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FACULDADE DE ARACRUZ NOTAS DE AULA DE FENÔMENOS DE TRANSPORTES I

PROF. MARCOS HALASZ – 2011/1

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FENÔMENOS DE TRANSPORTES I “Os Fenômenos de Transportes tratam da movimentação de uma grandeza física de um ponto para outro do espaço. Esse transporte pode ser de quantidade de movimento, de energia térmica e de massa.” FENÔMENOS DE TRANSPORTES OPERAÇÕES UNITÁRIAS

• FENÔMENOS DE TRANSPORTES I

� Transporte de fluidos (Mecânica dos Fluidos)

� Escoamento de fluidos em dutos ou canais abertos

� Operações Unitárias I

- Calcular a queda de pressão em tubulações � potência de bombas

- Escoamento de fluidos + sólidos

- Equipamentos de separação (modo geral)

• FENÔMENOS DE TRANSPORTES II

� Transferência de Calor

� Operações Unitárias III

- Trocadores de Calor

- Torres de Resfriamento

- Condensadores e Refervedores

APLICAÇÕES

Reservatório

Fluido

Fluido + Sólidos

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• FENÔMENOS DE TRANSPORTES III

� Transferência de Massa (Difusão)

� Operações Unitárias II

- Colunas de Destilação

- Colunas de Extração

OS FLUIDOS E O ENGENHEIRO QUÍMICO

É impossível citar um setor da engenharia química no qual bons conhecimentos de Mecânica dos.

Fluidos sejam dispensáveis. E tanto a extensão, profundidade e precisão, como a compreensão dos

aspectos fundamentais devem superar em muito as necessidades das áreas mais próximas. No

projeto, operação, pesquisa e desenvolvimento, a mecânica dos fluidos desponta sempre com

grande importância.

Para bem desempenhar suas atividades o profissional da engenharia química deve dominar todos os

aspectos relacionados com os fluidos: propriedades e sua síntese, armazenamento, escoamento,

manuseio (movimentação, agitação, mistura ou separação), aquecimento ou resfriamento,

Líquido Refrigerante

Produto à Temperatura desejada

Produto Quente

A � Mais Volátil

B � Menos Volátil

A + B

T1

T2

A + B

C

C + B

A

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vaporização, nebulização, comportamento estático e dinâmico nas mais variadas situações,

características de corrosão, erosão e muitos outros.

PROPRIEDADES DOS FLUIDOS

O estudo das propriedades e sua síntese é objeto da termodinâmica, porém deve se realizada uma

análise, visando acertar a nomenclatura, complementar alguns pontos importantes e recomendar a

bibliografia especializada.

Além da temperatura, pressão, densidade e viscosidade, que são as propriedades necessárias para os

trabalhos de hidráulica, também a pressão de vapor, a composição, as tensões superficial e

interfacial, as capacidades caloríficas, as entalpias de mudança de estado, compressibilidade,

constantes críticas e a capacidade de dissolver gases são importantes para o engenheiro químico.

O escoamento e manuseio de sistemas polifásicos (lamas, suspensões, leitos fluidizados e misturas

líquido-gás) requerem muita consideração por parte do engenheiro químico antes de projetar,

desenvolver e operar os equipamentos de processo necessários. Ele deve antecipar os problemas

decorrentes de alterações das propriedades em virtude de eventuais mudanças de matérias primas ou

do processo produtivo. Variações importantes da quantidade de sólidos numa suspensão, por

exemplo, provocadas por distúrbios no processo, podem acarretar problemas sérios quanto às

condições e manuseio previstos no projeto. Antecipar tais problemas durante o projeto básico, com

base exclusiva nos elementos disponíveis sobre a mesa de trabalho do engenheiro de processo é

impossível, na quase totalidade dos casos. Por outro lado, o engenheiro de operação deverá

solucioná-los de pronto, quando surgem, utilizando toda a engenhosidade que possui, sem o que os

setores a jusante e montante poderão ficar mais comprometidos do que o seu.

PROCESSAMENTO DE FLUIDOS INDUSTRIAIS

Armazenamento

Imagina-se que os problemas nesta área sejam de ordem mecânica, sendo a seleção do tipo e a

fixação da capacidade as tarefas do engenheiro de processo. Mas a realidade é outra. Há desde

pequenos tanques verticais ou horizontais até imensos gasômetros e tanques para criogênicos,

equipados com compressores e condensadores dos vapores formados que, uma vez liquefeitos,

expandem antes de retomarem ao tanque. O conjunto constitui um autêntico refrigerador por

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compressão de vapor e que mantém o líquido refrigerado. Reservatórios esféricos para armazenar

fluidos a altíssimas pressões e enormes tanques de refinaria no interior dos quais é possível

manobrar veículos também são freqüentes.

O armazenamento de líquidos perigosos ou capazes de formar misturas explosivas com ar requer

um colchão de gás inerte (nitrogênio ou gás carbônico, por exemplo) sobre o líquido, sendo

imperioso não descobrir o fato muito tarde, quando a fabrica já estiver produzindo.

Certos líquidos são propícios à proliferação de algas e microorganismos que alteram

substancialmente suas propriedades. Isto pode causar mudanças sensíveis nas condições de

escoamento através das tubulações de processo, quando não o seu entupimento. Até plantas grandes

podem crescer no interior de tanques, sem que do fato se tenha conhecimento.

Escoamento

Por ser mais importante, este aspecto, destaca-se dos demais. Infelizmente, na universidade ele é

muitas vezes orientado por profissionais de outras áreas, não praticantes e geralmente com

especialização bem longe da área de processo químico. A mecânica dos corpos flutuantes, por

exemplo, seus baricentros e centros de empuxo, as pressões em comportas ou sua distribuição

constituem assuntos irrelevantes para o engenheiro químico, sendo meras curiosidades na área de

processo, muito embora desempenhem papel importante em outras.

Os problemas industriais são diferentes, a começar pela natureza do fluido, pois a água, que é o

fluido preponderante na mineração, na construção civil e muitas vezes também para o engenheiro

mecânico, representa apenas uma parcela mínima dos fluidos industriais. Ar, vapor, gases

industriais a altas pressões, gases liquefeitos, hidrocarbonetos, produtos petroquímicos e fluidos

refrigerantes ou de aquecimento são empregados em muito maior escala do que a água. Fluidos não-

newtonianos, como as tintas, colas, pastas e lamas e os sistemas polifásicos também são comuns em

nosso trabalho.

A temperatura de operação assume grande importância na indústria química, devendo ser bem

discutida para poder ser fixada e controlada com cuidado. O mesmo se aplica à viscosidade e

pressão de vapor.

Compreender bem o escoamento através de meios porosos é fundamental para o estudo da filtração,

fluidização, absorção, stripping e destilação em colunas de recheio, assim como no cálculo de

reatores heterogêneos, catalíticos ou não. Às vezes o leito é solúvel (caso da lixiviação) ou reage

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com o fluido, como na obtenção do ácido de cozimento da celulose pelo processo sulfito, quando se

passa água e dióxido de enxofre através de um leito de calcário.

O cálculo rigoroso da perda de carga do fluido em reação através de reatores tubulares é tarefa

muito complexa, pois, à medida que a mistura reagente atravessa o reator a reação vai ocorrendo,

alterando-se simultaneamente a temperatura (devido à entalpia de reação), o número de mol em

escoamento, a viscosidade, a capacidade calorífica e a pressão. A vazão varia em conseqüência

dessas alterações, o mesmo acontecendo com a perda de carga que, a seu turno, também altera a

pressão. Assim, cada variável interfere com as demais e também depende de cada uma.

O escoamento através de válvulas e tubulações de alívio de vasos de pressão e reatores é crítico sob

os pontos de vista processual e de segurança, sendo vagos os critérios de dimensionamento em

alguns casos. Só um julgamento profissional perfeito será útil nos casos mais difíceis, como já

tivemos ocasião de constatar.

Certas tubulações destinam-se a operar numa extensa faixa de vazão. É o caso dos "flares" ou

tochas das refinarias, que às vezes funcionam com quantidades mínimas de gases residuais, mas

sempre com a chama acesa e, em outras situações, recebem enormes quantidades de gases de

processo durante os períodos de distúrbio da instalação. Nesses momentos até o ruído pode vir a ser

um problema, além da fumaça decorrente da queima imperfeita. O engenheiro químico deverá estar

preparado para superar tais dificuldades durante o projeto, fixando corretamente a vazão nominal do

dispositivo, sem timidez ou excesso de confiança.

Certos gases podem reagir explosivamente pela simples substituição de uma tubulação por outra de

maior ou menor diâmetro. Outras devem trabalhar permanentemente com uma pressão positiva a

fim de evitar a entrada de ar, que poderia causar explosão. É o caso dos dutos que transportam o

hidrogênio produzido em células eletrolíticas.

Movimentação

Bombas, ventiladores, sopradores e compressores acham-se disponíveis numa grande variedade de

tipos e modelos que cobrem extensa faixa de características. Por isso a especificação correta do tipo

mais adequado para cada situação particular requer conhecimento por parte do engenheiro. Além de

trabalhar nas condições de projeto, o equipamento selecionado deverá tornar possível a operação

nas condições limites, assim como na partida, sem maiores problemas de sobrecarga do motor. A

seleção também deverá levar em conta as características de corrosão do fluido a ser movimentado,

bem como o layout da instalação. Esta última implicação gera nova dificuldade porque a bomba,

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que é calculada logo nas primeiras fases do projeto, deverá ser repassada quando tudo já estiver

pronto e esse não é o momento adequado para fazer grandes alterações.

Dispositivos mecânicos especiais de movimentação costumam ser utilizados em situações

particulares. Às vezes o uso de ar comprimido, gás inerte ou vácuo é mais viável, apesar da enorme

variedade de tipos de equipamentos convencionais existentes no mercado.

Projeto de tubulações

Tubulação é o conjunto de tubos e assessórios numa instalação industrial. Acessórios são as

válvulas, cotovelos, contrações, flanges, purgadores, filtros, vents, desvios, isolantes e suportes.

Na construção civil o assunto já está tão padronizado que o projetista pouco tem a decidir quando

projeta. Porém esta atividade envolve muita consideração por parte dos engenheiros de processo e

mecânicos atuantes na área de projeto industrial.

A fixação de urna velocidade adequada e a escolha dos diâmetros de sucção, drenos e vents, a

previsão dos dispositivos de mudança de direção, bloqueio, limpeza, segurança, proteção,

sustentação e flexibilidade devido às variações de temperatura a que estarão sujeitas as tubulações

requerem conhecimento especializado.

A especificação dos materiais de construção é outra tarefa desafiante, principalmente quando o

fluido é complexo e a severidade de operação é grande. Prever a soma dos efeitos requer muito

conhecimento e os profissionais plenamente capacitados no assunto são raríssimos.

A seleção das válvulas envolve problemas especiais e às vezes de difícil solução, servindo de

exemplos a formação de cristais ou depósitos, corrosão, erosão e, não raro, vaporização decorrente

de queda brusca de pressão.

O layout das tubulações é de extrema importância. Após a montagem, a correção de defeitos torna-

se difícil e por isso geralmente os erros se eternizam. A localização de válvulas operadas com

freqüência deve ser estudada com atenção. Conhecemos no passado instalações projetadas com

descuido e nas quais, quando o operador atingia a válvula para realizar a manobra urgente

antecipada por um alarme, já era tarde. Muita cabeçada demos em tubos baixos e com freqüência

tivemos que pular por cima de tubos para ir de um ponto a outro de urna unidade de processo. Estes

"gatos" podem e devem ser evitados.

Não apenas o layout, corno também o cálculo das perdas de carga deve ser cuidadoso,

principalIilente em tubulações através das quais o fluido escoará por gravidade. Muitas vezes até o

tempo de residência na tubulação é crítico. Abaixo de uma velocidade mínima de escoamento,

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sólidos em suspensão poderão decantar, provocando entupimentos por vezes muito sérios. Reciclos

e drenos deverão ser estudados durante o projeto a fim de serem evitados.

Infelizmente certas situações são impossíveis de antecipar e, o que é pior, são verdadeiramente

incontroláveis. Por diversas razões, e em ocasiões muito mais freqüentes do que se imagina, o

processo não produz o produto esperado, dando origem a sub-produtos indesejáveis. Às vezes nem

o mais experiente engenheiro ou operador têm idéia do que possa estar acontecendo, pois quando

isto ocorre, geralmente há uma somatória de causas. Só um fato é certo: o fluido não é o esperado.

Uma indústria petroquímica bem conhecida produziu durante vários anos um produto fora de

especificação e teve finalmente que comercializá-lo com um nome diferente do patenteado.

Medição e controle automático

São assuntos diários nas atividades produtivas e de projeto. O engenheiro químico está envolvido a

cada minuto com medidas de pressão, temperatura, diferenças de pressão, vazão, umidade,

viscosidade, teor de sólidos e toda uma série de variáveis. O controle automático e o monitoramento

destes parâmetros são tarefas igualmente importantes. Profissionais de outras áreas também

empregam controle automático, mas em proporção e sofisticação geralmente muito menores.

Embora não seja esta a situação que prevalece atualmente, o engenheiro recém-formado deveria

estar em condições de projetar com desembaraço dispositivos de medida como orifícios, venturis,

pitots e manômetros, bem como efetuar sua calibração. Estes requisitos são particularmente

importantes no início da carreira profissional.

Comportamento dos fluidos de processo

O comportamento da água numa adutora ou rede domiciliar, na operação de uma caldeira ou no

desempenho de uma turbina é hoje em dia previsto com toda segurança, mas pode constituir

problema muito trabalhoso nos processos industriais. Erros importantes nas previsões de projeto são

proporcionalmente mais danosos na indústria química do que nas instalações mecânicas, porque o

número de parâmetros envolvidos é maior e sua interdependência muitas vezes nem é clara.

Começando pela variável mais banal, que é a vazão, lembramos que erros para mais ou para menos

na fixação da vazão de gases poluentes pode prejudicar a ação de captores num sistema de

ventilação local exaustora ou de um dispositivo anti-poluente, como um ciclone, um filtro, um

lavador venturi ou um incinerador.

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Nas operações unitárias envolvendo pulverização, dispersão, mistura ou emulsificação de fluidos o

resultado pretendido somente será atingido. se o sistema se comportar rigorosamente conforme as

previsões. Afastamentos decorrentes de avaliações superficiais ou alterações acidentais do processo

produtivo podem pôr em risco o sucesso de toda a operação.

O comportamento do fluido no interior de tubulações industriais, trocadores de calor e colunas de

bandejas ou de recheio é crítico para o bom funcionamento do sistema. O modelo teórico adotado

tem que ser suficientemente simples para poder ser aplicado e, ao mesmo tempo, deve ter precisão

razoável para vir a ser útil, mas nem sempre é fácil harmonizar as duas coisas. Convém não

esquecer que o papel aceita tudo, mas a natureza não recebe ordens.

A crença de que pequenas causas só podem gerar pequenos efeitos. deve ser, abolida de nossas

mentes. Átomos de oxigênio que penetraram acidentalmente no reator onde, em 1936, os ingleses

Fawcetl, Gibson e Perrine "espremeram" etileno a 2400 atm, deram origem aos primeiros gramas de

polietileno produzidos e, da mesma forma, uma mistura de água oxigenada, água e seus elementos

explodiu violentamente em decorrência da passagem de um fumante nas vizinhanças de um

laboratório de pesquisa do MIT. O mesmo poderia ter acontecido se a mistura estivesse escoando

por uma tubulação. Tais fatos dificilmente podem ser antecipados, principalmente por decorrerem

de pequenas causas, e constituem verdadeiras pedras no nosso caminho. Não tão dramáticos, mas

igualmente imprevisíveis, são a vaporização acidental incontrolável de líquidos criogênicos ou a

ação catalítica de traços de contaminantes que acarretam enormes alterações das propriedades de

muitos fluidos industriais. Certa feita um navio poderia ter explodido no porto de Santos, em

virtude de um bloqueio proibido feito por descuido numa linha de descarregamento de gás

liquefeito de petróleo. A sorte é que os erros sempre vêm aos pares e a válvula de bloqueio também

falhou e acabou funcionando como válvula de alívio, evitando a catástrofe.

Fatos como este ilustram a necessidade do maior aprofundamento possível do engenheiro em suas

avaliações.

Em certas situações o fluido em escoamento pode condensar parcialmente, entrar em ebulição ou

emulsificar de modo indesejável e toda uma instalação bem estudada começa a funcionar mal se as

previsões de projeto não forem confirmadas. Nem sempre é possível encontrar uma solução

adequada para o problema, mas com certeza o profissional mal preparado estará mais longe de ter

êxito.

