Pacote de Teoria e Exerccios para Papiloscopista PF
Estatstica Aula 01 Estatstica Descritiva1 2 3 4 5 Introduo ................................................................................................................................ 2 Tipos de Variveis ................................................................................................................. 3 Rol ............................................................................................................................................... 4 Sries Estatsticas ................................................................................................................. 4 Tcnicas de Descrio Grfica .......................................................................................... 7 5.1 5.2 5.3 6 7 6.1 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 8 9 10 11 Descrio Grfica de Variveis Qualitativas ......................................................... 7 Descrio Grfica de Variveis Quantitativas Discretas .................................. 8 Descrio Grfica de Variveis Quantitativas Contnuas .............................. 10 Medidas de Posio ...................................................................................................... 13 Varincia .......................................................................................................................... 22 Desvio Padro ................................................................................................................ 27 Coeficiente de Variao .............................................................................................. 27 Desvio Interquartlico .................................................................................................. 27 Diagrama de Caixa ....................................................................................................... 28
Caracterizao de uma Distribuio de Frequncias ............................................. 13 Medidas de Disperso ........................................................................................................ 21
Resumo.................................................................................................................................... 32 Exerccios de Fixao ......................................................................................................... 34 Gabarito ............................................................................................................................... 41 Resoluo dos Exerccios de Fixao ........................................................................ 42
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As notas explicativas esto indicadas pelos smbolos (*) ou (**). Optei por no usar notas de rodap para que haja uma melhor fluncia da sua leitura. A ltima seo traz um resumo de alguns conceitos e frmulas importantes para a prova.
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Introduo
A Estatstica a cincia que se preocupa em coletar, analisar e fazer inferncias a partir de dados. A sua matria-prima um conjunto de dados. Ela uma cincia meio, e no fim, sendo til em vrios campos do conhecimento, tais como fsica, engenharia, medicina, aturia, biologia, economia, administrao, etc. Mtodos estatsticos nos ajudam a entender o problema da variabilidade. Mas o que seria essa variabilidade? A idia simples. Diversas observaes de um sistema ou fenmeno no produzem exatamente o mesmo resultado. E isto ocorre porque sistemas/fenmenos fsicos esto sujeitos variabilidade. Considere, por exemplo, o consumo mensal de energia eltrica da sua casa. Voc observa o mesmo consumo mensal todos os meses? claro que no! s vezes, o consumo varia consideravelmente, como nos meses de vero (devido ao uso de ar-condicionado, ventilador, etc.) e de inverno (por causa da utilizao de sistemas de aquecimento, secadora de roupas, etc.). Outro exemplo prtico seria a arrecadao mensal de tributos do governo. O governo precisa saber quais so as fontes potenciais de variabilidade no sistema de arrecadao. a que entra a Estatstica, pois ela capaz de descrever a variabilidade e de indicar quais fontes de variabilidade so mais importantes ou quais tm impacto significativo sobre o desempenho da arrecadao. A Estatstica pode ser dividida em duas partes: a Estatstica Descritiva, que aborda a coleta, organizao e a descrio dos dados experimentais (*), e a Inferncia Estatstica(ou Estatstica Indutiva), cujo objetivo inferir propriedades de um agregado maior (a populao) a partir de um conjunto menor (a amostra). A inferncia estatstica no exata; as suas indues sempre possuem um determinado grau de incerteza (**) (*) As etapas de coleta, organizao descrio podem ser resumidas pela terminologia sntese dos dados. (**) A induo um processo de raciocnio em que, partindo-se do conhecimento de uma parte, procura-se tirar concluses sobre o todo. Uma populao ou universo um conjunto de elementos com pelo menos uma caracterstica comum. A populao pode ser finita ou infinita. Por exemplo, o nmero de pneus defeituosos produzidos em um dia por uma determinada fbrica, uma populao de tamanho finito. J as observaes obtidas pela medio diria de gases de efeito estufa representam umaProfs. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br
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populao de tamanho infinito. A caracterstica comum deve delimitar de forma exata quais os elementos que pertencem populao e quais os que no pertencem. Considere, por exemplo, a populao dos indivduos do sexo masculino inscritos no prximo concurso para ACE-MDIC. Essa populao no inclui as pessoas do sexo feminino que faro o mesmo concurso. Depois que caracterizamos a populao, procedemos ao levantamento de dados acerca da caracterstica (ou caractersticas) de interesse no estudo em questo. Na maioria dos problemas de inferncia estatstica, impossvel ou impraticvel observar toda a populao. Devemos ento restringir nossas observaes a uma parte da populao, isto , a uma amostra proveniente dessa populao. Uma amostra , portanto, um subconjunto finito de uma populao, e todos os seus elementos sero examinados para a realizao do estudo estatstico desejado. Quanto maior a amostra, mais precisas e confiveis sero as indues realizadas sobre a populao. No limite, resultados 100% confiveis podem ser obtidos atravs do exame completo da populao. Na prtica, isso no necessrio, pois indues suficientemente precisas e confiveis podem ser realizadas desde que o tamanho da amostra seja corretamente dimensionado. Retornaremos ao estudo da Inferncia Estatstica, de forma bastante detalhada, em aulas posteriores. A partir deste ponto, voltaremos a nossa ateno para o foco desta aula, que o estudo da Estatstica Descritiva.
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Tipos de Variveis
A funo da Estatstica Descritiva organizar as informaes contidas nos resultados observados. De forma geral, podemos ter cada um dos elementos de uma populao ou amostra associado a mais de uma caracterstica de interesse. Por exemplo, o conjunto dos elementos sob investigao pode ser uma amostra da populao dos candidatos do sexo masculino inscritos no ltimo concurso para ACE/MDIC. Este o conjunto dos elementos fisicamente definidos e considerados. Para este conjunto, as variveis (caractersticas) de interesse poderiam ser: idade, peso e altura. Neste curso, veremos apenas o caso de variveis unidimensionais, em que apenas uma caracterstica de interesse est associada a cada elemento do conjunto examinado. H casos, porm, em que duas ou mais caractersticas precisam ser simultaneamente estudadas. A caracterstica de interesse poder ser qualitativa ou quantitativa. Tem-se, portanto, variveis qualitativas ou quantitativas. A varivel ser qualitativa quando resultar de uma classificao por tipos ou atributos, como, por exemplo:
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a) Populao: Varivel: b) Populao: Varivel:
moradores de uma cidade. sexo (masculino ou feminino). peas produzidas por uma mquina. qualidade (perfeita ou defeituosa).
Por outro lado, a varivel ser quantitativa quando seus valores forem expressos em nmeros. As variveis quantitativas podem ser discretas ou contnuas. Uma varivel contnua aquela cujos possveis valores pertencem a um intervalo de nmeros reais e que resulta de uma mensurao, como, por exemplo, a estatura de um indivduo. Uma varivel discreta aquela cujos possveis valores formam um conjunto finito ou enumervel de nmeros, e que resultam, freqentemente, de uma contagem. Exemplos de variveis discretas: a) Populao: Varivel: b) Populao: Varivel: casais residentes em um distrito de uma cidade. nmero de filhos. carros produzidos em uma linha de montagem. nmero de defeitos por unidade.
Exemplos de variveis contnuas: a) Populao: Varivel: b) Populao: Varivel: detergentes de uma certa marca e tipo. peso lquido. peas produzidas por uma mquina. dimetro externo.
A Estatstica Descritiva pode descrever os dados atravs de grficos, distribuies de frequncia ou medidas associadas a essas distribuies, conforme veremos a seguir.
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Rol
Vimos que a organizao dos dados coletados uma das etapas do processo estatstico a cargo da Estatstica Descritiva. Um rol um arranjo dos dados em ordem crescente ou decrescente. Assim, {10, 8, 20, 12, 15, 3, 2, 4} so dados brutos e {2, 3, 4, 8, 10, 12, 15, 20} constituem o rol.
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Sries Estatsticas
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As tabelas so recursos utilizados pela Estatstica, com o objetivo de organizar e facilitar a visualizao e comparao dos dados. As tabelas permitem uma viso geral dos valores assumidos pelas variveis dentro de certos parmetros. chamada srie estatstica toda tabela que apresenta um conjunto de dados estatsticos distribudos em funo da poca, do local ou da espcie. As sries estatsticas podem ser classificadas em histricas; geogrficas; especficas; e distribuio de frequncias.
Exemplos: 1) Srie histrica: ndice Nacional de Preos ao Consumidor Amplo (IPCA) IPCA (%) Jun/2011 Mai/2011 Abr/2011 Mar/2011 Fev/2011 Jan/2011 Dez/2010 Nov/2010 Out/2010 Set/2010 Ago/2010 Jul/2010 Jun/2010 Fonte: IBGE 0,15 0,47 0,77 0,79 0,80 0,83 0,63 0,83 0,75 0,45 0,04 0,01 0,00
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2) Srie geogrfica: os 10 maiores PIB do mundo PIB 2010 Pas US$ (bilhes) EUA 14.582 China 5.878 Japo 5.497 Alemanha 3.309 Frana 2.560 Reino Unido 2.246 Brasil 2.087 Itlia 2.051 Canad 1.574 Fonte: Banco Mundial 3) Srie especfica: nmero de formandos por curso de graduao de uma universidade NMERO DE ALUNOS EGRESSOS - 2010 Cursos No de egressos Engenharia 100 Direito 250 Administrao 150 Economia 50 Contabilidade 50 (*) Valores hipotticos 4) Distribuio de frequncias: Altura dos alunos de uma academia ginstica Alturas (m) No de alunos 1,50 |-- 1,60 25 1,60 |-- 1,70 45 1,70 |-- 1,80 80 1,80 |-- 1,90 15 1,90 |-- 2,00 5 2,00 |-- 2,10 1 (*) Valores hipotticos O conceito de distribuio de frequncias importante e ser visto com um maior grau de detalhamento na prxima seo.
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Tcnicas de Descrio Grfica
A frequncia de um dado valor de uma varivel (qualitativa ou quantitativa) definida como o nmero de vezes que esse valor foi observado. Seja fi a frequncia do i-simo valor observado. Se o nmero total de elementos observados n, ento vale a relao (1)
fi =1
k
i
=n
em que k denota o nmero de diferentes valores existentes da varivel. A associao das respectivas frequncias a todos os diferentes valores observados define a distribuio de frequncias do conjunto de valores observados. Tambm podemos trabalhar com a noo de frequncia relativa de um valor observado, definida como (2)
pi =
fi . n
Observe que (3) 5.1
pi =1
k
i
=1.
Descrio Grfica de Variveis Qualitativas
O grfico obtido por meio do clculo das frequncias ou frequncias relativas poder ser um diagrama de barras, um diagrama circular ou qualquer outro tipo de diagrama equivalente. Exemplo. Considere um grupo de 147 candidatos a um curso de MBA, classificados segundo a sua graduao, conforme a Tabela 1. Tabela 1: formao de graduao. Formao Engenheiros Administradores Economistas Contadores Outros Total Frequncias 45 38 35 16 13 147 Freq. Relativa (%) 30,61 25,85 23,81 10,88 8,84 100,00
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Os dados esto representados por meio de um diagrama de barras e por um diagrama circular (veja as duas figuras a seguir).
