Aula 4
Comprimento de Mistura de Prandtl- Distribuição de Velocidade
É a distância necessária, partindo-se do início do tubo, a partir da qual o perfil de velocidades não se modifica mais com o aumento da distância ao longo do tubo.
Comprimento de Mistura
Comprimento de Mistura de Prandtl – Distribuição de Velocidade
Q
y
x
dA
xv
yv
dAvVazão ymassa
xyat v)dAv(dF
xyat
t vvdA
dF 2.15
v
y dy/dv
dy/dvy
v
dy
dvvv yx
Comprimento de Mistura de Prandtl – Distribuição de Velocidade
xyat
t vvdA
dF
2
2t dy
dv
2.16
Relação para comprimento de mistura proposto por von Karmán
)dy/vd(
dy/dv22
2.17
38,0Água limpa
Lei de Distribuição Universal de Velocidade
Supõe-se que o esforço cortante na região do núcleo turbulento seja igual ao que se desenvolve na parede do tubo
O esforço cortante que predomina é o turbulento, dado pela equação
2
2t dy
dv
Como nas proximidades da parede as velocidades de perturbação tendem a zero, há uma variação linear do comprimento de mistura com a distância y da parede, dada por y
Lei de Distribuição Universal de Velocidade
2
2t dy
dv
y
2
220t dy
dvy
dy
dvy0
dvy
dyu
dy
dvyu *0
*
Cyln1
u
v
*
2.18
Lei de Distribuição Universal de Velocidade
0v0y
vRy máx Cyln1
u
v
*
Rln1
u
vCCRln
1
u
v
*
máx
*
máx
Rln1
u
vyln
1
u
v
*
máx
*
Para tubos lisos e rugosos 40,0
R
y
y
Rln5,2
u
vv
*
máx
2.20
y
Rln
1
u
vv
*
máx
2.19
Lei de Distribuição Universal de Velocidade
Derivando-se a eq. 2.18, com = 0,40 tem-se
y
u5,2
dy
dv * no centro do tubo y = R
máxvv0dy
dv
Usando conceito velocidade média V em uma seção e integrando-se a Eq. 2.18 tem-se
rdr2vvdARVQR
0
R
0
2
Lei de Distribuição Universal de Velocidade
rdr2]Cu)rRln(5,2u[RVR
0
**2
rRy
Cuyln5,2uv ** 2.18
)75,3C(Rln5,2u
V
*
2.21
Experiência de Nikuradse
Experiência de Nikuradse
http://www.news.uiuc.edu/news/06/0131turbulence.html
Link Artigo
I
IIIII
IVV
Harpa de Nikuradse
Região I Re<2300
Escoamento laminar, o fator de atrito independe da rugosidade,devido ao efeito da subcamada limite laminar e vale
Re
64f
Região Critica onde o valor de f não fica caracterizado
Região II 2300<Re<4000
Região III (pode ser representada 3000<Re<105)
Curva dos tubos hidraulicamente lisos, influência da subcamada limite laminar, o fator de atrito só depende do número de Reynolds. Escoamento turbulento hidraulicamente liso.
25,0Re
316,0f Fórmula de Blasisus 2.22
Harpa de Nikuradse
Região IV
Transição entre o escoamento turbulento hidraulicamente liso e rugoso, o fator de atrito depende simultaneamente da rugosidade relativa e do número de Reynolds
Região V
Turbulência completa, escoamento hidraulicamente rugoso, o fator de atrito só depende da rugosidade relativa e independe do número de Reynolds.
Leis de Resistência no Escoamento Turbulento
Subcamadaviscosa
Tubos Rugosos
SubcamadaviscosaSubcamadaviscosa
Tubos Lisos
Leis de Resistência no Escoamento Turbulento
Tubos Lisos
R
yln5,2
u
v
u
v
*
máx
*
Multiplicando e dividindo por: *u
*
*
*
máx
* u
u
R
yln5,2
u
v
u
v
*
**
máx
*
yuln5,2
Ruln5,2
u
v
u
v
Experimento de Nikuradse5,5
*
*
yuln5,25,5
u
v
2.23
2.24
Viscosidade cinemática
Leis de Resistência no Escoamento Turbulento
Cyln5,2yu
ln5,25,5u
v *
*
Usando as eq. 2.24 e 2.18 com tem-se
*u
ln5,25,5C
Substituída na eq. 2.21 torna-se
75,1Ru
ln5,2u
V *
*
2.25
Tubos Lisos
Leis de Resistência no Escoamento Turbulento
Da definição da velocidade de atrito (eq. 1.28) pode escrever:
8
f
2
Re
V
u
2
VDRu
V2
V2R*u **
f
8
u
V
*
2.26
618,0Ru
ln884,0f
1 *
2.27
1.28
Tubos Lisos
Leis de Resistência no Escoamento Turbulento
913,0)flog(Re035.2f
1 2.28
Tubos Lisos
8,0)flog(Re2f
1 )
51,2
fRelog(2
f
1
Para
5u*
14,14/D
fRe
2.29
Leis de Resistência no Escoamento Turbulento
yln5,2
Rln5,2
u
v
R
yln5,2
u
v
u
v
*
máx
*
máx
*
2.30
Tubos Rugosos
yln5,248,8
u
v
*
Experimento de Nikuradse
2.31
Comparando a Eq. 2.18 com Eq.2.31 encontra-se: ln5,248,8C
)75,3C(Rln5,2u
V
*
2.21
Leis de Resistência no Escoamento Turbulento Tubos Rugosos
73,4ln5,2Rln5,2u
V
*
2.3273,4R
ln5,2u
V
*
67,1R
log04,2f
1
2.33
Com ajuste numéricos, através de experimentos
74,12
Dlog2
f
1
D71,3log2
f
1
Para 70*u
198/D
fRe
Lei de resistência para escoamento turbulento em tubos circulares rugosos
Exemplo 2.1 Um ensaio de laboratório, em uma tubulação de diâmetro igual a 0,30m, mostrou que a velocidade, medida com tubo de Pitot, em pontos situado a 2cm da parede era de 2,5m/s. Sendo a rugosidade absoluta da tubulação = 1,0mm e a viscosidade cinemática da água =10-6m2/s, determine:
a) A tensão tangencial na parede da tubulação;b) Se o escoamento é hidraulicamente rugoso;c) A distribuição de velocidade, corresponde à máxima vazão, para a
qual a mesma tubulação pode ser considerada lisa;d) O valor da velocidade na linha de centro da tubulação em ambos
os perfis, liso e rugoso.
0,3
mm0,1
Exemplo 2.1-Solução
a) Assumindo que o escoamento seja hidraulicamente rugoso, pode-se utilizar a equação 2.31, na forma
1,0
2ln5,248,8
u
5,2
*
02*u
s/m156,0u*
yln5,248,8
u
v
*
2230 m/N3,24156,010
Exemplo 2.1-Solução
b) O número de Reynolds de rugosidade vale:
7015610
10156,0u6
3*
c) Limite para qual fronteira ainda é hidraulicamente lisa é:
s/m10.510
105u5
u 33
6
**
Usando a equação 2.24, tem-se
yln510,12134,0v10
105yln5,25,5
105
v 36
3
3
Exemplo 2.1-Solução
d) Na linha de centro, y = 0,15 e v = vmáx, assim :
s/m11,015,0ln105,12134,0v 3máx
Escoamento liso:
Escoamento rugoso (eq. 2.31):
s/m28,3v10
15,0ln5,248,8
156,0
vmáx3
máx