Fonte: Livro - Fluidos na Indústria de Reynaldo Gomide

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UNIDADE 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS DOS FENÔMENOS DE TRANSPORTES

1.1- Dimensões, unidades e sistemas de unidades

a) Dimensões:

a.1- Comprimento (L)

a.2- Massa (M)

a.3- Tempo (T)

a.4- Temperatura (θ)

a.5- Força (F)

b) Unidades:

b.1- Comprimento (m, cm, ft, in,...)

b.2- Massa (Kg, g, lb,...)

b.3- Tempo (h, min, s,...)

b.4- Temperatura (ºC, ºF, K,...)

b.5- Força (N, lbf,...)

c) Conversões:

TABELA DE CONVERSÃO

Ex1. 200in3/dia � cm3/min

Ex2. 2 poise � lb/ft.s

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d) Sistemas de unidades:

- Dimensões básicas ou primárias

- Dimensões secundárias

3 Sistemas : MLT, FLT e MFLT

� Sistema Absoluto MLT

� F é definida a partir da 2º Lei de Newton, tendo como grandezas primárias M, L e T

a) Sistema Métrico

� CGS � F em dina (g.cm/s2)

� MKS � Sistema internacional � F em N (Kg.m/s2) � θ em Kelvin

b) Sistema Inglês

� lbm, ft, s � F em poundal (lb.ft/s2)

� Sistema métrico inglês FLT

� F passa a ser uma grandeza primária � ML/T2

� M passa a ser uma grandeza secundária

slugsft

lbfm

a

Fm ==∴=

2/

� Sistema de engenharia inglesa MFLT

� Passo a ter 4 unidades primárias M, L, F e T.

� Para o sistema se tornar compatível com lbm e lbf devemos determinar gc (constante

com unidades).

2.

.2,32

slbf

ftlbmgc =

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e) Princípio da homogeneidade dimensional:

A equação para ser consistente precisa ter as mesmas unidades dos dois lados da igualdade.

Ex1: Equação de Van der Waals ( ) RTbVV

aP =−

+2

Ex2: A equação ao lado é dimensionalmente homogênea ( )( ) ( )

−−−

= 322 21

4tt

yhyh

Rd

EyF

ο

em que:

E = módulo de Young

σ = coeficiente de Poisson

d, y, h = distância

R = razão de distâncias

F = força

Qual a dimensão da variável t?

Abreviaturas inglesa mais utilizadas

cfm = ft3/min

cfs = ft3/s

gpm = gal/min

psi = lbf/in2

psf = lbf/ft2

fps = ft/s

rpm = rotações por minuto

rps = rotações por segundo

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Exercícios:

1) Qual a dimensão do coeficiente de transferência de calor (h) definido pela expressão

θ∆= hAq onde q é a taca de trasferência de calor por convecção dada em Watts, A é a área

e∆θ é a variação de temperatura.

2) Uma equação simplificada para a transmissão de calor em uma tubulação é 7,0

3,0

1,0D

Vh = ,

onde h é o coeficiente de trasferência de calor (BTU/h.ft2ºF), V é a velocidade (ft/s) e D é o

diâmetro da tubulação (ft). Se h deve ser expresso em (W/m2K), qual deveria ser a nova

constante no lugar de 0,1(mantendo a velocidade e o diâmetro nas mesmas unidades).

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1.2- Caracterização dinâmica dos sólidos e fluidos

Sólidos � Se caracterizam pela resistência relativamente alta à deformação, isto é, resiste a

mudanças de forma.

Líquidos e gases � Não oferecem resistência a mudança de forma, principalmente no caso

de gases. Possuem, portanto, capacidade de deformação.

A distinção pode ser feita mediante seus comportamentos face às forças externas.

Tipos de forças Externas:

a) Forças Normais

b) Forças Tangenciais

� paralelas à superfície

Força Cisalhante � é aquela que promove deformação, sendo portanto paralela à superfície.

Sólido

FN

Incompressível

FN

Incompressível

Compressível

Líquido

Sólido

Fcis

Líquido

Fcis

α * Possui uma resistência finita à Fcis

t0 t1 t2

* O líquido apresenta contínua deformação por menor que seja a Fcis aplicada * Se deformam continuamente

t0 < t1 < t2

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b.1) Sólido � Verifica-se que a deformação provocada medida pelo ângulo α, é

proporcional a Fcis, que produz deformação, isto é válido dentro dos

limites de elasticidade dos sólidos.

Hook) de (Lei αcFcis =

“Nos domínios das deformações elásticas, as deformações produzidas são

proporcionais às forças que as produzem.”

αα G =Τ∴==ΤA

C

A

Fcis

onde T é a tensão de Cisalhamento G é o módulo de rigidez (depende do material �

dá a idéia da resistência interna à deformação do sólido)

Ex. Determine a razão entre os ângulos de deformação do aço e do alumínio para um

ensaio com a mesma tensão.

Dados: Gaço = 40 x 106 lbf/in2

Galum = 10 x 106 lbf/in2

b.2) Fluidos � As deformações produzidas num fluido são função de uma taxa de

deformação (dα / dt).

=Τdt

dfb

α. onde b é uma constante de proporcionalidade

Ex. Fluido Newtoniano “São aqueles fluidos no qual a taxa de deformação é

diretamente proporcional à tensão de cisalhamento”.

mel e água

Fcis

α

x

y y = 0 vx = 0 y = y vx = vplaca

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Fcis = constante

Tcis = constante

águaágua

melmel dt

db

dt

db

=

αα

b � mede a resistência que um fluido oferece às forças cisalhantes, ou seja, o atrito

que as partícula constituintes dos fluido exercem entre si ao deslizarem umas sobre

as outras no processo de escoamento. Essa propriedade é denominada viscosidade

dinâmica de um fluido (µ).

águaágua

melmel

b

b

µµ

==

águamel µµ > então águamel dt

d

dt

d

<

αα

1.3- Hipótese do Contínuo

O comportamento dos fluidos é explicado por sua estrutura molecular. Os fluidos são compostos

por moléculas mantidas coesas pela atração molecular, o que permite mobilidade das moléculas,

umas em relação às outras, em maior ou menor grau, dependendo de sua característica. No entanto,

essa mesma estrutura molecular demonstra uma matéria descontínua, isto é, constituída por

moléculas e espaços vazios entre elas. Como exemplo da descontinuidade e dos problemas que ela

pode causar, podemos usar o conceito de massa específica ρ, definida como a relação entre massa e

volume da substância. Calculando-se a massa específica de um volume de gás, obtém-se um valor

T

dα / dt

mel

água

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ρgás, e se o volume é dividido pela metade, a massa também é reduzida pela metade, mantendo o

valor ρgás constante. Se o volume continua a ser dividido, ele vai chegar a um valor no qual as

distâncias lineares são da ordem do caminho médio percorrido pelas moléculas. Nessa situação, a

quantidade de moléculas dentro do volume passa a ser variável, deixando de manter o valor ρgás. Na

figura abaixo ilustra esse comportamento. Tal situação traz uma dificuldade para a aplicação das

ferramentas matemáticas, principalmente no cálculo diferencial. Por exemplo, a derivada de uma

função só pode ser calculada em um ponto se a função é contínua naquele ponto.

Para contornar esta situação, foi formulada a Hipótese do Contínuo, que admite a matéria contínua

nas condições normais de Engenharia. Com o uso desta hipótese é permitida a utilização das

ferramentas do cálculo diferencial e integras na análise dos sistemas fluidos. Portanto, o cálculo da

massa específica de um fluido pode ser feito em um ponto qualquer do fluido, para volumes

elementares, pelo conceito de derivada.

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1.4- Propriedades físicas dos fluidos:

a) Densidade ou massa específica (ρ)

[ ] 30 lim −

→∆ =∴∆∆=∴= ML

V

m

V

mV ρρρ

Sólidos � Perry

Líquidos � ρ = f (T) � Perry

Gases � ρ = f (T, P)

Gases Ideais � RT

PM=ρ

Mistura de gases Ideais � ( )∑=

=n

iii

RT

PMx

1

ρ onde xi é a fração molar do componente

Gases Reais � ( )TrPr,f Zonde ==ZRT

PMρ

b) Densidade relativa

[ ] ensionalalABOHB

B

AlAB dim1 geralmente Re

2Re ==∴== ρρρ

ρρρ

c) Peso específico

[ ] 22 −−=∴=== TMLgV

mg

V

Peso γργ

d) Volume específico

ρ1=v

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e) Viscosidade dinâmica

[ ]LT

M=µ 1poise 100cp .

=→=scm

gpoise

� Lei de Newton da viscosidade � “A tensão cisalhante que atua numa interface

tangente à direção do escoamento é proporcional ao gradiente da velocidade na direção

normal à superfície”.

tv.L t

∆∆=∆∴∆∆=∆ L

v y.L y

∆=∆∴∆∆= αα tg

Ltg

αα ∆= tgoaproximand

então:

dtdvdyd

tvy

tvytg

..

..

..

=∆∆=∆∆∆∆=∆

ααα

chegamos a: dy

dv

dt

d =α gradiente de velocidade na direção y

aplicando na equação p/ tensão cisalhante Tcis:

=Τ⇒

=Τdy

dv

dt

dciscis . . µαµ

validade: fluido newtoniano, distancia pequena entre as placas e pequenas deformações

viscosidade : p/ líquidos: T ↑ µ ↓ p/ gás: T ↑ µ ↑

Fcis

α

x

y y = 0 vx = 0 y = y vx = vplaca

N

M M’

∆y

∆L

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f) Viscosidade cinemática (ν)

[ ]T

L2

== νρµν

Stokes = cm2/s = poise/gcm3

Centistokes = 10-2 cm2/s = cp/gcm3

Exercícios:

1) Uma placa infinita move-se sobre uma segunda placa, havendo entre elas uma camada de

líquido, como mostrado. Para uma pequena altura de camada, d, supomos uma distribuição

linear de velocidade no líquido. A viscosidade do líquido é 0,65cp e sua densidade relativa

é 0,88. Calcule:

a) A viscosidade absoluta em lbf.s/ft2

b) A viscosidade cinemática em m2/s

c) A tensão de cisalhamento da placa superior em lbf/ft2 e em Pa.

v = 0,3 cm/s

x

y d = 0,3mm

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20

2) Se o espaço entre 2 placas planas paralelas é lubrificado com água à 50ºC, calcular a força

necessária para manter a placa superior com uma velocidade de 10ft/s, supondo a placa

inferior parada. Sabe-se que as placas apresentam A = 10ft2 e a distância entre elas é d =

0,025in. Supor o perfil de velocidade linear e a viscosidade da água a temperatura indicada

sendo de aproximadamente 2,74 x 10-5 lbf.s/ft2.

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21

1.5- Tipos de fluidos:

� Fluido ideal � µ = 0

� Fluido real

� Fluido newtoniano cte com . =

=Τ µµ

dy

dv

� Fluido não newtoniano � não obedecem a lei de Newton ( suspensões

coloidais, emulsões, etc.)

Fluidos Não Newtonianos

Fluidos nos quais a tensão de cisalhamento na é diretamente proporcional à taxa de

deformação. São classificados como tendo comportamento dependente ou independente do

tempo.

Muitas equações empíricas tem sido propostas para modelar as relações entre a tensão

cisalhante e o gradiente de velocidade para fluidos com comportamento independente do

tempo. Um destes modelos, muito usado em engenharia é:

n

cis dy

dvk

=Τ . onde n é o índice de comportamento do escoamento e k é o índice de consistência

Obs. essa equação se reduz a lei de Newton para viscosidade para n = 1 com k = µ. Para

assegurar que a tesão de cisalhamento tenha o mesmo sinal do gradiente de velocidade

podemos reescrever a equação como:

dy

dv

dy

dvk

n

cis η==Τ−1

dy

dv.

onde o termo 1−

=n

dy

dvkη é chamada viscosidade aparente.

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22

⇒ Fluidos nos quais a viscosidade aparente diminui com taxas de deformação crescente

(n < 1) são chamados pseudoplásticos (polímeros, suspensões coloidais, polpa de

papel em água, etc.).

⇒ Fluidos nos quais a viscosidade aparente aumenta com taxas de deformação

crescente (n > 1) são chamados dilatantes (suspensões de amido, suspensões de

areia, etc.).

⇒ Fluidos que se comportam como um sólido até que uma tensão limite (Ty) seja

excedida são denominados plásticos de Binghan, e apresentam o modelo:

+Τ=Τ

dy

dvycis .µ (suspensão de argila, lama de perfuração, pasta de dente, etc.)

Existem também os fluidos não newtonianos dependentes do tempo:

⇒ Fluidos tixotrópicos � mostram um decréscimo na viscosidade aparente com o

tempo sob uma tensão tangencial constante (tintas, fluidos de perfuração, asfaltos).

⇒ Fluidos reopéticos � mostram um aumento na viscosidade aparente com o tempo

sob uma tensão tangencial constante (suspensão de bentonita, suspensão de gesso).

⇒ Fluidos viscoelásticos � retornam parcialmente à sua forma original quando a

tensão aplicada é liberada.

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23

1.6- Propriedades de transportes moleculares dos fluidos:

⇒ Transporte de quantidade de movimento

⇒ Transporte de calor

⇒ Transporte de massa

• A taxa de transporte é proporcional ao gradiente da grandeza que provoca esta

transferência e a constante de proporcionalidade é uma propriedade física da

substância, também chamada propriedade de transporte.

a) Transferência de quantidade de movimento

y

v

dy

dv

∆∆==Τ µµ

y

v

y

v xx µµ −=Τ⇒

−−=Τ

0

0

vdy

dvxxy

→→∇−=Τ⇒−=Τ µµ

Calor � Tmaior �Tmenor Massa � Conc.maior � Conc.menor Q. Movimento � Vel. maior � Vel. menor

x

y

Fcis

y = 0 v = vx y = y v = 0 {

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24

b) Transferência de Calor

Tkqdy

dTkqy

→→∇−=⇒−= equação de Fourrier onde k é a condutividade térmica

c) Transferência de Massa

AAByA

ABy CDYdy

dCDY

→→∇−=⇒−= onde DAB é o coeficiente de difusão de A para B

1.7- Classificação do movimento dos fluidos:

a) Tipos de escoamento � uidimensional � vx= vx(y)

� bidimensional � vx= vx(x,y) e vy= vy(x,y)

� tridimensional � vx= vx(x,y,z) , vy= vy(x,y,z) e vz= vz(x,y,z)

• escoamento transiente � vx= vx(distância, tempo)

• escoamento permanente � vx= vx(distância)

Caso particular: escoamento estabelecido

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25

b) Escoamento compressível e incompressível

• Compressível � ρ = ρ (x,y,z,t) � gases

• Incompressível � ρ = cte � líquidos

Ma < 0,3 � escoamento incompressível onde Ma é o chamado nº de Mach

fluido no som do velocidade

fluido do velocidade==c

vMa

c) Escoamento interno e externo

• Escoamento interno � limitado por fronteiras sólidas (dutos)

• Escoamento externo � superfície livre no campo de escoamento (escoamento em

placas planas).

d) Escoamento ideal

Fluido ideal � µ = 0 � campo de velocidade uniforme

e) Escoamento laminar ou turbulento

• Laminar � o fluido escoa como se constituído de laminas ou camadas que deslizam umas

sobre as outras não havendo misturas físicas entre as camadas.

• Turbulento � há mistura macroscópica de porções de fluido que se movem de forma

completamente aleatória.

t

vz

vz

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26

onde vz é a velocidade média temporal.

Re = número de Reynolds � µ

ρµ

ρ DvLv == Reou Re onde Re é adimensional

o turbulentregime2300Re

transiçãode 2300Re2000

min 2000Re

→≥→<<

→≤regime

arlaregime

1.8- Balanço de forças (grupos adimensionais):

∑=⇒= FF imaF onde Fi são as forças de inércia.

CVPi FFFFF ++==∑ onde Fp são as forças de pressão, Fv são as forças viscosas e Fc são

as forças de campo.

FrRuF

F

F

F

F

F

i

C

i

V

i

P 1

Re

111 1 ++=⇒++= onde Re é o número de Reynolds, Ru é o

número de Ruark e Fr é o número de Froud.

vz

vz

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27

Exercício:

A distribuição de velocidade para o escoamento laminar entre placas é dada por: 2

max

21

−=h

y

u

u

onde h é a distância entre as duas placas, sendo a origem colocada na metade da distância entre elas.