5.2
Descrio Grfica de Variveis Quantitativas Discretas
A descrio grfica de variveis quantitativas discretas normalmente feita por meio de um diagrama de barras. Como a varivel quantitativa, seus valores numricos podem ser representados num eixo horizontal. Neste caso, as barras do diagrama sero verticais. Exemplo. Considere a varivel nmero de defeitos por unidade obtidos a partir de produtos retirados de uma linha de produo. Seja o conjunto de 20 valores obtidos conforme a Tabela 2.
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Tabela 2: distribuio de frequncias. xi 0 1 2 3 4 5 Total fi 8 14 10 4 2 2 40 pi 0,20 0,35 0,25 0,10 0,05 0,05 1,00
A figura abaixo mostra o diagrama de barras associado aos dados da Tabela 2.
Tambm possvel representar graficamente os dados da Tabela 2 utilizando as frequncias acumuladas, que sero denotadas por Fi. A frequncia acumulada, em qualquer ponto do eixo horizontal (ou eixo das abscissas), a soma das frequncias de todos os valores menores ou iguais ao valor correspondente a esse ponto. De forma anloga, tambm temos as frequncias relativas acumuladas Pi. A Tabela 3 ilustra as frequncias e frequncias relativas acumuladas para os dados da Tabela 2. A figura a seguir mostra o grfico das frequncias acumuladas. Tabela 3: frequncias acumuladas. xi 0 1 2 3 4 5Profs. Alexandre Lima
Fi 8 22 32 36 38 40
Pi 0,20 0,55 0,80 0,90 0,95 1,00
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5.3
Descrio Grfica de Variveis Quantitativas Contnuas
O diagrama de barras no usado na descrio grfica de variveis quantitativas contnuas (*). O Exemplo a seguir ilustra a tcnica usualmente empregada na prtica. (*) Devido natureza contnua da varivel. Exemplo. Considere a varivel comprimento de peas produzidas em uma fbrica, dada em centmetros: 10,4 10,6 10,3 10,9 10,4 10,5 10,2 10,5 10,5 10,5 10,8 10,7 10,4 10,3 10,6 10,2 10,4 10,7 10,6 10,9 10,6 10,5 10,4 10,5 10,7
Na Tabela 4, temos os dados acima organizados em termos de frequncias e de frequncias relativas, simples e acumuladas.
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Tabela 4: distribuio das frequncias e das frequncias acumuladas. xi 10,2 10,3 10,4 10,5 10,6 10,7 10,8 10,9 fi 2 2 5 6 4 3 1 2 25 Fi 2 4 9 15 19 22 23 25 pi 0,08 0,08 0,20 0,24 0,16 0,12 0,04 0,08 1,00 Pi 0,08 0,16 0,36 0,60 0,76 0,88 0,92 1,00
A prxima figura uma representao grfica das duas primeiras colunas da Tabela 4. importante que voc aprenda a interpretar corretamente o grfico da figura a seguir. Por exemplo, a frequncia 2 associada ao valor 10,3 quer dizer, na verdade, que temos dois valores compreendidos entre os limites 10,25 e 10,35, que foram aproximados, no processo de medio, para 10,3. Portanto, uma representao grfica correta dever associar a frequncia 2 ao intervalo 10,25 - 10,35. Isto feito por meio de uma figura formada com retngulos cujas reas representam as frequncias dos diversos intervalos existentes. Tal figura denominada histograma.
7
6
5
4
f3 2 1 0 10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
10.9
11
x
No caso das variveis contnuas, as frequncias sempre sero associadas a intervalos de variao da varivel e no a valores individuais. Tais intervalos so chamados de classes de frequncias. Estas classes so usualmente representadas pelos seus pontos mdios.
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Variveis contnuas tambm podem ser representadas pelo polgono de frequncias, que obtido unindo-se os pontos mdios dos patamares do histograma. Para completar a figura, consideram-se duas classes laterais com frequncia nula (*). A figura a seguir ilustra o polgono de frequncias correspondente ao histograma da figura anterior. (*) Exceto no caso de variveis essencialmente positivas cujo histograma se inicia no valor zero, pois no haveria sentido em se considerar um intervalo com valores negativos.
7
6
5
4
f3 2 1 0 10.2
10.3
10.4
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10.6
10.7
10.8
10.9
11
xA figura a seguir mostra os grficos das frequncias relativas acumuladas e do polgono de frequncias relativas acumuladas (ou ogivas percentuais (*)) relativos ao ltimo exemplo. (*) O polgono de frequncias acumuladas tambm pode ser chamado de ogiva.
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1 0.9 0.8 0.7 0.6
P
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
10.9
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x
Na prtica, s vezes necessrio agrupar os dados em classes de frequncia que englobam diversos valores da varivel. A frequncia de cada classe ser, nesse caso, igual soma das frequncias de todos os valores existentes dentro da classe. Este procedimento corresponde a uma diminuio proposital da preciso com que os dados foram computados. O problema a resolver, em tais casos, o de determinar qual o nmero k de classes a constituir, qual o tamanho ou amplitude h dessas classes e quais os seus limites. Seja R a amplitude do conjunto de dados, ou seja, a diferena entre o maior e o menor dos valores observados. Fixado o nmero k de classes, resulta (4)
h
R . k
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Caracterizao de uma Distribuio de Frequncias
A distribuio de frequncias de uma varivel quantitativa tambm pode ser caracterizada por grandezas numricas denominadas medidas da distribuio de frequncias. As medidas buscam sumarizar as informaes disponveis sobre o comportamento de uma varivel. H medidas de posio, de disperso, de assimetria e de achatamento ou curtose. As medidas de posio e de disperso so as mais importantes na prtica e servem para localizar as distribuies e caracterizar a sua variabilidade. As medidas de disperso sero vistas na prxima aula. 6.1 Medidas de Posio
As medidas de posio servem para localizar a distribuio de frequncias sobre o eixo de variao da varivel em questo. Estudaremos, nesta aula, a mdia, a mediana e a moda.Profs. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br
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A mdia e a mediana indicam, por critrios diferentes, o centro da distribuio de frequncias, ou seja, so medidas de tendncia central. A moda, por sua vez, indica a regio de maior concentrao de frequncias na distribuio. Mdia Aritmtica Suponha que voc more em So Paulo (capital) e que esteja planejando uma viagem de carro para o Rio de Janeiro (capital) pela rodovia BR-116 (rodovia Pres. Dutra) no prximo feriado. Qual seria o tempo gasto na viagem? Bem, a resposta mais exata, do ponto de vista estatstico, uma vez que o tempo de viagem uma grandeza aleatria (o tempo de viagem varia em funo de fatores sobre os quais no temos controle tais como congestionamentos devidos a acidentes com veculos, fiscalizaes da Polcia Rodoviria, etc.), seria fornecer a distribuio de frequncias dos tempos de viagem de carro para o Rio de Janeiro (vamos admitir que voc viaje de carro com alguma frequncia para o Rio de Janeiro e que tenha coletado esse conjunto de dados). Porm, ningum espera que voc d como resposta uma distribuio de frequncias dos tempos de viagem. O que se espera que voc fornea o tempo esperado ou mdio que ser gasto na viagem. Como calculamos a mdia de uma distribuio de frequncias? Responderemos essa pergunta na sequncia. A mdia aritmtica, ou mdia, de um conjunto de n nmeros x 1 , x 2 ,..., x n definida por (leia-se x barra) (5)x= x1 + x 2 + ... + x n 1 n 1 = xj = x n n j=1 n
Exemplo. A mdia dos nmeros 3, 4, 8, 11 e 13
x=
3 + 4 + 8 + 11 + 13 = 7,8 5ocorrerem com as frequncias
Se k valores distintos observados f1 , f 2 ,..., f k , respectivamente, a mdia ser
(6)
f x + f x + ... + f k x k = x= 1 1 2 2 f1 + f 2 + ... + f k
f xj=1 k j
k
j
fj=1
=
k 1 k f jx j = p jx j n j=1 j=1
j
em que pj denota a j-sima frequncia relativa.
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Exemplo. Se 4, 7, 5, 2 ocorrerem com as frequncias 3, 2, 4 e 1, respectivamente, a mdia aritmtica ser de
x=
(4 3) + (7 2) + (5 4) + (2 1) = 4,8 3 + 2 + 4 +1
Mencionamos acima que a mdia caracteriza o centro da distribuio de frequncias; fazendo uma analogia com a mecnica, poderamos interpretar a mdia como sendo o centro de gravidade de uma distribuio de frequncias. Podemos destacar as seguintes propriedades da mdia: a) multiplicando todos os valores de uma varivel por uma constante, a mdia do conjunto fica multiplicada por essa constante. Seja x a varivel de interesse, c um valor constante e y = cx. Ento y = cx . b) somando ou subtraindo uma constante a todos os valores de uma varivel, a mdia do conjunto fica acrescida ou diminuda dessa constante. Seja x a varivel de interesse, c um valor constante e y = x c . Ento y = x c . Mdia Aritmtica de Dados Agrupados Quando os dados so apresentados em uma distribuio de frequncias, todos os valores includos num certo intervalo de classe so considerados coincidentes com o ponto mdio do intervalo. As frmulas (5) e (6) sero vlidas para esses dados agrupados quando se interpretar x j como o ponto mdio e f j como a frequncia de classe correspondente. Exemplo. Seja a distribuio em classes de frequncia dada na Tabela 5. Temos que
x=
x fn
i i
=
5.500 = 55,0 . 100
Tabela 5: clculo da mdia. Classe (limites reais) 40,0 45,0 45,0 50,0 50,0 55,0 55,0 60,0 60,0 65,0 65,0 70,0 70,0 75,0Profs. Alexandre Lima
fi 6 16 32 24 14 6 2 100
xi 42,5 47,5 52,5 57,5 62,5 67,5 72,5
xifi 255 760 1.680 1.380 875 405 145 5.500
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Mdia das mdias Sejam os conjuntos A com n A valores, B com n B valores, ..., e K com n K valores. Se A tem mdia x A , B tem mdia x B , ..., e K tem mdia x K , ento a mdia do conjunto maior que formado pela reunio de todos os elementos dos conjuntos A, B, ..., K em um nico conjunto dada por: (7)
x=
n A x A + n B x B + ... + n K x K , n A + n B + ... + n K
Exemplo. Em uma empresa, h 400 homens e 100 mulheres. Os salrios mdios pagos aos empregados dos sexos masculino e feminino so de R$ 2.520,00 e R$ 2.420,00, respectivamente. Calcule a mdia global dos salrios. Dados: n H = 400 , x H = 2.520 ; n M = 100 , x M = 2.420
x=
n H x H + n M x M 400 2.520 + 100 2.420 = = 2.500 nH + nM 500
Mdia global dos salrios = R$ 2.500,00 Outros Tipos de Mdia Podemos definir outros tipos de mdia de um conjunto de dados, tais como a mdia geomtrica x g , a mdia harmnica x h e a mdia ponderada x p dadas por (8) (9)
x g = n x1.x 2 ...x nxh = n 1 1 1 + + ... + x1 x 2 xn
(10) x p =
w1x1 + w 2 x 2 + ... + w n x n w1 + w 2 + ... + w n
em que w 1 , w 2 ,..., w n denotam fatores de ponderao ou pesos. Exemplo. A mdia geomtrica dos nmeros 2, 4 e 8 :
x g = 3 2 4 8 = 3 64 = 4Exemplo. A mdia harmnica dos nmeros 2, 4 e 8 :Profs. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br
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xh =
3 3,43 1 1 1 + + 2 4 8
Exemplo. O desempenho em um curso de graduao avaliado por meio das notas obtidas nas provas bimestrais P1 e P2 e pela nota de Atividades (A). Sabendo-se que a P2 tem peso 5, que a P1 tem peso 2 e que A tem peso 3, determine a mdia final do aluno que obteve as seguintes notas (em uma escala de 0 a 10): P1 = 5,0, P2 = 4,5 e A=8,5.
