Aproximacao para Equacoes de Pressao e Velocidadecom Formulacao Mista de Mınimos Quadrados

Kennedy Morais FernandesCampus Regional Instituto Politecnico - IPRJ

Universidade do Estado do Rio de Janeiro - UERJ28.630-050, Nova Friburgo, RJE-mail: kfernandes@iprj.uerj.br

Regina Celia Paula Leal ToledoInstituto de Computacao - IC

Universidade Federal Fluminense - UFF24.210-240, Niteroi, RJE-mail: leal@ic.uff.br.

Resumo: O escoamento miscıvel incom-pressıvel em meios porosos, caracterizandoo processo de recuperacao terciaria emreservatorios de petroleo, e modelado ma-tematicamente por um sistema acoplado deequacoes diferenciais parciais nao-lineares,com condicoes de contorno e condicoes iniciaisadequadas. O modelo matematico consistede um sub-sistema elıptico envolvendo oscampos de pressao e velocidade, oriundo dalei de conservacao de massa e Lei de Darcy,e uma equacao de transporte, predominante-mente convectiva para a concentracao, sendoessa a variavel de maior interesse. Variasformulacoes variacionais tem sido emprega-das para resolver este problema, visando adeterminacao precisa da velocidade. Nestetrabalho o metodo dos elementos finitos com aformulacao variacional de mınimos quadradose aplicada ao sub-sistema elıptico do problema.Com o acrescimo da equacao do rotacionalnulo obtem-se convergencia na norma H1

tanto para a pressao como para a velocidade.Resultados numericos sao apresentados ecomparados com os descritos na literatura.

Introducao

No escoamento miscıvel incompressıvel emmeios porosos a variavel de maior interesse e aconcentracao do fluido injetado entretanto, emse tratando de escoamento predominantementeconvectivo e fundamental a determinacao pre-cisa da velocidade [2].

Varios tipos de aproximacoes, utilizando ometodo dos elementos finitos baseado em for-mulacoes de Galerkin, sao empregadas pararesolver este problema. Dentre estes, pode-mos destacar os seguintes trabalhos: Castro [1],Garcia [3], Karam Filho [4], Malta [6] e Ney [7].

Formulacoes variacionais de mınimos qua-drados em sua forma classica tem a desvanta-gem de requerer maior grau de regularidade dosespacos de aproximacao. Essas formulacoes saoaplicadas em muitos problemas reescrevendo asequacoes que descrevem o fenomeno fısico comoum sistema equivalente de equacoes diferenciaisde primeira ordem, reduzindo assim, a necessi-dade de maior grau de regularidade dos espacosde aproximacao[5, 8].

Apresentamos neste trabalho formulacoes demınimos quadrados aplicadas ao sub-sistemaelıptico que calcula a pressao e a velocidade.Como a velocidade, e nao a pressao, apa-rece na equacao de concentracao que faz partedo modelo matematico que simula o escoa-mento miscıvel, atencao especial deve ser dadaa obtencao de aproximacoes precisas para estecampo, tentando minimizar os erros na apro-ximacao da concentracao a nao afetar a suaprecisao.

Para melhorar as taxas de convergencia paravelocidade apresentamos tambem a formulacaode mınimos-quadrados aplicada a esse pro-blema, com a inclusao do termo do rotacionalnulo. Exemplos sao apresentados para avaliarresultados das formulacoes apresentadas.

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Definicao do problemaConsideremos, por simplicidade, Ω ⊂ R2 um

domınio limitado, com fronteira Γ regular, talque:

Γu ∪ Γp = Γ

Γu ∩ Γp = ∅

onde ∅ e o conjunto vazio.Descrevemos o problema como:Para um dado valor f, achar os campos u e

p que satisfazem a:

∇ · u = f em Ω (1)

u = −k(x)∇p em Ω (2)

p = δ em Γp (3)

u · n = 0 em Γu, (4)

sendo:• u = (u1, u2), o vetor velocidade;• p, o valor escalar que define a pressao;• k(x), a permeabilidade do meio poroso.