Considere o escoamento de água a 15ºC com velocidade máxima de 0,05m/s e h=5mm. Calcule a

força cisalhante sobre uma seção de 0,3m2 da placa inferior.

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28

1ª Lista de Exercícios de Mecânica dos Fluidos

1. Se 6 m3 de óleo pesam 4800 Kg, calcular seu peso específico γ, sua massa específica ρ e sua

densidade relativa.

2. A 32ºC e pressão de 2,1Kg/cm2, o volume específico de um certo gás era 0,7m3/Kg.

Determinar a constante específica R do gás e a massa específica ρ.

3. Da “International Critical Tables”, a viscosidade da água a 20º é 0,01008 poise. Calcule a

viscosidade absoluta em lbf.s/ft2 e o valor da viscosidade cinemática em ft2/s considerando

que a densidade a 20ºC é 0,998 g/cm3.

4. Supondo que a viscosidade cinemática de um fluido é de 0,0169 ft2/s considerando que sua

densidade a 20ºC é 0,964 g/cm3. Calcule sua viscosidade absoluta em centipoise.

5. Trace e discuta as características de cisalhamento dos fluidos descritos na figura abaixo:

6. Um fluido representado pelas figura abaixo tem uma viscosidade absoluta de 0,001 lbf.s/ft2 e

densidade de 0,913g/cm3. Calcular o gradiente de velocidade e a intensidade da tensão

cisalhante na base e nos pontos a 1”, 2” e 3” da base, considerando:

τ (tensão cisalhante)

dv/dy (gradiente de velocidade)

1

2 3

4

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29

a) a sua distribuição de velocidade como sendo linear (1) dada pela equação yV 15= .

b) a distribuição de velocidade como sendo parabólica (2) dada pela equação

2)3(545 yV −−= .

7. A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é

dada por:

2

max

21

−=h

y

u

u

onde h é a distância entre as duas placas; a origem é colocada na linha mediana entre as

placas. Considere o escoamento de água a 15ºC, com velocidade máxima de 0,05m/s e h =

0,5mm. Calcule a tensão cisalhante na placa superior.

8. Um recipiente pesa 2,9lbf quando vazio. Quando cheio com água a 90ºF, a massa do

recipiente e seu conteúdo é de 1,95 slug. Determine o peso da água no recipiente e seu

volume em pés cúbicos.

9. A força de arraste que atua numa partícula esférica em movimento num fluido é dada por:

2

22 vRCF LD ρπ

=

onde : ρL = densidade do fluido

D = diâmetro da partícula

v = velocidade da partícula

CD = coeficiente de arraste

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30

Pergunta-se:

a) Qual a dimensão do fator CD ?

b) Para certas condições de escoamento, CD depende no nº de Reynolds da seguinte forma:

Re

24=DC onde L

LvD

µρ

=Re e µL é a viscosidade do fluido.

Qual será a força em lbf que age sobre a partícula quando: R = 0,8mm , µL = 18,6 x 10-4 lb/ft.s,

v = 8,4cm/min e ρL = 58lb/ft3

10. No escoamento de fluidos, um parâmetro freqüentemente utilizado é o número de Reynolds

como foi definido no exercício anterior.

a) Mostre que o nº de Reynolds é adimensional

b) Calcule o seu valor numérico para as seguintes condições: D = 2in , ρL = 62lb/ft3 ,

v = 4ft/s e µL = 1 cP

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31

UNIDADE II – ESTÁTICA DOS FLUIDOS

2.1- Equações básicas de estáticas dos fluidos

Quando um fluido está em repouso ou em movimento uniforme, as forças de cisalhamento

não se fazem presentes e o balanço das forças aplicadas a um volume elementar de fluidos

considera as forças de pressão e campo, resultando na equação fundamental da hidrostática.

0=+∇− gPrρ � gP

rρ=∇ (eq. vetorial, que equivale a 3 equações algébricas)

xdireção 0 →=+∂∂− xg

x

P ρ

y direção 0 →=+∂∂− yg

y

P ρ

z direção 0 →=+∂∂− zg

z

P ρ

Realizando 3 considerações: 1- Fluido Estático

2- Gravidade como única força de campo

3- O eixo z é vertical para cima

então: 0=xg ; 0=yg ; gg z −= ou ( )zyx gg −+= 00r

0=∂∂

x

P; 0=

∂∂

y

P e g

z

P ρ−=∂∂

chegaremos a: gz

P ρ−=∂∂

• Só pode ser aplicada quando as restrições adotadas forem razoáveis.

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32

• Os valores de pressão devem ser estabelecidos em relação a um nível de referência:

• Se o nível de referência for o vácuo, as pressões são denominadas absolutas.

• Se o nível de referência for a pressão atmosférica, são denominadas manométricas.

P manométrica = P absoluta – P atmosférica

• Em qualquer cálculo envolvendo gases ideais ou equações de estado devem ser usadas as

pressões absolutas.

2.2 – Atmosfera Padrão

É muito complexo determinarmos valores específicos para as condições de uma chamada

atmosfera padrão, sendo assim, devemos usar em nossos cálculos valores fornecidos tais como:

vácuo

nível de pressão

Patm P manométrica

P absoluta

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33

2.3 – Variação da pressão em um fluido estático

gz

P ρ−=∂∂

( )0

0 0

0 zzgPPgdzdpP

P

z

z

−−=−⇒−=∫ ∫ ρρ

dado que hzz =−0 então ghPP ρ=− 0

• A pressão hidrostática aumenta linearmente com a profundidade à razão ρg, como podemos

observar na equação acima. Um fato importante é que esta conclusão não envolve qualquer

hipótese a respeito da geometria da parede lateral. Em outras palavras, o tanque poderá ter

qualquer forma, mas o perfil de pressão sobre a parede lateral é o mesmo em todos os casos.

g

z

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34

• A equação indica também que a diferença de pressão entre dois pontos num fluido estático

pode ser determinada medindo-se a diferença entre eles. O dispositivo usado com este

propósito é denominado manômetro.

• A pressão atmosférica pode ser obtida por um barômetro, no qual a altura de uma coluna de

mercúrio é medida.

Exemplo 1:

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35

Exemplo 2:

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36

2.4 – Medidores de pressão

a) Manômetro de tubo em U

'BB PP =

ghPP CB ρ=−

se PatmPC =

ghPatmPB ρ=−

PatmghPB += ρ

Tipos:

a.1 – Manômetro do tipo tubo em U aberto

'AA PP =

hPPA γ=− 0

a.2 – Manômetro do tipo tubo em U fechado

'AA PP =

hPP HgVA γ=−

hP HgA γ=

Pressão manométrica (Psig)

Pressão absoluta (Psia)

Pressão manométrica (Psig)

0

Pressão absoluta (Psia)

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37

b) Barômetro

hPPatm HgV γ=−

hPatm Hgγ= serve para medir a pressão

atmosférica local.

1atm = 76cmHg = 14,7psi = 1,013x106 dina/cm2

c) Manômetro de Bourdon

• É o aparelho mais usado industrialmente (diversas aplicações)

• Como a pressão atmosférica influencia, mede-se uma pressão relativa

elPatmP Pr+=

0

Lida no equipamento

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38

2.5 Prensa hidráulica

'11

11 P

A

FP ==

2

22 A

FP =

hPP γ=− 21

hPP γ+= 21 � hA

F

A

F γ+=2

2

1

1 se h ≈ 0

2

2

1

1

A

F

A

F = Uma pequena Força F1 pode deslocar ou sustentar uma força bem maior, dependendo

da relação entre as áreas.

2.6 – Algumas observações

a) Tanque enterrado

( )ijji ZZPP −=− γ

1CZP

ii =+

γ � Carga Piezométrica [L] = Carga de pressão + Carga de altura

2CgZP

ii =+

ρ � Energia Piezométrica [L2 T-2] = Energia de pressão + Energia potencial

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39

b) Piezômetro

11 hPatmP γ=−

22 hPatmP γ=− ?31 =− PP

33 γ=− PatmP ( ) hPhhPP ∆=∆→−=− γγ 3131

Exemplos:

1) Calcule a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 (P1 – P2).

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40

2) Calcule a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 (P1 – P2).

3) Determine a relação entre as alturas h2 e h1.

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41

4) Um tanque fechado é cheio parcialmente com mercúrio. Se a pressão do ar comprimido na

superfície é equivalente a de uma coluna de CCl4 de 8 metros, determinar a pressão de Hg

num plano situado a 15ft abaixo da superfície livre.

5) Calcular a pressão no fundo do tanque abaixo:

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2ª Lista de Exercícios de Mecânica dos Fluidos

1. Uma coluna de destilação trabalha sob um vácuo de 30 cmHg. Qual a pressão absoluta no seu interior? 2. O êmbolo de um elevador hidráulico tem um diâmetro de 1 ft . Qual a pressão expressa em Kgf/cm2, necessária para elevar um peso de 1000 Kgf ? 3. Que altura atinge o óleo no ramo vertical se a pressão do ar no recipiente for de 20 psia? Qual altura atingiria se a pressão fosse de 20 psig (Figura 1)? 4. Que altura atinge a água se a pressão do ar for de 15 psig (Figura 2) ? Figura 1 Figura 2 5. Qual a pressão a que está submetido o gás retido no reservatório da Figura 3? Exprimir essa pressão em psia e psig. 6. No sistema ilustrado na Figura 4 calcular a diferença de nível entre o óleo nos dois tanques. Figura 3 Figura 4

Óleo ρρρρ = 0,85

ar h

Óleo ρρρρ = 0,85

água

ar h

3’

ρρρρ = 0,85 ar

ρρρρ = 1,0

ρρρρ = 13,6

45º

10 cm 10 cm

10 cm

100 cm

Óleo ρρρρ = 0,8

Óleo ρρρρ = 0,8

20’

h

20’’

ρρρρ = 1,6

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7. Para o sistema indicado na Figura 5, determine a pressão absoluta (psia) e a manométrica (psig) do ar retido no reservatório . A pressão atmosférica local vale 29,75 inHg.

Figura 5 8. No sistema ilustrado na Figura 6 calcular a altura de Hg no barômetro. Figura 6 9. Uma força de 1000 lbf é exercida na alavanca AB. A ponta B da alavanca é conectada a uma barra que aciona o pistão de 2” de diâmetro. Qual a força P que deve ser exercida no pistão maior de 10” de diâmetro para que haja equilíbrio (Figura 7)? Figura 7

água

23’’

ar

água

30’’

35’’ 28’’

Hg ρρρρ = 13,6

ar 45 psia

30 cm

180 cm

ar

Hg

h

8”

4”

1000 lbf

A

B

P

2”

10”

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44

10. Para a figura abaixo, determine a altura h. 11. O recipiente da figura contém Água, Óleo e Ar. Calcular as pressões absolutas e manométricas em (Kgf / cm2) nos pontos A,B,C,D e E. Dados: ρóleo = 0,8 g/cm3 ρágua = 1 g/cm3 h = 30cm Patm = 14,7 psi

2,86 psi

Óleo ρρρρ = 0,80

água

ar ar

8’ 12’

h

ρρρρ = 1,68

9” de Hg

h h

2h

3h água

ar ar

óleo

B

A C

D

E

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UNIDADE III – EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE

1- Introdução

• Lei da Conservação da Massa � Equação da Continuidade (Balanço de Massa)

• 2º Lei do Movimento de Newton � Equação do Movimento (Balanço de

Quantidade de Movimento)

• 3º Lei da Termodinâmica � Equação da Energia (Balanço de Energia)

Servem para todas as substâncias.

2- Equação da Continuidade

2.1- Balanço de Quantidade Conservativa

Genericamente

=

+

sistema no

acumulada

quantidade

sistema

no gerada

quantidade

sistema

no sai que

quantidade

sistema

no entra que

quantidade

÷ t = taxa

=

+

sistema no

acumulada

taxa

sistema

no gerada

taxa

sistema

no sai que

taxa

sistema

no entra que

taxa

• A equação da continuidade descreve a variação da massa de um fluido em função da

posição e do tempo.

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2.2- Forma Integral da Equação da Continuidade

• Considere um fluido em escoamento

• Elemento de volume fixo � volume de controle (V), com superfície S (superfície

de controle).

θ = 0º � cos θ = 1 � v. n = /v/

θ = 180º � cos θ = -1 � v. n = - /v/

=

+

sistema no

acumulada

taxa

sistema

no gerada

taxa

sistema

no sai que

taxa

sistema

no entra que

taxa

Analisando os termos 1 e 2 :

Para um pequeno elemento de área dS a taxa é dada por :

ρ v dS cos θ = ρ dS /v/ /n/ cos θ

que pode ser escrito por (produto escalar)

ρ (v.n) dS

integrando no total da Superfície de controle chegaremos a: (1) – (2)

( )dSnvS∫∫− .ρ

v

dS

v

n θ

0 1 2 4 3

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O termo de acúmulo (4) pode ser expresso a partir de:

Massa contida no volume de controle � ρ dV

Taxa de massa contida no volume de controle � ( )dVt

ρ∂∂

Chegaremos a: dvtV

∫∫∫ ∂∂ρ

A equação geral será:

( ) dVt

dSnvVS∫∫∫∫∫ ∂

∂=− ρρ .

( ) 0. =∂∂+ ∫∫∫∫∫ dV

tdSnv

VS

ρρ Forma integral da eq. da continuidade

Supondo: fluido incompressível � 0=∂∂

t

ρ pois ρ = constante

Chegaremos a: ( ) 0. =∫∫ dSnvS

ρ � ( ) 0. =∫∫ dSnvS

Ex. Um fluido incompressível de densidade ρ, escoa através de um duto. Sabendo-se que

a velocidade média do escoamento na seção 1 é V1 e que as áreas das seções 1 e 2 são

respectivamente S1 e S2, determine V2.

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2.3- Forma diferencial da Equação da Continuidade

Balanço Microscópico

=

+

sistema no

acumulada

quantidade

sistema

no gerada

quantidade

sistema

no sai que

quantidade

sistema

no entra que

quantidade

[ ] [ ] [ ] zyxt

yxvvzyvvzxvvzzzzzxxxxsyyyyy ∆∆∆

∂∂=∆∆−+∆∆−+∆∆−

∆+∆+∆+

ρρρρρρρ

dividindo por (∆x∆y∆z):

tz

vv

x

vv

y

vvzzzzzxxxxsyyyyy

∂∂=

∆−

+∆

−+

−∆+∆+∆+ ρρρρρρρ

fazendo:

0lim

0lim

0lim

→∆→∆→∆

z

y

x

( )t

vdivz

v

x

v

y

vzxy

∂∂=−=

∂∂−

∂∂−

∂∂

− ρρρρρ

então: ( ) 0=+∂∂

vdivt

ρρ forma diferencial da Eq. da Continuidade

0

Page 49: Apostila - Mecânica Dos Fluidos II

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Tabela das formas particulares da Equação da Continuidade

Tipo de Escoamento Forma Integral Forma Diferencial

Transiente

Compressível

v = v (dist,tempo)

ρ = ρ (dist, tempo)

( ) 0. =∂∂+ ∫∫∫∫∫ dV

tdSnv

VS

ρρ ( ) 0=+∂∂

vdivt

ρρ

Permanente

Incompressível

0=∂∂

t

ρ

ρ = ρ (dist)

( ) 0. =∫∫ dSnvS

ρ ( ) 0=vdiv ρ

Incompressível

ρ = constante

0=∂∂

t

ρ

( ) 0. =∫∫ dSnvS

( ) 0=vdiv

Ex.: Considere o escoamento permanente de água através do dispositivo mostrado na figura.

As áreas são A1 = 0,2 ft2, A2 = 0,5 ft2 e A3 = A4 = 0,4 ft2. A vazão em massa através da seção

3 é dada como 3,88 slug/s. A vazão em volume entrando pela seção 4 é de 1 ft3/s e V1=10ft/s.

Determine a velocidade do escoamento na seção 2.

1

2

3

4

30º

60º

Page 50: Apostila - Mecânica Dos Fluidos II

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Ex.: Na figura abaixo, se a massa do volume de controle não está mudando, encontre a

velocidade média V3, considerando que existe um acumulo de 3 cm de altura de líquido por

minuto.