xp =
(2 5,0) + (5 4,5) + (3 8,5) 53,5 = = 5,35 5,4 2+5+3 10
Relao entre as mdias aritmtica, geomtrica e harmnica A mdia geomtrica de um conjunto de nmeros positivos x1 , x 2 ,..., x n menor do que ou igual sua mdia aritmtica, mas maior do que ou igual sua mdia harmnica: mdia harmnica mdia geomtrica mdia aritmtica Mediana A mediana caracteriza o centro de uma distribuio de frequncias com base na ordem dos valores que formam o conjunto de dados. A mediana o valor que ocupa a posio central dos dados ordenados. A mediana o valor que divide a distribuio ao meio, deixando os 50% menores valores de um lado e os 50% maiores valores do outro lado. A mediana de um conjunto de n valores ordenados, sendo n mpar, definida como o valor de ordem (n+1)/2 desse conjunto. Se n for par, consideraremos a mediana como o valor mdio entre os valores de ordem n/2 e (n/2) + 1 do conjunto de dados. Exemplo. A mediana dos nove valores j ordenados, 12 14 15 19 20 22 26 27 30
igual a 20. A mediana dos oito valores j ordenados, 12 14 15 19 20 26 27 30
igual a (19+20)/2 = 19,5. A mediana (md) de uma distribuio em classes de frequncias dada pela expressoProfs. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br
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(11) md = Li +
(n / 2) Fa h md f md
em que L i o limite inferior da classe que contm a mediana, n o nmero de elementos do conjunto de dados, Fa a soma das frequncias das classes anteriores que contm a mediana, f md a frequncia da classe que contm a mediana e h md a amplitude da classe que contm a mediana. A expresso (11) supe que os valores observados da varivel tenham se distribudo homogeneamente dentro das diversas classes. Exemplo. Considere os dados da Tabela 5, repetidos abaixo na Tabela 6. Tabela 6 Classe (limites reais) 40,0 45,0 45,0 50,0 50,0 55,0 55,0 60,0 60,0 65,0 65,0 70,0 70,0 75,0 fi 6 16 32 24 14 6 2 100
A mediana
md = 50,0 +
50 22 5 = 54,375 . 32
Em certos casos prticos, como aqueles que envolvem distribuies de frequncia com valores extremos, mais conveniente usar a mediana como medida de tendncia central, pois a mdia sofre influncia de valores extremos. Neste caso, a mediana fornecer uma melhor idia do centro da distribuio de frequncias da varivel sob anlise. A mediana de uma distribuio em classes de frequncias pode ser geometricamente interpretada como o ponto tal que uma vertical por ela traada divide a rea sob o histograma em duas partes iguais. A mediana e a mdia so coincidentes quando a distribuio simtrica. Em distribuies assimtricas, a mdia tende a deslocar-se para o lado da cauda mais longa (vide figura abaixo).
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A mediana divide o conjunto ordenado de dados em dois subconjuntos com igual nmero de elementos. H outras maneiras de se dividir os dados ordenados. Os quartis (Q1, Q2, Q3) dividem o conjunto ordenado de valores em quatro subconjuntos com igual nmero de elementos. O primeiro quartil (Q1) ou quartil inferior (Qi) delimita os 25% menores valores; o segundo quartil a prpria mediana e o terceiro quartil (Q3) ou quartil superior (Qs) o valor que separa os 25% maiores valores (veja a prxima figura). Alm dos quartis, podemos definir os decis (D1, D2,..., D9), que so os valores que dividem os dados ordenados em dez partes iguais (note que a mediana corresponde ao quinto decil D5) e os percentis,que so os valores que dividem os dados ordenados em 100 partes iguais, sendo representados por P1, P2,..., P99 (a mediana o percentil P50). De maneira geral, os quartis, decis e percentis e outros valores obtidos mediante subdivises dos dados em partes iguais so denominados quantis.
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Moda A moda dada pelo valor mais freqente (ou de mxima frequncia). Sendo assim, a moda para o conjunto de dados da Tabela 2 1 e, no caso da Tabela 6, a classe modal 50,0 55,0. Se todas as realizaes do conjunto de valores observados ocorrem com a mesma frequncia, diz-se que a srie estatstica amodal, ou seja, no tem valor modal. Exemplo. Seja a srie estatstica {2, 1, 9, 4, 5, 20, 8, 7, 11, 19}. Essa srie amodal, pois no h repetio de valores (todos ocorrem o mesmo nmero de vezes). Pode haver mais de uma moda em um conjunto de valores. Se houver apenas uma moda, a distribuio dita unimodal. Se houver duas, bimodal, se possuir trs trimodal e assim sucessivamente. No caso de distribuies de frequncia em classes de mesma amplitude, comum definir-se a moda (mo) como um ponto pertencente classe modal, dado por (12) mo = Li +
d1 h, d1 + d 2
em que L i o limite inferior da classe modal, d1 a diferena entre a frequncia da classe modal e a da classe imediatamente anterior, d 2 a diferena entre a frequncia da classe modal e a da classe imediatamente seguinte e h a amplitude das classes. A frmula (12) corresponde ao clculo da moda pelo Mtodo de Czuber. Exemplo.Considere os dados da Tabela 6. Ento Li = 50,0 , d1 = 32 16 = 16 , d 2 = 32 24 = 8 , h = 5 e a moda
mo = 50,0 +
16 5 53,333 . 16 + 8
A moda tambm pode ser calculada pelo Mtodo de King:
mo = Li +
f post f post + f ant
h,
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em que L i denota o limite inferior da classe modal, f post a frequncia da classeposterior classe modal, f ant a frequncia da classe anterior classe modal e h a amplitude da classe modal. Caso a questo da prova no especifique, dever ser utilizado o mtodo de Czuber. Relao Emprica entre a Mdia, a Mediana e a Moda Para as curvas de frequncia unimodal moderadamente (assimtricas), a seguinte relao emprica vlida (13) x mo = 3 ( x md) ou seja, Mdia Moda = 3(Mdia - Mediana). inclinadas
A figura abaixo mostra as posies relativas da moda, mediana e mdia para uma distribuio de frequncia (levemente) inclinada para a direita.
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Medidas de Disperso
Pense na seguinte situao: uma pessoa faz quatro refeies por dia, enquanto que outra no faz nenhuma refeio por dia. Na mdia, ambas fazem duas refeies por dia. Isto quer dizer que os dois indivduos esto bem alimentados? A resposta bvia no. para isso que servem as medidas de disperso, isto , medidas de como os dados esto agrupados: mais ou menos prximos entre si (mais ou menos dispersos).Profs. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br
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As medidas de disperso indicam o quanto os dados se apresentam dispersos em torno da regio central. Desta forma, caracterizam o grau de variabilidade existente nos dados. As seguintes medidas de disperso nos interessam: a varincia, o desvio padro, o coeficiente de variao e o desvio interquartlico. 7.1 Varincia
A varincia de um conjunto de observaes {x1 , x 2 ,..., x n } pode ser calculada pela frmula (14) s 2 = x
1 n (x i x)2 n i=1
em que s 2 denota a varincia e x representa a mdia aritmtica. Se os valores x distintosx1 , x 2 ,..., x k
ocorrerem
com
as
frequncias
f1 , f 2 ,..., f k
( f i = n ),i =1
k
respectivamente, a varincia ser dada por (*) (15) s 2 = x
1 k fi (x i x )2 . n i=1
(*) Em (14) e (15), consideramos que os dados se referem a uma populao finita. Caso os dados estejam associados a uma amostra, o fator n (= fi) que aparece no denominador do lado direito de (14) e (15) deve ser substitudo por (n1). A justificativa para o uso do fator (n1) ser apresentada em outra aula, mas j posso adiantar que ela est relacionada inferncia estatstica. No obstante, a diferena entre as duas definies tornase desprezvel para grandes valores de n. A varincia tem, entre outras, as seguintes propriedades: a) multiplicando todos os valores de uma varivel por uma constante, a varincia do conjunto fica multiplicada pelo quadrado dessa constante. Seja x a varivel de interesse, c um valor constante e y = cx. Ento s 2 = c 2s 2 . y x b) somando ou subtraindo uma constante a todos os valores de uma varivel, a varincia no se altera. Seja x a varivel de interesse, c um valor constante e y = x + c. Ento s 2 = s 2 . y x Note-se que (14) pode ser reescrita na forma1 1 1 s 2 = x i2 x i = x i2 x 2 , x n i n i n i Profs. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br2
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ou seja, como a diferena entre a mdia aritmtica dos quadrados dos valores e o quadrado da mdia aritmtica dos valores:
VARINCIA = Mdia dos Quadrados Quadrado da Mdia.Exemplo. Considere o conjunto de dados {2, 5, 8, 11, 14}. Ento a varincia desse conjunto A) 8 B) 20,25 C) 18 D) 24 E) 22 Resoluo A mdia do conjunto
x=
2 + 5 + 8 + 11 + 14 =8 5
e a varincia
s
2 x
(x =
i
x)2
n
(2 8) 2 + (5 8) 2 + (8 8) 2 + (11 8) 2 + (14 8) 2 = = 18. 5
Tambm podemos usar a frmula "maceteada" da varincia:
1 Varincia = Mdia dos Quadrados Quadrado da Mdia = x i2 x 2 n i Sequncia de clculos: 1) Mdia dos quadrados:1 2 2 + 52 + 82 + 112 + 14 2 410 x i2 = = = 82 . n i 5 5
2) Quadrado da mdia:1 x i = x 2 = 82 = 64 . n i 2
Ento,Profs. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br
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3) s 2 = 82 64 = 18 (mesmo resultado!). x GABARITO: C Varincia Combinada Considere o conjunto de dados A com NA elementos, mdia A e varincia s 2 e A 2 o conjunto B com NB elementos, mdia B e varincia s B . Pode-se demonstrar que a varincia da populao conjunta A+B, tambm denominada varincia combinada ou global, dada por2 A+B
s
A + B = + . NA + NB NA + NB NA + NB 2 2 2
A
B
Fazendo N = NA + NB, obtemos2 A+B
s
A =N
2
B +N
2
A + B . N 2
J caiu em prova! (Adm. Jr./REFAP/2007/Cesgranrio). O setor de recursos humanos de uma empresa tem o hbito de divulgar separadamente a mdia e a varincia das notas das avaliaes dos funcionrios do sexo feminino e do masculino. Na ltima avaliao, os resultados obtidos foram: Feminino 20 6 3,4 Masculino 30 7 4
Nmero de funcionrios Mdia Varincia
A mdia e a varincia das notas dos funcionrios dessa empresa, respectivamente, valem: A) 6,5 e 3,7 B) 6,6 e 3,4 C) 6,6 e 4,0 D) 7,5 e 3,7 E) 13,0 e 7,5 Resoluo Dados: NA = 20, A = 6 e s 2 = 3,4 (conjunto feminino); NB = 30, B = 7 e s 2 = 4,0 A B (conjunto masculino).Profs. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br
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A mdia global ou mdia das mdias dada pela mdia ponderada das mdias dos conjuntos:X A+B = N A A + N B B 20 6 + 30 7 = = 6,6. NA + NB 20 + 30
O resultado acima j nos permite eliminar as opes A, D e E. Restaram as alternativas B e C. A varincia combinada dada por2 A+B
s
A =N
2
B +N
2
A + B . N 2
Calcularemos a varincia combinada se soubermos os valores das somatrias A (soma de A), B (soma de B), A 2 (soma dos quadrados de A) e B 2 (soma dos quadrados de B). A mdia do conjunto A 6 A mdia do conjunto B 7 A varincia de A 3,4. Ento,
A = 6 20 B 30
A = 120 (soma de A = 120).
