1) 3

43)(ss

sF +=

2) 4

31

2)( 22 ++

+=

ss

ssF

3) sss

sF 434)( 23 +−=

4) 2)4(1)(−

=s

sF

5) 25)2(

5)( 2 ++=

ssF

6) 222

22

)()(

asassF

+−

=

7) [ ]22

2

4)1(4)1()1(

++

−+=+

sssF

8) 3)2(2)2(−

=−s

sF

9) 22

2

)1(1)(

+−

=sssF

10) 22 )4(4)(+

=s

ssF

11) 5

48)(s

sF =

12) 6

120)(s

sF =

13) ss

sF 104)( 2 −=

14) ss

sF 37)( 2 +=

15) sss

sF 362)( 23 −+=

16) sss

sF 9168)( 23 ++−

=

17) 4

36)( 24 ++=

ss

ssF

18) 1

72

5)(+

+−

=ss

sF

19) sss

sF 59

12)( 3 ++

−=

20) 9

158)( 23 +−=

sssF

21)4

225

)( 22 ++

+=

ssssF

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80

AULA 20

8.5 – TRANFORMADA INVERSA DE LAPLACE:

A função original f(x) em { } )()( sFxfL = é chamada de transformada inversa ou, simplesmente, a inversa de F(s), e será representada por L -1 (F), assim, escreveremos

{ } )()(1 xfsFL =− Exemplos:

1) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

221

)1(2

ssL

2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−

91

21

sL

3) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

241

sL

Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides

81

8.5.1 – MÉTODO DAS FRAÇÕES PARCIAIS:

Qualquer função racional )()(

sQsP

, onde P(s) e Q(s) são polinômios, com o grau de P(s)

menor do que o grau de Q(s), pode ser escrita como soma de funções racionais (frações

parciais) tendo a forma rr cbsascBs

basA

)(,

)( +++

+ onde r = 1, 2, 3,...

Encontrando a transformada inversa de Laplace de cada uma das frações parciais,

podemos encontrar ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

)()(1

sQsPL

Exemplos:

a) )5()42()42()5()42(

24322222

2

−+

+++

+++

+=

−+++−

sE

ssDCs

ssBAs

sssss

b) )12()12()12()43()12)(43(

52233 ++

++

++

−=

+−−

sD

sC

sB

sA

sss

As constantes A, B, C, D,... podem ser encontradas eliminando os denominadores e equacionando potências semelhantes de s em ambos os lados da equação resultante. Exemplos:

1) Dado ))((

1)(bsas

sF−−

= , qual a função f(t) que gerou F(s)?

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82

2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−+−−

)3)(2)(1(42 2

1

ssssL

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83

3) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++++++−

)52)(22(32

22

21

ssssssL

AULA 20 – EXERCÍCIOS

1) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

166

21

ssL

2) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−

31

21

sL

3) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

++−

−+−

4231 3024

918245

ss

ss

ssL

4) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+−−−

3

21

)2)(1(11155

ssssL

5) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−+−

)1)(1(132

1

sssL

Respostas: 1) x4cosh6

2) 3

33 xsenh

3) xsenxxxx 363cos25134 23 +−+−

4) xxxx exeexe 2222

314

27

31

++−− −

5) senxxe x +− cos22

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84

AULA 21

8.6 - TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERIVADAS E INTEGRAIS

8.6.1 - Transformada de Laplace de Integrais:

Se L(f(t)) = F(s) temos que { }ssFduufL

t )()(0

=∫

Exemplo:

1) { }∫t

udusenL0

2

2) { }∫t t tdteL0

3 cos

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85

8.6.2 - Transformada de Laplace de Derivadas: { } )0()(.)(' fsFstfL −= generalizando:

{ } [ ])0(...)0(')0()()( 121 −−− +++−= nnnnn ffsfssFstfL Exemplo: y” + 6y’ + 8y = e-3t – e-5t y(0) = 0 y’(0) = 0

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86

AULA 21 – EXERCÍCIOS

1) { }∫ttsentdtL

0

2) y’ – y = 1 com y(0) = 0 3) 2y’ + y = 0 com y(0) = - 3 4) y’ + 6y = e4t com y(0) = 2 5) y’ – y = 2cos5t com y(0) = 0 6) y” + 4y = sen2t com y(0) = 10 e y’(0) = 0 7) y” + 4y’ + 4y = t2.e-2t com y(0) = 0 e y’(0) = 0 8) y” + 5y’ + 4y = 0 com y(0) = 1 e y’(0) = 0 9) y” – 4y’ = 6e3t – 3e- t com y(0) = 1 e y’(0) = - 1 Respostas:

1) 22 )1(2)(+

=s

sF

2) ss

sF−

= 2

1)(

3) 12

6)(+

−=

ssF

4) 242

72)( 2 −+−

=ss

ssF

5) 2525

2)( 23 −−+=

sssssF

6) )4(

10)4(

2)( 222 ++

+=

ss

ssF

7) 5)2(2)(+

=s

sF

8) 45

5)( 2 +++

=ss

ssF

9) )4)(1)(3(

30107)( 2

23

ssssssssF−+−++−

=

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87

AULA 22

8.7 - APLICAÇÕES ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

8.7.1 - Equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes: A transformada de Laplace é útil na resolução de equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes. Por exemplo, suponha que queiramos resolver a equação diferencial linear de segunda ordem )(´" tfyyy =++ βα

onde α e β são constantes, sujeita às condições de contorno y(0) = A e y´(0) = B, onde A e B são constantes dadas. Tomando a transformada de Laplace de ambos os lados e usando as condições de contorno obtemos uma equação algébrica para a determinação de { } )()( sYtyL = . A solução desejada é então obtida encontrando a transformada inversa de Laplace de Y(s). O método é facilmente estendido a equações diferenciais de ordem mais alta. Exemplo:

y” + 6y’ + 8y = e-3t – e-5t com y(0) = 0 e y’(0) = 0

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88

8.7.2 – Equações diferenciais ordinárias com coeficientes variáveis: A transformada de Laplace também pode ser usada na resolução de algumas equações diferenciais ordinárias nas quais os coeficientes sejam variáveis. Uma particular equação

diferencial onde o método resulta útili é essa, na qual os termos tem a forma )(tyt nm e da

qual a transformada de Laplace é { })()1( tyLdsd n

m

mm−

Exemplo: ty” +y´+ 4ty = 0 com y(0) = 3 e y´(0) = 0

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89

AULA 22 – EXERCÍCIOS

1) teyyy −=+− 62´3" com y(0) = 3 e y´(0) = 3 2) y” – 4y = 8t2 – 4 com y(0) = 5 e y´(0) = 10 3) y” + 2y´ + y = 2cos t com y(0) = 3 e y´(0) = 0

4) tetyyyy 2´´´ ´3"3 =−+− com y(0) = 1, y´(0) = 0 e y”(0) = -2 5) y” – ty´ +y = 1 com y(0) = 1 e y´(0) = 2 Respostas 1) y = 2e2t + e-t 2) y = - 2t2 + 5e2t 3) y = (2t + 3)e-t + sen t

4) 602

52 tttt etetteey +−−=

5) y = 1 + 2t