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3ª Lista de Exercícios de Mecânica dos Fluidos

1. Qual dos escoamentos abaixo representados, pelos seus campos de velocidades, satisfaz os requisitos de escoamento estabelecidos de fluido incompressível a) Vx = x²y Vy = y²x b) Vx = -x²y Vy = y²x c) Vx = x² Vy = x + z Vz = -2xz d) Vx = x(cos y)² Vy = -2x sen y e) Vx = xy²t Vy = x³ - y² t / 2 2. Para o escoamento de um fluido incompressível a componente na direção x é dada por

byaxVx += 2 . Supondo escoamento bidimensional, achar a componente Vy sabendo-se que Vy = 0

para y = 0. 3. Dada a equação da continuidade na sua forma integral:

0dS .. =+∂∂

∫∫∫∫∫SV

nvdVt

ρρ

a) Dar o significado físico de cada termo da equação; b) Aplica-la para o escoamento de um fluido incompressível através do duto abaixo ilustrado.

1

4

5

3 2

6

Page 52: Apostila - Mecânica Dos Fluidos II

FACULDADE ARACRUZ NOTAS DE AULA DE FENÔMENOS DE TRANSPORTES I

PROF. MARCOS HALASZ – 2011/1 4. Para o escoamento laminar de um fluido newtoniano em um tubo de secção circular (raio R), determinar a vazão de escoamento e a relação entre a velocidade média e máxima.

Vz = Vzmax

−2

1R

r

5. Para o sistema de aquecimento de ar, indicado na figura abaixo são conhecidas as seguintes condições de trabalho: P1 = P2 = 0,6 atm (manométrica) P3 = 0,56 atm (manométrica) T1 = T2 = 20ºC T3 = 60ºC D1 = 4”, D2 = 4,5”, D3 = 6” R = 0,082 atm.L/Kmol M = 29 Sabe-se que a vazão volumétrica no tubo 2 é 10% superior a do tubo 1 e que a vazão medida à saída do aquecedor é de 364 L/s. Pede-se: as velocidades médias v1, v2 e v3 e as vazões nos tubos 1 e 2 6. Um fluido escoa em um tubo de secção circular e as velocidades foram medidas em diversos pontos no interior do tubo conforme indica a figura abaixo. Calcular a vazão que escoa pelo duto. Velocidades em m/s: V1 = 0,25 V2 = 0,20 V3 = 0,28 V4 = 0,22 V5 = 0,63 V6 = 0,70 V7 = 0,60 V8 = 0,82 7. Água é alimentada num tubo cilíndrico de 8” de diâmetro, vazão de 4ft³/s. A parede lateral do tubo é de tal forma porosa, que o perfil de velocidade do fluido que escoa através da parede é parabólico (Vr = az²). Sabendo-se que o comprimento da parede porosa é de 1 ft, calcular a vazão de água à saída do tubo.

.1

.2

.3

.4

.5 .6

.7

.8

1” 1” 1”

1 z v

1 ft/s

Page 53: Apostila - Mecânica Dos Fluidos II

FACULDADE ARACRUZ NOTAS DE AULA DE FENÔMENOS DE TRANSPORTES I

PROF. MARCOS HALASZ – 2011/1 8. Um tanque de secção 1m² contém um volume de água, que ocupa inicialmente 1,2m de altura no tanque. Num dado instante a válvula de saída é aberta e a vazão instantânea que deixa o tanque é dada por:

Q = 150 h Q(L/h) e h (altura de líquido no tanque, num dado instante, em metros) Determine a relação funcional entre h e o tempo, determine o tempo necessário para escoar 90% do volume inicialmente presente no tanque.

Page 54: Apostila - Mecânica Dos Fluidos II

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UNIDADE IV – CINEMÁTICA E DINÂMICA DOS FLUIDOS IDEAIS

1- Cinemática dos fluidos (noções fundamentais)

1.1 - Descrição do movimento dos fluidos

a) Método de Lagrange

� Acompanha o movimento de cada partícula em escoamento em função do tempo,

tendo como parâmetro inicial a sua posição em um instante arbitrário.

b) Método de Euler

� Fixa-se uma determinada posição e observa-se o movimento dos fluidos que

passam por esta posição.

x = 0 x1 x2 t = 0 t1 t2

x = x (t) y = y (t) z = z (t)

v = v ( x (t), y (t), z (t), t)

v = v ( x, y, z, t)

x = x1

x y fixos z

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1.2 – Derivadas em relação ao tempo – Derivadas Substantivas

a) Derivada Parcial � t

C

∂∂

b) Derivada Total � dt

dC

c) Derivada Substantiva �Dt

DC

Ex 1. z

Cv

y

Cv

x

Cv

t

C

Dt

DCzyx ∂

∂+∂∂+

∂∂+

∂∂= � Cv

t

C

Dt

DC ∇+∂∂=

Ex 2. z

vv

y

vv

x

vv

t

v

Dt

Dva zyx ∂

∂+∂∂+

∂∂+

∂∂== � vv

t

v

Dt

Dv ∇+∂∂=

Ex 3. z

vy

vx

vtDt

Dzyx ∂

∂+∂∂+

∂∂+

∂∂= ρρρρρ

� ρρρ ∇+∂∂= v

tDt

D

Equação da Continuidade � 0)( =+∂∂ ρρ

vdivt

0=∇+∇+∂∂

vvt

ρρρ

0=∇+ vDt

D ρρ

1.3 – Linhas de Corrente

� são tangentes ao vetor velocidade em cada ponto

� nunca se cruzam, são paralelas entre si e estão mais próximas umas das outras em regiões de

maior velocidade.

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2- Dinâmica dos fluidos ideais (equação do movimento para fluidos ideais)

2.1– Equação de Euler

FvFpFcFi ++= considerando o fluido ideal � 00 =⇒= Fvµ

FpFcFi += maFi =

V

Fp

V

Fc

V

Fi += Dt

Dv

V

m

V

Fi =

PgDt

Dv ∇−= ρρ Equação de Euler (1)

lll PdgddDt

Dv ∇−= ρρ (2)

2.2 - Equação de Bernoulli � forma integral da equação de Euler

Considere um fluido em escoamento permanente ao longo de uma linha de corrente:

0=∂∂t

v

vvz

vv

y

vv

x

vv

Dt

Dvzyx ∇=

∂∂+

∂∂+

∂∂=

kji dzdydxd ++=l

0

Page 57: Apostila - Mecânica Dos Fluidos II

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vdvdzz

vvdy

y

vvdx

x

vv

Dt

Dvd zyx =

∂∂+

∂∂+

∂∂=l

vdvDt

Dvd =l

gdzdzgdygdxggd zyx −=++=l

dPdzz

Pdy

y

Pdx

x

PPd =

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ l

Substituindo em (2)

dPgdzvdv −−= ρρ � chegaremos a � 0=++ dPgdzvdv ρρ (3)

Integrando:

� Supondo fluido incompressível : ρ é constante

∫ ∫ ∫ =++ 0dPgdzvdv ρρ

ctePgzv =++ ρρ2

2

dividindo por ρ

cteP

gzv =++

ρ2

2

Equação de Bernoulli para fluido Incompressível

entre 2 pontos

ρρ2

2

221

1

21

22

Pgz

vPgz

v ++=++

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Equação de Bernoulli em termos de carga (÷g)

γγ2

2

221

1

21

22

Pz

g

vPz

g

v ++=++

� Supondo fluido compressível ρ = ρ(P)

0=++ dPgdzvdv ρρ (÷ρ)

0=++ρ

dPgdzvdv

ctedP

gdzvdv =++ ∫∫∫ ρ Equação de Bernoulli para fluido compressível

2.3 – Aplicações para a equação de Bernoulli

a) Sifão e Cavitação

Cavitação � fenômeno que ocorre quando P2 é menor que a pressão vapor do líquido, e este líquido

entra em ebulição dentro do escoamento, provocando forte redução na eficiência do equipamento.

P2 < Pv (líquido em ebulição) � para evitar, considerar P2 ≥ Pv.

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b) Medidores de vazão:

b.1- Venturi

Parâmetros de projeto:

Geralmente

º75

º302524

2

1

12

1

−=−=

<<

θθ

DD

D

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Supor um manômetro em U acoplado

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Casos especiais:

• Venturi inclinado

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� Para fluidos compressíveis

( )Pρρ =

ctegzdPv =++ ∫ ρ2

2

então 02

2

1

2

=∆++∆∫ zg

dPv P

P ρ

supondo gás ideal

nRTPV = RT

PM=ρ RT

M

P=ρ

então 2

2

1

1

PP

ρρ =

Substituindo na equação considerando as seções 1 e 2:

( ) 0ln2 12

1

221

22 =−+

+−

zzgP

P

M

RTvv

( ) 0ln2 12

1

2

2

221

22 =−+

+−

zzgP

PPvv

ρ

Se o escoamento for horizontal � z2 = z1

0ln2 1

2

2

221

22 =

+−

P

PPvv

ρ

Equação da Continuidade para fluido compressível:

02211 =+− ∫∫∫∫ dSvdSvSS

ρρ � 222111 SvSv ρρ = � 11

2221 S

Svv

ρρ=

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Considerando área da seção circular � 4

21

1

DS

π= e 4

22

2

DS

π= então 2

2

1

2

1

=

D

D

S

S

Substituindo chegaremos a:

=

1

ln2

4

1

2

2

1

2

1

2

2

2

2

D

D

P

PP

v

ρρ

ρ

( )

==

1

ln2

44

2

1

2

1

2

2

222

2222

βρρ

ρπρρP

PP

DSvG onde

1

2

D

D=β

b.2- Medidores de Bocal e de orifício

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P/ fluidos reais (basta multiplicar a equação da vazão por K):

4

1

21

=

D

D

CK onde

ideal

real

vazão

vazãoC =

Para bocal:

5.01

5.0

Re

53,69975,0

D

Cβ−= onde

µρ11

1RevD

D = e

=

1

2

D

Dβ válido para

71

4 10Re10

75,05,0

<<<<

D

β

Para orifício

7,01

5,281,2

Re

71,911848,00321,05959,0

D

Cβββ +−+= ou Fig 6.19 (7º Ed. Perry)

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b.3 – Tubo de Pitot

O ponto 2 representa o ponto de estagnação onde considera-se a velocidade do fluido = 0

� Serve para determinar o perfil de velocidade ou a velocidade em um ponto desejado

e, indiretamente a vazão através de integração numérica.

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Problema:

Água escoa pelo equipamento mostrado na figura abaixo. Considerando o escoamento ideal,

responda:

a) Qual a vazão de escoamento da água?

b) Qual o diâmetro limite da seção estrangulada para que não ocorra vaporização do líquido

sabendo-se que a pressão vapor da água nesta temperatura é de 3,53 x 103 N/m2?

c) Qual a pressão no ponto A?

d) Qual a pressão do fluido no ponto B?

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4ª Lista de Exercícios de Mecânica dos Fluidos

1) O Venturi apresenta na figura registra a deflexão de 20 cm de Hg . Determinar a vazão de água que escoa pela tubulação supondo desprezíveis as perdas de energia.

2) O venturi representado na figura deverá ser instalado num duto de ar, que permitirá a passagem máxima de 8000 m3/h de ar. Três fluidos manométricos disponíveis para o tubo e U seriam: água, mercúrio e tetracloreto de carbono. Qual dos três fluidos é o mais recomendável para que a leitura do operador seja a mais rápida e precisa?

Dados:33

333

/6,1 ,/ 6,13

/ 1 ,g/cm 10.08,1

4cmgcmg

cmg

CClHg

águaar

==

== −

ρρ

ρρ

Desprezar as perdas de energia; considerar fluido ideal em escoamento.

10” 7”

20 cm

60 cm 30 cm

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3) Determine a vazão de água que escoa pelo Venturi indicado na figura, considerando fluido ideal e desprezíveis as perdas de energia. Fluido manométrico mercúrio.

Dados:

/ 6,13

/ 1 3

3

cmg

cmg

Hg

água

=

=

ρ

ρ

4) O tubo de Pitot indicado na figura registra uma diferença de 9 cm de Hg no tubo em U .

Qual a velocidade da água no ponto de medida?

2”

3”

3cm

9cm

10”

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5) Água escoa pelo sistema representado na figura abaixo. A passagem da água pela seção contraída E provoca a elevação do nível do óleo do tubo A, ficando este estabilizado a uma altura h da superfície livre do tanque II. Determinar o valor de h. Considerar escoamento de fluido ideal

Dados:

/ 8,0

/ 1

3

3

cmg

cmg

oleo

água

=

=

ρ

ρ

6) Ar escoa pela tubulação abaixo indicada; a vazão doar é medida por meio de um orifício,

que indica uma deflexão de 8 cm de coluna d’água no manômetro em U. O ar é descarregado à atmosfera por meio de uma tubulação de 4” de diâmetro.

Pede-se:

a) Qual a vazão de ar escoando pela tubulação em litros/seg. b) Qual deve ser o diâmetro Dc para que o óleo seja aspirado para o tubo de ar. Para efeito de cálculo, considerar que o ar se comporta como fluido ideal incompressível e admitir lgar /98,0=ρ .

Tanque I

7cm

h

2,5m

8cm

2,2m

Tanque II

8cm

Patm A 2,5m

3”

15cm 8cm

4” 6”

Dc

Óleo ρ = 0,8

água

Patm

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7) Água escoa pela vazão de 54,5 ft3/sec através da tubulação abaixo indicado. Sabendo-se que 3/ 4,62 ftlbágua =ρ e que a pressão de vapor da água à temperatura do escoamento é de 1,0

psia, calcular o desnível h∆ do mercúrio no tubo em U.

8) Um fluido ideal escoa pelo Venturi da figura. Esse fluido é compressível e nesse caso a equação Bernoulli aplicada ao problema será :

∫ =++ constante 2

2

zgp

dpv

Se supormos que o escoamento é isotérmico ( pv = constante, onde p

v1= é o volume

específico da gás), mostrar que a velocidade do fluido na seção 2 ( V2 ) pode ser expressa em termos de p1,p2,v1 ( volume específico em 1 ), A2 e A1 ( área das seções ) da seguinte forma:

2

1

2

2

1

2

2

111

2

1

ln 2

=

P

P

A

A

p

pvp

V

∆h

Tubo de pitot 3´

Hg

P vapor

20”

água

1

1

2

2

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1

UNIDADE V – EQUAÇÃO DO MOVIMENTO PARA FLUIDOS REAIS EM ESCOA-

MENTOS LAMINARES

1- Balanço de quantidade de movimento:

=

+

acumulada

q.m. de Taxa

gerada

q.m. de Taxa

sai que

q.m. de Taxa

entra que

q.m. de Taxa

taxa gerada = Σ forças (campo, viscosas e pressão)

2- Casos particulares

2.1- Escoamento de um filme em um plano inclinado

Não há acumulo (escoamento)

Page 72: Apostila - Mecânica Dos Fluidos II

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2

( ) ( )xxzL

cisárea ττ . w. entra que Taxa ==

( ) ( )xxxzL

∆+= τ . w. sai que Taxa

==

=convectiva açãopor

Lz em sai

q.m. de

convectiva açãopor

0z em entra

q.m. de taxataxa

LzzLzzw

=====⇒∆=∆ z0zz0z v v v x w v x ρρ Escoamento permanente unidimensional

0 w. w. =+− Σ∆+

forçasxz

Lxz

Lxxx

ττ

onde:

( ) βρ cosxwL F c gforças ∆==Σ

W = largura da placa

Page 73: Apostila - Mecânica Dos Fluidos II

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3

Balanço

0cos =∆+∆+

− βρττ gxwLxxxzwL

xxzwL dividindo por xwL∆

0cos =+∆

∆+−

χρττ

gx

xxxzxxz aplicando o limite

χρττ

coslim 0 gx

xxzxxxzx =

∆∆+

−→∆ chegaremos a:

βρτcosg

dx

d xz =

( ) 1C cos cos +=⇒=∫ ∫ xgdxgd xzxz βρβρ ττ

Condição de contorno 1 em xz

τ em 0=x � 0 =xz

τ 01 =C

βρτ cosgxxz =

Calculando vz supondo fluido newtoniano

dx

dvzµτ −=xz

substituindo

- dx

dvzµ = βρ cos x g

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4

xdxg

dvz ∫−=∫ .cos

µβρ

2

2

2.

cos vz C

xg +−=µ

βρ

Condição de contorno 2 em vz

x = 0=→ vzδ

µβδρ

2

cos 2

2

gC =

Substituindo:

−=22

1cos.2 δ

βµδρ xg

vz

Velocidade máxima (x = 0):

µβδρ

2

cosmax

2gvz =

Velocidade média:

<vz> =

∫ ∫

∫ ∫

∫∫

∫∫=

w

w

z

s

s

z

dxdy

dxdyv

ds

dsv

0 0

0 0δ

δ

<vz> =

( )[ ] ( )[ ]δ

δµ

βδρ

δµ

δβδρ δδ

w

dxxg

w

w

dxdyxgw

∫∫ ∫ −=

0

22

0 0

22

/1.2

cos

2

/1.cos

Page 75: Apostila - Mecânica Dos Fluidos II

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5

∫ ∫

=⇒

δδδ 0

1

0

xddx

xd

x

( ) ( )[ ]δδµ

βδρ//1.