Formulacao Mista em Pressao e Ve-locidade

Para esse problema, como mostrado em [5],mesmo se trabalhando com formulacao mistaem pressao e velocidade, recai-se num pro-blema de minimizacao do funcional, nao exi-gindo dessa forma compatibilidade entre osespacos de aproximacao.

Assim, a formulacao variacional de mınimosquadrados e aplicada da seguinte forma:

J(u, p) = 12 [

∫Ω (∇ · u− f) (∇ · u− f)+

(u + k(x)∇p)(k−1(x)u +∇p

)dΩ

](5)

sendo u o vetor velocidade, p a pressao e k(x)uma matriz diagonal.

Associado a minimizacao de J , temos o se-guinte problema variacional:

Problema P1: Achar u e p, tal que:

B(u, p; q, η) = F (q, η) (6)

sendo B(·, ·) e F (·), definidos como

B(u, p; q, η) =∫Ω (∇ · u) (∇ · q)+

(u + k(x)∇p)(k−1(x)q +∇η

)dΩ (7)

eF(q) =

∫

Ωf∇ · qdΩ (8)

A analise de erro dessa formulacao com ometodo dos elementos finitos apresenta a se-guinte taxa de convergencia [5, 8]:

‖p− ph‖H1+ ‖u− uh‖Hdiv

≤ chj (9)

sendo j o grau do polinomio de interpolacaotanto da variavel p quanto da variavel u.Polinomios de diferentes graus tambem podemser utilizados para aproximar cada uma dasvariaveis desse problema, como apresentadoem [8].

Formulacao com RotacionalPara melhorar a aproximacao para o campo

de velocidades, que e a variavel de maior inte-resse do problema, foi proposto em [5, 8] umaformulacao incluindo a equacao do rotacionalnulo do campo u.

Dessa forma o sub-sistema elıptico e reescritoda seguinte forma:

∇ · u = f em Ω (10)

u = −k(x)∇p em Ω (11)

k−1(x)∇× u = 0 em Ω (12)

p = δ em Γp (13)

u · n = 0 em Γu (14)

u× n = 0 em Γp (15)

O funcional de Mınimos Quadrados para oproblema em questao e

J(u, p) = 12

∫Ω(∇ · u− f)(∇ · u− f)+

(k−1(x)∇× u)(k−1(x)∇× u)+

(u + k(x)∇p)(k−1(x)u +∇p)dΩ (16)

com u, p e f e k definidos anteriormente.Fazendo-se a variacao de J , temos o seguinte

problema variacional:Problema P2: Achar (u, p), tal que:

B (u, p); (q, η) = F(q) (17)

com B(·, ·) e F(·), definidos a seguir.

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B (u, p); (q, η) =∫Ω (∇ · u) (∇ · q) +

(u + k (x)∇p)(k (x)−1 q +∇η

)+(

k (x)−1∇× u)

(k(x)−1∇× q)dΩ (18)

F(q) =∫

f∇ · qdΩ (19)

Observa-se que esse sistema mantem onumero de incognitas nodais e consequente-mente a ordem do sistema de equacoes.

Para essa formulacao a taxa de erro [5, 8] doproblema discretizado pelo metodo dos elemen-tos finitos encontrada e:

‖p− ph‖H1+ ‖u− uh‖H1

≤ chj (20)

onde j e o grau do polinomio de aproximacaotanto para p quanto para u, h e o intervalo dediscretacao espacial e c uma constante.

Nesse caso, pode-se tambem obter a taxa deerro em L2 [8] dada por:

‖p− ph‖L2+ ‖u− uh‖L2

≤ chj+1 (21)

para interpolacoes de igual ordem, emboradiferentes ordens de aproximacoes possam serutilizadas para aproximar p e u [8].

Resultados NumericosPara testar as formulacoes propostas apre-

sentamos a seguir resultados para um domıniohomogeneo e heterogeneo, tanto para malha re-gular quanto para malha apresentada na Fi-gura 1, utilizando as formulacoes de mınimosquadrados descritas nos problemas P1 e P2.