= 7 B = 210 (soma de B = 210).
2 sA
A =NA
2
A 2 = 20 39,4 = 788 (soma dos quadrados de A = 788).A varincia de B 4,0. Logo,
A 2 A 2 A 2 = 3,4 A 2 62 = 3,4 A 2 = 39,4 = 3,4 20 20 20 NA
2 sB
B =NB
2
B 2 = 30 53 = 1.590 (soma dos quadrados de B = 1.590).Finalmente, temos que
B 2 B 2 B 2 = 4,0 B 2 72 = 4,0 B 2 = 53,0 = 4,0 N 30 30 30 B
2 sA +B
A + B =2
2 sA +B
A + B 2 2 2 = 788 + 1.590 120 + 210 = 2.378 330 = 47,56 6,6 2 50 50 N N N 50 50 50 = 47,56 43,56 = 4,0 varincia combinada = 4,0.2
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GABARITO: C Nota: se as mdias dos conjuntos A e B forem iguais, ou seja, se A = B , a varincia combinada pode ser calculada por meio da frmula simplificada
s
2 A +B
2 2 2 2 N A sA + N B sB N A sA + N B sB = = , NA + NB N
em que N = NA + NB. Repare que trata-se de uma mdia ponderada das varincias individuais. Ateno: a frmula acima um caso particular da frmula anterior da varincia combinada. Voc s poder aplic-la quando as mdias dos conjuntos A e B forem iguais! Exemplo. Sejam os conjuntos de nmeros {2, 5, 8, 11, 14} e {2, 8, 14}, Assinale a opo com a varincia dos conjuntos combinados ou reunidos. A) 8 B) 20,25 C) 18 D) 24 E) 22 Resoluo Temos a srie estatstica A = {2, 5, 8, 11, 14} com mdia
A=
2 + 5 + 8 +11+14 40 = =8 5 5
e a srie B = {2, 8, 14} com mdia
B=
2 + 8 +14 24 = = 8. 3 3
Como as mdias so iguais, podemos aplicar a frmula simplificada2 sA +B = 2 2 N A sA + N B sB . N
Varincia do 1 conjunto:
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s
2 A
(A A ) =NA
2
(2 8) 2 + (5 8) 2 + (8 8) 2 + (11 8) 2 + (14 8) 2 = = 18. 52 B
Varincia do 2 conjunto: s
(B B ) =NB
2
(2 8) 2 + (8 8) 2 + (14 8) 2 = = 24. 3
2 Varincia combinada: sA +B =
5 18 + 3 24 = 20,25. 5+3
GABARITO: B 7.2 Desvio Padro
O desvio padro de um conjunto de dados a raiz quadrada positiva da varincia, ou seja,2 (16) s x = + s x .
O desvio padro est na mesma unidade da varivel, sendo, por isso, de maior interesse na prtica. Exemplo. Determine o desvio padro do conjunto 2, 5, 8, 11, 14. Vimos que esse conjunto possui varincia igual a 18. Logo, s x = 18 4,24 . 7.3 Coeficiente de Variao
O coeficiente de variao definido como o quociente entre o desvio padro e a mdia, sendo frequentemente expresso em porcentagem: (17) cv( x ) =
sx . x
Esta medida caracteriza a disperso dos dados em termos relativos a seu valor mdio. Exemplo. Determine o coeficiente de variao do conjunto 2, 5, 8, 11, 14. O conjunto tem mdia 8 e desvio padro 4,24. Portanto, cv( x) = 7.4 Desvio Interquartlico
4,24 0,53 = 53% . 8
O desvio interquartlico, definido por
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(18) d Q = Q s Q i , em que d Q denota o desvio interquartlico, Q s o quartil superior e Q i o quartil inferior, pode ser usado como uma medida de disperso. Em distribuies mais dispersas, os valores dos quartis ficam mais distantes. Em distribuies simtricas, a distncia entre o quartil inferior e a mediana igual distncia entre a mediana e o quartil superior, enquanto que em distribuies assimtricas essas distncias so diferentes. Exemplo. O primeiro e o terceiro quartis da distribuio das alturas dos estudantes da Universidade de So Paulo so 165,56 cm e 178,59 cm, respectivamente. Calcule o desvio interquartlico dessa distribuio.
d Q = Qs Qi = 178,59 165,56 = 13,03 cm.7.5 Diagrama de Caixa
Um diagrama de caixa ou box plot ou caixa-de-bigodes um retngulo que representa o desvio interquartlico (IQR) ( a estatstica d Q definida por (18)). Para construir esse diagrama (veja a prxima figura), consideramos um retngulo onde esto representados a mediana, o primeiro quartil (Q1) e o terceiro quartil (Q3). A partir do retngulo, para cima, segue uma linha at o ponto mais remoto que no pode exceder LS = Q3 + 1,5.IQR, chamado limite superior. De modo anlogo, a partir do retngulo, para baixo, segue uma linha at o ponto mais remoto que no seja menor que LS = Q1 1,5.IQR, chamado limite inferior. Os valores compreendidos entre esses dois limites so chamandos valores adjacentes. As observaes que estiverem acima do limite superior ou abaixo do limite inferior sero denominadas pontos exteriores. Essas observaes so destoantes das demais e podem ou no ser o que chamamos de outliers ou valores atpicos (*)1. Um outlier pode ser produto de um erro de observao ou de arredondamento. Contudo, as denominaes pontos exteriores e outliers so frequentemente usadas com o mesmo significado por alguns autores2: observaes fora de lugar, discrepantes ou atpicas. (*) A mdia aritmtica sensvel a outliers. Um nico valor ruim do conjunto de dados pode distorcer a mdia, ou seja, pode mover a mdia para longe do centro da distribuio de frequncias. As mdias geomtrica e harmnica, assim como a aritmtica, tambm no so robustas a outliers. O box plot nos d uma noo da posio, disperso, assimetria, caudas e dados discrepantes da distribuio. A posio central dada pela mediana e a disperso por IQR. As posies relativas de Q1, Q2 e Q3 nos do uma idia da1 2
BUSSAB, Wilton de O.; MORETTIN, Pedro Alberto. Estatstica Bsica. So Paulo: Ed. Saraiva, 2010. MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Estatstica Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
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assimetria da distribuio. Os comprimentos das caudas so dados pelas linhas que vo do retngulo aos valores remotos e pelos valores atpicos. Os comprimentos das caudas so dados pelas linhas que vo do retngulo aos valores remotos e pelos valores atpicos.
Exemplo. Considere um conjunto de dados com os seguintes percentis: 0% 1,7524 25% 4,6901 50% 5,7004 75% 6,1768 100% 7,3658
A prxima figura um box plot do conjunto de dados que gerou a tabela de percentis acima. A cauda inferior longa e isto indica que a distribuio assimtrica. Note tambm a presena de outliers na parte inferior do box plot (so os pontos vermelhos).
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6
Valores
5
4
3
2 1
A figura abaixo mostra o histograma associado ao box plot do exemplo.
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 1
2
3
4
5
6
7
8
_______________________________________________________ A prxima figura refora a relao do box plot com o histograma. A distribuio da esquerda simtrica, enquanto que a da direita assimtrica.
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Os box plots da figura abaixo mostram a comparao dos tamanhos das ptalas em duas amostras das espcies de flor-de-lis versicolor e virginica3.
7 6.5 6 5.5 Valores 5 4.5 4 3.5 3 v ersicolor v irginica
A existncia de um outlier nos dados da espcie versicolor indicada pelo ponto vermelho na parte inferior esquerda da figura.
3
Conjunto de dados de Fisher.
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Resumo
- A frequncia de um dado valor de uma varivel (qualitativa ou quantitativa) definida como o nmero de vezes que esse valor foi observado. - A associao das respectivas frequncias a todos os diferentes valores observados define a distribuio de frequncias do conjunto de valores observados. - A frequncia acumulada de um dado valor igual a soma das frequncias de todos os valores menores ou iguais ao valor em considerao. - Um histograma um grfico da distribuio de frequncias de uma varivel quantitativa. - As medidas de posio servem para localizar a distribuio de frequncias sobre o eixo de variao da varivel (eixo horizontal). - A mdia, a mediana e a moda so medidas de posio. - Mdia aritmtica: x =
x1 + x 2 + ... + x n 1 n = xi n n i=1 n A x A + n B x B + ... + n K x K n A + n B + ... + n K
- Mdia das mdias: x =
n - Mdia geomtrica: x g = n x1.x 2 ...x n = x i 1 / n i=1 - Mdia harmnica: x h =
n 1 1 1 + + ... + x1 x 2 xn
=
n
xi =1
n
1i
w x + w 2 x 2 + ... + w n x n = - Mdia ponderada: x p = 1 1 w1 + w 2 + ... + w n
w xi =1 n i
n
i
wi =1
i
- A mediana o valor que divide a distribuio ao meio, deixando os 50% menores valores de um lado e os 50% maiores valores do outro lado. - A moda dada pelo valor mais freqente (ou de mxima frequncia).Profs. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br
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- Varincia = Mdia dos Quadrados Quadrado da Mdia - Varincia combinada dos conjuntos A e B: s2 A+B
A =N
2
B +N
2
A + B N
2
- Desvio Padro = Raiz Quadrada positiva da Varincia. - Coeficiente de variao: cv( x ) =
sx . x
- Desvio interquartlico: d Q = Qs Qi - Um diagrama de caixa ou box-plot um retngulo que representa o desvio interquartlico. Esse retngulo indica, portanto, a faixa dos 50% dos valores mais tpicos da distribuio. O retngulo dividido no valor correspondente mediana; assim, ele indica o quartil inferior, a mediana e o quartil superior.