2

cosg v 21

0

2

z gdx−=>< ∫

( ) ( )1

0

32

z /3

1/.

2

cosg v

−=>< δδµ

βδρxx

µβδρ

3

cos v

2

z

g=><

Vazão volumétrica:

δwv Q area v Q zz ><=⇒><=

µβρδ

3

cos3wQ =

2.2 – Escoamento laminar estabelecido através de duto de seção circular

Seja o fluido incompressível:

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6

( ) [ ]rrzrL .2r em entra que taxa τπ=

( ) [ ] rrrz

rL ∆+= .2r em sai que taxa τπ

( ) [ ]0vz0z / / v20z em entra que taxa ==∆== zzrr ρπ ( ) [ ]LzLzrr ==∆== / / v2L z em entra que taxa vzz ρπ ( ) [ ] grr ρπ L 2nalgravitacio força ∆= ( ) [ ] 00 2pressão de força Prrz ∆== π ( ) [ ] LLz Prr 2pressão de força ∆== π

Regime estabelecido, termos se cancelam. }

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7

Balanço:

( ) 02222 0 =−∆+∆+−∆+

Lrrr

PPrrgrLrrz

rLrz

rL πρπππ ττ

dividindo por rL∆π2 e tirando o limite:

r

L

rg

L

PP

rrrzrrrrz

r

+−=∆

∆+

→∆ρ

ττ0

0

- lim

( ) rL

Lrz

rdr

d

Φ−Φ= 0τ � para facilidade na digitação considerar Ρ = Φ

Integrando dos dois lados:

( ) ( )rdr

Lrzrd LΦ−Φ

∫=∫ 0τ

( )1

210

2C

r

Lrzr +Φ−Φ=τ

( )2

10

2C

r

Lrz+Φ−Φ=τ

Condição de contorno 1 � em r = 0 � 0 =rz

τ 02 =C

( )r

Lrz

L

2

0Φ−Φ=τ

para fluido Newtoniano Incompressível:

dr

dvz

rzµτ −=

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8

então:

( )r

L

dvzL

dr 20 Φ−Φ=− µ

rdrL

dvz L

−Φ−Φ

∫=∫µ2

0

1

20

22C

r

Lvz L +

−Φ−Φ=µ

0 v; R r 2 Contorno de Condição z ==⇒

20

1 .4

RL

C L

µΦ−Φ=

Substituindo:

( )

−Φ−Φ=22

0 14 R

r

L

Rv L

z µ perfil parabólico

Velocidade máxima (r = 0):

( )L

Rv L

z µ4

20

max

Φ−Φ=

Velocidade média:

22

2

ddr

v 20

0

2

0

0

2

0z R

vzrdr

r

ddrvzr

ds

dsvz R

R

R

s

s

π

π

φ

φπ

π

∫∫

∫∫∫∫

∫∫==>=<

Substituindo na expressão de vz e integrando:

( )2

v 8

v maxz

20

zzL v

L

R >=<⇒Φ−Φ>=<µ

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9

Vazão Volumétrica:

Svz >=<Q

( )L

RQ L

µπ

8

20 Φ−Φ=

( )40

8

R

LQL π

µ=Φ−Φ

Obs. Essa condição prediz que o fluido ao escoar vai perdendo pressão e essa perda se deve ao

atrito com a parede do tubo. Se não houvesse atrito não haveria queda de pressão.

Em um tubo horizontal:

4000

8P

R

LQPPPP L π

µ=∆⇒∆=−⇒=Φ

3- Forma geral da equação do movimento:

[ ] [ ] movimento eq. q.m. de taxa ⇒= forças

Balanço geral

cpvi FFFF ++=

dv

dF

dv

dF

dv

dF

dv

dF cpvi ++=

g P- ? ρρ ∇Dt

Dv

Equação de Hagen-Poiseuille

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10

Areacisv FF .τ==

zv KdAdAdF ++== yx dA dA idA δτ

( )

∂∂+

∂∂+

∂∂=

++=

zk

yj

xi

dv

KdAjdAidA

dv

dF zyxv ττ

ττ ∇=∇= .dv

dFv

Então:

gPDt

Dv ρρ τ +∇−−∇=

Fluido Newtoniano:

y

dvxyx ∂

−= µτ

v∇−= µτ

Substituindo:

gPvDt

Dv ρµρ +∇−∇∇= .

gPvDt

Dv ρµρ +∇−∇= 2

Direção da força de cisalhamento é contrária ao movimento

Equação do Movimento

• Válida para qualquer sistema de coordenadas

• Fluidos compressíveis e incompressíveis

Equação de Navier-Stokes para fluido newtoniano incompressível

Perfil de velocidades

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11

4- Aplicação da equação do movimento e de Navier-Stokes:

a) Escoamento de um filme em um plano inclinado

Equação do movimento:

gPDv

Dv ρρ τ +∇−−∇= regime permanente unidirecional e sistema aberto

gρτ =∇ Escoamento na direção z e tensão de cisalhamento na direção x.

zzzyzxz g

zyxρτττ =

∂+

∂+

∂∂∂∂

βρβρ ττcosd 0cos- g

dxg

xxzxz =⇒=+

∂∂

0 0

0 0

Confirma o resultado obtido pelo balanço de quantidade de

movimento

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12

Equação de Navier-Stokes

gvPDt

Dv ρµρ +∇+−∇= 2

zgz

vz

y

vz

x

vz ρµ +

∂∂+

∂∂+

∂∂=

2

2

2

2

2

2

0

0cos 02

2

2

2

=+∂∂

⇒=+∂∂ βρµρµ g

x

vzg

x

vzz

cos

2

2

µβρg

x

vz −=∂∂

CC1 � 00 =∂∂→=

x

vx z

CC2 � 0=→= zvx δ

dxg

x

vz∫∫ −

=

∂∂∂

µβρ cos2

1

cosC

xg

dx

dvz +−

βρ

Aplicando CC1. � C1 = 0

µβρ xg

dx

dvz cos−=

0 0 Eq. (C) p. 84 Bird

0 0

Confirma a eq. do item 2.1

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13

b) Escoamento de um filme em tubo

Coordenadas Cilíndricas:

Equação do Movimento

gPDt

Dv ρρ τ +∇−−∇=

Escoamento na direção z

( ) 1

1110 g

zryrr

rrz

P rzrzrz ρτττ +

∂∂+

∂∂+

∂∂−

∂∂−=

Só existe

rzτ

( ) grdr

d

rz

Prz ρτ +−

∂∂−= 1

0

( ) grdr

d

rdz

dPrz ρτ +−= 1

Eq. (C) p. 85 Bird 0 0

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14

( ) ∫∫=

=

+−=1

000

1 LL z

z

P

P rz dzgrdr

d

rdP ρτ

( ) ( )00

1zzgr

dr

d

rPP LrzL −

∂+−=− τ

( ) grdr

d

rL

PPrz

L ρτ +−=− 10 multiplicando por (-1)

( )L

gL

Pr

dr

d

rg

L

PP LLrz

L Φ−Φ=+−⇒=+− 000 P

1 ρρ τ

( )rzL r

dr

d

rLτ10 =Φ−Φ

Equação de Navier-Stokes:

gvPDt

Dv ρµρ +∇+−∇= 2

gz

vz

v

vz

rr

vzv

rrz

P ρµ +

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂−=

2

2

2

2

2

110

gr

vzr

rrz

P ρµ +

∂∂

∂∂+

∂∂−= 1

0

Integrando em z ( z0 = 0 a zL = L e P0 a PL)

−=Φ−Φdr

dvzr

dr

d

rLL 10 µ

CC1 � 00 =∂∂→=

x

vr z

CC2 � 0=→= zvRr

Chegaremos a rLdr

dvz L

Φ−Φ−=µ2

0

Confirma a eq. do item 2.2

0

Eq. (F) p. 85 Bird

0 0

Confirma a eq. do item 2.2

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15

c) Distribuição de velocidades e de tensão cisalhante para escoamento tangencial laminar de um

fluido incompressível entre 2 cilindros verticais coaxiais, o externo gira com velocidade angular

w e o fluido é newtoniano.

Aplicando a Equação do movimento

gvPgPDt

Dv ρµρρ τ +∇+−∇=+∇−−∇= 2 (integrada a Navier Stokes)

Coordenadas cilíndricas (escoamento na direção θ)

( ) θρθ

µθ

gz

vv

rv

v

rrv

rrr

P

r+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂−=

202

220

2

20

211

10

( )

∂∂

∂∂= θµ rv

rrr

10

( ) ( ) 10r

1 :integrado 0

1Crv

rrv

rrr

d =∂∂=

∂∂

∂ θ

( ) ( ) rrCrCrvr

∂=∂=∂∂

11 rv θθ

Considerações

• Regime permanente • Vr = Vz = 0 • Vθ = Vθ (r)

• 0=∂∂=

∂∂

z

vv θθ

θ

• Não existe gradiente de pressão na direção θ e r.

Eq. (F) p. 85 Bird

0 0 0 0 0

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16

Integrando:

2

2

1 2C

rCrv +=θ

CC1 � 01 =→= θvRr

CC2 � 22 RvRr ωθ =→=

Substituindo e encontrando as constantes C1 e C2:

−=−

=r

Rr

R

R

wR

RR

wRC

21

2

2

1

21

221

22

22

1

1

C ; 2

Chegaremos a:

=r

Rr

R

R

wv

21

2

2

11

θ

Para descobrir o perfil de tensões:

∂∂+

∂∂−==

θθµθθ ττ vr

rr rr

v

rr

1

−=r

v

dr

drr

θθ µτ

Substituído vθ e derivando:

2

2

2

1

21

1

2

rR

R

wRr

−= µθτ

Eq. (D) p. 89 Bird

0

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17

d) Escoamento na região Anelar

Equação do movimento:

gPDt

Dv ρρ τ +∇−−∇=

Na direção z:

( ) zzzz

rz gzr

rrrz

P ρθ

τττ θ +

∂∂+

∂∂+

∂∂−

∂∂−= 11

0

( ) grrrz

Prz

10 ρτ +

∂∂−

∂∂−=

( ) grrrz

dPrz ρτ +

∂∂−=

∂1

Considerações

• Regime permanente • Vz = Vz (r) • Vr = Vθ = 0 • Coordenadas cilíndricas

0

0 0 0

Eq. (C) p. 85 Bird

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18

( ) ∫∫

+−=LP

P rz dzgrdr

d

rdP

L

00

1 ρτ

( ) Lgrdr

d

rPP rzL .

10

+=− ρτ

( ) (-1) 10

rzL r

dr

d

rg

L

PP τρ −=−−

( )rzL r

dr

d

rg

L

PP τρ 10 =+−

( )rzL r

dr

d

rLτ10 =Φ−Φ

( )∫ ∫

Φ−Φ= rdrL

rd Lrz

1

20

2C

r

L

Pt L

rz +−Φ=τ

r

Cr

LL

rz10

2+Φ−Φ=τ

Precisamos então conhecer o perfil de velocidades:

∂∂+

∂∂−=

z

vr

r

vzrz µτ

Substituindo na equação obtida anteriormente:

r

dvz

r

Cr

LL

∂−=+Φ−Φ µ10

2

drr

Crvz L∫

+

Φ−Φ−=∂ 10

22

1

µ

Não conhecemos condições de contorno com relação às tensões.

Eq. (F) p. 89 Bird

0

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19

21

20 ln

42

1CrC

rv L

z +

+

Φ−Φ−=µ

µµ1'

12'1

20 C onde ln

42

1 CCrC

rv L

z =++

Φ−Φ−=

CC1 � 01 =→= zvRr

CC2 � 02 =→= zvRr

Substituindo e calculando o valor das constantes:

1

2

1

22

2102

10

221

22

210'́

1 ln

ln4

.4

C /ln4

R

R

R

RR

LR

LRR

RR

LC LLL

−Φ−Φ−Φ−Φ=

−Φ−Φ=µµµ

Substituindo em vz:

1

2

1

22

2122

10 ln

ln4 R

r

R

R

RRrR

Lv L

z

−+−Φ−Φ=µ

Substituindo na equação da tensão que é

r

Cr

LL

rz10

2+Φ−Φ=τ

Chegaremos a:

−+Φ−Φ=r

R

R

RRr

LL

rz

1

ln22

2

1

22

210τ

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20

x

δ β

z

x

L 2B

z y

W

Quinta Lista de Exercícios

1) Escrever a equação de Navier-Stokes, dar o seu significado físico bem como o seu

significado de seus termos constituintes. Quais as condições de validade dessa equação?

2) Um filme líquido escoa pela placa inclinada indicada na figura. Fazendo-se as seguintes

hipóteses:

-escoamento unidimensional permanente

Vx = 0, Vy = 0, Vz = Vz (x)

- constantes e , ρµδ .

- efeitos de turbulência e extremidades desprezíveis.

Calcular:

a) O perfil de tensões cisalhantes

b) O perfil de velocidades

c) A força exercida sobre a placa (comprimento L, largura W).

3) Por um tubo horizontal de 30 cm de comprimento escoa glicerina a 26ºC . O tubo têm

diâmetro interno de 2,5 mm e a queda de pressão neste escoamento (laminar) é de 2,96

kgf/cm2 para uma vazão de 1,9 cm3/s. Calcular a viscosidade da glicerina expressando-a em

centipoise.

4) Um fluido newtoniano escoa em regime laminar estabelecido pelo duto na seção retangular,

indicado na figura.

Mostrar que os perfis de tensão e velocidade obedecem às equações abaixo:

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21

−Φ−Φ

=

Φ−Φ=

220

0

12

)(

)(

B

x

L

BV

xL

T

lz

lxz

µ

onde: P = Φ

5) Chegar às expressões do perfil de tensões cisalhantes para o escoamento unidimensional

estabelecido de um fluido de Bingham num tubo cilíndrico de raio R, sendo conhecidas as

pressões a montante (z = 0 � P = P0) e a juzante ( z = L � P = PL). Supor que a tensão 0τ

do modelo de Bingham é inferior à tensão cisalhante exercida no fluido junto à parede do

tubo.

Modelo de Bingham :

0

000

0

ττ

ττµττ

<=

>−=

rzz

rzz

rz

dr

dvdr

dv

6- Um tubo de 10in é disposto verticalmente e na sua parte inferior é acoplado uma bomba

centrífuga. Água sobe pelo tubo de forma a criar em seu interior um perfil de velocidades.

Com essas considerações montar um experimento de modo que seja possível determinar as

medidas necessárias para a montagem de um perfil de velocidade. Monte graficamente o

perfil para as condições propostas.

7- Utilizar a mesma estratégia para prever um perfil na região anular de dois cilindros

concêntricos.

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1

Capítulo VI - ANÁLISE DIMENSIONAL E SIMILARIDADE

Introdução Até hoje: • Escoamento do filme em plano inclinado (na realidade δ varia). Simplificações

• Desconsiderações de efeitos de entrada e saída.

• Escoamento laminar. • Regime permanente. Possibilidade de resolver equações analiticamente. Daqui para frente não poderemos mais fazer muitas simplificações. Como resolver equações? 1ª hipótese:

• Recorrer a equação do movimento na forma geral, sem restrições. Como? Analiticamente às vezes impossível Numericamente método limitado 2ª hipótese

• Utilizar dados experimentais e métodos analíticos.

Análise dimensional

Método Empírico

Pergunta 1: Estudar a força de arraste que o fluido exerce sobre a esfera. Quais as variáveis relevantes do processo?

• Tipo de fluidos (µ e ρ) • Diâmetro da esfera (D) • Velocidade (v) • Força de arraste (F)

Então: F = F (D, v, ρ, µ)

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2

Pergunta 2: Como variar? Quais as experiências? a) Rotina Experimental (Rudimentar) Fixa D, v, ρ varia µ ou D,v varia ρ, µ Fixa D, ρ, µ varia v Fixa v, ρ, µ varia D . . . Quantidade absurda de experiências. b) Usar grupos adimensionais (experimental) Ex:

=

µρ

ρ D v

D v 22f

F

Como determinar grupos adimensionais? Métodos - Rayleigh F = F (D, v, µ, ρ) - π de Buckinghan F = C Da vb µc ρd Método de Rayleigh a) Quando o número de parâmetros for ≤ 4 (não precisa de grupo adimensional)

Ex: Deseja-se saber como a vazão v varia com L

P∆, µ e D num escoamento de um fluido em tubo.