Figura 1: Malha inclinada

Para estes exemplos, as matrizes A1, A2 e Bque descrevem o sistema de equacoes diferenci-ais, podem ser dadas por:

A1 =

k 0 00 0 00 1 0

(22)

A2 =

0 0 0k 0 00 0 1

(23)

B =

0 1 00 0 10 0 0

(24)

para

u =

pu1

u2

(25)

Para formulacao com o rotacional temos:

A1 =

k 0 00 0 00 1 00 0 −k−1

(26)

A2 =

0 0 0k 0 00 0 10 k−1 1

(27)

B =

0 1 00 0 10 0 00 0 0

(28)

Exemplo 1Como primeiro exemplo apresentamos um

domınio quadrado de dimensao 1, e um meiohomogeneo com k = 0, 1 · I, onde I e a matrizidentidade.

As condicoes de contorno prescritas sao apressao em x = 0, P (0, y) = 1, e x = 1,P (1, y) = 0 e fluxo normal nulo em y = 0 ey = 1.

Figura 2: Permeabilidade homogenea

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Para todos os exemplos desse trabalho odomınio foi discretizado em 25 × 25 elemen-tos isoparametricos bilineares com integracaode Gauss com 2× 2 pontos.

Resultados para formulacao sem rotacionale com rotacional sao apresentados nas Figu-ras 2 e 3, para discretizacao com malha regular.

Figura 3: Permeabilidade homogenea e for-mulacao com rotacional

Nas Figuras 4 e 5 apresentamos tambem re-sultados sem rotacional e com rotacional comuma malha inclinada em relacao aos eixos car-tesianos (Figura 1), como sugerido em [3].

Figura 4: Permeabilidade homogenea e malhainclinada

Exemplo 2A seguir, o problema e aplicado a um meio

heterogeneo (diferentes permeabilidades) comoapresentado na Figura 6.

A Figura 7 apresenta resultados da for-mulacao sem rotacional, onde podemos obser-var pequenas oscilacoes na velocidade proximo

Figura 5: Permeabilidade homogenea, malhainclinada e formulacao com rotacional

Figura 6: Domınio com permeabilidade hete-rogenea

a regiao de baixa permeabilidade. A Figura 8apresenta resultados da formulacao com rota-cional onde observa-se a nao existencia de os-cilacoes e um perfil parabolico para velocidade.

Figura 7: Permeabilidade heterogenea

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Figura 8: Permeabilidade heterogenea e for-mulacao com rotacional

Tambem para esse exemplo utilizamos umamalha regular e a malha apresentada na Fi-gura 1, os resultados para a formulacao demınimos quadrados e formulacao de mınimosquadrados com rotacional, sao apresentadosnas Figuras 7, 9 e nas Figuras 8, 10 respec-tivamente.

Figura 9: Permeabilidade heterogenea e malhainclinada

Nas Figuras 7 e 9 podemos observar umapequena oscilacao nas velocidades proximo aregiao de baixa permeabilidade. Com a in-clusao da equacao ∇ × u = 0 a formulacao,apresentada nas Figuras 8 e 10, nao ha maisoscilacao e aparece o perfil parabolico naocaptado em outras formulacoes, tais como astecnicas de pos-processamento para a veloci-dade [3] apresentadas nas Figuras 12-15.Exemplo 3

Neste exemplo o escoamento ocorre em

Figura 10: Permeabilidade heterogenea, malhainclinada e formulacao com rotacional

Figura 11: Representacao da pressao na for-mulacao com rotacional

Figura 12: Velocidades obtidas pelo pos-processamento global (contribuicao do lado es-querdo) [3]

funcao da diferenca de pressao de uma regiaoconfinada nas laterais que possui duas barrei-

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Figura 13: Velocidades obtidas pelo pos-processamento global (contribuicao do lado di-reito) [3]

Figura 14: Velocidades obtidas pelo pos-processamento local com tensor de permeabi-lidade diagonal [3]

ras perpendiculares a direcao de escoamento,formando um canal por onde o fluido deve pas-sar. As barreiras sao representadas por regiaocom baixa permeabilidade nas quais o fluidonao deve penetrar (Figura 16).