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Exerccios de Fixaomnimo 20 18 x 1 quartil 25 23 y mediana 27,5 32 z mdia 30 33 31 3 quartil 32,5 42 w mximo 50 52 u varincia 49 100 v
Classificao A B A ou B
(Papiloscopista PF/2004/Cespe-UnB) De acordo com um levantamento estatstico, a mdia das idades de um grupo de presidirios igual a 31 anos de idade. Nesse levantamento, os presidirios foram classificados como A ou B, dependendo da sua condio psicossocial. Constatou-se que a mdia das idades dos presidirios classificados como A menor que a mdia das idades dos presidirios classificados como B. A tabela acima apresenta algumas medidas estatsticas obtidas por meio desse levantamento. A partir das informaes acima, julgue os itens que se seguem. 1. A moda das idades dos presidirios classificados como A, segundo a frmula de Czuber, est entre 25,5 e 26 anos de idade. 2. O nmero de presidirios classificados como A igual ao dobro do nmero de presidirios classificados como B. 3. O valor de v est entre 65 e 75. 4. valores de x e u so, respectivamente, iguais a 19 e 51 anos de idade. (Papiloscopista PF/2004/Cespe-UnB) O ser humano tem impressos nos dedos das mos pelo menos quatro desenhos diferentes. Embora pessoas diferentes tenham sempre digitais diferentes, esses desenhos formam padres conhecidos como tipos fundamentais de impresses digitais. H raras excees a essa regra de classificao. Por isso, essa regra utilizada para a identificao de uma pessoa. Um perito, observando os dedos indicadores direitos de 200 indivduos, obteve a seguinte distribuio dos tipos fundamentais, segundo o gnero (homem/mulher).Tipo fundamentalgnero homem mulher arco 15 15 presilha interna 15 10 presilha externa 35 40 verticilo 35 35 total 100 100
No estudo desse perito, foram associados valores x, y e z para cada indivduo, da seguinte maneira: x = 1, caso o tipo fundamental da impresso digital doProfs. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br
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indivduo for verticilo e x = 0, caso contrrio; y = 1 se o tipo fundamental da impresso digital do indivduo for arco e y = 0, caso contrrio; z = 1 se o indivduo for mulher e z = 0 se for homem. Como resultado desse procedimento, formam-se trs sries estatsticas, respectivamente, X, Y e Z, cada uma com duzentas observaes. A partir dessas informaes, julgue os itens a seguir. 5. A mediana de X superior a 0,8. 6. A mediana do produto X Z menor que 0,025. 7. (Analista da SUSEP/2006/ESAF) Para um conjunto determinado de nmeros positivos temos: X como a mdia aritmtica, G como a mdia geomtrica e H como a mdia harmnica, podemos afirmar que A) X menor ou igual a G menor ou igual a H. B) G maior do que X maior do que H. C) X menor ou igual a H menor ou igual a G. D) H menor ou igual a G menor ou igual a X . E) H maior do que G maior do que X . 8. (ATM-Recife/2003/ESAF) Em uma amostra para obter-se informaes sobre a distribuio salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salrio mdio vale R$ 1.200,00. O salrio mdio observado para homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opo correta: A) O nmero de homens na amostra igual ao nmero de mulheres. B) O nmero de homens na amostra o dobro do nmero de mulheres. C) O nmero de homens na amostra o triplo do nmero de mulheres. D) O nmero de mulheres na amostra o dobro do nmero de homens. E) O nmero de homens na amostra o qudruplo do nmero de mulheres. Julgue os itens a seguir. 9. A mediana da srie ordenada {12, 14, 15, 19, 20, 22, 26, 27, 30} 20. 10. Considere os dados da tabela a seguir. A mediana dessa distribuio menor que 50.
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Classe 40,0 45,0 45,0 50,0 50,0 55,0 55,0 60,0 60,0 65,0 65,0 70,0 70,0 75,0 Soma:
frequncia 6 16 32 24 14 6 2 100
11. Considere os dados do item anterior. O valor aproximado da moda da distribuio 53,3. (Agente Fiscal de Rendas SP/2009/FCC/Adaptada) Para resolver as prximas duas questes, considere a tabela de frequncias relativas abaixo, que mostra a distribuio dos valores arrecadados, em 2008, sobre determinado tributo, referente a um ramo de atividade escolhido para anlise. Sabe-se que: I As frequncias absolutas correspondem s quantidades de recolhimentos, sendo as frequncias relativas do segundo e terceiro intervalos de classe iguais a x e y, respectivamente. II A mdia aritmtica da distribuio, valor arrecadado por recolhimento, igual a R$ 3.350,00 (valor encontrado considerando que todos os valores includos num certo intervalo de classe so coincidentes com o ponto mdio desse intervalo). Valores Arrecadados (R$) 1.000,00 |---------- 2.000,00 2.000,00 |---------- 3.000,00 3.000,00 |---------- 4.000,00 4.000,00 |---------- 5.000,00 5.000,00 |---------- 6.000,00 Total Frequncias Relativas 0,10 x y 0,20 0,10 1,00
12. A porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou iguais a R$ 3.000,00 A) 70% B) 65% C) 55% D) 45% E) 40%
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13. Utilizando o mtodo da interpolao linear, tem-se que o valor da respectiva mediana A) R$ 3,120,00 B) R$ 3,200,00 C) R$ 3,400,00 D) R$ 3,600,00 E) R$ 3,800,00 14. (APOFP-SP/2009/ESAF) observaes: Determine a mediana das seguintes
17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9 A) 13,5 B) 17 C) 14,5 D) 15,5 E) 14 15. (ICMS-SP/2006/FCC) O histograma de frequncias absolutas, abaixo, demonstra o comportamento dos valores arrecadados de um determinado tributo, no ano de 2005, em uma regio a ser analisada:
Observao: Considere que todos os intervalos de classe de histograma so fechados esquerda e abertos direita. Utilizando-se as informaes contidas neste histograma, calculou-se a mdia aritmtica destes valores arrecadados, considerando que todos os valoresProfs. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br
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includos num certo intervalo de classe so coincidentes com o ponto mdio deste intervalo. Tambm calculou-se a mediana de tais valores pelo mtodo da interpolao linear. Ento, o mdulo da diferena entre a mdia aritmtica e a mediana igual a A) R$ 100,00 B) R$ 400,00 C) R$ 800,00 D) R$ 900,00 E) R$ 1.000,00 16. (ICMS-RJ/2011/FGV) Em uma repartio, foi tomada uma amostra do nmero de filhos de 4 funcionrios. O resultado foi {2, 1, 4, 2}. A mdia geomtrica simples dessa amostra A) 2,25. B) 1,75. C) 2. D) 2,4 E) 2,5 17. (Tcnico Administrativo/BNDES/2010/CESGRANRIO) Dez mulheres adultas foram submetidas a uma pesquisa. A cada uma delas perguntou-se: Quantos filhos voc tem?. O entrevistador foi anotando cada uma das respostas na ordem em que foram obtidas. No entanto, devido pressa, esqueceu-se de registrar uma das respostas. A listagem abaixo reproduz as respostas dadas, na ordem em que foram registradas. 203110141 A partir das informaes acima, analise as afirmativas a seguir. I - A moda das quantidades de filhos dessas dez mulheres independe da resposta no registrada. II - A mediana das quantidades de filhos dessas dez mulheres depende da resposta no registrada. III - A mdia das quantidades de filhos dessas dez mulheres independe da resposta no registrada. Est correto APENAS o que se afirma em A) I. B) II.Profs. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br
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C) III. D) I e II. E) II e III. 18. (AFTE-RO/2010/FCC) Em uma cidade realizado um levantamento referente aos valores recolhidos de determinado tributo estadual no perodo de um ms. Analisando os documentos de arrecadao, detectou-se 6 nveis de valores conforme consta no eixo horizontal do grfico abaixo, em que as colunas representam as quantidades de recolhimentos correspondentes.