( ) ( )cba

DL

PCQ µ

∆=

Page 94: Apostila - Mecânica Dos Fluidos II

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3

[ ]

( )cba

LLT

M

LL

MLT

T

T

Lehogeneidad

=

=⇒

− 1.

L

então Qldimensiona

2

23

3

M 0 = a + b a = 1 L 3 = -2a – b + c 3 equações / 3 incógnitas b = - 1 T - 1 = - 2a – b c = 4

µµ L

DPCQD

L

PCQ

44 .

.1

..∆=⇒

∆=

Experimentalmente

L

DPQ

.

.

128

4

µπ ∆=

PoiseuilliEqL

PRQ .

8

4

⇒∆=

µπ

b) Quando o número de parâmetros é maior que 4 (>4) nº incógnitas > nº equações Ex. Seja o escoamento de um fluido em um duto de seção circular. Determinou-se experimentalmente que a queda de pressão ∆P entre dois pontos é função da velocidade média (v), da densidade do fluido (ρ), da viscosidade (µ), do diâmetro do tubo (D), de comprimento do tubo (L) e da rugosidade do tubo (E).

∆P = ∆P (v, ρ, µ, D, L, E)

(1) (∆P)a (v)b (ρ)c (µ)d (D)e (L)f (E)g = C (constante adimensional)

( ) 10

32

2

==

MLTLLLLT

M

L

M

T

L

L

MLT gfedcba

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4

(2) M a + c + d = 0 (3) L - a + b –3c – d + e + f + g = 0 3 equações, 7 incógnitas = 7-3 = 4 grupos adimensionais (4) T - 2a – b – d = 0

De (2) temos C = - a – d De (4) temos b = - 2a – d

Substituindo em (3) – a + ( - 2a – d) – 3 [– a – d] – d + e + f + g = 0 d + e + f + g = 0 e = – d – f – g (5) Substituindo (5) em (1)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CELDvP gfgfddaddaa =∆ −−−−−−− µρ2 Agrupando as variáveis pelos expoentes:

(6) 2

CD

E

D

L

Dvv

Pgfda

=

∆ρµ

ρ

• Verificaram experimentalmente que 2v

P

ρ∆

e D

Lpodem ser incluídos num único grupo:

L

CD

E

vL

D

v

Pgd

L

a

2

2

v

P.D2f

fanning de atrito defator f

2

.

ρ

ρµ

ρ

∆=

=÷⇓

=

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5

Método ou teorema ππππ de Buckinghan (método de Rayleign Aperfeiçoado) Etapas para determinação dos π-grupos: 1º Etapa: Liste todas as variáveis relevantes ao processo físico em estudo; 2º Etapa: Selecione um sistema de dimensões básicas MLT ou FLT; 3º Etapa: Construa a matriz dimensional de todas as variáveis selecionadas na primeira etapa. Os componentes desta matriz dimensional são os expoentes a que estão elevadas as dimensões básicas nas variáveis relevantes; 4º Etapa: Determine o valor do determinante da maior matriz quebrada extraída da matriz dimensional que seja diferente de zero. O valor de m será igual a ordem dessa matriz quadrada; 5º Etapa: A determinação de cada p grupo é feita selecionando um núcleo básico. Neste núcleo devem estar contidas todas as dimensões básicas para a descrição dimensional das variáveis. No caso da mecânica dos fluidos isto é efetuado da seguinte forma:

- tomando-se uma variável geométrica (comprimento característico: Ex.: diâmetro), - uma variável cinemática ( velocidade ou aceleração característica), - e uma variável dinâmica ( força ou viscosidade ou densidade)

6º Etapa: Com o núcleo determinam-se os expoentes associados a cada dimensão básica dos núcleos, resolvendo o sistema de equações dimensionais resultante do produto entre as dimensões do núcleo e cada uma das variáveis não pertencentes ao núcleo. 7º Etapa: Os π grupos assim obtidos, devem ser independentes entre si e adimensionais

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6

Exemplo: Problema de força de arraste F (D, v, ρ, µ) 1ª Etapa: variáveis relevantes F, D, v, ρ e µ 2ª Etapa: M L T 3ª Etapa:

retangular

1

1

1

0102

3111

1001

−−

−−−

µρvDF

T

L

M

4ª Etapa:

3

010

1D

311

100

=

+=−

m

vD ρ

5ª Etapa:

• Quantos π grupos: n – m = 2π grupos

π1= F(Da, vb, ρc) π2= µ (Dd, ve, ρf) 6ª Etapa: π1= F Da vb ρc

( )cb

a

L

M

T

LL

T

MLMLT

=32

0

M 0 = 1 + c c = -1

L 0 = + a + b – 3c b = - 2 ρ

π221

vD

F=

T 0 = - 2 – b a = - 2

Page 98: Apostila - Mecânica Dos Fluidos II

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7

π2= µ Dd ve ρf

( )fe

d

L

M

T

LL

LT

MMLT

=3

0

M 0 = 1 + f d = - 1 L 0 = - 1 + d +e – 3f e = - 1 T 0 = - 1 – e f = - 1

Re

12 ==

ρµπ

Dv

( )ρ

µρ

ππDv

CvD

Ff =⇒=

2221

Exemplo: Problema do fator de atrito ∆P (v, ρ, µ, L, E, D); determinar os π grupos pelos métodos de Buckinghan Sugestão:

π1= ∆P (Da, vb, ρc) π2= µ (Dd, ve, ρf) π3= L (Dg, vh, ρi) π4= E (Dj, vk, ρl)

R :

D

ED

L

vD

v

P

=

=

=

∆=

4

3

2

21

π

π

ρµπ

ρπ

Page 99: Apostila - Mecânica Dos Fluidos II

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8

VI – Similaridade Análise dimensional solução do problema físico Experiências Escala reduzida (de laboratório) SIMILARIDADE Escala real ou industrial “Modelo” “Protótipo” Seriam critérios para se passar de uma escala de laboratório para industrial. Existem 3 critérios a serem satisfeitos para haver similaridade

• Similaridade geométrica • Similaridade cinemática • Similaridade dinâmica

a) Similaridade geométrica Existe quando a relação entre todas as dimensões correspondentes de ambos é constante:

3

3

3

2

2

2Lm

escala) (

λ

λ

λ

==

==

===

V

Vm

L

Lm

A

Am

L

defatorE

Em

D

Dm

L

Lm

b) Similaridade cinemática Existe quando a relação entre as grandezas cinemáticas em ambos é constante. Isto é, quando a configuração de escoamento em ambos é igual. Condição para existir: deve haver primeiro similaridade geométrica. Parâmetros mais comuns.

Page 100: Apostila - Mecânica Dos Fluidos II

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9

αλτ =====m

mm

t

t

L

Ld

v

vv .

t

Lt

L

m

m

βλβ τ ===== 2m

m

.

t

vt

v

m

mm

t

t

v

v

a

aa

γλλλγ ττ ====== 32m

m

.

s

vs

v

s

s

v

v

Q

QQ mmm

c) Similaridade dinâmica Existe entre dois pontos do escoamento do modelo e do protótipo quando em pontos correspondentes existe a mesma relação de forças de mesma natureza.

δ=== ....2

2

1

1

F

F

F

Fmm

RuFrF

F

F

F

F

FFFFF

p

i

c

i

v

ipcvi

11

Re

11

1111 ++==++=⇒++=

protótipom

protótipom

protótipom

protótipom

RuRu

FrFr

gL

vFr

P

vRu

v

PEuEuEu

=

=

=∆

=∆===

=

;;;Lv

Re

ReRe22

2

ρρµ

ρ

Obs: variações mais importantes em mecânica dos fluidos. Pressão (P) Comprimento Característico (L) Viscosidade (µ) Tensão superficial (τ) Velocidade do fluido (v)

Page 101: Apostila - Mecânica Dos Fluidos II

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10

Densidade do fluido (ρ) Aceleração característica (g, etc...) Rugosidade (E) Diâmetro (D) Exercício Ar em condições padrão escoa com uma velocidade média de 20ft/s através de um tubo de 10in de diâmetro. Qual deverá ser a velocidade média de água se um tubo modelo de 2,5in de diâmetro for usado. Sabendo-se que os escoamentos são dinamicamente similares. Determine a queda de pressão no protótipo sabendo-se que a do modelo é 30lbf/in2. Dados: µar = 0,037x105 lb.s/ft2 ρar = 0,0763lb/ft3 µágua = 2,36x10-5lb.s/ft2 ρágua = 62,4lb/ft3 Solução Ar(protótipo) H2O(modelo) V = 20ft/s Vm = ? D = 1011 Dm

= 2,511 ∆P = ? ∆Pm = 30lbf/in2

Similaridade dinâmica 2

2

F

mF

F

Fm =⇒

Rem = Rep Eum = Eup

sftvsftvD

Dvv

DvDv

mmm

mmm

m

mmmpm

/2,6037,0

6,23

5,2

10

4,62

0763,0/20

ReRe

=⇒=⇒=

=⇒=

µµ

ρρ

µρ

µρ

2

2

22

2

2

22

/38,02,6

20.

4,62

0763,0./30 inlbfinlbfP

v

vPP

v

P

v

PEuEu

mmm

mm

mpm

⇒=∆⇒∆=∆

∆=∆

⇒=

ρρ

ρρ

Page 102: Apostila - Mecânica Dos Fluidos II

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11

6º Lista de Exercícios Mecânica dos Fluidos

1) Quando um pequeno tubo é mergulhado numa poça de líquido, a tensão superficial causa a formação de um menisco na superfície livre, que sobe ou desce dependendo do ângulo de contato na interface sólido-líquido-gás. Experiências indicam que a magnitude do efeito capilar, h∆ , é uma função do diâmetro do tubo (D), do peso específico do líquido (γ ), e da tensão superficial (σ ). Determine o número de parâmetros Π independentes que podem ser formados e obtenha um conjunto.

2) Numa experiência de laboratório de mecânica de fluidos, um tanque de água com diâmetro

D é drenado a partir do seu nível inicial, 0h . O orifício de drenagem, perfeitamente

arredondado e de bordas muito lisas, têm diâmetro d. Admita que a vazão em massa de saída do tanque é uma função de h, D, d, g,ρ , e µ , onde g é a aceleração da gravidade e µρ e são propriedades do fluido. Dados medidos devem ser correlacionados em forma adimensional. Determine o número de parâmetros adimensionais resultantes. Especifique o número de parâmetros repetentes que deverão ser selecionados para determinar os parâmetros adimensionais. Obtenha também o parâmetro Π que contém a viscosidade.

3) O aumento de pressão, p∆ , de um líquido escoando em regime permanente através de uma

bomba centrífuga depende do diâmetro da bomba, D, da velocidade angular do rotor, ω , da vazão em volume , Q, e da massa especifica, ρ . A tabela fornece dados para um protótipo e para um modelo e bomba geometricamente semelhantes. Para condições correspondentes à semelhança dinâmica entre modelo e protótipo, calcule o valor que faltam na tabela.

Variável Protótipo Modelo p∆ 29,3 KPa

Q 1,25 m3/min ρ 800 kg/m3 999 kg/m3 ω 183 rad/s 367 rad/s D 150 mm 50 mm

4) Uma aeronave deve operar a 20 m/s no ar em condições padrões. Um modelo é construído na escala 1/20 e testado num túnel de vento com o ar à mesma temperatura a fim de determinar o arrasto. Que critério deve ser considerado para se obter semelhança dinâmica? Se o modelo for testado a 75 m/s, que pressão deve ser usada no túnel de vento? Se a força de arrasto sobre o modelo for 250 N, qual será a força de arrasto sobre o protótipo?

5) O arraste de um transdutor sonar deve ser previsto com base em dados de teste em túnel de vento. O protótipo, uma esfera com 1 pé de diâmetro, deve ser rebocado a 5 nós (milhas náuticas por hora) na água do mar, a 5ºC. O modelo tem 6 pol de diâmetro. Determine a velocidade de teste requerida no ar. Se o arrasto do modelo nas condições de teste for 5,58 lbf, estime o arrasto do protótipo.

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1

Capítulo VI – Camada Limite

• O conceito de uma camada limite foi introduzido primeiro por Ludwig Prandtl, um alemão

estudioso de aerodinâmica, em 1904.

• Como os resultados da hidrodinâmica contradiziam muitas observações experimentais,

engenheiros práticos desenvolveram suas próprias artes empíricas de hidráulica. Elas eram

fundamentadas em dados experimentais e diferiam significativamente do enfoque puramente

matemático da hidrodinâmica teórica. Prandtl mostrou que muitos escoamentos viscosos

podem ser analisados dividindo-os em duas regiões, uma perto das fronteiras sólidas e a

outra cobrindo o restante do escoamento. Apenas na delgada região adjacente a uma

fronteira sólida (a camada limite) onde o efeito da viscosidade é importante. Na região fora

da camada limite, o efeito da viscosidade é desprezível e o fluido pode ser tratado como

invíscido.

• O conceito de camada limite forneceu o elo que faltava entre a teoria e a prática. Além

disso, esse conceito permitiu a resolução de problemas de escoamentos viscosos que seriam

impossíveis de resolver pela aplicação das equações de Navier-Stokes ao campo de

escoamento completo. Dessa forma, a introdução do conceito de camada limite marcou o

começo da era moderna da mecânica dos fluidos.

• Na camada limite, tanto as forças viscosas quanto as de inércia são importantes. Por isso,

não é surpreendente que o número de Reynolds (que representa a razão entre as forças de

inércia e as forças viscosas) seja significativo na caracterização dos escoamentos de camada

limite. O comprimento característico usado no número de Reynolds é o comprimento, no

sentido do escoamento, sobre o qual a camada limite desenvolveu-se, ou alguma medida de

sua espessura.

• Da mesma forma que em um duto, o escoamento em uma camada limite pode ser laminar ou

turbulento. Não há valor singular do número de Reynolds no qual ocorre a transição desses

regimes na camada limite.

Page 104: Apostila - Mecânica Dos Fluidos II

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2

• A espessura de perturbação ou simplesmente espessura, δ, da camada limite é usualmente

definida como a distância da superfície ao ponto em que a velocidade é 99% da velocidade

da corrente livre.

µρxU

x =Re

CAMADA LIMITE LAMINAR DE PLACA PLANA

• A solução obtida para a camada limite laminar numa placa plana horizontal foi obtida por

Blasius, aluno de Prandtl, em 1908. Para escoamento bidimensional, permanente,

incompressível, com gradiente de pressão nulo, as equações que governam o movimento

reduzem-se a:

de)continuida de (equação 0x

v 0 x =

∂∂

+∂

∂⇒=

∂∂

+∂∂

+∂

∂y

v

z

v

y

vy

x

v yzx 3

))(movimento Stoks.Navier de (equação 2 gvPDt

Dv ρµρ +∇+−∇=

Considerando Coordenadas retangulares pg. 84 Bird

xxxxx

zx

yx

xx g

z

v

y

v

x

v

x

P

z

vv

y

vv

x

vv

t

v ρµρ +

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂

∂2

2

2

2

2

2

2

2

y

v

y

vv

x

vv xx

yx

x ∂∂

=∂∂

+∂

∂γ 4

0

0 0 0 0 0 0

Page 105: Apostila - Mecânica Dos Fluidos II

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3

com condições de fronteira

0

y

v v y

0v 0 v 0

xx

yx

=∂

∂=∞=

===

U

ypara

5

• Blasius argumentou que o perfil de velocidade, vx/U, deveria ser similar para todos os

valores de x quando traçado contra uma distância adimensional em relação à parede; a

espessura de camada limite, δ, era uma escolha natural para tomar adimensional a distância

da parede. Então a solução é da forma:

δ

ηαη yg

U

vx onde )(= 6

Fundamentado na solução de Stokes, Blasius concluiu que

Ux / γδα

x

Uy

y

U

vx = x / Uγ

α

e estabeleceu

( )yx, ηηγ

η ==x

Uy 7

Introduzindo a função de corrente, ψ, onde:

( )yx, ηηγ

η ==x

Uy

0=

∂∂−

∂∂+

∂∂

∂∂

xyyx

ψψ 022

=∂∂

∂−

∂∂∂

yxyx

ψψ

Page 106: Apostila - Mecânica Dos Fluidos II

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4

Satisfazem a equação da continuidade identicamente; substituindo vx e vy na equação 4,

obtemos uma equação que ψ é a única variável dependente. A definição de uma função de

corrente adimensional como

( )Ux

f γ

ψη = 8

( ) x Uγηψ f=

Faz f (η) a variável dependente e η a variável independente na equação 4. Com ψ definido

pela equação 8 e η pela equação 7, podemos avaliar cada um dos termos da equação 4.