As Figuras 17 e 18 apresentam resultados davelocidade para a formulacao sem rotacional ecom rotacional respectivamente e a Figura 11apresenta resultados da pressao encontrada naformulacao com rotacional. Pode-se observarnas Figuras 17 e 18 a continuidade das direcoespreferenciais dos vetores de velocidade.Conclusao

Para o sub-sistema elıptico observamos, nosexemplos analisados, que a formulacao mista

Figura 15: Velocidades obtidas pelo pos-processamento local com tensor de permeabi-lidade completo [3]

Figura 16: Domınio e condicoes de contorno [3]

Figura 17: Formulacao sem rotacional

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Figura 18: Formulacao com rotacional

em pressao e velocidade apresenta resultadoscomparaveis aos encontrados na literatura paraas mesmas aplicacoes. Apesar de, nesse pro-blema, estarmos resolvendo um sistema deequacoes com 3 incognitas por no, a matriz re-sultante e simetrica positiva definida.

A inclusao da equacao de irrotacionalidadedo fluxo, nao aumenta o numero de equacoesdesse sistema e melhora as taxas de con-vergencia obtidas por essa formulacao. Issopode ser observado no Exemplo 2 onde foipossıvel captar inclusive, o perfil parabolico docomportamento da velocidade.

Esses resultados mostram que a formulacaode mınimos quadrados para problemas esta-cionarios se constituem em uma opcao para asformulacoes classicas e para as formulacoes es-tabilizadas em uso, merecendo continuidade noentendimento de seu comportamento.

Como trabalhos futuros, destacamos: apli-car as formulacoes de mınimos quadrados nocalculo da concentracao de mistura dos fluidos,com as velocidades calculadas neste trabalho;resolver o problema elıptico com campos depermeabilidades estocasticas.

Referencias

[1] R. G. S. Castro, ”Analise Numerica deFormulacoes de Elementos Fintos Espaco-Tempo para Escoamentos Miscıveis”, Uni-versidade Federal do Rio de Janeiro - Tesede Doutorado, 1999.

[2] R. E. Ewing, “The Mathematics of Re-servoir Simulation”, Elsevier Scientific Pu-

blishing Company, 1977.

[3] E. L. M. Garcia, “Formulacoes de Elemen-tos Finitos Bi e Tridimensionais para Si-mulacao em Paralelo de Escoamentos emReservatorios de Petroleo”, UniversidadeFederal do Rio de Janeiro - COPPE - Tesede Doutorado”, 1997.

[4] J. Karam-Filho, “Uma formulacao de Ele-mentos Finitos Mistos para EscoamentosIncompressıveis”, Universidade Federal doRio de Janeiro - Tese de Mestrado, 1989.

[5] R. C. P. Leal-Toledo, “Estudo de uma For-mulacao de Mınimos Quadrados para oMetodo dos Elementos Finitos”, Universi-dade Federal do Rio de Janeiro - COPPE- Tese de Doutorado, 1992.

[6] S. M. C. Malta, “Analise Numerica deMetodos de Elementos Finitos para Esco-amentos Miscıveis”, Universidade Federaldo Rio de Janeiro - Tese de Doutorado,1995.

[7] W. G. Ney, “Um Estudo Comparativo so-bre Formulacoes Estabilizadas e Adapta-tividade na Simulacao de DeslocamentosMiscıveis em Meios Porosos pelo Metododos Elementos Finitos”, Universidade Fe-deral do Rio de Janeiro - Tese de Mes-trado, 2002.

[8] A. I. Pehlivanov and G. F. Carey, “ErrorEstimates For Least-Squares Mixed FiniteElements”, Mathematical Modeling andNumerical Analysis, 28(5), (1994) 499-516.

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