Com relao s medidas de posio deste levantamento tem-se que o valor da A) mdia aritmtica igual ao valor da mediana.. B) mdia aritmtica supera o valor da moda em R$ 125,00. C) moda supera o valor da mediana em R$ 500,00. D) mediana supera o valor da mdia aritmtica em R$ 25,00. E) mdia aritmtica igual a metade da soma da mediana e a moda. 19. (Administrador Jr convenincia localizada em sobre o valor das compras amostra aleatria de 21 resultado: ndice 1 2 3 4 5 6 7Profs. Alexandre Lima
Petrobrs/2010/Cesgranrio) Uma loja de um posto de combustvel realizou um levantamento realizadas pelos seus clientes. Para tal tomou uma compras, que apresentou, em reais, o seguinte ndice 8 9 10 11 12 13 14 Valor 22,00 34,00 15,50 28,50 34,00 10,80 15,50 ndice 15 16 17 18 19 20 21 Valor 18,00 29,00 34,00 15,50 13,40 17,00 19,00
Valor 19,40 14,00 18,30 27,20 8,70 10,30 7,20
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A mediana dessa srie de observaes (A) 15,50 (B) 18,00 (C) 18,30 (D) 28,50 (E) 34,00 20. (Administrador Jr REFAP/2007/Cesgranrio) O grfico de setores abaixo representa a distribuio de freqncias relativas dos salrios de uma empresa, em salrios mnimos. No existem observaes coincidentes com os extremos das classes
O primeiro e o terceiro quartis da distribuio, respectivamente, valem: A) 2,25 e 4,00 B) 2,25 e 5,75 C) 4,00 e 2,25 D) 4,00 e 5,75 E) 5,75 e 12,00
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Gabarito
1E 2C 3C 4E 5E 6C 7D 8A 9C 10 E 11 C 12 C 13 B 14 B 15 A 16 C 17 A 18 D 19 B 20 B
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Resoluo dos Exerccios de Fixaomnimo 20 18 x 1 quartil 25 23 y mediana 27,5 32 z mdia 30 33 31 3 quartil 32,5 42 w mximo 50 52 u varincia 49 100 v
Classificao A B A ou B
(Papiloscopista PF/2004/Cespe-UnB) De acordo com um levantamento estatstico, a mdia das idades de um grupo de presidirios igual a 31 anos de idade. Nesse levantamento, os presidirios foram classificados como A ou B, dependendo da sua condio psicossocial. Constatou-se que a mdia das idades dos presidirios classificados como A menor que a mdia das idades dos presidirios classificados como B. A tabela acima apresenta algumas medidas estatsticas obtidas por meio desse levantamento. A partir das informaes acima, julgue os itens que se seguem. 1. A moda das idades dos presidirios classificados como A, segundo a frmula de Czuber, est entre 25,5 e 26 anos de idade. Resoluo No caso de distribuies de frequncia em classes de mesma amplitude, comum definir-se a moda (mo) como um ponto pertencente classe modal, dado por
mo = Li +
d1 h, d1 + d 2
em que L i o limite inferior da classe modal, d1 a diferena entre a frequncia da classe modal e a da classe imediatamente anterior, d 2 a diferena entre a frequncia da classe modal e a da classe imediatamente seguinte e h a amplitude das classes. Observe que os dados do levantamento estatstico no esto agrupados em intervalos de classe, ou seja, no temos acesso ao histograma correspondente. Portanto, a frmula da moda segundo Czuber no pode ser aplicada ao item (o mesmo se aplica para a frmula da moda segundo King). A concluso de que A moda das idades dos presidirios classificados como A, segundo a frmula de Czuber, est entre 25,5 e 26 anos de idade um mero chute. GABARITO: EProfs. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br
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2. O nmero de presidirios classificados como A igual ao dobro do nmero de presidirios classificados como B. Resoluo Dados: A = 30 , B = 33 . Mdia das mdias ( X ):
X=
nAA + nBB n 30 + n B 33 31 = A n A = 2n B nA + nB nA + nB
em que n A e n B denotam o nmero de presidirios classificados como A e o nmero de presidirios classificados como B, respectivamente. Logo, correto afirmar que o nmero de presidirios classificados como A igual ao dobro do nmero de presidirios classificados como B. GABARITO: C 3. O valor de v est entre 65 e 75. Resoluo A varincia combinada v dada por
v = S2 + B A
A + B = + nA + nB nA + nB nA + nB 2 2
A
B
2
A = 30
A = 30nA
A = 30n B = 33n
A
= 60n B
B = 33
B = 33nB
B
S2 = 49 A
AnA
2
A 2 = 49 2
AnA
2
= 49 + 30 2 = 949 2
A
2
= 949n A = 1898n B
S = 100 2 B
BnB
B = 100 2
BnB
= 100 + 332 = 1189 2
B
2
= 1189n B
v=S
2 A+B
1898n B 1189n B 60n B + 33n B 2 = + = 632,67 + 396,33 31 = 1029 961 = 68 3n B 3n B 3n B www.pontodosconcursos.com.br
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Ento correto afirmar que 65 < v = 68 < 75. GABARITO: C 4. valores de x e u so, respectivamente, iguais a 19 e 51 anos de idade. Resoluo O levantamento estatstico no deixa dvida de que o valor mnimo de A ou B x = 18 e o valor mximo de A ou B u = 52. Item errado. GABARITO: E (Papiloscopista PF/2004/Cespe-UnB) O ser humano tem impressos nos dedos das mos pelo menos quatro desenhos diferentes. Embora pessoas diferentes tenham sempre digitais diferentes, esses desenhos formam padres conhecidos como tipos fundamentais de impresses digitais. H raras excees a essa regra de classificao. Por isso, essa regra utilizada para a identificao de uma pessoa. Um perito, observando os dedos indicadores direitos de 200 indivduos, obteve a seguinte distribuio dos tipos fundamentais, segundo o gnero (homem/mulher).Tipo fundamentalgnero homem mulher arco 15 15 presilha interna 15 10 presilha externa 35 40 verticilo 35 35 total 100 100
No estudo desse perito, foram associados valores x, y e z para cada indivduo, da seguinte maneira: x = 1, caso o tipo fundamental da impresso digital do indivduo for verticilo e x = 0, caso contrrio; y = 1 se o tipo fundamental da impresso digital do indivduo for arco e y = 0, caso contrrio; z = 1 se o indivduo for mulher e z = 0 se for homem. Como resultado desse procedimento, formam-se trs sries estatsticas, respectivamente, X, Y e Z, cada uma com duzentas observaes. A partir dessas informaes, julgue os itens a seguir. 5. A mediana de X superior a 0,8. Resoluo O total de homens e mulheres com impresso digital verticilo 70. Logo, sobram 200 70 = 130 homens e mulheres que no tm impresso digital verticilo.Profs. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br
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O rol da srie x possui 130 zeros e 70 uns. Portanto, a mediana zero (0), menor que 0,8. GABARITO: E 6. A mediana do produto X Z menor que 0,025. Resoluo Dados: - x = 1 se o tipo fundamental da impresso digital do indivduo for verticilo; - x = 0 se o tipo fundamental da impresso digital do indivduo NO for verticilo; - z = 1 se o indivduo for mulher; e - z = 0 se o indivduo for homem. A srie W = X Z registra as pessoas do gnero feminimo E com impresso digital verticilo. Neste caso, a srie W tem 35 uns (xz = 1.1 = 1 se uma mulher tem impresso digital verticilo) e 200 35 = 165 zeros (xz = 0.z = 0 se um homem ou mulher no tem impresso digital verticilo). Logo, a mediana de W zero, menor que 0,025. GABARITO: C 7. (Analista da SUSEP/2006/ESAF) Para um conjunto determinado de nmeros positivos temos: X como a mdia aritmtica, G como a mdia geomtrica e H como a mdia harmnica, podemos afirmar que A) X menor ou igual a G menor ou igual a H. B) G maior do que X maior do que H. C) X menor ou igual a H menor ou igual a G. D) H menor ou igual a G menor ou igual a X . E) H maior do que G maior do que X . Resoluo A mdia geomtrica (G) de um conjunto de nmeros positivos X1 , X 2 ,..., X n menor ou igual a mdia aritmtica ( X ), mas maior ou igual a mdia harmnica:
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H G X.A igualdade entre as mdias ocorre quando todos os nmeros X1 , X 2 ,..., X n so iguais. GABARITO: D 8. (ATM-Recife/2003/ESAF) Em uma amostra para obter-se informaes sobre a distribuio salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salrio mdio vale R$ 1.200,00. O salrio mdio observado para homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opo correta: A) O nmero de homens na amostra igual ao nmero de mulheres. B) O nmero de homens na amostra o dobro do nmero de mulheres. C) O nmero de homens na amostra o triplo do nmero de mulheres. D) O nmero de mulheres na amostra o dobro do nmero de homens. E) O nmero de homens na amostra o qudruplo do nmero de mulheres. Resoluo Dados fornecidos: - mdia salarial dos homens: XH = 1.300; - mdia salarial das Mulheres: X M = 1.100; - salrio mdio (mdia global) = X H + M = 1.200. Variveis incgnitas: - NH: nmero de homens; - NM: nmero de mulheres. O que esta questo est cobrando? O que est por detrs das alternativas? Diramos que a pergunta a ser respondida a seguinte:
Qual a relao existente entre as variveis NH e NM?Os dados fornecidos pela banca sugerem que a questo poder ser resolvida atravs da aplicao da frmula da mdia das mdias (mdia global ou mdia combinada), a qual corresponde mdia ponderada das mdias salariais X H e X M . No custa nada tentar, certo? Ento vamos l.
XH + M =
N H XH + N M XM 1.300N H + 1.100N M = = 1.200 NH + NM NH + NMwww.pontodosconcursos.com.br
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1.300 NH + 1.100 NM = 1.200 NH + 1.200 NM 100 NH = 100NM NH = NM A nossa tentativa deu certo. Conclumos que o nmero de homens na amostra igual ao nmero de mulheres (alternativa A). GABARITO: A Julgue os itens a seguir. 9. A mediana da srieordenada {12, 14, 15, 19, 20, 22, 26, 27, 30} 20. Resoluo A mediana de um conjunto de n valores ordenados, sendo n mpar, definida como o valor de ordem (n+1)/2 desse conjunto. Na questo, n = 9 e (n+1)/2 = (9+1)/2 = 10/2 = 5, ou seja, a mediana o quinto valor da srie: {12, 14, 15, 19, 20, 22, 26, 27, 30}.
mediana = 20 Se n for par, consideraremos a mediana como o valor mdio entre os valores de ordem n/2 e (n/2) + 1 do conjunto de dados. Exemplo: A mediana dos oito valores j ordenados, 12 14 15 19 20 26 27 30
igual a (19+20)/2 = 19,5. A mediana caracteriza o centro de uma distribuio de frequncias com base na ordem dos valores que formam o conjunto de dados. A mediana o valor que ocupa a posio central dos dados ordenados. A mediana o valor que divide a distribuio ao meio, deixando os 50% menores valores de um lado e os 50% maiores valores do outro lado. GABARITO: C
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10. Considere os dados da tabela a seguir. A mediana dessa distribuio menor que 50. Classe 40,0 45,0 45,0 50,0 50,0 55,0 55,0 60,0 60,0 65,0 65,0 70,0 70,0 75,0 Soma: Resoluo Voc no precisa decorar nenhuma frmula para saber determinar o valor da mediana, haja vista que elapode ser obtida atravs da aplicao de uma mera regra de trs. Ento como que a gente calcula a mediana? Vamos l. A princpio no sabemos o valor exato da mediana. Mas isso no nos impede de determinar a sua classe (esse o pulo do gato!). Atabela mostra quea primeira classe tem frequncia 6%, a segunda tem frequncia 16% e a terceira tem frequncia 32%. Note que 6% + 16% = 22%, sendoeste o valor dafrequncia acumulada at a segunda classe. A frequncia acumulada da terceira classe 22% + 32% = 54%. Agora precisamos dar uma parada. Repare que a frequncia acumulada da terceira classe 54% > 50%. Logo, a terceira classe contm a mediana (e por isso que o item errado). Deve-se montar a seguinte regra de trs: a amplitude da classe da mediana (55,0 50,0 = 5,0) est para a frequncia da classe da mediana (32), assim como a amplitude da classe at a mediana (X)est paraa frequncia acumulada at a mediana subtrada da frequncia acumulada at a classe inferior classe da mediana (50% 22% = 28%): frequncia 6 16 32 24 14 6 2 100
5 X = 32 X = 140 X = 4,375 . 32 28Portanto, mediana = 50,0 + X = 54,375. O procedimento de clculo da mediana descrito acima pode ser generalizado por meio da frmula
md = Li +Profs. Alexandre Lima
(n / 2) Fa h md f md 48
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em que L i o limite inferior da classe que contm a mediana, n o nmero de elementos do conjunto de dados, Fa a soma das frequncias das classes anteriores que contm a mediana, f md a frequncia da classe que contm a mediana e h md a amplitude da classe que contm a mediana. A expresso acima supe que os valores observados da varivel tenham se distribudo homogeneamente dentro das diversas classes. COMENTRIOS Em certos casos prticos, como aqueles que envolvem distribuies de frequncia com valores extremos, mais conveniente usar a mediana como medida de tendncia central, pois a mdia sofre influncia de valores extremos. Neste caso, a mediana fornecer uma melhor idia do centro da distribuio de frequncias da varivel sob anlise. A mediana de uma distribuio em classes de frequncias pode ser geometricamente interpretada como o ponto tal que uma vertical por ela traada divide a rea sob o histograma em duas partes iguais. A mediana e a mdia so coincidentes quando a distribuio simtrica. Em distribuies assimtricas, a mdia tende a deslocar-se para o lado da cauda mais longa (vide figura abaixo).