As componentes da velocidade serão dadas por

ηγηγη

ηψψ

d

dfU

U

d

df

yyv x =⇒=

∂∂

∂∂

=∂∂

= x v x

. x U 9

e

x

U

2

11

2

1 x U

x

U

2

1 x U

+

−−=

+

∂∂

−=∂∂

−= fd

dff

x

f

xv y

γη

ηη

γγγψ

−=⇒ f

d

df

ηηγ

x

U

2

1 v y 10

Derivando as componentes da velocidade, também pode ser demonstrado que:

dx

d

d

dfU

dx

dv x ηη

=

2

2x

2

2

xy

v e

2 ηγηη

d

fdUU

d

fd

x

U

x

v x =∂

∂−=

∂∂

e

3

32

2

2

x ηγ d

fdU

y

x =∂∂

Page 107: Apostila - Mecânica Dos Fluidos II

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5

Substituindo essas expressões na equação 4, obtemos

022

2

3

2

=+ηη d

fdf

d

fd 11

com condições de fronteira:

1d

df

0d

dff 0

=∞=

===

ηη

ηηpara

As equações diferenciais parciais de segunda ordem que governam o crescimento da camada

limite numa placa plana, equações 3 e 4 foram transformadas numa equação diferencial não

linear de terceira ordem, equação 11 com condições de fronteiras dadas pela equação 12. É

possível resolver a equação 11 através de uma expansão em série exponencial em torno de η

= 0, combinada com uma expansão assintótica para η�∞ , proposta por Blasius.

A mesma equação foi mais tarde resolvida com maior precisão (novamente por métodos

numéricos) por Howarth, que divulgou resultados com cinco casas decimais utilizando o

método de integração numérica de Runge-Kutta de quarta ordem.

Page 108: Apostila - Mecânica Dos Fluidos II

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6

O perfil de velocidade é obtido na forma adimensional, plotando-se u/U versus η, com os

valores da tabela acima. Os perfis obtidos experimentalmente mostram excelente

concordância com a solução analítica.

Camada limite em placa plana

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 2 4 6 8 10

η

u /

U

Da tabela anterior verificamos que para η = 5, vx/U = 0,992. Com a espessura da camada

limite, δ, definida como o valor de y para vx/U =0,99 a equação 7 dá:

x

x

U Re

0,5

x

0,5 =≈

γ

δ 13

A espessura da camada limite, δ, é indicada sobre o perfil de velocidade.

A tensão de cisalhamento na parede pode ser expressa como

0

2

0 x

==

=

∂∂

=ηηγ

µµτd

fdUU

y

v

y

xw

então

x

w

UU

Re

332,0

x

U 332,0

2ρµρ ττ =⇒= 14

Page 109: Apostila - Mecânica Dos Fluidos II

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7

e o coeficiente de tensão de cisalhamento na parede Cf, é dado por:

xf

wf C

UC

Re

664,0

2/1 2=⇒

Τ=ρ

15

Cada um dos resultados para a espessura de camada limite, δ, para a tensão de cisalhamento

na parede, τw, e para o coeficiente de atrito superficial, Cf, depende do numero de Reynolds,

Rex, elevado a potência ½. A espessura da camada limite aumenta segundo x ½ , e a tensão

de cisalhamento na parede e o coeficiente de atrito superficial variam de acordo com o 1 / x½

Esses resultados caracterizam o comportamento da camada limite sobre uma placa plana.

o. turbulentelaminar para e valC U 1/2F

F. de cálculo o para aplicado sendo

Re

328,1C

:porlaminar regime no dadoser pode C arraste de ecoeficient O

D2

D

D

A

x

ρ=

=

Camada Limite Turbulenta

São empregadas as equações empíricas.

( )xDD TURBTURBCC Re=

( )[ ] 58,2Relog455,0 −= xDTURBC 17

16

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8

a) Escoamento em placa

� Tensão em placa

( )[ ] 3,22 65,0Relog2 U 2/1 −−= xw ρτ 18

� Espessura da camada limite

( ) 2,0Re376,0 −= xx

δ 19

� Região de Transição (Efeito combinado – laminar / turbulento)

( )[ ]x

xD

BC

ReRelog455,0 58,2 −= − 20

B Rex(transição) 1050 3x105 1700 5 x105 3300 1 x106 8700 3 x106

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9

6º Lista de Exercícios

1- Água escoa sobre uma placa plana com velocidade (V) de 3m/s. Calcular a força de arraste total na placa numa seção de 1m de largura e 2m de comprimento. Calcular também a tensão na placa a 1m de distancia. Dados H2O ρ=103 Kg/m3

µ=10-3 Kg/m.s

2- Resolver o problema anterior considerando o efeito combinado turbulento + laminar no cálculo

do CD.

3- Estime a espessura da camada limite na extremidade de uma superfície plana de 4m de

comprimento, caso a velocidade do escoamento livre seja U∞ = 5m/s. Utilize ar atmosférico a 30ºC.

Calcule também a força de arraste, caso a superfície tenha 5m de largura. Despreze a porção

laminar do escoamento.

4- Resolva o problema anterior levando em conta a porção laminar usando Recrit = 5 x 105.

5- Ar atmosférico a 30ºC escoa sobre uma placa plana de 8m de comprimento e 2m de largura a

2m/s. Suponha que exista escoamento laminar na camada limite em todo o comprimento. Em x =

8m calcule:

a) O valor máximo de v;

b) O cisalhamento na parede;

c) A força de arraste sobre a placa.

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1

Capítulo VIII - Equação da energia para fluidos reais.

1. Conceituação de perda de carga.

totalcarga de Perda h onde

22

T

222

11

21

21

2

=

+++=++−Thz

P

g

vz

P

g

v

γγ

• Existem 2 tipos de perda de carga:

o HD = perda de carga distribuída (energia perdida ap longo do tubo reto) o HS = perda de carga localizada ou singular (energia perdida por acidente, isto é,

perda de energia mecânica provocada por singularidades ou acidentes presentes na tubulação, que causam mudanças bruscas de direção dos turbilhões... Os acidentes mais comuns são: joelhos, curvas, válvulas, reduções, expansões...)

SDT hhh +=

• Expressão considerando a possível presença de máquinas hidráulicas:

22

22

11

21

22z

P

g

vhHHz

P

g

vtrf ++=−−+++

γγ

Hf = carga fornecida ao sistema por máquinas (Ex: bomba) Hr = carga retirada do sistema por máquinas (Ex: turbinas) 2. Cálculo da perda de carga devido a máquinas.

carga H

fluido do específico peso ..

máquina da potência P

====

γγ HQP

Q

PH

Q

PH m .

H H bomba de caso no . mf γγ

==⇒=

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2

3. Cálculo da perda de carga distribuída (hD)

γ

γγ

21

22

22

11

21

22

PPh

hzP

g

vz

P

g

v

D

D

−=

+++=++

Eq. De Darcy – Weisback g

v

D

LfhD 2

2

=⇒

Onde f = fator de atrito de Darcy.

• Em algumas situações encontramos 'f que é o fator de atrito de Fanning.

g

v

D

Lfh

ff

D 2'4

'42

=

=

3.1. Fator de atrito de Darcy para escoamentos laminais (Re < 2000)

Re

64

..

64

2..

...32

2.D

.L.v32. :

2h mas

.

...32

...32

2.

4...8

.r

.L.Q8.P Pouisewlle de .

2

2

2

2

2

D2

24

2

4

=⇒=

=⇒=

==⇒∆=

=

==∆

fvD

f

g

v

D

Lf

Dg

vL

g

v

D

Lfentão

g

v

D

Lf

D

vLh

Ph

D

vL

D

DvL

Eq

DD

ρµ

ρµ

γµ

γµ

γ

µ

π

πµ

πµ

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3

3.2. Fator de Darcy para escoamento em regime de transição e turbulento plenamente

desenvolvidos.

• Totalmente empírico

a) Correlações empíricas (Perry). Ex: Cole Brook

+−=

5,05,0 .Re

51,2

7,3

/log2

1

f

De

f

b) Diagrama de Moody. (oriundo de correlações empíricas) Problema: 1) Seja um fluido escoando com as seguintes características: ρ = 60 lb/ft3 e µ = 1 cp com uma vazão de 400 gpm, num tubo de 2 in de diâmetro interno. Pede-se: a) Determinar f (Darcy) para tubo liso. b) Supondo que o comprimento de tubo é 200ft. Determinar hD. c) Para o hD calculado acima calcular a diferença de pressão em psi. Solução:

( )

5

3

33

3

3

2

22

222

2

3

3

333

10.078,601,0

1245.08,5.96,0..Re

.01,0

/961,048,30

1.

1

6,453.60

60961ft

30,48cm. 200

/124527,20

25236

1in

2,54cm.2in D

27,201

54,2.1416,3

4

2

252361

54,2.

60

min1.

1

231.

min

gal400Q

===

=

==

==

===

=

===

==

µρ

µ

ρ

π

vD

scm

g

cmgcm

ft

lb

g

ft

lb

cmftL

scmA

Qv

cmin

cminA

s

cm

in

cm

sgal

in

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4

gráfico de Moody f = 0,0128 cuidado com o ábaco tubo liso

líquidos. de altura uma de

pressão uma a entecorrespond 12135981.2

1245.

08,5

096,6.0128,0

2

22

→=⇒=⇒= cmhhg

v

D

Lfh DDD

psi 166 x

x /1,144.10

psi 14,7 /10.013,1

/10.144,1981.961,0

12135

27

26

27

=

=∆⇒∆=⇒

∆=

cmdyn

cmdyn

cmdynPPP

hD γ

2) Calcular a diferença de pressão em psi (relativo a perda de carga na linha) para o escoamento do óleo (( )325 lb/ft 56,8 ,/10.9,4 == − ργ sft a uma vazão Q = 100ft3/min através de um duto hidraulicamente liso de 1 in de diâmetro e 20 ft de comprimento. Refazer o problema pra tubo de aço comercial. Admitir E = 0,00015ft. Solução:

5255 10.2,5Re/10.9,4/306.083,0..D.v

Re 10.9,4 =⇒===== −− sftsftftvD

γµρ

ρµγ

s

ft

sft

in

in

ftv 306

60

min1.

1

12.

4

1.

1.

min100

2

22

22

3

==π

ftin

ftinD 083,0

12

1.1 ==

a) Para tubo liso

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5

fth

ff

D 47302,32.2

306.

083,0

0,2.0135,0

0135,0

2

==

=→

psiPin

lbfP

in

ft

ft

lbf

ftlb

lbfs

sft

lbP

sft

lb

s

ft

ft

lbftP

ghPP

h DD

5,18655,1865

144

1.10.69,2

..2,32

..

..10.65,8

.10.65,82,32.8,56.4730

..

2

2

2

2

52

2

6

2

6

23

=∆⇒=∆

==∆

==∆

=∆⇒∆= ργ

b) Para rugosidade E = 0,00015ft

psiP

in

lbfP

sft

lbP

fth

ff

D

E

D

3180

3180.

10.47,12,32.8,56.8058

80582,32.2

306.

083,0

20.023,0

023,0

0018,0083,0

00015,0

22

7

2

=∆

=∆⇒==∆

==

=→

==

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6

4. Cálculo da perda de carga singular (hs) Método dos comprimentos equivalentes.

eqeqeq

S

D

LfK

g

v

D

Lf

g

vK

g

v

D

Lfmas

g

vKh

=⇒

=⇒

=

=

222h

2222

S

2

Perda de carga total:

[ ]

eqreto

eqretototal

totaleqreto

eqretoT

eqT

SDT

D

L

D

L

D

L

ou

LLL

g

v

D

Lf

g

vLL

D

f

g

v

D

L

D

Lfh

g

v

D

Lf

g

v

D

Lfh

hhh

+

=

+=

=⇒+=⇒

+

=

+

=

+=

2h

2h

2

22

2

t

2

t

2

22

Tabelas e figuras 5. Problemas Clássicos de Escoamentos em tubos. 3 Problemas

(Q) Vazão

total)carga de perda(h se-Pede (D) Diâmetro Dados º1

(E) Material

T

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7

(Q) Carga de Perda

ca) volumétrivazão( Q se-Pede (D) Diâmetro Dados º2

(E) Material

(Q) Vazão

tubo)do diâmetro( D se-Pede )(h Carga de Perda Dados º3

(E) Material

T

Problemas: 1º Tipo a) Calcular a perda da carga

3

5

/60

/41

''2

)liso tubo(0128,0

10.6Re

ftlbf

sftv

D

f

=====

γ

( )

eqretototal

TT

LLg

v

D

Lf

inlbfh

Pin

fthP

+=

=

=∆⇒=∆

total

2

T

2

22

2

L 2

h

Solução

/.144

.

12..

γγ

Cálculo dos acidentes (Leq)

Acidentes Quantidade (L/D)eq n . (L/D)eq Válvula Globo 1 340 340 Válvula Gaveta 1 8 8

Entrada 1 0,78/0,0128 60,9 Saída 1 1/0,0128 78,1

Joelho de 90º 4 30 120 Σn (L/D)eq 607

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8

ftft

DD

LL

eqeq 2,101

''12

1'.'2.607. ==

=

Cálculo do Lreto

( ) ftftLreto 2009010503020 =++++=

Cálculo Ltotal

psiPin

ft

ft

lbfftPhP

Ph

mas

ft

in

ftft

g

v

D

Lfh

ftL

Tt

totalT

total

252144

1.60.604.

6042,32.2

41.

12

1'.'2

2,301.0128,0

2

2,3012,101200

2

2

3

22

=∆⇒=∆⇒=∆⇒∆=

===

=+=

γγ

Problema 2

smkg

mkg

./10

/10 água

liso tuboDados

3-

33

==

µρ

Determine a altura d para que a vazão seja igual a 0,03m3/s. Bernoulli: 1 e 2 0

ThzP

g

vz

P

g

v+++=++ 2

222

11

21

22 γγ

0

0

2

1

21

1

==

==≈

z

dz

PPP

v

atm

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9

g

vK

g

v

D

Lf

ghh

g

vdh

g

vd SDT 222

vd

22

22

22

22

22

22 +

+=⇒++=⇒+=

g

vKh

g

v

D

Lfh

S

D

2

2

2

2

=

=

entrada e saída Kentrada = 0,5 Ktotal = 1,5 Ksaída = 1

[ ] mdm

d

smD

Q

A

Qvf

D

QD

QD

vD

KD

Lf

g

vd tot

6,4683,1935,25,1075,0

100.03,01

8,9.2

79,6

/79,6075,0.

03,0.4

.

.4013,010.09,5Re

10.09,5Re075,0..10

10.03,0.4

..4

..4Re.

..4..

Re

.12

2

22

5

5

3

32

.

22

=⇒=

++=

====⇒=→=

=⇒==⇒==

++=

ππ

ππρ

µπ

ρ

µρ

Problemas do tipo 2

60psig. de é bomba da saída na fluido do pressão a

que se-sabendo /sft em ca volumétri vazãoaAchar a.atmosféric pressão a tanquenum

dodescarrega é ocompriment de1000ft e diâmetro de8in de ogalvarizad ferro de horizontal

tubouma de através bombeadoser deve /9,8.10 0,85, lcombustíve óleo Um

3

2-5 sft== γρ

Bernoulli 1 e 2

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10

21

21

22

22

11

21

22

vv

zz

hzP

g

vz

P

g

vT

==

+++=++γγ

γγγ

γγ

psiPPPhhhh

PPPh

DDST

T

6021

21

=−

=∆=⇒+=

∆=−

=

( ) ( ) ftcm

ftcmhcmhhghg oleooleoHgoleo 9,39

48,30

1.121676.6,13.85,0.... ==⇒=⇒= ρρ

( )fth

psi

ftpsih D

oleoD 8,162

.8,162

7,14

oleo de 9,39.

60=⇒==

γγγ

γ

g

v

D

LfhD 2

2

= determinar v

f é função de v Como fazer?

fv

fv

ftv

Lf

gDhv D 99,699,6

1000

2,32.2.12

8.8,162

.

2.. 222 =⇒=⇒=⇒= 1

vvDvD 310.8,6Re...