A mediana divide o conjunto ordenado de dados em dois subconjuntos com igual nmero de elementos. H outras maneiras de se dividir os dados ordenados. Os quartis (Q1, Q2, Q3) dividem o conjunto ordenado de valores em quatro subconjuntos com igual nmero de elementos. O primeiro quartil (Q1) ou quartil inferior (Qi) delimita os 25% menores valores; o segundo quartil a prpria mediana e o terceiro quartil (Q3) ou quartil superior (Qs) o valor que separa os 25% maiores valores (veja a prxima figura). Alm dos quartis, podemos definir os decis (D1, D2,..., D9), que so os valores que Profs. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br 49
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dividem os dados ordenados em dez partes iguais (note que a mediana corresponde ao quinto decil D5) e os percentis,que so os valores que dividem os dados ordenados em 100 partes iguais, sendo representados por P1, P2,..., P99 (a mediana o percentil P50). De maneira geral, os quartis, decis e percentis e outros valores obtidos mediante subdivises dos dados em partes iguais so denominados quantis.
GABARITO: E 11. Considere os dados do item anterior. O valor aproximado da moda da distribuio 53,3. Resoluo A moda de uma distribuio dada pelo valor mais freqente ou de mxima frequncia. Assim, a classe modal da distribuio 50,0 55,0, pois esta classe possui a maior frequncia, cujo valor 32. A moda de uma distribuio pode ser calculada pelo mtodo de Czuber ou pelo mtodo de King. Caso a questo da prova no especifique o mtodo, assuma que o clculo deve ser feito pela frmula de Czuber. FRMULA DE CZUBER moda = Li +
d1 h d1 + d 2
em que L i o limite inferior da classe modal, d1 a diferena entre a frequncia da classe modal e a da classe imediatamente anterior, d 2 a
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diferena entre a frequncia da classe modal e a da classe imediatamente seguinte e h a amplitude das classes. Logo, Li = 50,0 , d1 = 32 16 = 16 , d 2 = 32 24 = 8 , h = 5 e a moda
50,0 +INFORMAES ADICIONAIS Mtodo de King: moda = Li +
16 5 53,3 . 16 + 8
f post f post + f ant
h = 50 +
120 24 5 = 50 + = 53 40 24 + 16
em que L i denota o limite inferior da classe modal, f post a frequncia da classe posterior classe modal, f ant a frequncia da classe anterior classe modal e h a amplitude da classe modal. Se todas as realizaes do conjunto de valores observados ocorrem com a mesma frequncia, diz-se que a srie estatstica amodal, ou seja, no tem valor modal. Exemplo. Seja a srie estatstica {2, 1, 9, 4, 5, 20, 8, 7, 11, 19}. Essa srie amodal, pois no h repetio de valores (todos ocorrem o mesmo nmero de vezes). Pode haver mais de uma moda em um conjunto de valores. Se houver apenas uma moda, a distribuio dita unimodal. Se houver duas, bimodal, se possuir trs trimodal e assim sucessivamente. A figura a seguir ilustra as posies relativas da moda, mediana e mdia para uma distribuio de frequncia (levemente) inclinada para a direita.
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GABARITO: C (Agente Fiscal de Rendas SP/2009/FCC/Adaptada) Para resolver as prximas duas questes, considere a tabela de frequncias relativas abaixo, que mostra a distribuio dos valores arrecadados, em 2008, sobre determinado tributo, referente a um ramo de atividade escolhido para anlise. Sabe-se que: I As frequncias absolutas correspondem s quantidades de recolhimentos, sendo as frequncias relativas do segundo e terceiro intervalos de classe iguais a x e y, respectivamente. II A mdia aritmtica da distribuio, valor arrecadado por recolhimento, igual a R$ 3.350,00 (valor encontrado considerando que todos os valores includos num certo intervalo de classe so coincidentes com o ponto mdio desse intervalo). Valores Arrecadados (R$) 1.000,00 |---------- 2.000,00 2.000,00 |---------- 3.000,00 3.000,00 |---------- 4.000,00 4.000,00 |---------- 5.000,00 5.000,00 |---------- 6.000,00 Total Frequncias Relativas 0,10 x y 0,20 0,10 1,00
12. A porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou iguais a R$ 3.000,00 A) 70% B) 65% C) 55%Profs. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br
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D) 45% E) 40% Resoluo Seja a tabela abaixo, em que xi denota o ponto mdio da classe i, pi representa a frequncia relativa da classe i e Pi a frequncia acumulada da classe i. Classes (em R$ mil) 1,0 |--- 2,0 2,0 |--- 3,0 3,0 |--- 4,0 4,0 |--- 5,0 5,0 |--- 6,0 Total xi 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 pi 0,10 x y 0,20 0,10 1,00 Pi 0,10 0,10 + x 0,10 + x + y 0,30 + x + y 0,40 + x + y
Temos duas frequncias relativas incgnitas: x e y. Logo, precisaremos montar um sistema de duas equaes a duas incgnitas para resolver x e y. O enunciado diz que x = 3,35 (em R$ mil). Portanto,
x = 3,35 = x i pi = (1,5 0,10) + 2,5x + 3,5y + (4,5 0,20) + (5,5 0,10)0,15 + 2,5x + 3,5 y + 0,90 + 0,55 = 3,35 2,5x + 3,5 y = 1,75 (1)Por outro lado, sabemos quei
pi
i
= 1 x + y + 0,40 = 1,00 x + y = 0,60 (2)
Chegamos ento ao sistema
2,5x + 3,5y = 1,75 x + y = 0,60Podemos resolver o sistema da seguinte forma: multiplique a equao (2) por -2,5 e some-a com a equao (1): -2,5x 2,5y +2,5x + 3,5y = 1,75 1,50 0x + 1,0y = 0,25 y = 0,25 Substituindo o valor de y em (2), tem-se que x + 0,25 = 0,60 x = 0,60 0,25 = 0,35.Profs. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br
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Ento a soluo : x = 0,35 e y = 0,25 . A verso final da tabela : Classes (em R$ mil) 1,0 |--- 2,0 2,0 |--- 3,0 3,0 |--- 4,0 4,0 |--- 5,0 5,0 |--- 6,0 Total xi 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 pi 0,10 0,35 0,25 0,20 0,10 1,00 Pi 0,10 0,45 0,70 0,90 1,00
E a porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou iguais a R$ 3.000,00 : 0,25 + 0,20 + 0,10 = 0,55 = 55%. GABARITO: C 13. Utilizando o mtodo da interpolao linear, tem-se que o valor da respectiva mediana A) R$ 3,120,00 B) R$ 3,200,00 C) R$ 3,400,00 D) R$ 3,600,00 E) R$ 3,800,00 Resoluo Classes (em R$ mil) 1,0 |--- 2,0 2,0 |--- 3,0 3,0 |--- 4,0 (classe da mediana) 4,0 |--- 5,0 5,0 |--- 6,0 Total xi 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 pi Pi 0,10 0,10 0,35 0,45 0,25 0,70 0,20 0,90 0,10 1,00 1,00
A mediana o valor que divide a distribuio ao meio, deixando os 50% menores valores de um lado e os 50% maiores valores do outro lado. Fazendo a interpolao linear (regra de trs), temos que: (4,0 3,0) = 1,0 (amplitude da classe da mediana) est para X (amplitude na classe da mediana correspondente mediana) assim como (70% 45%) est (50% 45%):Profs. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br
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0,05 1,0 0,70 0,45 1,0 0,25 = 0,20 = = X= 0,25 X 0,50 0,45 X 0,05Logo: md = 3,0 + 0,2 = R$ 3,2 mil. GABARITO: B 14. (APOFP-SP/2009/ESAF) observaes: Determine a mediana das seguintes
17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9 A) 13,5 B) 17 C) 14,5 D) 15,5 E) 14 Resoluo A mediana de um conjunto de nvalores ordenados, sendo n mpar, definida como o valor de ordem (n+1)/2 desse conjunto. Se n for par, a mediana poderia ser definida como qualquer valor situado entre o de ordem n/2 e o de ordem (n/2)+1. Por simplificao, para n par, consideraremos a mediana como o valor mdio entre os valores de ordem n/2 e (n/2)+1 do conjunto de dados Total de elementos do conjunto = n = 23 (mpar) Mediana (nmero mpar de elementos) => Posio = (n+1)/2 = 24/4 = 12 Vamos colocar os elementos do conjunto em ordem crescente: 3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 12, 13, 14, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 31, 34, 42 Elemento na Posio 12 = 17 GABARITO: B 15. (ICMS-SP/2006/FCC) O histograma de frequncias absolutas, abaixo, demonstra o comportamento dos valores arrecadados de um determinado tributo, no ano de 2005, em uma regio a ser analisada:
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Observao: Considere que todos os intervalos de classe de histograma so fechados esquerda e abertos direita. Utilizando-se as informaes contidas neste histograma, calculou-se a mdia aritmtica destes valores arrecadados, considerando que todos os valores includos num certo intervalo de classe so coincidentes com o ponto mdio deste intervalo. Tambm calculou-se a mediana de tais valores pelo mtodo da interpolao linear. Ento, o mdulo da diferena entre a mdia aritmtica e a mediana igual a A) R$ 100,00 B) R$ 400,00 C) R$ 800,00 D) R$ 900,00 E) R$ 1.000,00 Resoluo Quando os dados so apresentados em uma distribuio de freqncias, todos os valores includos num certo intervalo de classe so considerados coincidentes com o ponto mdio do intervalo. Seja a tabela para o clculo da mdia aritmtica: Classe (em R$ mil) 1,0-2,0 2,03,0 3,04,0 4,05,0 5,06,0 TotalProfs. Alexandre Lima
fi 200 400 500 600 300 2.000
xi 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5
xifi 300 1.000 1.750 2.700 1.650 7.400
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Ento,
x=
x fn
i i
=
7.400 = 3,70 (em R$ mil). 2.000
Aprendemos que a mediana o valor que divide a distribuio ao meio, deixando os 50% menores valores de um lado e os 50% maiores valores do outro lado. Considere a tabela abaixo (clculo da mediana): Classe (em R$ mil) 1,0-2,0 2,03,0 3,0 4,0 4,05,0 5,06,0 Total fi 200 400 500 600 300 2.000 xi 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 pi 200/2000=0,10 400/2000=0,20 500/2000=0,25 600/2000=0,30 300/2000=0,15 1,00 Pi 0,10 0,30 0,55 0,85 1,00
Fazendo a interpolao linear (regra de trs), temos que: (4,0 3,0) = 1,0 (amplitude da classe da mediana) est para X (amplitude na classe da mediana correspondente mediana) assim como (55% 30%) est (50% 30%):
0,20 20 4 1,0 0,55 0,30 1,0 0,25 = = = 0,80 = = X = 0,25 25 5 X 0,50 0,30 X 0,20Ento, md = 3,0 + 0,8 = 3,8 (em R$ mil). Assim, | x md |=| 3.700 3.800 |= 100 . GABARITO: A 16. (ICMS-RJ/2011/FGV) Em uma repartio, foi tomada uma amostra do nmero de filhos de 4 funcionrios. O resultado foi {2, 1, 4, 2}. A mdia geomtrica simples dessa amostra A) 2,25. B) 1,75. C) 2. D) 2,4 E) 2,5
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Resoluo MDIA GEOMTRICA
x g = 4 2 4 2 = 4 2 2 2 2 = 24GABARITO: C
( )
1/ 4
=2
17. (Tcnico Administrativo/BNDES/2010/CESGRANRIO) Dez mulheres adultas foram submetidas a uma pesquisa. A cada uma delas perguntou-se: Quantos filhos voc tem?. O entrevistador foi anotando cada uma das respostas na ordem em que foram obtidas. No entanto, devido pressa, esqueceu-se de registrar uma das respostas. A listagem abaixo reproduz as respostas dadas, na ordem em que foram registradas. 203110141 A partir das informaes acima, analise as afirmativas a seguir. I - A moda das quantidades de filhos dessas dez mulheres independe da resposta no registrada. II - A mediana das quantidades de filhos dessas dez mulheres depende da resposta no registrada. III - A mdia das quantidades de filhos dessas dez mulheres independe da resposta no registrada. Est correto APENAS o que se afirma em A) I. B) II. C) III. D) I e II. E) II e III. Resoluo ANLISE DAS AFIRMATIVAS I A observao de maior frequncia (moda) possvel forosamente o valor 1, haja vista que poder ocorrer at 5 vezes (estamos assumindo que a resposta no registrada tenha sido um filho). Caso a reposta no registrada tenha sido zero filho, ento o valor 0 poder ocorrer 3 vezes, e assim sucessivamente para os demais valores. Desta maneira, a moda das quantidades de filhos das dez mulheres o valor 1, independentemente da resposta no registrada.Afirmativa correta.Profs. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br
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II Temos uma distribuio de frequncias sem intervalos de classe. Neste caso, basta identificar a freqncia acumulada imediatamente superior metade da soma das freqncias, que igual a 5 nesta questo, pois h 10 mulheres. A mediana ser aquele valor da varivel que corresponde a tal freqncia acumulada. Para responder se a mediana das quantidades de filhos das dez mulheres depende ou no da resposta no registrada, faremos uma anlise exaustiva de vrias hipteses:
Hiptese 1: trs mulheres responderam que tm zero filho; Hiptese 2: cinco mulheres responderam que tm 1 filho; Hiptese 3: duas mulheres responderam que tm 2 filhos; e Assim sucessivamente.
Hiptese 1: 3 mulheres responderam que tm 0 filho. No de filhos 0 1 2 3 4 Soma Freq. 3 4 1 1 1 10 Freq. Acumulada 3 7 8 9 10
mediana
Hiptese 2: 5 mulheres responderam que tm 1 filho. No de filhos 0 1 2 3 4 Soma Freq. 2 5 1 1 1 10 Freq. Acumulada 2 7 8 9 10
mediana
Hiptese 3: 2 mulheres responderam que tm 2 filhos. No de filhos 0 1 2 3 4 Soma Freq. 2 4 2 1 1 10 Freq. Acumulada 2 6 8 9 10
mediana
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Hiptese 4: 2 mulheres responderam que tm 3 filhos. No de filhos 0 1 2 3 4 Soma Freq. 2 4 1 2 1 10 Freq. Acumulada 2 6 7 9 10
mediana
Hiptese 5: 2 mulheres responderam que tm 4 filhos. No de filhos 0 1 2 3 4 Soma Freq. 2 4 1 1 2 10 Freq. Acumulada 2 6 7 8 10
mediana
Hiptese6: 1 mulher respondeu que tm 5 ou mais filhos. No de filhos 0 1 2 3 4 5 ou mais Soma Freq. 2 4 1 1 1 1 10 Freq. Acumulada 2 6 7 8 9 10
mediana
Observe que a mediana igual a 1 para todos os casos. Portanto, a mediana das quantidades de filhos dessas dez mulheres INDEPENDE da resposta no registrada.Afirmativa incorreta. III - Calcule a mdia considerando a hiptese 1 (3 mulheres responderam que tm 0 filho):
x=
(0 3) + (1 4) + (2 1) + (3 1) + (4 1) 4 + 2 + 3 + 4 13 = = = 1,3 . 10 10 10
Agora, calcule a mdia considerando a hiptese 2 (5 mulheres responderam que tm 1 filho):Profs. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br
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x=
(0 2) + (1 5) + (2 1) + (3 1) + (4 1) 5 + 2 + 3 + 4 14 = = = 1,4 . 10 10 10
Constatamos que a mdia das quantidades de filhos das dez mulheres DEPENDE da resposta no registrada. Afirmativa incorreta. GABARITO: A 18. (AFTE-RO/2010/FCC) Em uma cidade realizado um levantamento referente aos valores recolhidos de determinado tributo estadual no perodo de um ms. Analisando os documentos de arrecadao, detectou-se 6 nveis de valores conforme consta no eixo horizontal do grfico abaixo, em que as colunas representam as quantidades de recolhimentos correspondentes.
Com relao s medidas de posio deste levantamento tem-se que o valor da A) mdia aritmtica igual ao valor da mediana.. B) mdia aritmtica supera o valor da moda em R$ 125,00. C) moda supera o valor da mediana em R$ 500,00. D) mediana supera o valor da mdia aritmtica em R$ 25,00. E) mdia aritmtica igual a metade da soma da mediana e a moda.
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Resoluo Valormediana
Freq. 30 50 60 30 20 10 200
500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 Soma
Freq. Acumulada 30 80 140 170 190 200
Valor x Freq 15.000 50.000 90.000 60.000 50.000 30.000 295.000
Temos que:
Moda = 1.500 (valor mais frequente) Mdia = 295.000/200 = 1.475 Mediana (*) = 1.500 = Mdia + 25 alternativa D.
(*) Lembre do procedimento de clculo da mediana para uma distribuio de frequncias sem intervalos de classe. Voc dever identificar a freqncia acumulada imediatamente superior metade da soma das freqncias, cujo valor 100, uma vez que a soma das frequncias d 200. Na tabela acima, a frequncia acumulada para o valor 1.500 140, valor imediatamente superior a 100. GABARITO: D 19. (Administrador Jr convenincia localizada em sobre o valor das compras amostra aleatria de 21 resultado: ndice 1 2 3 4 5 6 7 Valor 19,40 14,00 18,30 27,20 8,70 10,30 7,20 Petrobrs/2010/Cesgranrio) Uma loja de um posto de combustvel realizou um levantamento realizadas pelos seus clientes. Para tal tomou uma compras, que apresentou, em reais, o seguinte ndice 8 9 10 11 12 13 14 Valor 22,00 34,00 15,50 28,50 34,00 10,80 15,50 ndice 15 16 17 18 19 20 21 Valor 18,00 29,00 34,00 15,50 13,40 17,00 19,00
A mediana dessa srie de observaes (A)15,50Profs. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br
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(B) 18,00 (C) 18,30 (D) 28,50 (E)34,00 Resoluo A mediana o valor que ocupa a posio central da srie de observaes, quando esto ordenadas em ordem crescente. Assim, se as observaes forem 3, 4, 7, 8 e 8, a mediana o valor 7, correspondendo terceira observao. Quando o nmero de observaes for par, usa-se como mediana a mdia aritmtica das duas observaes centrais. Acrescentando-se o valor 9 srie acima, a mediana ser (7 + 8)/2 = 7,5. Para a presente questo, temos a seguinte srie ordenada em ordem crescente de valores:
{7,20 8,70 10,30 10,80 13,40 14,00 15,50 15,50 15,50 17,00 18,00 18,30 19,00 19,40 22,00 27,20 28,50 29,00 34,00 34,00 34,00}Observe que o valor 18,00 corresponde 11a observao do conjunto de dados (posio central). Logo, a mediana da srie dada 18,00. GABARITO: B 20. (Administrador Jr REFAP/2007/Cesgranrio) O grfico de setores abaixo representa a distribuio de freqncias relativas dos salrios de uma empresa, em salrios mnimos. No existem observaes coincidentes com os extremos das classes
O primeiro e o terceiro quartis da distribuio, respectivamente, valem: A) 2,25 e 4,00 B) 2,25 e 5,75Profs. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br
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C) 4,00 e 2,25 D) 4,00 e 5,75 E) 5,75 e 12,00 Resoluo Os quartis (Q1, Q2, Q3) dividem a distribuio de frequncias em quatro subconjuntos com igual nmero de elementos. O primeiro quartil (Q1) ou quartil inferior (Qi) delimita os 25% menores valores; o segundo quartil a prpria mediana e o terceiro quartil (Q3) ou quartil superior (Qs) o valor que separa os 25% maiores valores. Podemos resolver a questo de uma forma "maceteada", sem fazer uma conta, se mapearmos o grfico de setores fornecido pelo enunciado em um histograma, como ilustrado pela figura a seguir. O histograma abaixo representa a distribuio de frequncias dos salrios da empresa.
Primeiramente, observe que, se 40% dos colaboradores da empresa ganham salrios na faixa de 1 a 3 salrios mnimos, ento os 25% menores salrios devem estar na faixa de 1 a 3 salrios mnimos. Logo, o primeiro quartil (Q1) um nmero entre 1 e 3. Concorda? Esta constatao elimina as opes C, D e E. Sobraram apenas as alternativas A e B. Isto quer dizer que Q1= 2,25. Analisemos a opo A. Ela afirma que Q3 = 4,00. Ser que isto verdade? Vamos conferir. Se 30% dos colaboradores esto na faixa de 3 a 5 salriosProfs. Alexandre Lima www.pontodosconcursos.com.br
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mnimos, ento 15% das pessoas esto na faixa de 3 a 4 salrios mnimos (fiz uma regra de trs "de cabea"). Ento, 40% + 15% = 55% dos colaboradores ganham menos de 4 salrios mnimos, ou, dito de outra forma, 100% 55% = 45% ganham pelo menos 4 salrios mnimos. Como o terceiro quartil (Q3) ou quartil superior (Qs) o valor que separa os 25% maiores valores, temos que a opo A falsa. Sobrou apenas a alternativa B! Portanto, Q3 = 5,75. A figura abaixo ilustra a posio de Q1 e Q3 na distribuio da questo.
GABARITO: B Bom estudo e at a prxima aula! Alexandre Lima.
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