Re =⇒==γµ

ρ 2

00075,0

12

80005,0 ==

D

E

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11

Estratégia 1- Chuto v 2 – Cálculo Re (Eq.2) 3 – Leio f. (Moody) 4 – Calculo v (Eq. 1) então

v (a, b) Re (2) F (Moody) v (1) 10 ft/s 6,8.104 0,022 17,83 ft/s

17,83 ft/s 1,21.105 0,021 18,24 ft/s 18,24 ft/s 1,24.105 0,021 18,24 ft/s

sftQQD

vAvQ /4,64

12

8..24,18

4... 3

2

2

=⇒

=⇒==π

π

Problema do 3º tipo Dados material (E), Q, hT calcular (D)

D

QD

QD

vD

..

.4Re.

4.

..Re

2

µπρ

µ

ρπ

µρ =⇒== 1

gD

QLf

g

D

Q

D

Lf

g

v

D

Lfhh DT

2..

.16..

2

.

4

2 52

222

ππ =

===

gh

QLfD

gD

QLfh

D

D2..

.16..

2.

.16..

2

25

52

2

ππ=⇒= 2

g

vL

D

Lfh

hh

eqT

SD

2

h :Se

2

T

+=

+=

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12

Método Interativo (Etapas)

1) Arbitrar f e calcular D (2)

2) Com D calcula-se Re (1)

3) Com D E / D

4) Gráfico de Moody Re f calculado

E / D

5) Comparar f arbitrado e f calculado

Exemplo

hD = 4ft

E = 0,0004ft

Q = 3ft3/s

γ = 1,21.10-5 ft2/s

f (chute) D (2) Re (1) E / D f (Moody)

0,03 1,112 2,84.105 0,00036 0,0178

0,0178 1,002 3,15.105 0,0004 0,018

0,018 1,0004 3,14.105 0,0004 0,018

D = 1ft

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13

6. Problemas para determinação da potencia da bomba.

a) Se houver bomba carga fornecida Hf = Hm

Eq. de Bernoulli

m

22

22

11

21

.Q.H

22

γ

γγ

=

+++=+++

Pot

hzP

g

vHz

P

g

vTm

Tm hzP

g

vHz

P

g

v+++=+++ 2

222

11

21

22 γγ

H1 H2

H1 + Hm = H2 + hT

Supor: H1 = 120ft

H2 = 260ft

hT = 10ft

Potência

mHQPot ..γ=

3lb/ft 62,43

100gPm Q

==

ρSupondo

Carga total da seção 1

Carga total da seção 2

Hm = H2 + hT – H1 Hm = 260 + 10 – 120 Hm = 150ft

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14

3

2

23

33

43,62

.

.2,32

12,32.43,62

/223,09,448

/1.100

ft

lbf

slbf

ftlbs

ft

ft

lb

sftgpm

sftgpmQ

==

==

γ

HpPot

s

ftlbfHp

s

ftlbfPotft

s

ft

ft

lbfPot 8,3

.550

1.3,2088150.223,0.43,62

3

3=⇒=⇒=

b) Potência útil da bomba

bomba da

..

eficiência

PP

perdasPP

HQP

Totalútil

útilTotal

mútil

=

+=

=

η

η

γ

γSD

SD

PPHH

−=−=+=+ mT2m1 H h H H H

Supondo que as tubulações têm diâmetros diferentes.

( )2S-1T2m1 h H H H

−++=+

DTh

Problema:

Água a 68 ºF será bombeada através de 95ft de um tubo de 3in (Sch 40) ao reservatório mostrado na figura:

Determinar:

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15

a) A pressão na linha da bomba para uma vazão de 18 gpm.

b) A potência útil da bomba em Hp supondo que a pressão na sucção seja a pressão atmosférica.

Dados: ρÁgua = 62,31 lb/ft3; µ = 0,96Cp; E = 0,00015

Bernoulli entre 1 e 2

2122

22

11

21

22 −+++=+++ Tm hz

P

g

vHz

P

g

v

γγ

21221

−++=+ Tm hz

PH

P

γγ

212 −++= T

atmD hzPP

γγ

sft

lb

ft

cm

g

lb

scm

g

.00064,0

1

48,30.

454

1.

.0096,0 =⇒= µµ

ftin

ftinD 255,0

12

1.068,3 ==

( )sftv

in

ftvAvQ

sftQgal

sftgalQ

/78,0144

1.

4

068,3..04,0.

/04,09,448

/1.

min18

2

22

33

=⇒=⇒=

=⇒=

π

Cálculo da perda da carga 21−Th

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16

g

v

D

Lfh

hhh

TotD

SDT

2

h de Cálculo

22

T

=

+=

0006,025,0

00015,0

D

E

0,024f Moody

10.9,100064,0

255,0.31,62.78,0.D.vRe f de cálculo 4

==

=→

===

ft

ft

µρ

ftftLDL

acidentes

eqeq

eqeq

eq

eqeq

6,112956,17L 6,17255,0.69.69

37D

L

027,0

1

D

L 1Ksaída 1

69 D

L

32D

L 16.2

D

L 45º de joelhos 2

)(L de Cálculo

ot

eq.

=+==⇒==

=

⇒⇒=

⇒⇒=⇒

=

=

⇒=

Cálculo de hT

fthh TT 11,02.32.2

78,0.

255,0

6,112027,0 ⇒

=

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17

Cálculo de PD.

psiPPPPP

psiPin

ft

slbf

ftlbs

ft

ft

lbftPft

P

hzPP

hzPP

DDD

TD

TD

307,1435,15

35,15144

1.

.

.2,32

1.2,32.31,62.46,3546,35

2

2

2

2

23

22

22

21

21

=⇒−=⇒∆=−

=∆==∆⇒=∆

+=−

++=

γ

γ

γγ

PutilP

util

utilutilutil

SDm

mútil

HP

s

ftlbf

H

s

ftlbfP

ft

in

s

ft

in

lbfPPQP

PPH

HQPb

17,0.

550

1.

..16,92

144..61,03,15.04,0

3,15..

3,157,1430

..)

2

23

2

===

=⇒=⇒=

=−=−

=

=

γγ

γγγ

γ

7. Associação de Tubulações

7.1. Associação de tubulação em paralelo

nTotal

n

PPPPP

QQQQ

∆==∆=∆=∆=∆++++=∆⇒

...

...Q

P mesmo ticaCaracterís

321

321Total

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18

Cálculo para um tubo i:

2/15

1

2/12

2/152

i

2/152

52

2

32

222

8

8Q cteP mas

.8

8

2.

.16.

2

.

4

2

Σ

∆=Σ=

∆=⇒=∆

∆=

=∆

=

=

=

∆=

=ii

in

ii

iiii

iii

i

iii

i

i

iii

i

i

i

ii

i

i

ii

iT

Lf

DPQQ

Lf

DP

Lf

DPQ

Dg

QLf

g

P

gD

QLf

g

D

Q

D

Lf

g

v

D

Lf

Ph

πρ

πρ

πρ

πρ

ππ

γ

7. 2. Associação de tubulações em série.

n

n

PPPP

QQ

∆++∆+∆=∆====

...

...QQ

Q mesmo ticaCaracterís

21

21

∆Σ=∆

=∆

=∆

=

=∆=

ρρ

πρπ

ρ

γ

i

i

ii

ii

i

ii

i

T

PP

QD

Lf

P

g

D

Q

D

Lf

g

P

AvQ

g

v

D

Lf

Ph

2

52

2

2

8

2

4

.

2

=∆

52

2

8

i

ii

D

LfQ

P

πρ

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19

Exemplo:

Seja a seguinte associação em paralelo com as seguintes características:

Solução:

2/18

5

1

2/12

∆=Σ= Σ= ii

in

ii Lf

DPQQ

πρ

Calcular f para cada situação:

i L i (m) Di (m) Rei fi

2/15

ii

i

Lf

D Σ Q

1 50 0,04 1,51.105 0,0165 0,000352

0,00247 3,3.10-2m/s 2 150 0,06 2,32.105 0,015 0,000588

3 100 0,08 3,28.105 0,014 0,00153

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20

Para i = 1

v(arb) Re f(Moody) v (calc.)

10 4.105 0,0135 4,17

4,17 1,67.105 0,0169 3,85

3,85 1,54.105 0,0162 3,81

3,81 1,52.105 0,0165 3,78

3,78 1,51.105 0,0165 3,78

Para i = 2

v(arb) Re f(Moody) v (calc.)

10 6.105 0,0127 3,04

3,04 1,83.105 0,0157 3,87

3,87 2,32.105 0,015 3,95

3,95 2,38.105 0,015 3,95

Para i = 3

v(arb) Re f(Moody) v (calc.)

10 8.105 0,012 4,43

4,43 3,54.105 0,014 4,1

4,1 3,28.105 0,014 4,1

f

L

D

v

fL

Dv

g

v

D

Lfh

mhP

h

i

i

i

i

ii

T

TT

=

=

=

==⇒∆=

294

.8,9.2.15

2..

158,9.10

10.47,1

2

2

3

5

γ

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21

Determinar a potência que a bomba deve fornecer ao fluido para transporta-lo do tanque A para o tanque B.

cp 4,8

g/cm 1,124

50% glicerol :fluido do Dados3

==

µρ

fundido. fluido de tubo

''3

''5,2

min/20 3

=

==

sucção

recalque

D

D

ftQ

T

Tm

hg

v

hzP

g

vHz

P

++=

+++=+++

92

H

bomba. da depois e antes diferentes diametros

tenhopois 2 emdividir que vou ter h 22g

v

2 e 1 entre Bernoulli

22

m

T22

22

11

21

γγ

sftvvD

Qv

sftvvD

Q

A

Qv

ftin

ftin

ftin

ftine

/81,960.208,0.

20.4

.

.4

/79,660.25,0.

20.4

.

.4

208,012

1.5,2D

25,012

1.3D v vde Cálculo

22222

2

'12

'12

1

'1

2

1'12

=⇒=⇒=

=⇒=⇒==

==

==

ππ

ππ

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22

g

v

D

LLfh

g

v

D

Lf

g

v

D

Lfh

hhh

eqreto

Ts

eqretoTs

SDT

2

22

)(h bomba da Antes *

)(h carga de perda da Cálculo

21

1

2'1

1

2'1

'1

Ts

T

+=

+=

+=

30joelho 1

26f

0,78

D

L0,78k reentrante entrada1

L do Cálculo

1

eq

=⇒

==⇒=⇒

D

L

fth

ft

ft

D

EE

poise

ft

cmsft

ft

cmftcmg

vD

Ts 89,12,32.2

79,62630

25,0

803,0h

0,03fMoody de Grafico

0034,025,0

00085,000085,0

10.7,3048,0

1

48,30./79,6.

1

48,30.25,0./124,1

..Re

2

Ts

4

3'11

=⇒

++=

=⇒

==⇒=

===µ

ρ

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23

0041,0208,0

00085,0

0,031f

10.4,4Re048,0

48,30.81,9.98,30.208,0./124,1

Re

f de Cálculo

bomba da depois *

4

3

2

==

=

=⇒=

D

E

poise

ft

cm

s

ft

ft

cmftcmg

26,530

26,320,031

1 saída 1

8 gaveta valv.1

340 globo valv.1

15030 . 5 90º de joelhos 5

D

L do Cálculo

=

=→

→→

=→

eq

eq

D

L

fthg

v

D

LLfh

RR T

eqreto

T 9,292,32.2

81,926,530

208,0

24031,0h

2

h do Cálculo

2

T

22

22

T

R

R

=⇒

+=⇒

+=

fthhhhh

total

TTTTT RS8,319,2989,1

)(h do Cálculo T

=⇒+=⇒+=

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24

( )ftH m 28,42H 8,319

2,32.2

78,9

H do Cálculo

m

2

m

=⇒++=

( )

serg

s

cmg

ft

cmft

ft

cm

s

ft

s

cm

cm

gP

HQ

ot

m

/10.34,1

.10.34,1

48,30.28,42.

48,30.

60

min1.

min20.980.124,1

..P

Bomba da Potência da Cálculo

10

3

210

3

333

23

ot

==

= γ

hpPKw

hKw

serg

Kw

s

ergP ot

p

ot 8,11

341,1.34,1

/10

10.10.34,1

7

310 =⇒==

2) Água deve ser transportada a vazão de 2,5 ft3/s em uma tubulação horizontal. A linha tem 800m de comprimento e 6in de diâmetro. Apresentando 4 joelhos de 90º, uma válvula gaveta e uma válvula globo. A tubulação é de ferro fundido. Calcular a perda de carga na linha.

sft

lb

ft

cm

g

lb

scm

gcp

ftlb

.00067,0

1

98,30.

454

1.

.01,01

/ 43,62 3

⇒==

=

µ

ρ

222

3

196,04

5,0.

4

.

/73,120,196

2,5 v

/5,2

26253048,0

1.800

5,012

1.6

ftD

A

sft

sftQ

ftm

ftmL

fti

ftinD

===

==

=

==

==

ππ

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25

0017,05,0

00085,0

0,023fMoody

10.93,500067,0

73,12.5,0.43,62Re 5

==

=

==

D

E

0017,05,0

00085,0 ==D

E

( )g

v

D

LLfh

eqreto

T 2.

h do Cálculo

2

T

+=

8D

Lgaveta valv.1

468D

L 340

D

Lglobo valv.1

1204.30D

L joelhos 4

D

L do Cálculo

=

=

=

==

eq

eqeq

eq

eq

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26

fthh TT 9,3302,32.2

73,12468

5,0

2625023,0

2

=⇒

+=

( )ftHH mm 28,428,319

2,32.2

78,9

H do Cálculo

2

m

=⇒++=

( )

hpPKw

hpKw

serg

Kw

s

ergP

serg

s

cmg

ft

cmft

ft

cm

s

ft

s

cm

cm

gP

HQ

otot

ot

m

8,11

341,1.34,1

/10

10.10.34,1

/1,34.10

.10.34,1

48,30.28,42.

48,30.

60

min1.

min20.980.124,1

..P

bomba da potência da Cálculo

7

310

10

3

210

3

333

23

ot

=⇒==

==

=

γ

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8º Lista de Exercícios Mecânica dos Fluidos

1. Um tubo liso horizontal com 100m de comprimento está ligado a um grande reservatório. Que profundidade (d) deve ser mantida no reservatório para produzir uma vazão de 0,0084m3/s de água? O diâmetro interno do tubo liso é 75mm. A entrada é de bordas vivas e a água descarrega para a atmosfera.

2. Petróleo bruto escoa através de um trecho horizontal do oleoduto do Alasca numa vazão de

1,6 milhão de barris por dia (1 barril = 42 galões). O diâmetro interno do tubo é 48 pol.; a sua rugosidade é equivalente à do ferro galvanizado. A pressão máxima permissível é de 1200 psi; a pressão mínima requerida para manter os gases dissolvidos em solução no petróleo cru é de 50 psi. O petróleo cru tem densidade relativa = 0,93; a sua viscosidade à temperatura de bombeamento de 140ºF é µ = 3,5 X 10-4 1bf's/ft2. Para essas condições determine o espaçamento máximo possível entre estações de bombeamento. Se a eficiência da bomba é de 85 por cento, determine a potência que deve ser fornecida a cada estação de bombeamento.

3. Uma nova instalação industrial requer suprimento de 5,7 m3/min de água. A pressão manométrica na tubulação principal de água, a 50 m da fábrica, é 800 kPa. A tubulação de suprimento terá 4 cotovelos num comprimento total de 65 m. A pressão manométrica na fábrica deve ser, no mínimo, de 500 kPa. Determine a bitola do tubo de ferro galvanizado a ser instalado.

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4. Um sistema de proteção contra incêndio é suprido a partir de uma torre d’água por meio de um tubo vertical com 80ft de altura. O tubo mais longo no sistema tem 600ft e é feito de ferro fundido com cerca de 20 anos de idade. O tubo contém uma válvula de gaveta; outras perdas localizadas podem ser desprezas. O diâmetro do tubo é de 4in. Determine a vazão máxima em gpm através deste tubo.

5. Um grande reservatório fornece água para a comunidade. Uma parte do sistema de

suprimento de água é mostrada abaixo. Água é bombeada de um reservatório para um grande tanque de armazenagem antes de ser enviado para a planta de tratamento de água. O sistema é projetado para fornecer 1310 L/s de água a 20ºC. De B para C o sistema consiste de uma entrada de bordas vivas, 760 m de tubos, três válvulas gaveta, quatro joelhos de 45º e 2 joelhos de 90º. A pressão manométrica em C é 197 kPa. O sistema entre F e G contém 760m de tubo, 2 válvulas gavetas e 4 joelhos de 90º. Todo o tubo é de 508mm em ferro fundido. Calcule a velocidade média da água no tubo, a pressão manométrica na seção F e a potência de acionamento da bomba (considerando uma eficiência de 80%).